Libro de Ingeco

Publicación para el 2011-1

CAPÍTULO 1 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

1.1 EL CONCEPTO DEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Se define como la capacidad o poder que tiene el dinero para generar más dinero en el transcurso del tiempo y con cierta tasa de interés (tasa de rentabilidad), siempre bajo el supuesto que el agente económico intenta tomar decisiones racionales: incrementar sus ganancias y reducir sus costos. Analice lo siguiente, si a usted le ofrecen S/. 1 000 el día de hoy y el mismo monto dentro de un año, ¿cuál sería su elección ahora? Lo más racional en este caso es recibir los S/. 1 000 el día de hoy (piense por qué y debe convencerse de esto). Si bien los S/. 1 000 hoy y dentro de un año es la misma cifra (y si usted desea hasta los mismo billetes), definitivamente no tienen el mismo valor económico, ¿por qué?, basta con explorar su entorno y verá que los bancos y otras instituciones de ahorro ofrecen el pago de intereses por el dinero depositado. Quizá usted esté dispuesto a renunciar a esos S/. 1 000 el día de hoy con la esperanza de obtener dentro de un año los mismos S/. 1 000 más un monto adicional que son los intereses. Si por ejemplo la tasa de interés es 5% anual entonces el importe adicional serán S/. 50 sumando un total de S/. 1 050. Si usted acepta o no esta oferta del pago diferido de S/. 1 050 dentro de un año en vez de recibir los S/. 1 000 el día de hoy depende de varios aspectos, entre otras de cuál es su expectativa de rentabilidad anual, la cual mide en términos porcentuales cuánto desea ganar con su dinero. Finalmente, a menudo se afirma que la inflación es la variable que provoca la capacidad del dinero de generar más dinero, sin embargo, si bien la inflación podría ser un incentivo para que usted busque alternativas que lo protejan del efecto de la pérdida de poder adquisitivo por efecto de la subida de los precios de los bienes y servicios, no es esta variable la que genera esa capacidad al dinero sino la posibilidad de invertirlo en alternativas que están disponibles ya sea que haya inflación o deflación en la economía. Esto nos ayuda a comprender el valor del dinero en el tiempo y a resaltar lo siguiente: “Cantidades de dinero en distintos puntos del tiempo pueden tener diferente valor económico, por tanto, no es adecuado efectuar sumas o restas de flujos de efectivo ubicados en diferentes momentos del tiempo para efectuar evaluaciones económicas” 1.2 DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA Un diagrama de flujo de caja es una técnica descriptiva que permite representar los flujos de efectivo, ya sean entradas o salidas de efectivo, que se originan en cualquier instante del tiempo. Para su representación considere lo siguiente: 1 2 3

La escala del tiempo se representa con una línea horizontal y el avance del tiempo es de izquierda a derecha. El período de tiempo t corresponde al inicio del período t -1 y t es el final de este período. Representación y dirección de los flujos: las flechas representan los flujos, así por ejemplo, las entradas de efectivo tales como ventas efectuadas al contado y otros ingresos en efectivo recibidos se representan con una flecha hacia arriba lo que indica un flujo de caja positivo. Las salidas de efectivo tales como pagos de cuotas bancarias,

-1-

4

5 6

remuneraciones o pago de deudas a proveedores, entre otros, se representan con una flecha hacia abajo lo que indica un flujo de caja negativo. El criterio del final del período: debido a que una entrada o salida de efectivo puede ocurrir en cualquier punto dentro de un período de tiempo, la convención asume que ocurren al final de cada período. Las entradas y salidas de dinero pueden expresarse en forma bruta (entrada y salida) o en forma neta (entrada-salida). Los diagramas de flujos de caja pueden referirse al punto de vista del prestamista o del prestatario, según las características del problema.

Ejemplo 1 Elabore un diagrama de flujo de caja desde el punto de vista de una empresa cuya cuenta corriente muestra los siguientes movimientos: Durante el sexto mes se recibe un ingreso por ventas de S/. 4 500. El pago de mano de obra del segundo mes equivale a S/. 15 500. El pago del alquiler del cuarto mes es S/. 1 700 por mes adelantado. El segundo mes se efectúa una cobranza por S/. 3 500. Ejemplo 2 La entidad A presta al señor B un monto de S/. 1 000 a una tasa de interés de 8% mensual y con plazo de pago a 30 días. Elabore el flujo de caja desde el punto de vista de la entidad A y B.

1.3 INTERÉS Al vincular los montos presentes y futuros podemos observar de la expresión Fn = P + In que la cantidad In, que es el interés, es el incremento del valor inicial P a lo largo de n períodos y que al final de este se ha transformado en un valor Fn, esto se puede interpretar así, el interés es la retribución monetaria adicional que se le hace al prestamista del capital por usar su dinero durante un período de tiempo determinado. De la ecuación Fn = P + In es sencillo notar que el interés también es la diferencia entre el capital final y el capital inicial que lo produjo: In = Fn - P. Se indicó que el monto inicial P se transforma durante n períodos en un monto Fn, la tasa de cambio a lo largo de un período es la tasa de interés que se calcula fácilmente expresando el importe del interés como un porcentaje del capital inicial: i% = In / P i% = (Fn - P) / P Donde: P: es el capital inicial. In: es el capital final luego de n períodos. i%: es la tasa de interés en el período [0 , n]. En este curso de ingeniería económica se usará los siguientes términos: • •

Tasa de costo efectivo (costo financiero): es la tasa de interés cuando se solicita un financiamiento y expresa en términos porcentuales el costo del financiamiento. Rentabilidad o ganancia: es la tasa de interés cuando se realiza una inversión.

-2-

a.

El interés simple

Una operación financiera se pacta a interés simple cuando el interés generado por un capital en un determinado período se calcula como un porcentaje siempre del mismo capital inicial al margen de la cantidad de períodos que el capital permanezca prestado o invertido. En este tipo de interés, como el capital es el mismo para el cálculo del importe del interés en cada período, el importe total de los intereses es proporcional a la cantidad de períodos de tiempo durante el cual ha estado prestado el capital inicial. Fórmula para el interés simple: Para deducir una fórmula que calcule el interés simple, sea un préstamo de S/. 1 000 con tasa de interés simple del 4% mensual. Por concepto de interés simple se calculan los intereses “siempre sobre el capital inicial y proporcional a la cantidad de períodos de tiempo”. Al final del primer mes, el interés generado por el capital inicial será: Interés = 1000 * 4% * 1 = 40 Al final del segundo mes, el interés generado por el capital inicial será: Interés = 1000 * 4% * 2 = 80 Al final del tercer mes, el interés generado por el capital inicial será: Interés = 1000 * 4% * 3 = 120 Al final del n-ésimo mes, el interés generado por el capital inicial será: Interés = 1000 * 4% * n Generalizando: In = P*i*n El capital final obtenido en el período n es la suma del capital inicial más los intereses: Fn = P + In ; pero In = P*i*n, reemplazando tenemos: Fn = P + P*i*n ; luego factorizando P: Fn = P(1 + i*n) Donde: P: monto del préstamo, principal, capital inicial, valor monetario hoy (t=0). i%: tasa de interés simple por período. n: cantidad de períodos. Importante: para aplicar las fórmulas anteriores es necesario respetar la correspondencia de tiempo entre las tasas y los períodos de tiempo, así por ejemplo: Si “i” es una tasa mensual, entonces, n es la cantidad de meses. Si “i” es una tasa trimestral, entonces, n es la cantidad de trimestres. Si “i” es una tasa anual, entonces, n es la cantidad de años. Ejemplo 3 ¿Cuál es el interés y el capital final obtenido por S/. 100 prestados durante tres meses con una tasa de interés simple de 17% mensual? También calcule el interés acumulado en 74 días.

-3-

b.

El interés compuesto

Una operación financiera se pacta a interés compuesto cuando el interés generado por un capital en un período se capitaliza, es decir, se suma al capital inicial del período, formando un nuevo capital, que será el capital inicial del siguiente período y que en este período generará un nuevo interés. Este proceso se repite sucesivamente durante cada período hasta llegar al plazo pactado. Capitalización: Se denomina capitalización al proceso de transformar el interés calculado en cada período en capital al final de cada período de capitalización, en otras palabras: “El interés generado en un período se suma al capital inicial en dicho período para formar el nuevo capital inicial del siguiente período” Ejemplo 4 ¿Cuál es el interés y el capital final obtenido por S/. 100 prestados durante tres meses con una tasa de interés compuesta de 17% mensual? De la definición se puede inferir que el interés al final de un determinado período ya no es proporcional a la cantidad de períodos transcurridos, entonces, cómo se calcula este interés en el régimen de interés compuesto.

Fórmula para el interés compuesto: Fn

En general:

0

1

2

3

P

En el primer período [0 , 1]: F = P + intereses F = P + P*t*i

F1

t=1

F1 = P(1 + i) 0

1

P

-4-

...

n

En el segundo período [1 , 2]: F = P + intereses F = Pt=1 + Pt=1*t*i

t=1

F2 = Pt=1(1 + i) F2 = P(1 + i) (1 + i)

F2

F2

2

F2 = P(1 + i)

0

1

2

1

2

1

Pt=1 = P(1 + i)

P En el tercer período [2 , 3]:

F = P + intereses F = Pt=2 + Pt=2*t*i

t=1

F3 = Pt=2(1 + i) 2

F3

F3 = P(1 + i) (1 + i)

F3

3

F3 = P(1 + i)

0

1

2

3

2

2

Pt=2 = P(1 + i) P Al final del n-ésimo período: n

Fn = P(1 + i)

Expresión fundamental

Donde: P: monto del préstamo, principal, capital inicial, valor monetario hoy (t=0). i%: tasa de interés compuesto por período. n: cantidad de períodos. Fn: valor monetario o capital final al final del n-ésimo período.

1.4 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA El concepto de equivalencia en Ingeniería Económica indica que dos montos son equivalentes si al evaluar esos flujos de caja en una fecha común, todos muestran el mismo valor. Es importante resaltar que el cálculo de dicha valor en esa fecha común debe considerar el concepto del valor del dinero en el tiempo. El concepto de equivalencia también se entiende como indiferencia entre un pago futuro o una serie de pagos futuros en vez de una suma de dinero el día de hoy.

-5-

3

Así por ejemplo: Si la tasa de interés es 2% mensual y se mes entonces: Si el monto en F1 es igual a S/. 1020. F1 = S/. 1020? Si el monto en F1 es igual a S/. 1030. F1 = S/. 1030? Si el monto en F1 es igual a S/. 1050. F1 = S/. 1050?

deposita un capital inicial de S/. 1 000 durante un ¿El capital inicial de S/. 1 000 es equivalente a ¿El capital inicial de S/. 1 000 es equivalente a ¿El capital inicial de S/. 1 000 es equivalente a

Para el primer caso: Fn = P(1 + i)n F1 = 1000(1 + 2%)1 = S/. 1020 Sea la fecha común t=1 vemos que los valores S/. 1 020 ; S/. 1 030 y S/. 1 050 no son iguales, entonces por definición S/. 1 020 es equivalente a S/. 1 000 en t=0 a la tasa de interés de 2% mensual, pero S/. 1 000 no es equivalente a S/. 1 030 en t=1 ni a S/. 1 050 en t=1 a la tasa de interés del 2% mensual. Ahora usted responda: ¿Los S/. 1 000 a qué tasa de interés será equivalente a S/. 1 030 en t=1? ¿Los S/. 1 000 a qué tasa de interés será equivalente a S/. 1 050 en t=1? De los ejemplos anteriores se concluye que el monto de dinero M hoy es equivalente a M más intereses, dada cierta tasa de interés en un período de tiempo determinado, es decir, para otros valores de tasa de interés no podemos afirmar que dichos importes sean equivalentes. En términos prácticos, equivalencia es tener igual valor o comparar en condiciones similares un monto, esto se aplicará definiendo primero un punto del tiempo (fecha de evaluación) y se trasladará los importes de dinero hasta esa fecha usando una tasa de interés, en otras palabras: “Lo que está arriba es igual a lo que está abajo, comparado en un mismo punto de tiempo” Ejemplo 5 El día de hoy se otorga un préstamo por un valor de S/. 5 000 a una tasa de interés compuesta del 15% mensual. Las cuotas a desembolsar por el crédito recibido serán tres. El primer pago se realiza en el primer mes por un valor de S/. 1 000. El segundo pago se realiza el segundo mes y el monto es S/. 2 000. ¿Cuál es el valor de la tercera cuota por pagar en el cuarto mes para cancelar el préstamo? Ejemplo 6 Determine el importe de X que usted deberá cobrar en el quinto mes para un préstamo que hizo por un monto de S/. 15 000 si la tasa es 3% compuesta mensual. La primera cuota que se cobrará el primer mes será de S/. 4 800, en el tercer mes S/. 5 100, y S/. 3 000 en el cuarto mes. El problema lo resolverá de la siguiente manera: a) b) c)

De forma detallada usando el concepto de capitalización y sin usar la expresión fundamental. n Utilizando concepto de equivalencia y la expresión fundamental Fn = P(1 + i) . Compare sus resultados con lo calculado en a) y además interprete económicamente el valor de X.

-6-

Si ahora la tasa es 2.8% efectiva mensual y con el valor de X antes calculado y las mismas cuotas del primer, tercer y cuarto mes se pide lo siguiente: d) e)

Determine el valor equivalente en t=0 e interprete económicamente sus resultados. Calcule el valor equivalente en t=3 y en t=4.

Si ahora la tasa es 3.5% efectiva mensual y con el valor de X antes calculado y las mismas cuotas del primer, tercer y cuarto mes se pide lo siguiente: f)

Resuelva nuevamente las preguntas d) y e). Interprete sus resultados.

-7-

-8-

CAPÍTULO 2 FACTORES DE EQUIVALENCIA

Los factores de equivalencia que se mostrarán en este capítulo sólo utilizan tasas de interés n compuesto porque sus deducciones usan la expresión fundamental Fn = P(1 + i) la cual incorpora en su demostración el concepto de capitalización.

2.1 FACTORES DE PAGO ÚNICO (PAGOS SIMPLES)

2.1.1

Valor presente de un pago simple (P/F) Fn

0

1

2

3

4

…

n-1

n

P=? i Donde: P=?: valor presente. Fn: valor futuro. i: tasa de interés compuesta en cada período. n: cantidad de períodos. n

Despejando P de la expresión fundamental Fn = P(1 + i) tenemos la expresión para calcular el valor presente de un monto único Fn en el futuro: Fn P = n

(1 + i) Notación:

1 (P/F , i , n) = n

(1 + i)

(P/F , i , n) es el factor de actualización de un pago único y se lee “P dado F”. A la operación de calcular el valor presente P a partir de Fn se le denomina “actualización del monto Fn o descuento del monto Fn “. Luego:

P = Fn(P/F , i , n)

-9-

2.1.2

Valor futuro de un pago simple (F/P) Fn = ?

0

1

2

3

4

…

n-1

n

P i

Donde: P: valor presente. Fn=?: valor futuro. i: tasa de interés compuesta en cada período. n: cantidad de períodos. n

De la expresión fundamental Fn = P(1 + i) Notación:

(F/P , i , n) = (1 + i)n (F/P , i , n) es el factor de capitalización de un pago único y se lee “F dado P”. A la operación de calcular el valor presente Fn a partir de P se le denomina “capitalización del monto P “. Luego:

Fn = P(F/P , i , n)

2.2 SERIE DE PAGOS UNIFORME (ANUALIDAD) 2.2.1

Valor presente de una serie de pagos uniforme

Pt=0 = ? i

0

1

2

3

4

…

A

- 10 -

n-1

n

Donde: P=?: valor presente de la serie de pagos uniforme. A: monto constante desembolsado cada período. i: tasa de interés compuesta en cada período. n: cantidad de períodos. A continuación, se presenta la deducción del factor para calcular el monto “P” en el tiempo t=0, dados “n” montos iguales a “A”, una tasa de interés compuesta “i%” en cada período y “n” períodos de tiempo iguales. El valor presente de cada uno de los montos “A” en t=0: P

= A(P/F , i , 1) + A(P/F , i , 2) + A(P/F , i , 3) + … +

P

=

A

A

+

1

+

2

(1 + i)

(1 + i)

A

+…+

3

(1 + i)

A(P/F , i , n-1) A n-1

+ +

(1 + i)

A(P/F , i , n) A n

…(1)

(1 + i)

Multiplicando la expresión (1) por (1 + i):

P(1 + i) =

A

A

+

+

1

(1 + i)

A

+…+

2

(1 + i)

A n-2

(1 + i)

+

A

Luego restando (2) - (1):

A

P(1 + i) - P = A -

n

(1 + i ) n

Pi =

A(1 + i) - A n

(1 + i) Finalmente:

n

P

=

A

(1 + i) - 1 n

(1 + i) i

Notación: n

(P/A , i , n) =

(1 + i) - 1 n

(1 + i ) i

(P/A , i , n) es el factor de actualización de una serie de pagos uniforme y se lee “P dado A”. Luego:

P = A(P/A , i , n)

- 11 -

n-1

(1 + i)

…(2)

2.2.2

Valor presente de una serie de pagos uniforme infinita

En este caso la serie de pagos uniforme es infinita, es decir, la cantidad de pagos n → ∞. Pt=0 = ? i

0

1

2

3

4

…

∞

A Para calcular el valor presente de esta serie se calcula el límite de la expresión (P/A , i , n) cuando n → ∞. P

=

n

lim n→∞

A

(1 + i) - 1

∞

;

n

∞

(1 + i) i

n

Al dividir el numerador y denominador entre (1 + i) para levantar la indeterminación:

(1 + i) P

=

(1 + i)

lim n→∞

n n

1 (1 + i)

A n

(1 + i) i (1 + i)

P

= A

n

lim

1-0

n→∞

i

n

Finalmente: P=

A i

- 12 -

2.2.3

Valor futuro de una serie de pagos uniforme Fn = ? i

0

1

2

3

4

…

n-1

n

A

Sabemos que el valor presente de una serie de pagos uniforme es: n

P

=

A

(1 + i) - 1 n

(1 + i) i Además: Fn = P(F/P , i , n) …(1) Reemplazando P en la expresión (1): n

Fn

=

A

(1 + i) - 1 n

(F/P , i , n)

(1 + i) i

n

(1 + i) - 1 Fn

=

A n

(1 + i)

n

(1 + i) i Finalmente: n

Fn

=

A

(1 + i) - 1 i

Notación: n

(1 + i) - 1 (F/A , i , n) = i (F/A , i , n) es el factor de capitalización de un serie uniforme de pagos y se lee “F dado A”. Luego:

Fn = A(F/A , i , n)

- 13 -

2.3 SERIE DE PAGOS CON GRADIENTE LINEAL Los flujos de efectivo pueden aumentar o disminuir de un período a otro según un monto constante; a este importe se le denomina la gradiente lineal o aritmética y su flujo de caja se muestra a continuación: A + (n-1)G A + (n-2)G

Pt=0 = ?

A + 2G A+G A

(n-1)G A

(n-2)G

=

…

+

2G

…

G

…

<> 0

0

1

2

3 … n-1

n

0

1

i Serie de pagos con gradiente lineal

2

3 … n-1

n

0

i Serie de pagos uniforme

1

2

3 … n-1

i Serie triángulo de pagos

Del gráfico se observa que la serie de pagos con gradiente lineal se puede expresar como la suma de un flujo uniforme de pagos y una serie triángulo, asimismo, su valor presente es: Pt=0 = P t=0 serie de pagos uniforme + P t=0 serie triángulo de pagos

Pt=0 = A(P/A , i , n) + P t=0 serie triángulo de pagos 2.3.1

Valor presente de una serie triángulo de pagos Pt=0 = ? (n-1)G (n-2)G 2G G <> 0

0

1

2

3 … n-1

n

i Donde: P=?: valor presente de la serie triángulo de pagos. G: cambio aritmético constante del monto de un período al siguiente. (También llamada la gradiente lineal o gradiente aritmética). i: tasa de interés compuesta en cada período. n: cantidad de períodos.

- 14 -

n

A continuación, se presenta la deducción de la expresión para calcular el monto “P” en el tiempo t=0, dados la gradiente lineal G, una tasa de interés compuesta “i%” en cada período y “n” períodos de tiempo iguales. El valor presente de cada uno de los montos en t=0: P

=

P

=

G(P/F , i , 2)

+ 2G(P/F , i , 3) + 3G(P/F , i , 4) + … +

G

2G

(1 + i)

+

2

(1 + i)

(n-2)G(P/F , i , n-1)

3G +

3

(1 + i)

(n-1)G(P/F , i , n)

+

(n-2)G +…+

4

(1 + i)

(n-1)G +

n-1

(1 + i)

…(1)

n

Multiplicando la expresión (1) por (1 + i): G P(1 + i)

2G

= (1 + i)

+

1

(1 + i)

(n-2)G

3G +

2

(1 + i)

+…+

3

(1 + i)

(n-1)G +

n-2

(1 + i)

…(2)

n-1

Luego restando (2) - (1): G P(1 + i) - P

G

= (1 + i)

(1 + i)

G Pi

G

+

1

(1 + i)

(1 + i)

(1 + i)

1 = G (1 + i)

+…+

2

(1 + i)

1

(1 + i)

(1 + i)

n

(1 + i)

n-1

(1 + i)

+ (1 + i)

n

nG

1

+…+

2

(1 + i)

G n-1

(n-1)G

-

n-1

+

1

+

1

(1 + i)

G

+

1

+…+

3

G

=

Pi

G

+

2

n

n

nG

-

(1 + i)

Observe que la expresión entre corchetes es el factor (P/A , i , n): n

Pi

= G

(1 + i) - 1

nG

-

n

(1 + i)

(1 + i) i

n

Finalmente: n

P

= G

(1 + i) - 1 n 2

(1 + i) i

n -

n

(1 + i) i

También: P

=

G i

(P/A , i , n) -

n (P/F , i , n)

Notación: n

(P/G , i , n) =

(1 + i) - 1 n 2

(1 + i) i

-

n n

(1 + i) i

(P/G , i , n) es el factor de actualización de un serie triángulo de pagos y se lee “P dado G”. Luego:

P = G(P/G , i , n)

- 15 -

n

2.3.2

Valor presente de una serie de pagos con gradiente lineal

Reemplazando P = G(P/G , i , n) en la expresión: Pt=0 = A(P/A , i , n) + P t=0 serie triángulo de pagos

Pt=0 = A(P/A , i , n) + G(P/G , i , n) 2.4 SERIE DE PAGOS CON GRADIENTE GEOMÉTRICA A menudo los flujos de efectivo aumentan o disminuyen de un período a otro según un porcentaje constante; esta tasa de cambio define la llamada serie de pagos con gradiente geométrica y su flujo de caja se muestra a continuación: A*(1+g)

n-1

Pt=0 = ?

A*(1+g)

A*(1+g)

n-2

2

A*(1+g) A*

…

<> 0

0

1

2

3 …

n-1

n

i Donde: P=?: valor presente de la serie de pagos con gradiente geométrica. A*: monto inicial en el primer período. g: porcentaje de aumento o disminución de un período al siguiente. i: tasa de interés compuesta en cada período. n: cantidad de períodos.

2.4.1

Valor presente de una serie de pagos con gradiente geométrica

A continuación, se presenta la deducción de la expresión para calcular el monto “P” en el tiempo t=0, dados la gradiente geométrica “g%”, una tasa de interés compuesta “i%” en cada período y “n” períodos de tiempo iguales. El valor presente de cada uno de los montos en t=0: P

=

P

=

A*(P/F , i , 1)

+

A* (1 + i)

1

+

1 A*(1 + g) (P/F , i , 2) + … + A*(1 + g)n-2(P/F , i , n-1)

A*(1 + g) (1 + i)

2

1

+

A*(1 + g) (1 + i)

2

3

- 16 -

+…+

A*(1 + g) (1 + i)

+ A*(1 + g)n-1(P/F , i , n)

n-2

n-1

+

A*(1 + g) (1 + i)

n-1

n

…(1)

Multiplicando la expresión (1 + g) / (1 + i): P(1 + g)

A*(1 + g)

= (1 + i)

(1 + i)

1

A*(1 + g)

+

2

(1 + i)

3

2

A*(1 + g)

+

(1 + i)

4

3

+…+

A*(1 + g) (1 + i)

n-1

n

+

A*(1 + g) (1 + i)

n

n+1

Luego restando (2) - (1): P(1 + g)

-P =

(1 + i)

P(g - i)

A*

-

(1 + i)

-

=

(1 + i)

1

(1 + i)

A* (1 + i)

n

n+1

(1 + g)

-

1

1

A*(1 + g)

+

(1 + i)

n

n

Finalmente: n

P

=

A*

1

-

(1 + g)

; i≠g

n

(1 + i)

(α α)

i-g

Notación: n

(P/A* , i , g, n )

=

1

(1 + g)

-

n

(1 + i)

; i ≠g

i-g

(P/A* , i , g , n) es el factor de actualización de un serie de pagos con gradiente geométrica y se lee “P dado “g” geométrico”. Luego:

P = A*(P/A* , i , g , n)

- 17 -

…(2)

- 18 -

CAPÍTULO 3 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y TASA DE INTERÉS EFECTIVA

3.1 TASA NOMINAL Es una tasa de tipo referencial a partir de la cual se definen las tasas de interés efectivas usando períodos de capitalización. La tasa de interés nominal no es la que se usa para el proceso de capitalización de intereses. La proporcionalidad de la tasa nominal in puede efectuarse directamente a través de una regla de tres simple considerando las siguientes equivalencias de tiempo según el sistema bancario: 1 año = 360 días. 1 mes = 30 días. 1 mes = (30/7) semanas. 1 mes = 2 quincenas. Ejemplo 1 ¿Cuál será la tasa nominal diaria y nominal mensual correspondiente a una tasa nominal anual del 24%? inominal diaria*360 = inominal anual inominal diaria = 24%/360 inominal diaria = 0.066%

inominal mensual*12 = inominal anual inominal mensual = 24%/12 inominal mensual = 2%

Ejemplo 2 Calcule: La tasa nominal cuatrimestral a partir de una tasa nominal anual del 24%. La tasa nominal trimestral a partir de una tasa nominal semestral del 12%. La tasa nominal de 22 días a partir de una tasa nominal trimestral del 15%.

3.2 TASA EFECTIVA Es la tasa de interés que sí considera el proceso de capitalización. A menudo una tasa nominal anual capitaliza en períodos de tiempo menores o iguales a un año, estos períodos de tiempo son los períodos de capitalización. 1) in TASA NOMINAL en un período base (con frecuencia el período base es anual) 2) Período de capitalización

Tasa efectiva en el período de capitalización

- 19 -

: ief =

in N

Ejemplo 3 in = 50% nominal anual Capitalización trimestral P = S/. 100 (capital inicial) ¿Cuál es el valor dentro de un año? F 12.5% efectiva trimestral

0

1

2

1 año 4 trimestres

3

P

Ejemplo 4 in = 50% nominal anual Capitalización mensual. P = S/. 100 (capital inicial) ¿Cuál es el valor dentro de un año? F

4.166% efectiva mensual

… 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

P

Ejemplo 5 in = 30% nominal semestral Capitalización trimestral Hallar la tasa efectiva trimestral Primera forma: inominal ief = N 30% ief = 2 ief = 15% efectiva trimestral

Segunda forma:

- 20 -

10

11

1 año 12 meses

3.2.1

Cálculo de la tasa efectiva anual a partir de la tasa nominal anual

Tasa efectiva en cada período de capitalización

in nominal anual =

F

F

N iE efectiva anual

0

0

1 año

1 año

N P

Períodos de capitalización

P

F = F (el mismo valor futuro en ambos flujos) N P

1

+

in

=

N

P

1

+

iE

N iE

=

1

+

in N

- 1

…β

iE: tasa de interés efectiva anual. in: tasa de interés nominal anual. N: cantidad de períodos de capitalización comprendidos en un año. Ejemplo 6 Determine la tasa de interés efectiva anual si la tasa de interés nominal anual es 20% y la capitalización trimestral.

Importante: La tasa de interés efectiva siempre es mayor o igual a la tasa de interés nominal comparadas sobre la misma base de tiempo. Verifiquemos esto examinando los ejemplos 3 y 4 anteriores (ver página 18).

Cuando el período base es igual al período de capitalización entonces: inominal = iefectiva Ejemplo 7 Determine la tasa de interés efectiva anual si la tasa de interés nominal anual es 50% y la capitalización anual.

- 21 -

3.2.2

Cálculo de tasas de interés efectivas con capitalización continua

A medida que el período de capitalización se hace más corto, el valor de N aumenta; cuando N tiende al infinito la capitalización de intereses ocurre en forma continua y en este caso la expresión β (ver página 19) se transforma en:

iE = e

in

- 1

Demostración: Recordemos que:

3.2.3 a.

Cálculo de tasas de interés efectivas

Tasas efectivas equivalentes

Son tasas que generan el mismo monto final si se deposita el mismo capital inicial, durante el mismo período de tiempo. Ejemplo 8 in = 30% nominal anual Capitalización cuatrimestral P = S/. 200 (capital inicial) ¿Cuál es el valor futuro en el segundo año? i = 10% efectiva cuatrimestral

i = 77.156% efectiva en dos años F

0

1

2

3

4

5

6 cuatrimestres <> 2 años

i = 33.100% efectiva anual F

F

0

0 2 años

P

P

1 año P

- 22 -

2 años

b.

Determinación de una tasa efectiva a partir de otra tasa efectiva

Tasas efectivas equivalentes cuando:

b1. El período requerido es mayor que el período de capitalización Ejemplo 9 Para la tasa nominal anual de 40% capitalizable mensualmente, calcular la tasa efectiva equivalente trimestral, la tasa efectiva equivalente cuatrimestral y la tasa efectiva equivalente anual. in = 40% nominal anual Capitalización mensual

También: i = 3.333% efectiva mensual

i = ? efectiva trimestral

F

0

100

1

2

F

3 meses

0

100

- 23 -

3 meses <> 1 trimestre

b2. El período requerido es menor que el período de capitalización Ejemplo 10 Para la tasa nominal trimestral de 18% capitalizable mensualmente, calcule la tasa efectiva equivalente diaria y la tasa efectiva equivalente quincenal. in = 18% nominal trimestral Capitalización mensual

También: i = 6% efectiva mensual

i = ? efectiva diaria F

0

100

…

1 mes

0

100

- 24 -

1

2

3

…

F

30 días

Ejemplo 11 Para la tasa de interés efectiva semestral de 60%, determine la tasa de interés efectiva semanal equivalente, la tasa efectiva para un período de 45 días, la tasa efectiva anual equivalente y la tasa efectiva diaria equivalente.

Ejemplo 12 Hallar la tasa de interés efectiva anual, si la tasa nominal es 17% anual y la capitalización continua. in=17% nominal anual Capitalización continua in iE = e - 1 0.17 iE = e -1 iE = 18.530% efectiva anual Ejemplo 13 Hallar la tasa de interés efectiva anual equivalente, si la tasa nominal es 12% trimestral y la capitalización continua. Primera forma: Segunda forma: in=12% nominal trimestral Capitalización continua in iE = e - 1 0.12 -1 iE = e iE = 12.749% efectiva trimestral ianual = (1 + 12.749%)4 - 1 = 61.603% efectiva anual Ejemplo 14 Un banco paga por ahorros una tasa del 18% efectiva anual con capitalización bimestral. ¿Cuál es la tasa de interés nominal anual?

- 25 -

3.3 INTERESES PAGADOS POR ADELANTADO En el sistema financiero algunas operaciones se calculan con el interés pagado por adelantado, es decir, el interés se calcula a la fecha de vencimiento pero el pago se exige no en esa fecha sino en el momento del desembolso del préstamo. Sea: P = S/. 100 (préstamo) iv = 15% efectiva mensual Plazo = un mes P = 100

0

1 mes

P = 100

(devolución)

I = iv*P = 15 (intereses) Tasa de costo efectivo = 15% efectiva mensual Si el prestamista exige que el pago de los intereses sea por adelantado: Flujo de caja del prestatario: 100

0

85

1 mes

0

1 mes

15 100

100

Tasa de costo efectivo, o costo financiero: 85 = 100(P/F , i , 1) i = 17.647% efectiva mensual Efectos en el prestatario: 1. En t=0 la disponibilidad de dinero en el momento inicial disminuye debido al pago adelantado de los intereses: (S/. 100 > S/. 85). 2. El costo del préstamo, con el interés pagado por adelantado, aumenta: 17.647% efectiva mensual > 15% efectiva mensual. A la tasa del 17.647% se le denomina tasa efectiva adelantada. A continuación se demostrará una fórmula que a partir de la tasa de interés efectiva al vencimiento permita calcular la tasa de interés efectiva adelantada.

- 26 -

En general: Sea P el monto prestado con plazo igual a un período y una tasa de interés al vencimiento de iv% efectiva en dicho período.

Flujo de caja con intereses al vencimiento:

Flujo de caja con intereses adelantados:

iv: tasa de interés efectiva al vencimiento

P

1

0

iad: tasa de interés efectiva adelantada

P

1

0

iv*P P

P

iv*P

En el flujo de caja con intereses adelantados:

Ejemplo 15 Qué ocurre si usted pide un préstamo de S/. 100 con las siguientes condiciones: P = S/. 100 (préstamo) iv = 15% efectiva mensual interés pagado por adelantado Plazo = un mes

P = S/. 100 (préstamo) iv = 17.647% efectiva mensual interés pagado al vencimiento Plazo = un mes

85

100

0

1 mes

0

100

1 mes

100 + 100*17.647%

Tasa de costo efectivo: i=

15%

Como no hay comisión de apertura:

1 - 15% iad =

17.647%

efectiva mensual adelantada

iv =

- 27 -

17.647%

efectiva mensual al vencimiento

= 117.647

Conclusión: El préstamo de P = S/. 100 con tasa de interés de 15% efectiva mensual e intereses pagados por adelantado tiene el mismo costo financiero que un préstamo de P = S/. 100 con tasa de interés de 17.647% efectiva mensual con intereses pagados al vencimiento, sin embargo, en este caso la disponibilidad de dinero no disminuye en t=0 como sí ocurre en el con el interés por adelantado. Ejemplo 16 Qué ocurre si usted pide un préstamo con las siguientes condiciones: P = S/. 100 (préstamo) iv = 15% efectiva mensual interés pagado por adelantado Plazo = un mes

P = S/. 85 (préstamo) iv = 17.647% efectiva mensual interés pagado al vencimiento Plazo = un mes

85

85

0

1 mes

0

100 Tasa de costo efectivo: 15% i= 1 - 15% iad =

17.647%

efectiva mensual adelantada

1 mes

85 + 85*17.647%

= 100

Como no hay comisión de apertura:

iv =

17.647%

efectiva mensual al vencimiento

Conclusión: En este caso, el préstamo de P = S/. 100 con tasa de interés de 15% efectiva mensual al vencimiento y con intereses pagados por adelantado tiene el mismo costo financiero que un préstamo de P = S/. 85 con tasa de interés de 17.647% efectiva mensual con intereses pagados al vencimiento, asimismo, el flujo de caja es similar, sin embargo, en el caso de interés por adelantado la disponibilidad del dinero disminuye en t=0. Ejemplo 17 Calcule la tasa mensual y bimestral adelantada si la tasa es 90% nominal anual y la capitalización cuatrimestral e intereses pagados por adelantado.

- 28 -

3.3.1 Comparaciones de las tasas de interés efectivas al vencimiento y las tasas de interés efectivas adelantadas

TASA EFECTIVA VENCIDA DEL PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN

TASA ANUAL EFECTIVA VENCIDA

TASA EFECTIVA ADELANTADA DEL PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN

TASA ANUAL EFECTIVA ADELANTADA

TASA NOMINAL ANUAL

PERIODO DE CAPITALIZACIÓN

N

40%

Anual

1

40%

Anual

40.000%

66.667%

Anual

66.667%

40%

Semestral

2

20%

Semestral

44.000%

25.000%

Semestral

56.250%

40%

Trimestral

4

10%

Trimestral

46.410%

11.111%

Trimestral

52.416%

40%

Bimestral

6

6.667%

Bimestral

47.290%

7.143%

Bimestral

51.279%

40%

Mensual

12

3.333%

Mensual

48.213%

3.448%

Mensual

50.203%

40%

Diaria

12*30

0.111%

Diaria

49.149%

0.111%

Diaria

49.216%

40%

Horaria

24*12*30

0.0046%

Horaria

49.181%

0.0046%

Horaria

49.184%

40%

Por minuto

49.182%

7.716 x 10-5%

Por minuto

49.183%

60*24*360 7.716 x 10-5% Por minuto

.

. . .

. . .

Continua

49.182%

49.182%

. . 40%

Graficando: iE: tasa anual efectiva al vencimiento y tasa anual efectiva adelantada. N: cantidad de períodos de capitalización

iE

Tasa anual efectiva adelantada

in e -1

Tasa anual efectiva al vencimiento

in = ief

N

1

- 29 -

Del gráfico se obtiene las siguientes conclusiones para quien evalúa el crédito: 1.

Si se solicita un crédito con interés pagado al vencimiento, entonces, procurar que el período de capitalización sea lo mayor posible, es decir, que el valor de N sea lo menor posible. 2. Si se solicita un crédito con interés pagado por adelantado al inicio de cada período de capitalización, entonces, procurar que el período de capitalización sea lo menor posible, es decir, que el valor de N sea lo mayor posible. 3. Para un período de capitalización dado, siempre preferir el crédito con interés efectivo al vencimiento en vez del crédito con intereses pagados por adelantado.

- 30 -

4.

CAPÍTULO 4 OPERACIONES DE CRÉDITO

4.1 DEFINICIONES Monto del préstamo o principal (P). Amortización (A): pago gradual del préstamo en cada cuota de pago y que se efectúa en una o más períodos según las condiciones definidas por el prestamista. Intereses (I): es la ganancia del prestamista en cada período y que es pagada por el prestatario al cancelar la cuota de pago. Esta es la renta periódica del prestamista por el dinero que otorgó en préstamo. Cuota de pago (C): es el monto total que el prestatario paga cada período. Tiene dos componentes: amortización e intereses y se calcula así: Cuota = Amortización + Intereses La ecuación indica que en cada cuota el prestatario devuelve al prestamista una parte del préstamo que es la amortización, más el interés que es la ganancia. Saldo deudor (SD): es la cantidad del préstamo que aún está pendiente de pago en un determinado período y no incluye los intereses. En un período dado, el monto del saldo deudor más los intereses correspondientes del período es el monto total de la deuda. Modalidad de pagos: características de las cuotas de pago, tales como periodicidad y comportamiento de la amortización y las cuotas de pago. Calendario de pagos: en este cronograma, se presenta para cada período de pago, el saldo deudor inicial, amortización, intereses, cuota de pago, saldo deudor final y cualquier otro concepto desembolsado, tales como, comisión de apertura, portes, seguro de desgravamen, entre otros. Flujo de caja del crédito: es el diagrama que resume las obligaciones de pagos del prestatario en el plazo establecido y según la modalidad de pago definida por el prestamista. Tasa de interés efectiva del préstamo (iP): tasa pactada para el cálculo del importe de los intereses. Costo financiero, costo del crédito o tasa de costo efectivo (icf): es la tasa de interés efectiva que representa en términos porcentuales el costo del crédito para el prestatario ya que incluye todos los pagos que efectuará. Se obtiene aplicando equivalencia enfrentando el préstamos y los pagos expresados en un período de tiempo que a menudo es t=0. Período de gracia: períodos de tiempo en los cuales el prestatario sólo desembolsa el pago de intereses del período sin amortizar parte del principal.

- 31 -

4.2 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES En este tipo de crédito la amortización más los intereses suman en cada período una cantidad constante que es la cuota de pago y se cumple que las amortizaciones son crecientes y los intereses decrecientes. Ejemplo 10000 Principal: Plazo: 1 año Cuotas: bimestrales iguales 5% efectiva bimestral Tasa de interés: Cálculo de la cuota: P = Cuota(P/A , i , n) 10000 = Cuota(P/A , 5% , 6) Cuota = 1970.175 Calendario de pagos: Saldo Período deudor inicial 10000 1 8529.83 2 6986.14 3 5365.27 4 3663.36 5 1876.36 6

Amortización

Intereses

Cuota

1470.17 1543.68 1620.87 1701.91 1787.01 1876.36 10000

500.00 426.49 349.31 268.26 183.17 93.82

1970.17 1970.17 1970.17 1970.17 1970.17 1970.17

Saldo deudor final 8529.83 6986.14 5365.27 3663.36 1876.36 0

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el monto de la cuota, previamente calculado, en cada período. 2. Calcule los intereses multiplicando la tasa de interés efectiva del préstamo en el período de pago por el saldo deudor inicial del período: Interesesi = iP* Saldo deudor iniciali 3. Calcule la amortización con la siguiente expresión: Amortización = Cuota - Intereses 4. El saldo deudor final en cada período se calcula así: Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali - Amortizacióni 5. El saldo deudor inicial en cada período se calcula así: Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali-1 Donde: i representa el período

- 32 -

4.3 CRÉDITO CON AMORTIZACIÓN CONSTANTE (CUOTAS DECRECIENTES) En esta modalidad el prestatario amortiza la deuda en partes iguales durante los períodos del plazo pactado y se cumple que los intereses y las cuotas de pago decrecen cada período según una gradiente lineal. Ejemplo 10000 Principal: Plazo: 1 año Cuotas: bimestrales con amortización constante Tasa de interés: 5% efectiva bimestral Cálculo de la amortización: A=P/n A = 10000 / 6 A = 1666.667 Calendario de pagos: Saldo Período deudor inicial 10000 1 8333.33 2 6666.67 3 5000.00 4 3333.33 5 1666.67 6

Amortización

Intereses

Cuota

1666.67 1666.67 1666.67 1666.67 1666.67 1666.67 10000

500.00 416.67 333.33 250.00 166.67 83.33

2166.67 2083.33 2000.00 1916.67 1833.33 1750.00

Saldo deudor final 8333.33 6666.67 5000.00 3333.33 1666.67 0

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el monto de la amortización, previamente calculado, en cada período. 2. Calcule los intereses multiplicando la tasa de interés efectiva del préstamo en el período de pago por el saldo deudor inicial del período: Interesesi = iP* Saldo deudor iniciali 3. Calcule la cuota con la siguiente expresión: Cuota = Amortización + Intereses 4. El saldo deudor final en cada período se calcula así: Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali - Amortizacióni 5. El saldo deudor inicial en cada período se calcula así: Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali-1 Donde: i representa el período

- 33 -

4.4 CRÉDITO CON CUOTAS CRECIENTES (SUMA DE DÍGITOS) Con esta modalidad de crédito las cuotas de pago crecen conforme transcurre el tiempo y la amortización se calcula con el método de la “suma de dígitos” que a continuación se expone: Ejemplo 10000 Principal: Plazo: 1 año Cuotas: crecientes bimestrales por suma de dígitos Tasa de interés: 5% efectiva bimestral Cálculo de las amortizaciones: S = Suma de dígitos anuales S = n(n+1)/2 Factor de amortización = ft = t / S ; ft<1 La amortización es una proporción del principal Amortización = ft * P S = 6(6+1)/2 = 21 Calendario de pagos: Saldo Período deudor inicial 10000 1 9523.81 2 8571.43 3 7142.86 4 5238.10 5 2857.14 6

Amortización

Intereses

Cuota

Saldo deudor final 9523.81 8571.43 7142.86 5238.10 2857.14 0

476.19 500.00 976.19 952.38 476.19 1428.57 1428.57 428.57 1857.14 1904.76 357.14 2261.90 2380.95 261.90 2642.86 2857.14 142.86 3000 10000 Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el monto de la amortización, previamente calculado, en cada período.

2. Calcule los intereses multiplicando la tasa de interés efectiva del préstamo en el período de pago por el saldo deudor inicial del período: Interesesi = iP* Saldo deudor iniciali 3. Calcule la cuota con la siguiente expresión: Cuota = Amortización + Intereses 4. El saldo deudor final en cada período se calcula así: Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali - Amortizacióni 5. El saldo deudor inicial en cada período se calcula así: Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali-1 Donde: i representa el período

- 34 -

Calculando la tasa de costo efectivo icf:

10000

0

1

2

3

4

5

6 bimestres

976.19 1428.57 1857.14

2261.90

2642.86 3000 Equivalencia en t=0: 10000 = 976.19(P/F , icf , 1) + 1428.57(P/F , icf , 2) + 1857.14(P/F , icf , 3) + + 2261.90(P/F , icf , 4) + 2642.86(P/F , icf , 5) + 3000(P/F , icf , 6) icf = 5% efectiva bimestral Si hay comisión de apertura de 1%: 10000

0

1

2

3

4

5

6 bimestres

100 976.19 1428.57 1857.14

2261.90 2642.86

3000

Equivalencia en t=0: 10000 - 100 = 976.19(P/F , icf , 1) + 1428.57(P/F , icf , 2) + 1857.14(P/F , icf , 3) + + 2261.90(P/F , icf , 4) + 2642.86(P/F , icf , 5) + 3000(P/F , icf , 6) icf = 5.267% efectiva bimestral > 5% efectiva bimestral

- 35 -

4.5 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES Y PERÍODOS DE GRACIA Ejemplo 10000 Principal: Plazo: 6 trimestres Cuotas: trimestrales iguales Período de gracia: 2 trimestres Tasa de interés: 7% efectiva trimestral Cálculo de la cuota: P = Cuota*(P/A , i , n) Cantidad de períodos en los que se amortiza la 10000 = Cuota*(P/A , 7% , 4) deuda Cuota = 2952.281 6-2=4 Interes en el período de gracia = 10000*7% = 700 Estos intereses son iguales en los períodos de gracia porque en ellos no se amortiza el principal (amortización igual a cero). Calendario de pagos: Saldo Período deudor inicial 10000 1 10000 2 10000 3 7747.72 4 5337.78 5 2759.14 6

Amortización

Intereses

Cuota

0 0 2252.28 2409.94 2578.64 2759.14 10000

700.00 700.00 700.00 542.34 373.64 193.14

700.00 700.00 2952.28 2952.28 2952.28 2952.28

Saldo deudor final 10000 10000 7747.72 5337.78 2759.14 0

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el monto de la cuota, previamente calculado, en cada período, excepto en los períodos de gracia. 2. Calcule los intereses multiplicando la tasa de interés efectiva del préstamo en el período de pago por el saldo deudor inicial del período: Interesesi = iP* Saldo deudor iniciali 3. Calcule la amortización con la siguiente expresión: Cuota = Amortización + Intereses En los períodos de gracia, la cuota es igual a los intereses porque la amortización es cero. 4. El saldo deudor final en cada período se calcula así: Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali - Amortizacióni 5. El saldo deudor inicial en cada período se calcula así: Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali-1 Donde: i representa el período

- 36 -

Calculando la tasa de costo efectivo icf:

10000

0

1

2

3

4

5

6 trimestres

5

6 trimestres

700 2952.28 Equivalencia en t=0: 10000 = 700(P/A , icf , 2) + 2952.28(P/A , icf , 4)(P/F , icf , 2) icf = 7% efectiva trimestral Si hay comisión de apertura de 1%: 10000

0

1

2

3

4

100 700 2952.28 Equivalencia en t=0: 10000 -1%*1000 = 700(P/A , icf , 2) + 2952.28(P/A , icf , 4)(P/F , icf , 2) icf = 7.266% efectiva trimestral > 7% efectiva trimestral

- 37 -

4.6 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES E INTERESES PAGADOS POR ADELANTADO Ejemplo 10000 Principal: 4 meses Plazo: Cuotas: mensuales iguales Tasa de interés: 2% efectiva mensual intereses pagados por adelantado iadelantado =

iv 1 - iv

; iv: tasa de interés al vencimiento

Cálculo de la cuota: C = ( P - iv*P ) * (A/P , iadelantado , n) interés pagado por adelantado Con los datos: iadelantado = 0.02 / (1 - 0.02) iadelantado = 2.041% efectiva mensual adelantada iv*P = 2%*10000 iv*P = 200 C = (10000 - 200)(A/P , 2.041% , 4) C = 2576.26 Calendario de pagos: Saldo Período deudor inicial

Amortización

Intereses

Cuota

Saldo deudor final

0

10000

1

10000

2424.76

151.50

2576.26

7575.24

2

7575.24

2474.24

102.02

2576.26

5101.00

3

5101.00

2524.74

51.53

2576.26

2576.26

4

2576.26

2576.26 10000

0

2576.26

0

200.00

10000

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el monto de la cuota, previamente calculado, en cada período. 2. Coloque un monto igual a cero para los intereses del último período de pago del préstamo, porque los intereses se pagan en el período anterior ya que la modalidad es con intereses pagados por adelantado. 3. Coloque un monto igual a cero para el saldo deudor final del último período de pago del préstamo. 4. Calcule la amortización con la siguiente expresión: Amortización = Cuota - Intereses

- 38 -

5. El saldo deudor inicial en cada período se calcula así: Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali + Amortizacióni 6. El saldo deudor final en cada período se calcula así: Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali+1 7. Los intereses se calculan con la tasa de interés efectiva del préstamo al vencimiento de la siguiente manera: 1

Interesesi = iv *Saldo deudor iniciali+1 Donde: i representa el período 4.7 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES, PERÍODOS DE GRACIA E INTERESES PAGADOS POR ADELANTADO Ejemplo 10000 Principal: 7 meses Plazo: Cuotas: mensuales iguales Tasa de interés: 2% efectiva mensual intereses pagados por adelantado Períodos de gracia: 2 meses iadelantado =

iv 1 - iv

; iv: tasa de interés al vencimiento

Cálculo de la cuota: C = ( P - iv*P ) * (A/P , iadelantado , n)

Cantidad de períodos en los que se amortiza la deuda

interés pagado por adelantado Con los datos: iadelantado = 0.02 / (1 - 0.02) iadelantado = 2.041% efectiva mensual adelantada iv*P = 2%*10000 iv*P = 200 C = (10000 - 200)(A/P , 2.041% , 5) C = 2081.62

1

7-2=5

Es la tasa al vencimiento, si tiene dudas consulte el acápite 3.4.

- 39 -

Calendario de pagos: Saldo Período deudor inicial

Amortización

Intereses

Cuota

Saldo deudor final

0

10000

1

10000

0

200.00

200.00

10000

2

10000

0

200.00

200.00

10000

3

10000

1920.02

161.60

2081.62

8079.98

4

8079.98

1959.20

122.42

2081.62

6120.78

5

6120.78

1999.18

82.43

2081.62

4121.60

6

4121.60

2039.98

41.63

2081.62

2081.62

7

2081.62

2081.62 10000

0

2081.62

0

200.00

10000

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el monto de la cuota, previamente calculado, en cada período, excepto en los períodos de gracia. 2. Coloque un monto igual a cero para los intereses del último período de pago del préstamo, porque los intereses se pagan en el período anterior ya que la modalidad es con intereses pagados por adelantado. 3. Coloque un monto igual a cero para el saldo deudor final del último período de pago del préstamo. 4. Calcule la amortización con la siguiente expresión: Amortización = Cuota - Intereses En los períodos de gracia, la cuota es igual a los intereses porque la amortización es cero. 5. El saldo deudor inicial en cada período se calcula así: Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali + Amortizacióni 6. El saldo deudor final en cada período se calcula así: Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali+1 7. Los intereses se calculan con la tasa de interés efectiva del préstamo al vencimiento de la siguiente manera: Interesesi = iv*Saldo deudor iniciali+1 Donde: i representa el período

- 40 -

4.8 CAMBIOS EN LAS MODALIDADES DE CRÉDITOS Los cambios que se presentarán en este acápite son válidos para las modalidades de crédito con cuotas iguales, con amortización constante, cuotas crecientes y créditos con períodos de gracia vistos anteriormente, y en general, para cualquier otra modalidad de crédito con intereses al rebatir, excepto, las modalidades de crédito con intereses pagados por adelantado.

4.8.1

Monto de la deuda en un período dado

Para la modalidad de crédito con cuotas iguales, se desea cancelar la deuda en el cuarto bimestre. ¿Cuál es el monto total por desembolsar? Primera forma: con el flujo de caja y usando el concepto de equivalencia. Flujo de caja:

Equivalencia t=0: 10000 = 1970.17(P/A , 5% , 3) + X(P/F , 5% , 4) X = 5633.55 Saldo deudor inicial del bimestre 4

+

5365.27

+

Intereses del bimestre 4

268.26

= 5633.55

Segunda forma: con el calendario de pagos. Período 4

Saldo deudor inicial

Amortización

Intereses

Cuota

Saldo deudor final

5365.27

1701.91

268.26

1970.17

3663.36

Saldo deudor inicial (SDI) + Intereses = 5365.27 + 268.56 = 5633.55 Cuota + Saldo deudor final (SDF) = 1970.17 + 3663.36 = 5633.55

- 41 -

La deuda no es: 1970.17 + 1970.17 + 1970.17 = 5910.51 > 5633.55

Cuota del Cuota del Cuota del bimestre 4 bimestre 5 bimestre 6

4.8.2

Saldo deudor inicial de un período dado

¿Cómo hallar el SDI en un período dado sin usar el calendario de pagos? Hallar el SDI del período 4 para la modalidad de crédito con cuotas iguales. Flujo de caja: 3

<>

3

4

SDI4

5

6 bimestres

1970.17

SDI4 = 1970.17(P/A , 5% , 3) SDI4 = 5365.27 También: Flujo de caja:

SDI4 = 10000(F/P , 5% , 3) - 1970.17(F/A , 5% , 3) SDI4 = 5365.27

4.8.3

Cambio en la tasa de interés en un período dado

Para la modalidad de crédito con cuotas iguales, si la tasa de interés se incrementa a 7% efectiva bimestral, 35 días después de haber pagado la cuarta cuota. ¿Cuál es el valor de la quinta y sexta cuota si también son uniformes? ¿Cómo varía el calendario de pagos? ¿Cuál es el costo financiero del crédito incluida la variación de la tasa de interés?

0

1

2

3

4 35d

5%

- 42 -

5 25d

6 7%

Calculemos los intereses en el quinto bimestre:

4

5

Primera forma: SDI5 = 3663.36 (35/60)

(3663.36)*(1+5%) = 3769.12 ; 3769.12 - 3663.36 = 105.76 (25/60) (3769.12)*(1+7%) = 3876.88 ; 3876.88 - 3769.12 = 107.76 Interés del quinto bimestre

213.52

Segunda forma: Composición de tasas: (35/60)

(25/60)

i = (1+5%) *(1+7%) -1 i = 5.828 % efectiva en el quinto bimestre Interés del quinto bimestre = 5.828%*3663.36 Interés del quinto bimestre = 213.52 ¿Cuál es el valor de la quinta y sexta cuota si también son uniformes? Flujo de caja: 10000

0

1

2

3

4

5

6 bimestres

1970.17 C 5% efectiva bimestral

7% efectiva bimestral

Equivalencia en t=0: 10000 = 1970.17(P/A , 5% , 4) + C(P/F , 7% , 25/60)( P/F , 5% , 35/60)(P/F , 5% , 4) + + C(P/F , 7% , 1)( P/F , 7% , 25/60)( P/F , 5% , 35/60)(P/F , 5% , 4) C = 2004 ¿Cómo varía el calendario de pagos con la tasa modificada? Calendario de pagos con tasa modificada: Tasa1-4 = 5.000% Tasa4-5 = 5.828% Tasa5-6 = 7.000%

(35/60)

(1+5%)

(25/60)

*(1+7%)

- 43 -

-1

Período 1 2 3 4 5 6

Saldo deudor inicial 10000 8529.83 6986.14 5365.27 3663.36 1872.89

Amortización

Intereses

Cuota

1470.17 1543.68 1620.87 1701.91 1790.47 1872.89 10000

500.00 426.49 349.31 268.26 213.52 131.10

1970.17 1970.17 1970.17 1970.17 2004.00 2004.00

Saldo deudor final 8529.83 6986.14 5365.27 3663.36 1872.89 0

¿Cuál es el costo financiero del crédito incluida la variación de la tasa de interés? Sea icf el costo financiero por determinar: Flujo de caja: 10000

0

1

2

3

4

5

6 bimestres

1970.17 2004 Equivalencia en t=0: 10000 = 1970.17(P/A , icf , 4) + 2004.00(P/A , icf , 2)(P/F , icf , 4) i = 5.161% efectiva bimestral ∈ [5% , 7%] > 5% efectiva bimestral Ejemplos Casos 1, 2 (al final de este capítulo).

- 44 -

4.9 CRÉDITO COMERCIAL O CRÉDITO FLAT En el crédito comercial el cálculo de los intereses se efectúa con una tasa de interés simple llamada tasa FLAT que da la sensación de ser un “crédito barato” así como más transparente porque el cálculo del interés es sencillo, sin embargo, estos créditos suelen ser los más caros del mercado. En caso el cliente compre el equipo tomando el crédito comercial tenemos: Monto a financiar: D D = Precio de lista - Cuota inicial La cuota inicial es un pago exigido por la casa comercial y que el cliente debe hacer en el momento que recibe el equipo. Este pago es parte del valor del equipo o precio de lista, por tanto, lo que se financia con el crédito comercial es la diferencia D y lo pagará en “n” cuotas FLAT más los intereses. Cuota FLAT = C D(1 + iFLAT*n)

C =

C =

n D n

+ iFLAT*D

En caso el adquiriente compre al contado el equipo, pagará un monto en la casa comercial que ofrezca el menor precio al contado, éste es menor al precio de lista: Precio al contado = (1 - descuento%)*Precio de lista. Ejemplo Caso 3 (al final de este capítulo).

- 45 -

4.10 CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA Así como en los créditos anteriormente vistos en soles la tasa de costo efectivo se expresó en soles, así también en los créditos en dólares dicha tasa debe expresarse en dólares. En general, la tasa de costo efectivo de un crédito en cualquier moneda, debe expresarse en esa moneda. El objetivo de este acápite es determinar una tasa de interés efectiva en soles que sea equivalente a la tasa de interés efectiva en dólares -u otra moneda- del crédito pactado. 4.10.1 Tipo de cambio (TC) El tipo de cambio es el precio de la moneda extranjera en términos de la moneda local. Este índice mide una equivalencia relativa entre dos monedas, la moneda débil y la moneda fuerte, por ejemplo, el sol y el dólar respectivamente. Ejemplo Cuando nos preguntan ¿cuál es el tipo de cambio del dólar?, respondemos ¿compra o venta? TC = 3.26 venta; significa que para comprar un dólar pagamos 3.26 nuevos soles. TC = 3.24 compra; significa que para vender un dólar nos pagan 3.24 nuevos soles. 4.10.2 Devaluación (Ψ) En las economías con tipo de cambio variable éste no permanece constante en el tiempo; si el tipo de cambio sube, se genera la llamada devaluación (o depreciación) de la moneda débil respecto de la moneda fuerte. La devaluación se puede interpretar como la pérdida de valor de la moneda débil con respecto a la moneda fuerte. Por ejemplo, si el tipo de cambio es 2.86 S/. / US$ y al día siguiente sube a 2.88 S/. / US$ entonces el sol se devaluó con respecto al dólar. La devaluación desde “0” hasta “t” se calcula y expresa en términos porcentuales así:

Ψ0→ →t

=

TCt - TC0 TC0

*100%

Hay devaluación si: TCt > TC0 Ejemplo TC0 = 3.48 S/. / US$

TC1 = 3.50 S/. / US$

TC2 = 3.51 S/. / US$

TC3 = 3.53 S/. / US$ días

0

1

Ψ0→1 = Ψ0→1 =

(3.50 - 3.48)*100% 3.48 0.575% >0

2

Ψ1→2 = Ψ1→2 =

en un día

(3.51 - 3.50)*100% 3.50 0.286% >0 en un día

¿Y la devaluación acumulada? Ψ0→2 = (1 + Ψ0→1)*(1 + Ψ1→2) - 1

Ψ0→2 = (1 + 0.575%)*(1 + 0.286%) - 1 Ψ0→2 = 0.863% en dos días - 46 -

3

Ψ2→3 = Ψ2→3 =

(3.53 - 3.51)*100% 3.51 0.570% >0 en un día

Que es lo mismo:

Ψ0→2 =

Y no es correcto:

(3.51 - 3.48)*100% 3.48

Ψ0→2 = 0.575%*0.286%

= 0.863%

Ψ0→3 = (1 + Ψ0→1)*(1 + Ψ1→2)*(1 + Ψ2 →3) - 1 Ψ0→3 = (1 + 0.575%)*(1 + 0.286%)*(1 + 0.570%) - 1 Ψ0→3 = 1.438% en tres días En general:

Ψ0→ t = (1 + Ψ0→1)*(1 + Ψ1→2)*(1 + Ψ2 →3)*…*(1 + Ψt-1 → t) - 1 ¡Similar a una tasa efectiva!

Apliquemos la devaluación a los tipos de cambio: TC0 = 3.48 TC1 = 3.50 TC2 = 3.51

3.48*(1 + 0.575%) = 3.50 = TC1 3.50*(1 + 0.286%) = 3.51 = TC2 3.51*(1 + 0.570%) = 3.53 = TC3

En general si Ψ no es constante: TCt = TCt-1*(1 + Ψ

t-1→ t)

Si Ψ es constante: TC0 = 3.50 S/. / US$

TC1 = 3.514 S/. / US$

TC2 = 3.528 S/. / US$ días

0

1

Ψ0→1 = Ψ0→1 =

(3.514 - 3.50)*100% 3.50 0.400% >0

2

Ψ1→2 =

(3.528 - 3.514)*100%

Ψ1→2 =

en un día

3.514 0.400% >0 en un día

La devaluación es constante e igual a 0.4% por día. TC1 = TC0*(1 + Ψ0 →1) TC2 = TC1*(1 + Ψ1 →2) Entonces: TC2 = TC0*(1 + Ψ0 →1)(1 + Ψ1 →2)

Como Ψ es constante entonces:

luego: Ψ0→1 = Ψ1→2 = Ψ TC2 = TC0*(1 + Ψ)*(1 + Ψ) 2 TC2 = TC0*(1 + Ψ)

Entonces, en general si la Ψ es constante:

TCt = TC0* (1 + Ψ)t

- 47 -

4.10.3 Conversión de un flujo de caja en dólares a un flujo de caja en soles Flujo de caja en dólares (moneda fuerte)

Flujo de caja en soles (moneda débil)

Caso 1: la devaluación Ψ no es constante TC0=3.45 S/. / US$ US$ 1000

0

1

US$ 1000*3.45= S/. 3450

2

3

0

1

2

3

meses

meses

US$ 200*3.47= S/. 694 US$ 500*3.5= S/. 1750 US$ 700*3.51= S/. 2457

US$ 200 US$ 500 US$ 700

TC1=3.47 S/. / US$ ; TC2=3.5 S/. / US$ ; TC3=3.51 S/. / US$

Ψ0→1 ≠ Ψ1→2 ≠ Ψ2→3 ; la devaluación en cada período no es constante. En el flujo de caja en dólares, equivalencia en t=0: 1000 = 200(P/F , icf , 1) + 500(P/F , icf , 2) + 700(P/F , icf , 3) icf = 15.615% efectiva mensual en dólares En el flujo de caja en soles, equivalencia en t=0: 3450 = 694(P/F , icf , 1) + 1750(P/F , icf , 2) + 2457(P/F , icf , 3) icf = 16.337% efectiva mensual en soles De los cálculos anteriores se observa que si bien la tasa de 15.615% efectiva mensual en dólares es diferente a la tasa de 16.337% efectiva mensual en soles, estas son tasas equivalentes pero expresadas en diferente moneda.

- 48 -

Si la devaluación Ψ 1. 2. 3.

no es constante aplicar la metodología siguiente:

Transformar los montos en US$ a S/. (moneda fuerte a moneda débil) con el tipo de cambio S/. / US$ en cada período. Con el concepto de equivalencia, calcule la tasa de interés efectiva para el flujo de caja en dólares (moneda fuerte) y para el flujo de caja en soles (moneda débil). Las tasas de interés efectivas obtenidas son equivalentes.

Caso 2: la devaluación Ψ es constante TC0=3.45 S/. / US$ US$ 1000

0

1

US$ 1000*3.45= S/. 3450

2

3

0

1

2

3

meses

meses US$ 200*3.519= S/. 703.8 US$ 500*3.59= S/. 1795 US$ 700*3.662= S/. 2562.7

US$ 200 US$ 500 US$ 700

TC1=3.519 S/. / US$ ; TC2=3.59 S/. / US$ ; TC3=3.662 S/. / US$

Ψ0→1=2% = Ψ1→2=2% = Ψ2→3=2%; la devaluación en cada período es constante. En el flujo de caja en dólares, equivalencia en t=0: 1000 = 200(P/F , icf , 1) + 500(P/F , icf , 2) + 700(P/F , icf , 3) icf = 15.615% efectiva mensual en dólares En el flujo de caja en soles, equivalencia en t=0: 3450 = 703.80(P/F , icf , 1) + 1794.50(P/F , icf , 2) + 2562.7(P/F , icf , 3) icf = 17.927% efectiva mensual en soles En este caso cuando la devaluación es constante, se puede simplificar este procedimiento aplicando la siguiente ecuación:

iS/. = (1 + iUS$)*(1 + ΨS/. / US$) - 1 iS/. = (1 + 15.615%)*(1 + 2%) - 1 iS/. = 17.927% efectiva mensual en soles. ¡Se obtiene el mismo resultado! De los cálculos anteriores se observa que si bien la tasa de 15.615% efectiva mensual en dólares es diferente a la tasa de 17.927% efectiva mensual en soles, estas son tasas equivalentes pero expresadas en diferente moneda.

- 49 -

Observaciones para ambos casos (Ψ

no constante y Ψ

constante):

1. Las tasas efectivas en soles, dólares y la devaluación del sol respecto del dólar iS/. ; iUS$ ; ΨS/. / US$ deben cubrir el mismo período de tiempo. 2. Si la devaluación es constante período a período basta con aplicar la ecuación iS/. = (1 + iUS$)*(1 + ΨS/. / US$) – 1 3. Si la estimación de la devaluación no es constante en cada período, transformar los montos en dólares a soles con el tipo de cambio de cada período; luego en el flujo de caja en soles aplique equivalencia para calcular la tasa en soles que es equivalente a la tasa en dólares calculada en el flujo en caja en dólares. Esta metodología también puede usarla cuando la devaluación es constante, sin embargo, es menos laborioso aplicar la fórmula iS/. = (1 + iUS$)*(1 + ΨS/. / US$) - 1 4.10.4 Revaluación (R) El tipo de cambio así como sube, también puede mostrar un comportamiento a la baja, en este caso, se genera la revaluación de la moneda débil respecto a la moneda fuerte. Así por ejemplo, cuando el sol se devalúa frente al dólar, se dice que el dólar se está revaluando (o apreciando) respecto al sol. Ejemplo 1 año TC0 = 3.42 S/. / US$

TC1 = 3.51 S/. / US$

3.51 - 3.42

ΨS/. / US$ =

3.42

*100%

ΨS/. / US$ = 2.632% anual 1 año TC’0 = 0.292 US$ / S/.

TC’1 = 0.285 US$ / S/.

1/3.42 S/. / US$ = 0.292 US$ / S/.

Donde: TC't (US$ / S/.)

1/3.51 S/. / US$ = 0.285 US$ / S/.

1

=

TCt(S/. / US$)

La revaluación R (US$ / S/.) desde “0” hasta “t” se calcula porcentuales así:

R0→ →t =

TC't - TC'0

*100%

TC'0 Y se cumple cuando la devaluación es constante:

(1 + ΨS/.

/ US$)*(1

+ RUS$ / S/.) = 1

En el ejemplo:

RUS$ / S/. = RUS$ / S/. =

0.285 - 0.292 0.292

*100%

-2.397%

(1 + 2.632%)*(1 - 2.397%) = 1

- 50 -

y expresa en términos

4.11 FINANCIAMIENTO CON EMISIÓN DE BONOS Los bonos son títulos valores puesta a la venta por empresas, bancos o el Estado para captar efectivo y representan una obligación de pago de largo plazo de intereses periódicos y una redención del capital de parte del emisor. 4.11.1 Flujo de caja del emisor de bonos Flujo de caja para el emisor de los bonos: PC

0

(el precio de colocación lo recibe la empresa emisora, del adquiriente del bono)

1

GE

Gastos de emisión que paga la empresa emisora

2

3

n I = iB*VN …

Los intereses los paga la empresa emisora, al adquiriente del bono

R = VN

El valor de redención lo paga la empresa emisora, al adquiriente del bono

PC: precio de colocación, precio de compra del adquiriente del bono o inversionista. GE: gastos de emisión. i B: tasa de interés del bono, también llamada tasa cupón. I: importe de los intereses del bono. VN: valor nominal del bono. R: valor de redención. n: vida del bono. 1,2,3,… fechas de pago de los intereses del bono (cupones). Aplicando equivalencia (t=0) para determinar el costo financiero de la empresa emisora de los bonos. PC - GE = iB*VN(P/A , icf , n) + R(P/F , icf , n) De la expresión anterior se obtiene icf que es el costo financiero para la empresa emisora de los bonos, y es costo porque la empresa está obteniendo dinero a través de financiamiento por emisión de bonos.

- 51 -

4.11.2 Flujo de caja de para el adquiriente de bonos El adquiriente del bono invierte su dinero al comprarlo con la expectativa de obtener ganancias. Flujo de caja para el adquiriente del bono o inversionista:

Los intereses que recibe el adquiriente del bono, del emisor

El valor de redención que recibe el adquiriente del bono, del emisor R = VN

I = iB*VN 0

PC

1

2

3

n

(paga el adquiriente del bono al emisor)

Aplicando equivalencia (t=0) para determinar la rentabilidad del adquiriente del bono: PC = iB*VN(P/A , iR , n) + R(P/F , iR , n) De expresión anterior se obtiene iR que inversionista.

es la rentabilidad del adquiriente del bono o

Ejemplo Caso 4 (al final de este capítulo).

- 52 -

CASO 1: MODALIDADES DE CRÉDITO - REFINANCIACIÓN DE DEUDA La empresa “Friedman S.A.” necesita para el pago del desaduanaje de su mercadería importada S/. 30 975, por esta razón solicitó al Banco Economist un préstamo en soles con las siguientes características: Tasa de interés del préstamo Plazo Modalidad de pago Retención Comisión de apertura

: : : : :

30% nominal anual, con capitalización bimestral 5 bimestres cuotas bimestrales con amortización constante 10% del principal, que remunera al 5% efectiva anual 1.5%

Se pide: a) Determine el monto del préstamo que solicitó Friedman S.A. b) Elabore el calendario de pagos, grafique el flujo de caja del préstamo y determine la tasa de costo efectivo (costo financiero) del préstamo. Por no tener liquidez suficiente, la cuarta cuota no se cancela en la fecha acordada. Después de 10 días de vencida esta cuota se solicita la refinanciación del préstamo, el Banco Economist acepta la solicitud y establece las siguientes condiciones: Pago de los intereses compensatorios acumulados a la fecha de refinanciación. Pago de intereses moratorios a una tasa de 2.0% efectiva mensual en soles. La empresa puede solicitar la devolución de la retención, pero perderá los intereses acumulados a la fecha. La refinanciación será mediante una línea de crédito en soles con las siguientes características: Comisión de refinanciación Nuevo plazo Tasa de interés Modalidad de pago

: : : :

2.5% 6 meses 3.5% efectiva mensual cuotas mensuales constantes

Friedman dispone de S/. 2 000 para cumplir con estas condiciones y para amortizar lo máximo posible del saldo deudor. c) Determine los conceptos y montos que se desembolsarán al momento de solicitar la refinanciación. d) Elabore el flujo de caja de la refinanciación y determine su costo financiero. Compare con el costo financiero del préstamo original y comente. Ahora asuma que después de 20 días de la cancelación de la tercera cuota, la tasa de interés del préstamo se incrementa a 36% nominal anual en soles, con capitalización bimestral. e) ¿Cómo cambia el calendario de pagos para las cuotas que faltan desembolsar, si la amortización sigue siendo constante?

- 53 -

SOLUCIÓN CASO 1: MODALIDADES DE CRÉDITO - REFINANCIACIÓN DE DEUDA a) Monto del préstamo que solicitó Friedman S.A. = M M - 10%M - 1.5%M = 30975 M = S/. 35000 b) Tasa de interés efectiva del préstamo: in ief = N 30% ief = 6 ief = 5% efectiva bimestral Retención = S/. 3500 Comisión de apertura = 1.5%*35000 (siempre como porcentaje del monto del préstamo) Comisión de apertura = S/. 525 Calendario de pagos: Saldo Período (bimestres) deudor inicial 0 35000 1 28000 2 21000 3 14000 4 7000 5

Amortización

Intereses

Cuota

Otros

Saldo deudor final

4025 7000 7000 7000 7000 7000

1750 1400 1050 700 350

8750 8400 8050 7700 7350

3645.24

Flujo de caja de Friedman S.A.: 35000 3645.24

0 Retención = Comisión de apertura =

1

3500

2 Amortización =

3

4

5 bimestres

7000

525 1750

Intereses

G = + 350 Equivalencia en t=0: 35000 - 3500 - 525 = (7000 + 1750)(P/A , icf , 5 ) - 350(P/G , icf , 5) - 3645.24(P/F , icf , 5) icf = 6.501 % efectiva bimestral en soles > 5% efectiva bimestral en soles

- 54 -

28000 21000 14000 7000 0

c) Si no ha cancelado la cuarta cuota, significa que la última que pagó fue la tercera cuota, entonces lo que se debe de la deuda original de S/. 35 000 es el SDF3. Del calendario de pagos: SDF3 = S/. 14000 (70/60)

Intereses acumulados (intereses compensatorios) = (14000)*((1 + 5%) Intereses acumulados (intereses compensatorios) = S/. 820.02 (10/30)

Intereses moratorios = (14000)*((1 + 2%) Intereses moratorios = S/. 92.72

- 1)

- 1)

Amortización = S/. A Comisión de refinanciación = 2.5%*(14000 - A) Total pagos = Total de efectivo disponible 820.02 + 92.72 + A + 2.5%*(14000 - A) = 2000 + 3500 A = S/. 4345.91 Esta es la amortización máxima posible porque se usa el total disponible para pagar. Los conceptos y montos que se desembolsarán en la fecha de la refinanciación son: Monto

Concepto Intereses acumulados (intereses compensatorios) = Intereses moratorios = Amortización A = Comisión de refinanciación 2.5%*(14000 - A) = Total d) Saldo deudor a refinanciar = 14000 - A Saldo deudor a refinanciar = 14000 - 4345.91 Saldo deudor a refinanciar = S/. 9654.09 = S/. 9654.09 Refinanciación con cuota de pago constante. Equivalencia en t=0 y usamos la tasa de interés del préstamo: 9654.09 = C(P/A , 3.5% , 6) C = S/. 1811.77

- 55 -

S/. 820.02 S/. 92.72 S/. 4345.91 S/. 241.35 S/. 5500

Flujo de caja de la refinanciación: 9654.09

0 Comisión de refinanciación = 241.35

1

2

3

4

5

1811.77 Equivalencia en t=0: 9654.09 - 241.35 = 1811.77(P/A , icf , 6) icf = 4.276 % efectiva mensual en soles > 3.5% efectiva mensual en soles icf = 8.735 % efectiva bimestral en soles > 6.501% efectiva bimestral en soles ¡El costo financiero de la refinanciación es más costoso que el crédito original!

- 56 -

6 meses

CASO 2: MODALIDADES DE CRÉDITO - REFINANCIACIÓN DE DEUDA Para financiar la importación de sus productos por un monto de S/. 45 000 la empresa DYNAMIX solicitó un préstamo al Banco Comercial el cual lo devolverá en 10 cuotas mensuales que aumentan con gradiente lineal de S/. 100 cada dos meses, durante el bimestre las cuotas mensuales serán uniformes. Para la apertura del crédito, el banco cobra una comisión administrativa del 2% por la evaluación crediticia y de riesgo efectuada a DYNAMIX y por seguridad una retención del 8% remunerada al 5% efectiva anual. Si el costo financiero de este crédito es 26.520% nominal anual con capitalización mensual, se pide: a) Determine el monto del préstamo que DYNAMIX solicitó. b) ¿Cuál es el importe de cada cuota? Plantee el flujo de caja del préstamo. c) ¿Cuál es el valor de la tasa de interés del préstamo? d) Elabore el calendario de pagos para este préstamo. Por no tener liquidez suficiente, las cuotas 7 y 8 no se cancelan en la fecha acordada. Después de 15 días de vencida la octava cuota, se solicita la refinanciación del préstamo. El Banco Comercial acepta la refinanciación y exige las siguientes condiciones: Devolución de la retención a DYNAMIX, con los intereses capitalizados a la fecha de la refinanciación. Comisión de refinanciación : 2.5% Nuevo plazo : 6 meses Modalidad de pago : amortización constante Períodos de gracia : 2 meses Tasa de interés : 36% nominal anual, con capitalización mensual DYNAMIX dispone de S/. 5 000 para cumplir con estas condiciones y para amortizar lo máximo posible del saldo deudor. Determinar sin consultar el calendario de pagos, los conceptos y montos que se desembolsarán al momento de solicitar la refinanciación. e) Elabore el calendario de pagos para la refinanciación. f)

¿Cuál es el costo financiero de la refinanciación?

g) Plantee el flujo de caja de toda la operación.

- 57 -

SOLUCIÓN CASO 2: MODALIDADES DE CRÉDITO - REFINANCIACIÓN DE DEUDA a) Monto del préstamo: 2% Comisión: Retención: 8% Monto requerido: S/. 45000 M - 2%M - 8%M = 45000 M = S/. 50000 b) Importe de las cuotas: Costo financieromensual =

26.520% / 12

Costo financieromensual =

2.210% efectiva mensual

Costo financierobimestral =

4.469% efectiva bimestral

Flujo de caja para DYNAMIX: M

0

8%M*(F/P , 5% , 10/12)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 meses

2%M 8%M C

C + 100 C + 200 C + 300

El flujo de caja se puede expresar así: 50000

0 2%*50000 C(P/A , 2.21% , 2) 8%*50000

C + 400

4000*(F/P , 5% , 10/12)

1

2

3

4

5

6

7

8

G = (100)(P/A , 2.21% , 2)

(C + 100)(P/A , 2.21% , 2) (C + 200)(P/A , 2.21% , 2) (C + 300)(P/A , 2.21% , 2) (C + 400)(P/A , 2.21% , 2)

- 58 -

9

10 meses

Sobre este flujo de caja planteamos equivalencia y lo evaluamos con el costo financiero incluyendo la comisión administrativa, la retención y la retención remunerada en t=10. Equivalencia en t=0: 50000 - 2%*50000 - 8%*50000 - C(P/A , 2.210% , 2) = (C + 100)(P/A , 2.210% , 2)(P/A , 4.469% , 4) + (10/12)

+ 100(P/A , 2.210% , 2)(P/G , 4.469% , 4) - 4000*(1 + 5%) C = S/. 5250.46 Cuota 1 = Cuota 2 = Cuota 3 = Cuota 4 =

S/. 5250.46 S/. 5250.46 S/. 5350.46 S/. 5350.46

(P/F, 2.210% , 10)

Cuota 5 = S/. 5450.46 Cuota 6 = S/. 5450.46 Cuota 7 = S/. 5550.46 Cuota 8 = S/. 5550.46 Cuota 9 = S/. 5650.46 Cuota 10 = S/. 5650.46

Flujo de caja del préstamo:

50000

0

4165.985

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 meses

1000 4000 5250.46 5350.46 5450.46 5550.46

5650.46

c) Tasa del préstamo: Para determinar la tasa de interés del préstamo no se considera la comisión administrativa, la la retención al inicio ni la retención remunerada en t=10. 50000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 meses

5250.46 5250.46 5350.46 5450.46

- 59 -

5550.46

Equivalencia en t=0 para calcular la tasa de interés del préstamo: 50000 - 5250.46(P/A , imensual , 2) = (5250.46 + 100)(P/A , imensual , 2)(P/A , ibimestral , 4) + + 100(P/A , imensual , 2)(P/G , ibimestral , 4) 2

ibimestral = (1 + imensual) - 1 Resolviendo: imensual = 1.578% efectiva mensual ibimestral = 3.181% efectiva bimestral

tasa de interés del préstamo, no es el costo financiero

d) Calendario de pagos: Período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Saldo deudor inicial 50000 50000 45538.65 41006.88 36303.60 31526.09 26573.18 21542.10 16331.62 11038.91 5562.67

Amortización

Intereses

Cuota

Otros 5000

4461.35 4531.76 4703.28 4777.51 4952.91 5031.08 5210.48 5292.71 5476.24 5562.67

789.11 718.70 647.18 572.95 497.55 419.38 339.98 257.75 174.22 87.79

5250.46 5250.46 5350.46 5350.46 5450.46 5450.46 5550.46 5550.46 5650.46 5650.46

4165.99

Saldo deudor final 50000 45538.65 41006.88 36303.60 31526.09 26573.18 21542.10 16331.62 11038.91 5562.67 0

Podemos calcular el SDF6 usando el flujo de caja y equivalencia: SDF6: saldo deudor al final del mes 6 o saldo deudor inicial del mes 7. 6 <> SDF6

6

7

8

9

10 meses

5550.46

5650.46

¡tasa de interés del préstamo, no el costo financiero!

SDF6 = 5550.46(P/A , 1.578% , 2) + 5650.46(P/A , 1.578% , 2)(P/F , 1.578% , 2) SDF6 = S/. 21542.10 Observaciones: 1. Para calcular el SDF6 no se incluyó en el flujo de caja la devolución de la retención en t=10; observe el desarrollo de la pregunta c) donde se usó la tasa de interés del préstamo para calcular la cuota sin incluir, la comisión administrativa, la retención ni la retención remunerada.

- 60 -

2. Recuerde que los intereses son calculados con la tasa de interés del préstamo=1.578% efectiva mensual y no con la tasa costo financiero=2.210% efectiva mensual, por esto, en la expresión de equivalencia anterior para calcular SDF6 se usó la tasa de interés del préstamo en las expresiones de equivalencia P/A y P/F. (75/30)

Intereses acumulados = (21542.10)*(1 + 1.578%) Intereses acumulados = S/. 860.04

- 1)

¡tasa de interés del préstamo, no el costo financiero!

Observaciones: 1. Los intereses se calculan sobre el SDF6 porque esto es lo que se debe de los S/. 50 000 del préstamo original. 2. Son 75 días porque la útlima cuota que se pagó fue la sexta ya que la séptima y octava no se pagaron y 15 días después de vencida la octava cuota se solicita el refinanciamiento. Recuerde que la cuota es mensual.

Amortización = A Observaciones: 1. La amortización A indica que se pagará una parte del SDF6 que aún se debe de los S/. 50 000 del préstamo original.

Saldo deudor a refinanciar = 21542.10 - A Observaciones: 1. Este es el saldo que aún quedará pendiente de pago de los S/. 50 000 del préstamo original, por tanto, es lo que se refinancia.

Comisión de refinanciación = 2.5%*(21542.10 - A) Observaciones: 1. La comisión de refinanciación, se aplica al monto a refinanciar. (255/360)

Devolución de la retención = 4000*(1 + 5%) Devolución de la retención = S/. 4140.66

Total pagos = Total de efectivo disponible 860.04 + A + 2.5%*(21542.10 - A) = 5000 + 4140.66 A = S/. 7940.59 Saldo deudor a refinanciar = 21542.10 - A = S/. 17848.34 Tasa de interés de la refinanciación = 36% / 12 = 3% efectiva mensual Finalmente los conceptos y montos que se desembolsarán en el momento de la refinanciación son: Concepto

Monto

S/. 860.04 Intereses acumulados (intereses compensatorios) = Amortización A = S/. 7940.59 Comisión de refinanciación = 2.5%*(21542.10 - A) S/. 340.04 Total S/. 9140.66 Nota: No se está pagando el total del saldo deudor a refinanciar sino una parte que corresponde a la amortización A = S/. 7940.58.

- 61 -

e) Intereses del período de gracia = (3%)*(13601.52) =

S/. 408.05

Calendario de pagos de la refinanciación: Período 0 1 2 3 4 5 6

Saldo deudor inicial 13601.51 13601.51 13601.51 13601.51 10201.14 6800.76 3400.38

Amortización

Intereses

Cuota

3400.38 3400.38 3400.38 3400.38

408.05 408.05 408.05 306.03 204.02 102.01

408.05 408.05 3808.42 3706.41 3604.40 3502.39

Saldo deudor final 13601.51 13601.51 13601.51 10201.14 6800.76 3400.38 0

Otros 340.04

f) Costo financiero de la refinanciación:

13601.51

0

1

2

3

4

5

6 meses

340.04

408.05 3808.42

G= 102.01

Equivalencia en t=0: 13601.52 - 340.04 = 408.05(P/A , icf , 2) + (3400.38 + 408.05)(P/A , icf , 4)(P/F , icf , 2) + - 102.01(P/G , icf , 4)(P/F , icf , 2) icf =

3.615% efectiva mensual

g) Flujo de caja de toda la operación:

- 62 -

CASO 3: CRÉDITO COMERCIAL - CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA La empresa Friedman S.A. está interesada en adquirir un equipo para mejorar la productividad de sus líneas de producción para lo cual dispone de la siguiente información de dos casas comerciales:

Precio de lista Precio al contado Cuota inicial Pagos Número de pagos Interés Flat

Los Ingenieros

Comercial Inglesa

S/. 80 000 12% descuento del precio de lista S/. 7 500 Trimestrales 8 5%

US$ 24 850 10% descuento del precio de lista US$ 1 810 Bimestrales 12 3.5%

Además es posible acceder al financiamiento de las siguientes entidades crediticias: LÍNEA 1: crédito en nuevos soles Monto máximo Tasa de interés Plazo Modalidad de pago

: : : :

S/. 60 000 33.252% nominal anual, capitalización mensual dos años cuotas mensuales (suma de dígitos) intereses pagados por adelantado

LÍNEA 2: crédito en dólares Monto máximo Tasa de interés Plazo Períodos de gracia Modalidad de pago

: : : : :

US$ 18 000 3.5% efectiva bimestral dos años 2 bimestres cuotas bimestrales, amortización constante intereses pagados por adelantado Comisión de apertura: 1.5% Se pide:

a)

Determinar el costo financiero anual en soles de cada una de las fuentes de financiamiento.

b)

¿Cómo se debe financiar la compra del equipo de producción? La empresa dispone de efectivo para cubrir la cuota inicial.

Información adicional Tipo de cambio el día de hoy : 1 dólar = 3.2 soles Tipo de cambio esperado dentro de un mes : 1 dólar = 3.216 soles Se estima que la devaluación mensual será aproximadamente constante en los próximos dos años.

- 63 -

SOLUCIÓN CASO 3: CRÉDITO COMERCIAL - CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA Determinación del precio de mercado o precio al contado mínimo: S/. 70400 Los Ingenieros: 80000*(1 - 12%) = Comercial US$ 22365 24850*(1 - 10%) = 22365 US$*3.20 S/./US$ = S/. 71568 PC min = {S/. 70400 , S/. 71568 } = S/. 70400 <> US$ 22000 Los Ingenieros Cuota inicial S/.= 7500 C= C=

D*(1 + iFLAT *n) n (80000 - 7500)*(1 + 5.0%*8) 8

C = S/. 12687.50 Flujo de caja:

Equivalencia en t=0: 70400 - 7500 = 12687.50(P/A , icf , 8) icf = 12.058% efectiva trimestral en S/. (costo financiero de Los Ingenieros) icf = 57.677% efectiva anual en S/. (costo financiero de Los Ingenieros) Comercial Inglesa Cuota inicial US$= 1810 C= C=

D*(1 + iFLAT*n) n (24850 - 1810)*(1 + 3.5%*12) 12

C = US$ 2726.40

- 64 -

Flujo de caja:

Equivalencia en t=0: 22000 - 1810 = 2726.40(P/A , icf , 12) icf = 8.339% efectiva bimestral en US$ (costo financiero Comercial Inglesa) icf = 4.086%

efectiva mensual en US$ (costo financiero Comercial Inglesa)

iS/. = ( 1+ iUS$)*(1 + ΨS/. / US$) - 1 iS/. = ( 1 + 4.086%)*(1 + 0.5%) - 1 iS/. = 4.606% efectiva mensual en S/. (costo financiero Comercial Inglesa) iS/. = 71.672%

efectiva anual en S/. (costo financiero Comercial Inglesa)

Línea 1: crédito en nuevos soles Como no hay comisiones de apertura ni otros, entonces, la tasa de costo efectivo es igual a la tasa del préstamo. Tasa del préstamo = 33.252% nominal anual. Calculemos la tasa efectiva mensual: in ief = N ief = ief = iad =

33.252% 12 2.771%

efectiva mensual

2.771% (1 - 2.771%)

iad = 2.850% icf = 40.104%

efectiva mensual adelantada en nuevos soles (costo financiero de la Línea 1) efectiva anual en soles (costo financiero de la Línea 1)

- 65 -

Línea 2: crédito en dólares Flujo de caja al vencimiento:

Luego adelantamos los intereses:

M

0

M

1

2

3

4

5

6

…

12

A = M /10

1.5%*M M*iP

….

0

1

2

3

M*iP

5 6

…

M*iP

M*iP*9/10 G = M*iP/10

…. G = M*iP/10

1.5%*M es la comisión de apertura iP = 3.5%, es la tasa de interés del préstamo al vencimiento Equivalencia en t=0 en el flujo de caja con intereses adelantados: M - 3.5%M -1.5%M = M*3.5%(P/A , icf , 2) + [ (M/10 + M*3.5%*9/10)(P/A , icf , 10) - (M*3.5%/10)(P/G , icf , 10) ](P/F , icf , 2) icf = 3.874% icf = 1.919%

efectiva bimestral en US$ (costo financiero de la Línea 2) efectiva mensual en US$ (costo financiero de la Línea 2)

iS/. = ( 1+ iUS$)*(1 + ΨS/. / US$) - 1 iS/. = ( 1 + 1.919%)*(1 + 0.5%) - 1 iS/. = 2.428% efectiva mensual en S/. (costo financiero Línea 2) iS/. = 33.364%

efectiva anual en S/. (costo financiero Línea 2)

Friedman dispone de S/. 7500 (monto suficiente para cubrir cuota inicial) <> US$ 2344 Por cubrir con las líneas de crédito bancarias porque son de menor costo financiero: (PCmínimo = US$ 22000) - US$ 2344 = US$ 19656 Línea 2: crédito en dólares es la alternativa de menor costo financiero. Pedir prestado a la Línea 2 US$ 18000 <> US$ 18000*3.20 S/. / US$ = S/. 57600 Recibimos de la Línea 2: US$ 18000 - 3.5%*18000 - 1.5%*18000 = US$ 17100 < US$ 19656 Como nos falta US$ 2556 = US$ 19656 - US$ 17100 Pedir prestado a la Línea 1, una cantidad P en nuevos soles tal que: P - 2.771%*P = S/. 8180 US$ 2556*3.2 S/. / US$ = S/. 8180 P= S/. 8413.13 P= S/. 8413 En resumen: Pedir prestado a la Línea 2 US$ 18000, de los cuales se recibe US$ 17100 <> S/.54720. Pedir prestado a la Línea 1 S/. 8413, de los cuales se recibe S/. 8180. Con el dinero prestado de las Líneas 1 y 2, comprar al contado en la casa comercial Los Ingenieros porque tiene el precio contado mínimo igual a US$ 22000.

- 66 -

12

A = M /10

1.5%*M

M*iP

4

CASO 4: FINANCIAMIENTO CON EMISIÓN DE BONOS La compañía CPLEX necesita incrementar su capacidad de producción para lo cual debe adquirir máquinas cuyo costo es US$ 500 000 las que financiará a través de emisión de bonos con las siguientes características: Valor nominal Tasa de interés Vida del bono Período de pago Gastos de emisión

: : : : :

US$ 2 000 10% efectiva cuatrimestral 3 años cuatrimestral 0.8%

El área financiera de la empresa ha determinado que la mejor alternativa de inversión en el mercado de valores tiene una rentabilidad promedio de 35% efectiva anual. a) Determine el precio de colocación máximo que podrán tener los bonos emitidos por CPLEX. b) Determine la cantidad de bonos necesarios que deberá emitir la compañía y el monto que obtendrá por la venta de estos bonos. c) ¿Cuál es el costo financiero de esta fuente de financiamiento? d) Al final del segundo año la empresa desea recuperar el 75% de los bonos emitidos. Si desea mantener el costo financiero del financiamiento, ¿estarán los inversionistas dispuestos a vender sus bonos?

- 67 -

SOLUCIÓN CASO 4: FINANCIAMIENTO CON EMISIÓN DE BONOS bonos Inversionista (adquiriente del bono)

CPLEX (emisor) S/. Necesita dinero para adquirir máquinas.

Invierte su dinero y adquiere bonos emitidos por CPLEX.

a) i= 35% efectiva anual (1/3)

i= (1+35%) i= 10.521 %

-1 efectiva cuatrimestral

Flujo de caja del inversionista: US$ 2000 10%*2000 = US$ 200

… 0

1

2

3

4

9 cuatrimestres <> 3 años

PC

PC: precio de colocación Para hallar el precio de colocación máximo, descontamos los montos al 10.521% efectiva cuatrimestral, ya que es la rentabilidad promedio de otros instrumentos de inversión en el en el mercado de valores (costo de oportunidad del inversionista). Equivalencia en t=0: PCmáximo = 200(P/A , 10.521% , 9) + 2000(P/F , 10.521% , 9) PCmáximo = US$ 1941.21 ¿Por qué se obtiene el precio de colocación máximo con la la tasa del 10.521% efectiva cuatrimestral? PC US$

iR = irentabilidad ; PC = 200*(P/A , iR ,9) + 2000*(P/A , iR , 9)

1500 1600 1800 1900 2000 2200

- 68 -

b) N: cantidad de bonos 1941.214*N - 0.8%*2000*N = 500000 N = 259.7 260 bonos a emitir c) Flujo de caja para el emisor: CPLEX 260*1941.214 = 504715.64

0

1

2

3

<> 3 años 9 cuatrimestres

4…

0.8%*260*2000 = 4160 10%*260*2000 = 52000

260*2000 = 520000

Equivalencia en t=0: 504715.64 - 4160 = 52000(P/A , icf , 9) + 520000(P/F , icf , 9) icf= 10.660% efectiva cuatrimestral > 10% efectiva cuatrimestral Costo financiero de CPLEX por el financiamiento con emisión de bonos. d) Flujo de caja para el emisor: CPLEX 6 cuatrimestre (segundo año)

P

<>

6

7

8

75%*52000 = 39000

Equivalencia en t=segundo año: P = 39000(P/A , 10.666% , 3) + 390000(P/F , 10.666% , 3) P = US$ 383113.95 383113.95 Punitario = 75%*260 Punitario = US$ 1964.69

- 69 -

9 cuatrimestres

75%*520000 = 390000

Flujo de caja del inversionista: Pt=6 US$ 200

0

1

2

3

4

5

6

cuatrimestres

US$ 1941.21

Equivalencia en t=0: 1941.21 = 200(P/A , 10.521% , 6) + Pt=6(P/F , 10.521% , 6) Pt=6 = US$ 1974.3 > US$ 1964.6 ⇒ Los inversionistas no estarán dispuestos a vender sus bonos.

- 70 -

CAPÍTULO 5 INFLACIÓN

5.1 DEFINICIONES

5.1.1 Índice de Precios al Consumidor (IPC) Según el Instituto Nacional de Estadística e Informática, el Índice de Precios al Consumidor “es un indicador estadístico que mide las variaciones de precios de los bienes y servicios consumidos habitualmente por el conjunto de familias con diversos niveles de ingresos. Su objetivo es determinar la evolución de los precios de un conjunto de bienes y servicios a través del tiempo.” Para determinar el IPC, es necesario definir el presupuesto de los hogares lo que se realiza midiendo el ingreso y gasto de consumo el cual se refiere a la cantidad de dinero que las familias destinan para la compra de bienes y servicios que habitualmente se consume en un hogar, éstos conforman la denominada Canasta Básica Familiar. El objetivo de la Canasta Básica Familiar es definir un conjunto de bienes y servicios representativos que se consumen en un hogar y no se concentra en uno o en un grupo particular de estos sino en varios, que son reflejo representativo de los hogares de Lima Metropolitana. En el Perú, esta canasta está compuesta por 551 variedades o artículos clasificados en rubros de consumo, subgrupos, grupos y grandes grupos de consumo. 5.1.2 Inflación (ϕ) La inflación es una subida duradera del nivel general de precios de los bienes y servicios de la economía. Existen varias explicaciones para el fenómeno de la inflación. Un enfoque sostiene que es consecuencia del desbalance que existe entre lo que demanda o lo que consume una economía y lo que ella produce u ofrece; otra escuela de pensamiento económico sostiene que es causa del exceso de moneda circulante (moneda corriente) en una economía. En el Perú, la inflación es calculada por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) sobre la base de una canasta básica de consumo familiar, actualmente la estructura de los costos de la Canasta Básica Familiar en el Perú está referida al año 2004. A partir del IPC la inflación se determina así:

ϕ0→ →t =

IPCt - IPC0 IPC0

*100%

5.2 TASA DE INTERÉS REAL (iR) Las tasas de interés que se han estudiado en los capítulos previos hacen referencia al valor nominal o corriente de la moneda2. Esta tasa llamada tasa corriente no toma en cuenta la pérdida del poder adquisitivo del dinero por el incremento de los precios de los bienes y servicios. Analice los siguientes ejemplos: 2

El valor nominal o corriente es el que usted puede leer en las monedas y billetes.

- 71 -

Se decide invertir a una tasa del 20% efectiva anual (tasa corriente) Hoy: Se tiene un monto de:

Luego de un año: Monto disponible:

M0= S/. 1000

M1=M0*(1 + i)

(monedas, billetes)

M1=M0*(1 + 20%) M1= S/. 1200 M0= S/. 1000 < M1= S/. 1200 Monedas, billetes ¡Tenemos más dinero!

¿Fue correcta la decisión? Aparentemente sí porque la masa monetaria aumentó. Asumamos que en ese año la inflación fue ϕ = 25% anual inflación ϕ = 25% anual Hoy:

Luego de un año:

M0= S/. 1000

M1= S/. 1200

Bien X Precio unitario del bien X:

Bien X Precio unitario del bien X:

S/. 20 ¿Cuántas unidades se puede comprar? 1000 Q0 = 20

= 20*(1 + ϕ= 25%) S/. 25 ¿Cuántas unidades se puede comprar? 1200 Q1 = 25

Q0 = 50 unidades

Q0 = 48 unidades Q0= 50

> Q1= 48

¡Tenemos más dinero! Comentarios a la decisión: Para una inflación de ϕ=25% anual y si hay una alternativa de inversión con una tasa de interés mayor al 25% anual, la decisión de invertir al 20% anual no pudo contrarrestar la pérdida de poder adquisitivo del dinero para comprar el bien X, la cual pudo haberse protegido invirtiendo en una alternativa con mayor tasa, en caso existiese. Sin embargo, observe que la peor decisión hubiese sido no invertir el dinero. ¿Por qué? Porque la pérdida del poder adquisitivo sería mayor a la que se generó al invertir al 20% anual.

- 72 -

A continuación se calculará un porcentaje que indicará cuánto se redujo el poder adquisitivo en cantidad de bienes X:

Q1= 48 unidades Hoy

0

1 año

Q0= 50 unidades 48 - 50

iR =

50 iR =

-4%

El signo negativo refleja la disminución de la capacidad adquisitiva del dinero.

La misma tasa iR = -4% se obtiene si aplicamos deflactación: St

Ct =

(1 + ϕ0 → t) Flujo de caja real:

C1 =

1200

960

(1 + ϕ= 25%)

C1 = 960 960 - 1000

iR =

1 año

0 1000

1000 iR =

-4%

- 73 -

Ahora usted decide invertir a una tasa del 50% efectiva anual (tasa corriente) Hoy: Se tiene un monto de:

Luego de un año: Monto disponible:

M0= S/. 1000

M1=M0*(1 + i)

(monedas, billetes)

M1=M0*(1 + 50%) M1= S/. 1500 inflación ϕ = 25% anual

Bien X Precio unitario del bien X:

Bien X Precio unitario del bien X:

S/. 20 ¿Cuántas unidades se puede comprar? 1000 Q0= 20

= 20*(1 + ϕ= 25%) S/. 25 ¿Cuántas unidades se puede comprar? 1500 Q1= 25

Q0=

50 unidades

Q1=

60 unidades

Q0= 50 < Q1= 60 ¡Compramos más!

Comentarios a la decisión: Para una inflación de ϕ=25% anual la decisión de invertir al 50% efectiva anual logró contrarrestar la pérdida de poder adquisitivo del dinero para comprar el bien X que provoca la tasa de inflación de 25% anual. A continuación se calculará un porcentaje que indicará cuánto se redujo el poder adquisitivo en cantidad de bienes X: Q1= 60 unidades Hoy

0

1 año

Q0= 50 unidades 60 - 50

iR = iR =

20%

50 El signo positivo refleja aumento de la capacidad adquisitiva del dinero.

Observe que a pesar del signo positivo del 20% que sugiere un incremento en la capacidad adquisitiva, la inflación sí provocó una merma sobre el poder adquisitivo del dinero porque si la inflación hubiese sido 0%, entonces la cantidad que habría podido comprar sería 75 unidades. Verifique usted dicho resultado calculando Q1 con P1=20*(1+ϕ); donde ϕ=0%; luego Q1=75>50 unidades.

- 74 -

La misma tasa iR = 20% se obtiene si aplicamos deflactación: Ct =

St (1 + ϕ0 → t) Flujo de caja real:

C1 =

1500

1200

(1 + ϕ= 25%)

C1 = 1200

iR = iR =

1 año

0

1200 - 1000

1000

1000 20%

Conclusión: ¡No siempre un aumento de la cantidad de dinero (monedas, billetes) implica un aumento de la de capacidad adquisitiva! Definición de tasa real: En los dos ejemplos anteriores se observa dos tasas, en el primer caso una tasa del 20% para la inversión y que mide cuánto en términos porcentuales aumentó la cantidad de billetes en soles, y la tasa del -4% que refleja mejor la realidad al medir porcentualmente cuánto aumenta o se reduce el poder adquisitivo. En este caso el -4% sugiere una reducción en la capacidad adquisitiva porque se adquiere menos bienes a pesar del aumento del efectivo o moneda corriente. Esta es la tasa real que se define como aquélla libre del efecto de la inflación y muestra el costo real de una operación de financiamiento o rentabilidad real de una operación de inversión. A continuación se presenta la deducción de una ecuación que relaciona la tasa de interés corriente, la tasa de interés real y la tasa de inflación: Hoy M0: dinero disponible (moneda, billete)

Precio unitario del bien X = P0

Luego de un año Tasa de interés i

Inflación ϕ

M1= M0*(1 + i)

Precio unitario del bien X por efecto de la inflación: P1= P0*(1 + ϕ) P1> P0 Consumo, cantidad de unidades del bien X que se puede adquirir: Q1 = M1 / P1

Consumo, cantidad de unidades del bien X que se puede adquirir: Q0 = M0 / P0

- 75 -

Para hallar la tasa de interés real comparamos la capacidad adquisitiva en el tiempo: iR =

Q1 - Q0

→

Q0

iR =

Q1

-1

Q0

Reemplazando: M0(1 + iC)

M1 iR =

P1

→

-1

M0

iR =

P0(1 + ϕ) M0

-1

P0

P0 Simplificando M0/P0: iR =

(1 + iC) (1 + ϕ)

-1

iC - ϕ

iR =

1+ϕ

Finalmente:

i C = i R + ϕ + i R *ϕ Donde: iR : es la tasa real. iC : es la tasa corriente. ϕ: es la inflación. Observaciones: 1. En la ecuación anterior las tres tasas deben estar expresadas en el mismo período de tiempo. 2. La ecuación iC = iR + ϕ + iR*ϕ se aplica en aquellos períodos de tiempo en donde la inflación es constante.

5.3 TASA DE INTERÉS CORRIENTE (iC) La tasa efectiva que habitualmente usamos en las operaciones de crédito e inversión está estrechamente vinculada a la moneda que circula en la economía. Esa es la tasa corriente que hace referencia al valor nominal o corriente de la moneda e incluye según iC = iR + ϕ + iR*ϕ a la tasa real y la inflación y de esa ecuación se obtiene:

(1 + iC) = (1 + iR)*(1 + ϕ) En esta expresión se observa por qué la tasa de interés corriente es llamada también inflada y es porque el factor (1 + iR) de la tasa real está afectado por el factor de la inflación (1 + ϕ)>1.

- 76 -

5.4 EFECTO DE LA INFLACIÓN EN EL FLUJO DE CAJA Y LA DEFLACTACIÓN Es importante indicar que en la economía es la moneda corriente la que circula y la que se usa como medio de intercambio. La llamada “moneda real” físicamente no existe pero se obtiene a partir de la moneda corriente con la técnica de deflactación. Los flujos de caja se pueden plantear de las siguientes formas: Con flujos de caja corrientes, usando dinero en términos corrientes, con tasa de interés corriente. Con flujos de caja reales, usando dinero en términos de moneda real, con tasa de interés real. 5.4.1 Deflactación ¿Cómo se obtiene un flujo de caja real a partir de un flujo de caja corriente? Los flujos de caja reales se obtienen deflactando los flujos de caja corriente. Observe el gráfico de la página siguiente, entonces, la metodología para deflactar un monto corriente St en una fecha “t” consiste en determinar la inflación acumulada desde el período base “0” a la fecha “t” y se le divide entre el deflactor (1 + ϕ0 → t) según la siguiente expresión:

St Ct =

(1 + ϕ0 → t)

…(1)

El importe Ct obtenido se denomina la “moneda real” o valor del importe St en términos reales. El período “0” es el período base que es el tiempo de referencia para definir el poder adquisitivo de la moneda corriente. Hasta aquí se ha explicado la metodología para la deflactación, como una técnica para obtener un flujo de caja en moneda real a partir de un flujo de caja en moneda corriente, usando la ecuación (1). Pero ¿qué significa deflactar? ¿Esta técnica tiene un origen intuitivo? Deflactar un flujo de caja significa expresarlo en términos de una moneda de poder adquisitivo constante, esta es la moneda real. ¿Cómo lograr el poder adquisitivo constante? Si los precios fuesen constantes de un período a otro, significa que la inflación es cero ϕ=0, entonces, esto es similar a que el precio de ayer se mantuviera hoy y mañana vigente sin ninguna variación. Entonces al deflactar un monto corriente con el fin de presentarlo en moneda de poder adquisitivo constante, es equivalente a decir que lo expresamos a precios de ayer, en otras palabras ϕ=0%. En la página 77 se aclara el concepto con un ejemplo intuitivo.

- 77 -

Deflactación: Flujo de Caja Corriente:

Deflactación: St

P

Ct = (1 +

0

1

2

3

n

t

Flujo de Caja Real: P

ϕ 0 → t)

0

1

2

S1

C2 St

S2

t

n

C3

C1 S3

3

Cn Ct

Sn

S1, S2, S3, St , Sn son los montos corrientes, moneda con valor

C1, C2, C3, Ct , Cn son los montos expresados en términos

nominal "lo que se lee en los billetes".

de moneda real, moneda en términos de un período base.

- 78 -

¿Qué significa en “términos de una moneda de poder adquisitivo constante”? Ahora usted decide invertir a una tasa del 50% efectiva anual (tasa corriente) Hoy: Se tiene un monto de:

Luego de un año: Monto disponible:

M0= S/. 1000

M1=M0*(1 + i)

(monedas, billetes)

M1=M0*(1 + 50%) M1= S/. 1500 inflación ϕ = 25% anual

Bien X Precio unitario del bien X:

Bien X Precio unitario del bien X:

S/. 20 ¿Cuántas unidades se puede comprar? 1000 Qayer= 20

= 20*(1 + ϕ= 25%) S/. 25 ¿Cuántas unidades se puede comprar? 1500 Qhoy= 25

Qayer= 50 unidades

Qhoy= 60 unidades Qayer= 50 < Qhoy= 60 ¡Compramos más!

¿Cuánto en soles hubiese gastado ayer para comprar las 60 unidades? 60 unidades*S/. 20 por cada unidad = S/. 1 200 a precios de ayer, es decir,

ϕ=0%.

Se pregunta a precios de ayer ¿Cuánto pagó por las 60 unidades el día de hoy (luego de un año)?: S/. 1 500. S/. 1 200 < S/. 1 500 nos da una idea que hoy se necesita más dinero que ayer para comprar las mismas 60 unidades. ¿Y si deflactamos los S/. 1 500 en la fecha de hoy y respecto de ayer?

Ct = C1 = C1 =

St (1 + ϕ0 → t) 1500 (1 + 25%) S/. 1200 reales ¡el mismo resultado!

Conclusión: al expresar las 60 unidades a precios de ayer, usted asume para el día de hoy, el precio de ayer, el cual es S/. 20 por unidad. Los S/. 1200 obtenidos físicamente no existen, lo que usted tiene en su mano son S/. 1 500 en monedas o billetes. Estos S/. 1 200 también se obtienen al aplicar la expresión para deflactar.

- 79 -

Caso 1: deflactación cuando la inflación es constante Ejemplo Una persona invierte S/. 1 000 y recibe cada mes S/. 700 durante dos meses. Se sabe que la inflación oficial mensual fue de 1.5% y es constante. Flujo de caja corriente: S/. 700

0

1

ϕ = 1.5%

1000

2 meses

ϕ = 1.5%

Equivalencia en t=0: 1000 = 700*(P/A , icorriente , 2) icorriente = 25.692% efectiva mensual>0

¿Cuál será su verdadera rentabilidad? Para responder a esta pregunta se elabora un flujo de caja real: Flujo de caja real: C1

0

1

1000

C1 , C2 son montos reales. ¿Cómo se obtiene un flujo real a partir de un flujo de caja corriente? Deflactando los flujos corrientes. St

Ct

=

C1

=

C1

= 689.66

(1 + ϕ0 → t) S1 (1 + ϕ0 →1)

=

700 (1 + 1.5%)

.

- 80 -

C2

2 meses

S2

C2

=

C2

= 679.46

=

(1 + ϕ0 →2)

700 (1 + 1.5%)*(1 + 1.5%)

Flujo de caja real: 689.66

0

679.46

1

2 meses

1000 Equivalencia en t=0: 1000 =

689.66

+

(1 + iR)

679.46 (1 + iR)

2

iR = 23.834% efectiva mensual iR = 23.834% efectiva mensual < icorriente = 25.692% efectiva mensual El procedimiento anterior puede abreviarse usando la ecuación iC = iR + ϕ + iR*ϕ porque la inflación es constante en cada mes: iC - ϕ Despejando iR: iR = 1+ϕ iR

=

25.692% - 1.5% 1 + 1.5%

iR = 23.834% efectiva mensual ¡Se obtiene el mismo resultado!

Caso 2: deflactación cuando la inflación no es constante Ejemplo Caso 1 (al final de este capítulo).

- 81 -

CASO 1 El Sr. Pérez realizó un préstamo hace cuatro meses con el propósito de obtener una rentabilidad real de 3% mensual. La modalidad de pago acordada era mediante cuotas mensuales que aumentaban 10% cada mes. El cálculo de dichas cuotas se hizo basado en que la inflación sería de 2.4% mensual, valor que se mantendría constante. Hoy día (1º de mayo) haciendo cálculos sobre la rentabilidad que ha obtenido de este préstamo, el Sr. Pérez llegó a la conclusión que si el monto del préstamo lo hubiera guardado en su caja fuerte, hoy en día tendría un poder adquisitivo de 4 687.23 u.m. Los valores de inflación de los últimos meses son los siguientes: INFLACIÓN OFICIAL MENSUAL Diciembre 2.40% Enero 1.95% Febrero 2.50% Marzo 3.70% Abril 3.00% Se pide: a) ¿Cuál fue el monto de las cuotas pactadas? b) ¿Cuál fue el costo corriente de este crédito? c) Finalmente, ¿cuál fue la rentabilidad real obtenida por el Sr. Pérez?

- 82 -

SOLUCIÓN CASO 1 Flujo de caja…

0

1

2

3

Pt=0 Equivalencia en t=0: Pt=0 = A(P/A* , i , g , n) Pt=0 = A(P/A* , i , 10 , 4) … (1) b) La tasa de rentabilidad corriente del Sr. Pérez es:

ϕ)-1 iC = iR + ϕ + iR* ϕ iC = ( 1 + iR )( 1 +

Donde: iC: tasa corriente o tasa de costo efectivo del préstamo iR: tasa de estimada de rentabilidad real del prestatario = 3% mensual

ϕ: expectativa de inflación o proyección de inflación = 2.4% mensual iC = 0.03 + 0.024 + 0.03*0.024 iC = Caja fuerte:

Pt=0 (1 + ϕ enero→abril)

=

…(2)

Inflación acumulada

Reemplazando en (2): Pt=0 (1 + 11.616%)

= 4687.2

Pt=0 =

- 83 -

4 meses Fines de abril

Reemplazando Pt=0 = S/. 5231.71 y iC = 5.472% en (1): Pt=0 = A(P/A* , i , 10% , 4) … (1) 5231.71 = A(P/A* , 5.472% , 10% , 4) A= a) Cuota 1 = Cuota 2 = Cuota 1*(1 + 10%) = 1293.77*1.10 = 2

2

3

3

Moneda corriente

Cuota 3 = Cuota 1*(1 + 10%) = 1293.77*1.10 = Cuota 4 = Cuota 1*(1 + 10%) = 1293.77*1.10 = c) Deflactando los montos corrientes: St Ct = (1 + ϕ0→ t) C1 = C2 = C3 = C4 =

(1 + 1.95%)

=

(1 + 1.95%)(1 + 2.5%)

=

(1 + 1.95%)(1 + 2.5%)(1 + 3.7%)

=

(1 + 1.95%)(1 + 2.5%)(1 + 3.7%)(1 + 3%)

=

Flujo de caja real del Sr. Pérez por el préstamo que hizo: 1444.62 1361.88 1269.03

0

1

2

3

4 meses Fines de abril

5231.71

5231.71 = 1269.03(P/F , iR , 1) + 1361.88(P/F , iR , 2) + 1444.62(P/F , iR , 3) + 1542.80(P/F , iR , 4) iR =

< 3% mensual que fue la expectativa de rentabilidad real

- 84 -

CAPÍTULO 6 CONCEPTOS CONTABLES BÁSICOS

6.1 DEFINICIÓN DE CONTABILIDAD La contabilidad, puede definirse como el proceso de recopilación, clasificación, registro, análisis e interpretación de la situación económica y financiera de una entidad (empresa o entidad pública), con el propósito de quienes usan la información contable puedan tomar decisiones. Recopilación: Consiste en recoger los documentos de interés para la contabilidad y que llegan a la empresa: facturas, guías de remisión, pagarés, letras de cambio, cheques, estados de cuenta, documentos de importación, entre otros. Clasificación y registro: En esta etapa se clasifican los documentos según las diversas cuentas tales como caja y bancos, clientes, mercaderías, proveedores, entre otras. Resumen, elaboración: Etapa en la cual se transforma la información recopilada, clasificada y anotada en términos breves y precisos para un período determinado. Esta es la etapa en donde se elaboran los estados financieros. Análisis e interpretación: Finalmente, se analizan los saldos monetarios de los estados financieros emitidos para obtener conclusiones sobre la situación económica y financiera de la empresa, su gestión y comparar estos resultados con períodos pasados o el desempeño de empresas similares del sector. Finalmente, la contabilidad es una herramienta eficaz que permite: • •

•

Elaborar información para efectuar el proceso de control interno al comparar el desempeño actual con lo que se planificó. Con la información emitida, evaluar su situación económica que abarca el análisis de la rentabilidad y utilidad; su situación financiera que abarca el análisis de la liquidez y solvencia; evaluar la gestión de la empresa, tales como, su política de créditos otorgados a clientes, política de pagos, política de ventas, entre otras. Diseñar estrategias y tomar decisiones.

6.2 ESTADOS FINANCIEROS Son reportes que muestran para un período determinado, aspectos de la información económica y financiera de la empresa, atendiendo a un orden y lenguaje contable definido. Los estados financieros son importantes medios de información, por esta razón, son solicitados por diversos usuarios tales como bancos, agentes de bolsa, inversionistas, entidades tributarias y gerentes; cada uno de ellos usa la información contable para propósitos distintos, así por ejemplo, las entidades tributarias analizan los estados financieros para fiscalizar la declaración de los impuestos que la empresa debe pagar al Estado; los inversionistas usan la información para formar sus expectativas de rentabilidad y decidir si invierten o no en la empresa. Ahora, piense usted para qué fines un gerente, bancos, proveedores usan la información contable. Los principales estados financieros son: El balance general. El estado de ganancias y pérdidas.

- 85 -

6.3 EL BALANCE GENERAL El balance general es el estado que muestra la situación económica y financiera de una empresa a una fecha determinada y en donde se presenta ordenados el activo, pasivo y patrimonio, es decir, los recursos del negocio, lo que debe a terceros y el capital aportado por los dueños, respectivamente, por tanto muestra, todo lo que posee la empresa y todo lo que debe. Una característica que resalta en el balance general es el cumplimiento del principio de contabilidad llamado Partida Doble: ACTIVO = PASIVO + PATRIMONIO 6.3.1 Cuentas del balance general ACTIVO Son los bienes y derechos que son propiedad de la empresa a la fecha de emisión del balance general. También se define como los recursos que son propiedad de un negocio, de los cuales se espera que rindan utilidades en el futuro. Así por ejemplo, las mercaderías son un tipo de activo que rendirá utilidades en períodos futuros cuando se vendan. Los activos se clasifican en: Activos circulantes o corrientes. Activos no circulantes o no corrientes. Activo circulante o corriente Parte del activo formado por cuentas que representan efectivo o que pueden convertirse en efectivo, consumirse o venderse en un plazo menor a un año. Algunas cuentas del activo corriente son: Caja y Bancos: su saldo representa el efectivo que la empresa dispone. Cuentas por Cobrar Comerciales: conformadas por el monto de los créditos que concede la empresa a sus clientes, tales como, facturas por cobrar y letras por cobrar. Cuando esos montos se cobran, se convierten en efectivo. Existencias: también llamado inventarios son los bienes tangibles de propiedad de la empresa que: • Se van a consumir en la producción de mercancías o de servicios que se venderán en el futuro, así por ejemplo, la materia prima que se usa para la fabricación de los productos que posteriormente se venden. • Se encuentran aún en proceso de fabricación, es el caso de los productos en proceso. • Se tienen para su venta durante el ciclo normal del negocio, éstos son los productos terminados que se venden. Activo no circulante o no corriente Activos de la empresa cuya convertibilidad en efectivo se realiza en períodos mayores a un año. Algunas cuentas del activo no corriente son: Activos Fijos: representan bienes tangibles de carácter permanente cuyo propósito es servir a las actividades de la empresa. Son de monto relativamente alto y normalmente no se destinan a la venta. Son ejemplos de activos fijos las maquinarias, equipos, locales e inmuebles.

- 86 -

Depreciación Acumulada: muestra el importe acumulado de los gastos de depreciación que periódicamente se calculan como porcentaje del costo de adquisición del activo fijo. Este concepto se desarrollará con detalle en el capítulo 8. Activos Intangibles: incluye activos cuya naturaleza no es material (no tienen sustancia física) y representan por ejemplo, ventajas competitivas de la empresa. Mencionamos entre otros, las marcas, patentes y franquicias. PASIVO Representan el total de deudas u obligaciones de pago que la empresa tiene con terceros (financiación con deuda o financiación ajena). Los pasivos se clasifican en: Pasivo circulante o corriente. Pasivo no circulante o no corriente. Pasivo circulante o corriente Son aquellas obligaciones de la empresa con terceros y con plazos menores a un año. Algunas cuentas del pasivo corriente son: Sobregiros y Pagarés Bancarios: por los financiamientos a corto plazo con el banco. Cuentas por Pagar Comerciales: incluye las obligaciones de la empresa originados por los créditos recibidos de parte de los proveedores por la adquisición de bienes o servicios en operaciones relacionadas con el giro del negocio. Otras Cuentas por Pagar: agrupa los tributos pendientes de pago (IGV, Impuesto a la Renta), remuneraciones por pagar, dividendos por pagar entre otros. Parte Corriente de las Deudas de Largo Plazo. Pasivo no circulante o no corriente Son aquellas obligaciones de la empresa con terceros que se cancelan en plazos mayores a un año. Algunas cuentas del pasivo no corriente son: Deudas a Largo Plazo: incluye la parte no corriente de las deudas de largo plazo con bancos y otras entidades financieras cuyo vencimiento es posterior al año siguiente contado desde la fecha de emisión del balance general. Ejemplos de este tipo de deuda son las hipotecas por pagar, leasing, emisión de bonos y otros préstamos bancarios de largo plazo. La parte de esta deuda que vence en el año siguiente de la fecha de emisión del balance general se presenta en la cuenta Parte Corriente de las Deudas a Largo Plazo en el pasivo corriente. PATRIMONIO Son las obligaciones de la empresa que tiene con los propietarios o dueños de ésta, así como las utilidades acumuladas desde la fecha de constitución del negocio. Algunas cuentas del patrimonio son: Capital Social: su saldo representa los fondos aportados por los dueños e inversionistas sobre la propiedad de la compañía. Resultados Acumulados: muestra las utilidades o pérdidas acumuladas obtenidas por la empresa, desde el inicio de sus operaciones hasta la fecha de emisión del balance general.

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6.4 EL ESTADO DE GANANCIAS Y PÉRDIDAS El estado de ganancias y pérdidas o estado de resultados presenta la relación de los ingresos y gastos de un determinado período de tiempo, y de cuya diferencia se obtiene los resultados de la empresa, que son las utilidades o pérdidas del período referido. Esta diferencia obtenida actualiza la cuenta Resultados Acumulados del balance general. 6.3.2 Cuentas del estado de ganancias y pérdidas Ventas Brutas Muestra el importe de los productos vendidos al contado o crédito y sin IGV durante el período al que se refiere el estado de ganancias y pérdidas; por lo general, este período es un año. A las ventas brutas se le resta las devoluciones de los clientes y los descuentos concedidos por la empresa a sus clientes por las ventas realizadas; el importe resultante es la venta neta. Costo de Ventas Es el costo incurrido en los productos que fueron vendidos en el período, es decir, es el costo de las mercaderías vendidas. Utilidad Bruta Utilidad Bruta = Ventas Netas - Costo de Ventas Gastos de Administración Son los gastos vinculados con la gestión administrativa, y agrupa las cuentas de sueldos del personal administrativo, alquileres, gastos legales, servicios prestados por tercero, tales como, agua, teléfono, energía eléctrica, depreciación y mantenimientos de los activos fijos de las áreas administrativas. Gastos de Ventas Los gastos de publicidad, comercialización y distribución de las mercaderías vendidas y comisiones de los vendedores, son parte de los gastos de ventas. Utilidad Operativa Es la diferencia de los ingresos y gastos vinculados a las operaciones propias del giro del negocio, no incluye los gastos financieros. Utilidad Operativa = Utilidad Bruta - Gastos de Ventas - Gastos de Administración Gastos Financieros Muestra los intereses de los préstamos obtenidos y otros gastos vinculados a la función financiera, tales como, portes, gastos por emisión de chequeras, comisiones por mantenimiento de cuentas corrientes. Resultados Antes de Impuestos (Utilidad Antes de Impuestos) Utilidad Antes de Impuestos = Utilidad Operativa - Gastos Financieros Impuesto a la Renta Muestra el monto del tributo que grava la renta generada en el período por la actividad empresarial, como por ejemplo, el comercio, manufactura, minería explotación agropecuaria, forestal, pesquera, o de otros recursos naturales; de la prestación de servicios tales como transportes, bancos, financieras, comunicaciones, hoteles, entre otros. Utilidad Neta del Ejercicio Utilidad Neta del Ejercicio = Utilidad Antes de Impuestos - Impuesto a la Renta

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COMPAÑÍA MISSONI S.A. Balance General Al 31 de diciembre de 1998 (en nuevos soles) ACTIVO

PASIVO

ACTIVO CORRIENTE Caja y Bancos Cuentas por Cobrar Comerciales Existencias TOTAL ACTIVO CORRIENTE

PASIVO CORRIENTE Sobregiros y Pagarés Bancarios Cuentas por Pagar Comerciales Otras Cuentas por Pagar TOTAL PASIVO CORRIENTE

5000 260000 455000 720000

ACTIVO NO CORRIENTE Inmuebles, Maquinaria y Equipo (neto de depreciación acumulada)

TOTAL ACTIVO NO CORRIENTE

20000 170000 30000 220000

PASIVO NO CORRIENTE 780000

Deuda de Largo Plazo

549500

TOTAL PASIVO NO CORRIENTE

549500

TOTAL PASIVO

769500

780000

PATRIMONIO

TOTAL ACTIVO

Capital Social Resultados Acumulados

465000 265500

TOTAL PATRIMONIO

730500

TOTAL PASIVO Y PATRIMONIO

1500000

1500000

Notas a los Estados Financieros al 31 de diciembre de 1998 (en nuevos soles) Costo: 900000 Edificios 260000 Maquinaria y Equipos 1160000 Total Depreciación Acumulada: (Depreciación Acumulada Inmueble) (Depreciación Acumulada Maquinaria y Equipos) Total

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(200000) (180000) (380000)

COMPAÑÍA MISSONI S.A. Estado de Ganancias y Pérdidas Para el año que terminó el 31 de diciembre de 1998 (en nuevos soles)

Ventas Netas

1600000

Costo de Ventas

(1060000)

Utilidad Bruta

540000

Gastos de Administración

(260000)

Gastos de Ventas

(110000)

Utilidad Operativa

170000

Gastos Financieros

(61000)

Utilidad Antes de Impuesto a la Renta

109000

Impuesto a la Renta

(32700)

UTILIDAD NETA DEL EJERCICIO

76300

- 90 -

CAPÍTULO 7 COSTO PONDERADO DE CAPITAL

7.1 FINANCIAMIENTO CON EMISIÓN DE ACCIONES Las acciones son títulos valores mobiliarios representativos de la propiedad de una empresa.

7.1.1 Acciones preferentes y acciones comunes Las acciones preferentes y su naturaleza Las acciones preferentes son similares en algunos aspectos a los bonos ya que los dividendos (generalmente) son fijos como los intereses de los bonos, sin embargo, las acciones preferentes por lo general no tienen fecha de vencimiento. Asimismo, al igual que las deudas por emisión de bonos, llevan un compromiso por parte del emisor de hacer pagos periódicos fijos, sin embargo, este pago, depende de la decisión de los administradores de la empresa emisora. Los derechos de los accionistas preferentes son prioritarios respecto a los accionistas comunes en cuanto a las reclamaciones sobre los activos del negocio en caso de bancarrota, pero no mayores a los tenedores de los bonos. Los dividendos de los accionistas preferentes son limitados en cuanto al monto con respecto a los accionistas comunes, pero tienen preferencia en el pago. En las emisiones de acciones preferentes a menudo se indica que la empresa debe pagar todos los dividendos preferentes antes de que puedan pagarse a los accionistas comunes. El accionista preferente tiene derecho a voto limitado. Las acciones comunes y su naturaleza Los accionistas comunes tienen derecho pleno a voto, por esta razón son los que tienen el control de las actividades de la empresa, así por ejemplo, participan en las decisiones de reforma de la constitución y fusiones de la empresa, elección de sus directivos, autorización de venta de activos fijos, entre otras. En caso de quiebra, sus derechos a reclamaciones por los activos residuales están en último lugar después de los acreedores (terceros) y los accionistas preferentes; esta característica genera que el accionista común asuma el mayor riesgo entre todos los agentes que participan en una empresa. Reciben con mayor énfasis las ventajas o desventajas del mayor apalancamiento de la empresa. Al igual que las acciones preferentes, no tienen fecha de vencimiento. Ejemplo 1 Acciones preferentes Valor nominal: Precio de colocación: Gastos de emisión: Dividendos esperados:

S/. 12 S/. 8 1% 7%

sobre el valor nominal trimestral del valor nominal

KC = D / (PC - GE ) KC = (7%)*(12) / (8 - 1%*12) = 10.660% trimestral ; 49.955% anual 49.955% anual es el costo financiero del financiamiento con acciones preferentes

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Acciones comunes Valor nominal: S/. 20 Precio de colocación: S/. 22 Gastos de emisión: 1.5% Dividendos esperados: 5 Crecimiento esperado de los dividendos: 6%

sobre el valor nominal el primer semestre semestral

KC = D / (PC - GE) + g KC = 5 / (22 - 1.5%*20) + 0.06 = 29.041% semestral ; 66.517% anual 66.517% anual es el costo financiero del financiamiento con acciones comunes Se observa KCAC>KCAP

7.2 ESTRUCTURA Y COSTO DEL CAPITAL El capital de una empresa se puede generar a través de dos fuentes de financiamiento que son la financiación con deuda y la financiación propia. Financiación con deuda y el costo de la deuda Es el capital generado a través de los préstamos obtenidos con terceros y que debe pagarse a una tasa de interés pactada y en fechas acordadas. Son ejemplos de fuentes de deuda el financiamiento vía emisión de bonos, hipotecas de inmuebles, leasing para adquisición de activos fijos, préstamos bancarios. Como es una obligación con terceros, entonces genera incremento del pasivo (ver balance general, página 87). El costo de cada una de estas formas de financiamiento tiene un flujo de caja y se puede determinar tasa de costo efectivo con el concepto de equivalencia, este costo del crédito se le identifica como KD y es llamado costo del financiamiento con deuda, o del financiamiento con terceros. Financiación propia y el costo del capital propio Es el capital generado a través del aporte de los accionistas, ya sea en efectivo u otro tipo de activos. Son ejemplos de fuentes de financiación propia la emisión de acciones, aportes de capital de otras empresas, y la reinversión de las utilidades retenidas por la empresa. Esta obligaciones generan incremento del patrimonio. Las acciones preferentes y comunes tienen sus modelos vistos en el acápite 7.1 con los que se determina su costo, se los identifica como KC, y es llamado el costo del financiamiento con capital propio. Una vez analizadas todas las posibles fuentes de capital para el proyecto, se determina la estructura óptima de financiamiento que muestra el monto financiado por terceros y el monto del aporte propio, el total es el monto de la inversión del proyecto.

- 92 -

Diferencias entre el financiamiento con deuda de terceros y con aporte propio Financiamiento con deuda con terceros Ejemplo: Financiamiento mediante emisión de bonos El emisor sí tiene obligación legal de pagar los intereses y la redención del bono. Se incurre en incumplimiento por obligación.

Financiamiento con aporte propio Ejemplo: Financiamiento mediante emisión de acciones preferentes y acciones comunes El emisor no tiene obligación legal de pagar dividendos, por tanto, la empresa no incurre en incumplimiento por obligación.

Tiene fecha fija de vencimiento.

No tiene fecha fija de vencimiento.

Los intereses de los bonos, y en general los intereses generados por deuda con terceros sí son deducibles para reducir el pago del Impuesto a la Renta.

Los dividendos de las acciones preferentes y acciones comunes no son deducibles como gasto para reducir el pago del Impuesto a la Renta.

Desde el punto de vista del inversionista, por lo general se observa: Rentabilidadbono < Rentabilidadacciones preferentes < Rentabilidadacciones comunes Riesgobono < Riesgoacciones preferentes < Riesgoacciones comunes Reclamaciones sobre activosbono > Reclamaciones sobre activosacciones preferentes > Reclamaciones sobre activosacciones comunes

Desde el punto de vista del emisor de acciones, por lo general: Costo financierobono < Costo financieroacciones preferentes < Costo financieroacciones comunes

7.3 EL COSTO PONDERADO DE CAPITAL (K) Calculados los costos de las fuentes (KC y KD) y definida la estructura óptima de financiamiento se puede calcular una tasa única llamada costo ponderado de capital que como su nombre sugiere, es el promedio ponderado de los costos de las fuentes de financiamiento y se calcula de la siguiente manera:

K=

D D+C

*KD

+

C D+C

*KC

Donde: D: importe de la financiación con deuda (o deuda con terceros). C: importe del aporte propio. KD: tasa de costo efectivo de la deuda. KC: tasa de costo efectivo del aporte propio.

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Ejemplo 2 Para un proyecto se necesita una inversión de S/. 700 000 monto que se financia de la siguiente manera: Monto aportado por la fuente

Costo

Fuente 1

300000

KD1 = 30% anual

Fuente 2

250000

KD2 = 35% anual

Fuente 3

50000

KD3 = 45% anual

Monto aportado por la fuente

Costo

Fuente 1

100000

KC1 = 50% anual

Total

700000

Fuentes de terceros:

Fuentes propias:

Se pide: a) Determinar el costo ponderado de capital antes de impuestos. b) Determinar el costo ponderado de capital después de impuestos.

a) El costo ponderado de capital antes de impuestos:

Ka.i. =

(300000)(30%) + (250000)(35%) + (50000)(45%) + (100000)(50%) 300000 + 250000 + 50000 + 100000

Ka.i. = 35.714% anual

7.4 ESCUDO TRIBUTARIO DE LOS GASTOS FINANCIEROS Es el incremento de la liquidez (efectivo) generado por la deducción de los gastos financieros lo cual reduce el pago del Impuesto a la Renta.3 Sean dos escenarios para la empresa ABC S.A. Escenario 1: La empresa financia un proyecto de inversión cuyo capital es S/. 1 000 prestado por terceros a una tasa del 20% efectiva anual. La deuda con terceros genera intereses (gastos financieros) iguales a: Tasa de interés del préstamo*Monto de la deuda 20%*S/. 1 000= S/. 200 son los intereses Escenario 2: La empresa financia un proyecto de inversión cuyo capital es S/. 1 000 con aporte propio. El aporte de capital propio no genera gastos financieros sino dividendos. 3

Recuerde que el principal componente de los gastos financieros son los intereses de la deuda con terceros. Ver capítulo 6.

- 94 -

En ambos escenarios las ventas son S/. 10 500, los costos de ventas S/. 7 000, gastos administrativos S/. 1 400 y los gastos de ventas S/. 1 100. La tasa T del Impuesto a la Renta es de 30% de las utilidades antes de impuestos. Se elabora para cada escenario el estado de ganancias y pérdidas: ABC S.A. Estado de Ganancias y Pérdidas Para el año que terminó… (en nuevos soles) Escenario (1)

Escenario (2)

Ventas

10500

10500

Costo de Ventas

(7000)

(7000)

3500

3500

Gastos de Administración

(1400)

(1400)

Gastos de Ventas

(1100)

(1100)

Utilidad Operativa

1000

1000

Gastos Financieros

(200)

0

200

800

1000

200

(240)

(300)

60

560

700

140

Utilidad Bruta

Utilidad Antes de Impuesto a la Renta Impuesto a la Renta Utilidad Después de Impuesto a la Renta

Diferencia

En el escenario (2), en el cual no hay gastos financieros, se observa lo siguiente: Utilidad Después de Impuesto a la Renta = S/. 700 En el escenario (1) sí hay gastos financieros iguales a S/. 200, y como estos disminuyen las utilidades, se esperaba que la Utilidad Después de Impuesto a la Renta en ese escenario sea S/. 200 menor que la Utilidad Después de Impuesto a la Renta del escenario (2), es decir: ¿Utilidad Después de Impuesto a la Renta (1): 700 - 200 = S/. 500? ¡No! Porque al observar el estado de ganancias y pérdidas del escenario (1) vemos que la Utilidad Después de Impuesto a la Renta no es S/. 500 sino S/. 560, es decir, hay S/. 60 a favor de la empresa en el escenario (1). Además: Impuesto a la Renta (2) - Impuesto a la Renta (1) = 340 - 240 = S/. 60 Es decir, en el escenario (1) el Impuesto a la Renta es menor, y se genera un ahorro llamado escudo tributario o ahorro impositivo igual a S/. 60. La deducción4 de los gastos financieros iguales a S/. 200 es lo que causa este ahorro de S/. 60 que incrementa la utilidad del escenario (1): 500 + 60 = S/. 560 = Utilidad Después de Impuesto a la Renta (1) Se puede demostrar que el ahorro impositivo se calcula también así: Gastos Financieros*Tasa del Impuesto a la Renta = 200*0.30 = S/. 60 4

En este caso, entienda el término “deducción” como la resta de los Gastos Financieros de la Utilidad Operativa; en general, una deducción de gastos es restar el gasto de las ventas.

- 95 -

Resumiendo el ahorro impositivo generado por la deducción de los gastos financieros o también llamado escudo tributario de los gastos financieros es: ESCUDO TRIBUTARIO POR GASTOS FINANCIEROS = Gastos Financieros* T ESCUDO TRIBUTARIO POR GASTOS FINANCIEROS = i*D*T Donde: i: tasa de interés de la deuda con terceros. D: monto de la deuda con terceros. i*D: monto de los intereses (gastos financieros). T: tasa del Impuesto a la Renta.

7.5 COSTO DE LA FINANCIACIÓN CON DEUDA DESPUÉS DE IMPUESTO A LA RENTA Como los gastos financieros generan ahorro impositivo a favor del prestatario, que es el agente que recibe el préstamo, entonces, el costo de ésta deuda es menor. En el siguiente ejemplo un prestatario solicita un préstamo por un monto D a una tasa de interés efectiva “i%” en el período, su flujo de caja es el siguiente:

D Ahorro impositivo = GF*T

i

= i*D*T 0

1

D(1 + i)

El flujo de caja muestra en t=1 el ahorro impositivo de los gastos financieros, el saldo neto en t=1 se muestra en el flujo siguiente:

D

0

1

D(1 + i) - i*D* T La tasa de costo efectivo: D = [D(1 + i) - i*D*T](P/F , icf , 1) icf = icf =

D(1 + i) - i*D*T D i*(1 - T)

-1 id.i. = i*(1 - T)

- 96 -

En la expresión icf = i*(1 - T) se verifica que el costo de la deuda "i" luego de deducir los gastos financieros, se reduce de "i" a " i*(1 - T) "; en general : KD(d.i.) = KD(a.i.)*(1 - T) y se cumple KD(d.i.) < KD(a.i.) Donde: KD(d.i.): tasa de costo efectivo de la deuda después de Impuesto a la Renta. KD(a.i.): tasa de costo efectivo de la deuda antes de Impuesto a la Renta. T: tasa del Impuesto a la Renta. Respecto a los dividendos que generan las acciones, éstos no son deducibles para efecto del Impuesto a la Renta, entonces, no generan escudo tributario.

7.6 EL COSTO PONDERADO DE CAPITAL DESPUÉS DE IMPUESTO A LA RENTA La expresión para calcular el costo ponderado de capital después de Impuesto a la Renta es la siguiente:

Kd.i. =

Kd.i. = .

D D+C D D+C

*KD(d.i.)

*KD(a.i.)*(1

+

- T)

C D+C

+

*KC

C D+C

*KC

Donde: D: importe de la financiación con deuda (o deuda con terceros). C: importe del aporte propio. KD(d.i.): tasa de costo efectivo de la deuda después de Impuesto a la Renta. KC: tasa de costo efectivo del aporte propio. Ejemplo 3 En el ejemplo 2, determine el costo ponderado de capital después de impuestos, si la tasa del Impuesto a la Renta es 30%. b) Kd.i.=

(300000)(30%)(1 - 30%) + (250000)(35%)(1 - 30%) + (50000)(45%)(1 - 30%) + (100000)(50%)

300000 + 250000 + 50000 + 100000

Kd.i.= 27.143% anual ∈ [21% , 50%] Kd.i.= 27.143% anual < Ka.i. = 35.714% anual ∈ [30% , 50%]

- 97 -

CASO 1 Para un proyecto de fabricación de material médico de plástico se ha determinado que el monto de la inversión es el siguiente: Capital de trabajo Maquinaria y equipos Moldes de inyección Local e instalaciones (planta) Total

250 000 500 000 150 000 850 000 S/. 1 750 000

Para financiar este proyecto se disponen de las siguientes fuentes de financiamiento: Líneas de corto plazo: Sólo para financiamiento del capital de trabajo: Pagaré en dólares El monto máximo es US$ 100 000 con una comisión de apertura de 1.0%. La tasa es de 60% nominal anual, capitalización mensual y el pago es único dentro de 4 meses. Pagaré en nuevos soles El monto máximo es S/. 250 000 sin comisión de apertura. La tasa es de 50% efectiva anual y el pago es único dentro de 4 meses. Líneas de mediano plazo: Sólo para financiamiento del capital de trabajo y moldes de inyección: AMERICAN BANK: línea en dólares Monto máximo : US$ 120 000 Tasa al vencimiento : 3.5% efectiva mensual Forma de pago : cuotas mensuales con amortización constante Períodos de gracia : dos meses Plazo : 2 años BANCO DEL SUR: línea en nuevos soles Monto máximo : S/. 200 000 Tasa al vencimiento : 30% efectiva anual Forma de pago : cuotas bimestrales constantes Plazo : 2 años Comisión : 1.5% El Banco del Sur exige que por cada sol aportado por el banco, los accionistas comunes deben aportar por lo menos dos veces esta cantidad. Exclusivamente para moldes de inyección: BANCO CORPORATIVO: línea en nuevos soles Monto máximo : S/. 180 000 Tasa al vencimiento : 15% nominal semestral, capitalización mensual Forma de pago : cuotas mensuales con amortización constante intereses pagados por adelantado Período de gracia : 4 meses Plazo : 2 años Comisión : 1%

- 98 -

Líneas de largo plazo: Para financiamiento de maquinarias y equipos, y local e instalaciones. Emisión de bonos Bonos a la par con un valor nominal de S/. 250, tasa cupón de 11.5% efectiva semestral y cupones semestrales, precio de colocación estimado en el mercado primario igual a S/. 280 El número máximo de bonos a emitir son 2 000 con una vida de 10 años. La emisión genera gastos de emisión del 3% del valor nominal. Acciones preferentes Valor nominal de S/. 60 cada uno con un precio de colocación de S/. 65 y dividendos de 12% trimestral. Emisión máxima de 5 000 acciones; cada acción genera 1% de gastos de emisión. Acciones comunes Valor nominal de S/. 70 cada una con un precio de colocación de S/. 75 y dividendos de 10% el primer semestre con un crecimiento de 17% semestral. Para mantener el control de la empresa la emisión máxima es de 7 500 acciones comunes. Información adicional: Tipo de cambio hoy : S/. 2.88 por dólar Tasa de Impuesto a la Renta : 30% Apreciación esperada del sol respecto al dólar : 5% anual (asumir que será constante) Se pide: a)

Calcular la tasa de costo efectivo anual en soles de cada una de las opciones de financiamiento después de impuestos.

b)

Determine la estructura óptima de financiamiento indicando claramente en un cuadro las alternativas elegidas para cada rubro de la inversión, el monto pedido y el monto recibido.

c)

Calcule el costo ponderado de capital después de impuestos para la estructura óptima de financiamiento.

- 99 -

SOLUCIÓN CASO 1 a) Líneas de corto plazo: Pagaré en dólares: ief =

60%

P

12

ief = 5% efectiva mensual en dólares ief = 79.586% efectiva anual en dólares Equivalencia t=0: 4

0

P - 1%*P = P(1 + 5%) (P/F , icf , 4)

4 meses

icf = 5.264% efectiva mensual en dólares icf = 85.083% efectiva anual en dólares iS/. = ( 1+ iUS$)*(1 + RUS$ / S/.) - 1

1%*P

iS/. = (1 + 85.083%)*(1 - 5%) - 1

P(1 + 5%)

iS/. = 75.829% efectiva anual en soles

4

KDd.i. = 75.829%*(1 - 30%) KDd.i. = 53.080% efectiva anual en soles después de impuestos Pagaré en soles: Como no hay comisión de apertura, la tasa de costo efectivo es la tasa del préstamo: icf = 50% efectiva anual en soles KDd.i. = 50%*(1 - 30%) KDd.i. = 35% efectiva anual en soles después de impuestos Líneas de mediano plazo: American Bank: No hay comisión de apertura, y los períodos de gracias no incrementan el costo financiero, la tasa de costo efectivo es la tasa del préstamo: 12

icf = (1 + 3.5%) - 1 icf = 51.107% efectiva anual en dólares iS/. = ( 1+ iUS$)*(1 + RUS$ / S/.) - 1 iS/. = (1 + 51.107%)*(1 - 5%) - 1 iS/. = 43.552% efectiva anual en soles KDd.i. = 43.552%*(1 - 30%) KDd.i. = 30.486% efectiva anual en soles después de impuestos

- 100 -

Banco del Sur: i = 30% efectiva anual en soles

P

1/6

i = (1 + 30%) - 1 i = 4.470% efectiva bimestral en soles P = C(P/A , 4.470% , 12)

1

C = 0.109P

12 bimestres

0

…

1.5%P Equivalencia t=0: P - 1.5%*P = 0.109P(P/A , icf , 12)

C = 0.109P

icf = 4.735% efectiva bimestral en soles icf = (1 + 4.735%)6 - 1 icf = 31.993% efectiva anual en soles KDd.i. = 31.993%*(1 - 30%) KDd.i. = 22.395% efectiva anual en soles después de impuestos Banco Corporativo: ief =

15% 6

ief = 2.500% efectiva mensual en soles M

0

1

2

3

4

5

6

…

7

24 meses

iv*M = 2.5%*M

A = M/20

…

iv*M = 2.5%*M

Comisión=1%*M

iv*M = 2.5%*M*19/20

G=iv*M/n = 2.5%*M/20

Equivalencia t=0: M - 2.5%M - 1%M = M*2.5%(P/A , icf , 4) + [ (M/20 + M*2.5%*19/20)(P/A , icf , 20) - (M*2.5%/20) (P/G , icf , 20) ](P/F , icf , 4) icf = 2.652% efectiva mensual en soles icf = 36.908% efectiva anual en soles KDd.i. = 36.908%*(1 - 30%) KDd.i. = 25.836% efectiva anual en soles después de impuestos

- 101 -

Líneas de largo plazo: PC = S/. 280

Bonos:

0

1

2

3

20 semestres

GE = S/. 3%*250 GE = S/. 7.5 I = 11.5%*250 I=

S/. 28.750

R = S/. 250

Equivalencia t=0: 280 - 7.5 = 28.750(P/A , icf , 20) + 250(P/F , icf , 20) icf = 10.521% efectiva semestral en soles icf = 22.148% efectiva anual en soles KDd.i. = 22.148%*(1 - 30%) KDd.i. = 15.503% efectiva anual en soles después de impuestos Acciones preferentes:

KCAP= KCAP=

PC = S/. 65

D PC - GE

0

12%*60 65 - 1%*60

1

∞

1%*60

…

GE = S/. 0.6

KCAP= 11.180% efectiva trimestral en soles KCAP= 52.795% efectiva anual en soles

trimestres

D = 12%*60 D = S/. 7.2

Acciones comunes:

KCAC= KCAC=

D1 PC - GE 10%*70 75

+ g%

PC = S/. 75

0

1

+ 17%

∞

…

KCAC= 26.333% efectiva semestral en soles KCAC= 59.601% efectiva anual en soles

- 102 -

D1 = 10%*70 D1 = S/. 7

semestres

b) TC( S/./US$) =

2.88

Definamos primero el monto aportado por los accionistas: Monto requerido: Maquinaria y equipos:

S/. 500000

Local e instalaciones:

S/. 850000 S/. 1350000

Total:

Monto máximo (VN)

Monto máximo (PC)

Monto emitido (VN)

Monto recibido (S/.)

KDd.i. ;

Bonos

S/. 500000

S/. 560000

S/. 500000

S/. 543200

15.503%

Acciones Preferentes

S/. 300000

S/. 325000

S/. 300000

S/. 322000

52.795%

Acciones Comunes

S/. 525000

S/. 562500

S/. 452480

S/. 484800

59.601%

Total

S/. 1350000 Cubre el monto requerido para maquinaria y equipos, local e instalaciones.

Monto faltante = 1350000 - 543200 - 322000 Monto faltante =

KC

S/. 484800

Número de acciones comunes =

6464.0

6464

Monto requerido: Capital de trabajo:

S/. 250000

Moldes de inyección:

S/. 150000

Total:

S/. 400000 Monto máximo (US$)

Monto máximo (S/.)

Monto pedido (S/.)

Monto recibido (S/.)

KDd.i.

Banco del Sur (moldes de inyección)

S/. 200000

S/. 152284

S/. 150000

22.395%

Banco del Sur (capital de trabajo)

S/. 47716

S/. 47716

S/. 47000

22.395%

American Bank (capital de trabajo)

US$ 120000 S/. 345600

S/. 203000

S/. 203000

30.486%

Total

S/. 400000 Cubre el monto requerido para el capital de trabajo y moldes de inyección.

Monto acciones comunes / Monto Banco del Sur = 452 480 / (152 284 + 47 716) Monto Banco del Sur / Monto acciones comunes = 2.26 > 2 exigido por el Banco del Sur

- 103 -

c) El costo ponderado de capital después de Impuesto a la Renta para la estructura óptima de financiamiento: 543 200*15.503% + 322 000*52.795% + 484 800*59.601% + 150 000*22.395% + 47 000*22.395% + 203 000*30.486%

Kd.i. =

543 200 + 322 000 + 484 800 + 150 000 + 47 000 + 203 000

Kd.i. = 37.095% anual en soles después de impuestos

- 104 -

CAPÍTULO 8 DEPRECIACIÓN

8.1 DEFINICIÓN DE ACTIVOS FIJOS Son las propiedades tangibles5 y no circulantes de una compañía destinadas a brindar servicios por largo tiempo a las operaciones propias de su giro de negocio, normalmente no se destinan a la venta y constituyen una gran parte del total de activos de la empresa. Asimismo estos activos tienen capacidad para generar ingresos en el largo plazo. Son ejemplos de activos fijos los inmuebles, plantas de producción, máquinas, equipos, vehículos, entre otros, cuya vida es relativamente larga pero limitada y están sujetas a la depreciación. El caso de los terrenos es un tipo de activo fijo de existencia ilimitada y que no se deprecian. La adquisición del activo fijo genera un costo que incluye todos los desembolsos necesarios para dejarlo listo para su uso, tales como, el valor de adquisición, fletes, seguros, gastos de despacho, derechos aduaneros, instalación, montaje.

8.2 DEPRECIACIÓN DE ACTIVOS FIJOS Definición Debido al uso intensivo de los activos fijos estos sufren deterioro físico, este deterioro, desgaste o pérdida de valor que sufre el activo fijo por efecto de su uso con el paso del tiempo se denomina depreciación. Desde el punto de vista de la contabilidad la depreciación es la asignación gradual del costo al gasto durante los períodos de tiempos en los cuales se estima que se recibirá el servicio de este activo. Con esta asignación gradual del costo original del activo fijo a gastos, la contabilidad reduce, durante un lapso de tiempo, el costo original de adquisición del activo fijo, el cual razonablemente se justifica que no debe ser constante en el tiempo porque se deteriora por efecto del uso. Dado que la empresa usa los activos fijos en la generación de sus ingresos, la contabilidad establece que los gastos relacionados se asocien a los beneficios en el período que fueron generados, por esta razón la depreciación recibe el tratamiento de gasto a pesar que no es salida de efectivo. La depreciación no es un pago efectuado en la fecha de su registro en la contabilidad, sin embargo, al momento de su adquisición, si es que fue al contado, sí ocurrió un desembolso de dinero. Causas de la depreciación ¿Por qué surge el proceso de depreciación? La utilidad del activo fijo está limitada por dos factores: El deterioro físico: consecuencia del uso del activo fijo en el tiempo. La obsolescencia: la aparición de activos más eficientes implica que el activo fijo quede desactualizado. 5

El término “tangible” denota sustancia material.

- 105 -

La depreciación proceso de asignación y no de valuación Se definió la depreciación como la asignación del costo al gasto, no de valuación del activo, ya que los registros de la contabilidad no muestran los valores de mercado de éste. 8.3 MÉTODOS DE DEPRECIACIÓN Factores vinculados a la depreciación Valor inicial del activo fijo (P): es el importe del costo de adquisición o precio de compra del activo fijo. Vida útil del activo fijo (N): es el tiempo total de servicio que la empresa espera recibir del activo fijo. Por lo general, no coincide con el tiempo que la empresa realmente utiliza el activo. Valor de recuperación o valor de salvamento (R): es el valor que se espera obtener del activo fijo al final de su vida útil cuando se elimine. Métodos de depreciación Son técnicas racionales y sistemáticas para determinar la asignación del costo al gasto. Es racional porque los gastos se relacionan a los beneficios que el activo fijo generó en un período. Es sistemático porque no se calcula de manera arbitraria sino con una fórmula. En este curso se estudiarán los métodos de línea recta y el de la suma de dígitos anuales. 8.3.1

Método de la línea recta (LR)

Este método determina un importe constante de depreciación en cada año de la vida útil del activo fijo. Las fórmulas de este método son: dt = ( 1 / N ) * ( P - R ) ; dt es constante Dt = t*dt VLt = P - Dt s= 1/N Donde: es el gasto de depreciación. dt : VLt : valor en libros del activo fijo o valor que muestra la contabilidad a la fecha “t”. Dt : es la depreciación acumulada y muestra los gastos de depreciación acumulados de cada período hasta la fecha “t”. Se lee en el balance general. s: tasa uniforme de depreciación. Ejemplo 1 Determine los gastos de depreciación anual de una máquina cuyo costo inicial es de S/. 10 000, vida útil estimada de cuatro años y un valor de recuperación de S/. 2 000. Determine también el valor en libros en cada período y la tasa uniforme de depreciación.

- 106 -

Depreciación Acumulada

Depreciación

Año t

dt

Valor en libros VLt

Dt

0 1 2 3 4

2000 2000 2000 2000 8000 Tasa uniforme de depreciación: s = ¼ = 0.25

10000 8000 6000 4000 2000

2000 4000 6000 8000

Gráfico: VLt P D1

d1

D2

VL1 d2 VL2 Valor en libros

VLN=R t 1

8.3.2

2

N

Método de la suma de dígitos anuales (SDA)

La depreciación se calcula multiplicando el costo depreciable (P - R) por una fracción, cuyo denominador es la suma de los dígitos de los años y el numerador la cantidad de años que le resta al activo, como se muestra en la expresión:

dt =

S =

P-R

S

* (N - t + 1)

; (N - t + 1) es la cantidad de años que le resta de vida al activo fijo

N*(N + 1) 2

t

P-R

Dt =

*

s

Σ

(N - t + 1)

t=1

VLt = P - Dt

- 107 -

Donde: es el gasto de depreciación. dt : VLt : valor en libros del activo fijo o valor que muestra la contabilidad a la fecha “t”. Dt : es la depreciación acumulada y muestra los gastos de depreciación acumulados de cada período hasta la fecha “t”. Se lee en el balance general. S: es la suma de los dígitos que identifican a cada período. Ejemplo 2 Determine los gastos de depreciación anual de una máquina cuyo costo inicial es de S/. 10 000, vida útil estimada de cuatro años y un valor de recuperación de S/. 2 000. Determine también el valor en libros en cada período. s = (N)*(N+1)/2 = (4)*(5)/2 s = 10 Año t

(N - t + 1)/s

0 1 2 3 4

4/10 3/10 2/10 1/10

Depreciación dt

Depreciación Acumulada Dt

3200 2400 1600 800 8000

3200 5600 7200 8000

Valor en libros VLt

10000 6800 4400 2800 2000

Gráfico: VLt P

VL1

Valor en libros

VL2 VLN=R t 1

2

N

8.4 ESCUDO TRIBUTARIO DE LOS GASTOS DE DEPRECIACIÓN Es el incremento de la liquidez (efectivo) generado por la deducción de los gastos de depreciación lo cual reduce el pago del Impuesto a la Renta. Sean dos escenarios para la empresa Sevilla S.A. Escenario 1: La empresa tiene sus activos totalmente depreciados, por tanto, los gastos de depreciación son nulos.

- 108 -

Escenario 2: La empresa adquiere un equipo nuevo (activo fijo), y corresponde gastos de depreciación por un monto igual a S/. 350 En ambos casos las ventas son S/. 4 700 y los gastos operativos antes de impuestos y gastos de depreciación iguales a S/. 1 700. La tasa (T) del Impuesto a la Renta es de 30% de las utilidades antes de impuestos. Se elabora para cada escenario el estado de ganancias y pérdidas: Sevilla S.A. Estado de Ganancias y Pérdidas Para el año que terminó… (En nuevos soles) Escenario (1)

Escenario (2)

4700

4700

(1700)

(1700)

3000

3000

0

(350)

Utilidad Antes de Impuestos

3000

2650

Impuesto a la Renta

(900)

(795)

105

Utilidad Después de Impuesto a la Renta

2100

1855

245

Ventas Gastos Operativos Utilidad Antes de Depreciación e Impuesto a la Renta Gastos de Depreciación

Diferencia

Luego, como los Gastos de Depreciación no son desembolsos de efectivo: Gastos de Depreciación Disponibilidad de Efectivo

0

350

2100

2205

105

En el escenario (1), en el cual no hay gastos de depreciación, se observa lo siguiente: Utilidad Después de Impuesto a la Renta = S/. 2100. En el escenario (2) sí hay gastos de depreciación iguales a S/. 350, y como estos disminuyen las utilidades, se esperaba que la Utilidad Después de Impuesto a la Renta en ese escenario sea S/. 350 menor que la Utilidad Después de Impuesto a la Renta del escenario (1), es decir: ¿Utilidad Después de Impuesto a la Renta (2): 2100 - 350 = S/. 1 750? ¡No! Porque al observar el estado de ganancias y pérdidas del escenario (2) vemos que la Utilidad Después de Impuesto a la Renta no es S/. 1 750 sino S/. 1 855, es decir, hay S/. 105 a favor de la empresa en el escenario (2). Además: Impuesto a la Renta (1) - Impuesto a la Renta (2) = 900 - 795 = S/. 105. Es decir, en el escenario (2) el Impuesto a la Renta es menor, y se genera un ahorro llamado escudo tributario o ahorro impositivo igual a S/. 105. La deducción de los gastos de depreciación iguales a S/. 350 es lo que causa este ahorro de S/. 105 que incrementa la utilidad del escenario (2): 500 + 60 = S/. 560 = Utilidad Después de Impuesto a la Renta (1)

- 109 -

Se puede demostrar que el ahorro impositivo se calcula también así: Gastos de Depreciación*Tasa del Impuesto a la Renta = 350*0.30 = S/. 105 Resumiendo el ahorro impositivo generado por los gastos de depreciación o también llamado escudo tributario de los gastos de depreciación es: ESCUDO TRIBUTARIO POR GASTOS DE DEPRECIACIÓN= Gastos de Depreciación* T ESCUDO TRIBUTARIO POR GASTOS DE DEPRECIACIÓN = dt * T Donde: dt : es el gasto de depreciación en el período “t”. T: tasa del Impuesto a la Renta.

- 110 -

CAPÍTULO 9 EVALUACIÓN DE PROYECTOS

9.1 INTRODUCCIÓN Una de las finalidades de la compañía es aumentar su valor en el tiempo, y contribuye a este propósito el uso adecuado de sus recursos físicos, humanos y capitales que dispone, así como el desarrollo y crecimiento que se puede lograr a través de la identificación y evaluación de nuevas oportunidades de negocio. Las oportunidades de negocio requieren a su vez, nuevos capitales y recursos que conforman el monto de la inversión; como no hay certeza en el futuro y el capital es un recurso escaso, el inversionista requiere de metodologías para el estudio de esta oportunidad de negocio y posterior evaluación para determinar, basado en las estimaciones del estudio, si conviene o no invertir su capital. El estudio y evaluación se plasman en un proyecto que se define como un plan que surge como respuesta a una idea de negocio que pretende buscar la solución a un problema de reemplazo de tecnología obsoleta, abandono de una línea de productos, implementar una planta de producción, puesta en marcha de un negocio de comercialización o servicios, u otras ideas; con el propósito de aprovechar una oportunidad de negocio, y que a su vez permitirá la solución de un problema de terceros, tales como, demanda insatisfecha, sustitución de importaciones, entre otros6. El estudio del proyecto abarca lo siguiente: El estudio de mercado. El estudio técnico o de ingeniería del proyecto. El estudio organizacional y administrativo. El estudio económico-financiero (financiamiento y evaluación económica-financiera) El estudio del impacto ambiental. En este curso se desarrollará la etapa de financiamiento, (desarrollada en el capítulo 7), y la evaluación económica del proyecto en este capítulo 9.

9.2 EL FLUJO DE CAJA ECONÓMICO Definición y cuentas El flujo de caja económico es un estado de cuenta que muestra los ingresos y salidas de efectivo estimados y relacionados al desarrollo del proyecto en su horizonte o vida que son la cantidad de años que se estima que el proyecto tiene capacidad para generar renta. Cuando se elabora el flujo de caja económico, se asume un escenario como si la inversión del proyecto estuviese íntegramente financiada por el dueño del proyecto, o que es lo mismo, el total por aporte propio (C). El propósito de esta evaluación llamada “evaluación económica” es determinar cuál es la rentabilidad intrínseca del negocio al margen del financiamiento de la inversión, ésta es conocida también como rentabilidad operativa. 6

Adaptado de:

SAPAG, Nassir ; SAPAG, Reinaldo 2004 Preparación y Evaluación de Proyectos. Cuarta edición. México D.F.:McGraw-Hill.

- 111 -

Es importante aclarar que este escenario no indica que parte de la inversión no está siendo financiada con deuda (D). Tanto la amortización como los intereses de esta deuda cuyo total es la cuota de pago, son parte del problema del financiamiento del proyecto y debe ser incluido en el flujo de caja financiero, pero no el flujo de caja económico. El detalle de cuentas de un flujo de caja económico es el siguiente: •

Inversión: Activos fijos. Activos intangibles. Capital de trabajo y sus cambios a lo largo de la vida del proyecto.

•

Ingresos operativos: Ventas: por las entradas de efectivo obtenidas por la venta de los productos o servicios del proyecto. Liquidación de activos fijos: venta de los activos fijos al final del proyecto.

•

Costos operativos7: En el caso de proyectos que contemplan actividades de manufactura, incluir los costos de materia prima, mano de obra directa, y otros costos vinculados a la producción. En el caso de proyectos cuyas actividades son de comercialización, incluir el costo de adquisición de los productos. Los costos operativos también incluyen: Gastos de administración. Gastos de ventas.

•

Impuestos y efectos impositivos: Pagos del IGV neto del crédito fiscal, el Impuesto a la Renta, el Impuesto Selectivo al Consumo y las contribuciones sociales. El escudo tributario de los gastos de depreciación. El efecto del Impuesto a la Renta sobre la liquidación de los activos fijos.

Es necesario insistir, que como el flujo de caja económico se elabora como si fuera íntegramente financiado por el dueño del proyecto, no se incluyen la amortización ni los gastos financieros en dicho flujo de caja. ¿En qué tipo de flujo de caja sí se incluyen? Pautas para elaborar el flujo de caja económico proyectado 1. 2.

3.

4.

7 8

La inversión incluye el importe en activos fijos, los activos intangibles y el capital de trabajo, requeridos por el proyecto. El flujo de caja se elabora según el principio de efectivo. Así por ejemplo, si un porcentaje de las ventas son al crédito, estas ventas serán anotadas en el flujo de caja en la fecha de su cobranza y no cuando se realizó la venta. El escudo tributario de la depreciación debe anotarse como entrada en el flujo de caja porque es ahorro8 a favor del inversionista por la deducción de los gastos de depreciación de los activos fijos depreciables del proyecto. Recuerde que los terrenos no se deprecian, salvo los casos excepcionales establecidos por ley. Al final del horizonte del proyecto anotar en el flujo de caja, la venta por desecho o liquidación de los activos fijos incluyendo el efecto tributario del Impuesto a la Renta. Asimismo, anotar la recuperación del capital de trabajo.

Ver el detalle de estas cuentas en el capítulo 6. Lo que en el capítulo 8 se denominó el escudo tributario de los gastos de depreciación.

- 112 -

5.

Finalmente, no olvide que en el flujo de caja económico no debe anotar ni la amortización ni los gastos financieros que genera el financiamiento de una parte de la inversión efectuada con deuda con terceros (D).

El flujo de caja económico se prepara después de Impuesto a la Renta, su diagrama general es:

dt*T

L+C

It*(1 - T) 0

1

n Et*(1 - T)

I0

Y los beneficios netos en “t” se calculan así:

Si 1 ≤ t
9.3 EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS La evaluación económica del proyecto consiste en determinar su viabilidad (su rentabilidad y la decisión de ejecutarlo) considerando los ingresos y costos inherentes al proyecto sin considerar el problema del financiamiento. Así, la evaluación económica se basa en el flujo de caja económico, que como anteriormente se indicó, no considera en su elaboración la amortización ni los intereses vinculados al financiación a través de deuda (D). Es importante resaltar que esta evaluación es únicamente cuantitativa y basada en cifras monetarias, sin embargo, el estudio del proyecto incluye una discusión de otros factores también importantes, entre los que destacan el problema de la localización, disponibilidad de recursos humanos competentes en la zona, riesgo vinculado a los procesos, entorno legal y político, tributación, institucionalidad del país, entre otros.

- 113 -

Los principales indicadores para medir la rentabilidad de un proyecto son: Valor Presente Neto Tasa Interna de Retorno Valor Anual Equivalente Período de Recuperación de la Inversión Relación Beneficio-Costo

9.3.1

(VPN ó VAN) (TIR) (VAE) (PRI) (B/C)

El Valor Presente Neto (VPN)

También llamado Valor Actual Neto es el valor presente (t=0) de los ingresos y costos (beneficios netos) que genera un proyecto durante su vida útil, descontados con una tasa de interés que es el costo de oportunidad del inversionista, el cual indica la rentabilidad de la mejor alternativa disponible y de similar riesgo al proyecto que se está evaluando. La expresión para calcular el VPN es la siguiente: n

VPN

=

- I0 +

Σ t=1

St (1 + i )

t

Donde: es la inversión inicial. I0: St: son los beneficios netos en cada año “t” = Ingresost - Costost estimados del proyecto. i: es la tasa de descuento llamada también tasa mínima atractiva de retorno TMAR. n: cantidad de años o vida del proyecto. Como los beneficios netos son descontados a t=0, la suma de estos restados de la inversión (que normalmente se ubica en t=0) mide el beneficio o renta adicional estimada que retribuye el proyecto sobre la inversión (cuando VPN>0) en vez de invertir dicho monto de inversión en la alternativa cuya rentabilidad es la TMAR. En otras palabras, VPN>0 indica que si el saldo que se obtiene al restar la inversión de la sumatoria de los beneficios netos capitalizados a la TMAR y luego descontados a t=0 es positivo, entonces, el proyecto recupera la inversión y además deja un saldo adicional al dueño del proyecto. Si el VPN es negativo, es más conveniente invertir el monto I0 en el instrumento de inversión cuya tasa de rentabilidad es la TMAR, ya que resultó una alternativa de inversión superior al proyecto que se estaba evaluando. Regla de decisión del VPN Para un solo proyecto: VPN > 0: aceptar el proyecto. VPN = 0: indiferencia. VPN < 0: rechazar el proyecto. Para varios proyectos mutuamente excluyentes, todos con igual vida: Escoger el proyecto con mayor VPN. Para varios proyectos independientes, todos con igual vida: Escoger los proyectos de mayor VPN, hasta agotar el capital disponible para cubrir la inversión.

- 114 -

Dificultades en el VPN La dificultad del VPN es la determinación de la tasa de descuento, ésta que también se denomina TASA MÍNIMA ATRACTIVA DE RETORNO (TMAR) es el costo de oportunidad el cual a menudo no es sencillo determinar. La TMAR del inversionista también puede definirse así: TMAR = K ó TMAR = (1 + θ)*K Donde: K: es el costo ponderado de capital. θ: es una medida del riesgo del negocio vinculado al proyecto. La idea que subyace a la definición anterior para la TMAR es que el mínimo retorno que se espera de la reinversión de los beneficios netos del proyecto debe ser tal que cubra el costo del capital K determinado a partir de la estructura del capital deuda (D) + capital propio (C)9 que financia la inversión.

9.3.2

La Tasa Interna de Retorno (TIR)

Sabemos que el Valor Presente Neto se calcula con la expresión: n

VPN

- I0 +

=

Σ

St (1 + i )

t=1

t

Si se iguala el VPN a cero y definimos como incógnita la tasa de interés tenemos: n

- I0 +

Σ t=1

St (1 + i )

t

=

0

…(ε)

Al resolver la ecuación (ε) anterior, la tasa de interés que se calcula es la llamada TASA INTERNA DE RETORNO. Si analiza la ecuación (ε) se observa que la TIR es la misma tasa que se obtiene al aplicar el concepto de equivalencia: “lo que está arriba es igual a lo que está abajo, comparado en un mismo instante”; en evaluación de proyectos por lo general se toma t=0 como la fecha de evaluación. Recuerde que estos cálculos fueron habituales en los primeros capítulos del curso. Pero, ¿qué significa la TIR? La tasa interna de retorno se interpreta como el indicador que mide la rentabilidad promedio anual que genera el capital que permanece invertido en él. ¿Por qué el capital que permanece invertido (o saldo no recuperado)? Ejemplo Sea una inversión de US$ 100 000 que genera beneficios netos iguales a US$ 30 000 durante 5 años.

9

Visto en el capítulo 7.

- 115 -

Flujo de caja del proyecto: St = US$ 30000

0

1

2

3

4

5 años

I0 = US$ 100000 Cálculo de la TIR: VPN = 0 = -100000 + 30000(P/A , i , 5) i = 15.238% anual = TIR La siguiente tabla presenta los importes de los saldos que aún no se recuperan del total de la inversión al inicio de cada año:

AÑO 0 1 2 3 4 5

Saldo no recuperado al inicio del añoi -100000 -85238.24 -68227.04 -48623.64 -26033.03

Intereses del saldo no recuperado

Beneficios netosi

15238.24 12988.80 10396.60 7409.39 3966.97

30000 30000 30000 30000 30000

Remoción del saldo no recuperado

Saldo no recuperado al final del añoi

14761.76 17011.20 19603.40 22590.61 26033.03

-100000 -85238.24 -68227.04 -48623.64 -26033.03 0

Asimismo la tabla muestra que el saldo de la inversión en cada año genera una renta al inversionista según la tasa del 15.238% anual que es la TIR. Por ejemplo, en el cuarto año, el proyecto genera al inversionista US$ 7 409.39 de intereses que se determinó con la siguiente operación: 15.238%*48 623.64 = 7409.39. Luego, los US$ 22 590.61 es el monto de los US$ 100 000 de la inversión que se recuperó en el cuarto año, y el beneficio total en el cuarto año del inversionista es US$ 30 000 que es la suma de US$ 7409.39 + US$ 22590.61. Otra interpretación para la TIR es que define hasta cuánto podría el inversionista aumentar la TMAR para que el proyecto siga siendo aceptado, esto nos lleva a definir la siguiente regla de decisión.

Regla de decisión de la TIR Para un solo proyecto (y flujo de caja convencional con inversión I0 única en t=0 y beneficios netos St todos positivos): TIR>TMAR: aceptar el proyecto. VPN>0 TIR=TMAR: indiferencia. VPN=0 TIR
- 116 -

Dificultades de la TIR 1. Existe la posibilidad que proyectos con flujos de caja no convencionales tengan más de una TIR. Flujo de caja convencional: son aquéllos en donde los flujos cambian de signo una sola vez. Flujo de caja no convencional: son aquéllos en donde los flujos cambian de signo más de una vez. Ejemplos

Tipo de flujo de caja

Signo de los beneficios netos en cada año

Convencional Convencional No convencional No convencional

0 -

1 + + +

2 + + -

3 + + + -

4 + + +

5 + + +

6 + + +

Cantidad de cambios de signo

1 1 2 3

2.

Es posible que un flujo de caja no tenga TIR.

3.

No se recomienda usarlo para seleccionar un proyecto de entre una cartera de proyectos mutuamente excluyentes porque, en ocasiones, hay contradicciones entre las decisiones obtenidas con el VPN y la TIR.

Las limitaciones de la TIR apoyan la sugerencia de preferir el VPN como indicador de rentabilidad para evaluar proyectos con igual vida. Si las vidas son diferentes, use el Valor Anual Equivalente (VAE) que se definirá en el acápite siguiente.

9.4 EVALUACIÓN DE PROYECTOS CON VIDAS DIFERENTES

9.4.1

Proyectos mutuamente excluyentes

Los proyectos mutuamente excluyentes son aquéllos en donde la aceptación de uno de los proyectos exige el rechazo de cualquiera de los otros. Cuando los proyectos son mutuamente excluyentes y vidas iguales utilice el VPN, y seleccione el proyecto de mayor VPN. Para el caso de proyectos mutuamente excluyentes con vida de proyecto diferentes, se utilizan los siguientes métodos: Mínimo Común Múltiplo. Valor Anual Equivalente.

9.4.2

El Método del Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Con este método se elabora, para cada proyecto, un flujo de caja con vidas iguales, la cual se determina como el mínimo común múltiplo de las vidas de las alternativas. El proyecto se replica exactamente igual hasta alcanzar la vida común. Una vez elaborados los flujos de caja se determina el VPN de cada alternativa.

- 117 -

Regla de decisión del MCM Luego de aplicar el método del mínimo común múltiplo para elaborar los flujos de caja con vidas iguales, seleccionar el proyecto de mayor VPN. 9.4.3

El Valor Anual Equivalente (VAE)

Para cada proyecto, es el monto anual uniforme equivalente al VPN y en el horizonte de cada proyecto. Se calcula con la siguiente expresión:

VAE = VPN(A/P, i , n) Los siguientes gráficos explican el VAE. Sea un proyecto con el siguiente flujo de caja:

0

S1

S2

1

2

St

Sn

t

n

I0 Se calcula el VPN del proyecto: n

VPN

=

- I0 +

Σ

St (1 + i )

t=1

t

Luego se determina el valor anual uniforme equivalente del VPN y en el horizonte de “n” años del proyecto según VPN = VAE(P/A , i , n); despejando el VAE, tenemos que es igual a VPN(A/P, i , n).

VPN

VAE

<> 0

0

1

- 118 -

2

t

n

Regla de decisión del VAE Para varios proyectos mutuamente excluyentes y con vidas diferentes seleccionar el proyecto de mayor VAE. Ejemplo Sean los proyectos A y B mutuamente excluyentes con vidas diferentes: Proyecto A: Inversión inicial de S/. 1 400 000, beneficios netos de S/. 820 000 anuales, liquidación de activos fijos al final del proyecto de S/. 150 000 y vida 4 años. Proyecto B: Inversión inicial de S/. 2 000 000, beneficios netos de S/. 900 000 anuales, liquidación de activos fijos al final del proyecto de S/. 120 000 y vida 6 años. La TMAR es 25% anual. Determine con el MCM y VAE el proyecto a ejecutar. Solución La manera correcta de seleccionar la mejor alternativa es utilizando el Valor Anual Equivalente (VAE), sin embargo, discutiremos previamente el VPN de cada alternativa:

Proyecto A: St = 820000 150000

0

1

2

3

4 años

I0 =1400000

VPNA = - 1400000 + 820000(P/A , 25% , 4) + 150000(P/F , 25% , 4) VPNA = S/. 597952

.

- 119 -

Proyecto B: St = 900000

120000

0

1

2

3

4

5

6 años

I0 = 2000000 VPNB = - 2000000 + 900000(P/A , 25% , 6) + 120000(P/F , 25% , 6) VPNB = S/. 687739

Comentario: Aparentemente conviene el proyecto B porque tiene el mayor VPN (S/. 687 739 > S/. 597 952), sin embargo, la evaluación y decisión sólo con base en el VPN es incorrecta porque los proyectos son mutuamente excluyentes con vidas diferentes. Como se indicó anteriormente, la manera correcta de seleccionar la mejor alternativa en este caso de proyectos mutuamente excluyentes y con vidas diferentes es usando el Valor Anual Equivalente (VAE) que a continuación se muestra: Proyecto A:

VPNA

VAEA

<> 0

0

1

2

3

4 años

Proyecto B:

VPNB

VAEB

<> 0

0

1

- 120 -

2

3

4

5

6 años

Comentario: El proyecto seleccionado es A porque su VAEA = S/. 253 198 > VAEB = S/. 233 019. Esta es la manera correcta de seleccionar proyectos mutuamente excluyentes con diferente vida. Observe que, en este ejemplo, al seleccionar el proyecto B con el VPN llevó a una conclusión contraria a lo que indica el VAE. A continuación se presentan la decisión que se obtiene si a los proyectos A y B se les aplica el método del Mínimo Común Múltiplo: MCM (6 , 4) = 12 Horizonte común: 12 años Proyecto A: 820000

820000

820000

150000

0

1

2

1400000

3

4

150000

5

6

1400000

7

8

9

150000

10

11

12 años

1400000

VPNA = - 1400000 + 820000(P/A , 25% , 4) + 150000(P/F , 25% , 4) + ( - 1400000 + + 820000(P/A, 25% , 4) + 150000(P/F , 25% , 4) )(P/F , 25% , 4) + ( -14000000 + + 820000(P/A , 25% , 4) + 150000(P/F , 25% , 4) )(P/F , 25% , 8) VPNA = S/.

Proyecto B: 900000

900000

120000

0

1

2000000

2

3

4

5

6

120000

7

8

9

10

11

12 años

2000000

VPNB = - 2000000 + 900000(P/A , 25% , 6) + 120000(P/F , 25% , 6) + ( - 2000000 + + 900000(P/A , 25% , 6) + 120000(P/F , 25% , 6) )(P/F , 25% , 6) VPNB = S/. Como VPNA = S/. 943 193 > VPNB = S/. 868 025, entonces se elige el proyecto A y se puede concluir que con el método del Mínimo Común Múltiplo se obtiene la misma decisión que con el VAE.

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Calculemos ahora el VAE de ambos flujos de caja usados para el método del Mínimo Común Múltiplo:

Proyecto A:

VPNA

VAEA

<> 0

0

1

2

t

12 años

Proyecto B:

VPNB

VAEB

<> 0

0

1

2

t

12 años

Comentario: Los VAE obtenidos en estos flujos de caja son iguales a los VAE obtenidos con los flujos de caja con 4 y 6 años. Entonces la conclusión es que el VAE calculado en el flujo de caja original de un proyecto es igual al VAE calculado con el flujo de caja con Mínimo Común Múltiplo para ese proyecto. Pregunta final: ¿Es correcto utilizar el VAE para proyectos mutuamente excluyentes y con vidas iguales?

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CASO 1 Una empresa está evaluando un proyecto de fabricación de solventes para pinturas en una planta de tipo modular. Del estudio de mercado se estima que la demanda será de 400 000 litros por año y el precio de venta S/. 50 por litro. Para dicha demanda el estudio de ingeniería del proyecto indica que son necesarios dos módulos y el local tiene capacidad para alojar esa cantidad de módulos. Activo fijo

Inversión (S/.)

Módulo (valor de cada módulo) Local e instalaciones Terrenos

2 574 000 8 775 000 180 000

Valor de mercado al final del proyecto (S/.) 35 000 4 600 000 250 000

Además requiere de capital de trabajo por S/. 150 000 que se recuperará el 50% al final del proyecto. La vida útil de los módulos es 10 años y se depreciarán en los primeros 5 años por el método de la suma de dígitos anuales y el resto de años por el método de línea recta. Su valor residual es S/. 49 500. El local e instalaciones se depreciarán en 20 años por el método de línea recta, con un valor residual de S/. 224 700. El costo variable de operación es de S/. 20 por litro producido y los costos fijos de operación estimados son S/. 4 850 000 anuales, además de gastos por S/. 175 000 anuales por cada módulo. Los gastos financieros vinculados a la financiación del local e instalaciones es S/. 150 000. Información adicional Horizonte del proyecto : 10 años Tasa del Impuesto a la Renta : 30% La TMAR de la empresa es de 20% efectiva anual. Se pide: a) Elabore el flujo de caja económico después de impuestos para este proyecto y analice su rentabilidad utilizando el valor presente neto. b) Determine la tasa interna de retorno y compare su valor con el TMAR definido.

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SOLUCIÓN CASO 1 a) Vida del proyecto = 10 años 1. Depreciación de activos fijos: Módulos P = 2574000 ; N = 10 ; R = 49500 Los primeros 5 años por la suma de dígitos anuales: s = N*(N + 1)/2 s = 10*(10+1)/2 = 55 dt = (N - t + 1)*(P - R)/s dt = (10 - t + 1)*(2574000 - 49500)/55 d1 = (10/55)*2524500 =

459000

d2 = (9/55)*2524500 =

413100

d3 = (8/55)*2524500 =

367200

d4 = (7/55)*2524500 =

321300

d5 = (6/55)*2524500 =

275400

VL5 = 2574000 - (459000 + 413100 + 367200 + 321300 + 275400) = 738000 Los cinco años restantes por línea recta: dt = (P - R)/N d = (738000 - 49500)/5 = 137700 Local e instalaciones P = 8775000 ; N = 20 ; R = 224700 Por el método de línea recta: d = (P - R)/N d = (8775000 - 224700)/20 = 427515 VL10 = 8775000 - 10*(427515) = 4499850 Terrenos Los terrenos no se deprecian. 2. Análisis de venta de los activos fijos al final del proyecto: VM

VL

35000

49500

Local e instalaciones

4600000

4499850

Terreno

250000

180000

Total

4885000

4729350

Módulos

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VM > VL ⇒ Pago de impuesto a la renta Pago de impuesto a la renta = (VM - VL)*T Pago de impuesto a la renta = (4885000 - 4729350)*0.30 = 46695 L = VM - (VM - VL)*T L = 4885000 - 46695 L = 4838305 Luego: L + C: liquidación de activos + recuperación del capital de trabajo L + C = 4838305 + 50%*150000 L + C = S/. 4913305

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3. Elaboración del flujo de caja económico después de impuesto a la renta: G = -27 540

4 913 305

Escudo tributario por depreciación módulos: dt*T

275 400

82 620 5 año

6 año

Escudo tributario por depreciación local: dt*T = 128 254.5

Ingresos : 20 000 000*(1 - 30%) = 14 000 000 0

1

10 años

Costos variables de operación : 8 000 000*(1 - 30%) = 5 600 000

Costos fijos de operación : 4 850 000*(1 - 30%) = 3 395 000 Otros gastos operativos (de los módulos): 175 000*2*(1 - 30%) = 245 000

14 253 000 (Inversión)

4. Evaluación económica del proyecto con el flujo de caja económico: VPN = - (14 253 000) + [ 128 254.5 + 14 000 000 - 5 600 000 - 3 395 000 - 245 000 ](P/A , 20% , 10) + 275 400(P/A , 20% , 5) + - 27 540(P/G , 20% , 5) + 82 620(P/A , 20% , 5)(P/F , 20% , 5) + 4 913 305(P/F , 20% , 10) VPN = S/. 7 822 194 ; VPN > 0: aceptar el proyecto.

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3. Elaboración del flujo de caja económico después de impuesto a la renta: AÑO 1

AÑO 2

AÑO 3

AÑO 4

AÑO 5

AÑO 6

AÑO 7

AÑO 8

AÑO 9

AÑO 10

Ventas

20000000

20000000

20000000

20000000

20000000

20000000

20000000

20000000

20000000

20000000

Costos variables de operación

8000000

8000000

8000000

8000000

8000000

8000000

8000000

8000000

8000000

8000000

Costos fijos de operación

4850000

4850000

4850000

4850000

4850000

4850000

4850000

4850000

4850000

4850000

350000

350000

350000

350000

350000

350000

350000

350000

350000

350000

(I-E)

6800000

6800000

6800000

6800000

6800000

6800000

6800000

6800000

6800000

6800000

(I-E)*(1-T)

4760000

4760000

4760000

4760000

4760000

4760000

4760000

4760000

4760000

4760000

d*T

403655

376115

348575

321035

293495

210875

210875

210875

210875

210875

Otros gastos operativos (de los módulos)

Venta activos

4838305

Capital de trabajo

75000

TOTAL (FLUJO DE CAJA ECONÓMICO)

5163655

5136115

5108575

5081035

5053495

El capital de trabajo no se afecta por (1 - T) porque es un activo corriente, no ingreso ni gasto.

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4970875

4970875

4970875

4970875

9884180

4. Evaluación económica del proyecto con el flujo de caja económico: TMAR = Io =

20% 14253000 AÑO 1

AÑO 2

AÑO 3

AÑO 4

AÑO 5

AÑO 6

AÑO 7

AÑO 8

AÑO 9

AÑO 10

TOTAL (FLUJO DE CAJA ECONÓMICO)

5163655

5136115

5108575

5081035

5053495

4970875

4970875

4970875

4970875

9884180

DESCONTANDO LOS FLUJOS:

4303045.4

3566746.2

2956351.0

2450344.6

2030886.1

1664735.8

1387279.8

1156066.5

963388.8

1596350.2

VPN = S/. 7 822 194; VPN > 0: aceptar el proyecto. b) TIR =

34.525%

TIR = 34.525% anual > TMAR = 20% anual: aceptar el proyecto.

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