LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS En teoría de probabilidad, existe un resultado matemático de suma importancia, llamado la Ley de los Grandes Números , que dice lo siguiente: Si X1, X2, X3, X4, ..., Xn, son observaciones de realizaciones repetidas de una variable aleatoria X , y n es un número grande, entonces (# veces que X cae en x)/n es aproximadamente igual a f(x) para x=0,1,2,3,4,5, ... Aquí, ³grande'' en términos prácticos es del orden de 25-30 para muchas situaciones. La cantidad (# veces que X cae en x)/n recibe el nombre de f recuencia recuencia relativa , y la denotaremos por
Al conteo # veces que X cae en x lo denotaremos con el símbolo o (la letra o es por frecuencia `` observada''). Nota que para que se cumpla la Ley de los Grandes Números, no importa que sepamos o no cuál es f ( x ). x ). Nota que la frecuencia relativa es una cantidad aleatoria que tiene las siguientes propiedades:
1.
para cualquier x=0,1,2,3,4,5, x=0,1,2,3,4, 5, ...
2.
Las leyes de los grandes números explican por qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa. Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entre la suma de variables aleatorias y el valor esperado de esta suma: sin importar la distribución subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a una variable aleatoria normal estándar. La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie, incrementa con el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alg uien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos de lotería.
LA LEY DÉBIL DE LOS GRANDES NÚMEROS.
Establece si X 1, X 2, X 3, ... es una sucesión infinita de variables aleatorias independientes que tienen el mismo valor esperado y varianza 2, entonces el promedio
converge en probabilidad a . En otras palabras, para cualquier número positivo se tiene
LA LEY FUERTE DE LOS GRANDES NÚMEROS. Establece que si X 1, X 2, X 3, ... es una sucesión infinita de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que cumplen E(| X i|) <
y tienen el
valor esperado , entonces
Es decir, el promedio de las variables aleatorias converge a casi seguramente (en un conjunto de probabilidad 1). Esta ley justifica la interpretación intuitiva de que el valor esperado de una variable aleatoria como el "promedio a largo plazo al hacer un muestreo repetitivo". El Teorema de Bernoulli es un caso particular de la Ley de los grandes números, que precisa la aproximación frecuencial de un suceso a la probabilidad p de que este ocurra a medida que se va repitiendo el experimento. Dados un suceso A, su probabilidad p de ocurrencia, y n pruebas independientes para
determinar
la
ocurrencia
o
no-ocurrencia
Sea f el número de veces que se presenta A en los n ensayos y
de
A.
un número
positivo cualquiera, la probabilidad de que la frecuencia relativa f/n discrepe de p en más de
(en valor absoluto) tiende a cero al tender n a infinito. Es decir:
Si disponemos de dos variables aleatorias podemos definir distribuciones semejante al caso unidimensional. Para el caso
bidimensionales de forma
discreto tendremos ! P(X
p(x, y)
Con:
! x, Y
! y) .
§§ p( x, y) ! 1, p( x, y ) u 0. x
y
Podemos encontrar la probabilidad marginal de la variable aleatoria X sumando sobre todos los posibles valores de la variable aleatoria Y :
p X (x) !
§ p ( x , y ) y
Igualmente, podemos encontrar probabilidad
marginal de la variable aleatoria Y
sumando sobre todos los posibles valores de la variable aleatoria Y :
p Y (y) !
§
p ( x , y )
x
Podemos encontrar la probabilidad marginal de la variable aleatoria X sumando sobre todos los posibles valores de la variable aleatoria Y : p (x)
¡
§ p( x, y ) y
FUNCION DE PROBABIIDAD CONDICIONAL La función de probabilidad condicional de X dado Y = y es
p(x|y) !
p(x,y) pY (y)
Y
la función de probabilidad condicional de
p(y|x) !
Y
dado X = x es:
p(x,y) p X (x)
La definición para dos variables aleatorias continuas es semejante: y).
F (x,y)
= P(X e x, Y e
La densidad de probabilidad f(x,y) se obtiene derivando la función de probabilidad con respecto a sus argumentos
x 2 F ( x, y ) x 2 F ( x, y) ! ! f ( x, y ) x xx y x yx x
por supuesto:
f ( x , y ) u 0, g g
´ ´ f ( x, y)d xd y ! 1 g g
