Universidad de Concepción Facultad de ngeniería !epartamento de ngeniería Civil
Trabajo práctico de topografía:
“Levantamiento “Levantamiento Topográfico”
Topografía Cesar León Ayudantes: Ayudantes: Braulio Mora Esteban Soto Alumnos Grupo 6(!" #i$ol%s Gati$a &' #i$ol%s rtega A' )ernanda &amíre* &'
-06-2015
+ndi$e
+ndi$e" Capítulo": ntroducción############################# $ Capítulo%: &eneralidades########################'''### ( %'" )bjetivos################################'#'( %'% !escripción !el terreno########################'''##' ( %'$ *+uipo Utili,ado###########################'''##'' %'. /rocedimientos &enerales##################''#######' 0 %'( !istribución !el Trabajo#########################''#" Trabajo#########################''#"" " Capítulo$: Fundamentos Teóricos#######################'''"$ Teóricos#######################'''"$ $'" 1arco Teórico#########################''##"$ Teórico#########################''##"$ $'% Teoría Teoría !e *rrores#########################''''%" Capítulo.: 2nálisis !e *rrores#######################''##%( Capítulo(: *jemplos !e Cálculos#####################''##'''%3 Capítulo3: Conclusiones'###########################''$4 3'"Conclusiones############################$4 3'% )bservaciones##########################'#$4 Capítulo5: 6ibliografía############################'''$" Capítulo-: 2ne7os############################'##'$% -'8"9$: Tablas##########################'##'''$% Tablas##########################'##'''$% -'.Cro+uis######''######################''''#5. -'( Levantamiento Final#######################''#5-
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Capítulo ," -ntrodu$$ión
.
,' -ntrodu$$ión" #;;La topografía vino del griego topos +ue puede traducirse como “lugar o territorio”< el verbo grafo +ue es sinónimo de “escribir o pintar” = el sufijo >ia +ue es e+uivalente a “cualidad”' ?e conoce con el nombre de topografía a la disciplina o t@cnica +ue se encarga de describir de manera detallada la superficie de un determinado terreno' *sta rama< Aace foco en el estudio de todos los procesos +ue brindan la posibilidad de trasladar a un escrito las particularidades de la superficie< =a sean naturales o artificiales 8!efinicion'de< %44-9%4".;;''' Tal como lo enuncia su definición< la topografía se encarga de plasmar lo visible de una manera detallada = real< es este mismo el objetivo de este trabajo< donde se usó esta Aerramienta para representar de manera fiel un área conocida< poni poniend endo o a prue prueba ba dist distin inta tass Aabi Aabililidad dades es en terr terren eno< o< tale taless como como la medi medici ción ón<< la observación< = el manejo de instrumentos' *n esta entrega se vio enfáticamente el uso de distintos m@todos topográficos< dentro una representación principal< en este caso el BBlevantamiento ta+uim@trico;;' *n primer lugar< se tiene la t@cnica de triangulación +ue permite facilitar el guardado de puntos importantes contemplados por los alumnos' Tam Tambi@n bi@n se tiene la BBnivelación BBnivelación por cota instrumental;; instrumental;; +ue consiste en determinar la cota de un punto a partir de una lectura Aacia adelante< para cuando la posición del artefacto sea modificada = se necesite conocer la nueva cota instrumental< se obtenga por medio de la suma de la cota del punto anterior con su nueva lectura AecAa desde atrás' Con estos m@todos =a se conocen las posiciones = cotas de algunos puntos relevantes< pero para desarrollar un estudio +ue lleve lo observado a la tridimensionalidad con la +ue se aprecia el mundo< se recurre a las curvas de nivel< t@cnica t@cnica mu= efectiva efectiva +ue consiste consiste en la formación formación líneas +ue pueden o no ser visibles< visibles< cu=a característica principal es +ue se encargan de unir a puntos con igual cota< por lo tanto< además de obtener las coordenadas de un punto< se necesitaron tambi@n sus desniveles< para representar a cada punto de manera apropiada la realidad< donde se necesi necesitan tan como como m@todo m@todoss adicio adicional nales es a la poligon poligonaci ación ón = radiac radiación ión<< e7plic e7plicado adoss más adelante' La representación de un terreno mediante el uso de las curvas de nivel se caracteri,a por incorporar las $ coordenadas de un punto en un gráfico Aori,ontal< simplificando así su
Capítulo ," -ntrodu$$ión
/
es+uema< el cual no puede representar la coordenada vertical< por lo +ue es acotada por un valor num@rico al lado del punto' Con los registros obtenidos mediante un levantamiento ta+uim@trico usando la poligonal cerrada< la radiación< la triangulación = la nivelación< = usando a las curvas de nivel como m@todo de representación< se puede obtener un esbo,o bastante devoto del terreno de inter@s< donde se establecen los distintos detalles de este = sus alrededores' Tambi@n a este tipo de estudio pueden aadírsele Aerramientas presentes en las nivelaciones longitudinales = transversales como conocidas como la rasante< el talud de corte = terrapl@n< el bombeo< = el ancAo de carpetaD con los +ue se pueden reali,ar distintas evaluaciones para pro=ectos futuros en el terreno< consistiendo en cubicar el área de inter@s< donde se establecen los volEmenes de corte = de terrapl@n< los +ue deben ser compensados entre si = evaluar una posible falta o e7ceso de material< el +ue puede ser comprado o vendido< generando gastos o ganancias considerando el trasladado de este' Con esto se tienen Aerramientas fundamentales para el desarrollo profesional del ingeniero< el cual puede nutrirse de este trabajo< aprendiendo desde =a a gestionar traslados = costos de materiales para la ejecución de sus pro=ectos< tales como el emparejamiento del terreno en la construcción de vías de transporte o mEltiples tipos de edificios< así tambi@n como por ejemplo< el poder encontrar la mejor ruta para instalar una carretera desde una ciudad otra< teniendo en cuenta a las pendientes por la +ue pueden circular los distintos tipos de veAículos' Las mediciones durante este práctico fueron tomadas en los alrededores de la 6iblioteca Central BBLuis !avid Cru, )campo;;< *dificio de 2ulas BB?alvador &álve,;;< !epartamento de *ducación Física = *stadio 1ultideportivo< todos ubicados dentro de las inmediaciones del campus principal de la Universidad !e Concepción'
Capítulo " Generalidades
0
' Generalidades"
', b1eti2os" *l objetivo en esta entrega < consistió en el logro de la representación de los alrededores de la 6iblioteca Central BBLuis !avid Cru, )campo;;< *dificio de 2ulas BB?alvador &álve,;;< !epartamento de *ducación Física = *stadio 1ultideportivo< mediante la aplicación de los m@todos triangulación< poligonación< radiación = curvas de nivel< a los datos registrados mediante un levantamiento ta+uim@trico< lo +ue permitió obtener un bos+uejo de los detalles = accidentes tanto del terreno como de los alrededores de @ste< reflejados en un plano +ue asemeja las $ dimensiones'
' 3es$rip$ión 3el Terreno" /or las grandes dimensiones del terreno estudiado< su descripción será dividida en cuatro subsecciones'
'', Bibliote$a Central" La 6iblioteca Central BBLuis !avid Cru, )campo;;< se encuentra ubicada a mediados del campus principal de la Universidad !e Concepción< limitada en la parte noroeste por la Facultad de *ducación< en el oeste por la calle ictoria< en el sureste por la Facultad de Ciencias *conómicas = 2dministrativas< = en el este por el edificio de aulas ?alvador &álve,'
Capítulo " Generalidades
6
magen 8'',',! Los alrededores de este terreno< constaban de una superficie ma=ormente plana debido a su emparejamiento para la construcción de la biblioteca< pero a una cota más elevada +ue a la +ue se encuentra la ma=oría de la universidad'
'' Edifi$io de aulas Sal2ador G%l2e*" *dificio de 2ulas BB?alvador &álve,;;< al igual +ue la 6iblioteca Central< se encuentra ubicado a mediados del campus principal de la universidad de concepción< colinda en el norte con la Central T@rmica = Talleres de 1antención< en el oeste con la 6iblioteca Central< en el sureste con
la Facultad de Ciencias ?ociales = en el este con el
!epartamento de *ducación Física'
magen (''',!
Capítulo " Generalidades
4
Las pro7imidades de este sector< se encontraban a una cota aEn más elevada +ue los de la 6iblioteca Central< la superficie era generalmente plana< tambi@n por ser un sector de construcción de edificios'
''. 3epartamento de Edu$a$ión )ísi$a" *l !epartamento de *ducación Física< al igual +ue los dos edificios anteriores< se encuentra ubicado a mediados de la Universidad de Concepción< limita en la parte norte con el *stadio 1ultideportivo< en el oeste con el *dificio de 2ulas ?alvador &álve, = en el sur con el Centro de Formación = Gecursos !idácticos 8CFG!'
magen (''.',!
Hsta área se encontraba prácticamente a una cota igual a la del edificio anterior< tambi@n rodeado por rodeado por planicies'
''/ Estadio Multideporti2o" *l estadio multideportivo< al igual +ue las tres inmediaciones anteriores< está ubicado en medio del campus de la universidad de concepción< aun+ue un tanto retirado Aacia el este' Colinda en el norte con el camino *instein< en el oeste con el Centro *UL2 = en el sur con el !epartamento de *ducación Física'
Capítulo " Generalidades
5
magen( ''/',! *l estadio< se encuentra locali,ado en las faldas de mEltiples cerros +ue rodean a la parte este de la universidad< por lo +ue Aa= una gran variedad de desniveles a su alrededor< con cotas crecientes Aacia el este' *l complejo deportivo< consiste en una especie de cuenca< donde se e7trajo material para poder construirla +uedando a una cota más baja +ue sus alrededores inmediatos' *n todos los sectores descritos anteriormente< se encontraros detalles ar+uitectónicos comunes< como calles para el tránsito veAicular< aceras comunes = escalonadas< alcantarillas< canaletas< bancas< etc'''< además de la típica seali,ación vial = área verde como árboles = arbustos< por supuesto más abundantes en la ,ona de cerros'
'. Euipo 7tili*ado" /ara poder nivelar en el sector< el grupo utili,ó: 9Un Ta+uímetroTopcon !T9"4.' 9!os miras
Capítulo " Generalidades
8
'/ 9ro$edimientos Generales" Los procedimientos generales consistieron principalmente en: 9*stablecer una poligonal cerrada en el terreno de estudio' !ebido a la gran superficie +ue abarcaba el terreno< no se escogió una sino tres poligonales en la ,ona< la primera inclu=ó a la 6iblioteca Central junto con el edificio de aulas ?alvador &álve,< la segunda abarcó al área del !epartamento de *ducación Física = la tercera ocupó toda la superficie perteneciente al estadio multideportivo' Luego se prosiguió de la siguiente manera para cada una de ellas' 9Ubicar efica,mente los v@rtices de la poligonal cerrada< tambi@n llamadas estaciones< las +ue debían cumplir con tener la má7ima visibilidad posible de los detalles del terreno< de manera +ue se abarcara el ma=or área posible con una sola estación< para así disminuir el nEmero total de ellas< aAorrando trabajo innecesario< teniendo siempre en cuenta +ue con @stas se debía manejar el dominio de toda la superficie de estudio' )tro re+uisito para cada estación< era +ue cada una debía cumplir con tener dentro de su campo de visión a la estación precedente = siguiente< de tal manera +ue se pudieran tomar los datos de cada una de ellas' *l marcado de cada estación se Ai,o por medio de clavos< cada uno triangulado< para poder ser encontrado con una ma=or facilidad debido al pe+ueo tamao +ue estos poseen' 9Iivelar el ta+uímetroAori,ontal = verticalmente sobre cada v@rtice de la poligonal cerrada< /ara conseguirlo primero se ubicó el artefacto topográfico sobre una estación< enterrando o apo=ando las patas del trípode en la superficie< de manera +ue la parte superior del aparato +uedara lo más Aori,ontal posible< para despu@s ser correctamente nivelada por los pernos atornillantes de la parte media = la burbuja de nivel< teniendo siempre el cuidado de +ue la plomada óptica diera justo en la cabe,a del clavo< para así evitar errores en las medición' 91edir la altura instrumental del artefacto en cada estación< por medio de una AuincAa a cu=a lectura se le resto un centímetro por la no rectitud de @sta' Capítulo " Generalidades
,:
9*n la primera estación se fijó un norte referencial< calando el instrumento en esta posición< donde luego se trató de visuali,ar el clavo de la segunda estación< girando el ta+uímetro en sentido Aorario< midiendo así el ángulo Aori,ontal< llamado esta ve, a,imut' /ara las estaciones siguientes
no se siguió con este procedimiento =a +ue sus
respectivos a,imuts fueron calculados = no medidos' 9*stando en la primera estación< el instrumento fue calado en la segunda8estación siguiente< ubicando la reglilla en ella< en donde se reali,aron las medidas de los Ailos medios< superior e inferior< junto con la toma del ángulo vertical' 9&iro nstrumental Aacia la estaca de la estación anterior8estación final< con una reglilla ubicada sobre el clavo de esta< tomando las medidas de los tres Ailos = el ángulo vertical< además se tomó el ángulo Aori,ontal en este punto +ue correspondió al interior de la poligonal en la estación uno' 9Gepetición de los Eltimos dos pasos para cada estación< Aasta cerrar la poligonal' 9Cálculo de error en las mediciones de los ángulos interiores medidos< tal+ue estuviese dentro del rango aceptable' 9Colocación = nivelación del instrumento en las distintas estaciones< calándolo en la siguiente< para poder medir los Ailos< ángulos 8Aori,ontal = verticalde cada punto relevante para la representación del terreno' 9Gegistro las lecturas obtenidas sobre los puntos' 9Calculo las coordenadas= Cotas de los puntos ubicados en el terreno a partir de las = cotas del /G' 9Cálculodel error de cierre de las coordenadas' 9Correccióndel error de cierre en las coordenadas 8Aori,ontales = verticales = cotas' 9Tabulación de las coordenadas = cotas obtenidas para cada punto< por medio de 1icrosoft *7cel' 9Traspaso Computacional de lo registrado 8en este proceso se transcribió la información recolectada del registro de las mediciones vía 2utoC2!< generando así un levantamiento topográfico terreno' /ara conseguir el primero< se tuvo +ue Aacer una transcripción de las Capítulo " Generalidades
,,
coordenadas= cotas de los puntos a graficar sin errores al /rograma TopoCal< +ue sirvió como un intermediario entre *7cel = 2utoC2!' Luego estos datos fueron e7portados a este programa graficador< en el cual se confeccionó el plano del terreno deseado junto con las curvas de nivel< guiándose con un cro+uis'
'0 3istribu$ión 3el Traba1o"
'0', Terreno" 9La ubicación triangulación de estaciones< fue llevada a cabo el por los alumnos Iicolás )rtega = 6randon Iova 8" Aora' 9La ubicación = nivelación en distintas posiciones del nivel topográfico fue llevado a cabo por el alumno 6randon Iova = Iicolás &atica 8( Aoras' 9La ubicación de las reglillas sobre los puntos fue llevada a cabo por los alumnos Iicolás &atica< 6randon Iova< Iicolás )rtega 8.4 Aoras' 9Las encargadas de reali,ar las lecturas sobre la mira del ta+uímetro fueron las alumnasTAiare 1agallanes< Fernanda Gamíre, = Constan,a ?ala,ar8.4 Aoras' 9*l registro de datos fue tomado por los alumnos Iicolás )rtega< Fernanda Gamíre,< Constan,a ?ala,ar 8.4 Aoras' 9*l diseo del cro+uis del terreno fue llevado a cabo por la alumna Fernanda Gamíre, 8.4 Aoras'
'0' -nforme" 9Fue confeccionado por Iicolás )rtega 8"4 Aoras'
Capítulo " Generalidades
,
'0'. 9lano del le2antamiento" 9Fue reali,ado por Iicolás &atica 8%4 Aoras'
Capítulo ." )undamentos Teóri$os
,.
.' )undamentos Teóri$os"
!urante el proceso del trabajo< se Aan mencionado distintos t@rminos +ue necesitan un @nfasis en su e7plicación< para facilitar una mejor comprensión'
.', Mar$o Teóri$o"
.',', Con$eptos Teóri$os" 9Topografía: Ja fue definida previamente en el capítulo "< pero a modo de recordatorio se puede sinteti,ar por la siguiente definiciónD BB2rte de describir = delinear detalladamente la superficie de un terreno' 8*spaola< G2*;; 9Levantamiento topográfico: #;;*s parte fundamental de la topografía< =a +ue mediante ellas es posible modelar el terreno donde se ejecutan las actividades 8G*CG*2;;# 9Levantamiento por triangulación con AuincAa: 1@todo de levantamiento topográfico definido anteriormente< en el +ue se deben ubicar % puntos de referencia en lugares estrat@gicos +ue no cambien durante el tiempo< una ve, fijados estos puntos< se debe medir la distancia entre ellos por medio de una AuincAa = ubicar a los siguientes de tal manera +ue no salgan de un plano< todo esto< mediante una formación de triángulos entre dicAos puntos = determinando sus respectivas distancias' Una ve, en el plano< a partir de dos puntos se tra,an circunferencias de radios respectivos a la distancia del punto +ue se +uiere ubicar< estas forman dos intersecciones = se escogerá la +ue cumpla con los re+uisitos para ubicar al punto< se sigue así con cada uno Aasta finali,ar' 9Trípode: /arte inferior del nivel topográfico< +ue consta con patas mecani,adas para poder soportar la parte media = superior del nivel en todo tipo lugares' 9Iivel topográfico: nstrumento topográfico< +ue permite conocer los desniveles entre distintos puntos de inter@s' *ste esta costa con distintas partes< una burbuja para poder Capítulo ." )undamentos Teóri$os
,/
nivelar el instrumento< un anteojo con capacidad de aumentar la imagen para ver los datos de las reglillas< = un retículo con distintos Ailos para poder apuntar al objetivo< entre estos se encuentra el Ailo medio'
Iivel topográfico<magen (.',',',! 9Ta+uímetro: nstrumento topográfico +ue permite medir la dirección deseada en base a dos medidas angulares< una Aori,ontal o a,imut = otra vertical< tambi@n llamada cenital' *sta medición se reali,a gracias a unos elementos 8círculos graduados +ue incorporan los instrumentos' 2demás consta con un anteojo +ue nos permite visuali,ar el punto a medir'
Ta+uímetro< magen (.',','! Capítulo ." )undamentos Teóri$os
,0
9Cota: altura de un punto respecto a una referencia' 9Lectura Aacia adelante: BBLectura AecAa sobre un punto de cambio;; 8!epartamento de ngeniería Universidad de Concepción' 9Lectura ntermedia: BBLectura sobre un punto de cota desconocida;; 8!epartamento de ngeniería Universidad de Concepción' 9Lectura Aacia atrás: BB/rimera lectura AecAa sobre un punto de cota conocida;; 8!epartamento de ngeniería Universidad de Concepción' 9/unto de referencia: BB/unto de cota conocida;;' 8!epartamento de ngeniería Universidad de Concepción 9/unto de cambio: BB/unto de cota desconocida = +ue sirve para Aacer un cambio de posición instrumental;; 8!epartamento de ngeniería Universidad de Concepción' 9/erfil Longitudinal: ?istema de ejes coordenados< +ue tiene como objetivo representar la forma = las distancias del terreno' Consta de elementos como la rasante< terrapl@n = corte' 9Gasante: Línea considerada en un terreno con respecto a su inclinación Aori,ontal' 9Terrapl@n: situación en +ue sobra de material entre la rasante = la forma del terreno' 9Corte: !@ficit de relleno entre la rasante = forma del terreno' 9Iivelación topográfica: BBTiene como objetivo< Aallar la diferencia de altura entre dos puntos de un terreno;; 8*spaola' 9Talud: Gelación entre la Aori,ontal = vertical +ue se encarga de representar el porcentaje de inclinación del corte o terrapl@n' 96ombeo: /orcentaje de inclinación de la cal,ada con respecto al eje de los terraplenes< el +ue a la ve, tambi@n depende del material del terreno = de las precipitaciones de la ,ona donde se ubica' 92ncAo de Carpeta: e7tensión considerada para el perfil trasversal' 91eridiano: línea de referencia materiales o imaginarias< utili,adas para determinar la medición angular entre @sta = la línea formada por el punto proporcionado' Capítulo ." )undamentos Teóri$os
,6
9Kngulo vertical: *s el ángulo de depresión o elevación desde la línea Aori,ontal del terreno< pudiendo ser positivo o negativo segEn el punto +uede sobre o bajo la Aori,ontal' 92,imut: !irección de una línea< dada por el ángulo encontrado ente @sta = el meridiano< tomado siempre en sentido Aorario' 9Kngulo nterior u ori,ontal: ?e refiere a los ángulos entre líneas ad=acentes +ue +uedan dentro de la figura o polígono' 9/lomada: La plomada es una Aerramienta usada frecuentemente en cual+uier trabajo de topografía< =a +ue mediante su empleo se puede establecer el nivel vertical o pro=ección para determinar distancias' ?u forma más sencilla está compuesta de un Ailo o cordón = un peso de metal' 9*stación: Consistente en una estación topográfica ubicada en un v@rtice de la poligonal +ue permite la reali,ación de medidas de levantamientos topográficos'
.',' M;todo 3e 9oligona$ión"
La poligonación< consiste en trabajar con las estaciones o v@rtices +ue forman la poligonal< en los +ue se fija un ta+uímetro o teodolito para trabajar' ?e parte desde una sola estación< lo +ue permite el dominio de una ,ona limitada del terreno< por lo +ue para ad+uirir el dominio de otra< es necesario cambiar la instrumentación a otra posición< este proceso debe repetirse Aasta tomar un completo control sobre el terreno +ue se +uiere estudiar< con el cuidado de determinar la posición de cada estación mediante la anterior' *7isten varias maneras de conocer la dirección de cual+uier lado de la figura< formada segEn el ángulo +ue sea utili,ado< pudiendo ser por la medida de ángulos interiores< de defle7ión< ángulos a la derecAa o a,imuts' /ara una poligonal cerrada siempre se cumple +ue: n
θ =( n −2 ) 200 ∑ = i 0
(.','',!
?e destaca a M como ángulo interior = a n como el nEmero de lados de la poligonal'
Capítulo ." )undamentos Teóri$os
,4
*n este práctico se utili,aron los a,imuts para conocer las orientaciones de los distintos puntos< con los cuales se procedía fijando el norte supuesto< se lee el primer a,imut< = el resto se calcula por la siguiente fórmula' α n=α n−1+ 200 −θn
(.',''!
!onde N se refiere a los a,imuts< n es igual al nEmero de la estación< = M es ángulo interior medido en radianes al igual de los a,imuts' /ara conocer las variaciones entre las distancias entre distintos puntos pertenecientes a la poligonal< se tienen las siguientes fórmulas: Dh= KG sin z
2
(.',''.!
G=( hs −hi ) (.',''/!
!onde O es las constante del instrumento con el +ue se reali,an las mediciones< , es el ángulo vertical medido en el punto<
hs
es la medida del Ailo superior =
hi
es la
medida del Ailo inferior' Con las fórmulas anteriores se pueden calcular las diferencias entre las coordenadas Aori,ontales = verticales entre puntos< por medio de la trigonometría< tal como lo ilustran las ecuaciones +ue siguen: ∆ x = x b− x a = Dab sin θ ab
(.',''0!
∆ y = y b− y a = D ab cos θ ab
!onde ∆ x
=
∆y
(.',''6! son
verticales respectivamente<
las variaciones entre las coordenadas Aori,ontales =
Dab
es la variación de la distancia entre el punto a = el
punto b = θab es el ángulo Aori,ontal entre estos puntos'
?e sigue finalmente el cálculo de las coordenadas de cada punto< cabe sealar +ue para comen,ar con el cálculo de estas< debe Aaber al menos un punto cu=os datos sean conocidos para obtener las demás a partir de esta' x n= x n−1+ ∆ x
(.',''4!
y n= y n−1 + ∆ y
(.',''5!
Capítulo ." )undamentos Teóri$os
2+uí<
x n
,5
e y n son las coordenadas del punto n< mientras +ue
coordenadas del punto n9"< de datos conocidos' Los
x n−1 e y n−1
son las
∆ x y ∆ y son las variaciones en
las coordenadas Aori,ontales = verticales respectivamente' *n este +uinto práctico se trabajó con $ dimensiones< por lo +ue no basta solo la información entregada por las coordenadas de @ste< sino +ue tambi@n debemos conocer su cota< para lograr una real representación de @l en el espacio estudiado' /artiendo de un punto base de cota conocida< se calculan las variaciones o desniveles entre ellos< dados por la fórmula: Dn= KG sin z cos z
(.',''8!
Con D n igual al desnivel producido entre cotas< P igual a la constante del teodolito< & calculado en 8$'"'%'. = , igual al ángulo vertical' Luego< para conocer cada cota< se estable la siguiente relación matemática: C n =C n −1 + Dn n + 1
(.','',:!
Con n referido al punto =
C n , C n−1
referido a la cota del punto indicado en el sub9índice'
1ientras +ue D n n+1 es igual al desnivel +ue Aa= entre la cota del punto n = la cota del punto nQ"'
.','. -nterpola$ión Cur2as de ni2el" Una ve, encontradas las $ coordenadas +ue representan a cada punto de inter@s< se Aace necesaria una representación gráfica< +ue para ser simplificada es AecAa a partir de curvas de nivel< las +ue pueden ser encontradas por cual+uiera de los siguientes m@todos'
.','.', M;todo Analíti$o" ?ea 26< una línea +ue une a dos puntos de terreno de cotas conocidas = ; respectivamente< mientras +ue "< %< $ = . son las cotas enteras de los puntos !< *< F = &'
Capítulo ." )undamentos Teóri$os
,8
Luego se pro=ecta la recta 2C = 6C< para luego pro=ectar los puntos d< e< f = g< de tal manera +ue +ue las rectas !d< *e< Ff = &g +ueden en la misma orientación de 6C< = se calcula la distancia Aori,ontal L
Figura 8$'"'$'"'" Luego se procede a calcular los desniveles de cada punto< a partir de la cota más baja< relación dada por la siguiente fórmula:
∆i =C i −C m
!onde C m
∆i
(.','.','! es la variación o desnivel entre la cota del punto
C i
= la menor cota
'
2 partir de lo obtenido se calculan las distancias Aori,ontales entre el punto +ue posee la cota de menor valor = los puntos de cotas enteras: L ∆ i x i= ∆ AB (.','.','.!
!onde x i =
∆i
es la distancia Aori,ontal = desnivel entre el punto +ue posee la cota
de menor valor = el punto de cota entera respectivamente< L es la distancia Aori,ontal entre 2 = 6< mientras +ue
∆ AB
es el desnivel entre 2 = 6'
Capítulo ." )undamentos Teóri$os
:
Luego sobre el plano Aori,ontal se Aace coincidir el cero del escalímetro con el punto de menor cota< para medir los valores calculados
x i
= determinar la ubicación respectiva
de cada punto' *l proceso es repetido para cada par de puntos ad=acentes en el plano de terreno< para finalmente encontrar las curvas de nivel uniendo mediante una línea a los puntos +ue posean su cota entera con el mismo valor'
.','.' M;todo Geom;tri$o" Los puntos 2 = 6 pertenecen al plano del terreno = Ca = Cb son sus cotas conocidas'
?uponiendo +ue 2 es el punto de menor cota< se tiene +ue a partir de este se tra,a una línea arbitraria 2!< poniendo una regla graduada sobre esta< de modo +ue el punto 2 este ubicada la graduación de la regla igual a su cota' ?e anotan en esta recta los puntos *
Figura 8$'"'$'%'" Capítulo ." )undamentos Teóri$os
,
*l proceso se repite para cada par de puntos ad=acentes en el plano< para finalmente unir a los puntos +ue poseen cotas redondas de igual valor'
.','.'. M;todo Me$%ni$o o Gr%fi$o" *s una aplicación del m@todo geom@trico AecAa con papel ra=ado para evitar el uso de escalímetros'
.' Teoría 3e Los Errores"
Los errores son imprecisiones
inseparables de cual+uier medición clasificados en
sistemáticos< accidentales< instrumentales< personales = naturales' *n este trabajo se vieron errores asociados a al cierreangular = lineal de la poligonacióncerrada< llamado error de cierre' Cuando la sumatoria de los ángulos interiores de un polígono es distinta a la teórica mostrada en el ítem anterior< se está en presencia de un error angular de la poligonal< dado por la siguiente fórmula: n
e angular =
θ −( n −2 ) 200 ∑ = i 0
(.'',!
!onde n se refiere al nEmero total de lados de la poligonal< mientras +ue M es referente a los ángulos interiores del polígono medidos en gradianes' *7iste una tolerancia má7ima de error angular< dada por: e angular adm=
√ n 27
(.''!
*n la +ue n representa al nEmero de lados de la poligonal' ?i se cumple +ue e angularadm > eangular < entonces el error puede ser corregido< tal como se ilustra a continuación: Capítulo ." )undamentos Teóri$os
c angular =
Con
e angular n
c angular
(.''.!
igual a la corrección angular< = n< nuevamente se usa como una
denominación para el nEmero de lados'
Finalmente se pueden obtener los ángulos Aori,ontales corregidos< para poder continuar con el m@todo topográfico< dados por: θcorregido =θ ± c angular
θcorregido
(.''/!
igual al ángulo Aori,ontal corregido'
/asando a otro error< denominado error lineal< o error de terreno< el +ue puede obtenerse una ve, alcan,ado el cómputo de las variaciones entre las coordenadas< tal como se mostró en el ítem anterior< este error puede ser calculado mediante las siguientes ecuaciones: n
e x =
∆x ∑ =
i
(.''0!
∆y ∑ =
(.''6!
i 0
n
e y =
i
i 0
e terreno=√ e x + e y 2
2
(.''4!
*n las cuales e x =
e y
son los errores producidos por las sumatorias del total de las
variaciones de distancia entre los distintos puntos en los cuales se ubicó la poligonal< el +ue debiera ser cero si la medición fuese perfecta<
e terreno
esta referido al error total del
polígono' 2+uí< tambi@n se tiene una tolerancia má7ima para el error lineal< el cual está dado por: e terrenoadm =2 √ D (.''5!
*n donde e terreno adm es el error admisible para el terreno = ! es la distancia total entre las estaciones medidas en Oilómetros'
Capítulo ." )undamentos Teóri$os
.
?i se cumple +ue e terrenoadm > eterreno < se pueden corregir las coordenadas de los puntos o estaciones' /ara corregir dicAo error< se llegan a las siguientes fórmulas: c x =
e x n
∥∆x ∥ ∑ =
D acumulada
(.''8!
i
i 0
c y =
e y n
∥∆ y ∥ ∑ =
D acumulada
(.'',:!
i
i 0
c x
*n las cuales
=
c y
son las correcciones para las coordenadas Aori,ontales = n
verticales respectivamente<
∥∆x ∥ ∑ = i
i 0
n
=
∥∆ y ∥ ∑ = i
i 0
son las sumatorias de los valores
absolutos entre las variaciones de las distancia entre coordenadas< o tambi@n llamada la distancia total Aori,ontal = vertical entre los puntos< mientras +ue D acumulada es referida a la distancia acumulada Aasta el punto' Finalmente< se obtienen las coordenadas finales< o coordenadas corregidas de cada punto< utili,ando la corrección anterior< mediante las siguientes estructuras algebraicas: x corregida = x ± c x
(.'',,!
y corregida = y ±c y
(.'',!
Con
x corregida
e
y corregida
las coordenadas corregidas'
!ebido a +ue se trata de una poligonal cerrada< para obtener el error en las cotas de cada puntoperteneciente a @sta< se tiene: e cota=∥ C n −C n ∥
(.'',.!
Con C n < cota del punto n conocida =
C n
< cota del punto n calculada a partir de las
formulas dadas en el tema anterior' Luego si e cota ! 0.02 √ D
8con ! igual a la distancia total recorrida en la poligonal en
Om< entonces las cotas de los puntos pueden ser corregidas por la siguiente fórmula: ?i C n > C n :
C i corregida =C i +
ecota D acumulada Dtotal
(.'',/!
?i C n < C n : Capítulo ." )undamentos Teóri$os C i corregida =C i−
!onde
e cota Dacumulada
C i corregida
D total
/
(.'',0!
< es la cota del punto i corregida<
C i
es la cota del punto sin
corregir< D total es la distancia total recorrida por la poligonal< D acumulada es la distancia acumulada en la poligonal Aasta el punto n =
e cota
es el error en la cota Luego si
Capítulo /" An%lisis 3e Errores
0
/', An%lisis de errores *sta entrega no estuvo e7enta de errores< a continuación se ilustran algunos de ellos' *n primer lugar se tuvo el mal estado de la AuincAa proporcionada al e+uipo< =a +ue se les truncó el primer metro< lo +ue derivó en una constante preocupación de restar una unidad la cantidad apreciada en cada medida< dificultando la lectura del instrumento' *sta ine7actitud< se clasifica dentro los errores de tipo instrumental' )tra agravante fue +ue una de las dos reglillas con las +ue el grupo trabajó< no poseía burbuja de nivelación< por lo +ue no siempre se encontraba en una completa posición vertical< +uedando tambi@n dentro de los errores del tipo instrumental' *l constante cambio en las posiciones instrumentales puede Aaber influido en el error final< =a +ue en cada cambio se tuvo +ue nivelar el instrumento< pudiendo Aaber diferencias mínimas por la ine7acta nivelación del e+uipo< +uedando clasificado en los errores del tipo personal'
Como el trabajo fue reali,ado durante varios días< los alumnos se tuvieron +ue enfrentar a distintos climas durante ella< predominando en si el buen tiempo< sin embargo los leves soplos de viento estuvieron presente< Aaciendo +ue la mira se moviera< acarreando algEn tipo de error' *l AecAo de +ue en algunas ocasiones< el calor producido por el buen clima f provocó +ue las ondas de estas distorsionaran un tanto las imágenes< no tomando el valor preciso o más acertado' Como se mencionó anteriormente el Aaber medido durante varios días provocó +ue se cambiara constantemente el instrumento con el cual se reali,aba el trabajo< esto puede Aaber provocado pe+ueas ine7actitudes al momento de tomar los valores< =a +ue algunos de estos podrían no Aaber estado bien calibrados' !urante la medición el ta+uímetro se apagó constantemente< lo +ue pudo Aaber acarreado varios errores al momento de medir los ángulos Aori,ontales< =a +ue cada ve, +ue esto ocurría el ángulo la estación con la cual se medían los puntos se perdía = por ende< se debía volver a locali,ar'
Capítulo 0" E1emplo de $%l$ulo
6
0', E1emplos de $%l$ulo Como en el trabajo anterior< durante el proceso de medición< se reali,aron distintos tipos de cálculos +ue facilitaron el proceso de obtención de los datos< tanto para la poligonal como para los puntos' /ara comen,ar con el proceso de determinación de los valores = medidas de la poligonal< se comien,a anali,ando los datos obtenidos de ella< como lo son los ángulos interiores: /or medio de la ecuación $'"'%'" se tiene +ue para una poligonal de seis lados la suma de sus ángulos interiores debería ser:
∑ θ =( 6 −2 ) 200 =800 g 1ientras +ue de los valores obtenidos en terreno se tiene:
∑ θ =177,146 +132,722 +140,976 +93,824 + 152,744 +102,676 =800,0880 g
2mbos valores antes mencionados se relacionan por medio de la ecuación $'%'": e angular=800,0880 −800= 0,0880 g
!e donde se tiene +ue el error de terreno es de#' J como este valor está dentro del error admisible el cual viene dado por la ecuación $'%'%: e angularadm =
√ 6 27
= 0,09072 g
?e dice +ue error Adm> error terreno < se procedió a corregir mediante la fórmula $'%'$: C angular =
0,0880 6
=± 0,01467 g
Como en este caso el valor obtenido en terreno es ma=or al +ue se debería de Aaber tenido< esos#' ?e le deben de restar a cada ángulo interior de la poligonal' Como ejemplo< se tiene por ecuación $'%'.< la corrección del ángulo formado por la estación %< poligonal $< = la estación 3< poligonal $< mirado desde la estación ":
Capítulo 0" E1emplo de $%l$ulo θ1corregido =¿
4
177,146 −0,01467 =177,131333 g
/ara la obtención de los a,imuts se utili,aron los ángulos interiores corregidos< como esto =a se Ai,o< un ejemplo del empleo de la fórmula $'"'"'% es: α 2=274,4573 + 200−¿
132,722 ¿ 341,7499 g
/ara la obtención de las distancias Aori,ontales se utili,ó la fórmula $'"'%'$< en la cual se relaciona los ángulos verticales< con la distancia entre los Ailos superiores e inferiores 8dada por la ecuación $'"'%'. = la constante del instrumento< aun+ue para las medidas de las distancias Aori,ontales entre estaciones< aparte de r elacionar esto< se Aace un promedio entre estos dos valores< =a +ue se toman ángulos = medidas de los Ailos desde una estación = la otra implicada'
Un ejemplo de esto< es la abstención de la distancia entre la estación uno = la estación dos: Dh=
[ ( 1,815−0,9250 )∗100∗sin
2
99,9520
] +[ ( 1,8550−0,9650 )∗100∗sin 101,0680 ] 2
2
= 88,9874519 m
/ara el caso de la obtención de las distancias Aori,ontales de los puntos se calculó de la misma manera solo +ue esta ve, no se utili,aban los promedios' Un ejemplo de esto fue para la obtención de la distancia Aori,ontal del punto 04"< poligonal $ es: 2 Dh=( 1,5180 −1,3020 )∗100∗sin 110,3700=¿ 21,031924 m
/ara el cálculo de coordenadas en los ejes 78este e =8norte se tiene: Un ejemplo en 7< se tiene por fórmula $'"'%'(: " x 1−2=88,9874519 ∗sin 274,4573 =−81,9203828 m
1ientras +ue en =< mediante la fórmula $'"'%'3< se tiene: " y 1−2=88,9874519 ∗cos 274,4573 =−34,75366854 m
Capítulo 0" E1emplo de $%l$ulo
!ado +ue =a se determinaron las variaciones de las distancias< se pueden obtener las coordenadas< tanto en el eje 7 como en el eje =< por medio de las formulas $'"'%'5 = $'"'%'- respectivamente< ejemplo de esto se tiene< las coordenadas de la estación %< poligonal: x 2=¿
924,9001609 +(−81,9203828 )=842,9797781 m
y 2=¿
1151,20543 + (−34,75366854 )=1116,451761 m
5
!onde el 842,9797781 = 1116,451761 son las coordenadas< en 7 e = respectivamente< de la estación de "< poligonal $< obtenidas a partir de las coordenadas del /G< la cual era 8"444<"444' /ara el error de estas distancias< se tiene por ecuación $'%'(: e x =
∑ " x =−81,9203828 − 45,09963468 + 1,892569369 + 95,25724028 +82,12539079 −51,36476561 = 0,89
J por ecuación $'%'3: e y =
∑ " y=−34,75366854+34,69998072+152,7752288−10,48509701−93,89351206−48,86319096=−
/ara el error total se tiene< por ecuación $'%'5: e total=√ 0,890417336
2
+−0,5202590312 =¿ 1,03126742 m
?e tiene por ecuación $'%'- +ue el error de terreno admisible es: e terrenoadm =2
√
590,1469231 1000
=1,536420415 m
Como el e total< eterreno adm las coordenadas se pueden corregir' /ara la obtención de las coordenadas corregidas se aplicó la fórmula $'%'""< para la asociada al eje 7< = la $'%'"% para la asociada al eje =< un ejemplo de estas es para el cálculo de las coordenadas de la estación % poligonal $ corregidas: Capítulo 0" E1emplo de $%l$ulo
x corregida =842,9797781 −
8
[
0,890417336 357,6599835
]
∗(−81,9203828 ) =843,1837241 m
[
y corregida =1116,451761−
−0,520259031 375,4706781
]
∗(−34,75366854 ) =1116,499917 m
/ara calcular los desniveles< tanto de los puntos como el de las estaciones< se utili,ó la fórmula $'"'%'0< la Enica diferencia entre ellas es +ue para la estación se utili,a un promedio de este desnivel' Un ejemplo de este cálculo es la determinación del desnivel de la estación ": D n=100∗( 1,815−0,925 )∗sin 99,9520 cos99,9520−100∗ (1,855 −0,965 )∗cos101,0680sin 101,0680=0,779
J para el punto 04": D n=100∗( 1,5180−1,3020 )∗cos110,3700cos110,3700=−3,45654916 m
/ara las cotas se tuvo< por ecuación $'"'%'"4< para la estación %< poligonal $: C n =18,0038212 + 0,779948798 =18,784 m
!onde el desnivel tiene incluido la diferencia entre el Ailo medio = la altura instrumental' /ara el caso de los puntos< = por medio de la misma fórmula se tiene< para el punto 04": C n =18,77486411 + (−3,45654916 )+ 1,410−1,410 =15,318 m
/ara obtener el error de las cotas< se tiene por $'%'"$: e cota=∥ 18,063 −18,0038212 ∥= 0,059 m
Como el e cota < 0,015364204 el cual es el error admisible< se tiene +ue la cota se puede corregir' Como
C n < C n
C 2 =18,063 −
se tiene, para la cota de la estación 1, por la ecuación 3.2.15:
0,059∗88,9874519 590,1469231
Capítulo 6" Con$lusiones
= 18,77486411 m .:
6', Con$lusiones La precisión con la +ue se lee el instrumento tiene bastante relevancia a lo largo del trabajo< puesto a +ue esto es el encargado de generar un grado menor o ma=or en el posible error +ue la medición puede acarrear' *l uso correcto del instrumento tambi@n infiere en el AecAo de una ma=or o menor e7actitud del valor< es importante tener en claro< tambi@n< la manera como se instala el instrumento< =a +ue mientras mejor se cono,ca este punto< más rápido se logra la medición' *l saber ubicar bien el instrumento Aace +ue trabajo se facilite< logrando así tomar la ma=or cantidad de valores posibles< el tener una idea clara de donde posicionarlo se va ad+uiriendo con la práctica' *l manejo de la mira = de la lectura del instrumento infiere en el grado de error o de e7actitud +ue pueda tener el valor tomado' 2l ser un trabajo con cotas< es decir< =a no solo planimetricamente< se trató de tomar datos más e7actos< por lo +ue a pesar de trabajar rápidamente tambi@n se trabajó rigurosamente' 2l tener conocimientos teóricos de lo +ue era una curva de nivel< se logró captar la idea de dónde ubicar de manera óptima los puntos para el trabajo'
6' bser2a$iones
En ocasiones al girar el instrumento, se notaan pe!ue"as inclinaciones en la uru#a de ni$el, denotando el desni$el !ue se produc%a en &l, esto puede 'aer acarreado uno !ue otro error en la medición. El 'ec'o de !ue en el lugar de medición 'uieran $e'%culos estacionados ( !ue por el lugar transitaran estos entorpeció de cierto modo el proceso de medición. ?e trabajó con una AuincAa con un metro truncado'
Capítulo 4" Bibliografía
.,
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*ca. -s../. Nivelación-Too!r"fca. tenido de i$elación opogr>*ca: 'ttp:ni$elaciontopogra*[email protected]i$elaci
Capítulo 5" Ane
.
5', 9oligonal ,
5',', Tabla de $oordenadas de las esta$iones" C
Coordenada = 003<-""55%$
Coordenada > 030<0%554.3
Coordenada =? 003<5-0-(3.
Coordenada >? 054<4.50-.%
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"4(3<0"$.5$ Tabla de coordenadas de las estaciones(5',',!'
Capítulo 5" Ane
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5',' Tabla de $otas de las esta$iones"
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Cota Corregida 0<3(.5--"55
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Error Corre$$ió
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Capítulo 5" Ane
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"4 Capítulo 5" Ane
9unto
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6
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Capítulo 5" Ane
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9unto
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Capítulo 5" Ane
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9unto
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Capítulo 5" Ane
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Capítulo 5" Ane
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Capítulo 5" Ane
0
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3
Capítulo 5" Ane
0.
9unto
C))G!*I2!2 C))G!*I2!2 Cota
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Capítulo 5" Ane
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9unto
C))G!*I2!2 C))G!*I2!2 Cota
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Capítulo 5" Ane
00
9unto
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Capítulo 5" Ane
06
9unto
C))G!*I2!2 C))G!*I2!2 Cota
6.0
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Capítulo 5" Ane
04
5' 9oligonal
5'', Tabla de $oordenadas de las esta$iones"
C
Coordenada = 0$$<$50($0"
Coordenada > "404<55"%"%
Coordenada =? 0$$<.3"45%%
Coordenada >? "404<53305
C.
0%.<-4.33%%
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0%.<044"340
""("<%4(.$
C/
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C0
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C6
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0-$<45.45%5
"4-0<055(.(
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"4-0<%4%%%(
0-$<..453-$
"4-0<%4%%%(
C, C,
Tabla de coordenadas de estaciones (5'',!
Capítulo 5" Ane
05
5'' Tabla de $otas de las esta$iones"
C
Cota ,:@6.
Cota Corregida ,:@6,04:056
C.
,5@:,
,5@::.5,
C/
,@,6:
,@,.48/8
C0
,/@648
,/@6.54/:4
C6
,,@:5.
,,@:84848,
,,@6.4
,,@0468/68
C, Error Corre$$ió
:@:6: :@:::,0:66
n Cota,
,,@0468/68 Tabla de cotas de las estaciones (5''!
Capítulo 5" Ane
08
5''. Tablas de $oordenadas y $otas de los puntos" 9unto E. E, 60/ 600 606 604 605 608 66: 66, 66 66. 66/ 660 666 664 665 668
C&3E#A3A C&3E#A3
Cota
=
A>
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,:5:@8/04, ,:5.@4405 ,:5,@6/55.
,,@56560, ,:@84.6,4 ,:@88/685
,:48@6,04
. ,:@.8:0/5
,:8,@5485/
0 ,:@/8.4:/
,:8.@0645 ,:[email protected]
6 ,,@445. ,:@64665
,:8,@:/8 ,:50@,060 ,,:,@,65.
8 ,,@55/,5, ,,@4//0,0 ,:@50,66
,:8:@.56:8
, ,:@/:505
,:8:@.5064
/ ,:@0/0./
,,::@0:,0.
,:@85/560
,:8/@5058
, ,:@6,.,4
,:8/@5/:4.
4 ,:@4:.,5
,:80@:060,
/ ,:@4.4.8/
8,4@:8586 8,5@8:/04 8:0@0544 8,4@886:/ 8:@548::/ 8:[email protected]:40 8,8@:,6,56 88@/8:604 88@65/0 8,5@.8/6, 8.0@:8.6.5 8.0@,,8,.0 8.6@:/.,,
0
64: 64, 64 64. 64/ 640 646 644 645 648
8/@.:5.0 8.4@.,8/.5 8.,@840 8,8@5.., 8.,@5:4684 8.@.4:06. 86@.:,,8/ 8.@./004 86@/5.58/ 8.@6,8.84
,:88@://:8
,:@44686/
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8 ,:@0645
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5 ,:@8.86::
,:8.@::66
/ ,:@/88:/
,:8.@44/50
/ ,:@604:
,,:4@48//
0 ,:@5:50
,,:8@:6.6
, ,:@868/
,,:8@68000 ,,,6@0,.44
0 ,,@./6,55 ,,@6.455
Capítulo 5" Ane
6:
9unto
C&3E#A3A C&3E#A3
Cota
65: 65, 65
= 86@88:406 8./@6,/,0 8.:@8,0/8
A> ,,,4@455:4 ,,5@4,8.6 ,,.:@0655,
,,@6,46,0 ,,@65/48:/ ,@4448,.
,,5@08.
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6,
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6
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5 Capítulo 5" Ane
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485
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Capítulo 5" Ane
60
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Capítulo 5" Ane
66
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Cota
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Capítulo 5" Ane
64
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C&3E#A3A C&3E#A3
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,:@6584. ,:4@/6048
,,:@885:. ,,:@6:4.
0 ,,@540,6. ,.@:55,:.
5 Tabla de cotas = coordenadas de los puntos (5''.!
Capítulo 5" Ane
65
5'. 9oligonal .
5'.', Tabla de $oordenadas de las esta$iones"
C
Coordenada = -.%<05055-"
Coordenada > """3<.("53"
Coordenada =? -.$<"-$5%."
Coordenada >? """3<.000"5
C.
505<--4".$.
""("<"("5.%
50-<"03$35-
""("<%.505-
C/
500<55%5"%-
"$4$<0%305"
-44<40$3.-0
"$4.<"$-5$.
C0
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"%0$<.."-5.
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"%0$<3$0"4-
C6
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""00<(.-$3%
055<0"5--($
""00<3"(.03
C, C,
0%(<504(5-%
""(4<3-("5"
0%.<044"340
""("<%4(.$
0%3<3-400(3
""(4<5-453"
Tabla de coordenadas de las estaciones (5'.',!
Capítulo 5" Ane
68
5'.' Tabla de $otas de las esta$iones"
C
Cota ,5@45/
Cota Corregida ,5@44/56/,,
C.
,@../
,@.,846.8
C/
6@45.
6@4060:6
C0
.4@/6
.4@:680:8.
C6
0@,,
0@,08046
,5@:6.
,5@::.5,
C,
Error Corre$$ió
:@:08 :@:::,:::5
n Cota,
,5@::.5, Tabla de cotas de las estaciones (5'.'!
Capítulo 5" Ane
4:
5'.'. Tablas de $oordenadas y $otas de los puntos" 9unto *$ *" 8:,
8: 8:. 8:/ 8:0 8:6 8:4 8:5 8:8
C))G!*I2!2 C))G!*I2!2 Cota R
J
-3.<"5$"4"
"""5<-$54.
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Capítulo 5" Ane
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Capítulo 5" Ane
4.
9unto
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$ Tabla de coordenadas = cotas de los puntos (5'.'.!
Capítulo 5" Ane
5'/ Crouis"
4/
5'/', Crouis Bibliote$a Central"
Cro+uis 6iblioteca Central (5'/',!
Capítulo 5" Ane
5'/' Crouis Edifi$io 3e Aulas Sal2ador G%l2e*"
40
Cro+uis *dificio de 2ulas ?alvador &álve, (5'/'! Capítulo 5" Ane
5'/'. Crouis 3epartamento de Edu$a$ión físi$a"
46
Cro+uis !epartamento !e *ducación Física (5'/'.! Capítulo 5" Ane
5'/'/ Crouis Estadio Multideporti2o"
44
Cro+uis *stadio 1ultideportivo (5'/'/!
Capítulo 5" Ane
5'0 ista )inal 3el Le2antamiento"
45
