LEVANTAMIENTO DE UN POLÍGONO POR EL MÉTODO PERIMETRAL Este método se usa cuando los terrenos son bastantes grandes o existen obstáculos que impiden la visibilidad necesaria en los métodos anteriores. Al igual que en los métodos anteriores, el polígono se traza aproximadamente en los linderos del terreno y desde los vértices se tomaran los detalles complementarios para el levantamiento a detalle del área que se desea conocer.
Condiciones que debe cumplir el Polígono: a) Que los vértices estén sobre puntos topográficos fijos y que permita la puesta en estación de un teodolito. b) Que exista visibilidad entre los vértices adyacentes. c) Que se domine desde los vértices todo el área a levantar
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Datos de campo: a) Los ángulos interiores o exteriores según el sentido en que se enumere los vértices del polígono. Estos ángulos deben realizarse por el método de repetición. b) Las distancias horizontales de los lados del polígono, debe tomarse con wincha y con el mayor cuidado posible. c) El Azimut de un lado del polígono, de preferencia del lado 12 o AB, para seguir un orden en el calculo.
CALCULOS Y AJUSTES: a) Calcular el error angular en el cierre del polígono:
e α
=
Σα int. (Observados) - Σα int. (Teórico)
ó ext.
ó ext.
b) Compensar el ea, si éste se encuentra dentro del error máximo de tolerancia: e α
b1) Si b2) Si
max. T. = ± Precisión del Equipo √n
eα
≤
eα
>
eα
max. T. T. (SE COMPENSA.) eα max. T. (SE REGRESA AL CAMPO PARA VOLVER A TOMAR LOS DATOS.)
Si el resultado es (b1) entonces se compensa, sumando o restando proporcionalmente el exceso o faltante. En consecuencia la suma de los ángulos compensados debe ser igual a lo teórico. c) Con los ángulos compensados y partiendo del azimut observado se calcula los azimuts de los demás lados del polígono.
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Ejemplos: Calcular el Az 23, teniendo como azimut de partida el Az 12
1.- Sentido Horario: Az 23 = Az 12 + 180°−α2
2.- Sentido Antihorario: Az 23 = Az 12 -180°+α2
Nota: NO OLVIDARSE DE CHEQUEAR EL AZIMUT 12, AL DAR LA VUELTA COMPLETA EN LOS CALCULOS. DEBE SER EL MISMO! d) Calculado los azimutes de todos los lados del polígono se procede a calcular sus proyecciones correspondientes.
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Ejemplo: N Proy.E Az 12 d 12
2 Proy.N
1) ( + ) proyN = d 12 CosAz12 = d 12 SenAz12 ( + ) proyE
1
N 2) ( −) proyN = d 23CosAz23
( + ) proyE = d 23 SenAz 23
Az 23
2
d 23
Proy.E
Proy.S 3
N 3 Proy.S
4
d 34
Az 34
= d 34CosAz34 3) (−) proyN = d 34 SenAz34 ( −) proyE
Proy.W
N = d 41CosAz 41 4) ( +) proyN
( −) proyE = d 41 SenAz 41
1 Proy.W Proy.N
d 41
Az 41
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4
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Nota:
El valor de las Proy.N es igual a las Proy.S, y las Proy.E es igual a las Proy.W
e) Una vez calculado todas las proyecciones se suman independientemente , ΣProy.N, ΣProy.S, ΣProy.E, ΣProy.W y se calcula el error en las proyecciones: δNS = ΣProy.N - ΣProy.S δEW = ΣProy.E - Σ Proy.W f)
Los errores en las proyecciones NS y EW, hacen que al reconstruir la poligonal apartir de la estación 1, al final no se llegue a 1, si no a un punto 1', que difiere de 1 en las abcisas una cantidad igual a δEW y en las ordenadas una cantidad igual a δNS. Con estos errores de las proyecciones se calcula el error total (distancia que existe entre 1 y 1').
∂ ∆
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2
2
∆ T = (∂ NS ) + (∂ EW )
g) Con el error total y el perímetro, se calcula la precisión del polígono ó Error Relativo. E R =
1
(Perimetro ∆ T )
PRECISIONES LIMITES PARA LOS DIFERENTES TIPOS DE LEVANTAMIENTOS LIMITES MÍNIMOS 1/10,000 1/5,000 1/2,500 1/2,000 1/1,000 (*) 1/500 (*)
TIPO DE LEVANTAMIENTO Levantamientos Geodésicos. Levantamientos en ciudades y terrenos de mucho valor. Levantamientos Urbanos y terrenos rurales de cierto valor. Levantamientos en terrenos agrícolas. Levantamientos en terrenos quebrados. Levantamientos de terrenos de muy poco valor o para reconocimiento.
(*) Generalmente las distancias son tomadas con teodolito y mira. h) Si la precisión es aceptada entonces se procederá a distribuir los errores de las proyecciones, según el método escogido; Luego entonces el polígono quedara cerrado ó compensado y el punto 1' cerrara en el punto 1. Existen dos métodos para repartir el error de cierre y hacer que las proyecciones N, S y E, W den sumas iguales y por lo tanto el polígono cierre perfectamente.
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MÉTODO A: Usando las mismas proyecciones. Para la corrección de las proyecciones N y S se aplicara:
C = δNS * Proyección a corregir / ( ΣpN + ΣpS) Para la corrección de las proyecciones E y W se aplicara:
C = δEW * Proyección a corregir / ( ΣpE + ΣpW) Nota: Para las proyecciones cuya suma ha dado mayor, la corrección es negativa y para la que dado menor la corrección será positivo.
MÉTODO B: Usando los lados del polígono. Para la corrección de las proyecciones N y S se aplicara:
C = δNS * Lado cuya Proyección se corregirá / Perimetro Para la corrección de las proyecciones E y W se aplicara:
C = δEW * Lado cuya Proyección se corregirá / Perímetro Nota: Para las proyecciones cuya suma ha dado mayor, la corrección es negativa y para la que ha dado menor la corrección será positiva. Una vez corregido las proyecciones se procederán a calcular las coordenadas de los vértices del polígono, partiendo siempre de una coordenada conocida ó relativa.
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Modelo de Libreta de Campo:
Cálculo del Polígono Cálculo del cierre angular ∑ ∠i = 180° ⋅ (n − 2) ∑ ∠i = 180° × (5 − 2) = 180° × 3 = 540° ∑ ∠i = ∠ A + ∠ B + ∠C + ∠ D + ∠ E ∑ ∠i = 130°43'16"+106°20'26"+110°30'30"+91°05'40"+101°19'50" CURSO:
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∑ ∠i = 539°59'42" ea = 540° − 539°59'42" ea = 0°0'18"
=> error por defecto
Compensando ángulos ca =
ea n
⇒
0°0'18" = 0°0'3.6" 5 Como el error es por defecto se sumara a cada ángulo ∠ A = 130°43'16"+0°0'3.6" = 130°43'19.6" ∠ B = 106°20'26"+0°0'3.6" = 106°20'29.6" ∠C = 110°30'30"+0°0'3.6" = 110°30'33.6" ∠ D = 91°05'40"+0°0'3.6" = 91°05'43.6" ∠ E = 101°19'50"+0°0'3.6" = 101°19'53.6"
Cálculo de Azimut del Polígono (Sentido Antihorario)
Azimut AB AzAB = 227°20'00" N W
A
E
227°20'00" S
B
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Azimut BC AzBC = AzAB − 180° + ∠ B AzBC = 227°20'00"−180° + 106°20'29.6" AzBC = 153°40'29.6" N
W
A
227°20'00"
N
S
153°40'29.6" B
W
E
E 106°20'29.6"
227°20'00" S
C
Azimut CD
AzCD = AzBC − 180 ° + ∠C AzCD = 153°40'29.6"−180° + 110°30'33.6" AzCD = 84°11'3.2" N
W
153°40'29.6"
B
E
S N 84°11'3.2" D
110°30'33.6" W
E 153°40'29.6"
C
S
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Azimut DE AzDE = AzCD + 180° + ∠ D AzDE = 84°11'3.2"+180° + 91°05'43.6" AzDE = 355°16'46.8" E
N 91°5'43.6"
N 84°11'3.2" W
84°11'3.2"
W
C
E
D
E 355°16'46.8"
S S
Azimut EA
AzEA = AzDE − 180° + ∠ E AzEA = 355°16'46.8"−180° + 101°19'53.6" AzEA = 276°36'40 .4" N A
355°16'46.8" E E
W 101°19'53.6" S
276°36'40.4" N
W D
E
355°16'46.8" S
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Azimut AB AzAB = AzEA − 180° + ∠ A AzAB = 276°36'40.4"−180° + 130°43'19.6" AzAB = 227°20'00"
...Comprobación
N N 227°20'00"
276°36'40.4" A
E
W E
W 130°43'19.6"
E
276°36'40.4"
S S B
Calculo de Rumbos Lado AB: Az AB Tercer Cuadrante R AB = 227°20'00"−180° R AB = 47°20'00" R AB = S 47°20'00" W N A
W
E
227°20'00" B
47°20'0"
S
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Lado BC: Az BC Segundo Cuadrante R BC = 180° − 153°40'29.6" R BC = 26°19'30.4" R BC = S 26°19'30.4" E N W
153°40'29.6"
B
E
26°19'30.4"
C S
Lado CD: Az CD Primer Cuadrante RCD = N 84°11'03.2" E N
84°11'3. 2" D E
W C S
Lado DE: Az DE Cuarto Cuadrante R DE = 360° − 355°16'46.8" R DE = 4°43'13.2" R DE = N 4°43'13.2" W
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E
N
4°43'13.2"
W
E D 355°16'4 6.8" S
Lado EA: Az EA Cuarto Cuadrante R EA = 360° − 276°36'40.4" R EA = 83°23'19.6" R EA = N 83°23'19.6" W N
83°23'19.6" A W
E E 276°36'40.4" S
Cálculo del Perímetro P = AB + BC + CD + DE + EA P = 113.55 + 92.45 + 129.38 + 138.63 + 75.37 P = 549.38
Cálculo de Proyecciones Lado AB PyN AB = CosAz AB ⋅ d AB = Cos 227°20'00"×113.55 = −76.956
PyE AB = SenAz AB ⋅ d AB = Sen227°20'00"×113.55 = −83.494
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N A
W
E
B
S
Lado BC PyN BC = CosAz BC ⋅ d BC = Cos153°40'29.6"× 92.45 = −82.862 PyE BC = SenAz BC ⋅ d BC = Sen153°40'29.6"×92.45 = 40.998 N W
B
E
Py.N
C
Py.E S
Lado CD PyN CD = CosAzCD ⋅ d CD = Cos84°11'03.2"×129.38 = 13.110 PyE CD = SenAzCD ⋅ d CD = Sen84°11'03.2"×129.38 = 128.714 N
Py.E W
D Py.N E
C S
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Lado DE PyN DE = CosAz DE ⋅ d DE = Cos355°16'46.8"×138.63 = 138.160
PyE DE = SenAz DE ⋅ d DE = Sen355°16'46.8"×138.63 = −11.408 Py.E E
N
Py.N W
E D S
Lado EA PyN EA = CosAz EA ⋅ d EA = Cos 276°36'40.4"×75.37 = 8.677
PyE EA = SenAz EA ⋅ d EA = Sen276°36'40.4"×75.37 = −74.869 N
A Py.N
Py.E
W
E E S
Calculo del Error Lineal ∆ NS = ∑ PyN + ∑ PyS ∆ NS = (13.110 + 138.160 + 8.677) + ( −76.956 − 82.862) ∆ NS = 0.129
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∆ EW = ∑ PyE + ∑ PyW ∆ EW = ( 40.998 + 128.714) + ( −83.494 − 11.408 − 74.869) ∆ EW = −0.059 El =
(∆ NS )2 + (∆ EW )2
El =
(0.129) 2 + (− 0.059 )2
El =
(0.017) + (0.003) El = 0.020 ⇒ El = 0.142 N W
A
N ∆EW A'
E E
W
A
L E
∆NS
E
S S
B
D C
Calculo del Error Relativo Er = Er =
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1 549.38
1 P El
⇒ Er =
0.142
1 3872.909
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Compensación de las Proyecciones Para las Proyecciones Norte y Sur C NS =
∆ NS ⋅ Pyn
∑ PyN + ∑ PyS
Para las Proyecciones Este y Oeste C EW =
∆ EW ⋅ Pyn
∑ PyE + ∑ PyW
Proyecciones NS PyN AB = PyN AB + C NS AB
0.129 × 76.956 159.947 + 158.818
PyN AB = 76.956 + PyN AB = 76.987
PyN BC = PyN BC + C NS BC
0.129 × 82.862 159.947 + 158.818
PyN BC = 82.862 + PyN BC = 82.895
PyN CD = PyN CD − C NS CD
0.129 × 13.110 159.947 + 158.818
PyN CD = 13.110 − PyN CD = 13.105
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PyN DE = PyN DE − C NS DE
0.129 × 138.160 159.947 + 158.818
PyN DE = 138.160 − PyN DE = 138.104
PyN EA = PyN EA − C NS EA
0.129 × 8.677 159.947 + 158.818
PyN EA = 8.677 − PyN EA = 8.673
Proyecciones EW PyE AB = PyE AB − C EW AB
0.059 × 83.494 169.712 + 169.772
PyE AB = 83.494 − PyE AB = 83.479
PyE BC = PyE BC + C EW BC
0.059 × 40.998 169.712 + 169.772
PyE BC = 40.998 + PyE BC = 41.005
PyE CD = PyE CD + C EW CD
0.059 × 128.714 169.712 + 169.772
PyE CD = 128.714 + PyE CD = 128.736
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PyE DE = PyE DE − C EW DE
0.059 × 11.408 169.712 + 169.772
PyE DE = 11.408 − PyE DE = 11.406
PyE EA = PyE EA − C EW EA
0.059 × 74.869 169.712 + 169.772
PyE EA = 74.869 − PyE EA = 74.856
Cálculo de Coordenadas Vértice B CoordN B = CoordN A + PyN AB = 750.000 + ( −76.987 ) = 673.013
CoordE B = CoordE A + PyE AB = 500.000 + ( −83.479) = 416.521
Vértice C CoordN C = CoordN B + PyN BC = 673.013 + ( −82.895) = 590.118 CoordE C = CoordE B + PyE BC = 416.521 + 41.005 = 457.526
Vértice D CoordN D = CoordN C + PyN CD = 590.118 + 13.105 = 603.223 CoordE D = CoordE C + PyE CD = 457.526 + 128.376 = 586.262
Vértice E CoordN E = CoordN D + PyN DE = 603.223 + 138.104 = 741.327
CoordE E = CoordE D + PyE DE = 586.262 + ( −11.406) = 574.856
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Vértice A CoordN A = CoordN E + PyN EA = 741.327 + 8.673 = 750.000
CoordE A = CoordE E + PyE EA = 574.856 + ( −74.856) = 500.000
....Comprobación
LADO VERT.
A --> B --> C --> D --> E --> SUMA
A B C D E A
ANGULO OBSV.
ANGULO CORREG.
106º 20' 26" 110º 30' 30" 91º 05' 40" 101º 19' 50" 130º 43' 16" 539º 59' 42"
106º 20' 29.6" 110º 30' 33.6" 91º 05' 43.6" 101º 19' 53.6" 130º 43' 19.6" 540º 00' 00"
DIST.
AZIMUT
113.55 92.45 129.38 138.63 75.37 549.380
227°20´ 00" 153°40´29.6" 84°11´03.2" 355°16´46.8" 276°36´40.4"
RUMBOS
S 47º 20' 00" W S 26º 19' 31" E N 84º 11' 02" E N 04º 43' 14" W N 83º 23' 20" W
NORTE
PROYECCIONES SUR ESTE
76.956 82.862 13.110 138.160 8.677 159.947 159.818 0.129
83.494 40.998 128.714 11.408 74.869 169.712 169.771 -0.059
Er LADO VERT.
A --> B --> C --> D --> E --> SUMA
A B C D E A
PROYECCIONES SUR ESTE
NORTE
76.987 82.895 13.105 138.104 8.673
OESTE
83.479 41.005 128.736 11.406 74.856
159.882
159.882 0.000
CURSO:
169.741
OESTE
=
1 3,872.909
COORDENADAS NORTE ESTE 750.000 673.013 590.118 603.223 741.327 750.000
500.000 416.521 457.526 586.262 574.856 500.000
169.741 0.000
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