1
PERSAMAAN DAN FUNGSI FUNGSI KUADRAT
LEMBAR KERJA SISWA Kompetensi Inti:
3.1.
Mendeskripsikan berbagai bentuk ekspresi yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat.
3.2.
Mendeskripsikan persamaan dan fungsi kuadrat, memilih strategi dan menerapkan untuk menyelesaikan persamaan dan fungsi kuadrat serta memeriksa kebenaran jawabannya.
3.3.
Menganalisis fungsi dan persamaan kuadrat dalam berbagai bentuk penyajian masalah kontekstual.
3.4.
Menganalisis grafik fungsi dari data terkait masalah nyata dan menentukan model matematika berupa berupa fungs fungsii kuadr kuadrat at
Materi: A. Persamaan Kuadrat
= 0;0; ,, , = 0 ∙ = 7 2 = 0 5 − −− = 0 =111 55 2=2 = 0 = 0 = 0
Bentuk Umum :
bilangan real dan a ≠ 0.
1. Akar-akar Persamaan Kuadrat a.
Faktorisasi
Contoh:
Faktorkanlah
b. Melengkapkan kuadrat sempurna Langkah-langkah: 1) Ubah bentuk
ke bentuk
=
=
2) Apabila a ≠ 1, bagilah kedua ruas persamaan dengan a se hingga diperoleh
3) Lengkapkan bentuk kuadrat dengan menambahkan kedua ruas dengan 4) Tuliskan ruas kiri dari persamaan sebagai bentuk berikut:
5) Lalu selesaikan!
±(± (2) = (2)
Contoh : Faktorkanlah
5 7 2 = 0
= = = −+ = = SMA NEGERI 1 Way Jepara
2
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
= = ± = = = = 1 = = c.
Rumus ABC
Faktorkanlah
±√ , = 2 4
5 7 2 = 0 7± 7 4.5.2 , = 2.5 , = 7 ±√ 104 940 , = 7 ±10√ 9 , = 710±3
Penyelesaian x =1 atau x = 2/5 2. Jenis-Jenis Akar Berdasarkan nilai deskriminan (
4
a) D > 0, maka memiliki kedua akar real (nyata) -
D = k2, maka kedua akarnya rasional, k adalah bilangan bulat.
-
D ≠ k2, maka kedua akarnya irasional, k adalah bilangan bulat.
b) D = 0, memiliki kedua akar real dan kembar. c)
D < 0, memiliki akar imajiner (tidak nyata)
Contoh Soal : Tentukan nilai n agar Jawab:
= 0 = 0, = 1, = , =
mempunyai dua akar real dan berbeda
Syarat memiliki akar real dan berbeda D>0
4 > 0 4.1. > 0 4 > 0 4 > 0 = 0 = 4 Gunakan garis bilangan dengan pembuat nol
SMA NEGERI 1 Way Jepara
3
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Latihan : Dengan soal diatas tentukanlah a.
Jika persamaan tersebut memiliki akar real dan sama
b. Jika persamaan tersebut memiliki akar imajiner 3. Jumlah dan hasil kali Akar- akar persamaan kuadrat
= 0; − = ∙ = = 2 ∙ = 3 ∙ = [ 2 ∙ ] 2 ∙ = 5 ∙ [ 3 ∙ ]10 ∙ + = ∙ = +∙−∙ = √ = = 4 ∙ = ∙
Jika persamaan
memiliki akar-akar
, maka
Bentuk homogen akar-akar persamaan kuadrat a)
b) c)
d)
e) f)
g)
h) i)
j)
Contoh Soal: Jika a) b)
dan
merupakan akar-akar persamaan kuadrat
3 6 2 = 0,
Jawab:
= − = −− = 2 ∙ = = = +∙ = / = 3 = 2 ∙ = 44/3 = 2 2⁄3 =
a)
b)
4. Pengembangan Jenis Akar-akar Persamaan kuadrat a) Akar saling berkebalikan Syarat :
∙ = 1 =
i. D>0 ii. b) Akar saling berlawanan (
SMA NEGERI 1 Way Jepara
)
tentukan:
4
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Syarat: i. D>0 ii. iii. c) Kedua akar positif ( i. D≥0 ii. iii. d) Kedua akar negatif i. D≥0 ii. iii.
∙ < =00 > 0 > 0 ∙ > ≥00 < 0 < 0 ∙ > <00
Contoh:
1. Temukan batas nilai a agar persamaan kuadrat (a 5) x
2
4ax (a 2) 0 memiliki akar-
akar positif Jawab: Syarat Kedua akar positif i. D≥0 ........................................≥ 0 .....(1)
ii.
≥ 0
...................................≥ 0 ......(2)
iii.
∙ > 0
..................................≥ 0 ......(3)
Solusi dari 3 persamaan (i), (ii), dan (iii) merupakan irisan ketiga garis bilangan tersebut.
5. Menyusun Fungsi Kuadrat a) Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya telah ditentukan
x x x x 0 1
2
atau
x
2
x1 x2 x x1 x2
0
Contoh: Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 7 dan -3 Jawab:
Cara I:
Cara II :
SMA NEGERI 1 Way Jepara
= 7, = 3 7 3 = 0 3 7 21 = 0 4 21 = 0 = 73 = 4 ∙ = 7.3 = 21
5
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
∙ = 0 4 21 = 0
b) Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang lainnya.
∙ = 0 4 2 3 = 0
Contoh:
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat
, tentukanlah
persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 +1 dan x 2 + 1. Jawab:
4 2 3 −−= 0 = = ∙ = −
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β Sehingga α = x1 +1, β= x2 + 1.
= 1 1 = 2 = 2 = ∙ = 1 1 − ∙ 1 = 1 = =
Jadi persamaan kuadrat baru
52 34 = 0 4 10 3 = 0
Soal Latihan Persamaan Kuadrat 1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut a. 6n2 +13n -5 = 0 b. x2 + 3x = 6 + 9x – 4x2 c.
4(3x + 2) + 5x(x – 1) = 8x
d. (y – 3)(4y – 1)= 6y(y – 2) + 13 2. Tentukan nilai p agar akar-akar persamaan px 2 – (2p – 3)x + p + 6= 0 bernilai real dan berbeda! 3. Tentukan nilai k agar akar-akar persamaan (k – 2)x2 + (2k -2)x + k + 1 = 0 bernilai real dan kembar! 4. Tentukan nilai m agar akar-akar persamaan (m+1)x 2 – (m+4)x + 3 = 0 tidak real! 5. Tunjukkan bahwa persamaan x 2 – (2p + 3)x + 3p = 0 mempunyai dua akar yang berbeda. 6. Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat 3x 2 – 10x – 3 = 0, maka tentukanlah a. p2 + q2 b. p2 - q2 c.
p2q + pq2
7. Tentukan batasan nilai m agar persamaan (m – 2)x2 – (m + 2)x + (m + 1) = 0 mempunyai
SMA NEGERI 1 Way Jepara
6
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT a. Akar saling berkebalikan b. Akar saling berlawanan c.
Kedua akar positif
d. Kedua akar negatif 8. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya sebagai berikut a. 1/3 dan ¼ b. c.
√ 2 √ 3 √ 8 √ 7 √ 8 √ 7 6 12 = 0
9. Persamaan kuadrat
mempunyai akar-akar x1 dan x2. Tentukan persamaan
kuadrat yang akar-akarnya x12 + x22 dan x12 - x22. 10. Jika α +β = 3 dan α 3 + β3 = 7, tunjukkan bahwa α dan β merupakan akar -akar persamaan
27 20 = 0
B. Fungsi Kuadrat
1. MELUKIS PARABOLA Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax
2
bx c, a 0 dan a, b, c R .
Kurvanya berupa Parabola. Cara melukis sketsa Parabola, yaitu : 1. Tentukan titik-titik potong dengan sumbu koordinat a. Dengan sumbu X syarat y = 0 b. Dengan sumbu Y syarat x = 0
b b2 4ac 2. Tentukan Titik Puncak dengan rumus TP: 2a , 4a 3. Jika a > 0, maka parabola menghadap ke at as Jika a < 0, maka parabola menghadap ke bawah 4. 5.
Gunakan beberapa buah titik bantu jika perlu Lukis kurvanya dengan menghubungkan titik-titik yang sudah diketahui
Contoh 1: Lukis parabola berikut : a. y Jawab
: a. y -
x
2
x
2
2x 8
b. y
2 x
2
2x 8
Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka : 0
x
=
2
2x
8
…. ….
-
-
Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka : y=…
b b 2 4ac Titik Puncak : , 2 4 a a
SMA NEGERI 1 Way Jepara
= ….
x6
9
7
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT -
Karena a = … , maka parabola menghadap ke … Beberapa titik bantu :
…
…
…
…
…
…
y
…
…
…
…
…
…
Gambar kurvanya :
-
b. y -
x
2 x
2
x6
Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka : 0
2 x
=
2
x
6
…. ….
-
Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka : y=…
-
b b 2 4ac Titik Puncak : 2a , 4a
-
Karena a = … , maka parabola menghadap ke … Beberapa titik bantu :
= ….
x
…
…
…
…
…
…
y
…
…
…
…
…
…
SMA NEGERI 1 Way Jepara
8
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Gambar kurvanya :
-
LATIHAN SOAL
1. Tentukan koordinat titik puncaknya dari : 2
a. y
x
b. y
x
2
3x 18
6x 9
c. y
3x
2
d. y
12
4 x
2
12 x
2. Lukislah sketsa parabola berikut ini : a. y
2 x
b. y
x
c. y
d. y
2
2
3 x
7x 6
10 x
2
4x
2
25
e. y f. y
12 x
16
x 2
4 x
2
6x 7
8x
5
g. y
8 x
h. y
9x
2x
2
2
2. Sifat-Sifat Grafik Fungsi Kuadrat
a) Keterbukaan
-
a > 0, maka grafik terbuka keatas
-
a < 0, maka grafik terbuka kebawah
b) Titik potong terhadap sumbu X Kurva memotong sumbu X apabila y = 0 atau Deskriminan
c)
= 0
-
D > 0, grafik memotong sumbu X di dua titik berbeda
-
D = 0, grafik menyinggung sumbu X
-
D < 0, grafik tidak memotong sumbu X
. Tinjau dengan nilai
Titik potong terhadap sumbu Y Kurva memotong sumbu Y apabila x = 0 atau y =c, periksa nilai c.
-
c > 0, grafik memotong sumbu Y di atas titik O(0,0)
-
c = 0, grafik melalui titik asal O(0,0)
SMA NEGERI 1 Way Jepara
9
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT -
c < 0, grafik memotong sumbu Y di bawah titik O(0,0)
Perhatikan gambar berikut : Definit positif a >0 D <0
a>0 D=0
a >0 D >0
Sb X a<0 D>0
a<0 D=0
a<0 D<0
Definit negatif Contoh Soal : Carilah nilai atau batasan nilai k agar grafik fungsi kuadrat kurva parabola:
= 2 2 5 1
, agar
1. menyinggung sumbu X 2. memotong sumbu X 3. tidak memotong sumbu X Jawab:
= 2 2 5 1
, a = 1, b = -(2k+2), c = 5k+1
1. Menyinggung sumbu X Syarat D =0
4 = 0 2 24 4.121.5= 01 = 0 4 3 = 0 = 0 = 3
Jadi nilai k yang memenuhi adalah k = 0 atau k = 3 2. Memotong sumbu X D ... 0
3. Tidak memotong sumbu X D ... 0
3. Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat a. Persamaan yang grafik fungsi kuadratnya melalui tiga titik A(x 1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) ditentukan oleh
= =
Harus mencari nilai a, b, dan c de ngan cara mensubtitusi ketiga titik ke bentuk persamaannya. b. Persamaan kuadrat yang grafik fungsinya melalui sebuah titik tertentu A(x 1,y1) dan berpuncak di P(xP,yP) ditentukan oleh
= =
c.
Titik tertentu A(x1,y1) berguna untuk mencari nilai a dengan cara mensubtitusi titik itu ke persamaannya. Persamaan kuadrat yang grafik fungsinya memotong sumbu X di titik A(x A,0) dan B(xB,0), dan melalui sebuah titik lain, misalnya C(x C,yC).
= =
Nilai a didapatkan dengan mensubtitusikan pasangan-pasangan absis dan ordinat titik C. Contoh 1:
SMA NEGERI 1 Way Jepara
10
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Tentukan fungsi kuadrat jika grafiknya diketahui
Jawab: Grafik disamping memotong sumbu X di (1,0), dan (3,0) melalui (0,6), fungsi kuadratnya ditentukan oleh
= 6 == 0103 1 3 62 == 3 == 22 1 3 8 6
Grafik tersebut melalui (0,6)
= 1 3
Jadi persamaan grafik fungsi kuadrat yang dimaksudkan adalah
Contoh 2: Tentukan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (1, 4) dan memiliki titik lain (-1,0) Jawab: Gunakan rumus
= = = 14 = 14 … = … 14 …= ⋯ =⋯
Melalui titik (-1,0)
Jadi fungsi kuadratnya adalah .... Contoh 3: Susunlah persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik A(0,4), B(1,2), C(2,4) Jawab: Grafik itu melalui tiga titik yang berbeda sehingga persamaan fungsinya adalah
a. Grafik melalui titik A(0,4)
= … = ⋯ ⋯
= =
..... (1)
b. Grafik melalui titik B(1,2)
= … = ⋯ ⋯
c.
..... (2)
Grafik melalui titik C(2,4)
=
SMA NEGERI 1 Way Jepara
11
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
… = ⋯ ⋯
..... (3)
Carilah nilai a, b, dan c menggunakan subtitusi atau eliminasi dari persamaan (1), (2), dan (3) Sehingga nilai a= b= c= jadi grafik fungsi kuadrat adalah ....
4. MASALAH-MASALAH OPTIMUM
Jika suatu persoalan yang ada pada sehari-hari dapat dinyatakan dengan fungsi kuadrat, maka tentulah ada batas tertinggi atau terendahnya, karena kurvanya ber upa parabola. Maka nilai optimum (maksimum/minimum) dari persoalan tersebut dapat ditentukan dengan nilai y pada koordinat titik puncak, yaitu
b
2
4ac 4a
Contoh 1: Suatu persegi panjang kelilingnya 24 cm. Tentukan luas maksimumnya !
Jawab
: K = 2(p + l) 24 = 2(p + l) maka p + l = … sehingga p = …
L = p.l Substitusi p = … ke L = p.l, maka : L=… =…
L maks =
merupakan fungsi kuadrat. b
2
4ac 4a
= ….
Contoh 2: Dua bilangan jumlahnya 10. Tentukan kedua bilangan itu, agar hasil kalinya maksimum
Jawab
: Misal kedua bilangan itu x dan y, maka x + y = … atau x = …
Misal hasil kali x dan y dinyatakan dengan z, maka z = xy. Substitusi x = …
ke z = xy sehingga :
z=… =…
z maks =
merupakan fungsi kuadrat b
2
4ac 4a
=…
Karena x + y = … dan xy = … maka x = … dan y = ...
SMA NEGERI 1 Way Jepara
12
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Soal-Soal Latihan Fungsi Kuadrat 1. Diberikan T(x) = mx +n. Jika T(1) = 8 dan T(2) =4, maka tentukan: a.
Nilai m dan n
b. Rumus fungsinya c.
Nilai T(3)
d. Pembuat nol T fungsi 2. Tentukan batasan nilai n agar grafik fungsi kuadrat a. Selalu memotong sumbu X di dua titik
= 1 2 3 1
b. Menyinggung sumbu X c.
Tidak memotong sumbu X
3. Temukan interval nilai a agar grafik fungsi
∈ . {|3 ≤ ≤ 3, ∈ } sumbu X untuk setiap
= 1 2 4 = 4
4. Gambarlah grafik fungsi f yang ditentukan oleh
selalu berada dibawah
dengan domain
. Kemudian dari grafik tentukan:
a. Persamaan sumbu simetri parabola tersebut b. Nilai maksimum /minimum fungsi f, c.
Pembuat nol fungsi f,
d. Titik balik fungsi f e. Range fungsi f 5. Sebuah fungsi kuadrat f(x) = (x –a)2 + b mencapai nilai ekstrim 5 untuk x = 2. Tentukan nilai a adan b 6. Fungsi kuadrat dengan formula g(x) = ax 2 + (a + 1)x – 5 mempunyai nilai ekstrim untuk x = 1. Hitunglah: a. Nilai a b. Nilai ekstrim grafik fungsi tersebut 7. Diberikan f(x) = ax 2 – 2ax + a + 1 dan f(2) < 0. Hitunglah: a. Nilai ekstrim dan jenis ekstrim dari grafik t ersebut, b. Pembuat nol fungsi tersebut. 8. Tentukan nilai a agar x 2 + 2x + a selalu bernilai positif! 9. Tentukan nilai t agar (t – 1)x2 + 2tx + t untuk semua nilai x yang tidak positif. 10.Tentukan batasan nilai n yang menyebabkan parabola y = (n – 2)x2 – 2nx + n + 6 seluruhnya berada dibawah sumbu X! 11.Tentukan rumus fungsi kuadrat untuk setiap sketsa grafik berikut
a.
b.
SMA NEGERI 1 Way Jepara
13
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
c. 12. Tentukan fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4)! 13. Persamaan parabola berpuncak di titik P(1,4) dan melalui (3, 0) adalah y = ax2 + bx + c, maka tentukan nilai (a + b + c)! 14.Suatu persegi panjang kelilingnya 100 cm. Tentukan luas maksimumnya 15.Dua bilangan jumlahnya 16. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya maksimum 16.Dua bilangan selisihnya 6. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya minimum 17.Persamaan gerak bola yang dilempar ke atas yaitu S (t )
10t 2
70t . S(t) merupakan jarak yang
ditempuh setelah waktu t. S(t) dalam satuan meter dan t dalam satuan detik. Tentukan : a. tinggi maksimum yang dapat dicapai bola b. saat bola mencapai tinggi maksimum c. saat bola mencapai tanah 18.Suatu kolam renang akan dikeringkan. Jika hubungan antara air di kolam dengan waktu adalah V (t )
1600 80t t 2 . V(t) yaitu isi air dalam kolam renang setiap waktunya ( dm3 ) dan t yaitu
waktu dalam satuan menit. Kapan isi air kolam itu minimum dan tentukan isi minimumnya !
SMA NEGERI 1 Way Jepara
