1
TRIGONOMETRI LEMBAR KERJA SISWA TRIGONOMETRI Kompetensi Dasar:
3.13. Mendeskripsikan konsep perbandingan trigonometri padasegitiga siku-siku melalui penyelidikan dan diskusi tentanghubunganperbandingan tentanghub unganperbandingan sisi-sisi yangbersesuaian dalambeberapasegitigasiku- siku sebangun. 3.14. Menemukan sifat-sifat dan hubungan antar perbandingan trigonometri dalam segitiga siku- siku. 3.15. Mendeskripsikan dan menentukan hubungan perbandingan Trigonometri Dari sudut disetiap kuadran, memilih dan menerapkan dalam penyelesaian masalah nyata dan matematika. 3.16. Mendeskripsikan konsep fungsi Trigonometri dan menganalisis grafik fungsinya serta menentukan hubungan nilai fungsi Trigonometri dari sudut- sudut istimewa.
Materi: A. PENGUKURAN SUDUT
1 putaran =
1
60'
360
atau
1
1
360
putaran
(menit) dan 1’ = 60’’ (detik) Definisi : 1 radian adalah sudut pusat yang busurnya sama dengan jari jari lingkarannya. 1 rad = POQ jika busur PQ = r Jadi radian yaitu ukuran sudut yang diperoleh dari perbandingan panjang busur lingkaran dengan jari-jarinya.
Keliling Jadi
1 2
lingkaran =
POQ = 180
=
r
r
r
Jadi
180
rad atau cukup ditulis dengan 180
180
180
1 rad =
3,14
Contoh 1: Nyatakan
Jawab
:
120
57,296
120
57 17'45' '
dengan ukuran radian !
= ….
SMAN1 Way Jepara
rad
2
TRIGONOMETRI Contoh 2: Nyatakan
Jawab
:
4 3
4 3
dengan ukuran derajat !
= ….
LATIHAN SOAL 1. Nyatakan ke dalam ukuran radian dari : a. 45 b. 90 c. 135 d. 210 f. 330 g. 270 h. 360 i. 420
e. 240 j. 540
2. Nyatakan ke dalam ukuran derajat dari : a. e.
b.
3 5 12
f.
2
c.
3 5
5
d.
3
g. 2
18
3. Berapa radian ukuran 1
11 6
h. 30
?
4. Tentukan nilai dari : a.
sin
3 2
b.
sin
11 6
c.
cos
4
d. tg
3
5 4
e.
sin 30
B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT SEGITIGA PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DARI SUATU SUDUT SEGITIGA SIKUSIKU x disebut absis y disebut ordinat r jari-jari sudut positif diukur dari sumbu X berlawanan arah putaran jarum jam. 2
r x
2
y
Definisi :
Ketentuan di atas juga berlaku untuk kuadran II, III dan IV. Karena berlaku
1 cos 1
dan
1 sin 1
setiap harga positif dan negatif.
SMAN1 Way Jepara
x
r
dan
y r maka
. Khusus untuk tg dan ctg dapat bernilai
3
TRIGONOMETRI
Secara umum, perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku sembarang adalah sebagai berikut :
Jadi : dep
sin
sam
mir
cos ec
sin
sec
1
dep
mir
1
tg
cos
ctg
sam 1
cos
tg
Contoh 3: Tentukan nilai sin , cos dan tg dari gambar berikut :
Jawab
: a.
b.
sin
sin
...
... ...
...
...
cos
cos
SMAN1 Way Jepara
... ... ...
tg
tg
... ... ...
...
4
TRIGONOMETRI Contoh 4: Diketahui tg
Jawab
: tg
4
3
sin =
=
... ...
... ...
4
3
. Tentukan
r
sin dan
cos
!
....
....
cos
=
... ...
....
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DISETIAP KUADRAN
Kuadran I +
+
+
-
sin = + =
-
cos = + =
-
tan = + =
Kuadran II -
sin =
=
-
cos =
=
-
tan =
=
Kuadran III -
sin =
=
-
cos =
=
-
tan =
=
Kuadran IV -
sin =
=
-
cos =
=
-
tan =
=
SMAN1 Way Jepara
5
TRIGONOMETRI Contoh 5 : Carilah nilai perbandingan trigonometri sudut αo yang lain (αo sudut lancip) jika diketahui:
a.
sin =
b.
tan =
Jawab :
sin =
a.
=
Sudut lancip berarti sudut antara 0 ≤ ≤ 9 0 , kuadran I, y = +, x = +, r = +, Sehingga didapat y = 3, r = 7, Sehingga nilai x = °
-
cos =
-
tan =
-
sec =
-
csc =
-
ctg =
°
=
b. ............
cos = tan = sec = csc = ctg =
C. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut-sudut istimewa 0 90
kita pergunakan gambar sebagai berikut : Lingkaran Satuan Berdasarkan definisi perbandingan trigonometri, diperoleh hubungan: Berdasarkan definisi perbandingan
trigonometri diperoleh
′
sin = = = ,
′
cos = = = ,
′
tan = = , dengan x ≠ 0 ′
Dengan demikian, dalam lingkaran satuan itu koordinat P(x,y) dapat dinyatakan sebagai P(cos
°
SMAN1 Way Jepara
,sin ) °
6
TRIGONOMETRI
a. Nilai Perbandingan Trigonometri sudut 0 o
′
sin0 = = °
cos0 = °
tan0 = °
b. Nilai perbandingan Trigonometri Sudut 30 o
′
sin0 = = °
cos0 = °
tan0 = °
= = " ′
′
c. Nilai Perbandingan ometri Sudut 45 o
′
sin0 = = °
cos0 = °
′
=
′
tan0 = " = °
SMAN1 Way Jepara
= = " ′
′
7
TRIGONOMETRI d. Nilai Perbandingan ometri Sudut 60 o
′
sin0 = = °
cos0 = °
tan0 = °
= = " ′
′
e. Nilai Perbandingan ometri Sudut 90 o
′
sin0 = = °
cos0 = °
′
=
′
tan0 = " = °
Besar sudut α 0o Sin α
Cos α
Tan α
Cot α
Sec α
Cosec α
SMAN1 Way Jepara
30o
45o
60o
90o
8
TRIGONOMETRI
Contoh 6
Hitunglah
+ + ! + + °
°
°
°
°
°
Jawab
30 60 90 = sec0 sec30 sec 60 °
°
°
°
°
°
Contoh 7 Tunjukkan bahwa a.
45 45 = 1
b.
1 45 = 45
°
°
°
°
Jawab: a.
45 45 = ( √ 2) ( √ 2) = = 1 °
°
Jadi terbukti 45
°
45 = 1 °
b.
D. RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT-SUDUT BERELASI
Definisi Sudut-sudut berelasi Misallkan suatu sudut besarnya αo. Sudut lain yang besarnya (90o – α) dikatakan berelasi dengan sudut α dan sebaliknya. Sudut sudut lain yang berelasi dengan sudut α adalah sudut-sudut yang besarnya (90o + α),(180o ± α), (360o ± α), dan –αo.
SMAN1 Way Jepara
9
TRIGONOMETRI
1. Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (90 o – α)
a.
(90 ) = =
b.
(90 ) = =
c.
(90 ) = = °
°
d.
(90 ) = =
°
e.
(90 ) = =
f.
(90 ) = =
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
Contoh 8 Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini da lam perbandingan trigonometri sudut komplemennya! a. Sin 36o b. Cot 18o c. Sec 12o Jawab : a. Sin 36o= sin (90 o - 54 o) = cos 54o Jadi, sin 36o = cos 54o b.
c.
2. Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (90 o + α)
a.
(90 ) =
b.
d.
(90 ) = (90 ) = (90 ) =
e.
(90 ) =
f.
(90 ) =
c.
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
Contoh 9 Hitunglah nilai dari :
a. Sin 120o b. Cos 135o
SMAN1 Way Jepara
°
°
10
TRIGONOMETRI c. Tan 150o Jawab: a. b. c.
3. Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (180 o – α)
a. b. c.
(180 ) = (180 ) = (180 ) = °
°
°
°
°
°
°
°
°
e.
(180 ) = (180 ) =
f.
(180 ) =
d.
°
°
°
°
°
°
°
°
°
Contoh 10
Hitunglah nilai dari : a. Sin 120o b. Cos 150o c. Tan 150o Jawab : a. b. c.
4. Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (180 o + α)
a. b. c.
(180 ) = (180 ) = (180 ) = °
°
°
°
°
°
°
°
°
e.
(180 ) = (180 ) =
f.
(180 ) =
d.
°
°
°
°
°
°
°
°
°
5. Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (270 o – α)
c.
(270 ) = (270 ) = (270 ) =
d.
(270 ) =
a. b.
°
°
°
°
°
°
°
°
SMAN1 Way Jepara
°
°
°
°
11
TRIGONOMETRI e. (270 ) = °
f.
°
°
(270 ) = °
°
°
Contoh 11
Hitunglah nilai dari a. Sin 240o b. Cos 225o c. Tan 210o Jawab : a. b. c.
6. Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (270 o + α)
b.
(270 ) = (270 ) =
c.
(270 ) =
d.
(270 ) =
e.
(270 ) = (270 ) =
a.
f.
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
7. Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut (360 o – α)
c.
(360 ) = (360 ) = (360 ) =
d.
(360 ) =
e.
(360 ) = (360 ) =
a. b.
f.
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
Contoh 12
Hitunglah nilai dari : a. Cos 280o b. Tan 295o c. Cosec 279o
8. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk sudut Negatif (- αo) a.
sin( ) = sin
b.
cos( ) = cos
°
°
°
°
SMAN1 Way Jepara
12
TRIGONOMETRI c. tan( ) = tan °
e.
cot ( ) = cot sec( ) = sec
f.
cot ( ) = cot
d.
°
°
°
°
°
°
°
Contoh 13 Tentukan nilai dari : a. Sin (-40o) b. Cos (-100o) c. Sec (-245o) 9.
Rumus Perbandingan Trigonometri untuk sudut ( .
a.
sin( . 360 ) = sin( ) = sin
b.
d.
cos( . 360 ) = cos( ) = cos tan ( . 360 ) = tan( ) = tan cot ( . 360 ) = cot ( ) = cot
e.
sec( . 360 ) = sec( ) = sec
f.
cosec( . 360 ) = cosec( ) = cosec
c.
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
10. R umus Perbandingan Trigonometri untuk sudut ( .
°
a. b.
sin( . 360 ) = sin( ) = sin cos( . 360 ) = cos( ) = cos °
°
°
°
°
°
°
°
e.
tan ( . 360 ) = tan( ) = tan cot ( . 360 ) = cot ( ) = cot sec( . 360 ) = sec( ) = sec
f.
cosec( . 360 ) = cosec( ) = cosec
c. d.
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
Contoh 14
Hitunglah nilai dari perbandingan trigonometri berikut ini a. Sin 660o b. Cos 1.050o
LATIHAN!
SMAN1 Way Jepara
°
°
°
°
)
°
°
°
°
) °
13
TRIGONOMETRI 1. Sederhanakan besaran sudut-sudut berikut ini (ukuran derajat, menit, detik) (75 24 ) b. (114 32 ) c. (36 17 45
a.
′
°
′
°
°
′
′′
)
2. Tentukan besar sudut terkecil (dalam ukuran derajat) yang dibentuk oleh jarum pendek dan jarum panjang ketika menunjukkan a. Pukul 08.00 b. Pukul 15.00 c. Pukul 14.30 d. Pukul 18.30 3. Sebuah roda berputar dengan laju sudut 36 rpm (revolution per minute atau putaran permenit). Nyatakan laju sudut radian itu dalam sa tuan. a. Putaran/detik b. Derajat/menit c. Radian/menit d. Radian/detik 4. Ali berlari pada sebuah lintasan yang berbentuk lingkaran. Dalam tempo 1/3 jam ia dapat menyelesaikan sebanyak 42 putaran. Hitunglah laju sudut ketika Ali berlari pada lintasan tersebut dalam satuan radian/menit. 5.
Tentukanlah nilai sinus, cosines dan tangen untuk setiap titik yang disajikan berikut: a. P (5,12) b. Q(–5.2,7.2)
6.
Diketahui β berada di kuadran III, dan cos β = − a.
b.
sec
+ +
7. Nyatakan nilai trigonometri berikut ini! a. Sin 225o b. Tan 330o c. Sec 270o Cos
d. Sin e. f.
Cot (-150o)
g. Cosec (-120o) h. Sin 690o
SMAN1 Way Jepara
√ , tentukan!
14
TRIGONOMETRI i.
Cos 1.020
j.
Tan 1.500
k. Sec 1.380 8.
Jika a. b.
= 2040°. Hitunglah nilai dari : () +( )
9. Hitunglah nilai dari fungsi trigonometri berikut. a. Sin 30o + cot 600o – tan 135o b.
+ + + + °
°
°
°
°
°
c.
. + .
d.
°.°.° = °.°
°
°
°
°
3
sin
10. Jika
11. Jika tg
a.
5
12. Tentukan
sin
dan
90
untuk
180
270
dan
3
0
1
2
b.
3 tg 240
13. Sederhanakan ! a. 4 sin 225 2 cos 300 b.
°
2 sin 210
maka tentukan cos
dan tg
360 maka tentukan sin dan cos
360
dari :
cos
1
2 sin 315
2
2 sin 315
2 cos 315
c. tg
2
3
3
3 tg 330
E. FUNGSI TRIGONOMETRI
Domain fungsi trigonometri berupa himpunan sudut-sudut dan kodomainnya berupa bilangan real. Fungsi trigonometri merupakan fungsi yang periodik, artinya pada selang sudut tertentu nilai fungsi itu akan berulang sama nilainya. Periode sin dan cos adalah 360 atau 2 .
Sedangkan periode tg adalah 180 atau
.
Jadi sin x = sin (x + k. 2 ) cos x = cos (x + k. 2 ) tg x = tg (x + k. ) dimana k B Contoh 1: Tentukan nilai dari : a. sin 480 b.
Jawab
cos 960
: a. sin 480 = … b. cos 960 = … c. tg 1290 = …
SMAN1 Way Jepara
c. tg 1290
15
TRIGONOMETRI 1. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
1.1 Grafik y = sin x, y = cos x dan y = tg x pada Y = sin x
y = cos x
y = tg x
SMAN1 Way Jepara
0
x
360
16
TRIGONOMETRI
LATIHAN SOAL Lukislah grafik di bawah ini untuk 1.
y
2 sin
2.
y
5 cos x
3.
y
2 sin
4.
y
3 cos x
5.
y
sin 2 x
6.
y
sin 2 x
7.
y
3 cos 2 x
8.
y
2 sin 3 x
1
2
1
1
SMAN1 Way Jepara
0
x
360 !
