Laporan Praktikum Pemodelan Oseanografi I (OS3103) Modul II PENYELESIN N!ME"I# ME$O%E &E% 'IN PE"SMN %E#SI 1 %IMENSI
Oleh : Nama : Trie Lany Putri Y (12909003) Zahra Akbari Ariadi (1290900!) "hi#t: 1 A$i$ten Praktikum: Putri %emili (1290&01')
P"O"M S$!%I OSENO"*I *#!L$S ILM! %N $E#NOLOI #E&!MIN INS$I$!$ $E#NOLOI &N%!N &N%!N +00,
&& I $EO"I %S"
1-11-1- *$.S *$.S
Per$amaan beda hina denan metde *T+" ini adalah ,endekatan beda mau untuk turunan -aktu dan beda ,u$at untuk turunan ruan ( *r-ard in Time and +entral in ",a.e / *T+") ila : •
ndek$ n untuk -aktu
•
ndek$ m untuk ruan
•
u adalah ke.e,atan aliran yan diana, kn$tan terhada, ruan dan -aktu
maka ,er$amaannya dide$kriti$a$ikan menadi : n +1
F m
n
= F m −
u∆t
2∆ x
( F
n
n
m +1
− F m −1
)
Pada da$arnya metde beda hina ini tidak $tabil $e.ara numerik
1-+1-+- Le Leap apfr frog og Per$amaan beda hina denan metda ini adalah ,endekatan beda ,u$at untuk
turunan -aktu dan beda ,u$at untuk turunan ruan (+entral in Time and +entral in ",a.e / +T+") ,er$amaannya da,at dide$kriti$a$i menadi : n +1
F m
n −1
= F m
−
u∆t
∆ x
( F
n
m +1
n
− F m −1
)
%hu$u$ ,ada a-al lankah (t 4 0) de$kriti$a$i ,er$amaan diata$ menunakan beda mau untuk -aktu dan beda ,u$at untuk ruan (metde *T+") maka ,ada t 4 5t atau n 41 de$riti$a$i yan diunakan adalah : 1
0
F m = F m −
u∆t
2∆ x
( F
0
m +1
0
− F m −1
)
6imana *0 diambil dari nilai a-al yan diberikan di $emua ruan %riteria $tabilita$ untuk menyele$aikan ,er$amaan ad7ek$i denan menunakan metde beda hina ek$,li$it adalah :
&& I $EO"I %S"
1-11-1- *$.S *$.S
Per$amaan beda hina denan metde *T+" ini adalah ,endekatan beda mau untuk turunan -aktu dan beda ,u$at untuk turunan ruan ( *r-ard in Time and +entral in ",a.e / *T+") ila : •
ndek$ n untuk -aktu
•
ndek$ m untuk ruan
•
u adalah ke.e,atan aliran yan diana, kn$tan terhada, ruan dan -aktu
maka ,er$amaannya dide$kriti$a$ikan menadi : n +1
F m
n
= F m −
u∆t
2∆ x
( F
n
n
m +1
− F m −1
)
Pada da$arnya metde beda hina ini tidak $tabil $e.ara numerik
1-+1-+- Le Leap apfr frog og Per$amaan beda hina denan metda ini adalah ,endekatan beda ,u$at untuk
turunan -aktu dan beda ,u$at untuk turunan ruan (+entral in Time and +entral in ",a.e / +T+") ,er$amaannya da,at dide$kriti$a$i menadi : n +1
F m
n −1
= F m
−
u∆t
∆ x
( F
n
m +1
n
− F m −1
)
%hu$u$ ,ada a-al lankah (t 4 0) de$kriti$a$i ,er$amaan diata$ menunakan beda mau untuk -aktu dan beda ,u$at untuk ruan (metde *T+") maka ,ada t 4 5t atau n 41 de$riti$a$i yan diunakan adalah : 1
0
F m = F m −
u∆t
2∆ x
( F
0
m +1
0
− F m −1
)
6imana *0 diambil dari nilai a-al yan diberikan di $emua ruan %riteria $tabilita$ untuk menyele$aikan ,er$amaan ad7ek$i denan menunakan metde beda hina ek$,li$it adalah :
λ
=
∆ ≤ 10 ∆ x
u t
1-31-3- !pstr !pstrea eam m
Pada metde ini diunakan ,endekatan metde beda mau untuk turunan terhada, -aktu $edankan untuk turunan terhada, ruan dilakukan denan melihat arah ke.e,atan u •
8ika u 0 turunan terhada, ruan menunakan ,endekatan beda mundur
∂ F ∂ F = −u ∂t ∂ x + F ( F − F − ) − F = −u ∆t ∆ x n 1
m
n +1
F m
•
n
n
m
m
n
= F m −
u∆t
∆ x
( F
n
m 1
n
n
m +1
− F m −1
)
8ika u 0 turunan terhada, ruan menunakan ,endekatan beda mau
∂ F ∂ F = −u ∂t ∂ x + − F F ( F − F ) = −u + ∆t ∆ x n 1
n
m
n +1
F m
n
n
= F m −
n
m 1
m
(
n
λ F m+1
−
m
n
F m
)
8ika kedua ,er$amaan ter$ebut diabunkan maka de$kriti$a$i ,er$amaan ad7ek$i denan metde u,$tream menadi : +
n 1
F m
∆t u∆t ( ( u + u ) F − + ( u − u ) F + ) = F − 1 − u + ∆ x 2∆ x n
m
%riteria $tabilita$ yan haru$ di,enuhi :
λ
=
∆ ≤ 10 ∆ x
u t
1-/- Implisit .rank Niolson Niolson
n
m 1
n
m 1
%elemahan dari metda ek$,li$it adalah adanya kriteria $tabilita$ yan haru$ di,enuhi untuk menurani ketidakberantunan ,ada kriteria $tabilita$ itu diunakan metda .rank / ni.hl$n yaitu metda im,li$it dimana turunan kedua #un$i didekati denan hara rata;rata ,ada lankah -aktu ke;(n<1) dan ke;n =etda ini menunakan beda mau untuk turunan terhada, -aktu dan beda ,u$at untuk turunan terhada, ruan (*T+") denan ,erata;rataan terhada, -aktu Per$amaannya dide$riti$a$ikan adi : +
+ − − F − F − F 1 F + − F − = − u +u + 2 2∆ x 2∆ x ∆t
n 1
F m
n
n 1
n 1
m
m 1
m 1
n
m 1
n
m 1
&& II ME$O%OLOI
+-1 *lo2art +-1-1- *$.S
+-1-+- Leapfrog
+-1-3- !pstream
+-1-/- .rank Niolson
+-+ Skenario
%elm,k 11 L (m)
: 1000
d> (m)
: ?0
dt ($)
:2
u1 (m@$)
: 0'?
u2 (m@$)
: ;0&?
%n$entra$i ,lutan kntinu di rid (210)
: ?0
di$kntinu di rid (213) : 100
+-3 Print Sreen 231 *T+" 23116i$kntinu
2312 %ntinu
2313 6i$kntinu;%ntinu
232Lea,#r 2321 6i$kntinu
2322 %ntinu
2323 6i$kntinu;%ntinu
233,$tream 2331 6i$kntinu
2332 %ntinu
2333 2333 6i$knt 6i$kntinu inu;% ;%nti ntinu nu
23'+rank Ni.hl$n 23'1 6i$kntinu
23'2 %ntinu
23'3 6i$kntinu;%ntinu
&& III 'SIL %N NLISIS 3-1- rafik 3-1-1- *$.S
3-1-+- Leapfrog
3-1-3- !pstream
3-1-3- .rank Niolson
'
/-1- nalisis nalisis $rie Lan Putri Y (1+,0,003) a Yan mana yan lebih $tabilB
=enurut teri urutan metde dari yan ,alin $tabil $am,ai ,alin tidak $tabil yaitu .rank ni.hl$n u,$tream lea,#r dan *T+" b aaimana ,enaruh $yarat ke$tabilanB "yarat ke$tabilan terlihat ber#un$i ketika melihat ,erbedaan ke$tabilan ra#ik *T+" dan lea, #r dimana *T+" menha$ilkan ra#ik yan lebih tidak $tabil dari,ada metde lea,#r karena tidak memiliki $yarat ke$tabilan =etde u,$tream yan memiliki nilai $yarat ke$tabilan menha$ilkan ra#ik yan lebih $tabil dibandinkan denan kedua metde $ebelumnya $edankan .rank ni.hl$n yan memiliki kemam,uan untuk menurani keberantunan terhada, $yarat ke$tabilan denan .ara ,endekatan hara rata;rata ,ada lankah n<1 dan n menha$ilkan ra#ik yan ,alin $tabil dibandinkan denan metde yan lain . aaimana ha$il untuk kntinu di$kntinu mau,un di$kntinu;kntinuB Terda,at ,erbedaan lamanya $imula$i d aaimana ,enaruh ke.e,atan ,$iti# dan neati#B Penaruh ke.e,atan ,$iti# dan neati# adalah arah ,er$ebarannya e aaimana denan lamanya $imula$iB Lama ,enyebaran kn$entra$i ,lutan hina kn$entra$i ,lutan menadi $anat ke.il ,ada arak rid ruan dan -aktu tertentu $e$uai denan $yarat bata$ yan ditentukan $ehina kita da,at menetahui ,ada arak bera,a dan bera,a lama ,lutan menyebar $am,ai dia mene.il ,ada $uatu aliran 6an be$arnya ke.e,atan memenaruhi lamanya $imula$i "emakin be$ar nilai ke.e,atan ,er$ebaran $emakin .e,at -aktunya /-1-1- *$.S =etde *T+" meru,akan metde ,endekatan yan ,alin tidak $tabil di antara em,at
metde %arena metde ini tidak memiliki $yarat ke$tabilan yan haru$ di,enuhi Oleh karena itu terda,at ,er$ebaran ,lutan ,ada rid ruan yan $eharu$nya tidak terkena ,er$ebaran dan bernilai neati# Terlihat dari ra#ik bah-a nilai kn$entra$i ,lutan $emakin bertambah $eirin bertambahnya -aktu ,enamatan Lalu ,lutannya ter$ebar ke $eala arah -alau telah ditentukan arah ke.e,atannya itu karena tidak adanya $yarat ke$tabilan yan haru$ di,enuhi /-1-+- Leapfrog
=etde Lea,#r lebih $tabil dibandin *T+" karena memiliki $yarat ke$tabilan yan haru$ di,enuhi $ehina -alau,un nilai ttal ,er$ebaran ,lutan ua teru$ membe$ar terhada, -aktu Terlihat dari ra#ik bah-a ma$ih terda,at ,enyebaran di $i$i rid lain =ak$udnya dalam ,enyebaran ,lutan ke kanan ma$ih terda,at ,lutan yan ter$ebar ke arah kiri /-1-3- !pstream Lebih $tabil dibandin lea,#r karena memiliki ,endekatan yan berbeda untuk arah
ke.e,atan yan berbeda $ehina tidak ada ,erembe$an ke arah $ebaliknya dari arah ke.e,atan
,er$ebaran
,lutan
yan
dikehendaki
karena
metde
u,$tream
menunakan ,edekatan beda mau dan mundur $e.ara ter,i$ah Nilai ttal kn$entra$i ,lutan #luktuati# namun ma$ih tidak berbeda auh +nth ,ada ,er$ebaran di$kntinu nilai ttal kn$entra$i ,lutan berki$ar dari 99;101 m /-1-/- .rank Niolson =etde ini ,alin $tabil karena nilai ttal kn$entra$i ,lutan berkuran
terhada, -aktu %alau,un ada nilai ,ertambahan kn$entra$i ,lutan tidak $ebe$ar metde lain ni karena metde +rank Ni.hl$n menhilankan keterantunan terhada, $yarat ke$tabilan metde ini menunakan metde im,li$it dimana turunan kedua #un$i turunan kedua #un$i didekati denan hara hara rata;rata ,ada lankah ke n<1 dan ke n
nalisis 4ara k5ari riad6i (1+,0,007)
6alam ,enuli$an $ynta> ,rram ketelitian dalam menuli$ rumu$@#rmula metde $anat di,erlukan 8ika $alah $edikit maka ,er$ebaran ,lutan akan menadi $anat tidak ma$uk akal Pada $etia, ,rram nilai a-al n dituli$ 1 karena ika kita menuli$kan ,er$ebaran ,lutan ,ada $aat ke n41 adalah nl maka lankah -aktu $elanutnya adalah untuk n42 3 d $t +nthnya ,ada ,enuli$an ,rram metde .t.$ di rumu$ metde .t.$ ,ada kn$entra$i n;1 tidak diketahui $ehina kita haru$ menunakan metde #t.$ ,ada -aktu ke 2 dan 3 lalu .t.$ ,ada -aktu ke;'
=etde *T+" (*r-ard Time +entral ",a.e) adalah metde yan ,alin tidak $tabil kn$entra$i ,lutan ter$ebar merata dari detik ,lutan itu mulai diberikan n amun arah ,er$ebarannya tidak $e$uai denan yan $eharu$nya *T+" tidak $tabil karena tidak adanya $yarat ke$tabilan dimana $yarat itu bi$a menahan aar ha$il;ha$il ,endekatan numerik tidak melen.en auh Ca$il ,er$ebaran ,lutan untuk *T+" di$kntinu;kntinu aak ter$ebar tidak ma$uk akal karena di$am,in rid yan ,lutannya ?0 $e.ara kntinu (denan ke.e,atan ,$iti#) diakhir;akhir -aktu ,lutannya berki$ar diantara 100 ni menunukan bah-a metde *T+" mendekati elmban numerik $e.ara tidak kn$i$ten Pada ha$il ,er$ebaran kn$entra$i di$kntinu denan kn$entra$i a-al 100 m lalu berkuran $eirin -aktu 6enan ke.e,atan u1 (,$iti#) $eharu$nya arah ,er$ebaran kn$entra$i ke kanan teta,i ma$ih ada yan ,er$ebarannya ke kiri eitu ,un denan ha$il ,er$ebaran kn$entra$i kntinu =etde Lea,#r adalah metde yan lebih baik dari,ada metde *T+" lebih $tabil -alau,un tidak kn$i$ten dikarenakan ada ,enaruh $yarat ke$tabilan =etde lea,#r ,ada a-alnya menunakan metde *T+" =etde Lea,#r tidak kn$i$ten karena ,endekatan numeriknya #luktuati# 6ari ra#ik di$kntinu;kntinu kntinu dan di$kntinu -alau,un mi$alnya ,enyebaran ,lutan dimak$udkan ke kanan teta,i ma$ih ada ,enyebaran ke rid $ebelah kiri =etde ,$tream meru,akan metde yan menunakan ,edekatan beda mau dan mundur $e.ara ter,i$ah hal ini menha$ilkan ra#ik yan lebih $tabil dibandinkan denan #t.$ dan lea, #r 6ari ,rram u,$tream menunakan ,endekatan arah ke.e,atan yan berbeda untuk ke.e,atan ,$iti# dan neati# $ehina ha$il lebih $tabil Pada ra#ik di$kntinu; kntinu ,enyebaran kn$entra$i di$kntinu 100 m dan kntinu ?0 baik ke arah kiri mau,un ke kanan $e$uai denan ha$il yan dihara,kan Lalu ,ada ra#ik di$kntinu kn$entra$i 100 m ke arah kanan atau,un kiri kn$entra$i teru$ berkuran $eirin denan -aktu bertambah dan ter$ebar $e.ara merata eitu,un denan ra#ik kntinu ?0 m ika ke.e,atannya neati# da,at dilihat bah-a ,enyebaran kn$entra$i ?0 m $e.ara teru$ meneru$ ,er detik menyebar ke kiri tidak ada ,enyebaran ke arah kanan =etde +rank Ni.hl$n adalah metde yan menhilankan keterantunan terhada, $yarat ke$tabilan dan menunakan metde im,li$it dimana turunan kedua #un$i turunan
kedua #un$i didekati denan hara hara rata;rata ,ada lankah ke n<1 dan ke n "eharu$nya metde .rank ni.hl$n adalah metde yan ha$il ,enyebaran kn$entra$inya lebih baik dan $tabil teta,i terda,at ke$alahan ,ada ,emraman $ehina ,raktikan tidak menda,at ha$il yan lebih baik dari,ada metde u,$tream 6ari ,rram;,rram yan menha$ilkan ra#ik;ra#ik ,er$ebaran kn$entra$i ,lutan $eharu$nya metde yan ,alin $tabil adalah metde +rank Ni.hl$n %e.e,atan ,$iti# atau neati# ber,enaruh terhada, arah ,er$ebaran $aa ke.e,atan ,$iti# ,er$ebarannya ke arah kanan ke.e,atan neati# ,er$ebarannya ke arah kiri Praktikan menunakan ke.e,atan u1 0'? dan u2 ;0&? 8ika tidak dilihat tanda minu$ atau ,lu$nya maka bi$a dilihat bah-a 0&? lebih be$ar dari,ada 0'? $ehina lama $imula$i denan menunakan ke.e,atan u2 (;0&?) lebih .e,at dari,ada ,rram;,rram yan menunak an u1 (0'?) Tanda neati# atau ,$iti# hanya menunukan arah ,er$ebaran Lama $imula$i untuk ,er$ebaran kntinu u1 .enderun ,alin lama ,ada $etia, metde karena ke.e,atannya lebih ke.il dan ,lutan diberi teru$ meneru$ $eumlah ?0 m $etia, -aktu $ehina ,er$ebaran merata lebih lama
&& #ESIMP!LN
%e$im,ulan Trie Lany Putri Y (12909003) •
=etde ,endekatan numerik yan ,alin $tabil adalah =etde +rank Ni.hl$n dan
•
metde ,endekatan numerik yan ,alin tidak $tabil adalah =etde *T+" =etde ,emdelan numerik ek$,li$it membutuhkan $yarat ke$tabilan aar ra#ik yan
•
diha$ilkan $tabil "uatu $yarat bata$ (bukan $yarat bata$ yan berlaku untuk $eluruh kndi$i -aktu) da,at diunakan untuk menetahui $ebera,a lama dan ,anan ,enaruh dari $uatu ,lutan
•
hina tara# yan aman $e$uai keteta,an e$ar ke.e,atan ,er$ebaran memenaruhi ke.e,atan (-aktu) ,lutan ter$ebar di $eluruh rid
%e$im,ulan Zahra Akbari Ariadi (1290900!) 1 Ada bebera,a metde untuk menyele$aikan numerik metde beda hina ,er$amaan ad7ek$i 1 dimen$i yaitu metde *T+" Lea,;*r ,$tream dan +rank Ni.hl$n =a$in; ma$in mem,unyai ,endekatan numerik denan .ara yan berbeda;beda 2 =etde ,emdelan numerik yan ,alin baik adalah =etde +rank Ni.hl$n dan metde ,emdelan numerik yan ,alin tidak $tabil adalah =etde *T+" 3 ,$tream menunakan ,endekatan numerik berbeda;beda untuk ke.e,atan ,$iti# dan neati# $ehina ha$ilnya lebih $tabil dan lebih baik dari,ada metde *T+" dan Lea,;*r ' %ndi$i $yarat bata$ nilai a-al dan ,en kndi$ian akhir kn$entra$i ,lutan di,erlukan untuk menetahui $ebera,a lama dan ,anan ,enaruh $uatu ,lutan hina dalam tara# aman yan diininkan dalam ,antauan
&& 7 P!S$#
6Drernat =utiara D Putri =dul Praktikum O" 3103 Pemdelan O$eanra#i
