Laboratorio 6 usach

Experiencia 6: Dinámica de rotación. Universidad Universidad de Santiago Santiago de Chile. Facultad de Ciencias. Departamento de Física. Laboratorio de Física II para ingeniería. Código 1010. Sección! L"1. #rupo 0. $ro%esor Francisco &artíne' Catal(n. Leonardo )l%aro* Sebasti(n Día'* Camilo Duran* +ulio ,enegas.

leossnard-hotmail.com * sebastiandia'poblete1-gmail.com *Camilo.duran-o utloo/.es Resumen

n el presente in%orme tratara sobre la din(mica de rotación en el cual se pretende a calcular el momento de inercia de un sólido en este caso se trata de una hlice respecto de un e2e de giro por medio de rotación pero hablando de una %orma m(s especí%ica se trata de determinar la relación 3ue e4iste entre tor3ue neto 5 la aceleración angular* como tambin el e%ecto 3ue produce la distribución de la masa respecto de un e2e de rotación* rotación* todo esto se llevara a cabo por medio de un sistema de compuesto por un e2e de rotación 3ue estar( unido a una masa por  medio de un hilo el cual pasa por una polea* al de2ar caer la masa 5 por medio de la tensión 3ue produce el hilo la hlice comen'ara a rotar 5 de esto se obtendr( el gra%ico del movimiento de la hlice para reali'ar el respectivo an(lisis.

Introducción

Cuando un ob2eto gira alrededor de un e2e* el movimiento 3ue lleva cabo no se puede puede anali anali'ar 'ar como como si %uera %uera una una partí partícul cula a por 3ue 3ue en cual3 cual3uie uierr insta instant nte* e* di%erentes partes del cuerpo tienen velocidades 5 aceleraciones distintas. $or lo cual es conveniente considerar al ob2eto como un gran n6mero de partículas 5 cada una con su propia velocidad velocidad 5 aceleración* aceleración* pero el an(lisis se simpli%ica si se considera al ob2eto como un cuerpo rígido.

$ara un cuerpo rígido %ormado por una colección de partículas 3ue giran alrededor  de un e2e %i2o con una velocidad angular 7* cada partícula del cuerpo rígido tiene energía cintica de traslación. Si la partícula de masa m se mueve con velocidad v su energía cintica es! 1

2

k = m v 2

Ecuación de la energía cinética para una partícula.

Cada partícula del cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular 7 pero distinta velocidad lineal* por3ue esta depende de la distancia r al e2e de rotación* 5 se v =ω r i relacionan por . La energía cintica total del cuerpo rígido en rotación es la suma de las energías cinticas de cada partícula individual 5 esto es! n

 I eje= ∑ mi r i

2

n=1

Ecuación del momento de

De estas de%iniciones 5 nos arreglos algebraicos se puede escribir la siguiente ecuación!

1

k =  I ω

2

2

Ecuación de la energía cinética de rotación. [3]

La energía cintica de rotación no es una nueva %orma de energía sino 3ue es el e3uivalente rotacional de la energía cintica de traslación. La analogía entre ambas energías es directa* las cantidades I 5 7 del movimiento de rotación son an(logas a m 5 v del movimiento lineal.

l tor3ue con respecto a un 0* se de%ine como una cantidad vectorial 3ue proviene del producto cru' entre la %uer'a  F   5 r  3ue es el vector posición del punto de ⃗

aplicación de la %uer'a

 F 

.

⃗t =r × F  ⃗

Ecuación del torque. [4]

$ero para un cuerpo rígido 3ue rota respecto de un e2e %i2o* la ecuación correspondiente es la siguiente! ⃗ ⃗  t 0= I 0 α

Ecuación del torque para un cuerpo rígido que rota. [5]

Donde

 I 0

 es el momento de inercia del rigido derpecto de e2e de rotacion*

⃗ t 0

es el tor3ue neto e4terno aplicado respecto de 0.

Experimento 1:

8b2etivos! " " "

Determinar el momento de inercia de un sólido* en este caso una de una hlice* respecto de un e2e de giro* por medio de rotación. studiar la relación entre tor3ue neto 5 aceleración angular. )nali'ar el e%ecto de la distribución de masa respecto de un e2e de rotación.

Procedimiento experimental. &ateriales!

" " " "

9lice con accesorios. $olea inteligente con sensor de movimiento )ngular. pie de metro. Ca2a de masas.

" " " " " "

:arras. :ases. :alan'a. 9ilo. 9uincha de medir. $C con inter%a' ;Datastudio<.

&onta2e! l e4perimento consiste en unir una hlice 3ue posee unas masas en sus e4tremos a una polea inteligente* a su ve' la polea inteligente est( su2eta a una base de manera 3ue la hlice este paralela a la super%icie 5 perpendicular a la polea inteligente. Luego se une un hilo a la polea inteligente 5 este hilo pasa por 

otra polea* se su2eta una masa =m> al e4tremo del hilo 5 se de2a colgando de la segunda polea* de tal manera 3ue si se de2a caer la masa =m> la hlice comien'a a girar. Una consideración es 3ue el hilo este paralelo a la super%icie 5 3ue su (ngulo cuando salga ;o entre< de una polea sea perpendicular. l monta2e debe ser!

Resultados y análisis. 1< cuaciones din(micas de traslación 5 rotación!

Si nos en%ocamos en la masa =m> 5 en la polea para buscar las ecuaciones relacionadas se tiene entonces!

Donde

w

 es el peso de la masa =m>* 5

T   es la tensión en la cuerda ;o hilo<.

Si descomponemos las %uer'as 5 gracias a la segunda le5 de ne?ton ;aplicada a la din(mica< tenemos 3ue! w −T =ma

$or ende la cuación din(mica de traslación es!

w −T =ma

Sin embargo considerando el movimiento circular de la polea! v =rω

Donde

v

! es la velocidad tangencial*

ω

! es la velocidad angular 5

r

! es el

radio de la polea inteligente. $or ende la aceleración tangencial correspondería a la derivada de la velocidad tangencial. at =rα 

Donde angular 5

at 

! corresponde a la aceleración tangencial* r

α 

! es la aceleración

! es el radio ;constante<.

$or lo tanto la ecuación din(mica de rotación es! mg−T =mrα 

@< &omento de inercia de la hlice! Si se observa el sistema desde arriba es posible notar 3ue la cuerda ;hilo<* es tangencial a la polea inteligente* entonces se deduce 3ue el movimiento de la hlice se produce gracias al tor3ue de la tensión en la cuerda 3ue es tangencial a la polea es decir! la tensión de la cuerda 5 el radio de la polea %orman un (ngulo recto. Sabiendo esto se calcula el tor3ue 3ue genera la tensión en la polea ;lo 3ue genera el movimiento de la hlice
n este caso! τ =r∗T ∗sen ( 90 ) τ =r∗T 

T =

τ  r

$ero en un movimiento circular tor3ue se de%ine como! τ = Iα 

Donde  I  ! es el momentum angular del sistema* la polea por ende tambin de la hlice 5

τ 

α 

! la aceleración angular de

! es el tor3ue.

$or lo tanto la tensión 3ueda!  Iα  T = r

Si reempla'amos en la ecuación din(mica del movimiento circular ;calculada anteriormente< se tiene! mg−T =mrα 

mg−

 Iα  = mrα  r

 Iα  mg−mrα = r

$or lo tanto se obtiene una %orma de calcular el momentum de inercia de la hlice dado por la ecuación!  I =

rmg 2 −mr α 

A< $ara calcular el momento de inercia de una barra se recurre a la %órmula!  I =

ml 12

Donde

l

! es el largo de la barra*

m

! es la masa de la barra*

 I 

! es el

momento de inercia de la barra. Sin embargo esta %órmula no sirve para calcular el momento de inercia de la hlice ;barra< en nuestro caso* puesto 3ue la barra se encuentra en un movimiento del tipo circular 3ue depende de otros %actores 5 no del largo ni la masa de la barra* si no 3ue de un sistema m(s comple2o. $or ende se debería calcular el momentum circular de la hlice* lo cual se hace con la %ormula obtenida anteriormente ;en esta e4periencia<.

B< )n(lisis 5 c(lculo de la inercia. La aceleración angular %ue obtenida del a2uste de los gr(%icos para cada masa =m> 3ue %uimos variando. #ra%ico posición ,s tiempo para la masa & a 1* cm del centro de la hlice.

Donde la curva ro2a! es la posición angular vs tiempo de la masa =m> m(s pe3uea 9asta llegar a la masa =m> m(s grande ;la cual es la curva ca%<. $ara esta tabla las masas =&> est(n ubicadas a 1* cm del centro de la hlice. E la masa =m> %ue cambiando. )3uí los resultados!

m ;g<

r ;m<

α  ;rad

0*011A

0*0@K

Gs@< 1B*B

0*0@01

0*0@K

@*

at;mGs @<

H;<

tor3ue;m <

I ;gJm @<

0*ABK1

0*110B

0*00@1

0*1BB

0*1

0*00K101

0*0001A K 0*0001B

0*0B

0*0@K

1

1*A

0*B0@

0*01@BA1

0*0A

0*0@K

1B

A*0A

0*A1B

0*0@K@0BA

B 0*0001K1  0*00011B K

$romedio del momento de inercia circular M 0*0001@BK;gJm @< Lo mismo se hi'o para la siguiente tabla pero esta ve' las masas =&> se ubicaron m(s cerca del centro de la hlice! #ra%ico posición ,s tiempo para la masa & a A*B cm del centro de la hlice.

Donde la curva ca%! es la posición angular vs tiempo de la masa =m> m(s pe3uea hasta llegar a la masa =m> m(s grande ;la cual es la curva rosada<. $ara esta tabla las masas =&> est(n ubicadas a A*B cm del centro de la hlice. E la masa =m> %ue cambiando. )3uí los resultados! m ;g<

r;m<

α  ;rad

at;mGs@<

H;<

tor3ue;m<

I ;gJm @<

B*BA@

0*110B

0*00@1  0*00K101  0*01@BA1  0*0@K@0BA A

*1KA"0

0*011A

0*0@K

Gs@< 11*B

0*0@01

0*0@K

A00

*

0*1

0*0B

0*0@K

K

1*K0B

0*B0@

0*0A

0*0@K

1B

A*0@1@

0*A1B

$romedio del momento de inercia circular M "1*A@1"0K;gJm @<

A*K@@"0 "1*B1B"0K "B*BB@A"0K

9a5 3ue tener en cuenta 3ue el radio en el cual se ubicaron las masas =&> %ue mu5 poco es por eso 3ue el momentum de inercia dio un n6mero tan pe3ueo.

Pregunta:

a Nn cu(nto cambió el valor para el momento de inercia de la hliceO Nera lo 3ue usted esperabaO +usti%i3ue su respuesta. l valor del momentum cambió considerablemente teniendo las masas en la hlice tanto en los 1* cm como en los A*B cm de radio respecto a la mitad de la hlice con el e4tremo. n los 1*cm tuvo un momentum angular de 0*0001@BK PgJ&Q@R mientras 3ue en los A*B cm de radio tiene un momentum de "1*A@1" 0K PgJ&Q@R. osotros esper(bamos 3ue %uera así* 5a 3ue lo comparamos con e2emplos de la vida cotidiana* el caso de los bailarines mientras m(s cerca tengan sus bra'os al cuerpo* m(s r(pido girar( en torno a su propio e2e* lo mismo paso en la actividad reali'ada en clases* mientras m(s cerca tengamos distribuidas las masas respecto al radio de la hlice* su momentum angular ser( m(s pe3ueo* 5a 3ue se necesita menos espacio para 3ue rote r(pido cada ve' m(s. $or ende mientras m(s le2ana estn las cargas con respecto al e2e de rotación* ma5or ser( la inercia* entonces* m(s le costar( a la %uer'a girar un cuerpo. b

NCu(l es el momentum angular de la hlice respecto de su centro 5 el momentum lineal del blo3ue a los dos segundos de iniciado movimiento del sistemaO

$ara determinar el momentum angular de la hlice primero debemos saber cómo se calcula!  L=r ∗mv  L

Donde

! es el momentum angular*

r

! el radio*

velocidad tangencial. $ero la velocidad tangencial se puede escribir como!

m

v =ωr

! la masa 5

v

! la

 entonces 3ueda!

2

 L=m r ω

ntonces se calcula la velocidad angular del primer gra%ico de masa =m> m(s pe3uea ;curva color ro2o<* la cual es! ω ( t )=14,46 t + 10,3  ) los dos segundos! ω ( 2 )=39,22 $or ende su momentum angular

 L

 a los @ segundos es!

2

 L=m r ω 2

 L=0,0113∗( 0,0259 ) ∗39,22 −4

 L=2,9729∗10

[

 Kg∗m s

2

]

 )hora l se calcula el momentum lineal

 p=m ∗v  p=m ∗rω

Donde

 p=momentun lineal *

m=masa *

 p=0.0113∗( 0,0259∗39,22 )= 0,011479 (

v =velocidad *

ω =velocidad angular .

kg∗m ) s

Conclusiones Finali'ada las actividades e4perimentales* podemos concluir 3ue. n la primera actividad obtuvimos la aceleración angular* derivando dos veces el a2uste del gra%ico posición angular vGs tiempo* luego %uimos repitiendo este mismo procedimiento con distintas masas* gracias a la gr(%ica 3ue en este caso presente un tipo de =movimiento angular uni%ormemente acelerado> pudimos obtener  valores necesarios para nuestro procedimiento* 5 así %uimos calculando el momento de inercia de B pesos distintos* llegando a un resultado e4perimental 3ue no se ale2a de valores teóricos 5a 3ue el momentum angular 3ue se obtuvo no vario demasiado. )plicando conceptos teóricos sabemos 3ue la inercia es la propiedad de la materia de resistir a cual3uier cambio en su movimiento* 5a sea en dirección o velocidad* con esto podemos %inali'ar diciendo 3ue* mientras m(s %uer'a se re3uiera para hacer rotar un cuerpo* ma5or ser( su momento de inercia Finali'ando con la actividad* podemos decir 3ue utili'ando la in%ormación obtenida en la actividad 1* in%ormación tal como sus gr(%icas 5 valores obtenidos como el momento de inercia* podremos llegar a una conclusión 3ue consistiría en 3ue* el momento de inercia se ve a%ectado por varios %actores* por la masa del cuerpo* a ma5or masa del cuerpo tendremos un ma5or momento de inercia 5 un importante %actor seria la distribución de los pesos respecto al e2e de rotación* por e2emplo* si la masa est( m(s ale2ada del e2e de rotación el momento de inercia ser( ma5or 

por lo cual la rotación del cuerpo se ver( m(s di%icultada* por el otro lado si las masas se encuentran m(s cercanas al centro de giro la velocidad angular  aumenta 5 como el tor3ue debe permanecer constante* el momento de inercia disminu5e %acilitando así su rotación.