UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Ciencias Básicas
Ciclo2016-2
EXPERIMENTO 1 Péndulo Físico y Teorema de Steiner Objetivo Temático.Estudiar el movimiento de oscilación de un sólido rígido haciendo uso de los conceptos de oscilador armónico, centro de masa, momento de inercia, radio de giro, torque, momento angular.
Objetivo Específico.Estudiar el periodo de oscilación de un péndulo compuesto y haciendo uso del teorema de Steiner, determinar su radio de giro. Materiales.-
Barra metálica de longitud L con 21 huecos. Soporte de madera con una cuchilla. Dos mordazas simples. Cronómetro digital. Regla milimetrada de 1m.
Fundamento Teórico.Consideraremos un péndulo simple de masa m unido a una cuerda con masa despreciable, se realiza su respectivo DCL
Laboratorio de Física N°1
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Las ecuaciones dinámicas lineales son
= cos sin = ̈ ̈ + sin = 0
Pero considerando un θ muy pequeño (θ ≤ 10°), se concluye que sin(θ) ~ tan(θ) ~ θ
Entonces la ecuación diferencial del Péndulo Simple es
Resolviendo la ecuación
̈ + = 0
Por propiedad, la Función de prueba es →
s1 y s2.
=
donde saldrá dos resultados serán
La forma general de la ecuación de la posición en función del tiempo será
= +
Reemplazando la función prueba en la ecuación diferencial
+ = 0 + = 0 ∴ = = − → = + ± = cos ±sin = cos +sin+cos sin = sin+ cos = + √ sin + + √ sin +
Por propiedades trigonométricas
Reemplazando y agrupando términos iguales, se tiene:
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Considerando
= + [sincos+sincos] = + sin + = sin +
Donde A es la amplitud, es la frecuencia angular y es el ángulo de desfasaje A continuación, en el Péndulo Compuesto, como no es una partícula, se trabaja con centro masa.
En los ejes tangenciales y normales al movimiento, se tiene:
:sin = :cos =
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Aplicando torque:
= sin . = ̈ ̈ + sin . = 0 ̈ + ()sin = 0 Pero considerando un θ muy pequeño (θ ≤ 10°), se concluye que sin(θ) ~ tan(θ) ~ θ
Entonces la ecuación diferencial del Péndulo Simple es:
̈ + () = 0
En general la ecuación diferencial del movimiento es:
Donde
= → =
̈ + = 0
Igualando los periodos del péndulo compuesto y del péndulo simple equivalente, se puede llegar a una ecuación cuyas variables son d, K y R, donde d y K son respectivamente la distancia del punto de suspensión al centro de masa y K es el radio de giro (ICM = mK2), ambos del péndulo compuesto, y R es la longitud del péndulo simple equivalente.
= 2 = 2 = = = Por el Teorema de Steiner
= + = + = + = + = +
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Entonces
= 2 = (2) Cuando se hace un gráfico de las distancias d y las longitudes del péndulo equivalente R, usando el método de mínimos cuadrado para el ajuste de curvas, de esta manera hallaremos K2
= +
Podemos encontrar el valor de c que minimice la función f(c)
=
Para hallar su mínimo valor, su derivada debe ser 0
= ( ) = 0 1 2 = 0 1 = 0 ∑ = ∑ 1
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Procedimiento.Una barra metálica suspendida de su posición de equilibrio u oscila libremente en torno de un eje horizontal. El punto de suspensión puede variar a lo largo del eje de la barra. Ubique el centro de masa de la barra. Ahora suspenderla verticalmente por 10 de los 21 huecos en la cuchilla y hacerla oscilar separándola ligeramente de su posición de equilibrio (≤10°). Medir el periodo T de oscilación y a distancia “d” del centro de gravedad al punto de suspensión. Hacer una tabla T(s)
d (m)
T2
1/d2
Mida la masa de la barra y sus longitudes.
Datos.Dimensiones de la Barra Metálica
Largo
= 1.09 m
Radio de hueco
= 0.0056 m
Ancho
= 0.0373 m
Volumen
= 0.0002045167855 m3
Altura
= 0.0053 m
Densidad
= 7897.640264 kg/m3
Masa
= 1.6152 kg Punto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T1 (s) 1.63 1.628 1.604 1.544 1.57 1.572 1.648 1.774 2.004 2.692
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T2 (s) 1.59 1.598 1.62 1.58 1.574 1.568 1.632 1.79 1.988 2.604
T3 (s) 1.628 1.602 1.574 1.582 1.542 1.544 1.638 1.782 1.966 2.626
TPromedio (s) 1.616 1.6093 1.599 1.568 1.562 1.561 1.639 1.782 1.986 2.64
d (m) 0.505 0.4561 0.408 0.358 0.307 0.254 0.204 0.158 0.107 0.056 6
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Cálculos y resultados.Experimentalmente, 1° Método
Con el método de mínimos cuadrados N° Hueco
T
T^2
D
1/D^2
T^2/D
1
1.703
2.900
0.505
3.921
5.743
2
1.659
2.752
0.456
4.809
6.036
3
1.640
2.690
0.405
6.097
6.641
4
1.611
2.595
0.355
7.935
7.311
5
1.618
2.618
0.306
10.680
8.555
6
1.637
2.680
0.255
15.379
10.509
7
1.701
2.893
0.206
23.565
14.046
8
1.734
3.007
0.1565
40.829
19.212
9
2.061
4.248
0.107
87.344
39.698
10
2.608
6.802
0.057
307.787
119.327
508.345
237.079
Sumatoria
∑ = ∑ 1 = (2) 2 ∑ ∑ = ∑ 1 = 4 ∑ 1
Como
Además
Concluyo que
Considerando a g~
= = 4 237.508.07910 345 = 0.1110012035 ∴ ≈ 0.3331684311
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2° Método
Método de los mínimos cuadrados, minimizando la sumatoria
= + + 2 2 +2 = + + 2 2 + 2 = + + 2 2 + 2 = 0 1 2 + 2 1 = 0
Desarrollando el paréntesis:
Derivando respecto a “k”:
N° Hueco
D
T
T^2
Ri
Ri/D
1
0.505
1.703
2.900
0.721
1.429
2
0.456
1.659
2.752
0.685
1.501
3
0.405
1.640
2.690
0.669
1.652
4
0.355
1.611
2.595
0.646
1.818
5
0.306
1.618
2.618
0.651
2.128
6
0.255
1.637
2.680
0.667
2.614
7
0.206
1.701
2.893
0.720
3.494
8
0.1565
1.734
3.007
0.748
4.779
9
0.107
2.061
4.248
1.057
9.875
10
0.057
2.608
6.802
1.692
29.682
Sumatoria
58.971
[508.345 117.942 + 20] = 0 [508.345 97.942] = 0 4×508.3452×97.942 = 0 = 0.3103774839
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3° Método
Así, para hallar el valor de K tenemos que recurrir a la gráfica, es decir usar la ecuación que describen los puntos experimentales. Luego utilizamos el concepto de derivada para halla el correspondiente valor de K. Apreciemos la grafica
R vs D 1.800
y = -455.67x6 + 114.14x5 + 623.24x4 - 594.29x3 + 222.72x2 - 38.71x + 3.2805 R² = 0.9978
1.600 1.400 1.200 1.000 0.800 0.600 0.400 0.200 0.000 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Tenemos la ecuación y derivando e igualando a cero obtenemos el mínimo valor de “d”,
y este es el valor de K
= 455.67 +114.14 +623.24 594.29 +222.72 38.71 +3.2805 = + + + = =
Pero tenemos que d min = K, por lo tanto
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4° Método
De la ecuación, tenemos
= + R vs. d 2 1.8 1.6 1.4 ) 1.2 ( 1 R 0.8 0.6 0.4 0.2 0
y = -1227.5x5 + 1963.9x4 - 1227.6x3 + 378.63x2 - 58.563x + 4.3247
y = 2x 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
d (m)
Mediante derivación, obtenemos que el dmin será
= 2
De aquí, si reemplazamos una en la otra, tendríamos otra manera de hallar K. Para hallar la solución, tenemos que hallar el punto de intersección. Utilizamos ayuda de calculadoras por la complejidad de la ecuación.
1227.5 +1963.9 1227.6 +378.63 58.563 +4.3247 = 2 1227.5 +1963.9 1227.6 +378.63 60.563 +4.3247 = 0 = = 0.30496
De esta manera obtenemos
Teóricamente, El momento de inercia de una barra solida es
− = 121 +
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Pero como en el experimento en una barra con 21 huecos. A este inercia de barra solida se le debe restar 21 veces el momento de inercia de los pequeños cilindros. ya que es aditivo.
= 12 ∴ ó = 121 + 212
a
= 1.09 m
b
= 0.0373 m
R
= 0.0056 m
M1
= 1.945375557 kg
(Barra solida sin huecos, hallada con la densidad)
M2
= 0,008446455095 kg
(Masa de los huecos, considerados como cilindros)
Hallando los Momento de Inercias Teóricos y Experimentales Teóricamente, Reemplazo en la ecuación anterior.
→ ó = 121 1.9453755571.1 + 0.037 212 0,0084464550950.0075 = 0.1963756482 .
Experimentalmente Como hay 4 valores de K ya que se aplicó 4 métodos distintos, por ende, sacaremos el promedio de los valores de K para poder hallar un momento de inercia promedio
∑4 = 0.3322130407 + 0.3062891328+ 40.34680852406708795 +0.30496 = 0.3225676744 ∴ = = 1.7680.3225676744 = 0.1839602313 . | 100% = |0.1963756482 0. 1 839602313| % = |ó ó 0.1963756482 100% ∴ % = 6.322279271%
Entonces hay un % de error
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Cuestionario.¿Qué relación tiene la constante K (radio de giro) con la distancia “d” correspondiente al mínimo de la curva?
De la ecuación
= 1+
Notamos que para que R sea mínimo, d = K. Entonces, teóricamente la distancia mínima deberá ser igual a K.
Trabajo de Investigación.USOS DEL MOMENTO DE INERCIA Y RADIO DE GIRO EN LA INGENIERÍA CIVIL
En el estudio de la flexión en materiales, como parte de la estabilidad y resistencia de materiales, se puede deducir una expresión del tipo
= . /∫ = . / Donde, σ es la "tensión" (en unidades equivalentes a la presión: fuerza/área) interna entre secciones del material, en la dirección del eje de la viga. Llamemos z a ese eje, entonces son σz. Estas tensiones como la sección está en el plano x-y que es la sección transversal de la viga, son perpendiculares a dicha sección. La viga, vista de costado se flexiona comprimiéndose por encima de un plano o eje neutro y se elonga por debajo del mismo, entonces se utiliza el momento de segundo orden respecto de dicho eje. Si la figura es simétrica será su eje medio o generalizando es el eje baricéntrico. Ymax, es la distancia desde dicho eje neutro (el que no se deforma ya que se comprime por arriba y se estira por debajo, suponiendo que la flexión es tal que curva a la viga hacia abajo) a la "fibra" más lejana, ya que esa dará la máxima tensión (que varía en proporción a la distancia al eje neutro). La fórmula anterior nos dice que
= . /
"Dada una cierta solicitación (el momento fletor o flexor Mf) cuanto más grande es la relación Jx/ymax, menor el esfuerzo o tensión que debe soportar la viga en sus fibras más alejadas y tiene menor posibilidad de que se rompa". Normalmente crece mucho más rápido J que ymax a medida que aumentamos las dimensiones de la sección, entonces indirectamente "a mayor momento de inercia (o de segundo orden) mayor es la resistencia de la viga porque se generan tensiones menores en sus fibras al deformarse". Laboratorio de Física N°1
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Para las rotaciones es similar, por ejemplo un eje de una máquina en ese caso se usa el momento de inercia POLAR y el momento de cálculo es el momento de torsión o torsor (las tensiones que intervienen no son σ sino que son tensiones de corte pero el
concepto es análogo). Otro uso conocido de J en cuestiones de ingeniería civil es para el cálculo de diques, represas y paredes sumergidas de tanques o piscinas: la presión del agua (u otros líquidos) ejercen fuerzas progresivamente mayores con la profundidad. El empuje se calcula con una fórmula que se deduce y donde interviene el momento de inercia de la pared que limita al agua/líquido. APLICACIONES DEL MOMENTO DE INERCIA EN LA INGENIERÍA CIVIL
El momento de inercia es muy importante en el área de la Ingeniería Civil, especialmente en el diseño de elementos estructurales (como vigas y columnas), debido a que la inercia es con lo que diseñas, y depende de la geometría del material Entre sus aplicaciones en este ámbito de la Ingeniería, se pueden citar: En el pre diseño de secciones para análisis y obtención una primera aproximación de las secciones que se utilizarán en un modelo estructural. Los principales parámetros que definen una sección estructural son el área y sus momentos de inercia en los ejes principales; lo cuales se encuentran regidos por una carga axial y los momentos flexionantes en los ejes principales. La Obtención de los momentos en cada columna, permiten proponer las dimensiones de éstas, que satisfagan los requerimientos de área y de estas dimensiones dependen ahora de los materiales a emplear. El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento como una viga, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto con las propiedades de dicho material. Eso se aplica en deformación y/o deflexión en vigas y es fácilmente visible en el Pandeo de Columnas; que lo soportan los elementos alargados (pandeo o flexión lateral), a diferencia de las intermedias (que sufren la compresión y la deflexión) y las cortas (solo la compresión). El momento de inercia también es fundamental en el cálculo de las tensiones que es fundamentales en los Cables para el soporte delas tensiones y fuerzas que pueden soportar. El momento de inercia es una propiedad geométrica de un área y representa la distancia de un área con respecto a un eje dado. En el análisis de vigas y columnas, el diseño del tamaño de estos elementos está relacionado con el momento de inercia, y éste, define la forma apropiada que debe tener la sección del elemento estructural. La resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, por eso, las columnas macizas apenas se emplean, pues a igual Laboratorio de Física N°1
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sección o peso por metro lineal tienen menor resistencia, por ser menos su momento de inercia. Al ser el momento de inercia aplicable a la rotación más que al movimiento en línea recta, conocer las propiedades de los materiales como lo son: Módulo de elasticidad, módulo de Poisson, módulo de cortante, constante térmica, área, momento de inercia en los ejes principales y la constante de torsión permitirán determinar desplazamientos en estructuras tanto verticales como horizontales, es tonos dará una idea clara de la rigidez de la estructura propuesta, y si los desplazamientos son inaceptables, el incremento en las dimensiones delas secciones de las columnas será una de las modificaciones sustantivas. Si no se considera suficiente este incremento, o no es conveniente por razones de orden físico, se puede recurrir a los muros. Con esto, se podrá realizar un pre diseño y/o revisión de las secciones propuestas con anterioridad, y estudiar su factibilidad permitiendo el cálculo de una cuantificación aproximada del material a emplear, lo cual dará una idea del costo de la estructura. UN EJEMPLO…
En la realización del elementos estructurales:
pre diseño
de
las
secciones
(o
áreas)
de
los
Si se tienen dos barras de dimensiones iguales, una de acero de alta resistencia y otra de acero ordinario… ¿Cuál resistirá una mayor carga crítica?
Las dos se pandearían bajo la misma carga crítica, ya que aunque sus resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo modulo elástico. La carga crítica que puede producir el pandeo en una columna no depende del material.
¿Y cómo se puede optimizar la resistencia al pandeo?
Aumentando lo más posible el momento de inercia de la sección respecto a cualquiera de los ejes principales, es decir, para el área el material se aleja como sea posible del centro de gravedad; de manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo más parecidos posible. Lo anterior, ¿Qué significa?
Si se quiere diseñar una columna de acero, y la longitud de la misma no se puede cambiar, y el material tampoco porque es acero, lo que se puede diseñar es la geometría de esta, lo mismo pasa con un cable, con una viga, con una armadura, etc… y, se debe cambiar la distancia entre la carga que debe soportar y los ejes de la columna.
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Los resultados presentados en este ensayo fueron elaborados con el mayor cuidado posible, pues se intentó reducir la mayor cantidad de variaciones en el laboratorio, como pueden ser: Tener distintos ángulos iniciales de oscilación, para evitar ello se usó un transportador, de modo que se puede tener un mayor control sobre los ángulos iniciales antes de iniciar la oscilación. En nuestra experiencia se trató de tener, para todas nuestras pruebas, un ángulo aproximado de 8° Considerar la barra tal y como se está usando en el laboratorio, en nuestro caso la barra contaba con 21 agujeros, Esto nos permitió tener valores teóricos muy cercanos a los experimentales. Existen ciertas variables que difícilmente se pueden controlar, como por ejemplo la fricción entre el eje de rotación y la barra, resistencia del aire, temperatura, malas mediciones, aparatos deficientes, etc.
Conclusiones.El cálculo de momento de inercia para cuerpo que no presenta geometría conocida, es más fácil calcularlo utilizando el péndulo físico. En un péndulo físico, cuanto más se acerca el eje de oscilación al centro de gravedad, su periodo disminuye y luego aumenta. En un péndulo físico y simple el ángulo de giro debe ser mucho menor a 15 grados, para que sea un M.A.S (movimiento armónico simple) y si es mayor a esta se da un M.A.A (movimiento armónico amortiguado). En el experimento se pudo hallar la longitud de un péndulo simple equivalente a la barra metálica, utilizando previamente el periodo experimental. En el experimento se pudo poner a prueba las fórmulas de péndulo físico hechas en clase. En el desarrollo del laboratorio nos dimos cuenta que existe fuerzas que no consideramos en los resultados como la temperatura, la fuerza de fricción del aire. El periodo del movimiento es independiente de la masa ya que en la formula dada El método más exacto y confiable es el de los mínimos cuadrados, pues este no requiere de modelos matemáticos aproximados para ser resuelto. Es más general en el sentido que se minimizan los errores mediante el cálculo teórico. Verificamos que para la curva dada no existe un modelamiento de función cuadrática, y por eso se recurrió a ecuaciones de grado superior y así tener más precisión. Este ensayo nos muestra el comportamiento del péndulo físico cada vez que varía la distancia del C.M al eje de giro. Podemos ver según las gráficas que mientras el centro de giro se acerque al C.M el periodo tiende a aumentar, sin embargo también mientras la distancia supera cierto periodo mínimo, el periodo aumentara mientras también la longitud del C.M a eje de giro aumente. La facilidad de poder hallar momentos de inercia usando la teoría del péndulo físico es de gran importancia pues ya no es necesario tener en cuenta la geometría exacta del objeto Laboratorio de Física N°1
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Un péndulo físico puede ser equivalente a un péndulo simple con una cierta longitud y un cierto periodo experimental
Bibliografía.FISICA II Serway FISICA II TEORÍA DE ALONZO FINN FISICA PARA EL ESTUDIANTE DE CIENCIA E INGENIERÍA Mx. Kelvig R. A. SERWAY & J. W. JEWETT, “Física” (Vol. 2) 3°ed., Thomson Paraninfo
1. Física para estudiantes de ciencia e ingeniería, Halliday, Resnick y Krane, 4ta. Ed., vol. II, Cía. Editorial Continental, S.A. México, (1985) http://myslide.es/documents/aplicaciones-del-momento-de-inercia-en-la-ingenieriacivil.html
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