UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
“FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, MINERA Y METALÚRGICA”
Informe: N°1 Ley de Hooke
Curso: Física II
Profesora: Zoila Emperatriz Ruiz Mostacero Fecha de Entrega: 2 Abril del 2012
Estudiantes: Barrera Vergara Jorman Iván Perez Pagan Javier Quispe Gonzales Raúl Cesar Saldaña Veliz Luis
20112612B 2011 2011 2011
2012-I
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA OBJETIVOS:
Determinar experimentalmente si un cuerpo es elástico o no.
Encontrar de manera experimental la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria bajo condiciones de elasticidad.
Hallar el módulo de Young del material elástico.
Comprobar experimentalmente la Ley de Hooke.
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FUNDAMENTO TEÓRICO: Por la experiencia, sabemos que los sólidos se deforman al ser sometidos a fuerzas que pueden alargarlo, doblarlo, comprimirlo o incluso cortarlo; además, que dicha deformación depende del material al que se aplican las fuerzas y estas mismas. En esta ocasión nos enfocaremos en la deformación de un resorte y una liga de jebe tratando de hallar una relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria. Pero antes de eso, necesitamos tener claro algunos conceptos: Elasticidad: Es la propiedad que tienen algunos cuerpos de deformarse al
actuar fuerzas sobre este y recuperar su forma original al cesar estas fuerzas. Plasticidad: Se refiere a los cuerpos que no recuperan su forma original cuando
cesan las fuerzas que actúan sobre este. Esfuerzo (σ): Nos indica que tan intensa es una fuerza deformadora. Es la
relación entre fuerza deformadora y el área de la sección transversal.
= F A
Deformación Unitaria (ε): Es la razón entre variación en su longitud, superficie
o volumen y su longitud, superficie o volumen respectivamente. En el caso de una deformación longitudinal:
= ∆ L
F
?L
F
LEY DE HOOKE
Dice que todo cuerpo bajo la acción de una fuerza se deforma y esta deformación es proporcional a la fuerza que se aplica dentro del intervalo en el que el cuerpo se comporta elásticamente. Esto quiere decir que existe un límite de elasticidad, a partir del cual la deformación ya no es elástica. Se puede tener dos gráficos similares para la ley de Hooke:
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F
Esfuerzo
L. E.
L. E.
Zona elástica
Zona elástica
Zona plástica
Zona plástica
x
Deformación
En ambas gráficas, en la zona elástica, la relación entre ambas magnitudes es lineal; esto es cuando el sólido se comporta elásticamente. Fuera de este límite elástico, el cuerpo quedará deformado por las fuerzas que actúen sobre este (no recuperará su forma original). Módulo de Young (Y)
De acuerdo a lo anterior, se tiene que el Esfuerzo y la Deformación Unitaria son directamente proporcionales:
.. =
Donde k es una constante para dicho sólido y se conoce como el Módulo de Young:
= Por lo que la ley de Hooke también se puede expresar como:
=.
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA EQUIPO UTILIZADO:
Un resorte
Una liga de jebe
Cuatro pesas
Una regla métrica
Un vernier
Un soporte universal
Una balanza
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL: 1) Mida la masa del resorte, de la liga de jebe y de las pesas.
2) Mida también la longitud natural y diámetro de la sección transversal del resorte.
3) Suspenda el resorte por uno de sus extremos y mida la nueva longitud y sección transversal.
4) Colocar una masa en su extremo libre y medir la nueva longitud del resorte y la sección transversal del resorte estirado, aproximadamente en la parte media del resorte.
5) Repetir el paso anterior para tres cargas más y mida también las elongaciones en las descargas; o sea, al retirar la última carga, tome la nueva longitud, luego retire la tercera carga y tome la nueva longitud, ahora retire la segunda carga y tome la nueva longitud. 6) Realizar lo mismo, pero esta vez cuando la liga de jebe esté estirada.
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA CÁLCULOS Y RESULTADOS Con los datos obtenidos podemos calcular la deformación y el esfuerzo: Resorte: Masa resorte: 55.5 gr CAR GA
MASA (Kg)
PESO (N)
LONGITUD (m)
LONGITUD l(m)
1
0.648
6.35
0.206
0.303
2
0.899
8.82
0.206
0.395
3
1.132
11.09
0.206
0.479
4
1.383
13.55
0.206
0.562
5
1.6245
15.92
0.206
0.649
18 16 14 ) 12 N ( 10 O S 8 E P 6 4 2 0
)
S(
3.14.10− 3.14.10− 3.14.10− 3.14.10− 3.14.10−
∆
(m)
0.09 7 0.18 9 0.27 3 0.35 6 0.44 3
∈ (mm/mm) (Pa) 0.47 0.92 1.33 1.73 2.15
2.02 10 2.81 10 3.53 10 4.31 10 5.07 10
()
3.25.10− 3.25.10− 3.25.10− 3.25.10− 3.25.10−
y = 27.782x + 3.6005
PESO Linear (PESO)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ELONGACION (m)
(Pa)
180000 160000
y = 58025x + 36401
140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000 0 0
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0.5
1
1.5
2
2.5
∈
(mm/mm)
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA ¿Qué relación existe entre estas magnitudes? Establezca la relación matemática que ilustra mejor la experiencia realizada. En el primer gráfico podemos observar una aparente relación lineal entre el PESO y la ELONGACIÓN, lo que nos hace suponer que estas dos magnitudes estas relacionas mediante una constante: F= K En el segundo gráfico también se observa una relación lineal, en este caso entre EL ESFUERZO y LA DEFORMACION UNITARIA, entonces podemos decir que este material tiene un comportamiento elástico, y dicho módulo de elasticidad longitudinal es una constante:
∆
Y=
∈
3) ¿Puede determinar a partir de los gráficos, la constante recuperadora del resorte y el módulo de Young? ¿Cuál es el valor de Y? Para determinar la constante recuperadora del resorte, llamada también constante elástica y considerada en la ingeniería como coeficiente de Rigidez el cual es una magnitud física que cuantifica la rigidez de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga. Normalmente las rigideces se calculan como la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación de esa fuerza. Según la ecuación:
= ⁄∆
En donde evidenciamos la ley de Hook de la elasticidad; por lo tanto en nuestro caso la fuerza aplicada seria el peso, concluyendo que la pendiente de la recta hallada mediante el método de mínimos cuadráticos: Peso Vs sería la constante recuperadora del resorte
∆
=27.782
Para determinar el módulo de Young nos basamos en las siguientes definiciones; como en nuestro experimento trabajamos con un resorte el cual es considerado un material isotrópico elástico lineal, el módulo de Young se determina mediante la pendiente de la recta de la gráfica: ; teniendo en cuenta la pendiente de la recta lineal
considerada hasta antes del punto “límite elástico” ya que la grafica después de dicho
límite se distorsiona debido al punto de ruptura del material. Según: Y = ∈ = 58025 ( ) 4) Mediante los gráficos anteriores determinar por integración numérica el trabajo realizado para producir la deformación del resorte, desde su posición de equilibrio hasta la tercera carga.
Para ello nos basamos en la definición matemática del cálculo integral (integral definida) para determinar el trabajo realizado por el peso en la deformación del resorte, para lo cual hallamos el área bajo la curva de la gráfica: Peso Vs. Según:
∆
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= ∫ () = ∫..(27.782+3.6005) =0.5(27.782)(0.479 0.206) +3.6005(0.4790.206) =. Liga o Jebe: Masa de la liga: 42 gr
MASA (Kg)
1 2 3 4 3 2 1
PESOS (N)
0.25 2.45 0.493 4.83 0.977 9.57 1.625 15.93 0.977 9.57 0.493 4.83 0.25 2.45
LONGITUD (m)
0.35 0.394 0.469 0.614 0.922 0.675 0.561
LONGITUD l(m)
0.394 0.469 0.614 0.922 0.675 0.561 0.445
ÀREA
() 0.403x10− 0.33x10− 0.31x10− 0.288x10− 0.182x10− 0.231x10− 0.291x10−
ÀREA S( )
0.33x10− 0.31x10− 0.288x10− 0.182x10− 0.231x10− 0.291x10− 0.32x10−
(Pa) 7.42x10 15.58x10 33.23x10 87.53x10 41.43x10 16.6x10 7.65x10
∈
∆ ( )
0.126 0.190 0.309 0.502 0.268 0.168 0.101
0.044 0.075 0.145 0.308 -0.247 -0.114 -0.116
(mm/mm)
Con dichos resultados podemos obtener las siguientes tablas:
CURVA DE HISTÉRESIS 100 90 80 0 70 1 . a P 60 ( O 50 Z R 40 E U F 30 S E 20 10 0
y = 10.491x2 + 197.09x - 13.842
) ⁴
y = 361.45x2 - 16.023x + 4.3577 Series1 Series2 Poly. (Series1) Poly. (Series2)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
DEFORMACIÓN UNITARIA
5) ¿Qué es lo que representa el área encerrada por esta curva? Puede apreciarse que el área encerrada por ambas curvas es proporcional a la energía disipada en el interior del material elástico. 6) Determine en forma aproximada el área encerrada por la curva del paso 5. Para realizar la aproximación del área pedida hacemos un ajuste cuadrático a las curvas como se muestra en el grafico y con las ecuaciones obtenidas pasaremos a hallar el área encerrada. UNI-FIGMM
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. . = . ()=. [(10.491 +197.0913.842) (361.45 16.023+4.3577)] . = . (350.96 +213.11318.2) = [701.92 +213.113]..
=0.312
Esfuerzo de fluencia
Indicación del esfuerzo máximo que se puede desarrollar en un material sin causar una deformación plástica. Es el esfuerzo en el que un material exhibe una deformación permanente especificada y es una aproximación práctica de límite elástico. Módulo de elasticidad
Los módulos de elasticidad representan el grado de rigidez de un material y es el resultado de dividir su esfuerzo unitario entre su deformación unitaria correspondiente. Se clasifican en: Módulo Volumétrico: Un fluido aplica una fuerza sobre un material, esa presión hace que el material tienda a comprimirse de manera uniforme, este a su vez genera una repuesta a este cambio el cual es llamado modulo volumétrico. Módulo de Corte: Cuando un cuerpo es sometido a una fuerza paralela a una de sus caras mientras la otra se mantiene fija, no produce un cambio en su volumen , significa que a su vez, produce una fuerza opuesta a la deformación a esto se le llama modulo de corte o modulo cortante (S). Módulo de Young: El módulo de Young es la propiedad que poseen los cuerpos lineales a oponerse a la deformación de ellos mismos. A estos cuerpos se le aplica una fuerza lineal y a veces de torsión, la oposición a esta fuerza depende de cada material.
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CONCLUSIONES
Como el resorte recuperó su forma original, se dice que es un cuerpo elástico. La liga de jebe, por el contrario, no volvió a su forma inicial, por lo que no presenta elasticidad. Que es lo mismo a decir que es un cuerpo plástico. Si las fuerzas sobre un cuerpo son demasiado grandes y llegan a traspasar el límite elástico, el sólido dejará de comportarse como un cuerpo elástico y pasará a ser un cuerpo plástico. Al observar una recta que pasa cerca al origen de coordenadas en la gráfica Fuerza vs Elongación del Resorte, se deduce que la fuerza elástica de este es directamente proporcional a la elongación del mismo. Como la Fuerza es D.P. a la Elongación del Resorte, se tiene que F=kx. Si el cuerpo fuese más rígido, k aumentaría; por lo k es llamada la Constante de rigidez y depende de las propiedades elásticas del cuerpo. También se pudo observar una recta en la gráfica Esfuerzo vs Deformación del Resorte que pasa cerca al origen; esto significa que el Esfuerzo aplicado es directamente proporcional a la Deformación Unitaria. Como el Esfuerzo es D.P. a la Deformación, se puede denotar de la siguiente manera: σ=Yε; donde Y es una constante de proporcionalidad.
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Y es propia para cada material y es llamada el Módulo de Young. En general, se concluye que sí se cumple la Ley de Hooke.
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BIBLIOGRAFÍA:
FÍSICA UNIVERSITARIA VOLUMEN I, Sears, Zemansky, Young, Fredman, Pearson FÍSICA VOLUMEN I, Tipler , Mosca, Reverte Física 2 / Hugo Medina.
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