Lab 02 Transformada directa e inversa de laplace.pdf

Escuela de Ingeniería Mecatrónica GUIA DE LABORATORIO LABORATORIO 02 TEMA: TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE OBJETIVOS -

Comprender la forma de operar la transformada de Laplace en matlab Identificar las diferentes funciones utilizadas para el cálculo de la transformada Graficar la ubicación de polos y ceros en un plano Comprender la forma de operar la transformada inversa de Laplace en matlab Identificar las diferentes funciones utilizadas para el cálculo de la transformada

MATERIAL Y EQUIPOS 

Computador con software matlab

TRANSFORMADA TRANSFORMADA DIRECTA DE LAPLACE INTRODUCCION La transformada de Laplace de una señal x(t)

Es una generalización de la transformada continua de Fourier, la cual es útil para el estudio de señales y sistemas continuos en el tiempo. Cuando s=jw, es decir es puramente imaginaria, la transformada de Laplace se reduce a la transformada de Fourier continua en el tiempo. Muchas señales que no tienen transformada de Fourier tienen transformada de Laplace. La transformada de Laplace es una herramienta útil para análisis de sistemas LTI (lineales e invariantes en el tiempo). Para una gran clase de señales la transformada de Laplace se puede representar por una relación de polinomios en s:

Donde N(s) y D(s) son llamados los polinomios numerador y denominador. Las transformadas pueden representarse por una relación de polinomios llamadas transformadas racionales, las cuales son determinadas completamente por las raíces de los polinomios N(s) y D(s), conocidos como ceros y polos respectivamente. Debido a la importancia de las raíces en el estudio de sistemas LTI, es conveniente desplegarlas pictóricamente en un diagrama de polos y ceros.

_________________________ _____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ __________________ ________ Control Díaz

Escuela de Ingeniería Mecatrónica

PROCEDIMIENTO Calcular la transformada de Laplace F(s) de una función f(t) es relativamente sencillo en matlab. Primero necesitamos especificar que la variable t y s son simbólicas. Esto es hecho con el comando syms >>syms t s A continuación debemos definir la función f(t). El comando para calcular la transformada es >>F=laplace(f,t,s) Para hacer la expresión más entendible uno puede utilizar los comandos simplify y pretty.

1.

Hallar la transformada de Laplace de la siguiente función f(t) f(t) = -1.25 + 3.5te^(-2t) + 1.25e^(-2t) en matlab >> syms t s >>f = -1.25 + 3.5*t*exp(-2*t) + 1.25*exp(-2*t); >>F = laplace(f,t,s) F= 5/(4*(s + 2)) + 7/(2*(s + 2)^2) - 5/(4*s)

>> simplify(F) ans = (s - 5)/(s*(s + 2)^2) La instrucción pretty ordena la expresión de manera que se visualmente más entendible por nosotros. >> pretty (ans) s-5 ---------2 s (s + 2)

_____________________________________________________________________________ Control 1 2016 I Ing. Luis Vargas Díaz


Lo cual corresponde a F(s)

2.    

3.

Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones f(t). f(t) f(t) f(t) f(t)

= t^4 = exp(-a*t)*sin(w*t) = -4*exp(-2*t)*cos(t)+2*exp(-2*t)*sin(t)+4 = ( t^4 + 8t^2 + 5t ) / (t^2 + 9)

Los polos y ceros de la función de un sistema racional se pueden calcular en matlab mediante el uso de la función roots. Por ejemplo para un sistema LTI con función de transferencia:

Los polos y ceros se pueden encontrar ejecutando: >>b=[1 -1]; >>a=[1 3 2]; >>zs=roots(b) >>ps=roots(a) Es posible graficar el diagram de polos y cerso colocando una x en la localizacion de cada polo y un o en la localizacion de cada cero en el plano complejo s de la siguiente manera: >>plot(real(zs), imag(zs),’o’); >>hold on >>plot(real(ps),imag(ps),’x’); >>grid >>axis([-3 3 -3 3]);



4.

Graficar la ubicación de polos y ceros de las funciones del procedimiento 2

CUESTIONARIO -

Describa las funciones syms, Laplace, simplify, pretty De que otra manera se puede graficar la ubicación de polos y ceros en el plano s



TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE INTRODUCCION Una función v(s) definida en un intervalo a
En este caso se dice que u es la transformada inversa de Laplace de v y se denota por

Recordamos que por la propiedad de anulación de la transformada de Laplace en ∞, una condición necesaria para que una función v(s) posea transformada inversa de Laplace es que.

También, las propiedades básicas de la transform ada de Laplace implican propiedades de la transformada inversa de Laplace. Por ejemplo, si v y w tienen transformada inversa, se tiene:



La última relación es consecuencia de :

La cual es válida para u(t) tal que

exista y sea finito

PROCEDIMIENTO El comando que usaremos ahora es i laplace. También necesitamos definir los símbolos t y s. Calculando la transformada inversa de la función F(S)

La cual corresponde a f(t)

Alternativamente uno puede escribir



Aquí otro ejemplo.

El cual nos da f(t)

Haciendo uso de las relaciones trigonométricas y con

También podemos decir que f(t)=

1.

Hallar la transformada inversa de las siguientes funciones a) b) c) d) e)

1/(s+15) s/((s+3)^2 + 12) (s+8)/(s^2 + 3s + 5) (s - 5)/(s(s + 2)^2) (s + 4)/(s^2 + 9s + 3)

CUESTIONARIO -

Describa la función ilaplace De que otra manera se puede obtener la transformada inversa de Laplace? ¿Que ventajas presenta el uso de la transformada de Laplace para el análisis de ecuaciones con integrales y derivadas?.




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