La Topologia de Los Continuos_RaulEscobedo

Memorias de la XVII Semana Regional de Investigaci´ on y Docencia en Matem´ on aticas. aticas. Departamento de Matem´ aticas, aticas, Universidad de Sonora, M´ exico, exico, Mosaicos Matem´ aticos, aticos, No. 20, Agosto, Agosto, 2007, pp. 59–74.

Nivel Sup erior

LA TOPOLOG´ IA DE LOS CONTINUOS Ra´ ul ul Escobedo Conde 1 Carlos Alberto Albe rto Robles Corbal´ a2 Enrique Enriqu e Rodr´ ıguez ıguez Castillo 3 1

Facultad de Ciencias F´ısico-Matem´ ısico-Mat emáticas aticas Benem´ Bene mérita erit a Univers U niversida idad d Aut´ Au tónoma onoma de Puebla 2,3

Departamento de Matemáticas aticas Universidad de Sonora Resumen

El objetivo de este trabajo es introducir algunas nociones b´ asicas en esta ´ area de la topolog´ ıa ıa conocida conocida como como la Teor´ eor´ıa de los Continuos as´ as´ı como como ilustrar ilustrar con muchos ejemplos las clases de continuos m´ as b´ asicos; probar algunos resultados que dan idea de las t´ ecnicas ecnicas t´ıpicas de la teor´ teor´ıa y tratar varios ejercicios ejercicios que involucren involucren a estas clases de continuos. continuos.

Introducci´ on on

Seguramente, Seguramente, uno de los atractivos que tiene la Teor´ eor´ıa de Continuos Continuos es la simplicidad de los objetos de estudio: espacios métricos etricos compactos y conexos; sin embargo, ésta esta misma simplicidad nos invita a plantearnos problemas realmente realmente dif´ dif´ıciles de tratar (pero relativamente relativamente fáciles aciles de entender). La topolog top olog´´ıa, en ocasiones, se torna demasiado abstracta y es complicado tener una idea geométrica etrica de lo que estamos haciendo; por otro lado, en la Teor´ eor´ıa de Continuos Continuos tenemos siempre la ayuda de la métrica, etrica, que nos invita a imaginar por p or lo menos la distancia que hay entre los puntos del espacio. La compacidad es una de las propiedades topológicas ogicas más as deseables pues nos deslinda de muchas problemáticas aticas comunes en topolog´ topolog´ıa general y en análisis; alisis; la conexidad, por su parte, mantiene una idea de unidad (en algún un sentido) del espacio. ´ Este texto intenta dar una invitación on a la Teor´ eor´ıa de los Continuos, Continuos, presentando presentando algunos aspectos de interés es en el estudio de los continuos como en otras áreas. areas. Los conocimiento conocimientoss requeridos para un mejor entendimiento de éste este escrito son conocimientos cono cimientos b´ b ásico as icoss de Topolo Topo logg´ıa y Análisis alisis Matemático, atico, as´ as´ı como familiarizaci´ familia rización on con los métodos etodo s que qu e comúnmente unmente se utilizan en ésta es tass áreas; areas; cualquier otro conocimiento es de ayuda. Se tratar´ tratará de mantener una idea geométrica etrica en los ejemplos con la ayuda de figuras, fig uras, sin dejar de lado la descripción on algebraica. As´ As´ı, se espera que el tratamiento de la Teor´ eor´ıa de Continuos Continuos en éste este trabajo traba jo sea atractiva atractiva para pa ra la vista y la mente. mente. 1

Defin Definic ici´ i´ on on y ejemplos

Antes de comenzar nuestra discusión on sobre continuos, es oportuno recordar algunas definies paci cio o m´ etri et rico co es un conjunto X acompa˜ ciones básic a sicas as.. Un espa nado nado de una función on d : X × X → R, llamada métrica, que satisface las siguientes condiciones para cualesquiera x,y,z ∈ X : 59

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.







(M1) d(x, y ) ≥ 0 y d(x, y ) = 0 ⇐⇒ x = y , (M2) d(x, y ) = d(y, x), (M3) d(x, z ) ≤ d(x, y ) + d(y, z ). ). Diremos que un espacio topológico ogico X es metrizable si existe una métrica etrica para X de tal forma que la topolog´ topolog´ıa en X coincida con la topolog´ topolog´ıa inducida por la métrica etrica en X . Un espacio compacto es aquel espacio donde a cualquier cubierta por abiertos del espacio le podemos extraer extraer una subcubiert subcubiertaa finita, es decir, a la cubierta cubierta le podemos p odemos quitar a casi todos los abiertos y aún un as´ as´ı sigue cubriendo al espacio. Diremos que un espacio es conexo si no puede ser expresado como la unión on disjunta de dos abiertos no vac´ vac´ıos (o equivalenteme equivalentemente, nte, no se puede expresar como la unión on disjunta de dos cerrados no vac´ vac´ıos) del espacio , es decir, viene dado en una sola pieza. Definici´ on on 1.1. Un continuo es un espacio topol´ ogico metrizable, compacto, conexo y no

vac´ıo. La condición on “no vac´ vac´ıo”se impone imp one para evitar trivialidades. Para el estudio de los continuos, es util u ´ til fijarnos en las subestructuras de un continuo continuo as´ as´ı que a continuaci´ continuación, on, daremos daremos algunas algunas definici definicione oness de estos objetos. objetos. Sea X un continuo y Y ⊆ X . Dire Diremo moss que que Y es un subcontinuo de X si Y es a su vez un contin continuo. uo. Direm Diremos os que Y es un subcontinuo propio de X si Y es un subcontinuo distinto de X . Si X es un continuo que consta de un continuo degenerado; de lo contrario, diremos que es no sólo olo punto, diremos que es un continuo degenerado. Ejemplo Ejemplo 1. El intervalo [0, [0, 1]. 1]. Claramente Claramente es un espacio espacio métrico etrico y por tanto, metrizable.

De los cursos de An´ alisis Matem´ atico, sabemos que los conexos en R son los intervalos y por el Teorema de Heine-Borel, los compactos son los cerrados y acotados por lo que [0, [0, 1] es compacto compa cto.. As´ı, ı, [0, [0, 1] es un continuo. 0 1 Figura 1: El intervalo [0, [0 , 1]. Un continuo es unicoherente si la intersección on de cualesquiera dos subcontinuos propios es un conjunto conjunto conexo. conexo. Diremos Diremos que un continuo continuo X es hereditariamente equivalente si todo subcontinuo no degenerado Y es homeomorfo a X . El interv intervalo alo [0, [0, 1] es un continuo que posee estas dos propiedades.







Definici´ on on 1.2. Diremos que una propiedad P propiedad P de un espacio topol´ ogico X es una propiedad topol´ ogica si para todo espacio topol´ ogico Y homeomorfo a X a X se tiene que Y tamb ta mbi´ ién en pos posee ee

la propiedad. La conexidad y compacidad son propiedades topológicas; ogicas; si (X, (X, dX ) es un espacio espa cio métrico etri co y Y es un espacio topológico ogico homeomorfo a X , podemos ver que la función on def

)), dY (y1 , y2 ) = dX (h(y1), h(y2 )), donde h : Y → X es un homeomorfismo, es una métrica etrica para Y con la cual, la topolog´ topolog´ıa en Y coincide con la topolog topo log´´ıa inducida por ésta esta métrica. etrica. As´ As´ı, el ser un continuo es una propiedad topológica. ogica. Ejemplo Ejemplo 2. Los arcos. arcos. Un arco arco es cualquier cualquier espacio espacio top topol´ ol´ ogico A que sea homeomorfo al

intervalo [0, [0, 1]. 1].

Figura 2: Arcos.

En realidad, un arco no es muy diferente (topológicamente ogicamente hablando) a un intervalo pues pues al ser ser homeom homeomorf orfoo al inte interv rvalo alo,, todas las propie propiedad dades es topol´ topol´ ogicas ogicas (que son las que generalmente generalm ente interesan interesa n en Topolog opo log´´ıa) del intervalo las posee también en el arco. Sin embargo, lo consideramos aparte para tener acceso a un objeto más as general. Ejemplo 3. La circunferencia unitaria. unitaria . Consideremos el conjunto

 = (x, y ) ∈

1 def

S

2

R

  : (x, y ) = x + y = 1 ,

que gr´ aficamente se ve como se muestra en la figura:

2

2







Evidentemente, S1 no es hereditariamente equivalente pues un subcontinuo que no es homeomorfo a S1 es un arco. Es claro que S1 no es unicoherente, pues al tomar las semicircunferencias superior e inferior como subcontinuos, su intersección resulta ser {(−1, 0), 0), (1, (1, 0)} que no es un conjunto conexo. Definici´ on on 1.3. Un continuo X es homog´ og´ eneo si para cualesquiera dos puntos x1 , x2 ∈ X

existe un homeomorfismo hx1 ,x2 : X → X tal que hx1 ,x2 (x1 ) = x2 . Vemos que S1 es un continuo continuo homogéneo, eneo, pues dados dos puntos p y q es rotación on que lleva a p en q y las rotaciones son homeomorfismos.

S1 ,

existe una

Ejercicio 2. Encuentre otros continuos homog´ eneos eneos que no sean homeomorfos ho meomorfos a S1 .

Todo espacio topológico ogico homeomorfo a S1 se llama curva cerrada simple, y como en el caso de los arcos, no es un continuo diferente de S1 sino es una versión on general gen eraliza izada da de él. el. Ejemplo 4. El disco unitario. unitario. Definimos el conjunto 1 def

D

= (x, y ) ∈ R2 : (x, y ) ≤ 1 ,





que se representa representa geométricamente etricamente como sigue:

Figura 4: El disco unitario Nuevamente, por ser un subconjunto de R2 , es un espacio metrizable y por Heine-Borel, es compacto. ompacto. Se puede demostr demostrar que el disco es un conjunto conjunto convexo, es decir, dados dos puntos x, y ∈ D1 todos los puntos (1 − t)x + ty est´ an en D1 . As´ As´ı, se muestra m uestra que D1 es conexo por trayectorias y por tanto, tan to, conexo. As´ As´ı que D1 es un continuo. A diferencia de S1 , el disco si es unicoherente ya que la intersección on de dos subcontinuos propios resulta ser un punto, una banda o un anillo, que son conjuntos conexos. Del mismo modo en que se definen los Ejemplos 3 y 4, podemos definir los conjuntos n−1

S

= {x ∈ Rn : x = 1},

n−1

D

= {x ∈ Rn : x ≤ 1},

para n ≥ 2, los cuales también en son continuos. Ejemplo 5. El toro. toro. Denotemos por S1 × S1 a la imagen del cuadrado [0, [0, 2π] × [0, [0, 2π], que

es compacto y conexo, bajo la funci´ on







Figura 5: El toro Se puede puede ver ver que el Toro es un contin continuo uo homog´ homogéneo, eneo, sólo olo hay que dar giros sobre los meridianos y paralelos; no es unicoherente pues al partir verticalmente al Toro por la mitad, tenemos dos subcontinuos que se intersectan en la unión de dos circunferencias ajenas, lo que no es un conjunto conexo; no es hereditariamente equivalente pues S1 y los arcos son suncontinuos suncontinuos no degenerados del Toro y no son homeomorfos a él. el. Definici´ on on 1.4. Un espacio topol´ ogico X es localmente conexo si para cada punto x ∈ X

existe una vecindad conexa de x. Hasta este momento, momento, todos to dos los ejemplos que hemos visto son continuos continuos localmente conexos. conexos. Ahora, veremos cuatro ejemplos de continuos que no son localmente conexos. Ejemplo 6. El abanico arm´ onico. onico. Considere la sucesi´ on arm´ onica

1

∞ n=1



y formemos con ella la siguiente sucesi´ on de puntos en R : definamos a−1 = (0, (0, 1), 1), a0 = (0, (0, 0) y para n ∈ N, 1 an = , 0 . Ahora, para n ≥ 1, unamos cada uno de los puntos an−1 con el punto a−1 por n el segmento segmen to de l´ınea ınea (1 − t)an−1 + ta−1 . Gr´ aficamente, tenemos 2

 

n

Figura 6: El abanico armónico. onico. Es cla clarro que es un espaci espacioo metriz metrizabl able; e; es compact ompactoo por el Teorema orema de HeineHeine-Bor Borel el y es conexo por ser union de conexos que coinciden en un punto. ´ e es un contin Este Est continuo uo que no es localmen localmente te conexo, conexo, pues pues para para cada cada pun punto to (0, (0, x), con 0 ≤ x < 1, existe una vecindad no conexa.







´ conjunto es conexo por ser la gr´ Este afica de una funci´ on continua definida en un conexo. Adem´ as, Graf(f Graf(f )) es un conjunto acotado, pues 0 < x ≤ 1 y −1 ≤ sen x1 ≤ 1; sin embargo, no es cerrado. Tomando la cerradura de Graf(f Graf(f )) se tiene un continuo, pues la cerradura de un conexo conexo es conexo. La figura siguiente, muestra muestra como se ve éste este continuo continuo gr´ aficamente: 1

1

−1 Figura 7: El continuo sen x1 Nuevamente, los puntos de la forma (0, (0, x), con −1 ≤ x ≤ 1, poseen vecindades no conexas en Graf(f Graf(f ), ), por lo que éste este continuo no es localmente conexo. Tambi´ ambién en podemos po demos ver que éste este continuo no es conexo por p or trayectorias ya que el punto (1 , sen 1) no lo podemos conectar conectar con ning´ un un punto de la forma (0, (0, x) por una trayectoria en Graf(f Graf( f ). ). Considere el conjunto de Cantor , denotado por C, que se obtiene mediante un proceso de intersección on de subconjuntos cerrados anidados de R. La construcción on es como sigue: Comenzamos con C 1 = [0, [0, 1] y definimos el conjunto C 2 ⊂ [0, [0, 1] al dividir al intervalo 1 2 en tres partes iguales y sustrayendo el tercio medio, 3 , 3 ; el conjunto C 3 ⊂ C 2 se obtiene repitiendo la división on en tercios de los dos intervalos cerrados de C 2 y sustrayendo el tercio medio medio de cada uno de ellos. ellos. Inductiv Inductivamen amente te definimos definimos C n como el conjunto que se obtiene de remover los tercios abiertos medios de cada subintervalo cerrado de C n−1 y finalmente, ∞ C = n=1 C n . ´ Este conjunto no es conexo; de hecho es totalmente disconexo, es decir, los únicos unicos conexos en C son los subconjuntos de un sólo olo pun punto. to. As´ As´ı, el conjunto conjunto de Can Cantor tor no es un continuo. continuo. Sin embargo, con él el se pueden construir algunos continuos interesantes interesantes como lo veremos veremo s a continuaci conti nuaci´ón. on.

 



Ejemplo 8. El abanico sobre el conjunto de Cantor. Cantor . La construcci´ on que haremos ahora es

similar a la realizada en el ejemplo 6. Considere el conjunto de puntos en R2 , (c, 0) con c con c ∈ C, 1 y unamos a cada punto de éstos estos con el punto 2 , 1 con los segmentos (1 − t)(c, )(c, 0) + t 12 , 1 . Por argumentos argumentos similar similares a los dados en el ejemplo ejemplo 6, éste este es un continuo. continuo. Gr´ aficamente,

 

 









Figura 8: Abanico sobre el conjunto de Cantor. Ejemplo 9. El arcoiris de Knaster. Knaster . A partir partir del conjun conjunto to de Cantor Cantor (como (como subconju subconjunto nto de 2

R

), construiremos otro continuo como sigue:

Uniremos a los puntos del conjunto de Cantor (c, 0) que equidisten del punto p1 = 12 , 0 con semicircunferencias superiores centradas en p1 y de radio c. Despu´ es, es, uniremos uniremos a los 5 puntos del conjunto de Cantor que equidisten del punto p2 = 3·2 , 0 con semicircunferencias inferiores con centro en p2 y radio c. Inductivame Inductivamente, nte, se unen los puntos puntos del conjunto onjunto de 5 Cantor que equidisten del punto pn = 3 1 ·2 , 0 con semicircunferencias inferiores de centro pn y de radio c. En la figura siguiente se muestra una parte del arcoiris de Knaster.

 



n−

 



Figura 9: El arcoiris de Knaster El arcoiris de Knaster es un continuo que no es localmente conexo en ningún punto, pues









es decir, {X \A : A ∈ A } es una cubierta abierta de X \U , por lo que existe una subfamilia finita F ⊂ A tal que X \U ⊂ {X \A : A ∈ F }.



Como la colección on A es anidada y F es finita, existe en F un conjunto E tal que E ⊂ A para todo A ∈ F . Lu Lueg ego, o, X \A ⊂ X \E para todo A ∈ F por lo que X \U ⊂ X \E . Se infiere entonces que E ⊂ U . Corolario 2. Si A es una colecci´ on anidada a nidada de cerrados cerrados no vac vac´´ıos ıos en un espacio compacto

 ∅. X , entonces ∩{A : A ∈ A } = Demostraci´ on. Suponga que ∩{A : A ∈ A } = ∅ y tome U = ∅ en la Proposición o n 1 para encontrar un conjunto E ∈ A tal que E ⊂ ∅, lo que es absurdo. Teorema 3. Si A es una colecci´ on anidada de continuos continuos en un espacio espacio métrico etrico compacto compacto X , entonces A = ∩{A : A ∈ A } es un continuo.

Demostraci´ on. Claramente, A es métrico etrico por ser subconjunto subco njunto del espacio métrico etrico X ; por la misma razón, on, cada conjunto A ∈ A es cerrado y as´ as´ı A es un cerrado no vac´ vac´ıo, por el Corolario 2. Luego, todo cerrado de un compacto es compacto. Finalmente, para ver que A es conexo, supongamos que no lo es, entonces existen dos cerrados disjuntos no vac´ vac´ıos, digamos digamo s A y B , tales que A = A ∪ B . Como A es un espacio métrico etri co , exist e xisten en abierto abi ertoss disju d isjuntos ntos no vac´ vac´ıos U y V tales que A ⊂ U y B ⊂ V ; V ; se concluye fácilmente acilmente que A ⊂ U ∪ V , on 1, existe E ∈ A tal V , con U ∪ V abierto en X . Por la Proposición que E ⊂ U ∪ V . Observe que que A = A ∪ B ⊂ E y as´ı ∅ =  A ⊂ E ∩ U y ∅ =  B ⊂ E ∩ V , V . Observe V , lo que contradice la conexidad de E . En general, la intersección on anidada de conexos no es necesariamente conexo. Ejercicio Ejercicio 4. Encuentre una colecci´ on anidada de conjuntos conexos cuya intersecci´ on no

sea un conjunto conexo. A continuación, on, veremos tres ejemplos importantes de continuos construidos mediante







Figura 10: Carpeta de Sierpiński. nski. ´ Este continuo tiene la propiedad de que contiene una copia homeomorfa de cada continuo de dimensión on 1 (subconjuntos de Rk con interior interi or vac´ vac´ıo en Rk , para k ≥ 2) que esté en el plano. Se dice que la Carpeta de Sierpiński nski es un continuo universal para los continuos de dimensi´ on on 1 del plano. Ejercicio 5. Encuentre subcontinuos en la carpeta de Sierpi´ nski homeomorfos a:

1. El continu continuoo sen x1 , 2. El abanico abanico sobre el conjunto onjunto de Cantor, 3. El arcoiri arcoiriss de Knaster. Knaster. Ejemplo 11. La curva de Menger. Menger . El continuo continuo que se presenta presenta aqu´ı, ı, es una versi´ on tridi-

mensional del conjunto de Cantor y de la carpeta de Sierpi´ nski. La construcci´ on es an´ aloga, s´ olo que ahora comenzaremos con el cubo M 1 = [0, [0, 1] × [0, [0, 1] × [0, [0, 1]; 1]; luego, se define M 2 ⊂ M 1 como el conjunto que resulta al dividir al cubo M 1 en nueve partes iguales por cada cara y remover emover la barr barraa central entral abierta abierta de cada cara. ara. El proc proceso eso con el que se obtiene obtiene cada cada M n es ∞ similar. similar. Definimos Definimos M = n=1 M n y nuevamente, por el Teorema 3, M es un conti continuo nuo.. A continuaci´ on, presentamos una figura con los primeros tres pasos de la construcci´ on de la curva de Menger:









Ejemplo 12. El solenoi sol enoide de diádico adi co.. Considere un toro s´ olido X 1 y dentro de ntro de él, el , X 2 un toro

s´ olido que le da dos vueltas a X 1; desp de spu´ ués, es , X 3 ser´ a un toro s´ olido que le de dos vueltas a 2 general, X n es un toro s´ olido, dentro de X n−1 , X 2, es decir, que le de 2 vueltas a X 1 . En gener n−1 que le da dos vueltas a éste, este, o bien, 2 vueltas a X 1 . Finalmente, el continuo ∞ n=1 X n es denotado por Σ2 . Si en vez de dar dos vueltas en cada paso, damos 3, o bien, p vueltas, el continuo que adico y se se obtiene al intersectar intersectar ésa esa familia de continuos continuos se conoce conoce como solenoide p-´ denota por Σ p .



Definici´ on on 1.5. Diremos que un continuo es descomponible si se puede expresar como la uni´ on de dos subcontinuos propios; de otro modo, diremos que el continuo es indescomponible.

Ejemplos de continuos continuos descomponibles son: el intervalo (ejemplo 1), 1 ), el c´ c´ırculo (ejemplo 1 3), el disco (ejemplo 4), el continuo sen x (ejemplo 7), el abanico armónico onico y el abanico sobre el conjunto de Cantor (ejemplos 6 y 8). Ejemplos de continuos indescomponibles son: el arcoiris de Knaster y el solenoide diádico. adico. Aparentemente, casi todo continuo que podemos imaginar es descomponible, pero la verdad es que existen muchos más as continuos indescomponibles que descomponibles (similar a lo que ocurre con los números umeros racionales e irracionales). Ejercicio 6. Dar una descomposici´ on de cada uno de los continuos descomponibles que se

mencionan. top olog´ ıa ıa produc pro ducto to : Sea {X α, pα } una colecci´ Es momento de invitar a recordar la topolog´ on on de espacios topológicos ogicos junto con una colección on de funciones, indexada en el conjunto Λ, on o n sobr sobre e el α-´ esimo es imo factor fac tor . La topolog donde pα : β ∈Λ X β top olog´´ıa β → X α es la proyecci´ producto es la que tiene como subbase a la familia



S =

 p

−1 α



(A) : A es abierto en X α para cada α ∈ Λ ,







Ejemplo Ejemplo 13. El cubo de Hilbert. Hilbert. Consider [0, 1] y Consideree el prod producto ucto numerable numerable del intervalo intervalo [0,

deno de not´ témosl em osloo como I ∞ ; tome tom e la métrica etri ca ∞

∞ δ (( δ ((x xn)∞ n=1 , (yn )n=1 )

 |x − y | . = n

n=1

n

2n

El continuo I ∞ se llama cubo de Hilbert . Teorema 4. Todo continuo X es homeomorfo a un subcontinuo de I ∞ .

Demostraci´ on. Si d es la métrica etrica en X , consid considere ere en X la métrica etrica acotada d′ (x, y ) = min{1, d(x, y )}. Ah Ahor ora, a, sea sea D = { pi : i ∈ N} un conjunto denso y numerable de X (el cual existe, existe, pues X es compacto y por tal razón, o n, es separable ) y definamos la siguiente funci´ on: on: ∞ f ( f (x) = (d′ (x, pi ))i=1 . Claramente, f es continua, ya que la función on distancia lo es. Además, as, es uno-a-uno pues si Como mo D es denso, existe pk ∈ D ∩ A  y , existe un abierto A tal que x ∈ A y y ∈ x= / A. Co ′ ′ y se tiene d (x, pk ) < d (x, y), es decir,f decir,f ((x) difiere en la k-ésima esim a component comp onentee con f ( f (y ). Se ∞ concluye que f es un homeomorfismo por ser X compacto y el espacio I es Hausdorff. 2

L´ımites inversos inversos

Una sucesi´ on inversa es una sucesión on de espacios X n , junto con una sucesión on de funciones continuas f n : X n+1 → X n (llamadas funciones de ligadura ), ), y se denota {X n, f n }∞ n=1 . f 1

f n 1

f 2

f n

X 1 ←− X 2 ←− · · · ←− X n ←− · · · −

El l´ımite ımi te inver in verso so de una sucesión on inversa {X n, f n}∞ n=1 es el subespacio del producto definido como def X ∞ ≡ lim X n = {(xn )∞ n=1 : f n (xn+1 ) = xn }. ←− Si para cada n ∈ N tenemos que ∞

 ν : X → X n

i

n



∞ n=1

X n









Ejemplo 14. Para cada n ∈ N, tome X n = [0, [0, 1] y f n = f , f , donde

f ( f (x) =

2x si 0 ≤ x ≤ 12 −2x + 2 si 12 ≤ x ≤ 1



y tiene como gr´ afica la siguiente: 1 1 Figura 12: La gráfica afica de f . f .

El Teorema 5 mostrará que X ∞ es un continuo; de hecho, se puede demostrar que X ∞ es homeomorfo al arcoiris de Knaster. Ejemplo 15. Para cada n ∈ N, tomemos X n = S1 y f n (z ) = z 2 , viendo a z como n´ umero

complejo de modulo 1.







Ahora, veremo veremoss un criterio criterio para saber si el l´ımite inverso inverso de una sucesi´ sucesión on inversa de continuos será un continuo indescomponible. Una sucesión on inversa de continuos {X n , f n }∞ n=1 tiene la propiedad (#) si cumple con lo siguiente: (#) Para cada n ∈ N, si X n+1 = An+1 ∪ Bn+1 , con An+1 y Bn+1 subcontinuos de X n+1 , entonces f n(An+1 ) = X n o bien f n (Bn+1 ) = X n. Teorema 6. Si una sucesi´ on inversa de continuos {X n , f n}∞ n=1 tiene la propiedad (#), en-

tonces X ∞ es un continuo indescomponible. La propiedad (#) se le conoce como indescomponible para la sucesión on inversa de continuos. Para la demostración, on, necesitamos del siguiente Lema 1. Si A es un subconjunto compacto de X ∞ , entonces

A = lim{πn (A), f n |π ←−

n+1

(A) }.

A ⊂ X K∞

( )

i i i s π1 i i i i s s s i s i s sπ2 i i i s i i s i y s y i i i t t

( )

K K K Kπn K K K K K % %

( )







3

La pro propi pied edad ad del del pun punto to fijo fijo

De los cursos de Cálculo, alculo, se puede recordar una propiedad que tiene el intervalo que dice: “Si f : [0, [0, 1] → [0, [0, 1] es continua, entonces intersecta en al menos un punto a la funci´ on identidad g (x) = x ”. Se dice entonces que el intervalo posee la propiedad del punto fijo, que a continuación enunciaremos. Definici´ on on 3.1. Decimos que un continuo X tiene la propie propiedad dad del punto fijo si para

cualquier funci´ on continua f : X → X existe un punto x ∈ X tal que f ( f (x) = x. As´ As´ı pues, el intervalo intervalo es el primer ejemplo que tenemos de un continuo con tal propiedad. En lo que resta, nuestro objetivo será el ver que el intervalo hereda, en algún sentido, la propiedad del punto fijo a un l´ımite ımite inverso de intervalos. intervalos. Primero, una definición. on. Definici´ on on 3.2. Un continuo se dice ser tipo arco si se puede expresar como l´ımite inverso

de una sucesi´ on de arcos con funciones de ligadura suprayectivas. Necesitaremos más as adelante del siguiente resultado, que es una generalización on de lo que ocurre en el intervalo. Lema Lema 2. Sean X un espacio conexo y f, g : X → [0, [0, 1] dos funciones continuas con g

suprayectiva, entonces existe

X tal que f ( f ( )

( )







Ejemplo 16. Considere el continuo sen x1 , deno (0, 1] tal d enot´ témosl em osloo por po r X . Para ε > 0 sea sea b ∈ (0,

que sen 1b = 1, con b < ε. Sea A = {sen x1 : x ≥ b} y B = {sen x1 : x ≤ b}, entonces X es la uni´ on de A y B ; ahora, definamos f ε (x, y ) =



si (x, y ) ∈ A x (0, y ) si (x, y ) ∈ B h(0,

[0, b] es un homeomorfismo que manda al punto (0, (0, 1) en b donde h : {0} × [−1, 1] → [0, (0, −1) en 0. Cla y (0, Clarramente amente,, f ε es continua en A, pues es la proyecci´ on sobre la primer componente; componente; en B , tenemos que f ε es la proyecci´ on sobre la segunda componente seguida de un homeomorfis homeomorfismo. mo. Como f ε coincide en la intersecci´ on A ∩ B , entonces es continua en todo X . M´ as a´ un, por construcci´ on tenemos que diam f ε−1(x, y ) < ε y es suprayectiva; por el Lema 2, f ǫ es universal y por el Lema 3, X tiene la propiedad del punto fijo. (Lema 3). Sean Sean f : X → X una función on continua y para cada n ∈ N tome Demostraci´ on. (Lema −1 on universal con diam f n (y ) < n1 para todo y ∈ Y n. f n : X → Y n una función Observe que para cada n ∈ N, la función on f n ◦ f : X → Y n es continua, y por el Lema 2, existe un punto q n ∈ X tal que yn ≡ f n ◦ f ( f (q n ) = f n (q n ). Como X es compacto, podemos suponer que q n → q ∈ X (por la compacidad secuencial, existe una subsucesión on convergente) y por la continuidad de f , f , tenemos que lim n→∞ f ( f (q n) = ); por otro lado, observe que f ( f (q );







Bibl Bi blio iogr graf´ af´ ıa ıa

[1] Nadler, S. B., Continuum Theory, An Introduction. New York: Marcel Dekker, 1992. [2] Illanes Illanes,, A., Hiperespaci exico: exico: Aportaciones Matemáticas aticas #28 Hiperespacios os de Contin Continuos uos . M´ SMM, 2004. on a la Teor´ eor´ıa de los Continuos Continuos y sus Hiperespacios . [3] Escobedo, Escob edo, R.; R .; Mac´ıas, ıas, H., H ., Invitaci´ México: exico: Aportaciones Apor taciones Matemáticas aticas #31 SMM, 2006.

[4] Mac´ıas, ıas , H., Topics on Continua . Chapman & Hall/CRC, 2005. [5] Dugundji, J., Topology . Boston: Allyn and Bacon, Inc, 1966. [6] Hocking, J. G.; Young, G. S., Topology . New York: Dover Publications, Inc, 1988.

La Topologia de Los Continuos_RaulEscobedo

Recommend Documents