LA MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Sea V un espacio vectorial. Una V en la cual se ha establecido un orden.
Definición .
base ordenada de V es una base de
Así, por ejemplo, la base ordenada
de
es distinta distinta de la base ordenada ordenada , ya que aunque como conjuntos son iguales, tienen ordenados sus elementos de manera diferente. Definición .
Sea
espacio o vecto vectorial rial y sea V un espaci base base ordena ordenada da
de
V . Si
respecto a
, definimos el
vector de coordenadas de x,
como:
siempre que se cumpla que:
En palabr palabras, as, el vector vector de coorde coordenad nadas as de x es la n-ada que se forma con los coeficientes de los vectores de la base, al escribir a x como combinación lineal de ésta. Ejemplo. Sea
y
. Es fácil verificar que
se a
es una base ordenada de
V .
Dado , para calcular su vector de coordenadas resp respec ecto to a la base base dada dada,, debe debemo moss escr escrib ibir ir a combinación lineal de esta base. Planteamos entonces:
como como
lo que nos lleva a la solución:
Por lo tanto, concluimos que el vector de coordenadas de respecto a la base
,
es:
Supongamos ahora que tenemos y bases ordenadas de
V y W , respectivamente, y sea una
lineal. Para cada
transformación
, podemos calcular el
vector de coordenadas de respecto a la base e ir formando una matriz, con estos vectores coordenadas como columnas, es decir, si
, entonces se forma la matriz:
Definición .
La
matriz asociada a la transformación lineal T , respecto a las bases
ordenadas
y
, es la matriz
arriba. Cuando
descrita y
se escribe simplemente
.
Ejemplo. Sea dada por la derivada de f ; y sean
y
canónicas de y (ordenadas en la forma estándar) , respectivamente. Tenemos los siguientes datos:
Con todo esto, concluimos que la matriz asociada a y
, es:
T respecto a las bases
las bases
En realidad, cuando calculamos la matriz asociada a una transformación, en realidad, podemos calcular toda la transformación. Este es el significado del siguiente: TEOREMA.
Sea
transformación lineal y sean respectivamente. Entonces
una y
bases ordenadas de
V y W ,
se cumple que:
http://docentes.uacj.mx/gtapia/ALgebra/Contenido/Unidad%20IV/LA%20MATRIZ.htm
