Notas de clase de Álgebra Li Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Coordenadas o componentes de un vector Sea V un K -espacio -espacio vectorial de dimensión finita y consideremos una base ordenada B
puede expres expresar ar de una una única única forma forma {v1 , v 2 , , v n } . Luego, todo vector v V se puede
como combinación lineal de los elementos de
B.
Es decir existen ai K , i 1, 2, , n
tal que: v a1v1 a 2 v 2 a n v n
n
1 a v i
i
(1)
i
de tal forma que el vector v V se puede caracterizar únicamente por los escalares ai K , i 1, 2, , n
correspondientes correspondientes a la combinación combinación lineal lineal (1); esto es, por la n-upla
de elementos de K que expresamos como un vector columna y denotamos por: a1 a [v]B 2 a n
(2)
vectorr de coor coorde dena nada dass de v relativo a la DEFINICIÓN.- La relación (2) se denomina vecto
base B, a los escalares ai se les llaman coordenadas o componentes del vector v V respecto a la base
B.
Nótese que la transformación lineal v [v]B determinada por la
base base orden ordenada ada B es un isomorfismo de V en K n1 ; es es dec decir ir a tod todoo vect vector or v V se le puede puede asociar asociar de forma forma única única un vector vector columna columna cuyas cuyas compone componente ntess o coordena coordenadas das son los escalares ai K , i 1, 2, , n correspondientes correspondientes a la combinación combinación (1) con respecto a la base B.
Nota.- En lo que se sigue de esta sección supondremos que el K -espacio -espacio vectorial es de dimensión finita y la base considerada B es ordenada.
Ejemplo.-Sea R 3
B
{ (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } una base base ordenada ordenada del espac espacio io vectori vectorial al
sobre R. Hallar el vector coordenado de v (2, 3, 1) relativo a la base B .
Solución (2, 3, 1) a1 (1, 0, 0) a 2 (1,1, 0) a3 (1, 1, 1) (2, 3, 1) 1(1, 0, 0) 4(1,1, 0) 1(1, 1, 1)
85
Notas de clase de Álgebra Li Lineal I Víctor G. Osorio Vidal -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 [v]B 4 1
Observación.- Si
B
es la base canónica de ( K n , , K , ) y v ( x1 , x2 , , xn )
cualquier vector de K n . x1 x [v]B 2 y denotaremos [v]B [v] x n
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Sean V y W dos K -espacios -espacios vectoriales de dimensiones n y m respectivamente B
y
B ' {w1 , w2 , , wm }
{v1 , v 2 , , v n } una base de V
una base de W
si T : V W es una transformación lineal, entonces por el teorema fundamental de las transformaciones lineales, T está unívocamente determinado por los valores que toma T en los vectores de B . Es decir, como T : V W , entonces T (v j ) W , donde: T (v j )
m
1 a
ij
wi , a ij K
(3)
i
para j 1, , n ; escribiendo en forma explícita: T (v1 ) a11 w1 a 21 w2 a m1 wm T (v 2 ) a12 w1 a 22 w2 a m 2 wm
T (v n ) a1n w1 a 2 n w2 a mn wm
entonces construimos construimos una matriz que tenga como columnas columnas los vectores de coordenadas de T (v1 ), T (v 2 ), , T (v n ) la cual denotaremos por: a11 a12 a a 22 21 A a m1 a m 2
a1n a 2 n a mn
86
(4)
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Definición.- La matriz
A
transformación lineal T
obtenida en la relación (2) es llamada matriz asociada a la respecto a las bases
B
y
B'
de V y W respectivamente y la
denotaremos como: A [T ]B '
(5)
B
' definida en la relación (5) también es frecuente denotar Nota.- La matriz A [T ]B B
como A [T ]B ' [T ]B B ' BT B ' B
,
Ejemplo.- Sea
3 4 T : R R
tal que T ( x1 , x 2 , x3 ) ( x1 , x 2 , 0, x3 ) . Hallar la matriz
asociada a la transformación lineal T . a)
Respecto a la bases canónicas de R 3 y R 4 respectivamente.
b)
Si B {(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)} es la base para R 3 y B ' {(1, 0, 0, 0),
(1,1, 0, 0), (1,1,1, 0), (1,1,1,1)} es la base para R 4
Solución a) Respecto a las bases canónicas {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)} de R 3 {(1, 0, 0, 0), (0,1, 0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1)} de R 4 T (1, 0, 0) (1, 0, 0, 0) 1(1, 0, 0, 0) 0(0,1, 0, 0) 0(0, 0,1, 0) 0(0, 0, 0,1) T (0,1, 0) (0,1, 0, 0) 0(1, 0, 0, 0) 1(0,1, 0, 0) 0(0, 0,1, 0) 0(0, 0, 0,1) T (0, 0,1) (0, 0, 0,1) 0(1, 0, 0, 0) 0(0,1, 0, 0) 0(0, 0,1, 0) 1(0, 0, 0,1)
1 0 [T ] 0 0
luego
b)
0 1 0 0
0 0 0 1 43
Respecto a las bases B
{(1, 0, 0), (1,1, 0), (1,1,1)} de R 3
B ' {(1, 0, 0, 0),
(1,1, 0, 0), (1,1,1, 0), (1,1,1,1)} de R 4
T (1, 0, 0) (1, 0, 0, 0) 1(1, 0, 0, 0) 0(1,1, 0, 0) 0(1,1,1, 0) 0(1,1,1,1) T (1,1, 0) (1,1, 0, 0) 0(1, 0, 0, 0) 1(1,1, 0, 0) 0(1,1,1, 0) 0(1,1,1,1) T (1,1,1) (1,1, 0,1) 0(1, 0, 0, 0) 1(1,1, 0, 0) 1(1,1,1, 0) 1(1,1,1,1)
87
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1 0 B' [T ]B 0 0
luego
0 0 1 1 0 1 0 1 43 ( R 2 , , R, .) y la
Ejemplo.- Dados los espacios vectoriales ( R, , R, .) , transformación lineal T : R R 2 definida como T ( x ) ( x, 2 x)
Hallar la matriz asociada a T respecto a las bases B {1} , B ' {(1, 0), (1, 1) }
Solución T (1) (1, 2) 1(1, 0) 2(1,1) 1 ' [T ]B B 2 21
Ejemplo.- Sea
V un
espacio vectorial sobre K de dimensión n y
F : V V
transformación lineal definida como F (v ) 2v
Hallar la matriz asociada de F respecto a ala base:
B B ' {v1 , v2 , , vn }
Solución F (v1 ) 2v1 0v2 0vn F (v2 ) 0v1 2v2 0vn
F (vn ) 0v1 0v2 2vn
2 0 B [ F ]B 0
0 0 2 0
0 2 nn
Ejemplo.- Dados los espacios vectoriales 3
W 1 {( x, y, z ) R / x y}
y W 2 {(aij ) 22 R 22 / aij a ji } z x x 0
se define la transformación lineal G : W 1 W 2 como G ( x, y, z ) Hallar la matriz asociada de G respecto a las bases:
88
una
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------B
{(1,1, 0), (0, 0,1)}
1 0 , 0 0
B'
0 0 0 1 0 1 , 1 0
Solución 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 11 0 1 0
G (1, 1, 0)
1 0 1 0 0 0 0 1 10 0 0 0 1 0 1 0 0 0
G (0, 0,1)
' [G]B B
Proposición.- Sean B' {w1 , w2 , , wm }
T : V W
0 1 0 0 1 0 32
una transformación lineal,
B {v1 , v2 , , vn }
y
bases ordenadas de V y W respectivamente.
' Si A [T ]B es la matriz asociada a la transformación lineal T respecto a las bases B
B
y
c1 c 2 B ' , v V y C [v]B las coordenadas de v respecto a la base B, entonces c n AC [T (v)]B '
son las coordenadas de T (v) en la base de B ' .
Prueba ' Si A [T ]B es la matriz asociada a la transformación lineal T , entonces: B T (v j )
m
1 a
ij
wi
, j 1, , n
(1)
i
c1 c como C [v]B 2 son las coordenadas de v respecto a la base de B, entonces: c n v
n
c v j
j 1
n ahora T (v) T c j v j j 1
89
j
(2)
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------n
c j T (v j ) j 1 n m c j aij wi j 1 i 1
de (1)
m n aij c j wi i 1 j 1
Por otro lado, si A (aij ) mn
a11 a12 a a 22 21 AC a m1 a n 2
(3) c1 c y C 2 , entonces: c n n1
a11c1 a12 c 2 a c a c a2 n c2 22 2 21 1 a mn c n a n1c1 a n 2 c 2 a1n c1
a1n c n a 2 n c n a mn c n
n a1 j c j jn1 a c 2 j j j 1 n a mj c j j 1
(4)
De (3) y (4) concluimos que AC son las coordenadas de T (v) .
Ejemplo.- Sea
T : R 2 R 3
una transformación lineal definida como T ( x, y ) (2 x, x y, x y ) .
Considererando:
B
{(1, 1), (1, 2)} una base de R 2 y
B ' {(1, 1,1),
(1, 0,1), (1,1, 0)} una base de R 3
' i) Hallar [T ]B B .
ii) Si v (2, 3) , hallar las coordenadas de T (v) .
Solución i) T (1,1) ( 2, 2, 0) 0(1, 1,1) 0(1, 0,1) 2(1, 1, 0) T (1, 2) ( 2, 3, 1) 0(1, 1,1) 1(1, 0,1) 3(1,1, 0)
90
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
0 0 0 1 2 3 23
' [T ]B B
ii) v (2, 3) 7(1,1) 5(1, 2) 7 luego [v]B 5
Ejemplo.- Sea B
T (v)
B'
0 0 0 7 0 1 5 5 2 3 1
T : R 3 R 2
una transformación lineal, consideremos las bases:
{(1,1,1), (0, 0,1), (0, 1, 0)} de R 3
B ' {(1,1), (1, 1)}
de R 2
1 1 / 2 3 / 2 2 1 / 2 3 / 2
' Sabiendo que T B B
i) Hallar T (3, 0, 2) ii) Hallar T ( x, y , z )
Solución i) v (3, 0, 2) 3(1, 1,1) 1(0, 0,1) 3(0, 1, 0) luego 3 [v]B 1 3
hallando las coordenadas de T (3, 0, 2) tenemos:
T (v)
B'
3 1 1 / 2 3 / 2 7 1 2 1 / 2 3 / 2 3 10
T (3, 0, 2) 7(1,1) 10(1, 1)
(17, 3)
ii)
Sea v ( x, y , z ) x(1,1,1) ( z x)(0, 0,1) ( x y )(0, 1, 0) luego x [v]B z x x y
91
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Hallando las coordenadas de T ( x, y , z ) :
T ( x, y, z )
B'
x 1 1 / 2 3 / 2 z x 2 1 / 2 3 / 2 x y
3 2 x 2 y 3 3 x y 2 3 2
1 2
1 z 2 1 z 2
3 2
T ( x, y, z ) (2 x y z ) (1,1) (3 x y
1 z ) (1, 1) 2
T ( x, y , z ) (5 x 3 y z , x )
Proposición.- Sean ordenadas T , S :V W
B
V y W dos K -espacios
vectoriales de dimensión finita con bases
{ v1 , v 2 , , v n } y B { w1 , w2 , , wm } , respectivamente. Si
son dos transformaciones lineales y a, b K , entonces
aT bS aT b S B
B
B
B
B
B
Prueba Sean T B y S B b las matrices asociadas de T y S con respecto a las B a ij B ij
bases ordenadas
B
{ v1 , v 2 , , v n } de V y B { w1 , w2 , , wm } de W .
Se tiene (aT bS )(v j ) aT (v j ) bS (v j ) ; j 1, , n m
m
i 1
i 1
a aij wi b bij wi ; j 1, , n m
m
i 1
i 1
(aaij ) wi (bbij ) wi ; j 1, , n m
(aaij bbij ) wi ; j 1, , n i 1
De este modo,
aT bS aaij bbij B B
aaij bbij a a ij b bij B
B
aT B b S B
92
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ejercicio.- Sean ordenadas
B
V
y W dos K -espacios vectoriales de dimensión finita con bases B { w1 , w2 , , wm } ,
{ v1 , v 2 , , v n } y
respectivamente. La
transformación lineal T : V W es nula si y solo si T B B 0.
Prueba )
Asumiendo que la transformación lineal T : V W es nula. Sean B { v1 , v 2 , , v n } y B { w1 , w2 , , wm } las bases ordenadas de V y W respectivamente,
entonces T (v j )
m
1 a
ij
wi ; j 1, , n
i
0w1 0w2 0wm a1 j w1 a 2 j w2 a mj wm ; j 1, , n aij 0 ; i 1, , m , j 1, , n
por ser
B { w1 , w2 , , wm }
B
T
B
)
una base para W , luego
0 0 0 0 0
Ahora asumiendo que T B B 0.
Sea v V , por ser
B
{ v1 , v 2 , , v n } base de V , se tiene que
c1 c [v]B 2 , luego por una proposición demostrada anteriormente se tiene que c n
T [v] [T (v)] B B
B
Entonces,
B
c1 0 0 0 0 0 c2 0 [T (v)]B 0 0 0 c n 0
T (v ) 0 w1 0 w2 0 wm 0, v V .
En consecuencia la
transformación lineal T es nula.
Teorema.- Sean
V , W
dos K -espacios vectoriales de dimensiones n y m
respectivamente. Para cada par de bases
B {v1 , v2 , , vn}
de W se tiene que: L(V , W ) K mn
93
de V y B' {w1 , w2 , , wm }
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Prueba Definimos: : L(V , W ) K mn T
' (T ) [T ]B B
Afirmación 1. - es una transformación lineal. En efecto: Sean T , S L(V , W ) y a, b K tal que: ' [aij ] mn A (T ) [T ]B B ' ( S ) [ S ]B B [bij ] mn B
Se tiene ' (aT bS ) [ aT bS ]B B
Por definición de .
B' ' a[T ]B B b[ S ]B
Por la proposición anterior.
a (T ) b ( S )
Sustitución
Con lo cual se verifica la afirmación 1.
Afirmación 2.- es un isomorfismo. En efecto: i)
es inyectiva Nu ( ) {T L(V , W ) / (T ) 0 } ' {T L(V , W ) / [T ]B B 0}
{T L(V , W ) / T 0 }
Por el ejercicio anterior.
luego Nu ( ) {0}
ii)
es inyectiva
es sobre
dim L(V , W ) m n dim K mn , por la parte (i) es inyectiva se tiene que es sobre. Luego de (i) y (ii) es un isomorfismo.
n
L (V , W ) K m
Proposición .-Dados V , W , U espacios vectoriales de dimensión finita sobre el campo y sean T : V W y S : W U transformaciones lineales. Si
B , B
y
B
bases ordenadas de los espacios vectoriales V , W y U respectivamente, entonces: B B [ S T ]B B [ S ]B [T ]B
94
K
son las
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Prueba Consideremos:
B
{v1 , v 2 , , v n }, B {w1 , w2 , , wm } y B {u1 , u 2 , , u r } las
bases ordenadas para V , W y U respectivamente. B
A (a ij ) mn [T ]B
m
tal que T (v j ) aij wi , j 1, 2, , n i 1
B B
B (bkl ) r m [ S ]
r
tal que S ( wl ) bkl u k , l 1, 2, , n k 1
( S T )(v j ) S T (v j ) ; para cualquier j, 1 j n m S aij wi i 1 m
a ij S ( wi ) i 1
r a ij bki u k i 1 k 1 m
m bki a ij u k k 1 i 1 r
luego: r
m
( S T )(v j ) bki aij u k k 1
1 i
c k j r
c k j u k
1 j n
k 1
entonces:
[ S T ]B [c k j ]r n B
pero c k j es el (k , j ) término del producto de las matrices BA. En consecuencia, finalmente tenemos que: B B [ S T ]B B [ S ]B [T ]B
Ejemplo.- Sean las transformaciones lineales T :
R
3
R
2
( x, y, z ) ( x y, z x) S : R 2 R
( x, y ) 2 x y
95
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------y consideremos las bases: B
{(1,1,1), (1,1, 0), (1, 0, 0)} de R 3 ,
B {(1, 3), ( 2, 1)} B {1}
de R 2 y
de R.
Hallar: i) [ S T ]B B
ii) ( S T )( x, y , z ) iii) ( S T )(2, 1, 4)
Solución i)
T (1,1,1) ( 2, 0)
2 6 (1, 3) (2,1) 5 5
T (1,1, 0) ( 2, 1)
4 7 (1, 3) (2,1) 5 5
T (1, 0, 0) (1, 1)
3 4 (1, 3) (2,1) 5 5
2 / 5 4 / 5 3 / 5 [T ]B B 7 / 5 4 / 5 23 6 / 5 S (1, 3) 5 5(1) S ( 2,1) 5 5(1) B
[ S ]B 5 512
2 / 5 4 / 5 3 / 5 7 / 5 4 / 5
[ S T ] 5 5 6 / 5 B B
4 3 1
ii)
( S T )( x, y , z ) Hallemos [( x, y, z )]
B
( x, y , z ) a(1,1,1) b(1,1, 0) c(1, 0, 0) calculando se tiene que a z , b y z , c x y . Luego: ( x, y , z ) z (1,1,1) ( y z )(1,1, 0) ( x y )(1, 0, 0) z [( x, y, z )]B y z x y [( S T )( x, y, z )]B [ S T ]B [( x, y, z )]B B
96
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- z 4 3 1 y z x y 4 z 3( y z ) ( x y ) x 2 y z
( S T )( x, y , z ) x 2 y z iii) ( S T )(2, 1, 4) 4
Ejemplo.- Sean las transformaciones lineales: T : R
2
W {( x, y, z ) R 3 / x 2 y}
( x, y ) (2 y, y, 0) y F : W
R 22 x
y
( x, y, z ) z x y las bases: B
{(1,1), (1, 0)} de R 2
B {( 2,1, 0), (0, 0,1)}
B
de W
1 0 0 1 0 0 0 0 22 , , , de R . 0 0 0 0 1 0 0 1
Hallar: B i) [T ]B B y [ F ]B ii) [ F T ]B B
Solución i) T (1,1) (2,1, 0) 1(2,1, 0) 0(0, 0,1) T (1, 0) (0, 0, 0) 0( 2,1, 0) 0(0, 0,1)
1 0 [T ]B B 0 0 2
1 1 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 10 0 0 1 0 2 0 1 0 2
F (2,1, 0)
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 1 1 0
F (0, 0,1)
97
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
[ F ]B B
2 1 0 2
0 0 1 0
B B ii) [ F T ]B B [ F ]B [T ]B
2 1 0 2
0 0 1 0 1 0 0 0
2 1 0 2
0 0 0 0
Corolario.- Sean V ,
W espacios
vectoriales de dimensión finita con bases
B
y
B
respectivamente y T : V W una transformación lineal. T es un isomorfismo si y solo si [T ]B es inversible. B
Prueba.- Ejercicio. Matriz cambio de base Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita, consideramos B {v'1 , v' 2 , , v' n }
i)
B
{v1 , v 2 , , v n } y
dos bases ordenadas para V .
Para hallar la matriz cambio de base de
B a B .
Se considera el endomorfismo identidad I : V V
tal que I (v j ) v j , j 1, 2, , n ,
luego expresando v j como una combinación lineal de los elementos de tiene I (v j ) v j
n
1 p v ij
i
, j 1, 2, , n
i
escribiendo (1) explícitamente se obtiene:
98
(1)
B se
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- I (v1 ) v1 p11v1 p 21v 2 p n1v n
I (v 2 ) v 2 p12 v1 p 22 v 2 p n 2 v n
I (v n ) v n p1n v1 p 2 n v 2 p nn v n
la matriz asociada al endomorfismo I respecto a las bases
B
y
B
que
denotamos por:
B
P [ I ]B
p11 p12 p p 22 21 p n1 p n 2
es llamada matriz cambio de base de ii)
p1n p 2 n
p nn
B a B . B
Para hallar la matriz cambio de base de
a
B
Se considera el endomorfismo identidad I : V V
tal que I (v j ) v j , j 1, 2, , n
luego expresando v j como una combinación lineal de los elementos de
B se
tiene n
I (v j ) v j q ij vi , j 1, 2, , n
(2)
i 1
y escribiendo (2) explícitamente se tiene: I (v1 ) v1 q11v1 q 21v 2 q n1v n I (v 2 ) v 2 q12 v1 q 22 v 2 q n 2 v n
I (v n ) v n q1n v1 q 2 n v 2 q nn v n
la matriz asociada al endomorfismo I respecto a las bases denotamos por:
Q [ I ]
B B
q11 q 21 q n1
q12
q2n
qn2
q nn
q 22
es llamada matriz cambio de base de B a
99
q1n
B.
B
y
B
que
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------V
un K -espacio vectorial de dimensión finita, B {v1 , v 2 , , v n } y
B {v'1 , v' 2 , , v' n }
dos bases ordenadas para V . Entonces las matrices cambio de
Proposición.- Sea
bases P de
B
a
B
B
y Q de
a
B
son inversas entre sí.
Prueba n
1 q v
v j
Tenemos que
i
(1)
k j
v k
(2)
k j
v k
ij
i n
1 p
v j
y
k
v j
n
1 p k
n p k j qik vi k 1 i 1 n
n n q ik p k j vi i 1 k 1
(3)
como v j 0v1 0v 2 1v j 0v n , resulta de (3) que el único término de la sumatoria que es diferente de cero se da para i j y toma el valor de 1. Entonces: n
1 q
ik
p k j ij
(4)
k
que es elemento (i, j ) del producto de las matrices QP y luego de (4) y la definición de matriz identidad se tiene que: QP I
de manera análoga se demuestra que: PQ I
Luego las matrices son inversas entre sí.
Ejemplo.- Sean B {(1,1), (1, 0)} y B {( 1, 0), (2,1)} dos bases de R 2 . Hallar la matriz cambio de base: i) P de la base
B
a la base B .
ii) Q la base B a la base B. iii) Verifique que P y Q son inversas entre si
100
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Solución i) (1,1) 1(1, 0) 1(2,1) (1, 0) 1(1, 0) 0(2,1) 1 1 1 0
P
(1, 0) 0(1,1) 1(1, 0)
ii)
(2,1) 1(1,1) 1(1, 0) 0 1 1 1
Q
0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1
PQ
iii)
Proposición.- (Fórmulas de transformación de coordenadas) Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita con bases ordenadas B
{v1 , v 2 , , v n } y B {v'1 , v' 2 , , v' n } . Si P es la matriz cambio de base de B a
B
y Q la matriz cambio de base de
B
a B, entonces para todo v V se tiene que
P[v]B [v]B
y Q[v]B [v]B
Prueba a1 a'1 a a' 2 Sean: [v]B y [v]B 2 an a ' n
las coordenadas del vector v V con respecto a las bases
B
y
B .
Probaremos que P[v]B [v]B Entonces
v
n
a v j
j
j 1 n n a j pij vi j 1 i 1
n a j pij vi i 1 j 1 n
(1)
101
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Por otro lado tenemos que: v
n
1 av i
(2)
i
i
De (1) y (2) por la unicidad de la combinación lineal, ya que ai
n
1 p
ij
B
a j , i 1, 2, , n
es una base tenemos (3)
j
es decir, explícitamente: a1 p11 a1 p12 a 2 p1n a n a 2 p 21 a1 p 22 a 2 p 2 n a n
a n p n1 a1 p n 2 a 2 p nn a n
a1 p11 p12 a p 2 21 p 22 a n p n1 p n 2
[v ]
B
p1n a1 p 2 n a 2
p nn a n
P [v]B
(4)
Ahora como P y Q son inversas entre sí, tenemos que: Q[v]B Q P[v]B
(QP)[v]B [v]B pues QP I
Q[v]B [v]B
(5)
Las expresiones (4) y (5) se denominan fórmulas de transformación de coordenadas.
Proposición.- Sean ordenadas
B
y
V
y W dos K -espacios vectoriales de dimensión finita con bases
C
respectivamente. Si T : V W es una transformación lineal
inversible y siendo T 1 dicha inversa, entonces
T 1
B C
C 1 ([T ]B )
Prueba Sea n dim V dim W , considerando las bases B y se tiene
1 C [T T 1 ]C C [ I ]C C I n [T ]C B T B
102
C en V
y W respectivamente,
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Donde I n es la matriz identidad de orden n. Análogamente,
T 1
B C
C [T 1 T ]B [ I ]B I n [T ]B B B
Por consiguiente,
T 1
B
Proposición .- Sean y
C
1 ([T ]C B)
V , W dos K -espacios
C respectivamente,
vectoriales de dimensión finita con bases
B
entonces la transformación lineal T : V W es un isomorfismo
C si y solo si [T ]B posee inversa.
Prueba )
Asumiendo que T es un isomorfismo. T : V W
posee inversa
1
T
: W V , luego por la proposición anterior
C 1 . ([T ]B ) [T 1 ]B C
)
Ahora asumiendo que [T ]C B posee inversa. Se tiene que
ran (T ) dim W ,
luego solo resta probar que T es una
transformación lineal inyectiva. Si T (v) , entonces C 1 [ v ]B ([ T ]B ) [ T (v)]C 0
Como todas las coordenadas de v son iguales a cero, se tiene que v , luego Nu (T ) { }
Ejemplo.- Sea
y en consecuencia T es inyectiva.
P1[ R ]
es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual
que uno sobre el campo de los reales R y la transformación lineal T : R 2 P1[ R ] definida como T (a, b) a (a b) x , demuestre que T es un isomorfismo y calcule la inversa de T .
Solución Considerando las bases canónicas de
B
y
tiene que T (1,
0) 1 1 x
T (0, 1) 0 1 x
103
C en R
2
y P1[ R ] respectivamente se
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------1 0 C Luego, [ T ]B 1 1
La matriz [ T ]C B
1 0 C 1 es inversible y ([ T ]B ) ; en consecuencia T es un 1 1
isomorfismo. Para calcular la inversa de T 1 0 a a [ T 1 (a bx)] [ T 1 ]B [ ] a bx C C 1 1 b a b T 1 ( a bx) a(1,
0) (a b)(0, 1)
T 1 (a bx) (a, a b)
Proposición.- Sea
V
un K -espacio vectorial de dimensión finita,
B
y
C
dos bases
ordenadas para V y T :V V un endomorfismo, entonces Q[ T ]C [ T ]B B C P
donde P es la matriz cambio de base de a
B
a
C y Q
la matriz cambio de base de
B .
Prueba C Como P [ I ]B y Q [ I ]B se tiene C
C C Q[ T ]C P [ I ]B [ T ]B [ I ]B [ T I ]C [ I ]B [ T ]B [T ]B [ I ]B [ I T ]B C C B C B C B B
Tomando extremos se obtiene, Q[ T ]C [T ]B B C P
con lo cual queda demostrada la proposición. La proposición anterior se puede interpretar mediante el siguiente gráfico
V , C
[ T ]B B
P
P
V , B
V , C
[ T ]C C
104
Q
V , B
C
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Matrices semejantes Sea V un K -espacio vectorial de dimensión finita y T : V V un endomorfismo. Se consideran
B
B
B T B , P
de
B
a
A, B K n
y
B
dos bases ordenadas de V . Si se denotan por A T B , B
la matriz cambio de base de B
n
B
B
a
y P 1 la matriz cambio de base
por la proposición anterior se tiene que A P 1 BP . Las matrices
que representan al mismo endomorfismo respecto a las bases
B
y
B
son llamadas semejantes. Esto es, diremos que A es semejante a B si y solo si existe una matriz P no singular tal que A P 1 BP . La proposición anterior se extiende para el caso de una transformación lineal T : V W
donde V y W son K -espacios vectoriales de dimensiones n y m
respectivamente. Si
B
y
B
son bases para V ;
C y C
bases para W con matrices
C asociadas A [ T ]C , B [ T ]B y matrices cambio de base P de B a B
C y C
B
y Q de
se cumple que A Q 1 BP .
Es decir, dada la transformación lineal T : V W donde V y W son dos K -espacios vectoriales de dimensiones n A, B K nn P K
n n
y
m
respectivamente, diremos que las matrices
representan a la misma transformación lineal
T
existen matrices
y Q K mm no singulares tales que A Q 1 BP .
El siguiente gráfico, ilustra la situación antes descrita. V , B
B
W , C
V , B
A
T : R 3 R 2
i)
es la base canónica de R 3 y
B
tal que T ( x, y , z ) ( x y , 2 z x) .
matriz de T respecto a las bases ii)
-
W , C
Ejemplo.- Sea Si
Q
Q
P
B
C
y
es la base canónica de R 2 . Hallar la
C .
Calcular las matrices de cambio de base de las bases dadas en (i) a las bases: B {(1, 0, 1), (1,1,1), (1, 0, 0)}
de R 3 y C {(0,1), (1, 0)} de R 2
105
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------iii)
Usando los resultados de la parte ii) calcular la matriz asociada a T respecto a
las bases
B
y
C .
Solución C i) Hallemos [T ]B T (1, 0, 0) (1, 1) 1(1, 0) 1(0, 1) T (0,1, 0) (1, 0) 1(1, 0) 0(0,1) T (0, 0, 1) (0, 2) 0(1, 0) 2(0,1)
A [T ]
C B
ii) R
3
,
B
B
P
P R 3 , B
1 1 0 1 0 2
R
-1
2
,
C
Q A
R 2 , C
Calcularemos las matrices de cambio de base de las bases dadas De
B
{(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)} a B {(1, 0, 1), (1,1,1), (1, 0, 0)}
(1, 0, 0) 0(1, 0, 1) 0(1,1,1) 1(1, 0, 0) (0,1, 0) 1(1, 0, 1) 1(1,1,1) 2(1, 0, 0)
(0, 0,1) 1(1, 0, 1) 0(1,1,1) 1(1, 0, 0) 0 1 1 P 0 1 0 , 1 2 1
De
C {(1, 0), (0,1)}
a
P
1
1 1 1 0 1 0 1 1 0
C {(0,1), (1, 0)}
(1, 0) 0(0,1) 1(1, 0) (0,1) 1(0,1) 0(1, 0) 0 1 1 0
Q
iii) Calcular la matriz de T respecto a las bases dadas (ii). 106
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal --------------------------------------------------------------------------------------------------------- B QAP
1
1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 2 1 1 0
3 1 1 1 2 1
Ejercicios 1.
Una transformación lineal T : R 3 R 2 está definida por T ( x, y , z ) ( x 2 z , y z )
a)
Hallar la matriz asociada A de T , respecto a las bases: { (1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0) } en R 3 y { (2, 0), (0, 2 } en R 2
b)
Mediante A, determinar la imagen de (2, 2, 2) R 3 .
c)
Determinar la matriz B de T , respecto a las bases canónicas en ambos espacios.
d)
Obtener la matriz C de T , respecto a la base canónica de R 3 y la base dada para R 2 en la parte a).
2.
Hallar la matriz de la transformación lineal S : R 3 R 4 , donde S está definida como: S ( x, y , z ) (3 x y , x y , y z , x y z )
en las bases que se indican a continuación a)
En las bases canónicas.
b)
{ (3, 2, 4), (5, 1, 4), (1, 4, 3) } base de R 3 y {(0, 0, 2, 4), (3, 0, 1, 1), (0, 4, 5, 1), (1, 1, 1, 1)} base de R 4 .
c) 3.
La base canónica de R 3 y para R 4 la base dada en b)
Sea la transformación lineal f : R 2 R 3 definida por f ( x, y ) ( x y , x y , x 2 y )
a)
Determinar el Nu( f ), Im( f ), una base para cada uno y sus respectivas dimensiones.
b)
Hallar la matriz asociada de f respecto a las bases: { (1, 2), (2, 0) } en R 2 y { (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) } en R 3 107
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------4.
La matriz asociada de la transformación lineal f : R 3 R 3 respecto de la base canónica es
1 1 1 A 3 3 3 2 4 2 Determinar el Nu( f ), Im( f ) y sus dimensiones. 5.
Sea T el operador lineal sobre C 2 definido por T ( z1 , z 2 ) ( z1 , 0) . Sea
B
la
base ordenada canónica de C 2 y sea B { (1, i ) , (i, 2) } . a)
¿Cuál es la matriz asociada de T respecto al par de bases B y B ?.
b)
¿Cuál es la matriz asociada de T respecto al par de bases B y
c)
¿Cuál es la matriz asociada de T en la base B { (1, i ) , (i, 2) } ?.
B ?.
6. Si V { ax 2 bx c / a, b, c R } y T : V R 2 es una transformación lineal definida por T (ax 2 bx c) (b 2c, 3c 2a) , determine la matriz asociada a T respecto a las bases 7.
B
1
{ 1, 1 x, 1 x x 2 } de V y B2 { (3, 2), (2, 3)} de R 2 .
Dada la transformación lineal f : R 22 R 3 definida por a b (a b c, a b d , b c d ) c d
f
a) Obtener la matriz de f respecto de las bases: 1 1 1 0 0 0 0 1 , , , y { (0, 2, 1), (2, 0, 1), (0, 1, 1) } 1 1 1 0 0 1 1 1 1 3 c) Utilizando la matriz hallada, obtener la imagen de . 2 2
8.
Determinar la transformación lineal f : R 3 R 2 , tal que respecto de las bases { (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) } en R 3 y { (1, 2), (2, 1) } en R 2 su matriz asociada sea 1 0 0 0 1 1 .
9.
Hallar la matriz de la transformación lineal g f respecto de las bases { (1, 1), (0, 1) } en el dominio, { (2, 0), (2, 2) } en el codominio donde 2
f : R R
3
/ f ( x, y ) ( x, x y , y ) g : R 3 R 2 / g ( x, y, z ) ( x y, z ) .
108
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------10. Sea la transformación lineal f : R 2 R 2 representada por la matriz cos sen sen cos respecto de la base canónica.
Demostrar que si y son números reales cualesquiera, entonces f f f
y f 1 f .
11. El endomorfismo T : R 3 R 3 está definido por T ( x, y , z ) ( x, x y , x y z )
En caso de ser posible, halle la matriz asociada a T 1 con respecto a la base B { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) } . 12. Sea f : R 3 R 2 definida por f ( x, y , z ) ( x y z , x y ) Hallar la matriz de f respecto a las bases canónicas de R 3 y R 2
a)
respectivamente. b)
Obtener las matrices de cambio de base, de las bases anteriores a las bases { (0, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 1) } , { (1, 3), (0, 2) } .
c) 13.
Calcular la matriz B de f , respecto al nuevo par de bases.
Hallar las matrices de cambio de base en cada uno de los siguientes casos: a)
{ (2, 3), (3, 2) } y { (1, 4), (4, 2) } bases de R 2 .
b)
{ x, x 1, x 2 2 x 1} y {1, x 2 2 x 1, x 2 } bases del espacio vectorial V { a bx cx
c)
/ a, b, c K }
Dado el espacio U { ( x, y, z, w) R 4 / x y z w 0} y dos bases B
{(1, 1, 1, 3), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)} y
B {(1,
14.
2
0, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 1)}
Dados el espacio vectorial R 2 con las bases B { ( 1, C {( 2,
0), (2, 1) } ,
el
espacio
2, 3), (2, 4, 1), (1, 4, 2)} y
B
{ (1, 1), (3, 2) } y
vectorial
R 3
con
C {(1, 1,
0), (1, 2, 1), (2, 1, 2)} .
Sea T : R 2 R 3 una transformación lineal que tenga en las bases
las
B
bases
y
C
la
1 2 matriz asociada 2 1 , se pide 3 1
a)
Hallar la matriz P cambio de base de matriz Q cambio de base de
C a C .
109
B
a
B .
Análogamente, hallar la
Notas de clase de Álgebra Lineal I Víctor G. Osorio Vidal ---------------------------------------------------------------------------------------------------------b)
Hallar P 1 y Q 1 para las matrices correspondientes a la parte a).
c)
Hallar la matriz asociada de la transformación lineal T , respecto a las bases
15.
B
y
C .
Sea el endomorfismo T L( R 3 ) , cuya matriz asociada respecto a la base B
{ v1 , v 2 , v3 } es
2 1 3 2 1 0 4 3 1 Se pide: B { v 3 , T ( v 3 ), T
2
( v3 ) } es también base de R 3 .
a)
Probar que
b)
Hallar la matriz asociada de T con respecto a la base B { v 3 , T ( v3 ), T
2
( v3 ) } .
110
