Ley de Fourier y la Ecuación de difusión del calor Capítulo Dos
Ley de Fourier
Ley de Fourier flux x cal calor or con conduc ducido ido • Esta Esta ley ley pe permi rmite te cua cuant ntif ific icar ar el el flu distri tribuc bución ión de tem temper peratu atura ra en el medio a partir del conocimiento de la dis • Su forma forma más más general general (vectori (vectorial) al) para para una conducción conducción multidimens multidimensional ional es: →
Implicaciones:
→
q ′′ = −k ∇ T
– el calor se transfiere en la dirección en la disminuye la
temperatura (es por esto que aparece el signo menos). – a partir de la ley de de Fourier se puede determin determinar ar el coeficiente coeficiente
conduc ductiv tivida idad d tér térmic mica a medio de con r
k ≡ −
q"
r
∇T
– la dirección en la que fluye el calor es perpendicular a las líneas
isotérmas). ). de temperatura constante (isotérmas – el vector de flux de calor puede ser descompuesto en sus
componentes ortogonales.
• Coordenadas Cartesianas:T ( x, y, z )
∂T r ∂T r ∂T r q" = − k x i − k y j − k z k ∂ x ∂ y ∂ z r
r"
r"
r"
q y
q x
q z
• Coordenadas Cilíndricas:T ( r , φ , z )
∂T r ∂T r ∂T r q" = − k r i − k φ j − k z k ∂r ∂ z r ∂φ r
r"
qr
r"
qφ
r"
q z
• Coordenadas Esféricas:T ( r , φ , θ )
∂T r ∂T r ∂T r q" = − k r i − k θ j − k φ k ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r
r"
qr
r"
qθ
r"
qφ
cond nduc ucci ción ón ra radi dial al en una dimensión, • La tasa de calor para una co en un cilindro o en una esfera esta dada por: – Cilindro
q r = A r q r = 2 π rLq "
o,
q r = '
A r L
"
r
q r = 2 π rq r "
"
– Esfera
q r = A r q r = 4 π r q r "
2
"
La Ecuación de difusión del Calor • Es una ecuación ecuación diferenci diferencial, al, su solución solución nos nos da la distribució distribución n de temperatur temperatura a en un medio en reposo. • Se basa en la aplicar aplicar la ley de conservació conservación n de de lla a energía energía a un un element elemento o diferencial de volumen a través del cual la energía se transfiere exclusivamente por conducción. • Coordenadas Cartesianas :
∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂T ⎜ k ⎟ + ⎜⎜ k ⎟⎟ + ⎜ k ⎟ + q& = ρ c p ∂ x ⎝ ∂ x ⎠ ∂ y ⎝ ∂ y ⎠ ∂ z ⎝ ∂ z ⎠ ∂t Cambio en la energía
• Coordenadas Cilíndricas :
∂ ⎛ ∂T ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂T & ⎜ ⎟ kr k k q ρ c + + + = ⎜ ⎟ 2 p ⎜ ∂φ ⎟ ∂ z ⎜ ∂ z ⎟ ∂t r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂φ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
1
• Coordenadas Esféricas :
∂ ⎛ 2 ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ∂T ⎞ ∂T 1 ⎛ & ⎜ ⎟ θ ρ + + + = sin kr k k q c ⎜ ⎟ ⎟ p ⎜ ∂φ ⎟ r 2 sin θ ∂θ ⎜ θ r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin 2 θ ∂φ ⎝ ∂ ∂t ⎝ ⎠ ⎠ 1
Ecua Ecuaci ción ón de difus difusió ión n del del calo calorr (cas (casos os espe especi cial ales es))
Conductio Conduc tion n Uni Uni-Dim -Dimens ension ional al en un Me Medi dio o Pl Plan ano o con Pro Propie piedad dades es Con Constan stantes tes Sin n Ge Gene nera raci ción ón In Inte tern rna a de Ca Calo lorr y Si
∂ T 1 ∂T = 2 ∂ x α ∂t 2
α =
k
ρ c p
Difu fusi sivi vida dad d té térm rmic ica a del medio ⇒ Di
Condiciones Iniciales y de Frontera conduc ducció ción n tran transito sitoria ria, la ecuación del calor es de primer orden en tiempo, • Para con T ( x, t )t = 0 = T ( x, 0 ) distribució bución n inicia iniciall de de temperatu temperatura ra por lo tanto se debe especificar la distri • Como la la ecuación ecuación del calor es de segundo segundo orden en en el espacio espacio,, se deben deben especifi especificar car dos condiciones de frontera . Algunos casos representativos son: Temperatura Superficial Constante :
T (0, t ) = T s Flux de calor Constante : Flux de calor aplicado
Superficie aislada
∂T − k = qs" ∂ x x =0 Convección
∂T − k ∂ x
= h[T ∞ − T (0, t )] 0
∂T =0 ∂ x x =0
Propiedades térmicas
Propiedades Térmicas Conductividad térmica : Es una medida de la capacidad de un material para transferir energía por conducción.
Difusivid Difusi vidad ad térm térmica ica: es una medida de la capacidad de un material para responder a los cambio del ambiente. Tablas de Propiedades: Sólido Sólidos: s: Tablas Tablas A.1 – A.3 Gases: Tabla A.4 Líquid Líq uidos: os: Tablas Tablas A.5 – A.7
Análisis de Conducción
Metodología para el Análisis de la Conducción • Resolver Resolver la la forma forma apropiada apropiada de la ecuación ecuación del del calor calor para para obtener obtener la la distribución de la temperatura.
• Conocida Conocida la la distribuc distribución ión de temperatura, temperatura, aplicar aplicar la ley de de Fourier Fourier para obtener el flux de calor en cualquier instante de tiempo, ubicación y dirección de interés.
• Aplicaciones: Capítulo Capítu lo 3: Con Conduc ducció ción n Uni-Di Uni-Dimen mensio sional nal,, Estado Estado Establ Estable e Capítu Cap ítulo lo 4: Con Conduc ducció ción n Bi-Dim Bi-Dimens ension ional, al, Esta Estado do Estab Estable le Capítu Cap ítulo lo 5: Con Conduc ducció ción ne en ne esta stado do Transi Transitor torio io
