La Ley De Darcy Y El Flujo De Fluido En El Medio Poroso
En el año de 1856 en la ciudad francesa de Dijon, el ingeniero Henry Darcy se interesó por los factores que influían en el flujo de agua a travs de !ateriales aren arenos osos os una una ve" ve" le fue fue enco enco!e !end ndad ada a la !is !isión ión de estu estud diar iar la red red de a#asteci!iento de la ciudad$ %ara esto, de#ía diseñar filtros de arena con los cuales se purificara el agua$ El inge ingeni nier ero o fue fue el enca encarg rgad ado o
de &ace &acerr un estu estud dio de la red de
a#asteci!iento de la ciudad de Dijon, en un apndice de su tra#ajo aparecía el estudio del flujo de fluidos a travs de !edios porosos que supone la #ase de toda la teoría actual en esta te!'tica$ El e(peri!ento de Darcy consistía en un recipiente de sección constante por el que se &ace circular agua enc&uf'ndolo a un recipiente situado a un nivel de altura altura supe superio riorr y conta contante nte$$ En el otro otro e(tre e(tre!o !o se regula regula el caud caudal al de salid salida a !ediante un grifo que en el e(peri!ente !antiene el caudal constante$ )idiendo el nivel de la colu!na de agua en distintos sitios, Darcy encontró que el caudal era directa!ente directa!ente proporcional proporcional al gradiente gradiente &idr'ulico y a la sección del tu#o en el que se !ide el flujo, en donde, entende!os por gradiente &idr'ulico el cociente entre la diferencia de alturas entre dos puntos y la longitud del tra!o que e(iste entre estos dos !is!os puntos$ Darcy ta!#in descu#rió que la constante de proporcionalidad dependía del tipo de arena, ya que, aunque se cu!plía la proporción e(presada anterior!ente, el coeficiente no es la !is!a ara una y otra arena$ Ley De Darcy
*a *ey de Darcy descri#e, con #ase en e(peri!entos de la#oratorio la#oratorio,, las características del !ovi!iento del agua agua a a travs de un !edio poroso$ *a e(presión !ate!'tica de la *ey de Darcy es la siguiente+
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Dónde+ gasto, descarga o caudal en ! -.s$ longitud en !etros de la !uestra una constante, actual!ente conocida co!o coeficiente de per!ea#ilidad de Darcy, varia#le en función del !aterial de la !uestra, en !.s$ 'rea de la sección transversal de la !uestra, en ! /$ altura, so#re el plano de referencia que alcan"a el agua en un tu#o colocado a la entrada de la capa filtrante$ altura, so#re el plano de referencia que alcan"a el agua en un tu#o colocado a la salida de la capa filtrante$
El agua, por relaciones de energía, circula de !ayor a !enor altura pie"o!trica$
0all y co!o se puede ver, la relación 0a prie"o!tricas
se trata del gradiente de alturas
o gradiente &idr'ulico$
Suposiciones
pesar de que la ecuación ecuación de Darcy &a sido aceptada aceptada por la industria industria petrolera petrolera co!o co!o v'lida v'lida,, es conven convenien iente te defini definirr !ejor !ejor las condic condicion iones es #ajo #ajo las cual cu al es se puede puede suponer suponer v'lida$ v'lida$ *a deter!ina deter!inación ción e(peri!e e(peri!ental ntal de la ecuació ecuación n de Darcy considera+ Flujo en Estado Estable:
En las las prue prue#a #as s de la# la#orat orator orio io,, de#i de#ido do al ta!a ta!año ño de los los n2c n2cleos leos,, las las condicionesde flujo transitorio duran usual!ente pocos !inutos, sin e!#argo en la pr'ctica, de#ido a la naturale"a de los fluidos y las di!ensiones del yaci!iento, se
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*a ecuación de Darcy es inv'lida para n2!eros de 3eynolds !ayores de uno$ f or tu na da !e nt e en ap l ic ac io nes ne s pr 'c ti ca s, ge ne ra l! en te el fl uj o es la!i la !ina nar$ r$ 4in 4in e!#ar e!#argo go,, en las las cerca cercaní nías as del del po"o po"o cuan cuando do las las veloc velocida idades des son elevadas, por eje!plo en producción de gas, puede ocurrir flujo tur#ulento$ La roca se encuentra saturada completamente por un solo fluido:
Esto significa que la ecuación de Darcy no aplica en regiones donde fluya !'s de un fluido fluido sin sin e!#ar e!#argo, go, e(ist e(isten en !odifi !odifica cacio cione nes s para para &ace &acerla rla aplic aplica# a#le le a fluj flujo! o!ul ulti tif' f'si sico co$ $ El 7luid 7luido o no reac reacci cion ona a con con la 3oca 3oca++ E (i s t e n c a s o s d o n d e e s t o n o s e c u ! p l e , p o r e j e ! p l o c u a n d o u n p o " o e s esti!ulado duran durante te un tra#a tra#ajo jo de fract fractura ura!ie !iento nto &idr' &idr'uli ulico$ co$ *os fluid fluidos os usad usados os de#e de#en n reaccionar con los !inerales de la roca y reducir la per!ea#ilidad$ •
*a roca es &o!ognea e isotrópica+ Esto significa que la estructura porosa y sus propiedades de#en ser iguales en cualquier dirección$ En la pr'ctica, la natu natura rale le"a "a de los los proc proces esos os que que dier dieron on orig origen en a la roca roca,, y las las gran grande des s e(te e(tens nsio ione nes s de 'rea 'rea del del yaci yaci!i !ien ento to pued pueden en prod produc ucir ir vari variac acio ione nes s en la per!ea#ilidad$
Calculo De La Tasa Gas Y Petrleo ! Partir De La Ecuacin De Darcy
*a 3elación as 9 %etróleo :nstant'nea representa la ra"ón entre los pies c2#icos est'ndar de gas producido y los #arriles est'ndar de petróleo producidos al !is! !is!o o inst instan ante te,, en otra otras s pala pala#r #ras as,, es la rela relaci ción ón e(is e(iste tent nte e entr entre e el gas gas produ produci cido do y el petró petróleo leo produ producid cido o en un deter deter!in !inad ado o !o!ent !o!ento o duran durante te la producción del yaci!iento en estudio
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4e sa#e que la producción del gas proviene una parte del gas li#re de la capa de gas y otra parte del gas en solución del petróleo, así pues+ #o: 0asa de %roducción del %etróleo #$: 0asa de %roducción del as
0al que,
de!'s, Qg = Gas Libre + Gas en Solución Donde,
sí que+
4ustituyendo+
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;perando tr!inos+
%ara un siste!a radial y aplicando la ecuación de Darcy, se tiene que+
4ustituyendo+
;perando tr!inos+
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Fluido %ncompresible
>n
fluido
inco!presi#le
es
cualquier fluido cuya densidad densidad sie!pre sie!pre
per! per!an anec ece e cons consta tant nte e con con el tie! tie!po po,, y tien tiene e la capa capaci cida dad d de opon oponer erse se a la co!presión del del !is!o !is!o #ajo #ajo cualq cualquie uierr condi condici ción ón$$ Esto Esto quier quiere e deci decirr que que ni la !asa ni el volu!en volu!en del del fluido pued uede ca!# ca!#ia iarr$ El agua es un flui fluid do cas casi inco inco!p !pre resi si#l #le, e, es deci decirr, la cant cantid idad ad de volu volu!e !en n y la cant cantid idad ad de !asa !asa per!anec per!anecer'n er'n pr'ctic pr'ctica!en a!ente te iguales iguales,, a2n #ajo #ajo presión presión$$ De &ec& &ec&o, o, todo todos s los los fluidos son co!presi#les co!presi#les,, algunos !'s que otros$ *a co!presión co!presión de de un fluido !ide el ca!#io en el volu!en volu!en de de una cierta cantidad de líquido cuando se so!ete a una presión presión e(terior$ e(terior$ %or esta ra"ón, para si!plificar las ecuaciones de la !ec'nica de fluidos, fluidos , se conside considera ra que los líquidos son inco!pr inco!presi# esi#les$ les$ En tr!ino tr!inos s !ate!'ti !ate!'ticos, cos, esto esto significa que la densidad densidad de de tal fluido se supone constante
*a ecua ecuaci ción ón de la co conse nserv rvac ación ión de la !as !asa a to!a to!a ento entonce nces s una una for!a for!a particular!ente sencilla #ajo la for!a integral integral en en una superficie cerrada+
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?uya condición equivalente es que la divergencia divergencia de de la velocidad de un fluido se anule$ 4e de#e prestar atención a todas las propiedades propiedades del del fluido
En !ec'nica
de
fluidos ,
un flujo se
clasifica
en co!presi#le co!presi#le e e inco!presi#le, dependiendo del nivel de variación de la densidad del fluido durante ese flujo$ *a inco!presi#ilidad es una apro(i!ación y se dice que el flujo lujo es inco nco!pr !presi#le i#le si la densidad per!anece per!anece apro(i!ada!ente apro(i!ada!ente con consta stante nte a lo larg largo o de todo el fluj lujo$ %or lo tant anto, el volu!en de toda todas s las porciones del fluido per!anece fluido per!anece inalterado so#re el curso de su !ovi!iento cuando el flujo o el fluido es inco!presi#le$ En esencia, las densidades de los líquidos son constantes y así el flujo de ellos es típica!ente inco!presi#le$
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líquidos son inco!presi#les &asta un nivel alto de e(actitud, pero el nivel de varia variaci ción ón de la densidad en los los fluj flujos os de gase gases s y el nive nivell cons consec ecue uent nte e de apro(i!ación que se &ace cuando se !odelan estos flujos co!o inco!presi#les depende del n2!ero de )ac&$ ?on frecuencia, los flujos de gases se pueden apro(i!ar co!o inco!presi#les si los ca!#ios en la densidad se encuentran por de#ajo de alrededor de 1CC !.s$ sí el flujo de un gas no es necesaria!ente co!presi#le$ Flujo Lineal
3gi 3gi!e !en n de fluj flujo o cara caract cter eri" i"ad ado o por por líne líneas as de fluj flujo o para parale lela las s en el yaci!iento$ Este es el resultado del flujo &acia una fractura o un po"o &ori"ontal largo, o del flujo en un yaci!iento alargado, tal co!o un canal fluvial o una for!ac for!ación ión acot acotada ada por por fallas fallas paral paralela elas$ s$ El flujo flujo linea lineall se recon reconoc oce e por por una una pendiente de 1./ en la derivada de la presión en el gr'fico de diagnóstico logarí logarít!i t!ico co$$ 4u pres presenc encia ia per!i per!ite te la deter deter!in !inac ación ión de la se!il se!ilon ongit gitud ud de la fra fractu ctura o del anc&o c&o del canal nal o yaci aci!ie !iento, to, si se pue puede deter ter!ina !inar r independiente!ente la per!ea#ilidad$ Flujo "adial
Este patrón de flujo se da en po"os locali"ados en yaci!ientos donde los efectos de los #ordes a2n no se sienten, es decir, parecen ser e(tensión infinita$ En el flujo radial, las líneas de corriente convergen &acia el po"o$ *a densidad de
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*a per!ea#ilidad de un n2cleo !edida en el la#oratorio puede variar consid era#le!ente de la per!ea#ilidad pro!edia del yaci!iento o parte del !is!o, ya que a !enudo !enudo se presenta presentan n variaci variacione ones s !uy grandes grandes en direcció dirección n vertica verticall y &ori"on &ori"ontal$ tal$ )uc&as veces la per!ea# per!ea#ilid ilidad ad de una roca que parece unifor!e unifor!e puede ca!#iar varias veces en el n2cleo de una pulgada$ %or lo general, la per!ea#ilidad !edida paralela al plano de estratificación de rocas estratificadas es !'s !'s alta alta que que la per! per!ea ea#i #ili lida dad d vert vertic ical al$$ de!' de!'s s en algu alguno nos s caso casos, s, la per!ea#ilidad a lo largo del plano de estratificación varía considera#le!ente con la orientac orientación ión del n2cleo n2cleo de#ido de#ido pro#a#l pro#a#le!en e!ente te a la deposic deposición ión orientad orientada a de partículas partículas la orientación orientación de partículas partículas de !ayor o !enor alarga!iento alarga!iento y li(iviación li(iviación o ce!e ce!ent ntac ació ión n post poster erio iore res s por por agua aguas s !igr !igrat ator oria ias$ s$ Dura Durant nte e el adecuado
de
yaci!ientos
es
acostu!#rado
desarrollo
to!ar
!uc&os
n2cleosde po"os seleccionados a travs del 'rea productiva, !idiendo laper!e a#il idad y porosidad de cada pie de n2cleo recuperado$ El gradiente dp.ds es la fuer"a de e!puje, y se de#e a los gradientes depresió depresión n del fluido fluido y en parte parte o total!en total!ente te a los gradien gradientes tes &idr'ul &idr'ulicos icos,, puestos puestos e interca! interca!#ia# #ia#les$ les$En En !uc&os !uc&os casos casos de inters inters practic practico o los
s2per s2per gradien gradientes tes
&idr' &idr'uli ulico cos, s, aunq aunque ue sie!pr sie!pre e pres present entes es,, son son pequ pequeño eños s co!pa co!para rados dos con con los gradientes de presión de fluido, y son frecuente!ente despreciados$ En otros casos, los gradientes &idr'ulicos son i!portantes y de#en considerarse, en particular, en operaciones de producción por #o!#eo en
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En ingeniería ingeniería interesa interesa !'s e(presar e(presar las ecuaciones ecuaciones anteriores anteriores en unidades unidades pr'cticas de ca!po+ q en #arriles por día, en p/ , y dp.ds en lpc por pie, !anteniendo I un darcys y J en centipoises$ *a conversión es la siguiente+ Donde q son #arriles por día y en pie/, la velocidad viene dada en #arriles por día por pie/ y no en pies por día$ lgunos autores e!plean la unidad de per!ea#ilidad per!ea#ilidad deno!inada per!io, definida por %er!io1,1/G(darcys El propósito de esta definición es eli!inar la constante 1,1/G$ *aecuación descr descrita ita anter anterior ior!en !ente te se prese presenta nta a vece veces s con con la cons constan tante te 6,-/8 6,-/8,, ósea ósea,, el producto de 1,1/G y 5,615 p-.#l$ >sando 6,/-8, q se e(presa enp- por día y v en pies por día, quedando e(presado en unidades de ca!po de la siguiente !anera+ Donde C,@-- cosC es el gradiente &idr'ulico en lpc por pie$ *os siste!as de flujo en un yaci!iento, general!ente, se clasifican de acuerdo con+
*a clase de fluido *a geo!etría del yaci!iento o parte de este *a rata relativa a la que el flujo se apro(i!a a una condición de estado continuo despus de una pertur#ación$
De igual !anera pode!os &a#lar de la clasificación de los fluidos, la cual se &ace en #ase a sus co!presi#ilidades$ de!'s, se puede tener !ovi!ientos de
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*os *os dos dos sist siste! e!as as geo! geo!t tri rico cos s de !ay !ayor inte inter rs s pr'c pr'cti tico co son son los los que que dan origen a los fluidos lineal y radial$ De acuerdo a lo antes e(puesto pode!os referirnos a la per!ea#ilidad seg2n la geo!etría del yaci!iento de la siguiente !anera+ •
4iste!a de flujo lineal en capas en paralelo
En la figura 1 se indica un !odelo de flujo lineal for!ado por un grupo de estrato paralelo <&eterogeneidad=, en las cuales la diferencia de presión en todos es constante y la tasa de flujo total
de
las
tasas
de
flujo
a
travs
de
las
capas
individuales$?onsiderando la presión diferencial constante para todos los estratos yapli aplic cando
la ley de
Darcy rcy
q1$1/G IiK&i<%1%/=L*
para
cada estrat rato
se
tien tiene e
lo
sigu iguien iente+ te+
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C()CL*S%()
%ode!os concluir relatando la i!portancia que tiene este contenido co!o lo es la *ey de Darcy Darcy y el flujo de fluido fluido en el !edio !edio poroso, poroso, en nuestra for!ación educativa y profesionali"ación$ *a *ey de Darcy descri#e, con #ase en e(peri!entos de la#oratorio la#oratorio,, las características del !ovi!iento del agua agua a a travs de un !edio poroso$ *a cual cual es e!ine e!inente nte res resalt altar ar que que dic&a dic&a *ey *ey
consi consist ste e
en utili utili"a "arr un
recipiente de sección constante por el que se &ace circular agua enc&uf'ndolo a un recipiente situado a un nivel de altura superior y contante$ En el otro e(tre!o se regula el caudal de salida !ediante un grifo que en el e(peri!ente !antiene el caudal constante$ )idiendo el nivel de la colu!na de agua en distintos sitios, encontrando que el caudal es directa!ente proporcional al gradiente &idr'ulico y a la sección del tu#o en el que se !ide el flujo, en donde, se entiende entiende por gradiente &idr'ulico el cociente entre la diferencia de alturas entre dos puntos y la longitud del tra!o que e(iste entre estos dos !is!os puntos$
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%)T"(D*CC%()
En este tra#ajo tra#ajo se presenta presenta *a ley de Darcy co!o !odelo !ate!'tico !ate!'tico que indica el flujo de fluidos por un !edio poroso #as'ndonos en el e(peri!ento que reali"ó el ingeniero Henry Darcy en el año de 1856$ pesar de que la ecuación de Darcy &a sido aceptada aceptada por la industria petrolera co!o co!o v'lida, se define define !ejor las condiciones condiciones #ajo #ajo las cuales se puede puede suponer v'lida$ *a ecuación de Darcy es inv'lida para n2!eros de 3eynolds !ayores de uno$ uno$ 4in 4in e!#a e!#arg rgo, o, en las las cerc cercan anía ías s del del po"o po"o cuan cuando do las las velo veloci cida dade des s son son elevadas, por eje!plo en producción de gas, puede ocurrir flujo tur#ulento$ *a roca se encuent encuentra ra saturad saturada a co!plet co!pleta!e a!ente nte por un solo solo fluido$ fluido$ Esto significa que la ecuación de Darcy no aplica en regiones donde fluya !'s de un
