+Grupo 6 Nombres: Natalia G. Grajales Garcia Julian Gutierrez Noraima Zarate Garcia Fredy Andres Reyes Sanchez Juan Camilo Diaz Fernando Fuentes Mejia Resumen
Ley de darcy La ley de Darcy es una relación proporcional simple entre la tarifa instantánea de la descarga con un medio poroso, la viscosidad del líquido y el excedente de la gota de presión una distancia dada. La descarga total, Q (unidades del volumen por el tiempo, e.g., ³ /s de m) es igual al producto del permeabilidad (κ unidades del área, e.g. ² de m) del medio, el área seccionada transversalmente ( A) para fluir, y la gota de presión ( P b − P a), dividido todo por viscosidad viscosidad dinámic dinámicaa μ (en unidades unidades del SI e.g. kilogram kilogramo o (m·s) o PA·s), PA·s), y la longitud longitud L la gota de presión está ocurriendo encima. La muestra negativa es necesaria porque los líquidos fluyen de de alta presión a la presión baja. Tan si el cambio en la presión es negativa (en x - la dirección) entonces el flujo será positivo (en x - dirección). Dividir ambos lados de la ecuación por el área y usar una notación más general conduce a donde q es flujo (descarga por área de unidad, con las unidades de la longitud por tiempo, m/s) y es gradiente de la presión vector. Este valor del flujo, designado a menudo el flujo de Darcy, no es la velocidad que el agua que viaja a través de los poros está experimentando. La velocidad del poro ( v ) se relaciona con el flujo de Darcy ( q) por porosidad (φ). El flujo es dividido por la porosidad para explicar el hecho de que solamente una fracción del volumen total de la formación está disponible para el flujo. La velocidad del poro p oro sería la velocidad que un trazalíneas conservador experimentaría si fue llevado por el líquido con la formación.
Un Análisis Especial de la Ley de Darcy
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental, trabajando con medios homogéneos y con un solo fluido. Sin embargo la formulación más simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse casi "intuitiva": El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de: 1. Las propieda propiedades des geométri geométricas cas del sistem sistema: a: Área Área (A) y Longitud (L). 2. Las caracter característic ísticas as del fluido: fluido: Princip Principalmen almente te su Viscosida Viscosidad d ( µ). 3. Las condici condiciones ones de flujo: flujo: Diferen Diferencia cia de Presión Presión (DP) entre los extremos del sistema. De este modo resulta casi "evidente" que, a igualdad de las otras variables del sistema, el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la diferencia de presión aplicada y con el área de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido. En forma analítica esta dependencia se expresa en la siguiente fórmula: • Q = K . A . DP / (µ (µ . L) .... ...... .... .... .. [1] Donde la constante que vincula ambos términos de la ecuación se conoce como Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio. Expresado en otras palabras: Cualquier cambio en las variables que se encuentran en el lado derecho de la expresión produce un re-acomodamiento en las otras variables, o en el caudal, pero la Permeabilidad permanece inalterada. Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no depende del fluido, ni de la geometría del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma: La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos. En la práctica, dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema. En el modelo empleado para la medición y cálculo de la permeabilidad de un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos. Dicho modelo modelo (Conducci (Conducción ón = Inyección Inyección = Producción) Producción) es absolutamen absolutamente te válido en las las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible, lineal y monofásico). Sin embargo, en los Reservorios reales, casi nunca se está en condiciones de flujo monofásico. Por el contrario es frecuente el flujo bifásico ó trifásico. En estos casos se continúa respetando la ecuación de Darcy, a la que se agrega un factor de corrección. Este factor de corrección toma la forma de una curva, cuyo valor depende de la saturación de fluidos en el sistema. En estos casos, tomando como ejemplo el flujo simultáneo de agua y petróleo, la ecuación [1] adquiere la forma: • Qw = K . Kr w . A . DPw / (µw . L) L) .... ...... .... .... .. [2] • Qo = K . Kr o . A . DPo / (µo . L) L) .... ...... .... .... .. [3] Donde los subíndic subíndices es "w" y "o" hacen referenci referencia a al agua y al petróleo petróleo respectivam respectivamente. ente. La validez de esta generalización queda demostrada d emostrada si el caudal de cada fase es proporcional a la diferencia de presión pr esión aplicada a cada una de ellas para una determinada saturación de fases. • Nota: En ausencia de Presión Capilar, ambas diferencias de presión resultan coincidentes. Los términos "K . Kr w " y "K . Kr o " se reemplazan regularmente por "Kw" (permeabilidad efec efecti tiva va al agua agua)) y "Ko" (perme (permeabi abilid lidad ad efectiv efectiva a al petróleo) petróleo) Sin embargo al realizar esta generalización de la ley de Darcy suele olvidarse (de hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir, Inyectar y Producir). Como veremos, esta observación esta muy lejos de ser trivial. Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa.
En base a lo expuesto, en flujos multifásicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como: Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturación de fluidos. Sin embargo, en general dicha d icha capacidad de conducción no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyección o de producción. Y cabe recordar que en los casos reales (caracterización de reservorios) los datos de mayor interés son: • La Saturación Saturación Media Media de cada cada bloque bloque estudiado estudiado (todo (todo el reservorio reservorio en un Balanc Balancee de Materiale Materialess o una celda celda en en un simula simulador dor numérico numérico). ). • La capacidad capacidad de inyecta inyectarr en un punto específ específico ico del bloque bloque (pozo (pozo inyector inyector o contacto con celdas cercanas). • La capacidad capacidad de producir producir en un un punto específi específico co (pozo product productor or o contacto contacto con celdas cercanas). De este modo, aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto, dado que el interés se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido. En términos simples, cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como ocurre en todos los reservorios reales durante dur ante la explotación) se puede inyectar una cosa, conducir otra y producir otra totalmente diferente.
Pregunta Pregunta 1: ¿Cómo ¿Cómo es la influenci influencia a de los términos términos de la ley ley de Darcy Darcy en el ámbito ámbito petrolero? La Ley de Darcy expresa el flujo de fluidos en términos de presión y gravedad:
Donde k es la permeabilidad. El segundo término a la derecha incorpora lo efectos gravitacionales, donde g es la aceleración gravitacional. La Ley de Darcy sólo es valida para tasas de flujo bajas, donde la turbulencia y la inercia son despreciables. La ley de Darcy generaliza gener aliza el flujo de múltiples fases- petróleo, agua, gas en un medio poroso:
Donde krl es la permeabilidad relativa de cada fase. La permeabilidad relativa es una función de la saturación. Aziz 1979 discute varias expresiones empíricas para ésta dependencia. La Ley de Darcy Darcy expresa expresa el flujo de fluidos fluidos en en términos términos de presión presión y gravedad gravedad y donde k es la permeabilidad, permeabilidad, incorpora incorpora lo efectos gravitacio gravitacionales nales (acelerac (aceleración ión gravitacion gravitacional). al). La Ley de Darcy sólo es valida para tasas de flujo bajas, donde la turbulencia tur bulencia y la inercia
son despreciabl despreciables. es. Esta Ley generaliza generaliza el flujo de múltiples múltiples fasesfases- petróleo, petróleo, agua, gas en un medio poroso Pregunta 2 ¿como ¿como es la la influ influenc encia ia de de la perm permeab eabili ilidad dad vertic vertical al en en el fluj flujo o de flui fluidos dos hacia hacia el el pozo? pozo?
MODELO MATEMATICO La ecuaci ecuación ón de cont continu inuida idad d para para el el mode modelo lo compos composici iciona onall genera generall de de n compone componetes tes y 3 Fases(gas,petróleo y agua) es: Ecuación (1)
Por otro lado lado se tiene tiene la ecuación ecuación de darcy, darcy, que es la la ecuacion ecuacion de movimient movimiento o en medios porosos.La expresion para cada fase j,j=0,w,G es Ecuacion(2)
La ecuación 1 y 2 se simplifican con siderablemente para un flujo monofásico de petróleo en ef efecto, ecto, la ecuac ecuación ión (1) Cig=Ciw=0, Cig=Ciw=0, Cio=1, Cio=1, So=1; y en la ecuac ecuación ión (2) j=0, Kro=1 usando estas hipótesis y combinando (1) y (2) se llega. ecuacion (3)
El modelo geométrico se considera cilíndrico con un único pozo centrado en el centro,adem centro,además ás dicho pozo pozo presenta presenta un numero de capas capas horizontal horizontales es paralelas paralelas que posee caracterís características ticas físicas físicas particulares particulares,adem ,además ás no hay flujo flujo a través través de las tapas ni de las parede paredess del yacimi yacimient ento o
Planteamos las ecuaciones en coordenadas cilindricas (r,z, ѳ). Suponemos Suponemos flujo en (r,z) (r,z) y rotamos rotamos los ejes de coordenada coordenadass para superponerl superponerlos os a los ejes princip principale aless del tenso tensorr de permeabi permeabilid lidad ad de modo modo que este este resulte resulte diago diagonal nal.. La profu profundi ndidad dad se se mide mide en la la direc direccio cion n del eje eje verti vertical cal z es decir: decir: D(r,ѳ,z)=Z introducion introducion la hipotesis hipotesis en la ecuacio ecuacion n 3 se obtiene. obtiene. ecuacion (4)
Para Para resol resolver ver esta esta ecuac ecuacion ion hay que espe especif cifica icarr las ecuaci ecuacione oness de esta estado do y la vari variaci acion on de porosidad en funcion de la presion,suponemos que el petroleo es levemente compresible compresible de compres compresibili ibilidad dad constante constante C. ecuacion (5)
Con respecto respecto al la porosid porosidad, ad, supondremo supondremoss que solo depende depende de las coordena coordenadas das espacialesф=ф(r,z) se desperecia la compresibilidad de la roca. Finalmente introduciendo (3) y (5) en (4) se llega a la expresion . ecuacion (6)
Se plantea plantea el factor factor de volumen volumen del fluido fluido Bf, que se se define define como como el coefic coeficiente iente entre el volumen volumen del fluido fluido a la presion presion y temperatura temperatura del yacimi yacimiento ento y el volumen volumen de la misma cantidad del fluido a condiciones estandar de superficie (CS).petroleo mono fasico Dividiendo Bo en la ecuacion (6) por ρcs y llamando. ecuacion (7)
Para linealiz linealizar ar la ecuacion ecuacion (7) se supone supone viscosida viscosidadµ(p) dµ(p) y el factor factor de volumen volumen Bo(p) son aproximada aproximadamente mente constantes constantes.adem .ademas as el caudal q se considera considera nulo solamente solamente en el contorno.el yacimiento tiene area acotada introduciendo estas variables adimensionales.
se convierte en:
En los limites limites del yacimiento( yacimiento(exteri exterior,su or,superior perior e inferior inferior se comporta la condicion condicion de no flujo
3. ¿ como se establece las unidades para la ley de Darcy en cuanto a permeabilidad? De la expresión de la Ley de Darcy se deduce que K tiene las dimensiones de una velocidad. La k, en cambio, tiene dimensiones de una longitud al cuadrado, tomándose como unidad el darcy. Un darcy representa la permeabilidad intrínseca de un terreno que para un fluido de una viscosidad de un centipoise y un gradiente depresión hidráulica de una atmósfera por centímetro permite un flujo específico a su través de un centímetro cúbico por segundo por cada centímetro cuadrado de sección de terreno poroso. Representa, por tanto, una unidad que parte de una definición incorrecta de la Ley deDarcy, al tomar el gradiente de presión hidráulica en lugar del gradiente de potencial hidráulico". 4 . ¿ en que situaci situaciones ones la la ley de darcy darcy no se cumple? cumple? La ley de Darcy no puede cumplirse cuando: • la con const stan ante te de de prop propor orci cion onal alid idad ad K no es propia y característica del medio poroso, sino que también depende del fluido el factor K puede descomponerse así:
Donde:
Esta cuestión es fundamental en geología del petróleo p etróleo o en flujo de contaminantes, donde se estudian fluidos de diferentes características. En el caso del agua la salinidad apenas hace variar el peso especifico ni la viscosidad. Solamente habría que considerar la variación variación de la la viscosidad viscosidad con con la temperatur temperatura, a, que se duplica duplica de 35 a 5 ºC, ºC, con lo que la permeabilidad de Darcy (K) seria la mitad y también se reduciría en la misma proporción el caudal circulante para la sección considerada medio poroso. por oso. Las aguas subterráneas presentan mínimas diferencias de temperatura a lo largo del año en un mes acuífero, acuífero, pero pero en otros entornos entornos sí pueden producirse producirse diferencia diferenciass de temperatura temperatura notables. Por tanto, aunque sabemos que K depende tanto del medio como del propio fluido, como la parte que depende del fluido normalmente es despreciable, para las aguas subterránea subterráneass a efectos práctico prácticoss asumimos asumimos que la K de Darcy, Darcy, o conductivida conductividad d hidráulica es una característica del medio poroso. • en algunas algunas circuns circunstanc tancias, ias, la la relación relación entre entre el caudal caudal y el gradiente gradiente hidráulic hidráulico o no es lineal. Esto puede suceder cuando el valor de K es muy bajo o cuando las velocidades del flujo son muy altas.
5. ¿ Como se se da la velocidad real y la velocidad de de darcy en en me medios po porosos?
Sabemos que en cualquier conducto por el que circula un fluido se cumple que: Caudal = Sección x Velocidad L3/T L3/T = L2 x L/T Si aplicamos esta consideración al cilindro del permeámetro de Darcy, y calculamos la velocidad a partir del caudal y de la sección, que son conocidos, obtendremos una velocidad falsa, puesto que el agua no circula por toda la sección del permeámetro, sino solamente por una pequeña parte de ella. A esa velocidad falsa (la que llevaría el agua si circulara por toda la sección del medio poroso) se denomina “velocidad “velocidad Darcy” o “velocidad de flujo”: Velocidad Darcy = Caudal / Sección total Esa parte de la sección total por la que puede circular el agua es la porosidad eficaz; si una arena tiene una porosidad del 10% (0,10), el agua estaría circulando por el 10% de la sección total del tubo.
Y para que el mismo caudal circule por una sección 10 veces menor, su velocidad será 10 veces mayor. Por tanto, se cumplirá que: Velocidad Real = Velocidad Darcy / me (me = porosidad porosidad eficaz) eficaz)
Considerando la cuestión con más precisión, esto sólo sería exacto si el agua siguiera caminos rectilíneos, cuando cuando en la realidad realidad no es así. así. Por tanto, tanto, la “Velocidad “Velocidad Real” Real” de la fórmula fórmula hay que denominarla “Velocidad lineal media”. Entonces se cumpliría que: Velocidad Real (real de verdad) = Velocidad lineal media x coeficiente. Ese coeficiente depende de la tortuosidad del medio poroso, y suele valer de 1,0 a 1,2 en arenas.
