REPUBLICA BOLIVARIANA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTESION MARACAY MARACAY
LA FÍSICA DETRÁS DEL TREBUCHET
OBJETIVO El proyecto a realizar consiste en un trebuchet que es una especie de catapulta solo que este actúa por efecto de un contrapeso que es el que impulsa el proyectil, generando una velocidad que le permitirá recorrer una distancia proporcional a la carga del contrapeso, a diferencia de una catapulta que opera por torsión de cuerdas o algún otro mecanismo menos cuantificable físicamente; Pero para evitar confusión le seguiremos llamando catapulta porque finalmente cumple la misma tarea que es arroar algún proyectil por acción de fuerzas eercidas por otros obetos! El obetivo de este informe es e"plicar todos los efectos físicos que rigen a una catapulta como es la conservación de energía dentro de la cual actúan efectos como momento de inercia, la velocidad angular, energía cin#tica y energía potencial además de unos conceptos básicos de dinámica que tambi#n intervienen en este proyecto! $abiendo conocido todos los efectos físicos que actúan en esta catapulta, se podrán analizar y cuantificar aplicando formulas que permitirá sacar la mayor cantidad de información de esta, para así predecir el lanzamiento! %na vez e"aminado los datos, se comprobara esto e"perimentalmente, para ver si e"iste relación entre lo teórico y empírico!
MATERIALES Para la construcción de la catapulta de dimensiones reducidas se utilizaron& ' (istones de madera de dimensiones )* mm de ancho por )* mm de alto para la estructura de la catapulta ' +lavos y silicona liquida para el ensamblae de cada listón ' +uerda para reforzar la unión entre listones que estarán afectados por la acción de fuerzas mayores ' %na tapa como recipiente del proyectil
PROCEDIMIENTO (uego de reunir los materiales se construirá una catapulta de dimensiones reducidas, cuyas medidas se dan a continuación& ' ltura de la base al ee (a& -.,/ cm! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !01!-./ mts2 ' (ongitud del brazo más chico (!& 3 cm! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! 01!13 mts2 ' (ongitud del brazo más largo ("& .- cm! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!01!.- mts2 ' 4asa del brazo completo (#& -1!- g! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!01!1-1- 5g2 ' 4asa del brazo peque6o& .,/ g! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 01!11./ 5g2 ' 4asa del brazo largo& )7!3 g! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 01!1)73 5g2 ' 4asa del contrapeso 0sin carga2 (M& *. g! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 01!1*. 5g2 ' 4asa del proyectil (m& 1!*- g! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 01!111*- 5g2
89:% )& diagrama de la catapulta descrita anteriormente En la figura ) se observa el contrapeso de masa M que consiste en una canasta movible en donde se introducirá la carga deseada, tambien se puede ver el proyectil de masa
m
que será lanzado!
Para efectuar un lanzamiento se debe colocar en el contrapeso la carga deseada y en el e"tremo del brazo algún proyectil a lanzar, despu#s se debe torcer el brazo hacia atrás, como lo muestra la figura -, de manera que el proyectil salga despedido con un ángulo de /*< para ma"imizar el alcance! =e dea el contrapeso libre de caer y el brazo más largo arroa el proyectil con ese ángulo!
89:% -& diagrama reducido de la posición inicial de la catapulta, M es la masa del contrapeso y m es la masa del proyectil!
+uando el brazo queda a >1< del suelo, se ha puesto un tope en la catapulta para que el contrapeso no siga oscilando y se detenga bruscamente, así el proyectil saldrá despedido con el mismo ángulo que se torció el brazo, en este caso es /*< en donde se conseguirá una trayectoria optima como lo muestra la figura .!
89:% .& diagrama reducido de la posición de lanzamiento de la catapulta donde V y
v
son las velocidades de M y
m
respectivamente al momento del
lanzamiento! El proyectil sale despedido con un ángulo de /*
FUNDAMENTO TEORICO %n trebuchet, tambi#n conocido como lanza piedras, fundíbulo o almaaneque, es un arma de asedio medieval, empleada para destruir murallas o para lanzar proyectiles sobre los muros! =e piensa que fue inventada en +hina entre los siglos ? y 999 a! +! El trabuchet fue un perfeccionamiento del trabuchet de tracción! El invento llego a Europa alrededor del a6o *11 d! +! @urante la Edad 4edia, se cree que pudo ser usado para arroar personas o animales que hubiesen muerto por la peste negra por encima de los muros de los castillos, con el propósito de infectar a quienes se encontraban dentro de este!
CARACTERISTICAS DE UN TREBUCHET %n trebuchet está formado por una viga o barra de madera sueta a un armazón que la mantiene elevada del suelo! El punto de apoyo de la viga 0usualmente un ee2 está colocado en la parte superior del armazón! @el brazo corto de la barra se encuentra suspendido un contrapeso y del brazo largo una honda! (a honda tiene un e"tremo atado a la viga y un e"tremo libre con un lazo donde se engancha la bolsa del proyectil! El proyectil de un fundíbulo solía ser una gran piedra redonda, aunque en ocasiones se empleaban otro tipo de proyectiles& animales muertos, colmenas, cabezas de enemigos decapitados, peque6as piedras de arcilla cocida que e"plotarían al impacto como metralla, barriles de brea o aceite encendidos, o hasta negociadores que no habían tenido #"ito, heces de animales, prisioneros de guerra y espías vivos!
Para analizar la catapulta hay que partir de la base que en su funcionamiento ocurre conservación de la energía, es decir la energía potencial e"istente en el momento en que el contrapeso se encuentra suspendido en el aire
se transformará en energía cin#tica al momento en que el proyectil abandone la catapulta, es por eso que estamos frente a un sistema conservativo pues la energía e"istente permanece constante!
Para poder entender el funcionamiento de la catapulta, tambien hay que analizar los efectos físicos que en ella actúan, es por eso que antes de entrar de lleno en las formulas físicas que rigen a la catapulta, a continuación definiremos claramente cada uno de estos efectos para que así se haga mas fácil comprender el accionar de esta catapulta!
' Energía mecánica 0Em2& es la suma de la energía cin#tica y la energía potencial
' Energía cinética 0Ec2& es la energía que posee un cuerpo de masa m por encontrarse en movimiento con cierta velocidad v !
(a formula de energía cin#tica anteriormente escrita es para un movimiento rectilíneo uniforme, pero para el movimiento en rotación es&
En el caso de un obeto que gira y se desplaza simultáneamente, la energía cin#tica es la suma de ambas&
' Energía potencial 0Ep2& es la energía almacenada en un sistema, o como la medida del trabao que un sistema puede entregar!
' Centro de masa (CM): es el punto donde se supone concentrada toda la masa del sistema!
' Momento de inercia 092& es la magnitud que indica como esta distribuida la masa de un sólido respecto del ee de rotación! Esta definida como la suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia de cada partícula a un origen cualquiera, común para todas! epresenta la inercia de un cuerpo al rotar! =e mide en 5gAmB en el =9!
' Velocidad angular: es una medida de velocidad en rotación, se mide en radianes por segundo o simplemente s
C)
porque los radianes son a
dimensionales
hora comenzaremos a e"plicar el funcionamiento de la catapulta reconociendo cada efecto anteriormente nombrado! D+abe se6alar que hemos establecido como Dsituación ) al escenario antes del lanzamiento, como lo muestra la figura -; y como Dsituación - al escenario en que ocurre el lanzamiento, como lo muestra la figura .! Esto es porque al momento de plantearlo en la formula, se pondrá el subíndice de la situación que corresponda!
%na vez que hemos definido cada factor que afecta nuestra catapulta y la manera de que será planteado en la formula, estamos preparados para analizar el funcionamiento de la catapulta!
+omo todo este proceso del lanzamiento comienza con el proyectil de masa m
en el suelo y en reposo, se puede asumir que la energía total o mecánica del
sistema es la energía potencial del contrapeso de masa M donde g es la aceleración gravitatoria&
Em) F Ep) F Ep4 F 4gAsen0bGc2 F 4g0aHc20bGc2
0)2
demás asumimos que el centro de masa del brazo esta apro"imadamente en el pivote que es el punto en donde el brazo esta unido a la base o meor dicho es el ee de rotación, entonces su energía potencial no necesita ser tomada en cuenta! l momento del lanzamiento las dos masas tienen energía potencial, y el brazo y las dos masas tienen tambi#n energía cin#tica! Entonces se puede concluir que la energía total del sistema al momento del lanzamiento o Dsituación - es& 2
MV
Em 2= Ep 2 + Ec 2= Mg ( a− b ) + mg ( a + c ) +
2
+
mv 2
2
Iω
+
2
2
0-2 @onde I es el momento de inercia del brazo con respecto a su centro de masa! =i # es la masa del brazo& I
μ ∙ b ∙ c
=
3
y $ su velocidad angular, que es la misma para ambas masas y es la velocidad lineal dividida en el radio, entonces& ω=
v V v∙b = dedonde obtenemosqueV =ω ∙ b= c b c
hora reemplazando en la ecuación 0-2 podemos eliminar tanto $ como V y se obtendrá una ecuación que tiene por incógnitas solo E%& y v &
Em 2= Mg ( a−b ) + mg ( a + c ) + V ∙ 2
(
2
Mb 2 c
+
m+ 2
0.2
μ ∙ b 3 ∙c
)
sumimos la conservación de la energía entre la posición inicial y la posición final de lanzamiento por lo tanto Em) F Em-, es decir se igualan la ecuación 0)2 y la ecuación 0.2 y despeamos
v ²
y al final obtenemos una ecuación
como esta& 2∙ g ∙
(
( a + c ) ∙ Mb −m
2
V =
(
Mb 2 C
2
+
m+
c
μ∙ b 3∙c
)
) 0/2
=i en esta ecuación reemplazamos con los datos de nuestra catapulta&
a F 1!-./; ! ' 1!13; " F 1!.-; M ' 1!.-1-; 0contrapeso con )7 barras de plomo cada una con )7!Ig2; % ' 1!111*-; # ' 1!1-1-; Podremos obtener analíticamente la velocidad con que sale despedido el proyectil de la catapulta que es
v
F 7!-/ mHs y además sabemos que el ángulo con
que sale despedido el proyectil es /*
89:% /& diagrama donde se muestra la trayectoria que sigue el proyectil de la catapulta! Velocidad en cualquier instante: vx = vo cosJ
v! = vo senJ K gt
"osici#n en cualquier instante:
L F v" A t F tAvoAcosJ P
M F Mo G tAvoAsenJ K gtB ?amos a analizar las ecuaciones que rigen la posición del proyectil en función del tiempo, ya que encontrado el tiempo t se obtiene la posición " e y del proyectil y luego se podrá obtener la velocidad final! El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y F 1 en la segunda ecuación y despeando el tiempo )! =e obtiene una formula como se muestra a continuación&
T =
(
Vo gh 2 senθ + sen θ + 2 2 g Vo
)
(uego de obtener la ecuación anterior, reemplazamos los datos que poseemos como es la velocidad inicial del proyectil 0?o2 y el ángulo de lanzamiento 0/*<2 y así conseguiremos el tiempo que demoro el proyectil en caer! En este caso demoró )!1)-- seg! demás podremos conocer la distancia en función del tiempo con una simple ecuación&
X() F /!/)-mHs A t 0 1 N t N )!1)-- seg 2 El proyectil llega al punto del impacto en el instante ) ' T, substituyendo ) en la primera ecuación obtenemos el alcance o distancia horizontal entre el origen y el punto de llegada, la cual la denominamos R en la figura /! 2
( √
)
Vo gh 2 R= ∙ Senθ + Sen θ + 2 ∙ 2 ∙Cosθ g Vo
eemplazando los datos que poseemos en la ecuación anterior, tendremos que la distancia que recorrió el proyectil desde que abandonó la catapulta hasta que impacto con el suelo es de /!/I mt!
@espu#s de haber conocido el tiempo que demora el proyectil en impactar en el suelo, es posible conocer la velocidad con que lo hizo, con la ayuda de las ecuaciones para esto como son&
vx = vo cosJ
v! = vo senJ K gt
En donde la velocidad final ( V* viene dada por la siguiente fórmula& Vf =√ Vx
2
+
Vy
2
eemplazando las ecuaciones para determinar la velocidad con la información que tenemos obtendremos que el proyectil llega al suelo con una velocidad final de I!17 mHs!
Otro detalle que debemos e"plicar es el ángulo de incidencia del proyectil o meor dicho el ángulo que forma con la horizontal! parece denominado como + en la figura /! Es cuantificable mediante una simple ecuación& tan ∅=
Vy Vx
eemplazando los valores que pide la ecuación obtenemos el valor de + que es de *)!.< y corresponde el ángulo de inclinación del proyectil con respecto a la horizontal!
PROBLEMAS ENCONTRADOS, %no de los problemas encontrados es saber si el ángulo de /*< es el de mayor alcance del proyectil, y esto es comprobable mediante la ecuación que e"plica esta situación& V o ∙Sen ( 2 θ ) max = g 2
@esarrollando la ecuación queda& 2
Vo ∙ 2 senθ∙Cosθ max= g
%na vez obtenida la ecuación que acabamos de desarrollar, podemos reemplazar por los ángulos más usados como son )1< .1< /*< 71< >1< F )1<
Lma" F )!.7 mt
F .1<
Lma" F .!// mt
F /*<
Lma" F .!>I mt
F 71<
Lma" F .!// mt
F >1<
Lma" F 1 mt
Quedando un grafico como se muestra a continuación&
+omo podemos ver queda demostrado que el ángulo de mayor alcance es el de /*
CONCLUSION En conclusión podemos decir que lo planteado en las ecuaciones, e"plican muy bien el funcionamiento de un trebuchet, ya que una vez obtenidos todos los datos se pueden comprobar llevándolos a la practica en donde se puede ver que el margen de error es muy peque6o y por consiguiente se puede predecir un lanzamiento sin mayor dificultad! demás queda demostrado que mientras uno conozca las características de su catapulta y lleve los datos con mucha e"actitud, sin importar los medios que ocupe, siempre llegará al mismo resultado! 9gualmente uno puede suponer que los datos y valores maneados en ecuaciones son en condiciones ideales, entonces si no hubo gran diferencia entre las condiciones ideales de las formulas y la e"perimentación, se puede concluir que los efectos e"ternos como el aire, la presión atmosf#rica y la temperatura, no influyen tan notoriamente en el rendimiento del lanzamiento por lo que se pueden considerar despreciables!
