Fisica del Estado Sólido.pdf

Física del Estado Solido ETN - 501 Ing. Teodoro Busch

CAPITULO 1: Física de Semiconductores CAPITULO 2: Estructuras de Bandas del Semiconductor CAPITULO 3: Física de Semiconductores CAPITULO 4: Fenómeno de transporte de portadores CAPITULO 5: Física de la Unión P-N

Documento descargado de: electrónico-etn.blogspot.com

F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O

CAPÍTULO

FÍSICA DE SEMICONDUCTORES

1 Radiación térmico y postulado de Planck Radiación térmica es la radiación emitida por un cuerpo como resultado de su temperatura. Todos los cuerpos emiten y absorben radiación a su alrededor y de su alrededor. En equilibrio térmico se igualan las razones de emisión y radiación. El espectro de emisión es independiente del material, del cual es compuesto el cuerpo y fuertemente dependiente de la temperatura. Cuerpos negros se le denominan a aquellos radiación que incide sobre ellos.

cuerpos

que absorben

toda la

La distribución espectral de radiación es continua y tiene un máximo dependiente de la temperatura. La distribución espectral se puede expresar en términos de la longitud de onda o de la frecuencia de radiación, Sea f(f) = d es la densidad de energía por unidad de frecuencia f de la radiación contenida en una cavidad a la temperatura absoluta T su unidad es Js / m −3 .

Fig. #1.-Densidad espectral versus energía.

ETN-501

Fig. #2.-Cavidad de cuerpo negro.

INGENIERO TEODORO BUSCH

F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O 1.0 Cavi Cavi dad de cuerpos negro.negro.- Una cavidad de cuerpo negro que está en contacto con el exterior por medio de un pequeño orificio en la superficie. La radiación incidente en el hueco entra a la cavidad y es reflejada por la superficie interior y eventualmente absorbida por la pared de la cavidad. Si el área es pequeña comparada con la superficie, esencialmente toda la radiación incidente en el orificio es absorbida y por lo tanto el orificio tendrá las mismas propiedades de un cuerpo negro. Si la cavidad esta a una temperatura uniforme T, las paredes emiten radiación térmica, la cual llena la cavidad. La pequeña fracción de esta relación que incide desde dentro en el orificio pasa a través de el. Puesto que el orificio debe tener las mismas propiedades de la superficie de un cuerpo negro, la radiación emitida por el orificio debe tener un espectro de cuerpo negro.

1.2 Teoría de Max Planck.Planck.- Max puede en su teoría hace dos suposiciones en lo que se refiere a la naturaleza de las oscilaciones de las moléculas que se encuentran en las paredes de la cavidad. 1. Las moléculas que emiten radiación se oscilan solo pueden tener valores discretos de energía. En definidos por : En = nhf

… (1)

Donde n n ∈ Ζ + , llamado número cuántico y f es la frecuencia de vibración de las moléculas. Se dice que la energía de las moléculas está cuantizada y los niveles de energía permitidos se llaman estados cuánticos. 2. Las moléculas absorben o emiten energía en cantidades discretas en forma de luz llamado cuántos (o fotones). Esto se hace brincando de un estado cuántico a otro. Si el estado cuántico n cambia en una cantidad, la ecuación (1) muestra que la cantidad de energía radiada o absorbida por la moléculas es igual a E1 = hf . Ahora, la energía de un fotón corresponde a la diferencia de energía entre dos estados cuánticos adyacentes y esta dada por: E = E i − E f = hf

… (2)

Se puede afirmar que la molécula radiará o absorberá energía solo cuando cambia de estado cuántico. Si esta permanece en un estado cuántico, no hay absorción o emisión de energía.

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Energía 4hf

4 3hf

3

2hf

2

hf

1

0

0

Fig. Niveles de energía permitidos para un oscilador y frecuencia natural f. Las transiciones permitidas están indicadas por flechas verticales. La densidad de energía por unidad de frecuencia f es:

ρ( f ) =

dEf 8πhf = df c3

3

1 (e

hc k BT

… (3) − 1)

J  Donde K B = 1.3085 *10 − 23   es la constante de Boltzmann K  dE λ . Es la densidad de energía por unidad de longitud de onda λ de la radiación dλ J contenida en una cavidad a la temperatura absoluta T. Su unidad es m⋅s f =

c

λ

df c =− 2 dλ λ

dE f df 8πhc dE λ 1 =− × = 5 hc dλ df dλ λ  kT  e B − 1  

… (4)

1.3 La ley de desplazamiento de Wein.Wein. - La posición del máximo en el espectro de la radiación del cuerpo negro depende de la temperatura de cuerpo negro y esta dada por la ley de desplazamiento de Wein. Calculando la primera derivada de la función de distribución de Planck expresada en términos de la longitud de onda o de la frecuencia.

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O   d  8πhc  dλ  λ 5  

   1 =0 hc  kT  e B − 1    

d  8πk 5T 5 x 5   =0 dλ  h 4 c 4 e x − 1 

(

x=

)

hc = 4.9651 λk B T

8πk B5 T 5 h 4c 4

 5 x 4 (e x − 1) − x 5 e x  (e x − 1) 2 

  = 0 

5 x 4 (e x − 1) − x 5 e x =0 (e x − 1) 5(e x − 1) − xe x = 0 5e x − 5 − xe x = 0

Esta es una ecuación trascendente que resolvemos por aproximaciones sucesivas obteniendo x =4.9651. Por lo tanto λ T a donde a es la constante de dE f a diferentes desplazamiento de Wein, esta ley establece que los máximos de df temperaturas

T1 , T2 , T3 ,..., ocurren para las longitudes de onda λ1 , λ 2 , λ 3 ,..., tales que

λλ Tλ = λ2T2 = λ3T3 = L =

hc = 2.898 × 10 −3 [mK ] kBa … (5)

A medida que la temperatura T se incrementa el máximo se desplaza hacia longitudes de ondas menores (mayores frecuencias). Es decir, se ve que a medida que la temperatura del cuerpo aumenta al máximo de su distribución de energía se desplaza hacia las longitudes de onda corta, lo cual origina cambio de color del cuerpo. La ley de desplazamiento de Wein es por lo tanto muy útil para determinar la temperatura de cuerpos calientes, como hornos o ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O estrechas, hallando la longitud de onda para la cual la intensidad de radiación es máxima. La ley de Wein también proporciona un método para determinar h en función de valor experimental de a y de su definición en función de h, c y EC dada anteriormente. Ejemplo #1.#1. - Encuentra la temperatura de una cavidad radiante cuya densidad de o

o

energía radiante a 200 A es 3,32 veces la densidad de energía radiante a 400 A Solución. La densidad de energía electromagnética en el interior de cavidad en función de la temperatura y la longitud de onda.

8πhc c3

ρ (λ , T ) =

1 (e

hc λ k BT

− 1)

Luego por condición del problema: ρ (λ1 , T ) = 3.82 ρ (λ 2 , T ) 8πhc

λ5λ

1 hc

(e

λ k BT

1 hc

λ λ (e 5

λλ k BT

  1  8πhc  = 3.82  5 hc  λ2 λ k BT  − 1) (e − 1)  

  1   = 3.82   hc λ2 k B T 5  − 1)  − 1)  λ 2 (e

λ a = 3.82 λ  λ2 Parametrizando la ecuación

5

  = 0.119 

Además definimos una nueva variable, se obtiene hc

λ 2 k BT Ex=e

λλ 2000Α o 1 = = o λ 2 λ2 = 2λλ 4000 Α 2 La relación entre las ondas hc

x=e

λ2 k B T

=e

ETN-501

hc 2 λλ k B T


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O hc

x =e 2

λλ k B T

1 a = x −1 x −1 2

0.119 x 2 − x + 1 − 0.119 = 0 x = 7 .4 hc

x=e

λ 2 k BT

ln( x) = T=

hc λ2 k BT

hc λ2 k B ln( x) 6.626 × 10

T=

− 34

[J ⋅ s ]× 3 × 10 3  m 

s = 17.979[K ] −10 − 23  J  4000 × 10 [m] × 1.38 × 10   × ln(7.4) K 

Ejemplo #2 # 2 .a) ¿cuantos fotones hay en 1 cm 3 del interior de una cavidad radiante que se encuentra en equilibrio térmico a 1000 k? b) Cual es la energía promedio de los fotones? Solución.- la densidad de energía electromagnética en el interior de una cavidad es:

ρT ( f ) =

dEf 8πhf 3 = df c3

1 (e

hc k BT

= − 1)

8πf 2 (hf ) 3

c (e

hf k BT

− 1)

Luego el número de fotones que hay en el interior de la cavidad a través de: nT ( f ) =

nT =

ρT ( f ) hf

Energia ⋅ Total Energia ⋅ Foton × Volumen

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Considerando todas las frecuencias posibles ∞

ρT ( f )

nT ( f ) = ∫

hf

0

nT ( f ) =

Numero ⋅ de ⋅ Fotones Volumen

nT ( f ) = ∫

8πf

∞

0 3

c (e x=

df

2

hf k BT

df = − 1)

8π c3

∫

∞

f

0

(e

hf k BT

2

df − 1)

hf k Tx k T f = B df = B dx k BT h h

 k BT    f →o⇒ x→0  8π ∞  k B Tx   h  dx   ⇒ nT ( f ) = 3 ∫0  x f → ∞ ⇒ x → ∞ c  h  e −1 2

Si

k T  nT ( f ) = 8π  B   h 

(

3

∞

3

3

x2 k T  k T  dx = 8π  B  Γ(3)ξ (3) = 8π  B  Γ(2 + 1)ξ (3) x e −1  h   h 

∫ ( 0

3

)

)

3

3

k T  k T  k T  nT ( f ) = 8π  B  2Γ(2)ξ (3) = 16π  B  Γ(2)ξ (3) = 16π  B  × 1.202  h   h   h  3

  J   1.38 × 10 −23   × 1000[K ]  K   × 1.202 = 2.018 × 10 6  Fotones  nT ( f ) = 16π   m 3    −34 8 m  6.626 × 10 [J ⋅ s ] × 3 × 10     s  

1.4 Postulado de De Broglie Brog lie : Propiedades ondulatorias de las partículas o dualidad particular - onda.onda. La hipótesis de De Broglie fue que el comportamiento dual onda partícula de la radiación, se aplica igualmente para la materia. Tal como el fotón tiene onda de luz asociada, que gobierna su movimiento, así como una partícula elemental de la materia tiene asociadas una onda que gobierna su movimiento.

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O De acuerdo a la hipótesis de De Broglie, tanto para la materia como para la radiación la energía total está relacionada a la frecuencia de la onda asociada con su movimiento por la ecuación. E = hf

… (1)

Y el momento P está relacionado a la longitud de onda en la onda asociada por la ecuación P=

h

λ

… (2)

Estas ecuaciones asocian los conceptos de partícula, energía y momento, por medio de la constante de Planck, a aquellos de la onda, frecuencia y longitud de onda. La ecuación 2 se conoce como la relación de De Broglie la cual predice la longitud de onda de la onda asociada con el movimiento de una partícula con momento P. Podemos expresar esta relación en términos del número de onda k, que el número de los radianes con los cuales la fase de la onda se mueve en un metro. k=

2π P = hk

λ

E = mc 2 =

… (3)

p 2 c 2 + mo2 c 2

P=

donde

h=

h 2π es la constante de Planck reducida

E c

λ= E = hf =

hc

h

λ

λ

=

h P

λ=

h h = P mv

E c

Estas fórmulas generales que establecen el paralelismo entre las ondas y las partículas pueden ser aplicadas a los corpúsculos de la luz, bajo el supuesto de que en tal caso las masas en reposo no son infinitamente pequeñas. En realidad si para un valor determinado de la energía W, se hace que no tienda a cero entonces se encuentra que v, y u tienden a c y, en el límite se obtienen los dos términos sobre los cuales existen bajo su teoría del cuanto de luz. W = hf

… (4)

hf c

… (5)

P=

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Relaciones Relativistas 1. Variación de la masa con co n la velocidad m = f ( µ ) m=

mo µ 1−   c

2

… (6)

2. Segunda Ley de Newton

  dP d  mo µ = F= 2 dt dt   1 −  µ   c

   d (mµ )  = dt  

… (7)

3. Relación entre masa y energía E = mc 2

… (8)

k = E − Eo = mc 2 − mo c 2 Eo = mo c 2

… (9)

es la energía en reposo

4. Relación entre momento (cantidad de d e movimiento) y energía m=

mo µ 1−   c

( ⋅) 2

2

→ m =

  µ 2  ⇒ m 1 −    = mo2 ⇒ m 2 c 2 − m 2 µ 2 = mo2 c 2 2  c  2    µ   1−    c   mo2

2

   

2

m 2 c 2 − m 2 µ 2 = mo2 c 2 m 2 c 4 − m 2 µ 2 c 2 = mo2 c 4 2 E = mc 2 Eo = mo c p = mµ

E 2 − p 2 c 2 = Eo2 ⇒ E 2 = Eo2 + p 2 c 2

k = E − Eo ⇒ E = k + Eo

(k + Eo )2 = p 2 c 2 + Eo2

ETN-501

… (10)


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O 1.2.2 El efecto fotoeléctrico.fotoeléctrico.El efecto fotoeléctrico es por ahora el experimento clásico que demuestra la naturaleza cuantizada de la luz. Cuando aplicamos la luz monocromática a un metal en vació se encuentra que los electrones son liberados del metal, pero pueden escapar cuando la energía proporcionada es suficiente, por ejemplo en forma de luz. Si embargo, el hecho sorprendente es que cuando se ilumina con longitudes de ondas largas (típicamente mayores que 400 nm) los electrones no son emitidos del metal aun si la intensidad luminosa es incrementada. Por otra parte, uno observa fácilmente la emisión de electrones en longitudes de onda ultravioleta porque el número de electrones emitidos varía con la intensidad de la luz. Un análisis más detallado revela que la máxima energía cinética de los electrones emitidos varía fácilmente con la inversa de la longitud de onda, para longitudes de ondas cortas que las longitudes de ondas máximas. El aparato experimental consiste de dos electrodos de metal dentro de una cámara vació. La luz se hace incidir en uno de los dos electrodos, en los cuales es aplicado un voltaje externo. El voltaje externo es ajustado tal que la corriente debido a los electrones emitidos por fotones llega a ser cero. Este voltaje corresponde a la energía cinética máxima. Ek De los electrones en unidades de electro voltios. Este voltaje se ha medido para diferentes longitudes de onda y el graficado como una función de la inversa de la longitud de onda.

ETN-501


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O CAPÍTULO

1 2.1

MECÁNICA CUANTICA (CONTINUACIÓN)

La ecuación de Schrödinger para los electrones Un enfoque importante para la mecánica cuántica, es la teoría ondulatoria de Schrödinger. Este enfoque servirá para comprender ciertos aspectos importantes de los electrones en los semiconductores. Los conceptos simples para entender la mecánica cuántica. Base.- En mecánica cuántica seleccionamos un conjunto de funciones que incluyen una base, y el estado de un sistema físico se describe luego en términos de la combinación adecuada de la base.

2.2

Funciones propias

de estado.- El estado de un sistema

físico se

describe en términos de las funciones de la base. Una elección adecuadamente ponderada de las funciones de la base se utiliza para describir el estado de la función. Un estado de esta clase que es permitido, mediante las restricciones establecidas sobre el sistema físico se conoce como el eigenestado (estado propio) o eigenfunción (función propia) 2.3

Cantidades físicamente

observables.-

Las cantidades

que se van

físicamente mediante la realización de experimentos, se representan por medio de operadores matemáticos en el enfoque de Schrödinger. Algunos operadores importantes

son representados

mediante las operaciones

siguientes: Momento: Px ⇒ − ih

∂ ∂x

Py ⇒ − ih Energía: E ⇒ − ih

ETN-501

∂ ∂y

… (1)

∂ ∂t


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O 2.4

La ecuación

de Schrödinger.-

Los operadores que representan

las

cantidades físicamente observables funcionan sobre un estado del sistema generando la ecuación conocida como la Consideremos

ecuación

de eigenvalores.

la identidad que representa la energía cinética

y el

potencial de un electrón con masa mo P2 + u( r , t ) = E 2 m0

…(2)

Realizando una operación sobre un estado general ψ (rρ, t ) tomando en cuenta los operadores. Luego, la ecuación 2 ∂ψ ( rρ,t ) − h 2 ∂ ψ ( rρ,t ) u ρ,t )ψ ( rρ,t ) = ih + ( r ∂t 2 m0 ∂r 2

…(3)

Esta ecuación se utiliza para describir las propiedades de los electrones en un sistema físico. Si al término de la energía potencial u (rρ, t ) no es dependiente del tiempo, entonces la solución de la ecuación (3) puede ser separada en una parte dependiente del tiempo y en otra independiente del tiempo. Podemos escribir.

ψ ( rρ,t ) = ψ ( rρ) . f (t )

…(4)

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es:  − h 2∇ 2   m + u( rρ)  ψ ( rρ) = E ψ ( rρ)  2 0 

…(5)

Y la ecuación dependiente del tiempo es: ih

∂ f(t ) ∂t

= E f (t )

…(6)

La parte dependiente del tiempo de la solución es de la forma general. f (t ) = e En general, se obtendrán

±i

Et h

= e ± iwt

… (7)

una serie de soluciones ψ (rρ) con energías

asociadas En. Las En son las eigenergías del problema, lo que significa que en un sistema real el electrón puede tener las energías: E1, E2,…… En, etc. ETN-501



El problema de Barrera cuántica.- Consideremos una barrera cuántica como se ve en la figura (1). Además consideremos en primer lugar la barrera cuántica infinita donde el perfil de energía potencial en dirección z está dado por: u(z) = 0 ; − a < z < a = ∞ ; de otro mod o

… (8)

A lo largo del plano x-y la energía potencial es constante, debido a esto, la ecuación de Schrödinger se puede separarse en las direcciones x, y, z. Podemos escribir

ψ ( x, y, z) = f 1 ( x) f 2 ( y ) f 3 ( z )

… (9)

Donde cada componente satisface la ecuación h2d 2 f ( x) = E x f 1 ( x) − 2m0 dx 2 1

… (10)

h2d 2 f ( y) = E y f 2 ( y) 2m0 dy 2 2

… (11)

− −

h2d 2 f ( z) + u( z) f 3 ( z) = E z f 3 ( z) 2m 0 dz 2 3

… (12)

La energía total del electrón es E = EX + EY + EZ

ETN-501


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O En las direcciones x ∧ y, puesto no hay energía potencial, el problema es llamado con frecuencia el problema de electrón libre cuya solución es muy simple.

− −

h2d 2 f ( x) = E x f 1 ( x) 2m 0 dx 2 1 h 2 (− k x2 ) 2m 0 L x

e

ik x x

= Ex

e ik x x Lx

f 1 ( x) =

1

f 2 ( y) =

1

f 1′( x ) =

ik x

Ey = LX y LY

… (13)

Lx e

± ik y y

Ly

Lx

e ik x x ∧

… (14)

f 1′′( x ) =

− k x2

e ik x x

Lx

2 2  h 2 k x2 e ik x x  h k x   ⇒ − Ex  = 0 ⇒ Ex = 2m 0 L x  2m 0 

Ex =

La distancia

e ± ik x x

h 2 k x2 2m0 h 2 k y2 2m 0

… (15)

… (16)

son las distancias en las direcciones

x ∧ y bajo

consideración, y hemos normalizado nuestras funciones de onda dentro de esta región. La solución en la dirección z, observamos que dentro de la región de la barrera el potencial es cero mientras en el exterior en ∞ . La función de onda debe tender a cero en z = ± a ; dentro de la barrera debe obedecer a la ecuación −

h2d 2 f 3(z) 2m0 dz 2

= Ez f 3 ( z )

… (17)

La solución normalizada es: f 3(z) =

1 a

cos( n2πaz ) ; n es impar

f 3(z) =

1 a

sen(n2πaz ) ; n es par

ETN-501

… (18)


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O f 3′( z ) = h2 2 m0

1 nπ a 2a

1 n 2π 2 a 4a2

sen( n2πaz ) ,

cos( n2πaz ) = E z

E z = En =

h 2 n 2π 2 2 m0 ( 4 a 2 )

f 3′′( z ) = −

1 n 2π 2 a 4a2

1 cos(n2πaz ) ⇒ a

= π2 mh wn2

2 2 2 0

cos(n2πaz )

1 a

[

]

cos(n2πaz ) h8 mn aπ2 − E z = 0

w = 2a

2 2

2

0

Λ (19)

La energía total del electrón es: 2 2 π 2 h 2 n 2 h 2 k x2 h k y E= + + 2m0 w 2 2m0 2m0

ETN-501

… (20)


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O

Cada banda de energía (n) se conoce como banda secundaria (subbanda) y tiene una dependiente E – k parábola. Dentro de cada banda el electrón se comporta como si tuviera en un mundo de z dimensiones ya que su alcance en la dirección z está restringido.

ETN-501



Filtración cuántica a través de barrera (efecto túnel)

El fenómeno importante que ocurre en la naturaleza es la filtración de una partícula con energía E a través de una barrera de potencial de altura u0 mayor que E, (efecto túnel) El

efecto

túnel

es

un

fenómeno

muy

semiconductores. Aparte de los dispositivos

importante especiales

en

los

dispositivos

basados en

este

fenómeno, el funcionamiento del contacto ohmico depende de este efecto. Los contactos

ohmicos

proporcionan una conexión entre el mundo exterior y un

semiconductor y explotan el comportamiento del efecto, túnel (o filtración cuántica) Consideramos una barrera de potencia de la figura No. 3

Como se aprecia, el espacio se divide en tres regiones. Entonces un electrón tiene una energía E y se impacta desde la región I sobre la barrera. El interés es que la fracción del electrón se filtre hacia la región III Supongamos que los electrones se propagan en la dirección x incidiendo contra una barrera de potencial cuya altura de energía, u0 es mas grande que la energía total de los electrones E, pero es finita fig. 3 u=0 u = u0

; x < 0 región I ; 0 ≤ x ≤ a región II

u=0

;

x>a

… (21)

región III

En la región I se consideran a los electrones libres, la ecuación de onda es dada por:

ETN-501


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O ∂ 2ψ 1 2m0 + 2 Eψ1 = 0 ∂x 2 η

x<0

para

… (22)

Dentro de la barrera, región II, la ecuación de la onda es: ∂ 2ψ 2 2m0 + 2 (E − u 0 )ψ 2 = 0 ∂x 2 η

0≤x≤a

para

… (23)

y fuera de la barrera, región III es dada por: ∂ 2ψ 3 2m0 + 2 Eψ 3 = 0 ∂x 2 η

x>a

para

… (24)

Las soluciones para E < u0 es de la forma:

con k =

con β =

2m 0 η

2

2m 0 η

2

E

ψ 1 ( x ) = Ae ikx + Be − ikx

x<0

ψ 2 ( x ) = Ce βx + De − βx

0≤ x≤a

… (25)

… (26)

(u 0 − E )

… (27)

… (28)

ψ 3( x ) = Fe ikx

β 2 + k2 =

Donde se cumple:

2m 0 η

2

x>a

… (29)

(u 0 − E ) +

2m 0 E

a  u0 =  0   2 

2

η

2

=

2mu 0 η

2

o bien por conservación de energía. a β +a k = 2

2

2

2

2m 0 a 2 η

2

… (30)

El parámetro a0 contiene todas las características de la barrera, ancho y altura y representa una forma en la cual • y k están relacionados. El espacio de • y k cae en un círculo de radio a0/2 los valores permitidos de k, y por lo tanto de E

ETN-501


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O comprende un continuo positivo sin límites, fig. 4. Para cada valor de E(k) existe un estado propio correspondiente (•

1,

•

2,

•

3

), el cual está determinado en

términos de los coeficientes (B/A, C/A, D/A y F/A). El conocimiento de éstos permite determinar los parámetros de dispersión. F T =   A

2

B R=   A

2

… (31)

… (32)

Los coeficientes de transmisión y reflexión se determinan por medio de las condiciones de frontera o condiciones de continuidad en x = 0 y x = a, • d•

(x)/dx

(x),

deben ser uní valuadas y continuas en la frontera entre dos regiones.

ETN-501


y

FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O T es la razón de la intensidad de flujo de probabilidad transmitida en la región x > a, a la intensidad del flujo de probabilidad incidente. De las condiciones de frontera: ⇒ ψ 1 (0) = ψ 2 (0)

En x = 0

ψ 1 (0) = A + B ∧ ψ 2 (0) = C + D ⇒ 1+

B C D = + A A A

dψ 1 dx

= x=0

dψ 1 dx

dψ 2 dx

… (33)

x =0

= ikAeikx − ikBe −ikx x=0

dψ 2 dx

= β Ce βx − β De − βx x =0

x =0

= βC − βD

B β C D =  −  A ik  A A 

… (34)

⇒ ψ 2 (a) = ψ 3 (a)

ψ 2 ( a ) = Ce βa + De − βa ψ 3 ( a ) = Fe ika

 ika βa − βa  ⇒ Ce + De = Fe 

C βa D − βa F ika e + e = e A A A dψ 2 dx dψ 2 dx dψ 3 dx

= ikA − ikB

x =0

ikA − ikB = β C − β D ⇒ 1 − En x = a

A+ B=C + D

= x =a

dψ 3 dx

… (35)

x=a

= β Ce βx − β De − βx x =0

= ikFeikx x=a

x=a

x =a

= βCe βa − β De − βa

= ikFeika

C βa D − βa ik F ika e − e = e A A β A

…(36)

Sumando y restando las dos últimas ecuaciones se obtiene

ETN-501


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O C 1 F − βa  ik  ika e 1 +  e = A 2 A  β D 1 F βa  ik  ika e 1 −  e = A 2 A  β

…(37)

…(38)

Sustituyendo en las dos primeras se tiene: B F  e βa + e − βa 1 + =  A A  2

 ik  e βa − e − βa  ika  −  e 2  β 

1+

 B F ik = cosh βa − senhβa  e ika β A A 

1−

B F  e βa + e − βa =  A A  2

1−

β B F  = cosh βa − senhβa  e ika A A ik 

…(39)

 β  e βa − e − βa  −  2  ik 

 ika e 

…(40)

Sumando las dos últimas expresiones se obtiene:  A  i β k  = cosh βa +  −  senhβa  e ika F  2 k β  

…( 41)

2.6.1 Probabilidad de transmisión o tunelamiento.El flujo de partículas en el haz incidente es dado por medio de la densidad de probabilidad en el haz incidente por la velocidad de la partícula fi f i = ψ iψ i*vi = Ae ikx A*e ikx vi = AA*vi …(42) El flujo de partículas en el haz trasmitido: f t = ψ tψ t*vt = Fe ikx F *e − ikx = FF *vt

…(43)

La probabilidad de transmisión o tunelamiento es definida por: *

FF *v  F   F   F  T= = =  AA*v  A   A   A 

ETN-501

2

…(44)



*  ika   i  β 2 − k2  i  β 2 − k2  1  A  A      senhβa e cosh βa −   senhβa e −ikx =    =  cosh βa +     T  F  F   2  βk  2  kβ     2

1 1  β 2 − k2   senh 2 βa = cosh 2 βa +  T 4  kβ  2

1 1  β 2 − k2   senh 2 βa = cosh 2 βa + senh 2 βa − senh 2 βa +  T 4  kβ   4β 2 h 2 + β 4 − 2β 2 k 2 + k 4  1 = cosh 2 βa − senh 2 βa + senh 2 βa   T 4β 2 k 2  

(

)

2

1 1  β 2 + k2   senh 2 βa = 1 +  T 4  kβ 

…(45)

Expresado en función de E es: 2m0 E

k=

2

η

⇒ k2 =

2m0 2

η

⇒ β 2 + k2 = 2m0 (u 0 − E )

β=

2

η

kβ =

⇒ β2 =

2

η

2

η

2m0 (u 0 − E )

2m0 E 2m0 (u 0 − E ) 2

2m0u0

η

2

η =

2m0 2

η

E (u0 − E )

2

 β 2 + k2     kβ 

2

  2m0 u0 2     2 u u02 0 η   = =  = E (u0 − E )  2m0 E (u0 − E )   E (u0 − E )    2   η

u 02 1 1 senh 2 βa = 1+ T 4 E (u 0 − E ) T=

ETN-501

1 2 0

u 1 senh 2 βa 1+ 4 E (u 0 − E )

…(46)

…(47)


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O 2.6.2 Características principales del coeficiente de transmisión con los parámetros de la barrera.Caso 1 para uo = E a)

El coeficiente

decrece exponencialmente

con el incremento

del

ancho de la barrera a y su altura uo b)

Cuando E ◊ uo entonces Ba << 1 se aproxima senhβa = βa ,dando:

u 02 a 2 2m0 ( m0 u0 u 0 a 2 1 ) ≅ 1+ − = + u0 E 1 T 4 E (u 0 − E ) η2 2 E η2 m u a2 1 = 1 + 0 02 T 2η

u0 →1 E

…(48)

Por lo tanto T<1 representa la dispersión de la barrera Caso 2 Cuando u0
β=

2m0 η

2

(u0 − E ) = i

2m0 (u0 − E ) η

2

= iγ

senhβa = senhiγa = isenγa , entonces el coeficiente: T=

1 u 02 1 1+ sen 2 γa 4 E (E − u0 )

…(49)

a) Cuando E ◊ uo , γa << 1 igual que el caso 1b) b) Para E > uo , el coeficiente T = 1 cuando senγa = 0 o equivalentemente cuando

γa = nπ , donde n = 1,2,3 2π con γ = constante de propagación de la onda en la región de barrera, λ es decir, cuando el ancho de la barrera es: λ nh a = n  =  2  2 2m0 (E − u0 ) donde λ =

ETN-501

…(50)

h longitud de la onda de De Broglie 2m0 (E − u 0 )



Si el ancho de la barrera es un múltiplo entero de media longitud de onda, existe una transmisión perfecta del haz de partículas incidentes, es decir, la barrera es transparente al haz incidente. Fig.4 En términos de E y uo la condición de transmisión perfecta o transparencia:  π 2 η2   = n 2 Eλ E − u0 = n 2  2   2m0 a 

…( 51)

Donde E1 es la energía del estado

fundamental de una partícula

una caja

unidimensional.  π2 2  Eλ =  2η   2a m0 

3.

…(52)

El problema del átomo de hidrógeno.-

El comportamiento mecánico

cuántico de un sistema de un electrón y un protón. En Física clásica un electrón que gira alrededor de una carga positiva con una cierta energía simplemente radiará su energía y colapsaría sobre el protón. Pero, en mecánica cuántica se consideran las energías electrónicas como valores discretos bien definidos. Puesto que un electrón puede permanecer en cualquiera de estos niveles estables de energía y moverse de un estado

ETN-501


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O cuántico a otro por medio de la emisión

y absorción de un cuánto de

energía bien definido (ejemplo, un fotón) La ecuación de Schrödinger para el sistema electrón protón se escribe como 2 − 2 ∇2 e2  η ∇ e2 − η h − 2m p 4π ε 0 re − r p  2m e

  Ψ( r ) = E ToT Ψ( r ) 

…(1)

Donde el primer término es el operador de energía cinético del electrón, el segundo término es el operador de energía cinética del protón y el tercer término es la energía potencial que

es la energía

electrostática de

atracción entre el electrón y el protón en los puntos rc y rp respectivamente Ahora, se escribe la ecuación del movimiento relativo del electrón y el protón, entonces  η2 2 e2  − ∇ −  ψ (r ) = Eψ (r ) 4πε 0 r   2mr

…(2)

Donde r = re - rp es la coordenada relativa y mr es la masa reducida. 1 1 1 = + mr me m p

…(3)

La energía E ahora es solo la energía de movimiento relativo

Los eigevalores de la energía cuantificada tiene los valores (n = 1,2,3,….) En = −

me e 4 1 13.6 =− 2 2 2 2 n 2(4πε 0 ) η n

(eV )

…(4)

El radio cuantificado es

ETN-501



rn =

n 2 η2 me ke 2

n = 1,2,3,...

…(5)

El radio de Bohr para n=1 tiene el valor 0=

2

o η = 0.529 A 2 me ke

…(6)

La cuantización de los radios de las órbitas lleva inmediatamente la cuantización de la energía. rn = n 2 ao

…(7)

La energía para los niveles permitidos es ke 2 1 En = − ; n = 1,2,3... …(8) 2 ao n 2 El estado estacionario mas bajo o estado que no radica se llama el estado base, con n=1 ⇒ Eλ = −13.6eV . El siguiente estado, o primer estado excitado tiene n=2 ⇒ Eλ = −3.4eV . El estado excitado más alto que corresponde a n = ∞ ⇒ E = 0eV , que representa el estado para el cual el electrón se remueve del átomo. La energía mínima que se requiere para ionizar el átomo se llama energía de ionización (para reconocer completamente a un electrón en el estado base de la influencia del protón) La frecuencia del fotón emitido cuando el electrón brinca de una órbita exterior a una órbita interior. f =

Ei − E f η

=

ke 2  1 1  − 2a0 η  n 2f ni2 

 1 1 1  = RH  2 − 2  n  λ  f ni 

…(9)

…(10)

RH=Constante de Rydberg=1.0973732x107 (m-1)

ETN-501



Condiciones de frontera.Consideremos

la ecuación

Schrödinger para electrones libres. La ecuación

independiente del tiempo. − η2 2 ∇ Ψ( r ) = E Ψ ( r ) 2m e Una solución de esta ecuación es: Ψ( r ) = La energía correspondiente es: Donde el factor

1 ±ikr e V

2 2 k η E= 2m e

1 se presenta debido a que se desea tener un electrón por V

volumen V, o sea la probabilidad de encontrar un electrón con la función de onda en el espacio es:

∫d

3

2

r Ψ( r ) = 1

V

Por el carácter ondulatorio del electrón, la cantidad k no es continua sino discreta. Entonces se considera dos clases de condiciones de frontera que se imponen a la

ETN-501


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O función de onda. En la primera se considera que la función de onda tiende a cero en las fronteras del volumen. Entonces las soluciones de onda, son de la forma Sen(kxx) o Cos(kxx), etc. y los valores de k están restringidos a los valores positivos kx = La solución

π 2π 3π , , ,.... L L L

de onda estacionaria se emplea con frecuencia para describir los

electrones estacionarios confinados en regiones

finitas tales como las barreras

cuánticas o frontera periódica. La energía del electrón es: 2 2 p2 k →η 2m e 2m e

El momento del electrón: − ih

∂ → ηk ∂r

k La velocidad de electrón: v = η me Debido a las condiciones de frontera los valores permitidos de k son (valores enteros, positivos y negativos) kx =

2π n y 2π n x 2π n Z , ky = , kZ = L L L

Si L es grande, el espaciado entre los valores permitidos de k es muy pequeño. Entonces, el volumen en el espacio k que ocupa cada estado electrónico en tres dimensiones. 8π 3  2π    = V  L  3

Si Ω es un volumen de espacio k, el número de estado electrónico en este volumen es ΩV 8π 3

ETN-501



Ejemplo.- Calcule la longitud de onda asociada con un electrón con una energía de 1 eV si el electrón se halla dentro de GaAs, donde su masa efectiva es de 0.067 me η2 k 2 Solución.- La energía del electrón es E = 2me η2 k 2 = η2 = E 2m e 2m e

2  2π    = h  λe  2m λ2e

⇒

=

h 2m e E

Para el electrón en GaAs la longitud de onda es:

λGaAs =

h 2me* E

h

λGaAs = λe

1/ 2  1/ 2 2me E  me  =   ⇒ λGaAs = λe  me  * * h  me   me  2me* E 0 0 1/ 2 λGaAs = 12.3 A 1  = 47.5 A  0.067 

ETN-501


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O DENSIDAD DE ESTADOS 2.4

Densidad de estado.- Antes podemos calcular la densidad de portadores en un semiconductor, podemos encontrar el número de estados de cada energía. El número de electrones de cada energía se obtiene multiplicando por el número de estados con la probabilidad que un estado esté ocupado por un electrón. Puesto que el número de niveles de

energía es muy

grande y es dependiente en el tamaño del semiconductor, y entonces calculamos el número de estado por unidad de energía y por unidad de volumen El concepto de densidad de estados es muy poderoso y sus propiedades físicas tales como absorción óptica, transporte, etc. están íntimamente ligados de este concepto. La densidad de estados es el número de estados electrónicos disponibles por unidad de volumen por unidad de energía alrededor de una energía E. Se denota la densidad de estado por N(E), el número de estados en un volumen unitario, en un intervalo de energía dE alrededor de una energía E es N(E). Para calcular la densidad de estados, necesitamos la dimensionalidad del sistema y la energía v/s la relación k que obedece el electrón. Para el electrón libre tenemos la relación parabólica. η2 k 2 = E 2me

ETN-501

… (1)



Las energías E y (E+dE) están representadas por superficies esféricas con radios k+(k+dk).

En un sistema de 3 dimensiones, el volumen de espacio-k entre el vector k y  2π  (k+dk) es 4πk dk El volumen de espacio k por estado electrónico es   . Por lo  L  3

2

tanto, el número de estado electrónico en la región k y k+dk es: 4π k 2 dk k 2 kV = 8π 3 2π 2 L3

… (2)

Al denotar la energía y el intervalo de energía correspondiente a k y dk como E y dE respectivamente, vemos que el número de estados electrónicos entre E y E+dE por unidad de volumen es: k 2 dk N (E ) dE = 2π 2

… (3)

Si 2 2 m dE m kdE k 2η2 kdk η2 kdk η E= ⇒ dE = = ⇒ kdk = e 2 ⇒ k 2 dk = e 2 me 2m e 2m e η η

ETN-501

…(4)



De la ecuación (1), se despeja k =

2m e E

2m e E = η2

…(1)

η

(1) con (4) m k dk = 3e η

( )

3/ 2

( )

3/2

N ( E ) dE =

2 (m e )

2m e E dE =

2

E1/ 2

η3

dE

3/2

2 me E1/ 2 me E1/ 2 = dE dE 2π 2 η3 2π 2 η3

…(5)

El concepto de que un electrón es un fermión y puede tener dos posibles estados con una energía dada. Estos estados son llamados estados de spin. El electrón puede tener un estado de spin

h h o − . Para justificar el spin, la densidad de 2 2

estados obtenida se multiplica por 2 N (E ) =

2 (m e ) E 1 / 2 π h3 3

…(6)

Densidad de estados en sistemas bidimensionales.-

Consideramos

un

sistema de 2 dimensiones, un concepto que llega a ser realidad con el uso de barreras cuánticas. La densidad de estados

para una banda parabólica es

(incluyendo el spin).  2π  2 4π 2 2π k dk = k dk   = A A , ,  L  2π 4π 2 L2

A = L2

El número de estados electrónicos en la región entre k y dk es: N ( E ) dE = E=

h2k 2 2m e

k dk 2π 2 ⇒ dE = h 2k dk 2m e

N (E ) dE =

me dE 2π h 2

⇒ k dk = m e dE h2 …(7 )

Si el electrón tiene un estado de spin

ETN-501


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O N (E ) =

me

π h2

Finalmente, en un sistema unidimensional o hilo cuántico, la densidad de estado es (incluyendo el spin) 2dk dk L = 2π π L N ( E ) dE = E=

h2k 2 2m e

dk π ⇒

De la ecuación (1): k =

…(8)

dE =

h 2 2k dk h 2 k dk = me 2m e

⇒

dk =

me h2k

dE

2m e E h

N ( E )dE =

m e dE

πh k

N ( E )dE =

2

m e dE

=

π h2

2m e E

=

m e dE

π h 2m e E

h

2m e E m e dE 2π h m e E 2 (m e ) E −1 / 2 dE ...1 / 2 ( spin) 2π h 1/ 2

N ( E ) dE =

2 (m e ) E −1 / 2 dE πh 1/ 2

N ( E ) dE =

2 (m e ) E −1 / 2 πh

…(9)

1/ 2

N (E) =

ETN-501

…(10)



Estadística cuántica: distribución de Fermi-Dirac y de Bose y Einstein.En la estadística cuántica se describe sistemas compuestos de un gran número de partículas que se rigen por las leyes de la mecánica cuántica. Cada sistema tendrá un gran número de estados discretos, cada uno descrito por un conjunto completo

de números cuánticos, con cada partícula ocupando uno de estos

estados en el sistema. Estadística de Fermi y Dirac.La estadística

de las partículas

que poseen un spin

semientero llamado

fermiones, fue desarrollado por E. Fermi y P.A.M. Dirac. Un ejemplo de un sistema de fermiones es un gran número de electrones interactuando débilmente (spin = ½), es decir, un “Gas” de electrones. La función de distribución de Fermi y Dirac f(E), describe la distribución más probable de partículas idénticas indistinguibles, que obedecen

el principio de

exclusión de Pauli. Es un sistema de funciones en equilibrio a temperatura absoluta T, el número

esperado de partículas de un estado particular i con

energía Ei está dada por: f (E) =

La función de distribución

1 E − Ef 1 + exp( i ) k BT

… (1)

para las tres diferentes clases de partículas en

equilibrio. La función de distribución f(E) nos da la probabilidad de que el estado con energía E se encuentra ocupado. Las tres funciones de distribución

ETN-501

que


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O minimizan

la energía libre y son consistentes con las partículas clásicas,

fermiones y bosones y son: Distribución clásica Maxwell – Boltzmann f ( E ) = exp´{−(

Ei − E f )} … (2) k BT

Distribución de Fermi - Dirac f (E) =

1 E − Ef 1 + exp( i ) k BT

… ( 1)

Distribución de Bose - Einstein f (E) =

1 E exp( f ) − 1 k BT

… ( 3)

Partículas como los electrones, protones, neutrones, etc. tienen spin de medio entero y se denominan fermiones. Partículas como los fotones, mesones, etc., tienen spin valor cero o valor entero y son conocidos como bosones. Dado, la expresión para los electrones que f(E) es siempre menor que la unidad. Donde f(E)se conoce como el potencial químico o energía de Fermi y representa la energía f(EF) se convierte en ½ . Estadística de Bose y Einstein.A.

Einstein y S.N. Bose desarrollaron la estadística que se aplica para un

sistema compuesto por un gran número de partículas interactuando débilmente, idénticas e indistinguibles, cada una con un spin entero. Estas partículas llamadas bosones son los fotones, la molécula H2 y el helio líquido. La función de distribución de Bose y Einstein f(E) proporciona el número de bosones en un sistema en equilibrio a temperatura T, que se encuentra en un estado particular i con energía Ei.

ETN-501


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O f (E) =

1 Ei exp( ) −1 k BT

…(4)

Dos integrales útiles.a) Cuando ρ >-1 y se encuentra en el límite de temperatura baja kT << Ef

∫

E p ∂E

∞

=

(E−E f )

0

e

K BT

+1

∞ 1 1 d 2n {E fρ +1 + ∑ 2(k BT ) 2 n (1 − 2 n −1 )ξ (2n) 2 n ( E fρ +1 )} … (5) 2 dE f ρ +1 n =1

Donde ξ (x) es la función zeta de Rieman

ξ ( x) =

1 1 1 1 + x + x + x + ...... x 1 2 3 4

… (6)

La cual ha sido extensamente tabulada. Algunos valores son:

ξ (2) =

π2 π2 π2 = 1.645, ξ (4) = = 1.082, ξ (6) = = 1.017 6 90 945

b) con ρ>0, α≥0 y ∈=±1

∫

∞

0

q ρ ∂q = Γ( ρ + 1)ξ ( ρ + 1)..( paraα = 0,∈= +1) eq − 1

∫

∞

0

∞ q ρ ∂q e n +1e − nα ( 1 ) ρ = Γ + ∑ ρ +1 eα e q − ∈ n n =1

… (7)

… (8)

donde la función gama Γ(x) , se rige por Γ(x + 1)=xΓ(x). Algunos valores particulares son: Γ(1) = 1, Γ 1 = π , Γ( n +1) = n!...(siendo.n.un.entero) ( ) 2

… (9)

La función de distribución para los bosones (que incluye partículas ligeras: fotones, mesones, etc) muestra que f(E) puede ser mucho mas grande que la unidad en principio. Con el fin de determinar el nivel de Fermi de un gas de electrones con una densidad n, entonces: n=∫

∞

0

N ( E )∂E E − Ef exp( ) +1 k BT

… (10)

Donde N(E) es la densidad. La integral para T = Ok y E ≤ Ef

ETN-501


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O f (E) =

1 = 1; si E ≤ E f Ei − E f 1 + exp( ) K BT = 0 de otra forma

… (11)

Ef

n=

∫ N ( E )dE 0

Para sistema de 3 dimensiones tenemos que, al emplear el valor de la densidad de los estados n=∫

Ef

0

N ( E )∂E =

2 2 (m)3 / 2 E 3f / 2 2 (me )3 / 2 E f 1 / 2 E ∂ E = π 2η3 ∫0 3π 2η3 2

E = η (3π 2 n) 2 / 3 2me

… ( 12)

Esta fórmula es aplicable para metales como Cu, Ag, etc. no es aplicable para semiconductores. La cantidad Ef que es el mayor estado de energía ocupado a 0K, se llama energía de Fermi. El vector de onda correspondiente kf , llamado vector de Fermi y una velocidad vf como la velocidad de Fermi.

ETN-501

k F = (3π 2 n)1 / 3

… (13)

VF = η (3π 2 n)1 / 3 me

… (14)


FFÍÍS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O Es importante

advertir que incluso

a Ok, la velocidad

de estado más alto

ocupado es vf y no es cero, como sería el caso, se empleamos la estadística de Boltzmann. A temperaturas finitas no es fácil determinar n=f(Ef). Si la densidad de electrones es pequeña, de tal modo, que f(E) sea siempre pequeña, podemos aproximar la función de Fermi al ignorar en el denominador. Esto proporciona la función de Boltzmann. f ( E ) = exp{−(

E − Ef )} k BT

… (15)

Luego la densidad de electrones ∞

n = ∫ N ( E ) f ( E )∂E = 0

∫

0

2 (me )3 / 2 π 2η3

∫

∞

0

(k BTu )

3/ 2

e

−E k BT

e

EF

2 (me ) π 2η3

−( E − E f ) 1/ 2

E e

∂E

k BT

EF k BT

(k BT )∂u

1

∞ 2 (me )3 / 2 (k BT )3 / 2 e k BT ∫ u 2 e − u ∂u 2 3 0 π η

n=

n=

∞

E ⇒ E = (k BT )u ⇒ ∂E = k BT∂E k BT

u=

n=

2 (me )3 / 2 π 2η3

3/ 2

(k BT )3 / 2 e

EF k BT

π 2(me ) (k BT ) e = 2 23 π 3 * (η2 )3 3/ 2

3/ 2

EF k BT

EF

m n = 2( e 2 )3 / 2 (k BT )3 / 2 e k BT 2πη donde

nc = 2(

… (16)

me 3 / 2 mk T ) (k BT ) 3 / 2 = 2( e B2 ) 3 / 2 … (17) 2 2πη 2πη

Se conoce como la densidad efectiva de estados. Luego el nivel de Fermi Ef : n = N c e

EF k BT

EF

n n E = e k B T ⇒ ln( ) = F Nc Nc k BT ETN-501



E F = k BT ln(

n ) Nc

… (18)

La condición donde la densidad de electrones es pequeña, tal que f(E) sea pequeña se conoce como condición de no degeneración. La aproximación de Boltzmann puede utilizarse sólo en casos no degenerados. Si la densidad de electrones es alta de modo que f(E) se aproxima a la unidad (la condición de generación) será útil la aproximación propuesta por Joyce y Dixon. La aproximación de Joyce-Dixon está dado E F = k BT{ln(

n n )+ } Nc 8Nc

… (19)

Una vez que se conoce el potencial químico, la energía total del gas de electrones puede calcularse mediante la evaluación de la integral ∞

ETOT = ∫ N ( E ) Ef ( E )dE 0

Para el sistema

… (20)

de 2 dimensiones, donde la densidad

de los estados

es

constante, el potencial químico se conoce analíticamente un vez que se conoce la concentración del portador. La relación es: nc =

n=

ETN-501

me πη2

∫

∞

0

f ( E )dE =

me k BT E ln(1 + exp( F )) 2 πη k BT

me πη2

∫

∞

0

dE E − EF exp( ) +1 k BT

… (21)

… (22)


FFIIS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O

CAPITULO LO

2

2.1

ESTRUCTURAS DE BANDAS DEL SEMICONDUCTOR

Electrónica de estado sólido.- En los dispositivos semiconductores sean electrónicos u opto electrónicos, el estudio de interés es el comportamiento de un número grande de electrones cargados negativamente que se mueven a través de iones cargados positivamente. La densidad del número de electrones que intervienen es muy grande. Un elemento contiene 6.022 x 1023 átomos por mol (Número de Avogadro). Si

ρ es la densidad del material, el número de moles por unidad de volumen es ρ /A, donde A es la masa atómica.

El número de electrones que se encuentran libres para conducir corriente es Zc, donde Zc es el número de electrones en la capa más externa (la valencia del elemento) del átomo. La densidad de electrones para los electrones de conducción es

ETN – 501


FFIIS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O Z ρ n = 6.022 × 10 − 23  c   A 

…(1)

Para la mayor parte de los materiales, este número es 1023 cm-3. Existe una gigantesca densidad de electrones de conducción libres en el material. Se define un radio promedio r de un volumen esférico por electrón mediante:  3   ⇒ r =   4π n 

4π r 3 1 = n 3 o

1

3

…(2)

o

Su valor es de 1 A a 2 A

para la mayoría

de los materiales. Los

semiconductores tienen estructuras cristalinas que están dotados con gran orden y periodicidad. Esta periodicidad permitirá reducir el gran número de electrones en los semiconductores con lo que se facilitará que el problema sea más manejable.

2.2

Periodicidad de un cristal.-

Los cristales están hechos

de bloques

idénticos, estos bloques son de un átomo o un grupo de átomos. Mientras que en los cristales naturales la simetría cristalina esta fija por naturaleza, los nuevos avances en las técnicas

de crecimiento

o formación de

cristales han permitido a los científicos producir cristales artificiales con estructura cristalina modificada. Estos avances dependen de la capacidad de colocar capas atómicas

con control y precisión exactos durante

la

formación, lo cual conduce a las superredes. Para comprender y definir la estructura cristalina, se presentan dos conceptos importantes. i)

La red (lattice) representa un punto de puntos en el espacio que forman una estructura periódica. Cada punto tiene exactamente el mismo entorno. La red es por si misma una abstracción matemática.

ii)

Base es un grupo de átomos que forman la celda unidad. Se dice un bloque de construcción

de átomos denominados BASE. Luego, se

adjunta a cada punto de la red, lo que produce la estructura cristalina que es un arreglo periódico de átomos en el cristal.

ETN – 501



La estructura cristalina se produce ahora al unir a cada uno de estos puntos de la red. Red + base = Estructura cristalina Una propiedad importante de una red es la capacidad para definir tres vectores ρ ρ ρ ρ a1 , a 2 , a3 , de manera que cualquier punto R ’ de la red puede obtenerse de ρ cualquier otro punto R de la misma red por medio de una traslación. ρ ρ ρ ρ ρ R ′ = R + m1 a1 + m2 a 2 + m3 a 3 …(3) Donde m1, m2. m3 son enteros. Una red de este tipo se conoce como red de Bravais. Red de Bravais es un arreglo infinito de puntos en el espacio, en el cual cada punto tiene vecindad matemáticamente la red de Bravais se describe como una operación de traslación de vectores. ρ ρ ρ ρ R = m1 a1 + m2 a 2 + m3 a 3 Tipos de red Básicos.Redes cúbicas.- Existen tres clases de redes cúbicas: cúbica simple, red cúbica centrada en el cuerpo y red cúbica centrada en la cara. a)

Cúbica simple.- La red cúbica simple está generada por los vectores ρ ρ ρ primitivos a1 = a xˆ , a 2 = a yˆ y a 3 = a zˆ , donde xˆ , yˆ y zˆ son vectores unitarios.

ETN – 501



Ninguno de los semiconductores encontrados en la naturaleza tienen una estructura cúbica simple b)

Cúbica centrada en el cuerpo.- La red cúbica centrada en el cuerpo (bcc) puede ser generada a partir de la estructura cúbica simple mediante la colocación de un átomo en el centro del cubo. Los átomos se colocan en las aristas del cubo de lado a y en el centro del cubo. El cristal se forma al duplicar el cubo para llenar el espacio. Los vectores son: a a a aρ1 = (− xˆ − yˆ + zˆ ), aρ2 = (xˆ − yˆ + zˆ ) y aρ3 = (xˆ + yˆ − zˆ ) …(4) 2 2 2

c)

Cúbica centrada en la cara.- La red de mayor importancia para los semiconductores es la red Bravais cúbica centrada en la cara (fcc). Para construir la red de Bravais cúbica en la cara se agrega a la red cúbica simple un punto adicional en el centro de cada cara cuadrada. Un conjunto

simétrico de vectores primitivos para la red

cúbica

centrada en la cara es: a a a aρ1 = ( yˆ + zˆ ), aρ2 = (xˆ + zˆ ) y aρ3 = (xˆ + yˆ ) 2 2 2

ETN – 501

…(5 )


FFIIS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O Donde a es la arista del cubo, conocida como la constante de red del semiconductor. Las redes de Bravais cúbica centrada en la cara y cúbica centrada en el cuerpo, son de gran, ya que una enorme variedad de sólidos se cristalizan en estas formas con un átomo (o ión) en cada sitio de la red. 2.3

La partícula

dentro del cristal.- Bandas de energía.- Cuando un

electrón se mueve a través de la red cristalina actúan sobre él fuerzas electrostáticas que hacen variar su cantidad de movimiento, la partícula se acelera al acercarse al núcleo atómico y se desacelera al alejarse de él. Este constante cambio de su energía cinética es compensado con un aumento o disminución de su energía potencial de acuerdo a la distancia de la partícula con respecto al núcleo, se establecen por lo tanto niveles de energía potencial que delimitan el movimiento de las partículas a través de la red. En una red cristalina el potencial se distribuye periódicamente, en un cristal su distribución es tridimensional en el volumen del cuerpo. Se considera la energía potencial cero para una partícula completamente desligada del núcleo, pero aumenta rápidamente al acercarse a él, de manera estando en un nivel de energía

como él se encontrará

que

atrapado en

regiones debido a la imposición de las barreras de potencial. Cuando el electrón se halla en niveles energéticos superiores, las bandas permitidas se hacen más amplias y puede moverse con facilidad hasta el punto en las diferentes bandas adyacentes se superponen y el electrón puede desplazarse con libertad de un átomo a otro. Las bandas superpuestas en donde se mueven los electrones libremente se llama banda de conducción, en la que se hallan fijos se denominan bandas de valencia; ahora los electrones de la banda de valencia pueden pasar a la banda de conducción si existe suficiente energía.

ETN – 501


FFIIS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O Se consideran el modelo analítico de bandas de energía: •

El modelo de bandas de energía es considerar al electrón dentro del cristal como partícula libre, pero con una masa especial, llamada masa efectiva.

•

Cuando el electrón se acerca al núcleo se acelera y cuando se aleja se desacelera, esto se mantiene hasta que el electrón cae bajo la influencia del campo potencial del próximo núcleo.

•

2.4

El campo de energía potencial es periódico.

Niveles electrónicos en un potencial periódico.- La distribución regular y periódica de los iones de un cristal permite considerar a un electrón sometido a un potencial u( rρ ) con la misma periodicidad que la red de Bravais asociada.

(

)

ρ u (rρ) = u rρ + R

…(6)

ρ para todos los vectores de la red de Bravais R 2.4.1 El potencial periódico.- El problema de los electrones en un sólido puede ser descrito a partir de Hamiltoniano, que contemple la interacción de cada

ETN – 501


FFIIS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O electrón con todos los iones de la red y con los demás electrones (función de las coordenadas de pares de electrones). La primera aproximación considera al electrón independiente e inmerso en un potencial efectivo de un electrón u(r). Este potencial puede tener una diversidad

de formas, pero todas ellas satisfaciendo la condición de

periodicidad de (6) La ecuación de Schrödinger para un solo electrón toma la forma.  − η2 2   ∇ + u (rρ)ψ = E ⋅ψ  2m 

…(7)

(

)

ρ Con u potencial con la periodicidad de u (rρ) = u rρ + R

Cada electrón independiente que obedece a la ecuación de Schrödinger (7) con un potencial periódico es denominado como electrón de Bloch. Esta designación se hace para diferenciar este electrón de los electrones libres en un potencial periódico donde el potencial es constante sobre cada ión. Los electrones de Bloch satisfacen al teorema

siguiente o teorema de

Bloch. Teorema.- Los autoestados ψ del Hamiltoniano de un electrón 2

H ⋅ψ = − η ∇ 2 + u (rρ) 2m

(

…(8)

)

ρ donde u (rρ) = u rρ + R para todo vector R en una red de Bravais

puede

escogerse de modo de tener la forma de una onda plana multiplicada por una función con la periodicidad de la red de Bravais. ρ ρ ψ n kρ (rρ) = u n kρ (rρ)⋅ e j k , r

Donde

…(9)

(

)

ρ u n kρ (rρ) = u n kρ rρ + R

…(10 )

ρ para todo R de la red de Bravais.

ETN – 501


FFIIS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O ρ El n es el índice de la banda de energía, pues para cada k habrá varios niveles de energía. Luego la ecuación (10) conduce a:

ψ

ρ nk

(rρ + Rρ) = ψ

(rρ)⋅ e j k , rρ ρ

ρ nk

…(11)

La forma alternativa del teorema expresa que los auto estados de H satisfacen la relación.

ψ

(rρ) = u n kρ (rρ)⋅ e j k , rρ ρ

ρ nk

…(12)

2.4.2 Modelo de Kronig - Penny.- Kronig – Penny plantean un modelo matemático de potencial iónico periódico, que permite describir el comportamiento de los electrones dentro de un cristal.

El modelo considera a un único electrón desplazándose a través de la red, de tal manera que en la energía potencial Ep, es nulo en las regiones del tipo I y E0 en las de tipo II.

ETN – 501


FFIIS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O Los iones se ubican en las regiones del tipo I y la separación entre los mismos genera una barrera de potencial para los electrones. El movimiento de la partícula está determinado por la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: 2 ∂ 2ψ (x ) η E p − E0 = 2mψ ( x ) ∂x 2

…(13)

2 ∂ 2ψ ( x ) η + ( E p − E 0 ) ⋅ψ ( x ) = 0 2mψ ( x ) ∂x 2

…(14)

La solución de la ecuación es una función de onda de Bloch:

ψ (x ) = u (x ) ⋅ e jk x

…(15)

Donde u(x) es la amplitud con el periodo de la red l, la forma de la amplitud µ y los valores permitidos de k, son los que se deben determinar. La ecuación (13) en la región I Ep(x) = 0:

∂ 2ψ (x ) ∂x 2 α2 =

si

2mE

y

2

η

2mE

ψ (x )

…(16 )

ψ 1 (x ) = u 1 ( x ) ⋅ e j kx

…(17)

=−

2

η

Luego combinando (17) con (16): ∂ 2ψ 1 (x ) ∂x

2

= −α 2 u 1 ( x ) ⋅ e j kx

…(18)

Realizando las derivadas de la función de onda: ∂ψ 1 ( x ) ∂x ∂ 2ψ 1 (x ) ∂x

2

= jk

∂u 1 ( x ) ∂x

e

j kx

=

[

∂ u 1 ( x ) ⋅ e j kx ∂x

− ku 1 ( x ) ⋅ e

j kx

+

]

∂ 2u 1 ( x) ∂x

2

…(19) e j kx + jk

∂u 1 ( x ) ∂x

e j kx

…(20)

Reemplazando (20) con (18) y agrupando los términos

ETN – 501


FFIIS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O ∂ 2 u 1 (x ) ∂x

e j kx + 2 jk

2

∂ 2 u 1 (x ) ∂x

2

∂u 1 ( x ) ∂x

e j kx − k 2 u 1 ( x ) ⋅ e j kx = −α 2 u 1 ( x ) ⋅ e j kx

∂u 1 ( x )

e j kx + 2 jk

∂x

(

)

e j kx − k 2 − α 2 ⋅ u 1 ( x ) ⋅ e j kx = 0

…(21)

…(22 )

Por otra parte la solución en la región II E p ( x ) = E 0 ∂ 2ψ 2 (x ) ∂x

β2 =

si

2

=−

2m ( E − E 0 ) 2

η

2m ( E − E 0 )

ψ 2 ( x ) = u 2 (x ) ⋅ e j kx

y

2

η

ψ 2 (x ) …(23) …(24)

Combinando las ecuaciones (23) con (24) ∂ 2ψ 2 (x ) ∂x 2

[

∂2 = 2 u 2 ( x ) ⋅ e j kx ∂x

]

…(25)

Así derivando se obtiene la ecuación diferencial: ∂ 2ψ 2 (x ) ∂x ∂ 2 u 2 (x ) ∂x

2

2

+ 2 jk

e j kx + 2 jk

∂u 2 ( x ) ∂x ∂u 2 ( x ) ∂x

(

)

− k 2 + β 2 ⋅ e j kx ⋅ u 2 ( x ) = 0

(

)

…(26)

e j kx − k 2 − β 2 ⋅ψ 2 ( x ) ⋅ e j kx = 0

…(27)

La solución de las ecuaciones (22) y (27) tiene la forma: u1 (x ) = Ae j (α −k ) x + Be − j ( β + k ) x

…(28)

u 2 (x ) = Ce j ( α − k ) x + De − j ( β + k ) x

…(29)

Estas soluciones u(x) y su derivada satisfacen las condiciones de continuidad en los límites de las regiones: En x = 0 u1 (0 ) = u 2 (0 ) du 1 (x ) dx

= x =0

…(30)

du 2 ( x ) dx

x =0

La condición en x = -b, x = a permite introducir la periodicidad de la red (figura 6)

ETN – 501


FFIIS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O u 1 ( a ) = u 2 ( −b ) du1 ( x ) dx

= x=a

…(31)

du 2 (x ) dx

x=− b

Combinando las ecuaciones (30) y (31) con las ecuaciones (28) y(29) se obtiene de 4 ecuaciones de 4 incógnitas A+ B−C − D = 0 (α − k ) A − ( β + k ) B − (α − k )C + (α + k ) D = 0

…(32 )

Ae j (α − k ) a + Be − j (α + k ) a − Ce − j (α − k )b − De j (α + k ) b = 0 (α − k ) Ae j (α − k ) a − ( β + k ) Be − j (α + k ) a − (α − k )Ce − j (α − k )b + (α + k ) De j (α + k )b = 0

Se obtiene soluciones no triviales

para las variables: A, B, C y D si el

determinante de sus coeficientes es nulo, lo que da la condición: α 2 + β 2   sen(aα ) senh(bβ ) ; si 0 < E < E0 …(33) cos φ = cos(aα ) cosh(bβ ) −   2αβ  α 2 − β 2   sen(aα ) senh(bβ ) ; si E > E0 cos φ = cos(aα ) cosh(bβ ) −  αβ 2  

…(34)

Expresando las ecuaciones (33) y (34) en función de energía E dado que E < E0 , entonces

(

cos φ = f ( E ) = cos α

2 mE 2

η

)cosh (b

2 m ( E0 − E ) 2

η

)+

E0 E ( E0 − E )

(

sen α

2 mE 2

η

)senh(β

2 m ( E0 − E ) 2

η

)

…

(35) Esta función debe quedar entre –1 y +1 puesto que es igual al cosφ = cos(k x ⋅ l ) . La gráfica de E = f ( E ) , se obtiene:

ETN – 501



El modelo de Kronig- Penny puede simplificarse de la manera siguiente: E0 → 0

con

a≅l

y

β

⇒

E0 es constante

βb = 0

Entonces: senh( βb) ≅ βb ∧ cosh( βb) = 1 y con

β 2 >> α 2

 β2   βb  sen(aα ) + cos(aα ) = cos(k x l )  2αβ 

…(36)

 β 2b    sen(aα ) + cos(aα ) = cos(k x l ) α 2   Simplificando la expresión (36), se obtiene:

β2 =

2m 2

η

( E0 − E ) ⇒

β 2 ≅ E0

 E0 b    sen(α ⋅ l ) + cos(α ⋅ l ) = cos(k x l )  2α  n(α ⋅ l ) = cos(k x l )

…(37) …(38)

Esta función debe quedar nula entre –1 y +1 puesto que es igual al Cos φ . Se desea hallar la relación entre E y φ ó E y kx.

ETN – 501


FFIIS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O El gráfico mostrado en la fig. 7, como podemos observar que f(E) permanece entre los límites ± 1, solo para ciertas regiones. Estas energías permitidas forman las bandas permitidas y están separadas por bandas de separación. Se puede obtener la relación o la estructura de bandas E versus k del electrón en la estructura periódica, como se muestra en la figura 7, en donde las energías entre E2 y E1 forman la banda permitida, las energías entre E4 y E3 forman la segunda banda de separación, etc. El movimiento de los electrones en la red se puede asimilar a la propagación de una

onda

electromagnética

en

un

cristal.

La

dispersión

de

la

onda

electromagnética por los átomos de la red, da lugar a una onda dispersada que se refuerza cuando se satisface la condición de Bragg es: 2a ⋅ senφ = nλ

…(39)

Donde a es la distancia entre los planos y φ es el ángulo que la dirección de propagación forma con los planos de la red. Para incidencia normal ( φ =

π ), la 2

condición de Bragg se convierte en 2a = nλ . Esta es la condición a aplicar para la propagación de ondas a lo largo de la red lineal. Si las ondas (1) y (2) son reflejadas por iones sucesivas A y A’, los rayos reflejados (1’) y (2’) tiene una diferencia de camino 2a y una diferencia de fase es 2π ( 2 a ) λ

. Para una intensidad máxima de (1’) y (2’); esta diferencia de fase debe ser

igual a 2πn ,tal que

ETN – 501


FFIIS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O 2π (2a ) 2a = 2πn ⇒ = n ⇒ 2 a = nλ λ λ 2π 2a 2π 2a nπ λ= λ= ⇒ = ⇒ k= k n k n a k=

nπ a

…(40 )

Por consiguiente los valores k son aquellos para los cuales la red lineal impide el movimiento de electrones en una dirección dada y los obliga a moverse en la dirección opuesta. El conjunto de los valores de k comprendidos entre − πa y + πa constituye la primera zona de Brillouin. Para k comprendido − 2aπ y − πa entre 2π a

π a

y

, tenemos la segunda zona de Brillouin, así sucesivamente.

ETN – 501


FFIIS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O En el gráfico E = f (k ) se observa los valores de k no cercanos a los dados por la ecuación: k=

nπ a

; n = ±1, ± 2, ± 3,Λ , ± n

…(41)

La energía se aparece mucho a la de una partícula libre (indica con líneas de trazo). En consecuencia la red afecta el movimiento del electrón solo cuando k es cercano a

nπ a

, y el efecto de producir discontinuidad de energía. Para los valores

intermedios de k, los electrones se mueven libremente a través de la red. Las bandas de energía permitida son las correspondientes a las líneas llenas, y están estas bandas a la derecha de la fig. 7.

Fuerza externa sobre la masa efectiva.- Si F es la fuerza externa sobre el electrón, el trabajo hecho por esta fuerza sobre el electrón durante el tiempo dt es dE = Fvdt. Esto trae como consecuencia una variación dE en la energía del electrón. Entonces, la energía cinética del electrón es: 2 2 k E=η ∗ 2m

Si

p = ηk = m∗vg

ETN – 501

⇒

2 kdk 2 2 kdk ⇒ dE = η ∗ = η ∗ m 2m

k vg = η ∗ m

⇒

dE η2 k = dk m ∗

(velocidad de grupo) …(42)


FFIIS SIIC CA AD DE ELL E ES STTA AD DO OS SÓ ÓLLIID DO O 1 dE ηk = ∗ = vg η dk m dE = F vdt

vg =

⇒ ⇒

F=

1 dE η dk

dE dk 1 dE = =η dE 1 v dt dt dt η dk F =η

dk dt

p = ηk

Segunda Ley de Newton F=

…(43)

F = m∗ a = m∗ m∗ d 2 E η dkdt

…(44) …(45)

dv g dt

⇒

m ∗ = η2 d k dk 2

= m∗

d  1 dE    dt  η dk 

dk m ∗ d 2 E η = dt η dkdt (masa efectiva) …(44)

Si el electrón comienza en cero, su punto representativo se mueve desde O hasta A, entonces salta a B, y retrocede hasta O. En la segunda zona de Brillouin, el electrón inicialmente tiene un valor k ligeramente superior a aumenta el valor de k hasta

2π a

π a

, la fuerza aplicada

. Inmediatamente una reflexión de Bragg invierte

el momento y k salta al valor − 2aπ . Si la fuerza continua actuando sobre el electrón, k continúa

(realmente

disminuyendo en valor absoluto) hasta que alcance el valor de − πa , cuando otra reflexión de Bragg y el momento se invierte de nuevo, cambiando k al valor de

π a

.

De aquí, en adelante el proceso continúa de una manera cíclica. En consecuencia el electrón describe el ciclo C → D → E → F → G

ETN – 501



Modelo sencillo de bandas de energía.La ecuación de Schrödinger tiene soluciones para valores directos de energía en el caso de la partícula libre. Existe en el cristal un gran número de átomos que interactúan y que están distribuidos

periódicamente, por lo tanto, la energía potencial del electrón es

periódica. Así como los átomos interactúan entre sí, también lo hacen los niveles de energía y se desdoblan en tantos niveles como átomos existen en el cristal formando las bandas de energía.

ETN – 501



CAPÍTULO

FÍSICA DE SEMICONDUCTORES

3

3.1

Física De Semiconductores

En los materiales semiconductores, la banda prohibida es mucho menor ancha que los aislantes. Por lo general, a 0 K los materiales semiconductores se comportan como aislantes. Pero a medida que aumenta la temperatura lo hace su capacidad de conducción ya que este aporte de energía sirve para que los electrones puedan saltar de la banda de valencia a la de conducción. La anchura de la banda prohibida condiciona la energía que debe aportarse a los electrones para que pasen de la banda de valencia a la de conducción. El ajuste de engría debe superar lo 0.78 [eV ] . en el caso del germanio y los 1,21 [eV ] . Para el silicio. Un electronvoltio en el caso del energía que adquiere un electrón al estar sometido a la acción de un campo eléctrico en un punto cuyo potencial es de un voltio. Al saltar de la banda de valencia a la de conducción, los electrones dejan un hueco. Por lo tanto, se establecen dos corrientes, una producida por los electrones situados en el banda de conducción y otra originada por los huecos. 3.2

Semiconductores intrínsecos y extrínsecos.-

3.2.1 Semiconductores intrínsecos.- Son los semiconductores puros, en los que la conducción se debe al aumento de electrones originados por la

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O temperatura. Los portadores de carga son los electrones y huecos. Los semiconductores intrínsecos no presentan impurezas en su estructura, y están constituidos solamente por el elemento tetravalente semiconductor, Germanio y Silicio puro 3.2.2 Concentración de portador intrínseco.- Se dice que un semiconductor si es químicamente puro, es decir no contiene impurezas o sustancias distintas, de las que constituyen el material semiconductor. Se dice también que el semiconductor es intrínseco cuando la cantidad de impurezas que contiene es pequeña

comparada con los electrones y

huecos generados térmicamente (Ni). Función de distribución de Fermi-Dirac- El objetivo final de toda teoría estadística es la de encontrar una expresión matemática (distribución) que a una temperatura absoluta T proporciona cual es la probabilidad de que una partícula ocupe un nivel dado de energía E en equilibrio térmico. Semiconductores extrínsecos.Cuando un semiconductor intrínseco es dejado con impurezas, el semiconductor se convierte en extrínseco. La aparición de impurezas crea en el diagrama de bandas nuevos niveles de energía. Existen tres tipos de procesos para la adición de impurezas a la red cristalina, difusión, implantación de iones y crecimiento epitaxial. Los semiconductores extrínsecos se forman al añadir pequeñas cantidades de determinadas impurezas al semiconductor intrínseco. Esta adición efectos considerables en las propiedades de conducción

produce

del material

semiconductor. El efecto de añadir impurezas causará el incremento de la concentración de uno de estos portadores de carga (electrones o huecos) y, en consecuencia afectará considerablemente a la conductividad eléctrica. A estas

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O impurezas se conoce como sustancias dopantes, y al proceso de adición de impurezas se llama dopado del semiconductor. El dopado produce dos tipos de semiconductores extrínsecos, identificados según el tipo de portador

de carga cuya concentración ha incrementado

semiconductor de tipo N, si es que

ha incrementado la concentración de

electrones y semiconductores de tipo P si existe incrementado de huecos. •

Semiconductor de tipo N.

Cuando se introducen sustancias dopantes de tipo pentavalente (5 electrones de valencia), entonces cuatro átomos de las sustancias dopantes formarán enlaces covalentes con los átomos de Si, el quinto electrón que no comparte enlaces, es un electrón de conducción el cual será donado a la banda de conducción. Entonces diremos que el semiconductor de Si es de tipo N debido a que recibe una cantidad adicional de portadores de carga negativa y la sustancia pentavalente (P, As, Sb) se llama donador.

+4 Si

+4 Si

+4 Si

*

*

+4 Si * * +5 Si

+4 Si

*

+4 Si

-q* *

Electrón de Conduccion +4 Si

+4 Si

Fig. #1 Adicion de un electrón de Arsénico de 5 electrones de valencia

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O En un semiconductor de tipo N, la energía necesaria para llevar

el quinto

electrón de la sustancia pentavalente a la banda de conducción de manera que éste electrón se convierta en un electrón libre, dando lugar a un átomo dador ionizado (cargado positivamente). Se dice que es la energía necesaria para la ionización del átomo dador.

0.044ev (P) EC Ed

+

+

+

+

+

1.12 ev Ei Ev T=0K

T = 100 K

T = 300 K

Fig # 2 Representación de bandas de energía al introducir impurezas donadoras en el Si y efecto de temperatura.

En la fig. # 2, para el caso del fósforo el nivel energético ED está muy próximo a la banda de conducción, cuando mayor sea la temperatura de la muestra (semiconductor + impurezas), mayor será la energía conseguida por efecto térmico y mayor será el número de electrones que accederán a la banda de conducción. •

Semiconductor de tipo P.-

De manera similar, si introducen en la red de Si. Impurezas de tipo trivalente (tres electrones de valencia), aparece un enlace covalente con el resto de los átomos de Si. Sin formar, entonces es un enlace roto o una ausencia del electrón de valencia para llevar enlace. Esta deficiencia de electrón en los enlaces que

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O puede formar el átomo trivalente provoca que sea aceptado un electrón de los enlaces covalente de los átomos de Si. Formándose en consecuencia hueco en la banda de valencia. El semiconductor dopado con sustancias triviales se llama de tipo P y dichas sutancias (B, Al, Ga) se denominan aceptores.

+4 Si

+4 Si

*

* * +4 Si

+4 Si

*

* * * *

+3 B * *

* * * *

+4 Si

+q Si

*

+4 Si

º *

Hueco +4 Si

Fig # 3 Introducción de impurezas de Boro

El electrón se consigue de la banda de valencia del semiconductor, el átomo aceptor queda ionizado negativamente. La condición para la ionización de los átomos aceptores es similar a la de los átomos donores. La energía EA necesaria para la ionización del átomo

aceptor está ubicado en un nivel energético

ligeramente superior a la banda de valencia

a temperatura ambiente, existe

suficiente energía térmica para excitar los electrones desde la banda de valencia hasta el nivel EA.

ETN-501



EC Ei 0.045ev (B)

Ea Eg _

_

_

_

_ EN T=0K

T = 100 K

Nivel energético aceptor EA en el diagrama de bandas de energía del Si y efecto de la temperatura sobre la ionización de los átomos aceptores.

Fig # 4

Condición de ionización completa.A temperatura ambiente la energía térmica debida a la propia vibración de las partículas es suficiente para que todos los átomos donores estén ionizados positivamente y cada átomo aceptor esté ionizado negativamente. Vale decir cada átomo donor ha proporcionado un electrón libre a la banda de conducción y cada átomo aceptor ha generado un hueco en la banda de valencia. En el semiconductor de tipo N, por tanto, se produce el mismo número de electrones que de sustancia donora. Esta condición se llama condición de ionización completa. Entonces bajo estas condiciones puede decirse con respecto a la concentración de electrones.

n = Nd = NC ⋅ e

−

( EC − E F ) k BT

… (1)

Siendo N D la concentración de átomos donores.

ETN-501



EC Ed

EC Iones clonores

Ei

Ei Iones aceptores

EV

Ea

EV Fig # 5 Representación esquemática de las bandas de energía para semiconductores extrínsecos con iones donores y iones aceptores

La figura # 5 muestra la misma concentración de electrones en la banda de conducción (los cuales son móviles) que de iones donores en su nivel energético ED (los cuales son fijos). Luego de la ecuación anterior se puede obtener. N E C − E F = k B T ln c  Nd

  

… (2)

Tenemos el nivel de Fermi para el semiconductor de tipo N, con respecto al nivel EC Si N D >> ni (la concentración de electrones en la banda de conducción producidos por la introducción de impurezas es mucho mayor que los electrones producidos por efecto térmico, ni ) En la misma forma para el semiconductor de tipo P, se cumple la condición de ionización completa para concentración de los huecos.

ETN-501



p = N a = NV ⋅ e

−

( E F − EV ) k BT

… (3)

Siendo AA la concentración de átomos aceptores. Entonces el nivel de Fermi, con respecto al nivel EV en un semiconductor de tipo P. N E F − EV = k B T ln V  Na

  

… (4)

Si N a >> ni (la concentración de huecos en la banda de valencia producidos por la introducción de impurezas es mucho mayor que la producida por efecto térmico, ni ) Concertaciones extrínsecas.Se expresa la concentración de portadores en un semiconductor extrínseco en función

de

los

parámetros

que

definen

el

semiconductor

intrínseco,

concretamente la concentración de portadores intrínseca y el nivel de Fermi intrínseco, ni y E i , respectivamente.

n = NC ⋅ e

y

ETN-501

p = NV ⋅ e

−

−

( EC − E F ) k BT

( EF − EV ) k BT

= NC ⋅ e

= NV ⋅ e

( EC − Ei ) k BT

( EV − E i ) k BT

e

e

( E F − Ei ) k BT

( Ei − E F ) k BT

= ni e

= ni e

( E F − Ei ) k BT

( Ei − E F ) k BT

…(5)

…(6)



Fig. # 6 Semiconductor de tipo N. a) Diagrama de bandas b) densidad de estados, c) Función de distribución de Fermi, d) concentración de portadores.

ETN-501



Cuando el semiconductor tiene adulteraciones tipo N (tipo p) el nivel de Fermi se mueve hacia el borde de la banda de conducción (de valencia). En este caso, la aproximación de Boltzmann

no es muy buen y las expresiones simples que

relacionan la concentración de portador y el nivel de Fermi no son muy precisas. Un enfoque para una relación mas precisa es utilizar una función tabulada que de el valor de la integral para la densidad de carga. La densidad del portador es:

ETN-501



1 n= 2π 2

Se define

n=

 2me∗   2   η 

E − EF k BT

3

2 ∞

∫

( E − EC ) e

EC

1

⋅dE

2

( E − EF ) k BT

… (7)

+1

… (8)

nF =

E F − EC k BT

… (9)

La concentración de los electrones n es:

1  2me∗ k BT    n= 2π 2  η2 

3

2∞

∫

n e

1

2

⋅dn

( n − nF )

… (10)

+1

0

La integral de Fermi Dirac (o media integral de Fermi) ∞

1

F1 (nF ) = ∫ e ( n−nF⋅) +1 … (11) 2 n

2

dn

0

Y al aplicar la definición de la densidad efectiva N C . n=

nF > 3 ⇒

nF < − 3 ⇒

ETN-501

2 N C ⋅ F1 (n F ) 2 π

… (12)

 E F − EC   k BT

  

3

 E − EC F1 ≅ exp F 2  k BT

  

3

4 F1 ≅ 2 3 π

2

… (13)

2

… (14)



La densidad efectiva de estado

 m∗k T  N C = 2 e B 2   2π η  3

3

2

… (15)

 m∗   T  2 −3 N C (T ) = 2.512 × 10  de    cm m 300   e   3

2

19

[

]

… (16)

La densidad de estado de huecos 3

 2m ∗  2 1 N h ( E ) = 4π  2h  (EV − E ) 2  η 

… (17)

La densidad de huecos (o concentración de huecos) esta dada por: p=

Ev

∫N

h

( E ) ⋅ f h ( E ) ⋅ dE = N V ⋅ F1 (n h )

… (18)

2

−∞

Es la concentración de densidad de estados de huecos, donde  m∗ k T  NV = 2 h B 2   2 ⋅π ⋅ η 

3

2

… (19)

Es la densidad efectiva de estados de huecos, para la banda de valencia y

nh =

EV − E F k BT

… (20)

Ahora la densidad de estados de electrones y huecos 3

 2m∗  1 N e ( E ) = 4π  2 e  (E − EC ) 2  η 

ETN-501

2

… (21)


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O 3

 2mh∗  1 N h ( E ) = 4π  2  (EV − E ) 2  η  2

… (22)

Semiconductor compensado.- Con frecuencia cada átomo donor en un semiconductor de tipo n, suministra un electrón a la banda de conducción, y el electrón de concentración n, en la banda de conducción es aproximadamente igual a la concentración donora N d . En una manera similar a la temperatura

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O ambiente o temperatura elevada, cada aceptor crea un hueco en la banda de valencia de un semiconductor de tipo -p es aproximadamente igual a la concentración aceptora N a .

Si ambos, tanto los aceptores y donores son

agregados a un semiconductor, éstos compensan de cada electrón suministrado que los donores ocupan los niveles vacantes, en la banda de valencia creado por los átomos aceptores Semiconductores no degenerados.- Cuando el nivel de Fermi EF esta en la

energía de brecha, entonces (EC − E F ) y (E F − EV ) son mucho mayores que la energía ( k BT ). En consecuencia

se dice que es un semiconductor no

degenerado, cuando (EC − E F ) >> 3k BT y la integral de Fermi- Dirac.

F1 ( 2

EF − EC ) k BT

Se reduce a una función exponencial F1 = exp. ( 2

EF − EC ) k BT

La concentración de electrones está definido como:

n = NCe

E F − EC k BT

… (23)

La concentración de huecos es:

p = NV e

ETN-501

EV − E F k BT

… (24)



Semiconductor degenerado.- Cuando el nivel de Fermi E F ,está en la banda de conducción, y (E F − EC ) > 3k BT ó donde el nivel de Fermi, está en la banda de valencia y (EV − E F ) > 3k BT ,entonces el semiconductor se llama degenerado. Para un semiconductor degenerado de tipo – n: 4 F1 ≅ 2 3 π

EF − EC =

1 n≅ 2 3π

 E F − EC     k BT  2

3

2

… (25)

(

η 3π 2 ⋅ n ∗ 2mdos e

)

3

∗  2mdos  e (E F − EC )   2   η

2

3

… (26)

2

… (27)

Para un semiconductor degenerado de tipo p: 4  EV − E F    F1 ≅ 2 3 π  k BT 

ETN-501

3

2

… (28)



EV − EF =

1 p≅ 2 3π

2

(

η 3π 2 ⋅ p ∗ 2mdos h

)

3

∗  2mdos  h (EV − E F )   2  η 

2

3

… (29)

2

… (30)

En este caso el semiconductor se llama compensado Neutralidad de la carga.De manera general, si en el semiconductor extrínseco están presentes ambos tipos de impurezas (donores y aceptoras) aquella concertación mayoritaria es la que determinará el tipo de semiconductores extrínseco (p ó n), así como la conductibilidad del semiconductor. A temperaturas finitas, los electrones, serán distribuidos, pero sus números serán conservados y satisfacen la siguiente igualdad de la neutralidad de carga:

La concentración

n − ni + n d = N d

… (31)

p − pi + pa = N a

…(32)

intrínseca de portadores se cumple que ni= pi, entonces,

restando de la primera ecuación la segunda, resulta que: n − p + nd − pa = N d − N a n + nd = ( N d − N a ) + p + pa

…(33)

Donde: n=

total de los electrones libres en la banda de conducción

nd = electrones ligados a los átomos donores

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O p=

total de huecos libres en la banda de valencia

pa = huecos ligados a los átomos aceptores Nd = Los iones donores fijos ubicados en el nivel donador Na = Los iones aceptores fijos en el nivel aceptor Esta neutralidad de carga en equilibrio térmico como n + Na = p + Nd

…(34)

Considerando la Ley de acción de masas y esta última de masas y esta última igualdad

se pueden obtener las concentraciones de portadores en equilibrio

térmico para un semiconductor extrínseco n ⋅ p = ni2

…(35)

nn ⋅ pn = ni2 ( para tipo − n ) nn + N a = pn + N d

…(36)

…(37)

ni2 nn + N a = + N d ⇒ nn2 + nn N a = ni2 + nn N d nn nn2 + nn ( N a − N d ) + ni2 = 0 ó nn2 − nn ( N d − N a ) + ni2 = 0 nn =

[

1 ( N d − N a ) + ( N d − N a ) 2 + 4ni2 2

]

…(38)

Se considera el semiconductor extrínseco de tipo–n, si (Nd > Na), ahora, para el semiconductor de tipo – p (Na > Nd), implica que el portador mayoritario es el hueco y el minoritario el electrón, considerando la ley de acción de masas y la concentración de los huecos en equilibrio térmico es:

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O p p ⋅ n p = ni2 ( para tipo −p ) np + Na = p p + Nd

…(39)

…(40)

ni2 + N a = p p + N d ⇒ ni2 + p p N a = p 2p + p p N d pp p 2p − p p ( N a − N d ) + ni2 = 0 pp =

[

1 ( N a − N d ) + ( N a − N d ) 2 + 4ni2 2

]

…(41)

En resumen, en un semiconductor de tipo – n (Nd >> Na) ⇒ nn ≅ N d nn pn = ni2 …(42) Básicamente, en una material de tipo – n la población

de electrones es

mayoritaria respecto a la de huecos, se dice que el electrón es el portador mayoritario y que el hueco es el portador minoritario. En un semiconductor de tipo - p (Na >> Nd); ni. << Na = pp ≅ Na n p p p = ni2

…(43)

Función de distribución para los átomos de impurezas.La función

de distribución

de Fermi – Dirac para calcular la función de

probabilidad para un nivel de donador que tiene una energía Ed medida desde que el borde de la banda de conducción. La probabilidad de que un estado donador, esté ocupado dado por (nd es el numero de electrones ligados a los donadores, Nd es la densidad del donador)

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O nd 1 = Nd 1  E − EF exp d 2  k BT

  + 1 

…(44)

El factor ½ surge esencialmente del hecho de que hay dos estados que un electrón puede ocupar en un sitio de donador correspondiente a los estados de Spin. La probabilidad de que un hueco sea atrapado para un nivel de aceptor esta dado por (pa es el número de huecos ligados a los aceptores, Na es la densidad de aceptor) pa 1 = Na 1  E − Ea   + 1 exp F 4  k BT 

…(45)

El factor ¼ se debe a la presencia de las dos bandas, hueco ligero, hueco pesado y los dos estados de spin. Para encontrar el número de electrones en la banda de conducción y de huecos en la banda de valencia, de electrones en los átomos donadores y huecos en los niveles aceptores, se necesita emplear una computadora. Sin embargo, se puede obtener una expresión aproximada al aplicar la aproximación de Boltzamann, que es válida si Ed – Ef >> kbT y Ec – Ef >> kbT, con esta aproximación tenemos (si se supone un material de tipo – n, para el cual Na sea cero).

nd =

Nd  E − EF 1 exp d 2  k BT

  E − EF = 2 N d exp −  d    k BT  

  

…(46)

Además, tenemos que para la densidad de electrones en la banda de conducción

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O   E − EF n = N c exp −  c   k BT

  

…(47)

Entones la fracción de electrones ligados a los niveles de donador es ahora (para concentraciones intrínsecas pequeñas Nd = n + nd)

nd = n + nd

 N c exp − 

 (E − EF ) 2 N d exp − d k BT    E − EF  Ec − EF  + 2 N d exp − d  k BT  k BT  

nd 1 = n + nd  E − Ed  Nc exp − c +1 2Nd k BT  

…(48)

Con esta aproximación el nivel de Fermi no aparece en la relación y la energía de ionización del donador (Ec – Ed) y la temperatura determinan la fracción de electrones ligados nd ≅1 A bajas temperaturas, la relación n + nd (se aproxima a la unidad), de modo que todos los electrones se encuentran ligados a los donadores. Esto se denomina inmovilización de portador ahora, la fracción de huecos ligados a los niveles de aceptor (para concentraciones intrínsecas pequeñas Na = p + pa)

pa =

 (E − Ea ) 4 Na ≅ 4 N a exp − F k BT   EF − Ea    + 1 exp  k BT 

…(49)

La densidad de huecos en la banda de valencia

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O  E − EF p = N v exp v  k BT

pa = p + pa

 N v exp − 

  

…(50)

 (E − Ea ) 4 N a exp − F k BT    E − Ea  Ev − EF  + 4 N a exp − F  k BT  k BT  

pa 1 = p + pa  E − Ev  Nv exp − a +1 4 Na k BT  

…(51)

La operación de dispositivo electrónica a temperatura ambiente se supone n = Nd para materiales de tipo – n y p = Na para materiales de tipo – p. Las ecuaciones relativas para dopar.Nivel de Fermi intrínseco EFi =

 m* e  Ec + Ev 3  + k BT ln dos * 2 4  mdos h 

…(52)

Niveles donores pronosticados para un módulo parecido a hidrógeno.  ε 0  me  me e 4 Ec − Ed =   *  2 2 2  ε s  me  32π ε 0 η ε  Ec − Ed (eV ) = 13.6 0   εs 

2

…(53)

 me*     me 

Radio donora de Bohr

ETN-501



aBeff =

4πε 0η2  me  ε s     e 2 me  me*  ε 0 

…(54)

 m  ε  aBeff ( A°) = 0.52917 e*  s   me  ε 0 

Conductores, semiconductores y aislantes.-

ETN-501



El modelo de bandas expuesto anteriormente podrá aplicar satisfactoriamente la existencia de conductores, semiconductores y aislantes. Entonces para los electrones respondan al campo eléctrico externo y por tanto contribuyan a la corriente eléctrica, los electrones deben ganar energía y situarse en estados energéticos superiores. En consecuencia, solo aquellos electrones que posean estados superiores próximos disponibles vacios y permitidos responderán a la acción

de un campo eléctrico

externo. Con este

razonamiento podemos

concluir que aquellos electrones cuyas energías corresponden a las de una banda completamente llena, no contribuirán a la corriente. I banda llena = O [A] …(1) Para explicar el comportamiento eléctrico de los sólidos se distinguen

dos

situaciones en función de la temperatura T = 0[0K] y T > 0[0K] •

A T=0[0K], un sólido que tiene la banda de valencia llena

será un

aislante debido a que los electrones de dicha banda bajo la acción de una campo eléctrico externo. Además la existencia de la banda prohibida impide que los electrones puedan desplazarse hacia la banda de conducción, por el contrario, si la banda de valencia está parcialmente llena y

ETN-501

no hay banda prohibida entonces los electrones pueden


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O desplazarse hacia niveles más altos de energía en el interior de dicha banda y el sólido se comporta como un conductor. Ahora, un aislante cuya banda prohibida sea relativamente pequeña, se denominará semiconductor, aunque a T = OK, tanto el aislante como el semiconductor como aislantes perfectos •

A T > 0[0K] es posible que, en aislantes y semiconductores, algunos electrones de la bandad de valencia sean excitados térmicamente

y

lleguen a la banda de conducción y por tanto, que hagan algunos portadores disponibles para la conducción de la corriente eléctrica. La probabilidad de salto de electrones de la banda de valencia a banda de conducción

será

directamente

proporcional

inversamente proporcional a la anchura prohibida. En consecuencia, a mayor

a

la

temperatura

e

energética, Eg de la banda Eg menor concentración

de

electrones en la banda de conducción y menor conductividad eléctrica. Por otra parte, dado para estos materiales la concentración de electrones en la banda de conducción aumenta con la temperatura, la conductividad crecerá a medida que la temperatura aumenta, lo que explica así, la conecta dependencia

de la conductividad con la temperatura

para

aislantes y semiconductores. En los conductores la situación energética de los electrones ligados en la banda de valencia y parcialmente llena la banda de conducción es muy similar para los electrones libres en el modelo de Sommerfeld dentro del pozo de potencial finito. Los conductores tienen una conductividad muy alta debido al número mucho mayor de electrones que participan en el transporte de corriente. Es difícil alterar la conductividad de los metales en cualquier forma simple como resultado

de lo anterior. Por otra parte, los semiconductores tienen

conductividad cero a 0 [0K] y una conductividad bastante baja a temperaturas finitas, pero es posible alterar su conductividad en órdenes de magnitud.

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Función de trabajo es la diferencia de energía ente el nivel vacío y el estado electrónico ocupado mas alto en un metal. Afinidad electrónica es la diferencia de la energía entre el nivel vacío y la parte baja de la banda de conducción. Semiconductores directos e indirectos.•

Semiconductores directos.- En semiconductores directos la transición se realiza en la parte baja de la banda de conducción en k = 0, con el máximo de la banda de valencia. Este hecho permite que pueda darse la mínima transición energética entre las dos bandas sin que haya un cambio en el momento lineal (debido a que k no varia).

En este tipo de transiciones se observa un fotón simultáneamente a la transición electrónica entre bandas. Los semiconductores como: GaAs, InP, Ingaes, etc. son semiconductores de banda de separación directa y óptimamente activos. ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O •

Semiconductores indirectos.- En semiconductores indirectos, la forma de las bandas es tal que el mínimo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia no ocurren para el mismo valor de k. Lo que implica que una transición electrónica entre Bv y Bc debe llevar aparejado un proceso

que da cuenta del cambio de momento lineal necesario. En la

práctica esto implica que el electrón debe primero realizar una transición hacia otro estado (es un estado energético provocado por la presencia de algún defecto en la red) y desde ahí realizar la transición entre bandas sin intercambio de momento. Los semiconductores como: Si, Ge, Al, As, etc. Estos materiales tienen interacciones muy agudas con la luz y no pueden utilizarse para dispositivos ópticos eficaces. Las razones están basadas en las reglas de conservación de momento en transiciones ópticas, lo que hace difícil tener transiciones fuertes en semiconductores indirectos.

ETN-501



La energía cerca de los bordes de la banda en el punto k = ko, se representa la estructura de bandas mediante la relación: E (k , k0 ) = E (k0 ) + η

2

∑

(ki − k0i )2 mi

i = x, y, z

∗

…(2)

Donde el índice i representa las componentes x, y, Z de k y ko, para materiales con banda de separación directa ko = (0,0,0). Entonces la relación para semiconductores directos, se transforma en:

κ E (k ) = Ec + η ∗ 2me 2

ETN-501

2

…(3)


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Donde Ec, es el borde de la banda de conducción y la estructura de bandas es una simple parábola con superficies de energía iguales a las superficies de una esfera. Para materiales indirectos como el Si, la parte baja de la banda de conducción se presenta en los seis puntos

equivalentes:

2π 2π (0.85,0,0), (0, 0.85,0), a a

2π (0,0,0.85), y sus inversos. La relación del momento de energía es: a

κ κ E (k ) = Ec + η ∗l + η ∗t 2ml 2mt 2

2

2

2

…(4)

Donde kl es la parte longitud de k (es decir paralela al valor de k en el borde de la banda) y kt es la parte transversal medida desde el borde de la banda de conducción. La superficie de energía constante de la estructura de bandas es un elipsoide. Cerca de los bordes

de las bandas, los electrones en semiconductores se

comportan como si tuvieran

una masa me que se conoce como la masa

efectiva. Para semiconductores de brecha directa, la masa efectiva de los electrones en el borde de la banda de conducción está dada por la relación:

1 1 2Ρcv2 = + ∗ me E g me

…(5)

Donde para la mayoría de los semiconductores,

2Ρcv2 = 20[ev] me

…(6)

Donde me es la masa del electrón libre.

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Ahora, cerca de la parte superior de la banda de valencia hay tres curvas importantes (fig. 3). La banda de masa más pesada se denomina banda de hueco pesado (I). La segunda banda mas ligera se conoce como banda de hueco ligero (II), y la tercera, separada, por una energía ∆ i se llama banda de separación (III). Las masas de los electrones de la banda de valencia son generalmente mucho más pesadas que los situados en la banda de conducción y también son negativos. En general, la masa efectiva está definida como:

1 1 ∂2E = ∗ 2 2 2 me η ∂κ

…(7)

La densidad de estados en un sistema tridimensional

N (E) =

( )

∗ 2 mdos π 2η2

3/ 2

E1 / 2

…(8)

Donde m*dos es la masa de densidad de estados para los semiconductores de banda de separación directa se cumple que: ∗ = me∗ (masa efectiva ) …(9) mdos

Para materiales como el Si, la masa de densidad de estados para un vale:

∗ = (m1.m2 .m3 ) mdos

1/ 3

…(10)

Donde m1, m2 y m3 son las masas efectivas en las tres direcciones principales para el silicio. m*e = m1,

m *t = m 2 = m 3

m*e = es la masa efectiva longitudinal

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O m*t = es la masa efectiva transversal El silicio tiene 6 valles de bordes de la banda de conducción, entonces la densidad de estados calculada para un valle debe multiplicarse por seis para obtener la densidad total de los estados

( )

∗ 6 2 mdos N ( E )( Si ) = π 2η2

3/ 2

E1 / 2

…(11)

En el caso de las masas de la banda de valencia, existen las masas de los huecos pesados y los huecos ligeros. Se puede definir el efecto de estas dos bandas mediante una masa de densidad de estados efectiva esta dada por: ∗ mdos

3/ 2

(

= mlh∗

3/ 2

∗ + mhh

3/ 2

)

…(12)

Donde m*lh= es la masa efectiva de huecos ligeros m*hh= es la masa efectiva de huecos pesados Huecos en semiconductores.- Un estado electrónico vacío en la banda de valencia se comporta como si fuera una partícula con carga positiva y una masa efectiva dada por las propiedades de la banda de valencia. Los semiconductores están definidos como materiales

en los que la banda de

valencia se encuentra llena de electrones y la banda de conducción esta vacia a 0 [0K]. A temperaturas finitas algunos de los electrones abandonan la banda de valencia y ocupan la banda de conducción. La banda de valencia se queda entonces con algunos lugares sin ocupar. Cuando todos los estados de la banda de valencia están ocupados, la suma sobre todos los estados del vector de onda es cero, es decir.

∑k

ETN-501

i

= 0 ⇒ ∑ ki + ke ki ≠ ke

…(13)


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Este resultado es apenas una indicación de que hay tantos estados k positivos ocupados como negativos. Ahora, en la situación donde un electrón con vector de onda k, se pierde, el vector de onda total es:

∑k

i

= −ke

ki ≠ k e

…(14)

El estado perdido se denomina hueco y el vector de onda del sistema es –ke. Es importante advertir que el electrón se pierde del estado ke y el momento asociado con el hueco esta en – ke. La posición del hueco se presenta como la del electrón perdido. Pero en realidad el vector de onda kh del hueco es –ke, entonces kh = -ke.

Cuando se aplica un campo eléctrico al sistema, todos los electrones se mueven en dirección opuesta al campo eléctrico. Al mismo tiempo esto resulta

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O en el estado no ocupado moviéndose en la dirección del campo. El hueco responde entonces como si tuviera carga positiva. Por tanto responde a los campos externos eléctricos y magnéticos respectivamente, entones la ecuación del movimiento es: ρ ρ ρ ∂kh ρ v  = e ξ + h × B  η c ∂t  

…(15)

Donde • kh y vh son el momento y la velocidad del hueco. Los huecos se comportan como si tuviera una carga positiva. Esto ocurre porque los huecos de los estados ocupados en la banda de valencia responden a las fuerzas externas con una respuesta

de carga negativa propia, pero el estado del

electrón perdido responde con una respuesta de carga positiva. La masa del hueco tiene un valor positivo, aunque la masa del electrón en su banda de valencia sea negativa.

ETN-501



CAPÍTULO

4

Fenómeno de transporte de portadores

INTRODUCCIÓN

Un movimiento de portadores libres en un conductor conduce a una corriente. Este movimiento puede ser causado por un campo eléctrico debido a un voltaje externo aplicado. Pero, la citación externa puede ser también, térmico u óptico. Los mecanismos provocarlos en los portadores por acción de citación alternas reciben el nombre de fenómenos de transporte.

Entre los fenómenos de transporte cabe mencionar como fundamentales a los fenómenos de arrastre, difusión y efecto es Hall. •

Conducción por arrastré.- Se produce cuando se somete la sustancia semiconductora a una definida de potencial o a la acción de una campo eléctrica externo.

•

Conducción por difusión.- Las corrientes de portadores generados por difusión se deben a diferente concentración de estas en el semiconductor.

•

Efecto de Hall.- La corriente de portadores se crea por la acción conjunta de un campo eléctrico y una magnético sobre el semiconductor.

4-1. Fenómeno de arrastré de portadores.Se considera una muestra de semiconductor de tipo N con una concentración demora constante y en equilibrio térmico.

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Los electrones en la banda de conducción son partículas libres, y no están asociados a ninguna estructura en particular. La influencia de la Estructura cristalina está en la masa efectiva de los electrones en conducción, la cual es ligeramente diferente a la de los electrones libres, bajo las condiciones de equilibrio térmico. La energía térmica promedio de los electrones en la banda de conducción se puede obtener a partir del teorema de equipartición de energía: 1 KT por cada grado de libertad, donde K es la constante de Boltzmann y T es la 2 temperatura absoluta.

K =

3 kT 2

…(1)

Los electrones en un semiconductor tiene tres grados de libertad ya que pueden moverse en un espacio tridimensional. Por lo tanto, la energía cinética de los electrones es: 1 * 2 3 mnVth = kT 2 2

…(2)

Donde mn* = masa efectiva de los electrones y Vth = velocidad térmica. A temperatura ambiente (T= 300 oK) Vth = 107[m/s] para Si y GaAs. Vth =

3kT mn*

…(3)

Debido a la energía térmica, los electrones están en un movimiento constante en todas las direcciones. Los electrones están continuamente en movimiento, no están asociados con ninguna particular posición de la estructura. El movimiento térmico de un electrón individual se puede ver como una sucesión de movimientos aleatorios con colisiones con átomos de la estructura cristalina, con impurezas, etc. como se ve en la figura # 1,

ETN-501



Este movimiento aleatorio de los electrones conduce a un desplazamiento neto cero de un electrón en un periodo de tiempo largo. Entonces, la velocidad media de los electrones es nula. La distancia promedio entre colisiones es llamado recorrido libre medio l y el tiempo promedio entre colisiones tiempo libre medio Tc. Estas magnitudes están relacionadas con la velocidad térmica es: λ Vth = Tλ

…(4)

Para los electrones, • = 10-5 (cm) y T• = 1ps (para T= 300 oK). 4.1.2. Velocidad de arrastre.- Cuando se aplica al semiductor un campo ρ ρ ρ eléctrico (∈) , cada electrón experimenta una fuerza Fe = −e ∈

Los electrones se mueven en sentido contrario al campo eléctrico y los huecos en el mismo sentido. En consecuencia, adquieren una nueva componente de

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O ρ velocidad de arrastre Vr . Esta velocidad es, en la mayor parte de los dispositivos, mucho más pequeña que la velocidad térmica, por lo que la velocidad de arrastré puede considerarse como una perturbación de la velocidad térmica. La acción combinada de la velocidad de arrastré puede considerarse como una perturbación de la velocidad Térmica. La acción combinada de la velocidad térmica y la de arrastré da lugar a un movimiento neto de los electrones en sentido contrario al capo eléctrico aplicado. Suponiendo que todos los portadores en el semiconductor se mueven con al misma velocidad, entonces la corriente debe expresarse como la fuerza total en un semiductor por el tiempo necesario para viajar de un electrodo a otro.

i=

Q = Q = Q vr τ r λ/ vr λ

…(5)

Donde • r es el tiempo de tránsito de una partícula, que viajan con una velocidad Vr. La densidad de corriente se puede escribir como una función de cualquiera de densidad de carga • o densidad de portadores n en el semiconductor: Q vr = ζ J= vr = e n vr Aλ

…(6)

Ahora, analizaremos el movimiento de portadores considerado solamente la velocidad promedio Vr de los portadores. En virtud de la segunda ley de Newton: ρ ∂vρ ρ F = ma = m …(7) ∂t La fuerza consiste de la diferencia entre la fuerza electrostática y la fuerza de dispersión al momento en el tiempo de dispersión. Esta fuerza de dispersión es igual al momento dividido por el tiempo promedio entre eventos de dispersión. m*v F = −e ε − n r τr

ETN-501

…(8)


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Combinando ambas relaciones proporcionan una expresión para la velocidad promedio entre eventos de dispersión Combinando ambas relaciones proporcionan una expresión para la velocidad promedio de la partícula. m n* v r ∂v r m = −eε − τr ∂t * n

…(9)

Podemos considerar solamente la situación de estado estacionario en el que la partícula ha sido acelerado y alcanza una velocidad promedio constante. Bajo estas condiciones la velocidad es proporcional al campo eléctrico aplicado y se define la movilidad como la razón entre velocidad con campo eléctrico. eε = −

m n* v r eε τ ⇒ vr = − * r τr mn eτ r ε m n*

…(10)

v rn = − µ n ε

…(11)

vr = −

µn =

e τ r v rn = ε m n*

…(12)

La movilidad de una partícula en un semiconductor se espera, por tanto que sea grande si su más efectiva es pequeña y el tiempo de vida media entre intervalos de dispersión sea grande. La movilidad es un parámetro importante en el transporte de portadores ya que expresa cuantitativamente la facilidad o no de movimiento de los electrones frente  cm 2   m2   o   a la acción del campo eléctrico. Su unidad de medida es   Vs   Vs  Para los huecos en la banda de valencia se define: Vrp = µ p ε  eτ  µ p =  *r   mh 

ETN-501

…(13) …(14)


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O La densidad de corriente de electrones en función de movilidad es: J n = enµ n ε

…(15)

J p = enµ p ε

…(16)

La densidad de corriente de huecos en función de movilidad es: 4.1.3.- Resistividad.- Supongamos un semiconductor de tipo N, dopado homogéneamente cuyo diagrama de bandas en la figura # 3 donde se muestra al diagrama de bandas cuando se aplica una tensión de polarización en el terminal de la parte derecha.

Cuando se aplica un campo eléctrico al semiconductor, dicho campo realiza una fuerza sobre cada electrón. Además esta fuerza ejercida es igual al valor negativo del gradiente de la energía potencial del electrón. F = −eε = −

∂E Fi ∂x

…(17)

Para el gradiente de la energía potencial se puede utilizar cualquier parte del diagrama de bandas que sea paralelo a Ec, (EF,Ei o Ev). Es conveniente utilizar Ei pues esta magnitud es ampliamente utilizado en el caso de uniones p-n, entonces el campo es

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O ε=

1 ∂E Fi e ∂x

…(18)

La caída de tensión entre dos puntos se define como la energía empleada para mover una carga positiva unidad desde uno al otro terminales. Para mover una carga positiva desde un punto a otro entre los cuales existe una diferencia de potencial V y realiza un trabajo y la energía empleada es Eo=eV, cuando la carga llega a su destino gana una energía potencial Eo=eV. Para el electrón, se lleva desde B hasta con una diferencia de potencial V, el electrón pierde una energía potencial Eo=-eV. Variación de la energia potencial ∆E p = −eV Entonces el campo electrón, se define como:

ε =−

1 ∂E ∂V =− e ∂x ∂x

…(19)

Para un campo eléctrico constante, V diferencia de potencial y • la longitud del semiconductor. V  ε =   λ

…(20)

Ahora, la densidad de corriente neta de portadores debida a la acción del campo eléctrico externo. J = J n + J p = enµ n ε + epµ p ε J = e(nµ n + pµ p )ε

…(21)

La conductividad se define como (• m) -1:

σ = e(nµ n + pµ p ) …(22) La contribución de los electrones y los huecos a la conductividad es simplemente aditiva. La resistividad del semiconductor • (• m), es el valor recíproco de la conductividad, esta definido como:

ρ=

ETN-501

1 1 = …(23) σ e(nµ n + pµ p )


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Para el caso de semiconductor extrínsecos, generalmente hay una concentración de portadores de carga que es mayoritaria respecto a la otra, entonces: Semiconductor tipo N (n>>p);• n=1/enµn Semiconductor tipo P (p>>n);• p=1/enµp Para una concentración de impurezas (donoras y aceptoras) la resistividad de un semiconductor de tipo P es mayor que la de un semiconductor de tipo N: µn > µp, (mn* > mh*)

→•

p

>•

n.

4.2.- Fenómenos de difusión de portadores.- se considera ahora el flujo de corriente por difusión. Si no hay campos eléctricos aplicados, los portadores se mueven aleatoriamente, chocan con la red cristalina y son dispersados al azar. Un flujo neto de corriente, en tal proceso ocurre si hay gradinete de concentración de portadores. Si consideramos conducción por huecos, entonces P sea la concentración de huecos y sea ∇p su gradiente con componentes

∂p ∂p ∂p , y . Luego la densidad ∂x ∂y ∂z

de corriente de huecos será: J p = −D p ∇ p

…(24)

Se considera un perfil de concentración n(x,t) de electrones de al Fig # 4, entonces se calcula el flujo de electrones ∅(x,t) a través del plano x=xo en cualquier instante del tiempo.

ETN-501



Podemos considerar en una región del espacio una trayectoria libre media • a cada lado de xo, de la que los electrones pueden provenir a través de la frontera x=xo en el tiempo de dispersión •

disp.

Los electrones de regiones adicionales

aparte sufrirán colisiones que cambiarán en forma aleatoria sus direcciones. En las dos regiones denominadas n1 y n2 las regiones se mueven de manera aleatoria, la mitad de los electrones en la región n1 irán a través de x=xo hacia la derecha y la otra mitad irán hacia al izquierda en le tiempo de dispersión •

disp.

El

flujo hacia la derecha es entonces

φ n ( x, t ) =

(n1 − n 2 )λ 2τ disp

…(25)

donde n1 y n2 son las densidades de portador promedio en las dos regiones. Ya que las dos regiones propiamente tales se encuentran separadas por la distancia • , entonces: ∂n( x, t ) n1 − n 2 ≈ − λ ∂x

…(26)

Donde • es la distancia libre media para los electrones, ese decir la distancia que viajan los electrones entre colisiones, luego, el flujo neto es:

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O 2 ∂n( x, t ) ∂n ( x , t ) φ n ( x, t ) = − λ = − Dn ∂x 2τ disp ∂x

…(27)

Donde Dn es el coeficiente de difusión del sistema electrónico y dependen de los procesos de dispersión que controlan • y el tiempo •

disp.

Puesto que la

trayectoria libre media es esencialmente: λ = v th τ disp

…(28)

Donde Vth es la velocidad térmica media, el coeficiente de difusión de la temperatura, entonces: 2

Dn = λ 2τ disp

…(29)

De la misma forma, el coeficiente de difusión de los huecos proporcionan el flujo de huecos debido a un gradiente de huecos.

φ p ( x, t ) = − D p

∂p ( x, t ) ∂x

…(30)

Donde Dp es el coeficiente de difusión de los huecos. En consecuencia el flujo de electrones y huecos, puede fluir una corriente en la estructura cristalina, que en ausencia de un campo eléctrico está dada por la carga multiplicada por el flujo de partículas. J diff = Jn (diff ) + Jp (diff ) = eD n

∂n ( x , t ) ∂p ( x, t ) − eD p ∂x ∂x

…(31)

Tanto los electrones como huecos se mueven en la dirección de la menor concentración de electrones y huecos respectivamente, las corriente que conducen ellos son opuestas debida a la diferencia de sus cargas. Transporte por deriva y difusión; la relación de Einstein.- en muchos dispositivos electrónicos la carga se mueve bajo la influencia combinada de campos electrónicos y gradiente de concentración. La densidad de corriente está dada por: J n ( x ) = − eµ n n( x )ε ( x ) + eDn

ETN-501

dn( x , t ) dx

… (32)



J p = eµ p p( x )ε ( x ) − eD p

dp( x , t ) dx

… (33)

Las movilidades de electrones y huecos no son constantes. En campos de gran intensidad las movilidades disminuyen y el factor alcanza una constante correspondiente con la velocidad de saturación. Así la corriente de deriva se satura y llega ser independiente del campo. El efecto de los campos eléctricos sobre las bandas de energía del semiconductor. Las bandas de energía representan los niveles de energía del electrón, incluso el efecto de la carga negativa. Si se aplica un campo eléctrico

ε ( x ) , la fuerza sobre los electrones es − e ε ( x ) y por lo tanto la energía potencial u( x ) y la fuerza estarán relacionados por: F = −∇u( x ) … (34) Para un campo eléctrico uniforme podemos escribir: u( x ) = e ε ( x ) ⋅ x

… (35)

Así, puesto que la carga del electrón es negativa, las bandas se encurvan. Ec ( x ) = Ec ( ε = 0 ) + e ε ( x ) ⋅ x

… (36)

Si un potencial positivo es aplicado a la izquierda del material y el otro negativo a la derecha, las bandas se doblarán. La deriva de los electrones descenderá en al imagen de la banda de energía y así opuesto al campo (Fig.#3). En equilibrio, las corrientes totales de electrón y hueco son individualmente cero. J n ( x ) = − e µ n n( x )ε ( x ) + eDn

ε( x ) =

1 Dd dn( x , t ) n( x ) µ n dx

dn( x , t ) =0 dx … (37)

Si suponemos que la función de distribución del electrón esta dado por la distribución de Boltzmann:

[

n( x ) = ni exp −

ETN-501

EF − EF ( x ) k BT

]

… (38)


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Donde EFi y EF son el nivel de Fermi intrínseco y el nivel de Fermi en presencia de cargas extrínsecas:

[

ni dn( x ) =− exp − dx k BT

E Fi − E F ( x ) k BT

] dEdx

Fi

dn( x) n( x)  dE F i dE F  =− − dx k B T  dx dx

   

−

dE F   dx 

… (39)

En equilibrio, el nivel de nivel de Fermi no puede variar espacialmente de otro modo la probabilidad de hallar electrones a lo largo de una posición de energía constante variará a lo largo del semiconductor. Puesto que no está permitido por difusión de las condiciones de equilibrio, el nivel de Fermi tiene que ser constante en equilibrio. dE F =0 dx

… (40)

El campo eléctrico está definido en función de

ε =− Si

1 dE F i e dx

dE F i dx

…(41)

dn( x) n( x) dE F i =− dx k BT dx

Luego, con la ecuación (37) e Dn  dn( x)  1 − =0 dx  µ n k B T 

e Dn dn( x, t ) dn( x) n( x) e Dn 1 dn( x, t ) = = dx k B T µ n n( x) dx µ n k B T dx ⇒

e Dn dn( x) ≠ 0 ∨ 1= µ n k BT dx k B T Dn = µn e

… (43)

Por el mismo procedimiento se obtiene: k BT D p = µp e

ETN-501

… (44)


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Estas últimas educaciones son la relación de Einstein que satisface para electrones y huecos. Para campos eléctricos de gran magnitud, la movilidad disminuye como un inverso del campo eléctrico debido a la Disminución del tiempo de dispersión

El coeficiente de difusión también tiene

el mismo final. Para campos de gran intensidad la relación de Eisntein no se mantiene, así como también lo hace para campos de baja intensidad, puerto que la función de distribución electrónica es bastante complicada. Efecto de Hall.- Cuando por una muestra semiconductora circula una densidad ρ ρ de corriente J perpendicular a un campo magnético B , éste provoca la aparición ρ ρ de un campo eléctrico normal al plano determinado por B y J . Este mecanismo recibe el nombre de efecto Hall y puede ser usado para determinar algunas características de semiconductores como: el tipo de portador (hueco o electrón), la concentración o la movilidad. También es la base de dispositivos utilizados en la medida de campos magnéticos.

Supongamos una muestra de semiconductor de tipo P,(Fig.# 1) sometida a una diferencia de potencial V en la dirección X. Esta diferencia de potencial origina un campo eléctrico en la dirección de x, ε x el cual por el fenómeno de arrastre proporcionará una velocidad a los huecos Vx en la dirección x. En esta situación

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O se aplica a la muestra semiconductora un campo magnético a lo largo de la dirección z,Bz.

ρ ρ ρ La fuerza de Lorentz F = e v × B (en magnitud, e v x ⋅ B z )

debida a la presencia

del campo magnético ejercerá una fuerza ascendente (en la dirección y) sobre los huecos que juegan en el eje x. Como consecuencia de esta fuerza, la velocidad de los huecos presentará una componente en el eje y. El resultado será una acumulación de cargas positivas en la parte superior de la muestra y negativos en la parte inferior de la misma. Esta acumulación de cargas creará ahora otro campo eléctrico en la dirección y orientado hacia abajo ε y . Entonces, no se produce un flujo neto de corriente en la dirección y, en las fuerzas eléctrico y magnético son iguales tal que la fuerza resultante es cero. F0 = e ε y − e v x ⋅ B z = 0 ε y = vx ⋅ Bz

e ε y = e vx ⋅ Bz

⇒

La única corriente existente en el semiconductor es la corriente I proporcionada por la fuente externa V, de arrastre en la dirección x es VX. Donde ε y es campo eléctrico Hall, y la diferencia de potencial eléctrico creado por este capo, se llama voltaje de Hall vH. Luego la velocidad VX es la velocidad de arrastre de huecos, la densidad de los huecos: J p = e p vp

⇒

vx = v p =

Jp ep

En consecuencia:

ε y = vx ⋅ Bz =

Jp ep

B z = RH J p Bz

1 Donde: R H = coeficiente de Hall ( R H > 0 ) ep El campo eléctrico de Hall es proporcional al producto de la densidad de corriente y el campo magnético. El coeficiente de proporcionalidad de RH es llamado coeficiente Hall. Para los electrones en un semiconductor de tipo N: ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O v x = vn = −

Jn en

ε y = vx ⋅ Bz = − Donde: R H = −

⇒

J n = −e n v n

Jn Bz = RH J n Bz en

1 coeficiente de Hall ( R H < 0 ) en

A partir de al medida de este coeficiente, se pueden obtener las medidas de concentración de portadores. Así para un semiconductor de tipo P. p= Donde:

J p B z (I A) ⋅ B z I Bz w 1 = = = e RH eεy e (V H w) e V H A

w es el espesor de la muestra (eje y) A sección transversal I corriente de huecos

Para semiconductor de tipo P los portadores mayoritarios son los huecos, la corriente I es debida a la densidad de huecos Ip (mucho mayor que la densidad de electrones). El campo eléctrico es:

εy =

VH w

VH = ε y w = (RH

I A

B z )w

En un semiconductor de tipo P; R H > 0 ⇒ V H > 0 En un semiconductor de tipo N; R H < 0 ⇒ V H < 0 n=

J B 1 = n z e RH eεy

Inyección de Portadores.- El proceso por el cual se introducen portadores de carga en exceso recibe de inyección de portadores. A los portadores que se han introducido externamente se les llama portadores en exceso. Existen varios métodos diferentes de inyección de portadores en un semiconductor entre las cuales cabe destacar la excitación óptica. También hay un proceso de inyección de portadores en exceso para el caso de unión P-N directamente polarizada. En

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O el caso de excitación óptica, se irradia energía del fotón de la luz hf > E g

la muestra del semiconductor. Si la

(anchura de la banda prohibida E g del

semiconductor), el fotón es absorbido por el semiconductor por el semiconductor generándose un par electrón – hueco.

Proceso de generación – recombinación directa entre bandas.- El proceso de generación directa ocurre cuando un electrón es excitado directamente desde al banda de valencia a la banda de conducción, dando como resultado un gran electrón – hueco. Por el contrario, la recombinación directa ocurre cuando un electrón cae desde al banda de conducción directamente a la banda de valencia, eliminándose tanto el electrón como el hueco. Si llamamos Gth al número de electrón – hueco producidos por generación por unidad de volumen y por unidad de tiempo y Rth al número de pares de electrón – hueco aniquilados por recomendación, pero en equilibrio térmico ambas. Son iguales, entonces se cumple la ley de acción de masas pn = n i2 .

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Cuando es introducido un exceso de portadores en el semiconductor, hay una alta probabilidad de que los electrones y huecos se recombinen directamente. En forma general es lógico pensar que la velocidad de recombinan R sea proporcional al número de electrones disponible en la B. de C. (n) y al número de huecos disponibles de la B. de V. (p),

entonces:

R= βnp Donde β

… (1)

es la constante de proporcionalidad. En equilibrio térmico las

velocidades de generación y recombinación son iguales. Por tanto para un semiconductor de tipo N. Gth = Rth = β nn 0 pn 0

… (2)

Donde nn0 y pn0 son las concentraciones respectivas de electrones y huecos en el semiconductor de tipo N en el equilibrio térmico. Cuando se produce una excitación externa (hay luminoso) Que incrementa la concentración de portadores minoritarios. Entonces el proceso de generación recombinación actúa para reducir la concentración de estos portadores causando que la velocidad de recombinación supere a la velocidad de generación. G = GL + Gth

… (3)

El efecto es doble. Por un lado se altera la velocidad de generación de poner electrón – hueco ahora ya no solo se atribuye al caso de equilibrio térmico sino también la excitación térmica. Al existir un exceso de portadores, las poblaciones

(nn 0 + ∆n )

en las dos bandas quedarán alteradas,

y

( pn 0 + ∆p )

respectivamente de forma que la nueva velocidad de recombinación será R = β (n n 0 + ∆n )( p n 0 + ∆p ) … (4) Donde ∆n y ∆p son las concentraciones en exceso de portadores introducidas, se cumple

∆n = ∆p

(se conserva la neutralidad de carga). El cambio que

experimentará la concentración de huecos (portadores minoritarios) vendrá dado por la velocidad neta de generación recombinación:

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O dp n = G − R = G L + Gth − R dt Existe un proceso de variación de dicha concentración

con el tiempo hasta

llegar al caso estacionario se estabiliza en un valor constante (dicho valor constante será superior al equilibrio térmico p n 0 , ya que se ha inyectado portadores minoritarios en exceso): dp n = 0 ⇒ G L = R − Gth = u dt La cantidad U recibe el nombre de velocidad recombinación neta. Siguiendo el estado estable y sustituyendo R y Gth

queda:

u = β (n n 0 + ∆n )( p n 0 + ∆p ) − β n n 0 p n 0

∆p∆n = 0

u = β [n n 0 p n 0 + n n 0 ∆p + ∆np n 0 + ∆n∆p − n n 0 p n 0 ] = β (n n 0 ∆p + p n 0 ∆n ) Bajo nivel de inyección ∆p , n n 0 >> ∆p (concentración de portadores mayoritarios mucho

mayor que la concentración de portadores en exceso). Para

semiconductor tipo N, n n 0 >> p n 0 y ∆p = p n − p n 0 u = β n n 0 ∆p = β n n 0 ( p n − p n 0 ) =

∆p = p n − p n 0

p n − p n0 p n − p n0 = 1 τp β nn0

→ Exceso de portadores minoritarios.

Significa que la velocidad de recombinación neta es proporcional al exceso de portadores minoritarios. La constante de proporcionalidad τ p =

1 es el tiempo β nn0

de vida media de portadores minoritarios en exceso. Para un semiconductor de tipo P: u=

ETN-501

n p − n p0

τn

y τn =

1 β p n0


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O El significado físico del tiempo de vida media puede ser comprendido analizando la respuesta del dispositivo cuando se retira súbitamente cuando se retira la fuente de luz. Consideremos una muestra del semiconductor de tipo N, que esta iluminada y en la cual los pares electrón – hueco son generados de forma uniforme en toda la muestra con una velocidad de generación G L . dp n = G − R = G L + Gth − R = 0 ⇒ G L = R − Gth = u dt p − p n0 GL = n p n = p n 0 + τ pG L τp En un tiempo arbitrario, la luz es apegada. La variación que experimentará la concentración de huecos será ( G L = 0 ): dp n p − p n0 = Gth − R = −u = − n dt τp (-) es debido a que la concentración de huecos experimente una disminución 8predomina la recombinación frente a la generación), se obtiene

p n (t )

resolviendo la ecuación diferencial: dp n 1 ( p n − p n0 ) = 0 + dt τ p t=0 ⇒

p n (t = 0) = p n 0 + τ p G L

t →∞ ⇒

p n (t → ∞) = p n 0

(La concentración de huecos tiende a la concentración de huecos en equilibrio térmico). La solución será: pn (t ) = p n 0 + τ p GL ⋅ e

ETN-501

− t

τp



Proceso de generación – recombinación indirecta.

Existen 4 procesos que dan lugar a la generación y recombinación indirecta en semiconductores. En la fig # 4, donde existe un estado localizado aceptar ligeramente por encima del centro de la banda prohibida. El 1er proceso es el de captura de un electrón por el estado localizado, mientras que el inverso, segundo proceso, ocurre cuando el electrón es llevado desde el estado localizado a la banda de conclusión y es conocido como emisión de un electrón.

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O El 1er proceso, conocido como captura de un hueco, corresponderá a la transferencia de un electrón desde el estado localizado hasta la banda de valencia. Finalmente, el 4to proceso corresponde a la transición de su electrón desde la banda de valencia hasta el estado localizado, dejando un hueco detrás y el llamado emisión de un hueco.

Los estados localizados son centros de generación, recombinación o desvíos. Estos centros de recombinación son debidos a imperfecciones en la estructura cristalina, causados por dislocaciones o defectos del cristal o por la presencia de impurezas, las cuales pueden haber sido introducido de forma deliberada. a) En volumen.- En primer se considerará una situación de equilibrio térmico. La existencia de impurezas o defectos en el cristal da lugar a la presencia de niveles de energía incluidos en la banda prohibida del semiconductor. Estos niveles de energía son los centros de generación – recombinación que son utilizados por los electrones y huecos como etapas en los procesos de generación – recombinación indirecta.

ETN-501



Un electrón de la B.C. es capturado por el centro cuando un centro es ocupado por un electrón ya no puede ser ocupado ese nivel por otro electrón que se capture. En consecuencia, la velocidad de captura de ese u los electrones serán proporcionales a la concentración de centros que toda vía no están ocupados (los centros que permanecen neutros). Sea

N t la concentración de centros en el

semiconductor, entonces la concentración de centros no ocupados vendrá dado por

N t (1 − F ) . Siendo F la probabilidad de que un centro sea ocupado por un

electrón. Luego es función de distribución de Fermi – Dirac.

F( E ) =

1 1 + e ( Et − E F ) / k B T

E t : nivel de energía del centro. E F : nivel de Fermi. Ra = K a nN t (1 − F ) (velocidad de captura de electrones) De esta forma, la velocidad de captura de electrones R por este proceso será proporciona a la concentración de centros no ocupados y a la de electrones de la B.C.

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O La velocidad de emisión electrónica Rb será proporcional a la concentración de centros ocupados por electrones, o sea

N t F entonces:

Rb = K b N t F (velocidad de emisión de electrones) La constante Kb recibe el nombre, la probabilidad de emisión. Bajo las conclusiones de equilibrio térmico, las velocidades de captura y emisión electrónica consideran: R a = Rb

⇒

Kb =

K a n(1 − F ) F

Luego la concentración de electrones en equilibrio término y la función de contribución de Fermi para el nivel energético del centro.

n = n i e ( E F − Et ) / k BT 1− F = e ( Et − E F ) / k BT F K b = K a n i e ( Et − E F ) / k B T Esta última expresión significa que si el nivel del centro E esta cerca de la banda de conducción (Et – Ei aumenta), la emisión de electrones desde los centros aumenta la probabilidad. La velocidad de captura de un hueco por parte de un cuerpo será proporcional a la concentración de electrones presentes en los centros: Rc = K c pN t F (velocidad de captura de un hueco por parte del centro) La velocidad de emisión de un hueco (o lo que es lo mismo de que un electrón de la B.V. pase al centro) será proporcional a la concentración de centros no ocupados por electrones: Rd = K d N t (1 − F ) (velocidad de emisión de un hueco) Kd

→ la probabilidad de emisión de un hueco.

K d = K c n i e ( E F − Et ) / k B T La probabilidad de emisión de un electrón de la B.V. aumenta a medida que el nivel del centro esté más cercano a la banda de valencia.

ETN-501


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Experimentalmente se pueden medir las constantes N t , E t , K c y K a , mediante el uso de las expresiones iniciales para R a , Rb , Rc y Rd determina la emisión de una recombinación indirecta bajo condiciones de no equilibrio.

Bajo la situación de no equilibrio de un semiconductor de tipo N, el cual mediante excitación uniforme produce una velocidad de generación G L . En situación de estado estable, la velocidad de abandono de los electrones de la B.C. será igual a la de incorporación a esta banda: dn n = G L − ( R a − Rb ) = 0 dt Para huecos en la B. de V.

dp n = G L − ( Rc − R d ) = 0 dt

Bajo condiciones de equilibrio térmico GL = 0 y Ra = Rb y Rc = Rd pero en equilibrio dinámico Ra ≠ Rb y Rc ≠ Rd , entonces G L = R a − Rb = Rc − R d Tomando

las

expresiones

anteriores

( Et − E F ) ( E F − Et )     k BT k BT K a N t  n n ( 1 − F ) − ni e ⋅ F  = K c N t  p n F − ni e ⋅ ( 1 − F )    

Eliminando F y resolviendo para la velocidad de recombinación neta definida como: u = Ra − Rb

ETN-501

u ≅ K c N t ( pn − pn0 ) =

pn − pn0 τp


F FÍÍS SIIC CA AD DE EL LE ES ST TA AD DO OS SÓ ÓL LIID DO O Bajo inyección en un semiconductor de tipo N ( nn >> pn ,después de la inyección de portadores la concentración de electrones en la B. de C. sigue siendo mucho mayor que la de los huecos en la B. de V.)y que los centros presentan un nivel cercano a la B.P.: nn >> ni e( Et − E F ) k BT El tiempo de vida media para los electrones y los huecos. El caso considerado, el tiempo de vida media para los huecos en el semiconductor de tipo N es:

τp =

1 K c Nt

EESSTTAA EESS UUNNAA CCOOLLAABBOORRAACCIIÓÓNN DDEE LLOOSS AALLUUMMNNOOSS DDEE EETTNN--550011 FFÍÍSSIICCAA DDEELL EESSTTAADDOO SSÓÓLLIIDDOO;; DDEELL SSEEMMEESSTTRREE II//22000055 UUNNIIVVEERRSSIITTAARRIIOOSS,, CCAAPP..11--44:: VVIICCTTOORR SSEERRAAFFÍÍNN AARRRROOYYOO AAZZOOGGUUEE.. EESSTTEEFFAANNNNYY EELLIIZZAABBEETTHH CCÁÁRRDDEENNAASS AARRCCEE.. JJUUAANN PPAABBLLOO NNAAVVIIAA EESSQQUUIIVVEELL.. RRUUDDDDYY RREENNAANN TTIINNIINNII HHIILLAARRIIÓÓNN.. RROOBBYY JJHHOONNNNAATTAANN PPOORRTTUUGGAALL ZZAAMMBBRRAANNAA.. BBAAJJOO LLAA RREEVVIISSIIÓÓNN DDEE EELL IINNGG.. TTEEOODDOORROO BBUUSSHH DD..

ETN-501


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO

CAPITULO

5

FÍSICA DE LA UNIÓN P-N

5.- Introducción.Este capitulo se discutirá las propiedades de las clases de uniones. Una unión muy importante es la unión P N en la que la naturaleza de las adulterantes se altera a través de una frontera para crear una región que es de tipo p, próxima a una región que es de tipo n. La unión p-n desempeña un importante papel en las aplicaciones de la electronica moderna, así como en la construcción y aplicación de otros dispositivos semiconductores. Se utiliza por ejemplo en aplicaciones de rectificación, conmutación, etc. y puede utilizarse para producir efectos no lineales muy fuertes. Además, es un dispositivo fundamental en la construcción de otros dispositivos semiconductores tales como los transistores de efecto de campo o dispositivos para aplicación en microondas o fotonicos. En otra clase importante de uniones intervienen semiconductores y materiales. Estas uniones son importantes porque permiten un flujo de carga suave y fuera de los semiconductores, digamos desde baterías. Cuando se utilizan para tales propósitos estas uniones metal-semiconductor llamados barrera de Schotky pueden emplearse para controlar eléctricamente el área de flujo de una película semiconductora.

5.1.- La unión p-n no polarizada La unión p-n es una de las de mayor importancia en la electronica de estado solidó. Esta unión se emplea como un dispositivo en aplicaciones como: rectificadores, circuitos formadores de onda, laseres, detectores, etc. En la figura # 1, mostramos esquemáticamente los semiconductores de tipo p y de tipo n sin formar una unión entre ellos. Se han mostrado las porciones de nivel de Fermi, las bandas de conducción y de valencia, y el nivel de energía del vació. La afinidad electronica x definida como la diferenciación de energía entre la banda de conducción y el nivel de vació, también se ha mostrado junto con la función de trabajo (φsp ó φsn ) .

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

-1-


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO La función de trabajo representa la energía requerida para remover un electrón desde el semiconductor hasta el nivel vació “libre” y es la diferencia entre el nivel de vació y el nivel de Fermi.

Evac

Evac

ex

ex eφsp

_ _ _ _ _ _ _ _ S S S S S S S S

Ec

eφsp

_ R _ R _ R _ R_ R_ R_ R_ R

E fp

Ec E fn

Ev

Ev

Evac Evac

Ec EF Ev

RRR R R R R R S S S S S SS S S

xp

xn

Ec EF Ev

Figura # 1

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

-2-


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO Sabemos que en ausencia de cualquier polarización aplicada no hay corriente en el sistema. También sabemos que en ausencia de cualquier flujo de corriente, el nivel de Fermi es uniforme a todo lo largo de la estructura. Pueden identificar 3 regiones: i)

La región de tipo p en el extremo izquierdo, donde el material es neutro y las bandas son planas. La densidad de los aceptores balancea exactamente la densidad de los huecos.

ii)

La región de tipo n en el extremo derecho, donde de nuevo cuenta el material es neutro y la densidad de los donadores inmóviles balancea exactamente la densidad de los electrones libres.

iii) La región de agotamiento donde las bandas están curvadas y hay un campo que ha barrido los portadores móviles dejando atrás aceptores negativamente cargados en la región p y donadores positivamente cargados en la región n. En la región de agotamiento, que se extiende una distancia x p en la región p y una distancia xn en la región n hay un campo eléctrico. Cualesquiera electrones o huecos en la región de agotamiento son apartados por este campo. Entonces se presenta una corriente de deriva que contrarresta la corriente de difusión que surge debido a la diferencia entre las densidades de electrones y huecos a través de la unión. Existe la corriente de deriva electronica y corriente de difusión electronica, así como las corrientes deriva de huecos y de difusión de huecos. Cuando no se tiene polarización aplicada, estas corrientes se cancelan entre si individualmente. La densidad de corriente de huecos es:

 dp ( x )  J p ( x ) = e  µ p p ( x ) E ( x ) − Dp =0 dx   Deriva

Fig. # 2

Difusión

SSS RRR SSS RRR SSS RRR SSS RRR

xp ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

...1

-3-

xn INGENIERO TEODORO BUSCH

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO → Flujo de partículas de difusión → flujo de corriente de difusión Huecos

← Flujo de partículas de deriva ← flujo de corriente de deriva

← Flujo de partículas de difusión → flujo de corriente de difusión Electrones

→ Flujo de partículas de deriva ← flujo de corriente de deriva

J n ( x ) = −eµn n ( x ) E ( x ) + eDn

dn ( x ) dx

... 2

Jp ( x ) = eµ p p ( x ) E ( x ) − eDp

dp ( x ) dx

... 3

La movilidad µ p es dependiente del campo, la densidad de la corriente de deriva en la región de agotamiento es realmente e p ( x ) vs ( x ) e mide pendiente de E, donde vs es la velocidad saturada. Esto es porque en la región de agotamiento el campo es muy grande incluso bajo equilibrio. De manera semejante D p no es constante sino depende del campo. La razón entre µ p y D p esta dado por la relación Einstein.

µp Dp

=

e K BT

... 4

Para una corriente neta cero:

µp Dp

E ( x) =

El campo E = − µp Dp

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

E ( x) = −

1 dp ( x ) p ( x ) dx

... 5

dV , la relación de Einstein dx

e dV ( x ) 1 dp ( x ) = K BT dx p ( x ) dx

-4-

... 6



Pp

Pn

np

nn

p

n

−xp

xn

0

x

Vn V1C

Vp

+e eV1C

p+e

eV p

EC

eVn Fig. # 3

EFi

EV

Sean Vp y Vn los potenciales en el lado p y en el lado n neutral respectivamente. Entonces el potencial esta constituido en función de p p y pn son las densidades de huecos en las regiones neutrales de tipo p y tipo n respectivamente. Entonces:

−

e K BT

Integrando, se obtiene:

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

∫

Vn

Vp

−

dV = ∫

pn pp

dp p

... 7

p  p e Vn − Vp ) = ln n = − ln  p  ( K BT pp  pn 

-5-


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO VIC = Vn − Vp VIC =

K BT  p p  ln   e  pn 

... 8

Ahora, el potencial interconstruido en función de nn y n p que son las densidades electrónicas en las regiones de tipo n y de tipo p, respectivamente. Entonces:

e K BT

∫

Vn

Vp

dV = ∫

np

Integrando, se obtiene:

VIC =

nn

dn n

... 9

 nn  e V V − = ln ( n p )  n  K BT  p

K BT  nn  ln   n  e  p

...10

La ley de acción de masas, define:

nn pn = n p p p = ni 2 ...11 Combinando las ecuaciones 9 , 10 y 11

K BT p p nn K BT  nn p p ln = ln  n p e pn nn e  p p K T  nn p p  VIC = B ln  ...12  e  ni  VIC =

  

Para un semiconductor de tipo n N d >> N a y ni << N d ⇒ nn ; N d y para un semiconductor de tipo p, N a >> N d ∧ ni << N a ⇒ p p ; N a . Entonces, el potencial interconstituido bajo estas condiciones es:

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

-6-


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO VIC =

K BT  N a N d  ln   2 e  ni 

...13

Igualando las expresiones 8 y 10 Luego, se obtiene las ecuaciones:

pp pn

=

evic nn = e K BT np

p p = pn = e nn = n p = e

evic

evic

K BT

K BT

...14 ...15 ...16

En la relación V1C es el voltaje ínter construido en ausencia de cualquier polarización externa. Calculemos ahora la anchura de agotamiento para el diodo sin aplicación de polarización.- En la región de agotamiento, la densidad de portadores móviles de electrones y huecos es muy pequeña en comparación con la carga de fondo fija. En la región de agotamiento hay una región de carga negativa (debido a los aceptores) que se extiende desde la unión hasta el punto x p en el lado p y una región de carga positiva (debido a los donadores) que se extiende desde la unión hasta ( xn ) .- La carga total negativa y positiva tiene la misma magnitud, de modo que tenemos la igualdad:

Ax p N a = Axn N d

...10

Donde A es la sección transversal de la estructura p-n y N a y N d son las densidades uniformes de adulteración para los aceptores y donadores. Se resuelve la ecuación de Poisón considerando la aproximación de agotamiento.

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

-7-


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO d 2V ( x ) dx 2

=0

− ∞ < x < −xp

... 10

− xp < x < 0

... 11

0 < x < xn

... 12

d 2V ( x ) eN a = dx 2 ε d 2V ( x ) dx

2

d 2V ( x ) dx 2

=−

eN d ε

=0

xn < x < ∞

... 13

La primera de estas ecuaciones:

dV ( x ) = − E ( x ) = c1 dx

− ∞ < x < − xp

c1 = es una constante que es cero no hay campo eléctrico en la región neutral. El potencial aquí es:

V ( x ) = Vp

− ∞ < x < −xp

...14

Donde, Vp se define como el potencial en la región neutral tipo p. La solución en la región de agotamiento del lado p cargado negativamente es:

E ( x) = − d 2V ( x ) dx

2

=

eN a ε

∫ dE ( x ) = − ∫ Para

F.Q.G. – E.G.H.

...15

d  dV ( x )  + eN a  = dx  dx  ε

⇒ −

eN a eN dx ⇒ E ( x ) = − a x + c2 ε ε

x = − xp ⇒ E ( x ) = 0

E ( x) = −

ETN 501

⇒

dV dx

⇒

0=−

eN a x eN a x p − ε ε

-8-

eN a ( − x p ) ε

− xp < x < 0

dE ( x ) dx

=

eN a ε

− xp < x < 0

+ c2

⇒

c2 = −

eN a x p ε

...16


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO El campo eléctrico alcanza un valor pico en x=0. Entonces el potencial:

E ( x) = −

dV ( x ) eN x eN x =− a − a p dx ε ε

∫ dV ( x ) = V ( x) =

eN a eN a x p dx + ε ε ∫

eN a 2 eN a x p x + x + c3 ε 2ε

Para V ( − x p ) = V p . Luego el potencial es x = − x p .

V ( − x p ) = Vp =

V ( x) =

eN a 2 eN a x p 2 xp − x p + c3 2ε ε

⇒

2 eNa x 2 eN a x p x eN a x p + + + Vp ; ε 2ε 2ε

c3 =

eN a 2 x p + Vp 2ε

− xp < x < 0

...17

Para el lado n de la región de agotamiento y el lado n de la región neutral obtenemos

d 2V ( x ) eN =− d 2 dx ε dE ( x ) d  dV ( x )  eN d eN ⇒ − =− d  = − ε ε dx  dx  dx E ( x) =

eN d x + c2 ε

Para

x = xn

⇒

E ( x) =

E ( x) = 0

F.Q.G. – E.G.H.

0=

∫ dE ( x ) = ∫

⇒

eN d dx ε

c2 = −

eN d xn ε

0 < x < xn

dV ( x ) eNdx eNdxn = − dx ε ε

-9-

⇒

eN a xn + c2 ε

eN d x eN d xn − ε ε

E ( x) = −

ETN 501

⇒

0 < x < xn

...18



∫ dV ( x ) = − V ( x) = −

eN d ε

∫ xdx +

eN d xn dx ε ∫

eN d 2 eN d xn x + x + c3 ε 2ε

Para x = xn , el potencial es

Vn = V ( xn ) V ( x) = −

⇒

Vn = −

eN d 2 eN d xn 2 xn + xn + c3 2ε ε

eN d 2 eN d xn eN x + x − a x 2p + Vn 2ε 2ε ε

⇒

c3 = −

0 < x < xn

eN d 2 xn + Vn 2ε

...19

La diferencia de potencial entre los puntos − x p y 0 es: V ( 0) − V ( −xp ) = e

N a x p2

+ Vp − Vn = e

2ε

N a x p2

... 20

2ε

Donde

V (0) =

eN a x2p 2ε

+ Vp

V ( − x p ) = Vp

y

La diferencia de potencial entre los puntos xn y 0  eN x 2  eN x 2 V ( xn ) − V ( 0 ) = V −  − d n + Vn  = d n 2ε 2ε  

... 21

Donde

V (0) = −

eN d xn2 + Vn 2ε

y

V ( xn ) = Vn

Luego

VIC = V ( 0 ) − V ( − x p ) + V ( xn ) − V ( 0 ) = V ( xm ) − V ( − x p ) =

eN a x 2p 2ε

+

eN d xn2 2ε

... 22

La neutralidad de la carga es: ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

- 10 -



N d xn = N a x p

VIC =

VIC =

⇒

e N d N a2 x p2 2ε

N d2

+

xn = eN a x p 2 2ε

=

Na xp Nd eN a2 x 2p 2ε N d

... 23

+

eN a x 2p 2ε

eN a  N a  2 eN a  N d + N a  2 1 +  xp =   xp 2ε  N d  2ε  N d 

xp =

2εVIC eN a

 Nd     Nd + Na 

N xn = a Nd

2ε VIC eN a

2ε VIC N d N a2  Nd   = e N a N d2 ( N d + N a )  Nd + Na 

xn =

... 24

2ε VIC N a eNd ( N a + N d )

... 25

El ancho de la zona de agotamiento x = xn + x p

x 2 = xn 2 + 2 xn x p + x p 2

x2 =

2ε VIC N a Nd 2ε VIC N a 2ε VIC 2ε VIC Nd +2 + eN d ( N a + N d ) eN a N d + N a e Nd ( Na + Nd ) e Na Nd + Na

x2 =

Nd 2ε VIC N a 4εVIC 2ε VIC + + eN d ( N a + N d ) e ( N a + N d ) eN a N d + N a

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

- 11 -


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO  Na  N a 2 + 2 N a N d + Nd 2  Nd  2ε VIC 2ε VIC +2+ x =  =   e ( Na + Nd )  Nd Na  e ( Na + Nd )  Nd Na  2

x = 2

2ε VIC ( N a + N d )

2

eN d N a ( N a + N d ) 2ε VIC ( N a + N d ) eN a N d

x=

=

2ε VIC ( N a + N d ) eN d N a

... 26

Con los resultados obtenidos, podemos esbozar las siguientes conclusiones importantes a cerca del diodo: i)

El campo eléctrico en la región de agotamiento tiene un valor máximo en la unión y disminuye linealmente hacia los bordes de la región de agotamiento.

ii)

La caída de potencial en la región de agotamiento tiene la forma cuadrática.

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

- 12 -



SSS SSS SSS SSS

RRR RRR RRR RRR

ρ

x p N A = xn N B

− xp

xn

ε

Fig. # 4

− xp

xn ε máx

La figura # 4, muestra los perfiles de la densidad de carga y del campo eléctrico. El campo eléctrico no es uniforme en la región de agotamiento y alcanza un valor máximo en la con un valor pico. eN x eN x εn = − d n = − a p ε ε La región de agotamiento en los lados p y n pueden ser bastante diferente. Si N a >> N d ⇒ x p >> xn . De esta forma habrá un campo muy fuerte sobre la región muy estrecha en el lado fuertemente adulterado de la unión.

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

- 13 -


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO 5.2. La unión p - n polarizada: diodo de unión La unión p - n esta sometida a una diferencia de potencial externa supuesta constante aparece un nuevo comportamiento. Se consideran según la tensión externa aplicada sea en sentido directo o inverso. En presencia del campo externo aplicado, entonces el balance entre las corrientes de deriva y difusión ya no existirá, y se presentará un flujo de corriente neta. Se pueden apreciar los siguientes aspectos de la polarización: o La estructura de diodo puede describirse mediante p y n, cuasi-neutrales y una región de agotamiento. Con polarización directa, la carga minoritaria se inyecta dentro de las regiones cuasi-neutrales. Sin embargo, se supone que la densidad inyectada es bastante pequeña en comparación con la densidad mayoritaria. o En la región de agotamiento, las distribuciones de electrones y huecos se describen esencialmente por medio de una distribución de Boltzman y el concepto de un cuasi-nivel de Fermi es válido para electrones y huecos. o En la región de agotamiento la densidad de portadores móviles es baja, y por lo tanto, el potencial externo decae principalmente a través de esta región.

5.2.1. Polarización directa.En este caso, la región p se somete aún potencial positivo respecto de la región n V f > 0 .El efecto es que el potencial electrostático de contacto en la unión decrece en dicha cantidad V f , es decir,

VTOT = Vic − V f

... 27

Además, se deduce la región espacial de carga, cuya anchura depende de la diferencia de potencial a la ésta sometida la unión Fig. # 5. Los niveles energéticos en el semiconductor del tipo n se desplazan hacia arriba en la cantidad eV f , que es la misma diferencia que existe entre los niveles de Fermi de los semiconductores del tipo n y p al existir una diferencia de potencial entre ellos de V f . La reducción de la barrera de potencial cuando la polarización es directa hace que la corriente de difusión predomina sobre la corriente de arrastre. Esto permite que los portadores mayoritarios atraviese la unión, convirtiéndose entonces en minoritarias y dando lugar a una corriente mensurable. Por tanto se inyecta los portadores minoritarias, es decir, de electrones en la zona p y huecos en la región n.

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

- 11 -


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO 5.2.2. En este caso, la región n tiene una tensión positiva aplicada Vr > 0 con los respecto de la p. Entonces, el potencial electrostático se ve aumentado en la cantidad Vr , es decir: VTOT = Vic + Vr

... 28

Aumenta la anchura de la región espacial de carga fig. # 6. El consiguiente aumento del campo eléctrico en la región espacial de carga hace que la corriente de difusión se reduzca, resultando únicamente una pequeña corriente inversa de arrastre.

Vr

Vf p

p

n

VIC − V f

n

VIC − Vr

e(VIC − V f )

EC EFP

e(VIC − Vr )

eVr

EFn

eV f

EFn

EFP Fig. # 6 Fig. # 5

EC

EV

EV El potencial total a través de semiconductor debe ser igual a la diferencia entre el potencial ínter construido y el voltaje aplicado, la cual proporciona una segunda relación entre x p y xn nominalmente: Vic − V f =

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

2 eN d xn2 eN d x p + 2ε s 2ε s

- 12 -

... 29


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO El ancho de la zona de agotamiento en función de x p y xn esta dado por: 2ε s N d + N a Vic − V f e Na Nd

x=

... 30

Luego, el ancho individual del lado p y el lado n de la zona de agotamiento: xn =

2ε s N a (Vic − V f ) e N d ( Na + N d )

... 31

xp =

2ε s N p (Vic − V f ) e Na ( Na + Nd )

... 32

5.2.3. Inyección carga y flujo de corriente. La presencia de polarización incrementa o decremento el campo eléctrico de la región de agotamiento. Sin embargo, bajo la polarización externa moderada, el campo eléctrico en la región de agotamiento es siempre mayor que el campo para saturación de KV   velocidad de portador  ε ≥ 10  m   De esta forma el cambio en el campo eléctrico no altera la parte de deriva de la corriente de electrones o huecos en la región de agotamiento. Sin considerar la polarización, los electrones o huecos se llegan a la región de agotamiento son barridos y contribuyen a la misma corriente independiente del campo. La situación es bastante diferente para la corriente de difusión. Ya que la corriente de difusión depende del gradiente de la densidad del portador. Como el perfil de potencial se altera en gran medida por la polarización aplicada, el perfil del portador cambia de acuerdo con esto, y afecta en gran medida a la corriente de difusión. La densidad del portador móvil a través de la región de agotamiento. pp pn

= eeVic

k BT

... 33

En presencia de la polarización aplicada, bajo la suposiciones de cuasi-equilibrio. p(− x p ) p ( xn )

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

= ee (Vic −V ) k BT

- 13 -

... 34


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO Supongamos que la inyección de portadores móviles es pequeña (inyección de bajo nivel) de modo que las densidades de portador mayoritario están esencialmente sin cambio debido a la inyección, es decir p ( − x p ) = p p , (dador que V tiene un valor positivo para polarización directa y un valor negativo para polarización inversa).

p ( xn ) p p p( − x p ) pn

=

eeVic

k BT

ee(Vic −V ) k BT

=eeV

k BT

p( xn )

⇒

pn

= eeV

kBT

... 35

Dado p ( − x p ) = p p . Esta ecuación sugiere que la densidad del portador minoritario de huecos en el borde de agotamiento del lado n, puede ser drásticamente incrementada si se aplica una polarización directa. Por el contrario, en la polarización inversa, esta inyección se deduce también de manera drástica. Este es solo una consecuencia de la distribución de huecos descrita por una distribución de Boltzman. Solamente aquellos huecos del lado p que han superado la barrera de potencial VIC − V pueden ser inyectados en el lado n. En la polarización directa, esta barrera disminuye de modo que se puede inyectar más cambia a través de barrera. En el caso de polarización inversa la barrera se incrementa de manera que menos carga puede ser inyectada.

E

np

VIC −V

p EFP

pp

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

EFn

V

n

- 14 -


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO nn = eeVic np

La densidad del portador móvil

n( x p ) n( − x p )

=

kBT

n( xn ) = ee (Vic −V ) kBT n( − x p )

... 36

;

x( xn ) = nn

=eeV

k BT

nn np n( xn )

=

eeVic e

k BT

⇒

e (Vic −V ) k BT

n(− x p ) np

... 37

n( − xn )

Los portadores en exceso inyectados a través de las regiones de agotamiento son:

∆pn = p ( xn ) − pn = pn eeV k BT − pn ∆pn = pn (eeV k BT − 1)

... 38

∆n p = n( xn ) − n p = n p eeV k BT − n p ∆n p = n p (eeV k BT − 1)

... 39

Sabemos que los portadores minoritarios en exceso que se introducen decaerán en la región mayoritaria debido a la recombinación con los portadores minoritarios. El decaimiento esta dado simplemente por las longitudes de difusión apropiada ( l p para huecos; ln para electrones). Así, las densidades de portador de los portadores minoritarios fuera de la región de agotamiento son: ∂p( x) = ∆pn e

− ( x − xn ) l p

∂p( x) = pn (eeV ∂n( x) = ∆n p e ∂n ( x ) = n p ( e

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

k BT

− 1)e

− ( x − xn ) l p

⇒ x > xn ... 40

( x + x p ) ln

eV k BT

− 1)e

( x + x p ) ln

- 15 -

x < −xp   x es ( −) ... 41  x es ( + )  p


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO La corriente en el diodo como una función de la polarización aplicada. Donde la corriente de deriva no es afectada por la polarización, debido a la suposición de que el campo eléctrico en la región de agotamiento es siempre mayor que el campo al cual la velocidad se satura para los electrones y los huecos. De esta forma, para la corriente neta sólo necesitamos considerar los electrones y huecos en exceso inyectados en el lado p y en el lado n. La corriente de difusión debida a los huecos en el material tipo n es: I p ( x ) = −eAD p

d d [δ p ( x) ] = −eADp  pn ( eeV dx dx

I p ( x ) = −eAD p pn ( e eV

K BT

− 1)

I p ( x ) = −eAD p pn ( e eV

K BT

− 1) e

pn ( eeV

K BT

− 1) e

I p ( x ) = eA

Dp lp

K BT

− 1) e

− ( x − xn ) l p

 

d  − ( x − xn ) l p  e  dx  − ( x − xn ) l p

d  −( x − xn ) l p  dx 

− ( x − xn ) l p

=e

AD p lp

δ p( x)

x>x n ... 42

La corriente de huecos inyectados en el lado n la proporcional a la densidad de huecos en exceso para un punto particular. La corriente total de huecos inyectados en el lado n esta dada por la corriente en x = xn (δ p ( n = xn )) . I p ( xn ) = e

ADp lp

pn ( eeV K BT − 1)

... 43

Luego la corriente total de electrones inyectada en la región del lado p esta dado por:

I n ( x) = eADn

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

d d [δ n( x)] = eADn  n p ( eeV dx dx

I n ( x) = eADn n p ( eeV

K BT

− 1)

I n ( x) = eADn n p ( eeV

K BT

− 1) e

K BT

− 1) e

( x + x p ) ln

 

d  ( x + x p ) ln  e  dx  ( x + x p ) ln

- 16 -

d [ ( x + xn ) ln ] dx INGENIERO TEODORO BUSCH

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO I n ( x) = eA

Dn n p ( eeV ln

− 1) e

K BT

( x + x p ) ln

para x = − x p I n (− x p ) = eA

Dn n p ( eeV ln

K BT

− 1)

... 44

Idealmente que el diodo ideal no hay recombinación de las corrientes inyectados de electrones y huecos en la región de agotamiento. De este modo la corriente total puede ser obtenida simplemente mediante la adición de la corriente de huecos inyectados a través de xn y la corriente de electrones inyectada a través de − x p . La corriente del diodo es:

I (v) = I p ( xn ) + I n (− xp ) = eA

Dp lp

pn ( eeV KBT − 1) + eA

Dn np ( eeV KBT −1) ln

 Dp D  I (v) = eA  pn + n np  ( eeV KBT −1) = I0 ( eeV KBT −1) ln   l p

... 45

Esta ecuación, del diodo, nos proporciona la corriente a través de una unión p-n bajo polarización directa (V > 0) y la polarización inversa (V < 0) , la corriente simplemente tiende hacia el valor − I 0 donde:

 Dp  D I 0 = eA  pn + n n p  ln  l p 

... 46

Bajo polarización directa, la corriente incrementa exponencialmente con la polarización directa aplicada. Esta fuente asimétrica en la corriente de diodo es lo que hace al diodo p-n atractivo para muchas aplicaciones.

5.2.4. Corrientes minoritarias y meditarías. En los cálculos de la corriente de diodo se ha calculado simplemente la corriente difusión de portador minoritario en exceso. Ésta corriente se ha evaluado a su valor pico en los bordes de la región de agotamiento.

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

- 17 -


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO Sin embargo, la corriente de difusión decrece rápidamente en la región mayoritaria a consecuencia de la recombinación. A medida que los huecos se recombinan con electrones en la región n, un número idéntico de electrones son inyectados en la región. Estos electrones proporcionan una corriente de deriva en el lado n para balancear exactamente la corriente de huecos que se pierde a través de la recombinación. La corriente de deriva de portador minoritario es despreciable a consecuencia de la baja relativa de densidad de portador y al campo eléctrico muy pequeño en la región neutral. Consideremos la corriente difusión de huecos en la región de tipo n.

(e

I p ( x) = eA

Dp

I n ( x) = eA

Dn ( x+ x ) l n p e p n º ( eeV ln

lp

pn e

− ( x − xn ) l p

eV K BT

K BT

− 1) ; x>x n ... 42 − 1)

; x>-x p ... 47

Luego, la corriente total del diodo es:

 Dp D  I = eA  pn + n np  ( eeV KBT −1) ln   l p

... 45

Ahora, la corriente de diodo de electrones en la región es: I n ( x ) = I − I p ( x)

;

x > xn

... 48

 Dp  D − ( x − xn ) l p I n ( x) = eA  pn + n n p  ( e eV 1− e ln   l p

(

)

K BT

− 1) ... 49

Implica que a medida que la corriente de huecos desde xn en el lado n, la corriente de electrones se incrementa de manera correspondiente para mantener una corriente constante. Sucede, lo mismo en la región de lado p. A medida que la corriente de inyección de electrones decae, la corriente de huecos lo compensa.

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

- 18 -


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO Corrientes minoritarios y mayoritarios

n

p − xp

xn

n p + ∆n p

n ( x)

pn + ∆pn

δ n( x) = n( x) − np

p ( x)

δ p ( x ) = p ( x ) − pn

np

pn

Carga minoritaria de equilibrio Corriente total

Corriente de electrones

Corriente de huecos

Corriente de electrones minoritarios

I

Vf

p

I0

Corriente de huecos (minoritaria)

n

Corriente de polarización directa dominada por la inyección de portador minoritaria

I

Corriente inversa debida a la corriente de deriva en la región de Símbolo del diodo agotamiento

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

- 19 -

V


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO 5.2.5. Capacidad de transición de la unión polarizada. Existe un parámetro de tipo capacitivo que se obtiene considerando cuál es la variación de la carga en la región espacial de cargar por unidad de superficie cuando se realiza un incremento de potencial en la unión p-n. Este parámetro recibe el nombre de capacidad de la región espacial de carga o capacidad de transición, C J bajo polarización inversa. Es decir, la capacitancia del diodo surge de dos regiones de carga: i)

La capacitancia de la unión surge de la región de agotamiento, donde hay un dipolo de carga fija positiva y negativa.

ii)

La capacitancia es debida a la región externa a la región de agotamiento, donde la inyección de portador minoritario ha introducido cargas. Bajo condiciones de polarización inversa, prácticamente no hay portadores inyectados y domina la capacitancia de la unión. La capacitancia de difusión debida a portadores inyectados domina bajo condiciones de polarización directa. La capacitancia de transición o juntura por unidad de área está dada por: Cj =

dQ dQ dQ ε = = = s dQ dV xdE x x εs

... 50

El cambio de la distribución de carga dQ provoca un incremento en el campo eléctrico.

dE =

dQ εs

... 51

El correspondiente cambio en la tensión aplicada dV es:

dV = xdE = x

dQ εs

... 52

Donde ε es la constante te permitividad del semiconductor. La anchura de agotamiento de la unión con VIC − V es: 1

 2ε (Vic − V ) N a + N d  2 x=  e Na Nd  

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

- 20 -

... 53


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO La carga de la región de agotamiento es:

Q = eAxn N d = eAx p N a Además, se ha deducido que: x = xn + x p xn =

Na x Na + Nd

xp =

;

Nd x Na + Nd 1

 N N x N N 2 Q = eA a d = A  2eε (Vic − V ) a d  Na + Nd Na + Nd  

... 54

Luego, la capacitancia de la unión es por lo tanto: 1

 2 Aε 2eε N a N d dQ A  Cj = =   = dV x 2  (Vic − V )( N a + N d ) 

... 55

La capacitancia es dependiente del voltaje aplicado. Para el diodo polarizado en forma directa, la densidad de carga inyectada es bastante grande y puede dominar la capacitancia. La carga del hueco inyectada es

(ζ p D p = L2p )

Q p = I ζ p = eALp pn eeV

K BT

... 56

La capacitancia correspondiente es: Cdiff =

dQ p dV

=

e2 Al p pn K BT

eeV

K BT

Para respuesta de corriente alterna de conductancia de c.a. del diodo como:

Gs =

dI eI (v) = dV K BT

=

eIζ p K BT

... 57

pequeña señal, se puede definir la

... 58

De la definición de la función I (V ) . A temperatura ambiente la conductancia es ( rS es la resistencia del diodo) I I ( mA) Gs = = ... 59 rs 25.86(Ω) ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

- 21 -


FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO Entonces, el circuito equivalente del diodo se compone de la resistencia del diodo rS = GS , la capacitancia de la unión en la capacitancia de difusión. En la condición de polarización directa, la capacitancia de difusión dominará y obtenemos la relación siguiente entre la corriente de iS y la señal del voltaje vS . −1

 dv  is = Gvs + Cdiff  s   dt 

I

... 60

LS

RS

I rS

m=

Cp

I0

Vac

rs

CJ

C diff

V

Donde la resistencia RS es la resistencia de serie de las regiones neutrales n y p, y la capacitancia C p es la capacitancia asociada al encapsulado del diodo. La capacitancia de difusión esta en función de la carga minoritaria total inyectada a través de la unión. En una respuesta de señal pequeña, no toda la carga minoritaria es modulada a través de la unión. Algo de la carga simplemente se le combina en la región neutral. De este modo, la capacitancia de difusión real de la descripción señal pequeña es:

Cdiff = κ

Donde k es un factor que es

eI ζ p ... 61 K BT

1 2 para diodos de base grande y para dispositivos 2 3

de base estrecha. Para polarización inversa la capacitancia de difusión es despreciable.

ETN 501 F.Q.G. – E.G.H.

- 22 -


Fisica del Estado Sólido.pdf

Recommend Documents