La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática
Gustavo Cruz Ampuero
[email protected]
“Cuando se piensa piensa en formar formar ciudadanos críticos, que puedan puedan participar act participar activ activamente ivam amen ente te e en n un una una soc socied soci so cied iedad edad ad ad demo democrá democr dem ocráti crátic ática, tica, ca, a, hace hace falta
anticipar antticipa an parr q qué qu ué
tipo
de
ret etos etos os af afro afrront rontar ntarán án
nuestros nues nu estr tro os
estud est estudiantes udia iant ntes es a futuro futu fu turro y, en con consecu consec secuenc secuen uencia, encia, cia, ia, qué her herram herramientas ramien ientas tas debería brindarles la escuela escuela.. .
APORTES PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA LLECE, MATEMÁTICA LLECE, 2009
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje Aprendizaje en el Área de Matemática
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Esquema 1. In Intr trod oduc ucci ción ón 2. La Oport Oportunid unidad ad de Aprend Aprendizaje izaje (OA! ". La em emand andaa Co# Co#nit niti$a i$a ".1 %ropuesta de &tein ".2 %ropuesta de %I&A
'. a))az#os a))az#os * necesida necesidad d de inc)u inc)usión sión de )a )a demanda demanda co#ni co#niti$a ti$a en en e) +a#aje proesiona) de) docente de) -rea de matem-tica en e) %er
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La De Dema mand ndaa Co ni niti tiva va co como mo O or ortu tuni nida dad d de A re rend ndiz izaa e en el re reaa de Ma Mate temá máti tica ca
Introducción Los sistemas educati$os que consi#uen mejores resu)tados en sus estudiantes $ienen tra+ajando e) -rea de matem-tica de una manera mu* distinta a )a tradiciona) * que an persiste en nuestro pa/s. As/, se tie As/, iene nen n pr prop opue uest stas as co com mo )a )ass de) C C (e (e)) en eno oqu quee centrado en )a reso)ución de pro+)emas!, )a de )a prue+a %I&A (enoque enomeno)ó#ico de 3reudent4a)!, entre otros.
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La De Dema mand ndaa Co ni niti tiva va co como mo O or ortu tuni nida dad d de A re rend ndiz izaa e en el re reaa de Ma Mate temá máti tica ca
Introducción Estas propuestas presentan como denominador comn5 6 E) entendimiento de )a educación matem-tica de una manera m-s comp)eja, m-s a))- de simp)emente )os contenidos. 6 oman e) concepto de proceso co#niti$o (con dierentes nom res . 6 Consideran )a importancia de )a re)e$ancia de )as situaciones propuestas a )os estudiantes. 6 Incorporan una dierente concepción de matem-tica a )a tradiciona)mente usada en nuestro pa/s. 5
La De Dema mand ndaa Co ni niti tiva va co como mo O or ortu tuni nida dad d de A re rend ndiz izaa e en el re reaa de Ma Mate temá máti tica ca
Introducción En particu)ar, toman a )a matem-tica como una ciencia en permanente cam+io * e7pansión. 8 no como un producto aca+ado. Entienden a )a educación matem-tica como una propuesta para , ormas de pensar * e) desempeo en situaciones rea)es. Asimismo, en sus +ases se identiica una manera de entender a) aprendizaje como un proceso comp)ejo en e) que e) estudiante (o e) #rupo de estudiantes! tiene un ro) acti$o.
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La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
Introducción La presente propuesta se ormu)a desde )o que &:emp ))ama ;matemática relacional <5 6 una matem-tica que pri$i)e#ia )os procesos de pensamiento para que e) estudiante pueda ;apropiarse< de e))os * pau)atinamente usar)os en )as $astas * mu* $ariadas situaciones que )e demanda e) mundo actua). &e contrapone a )a concepción ;tradiciona)< de )a matem-tica
(matemática
instrumental ):
6 =ue considera a )a matem-tica como un conjunto ordenado de conocimientos que e) estudiante de+e ;aprender< para emp)ear)os en )as situaciones ad 4oc que se )e p)antean en )a c)ase.
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La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
Introducción E) entendimiento de )o que es un %ro+)ema en matem-tica, tam+i>n es dierente5 6 %or un )ado, se ;conci+e e) pro+)ema matem-tico como una tarea que +usca una so)ución, )a que es o+tenida a tra$>s de )a ap)icación de a)#oritmos simp)es, conocidos * ejercitados en m)tip)es tareas s m ares . once 6 %or e) otro, se )os entiende ;como tareas undamenta)mente pro+)ematizadoras, que pro$ee a )os estudiantes )a oportunidad de transitar por m)tip)es caminos * tipos de pensamiento para e) desarro))o de e))os (&tein!.
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La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
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LA O%O?@IA E A%?EIABE (OA! La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática
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La Oportunidad de Aprendizaje (OA! Los estudios rea)izados en e) I&& (199! )a presentan como un actor importante a considerar para conocer )a ca)idad de un sistema educati$o.
6 Ca)idad Educati$a5 )a medida en )a que )a tota)idad de estudiantes a)canzan )as metas de a rendiza e ro uestas.
La OA, entonces, puede ser entendida como e) conjunto de situaciones de aprendizaje a )as que 4a tenido acceso e) estudiante.
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ierentes ni$e)es de) Curr/cu)o %ara presentar e) mode)o, se ape)a a )a deinición de tres tipos de curr/cu)o5
C. Intencional C. Implementado C. Aprendido
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Componentes de )a OA Actua)mente, a )a OA se )e reconocen actores considerados como importantes en di$ersos estudios, ta)es como5 D La cobertura curricular: ;se reiere a) #rado en que )os , contenidos de )a estructura curricu)ar.< D La demanda cognitiva: ;i$e) de comp)ejidad que demanda una tarea a partir de) tipo de 4a+i)idad co#niti$a que se e7i#e a) estudiante.<
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LA EAA COIIFA
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La emanda Co#niti$a !area" cada una de las actividades que se le prpnen al estudiante dentr del
desarrll del !rea" N se re#iere en espec$#ic a las %tareas para la casa& ni a las %tareas para el cuadern&' aunque quedan incluidas"
&e entiende )a demanda co#niti$a como )a caracterización que se 4ace de )as tareas ue se ro onen a) estudiante se n )a comp)ejidad de )os procesos co#niti$os in$o)ucrados en )a reso)ución de dic4a tarea. Es )a c)asiicación de )as tareas se#n )os procesos inte)ectua)es que de+e emp)ear e) estudiante para reso)$er)a.
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".1 C)asiicación de &tein Tareas de Alta demanda cognitiva
demanda cognitiva
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Las tareas de +aja demanda co#niti$a &e su+di$iden en5
Procedimientos sin conexiones
Tareas de memorización 16
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Ejemp)os de tareas de +aja demanda co#niti$a Tareas de memorización a))a5
G=u> es un nmero primoH
GCómo se ))ama, se#n su nmero de t>rminos, un po)inomio comp)eto de se#undo #radoH
(ral)ente* 7 ' J
os ma#nitudes pueden ser directa o KKKKKKKKKK.. proporciona)es.
G=u> es e) per/metroH GCu-nto suma )a medida de )os -n#u)os de un tri-n#u)oH
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Las tareas de +aja demanda co#niti$a Tareas de memorización ?eproducción de datos, re#)as, órmu)as o deiniciones pre$iamente aprendidas. o pueden ser resue)tas uti)izando procedimientos procedimiento no e7iste o e) tiempo es demasiado corto.
pues
e)
o son am+i#uas5 tareas que inc)u*en una reproducción e7acta de materia) $isto pre$iamente * que es reproducido c)ara * directamente se#n e) enunciado. o tienen cone7iones con conceptos o si#niicados su+*acentes a )os datos, re#)as, órmu)as o deiniciones aprendidos o e$ocados.
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Ejemp)os de tareas de +aja demanda co#niti$a Procedimientos sin conexiones D a))a )a #eneratriz de5 0,33 D Escri+e '0 en e) ta+)ero posiciona) D Eecta5
D Ca)cu)a e) promedio de5 M 12 * D ?esue)$e5 2" N N "9. D a))a e) cociente de5
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Ejemp)os de tareas de +aja demanda co#niti$a Procedimientos sin conexiones
Dificultad
Complejidad
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Las tareas de +aja demanda co#niti$a Procedimientos sin conexiones &on a)#oritmos cu*o uso es requerido por )a tarea o +asado en aprendizajes pre$ios, )a tarea. E7iste una pequea am+i#edad acerca de )o que se requiere 4acer * so+re cómo 4acer)o.
o tienen cone7ión con conceptos o si#niicados su+*acentes a )os procedimientos usados. Centrados en o+tener una respuesta comprensión de )as nociones in$o)ucradas. ?equieren e7p)icaciones que se enocan nicamente en descu+rir e) proceso usado.
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En #enera), )as tareas de +aja demanda co#niti$a Constituidas tanto por )a memorización de inormación, como por )a ejecución de )os ))amados proce m entos s n cone7iones. &on )as tareas rutinarias que se aprenden por repetición.
%ara su ejecución no es necesaria )a comprensión de )as nociones in$o)ucradas, ni )as razones, conte7tos o m tes e su uso. &o)o es necesario ;aprender e) procedimiento< para ejecutar)as.
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areas de A)ta demanda co#niti$a !acer matem"tica
Procedimientos con conexiones
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Ejemp)os de tareas de a)ta demanda co#niti$a Procedimientos con conexiones %inta de amari))o )os nmeros, se#n )a secuencia5
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G=u> o+ser$asH Ga* a)#una re#u)aridad en )os nmeros pintadosH G=u> nmeros 4an sido pintadosH G=u> nmeros 4an sido dejados sin pintarH 24
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Ejemp)os de tareas de a)ta demanda co#niti$a Procedimientos con conexiones %inta de rojo )os nmeros, se#n )a secuencia5
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G=u> o+ser$asH Ga* a)#una re#u)aridad en )os nmeros pintadosH G=u> nmeros 4an sido pintadosH 3/jate en )as ciras de )os nmeros de cada diagonalK
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Ejemp)os de tareas de a)ta demanda co#niti$a Procedimientos con conexiones Enocan )a atención en e) uso de procedimientos destinados a desarro))ar ni$e)es m-s proundos de comprensión de conceptos e ideas .
La si#uiente i#ura representa )os PQ' de )a unidad. GCu-) es )a unidadH (%ena)$a, 2011!
&u#ieren $/as que constitu*en una e7tensión de procedimientos #enera)es con cone7iones cercanas a ideas conceptua)es su+*acentes.
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Las tareas de a)ta demanda co#niti$a Procedimientos con conexiones &e representan de m)tip)es ormas (#or ejem#lo: diagramas visuales,
mani#ulativos,
s$mbolos,
situaciones #roblem"ticas).
A pesar de que se si#an procesos #enera es, no pue en ser resue)tos descuidadamente. &e necesita conectar )as ideas conceptua)es que su+*acen a )os procedimientos, a in de comp)etar e7itosamente )a tarea * desarro))ar su compresión.
E) equipo de +-squet est- conormado por5 %ombre
&statura (cm)
Pancho
180
Daniela
165
César
150
ar
a
Rosa
155
o*, Car)os (10 cm! se inte#ra a) equipo. 'u inclusión aumentar" o disminuir" la estatura #romedio del eui#o* 'Por u+*
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Ejemp)os de tareas de a)ta demanda co#niti$a !acer matem"ticaCo)oca )os nmeros mostrados en )a serpiente, de manera que cada tres sumen 1".
Buntando por sus e7tremos tres pa)itos de madera, se puede ormar un tri-n#u)o5 6 iem#re 6 A veces 6 %unca Bustiica tu respuesta.
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Ejemp)os de tareas de a)ta demanda co#niti$a !acer matem"tica-
Sombrea 6 cuadrados pequeños en un rectángulo de 4 x 10. Usando el rectángulo, explica cómo se determina cada una de las siguientes preguntas: a El orcenta e del área sombreada. b) La expresión decimal del área sombreada. c) La fracción que representa el área sombreada (.ueto , /003 P"g 13)
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Las tareas de a)ta demanda co#niti$a !acer matem"tica?equieren un pensamiento comp)ejo * no a)#or/tmico (no existe una v$a #redecible, una a#roximación bien realizada, una v$a dada #or la tarea, la instrucción o un ejem#lo trabajado)
L)e$an a e7p)orar * entender )a natura)eza de )os conce tos rocedimientos o re)aciones matem-ticas. emandan monitoreo * autorre#u)ación de )os procesos co#niti$os.
?equieren que se ana)ice )a tarea * e7amine para de)imitar )as posi+)es estrate#ias de so)ución. %ueden in$o)ucrar cierto ni$e) de ansiedad para e) estudiante, de+ido a )a natura)eza impredeci+)e de) proceso de so)ución que se necesita.
L)e$an a conocimientos * e7periencias re)e$antes, * a 4acer un uso adecuado de e))os a tra$>s de )a tarea. 30
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".2 C)asiicación de %I&A5 rupos de competencia
2elexión .onexiones 2e#roducción
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Ejemp)o de) #rupo ?eproducción Ca)cu)a5 P N " 7 ?esue)$e )a ecuación5 7 6 " J 1"7 N 1P a))a e) promedio de5 M 12M M 1'M 1PM 9. Escri+e 9R como una racción. &i se depositan &Q. 1 000 en una cuenta de a4orros de un +anco, a una tasa de inter>s de) 'R. GCu-nto dinero 4a+r- en )a cuenta despu>s de un aoH
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?eproducción Est- reerido tanto a )a memorización como a )a e$ocación de inormación (datos, 4ec4os, termino)o#/a!. La repetición de ejecuciones. Acti$idades rutinarias, en )as que e) estudiante no de+e 4acer nin#una adaptación a) contenido in$o)ucrado. %rocedimientos sin conte7to * sin cone7iones, ;ta) * como ueron enseados<. Aprendizajes que no imp)ican )a posi+i)idad de ser adaptados o transeridos.
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Ejemp)os de) #rupo Cone7iones ar/a $i$e a dos :i)ómetros de) centro educati$o * art/n a cinco. GA qu> distancia $i$en uno de) otroH (%I&A! @na pizzer/a sir$e dos tipos de pizza de) mismo #rosor pero de distinto tamao. La m-s pequea tiene un di-metro de "0 cm, * cuesta so es. a m s #ran e t ene un metro e cm, * cuesta '0 so)es. GCu-) de )as pizzas cuesta menosH G%or qu>H (%I&A! En e) sa)ón 9 nios ))e$aron c4ompa * 11 trajeron su tarea. &i 4a* 1' en e) sa)ón, Ges esto posi+)eH E7p)ica.
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Cone7iones &ituaciones en )as que se de+e 4acer )i#eras adaptaciones o esta+)ecer a)#una re)ación de) contenido aprendido, con otros aprendizajes. &e presentan en un conte7to a)#o distinto a) conte7to en e) que . Ap)icar deiniciones, c)asiicar, identiicar e)ementos o caracter/sticas, pro+)emas rutinarios que demandan esta+)ecer ciertas re)aciones entre e) contenido in$o)ucrado.
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Ejemp)os de) #rupo ?e)e7ión En cierto pa/s, e) presupuesto naciona) de deensa es de S"0 mi))ones para 190. E) presupuesto tota) de ese ao es de SP00 mi))ones. E) si#uiente ao, e) presupuesto de deensa es de S"P mi))ones, mientras que e) presupuesto tota) es de S0P mi))ones. La in)ación durante e) periodo cu+ierto por )os dos presupuestos asciende a) 10 por ciento. 6 a sido in$itado a dar una conerencia para una sociedad paciista. @sted trata de e7p)icar que e) presupuesto de deensa disminu*ó durante este periodo. E7p)ique cómo 4ar/a esto. 6 a sido in$itado a dar una conerencia para una academia mi)itar. @sted trata de e7p)icar que e) presupuesto de deensa aumentó durante este periodo. E7p)ique cómo 4ar/a esto. (%I&A! 36
La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
?e)e7ión ?eeridas a situaciones no$edosas *Qo comp)ejas en )as que se de+e producir una transormación o nue$as re)aciones de )o aprendido. %or )o #enera), se presentan en un conte7to a partir de) cua) e) estudiante de+e se)eccionar )a inormación re)e$ante tra+a ar esta+)eciendo nue$as re)aciones entre )os conceptos o sus representaciones. ?eso)$er pro+)emas no$edosos * comp)ejos, e$a)uar, proponer a)ternati$as, producir un nue$o o+jeto, sintetizar, deinir, justiicar. 37
La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
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ALLAO& 8 ECE&IA E ICL@&IT E LA EAA COIIFA E EL UAABE %?O3E&IOAL EL OCEE EL V?EA E AEVICA E EL %E?W La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática
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?esu)tados de a)#unos estudios (Cueto, 200"! Emp)eando )as cate#or/as de &tein 4aja demanda cognitiva
Alta demanda cognitiva
emorización
.uadernos de
.uadernos de los
trabajo
estudiantes
2'R
2"R
5/6
556
%rocedimientos sin cone7 ones
R
R
%rocedimientos con cone7iones
R
1R
;aciendo matem-tica<
0R
Total
76
86 0R
(! 8006 (1P! 8006 39
La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
?esu)tados de a)#unos estudios (Cu#)ie$an et a), 200! edia 11R A)ta 0R
9edia
Uaja, 9R
Alta
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?esu)tados de a)#unos estudios (Cu#)ie$an et a), 200! rascripción5 ;Escri+e en ,en ,- a partir de , ---,-' .asta , /-- ---< %El resultad sn treinta )il n0)ers" Este e1ercici n es di#$cil' )as +ien es innecesaria)ente tedis' 2 de +a1a de)anda c3nitiva" Est re#le1a la cncepci4n del !rea que )ane1a el dcente' la cual est! centrada en ls cntenids )ate)!tics 5" 5 Este tip de e1ercicis de)anda prcess )ec!nics que el estudiante resuelve usand al3rit)s" Pr repetici4n se aprende in#r)aci4n que puede ser 0til' sin e)+ar3 en el cas de este e1ercici' 6qu7 sentid tiene )e)ri8ar treinta )il n0)ers que van de die8 en die89& (P!3" /:;*
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática
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?esu)tados de a)#unos estudios (Cu#)ie$an et a), 200! %osi+)es razones de )a persistencia de una matem-tica ;tradiciona)<5 La concepción instrumenta) acerca de )a matem-tica, que su+siste entre )os docentes * que se e$idencia a partir de )a reiterada pr-ctica de procedimientos que )e proponen a sus estudiantes. La an incipiente comprensión de )o que actua)mente se entiende por pro+)ema ()a persistencia de entender e) pro+)ema como una situación de ap)icación de un La a)ta de cuestionamiento a su propia concepción de matem-tica que )o ))e$a a reproducir )as ormas de aprender que e) docente usó durante su propia esco)aridad, por so+re )as propuestas did-cticas que se proponen actua)mente. La concepción de) aprendizaje como un proceso m-s +ien repetiti$o * pasi$o, que de+e se#uir e) estudiante (por so+re )a acti$idad inte)ectua) * )a re)e7ión!.
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La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
Inc)usión de )a emanda Co#niti$a &e propone tener en cuenta )a demanda co#niti$a de )as tareas que se proponen a )os estudiantes. 6 A )os docente que ensean e) -rea de matem-tica (no so)o de )a especia)idad!. 6 En )os tres ni$e)es de EU?5 inicia), primaria * secundaria 6 En )os procesos de5 p)aniicación, imp)ementación * e$a)uación de) -rea de matem-tica.
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La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
3ases en )as que se puede modiicar )a demanda co#niti$a
areas ta) como a arecen en )os materia)es curricu)ares
areas ta) como son
areas ta) como son
por e) proesor
por )os a)umnos
Aprendizaje de) a)umno
Penalva, M. & Llenares, S. 2011 44
La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
%re#unta de) &E?CE 4T&LLA .% ;<=:
Con " )itros de ju#o Gcu-ntas +ote))as de X )itro se pueden ))enarH
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La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
Uote))as con ju#o Con " )itros de ju#o Gcu-ntas +ote))as de X )itro se pueden ))enarH
La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
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Uote))as con ju#o Con " )itros de ju#o Gcu-ntas +ote))as de X )itro se pueden ))enarH
La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
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Uote))as con ju#o Con " )itros de ju#o Gcu-ntas +ote))as de X )itro se pueden ))enarH
La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
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AL@O& EBE%LO& E A?EA&
La Demanda Cognitiva como Oportunidad de Aprendizaje en el Área de Matemática
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ipos de tareas n s o ó i l c i # s m o e # j e o r e P d
s a m e l b o r P
>einición5 @n nmero o+)on#o, es aque) que es
e) producto de dos nmeros consecuti$os. &scribe un ejem#lo de un n?mero oblongo, de tres ciras
a))a e) -rea de un tri-n#u)o rect-n#u)o cu*a 4ipotenusa mide 1" cm * su per/metro, "0 cm.
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La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
s o t e j b o e d ó i c c u r t s n o .
&ncuentra un n?mero ue tenga las siguientes caracter$sticas:
iene tres ciras d/#itos de )as centenas * unidades E) di#ito de )as unidades es e) do+)e de) d/#ito de )as centenas.
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La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
fracción
Tabla de m?lti#les
decimal
porcentaje
Grafica como parte de la unidad
Gráfica como parte de un conjunto
½
re#resentaciones 0,25
.om#leta la tabla de
40%
las re#resentaciones en cada ila sean euivalentes 80%
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La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
E) costo de) $idrio para una $entana cuadrada es de &Q. 12 por dm2 * e) de) marco &Q. 2' por dm. a))a una e7presión que ca)cu)e es costo, dada )a )on#itud de) )ado (en dm!. (Adaptado de5 Azc"rate, . >euloeu, ;
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La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
A)#uno ejemp)os tomados de) I&&Y %ara e) dominio co#niti$o de ?azonamiento, se presentan )os si#uientes ejemp)os5
&j de octavo: Los primos #eme)os son nmeros primos que
tienen un so)o nmero entre e))os. As/, P * , 11 * 1", 1 * 19 son pares de primos #eme)os. az una conjetura conjetura acerca de )os nmeros que 4a* entre primos #eme)os #eme)os.. @Marcs te4rics 2 especi#icacines de evaluaci4n de TIMSS >--/ Q Ina F.&.
u))is... Zet a).[. \ adrid 5 inisterio de Educación, Cu)tura * eporte, Instituto aciona) de Ca)idad * E$a)uación, 2002. %-#. ''. 54
La Demanda Co nitiva como O ortunidad de A rendiza e en el rea de Matemática
A)#uno ejemp)os tomados de) I&&Y &j de cuarto: os pintores usan dos )atas de pintura para pintar una
pared. espu>s tienen que usar )a misma c)ase de pintura para pintar una pared que es e) do+)e de )ar#a * e) do+)e de a)ta. @no de )os dice que necesitar-n e) do+)e de pintura para pintar )a pared. Indica Indica si e) pintor tiene razón * aporta razones para respa)dar tu respuesta.. respuesta
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A)#uno ejemp)os tomados de) I&&Y &j de cuarto: En cierto pa/s )a #ente escri+e )os nmeros como
si#ue5 11 )o escri+en , '2 es * 2 es . GCómo escri+en "H
&j de octavo: emostrar que )a suma de
cua)esquiera dos nmeros impares es un nmero par.
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