2015 / 2016
Pratique de l’économétrie des séries chronologiques à travers des exemples Econométrie des séries chronologiques
SOUSSI NOUFAIL OUTMANE FSJES AGDAL
Université Mohamed V Agdal FSJES Rabat Agdal Cycle Master Filière : **
Année 2015-2016
Semestre «S1» : Econométrie des séries chronologiques Pratique de l’économétrie des séries chronologiques à travers des exemples © Soussi Noufail Outmane Mesurer pour comprendre
Plan du cours : 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Introduction Les séries chronologiques : introduction, premières définitions, Estimation et élimination de la tendance et de la saisonnalité Modélisation des séries chronologiques stationnaires et non stationnaires : ARMA, ARIMA Les modèles de cointégration et modèles à correction d’erreurs …
Travaux dirigés 1. Généralités : commentaires économétriques 2. Exercices : série .., série ..
des
relations
économiques
et
passage
aux
relations
Bibliographie : 1. …
1
Introduction : L’économétrie des séries temporelles, discipline quantitative dédiée à l’économie, a reçu trois prix Nobel au cours de la dernière décennie. Avérée comme science, elle oscille entre un cadre de réflexion économique et un univers conceptuel mathématique. L’économétrie des séries temporelles est un domaine de l’économétrie tout d’abord, et de l’économie en tant qu’elle apporte une mesure dans le temps des phénomènes économiques. Elle se caractérise par des analyses souvent complexes, et qui sont perçues comme étanches par bon nombre d’économistes. Pourtant, la preuve de leur utilité n’est plus à faire : cette discipline s’est vue décerner trois prix Nobel d’économie : Clive GRANGER et Robert ENGLE en 2003, puis Christopher SIMS en 2011. Notre propos ici est de rendre compte de l’importance de cette analyse et de traiter le côté pratique de cette science. Maintenant que vous êtes des étudiants du Master, bien sûr orientés vers l’économie et la finance, vous vous placez dans la peau de l’analyste qui sait «faire parler» des chiffres financiers avec des méthodes scientifiques. Votre intérêt ici est de «tester» des théories à l’aide des données empiriques observées moyennant des outils économétriques. Ces données en question peuvent être de nature distincte et avoir des sources variées et différentes : 1. Les données peuvent être expérimentales dans le sens où elles sont issues d’un fait réel ; par exemple l’évolution des indices de prix de la production industrielle, ou encore celui de la cotation de titres d’une société sur le marché casablancais. 2. Les données peuvent être aussi non expérimentales si elles sont issues d’exercices de simulation ; par exemple générées par un processus qui ne reflète pas la réalité d’une activité financière. Ensuite nous pouvons définir trois types de données : 1. Les données dites en coupes transversales 2. Les données dites de panels 3. Les données dites chronologiques ou « séries temporelles » Ces données exprimées en chiffres « quantitatives » ou modalités « qualitatives » correspondent à des observations qui peuvent être structurées (on peut contrôler son évolution), mais aussi elles peuvent suivre une marche aléatoire, comme souvent observé en finance. De là peut surgir le principal problème de l’économètre « trouver les données » fiable et en quantité suffisante. De même les sources de données que doivent manipuler l’économètre doivent être de sources différentes, selon leurs disponibilités (organismes, enquêtes personnelles, administrations ou simulations…). Par ailleurs, outre ces problèmes de nature et de disponibilité, les relations économiques et financières sont caractérisées par le nombre de variables et de relations entre ces variables. En effet, une donnée est dite univariée si elle est observée en même temps, et elle est multivariée si plusieurs variables y sont associées. Etant donnée un échantillon tirée à partir d’une base de donnée économique ou financière, on peut extraire à la base plusieurs informations statistiques descriptives donnant un premier aperçu sur la nature de la structuration de ces données. D’ailleurs, cette étape est primordiale pour tout économètre. L’économétrie sert donc à tester empiriquement les relations économiques et financières entre les variables. En finance comme en économie en général, il existe des modèles économétriques relevant 2
des théories financières (par exemple : le modèle de marché, le modèle MEDAF « capital assets price market » etc.…). En finance les chiffres jouent également un rôle très important, non seulement parce qu’ils sont générés par des comportements financiers, mais parce qu’on peut déterminer leurs tendances et leurs évolutions dans le temps. En plus il est généralement question en finance de tester les différentes théories à partir des données empiriques de nature financières. Les champs d’application de l’économétrie en finance sont divers et de natures différentes dont les objectifs peuvent être résumé de la façon suivante : 1. 2. 3. 4. 5.
Déterminer le prix du risque. Estimer empiriquement le risque. Appréhender empiriquement le degré d’efficience du marché. Mesurer la performance du portefeuille. Analyser de la volatilité.
Toutefois il est important pour assimiler les techniques économétriques et les appliquer sur les diverses sources de données, d’avoir principalement des prés-requis en termes de statistiques, probabilité, et techniques quantitatives à utiliser comme outil permettant la structuration, l’analyse et l’interprétation des données financières et économiques…. Outre ces prés-requis, il faut l’associé à une manipulation exacte des logiciels d’économétrie. En effet, il existe une multitude de logiciels d’économétrie, je cite principalement Eviews que je recommande, à interface facile, et offre plusieurs techniques et méthodes (sans passer obligatoirement par le développement), mais il est payant. Le logiciel R qui de plus en plus trouve de la place car il est d’abord fait partie des logiciel dits «libre» à cause de sa gratuité et surtout que son noyau est ouvert au développement communautaire. R est une suite intégrée de logiciels nécessaires à la manipulation des données, aux calculs numériques et à la présentation graphique de fonctions. Ce support correspond approximativement aux enseignements en Master sciences économiques et de gestion, est rédigé en fonction d’un étudiant attentif. Il ne vient pas du néant, je me suis appuyer sur différentes références et ouvrages reconnus dans la discipline. Mais aussi des ressources en ligne qui sont de plus en plus présents aujourd’hui dans la diffusion de la connaissance. Notre intérêt est cependant pédagogique, et de répondre à certaines difficultés soulevées chez les étudiants. Malgré les références riches dans la matière, mais ils n’arrivent pas à appliquer leurs connaissance dans la pratique. Toutefois le but est d’essayer de présenter nos propos de manière pratique, et d’éviter si nécessaire les lourdes démonstrations et concepts appartenant aux sciences dures, qui sont présentées ici dans un langage plus ou moins simplifié et rigoureux. Enfin, selon l’expression consacrée, ce support n’engage que son auteur. Toutes suggestions et commentaires qui peuvent l’améliorer sont le bienvenu.
3
Les séries chronologiques : introduction, premières définitions Introduction & notation Les séries temporelles constituent une branche de l’économétrie dont l'objet est l'étude des variables au cours du temps. Parmi ses principaux objectifs figurent la détermination de tendances au sein de ces séries ainsi que la stabilité des valeurs (et de leur variation) au cours du temps. On distingue notamment les modèles linéaires (principalement AR et MA, pour Auto-Regressive et Moving Average) des modèles conditionnels (notamment ARCH, pour Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity). Historiquement se sont les astronomes qui les premiers ont travaillé sur les séries chronologiques. La reproduction ci-après est tiré d’un manuscrit du dixième siècle, représentant l’inclinaison des orbites des planètes en fonction du temps. C’est en particulier grâce à ce genre de données que Kepler a pu énoncer ses lois sur le mouvement des planètes.
Ces visualisations graphiques ont permis, grâce aux différents outils mathématiques mis en place à partir du dix-huitième siècle de mettre en place les premiers techniques d’analyse des séries chronologiques, parmi lesquelles l’analyse harmonique. Si les phénomènes astronomiques permettent l’utilisation de cette théorie, c’est parce que des cycles parfaitement réguliers sont observés. Toutefois, cette méthode s’est révélée très compliquée à mettre en œuvre en sciences humaines. Deux articles en 1927 ont ouvert une autre voie : l’article de Yule1 qui a introduit dans la littérature les modèles autorégressif, et en même année celui de Slutsky2 qui a introduit les moyennes mobiles, mais son article écrit en russe n’a été traduit qu’en 1937 en anglais. Les processus introduit par Yule deviendront les processus AR(p) et ceux introduit par Slutsky les processus MA(q). L’étude des séries chronologiques semble avoir atteint sa maturité au cours des années 70 où des développements significatifs sont apparus. En 1970, Box et Jenkins ont publié leur ouvrage « Time series analysis, forecasting and control » montrant que l’étude des séries temporelles à l’aide de processus de type ARMA (obtenus en associant les écritures des processus AR et MA) pouvait s’appliquer à de nombreux domaines, et pouvait être facilement implémentée informatiquement. Les modèles intégrés sont les très présent dans les séries économiques et financières dès los que les séries sont stationnaires.
1
Udny Yule, G, 1927, « On a Method of Investigating Periodicities in Disturbed Series, with Special Reference to Wolfer's Sunspot Numbers » in Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, Volume 226, pp. 267-298 2 Slutsky, Eugen, 1927, « The Summation of Random Causes as a Source of Cyclic Processes », Problems of Economic Conditions 3 (1). Moscow: Conjuncture Institute. 4
Rappel des concepts techniques & étude d’une série chronologique Chronique : Synonyme : série chronologique, série temporelle. Une chronique est une suite finie de valeurs numériques représentant l’évolution d’une variable aléatoire indexé par le temps. C’est une suite d’observation des variables à des intervalles de temps réguliers. Autrement, pour une chronique, les observations doivent être consécutives et d’une fréquence identique. L’objet des séries temporelles est donc l’étude des processus temporels. A titre illustratif, l’évolution des indices boursiers ou des prix d’actifs financiers, des données économiques ou financières des entreprises, des agrégats macroéconomiques, des ventes et achats de biens ou celle des productions agricoles ou industrielles sont, parmi tant d’autres, des chroniques qui intéressent particulièrement les économistes et les financiers. Donc, une chronique n’est que la réalisation d’un processus aléatoire. Reste le grand objectif de l’étude des séries chronologique est la modélisation des processus afin de faire des prévisions. Par exemple le faite de connaitre les ventes prévisionnelles sur un marché peut aider à ajuster la production de produit en question. Nous allons pour cela appliquer quatre étapes importantes : 1. 2. 3. 4.
Présenter la série chronologique Modélisation de la série chronologique Calcul des trois composantes de la chronique Faire de prévisions
En effet, Le traitement des séries temporelles peut avoir plusieurs objectifs. 1. Isoler et estimer une tendance, 2. Isoler et estimer une composante saisonnière, et désaisonnaliser la série, 3. Réaliser une prévision pour des valeurs inconnues manquantes, futures ou passées, 4. Construire un modèle explicatif en termes de causalité, 5. Déterminer la durée d’un cycle. Pour commencer nous allons présenter un exemple illustratif qui va nous accompagner durant le chapitre suivant. Soit la série chronologique sui correspond aux ventes enregistrés pendant la période 2006-2009, les données sont trimestrielles (en Milliers de DHS) sont présentées dans le tableau suivant :
Trimestre 1 Trimestre 2 Trimestre 3 Trimestre 4
2006 30 11 12 36
2007 32 12 13 37
2008 33 13 15 39
2009 35 14 17 41
5
Estimation et élimination de la tendance et de la saisonnalité But L'étude des séries chronologiques sert à faire de la prévision à court, moyen et long terme. Il existe des méthodes prévisionnelles quantitatives et qualitatives. Les méthodes quantitatives se subdivisent en deux catégories. Il y a les méthodes d'extrapolation qui produisent des prévisions sur le principe d'une corrélation de la variable étudiée avec le temps et les méthodes explicatives qui reposent sur les corrélations entre la variable étudiée et différentes variables explicatives. Analyse graphique Comme il a été précédemment présenté on va commencer par l’analyse graphique à partir de l’observation du diagramme de dispersion de la série chronologique. On note une série temporelle de la manière suivante : (𝑌𝑡 )1≤𝑡≤𝑛 ;𝑛=16 50
40 30 20 10 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Une fois le dessin est établi, il parait bien que cette une fonction compliquée à étudier et a en ressortir avec des prévisions en utilisant les méthodes usuelles déjà étudiées. Donc lorsqu’on est d’habitude en face d’un problème, on essaie de le décomposer en plusieurs composantes en en étudié chacune d’elles. Composantes Pour notre série chronologique il existe principalement quatre composantes fondamentales : 1. La composante tendancielle ou tendance (trend) : cette composante porte sur les changements de croissance ou de décroissance tout au long de la série. 2. La composante cyclique : cet aspect de la série fait référence à la présence d’une certaine récurrence et peut s'observer généralement sur des intervalles de plusieurs années. 3. La composante saisonnière (saison) : il s'agit de la présence ou non d’un effet périodique qui se rapporte à une année (trimestres, semestres etc.) 4. La composante aléatoire (erreur) : cette caractéristique d’une série chronologique constitue la partie non expliquée par la tendance, le cycle ou la saisonnalité. Des événements rares qui peuvent difficilement être prédits sont souvent à l'origine de ces fluctuations.
6
A partir de ces quatre3 composante il faut maintenant déterminer le modèle statistique (ou le schéma) adéquat ; en effet, il existe une multitude de modèles statistiques, il suffit de connaitre les différentes opérations arithmétiques. Par exemple : 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Le modèle multiplicatif : 𝑌𝑡 = 𝑆𝑡 × 𝐶𝑡 + 𝜀𝑡 Le modèle multiplicatif deuxième type : 𝑌𝑡 = 𝑆𝑡 × 𝐶𝑡 × 𝜀𝑡 Le modèle additif : 𝑌𝑡 = 𝑆𝑡 + 𝐶𝑡 + 𝜀𝑡 Le modèle mixte Le modèle linéaire, Le modèle polynomiale, le modèle exponentiel, etc. Il y a des modèles plus compliqués détecter à l’aide des logiciels spécialisé comme Eviews, Stata, etc.
Avec : 𝑆𝑡 , elle présente la composante saisonnière 𝐶𝑡 , elle présente la composante relative au Trend 𝜀𝑡 , elle présente la composante aléatoire. Pour notre exemple nous avons choisi le modèle ou le schéma multiplicatif, car à partir de la représentation graphique de la série chronologique, on peut remarquer que le deux droites délimitant les maxima et les minima se croisent (dans le cas du modèle additif les limites supérieur et inférieur de la série seront des droites parallèles). La troisième étape de notre analyse est d’étudier chaque composante. La composante Trend ou Tendance Question importante : comment on obtient cette tendance ?
La tendance est un lieu géométrique simple qui peut être une droite ou une courbe. Et on est toujours en présence d’une période qui peut être un mois, un trimestre, un semestre, etc. Donc une périodique qui se réfère à une année. La détection du Trend se fait en utilisant la : Première méthode : On constate à partir de l’analyse graphique que la série chronologique est oscille autour d’une droite, on conclut donc que le trend est une droite. Deuxième méthode : On constate sur le dessin que les pics des maxima et des minima peuvent s’ajuster sur une droite : donc le trend est une droite. L’interprétation de cette tendance est très importance, elle nous renseigne si la série évolue, et présente un indicateur solide pour la prise de décision. Traitons le cas où le Trend est une Droite Maintenant quand a déterminé le trend, on devra le calculer par la méthode des Moindres carrés ordinaires (MCO). Nous allons calculer la droite de trend qui prend la forme suivante : 𝐶𝑡 = 𝑎𝑡𝑖 + 𝑏 + 𝜀𝑡 Pour cela nous calculons les paramètres du modèle de régression simple par les formules suivantes :
3
Généralement on retient trois composantes (trend, saison, perturbation). 7
{
𝑐𝑜𝑣(𝑡, 𝐶𝑡 ) 𝑣𝑎𝑟(𝑡) ̂ 𝑏 = 𝐶̅ − 𝑎 × 𝑡 ̅
𝑎̂ =
Notre équation estimée prend la forme de : 𝐶𝑡 = 𝑎̂𝑡𝑖 + 𝑏̂ D’où : 𝐶𝑡 = 0,4647𝑡𝑖 + 20,425 (voir le chapitre de la régression Simple pour plus de précision) On s’attend, en ce qui concerne la représentation graphique, que cette droite passe par le milieu, car cette la droite qui ajuste au mieux les différentes observations des ventes. Et puisque la pente est positive la tendance est haussière. Donc nous pouvons construire notre tableau et le graphique associé. 𝑌𝑡 30 11 12 36 32 12 13 37 33 13 15 39 35 14 17 41
𝐶𝑡 20,8897059 21,3544118 21,8191176 22,2838235 22,7485294 23,2132353 23,6779412 24,1426471 24,6073529 25,0720588 25,5367647 26,0014706 26,4661765 26,9308824 27,3955882 27,8602941
50 40 30 20 10 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
Nous allons poursuivre la même démarche que pour la recherche de la tendance, c'est-à-dire nous avions deux paramètres inconnus à calculer à savoir la pente et l’ordonnée à l’origine. Maintenant pour la recherche des composantes saisonnières associées aux données trimestrielles, comme c’est le cas de notre exemple il s’agit de quatre saisons en référence à une année. On les appelle, les coefficients saisonniers et ils sont obtenus grâce à la formule suivante : 1 𝑌𝑡 𝑠𝑖 = ∑ 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝑇𝑖 ) 𝐶𝑡 Pour les coefficients saisonniers nous avons quatre : 𝑇1 = {1;5; 9; 13} 𝑇2 = {2;6; 10; 14} 4 coefficients saisonniers 𝑇3 = {3;7; 11; 15} {𝑇4 = {4;8; 12; 16} Donc nous avons : 𝑆𝑡 = 𝑠 2 ; 𝑡𝜖𝑇𝑖 Par exemple pour le calcul du coefficient saisonnier relatif à la deuxième saison :
8
𝑆2 = 𝑠 2 =
1 𝑌𝑡 ∑ 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝑇2 ) 𝐶𝑡
1 𝑌2 𝑌6 𝑌10 𝑌14 = ( + + + ) 4 𝐶2 𝐶6 𝐶10 𝐶14 Avec par exemple 𝐶2 = 0,4647 × (2) + 20,425 2006
2007
2008
2009
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
𝑌𝑡 30 11 12 36 32 12 13 37 33 13 15 39 35 14 17 41
𝐶𝑡 20,8897059 21,3544118 21,8191176 22,2838235 22,7485294 23,2132353 23,6779412 24,1426471 24,6073529 25,0720588 25,5367647 26,0014706 26,4661765 26,9308824 27,3955882 27,8602941
𝐶2
𝐶6
𝐶10
𝐶14
1 11 12 13 14 = ( + + + ) 4 21,354 23,213 25,072 26,931 𝑆2 = 𝑠 2 = 0,52 2 Bien sur 𝑆14 = 𝑆10 = 𝑆6 = 𝑆2 = 𝑠 = 0,52 De la même manière nous pouvons calculer les autres coefficients saisonniers et le résultat est le suivant : 𝑆1 = 𝑆5 = 𝑆9 = 𝑆13 = 𝑠1 = 1,38 𝑆3 = 𝑆7 = 𝑆11 = 𝑆15 = 𝑠 3 = 0,58 𝑆4 = 𝑆8 = 𝑆12 = 𝑆16 = 𝑠 4 = 1,53 La détermination de la variable « vente » corrigée des variations saisonnières s’effectue à partir de la relation suivante : 𝑌𝑡 𝑌𝑐𝑣𝑠,𝑡 = ; 1≤𝑡≤𝑛 𝑆𝑡 𝑌
14
Par exemple pour 𝑡 = 14, nous avons : 𝑌𝑐𝑣𝑠,14 = 𝑆14 = 0,52 = 27,05 14
Voir le tableau des données récapitulées ci-dessous pour voir les calculs de 𝑌𝑐𝑣𝑠,𝑡 La troisième composante est la composante aléatoire : 𝜀𝑡 = 𝑌𝑡 − 𝑆𝑡 × 𝐶𝑡 Le calcul de cette composante est simple et automatique d’après la formule ci-dessus, calculons par exemple l’erreur relative à la période 14.
9
𝜀14 = 𝑌14 − 𝑆14 × 𝐶14 𝜀14 = 14 − 0,52 × 26,931 = 0,06 Tableau des données récapitulées 2006
2007
2008
2009
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
𝑌𝑡 30 11 12 36 32 12 13 37 33 13 15 39 35 14 17 41
𝐶𝑡 20,8897059 21,3544118 21,8191176 22,2838235 22,7485294 23,2132353 23,6779412 24,1426471 24,6073529 25,0720588 25,5367647 26,0014706 26,4661765 26,9308824 27,3955882 27,8602941
𝑆𝑡 1,38 0,52 0,58 1,53 1,38 0,52 0,58 1,53 1,38 0,52 0,58 1,53 1,38 0,52 0,58 1,53
𝑌𝑐𝑣𝑠,𝑡 21,7932045 21,2517546 20,8068107 23,5308615 23,2460848 23,1837323 22,5407116 24,1844965 23,972525 25,11571 26,0085134 25,4917666 25,4254053 27,0476877 29,4763152 26,7990367
𝜀𝑡 1,24 -0,05 -0,58 1,91 0,68 -0,02 -0,66 0,06 -0,87 0,02 0,27 -0,78 -1,43 0,06 1,20 -1,62
Nous pouvons maintenant passer à la présentation graphique de la série brute, son trend et la série corrigée des variations saisonnières : Yt
50
Ct
Yt cvs
40 30 20 10 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Ce graphique montre naturellement les variations (à la baisse respectivement à la hausse) des ventes enregistrées dont la courbe est verte par rapport à la droite de la tendance ; cependant les ventes enregistrent une hausse lorsque la courbe verte dépasse la droite du trend indépendamment des variations saisonnières, et respectivement enregistrent une baisse lorsque cette courbe est au-dessous de la droite du trend. Cette analyse permet bien évidement de voir l’évolution stricte des ventes indépendamment de l’évolution saisonnière.
10
Nous allons nous intéresser maintenant à une autre forme que peut prendre le Trend. Traitons le cas où le Trend est une courbe Nous proposant la méthode des moyennes mobiles (courbe de la moyenne mobile = Smooth) qui est une méthode de lissage. Une moyenne mobile est un outil intéressant pour lisser une série temporelle et donc pour enlever une composante saisonnière. On utilise de préférence des moyennes mobiles non-pondérées d’ordre égal à la période, par exemple d’ordre 7 pour des données journalières, d’ordre 12 pour des données mensuelles. Par exemple, pour enlever la composante saisonnière due au jour de la semaine, on peut appliquer une moyenne mobile non-pondérée d’ordre 7. Nous allons sans tarder appliquer cette méthode et nous allons distinguer deux cas de figure possible ; cas où la périodicité est d’ordre impaire (m=3 par exemple), et c’est le plus simple ; et le cas où l’ordre est paire (m=4 par exemple) ; Pour les composantes saisonnières d’une période paire, il n’existe pas de moyennes mobiles centrées non-pondérées. Il existe deux types de moyenne mobile centrée pondérée. Prenons comme exemple les données suivantes, où est enregistré dans le tableau qui suit les variations de l’indice des prix d’une marchandise de 1980 jusqu’au 1987.
Trimestre1 Trimestre2 Trimestre3 Trimestre4
1980 295 317,5 314,9 321,4
1981 324,7 323,7 322,5 332,9
1982 372,9 380,9 353 348,9
1983 354 345,7 319,5 317,6
1984 333,7 323,9 312,8 310,2
1985 323,2 342,9 300,2 309,8
1986 304,3 285,9 292,3 298,7
1987 312,5 336,1 295,5 318,4
Nous avons des observations périodiques faisant référence au trimestre, donc nous avons quatre trimestres 𝑚 = 4 (qui représente un chiffre paire). La période est paire et égale à m (m = 4 pour des données trimestrielles), on utilise une moyenne mobile d’ordre impaire accordant un demi-poids aux deux extrémités : IP 1980 Trimestre1 Trimestre2 Trimestre3 Trimestre4 1981 Trimestre1 Trimestre2 Trimestre3 Trimestre4 1982 Trimestre1 Trimestre2 Trimestre3 Trimestre4 1983 Trimestre1 Trimestre2 Trimestre3
295 317,5 314,9 321,4 324,7 323,7 322,5 332,9 372,9 380,9 353 348,9 354 345,7 319,5
MM
MMC 312,2=1/4*(295+317,5+314,9+321,4)
312,2 319,6 321,2 323,1 326,0 338,0 352,3 359,9 363,9 359,2 350,4 342,0 334,2
315,9 320,4 322,1 324,5 332,0 345,2 356,1 361,9 361,6 354,8 346,2 338,1 331,7
322,1=1/2(321,2+323,1) Chaque trimestre est affecté du même poids, mais cette méthode est moins avantageuse car la moyenne mobile est plus étendue. Donc, plus des données seront « perdues » aux extrémités de la série.
11
1984
1985
1986
1987
Trimestre4 Trimestre1 Trimestre2 Trimestre3 Trimestre4 Trimestre1 Trimestre2 Trimestre3 Trimestre4 Trimestre1 Trimestre2 Trimestre3 Trimestre4 Trimestre1 Trimestre2 Trimestre3 Trimestre4
317,6 333,7 323,9 312,8 310,2 323,2 342,9 300,2 309,8 304,3 285,9 292,3 298,7 312,5 336,1 295,5 318,4
329,1 323,7 322,0 320,2 317,5 322,3 319,1 319,0 314,3 300,1 298,1 295,3 297,4 309,9 310,7 315,6
326,4 322,8 321,1 318,8 319,9 320,7 319,1 316,7 307,2 299,1 296,7 296,3 303,6 310,3 313,2
Le graphique de la série brute et la série corrigée des variations saisonnières par la Méthode des Moyennes mobiles d’ordre paire : 390 370 350 330 310 290 270 250 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Donc il est clair que dans le cas où la périodicité est impaire le calcul de la moyenne mobile non pondérée se fait de manière naturelle.
12
Exercices résolus : les séries chronologiques Exercice Définir les concepts suivant ainsi que leurs fonctions : (a) une série chronologique ; (b) la périodicité ; (c) comment peut-on représenter graphiquement la série chronologique ; (d) la tendance, les variations saisonnières et les variations accidentelles ; (e) le modèle additif ; (f) le Modèle multiplicatif. (a) Une série chronologique est une variable statistique dont les observations sont repérées dans le temps. Les séries chronologiques sont extrêmement utilisées dans les sciences sociales et, en particulier, en économie. (b) Les séries chronologiques peuvent être annuelles, trimestrielles, mensuelles, hebdomadaires, journalières et même infra-journalières. À l’inverse, certaines données sont disponibles beaucoup plus rarement. On aura alors des observations sporadiques qui permettront de retracer l’évolution sur une longue période, mais avec une périodicité irrégulière. (c) Pour représenter graphiquement les séries chronologiques, on mettra toujours le temps en abscisse et les valeurs de la variable en ordonnée. La représentation la plus habituelle est le nuage de points. Mais il est fréquent que l’on relie les points entre eux. Les exemples des figures 1 à 3 illustrent ce dernier point. (d) L’observation des séries chronologiques permet de distinguer trois composantes principales. La première de ces composantes, la tendance ou trend, donne le sens de l’évolution sur la durée. La seconde composante, ce sont les variations saisonnières ou périodiques. La troisième composante, ce sont les variations accidentelles ou encore la composante aléatoire (erreur). Ces trois composantes ne sont pas toujours simultanément présentes dans une série chronologique. Certaines séries n’ont pas de tendance, d’autres n’ont aucune composante périodique. D’autres enfin, ne connaissent aucune variation accidentelle. (e) L’observation des séries chronologiques permet de distinguer deux grand types de série : celles qui se conforment au modèle multiplicatif et celles qui se conforment au modèle additif. Dans le modèle additif, les variations autour du trend demeurent dans une bande de variation à peu près constante. Dans le modèle multiplicatif, au contraire, les variations autour du trend s’amplifient. Modèle additif
Modèle multiplicatif
13
Exercice Soit le tableau suivant, qui donne l’évolution d’une série chronologique en fonction du temps, repéré par l’indice t. Déterminer le trend par la régression linéaire. t z
0 4
1 3
2 9
3 10
4 11
5 16
6 15
Le graphique en « nuages de points » de cette série chronologique est illustré par la figure suivante. 20
Le graphique de la série chronologique z
15 10 5 0 0
1
2
3
4
5
6
7
On calcule les coefficients a et b de la droite de régression : Nous allons déterminer le trend de cette série par une droite 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, en calculant les coefficients d’après les formules suivantes : 𝑐𝑜𝑣(𝑡, 𝑧) 𝑎̂ = { 𝑣𝑎𝑟(𝑡) 𝑏̂ = 𝑧̅ − 𝑎̂ × 𝑡̅ Rappelées ci-après (ou t tient le rôle de x et z celui de y). 𝒕𝒊 0 1 2 3 4 5 6 21
𝒛𝒊 4 3 9 10 11 16 15 68
𝒛𝒊 × 𝒕𝒊 0 3 18 30 44 80 90 265
𝒕𝒊 ² 0 1 4 9 16 25 36 91
𝒛𝒊 × 𝒕𝒊 ² 0 3 36 90 176 400 540 1245
20
Le graphique de la série chronologique z avec tendance
15 z = f(t) = 2,18t + 3,2 R² = 0,9014
10 5 0 0
𝑎̂ =
1
2
3
4
5
6
265 − 7 × 3 × 9.714 61 = = 2,18 28 91 − 7 × 3²
𝑏̂ = 9.714 − 2.17 × 3 = 3,2 On obtient donc l’équation du trend suivante : 𝑧𝑡 = 𝑎̂𝑡 + 𝑏̂ = 2,18𝑡 + 3,2
14
7
Modélisation des séries chronologiques stationnaires et non stationnaires : ARMA, ARIMA Introduction Rappelons le, Une série chronologique (𝑌𝑡 , 𝑡 ∈ 𝑇) est une suite d’observations d’une variable 𝑌 à différentes dates 𝑡. Habituellement 𝑇 est dénombrable, de sorte que 𝑡 = 1,2, … … … . , 𝑇. Le but de l’analyse des séries temporelles (séries chronologiques) est de s’intéresser à la dynamique d’une variable. Cette dernière est importante pour au moins deux raisons : d’un point de vue économétrique, on ne peut relier que deux variables qui ont des propriétés similaires, en particulier une même stabilité ou instabilité ; les propriétés mathématiques permettant de relier deux variables dépendent de leur dynamique. Une série temporelle peut concerner des données macroéconomiques (Masse monétaire, PIB, inflation,……), microéconomiques (nombre d’employés d’une entreprise, ventes, …..), politiques (nombre de votants, nombre de votes nuls,….), démographiques (âge moyen des habitants d’une localité, leur taille,…..), financières ( Indice BRVM composite, cours d’une action,.. ). La périodicité de la série importe peu. Il peut s’agir de mesures annuelles, semestrielles, mensuelles etc. Le premier objectif de ce cours est de modéliser la partie aléatoire d’une série temporelle. Dans la première partie du cours, nous avons vu qu’une série temporelle X peut s’écrire sous la forme simplifiée : 𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝑆𝑡 + 𝜀𝑡
Avec 𝐶𝑡 et 𝑆𝑡 des séries déterministes représentant respectivement la tendance et la saisonnalité et 𝜀𝑡 une série aléatoire représentant le résidu ou bruit. Dans le cadre du cours,
Nous avions vu comment isoler les parties déterministes. Nous avions proposé des techniques pour les estimer. Nous avions supposé que la série 𝜀𝑡 était un bruit blanc. Enfin nous vérifions qu’une fois tendance et saisonnalité supprimées, le résidu était bien un bruit blanc.
Nous allons nous intéresser dans ce cours à la partie aléatoire (𝜀𝑡 ) de la série temporelle et travailler dans un cadre plus général que le précèdent : nous ne supposerons plus que ( 𝜀𝑡 ) est un bruit blanc mais qu’il est seulement stationnaire ; ce qui signifie grossièrement que sa moyenne, sa variance et son autocovariance sont constantes au cours du temps. A noter que le seul fait de supprimer la tendance et la saisonnalité ne rend pas nécessairement la série résiduelle stationnaire puisque cela n’affecte pas la variance et l’autocovariance qui doivent être constantes pour un processus stationnaire. Nous proposerons des techniques de modélisation de ce type de processus. En d’autre terme, on aimerait maintenant aller plus loin et proposer un modèle capable de reproduire le « comportement » des données de façon analogue. Ici cependant la tâche est bien différente puisque les données ne sont pas déterministes. Il faudra choisir le modèle le plus simple possible avec le nombre le plus petit 15
de paramètres possibles. Cela nous amènera à considérer tout particulièrement une famille de processus linéaires très couramment employée, les processus ARMA. Nous verrons ensuite comment faire de la prédiction à partir de ces séries. A partir de maintenant, la série résiduelle sera notée 𝑿𝒕 au lieu de 𝜺𝒕 . En pratique, les séries temporelles résiduelles ne sont pas nécessairement stationnaires. Un prétraitement est alors nécessaire pour supprimer la tendance et la saisonnalité d’une part comme usuellement mais aussi pour « stationnariser » la série résiduelle. Une fois la série « stationnarisée » analysée, et les valeurs futures prédites, il sera ensuite nécessaire de revenir à la série initiale. Néanmoins, toutes les séries résiduelles obtenues de la sorte ne sont pas nécessairement stationnaires : il peut arriver que la variance d’un processus varie au cours du temps. C’est le cas des séries ARCH ou plus généralement GARCH. Nous verrons comment procéder dans le cadre de telles séries. Dans chacun des cas, une fois le modelé choisi, on estime les paramètres inconnus à partir des observations. Des tests permettent ensuite de vérifier que le modèle identifié est bien adapté aux observations. Enfin, le modèle identifie peut servir à résoudre des problèmes de contrôle, de détection, d’interpolation ou de prédiction des valeurs futures de 𝜺𝒕 . Processus stochastique
16
L’autocorrélation Dans un modèle d’autocorrélation particulièrement simple a été largement adopté. Dans ce modèle, les aléas 𝑋𝑡 sont supposés obéir au processus autorégressif d’ordre un, ou AR(1). 𝑋𝑡 = 𝜌𝑋𝑡 − 1 + 𝜀𝑡; 𝜀𝑡 ~ 𝐼𝐼𝐷(0; 𝜔²); |𝜌| < 1 Ce processus aléatoire indique que l’aléa au temps t, 𝑋𝑡, est égal a une certaine fraction 𝜌 de l’aléa au temps t – 1. Plus un nouvel alea ou innovation 𝜀𝑡 qui est homoscédastique et indépendant de toutes les innovations passées ou futures. Ainsi à chaque période, une partie de l’aléa correspond à l’aléa de la période précédente, quelque peu diminué et peut-être de signe différent et une partie correspond à l’innovation 𝜀𝑡. On appelle la condition |𝜌| < 1 condition de stationnarité. Elle garantit que la variance de 𝑋𝑡 tend vers une valeur limite, 𝜎², plutôt que de diverger lorsque 𝑡 augmente. En substituant successivement à 𝑋𝑡 − 1, 𝑋𝑡 − 2, 𝑋𝑡 − 3, et ainsi de suite, nous voyons que 𝑋𝑡 = 𝜌𝑋𝑡 − 1 + 𝜀𝑡
STATIONNARITE, BRUIT BLANC ET MARCHE ALEATOIRE Processus stationnaire La stationnarité est un concept clé pour la validité d’une régression sur séries temporelles. D’un point de vue statistique, la stationnarité suppose que le passé est comparable au présent et au futur. Ainsi, une série chronologique est stationnaire, au sens strict, si sa distribution de probabilité ne change pas au cours du temps : cette définition forte de la stationnarité implique que la distribution jointe (𝑋𝑟+1 , 𝑋𝑟+2 , . . . , 𝑋𝑟+𝑛 ) ne dépende pas de 𝑟; si c’est le cas, on conclut que 𝑋𝑡 est non stationnaire. Par ailleurs (définition faible de la stationnarité), un processus temporel 𝑋𝑡 est stationnaire si : i. ii. iii.
𝐸[𝑋𝑡 ] = 𝜇, pour tout 𝑡 : c’est-à-dire la série stationnaire en moyenne. 𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑡 ] ≡ 𝐸(𝑋𝑡 ²) = 𝜎², pour tout 𝑡 : c’est-à-dire la série est stationnaire en variance. 𝐶𝑜𝑣[𝑋𝑡 , 𝑋𝑡+𝑘 ] ≡ 𝐸[(𝑋𝑡 – 𝜇) (𝑋𝑡+𝑘 – 𝜇)] = 𝛾𝑘 : l’autocovariance ou la covariance entre deux périodes 𝑡 et 𝑡 + 𝑘** est uniquement fonction de la différence des temps 𝑘.
Un processus est stationnaire si celui-ci n’a ni trend, ni saisonnalité et de ce fait, fluctue autour d’une moyenne constante. Il apparait donc sue la stationnarité est une exigence qui assure l’utilisation du modèle en dehors de la période sur laquelle il a été estimé.
17
Un processus stationnaire possède de volatile lorsqu’il possède certaines réalisations qui s’écartent sensiblement de la moyenne constante. Processus non-stationnaire Une chronique qui ne vérifie pas les hypothèses ci-dessus est dite non stationnaire. Donc, il faudra la stationnariser avant l’estimation. La méthode de stationnarisation dépend de la source de la non stationnarité. Pour identifier cette source, le modèle suivant doit être testé : 𝑋𝑡 = 𝛼0 + 𝛼𝑖 𝑋𝑡−𝑖 + 𝛼𝑗 𝑡 + 𝜀𝑡 En estimant ce modèle : Décision αi est significatif
Type de modèle Trend and Intercept
αi est non significatif et α0 est significatif αi est non significatif et α0 est non significatif
Intercept None (ni Trend, ni Intercept)
Processus Trend Stationnary (TS) Differency Stationnary (DS)
Méthode de stationnarisation Ecart à la tendance
Filtre aux différences
Procédure : Si le modèle est un TS
1/ Estimer le modèle 𝑋𝑡 = 𝛼0 + 𝛼𝑗 𝑡 + 𝜀𝑡 2/ Générer les résidus 𝜀̂𝑡 3/ Tester 𝜀̂𝑡 si est stationnaire
Si le modèle est un DS :
il faut différencier ou intégrer 𝑋𝑡 « d » fois pour obtenir une chronique stationnaire, soit 𝑋𝑡 → 𝐼(𝑑).
Un processus DS non-stationnaire 𝑋𝑡 est intégré d’ordre d, noté I(d), si en le différenciant «d» fois, on obtient un processus stationnaire. Considérations pratiques pour apprécier la stationnarité d’une série. On dispose d’une trajectoire d’une série temporelle {𝑦𝑡 } et on veut se faire une première idée de la stationnarité de cette série par l’observation du chronogramme de la trajectoire. Une condition nécessaire de stationnarité est que la moyenne et la variance de la série soient constantes. Elle implique donc que le graphe de la série en fonction du temps montre un niveau moyen à peu près constant et des fluctuations à peu près de même ampleur autour de la moyenne supposée, quelle que soit la date autour de laquelle on examine la série. Examinons quelques séries pour nous faire une opinion sur leur stationnarité éventuelle. Exemples (Outils graphiques pour la stationnarité) 18
1. Une série stationnaire a une moyenne constante. Considérons le cours de l’action Danone. Imaginons un intervalle de 200 points environ et faisons glisser cet intervalle. Il est manifeste que pour cette série la moyenne dépend de t : elle n’est donc pas stationnaire. En résumé, si le niveau d’une série fluctue peu autour d’un niveau moyen sur un petit intervalle de temps mais que ce niveau moyen change avec la position de l’intervalle, on peut conclure que la série n’est pas stationnaire.
2. Une série stationnaire a une variance constante. Ce qui veut dire que l’ampleur de la fluctuation de la série reste la même sur un petit intervalle de temps, quel que soit cet intervalle. Le nombre de morts sur les routes au Maroc décroît avec le temps et montre une variabilité, donc une variance, qui diminue. Cette série n’est donc pas stationnaire.
19
20
Test de stationnarité (test de racine unitaire) L’approche de la stationnarisation par écart à une tendance à donner lieu à deux traditions, se distinguant par le mode de spécification et d’estimation de cette tendance. Alternativement, la tendance peut être spécifiée et estimée comme une fonction déterministe du temps. Cette spécification de la tendance peut être linéaire [You 1978], quadratique [Perloff et Wachter 1979] ou, peu prendre en compte des inflexions mois régulières, linéaire par morceaux [J.Artus1977]. Test de Dickey- Fuller Les tests de Dickey-Fuller (DF) permettent de mettre en évidence le caractère stationnaire ou non d’une chronique par la détermination d’une tendance déterministe ou stochastique. Les tests de Dickey-Fuller permette non seulement de détecter l’existence d’une tendance (test de racine unitaire, « Unit Root Test »), mais aussi de déterminer la bonne manière de stationnariser une chronique pour ce faire deux processus sont distingués:
Les processus TS (tend stationnary) qui représente une non-stationnarité de type déterministe. Les processus DS (Differency stationnary) pour les processus non stationnaires aléatoires.
De manière générale, pour stationnariser un processus TS, la bonne méthode est celle des moindres carrés ordinaires; pour un processus DS, il faut employer le filtre aux différences. Le choix d’un processus DS ou TS comme structure de la chronique n’est donc pas neutre. Le test de Dickey-Fuller simple consiste à estimer par les MCO les trois modèles : [1] 𝑌1𝑡 – 𝑌1𝑡−1 = 𝐷𝑌1𝑡 = (𝛷1 – 1 ) 𝑌1𝑡−1 [2] 𝑌1𝑡 – 𝑌1𝑡−1 = 𝐷𝑌1𝑡 = (𝛷1 – 1 ) 𝑌1𝑡−1 + 𝑐 [3] 𝑌1𝑡 – 𝑌1𝑡−1 = 𝐷𝑌1𝑡 = (𝛷1 – 1 ) 𝑌1𝑡−1 + 𝑐 + 𝑏𝑡 Les modèles servent de base à la construction de ces tests sont au nombre de trois. Le principe des tests est simple: si l’hypothèse 𝐻0 : 𝛷1 = 1 est retenue dans l’un de ces trois modèles, le processus est alors non stationnaire. Tests de Dickey-Fuller Augmentés Dans les modèles précédents, utilisés pour les tests de Dickey-Fuller simples, le processus 𝜉𝑡 est, par hypothèse, un bruit blanc. Or il n’y a aucune raison pour que, à priori, l’erreur soit non corrélée; On appelle tests de Deckey-Fuller Augmentés (ADF) la prise en compte de cette hypothèse. Les tests ADF sont fondés, sous l’hypothèse alternative 𝛷1 < 1, sur l’estimation par les MCO des trois modèles: 21
Modèle [4] : 𝛥𝑌1𝑡 = 𝜌𝑌1𝑡−1 – ∑ 𝛷𝑗𝛥𝑌1𝑡−𝑠−1 + 𝜉𝑡 Modèle [5] : 𝛥𝑌1𝑡 = 𝜌𝑌1𝑡−1 – ∑ 𝛷𝑗𝛥𝑌1𝑡−𝑠−1 + 𝑐 + 𝜉𝑡 Modèle [6] : 𝛥𝑌1𝑡 = 𝜌𝑌1𝑡−1 – ∑ 𝛷𝑗𝛥𝑌1𝑡−𝑠−1 + 𝑐 + 𝑏𝑡 + 𝜉𝑡 Avec j variant de 2 jusqu’au 𝑝 ; et 𝜉𝑡 ~ 𝑖. 𝑖. 𝑑 Le test se déroule de manière similaire aux tests DF, seules les tables statistiques différentes. La valeur de p peut être déterminée selon les critères de Akaike ou de schwarz, ou encore, en partant d’une valeur suffisamment importante de p, on estime un modèle à p-1 retards, puis à p-2 retards, jusqu’à ce que le coefficient du piéme retard soit significatif.
METHODOLOGIE DE BOX ET JENKINS La méthodologie de Box et Jenkins permet de déterminer le processus ARMA adéquat pour la modélisation d’une chronique. La méthodologie BJ suggère quatre étapes, à noter : l’identification, l’estimation, la validation et la prévision.
L’identification : cette première étape consiste à trouver les valeurs p et q des processus ARMA en se basant sur l’étude des fonctions d’autocorrélation simple et d’autocorrélation partielle. L’estimation : après avoir identifié les valeurs p et q d’un ou plusieurs processus ARMA, il sera question d’estimer les coefficients aux termes autorégressifs et moyenne mobile. La validation : après avoir estimé les différents processus ARMA, il convient à présent de valider ces modèles, en servant d’une part, des tests de significativité des paramètres (test de student) pour les coefficients et d’autre part, les tests d’hypothèse nulle d’homoscédasticité (tests ARCH, White, Breusch-Pagan) et d’hypothèse nulle d’autocorrélation pour les résidus (tests de Box-Pierce, LjungBox, Breusch-Godfrey)
Autrement, l’étape de validation du modèle consiste à tester si les résidus sont de bruits blancs. Au cas où les résidus sont de bruits blancs ; il faudra que la série de résidus soit stationnaire (fluctuant autour d’une moyenne constante nulle) et par ailleurs, après application des tests Box-Pierce et ARCH, que l’on rejette les hypothèses alternatives.
22
Présentation de tests de cointégration et de tests de causalité de Granger Le concept de cointégration introduit par Granger4 (1981), Granger et Weiss5 (1983) puis Engle et Granger6 (1997) permet de préciser la réalité et la nature des divergences entre deux séries théoriquement liées entre elles et la notion de causalité (Granger 7 (1969)), offre aujourd’hui un cadre assez rigoureux pour étudier la direction de la causalité (unidirectionnelle ou bidirectionnelle) entre deux variables8. Afin d’apprécier le caractère causal ou bi-causal des séries temporelles et de mettre en évidence des relations de cointégration, plusieurs démarches économétriques sont engagées. Dans un premier temps, il est nécessaire de mener des tests de stationnarité sur les séries temporelles, pour tester l’ordre d’intégration des séries. Ensuite, en retenant l’approche d’Engle et Granger9 avec deux variables, on étudiera la causalité éventuelle entre les indicateurs du commerce retenus pour cette étude et le PIB. Enfin, en reprenant le modèle théorique, on retiendra l’approche de Johansen10 pour examiner les relations de cointégration entre les séries temporelles à long terme et à court terme.
Ordre d’intégration des séries et les tests de stationnarité Tout d’abord, il faut déterminer la stationnarité des séries à travers des «tests de stationnarité» ou des «tests de racine unitaire»11, pour éviter le problème de régressions fallacieuses (Spurious Regression) soulevé par Granger et Newbold (1974)12. En effet, les tests de causalité et cointégration sont très sensibles à la stationnarité des séries (Stock et Watson, 4
Granger Clive, (1981), Some Properties of Time Series Data and Their Use in Econometric Model Specification, Journal of Econometrics 16, pp.121-130. 5
Granger, C. W. J., & A. A. Weiss (1983), Time Series Analysis of Error-Correcting Models, in Studies in Econometrics, Time Series, and Multivariate Statistics, New York: Academic Press, pp. 255-278. 6
Robert F. Engle and C. W. J. Granger, (1997), Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing, Econometrica, Vol. 55, No. 2, The Econometric Society, pp. 251-276 7
Granger C. W. J., (1969), op cit.
8
Bourbonnais (2009), Econométrie, Dunod, 7ème édition, Paris. Voir aussi Éric DOR (2009).
9
Engle and Granger (1987), Cointegration and Error- Correction: Representation, Estimation and Testing, Econometrica 55, pp. 251 - 276. 10
Greene William H. (2003), Econometric Analysis 5th Ed, New York University, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 11
Pour plus de détails sur les tests de stationnarité, on peut se référer à Phillips et Xiao (1998) ou à Salanié (1999). 12
Granger, C. W., Newbold, P., (1974), Spurious regression in econometrics, Journal of Econometrics, vol. 2, pp. 11-20. 23
1989)13 et la plupart des séries macroéconomiques ne sont pas stationnaires en niveau (Nelson et Plosser, 1982)14. Les tests de Dickey-Fuller (DF) ou de Philipps et Perron (PP) permettent non seulement de mettre en évidence le caractère stationnaire ou non d’une série temporelle par la détermination d’une tendance (test de racine unitaire) mais aussi de déterminer la bonne manière de stationnariser la série15. Pour examiner la stationnarité des séries de données, on peut recourir aux tests de DickeyFuller augmentés (ADF) qui valident ou non la présence d’une racine unitaire et en prenant en compte l’hypothèse d’erreurs sériellement corrélées16. En considérant la série chronologique : Xt : Xt = ρXt−1 + ut Avec 0 ≤ 𝜌 ≤ 1 On déduit que : 𝑋𝑡 − 𝑋𝑡−1 = (1 − 𝜌)𝑋𝑡−1 + 𝑢𝑡 Soit ∆𝑋𝑡 = 𝜗𝑋𝑡−1 + 𝑢𝑡 Avec 𝜗 = 1 − 𝜌 et donc −1 ≤ 𝜗 ≤ 0 . Les tests de Dickey-Fuller augmentés, qui consistent à introduire des variables supplémentaires (∆Xt−p ), avec l’hypothèse sous-jacente que l’autocorrélation des résidus a pour cause l’absence de variables retardées différenciées dans l’équation, s’appuient sur trois modèles de base : -
le modèle (1) sans constante ni tendance déterministe : p
Xt = ρXt−1 + ∑ ψj ΔXt−j + ut
(1.3)
j=1
Ou encore
13
Stock, J.H., Watson, M.W., (1989), New indexes of coincident and leading economic indicators, NBER Macroeconomics Annual, pp. 351-393. 14
Nelson, C.R., Plosser, C.I., (1982), Trends and random walks In Macroeconomic Time Series, Journal of Monterey Economics, 10, pp.139-162. 15
Bourbonnais R., (2009), op cit. Et Voir aussi Éric DOR (2009) op cit.
16
Pollock D.S.G. (1999), A Handbook of Time-Series Analysis, Signal Processing and Dynamics, Queen Mary and West old College, The University of London UK, Academic Press. 24
p
∆Xt = ϑXt−1 + ∑ ψj ΔXt−j + ut j=1
-
le modèle (2) avec constante (b), mais sans tendance déterministe (mt ): 𝑝
𝑋𝑡 = 𝑏 + 𝜌𝑋𝑡−1 + ∑ 𝜓𝑗 𝛥𝑋𝑡−𝑗 + 𝑢𝑡
(1.4)
𝑗=1
Ou encore 𝑝
∆𝑋𝑡 = 𝑏 + 𝜗𝑋𝑡−1 + ∑ 𝜓𝑗 𝛥𝑋𝑡−𝑗 + 𝑢𝑡 𝑗=1
-
le modèle (3) avec constante (b) et tendance déterministe (mt ) : p
X t = mt + b + ρXt−1 + ∑ ψj ΔXt−j + ut
(1.5)
j=1
Ou encore : p
∆Xt = mt + b + ϑXt−1 + ∑ ψj ΔXt−j + ut j=1
Le test s’écrit alors : H0 : ϑ = 0 contre H1 : ϑ < 0 . Si l’hypothèse nulle est retenue dans l’un de ces trois modèles à partir de la méthode des moindres carrés ordinaires, le processus est alors non stationnaire. Phillips et Perron proposent une méthode non paramétrique pour corriger la présence d’autocorrélation, en ajoutant un facteur de correction. Dans la même logique que le test de Dickey-Fuller, ce test repose sur les trois modèles suivants : ₋
∆Xt = ϑXt−1 + ut
₋
∆Xt = ϑXt−1 + b + ut
₋
∆Xt = ϑXt−1 + b + mt + ut
(1.6) (1.7) (1.8)
Si l’hypothèse nulle H0 : ϑ = 0 est retenue dans l’un des trois modèles, le processus est considéré comme stationnaire. Si le coefficient est significativement différent de zéro, alors l’hypothèse que X contienne une racine unitaire est rejetée. Le rejet de l’hypothèse nulle implique que la série est stationnaire. Dans ce cas, si la statistique ADF ou PP calculée est plus grande que la valeur critique de McKinnon’s, alors l’hypothèse nulle n’est pas rejetée. On en conclut que la variable considérée n’est pas stationnaire et possède une racine unitaire. 25
Cette procédure est appliquée une nouvelle fois après avoir transformé les séries considérées en différence première. Si l’hypothèse nulle de non-stationnarité est rejetée, il est possible de conclure que la série est intégrée d’ordre 1. Il faut alors la différencier une fois pour la rendre stationnaire. En outre, pour que les tests ADF ou les tests PP soient performants, il est important de choisir l’ordre de retard, pour ne pas réduire la puissance du test (de rejeter l’hypothèse nulle de racine unitaire). Les logiciels économétriques17 calculent le nombre optimal de retards en fonction des critères proposés, en référence au «Schwartz Info Criteriun» et au «Bartlett Kernel». Le constat de stationnarité en différence première des séries permet d’entreprendre des tests de causalité au sens de Granger pour mettre en évidence les relations causales entre deux variables économiques.
Tests de causalité au sens de Granger entre deux variables Selon Granger18 (1969), il s’agit simplement de déterminer si une variable x «cause selon Granger» une variable y. La procédure consiste à observer tout d’abord dans quelle mesure les valeurs passées de y arrivent à expliquer la valeur actuelle de y et d’analyser par la suite la consolidation de l’estimation lorsque l’on prend en considération des valeurs retardées de la variable x. Alors, on dit que la variable y est «causée au sens de Granger» si la variable x est déterminante dans l’estimation de y, ou encore, si les coefficients des valeurs retardées de la variable x sont significativement différents de zéro. Une double causalité peut apparaître, si on doit accepter les deux hypothèses que y cause x et que x cause y ; on parle de boucle rétroactive «feedback effect19». Soit le modèle VAR(p) pour lequel les variables Yt et Xt sont stationnaires et ε1t , ε2t des bruits blancs. Dans (1.5), les hypothèses du test sont : Yt = α1 + ∑
p i=1
β1t Yt−i + ∑
p
γ1i Xt−i + ε1t
(1.10)
i=1
- H0 : Xt ne cause pas Yt ,γ1i = 0 (pour tout i) Xt = α2 + ∑
p i=1
β2t Yt−i + ∑
p
γ2i Xt−i + ε2t
i=1
17
Nombreux sont les logiciels qui effectuent ces calcules (R, RATS, LIMDEP, STATA, SPSS, TSP,….), pour notre cas ils sont effectués par logiciel Eviews version 7 et Version 8. 18
Granger C. W. J., (1969), op cit. Khalid SEKKAT, (1989), L’analyse de causalité comme méthode de détermination des filières industrielle, Annal d’Economie et de Statistique, N°14, pp. 191-223. 19
26
- H0 : Yt ne cause pas Xt , β1i = 0 (pour tout i) Pour effectuer le test de causalité de Granger20, les séries doivent être stationnaires et le nombre de retards p doit être déterminé avec précision, puisque peu de retards entraînent une erreur de spécification et trop de retards21, un gaspillage des observations et réduit le nombre de degrés de liberté. Le choix du nombre de retards du VAR (mlag) se basera sur le critère d’Akaik (AIC), celui de Schwarz (SC), du Likelihood Ration (LR) et celui de Hannan-Quinn (HQ). Nous prendrons également en considération l’approche de Lütkepohl22 (2007) pour limiter le nombre de retards à 6. Pour chaque pays, en prenant en compte les critères mentionnés précédemment, on déterminera la longueur du décalage retenu et on effectuera des tests de causalité au sens de Granger.
Tests de cointégration et le modèle à correction d’erreur L’analyse de cointégration23 permet alors d’identifier les relations économiques de long terme entre plusieurs variables et d’éviter le risque de régressions fallacieuses 24. A court terme, deux séries peuvent avoir une évolution divergente, notamment en raison du caractère de nonstationnarité, mais elles évoluent ensemble à long terme. Il est possible que certaines variables soient I(1) et que les combinaisons linéaires de ces variables soient I(0). L’analyse de cointégration est importante, car si des variables non stationnaires sont cointégrées, l’estimation d’un modèle VAR en différences premières peut être erronée en raison de l’effet d’une tendance commune25. Le problème consiste donc à déterminer si les séries d’un modèle sont cointégrées, et à estimer la relation de long terme, puis de court terme entre les variables considérées.
Identification des Relations de cointégration
20
Clive W. J. Granger, (2001), Essays in Econometrics Collected Papers of Clive W. J. Granger Volume I: Spectral Analysis, Seasonality, Nonlinearity, Methodology, and Forecasting, Cambridge University Press, pp. 1-554. 21
Helmut Lütkepohl, Markus Krätzig, (2004), Applied Time Series Econometrics, Cambridge University Press, The Edinburgh Building, Cambridge, UK. 22
Helmut Lütkepohl, (2007), New Introduction to Multiple Time Series Analysis, 764 pages. Soren Johansen, (1996), Likelihood-Based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive Models (Advanced Texts in Econometrics, Oxford University Press, USA, pp 1-280. 23
24
Caner, M., Hansen, B.E., (2001), Threshold Autoregression With A Unit Root, Econometrica vol 69, pp.1565– 1596. 25
I Gusti Ngurah Agung (2009), Time Series Data Analysis Using Eviews, John Wiley & Sons (Asia), Singapore 27
Dans notre étude, les tests seront menés dans un modèle 𝑉𝐴𝑅(𝑝), où p représente le retard, Si l’on suppose que p = 1, on obtient : Yt = A1 Yt−1 + εt Le test de cointégration de Johansen26 (1988) permet de déterminer le nombre de relations de cointégration à partir de deux tests fondés sur les valeurs propres d’une matrice. La procédure se subdivise en deux étapes27 : le calcul de deux résidus, puis le calcul de la matrice permettant le calcul des valeurs propres. L’estimation se base sur l’équation suivante : ∆Yt = A0 + B1 ∆Yt−1 + B2 ∆Yt−2 + ⋯ + BP−1 ∆Yt−P+1 + πYt−1 + ε p
Où les matrices Bi sont des fonctions des matrices Ai et π = (∑i=1 Ai − I). La matrice π peut s’écrire sous la forme π = αβ′ où α est la force de rappel vers l’équilibre et β contient les relations de cointégration 𝑟. Au cours de la première étape, deux régressions sont effectuées : ̂0 + A ̂ 1 ∆Yt−1 + A ̂ 2 ∆Yt−2 + ⋯ + A ̂ P ∆Yt−P + ut 1 - ∆Yt = A ̂0 + A ̂ 1 ∆Yt−1 + A ̂ 2 ∆Yt−2 + ⋯ + A ̂ P ∆Yt−P + νt 2 - ∆Yt = A Yt est un vecteur de dimension (𝑘 × 1)constitué des 𝑘 variables (𝑦1𝑡 , 𝑦2𝑡 , . . , 𝑦𝑘𝑡 ), A0 est un vecteur de dimension (𝑘 × 1) et Ai est un vecteur de dimension (𝑘 × 𝑘). ut et νt sont alors les matrices des résidus de dimension (𝑘, 𝑛) avec 𝑘, le nombre de variables et 𝑛 le nombre d’observations. Au cours de la seconde étape, le calcul de quatre matrices des variances-covariances de dimension (𝑘 × 𝑘) est effectué à partir des résidus ut et νt . Ensuite les 𝑘 valeurs propres de la matrice M de dimension (𝑘 × 𝑘) sont extraites. Le premier test développé par Johansen est le test de la trace. Une statistique est calculée : 𝑘
𝜆𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 = −𝑛 ∑ 𝐿𝑛(1 − 𝜆𝑖 ) 𝑖=𝑟+1
26
Erik Hjalmarsson and Pär Österholm, (2007), Testing for Cointegration Using the Johansen Methodology when Variables are Near Integrated, IMF Working Paper, WP/07/141, International Monetary Fund, pp. 1-19. 27 Pollock D.S.G. (1999), A Handbook of Time-Series Analysis, Signal Processing and Dynamics, Queen Mary and West old College, The University of London UK, Academic Press. 28
Avec 𝑛, le nombre d’observations, 𝜆𝑖 la ième valeur propre de la matrice M, 𝑘 le nombre de variables et 𝑟, le rang de la matrice. Cette statistique suit une loi de probabilité similaire à un 𝜒 2 (table de Johansen et Juselius (1990)28). Plusieurs cas de figures peuvent apparaître : -
Le rang de la matrice π est égal à 0 (𝑟 = 0), soit 𝐻0 : 𝑟 = 0 et 𝐻1 : 𝑟 > 0 ; si on rejette 𝐻0 on exécute le test suivant, Le rang de la matrice π est égal à 1 (𝑟 = 1), soit 𝐻0 : 𝑟 = 1 et 𝐻1 : 𝑟 > 1 ; si on rejette 𝐻0 on exécute le test suivant, Le rang de la matrice π est égal à 2 (𝑟 = 2), soit 𝐻0 : 𝑟 = 2 et 𝐻1 : 𝑟 > 2 ; la procédure s’arrête lorsque 𝐻0 est acceptée.
Le second test de la valeur propre maximale s’appuie sur la statistique suivante : 𝜆𝑚𝑎𝑥 = −𝑛𝐿𝑜𝑔(1 − 𝜆𝑟+1 )
avec
𝑟 = 0,1,2 ….
Ce test fonctionne également par exclusion d’hypothèses alternatives et s’effectue de manière séquentielle. L’hypothèse nulle de la statistique de la valeur propre maximale coïncide avec celle de la statistique de la trace, mais son hypothèse alternative assume qu’il y a 𝑟 + 1 relations de cointégration entre les séries. L’idée est d’améliorer le pouvoir du test en limitant l’alternative à un rang de cointégration qui est juste un de plus que sous l’hypothèse nulle. Avant de mener les tests de relations cointégrantes, il convient tout d’abord de déterminer l’introduction potentielle des termes déterministes (constance et tendance) à la fois dans la relation de cointégration de long terme et dans la dynamique de court terme. Il faut également tester l’ordre du VAR, en se référant principalement aux généralisations multivariées du critère d’Akaike (AIC), mais également au critère de Schwarz (SC), du Likelihood Ration (LR) et celui de Hannan-Quinn (HQ), afin de choisir le nombre de décalages approprié. Dans l’application de la méthode de Johansen29 (1995), cinq modèles sont proposés30. Les séries de données considérées peuvent comporter une moyenne non nulle et un trend déterministe (linéaire) ou même quadratique. La détermination des termes déterministes et du modèle retenu dans l’analyse de cointégration s’appuie sur des raisonnements économiques qui visent à juger du caractère tendanciel des séries, sur le degré de significativité du «trend» et de la constante au cours des tests de racine unitaire, sur les critères du maximum de vraisemblance et d’Akaike qui mettent en évidence le modèle le plus approprié. Le «Likelihood Ratio» (LR) est défini par :
28
Russell Davidson, James G. Mackinnon, (2003), Econometric Theory and Methods, Oxford University Press. Johansen, S. (1995), Likelihood Based Inference in Cointegrated Vector Error Correction Models, Oxford University Press, Oxford. 29
30
Les modèles : a) Absence de constance et de tendance dans le modèle VAR ainsi que dans l'équation de cointégration; b) Absence de constance et de tendance dans le modèle VAR, mais l'équation de cointégration comprend une constante; c) Présence de constance dans le modèle VAR et aussi dans l'équation de cointégration ; d) Absence de tendance dans le modèle VAR, et présence de constance et de tendance dans l'équation de cointégration ; e) Existence d‘une tendance quadratique dans les données. 29
𝑄(𝑟) = −𝑇 ∑𝑘𝑖=𝑟+1(𝐿𝑜𝑔(1 − 𝜆𝑖 )) pour 𝑟 = 0,1,2 … . 𝑘 − 1 où 𝜆𝑖 est la ième valeur propre. La sélection du modèle et le choix de l’ordre peut se faire par le test du ratio de vraisemblance, au regard du degré de significativité du 𝜒 2 et du nombre de degrés de liberté. Pour chaque équation du VAR, on effectue un test de Wald pour savoir si une variable endogène peut être considérée comme exogène.
Présentation du modèle vectoriel à correction d’erreur D’après le théorème de représentation de Granger, l’existence d’un système cointégré implique la présence d’un mécanisme à correction d’erreur qui restreint les écarts par rapport à l’équilibre de long terme. La présence de relations de cointégration permet alors d’estimer un modèle à correction d’erreur vectoriel (VECM). Les modèles à correction d’erreur permettent de reproduire la dynamique d’ajustement vers l’équilibre de long terme. La principale caractéristique du VECM est sa capacité à corriger tout déséquilibre qui pourrait impacter le système d’une période à une autre. Le terme de correction d’erreur prend en compte ces déséquilibres et guide les variables du système vers le retour à l’équilibre. Ce mécanisme force la déviation de court terme à revenir à la période suivante en fonction de l’équilibre à une période donnée. Le modèle à correction d’erreur peut s’écrire de la manière suivante : ∆xt = α1 zt−1 + lagged(∆xt , ∆yt ) + ε1t (1.11) ∆yt = α2 zt−1 + lagged(∆xt , ∆yt ) + ε2t zt−1 représente le terme à correction d’erreur issu de l’estimation de la relation de cointégration. ε est le terme d’erreur stationnaire. |α1 | + |α2 | ≠ 0 Avant d’appliquer les modèles à correction d’erreur, des tests de causalité de Granger sont effectués sur les variables pour voir si les statistiques sont significativement différentes de zéro selon le test standard du χ² . Ensuite, on applique des tests de stationnarité pour confirmer que les résidus sont I(0). Les estimations des modèles à correction d’erreur permettent d’analyser le paramètre du terme à correction d’erreur (erreur standard entre parenthèses et le t-statistique entre crochets), la dépendance des variables par rapport aux autres variables décalées et la qualité de l’estimation du modèle (R² et la statistique de Fisher).
30
31
