SOAL dan JAWAB HIMPUNAN & FUNGSI 1. Nyatakan relasi R = {(1,2), (2,1), (3,3), (1,1), (2,2)} pada X = {1, 2, 3} dalam bentuk tabel, matriks, dan graf berarah. JAWABAN :
Tabel X 1 2 3 1 2
X 2 1 3 1 2
Matriks o a1 = 1 o a2 = 2 o a3 = 3
o o
M = [mij]
M=
[
M=
[ ]
b1 = 1 b2 = 2
(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) 1 1 0 1 1 0 0 0 1
Graf berarah
]
2. Misalkan R = {(1,2),(2,3),(3,4)} dan S = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} adalah relasi dari {1,2,3} ke {1,2,3,4}. Tentukan: a. R ∪ b. R ∩
S = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4)}
S = {(1,2),(2,3),(2,4)} S={ ∅ }
c. R d. S - R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)} e. R ⊕ S = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)} 3. R = {(0,1),(1,1),(1,2),(2,0),(2,2)} Himpunan = {0,1,2,3} a. Krosur Reflektif ∆ = {(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)} ∆ = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,0),(2,2),(2,3)} R ∪ b. Klosur Setangkup R-1 = {(1,0),(1,1),(2,1),(0,2),(2,2)} R ∪ R-1 = {(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)} 4. Jika diberikan g = {(1,b), (2,c), (3,a)} adalah fungsi dari A = {1, 2, 3} ke B = {a, b, c, d} dan f = {(a,x), (b,x), (c,z), (d,w)} adalah fungsi dari B ke C = {w, x, y, z}, tuliskan f o g sebagai himpunan pasangan terurut.
Jadi, f o g = {(1,x), (2,z), (3,x)} 5. Diketahui fungsi g = {(1,b),(2,c),(3,a),(4,b)} ; (g : A B) dan fungsi f = {(a,x),(b,y),(c,w), (d,z)} ; (f : B C); A = {(1,2,3,4)}; B = {(a,b,c,d)}; C = {(w,x,y,z)}.
Tentukan :
a. f o g sebagai himpunan pasangan terurut ! b. Apakah f o g merupakan fungsi surjektif, injektif, atau bijektif ? Jelaskan!
a. Sehingga f o g = {(1,y),(2,w),(3,x),(4,y)} dan ,
b. Fungsi diatas bukan merupakan ketiga fungsi tersebut karena fungsi (f o g) tidak memenuhi sifat ketiga fungsi tersebut.
6. Misalkan bahwa relasi R dan S pada himpunan A dinyatakan oleh matriks R=
1 1 1 1 0 0 0 0 0
dan
S=
1 1 0 0 1 1 0 0 1
Tentukan matriks yang menyatakan Dimisalkan, R = {(1,1),(1,2) ,(1,3) ,(2,1)}; S = {(1,1) ,(1,2) ,(2,2) ,(2,3) ,(3,3)}; dan Himpunan A = {(1,2,3)} a. R ∪ S {(1,1) ,(1,2), (1,3) ,(2,1) ,(2,2) ,(2,3) ,(3,3)} b. R ∩ S {(1,1) ,(1,2)} c. R o S {(1,1) ,(1,2) ,(1,3) ,(2,1) ,(2,2)}
7. Manakah relasi pada himpunan orang berikut ini yang merupakan relasi kesetaraan? (a) {(a,b) | a dan b berumur sama } (b) {(a,b) | a dan b berbicara dengan bahasa yang sama }
(c) {(a,b) | a dan b pernah bertemu } (d) {(a,b) | a dan b mempunyai orang tua yang sama } Jawab:
diibaratkan a dan b merupakan anggota himpunan R yg adalah manusia. a) a dan b berumur sama -setiap manusia memiliki umur yg sama dengan dirinya sendiri. (Reflektif) -jik a berumur sama dengan b, maka b juga berumur sama dengan a. (Setangkup) -jika a seumuran dengan b, dan b seumuran juga dengan c, maka a dan c berumur sama. (Menghantar) Karena poin a memiliki relasi reflektif, setangkup, dan menghantar, maka ia disebut setara. b) a dan b berbicara bahasa yang sama -setiap manusia berbicara bahasa yg ia bahasakan. (reflektif) -jika a berbahasa sama dengan b,begitu pula sebaliknya. (setangkup) -jika a berbicara bahasa yg sama dengan b, dan b berbicara bahasa yg sama dengan c, maka a dan c berbicara bahasa yg sama. (menghantar)
(d) a dan b memiliki orang tua yang sama -setiap manusia memiliki oràngtuanya sendiri. (reflektif) -jika a memiliki org tua yg sama dgn b, maka begitupula sebaliknya. (setangkup) -jika memiliki ortu yg sama dg b, dan.b memiliki ortu yg sama dg c, maka a dan c memiliki orangtua yg sama. (menghantar). alasan kenapa poin (c) tidak setara karena ia tidak memenuhi relasi menghantar. Sebab jika a pernah bertemu b, dan b pernah bertemu c, maka belum tentu a dan c pernah bertemu
8. Manakah dari berikut ini yang merupakan poset ? (a) (Z,=) (b) (Z,≠) (c) (Z,<) * 9. Mana dari himpunan A, B dan C berikut ini yang merupakan fungsi ? A = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 8)} B ={(1, 6), (1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10)} C ={(2, 5), (3, 6), (4, 7)}
Jawab:
Yang merupakan pemetaan atau fungsi adalah himpunan A dan C. B bukan fungsi sebab pada himpunan B domain 1 muncul dua kali (berelasi dengan nilai 6 dan 7 pada kodomain). 10. Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Jika dari himpunan A ke himpunan B dihubungkan dengan relasi “setengah dari” maka tentukanlah anggota himpunan A yang mempunyai kawan pada himpunan B! Jawab: Anggota himpunan A yang “setengah dari” anggota himpunan B adalah 1, 2 dan 3 karena 1 setengah dari 2, 2 setengah dari 4, dan 3 setengah dari 6.
