BAB III KONSEP-KONSEP DASAR PROBALITAS PROBALITAS
3.1PERISTIWA DAN PROBABILITAS
3.1.1. Karakter Karakteristi istik k Masalah Masalah Probabilita Probabilitas s Dari Dari pebahas pebahasa! a! "ala "ala Bab 1 "apat "apat "ilihat "ilihat bah#a bah#a kala$ kala$ kita berbi%ar berbi%ara a te!ta!& te!ta!& probabil probabilitas itas'' kita e!$!($k e!$!($k pa"a pa"a ter(a"i!)a s$at$ peristi#a *e+e!t, relati- terha"ap peristi#a.peristi#a lai! !)ai "e! "e!&a! &a! perk perkat ataa aa! ! lai! lai!'' a"a a"a lebi lebih h "ari "ari sat$ sat$ ke$ ke$! !&ki! &ki!a! a!'' kare! are!a a (ik (ika ti"ak'a ti"ak'asala salah!) h!)a a e! (a"i (a"i terte!t$ terte!t$ *"eter *"eteri!is i!isti%, ti%,.. /!t$k /!t$k t$($a! t$($a! k$alitat k$alitati-' i-' probabi probabilitas litas "apat "apat "ipa!"a "ipa!"a!& !& seba&a seba&aii $k$ra! $k$ra! !$erik !$erik "ari ke%e!"e ke%e!"er$! r$!&a! &a! teria"i!)a s$at$ peristi#a relati- terha"ap sehip$!a! peristi#a lai!!)a. Oleh kare!a it$' pers)arata! pertaa "ala per$$sa! asalah probabilistik a"alah e!& i"e!ti-i i"e!ti-ikasi kasi hip$!a hip$!a! ! se$a se$a ke$!&k ke$!&ki!a! i!a! l)ait$' l)ait$' r$a!& r$a!& ke$!&k ke$!&ki!a i!a! ! *possibilit) spa%e,0 "a! peristi#a )a!& "iti!(a$. De!&a! "eikia!' probabilitas berkaita! "e!&a! peristi#a )a!& spesi-ik "ala s$at$ r$a!& ke$!&ki!a!. /!t$k e!&&abarka! berba&ai se&i asalah probabilistik seperti )a!& "i$raika! "i atas' atas' ti!(a$la ti!(a$lah h %o!toh %o!toh berik$t berik$t i!i. ONTO ONTO2 2 .1 Seora!& Seora!& ko!trak ko!traktor tor se"a!& se"a!& ere!%a!aka! pebelia! peralata!' teras$k b$l"oser' )a!& "iperl$ka! $!t$k pro)ek bar$ "i "aerah terpe!%il. Misalka!lah bah#a "ari pe!&alaa!!)a tab'''' "ia e!aksir bah#a ke$!&ki!a! setiap b$l"oser "apat bertaha! !ali!&
ti!(a$la ti!(a$lah h berba&a berba&aii se&i se&i asalah asalah probabil probabilisti istik k seperti seperti )a!& )a!& "i$raika "i$raika! ! "i atas atas %o!toh %o!toh berba&ai berik$t ONTO2 .1 Seora!& ko!traktor se"a!& ere!%a!aka! pebelia! teras$k "iperl$ka! $!t$k pro)ek bar$ peralata! pe!&alaa!!)a )a!& ter"ah$l$' "ia "i "aerah terpe!%il. terpe!%il. Misalka!lah Misalka!lah bah#a "ari bertaha! pali!& ti"ak 4 b$la! ta!pa e!aksir bah#a ke$!&ki!a! setiap b$l"oser pat probabi litas ker$saka! a"alah 567. 8ika "ia ebeli 5 er' berapakah bah#a ha!)a aka! a"a )a!& asih bisa "ioperasika! "ala (a!&ka 4 b$la!9 Pertaataa kita lihat bah#a pa"a 4 b$la!' ($lah b$l"oser bisa "i bisa bisa 6' 1' ' ata$ ata$ "e!& "e!&a! a! "ei "eiki kia! a!'' hip hip$! $!a! a! bila bila!& !&a! a! i!i i!i eb ebe! e!t$ t$k k r$a! r$a!& & ke$!&k ke$!&ki!a! i!a! "ari "ari ($lah ($lah b$l"oser b$l"oser )a!& )a!& asih asih bisa "ioperas "ioperasika ika! ! setelah setelah 4 b$la!. b$la!. Na$!' probabiltias ari pelba&ai ke(a"ia! )a!& $!&ki! ti"ak "apat "ite!t$ka! "ari i!-orasi bah#a
setiap b$l"oser ep$!)ai 56 pel$a!& $!t$k tetap beroperasi setelah 4 b$la! /!t$k it$ ke$!&k ke$!&ki!a! i!a! har$s har$s "i!)atak "i!)ataka! a! "ala "ala kea"aa! kea"aa! *stat$s, *stat$s, )a!& )a!& $!&ki! $!&ki! "ari setiap setiap b$l"oter setelah setelah 4 b$la! seba&ai berik$t "a! 8ika kita !)ataka! ko!"isi ko!"isi setiap b$l"oser setelah 4 b$la! "e!&a! : $!t$k baik *&oo", B $!t$k b$r$k *ba",' aka stat$s )a!& $!&ki! "ari keti&a b$l"oser a"alah ::: se$a b$l"oser "ala kea"aa! baik ::B b$l"oser pertaa "a! ke"$a baik' keti&a b$r$k :BB BBB se$a b "ala kea"aa! b$r$k B:: BB: :B: B:B De!&a! "eikia!' $!t$k kas$s i!i ; ke$!&ki!a!. Kare!a ko!"isi b$l"oser eiliki ke$!&ki!a! )a!& saa $!t$k b$r$k ata$ baik' kea"aa! "ari keti&a b$l"oser ( eiliki ke$!&ki!a! )a!& saa $!t$k ter(a"i. Perl$ "iperhatika! bah#a "i a!tara a! )a!& $!&ki! sat$ )a!& aka! ter(a"i setelah 4 b$la!< i!i berarti bah#a bah#a ke$!&k ke$!&ki!a! i!a! )a!& )a!& berbe"a berbe"abe" be"a a i!i ti"ak ti"ak $!&ki! $!&ki! ter(a ter(a bersaaa bersaaa!=sa !=sali!& li!&
ti!(a$la ti!(a$lah h berba&a berba&aii se&i se&i asalah asalah probabil probabilisti istik k seperti seperti )a!& )a!& "i$raika "i$raika! ! "i atas atas %o!toh %o!toh berba&ai berik$t ONTO2 .1 Seora!& ko!traktor se"a!& ere!%a!aka! pebelia! teras$k "iperl$ka! $!t$k pro)ek bar$ peralata! pe!&alaa!!)a )a!& ter"ah$l$' "ia "i "aerah terpe!%il. terpe!%il. Misalka!lah Misalka!lah bah#a "ari bertaha! pali!& ti"ak 4 b$la! ta!pa e!aksir bah#a ke$!&ki!a! setiap b$l"oser pat probabi litas ker$saka! a"alah 567. 8ika "ia ebeli 5 er' berapakah bah#a ha!)a aka! a"a )a!& asih bisa "ioperasika! "ala (a!&ka 4 b$la!9 Pertaataa kita lihat bah#a pa"a 4 b$la!' ($lah b$l"oser bisa "i bisa bisa 6' 1' ' ata$ ata$ "e!& "e!&a! a! "ei "eiki kia! a!'' hip hip$! $!a! a! bila bila!& !&a! a! i!i i!i eb ebe! e!t$ t$k k r$a! r$a!& & ke$!&k ke$!&ki!a! i!a! "ari "ari ($lah ($lah b$l"oser b$l"oser )a!& )a!& asih asih bisa "ioperas "ioperasika ika! ! setelah setelah 4 b$la!. b$la!. Na$!' probabiltias ari pelba&ai ke(a"ia! )a!& $!&ki! ti"ak "apat "ite!t$ka! "ari i!-orasi bah#a
setiap b$l"oser ep$!)ai 56 pel$a!& $!t$k tetap beroperasi setelah 4 b$la! /!t$k it$ ke$!&k ke$!&ki!a! i!a! har$s har$s "i!)atak "i!)ataka! a! "ala "ala kea"aa! kea"aa! *stat$s, *stat$s, )a!& )a!& $!&ki! $!&ki! "ari setiap setiap b$l"oter setelah setelah 4 b$la! seba&ai berik$t "a! 8ika kita !)ataka! ko!"isi ko!"isi setiap b$l"oser setelah 4 b$la! "e!&a! : $!t$k baik *&oo", B $!t$k b$r$k *ba",' aka stat$s )a!& $!&ki! "ari keti&a b$l"oser a"alah ::: se$a b$l"oser "ala kea"aa! baik ::B b$l"oser pertaa "a! ke"$a baik' keti&a b$r$k :BB BBB se$a b "ala kea"aa! b$r$k B:: BB: :B: B:B De!&a! "eikia!' $!t$k kas$s i!i ; ke$!&ki!a!. Kare!a ko!"isi b$l"oser eiliki ke$!&ki!a! )a!& saa $!t$k b$r$k ata$ baik' kea"aa! "ari keti&a b$l"oser ( eiliki ke$!&ki!a! )a!& saa $!t$k ter(a"i. Perl$ "iperhatika! bah#a "i a!tara a! )a!& $!&ki! sat$ )a!& aka! ter(a"i setelah 4 b$la!< i!i berarti bah#a bah#a ke$!&k ke$!&ki!a! i!a! )a!& )a!& berbe"a berbe"abe" be"a a i!i ti"ak ti"ak $!&ki! $!&ki! ter(a ter(a bersaaa bersaaa!=sa !=sali!& li!&
ekskl$si- *$t$all) e>%l$si+e, kita aka! ebahas hal i!i lebih la!($t "ala Pasal ... Di a!tara ; kea"aa! )a!& $!&ki! pa"a 3 b$l"oser terseb$t' ke(a"ia! :BB' B:B' ata$ BB: a"alah setara "e!&a! ke(a"ia! ?ha!)a sat$ b$l"oser )a!& bisa "ioperasika!?. Da! kare!a setiap ke$!&ki!a! ep$!)ai pel$a!& )a!& saa $!t$k ter(a"i' probabilitas "ari "ari ke(a" ke(a"ia! ia! "ala "ala r$a!& r$a!& ke$ ke$!&k !&ki!a i!a! ! *poss *possibi ibilit lit) ) spa% spa%e, e, "i atas atas a"ala a"alah h 31; 31; ONTO2 . Dala e!"isai! (al$r belok ka!a! $!t$k lal$ li!tas ($r$sa! ti$r pa"a s$at$ persipa!& a! (ala! ra)a' seperti "ala :br. E.. kita eerl$ka! probabilitas "ari "ari 5 obil obil ata$ ata$ lebih lebih )a!& )a!& e!$ e!$!&& !&&$ $ kese kesepa pata ta! ! ebe ebelok lok ke ka!a! ka!a! $!t$k $!t$k e!e!t$ka! pa!(a!& (al$r belok ka!a!' /!t$k aks$" i!i' isalka!lah bah#a selaa (a!&ka #akt$ b$la! telah "ilak$ka! "ilak$ka! 46 pe!& aata! *selaa asa sib$k, terha"ap terha"ap ($lah obil ($r$sa! ti$r )a!& e!$!&&$ belok ka!a! pa"a persipa!&a! terseb$t' "e!&a! hasil seba&ai berik$t 8$lah obil 8$lah pe!&aata! @rek$e!si relati- 46 14 6 46 461 46141 4146 46 6=46 6=46 1=4 1=46 6 3146 3146 =46 =46 1=46 1=46 Se%ara Se%ara teor teoriti itis' s' ($lah ($lah obil obil )a!& )a!& e!$!&& e!$!&&$ $ belok belok ka!a!' ka!a!' sela sela (a(a (a(a sib$k' sib$k' "apat "apat be r$pa r$pa bila!&a! bila!&a! b$lat se ber"asarka! hasil pe!&aata! "i atas' ke$!& ki!a! teria"i!)a obil ata$ lebih e!$!&&$ belok ka!a! pa"a persipa!&a! i sa!&at ke%il. Ber"asarka! hasil "i atas' -rek$e!si relati- *relati+e -reC$e!%), hasil pe!&aata! )a!& "i sa(ika! "ala kolo keti keti&a &a "apa "apatt "i& "i&$!ak $!aka! a! seba seba&a &aii
proba robabi bili lita tas s "ari "ari ($l ($lah ah ob obil )a!& )a!& e1 e1; ;
KONSERKONSEPDASAR PRORABILITAS :abar E !$!&&$ $!t$k belok ke ka!a!. De!&a! "eikia!' probabilitas "ari peristi#a ?5 obil a lebih e!$!&&$? a"alah =46 1=46 3=46 ONTO2 .3 Pa"a talok AB )a!& "iperlihatka! "ala :br. E.3' beba! sebesar sebesar 166 k "itepat "itepatka! ka! "i a!a sa(a sepa!( sepa!(a!& a!& balok. Dala hal i!i' (elaslah (elaslah bah# bah#a a reaks reaksii RA pa"a pa"a t$p$ t$p$.. apat apat eil eiliki iki har&a har&a a!tar a!tara a o "a! "a! 166 166 k "e!& "e!&a! a!
"eikia!' sebara!& bila!&a! a!tara "a! 166 er$paka! besar!)a reaksi RA )a!& $!&ki! ter(a"i sehi!&&a ($&a er$paka! ke$!&ki!a!!) Peristi#a )a!& he!"ak "iketah$i bisa ber$pa peristi#a "i a!a reaksi bera"a "ala s$at$ sela!& *i!ter+al terte!t$ isal!)a *16 RA 6 k&, ata$ *RA 56 k&,. De!&a! "eikia!' (ika s$at$ !ilai terte!t$ "ari RA"iperoleh' peristi#a *)a!& a! oleh s$at$ sela!&, )a!& e!%ak$p !ilai R i!i telah ter(a"i' "a! kita "apat e!e!t$ka! probabilitas "ari a"a ti"ak !)a RA "ala sela!& terte!t$. Seba&ai %o!toh' (ika kita isalka! bah#a beba! 166 k& e p$!)ai ke$!&ki!a! )a!& saa $!t$k "itepatka! "i a!a sa(a "i atas balok' aka probabi. litas "ari !ilai "ari RA aka! bera"a "ala s$at$ sela!& terte!t$ a"alah seba!"i!& "e!&a! 6'16 "a! PORA 56, 6'56 sela!& terseb$t< isal!)a' P*16 SRA 66 166 oo k& *kilo&ra, Io eter :abar E3 Dari %o!toh%o!toh "i atas "apat "iaati %iri%iri kh$s$s asalah probabilistik seba&ai ber. ik$t. 1. Setiap asalah "i"e-i!isika! "e!&a! e!&a%$ pa"a r$a!& ke$!&ki!a! terte!t$ *)a!& e !&a!"$!& lebih "ari sat$ ke$!&ki!a!,' "a! peristi#aperisti#a "ibe!t$k oleh sat$ ata$ lebih hasil )a!& $!&ki! "i "ala r$a!& ke$!&ki!a! i!i Probabilitas sat$ peristi#a ber&a!t$!& pa"a ke$!&ki!a! "ari hasilhasil i!"i+i"$al "ala s$at$ r$a!& ke$!&ki!a!' "a! "apat "it$r$!ka! "ari probabilitas hasilhasil "asar i!i Dala Pasal . "a! .3' aka! kai sa(ika! sara!a ateatis )a!& ber&$!a $!t$k asi!&. asi!& t$($a! "i atas. .1.. Perhit$!&a! probabili Dari %o!toh )a!& "isa(ika! "i $ka' "apat "iaati bah#a "ala e!&hit$!& probabilitas "ari s$at$ peristi#a' kita eerl$ka! "asar $!t$k e!e!t$ka! $k$ra! probabilitas pa"a ber ba&ai hasil )a!& $!&ki!. Pe!e!t$a! i!i "apat "i"asarka! atas ko!"isi a#al "i"e"$ksi atas "asar as$si ) "$a!)a. a o a#al. Dala iliki ke!t$!i !&a! i!-ora beroperasi at bah#a reaksi $!&ki!a! ) obil )a!& "ite!t$ka! "
Per$ " )a!& $!& arti $k$rat$ babilitas. )a!& bera" "al arts "isa Ne#to! *!r Na$ "asar pe!e "$l$ $!t$ "i&$!aka! pe!&aat terbatas. s$b)ekti- teotea. babilit), . EL al "at atea elee! ..1 Di "a proba hit$ !ertobil ata$ k& "apat a t$p$ a!" a!tara ka! r$a!& a s$at$ eikia! a sela!&, a"a ti"ak k& e probabi & "e!&a! &ai ber !& e $ ata$ "ala ar i!i. ilitas a ber atas .' ELEMENTEORI 2IMP/NAN 1F "asar as$si )a!& telah "itetapka!,' ata$ ber"asarka! hasil pe!&aata! epiris' at ke"$a "$a!)a. Dala o!toh . "a! .3' probabilitas "ari hasil )a!& $!&ki! "i"asarka! atas as$si a#al. Dala o!toh .1' setiap kea"aa! )a!& $!&ki! "ari keti&a b$l"oser "ia!&&ap e iliki ke$!&ki!a! )a!& saa asi!&asi!& saa "e!&a! "e a! i!-orasi a#al bah#a setiap b$l"oser eiliki ke$!&ki!a! )a!& saa $ tetap bah#a ata$ setelah 4 b$la!,. "ala 3. reaksi RA aka! bera"a "i "ala s$at$ sela!& terte!t$ "ia!"alka! seba!"i!& "e!&a! pa! $!&ki!a! )a!& saa peisala! bah#a letak "a! 166 "a! r$lah "i sepa!(a!& balok,. Na$! "ala o!to probabilitas )a!& belok ke ka!a! atas -rek$e!si relati- "ite!t$ka! "ari pe!&aata! "iteka!ka! bah#a kita aka! $k$ra! )a!& "iperl$ka! ber&$!a "ala )a!& e!)a!&k$t lebih "ari at$ peristt#aa $!&ki!. kita aka! e!&hi!"arka! perta!)aa! -iloso-is e ak!a arti $k$ra! probabilitas *probabilit) eas$re,' "a! ha!)a elihat se&i pe!&&$!aa! il$ pro babilitas "a! teori ateatika!)a *ihat Pasal .36 $!t$k eb$at o )a!& bera"a pa"a ko!"isi )a!& ti"ak pasti. 2al i!i saa "e!&a! peakaia! k$e-isie! keaa!a! "ala "isai! reka)asa ta!pa e!&hira$ka! arti sebe!ar!)a' ata$ e!erapka! h$k$ ke"$a Ne#to! *e!&e!ai &erak, ta!pa ee!ti!&ka! arti "ari assa "a! &a)a. Na$!' ke&$!aa! "ari probabilitas )a!& "ihit$!& aka! ber&a!t$!& pa"a ketetapa! "ari "asar pe!e!t$a!!)a. Dala hal i!i' kita lihat bah#a berlak$!)a "asar )a!& "ite!t$ka
"$l$ $!t$k e!&hit$!& probabilitas ber&a!t$!& pa"a kela)aka! *ketepata!, "ari as$si )a!& "i&$!aka!' se"a!&ka! "asar -rek$e!si relati- epiris ha!$s e!&a!"alka! se($lah besar "ata pe!&aata!. Bila "ata )a!& a"a terbatas' a!-aat -rek$e!si relati- "e!&a! se!"iri!)a e!(a"i terbatas Dasar keti&a $!t$k e!&hit$!& probabilitas elibatka! kobi!asi "ari as$si i!t$iti- s$b)ekti- "e!&a! pe!&aata! eksperie!tal< sara!a )a!& %o%ok $!t$k kobi!asi i!i a"alah teorea Ba)es *ihat Pasal .3.,' "a! hasil!)a "ike!al seba&ai probabilitas Ba)es *Ba)es pro babilit), *ihat Bab ;, ELEMENTEORI2IMP/NAN &ki!ka! "apat "i"e-i!isika! se%ara -or Ba!)ak karakteristik "ari asalah probabilistik e$! al "a! "io"elka! se%ara ri!&kas "e!&a! e!&&$!aka! !otasi hip$!a! elee!ter "a! teori ateatika il$ probabilitas. Dala hal i!i "a! Pasal .3. kita aka! epela(ari elee! elee! "asar teori hip$!a! "a! il$ probabilitas' )a!& betkaita! "e!&a! "a! ber&$!a $!t$k per$$sa! asalah probabilistik. ..1 De-i!isi Di "ala peristilaha! teori hip$!a!' &ab$!&a! "ari se$a ke$!&ki!a! "ala s$at$ asalah probabilitas "i!aaka! r$a!& sap%l ata$ !ia!& %o!toh *saple spa%e,' "a! setiap ke$!&ki! ! se%ara i!"i+i"$al "i!aaka! titik sapel *saple poi!t, s$at$ s$bhip$!a! "ari r$a!& sape *st$bset o- rhe saple p$%e, ikia! "i"e-i!isika! seba&ai R$a!& sapel bisa bersi-at "iskrit *"i!aete, ata$ e!er$s *%o!ti!$o$s Dala kas$s "is krit' titiktitik sapel e!$paka! sat$a! sat$a! )a!& "iskrit *terpisahpisah, "a! "apat hit$!&< se"a!& "ala kas$s e!er$s' r$a!& sapel "ibe!t$k oleh titiktitik sapel )a!& !er$s ko!ti!$, S$at$ r$a!& sapel "iskrit bisa berhi!&er *i!ite,' *arti!)a ter"iri "ari titik titik s$pel ($lah!)a terhi!&&a
ata$
tak
erhi!&&a
($lah!)aKONSERKONSEPDASAR
*i!-i!ite,
*)ait$
PROBABILITAS
titiktitik tak
sapel
terhi!&&a
!a$!
)a!& bisa
"ihit$!&, Kea"aa! )a!& $!&ki! "a keti&a b$l"oser "ala o! 1 er$paka! %o!toh "ari r$a!& sapel kea"aa! *stat$ "a! ke "elapa! ke$!&ki!a! se%ara bersaa )a!& $!&ki! er$paka! s$at$ titik r$a!& sapel )a!& berhi!&&a a"alah saa ebe!t$k r$a!& sapel!)a. o!toh lai! "ari kopetiti- $!t$k pelaksa!a. )a!& per$sahaa! )a!& eas$kka! pe a! pro)ek er$paka! salah sat$ "i a!tara pe &ki! ee!a!&ka! R$a!& "e!&a! ter"iri "ari se$a pe!a#ara!' )a!& er$paka! )a!& r$sahaa! )a!& terlibat "ala pe. te!"er terseb$t "ala hal asi!&asi!& per$sahaa! er$paka! t 8$lah hari "ala sat$ tah$! )a!& bers$h$ bek$ "i kota 8$!ea$' Alaska' terbatas sapai 345 titik sapel' "a! se%ara bersaasaa se$a hari "ala at$ r$a!& sapel )a!& "iskrit "e!&a! tah$! ebe!t$k r$a!& sapel. o!to ($lah titik sapel )a!& tak tetapi "apat "ihit$!& ($lah obil )a!& e!$!&&$ kesepata! $!t$k belok ka!a! se%ara teoritis bisaer$paka! sebara!& bila!&a! b$lat "ari !ol sapai ti"ak terhi!&&a. o!toh lai!!)a a"alah *1, ($lah %a%at "ala pa!(a!& las terte!t$' "a! *, ($lah obil )a!& elal$i s$at$ (ebata! tol sapai "e!&a! ke%elakaa! )a!& berik$t a pa"a (ebata! terseb$t. Dala asi!&asi!& kas$s' kita ep$!)ai se($lah ke$!& "iskrit )a!& ti"ak terhi!&&a. Misal!)a' las "e!&a! pa!(a!& terte!t$ bila eiliki ha!)a beberapa %a%at ata$ ti"ak saa sekali' ata$ ($lah %a%at!)a sa!&at ba!)ak< "eikia! p$la ke%elakaa! "apat ter(a"i pa"a obil pertaa )a!& eli!tasi (ebata! terseb$t' ata$ bisa ($&a ti"ak per!ah ter(a"i ke%elakaa! "i atas (ebata! Pa"a r$a!& sapel )a!& ko!ti!$=e!er$s' ($lah titik sapel selal$ ti"ak berhi!&&a ba&ai %o!toh' *1, lokasi )a!& $!&ki! e!(a"i tepat ke%elakaa! pa"a s$at$ (ebata! tol asi!& asi!& lokasi )a!& $!&ki! er$paka! titik sapel' "a! r$a!& sapel er$paka! titiktitik )a!& e!er$s pa"a (ebata!< "a! *, (ika "a)a "$k$!& s$at$ lapisa! ta!ah liat
ber a"a "i a!tara 1'5 t=-t9 "a! '6 t=- aka !ilai a!a p$! )a!& bera"a "ala re!ta!& 1.5 sa pai '6 er$paka! titik sapel *saple poi!t,' "a! se$a !ilai )a!& e!er$s "ala kisara! i!i ebe!t$k r$a!& sapel. Na$!' apakah r$a!& sapel it$ "iskrit ata$ e!er$s' s$at$ peristi#a selal$ er$paka! s$bhip$!a! *s$bset, "ari r$a!& sapel "e!&a! "eikia! s$at$ peristi#a selal$ e!&a!"$!& sat$ titik sapel ata$ lebih *ke%$ali peristi#a )a!& ti"ak $!&ki!,' "a! teria"i!)a salah sa!$ "ari titiktitik sapel i!i ebe!t$k terlaksa!a!)a peristi+#a)a!& bersa!&k$ta!. Akhir!)a' bila kita berbi%ara e!&e!ai probabilitas' kita selal$ e!&a%$ pa"a s$at$ peristi#a "i "ala s$at$ r$a!& sapel terte!t$ o!toh berik$t aka! e!(elaska! pe!&ertia! "i atas "ala istilah )a!& lebih "e-i!iti ONTO2 . Ti!(a$lah kebali balok se"erha!a AB "ala :br. E.a' *a, 8ika beba! terp$sat 166 lb "apat "itepatka! ha!)a pa"a titiktitik "e!&a! sela!& -t pa"a balok' aka r$a!& sapel "ari reaksi RA aka! seperti )a!& "it$r$$kka! oleh :br. E.b. Dala kas$s i!i' r$a!& sapel "ari RA aka! ter"iri "ari titiktitik sapel )a!& berbe"a.be"a. Marilah kita ti!(a$ ($&a r$a!& sapel RA "a! Ra *)ak!i' se$a pasa!&a! )a!& $!&ki! "ari har&ahar&a RA "a! RB, "ala kas$s i!i' pasa!&a! "ari !ilai RA "a! RB se"eikia! r$pa sehi!&&a RA R2 166 ter%ak$p "ala r$a!& sapel' )a!& "iperlihatka! "i "ala :br. Ee. *b 8ika beba! "apat "itepatka! "i titik )a!& a!a sa(a sepa!(a!& balok' r$a!& sapel RA "apat "i!)ataka! "e!&a! &aris a!tara 6 "a! 166 :bt' E",' see!tara r$a!& sapel )a!& berpa"a!a! "ari RA "a! RB a"alah &aris l$r$s seperti "ala :br. E.e. De!&a! "eikia ita "apat berbi%ara te!ta!& peristi#a bah#a RA aka! bera"a' kataka!lah a!tara 6 "a! ata$ bah#a *RA' Ra, aka! bera"a "i a!tara *6' "a! *6' 46, *e, sela!($t!)a a$lah kas$s "i a!a Gbesar!)a beba! a"alah 166 lb' 66 lb' ata$ 366 lb' "a! letak!)a pa"a sela!& -t
pa"a
balok.
R$a!&
sapel
"ari
RA
"e!&a!
"eikia!
e
!&a!"
:br.
EKONSERKONSEPDASAR PROBABILITAS tak terhi!&&a !a$! bisa "ihit$!&, Kea"aa! )a!& $!&ki! "a keti&a b$l"oser "ala o! 1 er$paka! %o!toh "ari r$a!& sapel kea"aa! *stat$ "a! ke "elapa! ke$!&ki!a! se%ara bersaa )a!& $!&ki! er$paka! s$at$ titik r$a!& sapel )a!& berhi!&&a a"alah saa ebe!t$k r$a!& sapel!)a. o!toh lai! "ari kopetiti- $!t$k pelaksa!a. )a!& per$sahaa! )a!& eas$kka! pe a! pro)ek er$paka! salah sat$ "i a!tara pe &ki! ee!a!&ka! R$a!& "e!&a! ter"iri "ari se$a pe!a#ara!' )a!& er$paka! )a!& r$sahaa! )a!& terlibat "ala pe. te!"er terseb$t "ala hal asi!&asi!& per$sahaa! er$paka! t 8$lah hari "ala sat$ tah$! )a!& bers$h$ bek$ "i kota 8$!ea$' Alaska' terbatas sapai 345 titik sapel' "a! se%ara bersaasaa se$a hari "ala at$ r$a!& sapel )a!& "iskrit "e!&a! tah$! ebe!t$k r$a!& sapel. o!to ($lah titik sapel )a!& tak tetapi "apat "ihit$!& ($lah obil )a!& e!$!&&$ kesepata! $!t$k belok ka!a! se%ara teoritis bisaer$paka! sebara!& bila!&a! b$lat "ari !ol sapai ti"ak terhi!&&a. o!toh lai!!)a a"alah *1, ($lah %a%at "ala pa!(a!& las terte!t$' "a! *, ($lah obil )a!& elal$i s$at$ (ebata! tol sapai "e!&a! ke%elakaa! )a!& berik$t a pa"a (ebata! terseb$t. Dala asi!&asi!& kas$s' kita ep$!)ai se($lah ke$!& "iskrit )a!& ti"ak terhi!&&a. Misal!)a' las "e!&a! pa!(a!& terte!t$ bila eiliki ha!)a beberapa %a%at ata$ ti"ak saa sekali' ata$ ($lah %a%at!)a sa!&at ba!)ak< "eikia! p$la ke%elakaa! "apat ter(a"i pa"a obil pertaa )a!& eli!tasi (ebata! terseb$t' ata$ bisa ($&a ti"ak per!ah ter(a"i ke%elakaa! "i atas (ebata! Pa"a r$a!& sapel )a!& ko!ti!$=e!er$s' ($lah titik sapel selal$ ti"ak berhi!&&a ba&ai %o!toh' *1, lokasi )a!& $!&ki! e!(a"i tepat ke%elakaa! pa"a s$at$ (ebata! tol asi!&
asi!& lokasi )a!& $!&ki! er$paka! titik sapel' "a! r$a!& sapel er$paka! titiktitik )a!& e!er$s pa"a (ebata!< "a! *, (ika "a)a "$k$!& s$at$ lapisa! ta!ah liat ber a"a "i a!tara 1'5 t=-t9 "a! '6 t=- aka !ilai a!a p$! )a!& bera"a "ala re!ta!& 1.5 sa pai '6 er$paka! titik sapel *saple poi!t,' "a! se$a !ilai )a!& e!er$s "ala kisara! i!i ebe!t$k r$a!& sapel. Na$!' apakah r$a!& sapel it$ "iskrit ata$ e!er$s' s$at$ peristi#a selal$ er$paka! s$bhip$!a! *s$bset, "ari r$a!& sapel "e!&a! "eikia! s$at$ peristi#a selal$ e!&a!"$!& sat$ titik sapel ata$ lebih *ke%$ali peristi#a )a!& ti"ak $!&ki!,' "a! teria"i!)a salah sa!$ "ari titiktitik sapel i!i ebe!t$k terlaksa!a!)a peristi+#a)a!& bersa!&k$ta!. Akhir!)a' bila kita berbi%ara e!&e!ai probabilitas' kita selal$ e!&a%$ pa"a s$at$ peristi#a "i "ala s$at$ r$a!& sapel terte!t$ o!toh berik$t aka! e!(elaska! pe!&ertia! "i atas "ala istilah )a!& lebih "e-i!iti ONTO2 . Ti!(a$lah kebali balok se"erha!a AB "ala :br. E.a' *a, 8ika beba! terp$sat 166 lb "apat "itepatka! ha!)a pa"a titiktitik "e!&a! sela!& -t pa"a balok' aka r$a!& sapel "ari reaksi RA aka! seperti )a!& "it$r$$kka! oleh :br. E.b. Dala kas$s i!i' r$a!& sapel "ari RA aka! ter"iri "ari titiktitik sapel )a!& berbe"a.be"a. Marilah kita ti!(a$ ($&a r$a!& sapel RA "a! Ra *)ak!i' se$a pasa!&a! )a!& $!&ki! "ari har&ahar&a RA "a! RB, "ala kas$s i!i' pasa!&a! "ari !ilai RA "a! RB se"eikia! r$pa sehi!&&a RA R2 166 ter%ak$p "ala r$a!& sapel' )a!& "iperlihatka! "i "ala :br. Ee. *b 8ika beba! "apat "itepatka! "i titik )a!& a!a sa(a sepa!(a!& balok' r$a!& sapel RA "apat "i!)ataka! "e!&a! &aris a!tara 6 "a! 166 :bt' E",' see!tara r$a!& sapel )a!& berpa"a!a! "ari RA "a! RB a"alah &aris l$r$s seperti "ala :br. E.e. De!&a! "eikia ita "apat berbi%ara te!ta!& peristi#a bah#a RA aka! bera"a' kataka!lah a!tara 6 "a! ata$
bah#a *RA' Ra, aka! bera"a "i a!tara *6' "a! *6' 46, *e, sela!($t!)a a$lah kas$s "i a!a Gbesar!)a beba! a"alah 166 lb' 66 lb' ata$ 366 lb' "a! letak!)a pa"a sela!& -t pa"a balok. R$a!& sapel "ari RA "e!&a! "eikia! e !&a!" :br. El6' 56' :abar E.- R$a!& sapel R :abar E .e !&a!"$!& !ilai!ilai )a!& ter%a!t$ "ala :br. E.-' see!tara r$a!& sapel "ari RA "a! RB "iberika! oleh koor"i!atkoor"i!at ber"ie!si "$a "ari titiktitik )a!& terlihat "ala :br. r$a!& Na$!' (ika beba!!)a "apat "iletakka! "i a!a sa(a sepa!(a!& balok' aka "ari RA "a! RB aka! "i!)ataka! oleh ti&a &aris seperti "it$!($kka! "ala :br. E.h. sapel *", 8ika !ilai beba! bera"a a!tara 166 "a! 366 r$a!& sapel "ari RA e!&a! "$!& se$a !ilai a!tara 6 366 lb' seba&ai )a!& "iberika! oleh &aris "ala :br. "a!&ka! r$a!& sapel "ari RA "a! RB er$paka! "aerah )a!& "i "ala :br. E.i366 :abar E.i R$a!& sapel R :abar E.i Peristi#a kh$s$s *spe%ial e+e!ts,. Kita e!"e-i!isika! peristi#a peristi#a kh$s$s )a!& berik$t "a! e!&&$!aka! !otasi !otasi )a!& "i!)ataka! "i ba#ah i!i. 1. Peristi#a $stahil ssible e+e!t,' )a!& "i!)ataka! "e!&a! p' a"alah peristi#a )a!& ti"ak !)ai ep$!)ai titik sapel *%o!toh,. De!&a! "eikia! peristi#a sea%a i!i ep$ ip$!a! koso!& *ept) set, "ala r$a!& sapel . Peristi#a terte!t$ *%ertai! e+e!t,' )a!& "i!)ataka! "e!&a! S' a"alah peristi#a )a!& e. it$ se$a titiktitik sapel "ala r$a!& sapel< a"i ia er$paka! r$a!& sapel se!"iri. 3. Peristi#a koplee!ter *%oplee!tar) e+e!t,. /!t$k peristi#a *e+e!t, E "ala r$a!& sapel S' ke(a"ia! koplee!ter )a!& "i!)ataka! "e!&a! E' e!%ak$p se$a tit sapel "ala S )a!& ti"ak terka!"$!& "ala E. Dia&ra +e!!. S$at$ r$a!& sapel *%o!toh, "a! peristi#a peristi#a "i "ala!)a "apat "i!)a. taka! se%ara &abar "e!&a! "ia&ra He!! s$at$ r$a!& sapel "i!)ataka! "e!&a! perse&i epat' s$at$ peristi#a E ke$"ia!
"i!)ataka! se%ara sibolik "e!&a! "aerah tert$t$p "i "ala perse&i epat' "a! ba&ia! "ari perse&i epat "i l$ar "aerah tert$t$p i!i eberika! peristi#a.' ELEMEN TEORI 2IMP/NAN 3 koplee!ter @oihat :br. .1,. Dala perkataa! lai!' peristi#a *e+e!, E e!&a!"$!& se$a titiktitik sapel "ala "aerah tert$t$p' see!tara E berisika! se$a titiktitik sapel "i l$ar E' s$at$ "ia&ra He!! "e!&a! "$a *ata$ lebih, ke(a"ia! terlihat "ala :br. .. :abar .1 Dia&ra +e!! :abar ' Dia&ra He!! "e!&a! beberapa peristi#a. *a, D$a peristi#a A "a! B *b, Ti&a peristi#a A' B "a! .. Kobi!asi beberapa peristi#a Dala ba!)ak asalah praktis' peristi#a )a!& "iaati $!&ki! er$paka! kobi!asi "ari peristi#a peristi#a lai!!)a. Misal!)a' "ala o!toh .1'peristi#a bah#a pali!& se"ikit a"a "$a b$l"oser )a!& asih beroperasi setelah 4 b$la! $!&ki! e!(a"i titik perhatia!. I!i "apat "i pa!"a!& seba&ai kobi!asi "ari b$l"oser ata$ 3 b$l"oser )a!& asih beroperasi Peristi#a )a!& "eikia! a"alah ?&ab$!&a! *$!io!,? "ari "$a peristi#a )a!& i!"i+i"$al. A"a "$a "asar "i a!a peristi#a peristi#a "apat "ikobi!asi ata$ "it$r$!ka! "ari pe risti#a peristi#a lai!!)a "e!&a! &ab$!&a! *$!io!, ata$ perpoto!&a! *i!terse%tio!,' Ti!(a$lah "$a peristi#a Ei "a! E :ab$!&a! "ari EI "a! E' )a!& "i!)ataka! "e!&a! Ei /Eh' a"alah peristi#alai! )a!& berarti ter(a"i!)a E' ata$ E.' ata$ ke"$a"$a!)a. Dala perkataa! lai!' Et Ei er$paka! s$bhip$!a! *s$bset, "ari titiktitik sapel )a!& "iiliki oleh E1 ata$ E1. I*Dala teori hip$!a!' kata ata$ *or, "i&$!aka! "ala pe!&ertia! teras$k *i!%l$si+e,'
)a!&
e!&&abarka!
berarti kea"aa!
"a!=
ata$
pe!&a"aa!
*a!"
ar,l
baha!
Beberapa
ko!str$ksi'
%o!toh (ika
EI
*l,
Dala
e!)ataka!
kek$ra!&a! beto! "a! E! e!)ataka! kek$ra!&a! ba(a' aka Ei /E' a"alah kek$ra!&a! beto! ata$ ba(a' ata$ ke"$a"$a!)a. *, Dala s$at$ pipa i!)ak "e!&a!
pa!(a!& 6 k' (ika Ei e!)ataka! kebo%ora! a!tara k 6 sapai 15 "a! E. e!)ataka! kebo%ora! a!tara k 16 sapai 6' aka E' /E berarti kebo%ora! "i a!a sa(a sel$r$h pipa )a!& 6 k terseb$t. "aerah )a!& Dia&ra +e!! $!t$k &ab$!&a! "ari "$a peristi#a E' "a! E' e!$paka! "i l$ar "iarsir "ala :br. .3. &a! "eikia!' i!i berarti bah#a ba&ia! "ari perse&i epat "ari "aerah )a!& "iarsir er$paka! peristi#a koplee!ter Ei $ Esi )ak!i' koplee! KONSERKONSEP DASIRPROBABILITAS :abar 3 Dia&rar! +e!! $!t$k &ab$!&a! peristi#aperisti#a E1 "a! E' :abar Dia&ra +e!! perpoto!&a! peristi#a peristi#a Ei "a! E' :ab$!&a! "ari 3 peristi#a ata$ lebih berarti tera"i!)a pali!& ti"ak sat$ "i a!tara!)a Mital !)a' alat pe!&a!&k$ta! a!tara Ba!"$!& "a! S$raba)a bisa elal$i $"ara *air,' (ala! ra)a hi #a), ata$ kereta api *rail#a),. 8ika terse"ia!)a keti&a o"$s sara!a pe!&a!&k$ta! i!i kita a!tara asi!&asi!& seba&ai A. 2' "a! R' aka terse"ia!)a alat pe!&a!&k$ta! baha! "i ke"$a kota i!i "apat "i!)ataka! seba&ai *A /2 /R, Perpoto!&a! *i!terse%tio!, "ari Er "a! E'. )a!& "i!)ataka! "e!&a! E$ ! E' *ata$ %$k$p "e!&a! EE ($&a er$paka! s$at$ peristi#a )a!& berartitera"i!)a Et "a! E' se%ara bersaa a! :oi!t o%%$rre!%e, "e!&a! perkataa! lai!' E1E' er$paka! s$bhip$!a! "ari titiktitik sa pel )a!& "iiliki oleh E1 "a! E. o!toh De!&a! e!&&$!aka! %o!toh )a!& "isa(ika! "i atas' *,E'E berarti kek$ra!&a! beto! "a! ba(a *, E Eh berarti kebo%ora! "ala k 16 sapai 15 sepa!(a!&
pipa
see!tara
A2R
berarti
terse"ia!)a
se$a
keti&a
o"$s
pe!&a!&k$ta! a!tara Ba!"$!& "a! S$raba)a. Dari s$"$t pa!"a!& "ia&ra +e!!' perpoto!&a! a!tara "$a peristi#a E1 "a! Eh er$paka! "aerah )a!& "iarsir sila!& "ala :br. .. ONTO2 .5 Dala o!toh .' r$a!& sapel *saple spa%e, a"alah hip$!a! *o. 1. ' 3....,< )ak!i' se%ara teoritis r$a!& sapel e!&a!"$!& se$a
bila!&a! b$lat )a!& ti"ak !e&ati-. 8ika E' peristi#a *e+e!t, "i a!a lebih "ari "$a obil e!$!&&$ kesepata! $!t$k ebelok ke ka!a! )ait$ s$bhip$!a! *3. ' 5...., "a! E' peristi#a *e+e!t, a!tara "$a sapai epat obil e!$!&&$ $!t$k bisa berbe lok ke ka!a!< )ait$' s$bhip$!a! 1' , 3' aka &ab$!&a! E1 /E! lah s$bhip$!a! 1' 3' a"alah s$bhip$!a! 13., see!tara perpoto!&a! EE ONTO 166 "a! aka pi "a! RB tisti#a !&a!"$ to!&a! E'4". Prristi+ ti#a ti ekskl$ t$pat s$bhi El "at o!tolkita ! "i k$p IOO 366 R i166 :abar E.4a Peristi#a A :abar E.4b Peristi#a B 366 366 IOO 166 366 RA :abar E.4% :ab$!&a! A/B :abar E.4" Perpoto!&a! AB ONTO2 .4 Di "ala kas$s terakhir "ari o!toh '' "i a!a beba! "apat e!&abil besara! a!tara 166 "a! 366 lb' r$a!& sapel "ari reaksi RA "a! RB "it$!($kka! "ala :br. E.( 8ika A peristi#a R$ 166 lb, "a! B peristi#a Re! 166 lb, aka peristi#a A "a! B er$paka! s$bhip$!a! )a!& berisika! se$a titik pasa!& "ari RA "a! R2 )a!& asi!&asi!& "iperlihatka! "ala :br. E.4a "a! E.4b Perhatika! bah#a pe risti#a A "a! B "i"e-i!isika! "ala r$a!& sapel "ari RA "a! RB. Maka' &ab$!&a! A/B e !&a!"$!& se$a titik pasa!&a! "ala "aerah )a!& "iarsir pa"a :br. E.4%%l$si+e e+e!ts,. 8ika ter(a"i!)a sat$ peris ti#a ti"ak e$!&ki!ka! ter(a"i!)a peristi#a )a!& lai!' aka ke"$a peristi#a a"alah s$li!& ekskl$si- *$t$all) e>%l$si+e,< i!i berarti bah#a s$bhip$!a! )a!& berses$aia! ti"ak aka! t$pa!& ti!"ih *o+erlap,' seperti terlihat "ala "ia&ra He!! pa"a :br. .5. Arti!)a' ke"$a s$bhip$!a! a"alah GGterpisah *"is(oi!t,?. Oleh kare!a it$ perpoto!&a! "ar "ari "$a peristi#a )ait$' E1E E1 "a! E )a!& bebas sat$ saa lai!
er$paka! peristi#a )a!& $st o!toh%o!toh "ari peristi#a peristi#a )a!& sali!& ekskl$si- a"alah ebelok ke ka!a!4 KONSERKONSEPDAsAR PRO2ABILITAS :abar s Peristi#a sali!& ekskl$si- E' "a! E' "a! ke kiri pa"a s$at$ persipa!&a! (ala!' *, ba!(ir "a! keri!& "ari s$at$ s$!&ai pa"a saa )a!& bersaaa!< 3, ker$!t$ha! "a! selaa!)a s$at$ str$kt$r terha"ap &eraka! &epa )a!& Ti&a peristi#a ata$ lebth a"alah ali!& ekskl$si- (ika ter(a"i!)a sat$ peristi#a ti"ak $!&ki!ka! ter(a"i!)a se$a peristi#a lai!!)a. Misal!)a' (ika a"a ti&a ke$!&ki!a! loka $!t$k lapa!&a! $"ara )a!& bar$' aka piliha! "ari a!tara keti&a lokasi i!i a"alah sali!& eks Peristi!$ peristi#a bersat$ sep$r!a *%olle%ti+el) e>ha$sti+e e+e!ts D$a peristi#aatati lebih a"alah bersat$ sep$r!a *%olle%ti+el) e>ha$sti+e, (ika &ab$!&a! "ari se$a peristi#a i!i e r$a!& sapel. ONTO2 . D$a per$sahaa! ko!traktor a "a! b elak$ka! pe!a#ara! te!"er $!t$k ee!a!&ka! s$at$ pro)ek. A e!)ataka! peristi#a "ia!a Pe!sahaa! a ee!a!&ka! te!"er "a! B pe risti#a "i a!a Per$sahaa! b )a!& ee!a!&ka! te!"er terseb$t. :abarka!lah "ia&ra +e!! $!t$k r$a!&r$a!& sapel "ati )a!& berik$t *a, Per$sahaa! a eas$kka! pe!a#ara! te!"er $!t$k sat$ pro)ek "a! Per$sahaa! b e as$kka! pe!a#ara! $!t$k pro)ek lai!!)a. ! a "a! b eas$kka! pe!a#ara! te!"er $!t$k pro)ek )a!& saa' "a! ter "apat lebih "ari "$a pe!a#ar $!t$k pro)ek terseb$t' % Per$sahaa! a "a! b ha!)a er$paka! "$a per$sahaa! pe!a#ar )a!& bersai!& $!t$k pro)ek )a!& saa. *a, Kare!a per$sahaa! a "a! b asi!&asi!& "apat ee!a!&ka! "ia&ra +e!! a"alah seperti )a!& "it$!($kka! "ala :br. pro)ek it$. ti!"ih sali!& t$pa!& e!)ataka! bah#a ke"$a per$sahaa! a "a! b ee!a!&ka! pro)ek terseb$t. Dala hal i!i. peristi#a A "a! B ti"ak sali!& ekskl$si-. *b, Per$sahaa! a boleh (a"i ee!a!&ka! te!"er terseb$t ata$
per$sahaa! b "apat e. pro)ek it$' ata$ pe!a#ar lai! aka! ee!a!&ka!!)a. Na$!' (ika per$sahaa! ee!a!&ka! pro)ek terseb$t' aka peristi#a B ti"ak aka! per!ah ter(a"i. De!&a! "eikia! peristi#a A e!%e&ah ter(a"i!)a peristi#a B' "a! sebalik!)a< sehi!&&a peristi#a A "a! B a"alah li!& ekskl$si-. Ti"ak a"a "aerah )a!& sali!& t$pa!& ti!"ih "ala "ia&ra +e!! $!t$k :abar Ea :abar E.b peristi#a A *A/B e *%, Dali "a! B. 8ika h$i se%ara p ($&a' "a! "ia&ra Her ..3 At 2ip$!a! Dala h$bi operasi Opel Kita telah "e!&a! "$ berik$t p at$ra! )ar Kesaaa! titik titikELEMENTEORI2IMP/NAN :abar E.e pa"a saat pa )a!& peristi#a A "a! B' seperti terlihat "ala :hr. E.b. Dala hal i!i' peristi#a koplee!ter *A/B, ep$!)ai arti bah#a per$sahaa! a ($&a b ti"ak ee!a!&ka! pro)ek terseb$t. "a! *%, Dala kas$s i!i' !a!& sapel *saple spa%e, ha!)a e!&a!"$!& "$a peristi#a A h$i B. 8ika peristi#a A ti"ak ter(a"i' )a!& berarti per$sahaa! a kalah' aka kita e!&eta se%ara pasti bah#a a telah ter(a"i. Peristi#a A "a! sekali la&i a"alah sali!& ti"ak e. a! lokasi ali!& eks ($&a. A "a! B bersat$ sep$r!a )ait$ t$a s De!&a! "eikia! "ia&ra +e!! )a!& berses$aia! aka! terlihat seperti "ala :br. Ee. ta$ lebih i!i e ..3 At$ra! operasio!al 2ip$!a! hip$!a! "a! h$b$!&a! sesaa!)a "iat$r oleh at$ra! at$ra! operasio!al terte!t$ Dala h$b$!&a! i!i' kita &$!aka! sibolsibol berik$t i!i $!t$k e!)ataka! hip$!a! "a! )a!& a!&ka! / &ab$!&a! *$!io!, ! B pe. He!! ! perpoto!&a! *i!terse%tio!, a!&&ota "ari' ata$ terka!"$!& "ala b e. e!&a!"$!& *%o!tai!s, E koplee! "ari E a! ter Kita telah elihat "ala Pasal .. bah#a "$a hip$!a! ata$ lebih "apat "ikobi!asika! pro)ek "e!&a! "$a %ara elal$i &ab$!&a! *$!io!, "a! perpoto!&a! *i!terse%tio!, Ke"$a %ara i!i berik$t proses pe!&abila! koplee! ebe!t$k operasi "asar atas hip$!a!. At$ra!. at$ra! )a!& e!&at$r
operasioperasi i!i a"alah seba&ai berik$t ti!"ih al i!i' Aesaaa! hip$!a!. D$a hip$!a! a"alah saa (ika "a! ha!)a (ika ke"$a!)a e!&a!"$!& titiktitik sapel )a!& saa. Ber"asarka! i!i' kita "e!&a! se&era elihat bah#a t e. A *.1a, "alah !t$k :abar Da&ra +e!! hip$!a! :abar 4 peristi#a A A "a! B; KONSERKONSEPDAsAR PROBABILITAS 8$&a' "e!&a! e!&a%$ pa"a :br. .4' kita "apatka! At$ra! "istri "istrib$ti- )a A /A A * lb, A ! A A Lebih la!($t A /S S *.1e, Dala hal i! .16 "a! .1 2ip$!a! koplee!ter. Dari .1. kita aati )a!& berik$t e!&e!ai peristi#a E "a! At$ra! a :br. bila!&a!bila E. as$sika! e Kalia! *)ak! ha"ap opera al(abar' per *., k$r$!& e! *E, E seperti pert L)ait$' koplee! "ari peristi#a koplee!ter er$paka! peristi#a )a!& se$la *ori&i!al peristi#a S e+e!t,' 1. A!$ra! ko$tati- *%o$tati+e !$le,. :ab$!&a! "a! perpoto!&a! hip$!a! hip$!a! bersi-at ber&a!tia! *%o$tati+e, )ait$' A/B B/A AB BA Dari "ia&ra He!! pa"a :br. . kita lihat bah#a A$B "a! B$A (elas e!&a!"$!& hip$!a! "ari titiktitik )a!& saa' "a! kare!a!)a er$paka! s$bhip$!a! )a!& saa "i "ala s De!&a! %ara )a!& ser$pa' hal )a!& saa ($&a berlak$ $!t$k AB BA. si-at asosiati- ri+e r$le, :ab$!&a! "a! perpoto!&a! "ari hip$!a!hip$!a! bet asosiati-i )ait$' *A $ B, $ A $ *B/, *AB, M *B, Kesaaa! "ari hip$!a! *A $ B, $% "a! A $ *B $ , a"alah (elas "ari "ia&ra +e!! "ala :br. .;' see!tara "ari :br. .F. kita lihat bah#a AB A*B. :abar .; Dia&ra +e!! $!t$ $ $ % "a! A $ *B $ %)*.1b *.1e, +a E "a! *., ori&i!al p$!a! $!a! ala ber .. ELEMENTEORI 2IMP/NAN F Ar$!a! "istrib$ti- *"istrib$ti+e r$le. :ab$!&a! perpoto!&a! hip$!a! hip$!a! a"alah "istrib$ti-. )ait$ "a! *A / B, A $ B *AB, $ *A /, *B $ , Dala hal i!i' ke"$a kesaaa! hip$!a! "i atas "ib$ktika! oleh "ia&ra +e!! "ala :bt .16 "a! '11 At$ra!at$ra!
operasi i!i bah#a at$ra! $!t$k pertabaha! "a! perkalia! bila!&a! bila!&a! ($&a berlak$ terha"ap &ab$!&a! "a! perpoto!&a! hip$!a!. De!&a! e!& as$sika! eki+ale!si berik$t &ab$!&a! $!t$k pertabaha! "a! perpoto!&a! $!t$k per kalia! *)ak!i' / "a! ! >, aka perat$ra!perat$ra! aliabarko!+e!sio!al berlak$ ter ha"ap operasi "ala hip$!a! "a! peristi#a. De!&a! "eikia!. "e!&a! hirarki operasi al(abar' "iker(aka! lebih "ah$l$ "ari &ab$!&a! hip$!a!' ke%$ali bila ta!"a k$!i!& e!)ataka! sebalik!)a. Na$!' perl$ "iteka!ka! bah#a operas alabar ko!+e!sio!al seperti pertabaha! "a! perkalia!' ti"ak ep$!)ai arti terha"ap hip$!a! "a! peristi#a. Selai! it$' a"a beberapa operasi "a! at$ra! )a!& $!t$k Daerah )a!& "iarsir sila!& *AB, Daerah )a!& "iarsi! sila!& A tti%i :abar .F Dia&ra He!! $!t$k *AB, "a! A *B Daerah )a!& "iarair alla!& tA/BI Daerah )a!& "iartir A/D :abar 16 Dia&ra He!! $!t$k *A /B, "a! A/ B B/ Daerah a!& "iarir ila!& $ %i *B $ Daerah )a!& "iarsit AB/:36 AONSEPKONSEPDASAR PROBABILITAS )a!& ti"ak a"a pasa!&a!!)a "ala al&abar bila!&a! )a!& ko!+e!sio!al seba&ai %o! "a! A!A s$at$ hal )a!& lai! a"alah e!)a!&k$t at$ra! "istrib$ti- ke"$tt De!&a! e!t atas' )a!& e!)ataka! bah#a AB /A $ B/ AB/ 8a"i "e!&a! se"a!&ka!' "ala al&abar ko!+e!sio!al' kita e!"apatka! "apat "i!)at s$at$ at$ra! lai!!)a )a!& ($&a ti"ak ep$!)ai reka!a!!)a "ala alabar kot' Dari Pers . sio!al a"alah at$ra! "e Mor&a!' )a!& "i(elaska! "i ba#ah i!i. Kople a! "ari ko At$ra! "e Mor&a! s$at$ at$ra! lai!!)a "ala teori hip$!a! a"alah at$ra! "e Mo' )a!& hip$!a! "e!&a! koplee!!)a. /!t$k "$a peristi#a Ei "a! E1' at$r i!i e!)ataka! bah#a /!t$k eb$ktika! h$b$!&a! i!i' ti!(a$lah "$a peristi#a Ei "a! E. seperti "ala .1 Daerah )a!& ti"ak "ala :br. .1a a"alah E! /E Dia&ra He!! "e!&a! E ONTO2 ! E1
asi!&asi!& "it$!($kka! "ala :br. .1b' )a!& perpoto!&a!!)a "iberika! oleh "aerah )a!& "iarsirsila "ala :br. .1%' De!&a! eba!"i!&ka! :br. .1a "a! .1 p$t$s (ika kita "apatka! h$b$!&a! )a!& "i atas' Ei /E' E1Ea. ra!tai 1. " At$ra! "e Mor&a! )a!& "i!)ataka! se%ara $$ a"alah EE' tal "a! "e!& ($&a bera Sehi!&& *b, )a!& ONT oleh p Darah )#!a "iarsir terseb sila!& 1 E N)ata! :abar 1 Dia&ra He!! $!t$k at$ra! "e Mor&a!&ai %o!toh' ti- "i ar ko!+e!. e Mor&a!' ' at$r. br. .1 ka! oleh ! .1%. *.3a, .. ELEMENTEORI2IMP/NAN 31 De!&a! e!erapka! Pers. .3a terha"ap E E. kita "apatka! 8a"i "e!&a! e!&abil koplee! ke"$a r$as "ari persaaa! i!i' at$ra! "e Mor&a! ($&a "apat "i!)ataka! "ari seba&ai EE...E. E! /E $ E. Dari Pers' *.3b, .3a "a! .3b kita "apatka! h$b$!&$! ra!&kap *"$alit) relatio!, berik$t i!i. a! Koplee! "ari &ab$!&a! "a! papato!&a! a"alah $a "e!&a! perpoto!&a! "a! rab$!&. "ari koplee! asi!& asi!&. Misal!)a' ONTO2 '; s$at$ ra!tai ter"iri "ari "$a ata' seperti "ala :br. E.;' lelaslah bah#a ra!tai aka! p$t$s (ika salah sat$ "ari ata ra!tai terseb$t ro!tok sehi!&&a' (ika Ei ro!tok!)a ata ra!tai 1' "a! E ro!tok!)a ata ra!tai ' aka Mata ra!tai *1, Mata ra!tai 1, :abar E.; D$a ata ra!tai "a! "e!&a! "eikia! ti"ak p$t$s!)a ra!tai a"alah EI/E. Na$!' ti"ak p$t$s!)a ra!tai ($&a berarti bah#a ke"$a ata ra!tai a"alah selaat< )ak!i' Ti"ak p$t$s!)a ra!tai E i! E Sehi!&&a )a!& er$paka! il$strasi "ari at$ra! "e Mor&a!. ONTO2 .F Peasoka! air $!t$k kota i!"ar B$i "ata!& "ari "$a s$ber A "a! B. Air "ialirka! oleh pipa )a!& ter"iri "ari %aba!&%aba!& I' ' "a! 3' seperti terlihat "ala :br. E.F. Misal ka! bah#a asi!&asi!& s$ber ap$ $!t$k e!)e"iaka! air $!t$k kota i!"ar B$i terseb$t. N)ataka!lah E1 r$sak!)a %aba!& l E!
r$sak!)a
%aba!&
E3
!sak!)a
%aba!&
33
KONSERKONSEPDISIR
PRORABILITAS Berke! aa! "e!& Petteri! Mat$ petit Saeer MO s$at$ peristi#a :abar E.F Siste pe!&a"aa! air %l$si+e,' aka kita "apatka! Maka kek$ra!&a! air "ala kota a!"ar B$i aka! "iakibatka! oleh Et E' $ E "e!&a! at$ra! "e Mor&a!' tia"a!)a kek$ra!&a! berarti bah#a Perl$ "ite h$b$!&a! a!ta "i a!a *i' $ E', berarti te!e"ia!)a air pa"a perte$a! $$!%tio!, "a! E' bera!i tila r$sak!)a %aba!& 3. teori terseb$t "ala Per$' De!&a! .3 MATEMATIKA ILM/ PROBABILITAS .3.1 Aksioa "asar "ari probabilitas at$ra! tabaha! tetapi kare!a Dala se$a pebahasa! kita se(a$h i!i' kita "ia"ia telah e!&as$sika! bah# $k$ra! )a!& ti"ak !e&ati-' )a!& "i!aaka! probabilitas ata$ pel$a!& *probabilt),' " De!&a! "ei ka! "e!&a! setiap peristi#a. Se%ara tersirat kita ($&a e!&a!"aika! bah#a $k$ra! i!i ep$!)ai kh$s$s "a! e!&ik$ti at$ra!at$ra! operasi terte!t$. Se%ara -oral' kh$s$s "a! at$ra!at$ra! i!i "i%ak$p "i "ala teori ateatika "ari probabilitar sepe! "ala %aba!& il$ ateatika lai!!)a' aka teori probabilitas "i"asarka! pa"a bebr!& as$si terte!t$' ata$ aksioa "asar' seba&ai berik$t. /!t$k setiap peristi#a E "i "ala r$a!& sapel s. ter"apat probabilitas *pel$a!&, POE, 36 Ke"$a' probabilitas "ari perat#$ terte!t$ *%ertai! e+e!t, s a"alah P*S, Akhir!)a' $!t$k "$a peristi#a E' "a! Es )a!& sali!& ekskl$si- POE /E POE, POE., Persaaa! . sapai .4 "e!&a! "eikia! ebe!t$k aksioaaksioa "asar "ari teoripro babilitas. I!i er$paka! as$si as$si )a!& hakiki sehi!&&a ti"ak eerl$ka! peb$ktia! Na$!' aksioa "a! teori )a!& "ihasilka! har$s ko!siste! "e!&a! "a! ber&$!a $!t$k lahasalah sehari hari. Dala hal )a!& terakhir i!i' kita e!&aati bah#a pa"a hakikat!)a probabilitas "ari s$at$ peristi#a er$paka! $k$ra! telati- *)ait$' relati- terha"ap peristi#a peristi#a lai!!)a "i "ala !$a!& sapel )a!& saa,< "e!&a! "eikia!' $!t$k
aks$" i! a"alah e$"ahka! $!t$k e!&as$sika! bah#a $k$ra! seperti i!i seba&ai bila!&a! )a!& ti"ak !e&ati- seperti "iberika! oleh Pers. .. Selai! it$' oleh kare!a s$at$ peristi#a E #elal$ "i "e-i!isika! "i "ala s$at$ r$a!& sapel S )a!& "ite!t$ka!' a"alah e$"ahka! $!t$k e Persaaa! Tetapi !oralisir prob "ari s$at$ peristi#a terha"ap S *)ait$ peristi#a )a!& pasti,. #hapi "ari s$at$ ! oleh Pers 5. Pers. . "a! .5. i!i berarti bah#a probab$ltas peristi#a *e+e!t, E"ibatasi a!tara 6 "a! 1.6Sehi!&&a' ti ti"ak s$at$ osiasi a%a si-at eperti erapa ., Berke!aa! 3 MATEMATIKA ILMIPRORABILITAS 33 (ika s$at$ "e!&a! aksioa )a!& keti&a' )ait$ Pers 4' kits libat bah#a se&i -rek$e!si relati-. s$at$ peristi#a *e+e!t, Et ter(a"i !' kali "i a!tara ! peristi#a )a!& lai! E' ter(a"i !1 kali *E' "a! $ eksperie!' "a! el$si+e,' aka Ei "a! E1 aka! E' a"alah sali!& kita "apatka! ter)a"i *!i !i, kali sehi!&&a' s$s "aar -rek$e!" telati-. Perl$ "iteka!ka! bah#a teori ateatika probabilitas e!elaah lo&ika $!t$k h$b$!&a! a!tara $k$ra! $k$ra! probabilitas Se$! h$b$!&a! srperti it$ "a! "ri "e"$kti- "ari teori terseb$t sel$r$h!)a "apat "ikeba!&ka! ber"asarka! keti&a a+i$i )a!& "ipbarka! "ala Pers' "e!&a! 4' De!&a! e!erapka! Pers 4 pa"a E "a! koplee!!)a E.kita "apatka! P *E/E, POE, POE, tetapi kare!a E/E s' ber"asarka! Pe!. .5 kita peroleh POE/E, POS, 1.6 De!&a! "eikia! kita "apatka! h$b$!&a! )a!& bera!-aat seba&ai berik$t P*E, POE, *, Lebih $$ (ika EI "a! E! ti"ak sali!& ekskl$si-' aka PIEE' *;, :abar 13 :ab$!&a! E1 "a! EiE1 Persaaa! ; "iperoleh "ari Pers .4 "e!&a! elihat pa"a :br. 13 bah#a E' /E' Ei /E E1' "i a!a peristi#a E' "a! E E! sali!& ekskl$si- sehi!&&a e!$!at Pers 4 Tetapi EE' $ EE' SE' E' "a! E'E' serta EE' sali!& ekskl$si-< "e!&a! "eikia! POEE, P*Er, PEE, )a!& er$paka! Pers' .;. ONTO2 .16 S$at$ per$sahaa! ko!traktor e$lai "$a pro)ek
bar$ peker(ea! 1 "a! #akt$ pe !)elesaia! $!t$k asi!&asi!& pekeriaa! eiliki beberapa keti"akpastia! "ala sat$ taha3 KONSEPKONSEPDASAR PROBABILITAS asi!&asi!& peker(aa! bisa pasti selerai' $!&ki! selesai' "a! parti ti"ak selesai )a!& a si!&asi!& kita !)ataka! "e!&a! A' B' "a! $!t$k setiap pekeriaa!. N)ataka!lah r$ah! $!t$k stat$s pe!)elesaia! ke"$a pro)ek peker(aa! terseb$t "e!&a! kata lai!' !)ataka se$a kea"aa! )a!& $!&ki! "ari pekeraa! I "a! #etelah sat$ tah$! Tika setiap ke$!&ki!a! $!t$k ke"$a peker(aa! terseb$t eiliki pel$a!& )a!& -a $!t$k ter(a"i pa"a akhir "ari sat$ tah$!' berapakah probabilitas bah#a tepat sat$ pekeraar pasti selesai "ala sat$ tah$!9 R$a!& sapel!)a "iperlihatka! "ala :br. E.16a. Kare!a peristi#a "ari pe!ir sat$ ker(aa! "iselesaika! e!&a!"$!& epat titik sapel MB aka !)a a"alah > 1F 1F AA AB BB BB B A i B A B :abar E' 16a R$a!& sapel :abar E' 16b kap' Dala soal i!i' (ika EI e!)ataka! peristi#a bah#a peker(aa! "iselesaika! se%ara le!& "a! EJ e!)ataka! pe!)elesaia! se%ara le!&kap "ari pekeriaa! ' aka E! P *AA' BA' A, Dia&ra He!! "e!&a! ke"$a peristi#a Et "a! E1 aka! terlihat seperti "ala :br. 16b. 8ika titiktitik sapel eiliki pel$a!& )a!& saa $!t$k ter(a"i' aka AEI, 3=F' POE, 31F' "a! e!$r$t Pers. .; POE! $ E!, 3=F 31F 11F 51F )a!& "apat "ib$ktika! k *E + E' *AA' B' A' BA' A, are!a ONTO2 .11 .' /!t$k t$($a! "isai! "ari (al$t belokka!a! *$!t$k lal$ li!tas arah ti$r, "e!&a! o!toh )a!& aka "ilak$ka! 46 pe!&aata! )a!& "ilak$ka! se%ara "ari ($lah obil e!$!&&$ kesepata! belok pa"a "e! hasil seba&ai berik$t &a! 8$lah obil 8$lah pe!&aata! @rek$e!si relati- 14146 1=46 N)ataka! Kare!a ($ "e!&a! s k$e!ti rel see!tara 8$&a' "alla "e!&a! "e Ke$"ia Dala ha Sehi!&&a )a!& sest ONTOi "a! RB sapel Ke$"ilesai' )a!& a ka!lah
lai!' r$a!& !)atak !& )a!& saa sat$ be!i! sat$ probabilitas. se%ara le!& .16b. 8ika o!toh ah obil 3 MATEMATIKA ILM/PRORABILITAS 35 N)ataka!lah Et lebih "ari obil e!$!&&$ belok ka!a! E sapai obil e!$!&&$ belok ka!a! Kare!a ($lah obil )a!& e!$!tr$ belok ka!a! er$paka! peristi#s )a!& $li!& ekskl$si-. "e!&a! se"ikit perl$asa! "ari Pers 4 *i!st Pers .4"' hal 1, "a! "e!&a! e!&&$!aka! -it k$e!si relati- "i atas "i "ala e!)ataka! probabilitas )a!& bersa!&k$ta!' kita eperoleh see!tara P*E, 8a&a' "ala hal ($lah obil )a!& e!$!&!a kesepata! $!t$k belok ka!a!' EE' 13., "e!&a! "eikia! POEE, 46 46 46 Ke$"ia!' e!$r$t Pe!' ;. 6 3 1 6 46 46 46 46 Dala hal i!i' kita ($&a elihat bah#a E' E! a *' 3' . Sehi!&&a 6 1 1 6 46 46 46 46 46 46 )a!& ses$ai "e!&a! hasil )a!& "iperoleh "ari pe!&&$!aa! Pe!s .;. ONTO2 .1 Dala o!toh 4' peristi#a "i!)ataka! "e!&a! "arrah "i "ala r$a!& sapel "ari RM "a! RB' seperti terlihat "ala "ia&ra +e!! pa"a :br. E.1. 1ika probabilitas "a! #at$ pe risti#a a"alah seba!"i!& "e!&a! ?l$as "aerah!)a? -i!i se!$ai "e!&a! a+$$i bah#a titiktitik sapel ep$!)ai pel$a!& )a!& saa $!t$k tera"a' kita e!"apatka! )a!& berik$t i!i Laas total r$a!& sapel slooor ooo 6.666 Ke$"ia!' "e!&a! elihat :br E 1. 6.66634 KONSERKONSEPDASAR PRORABILITAS :abar E1 De!&a! %ara ser$pa se"a!&ka! POB, 6.666 ; "a! $ Bo 6'6662I66, 6.666 Dari Pers' ;' kita 8$&i "apatka! /!t$k ti&a peristi#a E1' E. "a! Es. Prose"$r *.F, sa(a' !a$!' "i atas "apat "iperl$as kepa"a &ab$!&a! "ari peristi#a )a!& ($lah )a berapa e!&&$!aka! $!t$k peristi#a' probabilitas &ab$!&a! "apat "iperoleh lebih $"ah "e!&a! at$ra! "e Mor&a!' seba&ai berik$t P*Ei /E' / /E., *.16, Te!t$ sa(a' (ika ! peristi#a a"alah sali!& ekskl$si- pet$asa! "ari "all keti&a *Pers e, e!& hasilka! P*Ei /E' / *.4a1
ONTO2 .13 Di ba#ah ra!&ka seperti ) r$!t$ha! bata!i De!&a! sehi!&&a prob "ari probabilit probabilitas ke De!&a! "apatka! Pra Maka' e!$rt Probabilitas Dala kas$t Sehi!&&a*F, berapa "e!&a! *.16, e!& *.4a, ' 3' MATEMATIKA ILM/ PROBABILITAS 3 ONTO2 .13 Di ba#ah beba! @' probabilitas ker$!t$ha! "ari bata!&bata!& i!"i+i"$al a' b' "a! % "ari ra!&ka seperti )a!& terlihat "ala :br. E13 ati!&asi!& a"alah 6'os 6'6 "a! 6'63 r$!t$ha! bata!& )a!& a!a a(a er$paka! ker$!t$ha! "ari ra!&ka :abar E 13 De!&a! e!&as$sika! bah#a ker$!t$ha! "ari setiap bata!& a"alah bebas re%ar$ itarista' sehi!&&a probabilitas ker$!t$ha! "ari "$a bata!& ata$ lebih a"alah taa "e!&a! perkalia! "ari probabilitas ker$!t$ha! asi!& asi!& bata!& *lihat Pers. .15. hal. 1,' te!t$ka!lah probabilitas ker$!t$ha! "ari ra!&ka terseb$t' De!&a! e!)ataka! peristi#a ker$!t$ha! "ari keti&a bata!& seba&ai A' B' "a! ' kita "apatka! P2A, 6'65 PIB, 6'6 "a! PI6'63 "a! "e!&a! e!&as$sika! bebas itatis P*AB, *6'65666'6, 6'666 POAh *6'65, *6'63, 6'6615 POB, *6'6,*6'63, 6'661 "a! Maka' e!$r$t Pe! F. Aker$!t$ha! ra!&ka, POA $ B $ , 6'65 6'6 6'63 6'666 6'6615 6'661 6.66664 6'11534 Probabilitas i!i ($&a $!&ki! "i"apatka! *se%ara lebih $"ah, "e!&a! Pers' .16 seba&ai ber. ik$ti Dala kas$s )a!& sekara!& *lihat Pers. .4,' kita eperoleh *16'65, 6666663, 6';;4 Sehi!&&a
Aker$!t$ha!,
I
6';;4
6'115843;
KONSERKONSEPDASAR
PROBABILITAS .3. Probabilitas bers)arat at$ra! perkalia! abilitas s$at$ peristi#a "apat ter&a!t$!& atas tera"i!)a *ata$ ti"ak lai!!)a. 8ika ter"apat keter&a!t$!&a! seperti
i!i'
probabilitas
)a!&
bersa!&k$ta!
"i!aaka!
probabilitas
bers)arat
*%o!"itio!al probabilit, :abar 11 Pebe!t$ka! r$a!& sapel Ea Di "ala r$a!& sapel pa"a :br. .1' probabilitas bers)arat "ari E' "e!&a! e!&as$si
berla!&s$!&!)a ter(a"i' )a!& "i!)ataka! "e!&a! AEI LE,' berarti ke%e!"er$!&a! aka! s$at$ titi sapel "ala E' "e!&a! as$si bah#a "ika!"$!& oleh De !&a! perkataa! kita beri!at "e!&a! peristi#a E' "i "ala r$a!& sapel Ei. 8a"i' "e!&a! !oralisasi )a!& ses$ai' kita "apatka! probabilitas bers)arat "ari E1 $!t$k E1 )a!& "iberi ka! seba&ai POEE *.11, P*Eh, /!t$k e!(elaska! ko!sep i!i' ti!(a$lah %o!toh%o!toh )a!& berik$t ONTO2 .1 "a! +ol$e s$at$ (ala! ra)a )a!& pa!(a!&!)a 166 k' "a! isalka! bah#a kea"aa! (ala! lal$ li!tas a"alah erata sepa!(a!& (arak 166 k' sehi!&&a ke%elakaa! ep$!)ai ke%e!"er$!&a! )a!& saa $!t$k teria"i "i a!a sa(a "i atas (ala! ra)a terseb$t N)ataka!lah peristi#a s$at$ ke%elakaa! "ala kiloeter a!tara 6 sapai 36 B s$at$ ke%elakaa! "ala kiloeter a!tara 6 sapai 46 Kare!a ep$!)ai pel$a!& )a!& saa $!t$k ter(a"i "i a!a sa(a "i atas (ala! ra)a' "apat "ias$sika! bah#a pro "ari s$at$ ke%elakaa! "i "ala sela!& ter te!t$ "ari (ala! a"alah seba!"i!& "e!&a! (arak "ari sela!& *!ter+al,. De!&a! "eikia!' (ika s$at$ ke%elakaa! teria"i "i atas (ala! sepa!(a!& 166 k i!i 36 6 "a! P*E, 166 166 Sekara!& arilah kita ha"api perta!)aa! ?ika ke%elakaa! ter(a"i "ala sela!& *6. 46, berapakah probabilitas teria"i!)a peristi#a AT? Dala hal i!i' kita eperhatika! probabi. litas "ari A "e!&a! s)arat bah#a B telah ter(a"i i!i ha!)alah proporsi (arak )a!& teras$k "ala B "ala a!a A ($&a teria 8elaslah' "ari :br. E.1. probabilitas bers)arat i!i a"alah 16166 6 6 166 Aka! tetapi' "ala kas$s i!i' 16=166 P*AB,' "a! 6=166 POB, )a!& e!&&abarka! Pers' .11 ONTO2 Ti!(a$ Misalka! 8ika titikt !&a! eli ketah$i @ I!i (elas lah titik "iabil s @ $!t$k tas )a &ai tit"i!aaka! !&as$si. &a! aka! E' De. i' "e!&a! "iberi i! (ala! p$!)ai ka!lah "i atas & ter (ika as$k alah ka! .3 MATEMATIKA ILM/ PROBABILITAS 3F :abar E' 1 ONTO2 .15 Ti!(a$lah
kebali asalah ti&a b$l"oser )a!& "itera!&ka! sebel$!)a "ata o!toh .1 Misalka! @ peristi#a "i a!a b$l"oser pertaa asih beroperati setelah 4 b$la! E b$l"oser atih beroperasi setelah 4 b$la! 8ika titiktitik sapel se$a!)a ep$!)ai ke%e!"er$!&a! )a!& saa $!t$k ter(a"i' aka "e. !&a! elihat kepa"a "ia&ra +e!! "ala :br. probabilitas bers)arat "ari E (ika "i ketah$i @ a"alah POE I!i (elas er$paka! perba!"i!&a! "ari ($lah titiktitik sapel "ala E@ relati- terha"ap ($ lah titiktitik sapel "ala @' )a!& "e!&a! "eikia! e!&&abarka! !otasi "i a!a @ "iabil seba&ai ?r$a!& sapel? )a!& bar$. De!&a! %ara )a!& saa' probabilitas bers)arat "ari @ $!t$k E )a!& "iberika! a"alah :abar E15 Na$!' a titiktitik sapel ti"ak berke%e!"er$!&a! )a!& saa' aka $k$ra! probabili. tas )a!& bersa!&k$ta! har$s "i&$!aka! "i "ala e!&hit$!& bers)arat seba&ai %o!toh' (ika probabilitas "ari asih bekera!)a sat$ b$l"oser pali!& ti"ak 4 b$la! a"alah ;6 aka *"e!&a! e!&as$sika! bebas statistik< lihat Pers. berba &ai titiktitik sapel aka! e!(a"i seba&ai berik$t PO::: 651 PO::B, 6'1; P*:BB, 6'63 POBBB, 6'66; POB:: 6'1; POBB: 6.63 PI:B: 6'1; POB:B, 6'633; KONSERKONSEPDASAR PROBABILITAS .3. Probabilitas bers)arat at$ra! perkali!! Probabilitas s$at$ periti#a "apat terra!t$!& atas "i!)a *ata$ ti"ak ter(a"i!)a peri!i. 8ika ter"apat keter&a!t$!&a! seperti i!i' probabilitas )a!& bera!&k$ta! "i!aai probabilitas probabilit). :abar 2 Pebe!t$ka! r$a!& sapel E' ka! Di "ala r$a!& sapel pa"a :br. .1. probabilitas bers)arat "ari EI "e!&a! e!&a$. bah#a telah teria"i' )a!& "i!)ataka! "e!&a! PEi Ea,' berarti ke%e!"er$!&a! aka! berla!&s$!&!)a $at$ titik sapel "ala Ei "e!&a! as$si bah#a ia "ika!"$!& oleh E' De !&a! perkataa! lai!' kita beri!at "e!&a! peristi#a Ei "i "ala r$a!& apel E1 8a"i' "e!&a! ka! )a!&
ses$ai' kita "apatka! probabilitas bers)arat "ari EI $!t$k E! )$!& "iai seba&ai p *EE' *.11, POE, /!t$k e!(elasa! ko!sep i!i' ti!(a$lah %o!toh%o!toh )a!& berik$t. ONTO2 .1 "a! Ti!(a$lah s$at$ (ala! ra)a )a!& pa!(a!&!)a 166 k' "a! isalka! bah#a kea"aa! (ala! +ol$e lal$ li!tas a"alah erata sepa!(a!& (arak 166 k' sehi!&&a ke%elakaa! ep$!)ai ke%e!"er$!&a! )a!& saa $!t$k ter(a"i "i a!a sa(a "i atas (ala! ra)a ter+eb$t N)ataka!lah peristi#a peristi#a s$at$ ke%elakaa! "ala kiloeter a!tara 6 sapai 36 s$at$ ke%elakaa! "ala kiloeter a!tara 6 sapai 46 kare!a ke%elakaa!ke%elakaa! ep$!)ai pel$a!& )a!& saa $!t$k ter(a"i "i a!a sa(a "i atas (ala! ra)a' "apat "ias$sika! bah#a probabilitas "a! s$at$ ke%elakaa! "i "ala sela!& ter te!t$ "ari (ala! a"alah seba!"i!& "e!&a! (arak "ari sela!& *i!ter+al,. De!&a! "eikia!' (ika s$at$ ke%elakaa! ter"a"i "i atas (ala! sepa!(a!& 166 k i!i' PLA, "a! litas Sekara!& arilah kita ha"api perta!)aa! ?ika ke%elakaa! tera"i "ala sela!& *6' 46 berapakah probabilitas te"a"i!)a peristi#a AT? Dala hal i!i' kita eperhatika! probabi "ari "e!&a! )arat bah#a B telah ter(a"i i!i ha!)alah propori (arak )a!& teras$k "ala B "ala a!a ($&a te"a"i 1elaslah' "ari :br. E.1. probabilitas 16 16 166 6166 Aka! tetapi' "ala kas$s i!i' 16=166 2AB,' "a! 6=166 POB, )a!& e!&abarka! Pers. .11 ONTO2 Ti!(a$ Misalka! lika titik t Bita! eli ketah$i @ I!i (ela! lah titik "iabil s @ $!t$k ta! )a! &ai tperisti#a as$si ! aka! "e! &a! "iberi. 11, ala! !)ai .3 MATEMATIKA ILM/PRORABILITAS 3F 6 36 :abar E .1 ONTO2 '15 Ti!(a$lah kebali asalah ti&a b$l"oser )a!& "itera!&ka! sebel$!)a "ala o!tob 1. @ Misalka! E peristi#a "i a!a b$l"oser pertaa asih beroperati setelah 4 b$la! b$l"oser asih beroperasi setelah 4 b$la! 8ika titiktitik sapel se$a!)a ep$!)ai ke%e!"er$!&a! )a!& saa $!t$k tera"i' aka "e. !&a!
elihat kepa"a "ia&ra He!! ketah$i @ a"alah probabilitas bers)arat "ari E ($ka "i I!i (elas er$paka! perba!"i!&a! "ari ($lah titiktitik sapel "ala E@ relati- terha"ap ($ lah titiktitik sapel "ala @ )a!& "e!&a! "eikia! e!&&abarka! !otasi "i a!a @ "iabil seba&ai ?r$a!& sapel? )a!& bar$. De!&a! %ara )a!& saa' probabilitas bers)arat "ari @ $!t$k E )a!& "iberika! a"alah :B: B:B :abar E.15 Na$!' (ika titiktitik sapel ti"ak berke%e!"er$!&a! )a!& saa' aka $k$ra! probabili tas )a!& bersa!&k$ta! har$s "i&$!aka! "i "ala e!&hit$!& probabilitas bers)arat. Seba&ai %o!toh' (ika probabilitas "ari asih bekeria!)a sat$ b$l"oser pali!& ti"ak 4 b$la! a"alah ;6;' aka *"e!&a! e!&as$sika! bebas statistik< lihat Pers. .15' hal. 1, probabilitas "ari berba &ai titiktitik sapel aka! e!(a"i seba&ai berik$t P*:::, 6'51 PO::B, 6'1; P*:BB, 6'63 POBBB, 6'66; POB:: 6'1; P*B:B, 6'63Dala kas$s i!i' RE i har$s e!%eri!ka! probabilitas titiktitik sapel "ala EN terha"ap titiktitik sapel "ala @ ses$ai "e!&a! it$' kita eperoleh POE@, PO::B /:B:, 6'54 6'1; 6'1; 6'3 Dapat "iteka!ka! bah#a probab bers)arat ha!)alah er$paka! per$$sa! "ari probabilitas s$at$ peristi#a. Bila kita berbi%ara e!&e!ai probabilitas s$at$ peristi+i %ara ter+itat ia "is)aratka! "i "ala r$a!& sapel ll!i "i&abarka! "i "ala Probabilitas AA, "a! PB, "i"asarka! atas s)arat bab#a s$at$ ke%elakaa! ter(a"i "i ti ra)a sepa!(a!& loo kl. /!t$k lebih (elas!)a' PE, har$s "it$lis POE ;, P*S, Na$! kare!a ES E' "a! PNS, t'6' P*E P*E, De!&a! perkataa! lai!' pers)arata! r$a!& sapel s "ia!&&ap s$"ah terlebih "ah$l$ " pahai ea!& atas "iberi s)arat pa"a s$at$ ke(a"ia! selai! "ari a"a< !a$!' bila probabilitas !$a!& sa pel )a!& a#al' ?r$a!& saper )a!& "ibe!t$k kebali har$s "ib$at se%ara eksplisit Kita aati bah#a POE., POE., POE, De!&a! "eikia! )a!& *.1, $!t$k er$paka!
per$$sa! $$ "ari Pers . A"alah pe!ti!& $!t$k eakl$i bah#a alasa! peristi#a er$paka! r$a!& )a!& "ibe!t$k kebali' *isal!)a' i!i kita har$s eastika! bah#a ketika e!erapka! Pers. 1' peristi#a!)a be!t$k EI, beserta koplee!!)a e!&a%$ r$a!& sapel E )a!& saa )a!& "i kebali. Seba&ai %o!toh' aatilah halhal )a!& berik$t i!i ONTO2 .14 Telah "iaati ke!"araa! ke!"araa! )a!& s$at$ persipa!&a! terte!t$ "ala arah )a!& "iketah$i %e!"er$!& "$a kali lipat $!t$k ter$s l$r$ "epa! belok ke ka!a! ($&a' belok kiri berke%e!"er$!&a! sete!&ah "ari belok ka!a!. Misalk ke!"araa! hal hal )a! *a, B oleh ke!"a *%, B ebelok lai! p habilitas hi probab Ar$$! p ata$ 8ik$ E$ se"ikit ti be!t$k"ala E@ rela. $sa! $$ at$ peristi# la o!toh a"i "i "ala "ah$l$ "i elai! "ati eksplisit *.1, bah#a bali Wa!)a !t$ Misalka! bah#a .3 MATEMATIKA ILM/PROBABILITAS 1 ke!"araa! kea"aa! berlak$ $!t$k ke!"araa! )a!& sa(a. Ke!$"ia! (ika hal hal )a!& berik$t persipa!&a! "i "ala arah )a!& "i!)ataka!' kita "apat e!a!)aka! i!i. oleh se$a ke$!&ki!a! )ak!i' stah )a!& berbe"abess )a!r "apat "iabil ke!"araa!,9 l$r$s ke "epa! belok ke ka!a! E1 belok ke kiri Es *b, Berapakah asi!&asi!& probabilitas!)a9 POE' POE, Berapakah probabilitas $!t$k belak ke ka!a! (ika #eb$ah ke!"araa! se%ara pasti aka! ebelok9 Di lai! pihak' (ika seb$ah ke!"araa! se%ara pasti aka! ebelok pa"a per+ipa!&a!' pro babilitas bah#a ke!"araa! ti"ak aka! ebelok ke ka!a! a"alah Kebebasa! statistik. 8ika *ata$ ti"ak ter(a"i!)a !aat$ peristi#a ti"ak epe!&ar$ hi probabilitas s$at$ peristi#a )a!& lai!' aka ke"$a peristi#a a"alah bebas statistik l) i!"epe!"e!t. De!&a! "eikia!' (ika Ei "a! Ea a"alah bebas statistik. *.13, At$ra! perkalia!. Dari Pets. .11' probabilitas "ari peristi#a bersaa EIE' a"alah *.1, ata$ P*EEGs, 8ika E' "a! Ea er$paka! peristi#a )a!& bebas statistik' aka at$ra!
perkalia! i!i e!(a"i P *E'E, P *E, P*E, *.15, ?ara seperti i!i "i "ala e!"e-i!isika! bebas itatistik iea!a i!t$iti- lebih la!&s$!&. Sekalip$! al+ i!i se"ikit ti"ak ko!+e!sio!al' oleh kare!a kebebasa! statistik laJi!)a "i"e-i!isika! ra ateatis "i "ala be!t$k Pers. a 5. aka Matheati%al Asso%iatio! o- Aeri%a $F e!)ata!kas pe!&&$!aa! "ari "e-i!ii "ari kebebasa! statistik )ak!i' Pers' .13 KONSERKONSEPDASAR PRORABILITAS $!t$k ti&a peristi#a' at$ra! perkalia! a"alah ata$ "a! (ika peristi#a peristi#a a"alah bebas statistik' P*EE' E, P*E, POE, POE, *.1s' Kita aka! eperkiraka! bah#a (ika E' "a! E' a"alah bebas statistik' koplet!e! plee! )a!& EI "a! ($&a aka! bebas statistik. I!i "apat "ib$ktika! "ah! kas$s $!t$k "$a peristi#a seba&ai berik$t 1 POE, P *Er, P*Ei, P*E,0 P *E!,0 POE, POE, Akhir!)a' perl$ kai *.14, berlak$ terha"ap teka!ka! bah#a se$a at$ra! ateatis "ala probabilitas kebali probabilitas bers)arat )a!& "i"e-i!isika! "ala r$a!& sapel )a!& "ibe!t$k )a!& saa' teras$k hal kh$s$s )a!& berik$t i!i P*EI $ E' IA, P *Ei l A, P*E' IA, P*EE' l A, De!&a! e!)aaka! ke"$a be!t$k "ala Pers. .1 "a! ebiarka! E A. kita "a *.1, *.1;, ONTO2 .1 !)a Tir"a$lah kebali siste ra!tai )a!& ter"iri "ari "$a ata ra!tai *:br' E.1,' 8ika bebas )a!& bekera a"alah 1666 lb' (elas bah#a salah sat$ ata ra!tai aka! ro!tok (ika kek$ata! k$ra!& "ari 1666 lb. Misalka!lah bah#a probabilitas "ari tera"i!)a i!i terha"ap asi!& asi!& s$at$ ra!tai a"alah 6'65. Betapakah probabilitas "ari p$t$s!)a Mata 1 Mata ra!tal ra!tal :abar E.1 !&a! "eikia! p$t$s!)a "ari ata ra!tai 1 "a! asi!&asi!& "e!&a! Eh "a! Ei. D ra!tai a"alah 6'65 6'65 POE' E.POE, 6'16 6'65 POE' Kita aati bah#a probabilitas PE' I EI,< i!i aka! ter&a!t$!& kepa"a "e ra(at sali!& keter&a!t$!&a! a!tara E! E sba&ai %o!toh' (ika ataata ra!tai "ipilih "a! se%ara ra Sebalik a! )a!& kas$s )a!& )a!& saa
8a"i probabilitat bers)arat @ ata ra!tai ONTO2 keperl$a! &a' "a! ka! total (a"i (ika a"alah 6.16 8ika te kota aka! t Misalka!la Maka "a! Probabilita a"alah*.1 *.15a, ee! ko ika! "ala *.14, litas ($&a *.1, a "apat *.1;, a beba! k$ata!. !asi!& De "e lih MATEMATIKA ILM/PROBABILITAS se%ara raba! "ari "$a s$ber' aka E! "a! E. "apat "ia!&e$p betas statiska sehi!&$a 6'65 > 6'65 6'6F5 a! sebalik!)a' (ika ke"$a ata ra!tai "ib$at "ari baha! bata!&a! ba(a )a!& ta$ )a!& saa' si-atsi-at "ari ke"$a ata ra!tai aka! sa!&at irip' Dala kas$s )a!& ekstri' kek$ata! ke"$a ata ra!tai "apat "ia!&tap saa "ala hal i!i. rE EI, De!&a! "eikia!. POEl 616 6'65 >16 6'65 )a!& saa pra "ari sat$ ra!ta probabilitas kero!toka! "ari siste ra!tai berkisar a!tara 6'65 *)a!& er$paka! bers)arat kero!toka! 6'6F5. ata POE )a!& er$paka! -$!&si "ari "era(at korelasi a!tara kek$ata! "ari "$a ra!tai terseb$t. ONTO2 .1; D$a $!it peba!&kit te!a&a listrik a "a! b bekeria se%ara paralel $!t$k e!)e"iaka! keperl$a! te!a&a listrik s$at$ kota ke%il. Peri!taa! $!t$k te!a&a listrik terseb$t sa!&at bera "iketah$i bah#a setiap $!it ep$!)ai kapasitas )a!& ap$ $!t$k e!)e"ia. "a! &a!' ka! total keb$t$ha! te!a&a listrik kota te!eb$t $!t$k 15E "ari probabilitas #akt$ )a!& ter. (a"i (ika $!it )a!& lai! e!&alai ker$saka!. Probabilitas ker$saka! "ari asi!&asi!& $!it a"alah 6'16' see!tara probabilitas aka! r$sak!)a ke"$a $!it a"alah 6'6. 8ika ter"apat ker$saka! "i "ala peba!&kit te!a&a listrik' berapakah probabilita bah#a kota aka! e!"apatka! pe!&iria! e!er&i se%ara pe!$h9 Misalka!lah peristi#a r$sak!)a $!it a peristi#a !isak!)a $!it b POA, P*B, 6.16 P*AB, 6'6 "a! 6.6 6'16 Probabilitas bers)arat bah#a (ika teria"i ke!$saka!' ha!)a sat$ "i a!tara "$a $!it esi! !$sak PIA B, P*iB, P*AB, P*A, P*B, 6'; > 6'1 6'; > 6'1 6'1 t 6'1 6 > 6'1 6.6; 6.;F 6.1;
KONSEPKONSEPDASAR PROBABILITAS De!&a! "eikia! probabilitas bah#a kota aka! e!"apatka! pe!)e"iaa! litrik 6';F > se#akt$ teria"i ker$saka! "ala peba!&kit te!a&a listrik "i 6'5 6'4 ONTO2 .1F Sebel$ "iteria!)a s$at$ pe!apa!& *isal!)a sepa!"a!& rt il, "ari s$at$ perk' hirektorat 8ala! Ra)a' "ilak$ka! peeriksaa! terha"ap lapi>a! setebal ; i!el "e!$!' ba%aa! $ltraso!ik *li setiap titao Ta il "ari :br 1F, $!t$k preriksaa! "ipat$hi!)a "ilak lapisa! perker setiap pe!apa!e ri il aka! "iteria iika pali!& ti"ak seberar i!%i' (ika ti"ak a! pe!apa!& aka! "it "iba!&$! oleh pe!&alaa! )a!& lal$' bah#a "ari se$a pe!apa!& ko!traktor "ite$ka! ee!$hi pesi-ikasi. Na$!' pe!e!t$a! tebal "e pe!&$(ia! "apat "ia!"alks! sosiia"i' a"a 6 el$a!& bah#a pe!e!t$a! ber"a "e!&a! $ltraso!ik boleh (a"i ti"ak bet$l Berapakah probabilitas bah#a s$at$ pe!apa!& terte!t$ "ari lapisa! perkerasa! "ila 8ala! "e!ea! baik )ait$' pali!& ti"ak tebal!)a 5 i!%i, "a! aka! "iteria oleh Direktori Ra)a :abar E.1F Misalka! : tebal sebe!ar!)a "ati perkerasa! pali!& ti"ak '5 i!%i A tebal )a!& "i$k$r '5 i!%i. Per!)ataa! ?kea!"ala! "ari pe!&$(ia! $ltraso!ik a"alah ;6t?' "apat "ita-sirka! e!&a!"$!& arti bah#a 6';6 "a! 6';6 6';6 6'6 Ber"asarka! rep$tasi sebel$!)a "ari ko!traktor "i atas' kita "apat e!&a!&&ap bah#a #o! "ari hasil pekeriaa!!)a aka! ep$!)ai peba%aa! $ltraso!ik )a!& e$aska! sehi!&&a POA, 6'F6 Peristi#a )a!& "ii!ati a"alah :Asehi!&&a probabilitas!)a a"alah *6';6,*6'F6, 6' *b, Berapakah probabilitas bah#a t$at$ pe!apa!& "ilaksa!aka! "e!&a! b$r$k *)ak!i' ep$!)ai tebal )a!& k$ra!& "ari 9si!%i !aa! aka! "iteria ber"asarka! pe!&$(ia! $ltra Dala kas$s i!i' kita e!"apatka! ONTO2 . Masala !$r$!a! "a aka! t$!a!' *%, *)ait$' ti Kare! ONTOM a! *a, Prohlistrik atas a"alah perker "e!&a! pe a (ika tebal ka! "itolak. bal
"e!&a! er" asarka! asa! Direktorat &a!"$!& a F6 )ak!i $ltra .3 MATEMAITKA PROBABILITAS 5 *66666F6, 6'1; ONTO2 .6 A Masalah pe!$!$!a! settlee!t, "ari s$at$ portal ba(a "apat "ii"ealisir sebarai berik$t "a! B e!)ataka! "$a po!"asi telapak )a!& "$"$k pa"a ta!ah *:br. E 6, Masi!&asi!& po!"asi boleh (a"i tetap pa"a ti!&&i se$la ata$ e!&alai pe!$r$!a! s %. Probabilitas pe !$r$!a! "ala asi!& asi!& po!"asi a"alah 6'1. Na$!' probabiltas bah#a sat$ po!"asi aka! t$r$!' "e!&a! %atata! bah#a )a!& lai!!)a telah t$r$!' 6'; *a, Ko!"isi )a!& $!&ki! "ari ke"$a po!"asi a"alah seba&ai berik$t AR M t$r$!. B t$r$! AR A ti"ak t$r$!' B t$r$! AB A t$r$!' B ti"ak t$r$! AB A ti"ak t$r$!' B ti"ak t$r$! 5 % :abar E.6 *b, Probabilitas pe!$r$!a! *)ait$' salah sat$ "ari A "a! B aka! t$r$!, a"alah POA $ B, POA, POB, P*AB, PNA, PEB, P*A,P*; A, 6'1 6'1 6'1 > 6'; 6'1 *%, 8ika kita beri!at "i "ala peristi#a E e!&e!ai ter(a"i!)a pe!$r$!a! " "a! *)ait$' ti!&&i )a!& berbe"a "ari ke"$a po!"asi. aka peristi#a it$ aka! ter"iri "ari AB Kare!a ke"$a peristi#a i!i sali!& ekskl$si- POE, POAB, P*AB, P*Alla!, *6'1,ll POBA,1 *6'1,II *6'1,*6', *6'1,*6', 6'6 ONTO2 .1 ata$ akibat Po!"asi "ari s$at$ ba!&$!a! ti!&&i bisa r$!t$h akibat kapasitas "$k$!&' ker$!t$h pe!$r$!a! )a!& berlebiha!. Misalka!lah B "a! s e!)ataka! asi!&asi!& ra&a "ala a!. 8ika PIB, 6'661' POS, 6'66; "a! PIB l s 6'1' )ait$ probabilitas ker$!t$ha! kapasitas "$k$!& "i a!a telah ter(a"i pe!$r$!a! )a!& betlebiha!' aka te!t$ka!lah *a, Probabilitas ker$!t$ha! po!"asi. *b, Probabilitas bah#a ba!&$!a! telah e!&alai pe !$r$!a! )a!& berlebiha! !a$! ti"ak a"a ker$!t$ha! "ala kapasitas "$k$!&.4 KONSERKONSEPDAMR PRONABILITAS *il, PO@, 6'661 6.66; 6'666'66;, 666F o!%os 6'66 *1 6'1 2ooosh 6'F > o'66; 6'66 ka! soal i!i' probabilitas ber)atat i s ti"ak boleh elebihi 11;' "apatkah a!"a teri ke!apal
ONTO2 . )a!& A"a "$a ar$s )a!& e!&alir ele#ati s$at$ lokasi pabr> i!"$stri. Ti!&kata! "ari oksi&e! "ipisahka! *DO ata$ "issor"ete" o>)&e!, "ala air "i hilir er$paka! pe!$!($k "ari "er' alita! a ter%ear' peb$a!&a! libah lokasi i!"$stri it$. A e!)ataka! peristi#a tah#+ atas ti!&kata! "a! bah#a alira! ter%ear. Dari pe!&$k$ra! )a!& "ilak$ke! sat$ hari Do "ati asiti&asi!& ar$s sepa!(a!& tah$! )a!& lal$' "itetapka! bah#a "ala terte!t$ "a! POB, "a! probabilitas bah#a pali!& ti"ak sat$ a!$s aka! ter%ear "ala sat$ hari terte!t$ a"alah *a, Te!t$ka!lah probabilitas bah#a alira! a ($&a ter%ear "i a!a alira! b telah ter *b, Te!t$ka!lah probabilitas bah#a alira! b ($&a ter%ear bila alira! a telah ter%ear. Pertaa' kita e!&hit$!& probabilitas bah#a ke"$a alira! telah ter%ear. Kare!a kita e!"apatka! POA ! B, =6 "a! PLA 6 De!&a! perkataa! lai!' alira! b sa!&at $!&ki! ter%ear bila alira! a telah ter%ear' se"a!&. ka! pel$a!& bah#a alira! a aka! ter%ear a"alah 56 bila alira! b telah ter%ear. .3.3 Teorea probabilitas total Ka"a!&ka"a!& probabilitas s$at$ peristi#a A ti"ak "apat "ite!t$ka! se%ara la!&s$!&' Na$!' se"eikia! selal$ "isertai oleh tera"i!)a periti#a perithea lai! ELi 1.' litas )a!& hi!&&a probabaitas perati+a A aka! ter&a!t$!& pa"a aperisti#a Ei )a!& ter(a"i. hal )a!& "eikia! aka probabilitas "ari A aka! er$paka! "iharapka! eerl$ka! tooa pbaba!as total *theore "e!&a! bobot E )a!& "eikia! ka!' ti!(a$lah %o!toh berik$t i!i o- $!t$k ONTO2 So!ik *SST pa"a hail ee!a!& 6a' se"a! 8elasla ti"ak "apa Na$ti tab$! 1F partai $!t$ se"a!&ka! aka prob ($&a bera" "ala :brtera!&. oksi&e!
ri
"era.
bah#a
ak$ka!
"ala
"alah
h
ter
3
MATEMATIKA
ILM/PROBABILITAs ONTO2 .3 Misalka! bah#a ter"apat so!ik the!&e!ai !asih pro)ek !&a!&k$ta! s$per pa"a hasil peiliha! A"a ti"ak!)a sST koersial pa"a tah$!
1F;6 aka! tetea!t$!& ee!a!&ka! preti" e! "ala tah$! 1F4 Misalka! ($&a bah#a (ika Partai Deok peiliha! r. se"a!&ka! (ika Partai Rep$blik aka! a"a!)a SST pa"a tah$! 1FRO ha!)a 8elaslah' ta!pa )a!& e!a!&' probabilit aka! e!(a"i6 ti"ak "apat e!&etah$i partai )a!& aka! ee!a!&ka! peiliha! tah$! 1F4. kita Na$!' e!&ataka! apakah aka! e!ia"i 6t tah$! bila partai $taa terseb$t ep$!)ai pel$a!& a!& saa $!t$k e!a!& "ala 1F4. probabilitas i!i aka! er$paka! rata tata "ari 6'6 "a! 6'6' ata$ PISST pa"a 1F;o, o 666'5, o.To*6'5, 6'5 8ika Rep$blik "i$!&&$lka! 3 la#a! $!t$k e!a!& "ala tah$! 1F4' %$k$p la)ak $!t$k eberi bobot terha"ap probabilitas "i atas "e!&a! periba!&a! pel$a!& asi!a asi!& partai $!t$k e!a!&i sehi!&ta POSST pa"a 1F;6, 6'6 *6', 6'6*6'4, 6'56 se"a!&ka! (ika Partai De )a!& "i$!&&$lka! 3 la#a! $!t$k ee!a!&ka! peiliha! aka probabilitas!)a e!(a"i POsST "ala 1F;6, 6'6*6'4, 6'o o , 6'6 Se%ara -oral' ti!(a$lah ! peristi#a )a!& sali!& ekskl$si- "a! ber&ab$!& sep$r!a E! )ait$' E' /E' /.../E! S Maka (ika A er$paka! s$at$ peristi#a )a!& ($&a bera"a "i "ala r$a!& sapel )a!& saa *lihat :br. .15,' kita "apatka! A *Ei /E' / /E., AEI /AE' / /AE. "i a!a AEI' AE AE! ($&a sali!& ekskl$si-' seperti )a!& "apat "ilihat "ari "ia&ra +e!! "ala :br. .15. Maka P*A, P*AE P*AE, P *AE, "a! "ari at$ra! perkalia!' Pers. .1' kita "apatka! teorea probabilitas total POA, POA l E, POE, POM l E1, POE, P *A l E.,POE., *.1F, :abar 15 Dia&ra He!! "e!&a! peristi#aperisti#a A "a! Ei' E!; KONSERKONSEPDA SAR PR ORABILITAS 8$&a' "ari Pers 1;' probabilitas total "ari s$at$ peri!ti#a berr)arat "apat "it$!(astr ONTO2 . (a :abar E. e!$!($kka! sat$ arah "ari "$a (ala! ra)a h "a! 1 )a!& e!)at$ e!(a" As$sika! bah#a "a! ep$!)ai kapasitas )a!& saa' !a$!' a&ak berbe"a $!t$ la )a!&
tib$k' sehi!&&a )a!& sib$k *r$sh ho$rs, Mt, Alal$ li!tas berlebiha! "i 16s Ala,. Alal$ li!tas berlebiha! "i h,. 6 "e!&a! e!)ataka! probabilitas lal$ li!tas )a!& berlebiha! "i se#akt$ lal$ i!taa berlehilha! "i l kita petoleh "a! 1667 *a, 8ika kapasitas I' a"alah saa "e!&a! kapatitas "arili ata$ h' berapakah probatilitas bah#a lal$ li!tas berlebiha! "i 1' li!tas )a!& k$ra!& "ari kapasitas!)a' bah#a (ika e!a!&&$!& beba! lal$ boleh "ile#ati "e!&a! probabilitas 1 Pertaa' kita aati bah#a probabilitas i!i aka! ter&a!t$!& pa"a ko!"isi lal$ "ala "a! )a!& boleh (a"i er$paka! habilitas seba&ai berik$t ata$ Ms. "e!&a! asi!&asi!& pro 6'16 1 *6'1 o' o, 6'so 8elaslah' lal$ ti!tas "ala aka! berlebiha! bila laha li!tas "ala $' ata$ ata$ "$a "$a!)a' berlebiha!. 8$&a' kita ep$!)ai Pil1'1, 6'6. 1.6666 161 1.6666.16, 16666, 6666A6, :abar E *b, 1ika. lebihtt)a lal$ )a!& berlebih aka! ep$t Irbiha!. Sehi! ONTOMI . Misalka! a!&i! rib$t ) "aerah ha oleh a!&i! p$ "aerah hap sertai a!&i! /rba!a sla kota a! Me"a!&ka! pr "ala "aerah teh$! "ala kataKONSERKONSEPDASAR PROBABILITAS seba&ai ONTO2 . :abar E. e!$!($kka! set$ atah "ari "$a (ala! ra)a "a! )a!& e!)at$ ea bah#a "a! ep$!)ai kapasitas )a!& saa' !a$!' a&ak berbe"a (aha )a!& sib$k' sehi!&&a selaa (aia )a!& sib$k *r$sh ho$rs Alal$ li!tas berlebiha! "i li,. 16t rta, Alal$ li!tas berlebiha! "i la, 6s 8$&a' "e!&a! e!)ataka! probabilitas lal$ li!tas )a!& berlebiha! "i se#akt$ la lista berlebiha! POl$l peroleh "a! P$slr, 1667 *a, 8aka kapasitas i' a"alah saa "e!&a! kapasitas "ari 11 ata$ h.berapakah probabilitar bah#a lal$ li!ta berlebiha! "i!9 bah#a (ika "a! e!a!&&$!& beba! lal$ li!tas )a!& k$ra!& "ari kapasitas!)a' boleh "ile#ati probabilitas 67 11 Pertaa' kita aati bah#a probabilitas i!i aka! pa"a ko!"isi lal$ "ala "a! 1. )a!& boleh (a"i er$paka! lile. Il$J' lala' ata$ 1'1. "e!&a! asi!&asi!&
pro. babilitas seba&ai berik$t Poi' P$a, 6'566., 6'16 *6'1 6.1 66 6';6 $elaslah' lal$ i!tas "alat! i' aka! berlebiha! bila lal$ li!tas "ala ata$ la' ata$ "$a' Maka 1.66*6'16, 1'66*6'166 1.66 *6, 6'6*6';6, 6'34 :abar E *b, 8ika lebih!)a lal$ )a!& berlebil De!&a! aka! ep$ lebiha!' Sela ONTO2 . Misalka a!&i! rib$t "aerah hai! oleh a!&i! "aerah hart sertai a!&i! /rba!a a"al kota /rba! se"a!&ka! p "ala "atta 2it$!& tah$! De-i!i! 8elasla "ala kotaKONSERKONSEPDASAR PROBABILITAS seba&ai ONTO2 . :abar E. e!$!($kka! set$ atah "ari "$a (ala! ra)a "a! )a!& e!)at$ ea bah#a "a! ep$!)ai kapasitas )a!& saa' !a$!' a&ak berbe"a (aha )a!& sib$k' sehi!&&a selaa (aia )a!& sib$k *r$sh ho$rs Alal$ li!tas berlebiha! "i li,. 16t rta, Alal$ li!tas berlebiha! "i la, 6s 8$&a' "e!&a! e!)ataka! probabilitas lal$ li!tas )a!& berlebiha! "i se#akt$ la lista berlebiha! POl$l peroleh "a! P$slr, 1667 *a, 8aka kapasitas i' a"alah saa "e!&a! kapasitas "ari 11 ata$ h.berapakah probabilitar bah#a lal$ li!ta berlebiha! "i!9 bah#a (ika "a! e!a!&&$!& beba! lal$ li!tas )a!& k$ra!& "ari kapasitas!)a' boleh "ile#ati probabilitas 67 11 Pertaa' kita aati bah#a probabilitas i!i aka! pa"a ko!"isi lal$ "ala "a! 1. )a!& boleh (a"i er$paka! lile. Il$J' lala' ata$ 1'1. "e!&a! asi!&asi!& pro. babilitas seba&ai berik$t Poi' P$a, 6'566., 6'16 *6'1 6.1 66 6';6 $elaslah' lal$ i!tas "alat! i' aka! berlebiha! bila lal$ li!tas "ala ata$ la' ata$ "$a' Maka 1.66*6'16, 1'66*6'166 1.66 *6, 6'6*6';6, 6'34 :abar E *b, 8ika lebih!)a lal$ )a!& berlebil De!&a! aka! ep$ lebiha!' Sela ONTO2 . Misalka a!&i! rib$t "aerah hai! oleh a!&i! "aerah hart sertai a!&i! /rba!a a"al kota /rba! se"a!&ka! p "ala "atta 2it$!& tah$! De-i!i! 8elasla "ala kota"it$!($kka! *.1Fa, t$ e!(a"i e"a $!t$k lal$ li!tas babilitas. ba! lal$ as "ala $ "$a *b, 8ika kapasitas 13 a"alah "$a kali 3
MATEMATIKA ILM/PROBABILITAS F )a!& lal$ li!tas lipat kapasitas 11 ata$ 11' rapakah probabilitas bet berlebiha!' bah#a ha!)a 1 h )a!& ep$!)ai lal$ li!tas ata$ aka! De!&a! kapasitas "ari l) "apat "ilapa$i "e!&a! 15 lebiha!. "eikia! POlal Il, LI, 6'15. Lebih (a$h' a"alah (elas bah#a Is ep$!)ai lal$ li!tas berlebiha! bila i "a! ($&a ep$!)ai lal$ li!tas )a!& ber Sehi!&&a "ala hal i!i' 1.666616, 6'15*6'16, 615*6, 666;6, 6'115 ONTO2 .5 Misalka!lah bah#a "ala s$at$ tah$! )a!& "ite!t$ka! se%ara a!&i! )a!& er$sak )ak!i' a!&i! rib$t "e!&a! ke%epata! )a!& elapa$i 46 ph, "i "aerah hapai&! a"alah 6'6. Selaa teria"i!)a a!&i! )a!& "eikia!' ti"ak "isertai a!&i! probabilitas "ari ker$saka! str$kt$r "i kota /rba!a )a!& bera"a "i "aerah hapai&!, a"alah 6'16. Bila a!&i! rib$t ter(a"i "i "aerah terseb$t' aka probabilitas bah#a a!&i! rib$t aka! " a!&i! p$sar a"alah "a! probabilitas bah#a a!&i! p$sar i!i aka! e!&ha!ta kota /rba!a a"alah 6'65. As$sika! bah#a a!&i! p$sar ter(a"i ha!)a se#akt$ a!&i! rib$t'"a! bila kota /rba!a oleh a!&i! p$sat' a"alah pasti bah#a aka! tib$l ker$saka! str$kt$r. se"a!&ka! probabilitas "a! ker$saka! str$kt$r "ala kota se#akt$ tera"i!)a s$at$ a!&i! p$sar "ala "aerah !a$! ti"ak e!&e!ai kota' a"alah 6'16 2it$!&lah probabilitas "ari ke!asaka! str$kt$r "ala kota /rba!a selaa perio"e sat tah$!. De-i!isika!lah peristi#a berik$t @ ker$saka! str$kt$r "ala kota /rba!a a!&i! rib$t "ala "aerah hapai&! T a a!&i! p$sar "ala "aerah hapai&! 2 a!&i! p$sar e$k$l kota /rba!a 8elaslah' peristi#a peristi#a ST ST sT "a! ST a"alah sali!& ekskl$si- "a! ber&ab$!& sep$r!a *%olle%ti+ell) e>ha$ssi+e, "e!&a! "eikia! probabilitas "ari ker$saka! str$kt$r "ala kota a"alah 1'66*6.65, 6'16*6'F5, 6'15 P*@iST ti"ak "iketah$i' !a$! ti"ak perl$ka! "ala soal i!i 8$&a POST
POT
SPIS,
6'5*6'6,
6'65
POST
POT
SP*s
6'5
*6'6,
6'15KONSERKONSEPDASAR PROBABILITAS Sehi!&&a PO@, 6'1566'os, 6'16*o.15, *to, 6*6';6, 6'665 6'615 6'6 .3. Teorea Ba)es Pa"a sit$asi )a!& e!"asari teorea probabilitas total ailhat Pasal .3.3,' (ika peristi#a ter. (a"i' berapakah probabilitas bah#a s$at$ peristi#a terte!t$ Ei ($&a teria"i9 I!i "apat "ipa!"a!& seba&ai s$at$ probabilitas )a!& ?"ibalik? *re+erse probabilit), !&a! e!erapka! Pers. .1 terha"ap a bersaa AEi' kita "apatka! POA IE' POE., P*E IA,P *A, Sehi!&&a kita "apatka! probabilitas )a!& "ii!&i!ka! *.6, P*A, )a!& "ike!al seba&ai teore Ba)es 8ika PA, "ikeba!&ka! "e!&a! e!&&$!aka! teorea probabilitas total' Pers. .6 e!(a"i P*EIA, *.6a, ONTO2 .4 De!&a! e!&a%$ kebali pa"a asalah perkerasa! pa"a o!toh .1F' kita $!&ki! ber. ta!)a ?Berapakah probabilitas bah#a (ika s$at$ ba&ia! (ala! "iba!&$! "e!&a! baik' ba&ia! i!l aka! "iteria atas "asar pe!&$(ia! $ltraso!ik9? I!i berarti bah#a P"A:. )a!& e!$r$t Pers. .6' "iberika! oleh PO: APOA, P*A :, PO:, Dari o!toh .1F' kita "apatka! P*:IA, 6';6 "a! P*A, 6'F6 /!t$k e!e!t$ka! PO:,' kita lihat bah#a A "a! a"alah sali!& ekskl$si- "a! ber&ab$!& se p$r!a< sehi!&&a e!$r$t Pers' '1F. 6';6*6'F6, *6'6,*6'16, 6' De!&a! "eikia! probabilitas )a!& "ita!)aka! a"alah 6';6 *6'F6, 6F13 6' se"a!&ka! 1 6'F3 6'6 )a!& e "asarka! ba!"i!& arti ti"ak !&otoral ke"$a ha!)a s ka! pe! *a, tah$! *b, berapak peb$a otoob Maka' proba#a A ter. Pa!"a! teorea *.6a, ia! i!i .MATEMATIKA ILM/PROBABILITAS )a!& er$paka! probabilitas "itolak!)a saat$ ($ka
)a!&
"iba!&$!
"e!&a!
baik
ber
"asarka!
pe!&$(ia!
$ltraso!ik'
Probabilitasprobabilitas )a!& belaka!&a! i!i har$s " ba!"i!&ka! "a! "ibe"aka! "e!&a! , pa"a o!toh "ala arti ti"ak ke%il. ONTO2 . Pe!%eara! $"ara "ala s$at$ kota ter$taa "isebabka! oleh libah i!"$stri "a! ke"$a otoobil. Di "ala 5
tah$! e!"ata!&' pel$a!& keberhasila! $!t$k e!&e!"alika! s$ber pe!%eara! "i atas' a"alah 5s Misalka!lah ha!)a sat$ "ari ke"$a s$ber it$ "ike!"alika! "e!&a! bethasil' probabilitas $!t$k e!$r$! ka! pe!%eara! "i ba#ah ti!&kat )a!& "apat "itolerir
a"alah
tah$!
Berapakah
probabilitas
"ari
berhatil!)a
pe!&e!"alia!
pe!%eara! $"ara "ala 3 e!"ata!&9 *b, 8ika' "ala 5 tah$! e!"ata!&' ti!&kat pe!%eara! ti"ak "ike!"alika! se%$k$p!)a berapakah probabilitas bah#a sel$r$h!)a i!i
"isebabka!
oleh
&a&al!)a
"ala
e!&e!"alika!
peb$a!&a!
De!&a!
e!&as$sika! kebebasa! statistik a!tara pe!&e!"alia! libah i!"$stri "a! otoobil *A,' kita "apatka! P*AI, 6'5 > 6'46 6'5 POAD 6'5 > 6'46 6'15 PO2D 6.5 > 6.6 6'6 PO 65 > 6'6 6'16 Maka' "e!&a! e!)ataka! peristi#a pe!&e!"alia! pe!%eara! $"ara seba&ai "a PE 1.66 *or 5, 6.; *6'15, 6';6*o'36, oro'16, 6';1 *e, s$at$ perta!)aa! )a!& berh$b$!&a! 8ika pe!%eara! ti"ak "ike!"alika!' berapakab probabilitas bah#a pe!&e!"alia! "ari peb$a!&a! otoobil ti"ak berhasil9 I!i e!&i!&i!ka! PO E !a$! 6'666366 1'666616, 6'1F 6'; se"a!&ka! POE, 6'6*6.15, 1.66*6.16, 6.13 6.4; 6'1F ONTO2 .; A&re&at $!t$k ko!str$ks ! "ari "$a per$sahaa! )a!& berlaisa! Per$sahaa! )a!& "$)ara e!&irika! 466 $ata! setiap hari' "i a!a 3s ti"ak ee!$hi $t3 KONSERKONSEPDAsAR PROBABILITAS Per$sahaa! A e!&irika! 66 $ata! setiap hari' "ari a!a ha!)s Is )a!& ber$t$ ba#ah *a, "o, betapakah probabilitas bah#a #at$ $sta! a&re&at )a!& "$ba he%ate a%ak tris berasal "ari Pe!asahaa l$l$s "ari ita!"ar )a!! "ite!t$ka! *%, lika $t$ s$at$ $ata! a&re&at ter!)ata "i ba#ah sta!"ar' berapakah probabilitas tah#a i!i berasal "ari Per$sahaa! *a, Kare!a a"a toooo $ata! t$tal' +a!a aa 466 berasal "ari per$sahaa! aka probabiltas hat #a s$at$ aata! )a!& "ipi$h se%ara a%ak
berasal "ari per$sahaa! *b, A&retat "i ba#ah $t$ sta!"ar boleh (a"i berasal "ari per$sahaa! "a! a Kita e!erapka! leore!a probabilitas total $!t$k e!&hit$!& probabilitas peristi#a E' )rit$' e!& til +$at$ $ata! "e!&a! $t$ "i ba#ah sta!"ar 466 661 1666 6'61E 6'66 6'6 *%o 8ika $ata! a&re&at )a!& "iab" +e%ata a%ak ter!)ata "i ba#ah $t$ sta!"ar' aka probabilitas!)a bah#a ia berasal "ari per$sahaa! t$"ak 6'4 seperti "ala *s,' oleh kara !a!& apet telah ber$bah. Alihalih 1666 $ata!' r$a!& sapel )a!& bar$ e!%ak$p $ata! i!&re&at "i ba#ah ita!"ar )a!& ba!)ak!)a *o 61 > 466 6'61 > 66, 1; $at$! a!& a!a ha!)a a"a 1; "ari pe!asahaa! A. Sehi!&&a arre$t!)a "iba#ah sta!"ar) 6'63 > 466 6'63 > 466 6'61 > 66 IN 6';1; kare!a !&re&at "ari per$sahaa! lebth re!"ah $t$!)a "ari a&re&at )a!& berasal "ari N' i!-or asi tabaha! bah#a s$at$ $ata! a&re&at brra"a "i ba#ah sta!"ar' e!abah probabilitai bah#a $ata! )a!a "eikia! berasal "ari at. Teorea Ba)es bera!-aat $!t$k e!&$bah ata$ e$takhirka! *e!&$p"ate, proba bilitas )a!& "thit$!& "e!&a! terse"ia!)a "ata "a! i!-irasi tabaha!. o!toh%o!toh )a!& berik$t aka! eperlihatka! hal i!i' teras$k ba&aia!a i!-orasi )a!& sebel$!)a :a!&
bara!&kali
"i"a$rka!
atas
peisala!
pepalaa!
ata$
kebi(aksa!a!,
"ikobi!aika! "e!&a! hasil pep$(ia! $!t$k e$takhirka! probabilita )a!& "ihit$!& ONTOl .F Tiis$lah !$at$ po!"asi tia!& pa!%a!&' "i a!a "i&$!aka! kelopok t$!& $!t$k e! "$k$!& setir telapak kola se%ara i!"i+i"$al Mari!a asira kelopok ta!a "ita!%a!& $!t$k eik$l beba! 66 I!i %$k$p aa! "i ba#ah kea"aa! Na$!' pa"a ke(a"i toh a! )a!& (ara!&' beha! "apat e!%apai 366 tot. I!i!)$r po!"asi i!&i! e!ertah$i probabilita pok "apat eik$l beba! tk$tti sapai 366 to! Ber"asarka! pe!&alaa! sebel$!)a "e! po!"ari tia!& pa!%a!& )a!& ser$pa' )a!& "i le!&kapi
"e!&a! perhir$sa! p$k$la! "a! pr!ralia! ta!ah' i!si!)$r te!eb$t e!ak$t pro "i a!tara kel a!e kiira!& /!t$k t kelopok til tit$takhirka! (a"i 6' hal i!i kitaber$t$ "i a%ak *ra!' a%ak ti"ak robabilitas A' aka a"alah Kita "apat t$' e!& ar' aka eh kare!a p $ata! babilitas proba "e!&a! ra!%a!& ke(a"i. abilitas )a!& "i sir pro 3. ILM/PRORABILITAS 53 MATEMATIKA babilitas sebesar bah#a kelopok tia!& pa!%a!& a!ap$! "apat eik$l 36o to!. 8$&a "i a!tara kelopok )a!& kapasitas! k$ra!E "ari 366 to!' 56 aka! &a&al pa"a beba! beto! )a!& k$ra!& "ari ;6 to! /!t$k e!)ep$r!aka! probabilitas )a!& "itaksir' i!si!)$r po!"asi ta"i ee kelopok tia!& )a!& aka! "i$(i "e!&a! beba! ;6 to!' lika pok tia!& i!i lolos "ari per aka kelopok i!i $!t$k eik$l beba! 366 $takhirka! seba&ai berik$t. Misalka! peristi#a bah#a kapasitas kelopok tia!& 366 to! peristi#a berbasil!)a per%obaa! pebeba!a!. Maka e!$r$t i!-orasi )a!& "iberika! "i atas' POT o 5' "a! PA, 6'6' "a! (elaslah bah#a P*TIA, 1.6. Teorea Ba)es "e!&a! "eikia! eberika! POT ,POA, POM T, *1.66, *616, 6'; 6666'61 sehi!&&a' (ika $(i pebeba!a! berhasil' probabilitas )a!& "is)aratka! aka! !aik "ari 6'6 e!. (a"i 6'; ONTO2 .36 A&re&at $!t$k perkerasa! (ala! ra)a "iperoleh "ari loba!& s$ber kerikil *&ra+el pit, Ber"asarka! pe!&alaa! "e!&a! baha! "ari "aerah i!i' "iketah$i bah#a probabilitas!)a a"alah PO:, POa&re&at ber$t$ baik, 6'6 P *a&re&at ber$t$ b$r$k, 6'36 A&ar "apat e!)ep$r!aka! i!-ora a#al i!i' seara!& i!si!)$r e!&$(i s$at$ %o!toh a&re&at. Na$!' eto"e pe!&$(ia! ti"ak "apat "ia!"alka! sepe!$h!)a probabilitas bah#a a&re&at ber$t$ sep$r!a aka! lolos pe!&$(ia! a"alah se"a!&ka! a&re&at ber$t$ b$r$k a"alah 16 :$!aka!lah Ti $!t$k e!)ataka! peristi#a bah#a s$at$ sapel lolos "ari $(i %oba' Maka "ari $ii %oba' probabilitas telah "i$takhirka! e!(a"i (ika sapel
terseb$t ses$!&&$h!)a lo PO: T, *6';,*6', *6';,*6', *6'1,*63, sehi!&&a' "e!&a! hasil pe!&$(ia! )a!& positi-' probabilitas "ari a&re&at ber$t$ baik "i!aikka! se%ara si&!i-ika! "ari 6 ke F57 sat$ sapel $i' sehi!&&a sapel Misalka!lah bah#a i!si!)$r ti"ak p$as h$!)a "e!&a! lai! "i$(i. 8ika sapel tabaha! i!i ($&a lolos "ari per%obaa!' probabilitas!)a "i$t lebih (a$h seba&ai berik$t POT' :OP*:, PO: T, *6';666F5, 6'FF3 *6';,*6'F3, *6'l,*6.65, Pe$takhira! *$p"ati!&, i!i "ilak$ka! se%ara ber$r$ta!' Pe$takhira! ($ "apat "ilak$ka! "ala s$at$ la!&kah t$!&&al "e!&a! e!&&$!aka! "$a per%obaa! se%ara bersaaa!. Dala hal i!i' kita "apatka!5 KONSEAKONSEP DASAR PRORABILITAS )s!e ielas saa "e!ra! hasil )a!& "iproteh e%ara ter$r$ta! "i atas. ?et raia!a )a!& . KESIMP/LAN Dala bab i!i' kita epela(ari bah#a asalh abilitas elibatka! pe!e!t$a! probiti litas s$at$ peristi#a "ala s$at$ hip$!a! )a!& sep$a "ari probabilitas *ita$ !ia!& k $!&ki!a!,. A"a "$a hal )a!& sa!&at pe!ti!& "ala "a! pe!)elesaia! asala' sea%a it$ *l, r$a!& pe!$$sa! "ati "i "ala !a!& i!i "a! *, perhit$!&a! probabilitas peristi#a te!eb$t. Disar ateatika )a!& tele!t "a! $!t$k i!i a"alah teori p$!a! "a! teori probabilitas Dala bah i!i' elee!elee! "asar "ari ke"$a teori i!i "ikeba!&ka! se%ara elee!ter "a! !o!abstrak' ber ik$t %o!tob%o!toh -isis 8ika "i"e-i!isika! "ala ko!teks hip$!a!' peristi#a peristi#a "apat "ikobi!asaa! $!t$k eperoleh periti+a lai! elal$i at$ra! opera$l "ari hip$!a! "a! Ribh ti#a "asar!)a' i!" e!%ak$p &ab$!&a! *$!io!, "a! perpoto!ea! "ari "$a peris lebih trra!$k De!&a! %ara ser$pa' operati "ari te!ti probabilitas e!)a(ika! "asar $!t$k h$b$!&a! h$b$!&a! "e"$kti- "i a!tara probabilitas probabilitas "ari periti#a terte!t$ kh$s$s!)a' i!i ter"iri !sti#a )a!& berbe"a "i "ala r$a!& prohahilii rea probabilita! total "a! "ari a!a!$ patabaha! *a""itio! !$le,.
at$ra! perkal$!' teo teorea Br)er. Pa"a hakekat!)a' ko!sep ko!sep )a!& "ikeba!&ka! "i "ala bab i!i ebe!t$k "asar "asar probabilitas terpakai. Dala Bab 3 "a! ' alatalat a!alitis tabaha! aka! "kehe!e ka! ber"asarka! ko!sep ko!sep "asar i!i. so AL SOAL Pasal "a! . 1 )a!& a!eki! "ari ti&a perletaka! (ebata! )a!a "iperlihatka! "ala :ht r1 a"alah seba&ai berik$t t$p$aa A i!%i' 1 i!%i' i!%i. t$p$a! B 6 i!%i' i!%i. t$p$a! 6 i!%i' 1 i!%i' i!%i *a Te!t$ka!lah r$a!& sapel )a!& eberika! se$a pe$r$!a! Ta!& $!&ki! " tio t$p$as' isal!)a 6' , berarti e!$r$! 1 i!%i' B e!$ria o i!"i' "a! % e !$r$ti i!%i *b, lika E a"alah perati+a pe!$r$!a! "i-erra sial i!%i a!tara "$a hip$!a! )a!a her "ekata!' te!t$ka!lah tita!titik sapel "ari E 11 :abar P. eperlihatka! #aat$ 8ari!&a! (ala!(ala! ra). e!$t$t$!aka! kota *al r$a!t *sapel spa%e, )a!& eberika! se$a !ate )a!& ati ki! a!tara kota "a! kota priale!as )a!& i!aki! a!tara "$a kota )a!& "it$t$s$ka! perti )a!& "isa(ika! "ala! :br P ke F. +akt$#akt$ perialasa! )a!& i! a"alah 3. . s ia Berapakah #$kt$ pesala!a! )a!a $!aki! :al 1)a!& probabi a!& ke "i "ala !& rele+a! trak' ber p$!a!' $a peris !at$ra! "i a!tara babilitas k "asar ba!& r' P.1 ri ti&a & ber kota !tara ' KESIMP/LAN 55 1 "a! F elal$i r$te. D F9 Ba&aia!a (ika elal$i D *4, *;, *F,9 #akt$ peri!ia!a! +a!& $!&ki! iebata! :abar P.1 :abar P. .3 seb$ah ba!&$!a! apartee! )a!& ber$k$ra! "e!ah "apat "iba&i e!(a"i $!it $!it "e!&a! ata$ kobi!asi!)a *:br. P.3,. 8ika $!it$!it "e!&a! 1 ka$r ti"$r & ber$k$ra! 4 4 4 ' )a!& berkaar ber$k$ra! 1 . "a! )a!& berkaar ti"$r 3 ber$k$ra! 4 > 14 ' ba&aia!akah ba!&$!a! terseb$t "apat "iba&i ba&i e!(a"i $!it$!it "e!&a! tipe berkaar sat$ ata$ lebih9 4 :abar P3. ' s$at$ ka!to!& belok ka!a! sepa!(a!& 46 -t "ire!%a!aka! pa"a s$at$
persipa!&a! (ala!. Misalka!lah bah#a ha!)a a"a "$a (e!is ke!"araa! )a!& aka! e!&&$!aka!!)a tipe A aka! e!epati 15 -t "ari ka!to!&' se"a!&ka! tipe B 36 -t. *a, Te!t$ka!lah se$a kobi!asi )a!& $!&ki! "ari tipe A "a! B )a!& e!$!&&$ ke sepata! belok ka!a! "ari ka!to!&. *b, Kelopokka!lah ke$!&ki!a! ke$!&ki!a! i!i ke "ala peristi#a 1' ' 3 "a! ke!"araa! )a!& e!$!&&$ $!t$k belok ke ka!a!' '5 A!&i! ke!%a!& pa"a s$at$ lokasi terte!t$ boleh (a"i "ata!& "ari arah a!a sa(a "i atitara ti$r *6 "a! $tara *6 F6 Se$a !ilai "ari ke%epata! a!&i! + a"alah $!&ki!' *a, :abarka!lah sketsa "ari r$a!& sapel $!t$k ke%epata! a!&i! "a! arah!)a. *b, Diketah$i A H 6 ph, B ph s 36 ph, s 36 Te!t$ka!lah peristi#a peristi#a A' B' "a! A "ala r$a!& sapel "ala sketsa *a, *%, :$!aka!lah sketsa sketsa bar$ $!t$k e!&e!ali peristi#a peristi#a berik$t @ A ! B ! *", Apakah peristi#a D "a! E sali!& ekskl$si-9 Ba&aia!a e!&e!ai peristi#a "a! 9 .4 Nilai!ilai )a!& $!&ki! "ari ti!&&i air 2' relati- terha"ap ti!&&i p$rata $ka air' pa"a asi!&asi!& "$a s$!&ai A "a!
B
a"alah
seba&ai
NONSERKONSEPDASAR
berik$t
*"ala
PROMABILITAS
eter, a$lah
3'
'
1.6'
s$!&ai
1'
"a!
'
3'
44
"e-i!isika!
+e!ti#aperisti#a berik$ti ! a pasa!&a! pasa!&a! "ari peristi#a peristi#a )a!& sali!& ekskl$tit a!tara !' "a! *b, Pa"a asi!& asi!& s$!&ai' t i- !oral' N s i! Keara$' D :$!aka! pasa!&a! *MA' NA, )a!& "i$!t $!t$k e!&i"e!ti-ikasi titiktitik sapel )a!& e!&h$b$!&ka! asi!&asi!& ti!&$i $ka air bersaa "ala A "a! Mi "ei titik sapel e!e!t$ka! ko!"isi hA a "a! AB I se%ara si$lta! Te!t$ka!lah titik $!t$k peristi#a peristi#a . /r$ta! "ari keriata!ke&iata! $ta!a "ala pelaksa!aa! ko!str$ksi "ari "$a str$kt$r "iper. lihatka! "i "ala :br P. Pelaksa!aa! str$kt$r str$kt$r ati! "a! "apat "i$lai se setelah po!"asi bersaa *&ab$!&a!, "iselesaika!
#akt$ )a!& $!&ki! "ari pe!)elesaia! $!t$k asi!&asi!& tahap pelaksa!aa! " t$!($kka! "ala :br. 1' isal!)a' tahap po!"asi "apat eaka! #akt$ 5 ata$ T$liska! kobi!asi kobi!asi )a!& $!&ki! "ari #akt$ $!t$k asi!&a>i!& tahap "ari pro)ek $!t$k po!"asi' sal!)a' *1' 3' 4, e!)ataka! peristi#a bah#a "ib$t$hka! 5 b$la! Berapakah #akt$ b$la! $!t$k str$kt$r atas M' "a! 4 b$la! $!t$k str$kt$r atas B. str$kt$r salat toral )a!& $!&ki! $!t$k str$kt$r A sa(a9 Da! $!t$k *e, Berapakah #akt$ #akt$ pe!)elesaia! total )a!& $!&ki! $!t$k pro)ek *", 8ika probabilitaa "ala ba&ia! *a, ep$!)ai pel$a!& )a!& saa $!t$k tera"i' bera pakah probabilitas!)a bah#a pro)ek sele!&kap!)a aka! "iselesaika! "ala 16 b$la!9 ass :abar P :abar .; seb$ah ta!&ki !"er "i&$!aka! $!t$k e!)ipa! air $!t$k s$at$ kota *:br' P.;,. Pe!&a"aa! air ti"ak sepe!$h!)a "apat "iraalka!. Dala sat$ hari air at$k se%ara e ke$!&ki!a!!)a $!t$k e!&isi 4 rata ' ata$ ; rt "ari ta!&ki. Peri!taa! aka! air ($&a ber+ariari' "a! $!&ki! *"e!&a! ke$!&ki!a! )a!& erata, eerl$ka! se($lah air )a!& eki+ale! "e!&a! 5. 4' ata$ -t ir "ala ta!&ki' !erapakah kobi!asi )a!& ki! "ari air "a! ke l$ar "ala sat$ hari9 De!&a! e!&as$sika! as$k that' bah#a ti!&&i $ka air "ala ta!&ki a"alah -t pa"a pa&i herapakah ti!&&i $ka air )a!& t$!&ki! "ala ta!&ki pa"a ala hari B rapakah proba bah#a aka! a"a pali!& ti"ak It air terti!&&al "ala ta!&ki pa"a ala hari9 Pasal 'F S$at *k 6'61 hi!& 16 S$at beba beba *e, *e,ekskl$si- a!tara ik sapel )a!& "e!&a! "ei !t$ka!lah titik str$kt$r "iper. pat "i$lai se. elaksa!aa! "i akt$ 5 ata$ asi!& tahap hka! 5 b$la! $kt$r atas B. Da! $!t$k ter(a"i' bera 16 b$la!9 ki sili!"er br. P.;, e%ara e a! air ($&a h air )a!& pa"a pa&i hari9 Be !&ki pa"a .' KESIMP/LAN 5 Pasal 'F s$at$ setasi$! peba!&kit te!a&a listrik ep$!)ai "$a $!it esi! peba!&kit' )a!& "i
oori 1 "a! . Kare!a peeliharaa! "a! ker$saka! )a!& ka"a!&ka"a!& ter(a"i pa"a e si!' aka probabilitas "ala sat$ i!&&$ terte!t$ "ari ti"ak beker(a!)a esi! No 1 "a! *ke"$a peristi#a peristi#a i!i "i!)ataka! "e!&a! EI "a! E1, asi!&asi!& a"alah 6.61 "a! 6'6. Selaa s$at$ i!&&$ "i $si pa!as a"a probabilitas sebesar 167 bah#a %$a%a aka! sa!&at pa!as *kataka!lah s$h$ ratarata Rs @. peristi#a i!i "i!)ataka hi!&&a peri!taa! aka! te!a&a listrik $!t$k air %o!"itio!i!& aka! !aik "e!&a! e!)ol Prestasi ke!a peba!&kit te!a&a listrik it$ "ari se&i keap$a!!)a )a!& pote!sial $!t$k ee!$hi peri!taa! "ala s$at$ i!&&$ terte!t$ "apat "i&olo!&k *i e$aska! *satis-a%tor), s' (ika ke"$a $!it beker(a "a! teperat$r rata rata bera"a "i ba#ah ;5 @ *ii sisi Ar (ika sat$ "ari ke"$a $!it ti"ak beke!a "a! s$h$ ra tarata "i atas ;5 @ iii, ti"ak e$aska! /' $!t$k hal lai!!)a Misalka! 2. Et' "a! E a"alah batas statistik *a, Te!t$ka!lah peristi#a peristi#a s M' "a! # "i "ala 2 EI "a! E *b, probabilitas!)a bah#a epat sat$ e!i! aka! ti"ak beker(a "ala s$at$ i!&&$ terte!t$9 *%, 2it$!&lah Pos)' POAD' "a! P$!. 16 balok e!&a!($r *ko!tie+er) ep$!)ai "$a kaita! "i a!a "apat "i&a!t$!&ka! beba! "a! *:br' P'16,. Ter"apat probabilitas ter&a!t$!& beba! ata$ ti"ak a"a beba! saa sekali pa"a asi!&asi!& kaita!. /!t$k era!%a!& balok i!i' seora!& i!si!)$r perl$ e!%ari oe! (epit pa"a A' )ait$ M *a Berapakah se$a !ilai )a!& $!&ki! "ari MA9 *b, Misalka! E1 e!)ataka! peristi#a bah#a MA 466 lb-t Ea e!)ataka! peristi#a bah#a 66 MA ;6 Apakah peristi#a peristi#a Et "a! E! sali!& ekskl$si-9 Ke!apa9 *%, Apakah peristi#a peristi#a E1 "a! E1 sali!& ekskl$si-9 Di a!a E' 16' 166. 66 *", De!&a! i!-orasi berik$t Probabilitas bah#a beba! D e!&&a!t$!& pa"a B 6' Probabilitas bah#a beba! D e!&&a!t$!& pa"a 6' Probabilitas bah#a beba! e!&&a!t$!& pa"a B 6'3
Probabilitas bah#a beba! * e!&&a!t$!& pa"a % 6'5 Berapakah probabilitas )a!& berkaita! "e!&a! asi!&asi!& titik sapel "ala ba&i a! *a,9 As$sika! bah#a lokasi "ari beba! D ti"ak epe!&ar$hi probabilitas "ari lokasi beba! *6 *e, Te!t$ka! probabilitas "ari peristi#a periti#a berik$t :abar P.165; KONSEPKONSEP D$stR PRORARILIT PRORARILITAS AS 11 11 Dala pr ko!str$ksi ko!str$ksi s$at$ ba!&$!a!' pe!)elesaia! ba!&$!a! eer eerl$k l$ka! a! pe!)e pe!)eles lesai. ai. a! se"er se"ereta eta! ! ke&ia ke&iata! ta! )a!& )a!& ber$ ber$!$t !$ta! a!.. De-i! De-i!isi isika ka!la !lah h pe!&&alia! )a!& selesai tepat pa"a #akt$!)a "a! PE, 6'; po!"asi )a!& selesai tepat pa"a #akt$!)a "a! PIE, o '13 Pet ba!&$!a! atas )a!& selesai pa"a #akt$!)a. "a! Posa & A!&&aplah bah#a ter"apat ter"apat kebebasa! kebebasa! statistik "i a!tara peristi#aperist peristi#aperisti#a i#a i!i *a, De-i!isika!lah peristi#a tpro)ek selesai pa"a #akt$!)a, "i "ala E' @ "a! s. 2it$!& *b, h probabilitas "ari pe!)elesaia! )a!& tepat pa"a #akt$!)a. De-i!isika!' "i "ala @ "a! s "a! peristi#a berik$t pe!&&alia! aka! tepat pa"a #akt$!)a "a! pali!& ti"ak sat$ "i a!tara ke"$a operasi lai!!)a aka! ti"ak tepat "ala #akt$!)a. 2it$!&lah PO:, *e, Te!t$ka!lah peristi#a 2 ha!)a sat$ "ari ti&a operasi aka! tepat pa"a #akt$!)a. 1 Libah "ari s$at$ pabrik i!"$stri e!&alai perosesa! sebel$ "ib$a!& ke alira! )a!& bera"a "i sekitar Perosesa! ter"iri "ari ti&a tahap' )ait$ prier sek$!"er "a! ter!ier ter!ier *:br *:br. P.1,' P.1,' Perose Perosesa! sa! prier prier "apat "apat "ikelask "ikelaska! a! seba&ai seba&ai baik baik *:I,' *:I,' ti"ak ti"ak le!&kap ata$ b$r$k *@I,. Proses sek$!"er "ikelaska! seba&ai baik *:a,' ata$ b$r$k *@a, *@a,'' "a! "a! )a!& )a!& ters tersie ierr seba seba&a &aii baik baik *:', *:', ata$ ata$ b$r$ b$r$k k *@S, *@S,.. Misa Misalk lka! a!la lah h bah# bah#a a pe!&kelasa! "ala asi!&. asi!& proses a"alah saa pel$a!& ter(a"i!)a *isal!)a' proses prier berpel$a!& )a!& saa $!t$k baik' ti"ak le!&kap ata$ b$r$k,. Selai! it$' pe!api pe!apila! la! "ari "ari keti&a keti&a ti!&kata ti!&kata proses a"alah bebas statisti statistik k sat$ saa lai!. lai!. *a, Berapak Berapakah ah kobi!as kobi!asii pe!&ke pe!&kelasa lasa! ! )a!& $!&ki! $!&ki! "ari "ari keti&a keti&a tahapa! tahapa! proses proses ters
*isal!)a' :h. @. :3 e!)ataka! s$at$ kobi!asi "i a!a prier "a! tertier a"alah baik' !a$! )a!& ke"$a b$r$k,. Berapakah probabilitas "ari asi!&asi!& kobi!a si *ata$ *ata$ titikti titiktitik tik %o!toh, %o!toh, i!i9 *b, Misalka Misalka!lah !lah bah#a bah#a peristi# peristi#a a "ari proses proses total total )a!& )a!& e$as e$aska ka! ! eer eerl$k l$ka! a! pali! pali!& & *%, ti"ak ti"ak "$a "$a ti!&k ti!&kata ata! ! "ari "ari prose proses s )a!& )a!& baik. baik. Berapakah probabilitas "ari peristi#a i! Misalka!lah proses prier )a!& baik *b E1 proses sek$!"er )a!& baik proses terser )a!& baik Te!t$ka!lah POE,' POE E,' P*EE' Libah Sek $!"er Te!ierpe!)elesai. s. 2it$!& berik$t tara ke"$a ira! )a!& a! tersier &kap *11, "a! )a!& asi!& a!& )a!& ti!&kata! terseb$t9 er a"alah kobi!a *", Te!t$ka!lah "ala E1' E!' E> .' KESIMP/LAN 5F "e-i!isika! "ala *b,. peristi#a "ari proses total )a!& e$aska! seperti "i *Pet$!($kt E1 er$paka! ba&ia! "ari perist #a i!i) .13 pe!apa!& eli!ta!& "a! s$!&ai B' "a! perlihatka! "ala :br P.13 "a! ti!&&i ba!(ir A "a! B atas per$kaa! alira! a"alah Ti!&&i ba!(ir pa"a A *-t, Probabilitas Probabilitas Ti!&&i ba!(ir pa"a B Probabilitas Probabilitas 6'6 Misalka!lah Misalka!lah bah#a ke%epata! ke%epata! alira! 2' B' "a! a"alah saa. Berapakah probabilitas!)a bah#a ba!(ir pa"a % aka! lebih ti! "ari 4 -t "i atas ti!&&i per$kaa!9 As$sika!lah bah#a ti!&&i ba!(ir pa"a A "a! B a"alah bebas statistik.8a#ab 6'3. ' :abar P.1 a"alah &abar "ari hasilhasil per%obaa! )a!& eperlihatka! ti!&kat pe a"ata! "ari lapisa! ta!ah terha"ap $$r perkerasa! L Te!t$ka!lah )a!& berik$t i!i. *a, P*6 L s 6 o *b, POL 6 s F5, *%, P*L 6 6 s F5, *", P*L 36 a!" 6, 8$lah total titiktitik "ata' ! 166 Ti!&kat Pea"ata!' N %BR :abar P.15 :abar P.2 .15 sisti (ala! ra)a a!tara "$a kota A "a! B "it$!($kka! "it$!($kka! "ala :br' :br' P.15. Petiala!a! Petiala!a! a!tara A "a! B selaa b$la!b$la! $si
"i!&i!
ti"ak
selal$
$!&ki!
kare!a
seba&ia!
"ari
(ala!46
KONSEPKONSEPDASAR PROBABILITAS boleh (a"i tert$t$p $!t$k lal$ li!tas akibat
ko!"i!i %$a%a )a!& sa!&at (elek' Misalka!lah Misalka!lah peristi#a peristi#a "i a!a (ala! AB. AB. A' "a! 2 "ib$ka bert$r$tt$r$t a"alah E!' E Pa"a s$at$ hari terte!t$' isalka!lah bah#a P*E, 15 POEal E' =5 POE, 3= POE' 1= P*Es, =3 *a, Berapakah probabilitas probabilitas bah#a seora!& pela!%o!& aka! "apat beper&ia! "ari A ke a (ika "ia har$s elal$i kota h 8atarb 6'4 :b, Berapakah probabilitat bah#a "ia aka! "apat e!%apai kota B91atoab 6. *%, R$te a!akah )a!& ha "i%oba!)a terlebih "ah$l$ $!t$k eb$at pel$a!&!)a $!t$k e!%apai B. aksi$ .14 Seora!& ko!traktor eas$kka! pe!a#ara! te!"er $!t$k $!t$k pekeria pekeriaa! a! A "a! B. Probabi Probabilita lita bah#a bah#a "ia aka! aka! ee!a! ee!a!&ka &ka! ! pekeria pekeriaa! a! A a"al a"alah ah PA, PA, t "a! "a! peke pekera raa! a! B sebe sebesa sarr P*B, P*B, *a, *a, De!& De!&a! a! e!& e!&a! a!&& &&ap ap bah# bah#a a pee!a!& peker(aa! A "a! B er$paka! "$a peristi )a!& bebas' b probabilitas bah#a ko!trakt ko!traktor or aka! aka! ee!a! ee!a!&ka! &ka! pali!& pali!& ti"ak ti"ak sat$ peker(a peker(aa!9 a!9 *b, Beer probabi probabilita litas s ko!trakt ko!traktor or aka! aka! e!"apa e!"apatka! tka! peketia peketiaa! a! A setelah setelah ee!a! ee!a!&ka! &ka! pali!& pali!& ti"ak ti"ak sat$ sat$ peke peker( r(aa aa!9 !9 8ika 8ika "ia "ia ($&a ($&a ea eas$ s$kk kka! a! pe!a pe!a#a #ara ra! ! $!t$ $!t$k k peke peker( r(aa aa! ! % "e!& "e!&a! a! probabil probabilitas itas $!t$k $!t$k pali!& pali!& ti"ak ti"ak sat$ PO T' berapak berapakah ah probabil probabilitas itas bah#a bah#a ia aka! aka! e!"apa e!"apatka! tka! peker(a peker(aa!9 a!9 Sekali Sekali la&i isalka! isalka!lah lah bah#a bah#a A' B' "a! a"alah a"alah beb$s beb$s statisti statistik. k. Berapaka Berapakah h probabi probabilitas litas bah#a bah#a ko!trak ko!traktor tor it$ ti"ak ti"ak aka! aka! e!"ap e!"apatka atka! ! pe keriaa! saa sekali .! Kota 1 "a! "ih$b$!&ka! oleh r$te A' "a! kota "a! 3 "e!&a! r$te B *ihat :br. P.1 )ataka!lah (al$r arah ti$r seba&ai A' "a! BI "a! (al$r (al$r arah barat barat "e!&a! A1 "a! :abar P.1 P.1 Misalka!lah Misalka!lah bah#a sat$ sat$ (al$r "ala r$te A ti"ak aka! eerl$ka! eerl$ka! perbaika! perbaika! berat $!t$k pali!& ti"ak selaa tah$!' ep$!)ai probabilitas F67< "a! probabilitas )a!& *)a!& ser$pa, $!t$k s$at$ (al$r "ala "ala r$te r$te B ha!) ha!)al alah ah ;67 ;67 ) Te!t$ e!t$ka ka!l !la ah prob probab abil ilit itas as bah#a ah#a r$te r$te A aka! ka! eb$t$hka! perbaika! berat "ala tah$! berik$t!)a. 8$&a te!t$ka! probabilitas
$!t$k r$te B' Misalka!lah bah#a (ika salah sat$ (al$r "ari s$at$ r$te eerl$ka! perbaika!' aka pel$a!& b (al$r lai!!)a ($&a eerl$ka! perbaika! ep$!)ai probabi litas )a!& 3 kali besar!)a "ari probabilitas )a!& 6'1 6'; *b, De!&a! e!&as$sika! bah#a keb$t$ha! $!t$k perbaika! "ala r$te A "a! B a"alah bebas sat$ saa lai!' berapakah probabilitas bah#a (ala! a!tara kota 1 "a! 3 aka! eb$t$hka! perbaika! berat "ala "$a tah$!9 8a$ab 6' .1; siste p. sal$ra! ) 8$lah -aktor a! "i "ala /!t$k "a! as$ri Pe!&ri 8$&a' P Mis pe!&iri! bilitas a .1F Wakt$ *C$arr) berik$telek' Misalka!lah it a"alah Ei' E ia! "ari A ke B o$at pel$a!&!)a obabilitas sebesar & ti"ak setelah $!t$k ka! $ bebas ka! pe P.1,' i! A "a! balka! berat abilitas )a!& berat "ala perbaika!' )ai probabi e A "a! B ota 1 "a! 3 ' is Siste ' KESIMP/LAN 41 sal$ra! pe!&a"aa! air $!t$k s$at$ kota ter"iri "a! at$ ta!&ki "a! sat$ pipa 8$lah )a!& e!&alirka! air "ari s$at$ #a"$k "i saatta tepat )a!& (a$h -aktor air )a!& terse"ia "ari #a"$k a"alah ber+ariasi ter&a!t$!& pa"a bera%aa%a "i a!tara lai! %$rah h$(a! "ala "aerah alira! Akibat!)a' ($lah air )a!& tertap$!& "ala ta!&ki ($&a aka! ber+ariasi. Peakaia! air ($&a sa!&at ber-l$kt$asi.
Pipa
pe!)ipa!a!
:abar
P.1;
/!t$k
e!)e"erha!aka!
perasalaha!!)a' !)ataka!lah A air )a!& terse"ia "ari #a"$k a"alah re!"ah B air )a!& tersipa! "ala ta!&ki a"alah se"ikit ti!&kat peakaia! air a"alah re!"ah "a! as$sika!lah bah#a POA, 67 P*B, 157 567 Pe!&iria! air "ari #a"$k "iat$r seperl$!)a $!t$k ee!$hi keb$t$ha!' sehi!&&a Pla I , s POpe!&iria! #a"$k ti!&&i peakaia! ti!&&i, 57 8$&a' POB A, 567 se"a!&ka! ($lah air )a!& "isipa! ti"ak ter&a!t$!& "ari keb$t$h a! Misalka!lah bah#a kek$ra!&a! air aka! tera"i bila keb$t$ha! a"alah ti!&&i' "a! pe!&iria! "ari #a"$ se"ikit ata$ air )a!& tersipa!
a"alah se"ikit. Berapakah proba bilitas a"a!)a kek$ra!&a! air9 As$sika! bah#a 6'5 .1F Wakt$ T *"ala e!it, )a!& "iperl$ka! $!t$k e$at bat$bat$ pe%ah "ari taba!& bat$ *C$arr), ke "ala tr$k sa!&at ber+ariasi. Dari pe!%atata! ; pe$ata!' "iaati "ata )a!& berik$t i!i. #akt$ $at T 8$lah pe!&aata! te!it, Total ;4 KONSEPKONSEPDASAR PROBABILITAS *a :abarka!lah histo&ra $!t$k "ata t!ik "ata probabilitas!)a bah#a #akt$ $at T $!t$k s$at$ pali!& ti"ak b, o, Berapakah probabilitas!)a bah#a #akt$ total $!t$k e$at tr$k )a!& ber$r$ta! aka! lebih ke%il "ari 4 e!it9 As$sika!lah bah#a #akt$#akt$ $at $!t$k "$a *", A&ar )a!& a!a sa(a a"alah bebas statistik' e!"apatka! pe!aksira! )a!& ko!ser+ati- "ala #akt$ $at' "iisalka! bah#a kah t$ eb$t$hka! pali!& ti"ak e!it< atas peisala! berapa. probabilitas!)a bah#a #akt$ $at $!t$k s$at$ tr$k aka! lebih ke%il "ari e!it9 .6 Di!"i!& pe!aha! &ra+itas boleh (a"i r$!t$h akibat "ari pe!&&eli!%ira! *, ata$ pe!& E$li!&a! akibat "ari ke"$a"$a!)a *:br. P.6,. Misalka! bah#a li, Probabilitas "ari ker$!t$ha! &eli!%ir a"alah "$a kali "ari probabilitas &$li!&' P*i, *i, Probabilitas bah#a "i!"i!& ($&a r$!t$h akibat &eli!%ir' setelah ter(a"i!)a ker$!t$h *ii a"alah B Probabilitas r$!t$h!)a "i!"i!& *a, Te!t$ka!lah 16 aka! ter(a"i. 8a#ab *b, probabilitas &eli!%ir 8ika "i!"i!& r$!t$h' berapakah probabilitas bah#a ha!)a ket$!t$ha! &eli!%ir )a!& .1 D$a kabel "i&$!aka! $!t$k e!&a!&kat beba! *:br' P.1,' Na$!' $$!)a beba! ha!)a "ipik$l oleh kabel kabel B se"ikit lebih pa!(a!& "ari kabel A' sehi!&&a $$!)a ti"ak ik$t eik$l beba!. 8ika kabel A p$t$s' aka kabel B har$s eik$l beba! se pe!$h!)a' sapai "e!&a! "i&a!ti!)a kabel A Probabilitas p$t$s!)a kabel A a"alah 6'6< ($&a probabilitas p$t$s!)a kabel B (ilka har$s se!"iria! eik$l beba! a"alah 6'36. *b, Berapakah probabilitas *ke$!&ki!a!,!)a bah#a ke"$a kabel
aka! p$t$s9 8ika beba! tetap tera!&kat' berapakah probabilitas!)a bah#a ti"ak a"a kabel )a!& Pe!&&$li!&a! Pe!&is Di!"i!& Pe!&&eli!%ira! :abar P.6 Bat$a! :abar P.1 . Pera!%a!&a! pe!"ah$l$a! "ari s$at$ (ebata! )a!& ebe!ta!& "i atas s$at$ s$!&ai ter"iri "ari epat balok &ala!& *&ir"et "a! ti&a tia!& "era&a seperti terlihat "ala :br' P.. Dari pe!i!(a$a! pebeba!a! "a! kapasitas taha! "ari setiap elee! str$k t$r' "iperoleh bah#a probabilitas r$!t$h!)a asi!&asi!& balok a"alah 16 "a! asi!& asi!& "era&a 16 Misalka!lah bah#a ker$!t$ha! balok "a! "era&a a"alah bebas se%ara statistik. Te!t$ka!lahi Probabilitas ker$!t$ha! "i "ala balok*.balok, b, Probabilitas ker$!t$ha! "i "ala "era&a*"era&a, *e, Probabilitas ker$!t$ha! "i "ala siste (ebata!. .3 Kota )ar air )a!& "ala sa erah &e )a!& ba!(ir !a *a, Bera *b, Be! te!tt *e, 1ika kah . Dari s$a "i a!ta ko!se!t *a, Bet *%, Mis *", As !a .5 Kopo te$ka 6'1 oleh kopot$k s$at$ ber$r$ta! !t$k "$a a! bah#a i' berapa "ari a$ pe!&. &$li!& %r$!t$h %ir )a!& a beba! $!)a ba! se l B (ika! l )a!& ala si!& ebas .' KESIMP/LAN 43 :abar P. Kota )a!& terlihat "ala :br. P.3 "ili!"$!&i terha"ap b air )a!& "ira!%a!& $!t$k ba!(ir 56 tah$! )ak!i' bah#a probabilitas el$ap!)a air "ala sat$ tah$! a"alah 1=56 ata$ 6.6' Kota "a! #a"$k ai "itepatka! "ala t$at$ "a erah &epa )a!& akti- setiap tah$!' ke$!&ki!a! tet(a"i!)a &epa )a!& er$sak a"alah Selaa ter(a"i!)a &epa )a!& "eikia!' a"alah $!&ki! 6 bah#a "a aka! r$sak a!& e!ib$lka! pel$apa! air atas kota. Misalka!lah bah#a ke(a"ia!ke(a"ia! "ari ba!(ir "a! &epa a"alah bebas se%ara statistik. Berapakah "ari ba!(ir akibat &epa "i "ala sat$ tah$!9 *b, Berapakah probabilitas bahh#a kota a"alah bebas "ari ba!iir "ala #$at$ ta te!t$9 *%, 8ika ke(a"ia! "ari s$at$ &epa "iisalka! teria"i "ala s$at$ tah$! terte!t$' be kah
probabilitas bah#a kota aka! e!&alai ba!(ir "ala tah$! terseb$t9 Wa"$k air :abar P.3 ' Dari s$at$ pe!elitia! "ari 1666 siste pipa air "i Aerika Serikat' "ilaporka! bah#a 15 "i a!tara!)a e!&alai ko!tai!asi bakteti sa(a' se"a!&ka! 5 la&i ep$!)ai "era(at ko!se!trasi )a!& berlebiha! "ala pl$b$ "a! "i a!tara!)a ($&a e!&a!"$!& bakteri. *a, Berapakah probabilitas s$at$ siste pipa )a!& "iabil se%ara a%ak aka! e!&a!"$!& bakteri9 8a#ab 6'61 *b, probabilitas bah#a s$at$ siste pipa )a!& "iabil se%ara a%ak aka! e!& alai ko!tai!asi9 8a#ab 6'6 *%, Misalka!lah bah#a s$at$ siste pipa "ite$ka! e!&a!"$!& bakteri. Ber pr babilitas bah#a ko!se!trasi berlebiha!9 *", As$sika!lah bah#a probabilitas "ari ko!tai!asi )a!& "ihit$!& sekara!& "ala b$tir *b, ti"ak e$aska!' "a! "i$s$lka! bah#a i!i ti"ak boleh bakteri' 6'61. A!"aika! p$la bah#a a"alah s$kar $!t$k e!&e!"alika!
ko!tai!asi
Be
!a$!
a"alah
$!&ki!
$!t$k
e!$r$!ka!
ke%e!"er$!&a! ko!tai!asi bakteri tapakah sehar$s!)a probabilitas "ari ko!tai!asi bakteri )a!& "ii(i!ka!9 Misalka!lah bah#a !ilai "ari probabilitas bers)arat "ala b$tir *%, asih berlak$. 8a#ab 6'6654 .5 Kopo!e! str$kt$r seperti terlihat "ala :bt' P.5 ep$!)ai pe!&elasa! )a "i "iperiksa terha"ap ke$!&ki!a! retak. Dari pe!&alaa!' "iperoleh bah#a pel$a!& )a!& "iberika! oleh pabrik a"alah te$ka!!)a retakretak "ala las sepa!(a!& sat$ k "iberika! 6'1< "a! probabilitas aka! "ite$ka!!)a retakretak "ala las sepa!(a!& L -t oleh PO@, 6.1L $!t$k 6 s L s /$!)a ter"apat korelasi $t$ a!tara ba&ia!ba&ia! "ari pe!&elasa! "ala kopo!e!
kopo!e!
str$kt$r.
Misalka!lah
)a!&
berik$t
i!i4
NONSEPKONSERDASAR PROILABILITAS i, retak retak "ite$ka! "ala ba&ia! A aka probabilitas a"a!)a retak retak "ala t$ e!(a" ti!a kali ke$!&ki!a! )a!&
se$la 8ika ak retak "ite$ka! "ala batia! A. aka probabilitas "ite$ka!!)a retak. retak "ala!i B e!(a"i "$a kali lipat Na!$ka!lah ke(a"ia! ke(a"ia! retakretak "ala ba&ia! "a! asi!& asi!& "e!&a! IAI' @i-a' TA' "a! *a( lepakah probabilita "i e$ka!!)a retak retak "ala I9 8a#al 6' *b, Berapakah protabilitas "ite!t$ka!!)a tetakretak "i "ala kopo!e! str$kt$rt *%, 8ika retak retak "ite$ka! "i "ala kopo!e! st!ikt$r' herapakah probabilitas bah#a retakretak teria"i ha!)a pa"a ha&ia! 8a$r$b 6'4F tepat !)ala *a, Pto :aber P5 :abar P.4 4 Drai!$se h$(a! lebat "ala s$at$ ba&ia! tepat ti!&&al "apat "iba&i atas "aerah alir N' "a! Ni seperti "ala :br. P Siste "rai!ase ter"iri "ari sal$ra!sal$ra! $taa " .; Pe!er !&a! kapasitas i 166 %-al kaki k$bik per e!it, "a! h 366 %-. 8$lah pe!$lir ! "ari "a! Na beratasi' ter&a!t$!& pa"a i!te!sitas %$rah h$(a! "i "ala ba&ia! pe$kia! *isalka!lah h$(a! elip$ti stl$r$h ba&ia!,' "ala s$at$ tah$! terte!t$' alt a! aksi$ "a! l$ berik$t ke$!&ki!a! )a!& bersa!&k$ta! a"alah seba&ai berik$t ka! "et 11 *", Probabili h *e-, Probabilitas 6.66 16 Abaika!lah ke$!&ki!a! ba!(ir "ala Nh )a!& "iebabka! oleh pel$apa! "ari pipa %h Berapakah probabilitas "a! ba!(ir "ala areal Ni Ba!(ir ha!)a ter(a"i (ika "rai!ase elapa$i kapasitas "ari sal$ra! $taa. Te!t$i *b, probabilitas ba!)i "ala arral N.9 Berapakah ba!(ir "i "ala ba&ia! pe$kia! sel$r$h!)a /!t$k "apat e!eliti aalah parkir "i s$at$ kap$s $!i+ersit seora!& pet$&as "ala &e"$!& ka!tat D' ataka!lah i!. A' "ipilih "a! pel$a!&!)a $!t$k e!"apatka! tepat parkir setiap hari *isalka!lah b$ tepat "a! % bert$r$ta! "a! aka! > aka! tepat parkir parkir )a!& earkir obil!)a se&era setelah "is terse"ia' "i a!a lo#o!& ha!)a a"a tepat parkir )a!& A "a! er$pa epat parkir )a!& &ratis' se"a!&ka! $!t$k .F s$at$ Alter! a!&k$tr$kt$r) habilitas a
"e ba&ia! pat ' KESIMP/LAN 45 :e"$!& Ka!tor D :e"$!& E :e"$!& @ :abar P. tepat parkir har$s eba)ar *:br. P.,. Ti"ak a"a tepat parkir lai!!)a perbolehka! ata$ terse"ia. Dari "ata statistik. probabilitas $!t$k e!"apatka! tepat par kir setiap hari "ala A' B' "a! asi!&asi!& a"alah 6'' 6 "a! 6s' Na$!' (ika petak A pe!$h' ke$!&ki!a! bah#a T!. > aka! e!"apatka! tepat parkir "ala B ha!)alah 6'6. 8$&a (ika tepat A "a! B pe!$h. Ti!. ha!)a k$!a! $!t$k e!"apatka! parkir "ala petak %. Te!t$ka!lah )a!& berik$t *a, Probabilitas bah#a T!.> ti"ak aka! e!"apatka! tepat parkir )a!& keso!& pa s$at$ pa&i hati 8ataab 6'4; *b, Probabilitas bah#a Tr. > aka! "apat earkir obil!)a pa"a s$at$ pa&i. *e, 8ika Th. > telah berhasil earkirka! obil!)a pa"a s$at$ pa&i h berapakah probabilitas bah#a it$ aka! &ratis9 8a$ab o.3 .; Pe!%eara! e!(a"i asalah $!t$k kota 1 "a! II Kota " 1 oleh pe!%ear a! $"ara "a! air' se"a!&ka! kota II "ipe!&ar$hi ha!)a oleh pe!%eara! $"ara. Re!%a!a tah$! telah "ilaksa!aka! $!t$k ebera!tas s$ber s$ber pe!%eara! i!i "ala ke"$a kota' Diperkiraka! bah#a pe!%eara! $"ara "ala kota 1 aka! "apat "ike!"ali. ka! "e!&a! probabilitas )a!& besar!)a kali probabilitas pe!&e!"alia! pe!%eara! $"ara "ala kota II. Na$!' (ika pe!%eara! $"ara "ala kota 11 a!' aka pe! %eara! $"ara "ala kota I ! "apat "iko!trol "e!&a! probabilitas F6t. Pe!&e!"alia! pe!%eara! air "ala kota I "apat "ias$sika! bebas "ari pe!&!!"ali a! pe!%eara! $"ara "ala ke"$a kota' Dala kota 1' probabilitas aka! "ike !)a ke"$a s$ber pe!%eara! sepe!$h!)a a"alah 6'3 see!tara it$ ($&a "iisalk bah#a probabilitas pe!&e!"alia! air ha!)a sete!&ah kali "ari ke$!&ki!a! pe!&e!"alia! bah#a A! a"alah peristi#a ?terke!"alika!!)a pe!%eara! $"ara "ala kota A! a"alah peristi#a ?terke!"alika!!)a pe!%eara!
$"ara "ala!i kota ll Wi a"alah peristi#a ?terke!"alika!!)a pe!%eara! air "ala kota Te!t$ka!lah Probabilitas "ari "ike!"alika!!)a pe!%eara! $"ara "ala ke"$a kota 8a#ab. o *%, Probabilitas bah#a pali!& ti"ak sat$ kota aka! bebas "ari p 6'R .F s$at$ be!t$k pe!&a!&k$ta! har$s "ise"iaka! a!tara "$a kota )a!& (arak!)a 66 k' Alter!ati- alter!ati- )a!& a"a a"alah (ala! ra)a *I!' kereta api *R,' at pe!&a!&kata! "i ke"$a kata "ihat $"ara *A,< & terakhir i!i berarti peba!&$!a! lapa!&a! $"ara bah#a Koite P :br' P.F,' Kare!a alasa! $!t$!& "a! bia)a' aka ke%e!"er$!&a! %a!a aka! e!etapka! R. 2 ata$ a"alah 13' 2a!)a sat$ "ari keti&a (e!is pe!& a!&k$ta! "i atas )a!& aka! "iba!&$!.44 KONSEPKONSEPDASAR PROBABILITAS 66 k :abar PF Na$!' (ika koite e!etapka! peba!&$!a! (ala! kereta api *R,' aka pro tas aka! "apat "iselesaika!!)a "ala sat$ tah$! a"alah (ika "itetapka! aka! e ba!&$! (ala! ra)a $!' probabilitas )a!& bersa!&k$ta! a"alah 5 "a! ika "iteapka! perh$b$!&a! $"ara' probabilitas!)a aka! "apat "iselesaika! "ala sat$ tab$! a"alah F61 2erapakah probabilitaa!)a bah#a ke"$a kota aka! eiliki alat pe!&h$t$!it "ala sat$ tah$!9 *b, sea%a -asilitas perh$b$!&a! a!tara "$a kota "ala sat$ tah$!. berapakah probabilitas a"alah perh$b$!&a! *A 8ika koite e$t$ska! $!t$k e!&&$!aka! -asilitas "arat' berapakah ke$!&ki! a!!)a bah#a kep$t$sa! akhir aka! e!ipaka! (ala! ra)a *!t .36 ?lGel$era! pasir o- sa!",? e!)ataka! pe!oe!a "ala reka)asa po!"'s' "ala a!a s$at$ assa pasir )a!& (e!$h air seko!)o!& ko!)o!& kehila!&a! kapasita "$k$!&!)a oleh kare!a perobaha! )a!& %epat "i "ala ko!"isi pebeba!a! isal!)s +a(a akibat &etara! &epa' Ke(a"ia! seperti i!i "apat e!ib$lka! pe!&a!$h be!%a!a pa"a ba!&$!a! )a!& "iba!&$! "i atas loka kelaska!lah i!te!sitas &epa ke "ala re!"ah *L,' e!e!&ah A,' "a! ti!&&i *I!
Ke%e!"er$!&a! "ari pel$era! )a!& berkaita! "e!&a! keti&a kelas i!te!sitas terseb$t asi!&asi!& a"alah 6'65' 6'6' "a! 6'F6 Misaka!lah bah#a -rek$e!si telati- "ari ke(a"ia!ke(a"ia! &epa "e!&a! i!te!sitas seperti "i atas asi!&asi!& a"alah 1'6'1' "a! *a Berapakah probabilitas!)a bah#a &epa )a!& berik$t!)a aka! beri!te!sitas re!"ab9 8a#ab 6'F *b) Berapakah probabilitas!)a ter(a"i pel$era! pasir pa"a lapa!&a! selaa &epa )a!k berik$t!)a9 herapakah probabilitas!)a bah#a pasir aka! selaat "ari ti&a &epa berik$t!)a *ti"ak ter(a"i pel$era!,9 Misalka!lah bah#a ko!"isi ko!"isi a!tara &epa bebas stat ik' 8a#ab 6.;6 3$ A"a ti&a (e!is pe!&a!&i%$ta! baha! "ari karta ke Paleba!&' )ait$' elal$i "arat' la$t ata$ "ata. 8$&a pe!&a!&k$ta! "arat "apat "e!&a! kereta api ata$ (ala! kitar "ari baha!baha! "ia!&k$t le#at "arat' 36! le#at la$t' "a! selebih!)a le#at $"ara !&a! 6s "ari se$a pe!&a!&k$ta! "arat a"alah le#at (ala! ra)a "a! selebih!)a "e 161 kereta api. Perse!tase "ari *karto, )a!& r$sak a"alah "ari )a!& "ik le#at (ala! ta)a le#at kereta api' )a!& "ikiri le#at $"ara. *a, perse!tase "ari se$a $ata! )a!& "iperiksa aka! r$sak Betapakah probabilitas!)a bah#a s$at$ $ata! )a!& "iteria " kea"aa! r$sak. "ia!&k$t le#at "arat? Le#at la$t9 $"ara9 3 8$lah air )a!& "itipa! "ala s$at$ #a"$k *:br. P.3 "apat ke "a$ pe!$h E -$tih' sete!tah pe!$h *2 hal- -$ll,' "a! koso *E ?ept), oleh kare!a si-at alai "ari probabilitik alira! air )a!& as$k ke "ala #a"$k' "a! )a!& kel$at "api (ika A"al lah .33 Pa"robabili a! t!e teapka! t$ h$! "ala! a tah$! $!&ki! po!"asi' kapasitas isal!)a a!a pa"a e!e!&ah &a kelas te!sitas re!"ab9 pa )a!& a *ti"ak t' la$t !)a. Se ebih!)a !)a "e "ari r$sak a ti&a oleh kel$ar AESIMP/LAN :abar P.3 Ar :abar P .1M "ari #a"$k $!t$k ee!$hi keb$t$ha! )a!& ti"ak terte!t$ aka! sir' aka +ol$e "a! "apat berpi!"ah "ari kea"aa!
)a!& sat$ ke kea"aa! )a!& lai! selaa aii!& asi!& $ti!$ Misalka!lah bah#a probabilitas peraliha! "ari kea"aa! )a!N at$ke ke!"ai! )a!& lai! a"a ah seperti )a!& "i!)ataka! "ala :bt P 3b Seba&ai %o!t h' "ala per$laa! iti' (ika #a"$k koso!&' aka probabilitas!)a e!(a"i sete!&ah pe!$h pa"a $($!& $ti a"alah 6'5 "a! probabilitas!)a $!t$k tetap koso!& a"alah 6'' "a! seba&ai!)a. Misalka! lah bah#it ti!&&i $ka air a"alah pe!$h pa"a per$laa! iisi *a, Berapakah probabilitas!)a bah#a #a"$k aka! pe!$h pa"a akhir sat$ $si9 Berapit lei al kah bah#a ##"$k aka! berisi air pa"a akhir "ari sat$ $$? 6'F *b, Berapakah probabilitas!)a bah#a #a"$k aka! pe!$h pa"a akhir "ari $si ke"$a a#ab 6.33. *%o Berapakah probabilitas!)a bah#a #a"$k aka! berii +ir pa"a akhir "ari $!i )a!& ke"$a9 8a#abt 6'3 '33 Pa"a s$at$ taba!& bat$ *C$arr),' #akt$ )a!& "ib$t$hka! $!t$k e$at tat$ bat$ pe%ah ke "ala tr$k ep$!)ai p )a!& saa $!t$k ata$ 3 e!it ter+ariasi "ari 8$&a ($lah "ari tr$k )a!& e!$!&&$ "ala a!tria! "i$ati si!&at #akt$ ke #akt$' seperti )a!& "i%eri!ka! "i "ala k$p$la! "ari 36 pe!&aata! ) "iabil se%ara a%ak berik$t i!i #akt$ )a!& "ib$t$hka! $!t$k e$at sat$ tr$k a"alah belas se%ara statistik terha"ap pa!(a!& a!tria!. 8$lah @rek$e!si Noor tr$k relati- pe!&aata! "ala a!tria! 6't Total 36 *a, 8ika ter"apat "$a tr$k "ala a!tria! ketika sat$ tr$k tiba pa"a a!tria!' berapakah probabilitas bah#a ?#akt$ t$!&&$? ka! k$ra!& "ari 5 e!it' 8a$"bi 6'5 al P lia!& e!trie! :abar P8IKONSERAONSERDASAR PRoll MILITAS setel$ ha!)a pa"a a! *"e!&a! ti"ak ase!eetaN$l pa!ia!e a!tria!' hera abr Pat I 16 atas 3 S$ara pabrik kiia e!&ha!ii a! berbasa!(e!i prot$k "e!&a! e!er i!aka! epat *a, )a!& berbe"a te!a&a ke$a )a! ha!)a %$k$r $!t$k ela)a!i sata pro+es !)a Ma!a(et lGabrik e!)e"ari bah#a pe$rb$a!ta! pe!%eara!
)a!e berbaha)a ke tar ste lGe!t$a!&a! air "a! ke$"ia! ke "ala sal$ra! "i "ekat!)a terea!t$!& pa"a alatah "a! protek )a!& beke!a Probabilitas tah#a $ proses terte!t$ aka! k$ri a! pro"$k p!o$l$k e "apal r!ib$lka! pe!eara! )a!e berbaha)k $"alah proses 61 Se$a r!osrs !!)a "i"ala pabrik "ia!&&ap ti"ak ebaha)aka!. )a!& s$at$ b$la! ke%e!"er$!ka!!)a relatir "a! proses proses . beke"a "ala!i b$la! a"alah 1 *, berapakah probabilitas bah#a ti!taA aka! a"a pe!%eara! bertaha)a a!e " "ala s$at$ 8ika pe!%eara! )a!& berba "ite$ka! "ala libah pabrik' berapakah probs. b"itas bah#a proses A beker(a9 '3 Wakt$ ka)$ Pro"$kpro"$k re!%ear )a!& "ib$a!& oleh berba&ai pro+es eiliki probabilitar probabilitas )a!& berbe"abe"a $!t$k e!&hasilka! pro"$k peb$!$h ika! "ala sal$ra! )a!& "i#$!a ka! oleh pabrik seba&ai peb$a!&a!' setea&ai berik$t l$&a' Probabilitas seba&ai ret!b$!$h ika! iler"asarka! at$riti i!i' berapakah probabilitak!)a bah#a pe!%eara! "i "ala pa"a sat$ b$la! a! aka! ati akibat a! keepat )a!& a!akah )a!& pali!& ber-ai"ah *"ala hal pe!&$ra!& ke%e!"er$!&a! terb$! !)a ika!, b$at "ipilih $!t$k pebersiha! (ika ha!)a sat )a!& "apat "isep$r!aka!t 3; .35 Probabilitat te!a"i!)a kebakara! "ala s$at$ ba&ia! kota telah "itaksir sebesar $!t$k sat$ ke(a"ia! "a! los $!t$k "$a ke(a"ia! "ala sat$ tah$! Misalka! bah#a pel$a!& $!t$k t$la ke(a"ia! a ih "apat "iabaika!' Probabilitas ter(a"i!)a ker$saka! str$kt$r "ala s$at$ kebakara! a"alah 6'. Misalka!lah bah#a ker$saka! str$kt$r pa"a sa bakara! a"alat tehas se%a statiitik *a, Berapakah bah#a ti"ak aka! tetia"i ker$saka! tr$kt$r akibat kebakara! "ala ti tah$! 8a#ah 6'F6 *b) 8ika s$at$ kota ter"iri atas "$a ha&ia!' berapakah probabilitas bah#a aka! a"a ke r$saka! str$kt$r skitat kebakara! " kota "ala sat$ tal$$!9 Misalka! bah#a peria i#a peristi#a ker$aka! str$kt$r akibat
kebakara! "ala ke"$a ba&ia! kota a"alah bebaa se%ara ttatistik 8a#ab o 34 lGa"a s$$t$ pro)ek ko!str$kti' ba!)ak!)a taha! *kataka!lah ka)$ $!t$k se$a!, )a!& te Me"ia $!t$k sat$ h ber+aria$' "a! "apat "i!)ataka! "e!$! "iarra -rek$e!si pa"aberapakah a!& "ari s t proses iap kali ke "ala pa"a per e!&hasil. lah seperti "a! ! "ib$a! & h proba. abilitas. ! "ala i akibat !&$ra!& )a sat$ pel$a!& tr$kt$r saat ke sat$ a"a ke a"alah !& ter si pa"a :br' P.34. Ba!)ak!)a ' KESIMP/LAN 4F 56 ata$ baha! )a!& "i&$!aka! "ala pelaksa!aa! setiap hari boleh (a"i 56 sat$a!' "e!&a! probabilitas )a!& berkaita! o'36 Berapakah probabilitas aka! a"a!)a kek$ra!&a! baha! "ala #at$ hari )a!& se teria"i bila baha! )a!& teri!"ia k$ra!& "ari ($lah )a!& *b, ka! $!t$k peker(aa! sat$ hari terseb$t 8ika kek$ra!&a! baha! te!a"i' berapakah probabilitas bah#a baha! )a!& terse"ia k$ra!& "ari 66 sat$a!9 :abar P34 Dia&ra -rek$e!si A 3 #akt$ pe!)elesaia! s$at$ pro)ek pelaksa!aa! ter&a!t$!& "ari pa"a apakah t$ka!& t$ka!& ka)$ "a! pipa aka! o&ok ata$ ti"ak. Probabilitas "ari keterlabata! *D, a"alah 1667' 67 "ari 57 $!t$k asi!&asi!i kas$s "i a!a ke"$a (e!is t$ka!& ha!)a t$ka!& ka)$ )a!& o&ok' t$ka!& pipa )a!& o&ok' "a! ti"ak a"a )a!& o&ok. o&ok. Diketah$i bah#a pel$a!& "ari o&ok!)a t$ka!& pipa a"alah 16Gt. N)ataka!lah peristi#a bah#a t$ka!& t$ka!& ka)$ telah o&ok peristi#a bah#a t$ka!&t$ka!& pipa telah o&ok keterlabata! "ala pe!)elesaia! pro)ek *a, Te!t$ka!lah probabilitas "ari terlabat!)a pe!)elesaia!. 8a$+ab 6'11; *b, 8ika ter"apat keterlabata! "ala pe!)elesaia!' te!t$ka!lah )a!& berik$t i!i Probabilitas bah#a t$ka!&t$ka!& ka)$ "a! pipa o&ok' 8a$ab1 6'5. i, Probabilitas bah#a t$ka!& t$ka!& ka)$ "a! pipa ti"ak o&ok. 8a#ab 6'134 *ii, Probabilitas o&ok!)a t$ka!&t$ka!& ka)$' 8a#ab 6'3F6' .3; Pe!)e"iaa! air $!t$k
s$at$ kota "i"ata!&ka! "ari "$a #a"$k' a "a! b *:br' P.3;,. oleh kare!a ber+ariasi!)a ko!"isi %$rah h$(a! setiap tah$!' aka ($lah i!i "ala $i!& asi!& #a"$k boleh (a"i elapa$i ata$ ti"ak elapa$i kapasitas !oral. A e!)ata We"$k B Kota :abarka! peri+ii#a "i a!a air "ala #a a it la!ip$$l kp$!itas !orala)a' il -ile )a!i he!kel Diartika! proba #r$pa "ala #a"$k !)ataka! peristi#a ) abaha!. i!e!"apatka! kiria! )i!& ei!k aki!& kea"aa! " eperoleh lapa$i kapaltas !ora apakah probatillt$r bah#a k aka! a! air )a!& e$aska!t 6'!ti .3F s$at$ e!ara air "itepatka! "ala #at$ lila te! prohabilitas bah#a e!ara aka! i$h tera!t$!e pala be!ar!)a repa "a! 3 Me isalka!lah bah#a ta!Eki bera"a "ala ke "aa! pe!$h ata$ erte!Esh pe!$h berba!"i!& seba&ai Besar!)a K#pa #raki "e!&a! -rek$e!si relati- l Pel Eepa )a!& k$at ter(a"i' e!ara ika! pasti r$!t$h' "e!&a! terka!t !a"a i e!ari Na$!' e!ara aka! pasti lolas ! &epa )a!& leah (ika ta!&ki ha pe!$h. ta!&ki pe!$h selaa teta"i!)a &epa )a!a leah' pel$a!r ak at a"alah lika e!ara r$!t$h selaa sat$ Kepa ) terakhir' berapakah probabilita bais+' ta!&ki bera"a "ala kea"aa! pe!$h ketika te"a"i!)a &epa te .6 /!t$k s$at$ "aerah "i Te>as' protabilitas aka! "ia$k oleh sat$ ata$ "$a a!&i! p$ti!& beli$!& setiap tah$! asi!& asi!& a"alah 6'3 "a! 6'65 Peristi#a bah#a "aerah it$ ti!& beli$! ata$ lebih "ala sat$ tah$! "ias$sika! ee "ia$k oleh ti&a a!&i! a! )a!& "apat "iabaika! p$!)ai Daerah i!i a $!aki! "ila!"a ba!(ir setiap tah$! akibat eleleh!)a sal($ pare "aerah h$l$' ata$ "ari h$(a! lebat akibat p$ti!& be &' ata$ ke"$ "$a!)a Biasa!)a' eleleh!)a sat$ sa(a' a"alah 16R' Na$! ! akiba pel$a!t ba!(ir "ala sat$ ta )a a!&i! r' ter"apat F probabilita ba!(ir' Misalka!lah bah#a b aa le!a )a!& "iakibatka! oleh peleleha! sal($ "a! akibat i!&i! p$$r !ier$paka! peristi#a pe!s Dala il ti#a )a!& sali!e
