CC
BY:
$ \
C
x2 + 1 = 0
z √ z = x + iy = (x, y ) (i = −1) √ C = z = x + iy | x, y ∈ R, i = −1
x
y
y
z = x + iy = (x, y ) y
z x
x
z
z x y z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 z1 = z2 x2 , y 1 = y 2
⇔ x1 + iy1 = x2 + iy2 ⇔ x1 =
z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + ( x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) z1 i(y1
− y2 )
ix1 y2 + iy1 x2 + i.iy1 y2 = (x1 x2
− z2 = (x1 + iy1) − (x2 + iy2) = (x1 − x2) +
z1 .z2 = (x1 + iy1).(x2 + iy2) = x1 x2 + y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 )
− √ √ √ 2 i = −1 ⇒ i = i.i = −1. −1 = −1 z = 0 + 0i
z = x + 0 i(z = 0 + iy )
z = x + iy z = x iy
− (x, −y )
z z=x
(x, y )
− iy y z
0 z¯
z=z z1 = x1 + iy1
(x, y ) x (x, y )
−
|z | = |z|
z2 = x2 + iy2
z1 + z2 = (x1 + x2 )
z1 + z2 +
− i(y1 + y2) = (x1 − iy1) + (x2 − iy2) = z1 + z2
··· + z
m
z1
= z1 + z2 +
··· + z
− z2 = z1 − z2 z1 .z2 = z1 .z2
m
(m
∈ N)
z1 .z2 .
m
= z1 .z2 .
z1 z2
z1 = , z2
· · · .z
(z n
· · · .z
(m
m
∈ N)
z2 = 0
) = (z ) , n ∈ N √ √ ( z) = z n
z = x + iy z + z = 2x, Rez =
z+z , 2
z
− z = 2iy
I mz =
z
−z
2i
z = x + iy z.z = z 2 = x2 + y 2 ( )
||
∗
z1 x1 + iy1 x1 + iy1 x2 iy2 x1 x2 + y1 y2 + i(x2 y1 . = = = z2 x2 + iy2 x2 + iy2 x2 iy2 x22 + y22 x1 x2 + y1 y2 x2 y1 x1 y2 i = + x22 + y22 x22 + y22
−
−1+3i 2− i
=
− x1y2)
− −
(−1+3i)(2+i) (2−i)(2+i)
=
−2−3+6i−i 4+1
=
−5+5i 5
=
−1 + i.
|z z | = |z ||z | |z | (z = 0) z = z |z | 1 2
2
|z z | 1 2
1
1
1
2
2
2
2
= (z 1 z 2 )(z )(z 1 z 2 ) = (z 1 z 2 )(z )(z 1 z 2 ) = (z 1 z 1 )(z )(z 2 z 2 ) = z 1
2
2
| | |z |
|z |
1.1.3
2
= ( z 1 z 2 )2 .
| || |
z = x + iy x2 + y 2
|z | |z |
z z 1 < z 2 z 2 z 1
| |
(x, y ) y = 0
z 2
|z | < 1
z 2
| − 3 + 2i| = √ 13 |1 + 4i| = √ 17
1 + 4i 4i z 1
z 1
− z
z =
−3 + 2i
|z − z |
2
1
(x1 , y1 ) z 1 = x1 + iy1
(x2 , y2 )
2
z 2 = x2 + iy2
|z − z | 1
2
z 1
− z
= (x1
2
|z − z | = 1
z 0
2
− x ) + i(y − y )
(x 1
2
1
−x ) 2
2
2
+ (y (y1
R
−y ) 2
2
z
|z − 1 + 3i| = 2 z = x + iy
R=2
−
2
2
Rez Rez
z 1
0
z 0 = (1, (1, 3)
|z | |z | = (Rez ) |
|z − z | = R
| |z |
Rez = x + (I (I mz )2
I mz I mz
|
z 2
|z + z | |z | + |z | 1
2
I mz = y
1
2
| |z |
z 1
z.z = z 2 = x2 + y 2
z 2
||
2
|z + z | 1
2
= (z 1 + z 2 )(z )(z 1 + z 2 ) = (z 1 + z 2 )(z )(z 1 + z 2 ) = z 1 z 1 + z 2 z 2 + (z (z 1 z 2 + z 1 z 2 ) = z 1
2
2
| | + |z | + 2Re 2Re((z z ) |z | + |z | + 2|z z | = |z | + |z | + 2|z ||z | = |z | + |z | + 2|z ||z | ⇒ |z + z | |z | + |z | + 2|z ||z | = (|z | + |z |) 1
1 1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1 2
2
1 2
2 2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
|z + z | |z | + |z | 1
2
1
2
|z | = |(z + z ) − z | |z + z | + | − z | ⇒ |z | − |z | |z + z | |z | = |(z + z ) − z | |z + z | + | − z | ⇒ − |z + z | |z | − |z | 1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
|z + z | ||z | − |z || 1
2
1
2
1
2
1
2
1
z
2
z 2
−z
2
1
2
1
2
|z − 2| ||z | − 2| = 1
|z + z + · · · + z | |z | + |z | + · · · + |z | 1
2
n
1
2
2
2
|z − z | |z | + |z | |z − z | ||z | − |z ||. |z | = 1 |z − 2| |z | + 2 = 3 1
2
n
(n = 2, 3,
···)
n=2 n = m, m
∈N |(z + z + · · · + z 1
m+1
m) +
2
z m+1
| |z + z + · · · + z | + |z | |z | + |z | + · · · + |z | + |z | 1
2
1
m
2
m+1
m
m+1
m+1
z 1 = x1 + iy1 z 2 = x2 + iy2
z 3 = x3 + iy3
z 1 + z 2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) = (x2 + x1 ) + i(y2 + y1 ) = (x2 + iy2 ) + (x ( x1 + iy1 ) = z 2 + z 1 z 1 z 2 = (x1 + iy1 )(x )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 ) = x2 x1 + y2 y1 + i(x2 y1 + x1 y2 ) = (x2 + iy2 )(x )(x1 + iy1 ) = z 2 z 1 (z 1 + z 2 ) + z 3 = (x1 + iy1 + x2 + iy2 ) + x3 + iy3 = (x1 + x2 ) + x3 + i[(y [(y1 + y2 ) + y3 ] = x1 + (x (x2 + x3 ) + i[y1 + (y (y2 + y3 )] = z 1 + (z (z 2 + z 3 ) (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 0 = 0 + i0 1 = 1 + i0 1 0 z = x+iy
z +( +( z ) = 0
−z = −x+i(−y)
−
x + iy + u + iv = 0 + 0i
u=
−x
v=
zz −1 = 1
z = x + iy z −1 t = u + iv
−
z = x + iy y
z = x + iy
z.t = (x + iy)( iy)(u u + iv) iv) = xu
− yv + i(xv + yu) yu) = 1 ⇒ xu − yv = 1,
u=
x , x2 + y 2
v=
−x
y 2 + y2
xv + yu = 0
z −1 = t =
x x2 + y 2
− ix
y 2 + y2
x2 + y 2 = 0
z = 0 z 1 z 2 = 0
z 1
z −1
z 2
z 1 z 2 = 0
z 2 = 1.z 2 = (z 1−1 z 1 )z 2 = z 1−1 (z 1 z 2 ) = z 1−1 0 = 0 z 1
z 2 n n
(z 1 + z 2 ) = k=0
n n−k k z z 2 k 1
(n = 1, 2,
0! = 1 n k
=
n! k!(n !(n k)!
−
y z = x + iy = C
(0,y)
r= z = θ
0
||
(x,0)=A
x2 + y 2 x
···)
z 1 = 0
OAC cos θ =
z = x + iy = = reiθ
x = z
||
x , 2 2 x +y
sin θ =
y = z
||
z 1 . z = z . (x + iy) iy) = z z z
| | |xz | + i |yz |
|||| ||||
y x2 + y 2
= z (cos θ + i sin θ)
||
(1, (1, i)
θ
r = z z
z
||
x θ 2π tan θ =
θ
z
arg z θ arg z arg z = Argz + 2nπ (n = 0, 1, 2, Argz = π
−π ∓ ∓ ···)
z = 1
< θ
π Argz z
−i z = 1
− i = x + iy, x = 1, y = −1 √ √ |z | = r = 1 + 1 = 2 x 1 y 1 cos θ = = √ (+), (+), sin θ = = − √ (−) r r 2 2 √ ⇒ θ = − π4 ⇒ z = 2 cos − π4 + i sin −4π θ = − + 2nπ 2nπ (n = 0, ∓1, ∓2, · · · ) √ 7π 7π 1 − i = 2 cos + i sin 4 4 π 4
y x
eiθ
θ
exp(iθ exp(iθ)) eiθ = cos θ + i sin θ z z = r (cos θ + i sin θ) z z = reiθ
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
z = x + iy w = Reiφ ,
(n = 0, 1, 2,
∓ ∓ ···)
wn = z
n.
⇔ w = z
z = reiθ 1
iθ
1
w = Reiφ = (re iθ ) n = r n e n
⇒ Re
iφ
1
iθ
= rne n
1
R = rn θ
eiφ = ei n
θ
eiφ = ei n
⇔ cos φ + i sin φ = cos nθ + i sin nθ
cos φ = cos
cos φ = cos
θ n
θ , n
sin φ = sin
1
n
θ n
⇒ φ = 2kπ + nθ = 2knπn + θ ⇒
φ=
2(kn 2(kn))π + θ 2k1 π + θ = , n n n sin φ = sin nθ 1 w = z n 1
wk1 = r n
cos
∈ N,
k1 = 0, 1, 2,
θ + 2k 2 k1 π θ + 2k 2k1 π + i sin , n n
· · · , n − 1.
k1 = 0, 1, 2,
· · · , n − 1.
1
w = (1 + i) 5 z 4 =
−1
z = 1 + i
z 60
z 1 = r1 eiθ1 , arg z 1 = θ1 ,
z 2 = r2 eiθ2 , arg z 2 = θ2
arg(z arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 arg
z1 z2
= arg z 1
− arg z
2
z xy I = (0, (0, 0, 1)
1
−
−
P P
I P
I P
M
M P
z = 0
I P
I
M
∞
z = 1/2
(0, 0, 1) z I (0 x3 K P (x1 , x2 , x3 ) 1/ 2 x2 0 θ
x1
y
z = x + iy
x
M
IK IO
I OM
=
KP OM
K = (0, (0, 0, x3 ),
I = (0, (0, 0, 1), 1),
I K = 1 K P =
−x ,
I O = 1,
3
2
(x1
P = (x1 , x2 , x3 ),
0 = (0, (0, 0, 0)
OM = z
||
2
2
− 0) + (x (x − 0) + (x (x − x ) = x ⇒ 1 −1 x = x|z +| x ⇒ |z | = 1x−+x x 2
2 1
3
3
2 2
3
2 1
2 1
+ x22
2 2
3
(x1
2
− 0)
+ (x ( x2
2
− 0)
+ x3
x21 + x22 + x23
−x
3
2
−
1 2
+
1 1 = 4 4
=
1 4
⇒x
0, 0, 2 1
+ x22 + x23
−x
1 , 2 3
=0
r=
1 2
2 1
⇒x
+ x22 + x23 = x3
|z | =
⇒x
2 1
+ x22 = x3 (1
−x ) 3
x3 (1 x3 ) 1 x3
⇒ |z | =
x3 1 x3
x2 , x21 + x22
cos θ =
x1 x21 + x22
−
−
−
Ox1 N sin θ =
x3 1 x3
z = x1 + ix2 = z (cos θ + i sin θ) =
||
x21 + x22 = x3 (1
|z | =
3
x1 x2 +i 1 x3 1 x3
−
−
2
|z | ⇒ 1 − x x = ⇒ − 1 + |z |
x3 z = 1 x3 2
− ⇒| |
z =
−
3
2
1 z + z + z , 2 1 + z 2
x1 =
z
2
||
z = (1 + z 2 )(x )(x1 x2
| | − ix ) 1 z − z = 2i 1 + |z |
− x ) 1
2
+ (x ( x2
x21 + x22 + x23
− x ) 2
2
+ (x (x3
(x1 , x2 , x3 )
− x ) 3
2
− 2(x 2(x x + x x + x x ) + x 1 1
2
2
(x1 , x2 , x3 )
=
3
||
−
||
(x1
2
|z | = 1− 1 + |z |
x1 + ix2 x1 + ix2 2 = = (1 + z )(x )(x1 + ix2 ) 1 1 x3 1+|z |2
z = (1 + z 2 )(x )(x1 + ix2 ),
d(z, z ) =
x2 x21 + x22
−x ) z =
x3 1 x3
x1 +i x21 + x22
2 2
3 3
2
1
+ x2 2 + x 3 2
z x21 + x22 + x23 2
x1 + x2
2
2 1
2 2
−x =0⇒x +x +x + x − x = 0 ⇒ x + x 3
2
3
2
3
1
2
2 3
= x3
2
+ x3 = x3
2
=
1 1 + z 2
||
(d(z, z ))2 = x3 + x3
2(x x + x x + x x ) − 2(x | z | + 2|z | |z | + |z | (zz + z z + z + 2|z | |z | ) − (1 + |z | )(1 + |z | ) = (1 + |z | )(1 + |z | ) z | + |z | − zz + z z | = (1 + |z | )(1 + |z | ) zz + z z − zz + z z = (1 + |z | )(1 + |z | ) z (z − z ) − z (z − z ) = (1 + |z | )(1 + |z | ) (z − z )(z )(z − z ) = (1 + |z | )(1 + |z | ) (z − z )(z )(z − z ) = (1 + |z | )(1 + |z | ) | z − z | = ⇒ (1 + |z | )(1 + |z | ) z − z | | d(z, z ) = (1 + |z | )(1 + |z | ) 1 1
2
2
2 2
2
2
2
2
3 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
eiz
2
iz
eiz + e−iz w = f ( f (z ) = sin z = , w = f ( f (z ) = cos z = 2i 2 sin z eiz e−iz cos z eiz + e−iz w = f ( f (z ) = tan z = = , w = f ( f (z ) = cot z = = i iz cos z i(eiz + e−iz ) sin z e e−iz 1 2 1 2i w = f ( f (z ) = sec z = = iz , w = f ( f ( z ) = csc z = = cos z e + e−iz sin z eiz e−iz
− e−
−
−
−
sin z =
eiz
iz
− e− ⇒ sin 2i
z =
(eiz
iz 2
−e −4
)
=
e2iz
− 2e
iz
e−iz + e−2iz 4
−
(eiz + eiz )2 e2iz + 2e 2eiz e−iz + e−2iz cos z = = 4 4 1 4 sin2 z + z + cos2 z = [e2iz + 2 + e−2iz e2iz + 2 e−2iz ] = = 1. 4 4
eiz + e−iz cos z = 2
⇒
2
⇒
2
−
−
sin(z sin(z 1
∓ z ) = sin z cos z ∓ cos z sin z cos(z cos(z ∓ z ) = cos z cos z ± sin z sin z tan(z tan(z ∓ z ) = ± ∓ 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
tan z1 tan z2 1 tan z1 tan z2
w = f ( f (z ) = sinh z =
ez
z
− e− 2
ez + e−z w = f ( f (z ) = cosh z = 2 cosh z ez + e−z w = f ( f (z ) = coth z = = z sinh z e e−z
,
sinh z ez e−z w = f ( f (z ) = tanh z = = , cosh z ez + e−z
−
ez + e−z cos h = 2 sinh z =
ez
2
2
1
2
1
2
1
2
(ez + e−z )2 e2z + 2 + e−2z cosh z = = 4 4
z
2
− e− ⇒ sinh 2 2
⇒ cosh z − sinh sinh(z sinh(z 1
⇒
z =
−
2
z =
(ez
1 2z [e + 2 + e−2z 4
∓ z ) =? cosh(z cosh(z ∓ z ) =? tanh(z tanh(z ∓ z ) =? coth(z coth(z ∓ z ) =? w = f (z ) = sin z
w = f ( f (z ) = cos z
⇒ f ( f (iz ) =?
⇒ f ( f (iz ) =? w = f ( f (z ) = tan z ⇒ f ( f (iz ) =? w = f ( f (z ) = cot z ⇒ f ( f (iz ) =? w = f ( f (z ) = sec z ⇒ f ( f (iz ) =? w = f ( f (z ) = csc z ⇒ f ( f (iz ) =? w = f ( f (z ) = sinh z ⇒ f ( f (iz ) =? w = f ( f (z ) = cosh z ⇒ f ( f (iz ) =? w = f ( f (z ) = tanh z ⇒ f ( f (iz ) =?
z 2
− e− ) 4
2z
−e
= +2
e2z
2z
− 2 + e− 4
2z
− e−
]=
4 = 1. 4
w = f ( f (z ) = coth z
⇒ f ( f (iz ) =?
1 1 log(z log(z + + z 2 1), 1), sin−1 z = log(iz log(iz + + 1 i i 1 1 + iz 1 z + z + i tan−1 z = log , cot−1 z = log 2i 1 iz 2i z i
cos−1 z =
1 sec−1 z = log i
2
−
− z )
− √ 1 + 1 − z
−√ i + z − 1
2
,
z
2
1 csc−1 z = log i
z
sin−1 z eiz
iz
e
iz
iz
iz
e− e − e− − w = f ( f (z ) = sin z = w= 2iw = e − e− ⇒ ⇒ ⇒ 2i 2i √ 2wi ∓ −4w + 4 = t, e − 2we i − 1 = 0 ⇒ t − 2wti − 1 = 0 ⇒ t = 2 ⇒ t = iw ∓ 1 − w (|w| < 1 ⇒ w < 1 ⇒ −w > −1 ⇒ 1 − w > 0) ⇒ t = iw + 1 − w = e ⇒ iz = log(iw log(iw + 1 − w ) ⇒ 1 z = w− = sin− z = log(iw log(iw + 1 − w ) i 2iz
iz
1,2
2
1
2
2
iz
2
2
1
cosh−1 z = log(z log(z + + z 2 1), 1), 1 1 + z tanh−1 z = log , 2 1 z
−
−
iz
2
2
2
1,2
iz
2
sinh−1 z = log(z log(z + + z 2 + 1) 1 z + z + 1 coth−1 z = log 2 z 1
−
ez e−z w = f ( f (z ) = tanh z = z e + e−z
−
1
⇒ tanh−
z =?
t2 1 e =t w= 2 wt2 + w = t2 1 t2 (w 1) + w + 1 = 0 t +1 w+1 w+1 1 w+1 t2 = = e2z 2z = log z = log 1 w 1 w 2 1 w 1 w+1 tanh−1 z = log . 2 1 w z
− ⇒
⇒
⇒
−
⇒
− ⇒
− ⇒ −
−
−
z 0
ε
|z − z | < ε 0
z 0
z 0 ε
z 0
ε
z z
y
|z − z0|
ε z
z0 x
0
0 < z
| − z | < ε
E z 0
z 0
0
E
E
E z 0
E
z 0
E E
E
E
E
|z | = 1 |z | < 1
E E
|z | 1 E
E
0 < z
||1
E
z 1
z 2
E
|z | < 1
1 < z < 2
||
E
|z | = R
E
E
z 0
E
z 0
E
y
y
x
0
y
y
0
x
0
x
0
x
E
y
y
x
x
y
y
A
B
x
x
0
C
f :A
→B z ↔ w = f ( f (z )
z
w
A
f A
B B
A w = f ( f (z ) = z 2 w = f ( f (z ) =
az+ az +b cz+ cz +d ,
(a,b,c,d
∈ C,
)
w = f ( f (z ) f ( f (z ) = u(x, y )+ iv( iv(x, y )
w =
w = f ( f (z ) z
D
−
z
−
w
w
y
D1
−
−
y
w =f (z )
x
→
D1
D
w = f ( f (z ) = z 2 D
x
D = (x, y )
2
|xy = 2, xy = 6, x − y
2
= 4, x
w = f ( f (z )
D D
z 0 D ε>0
∈
z
w
→ z |z −z | < δ 0
−
D1 w = f ( f (z )
|f ( f (z )−L| < ε
0
δ > 0 limz →z0 f ( f (z ) = L
f ( f (z )
z 0 L <ε
|f ( f (z ) − L| < ε ⇒ |w − | z
w0 = f ( f (z 0 )
⇒ |w − L| < ε 0
y
−
L
w
y
−
w0 ε
z0 δ
x
x
D1
D
z w
D1
− f ( f (z )
z 0
D
−
∈D
z 0
w0
δ
ε
g (z ) D limz →z0 f ( f (z ) = L1 limz→z0 g (z ) = L2
limz→z0 (f ( f (z ) + g (z )) )) = lim z→z0 f ( f (z ) + limz→z0 g (z ) = L1 + L2 limz→z0 (f ( f (z )
− g(z )))) = lim → z
z0
f ( f (z )
− lim → z
z0
g (z ) = L1
limz→z0 (f ( f (z )g (z )) )) = lim z→z0 f ( f (z ) limz →z0 g (z ) = L1 L2
−L
2
limz→z0
f ( f (z ) g(z )
=
limz →z0 f ( f (z ) limz →z0 g(z )
=
L1 L2 ,
(g (z ), L2 = 0)
limz→z0
1 f ( f (z )
=
1 limz →z0 f ( f (z )
=
1 , L1
(f ( f (z ), L1
= 0)
w = f ( f (z ) z 0 D
z limz →z0 f ( f (z ) = L
w = f ( f (z ) z 0 D
z
w = f ( f (z ) z 0 D
z limz→z0 f ( f (z ) = L
D
−
∈
D f ( f (z ) < L + 1
−
limz→z0 f ( f (z ) = L
∈
−
∈
|
| | | D
|f ( f (z )| > |L2 |
w = f ( f (z ) w = f ( f (z ) = z 2
limz→z0 f ( f (z ) = limz →z0 z 2 = z 02
w = f ( f (z ) = 2z + z + 3 w = f ( f (z ) = z 2 w = f ( f (z ) =
z 0 = 2 z 0 = 1 + i
iz 2
w = f ( f (z )
|z | < 1
limz→1 f ( f (z ) =
D
z 0 z 0
f ( f (z )
i 2
∈D
z 0
limz→z0 f ( f (z ) limz→z0 f ( f (z ) = f ( f (z 0 ) w = f ( f (z )
D f
δ
z 0
f ( f (z ) = z 2 f ( f (z ) =
1 z
f ( f (z ) = z 2
D =
{z | |z | < 1}
D =
{z | |z | < 1}
z 0 = 1+ i
w = f ( f (z )
D f ( f (z + z + ∆z ∆z ) ∆z →0 ∆z lim
− f ( f (z )
(∆z (∆z = ∆x + i∆y )
f f (z ) =
f ( f (z + z + ∆z ∆z ) df = lim dz ∆z →0 ∆z f ( f (z )
− f ( f (z ) f ( f (z + z + h) = lim h
→0
z f ( f (z )
g (z )
D (f ( f (z )
∓ g(z )))) = f (z ) ∓ g(z )
(f ( f (z )g (z )) )) = f (z )g (z ) + f ( f (z )g (z ) f ( f (z ) g (z )
=
f (z )g (z ) f ( f (z )g (z ) , (g(z ))2
−
f ( f (z ) = az n f ( f (z ) = c
(g (z ) = 0)
n 1
⇒ f (z ) = naz −
(c = a + ib) ib)
f ( f (z ) = sin z
⇒
⇒ f (z ) = 0
f (z ) = cos z
h
f
z 0 F ( F (z ) = g (f ( f (z )) ))
g
f ( f (z 0 )
F (z 0 ) = g (f ( f (z 0 ))f ))f (z 0 ) W = F ( F (z )
w = f ( f (z )
W = g (w) dW dW dw = . dz dw dz
(2z (2z 2 + i)5
z
f f
S f z 0
S z 0 f ( f (z ) = 1/z f ( f (z ) = z 2
||
z = 0
f
z 0 z 0
f ( f (z ) = 1/z
z 0 f f ( f (z ) = z 2
z = 0
||
D
D
D
f (z ) = 0
f ( f (z ) D
w = f ( f (z ) = u(x, y ) + iv( iv(x, y ) u(x, y ) v (x, y )
D f ( f (z )
D
D ∂u ∂v = , ∂x ∂y
(
f (z ) ⇒) f (
∂u = ∂y
∂v − ∂x
D
f ( f (z + z + ∆z ∆z ) f ( f (z ) ∆z →0 ∆z u(x + ∆x, ∆x, y + ∆y ∆y) + iv( iv(x + ∆x, ∆x, y + ∆y ∆y ) = lim ∆x→0,∆y →0 ∆x + i∆y
−
f (z ) = lim
∆z
→0
∆x 0 ∆y ∆y = 0, ∆x 0
→
→
− u(x, y) − iv( iv(x, y )
→0
u(x + ∆x, ∆x, y ) + iv( iv(x + ∆x, ∆x, y ) u(x, y ) iv( iv(x, y ) ∆x→0 ∆x u(x + ∆x, ∆x, y ) u(x, y ) v(x + ∆x, ∆x, y ) v(x, y ) = lim + i lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∂u ∂v = +i . ∂x ∂x
−
f (z ) = lim
−
−
∆x = 0, ∆y
−
→0
u(x, y + ∆y ∆y ) + iv( iv(x, y + ∆y ∆y ) u(x, y ) iv( iv (x, y ) ∆y →0 i∆y u(x, y + ∆y ∆y ) u(x, y ) v(x, y + ∆y ∆y ) v(x, y ) = lim + lim ∆y →0 ∆y →0 i∆y ∆y 1 ∂u ∂v ∂u ∂v = + = i + . i ∂y ∂y ∂y ∂y
−
f (z ) = lim
−
−
−
−
f ( f (z ) ∂u ∂v +i = ∂x ∂x
∂v ∂u ∂v + = , −i ∂u ⇒ ∂y ∂y ∂x ∂y
∂u = ∂y
∂v − ∂x
(
⇐) f ( f (z )
∆u = u(x + ∆x, ∆x, y + ∆y ∆y )
− u(x, y) = u(x + ∆x, ∆x, y + ∆y ∆y ) − u(x, y ) + u(x, y + ∆y ∆y ) − u(x, y + = [u(x + ∆x, ∆x, y + ∆y ∆y ) − u(x, y + ∆y ∆y )] + [u [u(x, y + ∆y ∆y ) − u(x, y )] =
∂u + ε1 ∆x + ∂x
∂u ∂u ∂u + ε2 ∆y = ∆x + ∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y ∂y ∂x ∂y
∆v =
∂v ∂v ∆x + ∆y + µ1 ∆x + µ2 ∆y ∂x ∂y
ε = ε1 + iµ1 ,
∆w = ∆u + i∆v =
µ = ε2 + iµ2
∂u ∂u ∆x + ∆y + i ∂x ∂y
∂v ∂v ∆x + ∆y + ε∆x + µ∆y ∂x ∂y
∂u ∂v ∂u ∂v +i ∆x + +i ∆y + ε∆x + µ∆y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂u ∂u = (∆x (∆x + i∆y ) i (∆x (∆x + i∆y ) + ε∆x + µ∆y ∂x ∂y ∂u ∂u = i (∆x (∆x + i∆y ) + ε∆x + µ∆y ∂x ∂y ∂u ∂v = +i (∆x (∆x + i∆y ) + ε∆x + µ∆y ∂x ∂x =
−
−
0,
(∆x (∆x
∆z = ∆x + i∆y ∆z 0 ε 0
→ 0, ∆y → 0)
→
∆w ∂u ∂v = f (z ) = +i ∆z →0 ∆z ∂x ∂x lim
w = f (z )
∂ ∇ = ∂x∂ + i ∂y∂ = 2 ∂z
→
∆z µ
→0
→
∂ ∇ = ∂x∂ − i ∂y∂ = 2 ∂z F ( F (x, y )
D
gradF =
∂ ∂ +i ∂x ∂y
∇F =
F =
∂F ∂F +i ∂x ∂y
F ( F (x, y ) F ( F (x, y ) = c
gradF A(x, y ) = P ( P (x, y )+
(x, y ) iQ( iQ(x, y ) gradA =
∇A =
P ( P (x, y )
∂ ∂ +i ∂x ∂y
(P + iQ) iQ) =
Q(x, y )
∂P ∂x
− ∂Q ∂y
∂P ∂Q + ∂y ∂x
+i
D A(x, y ) = P ( P (x, y )+
iQ( iQ(x, y ) divA = Re( Re( A) = Re
∇
P ( P (x, y )
∂ ∂x
− i ∂y∂
Q(x, y )
(P + iQ) iQ) =
∂P ∂Q + ∂x ∂y
D A(x, y ) =
P ( P (x, y ) + iQ( iQ(x, y ) rotA = I m( A) = I m
∇
A1 , A2 , A , P1 , P 2 , P 3 , Q1 , Q2
∂ ∂x
− i ∂y∂
Q3
grad( grad(A1 + A2 ) = gradA1 + gradA2 div( div (A1 + A2 ) = divA1 + divA2 rot( rot (A1 + A2 ) = rotA1 + rotA2 grad( grad(A1 A2 ) = A1 gradA2 + A2 gradA1 A(x, y ) rot( rot (gradA) gradA) = 0
rot( rot(gradA) gradA) = 0 I mA
(P + iQ) iQ) =
∂Q ∂x
− ∂P ∂y
A(x, y ) div( div (gradA) gradA) = 0
div( div(gradA) gradA) = 0 ReA
f (z ) = 0 vy iuy = 0 ux = uy = vx = vy = 0 ux uy gradu ux uy u D
f ( f (z ) = u(x, y ) + iv( iv(x, y ) ux + ivx = 0 x
D y gradu u D
−
u
D a
u(x, y ) = a
v (x, y ) = b
D
f ( f (z ) = a + ib
w = ez
z = reiθ z = log w = log r + iθ
θ
w =0 dz 1 1 1 = = z = dw w e dw/dz
f (z 0 ) = 0 f ( f (z 0 ) = w0
z = z 0
f
w = f ( f (z ) w
w0
w0
z = F ( F (w) F ( F (w0 ) = z 0
w = f ( f (F ( F (w)) F (w) =
1 f (z )
F
u = u(x, y ),
v = v (x, y )
z 0 = x0 + iy0
w u
u u
v
v v ∂u ∂x ∂v ∂x
∂u ∂y ∂v ∂y
u
v
(x0 , y0 ) x
y ∂u ∂x
2
+
2
∂v ∂x
= f (z ) 2
|
|
z 0
z 0
f
f (z 0 ) =0 x = x(u, v),
x0 = x(u0 , v0 ),
z 0 w0 = u0 + iv0
f
y = y (u, v )
y0 = y (u0 , v0 )
x = x(u, v ),
y = y (u, v)
F z = F ( F (w)
∆z 1 = ∆w ∆w/∆ w/∆z w z
∆w dz ∆z 1 1 = lim = lim = ∆w→0 ∆w ∆z →0 ∆w/∆ dw w/∆z dw/dz
F (w) w0
F
∆z
w = ez
w0 = e0 = 1
z = 0
z = log w = log r + i(θ + 2kπ 2kπ))
f (0) = 1 = 0
(r > 0, π < θ < π) π)
−
ez F ( F (w0 ) = z 0 log1 = 0 k=0
w = 1
θ = 0
r = 1
F ( F (w) = log r + iθ
(r > 0,
f ( f (z ) = f ( f (x, y ) = u(x, y ) + iv( iv(x, y )
−π < θ < π) π)
z
−
∂u ∂v = , ∂x ∂y
∂u = ∂y
∂ 2 u ∂ 2 v = , ∂x 2 ∂x∂y f
u x
log w
∂v − ∂x
∂ 2 u = ∂y 2 v
y ∂ 2 u ∂ 2 u + =0 ∂x 2 ∂y 2 x
f
−
∂ 2 v ∂y∂x
u
v
v ∂ 2 v ∂ 2 v + =0 ∂x 2 ∂y 2
y
u
f = u + iv
u
v z
u = y3 u
2
− 3x y
v ∂u = ∂x
−6xy
∂u ∂v = = ∂x ∂y x
y v=
∂v ∂x
=
2
+ φ (x) =
c
φ(x) x
−3xy
∂u ∂y
− −3y
−6xy
−3y
2
2
+ φ(x)
+ 3x 3 x2
⇒ φ(x) = 3x
2
φ(x) = x3 + c u = y3
2
− 3x y v=
−3xy
f ( f (z ) = u + iv = y 3
2
+ x3 + c
2
− 3x y + i(−3xy
w = f ( f (z )
n.
n! 2πi
+ x 3 + c)
C D
a f (n) =
2
f ( f (z ) dz n−1 ( z a ) C
−
D
z = 2 z = 3i z =
−4i
z=
−2√ 3 − 2i
z3 = 1 z4 = 1 z= 5 1 z= i z = 3 1+ i
√ −− √ √
z=
3
1 − cos φ − i sin φ √ z = 2i − 2 √ z= 1+ i 3 z= −8 − 8√ 3i 3
4
z4
−√ √ −
7
2 2 3i 3+i 3+i
=
− − i)6
( 1
|z + 2 − i| = 4 |z − 1| < 3 |z − 2| 1 z 3 z +3
−
=1
|z + 3| + |z − 3| = 10 |2z + 1| < |z| z z 3
−
=1
|z | 2 (z + i + 1)3 + 1 = 0 z4 = 1 64i 64i z3 =0 1+i 1+i
−
−
z 2 = 5 12i 12i 5 (z + 1) = (1 z )5 64z 64z 6 = (z i)6 z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 z 6 2z 3 + 2 = 0 z 3 = i(z 1)3 (z + 1) 2n + (z ( z 1)2n = 0 z 2 + (4 6i)z = 9 + 15i 15 i z 2 (3 + 5i 5i)z + 8i 8i 4 = 0
−
−
−
−
z=
√ − i √ 33+i 3+i
−
−
−
4
−
1+i 1+i 1 i
−
5
−
z3
−z
1 n
1+sin θ+i cos θ 1+sin θ i cos θ
−
2π n
w = cos π
z = 6e 3 i
+ i sin
π 2
= cos n 2π , n
−θ
(n > 1)
+ i sin n
−θ 1 + w + w2 + · · · + wn−1 = 0
⇒ |eiz | =?
x3 + ux2 + vx + t = 0 u,v,t x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3 a = 1 + cos θ + cos cos 2θ + a b
π 2
x1 , x2 , x3 π/6 π/ 6
1, 2, 3
cos(n − 1)θ 1)θ · · · + cos(n
b = sin θ + sin sin 2θ +
u,v,t sin(n − 1)θ 1)θ · · · + sin(n
√ 2z |Rez| + |I mz| z1 +z2 z3 +z4
|z1 |+|z2| ||z3 |−|z4 || ,
( z3 = z4 )
| | | |
( 1 + i)7 =
−8(1 + i) √ (1 + i 3)99 =? |z | = 1 w∈C −
√ 3i − √ 3+i 3+i
1
xn + iyn = 1 z
limz →2i limz →0
=
f ( f (z ) =
limz →1+i 1+i
z2 z2
−2i −2z+2
z4 1 z i
− −
2 limz →1+i 1+i (z z2 z 2
=
z2 1 z 1
− −
z
→1
2
=?
−4i
− 2z + 1) = −1
||
limz →i z (z + 2) = f ( f (z ) =
yn
z z
limz →0
xn
− 2i
z=1
limz →i
n
|z − w| = |1 − wz |
z 3 +2z +2z +1 z 3 +1
−1 + 2i 2i
(z = i)
f ( f (z ) = z f ( f (z ) = z 3 + 1 u = y3
− 3x2 y
f = u + iv
D
u
f
f ( f (z )
z0
f = u + iv
D
u u
u = e−x (x sin y w = f ( f (z ) = z 2 z
v
D
vD
− y cos x)
w = f ( f (z ) = sin z
w = f (z ) = sin sin 2z
w = f ( f (z ) = z 2
z=i
w = f ( f (z ) = cos z w = f ( f (z ) = ez
f (z ) = ez
w = f ( f (z ) = sin z v = 2y (x + 1)
z=0
w=3
w = u + iv
z α
β
C
α=0 α=0
c.c > 0 c.c > αβ
αzz + cz + cz + β = 0
w = f (z )
D D
C f ( f (z )dz ,
dz = dx + idy
C
w = f ( f (z ) = u(x, y) + iv( iv(x, y) f ( f (z )dz = C
[u(x, y) + iv( iv(x, y)][dx )][dx + idy] idy] C
=
u(x, y)dx C
− v(x, y)dy + i
w = f (z ) = z 2
v(x, y)dx + u(x, y)dy C
y = x2
D
x=1
C C
C = C 1 + C 2 + C 3 +
· · · + C n
f ( f (z )dz = C
C
f (z )dz = − −C f (
···+C
C
f (z )dz
f ( f (z )dz + C 1
n
f ( f (z )dz
n
f ( f (z )dz = C 1 +C 2 +
x=3
f ( f (z )dz + C 2
···+
f ( f (z )dz C n
C
P ( P (x, y) D D
C
P ( P (x, y)dx + Q(x, y)dy = C
D
∂Q ∂x
− ∂P ∂y
dxdy
Q(x, y)
D
w =
f ( f (z ) w = f ( f (z )
D
C C ∗
f ( f (z )dz = C
D
f ( f (z )dz C ∗
w = f ( f (z )
C dz C
z
−a
0, a 2π i, a
=
w = f ( f (z )
D D
D w = f ( f (z )
D
C f ( f (z )dz = 0 C
f ( f (z )dz = C
[u(x, y)dx + iv( iv (x, y)dy][ dy][dx dx + idy] idy] C
=
u(x, y)dx C
− v(x, y)dy + i
v(x, y)dx + u(x, y)dy C
f ( f (z ) ∂u ∂v = , ∂x ∂y u(x, y)dx C
∂u = ∂y
∂v − ∂x
− v(x, y)dy
v (x, y)dx + u(x, y)dy C
u(x, y)dx C
− v(x, y)dy =
D
∂v − ∂x − ∂u ∂y
dxdy
v(x, y)dx + u(x, y)dy = C
D
u(x, y)dx C
∂u ∂x
∂v − ∂y
dxdy
− v(x, y)dy = 0
v(x, y)dx + u(x, y)dy = 0 C
f ( f (z )dz = 0 C
w = f (z )
C a
D
D 1 2πi
f ( f (a) =
f ( f (z ) dz z a C
−
y
−
C γ
ε γ x D
T
a g (z ) =
ε C ∗ = C + C + γ T γ
− −
f ( f (z ) z a
−
g (z )dz = 0 C
∗
D
C ∗ 0=
g (z )
g (z )dz = C ∗
C +γ γ T
− −
f ( f (z ) dz = z a
f ( f (z ) dz+ dz + z a C
−
−
f ( f (z ) f ( f (z ) dz dz z a z a C T a ε z a =ε z a = εeiθ
⇒0=
−
−
| − |
f ( f (z ) dz = z a C
−
T
⇒
−
⇒ −
2π
f (z ) dz = z a
−
0
f (a + εeiθ )dθ 0
ε
⇒
f ( f (z ) dz = i z a C
−
−
w = f (z ) D
f (z ) dz = z a C
−
−
T
−
T
f ( f (z ) dz z a
−
f ( f (z ) dz z a
−
⇒ dz = iεeiθ dθ
f ( f (z ) dz = i z a C
−
→0
f ( f (z ) dz = if ( if (a)θ z a C
−
f (z ) dz z a γ
−
f (a + εeiθ ) iθ iεe dθ εeiθ
2π
=i
f (z ) dz z a γ
2π
f ( f (a + εeiθ )dθ 0
2π
f ( f (a)dθ 0
if (a)2π )2π = 2πif ( πif (a) |20π = if (
⇒ f (a) = 21πi
f ( f (z ) dz z a C
−
D C C
f (z )| M |f (
L f ( f (z )dz
ML
C
f ( f (z )dz C
C
f (z )dz | = |f (
= M C
= M
|dx + idy| = M 1+
C
C
f (z )||dz | |f (
dy dx
M dz = M C
| |
C
|dz|
(dx) dx)2 + (dy (dy))2 = M C
(dx) dx)2 C
2
dx = M L
⇒
f ( f (z )dz C
M L.
1+
dy dx
2
w = f (z )
y
C
R
0
a b
a
R D
C
x D
C
a
b
R/2 R/2, (a = b) w = f (z ) D f ( f (z ) < M (M > 0)
|
D
C
|
|z − b| = |z − b + a − a| = |z − a − (b − a)| |z − a| − |b − a| ⇒ |z − b| |z − a| − |b − a| a
R
|z − a| = R ⇒ z − a = Reiθ ⇒ dz = iReiθ dθ |b − a| < R/2 R/2 |z − a| = R
|z − b| |z − a| − |b − a| |z − b| R/2 R/2
|b − a| <
a
f ( f (b)
b f (a) =
1 2πi
f ( f (z ) dz, z a C
f (b) =
1 2πi
f ( f (z ) dz z b C
−
−
1 1 1 1 − f ( − f (a) = f ( f (z )dz = 2πi C z − b z−a 2πi (b − a) f ( f (z )dz = 2πi (z − a)(z )(z − b) C f (b) − f ( f (a)| = |f (
(b a) 2πi
−
|b − a| f (b) − f (a)| |f ( 2π |b − a| f (a)| |f (b) − f ( 2π
z (z C
− a − z + b f ( f (z )dz )(z − b) − a)(z
f ( f (z )dz (z a)(z )(z b) C
−
−
|f (z )||dz| |z − a||z − b| C
M
C
|b − a| M |dz| = |b − a|M dz = | | πR 2 R. R 2πR R 2
C
2
C
C
|dz|
|dz| = L = 2πR
C
|b − a|M 2πR = 2M |b − a| |f ( f (b) − f ( f (a)| πR 2 R R
|f ( f (b) − f (a)| 0
→∞
f (b) − f (a)| = 0 ⇒ f (b) = f ( f (a) |f (
f
D
D
C f ( f (z )dz = 0 C
D
f
P ( P (z ) z P ( P (z ) = a0 + a1 z + a2 z 2 +
· · · + am z m
(m = 1, 2,
··· ,
am=0 =0 )
P ( P (z ) = 0
P ( P (z )
z f (z ) =
1 P ( P (z )
z z
|f ( f (z )| m = 1, 2, · · ·
f (z )
am = 0
P ( P (z ) z
m.
w = f (z )
|f ( f (z )| f (z ) P ( P (z )
m
R
|f ( f (z )|
a M
C
D
|f (n) (a)| nR!M n
f (n) (a) = a
n! 2πi
f ( f (z ) dz n+1 ( z a ) C
−
R
|z − a| = R ⇒ z − a = Reiθ ⇒ dz = iReiθ dθ, |f (n) (a)| =
n! 2πi
f ( f (z ) dz n+1 ( z a ) C
−
z = a + Reiθ
⇒ |f (n) (a)| |2nπi! |
|f ( f (z )||dz | |z − a|n+1 C
f (z )| < M |f ( |z − a|n+1 = Rn+1
|f (n) (a)| 2nπ!
M n!M dz = Rn+1 2πRn+1 C
| |
C
|dz|
C L = 2πR = C
|dz|
n!M n!M |f (n) (a)| 2πR 2 πR = n+1 Rn
f (x) f (x)
f ( f (x) f ( f (x)
f ( f (z )
Ω
z0 f ( f (z )
z0
Ω
f ( f (z0 ) f (z0 )| |f (z )| |f ( f ( f (z )
Ω f (z )| |f (
Ω z0 Ω ψ
ψ
Ω
f ( f (z0 ) =
z0
1 2πi
ψ
f ( f () d z0
−
z0
ψ
z0
r
ψ ψ
f ( f (z0 ) =
1 2πi
|−z0 |=r
f ( f () d z0
−
| − z0| = r ⇒ − z0 = reiθ ⇒ = z0 + reiθ ⇒ d = ireiθ dθ
1 f ( f (z0 ) = 2πi
|−z0 |=r
f ( f () 1 d = z0 2πi
−
1 f ( f (z0 ) = 2π
2π 0
f ( f (z0 + re iθ ) ire iθ dθ i re θ
⇒
2π
f ( f (z0 + re iθ )dθ 0
f ( f (z )
z0
r
f ( f (z0 ) f (z )| |f (
z0
f (z0 )| > |f ( f (z0 + re iθ )| |f ( θ
|f ( f (z )|
|f ( f (z0 )| > |f ( f (z0 + re iθ )| ⇒ |f ( f (z0 )| − |f ( f (z0 + re iθ )| > 0 ⇒ 2π 0
|f ( f (z0 )| − |f ( f (z0 + re iθ )|
dθ > 0
2π
2π iθ
0<
|f ( f (z0 )| − |f ( f (z0 + re )|
0
dθ =
2π
|f (z0 )|dθ −
0
0
2π
0 < f ( f (z0 ) θ
|
2π 0
|| −
2π iθ
f (z0 + re )|dθ = 2π |f (z0 )| − |f (
0
2π iθ
f ( f (z0 + re )dθ 0
f (z0 + re iθ )|dθ |f (
0
1 f ( f (z0 ) = 2πi
⇒|
f ( f (z (t))dt ))dt
|
C
|
1 f ( f (z0 ) = 2π
|
C
2π iθ
f ( f (z0 + re )dθ 0
0
f (z0 + re iθ )|dθ ⇒ |f (
2π
1 f (z0 )| > |f ( 2πi
1 f ( f (z0 ) = 2πi
|f ( f (z0 + re iθ )|dθ ⇒
2π
f ( f (z0 + re iθ )dθ 0
|f ( f (z (t))|dt 1 2π
2π 0
f (z0 + re iθ )|dθ ⇒ |f (
f ( f (z0 )
2π
1 2π
0
|f ( f (z0 + re iθ )|dθ f (z )| |f (
θ
|f ( f (z0 )| = |f ( f (z0 + re iθ )| z0 r1 < r2 < r3 <
· · · < rn−1 < rn < · · · f ( f (z )
w = f ( f (z ) = u(x, y) + iv( iv(x, y) w0 = f ( f (z0 ) = u(x0 , y0 ) + iv( iv (x0 , y0 )
z0 f ( f (z0 )
|f ( f (z0 )| = [u(x0 , y0 )]2 + [v [v (x0 , y0 )]2 ⇒ f (z0 )|2 = [u(x0 , y0 )]2 + [v [v (x0 , y0 )]2 |f ( z0 z0
f (z0 )| |f (
Ω
f (z0 )|2 = [u(x0 , y0 )]2 + [v [v (x0 , y0 )]2 = u2 + v2 = c |f ( x
2u
∂u ∂v + 2v 2v =0 ∂x ∂x f (z )
2u
∂u ∂v + 2v 2v =0 ∂x ∂x
2u
∂u ∂x ∂v ∂x
−
∂v ∂y ∂u ∂y
−
y
∂u ∂v + 2v 2v =0 ∂y ∂y
2u
D
∂u ∂v + 2v 2v =0 ∂y ∂y
∂v ∂x ∂u ∂x
− ∂u ∂y ∂v ∂y
=
=
∂u ∂x
∂u ∂y
∂v ∂u ⇒ −2u ∂x + 2v 2v =0 ∂x
2
+
2
+
∂v ∂x
∂v ∂y
2
=0
2
=0
u(x, y)
∂u ∂x
2
∂u ∂y
2
v (x, y)
+
2
∂v ∂x
=0
∂v 2 + =0 ∂y x y f (z ) = u(x, y)+ )+iv iv((x, y)
|f ( f (z0 )| = |f ( f (z0 + re iθ )| f (z0 + re iθ )| |f (z0 )| = |f (
f ( f (z )
|f ( f (z )|
f (z )| |f (
Ω Ω
|f ( f (z )|
C = z (t) = aeit ,
(a > 0
reel,
(z + 2)e 2)eiz dz
(0, (0, 0)
C
C
z 2 dz
γ I =
z 2 dz C : π 2 y = x2
(π, 1)
a (z
γ
−
1
a)n dz
+ x2 )dx + (3x (3x
x = 2t y = t2 + 3 (0, (0, 3) (2, (2, 3) (0, (0, 3) (2, (2, 4) zdz
− y)dy (2, (2, 3)
z=0
y = x3
( 1,
− −1)
z = 2i
−
−
z = 4 + 2i (x2 + y)dx+ dx + x2 ydy
(1, (1, 1)
γ
x = t y = t(t + 1) γ
sin πz 3 +cos πz 3 dz 1)(z 2) C (z 1)(z
(2, (2, 4)
z = 4 + 2i 2i
z = t2 + it z = 0 z = 2i
γ
C
C : y = x2
(2, (2,4) (2y (2y (0, (0,3)
C
0 t 2π )
t 4xydx + (y 2 γ C : z = 3
||
−
0 2 x )dy
t
1
e2z dz C (z +1)4
C : z = 3
|| C : |z | = 5
sin sin 3z dz C z + π 2 e3z dz C z πi
−
C : C :
|z − 1| = 4 |z − 2| + |z + 2| = 6
t>0
ezt dz C z 2 +1
1 2πi
C : z = 2
||
eiz dz C z 3
C : z = 2
||
cos πz dz C z 2 1
−
C : C :
∓i, 2 ∓ i −2 ∓ i, 2 ∓ i sin6 z dz C (z π )3 6
C : z = 2
||
−
cos πz dz C z 2 +1
−2 − i, −2 + i, 2 − i, 2 + i −i, i, 2 − i, 2 + i C |z + i| = 1
C
dz γ z 2 +1
= sin t
f f
zn z0
N zn
ε>0
n N
|zn − z0| < ε
zn
→ z0
z0
n
S n =
ak k=1
S
∞
ak
k=1
S
∞
ak = S
k=1
zn
z0
zn Rezn
ε > 0
n, m
→ Rez0
N
I mzn
→ I mz0 |zn − zm| < ε
zn
→ z0
zn
→ z0
Rezn
→ Rez0
I mzn
C
zn
∞ k=1
|ak |
∞
ak
k=1
∞
k=1
ak
|r | < 1
∞
rn
n=0
1/(1
− r)
|r| 1
∞
a k=1 k
ak
∞
c k=1 k
ck
0 0
0 0
ck
p p > 1
−
∞
n−p
n=1
p 1
p1
lim
n
→∞
an+1 an
dk
bk
∞
ak
∞
k=1
b k=1 k
dk
→ I mz0
∞
an
n=1
1
1
limn→∞ ( an ) n
| |
1
1
∞
an
n=1
1
f n f n : A
A
→C
z
A
f n : A z f n
→C ∈A
1
f ( f (z )
n
f
A N
∈A ε > 0
f (z )| < ε |f n(z ) − f (
f n
n
S n (z ) =
gk (z ) k=1
∞ gk (z ) k=1
∞
gk (z )
k=1
S n (z )
ε > 0
→
N f A
N
z ε>0
N
f n (z )
A ε>0 f n (z )
n N
|
∞
g (z ) k=1 k
−
p = 1, 2, 3, f n+p (z ) < ε
|
z N
···
∈A
A
ε>0
z
∈A
p = 1, 2, 3,
n
···
N
n+p
k=n+1
|gk (z )| < ε
N f n
A
f n
f
A
∞
g (z ) =
→
f A gk (z )
gk (z )
k=1
A
g
gn A z
∞
n=1
⊂
A
M n
C
∈A
0
|gn(z)| M n
M n
∞
gn (z )
n=1
A g (z ) =
{z | |z | r} |z | r
zn n=1 n
∞
0r<1
Ar = gn (z ) =
z |n rn | |gn(z )| = n
n
zn n
M n =
rn n
r 0
rn n
r<1
∞
rn
rn
n=1
M n z
∈
Ar A
1 Ar
A= z
r z <1
{| ||
}
y A Ar r x
1
A
A
∞ n=1
xn n
[0, [0, 1) [0, [0, 1) ε > 0
n
N
x
xn xn+1 + + n n+1
···
[0, 1) ∈ [0,
p = 0, 1, 2,
···
xn+p + <ε n+p
1 1 + + N N + 1
··· p
1 1 + + N N + 1
· · · + N 1+ p > 2ε
x
xn+p >
1
1/2 +1 xN xN +1 + + N N + 1
N +p
x · · · + N > xN +p +p
1 1 + + N N + 1
· · · + N 1+ p
>ε
xn xn+1 + + n n+1 A z Ar
g (z ) z
A
n+p
· · · + nx + p < ε A
f n A
C
f n A f
f f n
A gn
f
A g (z ) =
∞
gk (z )
k=1
A
g
A
∞
g (z ) =
gk (z )
k=1
A
C : [a, b]
A
→A
A
f n C ([a, ([a, b]) C ([a, ([a, b]) f
f f n C
→
f C
∞ gn (z ) n=1
C
∞ C
n=1
gn (z )
dz =
∞ n=1
gn (z )dz C
f f
∞ n=0
f (n) (z0 ) (z n!
∞ f ( f (z ) = n=0
z0 z0
− z0)n
f (n) (z0 ) (z n!
− z0)n x
f (x) 2
e−1/x , 0,
f ( f (x) =
∈R
x = 0; x = 0;
x x=0
f x
∈R z
f ( f (z )
z
f
f (z ) zn n=1 n2
∞
f ( f (z ) = f (z )
∞
k=1
ak
zn = ( 1)n +
−
zn =
−
i n+1
n!in nn
in n=2 log n
∞
in n=1 n
∞
zn 1+z 2n n=1 1+z
∞
{ | |z | < 1}
ak
(z 1)n n n=1
∞
A = z
→0
z0
∞ an (z n=0
an , z0
∞
a (z n=0 n z0 < R
|z − |
− z0)n an (z
∈C
− z0)n
− z0)n
z0
|z − z0 | > R |z − z0 | = R
R > 0
A = z
{ ∈ C| |z − z0 | < R} r0
0
M
|an|r0n M
r < r0
∞
an (z
n=0
− z0)n
Ar = z
{ ∈ C| |z − z0| r} ∞
n=0
f (z ) =
an (z
− z0)n
∞
n=0
an (z
− z0)n
f (z ) =
∞ nan (z n=1
f ( f (z ) =
∞ n=0
an (z
− z0 )n−1
− z0)n a0
f (n) (z0 ) a0 = n!
∞
n=0
an (z
− z0)n
n
an an+1
limn→∞ R
p = limn→∞ p =
n
|an |
R =
R=0
∞
(i)
∞
n=0
1 p
p = 0
R =
∞
(ii) ii)
zn
zn n=0 n2 zn n=0 n!
∞ ∞ ∞
n=0
n!z n
zn n=0 nn
∞
f : A
→C
f
z0
∈A
f f A
z0
A Ar = A = C
z
∞ n=0
∈A
Ar = z
{ ∈ C| |z − z0 | < R} r=∞
∈ Ar
f (n) (z0 ) (z n!
− z0)n
Ar f ( f (z ) =
∞ n=0
f
f (n) (z0 ) (z n!
− z0)n
z0
f ( f (z ) = ez
z
f (n) (0) = 1
f (n) (z ) = ez z0 = 0 z
e =
∞ n=0
zn n!
∈
C
ez
n
ez
z =0
f ( f (z ) = sin z = z
f
−
z3 z5 + 3! 5!
f ( f (z ) = cos z = 1
−
∞
−··· =
z2 z4 + 2! 4!
n+1
( 1)
−
n=1
∞
−··· =
n=1
z =0
z 2n−1 (2n (2n 1)!
−
z 2n ( 1) (2n (2n)!
−
n
C
f ( f (z ) = log(1 + az) az )
z = 0
(z i)n 3n n=0
∞
f
−
A
z0
f ( f (z0 ) = 0,
f (z0 ) = 0,
n=0
f
f (n) (z0 ) (z n!
z0
g (z )
f
· · · , f (k−1)(z0 ) = 0 ∞
f ( f (z ) =
∈A
z0
k
f (k) (z0 ) = 0
− z0)n
k
z0 f (k) (z0 ) g (z ) = =0 k!
f ( f (z )
z0 f ( f (z ) = (z
w = f ( f (z )
− z0)k g(z)
D
z = a D z=a
z=a
a D
w = f (z )
D
φ(z )
D f ( f (z ) = z=a
φ(z ) , (z a)n
−
f
φ(a) = 0, n
∈ Z +
n.
n=1
z=a w = f ( f (z ) =
z 2 (z 3)4 (z +2)3
w = f ( f (z ) =
z 2 +z +1 (z 2+i 2+i 3)(z 3)(z
− −
−
√
−5)2
∞ nz n n=0 ∞ z n=0 e ∞ n!z n=1 n ∞ z n=1 n3 ∞ z n=0 n! ∞ nn z n n=1 ∞ nz n=1 2 ∞ n!z n
n
n
n
n
n
n
n
n
n=1
∞
n
sin nz 2n
n=1
f ( f (z ) = sin z g (z ) = cos z h(z ) = (1 + z )a tan z =
sin z cos z
w
z=0
∈C
sin z 2 , z0 = 0 e2z , z0 = 0 z0 = 1 f ( f (z ) = ez f ( f (z ) = z1 z=0
z = 0
z z 1 ez 1 z
− −
sin z ; z z 2 ez ; 1 (1 z )2 1 1 z
− −
=
z0 = 1 z0 = 0
∞
nz n−1 n=1
1 (1 z )3
−
=
1 2
∞
n=2
n(n
− 1)z 1)z n−2
z0
f
z0 ez f ( f (z ) = 2 z
1 f ( f (z ) = , z z =0
f f ( f (z ) =
f
· · · + (z b−−na)n + · · · + zb−−1a + b0 + a1 (z − a) + · · · + an (z − a)n + · · ·
z=a f z=a f z =a z=a
f
n.
w = f ( f (z ) r2
C 2
a
r1 D
C 1
f f ( f (z ) =
∞
an (z
n=0
an =
1 2πi
a−n =
1 2πi
C 1
− a)n +
∞ n=1
f (w ) dw; dw; (w a)n+1
C 2
−
f ( f (w) dw; dw; (w a)−n+1
−
∞ n=1
a−n (z a)n
−
a−n (z a)n
−
n = 0, 1, 2,
···
n = 1, 2,
···