KESEBANGUNAN BANGUN DATAR Tujuan Pembelajaran: Memahami kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah
Kesebangunan dalam Kehidupan seharihari
Kasus foto atau passphoto (sebangun)
Film negative
Pasfoto 3R (3,5”5”)
• Kasus pengubinan (kongruen) Pasfoto 10R (8” 10”)
Konsep Kekongruenan Definisi intuitif kekongruenan: Dua buah bangun datar dikatakan kongruen bila bangun datar yang satu dapat dianggap sebagai “duplikat” atau “hasil cetakan” dari bangun datar yang lain. Dengan kata lain, kedua bangun datar yang kongruen dapat saling menutupi dengan tepat.
Klik ? untuk melihat Kekongruenanny Kekongruenannya a
Konsep Kekongruenan Definisi matematis kekongruenan (sama sebangun): Dua bangun datar bersifat kongruen bila setiap pasangan sisi yang bersesuaian sama panjang dan setiap set iap pasangan sudut yang bersesuaian sama besar.
Kongruen dengan orientasi sama
Kongruen dengan orientasi tidak sama
Klik ? untuk melihat Kekongruenan Kekongruenannya nya
Apakah Bangun ABCD dan PQRS Kongruen? D A
Q
P
B
S C
Mana sisi dan sudut yang bersesuaian?
R
Apakah sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang? A
B
Q
P
D
C S
R
Sisi-sisi yang bersesuaian : AB bersesuaian dengan PQ
dan AB = PQ
BC bersesuaian dengan QR dan BC = QR CD bersesuaian dengan RS dan CD = RS DA bersesuaian dengan SP
dan DA = SP
Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang
Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar? A
B Q
P
C
D
S
R
Sudut-sudut yang bersesuaian : A
bersesuaian bersesuaia n dengan P dan
A
=P
B
bersesuaian dengan
Q
dan
B
= Q
C
bersesuaian dengan
R
C
= R
D
bersesuaian dengan
S
D
=S
dan dan
Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
D A
Q
P
B
S
R
C
Karena setiap pasangan sisi yang bersesuaian sama panjang dan setiap pasangan sudut yang bersesuaian sama besar maka bangun ABCD dan PQRS adalah kongruen
Konsep Kesebangunan Kesebangunan Definisi intuitif kesebangunan (similaritas): Dua bangun datar dikatakan similar atau sebangun bila bangun yang satu dapat dianggap sebagai s ebagai hasil perbesaran dari bangun datar yang lain.
Konsep Kesebangunan Kesebangunan Definisi matematis kesebangunan (similaritas): Dua buah bangun datar dikatakan sebangun (similar) bila semua pasangan sudut yang bersesuaian sama besar dan semua pasangan sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama (tetap). Apakah Segiempat MANO dan DIBU sebangun?
I A 2,1cm
B 1,7cm
2,25cm
N 0,75cm
M
9cm
D
6,3cm
3cm
O Klik ini untuk sesuaikan orientasinya
U
Apakah sudut yang bersesuaian sama besar ? I 5,1cm
A
1,7cm
2,1cm
6,3cm
N
D
0,75cm M
B
O
3cm
2,25cm
9cm
Besar Sudut yang Bersesuaian : M dengan
B dan
M=
B
O dengan
U dan
O=
U
N dengan
U dan
N=
U
A dengan
I
A=
I
dan
U
Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
Apakah Sisi yang Bersesuaian Memiliki Perbandingan yang Sama? I A
5,1cm 1,7cm
2,1cm
6,3cm
N
D
0,75cm M
B
O
3cm
2,25cm
Perbandingan Sisi yang Bersesuaian :
9cm
U
MO 3 cm 1 ΒU 9 cm 3 ON 0,75 cm 1 Sisi ON dengan UD MO ON NA AM UD 2,25 cm 3 Kesimpulan: BU OD DI IB 1 , 7 cm NA 1 MONA dan BUDI adalah Sebangun Sisi Segiempat NA dengan DI DI 5,1cm 3 Sisi-sisi yang bersesuaian mem AM 2,1cm 1 punyai perbandingan yang sama Sisi AM dengan IB IB 6,3 cm 3
Sisi MO dengan BU
Sifat Kekongruenan Segitiga Jika 2 sisi diketahui sama panjang
1. Teorema Sisi-Sisi-Sisi (S-S-S) Teorema S-S-S atau Teorema Sisi-Sisi-Sisi. Jika pada dua buah segitiga, semua pasangan sisi (bersesuaiannya) (bersesuaiannya) sama panjang, maka kedua segitiga itu kongruen.
C
A B
Sifat Kekongruenan Segitiga Jika 2 sisi diketahui sama panjang
2. Teor Teorem ema a Sis Sisii-Su Sudu dutt-Si Sisi si (S-S (S-Sdd-S) S) Teorema S-Sd-S atau Teorema Sisi-Sudut-Sisi. Jika pada dua buah segitiga, terdapat dua pasangan sisi yang sama panjang serta sudut yang diapitnya sama besar, maka kedua segitiga itu kongruen.
C
A
B
Sifat Kekongruenan Segitiga Jika 2 sudut diketahui sama besar
1. Teor Teorem ema a Sud Sudut-S ut-Sis isii-Su Sudu dutt (Sd(Sd-SS-Sd Sd)) Teorema Sd-S-Sd atau Teorema Sudut-Sisi-Sudut. Jika pada dua buah segitiga, terdapat dua pasang sudut yang sama besar serta sepasang sisi yang menjadi kaki dua sudut tadi sama panjang, maka kedua segitiga itu kongruen.
C
A
B
Sifat Kekongruenan Segitiga Jika 2 sudut diketahui sama besar
2. Teor Teorem ema a Sud Sudut-S ut-Sud udut ut-S -Sis isii (Sd(Sd-Sd Sd-S -S)) Teorema Sd-Sd-S atau Teorema Sudut-Sudut-Sisi. Jika pada dua buah segitiga, terdapat dua pasang sudut yang sama besar serta sepasang sisi yang menjadi kaki dua sudut tadi sama panjang, maka kedua segitiga itu kongruen.
C
A
B
Sifat Kesebangunan Segitiga Teorema Kesebangunan S-S-S Jika pada dua buah segitiga, semua pasangan sisi (bersesuaiannya) (bersesuaiannya) perbandingannya perbandingannya sama, maka kedua segitiga itu sebangun/similar.
Teorema Kesebangunan S-Sd-S Jika pada dua buah segitiga, terdapat dua pasangan sisi yang perbandingannya perbandingannya sama serta sudut yang diapitnya sama besar, maka kedua segitiga s egitiga itu sebangun/similar. sebangun/similar.
Teorema Kesebangunan Sd-Sd. Jika pada dua buah segitiga, terdapat dua pasangan sudut yang sama besar, maka kedua segitiga itu sebangun/similar. sebangun/similar.
Penerapan Konsep Kesebangunan (dan Kekongruenan) 1. Pembuktian Kesebangunan Bangun Datar Secara Umum 2. Pembuktian Teorema atau Luas Bidang Datar 3. Topik Penskalaan dalam Menghitung Tinggi, Kedalaman, atau Jarak yang Sulit Diukur 4. Penggunaan pada Denah atau Peta atau Miniatur 5. Penerapan pada Bidang Fotografi dan Printing (cetak-mencetak) 6. Pengubinan Bangun Segitiga dan Segiempat
Pembuktian Kesebangunan Bangun Datar Secara Umum Buktikanlah bahwa kedua bangun di bawah ini kongruen. G K
N
83o
H 150o
150o
11
12
L 12
80o
M E
83o
80o 11
F
Bagilah segiempat tersebut menjadi 2 buah segitiga seperti ini G K
N
q
H
p
y x
y x
11
12
L 12
80o
q
M E
p
80o 11
F
LMN kongruen
dengan HEF (Teorema S-Sd-S) Sehingga L = H = x dan N = F = p Perhatikan pada KLN , L = 150o x Juga, pada GHF , H = 150o – x Jadi, L = H = 150o – x = y (dimisalkan besarnya y )
Dengan cara sama, mudah ditunjukkan bahwa N = F = 83o – p = q (dimisalkan besarnya q ) Terakhir, dari kekongruenan LMN dan EFH maka LN = HF . Jadi, dengan menggunakan Teorema Sd-S-Sd, maka KLN kongruen dengan GHF
Pembuktian Teorema atau Luas Bidang Datar Bukti Teorema Pythagoras Buktikan teorema Pythagoras dengan menggunakan diagram di bawah ini. Diketahui segitiga ABC dengan sudut C siku-siku. H
H
I
I
B
B G
G
F
F
K
K J
C
A
D
E
(a )
J
C
A
D
E
(b )
Bukti Misalkan panjang sisi segitiga ABC di hadapan sudut A,B, dan C berturut-turut a,b, dan c . Misalkan pula sudut di hadapan sisi AC = , sudut di hadapan sisi BC = . Perhatikan segitiga ABI ABI pada gambar (a). H
Luas ABI = luas CBI , karena dengan mengambil panjang alas IB maka tingginya sama (yaitu a ). ). Padahal luas segitiga CBI adalah ½ a 2. Jadi, luas ABI = ½ a 2 ... (i)
(a ) I
B G F
Luas CBH = luas KBH , karena dengan mengambil panjang alas BH maka tingginya sama (yaitu BK ). ). Padahal luas segitiga KBH adalah ½ luas BKGH . Jadi, luas CBH = ½ luas BKGH ... (ii)
K J
C
A
D
E
Akan dibuktikan bahwa ABI kongruen dengan CBH. H
I
B B
A C
Dari diagram sebelumnya, diperoleh bahwa BI = a, AB = c, dan ABI = 90o + . BC = a, BH = c, dan HBI = 90o + . Jadi, dengan Teorema Teorema S-Sd-S, maka jelas bahwa ABI kongruen dengan CBH. Oleh karena itu, dari (i) dan (ii) diperoleh: ½ a2 = ½ luas BKGH atau a2 = luas BKGH ...(iii)
(b ) I
Dengan cara yang sama menggunakan gambar (b ), ), dan membuktikan bahwa CAF kongruen dengan EAB , maka diperoleh b 2 = luas AKGF .... (iv)
H
B G F K
J
C
A
D
E
Dari hasil hasil (iii) dan (iv) (iv) maka diperoleh: a 2 + b 2 = luas BKGH + luas AKGF = c 2.
Topik Penskalaan dalam Menghitung Tinggi, Kedalaman, atau Jarak yang Sulit Diukur Bagaimana Thales menghitung tinggi Piramida ? T
R
D
C P S
A
U
Q
B
Dengan membuat segitiga PQR yang sebangun dengan segitiga PST, maka kita dapat menghitung tinggi ST bila kita mengetahu PQ, PS dan QR. Misalkan, PQ = 20 cm, QR = 10 cm, dan PS = PU + ½ AB = 600 m.
QR
ST
PQ
PS
10
ST
ST = ½ .600 = 300 m
Penggunaan pada Denah atau Peta atau Miniatur
Contoh peta antara lain peta wilayah Yogyakarta, peta wilayah Indonesia, peta dunia.
Contoh miniatur antara lain pada miniatur gedung, monumen, dan bangunan besar lainnya.
Perbandingan panjang dalam kesebangunan, disebut dengan skala. Contohnya skala 1 : 2.000 atau 1 : 1.000.000. Skala 1 : 2.000 artinya 1 satuan pada denah/peta mewakili 2.000 satuan ukuran sebenarnya. Misalnya, 1 cm pada denah mewakili 2.000 cm = 20 m ukuran sebenarnya.
Penerapan pada Bidang Fotografi dan Printing (cetak-mencetak) (cetak-mencetak)
Sesunggunya Sesunggunya passphoto dengan ukuran yang berbeda tersebut memiliki gambar photo diri yang sebangun. Semakin besar ukuran kertas photo maka semakin besar ukuran photo diri di dalamnya. Untuk ukuran passphoto, passphoto, dikenal dengan ukuran ukuran kertas 2 3, 3 4, 4 6, dan 6 8. Untuk ukuran photo (dengan kamera biasa), dikenal ukuran kertas 3R, 4R, 6R,.... Konsep kesebangunan dijumpai juga pada bidang cetak mencetak umumnya. Misalnya, photocopy. Kertas A4, maka bila di- photocopy dengan kertas A3, ukuran gambar yangada di dalam kertas akan diperbesar menjadi 2 kali. Bila dengan A2, diperbesar menjadi 4 kali. Dengan A1 diperbesar menjadi 8 kali
Pengubinan Bangun Segitiga dan Segiempat
Semua jenis segitiga dan semua jenis segiempat dapat dipergunakan untuk pengubinan. Syaratnya hanya satu, yaitu semua ubin harus merupakan segitiga atau segiempat yang kongruen.
