Kani, Calculo de Pórticos de Varios Pisos 6Ed [1958]

D r . Ing. G . K A N I

D E VARIOS P I S O S METODO DE CALCULO SENCILLO Y RAPIDO TENIENDO EN CUENTA EL DESPLAZA MIENTO DE LOS NUDOS

E D I T O R I A L R E V E R T E , S . A. Barcelona - Buenos Aires - MCxico MCMLVlll

T I T U L O D E L.4 O U R A O K I G I S . 3 1 .

DIE BERECHNUNG MEHRSTOCKIGER R A H M E N (6:

rtlicion)

Editada por

VERLAC,KOXRADWITTWER Stuttgsrt

V E R S I ~ NE S P A ~ ~ OF LOAR

ENRIQUE R O D ~ N Ingeniero industrial, Jefe dcl serviric~ tecnico de ~Cubiertasy Tejados, S. A , , Compafila Grneral de Construcci.>ncs

@

E D I T O R I A L REVERT^, S . A . D E P ~ S I TLEGAL O B.

Reirnpresidn offset.

-

18307

-

1958

EDITORIAL LUIS VIVES. S. A.

-Z A R A G O Z . ~

N O T A C I O N E S EMPLEADAS

Momento flector en el extren~o7 de la barra 2-k

Mik -

Momento de empotramiento perfecto en el estretno las cargas esteriores.

Aftk

-

I

producido por

Momento de sujecion.

Ill,

Momento en extremo i debido a1 giro del mismo M'ki

Momento en extrelno i debido a1 giro del extremo K

M"ik

Momento dehido a1 desplazatniento del extremo z dc la barra 1-k.

--

h3

Qr

MY

Momento dcl piso

Qr

Fuerza cortante en piso r.

hr

Xltura de la columna del piso r .

h

Altura de una columna.

K = -

I 1

=

3

Coeficiente de rigidez (K

=

1

- - en barras de secci6n constante) 2

Coeficiente de reparto o factor de giro.

/Lik

Factor de corrimiento o coeficiente de desplazamiento en barras de secci6n constante). c = -

hY

Factor de reduction en coluninas.

h

Fuerza de fijaci6n a1 deslizaniiento

H

-1

KANI.

(11

3 =--

2

Z Y B

Lkngulosde giro de 10s extren~oscle una barra

Tik

Akngu~o de giro total del estrerno

1

de la barra i-k

7‘'k

ringulo de giro producido :,or la carga exterior en el extrelno z de la barra I - k

m

Factor de correccion.

o

Desplazamiento de

UII

nudo

tingulo de desplazalniento transversal de uiia colulnnn

-

-

-

aik

h,k

cih

I'

'-L-

11

0

Coeficientes de barra Ordenada de :a linea de ii~fluencia.

0

hngulo de inflexion para la elistica.

'P P'

Funciones para el cAlculo de la linea de influencia.

i

Factor de acartelanliento.

/ D

~ I o m e n t ode inercia ell centro de la barra.

I

Yalores tabulados para harra de inercia variable '1,

--

Ya!or especifico de harra

h lk

Li

Coeficiente cle elasticidad

In t r o d u c c i o n

.

Existen varios mCtodos para el calculo cle estructuras reticuladas. E n estos 6ltimos aiios el mhs difundido de todos ha sido el metodo de CROSS, o de aproximaciones sucesivas. En el caso de porticos de varios pisos, existe !a posibilidad del desplazanliento horizontal de 10s nudos. E n su calculo, se supone a veces que 10s nudos rio pueden desplazarse, o sea que son fijos, lo cual abrevia dicho cAlculo extraordinariamente, pero no permite estudiar la action de las fuerzas horizontales (viento), pues &stas son, en esencia, fuerzas horizontales clue producen un desplazamiento de 10s nudos. 1,os chlculos estiticos requieren a veces gran precision (hasta el 1 O , ) , y el hecho de despreciar el desplazamiento horizontal de 10s riudos puecle dar errores tar1 gralldes que lleguen i~icluso a cambiar el sign0 de 10s moinentos; por este nlotivo, y esto es lo que se trata ell este libro, se ha buscado un nuevo rnCtodo de cilculo de 10s desplazamientos horizolltales que simplifique su obtencion. Debo advertir, desde un principio, que es erroneo supoiler clue u11 nit:todo de ccaproximaciones sucesivas)) sea por ello un m6todo aprosirtlado, pues un mCtodo aproximado, es aqui.1 que proporciona en realidad resultados aproximados, y 10s mktodos de ccaproximaciones sucesivaso dan resultados con la precision que se desee, cuando se continua el cilculo hasta llegar a apurar estos resultados E n uii mktodo calificado conlo ccexactou, resuelto, por ejemplo, rnecliante el planteamiento' de las ecuaciones de deformacibn, 10s resultados ol~tenidosson tambiCn hasta cierto punto aproximados, pues dependen tlt.1 iiumero de cdras decimales con que ccllculen~os10s resultados de las rncoqnitas. C n metodo de naproximaciones sucesivaso (como por ejen~plo t-1 rn&todo de CROSS) puede llegar a la nlisnla exactitud en 10s resultrdos i!ue un miltodo c,esacto)), continuando las iteraciones liasta donde quer.ilrlos. Es, por 10 tanto, absurdo, designar a dos procedimientos de cilculo

4

P d R T l C O S D E 1'.4 RIOS PISO.5

que llegan a 10s mismos resultados, uno como ccexacto)) y el otro como ccapro~imado))~. El mittodo de calculo expuesto en este estudio es, por lo tanto, un mktodo de ccaproximaciones sucesivas)) y tiene, comparado con otros mktodos, las siguientes ventajas: 1. E n el supuesto de nudos fijos, o sea sin considerar el posible desplazamiento de 10s mismos, el calculo es, en este mktodo, cccorrectivo)) en cada nudo, pasando luego de kste a otro cualquiera, con lo cual, ademhs d e un ahorro de tiempo, supone lnuy poca probabilidad de que se cometan errores en el mismo. 2. La introducci6n en el c ~ l c u l ode la hip6tesis de iiudos desplazables supone una pequeca variaci6n en el desarrollo del mismo, que no tiene gran importancia.

3.

Este mktodo, por ser cccorrectivo)),puede llanlarse con ccelirninacion

automatics de 10s erroreso, debido a que dicho error desaparece a1 producirse sucesivas iteraciones. 4. La unos pocos mento, sin detalle del

comprobaci6n de 10s resultados (que se obtiene por suma de valores) puede hacerse en cualquier nudo y en cualquier moque sea necesario para 10s t6cnicos inspectores el conocer el calculo que ha llevado a1 resultado definitivo.

5 . Para el caso de que deban variarse 10s tipos de cargas o seccion de las barras posteriormente a1 cAlculo efectuado, no es necesario l~olver a empezar el mismo, sino s6l0 anotar 10s cambios y repetirlos unicamente en parte. ti. I,a variaci6n de inercia de las barras puede teilerse fAciln~ente en cuenta (conlo se vera en el cap. VI). El tener en cuenta la existencia de cartelas, frecuentes en obras de hormig6n armado, representa un aumento de trabajo muy pequeiio en el calculo, sin que esto signifique clue la existencia de ellas tenga pequeiia importancia en 10s resultados.

Todo lo dicho para las estructuras de varios pisos puede tambiPn aplicarse a1 caso de tratarse de vigas continuas con apoyos elasticamente empotrados. T:s, por lo tanto, rtna cuestibn dc definicibn, la cxactititd de detcrminadu metorlo de c6lculo. E n matemiticas, por ejemplo, no pue(1e dcrirsc quc- un metoclo es aprosiniado, cu;uitlo a? Ilcza a resultados de una esactitud r ~ r e v i a ~ n e n fiiadn. te

Otra c ~ s aCS,

POI

,~-

cjctnplo, hnllar In raiz cuadratla tlc un ni~nicroI/ 104!)00 = 33(! en lugar -

ilc calcolar la de Z/10~901,q ~ r cc i e! ni~mvrurcnl, pues, en cste caso, In csactitud depende dcl numero consi(lerado, sin que 11ucda ilccirsc clue cl p r ~ ~ c r ( l i m i ? n trs o aprnximado. 'nicnmcnte a1 terrni~iar1111 crilcrllo sr p ~ ~ d rhahTar ii de ii el ~ n r t o d oha siclr) exact0 < I aproximado.

I.

Definiciones

El objeto del cAlculo estitico d e una estructura es obtener el equilibrio de la misma, cuando, a1 cargar sus distintos elementos, giran y se desplazan 10s nudos de aquklla. Conocidos 10s momentos flectores en 10s extremos de cada una de las barras, queda determinado el cAlcu1o de la misma, pues 10s demks valores estaticos pueden deducirse de estos momentos, por lo cual el cAlculo consistira esencialmente en la deternlinacion de 10s momentos en 10s extremos de cada barra. E n cada nudo actiian dos momentos, iguales y contrarios, uno de ellos, que gira con el extrenlo de la barra, es el que debernos considerar como momento en dicho extremo, y el otro el que actiia exteriormente sobre el citado nudo. M. Adoptaremos para signos de 10s momentos flectores la regla indicada a continuaci6n, aunque sea distinta FIG. 1 de la corrieritemente usada en otros tratados: S e considera corno jbositiz~o el momento flector e n el extrerno de zlna barra, cllando S L L sentido de giro es el de las agzljas del reloj (fig. 1). Esta nlisnla regla se aplica para cualquier otro momento (por ejemplo, monienfos de fijaci611, momentos de nudo), asi conlo tambi6n para 10s angulos de giro. Cuando actiia sobre un ~ i u d oun niomento flector exterior d e sentido positive, el nudo y todos 10s extrenios de las barras que concurren en 61 recibe~i~liolnentospositivos en este extremo. I,os ~ i u d o sde la estructura se designaran con un numero de orden ( 1 , 2 , 3, etc.), o en la exposicion de la teoria con letras i , k , 1, m, etc. El rnoniento flector en el extrenlo i o k de la barra i - k se designara, conlo puede verse en la figura 1, con M,, o M k i , respectivamente. E n este caso el primer subindice indica el extrenlo en el que actiia el xllomelito.

~ -yr

1,as t~lulnentose n los r s t r e ~ n o stie Irr bnrra i-k producidos por las cargas exteriores, suponiendo enipotramieilto perfecto en ambos extremos, 10s designareillos coil JI,, o respectivamente. I'ara 10s distintos tipos de cargas corrientemente usadas, se pueden encontrar sus \-alores en 10s n ~ a n u a l e s ~ . 1,as caracteristicas de uila barra de una estructura se definen por el rrioi~iento de iiiercia de su secci6ti y por su longitud. La relaci6n entre estos dos l~alores se designa, a1 objeto de abreviar, con el valor I (coeficiente de rigidez) enipleado tambii.11 etl el 111ttodode CROSS. K = 1 Empezaremos el cilculo suponiendo que a1 actuar las cargas exteriores existe empotmnziento perjecti~ en 10s dos estrenios de cada barra, o sea, que 10s nudos permaneceii fijos sit1 poder efectuar tlingun giro ni desplazatniento. Cada barra es, por lo tanto, como una viga de utl trnmo en~potrada en sus extrenios, para 10s cuales nos sera facil calcular 10s correspondientes iiionientos de empotran~iento. A las fuerzas y nionlentos exteriores que iinpiden el desplazamiento y el giro de estos nudos las llaniaremos jzterzns y momentos de szrjeciuln. Deternlinados 10s nlomentos de empotran~ientoen 10s tludos, se calculan luego 10s nioiiieiitos y fuerzas de sujeci6n en cada uno de ellos. El hecho de esistir equilibrio en un nudo i , equivale a expresar que el momento de -sujeci6ti .IFi debe ser igual a la suma de todos 10s mon~entosde empotramiento de las barras que concurren en diclio nudo, asi:

,u,,

(Existe igualdad de signos, ademis de la de 10s valores, debido a que el niomento de sujeci6n actiia sobre el nudo 10s de enlpotramiento en 10s estrenios de las barras.) Beton Icalender - (Cale~tdariode hormighn); S t a h l l ~ a u Kalender - ( C a l e ~ ~ d a rdi or l acero); TokaOcyn: Rnhmentafeln - iTal>las para phrticos)

II.

Estructuras con nudos rigidos ESTIJI)IO DE

LOS

ANGULOS

I)l3 GIRO

1211esta primern etapa de cAlculo se supone clue 10s tiudos son indesplnzables. Cuando se defort~lautla estructura bajo la acci6a de ciertas cargas exteriores, sit1 suponer que existe rigidez en 10s tiudos de la niisma, cada u n o cle ellos gira en un determinado valor; por ejet~~plo, para ulia barra i-k el extrel~ioi girara eti uli angulo t, y el extremo k en un atigulo t,. Vamos a descoin~mnerel giro total de 10s extremos de la Imrra i - k , cot110 superposici6n de las tres siguientes y sucesivas etapas (vkase fig. 2): 1 . I,n barra i-k se defornia, flexando, bajo la acci6n de la carga, sin girar 10s extremos de la misma.

2. El extrqmo i gira en uii Angulo lnielitras el extremo k no gira.

5. El extremo k gira en extrerno i no gira.

t i ,

t i ,

mientras el

E l valor t o t a l del momento en cada extremo sera igual a la suma de las tres etapas consideradas.

FIG. 2

I'or ejemplo, para el extremo i de la barra i-k se compondrh de: Valor M,, debido a la carga exterior (momento de empotranliento perfecto en el extremo de la barra). Valor 2 M',, debido a1 giro del propio extremo i. Valor Mrki debido a1 giro del otro extremo k de la barra.

I

Se puede, por lo tanto, escribir para el extremo i de la barra i-k: -

.Ifik

=

.lik2 ,ll'ik+

(1)

El valor M r i k debido a1 giro t, del extremo i es proporciona13 a1 Angulo t, y a la rigidez k de la barra y se designarA corno influencia del giro del estremo i. AnAlogameiite, el momento Mfki es proporciorlal a1 Angulo de giro z, )- a la rigidez k de la b a r r a , y se designara corno injlue~zciadel giro del ofro exfremo k . Conocidos estos valores, podrenlos obteiler el motnento total Mi,, niediante la ecuacion ( I j , por suma de 10s mismos, o sea: del momento de empotranlieilto p e r f e c t o e n el extremo,

1-

aoo

1.:I 1,

!'

,I

1

1

6w

1

s,oo

t

del inomellto dehido a1 giro tlel p r o p i o e s t r e m o y (lel momento debiclo a1 giro tlel extrenio coiltrario de In harrn.

\ - a n ~ o sa calcular sepnradmilente cada uno de estos valores, ell lugar tle calcular directamellte el nlomento total, tle lo cual se deril-a precisnmente, conio henlos d i c l ~ oen la introd~iccion,la ventaja tle este 1116totlo. I,as s~~cesi\.:is 1-ariaciones del nlonlento flector se obtendra~len cada nutlo, ])or la reiteracihil tle una iuisnia operncihi1. I'or una sucesion arbitraria tle uno a otro nudo de la estructura, y reiterando en cad3 uno de ellos la 111isn1aoperacihn, puecle llegarse a conseguir el grado de nprosiniacitill clue se tlesea: Yamos a es1)oner el tlesarrollo del cAlculo, ~nediantela resoluci611 de un ejenllilo (\-kase fig. 3 ) . 1,as rigitleces k tle las distintas harras se aiiotan ell el centro de cada una tle ellas ell la figura 3 , doncle, ademAs, se indican 10s valores de las cargas esteriores y las longitudes tle las barras cle la niisma.

d(nr(le 1: cs el 1nhcln111rli. rln.;ticidarl dcl material d r la t n r m .

'so~!q!sod omos oqsaiap lap so[ ,i so.\llc5su ouros opls!ubz! ouraqxra la ua olua!uxa~aoduxa ap so$uamt~msol aidmars somal!q!xssa [ens ol iod 'oqsalsp la eled ou oiad ' ~ e ~ u v z ! i oeql i e q ann a p opla!nhz! ouxaqxa [B u a p u o d s a i i o ~anb sol e i e d s p ! ~ csa ~ soluamom so1 vlsd e p e ~ d o p esotrZ!s ap u!,!svlou u1 anh slrrans ua lauaa aqdp a s

.,s~urs!u~scl ap ssfa so1 ap em!srra lod d sa~ua!puodsarlos selleq s-el ap souralJxa sol ua 'n g e1n8!3 - e ~rra.soru-e~oue sol d saJua!llos salenrreru sol ap selnurlqj sel aqueypam somelnsIes sol salo!laJxa se81e3 sel wed o p a p a d o?ua!urel~odrua ap soTrraurour sotl

.elleq epe3 ap souralJxa sol ua s a l o p soA!sasns so1 nq!l3sa alrurlad sou anb 'v ern%!~el ap euranbsa ap o d ! ~ la sorueqdopv

P 6 R T I C O S LIE 17A R I O S P I S O S

10

1,os valores de 10s momentos de empotramiento en la barra 1-2, por ejeniplo, que tieile una longitud I = 4,00 m y una carga q = 1,8 mt (y que seran iguales para las barras 1-5 y 8-9, que se encuentran en idirnticas condiciones) valen: en el extremo izquierdo: M,

,= - 4 I'

---

-

~2,40 111t

=

+ 2.40 t l l t

12

y en el extremo derecho: ilf,,, =

4 I' + ---12

Para las demis barras de luces distintas a irstas, pero iguales entre si, y con la nlisma carga anterior q = 1,8 mt, obtendremos unos valores del momento de empotranliento de - 8,60 mt en extremos izquierdos y de 11,80 n ~ en t 10s derechos, cuyos valores anotamos en figura 3 a. Seguidamente se escriben 10s momentos de sujeci6n en el circulo dibujado en el centro de cada nudo. Los momentos de sujeci6n que son 10s que mailtienen la rigidez del nudo a1 giro del niismo soil iguales, con10 henios dicho anteriormente, a la suma de todos 10s momentos de empotramiento en 10s extremos de las barras que coilcurren en el nudo. Tendremos, por lo tanto, para el nudo 2:

+

,A continuaci6n, iremos determinando las variaciones que producen 10s giros sucesivos de 10s nudos. Podemos sentar, en principio, que: a1 girar uno cualquiera de 10s nudos, las barras que concurren en el mismo giran del mismo angulo y que la influencia de estos giros angulares, sobre 10s momentos en 10s extremos de las barras que concurren en el nudo, dependen 6nicamente del valor del angulo de giro y de la rigidez k de la barra correspondiente3. Cuando gira unicamente un nudo de la estructura, ejerce este giro solamente influencia sobre 10s momentos de las barras que concurren en el mismo, repartikndose proporcionalmente a 10s valores de las rigideces respectivas, o sea, expresindolo de otra forma, cuando conocemos la totalidad de 10s valores que producen este giro, podemos determinar la parte que corresponde a cada una de las barras, repartiendo esta suma proporcionalmente a las rigideces de cada una de ellas. Designaremos como extremo contiguo, el extremo de una barra que concurre en un nudo y como extremo opuesto el otro extremo de la nlisma, o sea, que a cada nudo corresponderi la misma cantidad de extrenios contiguos como de extremos opuestos. (Una viga en voladizo puede considerarse como una barra cuyo extremo opuesto se ha alejado en un vaor infinite.)

Considerando el equilibria en un nudo cualquiera i , resulta5 que el ~ n n m e f z t ototal de sujecidn Gi nzds l a szlnza de 10s vzomentos debidos a1 giro del extrenzo opuesto de la b a r m , es decir

es igual a la suma de 10s monientos debidos a1 giro del propio extremo multiplicado por (- 2). Cuando conocenlos el valor del ingulo de giro en el extremo opuesto del nudo considerado, podelnos seguidamente determinar su influencia en el momento flector en el extremo adjuiito a1 nudo referido. Cuando 10s valores de estos ingulos de giro 10s conocenlos s610 aprosiniadainente, podenlos obtener tarnbii.11 10s valores del moineiito flector citado aproximadamente, pero cada vez con mayor exactitud si reiteramos el cilculo de 10s misnios. 1,os primitives x~alores,cuando no teneiiios. ninguno co11ocido, 10s podemos suponer iguales a cero. En las sucesivas iteraciones para obtener mayor aproximacion, se procede del siguiente modo: Se suma a1 rnomento de sujecion del nudo 10s valores aproxiniados de 10s momentos en 10s extremos opuestos de las barras, esta sunia se divide por (-2) y el resultado se reparte entre todas las barras en la relacion de rigideces k de las misrnas. E s posible simplificar esta operacibn, introduciendo 10s factores de giro (o coeficientes de repartici6n) que se obtienen repartiendo proporcionalmente a las rigideces de todas las barras que concurren en el nudo, el valor total - .

[Es decir, que la suma d e 10s factores de giro de

\

un nudo debe ser qua1 a

, por ser adeniis negativos.]

E n el esquema de la figura 3 a se han anotado por cada nudo 10s valores de estos factores de giro. La marcha a seguir para el cilculo de las influencias de 10s giros seri, por lo tanto, ahora, como sigue:

S e s u m a el momento de sujecidn del n u d o con 10s monzentos flectores e n 10s extremos opuestos de las barras que concurren e n e'l. St? multiplica esta. s u m a $or 10s factores de giro de cada barra, y 10s resultados son las inflziencias de 10s giros sobre el momento flector en el extremo de cada barra. Cuatido en la ecuacibn de cquilibrio

S

41;; = 0 que debe cumplirse en cada tltldo i, sus-

(0 tituimos cste morneuto M;k por su valor dado por la ecuacibn (1) ohtetiemos

en la cual cl primer miembro es el momento de sujeciS11 del nudo i, resultando:

12

P 6 R T I r ' O S DE V A R I O S P I S O S

Keiterando esta operacirin en 10s sucesivos nudos en una marcha arbitraria, se pueden hallar 10s valores sucesivos debidos a 10s giros en 10s extremos opuestos de las barras que concurren en 61, con la aproximacirin deseada. Continuemos ahora con el ejemplo de la figura 3 a. Vamos a calcular 10s factores de giro para el nudo 9. 1,a suma de 10s valores de las rigideces K de las barras que concurren en 61 es (v6ase la fig. 3):

El reparto de

en la relacirin a las rigideces K da:

las cuales se allotan en el nudo 9 de la figura 3 a. Conlo comprobacirin se sunlan 10s valores de estos factores de giro en el nudo, que debe ser igual a 1

En la figura 3 a hemos allotado 10s nlonlentos de einpotramiento perfecto, 10s monlentos de sujecidr~y todos 10s factores de giro, y henlos calculado las influencias de 10s giros en tres iteraciones, con aproximaci6n sucesiva. Se ha enlpezado por el nudo 3, en el cual se han supuesto iguales a cero las influencias de 10s giros en 10s estremos opuestos. Los valores aprosinlados ohtenidos de este nudo se hail anotado en 10s respectivos estremos de las barras del esquema (en las vigas por dehajo de sus ejes). Coillo puede ohservarse. 10s primeros valores han dado y a una huena aprosimaci6n. El orden seguido para 10s nudos no influye en el resultado total, pero si en la rapidez de la conr-ergencia de 10s resultados. KO dehenlos seguir, por lo tanto, la marcha nlAs c6moda que seria en el orden de la numeraci6n de 10s nudos, sin0 empezar sienlpre por el nudo mhs descon~pensado,en este caso el nudo 3. Siguiendo coil la demostraci6n del nlktodo de c&lculo empleado, continuamos en la figura 3 a con la cuarta iteraci6n. Para el nudo 3 sumamos el momento de sujecirin y las filtimas influencias aprosimadas de 10s giros en Ins estren~osopt~estosde las barras:

Teniendo en cuenta que 10s factores de giro (o coeficientes de repartici6n) tienen signo negative, 10s valores de 10s giros de 10s nudos, y la sunia que hemos obtenido, tienell siempre signo contrario; es decir:

estos valores se anotail en 10s respectivos extremos de las harras del esquema, o sea, debajo de 10s valores - 6,77 y - 0,56 respectivamente. Para el nudo 2, se obtiene como sunla de las influencias:

~iiultiplicandopor 10s factores de giro, obtenemos:

. (-

.If',,,

= -

13,1R

M',,,

= -

13.49.

dl",,j

=

13.49 . (-

-

i-

0,"s)

=

0,214)

=

0,018)

-

+ S,62 + 2,89 + 0,24

en la dltinia iteraci6n en el iludo 7 se observa que, calculando s610 con dos cifras decitnales, no se ha obtenido camhio apreciable con la anterior. E n las iteraciones de 10s nudos 1 y 4 se han ohtenido variaciones muy pequefias en 10s hltin~osvalores, y en 10s otros nudos hat1 sido nulas. Cuando es suficiente la aproxitnaci6n de dos decimales, no es necesario continuar Ins iteraciones. E n 10s extremos de barras enipotradas, en nuestro caso 10s pies de las coluniilas del piso inferior, las influencias de 10s giros en estos nudos soil nulas, yn que el Angulo de giro para cualquier deformaci6ri es cero. Uila ventaja de este mktodo es, con10 henios dicho, que 10s errores de cBlculo se eliminan con las sucesivas iteraciones. La probabilidad, adeniBs, de coineter un error, es n ~ u ypequeiia, ya que sienipre consiste en la repetici6n de una operation aritniktica muy sencilla, y 10s errores en la consideraciciii de 10s signos son casi imposibles. (Obskrvense las operaciones desarrolladas en varios nudos.) Si a pesar de todo se comete algun error, bste 110 influye en el resultado final, sienlpre que no lo haya habido en 10s valores calculados para 10s niomentos de sujeci6n y 10s coeficientes de repartici6n. E l sucesivo cBlculo de las influencias de 10s giros va siguiendo sien~pre ulia niarclia con aproximaciones sucesivas de 10s mismos. A1 cometer uii error, por lo tanto, 10s valores ohtenidos no es que Sean falsos sino nienos aprosi~lladosque 10s siguientes. Daremos por terminado el cAlculo cuando, ell la ultinla iteration, 10s valores obteniclos son casi iguales, y conio es muy difieil que repitarnos el tnismo error en las ultimas iteraciones pode~nos considerar, sin lugar a duda, que el ultimo valor es bueno.

14

PORTICOS U E VARIO.5 PlSOS

Determitiadas las influencias definitivas de 10s giros, podemos obtener 10s momentos definitivos sumando 10s valores segun la ecuaci6n

Para mayor claridad, se ha hecho el cBlculo de 10s rnomentos clefinitivos en la figura 3 b en lugar de liacerlo en la 3 a. s" aconsejahle emplear para las sumas una maquina sumadora (que puede scr del tipo de bolsillo) en la cual se suman 10s valores positives y ncgativos y que, junto con la regla d e cilculo, constituye~lunos buenos nuriliares del niisrno.

E n la rnisma, se anotan 10s nlomentos de empotra~niento perfecto, v las influencias de giro obtetlidas en la hltima iteracicin, en 10s extremos he las barras correspondientes. De acuerdo con la ecuacicin ( I ) , obtendremos 10s momentos definitivos su~nandoa 10s valores anotados en $1 extremo de una barra 10s valores de la influencia del giro en el propio extremo y la del opuesto. Es decir, sumanlos en cada extrerno a 10s valores

apuntados un nlis~novalor, que es la suma de las influencias de giro en 10s dos extremos. Por ello, en el extrenlo de cada barra se anotan ndenias del valor del momento de empotramiento J- de la influencia del giro, la sulna que acabamos de indicar. I,a sulna de estos tres valores (en las columnas seran dos, por no existir niotllentos de empotramiento) es el momento total, que se anota en cada Sarra por debajo de la tinea de suma. Para la comprobaci611 del cilculo (caso de Ingenieros inspectores) no es necesario aconlpaiiar todo el desarrollo efectuado, pues basta con 10s valores de la figura 3 b, donde se lian obtenido 10s resultados finales. En ella se puede comprobar la marcha seguicla, e incluso registrar 10s valores de las influencias de 10s giros en un nudo, efectuando en uno cualquiera de ellos las sucesivas iteracioiles para la obtetlci6n de la influencia de 10s giros.

Debido a la condici6n de equilibrio en un nudo cualquiera, la suma de 10s momentos definitivos debe ser igual a cero (except0 en nudos en que actuen momeiltos exteriores). Si se hubiera cometido un error en el chlculo de estos momentos, quedaria, por lo tanto, a1 descubierto a1 no set igual a cero, o igual a1 monlento exterior que actua en el nudo, la suma de 10s momentos definitivos en un nudo. Si precisanlos cambiar, a1 final del chlculo, la secci6n de las barras de la estructura o de las cargas que act6an sobre la misnia, no es necesario repetir el nlismo. Basta cambiar 10s valores en el chlculo anterior, tomar como valores aproximados las influencias de giro obtenidas 4- continuar el calculo sobre las mismas. Bastan entonces una o dos iteraciones solameilte en 10s nudos contiguos a 10s valores que ha11 variado, hasta llegar a la nueva aprosimaci6n deseada. Antes de dibujar el diagrama con 10s momentos definitivos en 10s extrenlos de las barras, debemos asegurarnos de que 10s sig~iosde 10s mismos Sean 10s verdaderos, de acuerdo con la regla de signos adoptada. Un momento es positivo cuando hace girar el extremo de la barra sobre la cual actha, en el sentido de las agujas del reloj. U n momento flector positivo en el extremo izquierdo de una barra d a lugar a tracciones en las fibras inferiores de la misnla; un moniento positivo en el extremo derecho de una barra da lugar a tracci6n en las fibras superiores. Dibujado el grAfico de momentos flectores, conlo es costunlhre, de manera que estos monlentos queden por la parte de la barra en la que se producer1 tracciones, 10s momentos positivos debera11 dibujarse para 10s estremos izquierdos hacia abajo del eje de la barra, 5- hacia arriba para 10s extremos derechos de las mismas. E l diagrama del ejeniplo estudiado se representa en la figura 3 c.

Cuando alguna de las barras de la estructura e s t i articulada en un extrenlo (por ejemplo, colunlnas articuladas en su apoyo o vigas apoyadas en uno de sus extremos), deberh introducirse una variaci6n en el chlculo, teniendo en cuenta lo que explicamos a continuaci6n. Conlparemos una colun~nacon un coeficiente de rigidez K que est6 articulada en el pie, con otra perfectan~enteempotrada en el mismo y cuyo Q

coeficiente d e rigidez es K'

=

3 -

4

K. Se puede encontrar que para el

nlismo valor del angulo de giro en la cabeza de las columnas, el niomeilto definitive es el niismo para ambas. Consideraren~os,por lo tanto, las barras de la estructura con articulaci6n en u11 extremo, como \)arras per9

fectanle~lteenipotradas cuyo coeficiente de rigidez es igual a

3

-

4

del de

la barra con articulaci6n. I,os valores de 10s momentos de empotranliento a considerar para 10s extremos de estas barras, son 10s mismos que para una barra de igual longitud, coiltitiuando luego el cAlculo como si estas barras estuvieran perfectamente empotradas, teniendo solamente en cuenta para el \-alor del niomento definitive, que en el apoyo articulado su valor es igusl a cero. Para el caso de una estructura simktrica, y carga tambiitu si~nktricn, es suficiente el cAlculo para la initad de esta estructura. Cuando el eje de simetria pasa a lo largo de una columna (o sea el caso de un nutnero par de tramos) 10s nudos de este eje no experimentan ning6n giro. rueden considerarse, por lo tanto, como nudos con empotranliento perfecto. Cuando el eje de sinletria pasa por el centro de 10s tranios de las barras horizoutaes (o sea, para un numero impar de tramos), se puede sustituir cada una de estas barras, despu6s de calculados 10s momentos de enipotraniiento, por una barra mitad de lo~igitudempotrada en dicho eje de simetria y con un valor del coeficiente de rigidez K ' igual a la mitad de su coeficient e K correspondiente a la barra primitiva. (Cuando se deforma una barra sim6tricamente respecto a1 centro de la misma, de tal manera que sus extremos girail en un Angulo igual pero siniittrico, hay una misnia relaci6n erltre 10s nionientos y 10s Angulos de giro en 10s extreinos, que entre 10s momentos y Angulos de la barra equivalente por la cual se ha sustituido.) 1,os extreinos de las barras en voladizo (o cantilever) se pueden considerar conio una barra cuyo estrenio opuesto estA a m a longitud infinita. E l valor del coeficiente de rigidez K de esta barra es igual a cero y el rnomento de empotramiento el de una barra cualpiera. E n el caso de actuar un moniento exterior sobre uno de 10s nudos, pueden considerarse conio si fueran debidos a una m6nsula que se apoyara en este nudo, y, por lo tanto, esta ni6nsula no influye para nada en la distribuci6n de momentos. E l caso de un apoyo en cantilever es igual a1 de d e una mitnsula, como hemos dicho.

El crilcztlo de un po'vtico con nudos rigidos ( n o desplazables) se eiectfia mediante un esqueina (vease fig. 3 a ) y consta de las siguientes etapas: 1. Se calculan para el tip0 de carga supuesto, 10s momentos de enipotraniiento perfecto en 10s extrenios de las barras Mik y se anotan encima de las correspondientes barras del esquema. Sumando en cada nudo estos momentos de empotramiento, obtenemos 10s valores de 10s nionientos de sujeci6n para cada uno de dichos nudos,

10s cuales anotanios en el centro del circulo de cada nudo

2.

Obtenenlos luego 10s valores de 10s coeficientes de ~,epavticici)t o factoves de

givo p, repartiendo el valor

/-\ &\ proporcionalmente en cada nudo a 10s valores 2 1

de las rigideces h' de las barras que concurren en el extremo i de la barra i-k tendriamos:

. Por

ejemplo, para el

0)

rZnotamos estos valores en cada nudo frente a la barra correspondiente (dentro de la superficie anular) y coniproban~osque su suma en cada nudo sea igual

3 L a s sucesiz~asSnflz4enczns del givo de 10s terminamos por iteraciones de la operacion

U L I ~ ~ OaS

10s momentos

3

las de-

siguiendo de un nudo a otro, basta obtener la aprosimacion deseada 4 . Sunlando 10s momzntos de ernpotramierrto e n los extveinos rle las barvus MSk con la influencia de 10s giros, obtenenlos 10s momentos definitivos de 10s extrenios de cada barra. Asi para un estrenlo de la barra i-k obtenemos

111. Pórtico de varios pisos con nudos desplazables, en sentido horizontal

Cuando los ~iudosde una estructura durante su deformación, además de girar se desplazan de su posición, véase figura 1, puede descomponerse la deforniación de la barra vertical correspondiente, así: 1. La barra i- k se deforma sin girar sus extremos ni desplazarse (empotramiento perfecto). 2. El extremo i gira en un ángulo T~ sin girar el otro extremo k, ni desplazarse ninguno de ellos. 3. El extremo k gira en un ángulo T, sin girar el i, y sin desplazarse ninguno de los dos.

-L d J

1. Los extremos i - k se desplazan entre ellos en un valor 6 (véase fig. 4), sin que dichos extremos experimenten ningún nuevo giro.

Teniendo en cuenta que estas tres primeras etapas son exactamente iguales a las consideradas en el caso de estructuras con nudos fijos (igualdad l ) , bastará para el cálculo del momento M,, en el extremo de la barra que se desplaza, agregar BIG. 4 a aquella igualdad el valor M",, debido al desplazamiento 6, del extremo i de la barra. Conocidos, por lo tanto, estos cuatro valores de los momentos en el extremo de la barra, puede obtenerse el momento total resultante mediante la suma: ill,,

= ,v,k

+2

4

M',,

A

(1 a)

El valor M",, debido al desplazamiento del extremo de la barra lo designaremos como la influencia del desplazamiento de los pisos de la estructura

sobre los nionientos en los nudos. Escribiremos de nuevo la ecuacióil de equilibrio de momentos eil un nudo i Z -TIlk = (4

y mediante la ecuación (1 a) deduciremos la regla operatoria para el cálculo de las influencias del giro de los nudos, igual que heiilos hecho en el caso de nudos intraslacionalesi. Empleando los niismos coeficientes de reparto aiiteriores, obtendremos también ahora las influencias del giro de los niidos, niediante la suma de momentos de sujeción de las iilfluencias de los giros de los estremos opuestos y además de las influeiicias del desplazainieiito -11 , eii cada una de las barras concurrentes en el nudo, es decir, de la suma

*vi, -.

JI, - Z 131'k, - 31",kl (1 1

Para las barras de sección constante como supoilemos hasta ahora, tenemos M",, = M",, . Por lo cual será necesario, debido a la simetría del cálculo, un solo valor para la influencia del desplazamiento, el cual anotaremos en la mitad de la barra. Teniendo en cuenta las condiciones de eqiiilibrio de la estructura, emplearemos para el cálculo de las iilfluencias del desplazamiento un proceso análogo al utilizado para las influencias de los giros. Como luego demostraremos, existe una conipleta analogía entre los dos procedimieiitos. Consideraremos en este estudio, solamente pórticos de varios pisos coi1 columnas verticales, y para el cálculo de los desplazamientos horizontales distinguiremos sucesivamente el caso de que actúen o no fuerzas horizontales sobre el pórtico, y el caso de pórticos con columnas de distinta altura en un mismo piso. Corten~oshorizontalmente, figura 5, todas las coluninas de u11 piso r cualquiera. Para que exista equilibrio, debe verificarse que la suma de todas las fuerzas cortantes de las columnas de este piso sea igual a cero.

Esta ecuación de equilibrio, que debe cumplirse para cada piso (cuando existe la posibilidad de desplazamientos horizontales de los iludos), se

'

S i i s t i t u ~ e n d ola ecuaci:>n ( 1 n i en la de equilibrio

2 .ll,+ =: O 01

para u11 iiudo cualquiera i, nhtendre!nos

deduce del desplazamiento horizontal igual y contrario de las barras horizontales, y mediante la misma pueden calcularse las influencias de los desplazamientos de los nudos para la obtención de los momentos. Suporiiendo primero el caso de un piso r con co1umna.s de i.gual longitzhd, obtendremos la ecuación de equilibrio, mediante la sustitución del valor del esfuerzo cortante en la columna i-k, en la ecuación ( 1 a).

2 Ork =

-

'

.Uik A- * T í k i --

-

/lik

- -11 ' i k ~ : !~ f l ' ~ ~ ~ . A$ l fl r k' , ~) = ~ fO

2 ( 2 ~lf',~-

h'k

(7)

C'%,$=

Ifl

y de ésta

.r All",k= (7)

3 --

-

2

.r ( . f l ' c k

+

(7)

La suma de las influencias de los desplazamientos de las colurnnas de un piso r sobre los momentos, puede determinarse, por lo tanto, mediante las influencias de los giros de los extremos de las columnas del misn~opiso. I,a reparticibn proporcional de esta suma en las distintas columnas, la deducirenios del siguiente razoilamiento: FIG.5 Al desplazarse un piso r , la viga superior que une las cabezas de las columnas en un valor 6, respecto a la inferior que une los pies de las mismas, todas las colunlnas de este piso se desplazan transversalniente en la misma cantidad. Se supone, conlo siempre. que las longitudes de las barras son constantes. Teniendo en cuenta que la influencia del desplazamiento depende íinicamente del valor 0 de dicho desplazamiento y de los valores de

K -

h ?- es, además, proporcional a ellosR, se calcularán las influencias sobre las coluninas del desplazamiento 6 del piso Y , en proporción a los valores de

K

y teniendo en cuenta, además, que las columnas de este piso tienen h la misnia longitud, en proporcicíil a las rigideces K de estas barras. -

-a

1<1valor dcl momento debido al desplazaniieiito es

r n la cual

mismas.

6 es el

desplazamiento horizontal de los extremos de las columna: y h la longitud de las

2-

P O R T I C O S D E 1,,7.4 R I O S P I S O S

Para facilidad del cálculo, adoptaremos análogamente a los factores de repartición, unos factores de corrivziento (o coeficientes de desplazamiento) repartiendo el valor - proporcioi~almente a las rigideces K de las columnas del piso Y . 2 Llegaremos a la conclusión de que el cálculo de las influencias del desplazamiento es tan sencillo como el de las influencias de los giros: S i i ~ ~ z a r e m olas s inflztencias de los giros efz todos los extremos de las col u ~ i z n a s del piso, nzztltiplicaremos esta sztma sucesivamente por los factores de corritllien t o, o btenielldo de esta forma las inflztencias correspondientes al desplazanzien f o. Mediante las influencias de los giros se calculan las de los desplazamientos y con éstas otra vez las de los giros en sucesivas iteraciones, hasta obtener el grado de aproximacih deseado. -

Ejemplo Conlo demostracion practica de esta teoría, vamos a desarrollar el mismo ejemplo de la figura 3 pero suponiendo los nudos desplazables. Se conserva11 los mismos valores de los coeficientes de repartición y momentos de empotramiento perfecto en los extremos de las barras (véase figura 6 a ) . La primera iteración de las influencias del giro es también exactamente la misma, ya que empezamos asimismo coi1 valores de la influencia del desplazamiento iguales a cero, por no coiiocer otros más aprosiniados. Anotamos los factores del corriniiento en el lado izquierdo central de cada columna a que corresponden. El reparto de este valor J

- - para

'L

el piso superior da lugar a un valor en cada una igual a -(),SO.

En el piso intermedio hay cuatro columnas de la rnis~narigidez K. El 3 reparto del coeficiente - - en cada una de ellas da un valor de - 0,37.5. 2

E n el piso inferior, las coluninas iio tienen la misma rigidez, por lo cual sumanios los valores de K: 0,2

3 y repartimos el valor - -, 2

+ 0,2 -- 0,3 1 0,3 =

1,0

proporcioiialmente a los valores de K, que

para las colunlnas de la izquierda da:

y para las dos de la derecha 3

2

0,8 1,o

--

- 0,450

elouaqui? uo!slila~! el ua coqua!rrr~ze~dsapsol E sep!qap se1 u?!qu~q Equans ua aslauaq rraqap 'sopnu sol ap sol!Z sol ap s-e!suangu! SEJ l-elnsps 1~ .olnslys la E ~ O ~ soruanuytoa .(E '2hj asli?,l uo!swaurnu

EJ E ~ E C ~01 )

E

ñ 6 '8 sopnu sol ua

sEuuInlos SEI ap oqua!ur~z~ldsapIap sE!suanIp! SEI op-elrw~~s u ~ d ~as y anb ap saqui? 'uq!selaql elaslaq el eqsey opeZaI1 BY as v g erna!~BI u 3 CZ

S 3 7 g V Z V 7 d S 3 C l SO(I.9.V . Y 0 3 S O S I d S O I X 6'11 3Cl 0 3 I L X Q d

Para el nudo 10 la suma de influencias nos da:

+ 3,211 +

1,01

+

0 , 0 3 - 1,08

+ 0,00 + 0,42 + 0.39 = + 0,97

Multiplicando este valor por los coeficientes de reparto, se obtienen las correspondieiltes influencias: -0 ,?O, -- 0,03, -0,20 y -0,05, las cuales anotamos como nuevas aproximacioiles en el iludo 10. Para el siguiente iiudo 8, obtenemos como suma de influencias: -2,10

+ 0,04 + 1,26

C 0,00

,0,42

i 0,2B

=

-0,12

1,a cual multiplicada por los correspondientes coeficientes de reparto, da los valores: +0,02, +0,17 y +0,02, los que se anotaxi en el lugar correspondiente del esquema. Para el iludo 9 obtenemos: -6,20

+0,17

+ 0.16-0.20+0.00

k0,42+0,26=

-

5.39

+

y como influencias de los giros: + 1,30, +0,17, 1,04, +0,17. A continuación, calculanios la influencia del desplazamiento de las columnas. Para el giro superior, deberenios sumar las influencias de giro de las cabezas de todas las columnas de este piso -n,o-l

-k o,o2

+ 0,24 + 0 , 0 8 - - 0 , 5 ~ --

0,02

=

-o,~-I

Multiplicando este valor por los factores de corrimiento, obtenemos para las tres columnas el valor 0,12 que es igual al de la anterior iteración. I,a suma en el piso intermedio es 0,O-l

+ 0,02 + 0,lB + 0,17 4

0,03 -0,03

--

0.84

-

0,6S

-

:

l,13

que multiplicado por el factor de corrimiento -0,975, rios da el mismo valor anterior igual a +0,42. En el piso inferior, la suma de las influencias de giro da

+ 0,02 + 0,17 - 0,05

- 1,02 =

- 0,88.

JIultiplicando por los correspoildientes factores de corrimie~lto,nos da, para las columnas de la izquierda, una influeilcia de desplazamiento igual a +0,26 y para las de la derecha, igual a f 0,40. La cuarta iteración da lugar solamente a pequeñas correccioxies, cuando no se precisan más que dos decimales, y en realidad sólo será conveniente hacerla en los nudos 1, 2 y 3 y eventualmente en el l. La correccióti de errores que, según hemos explicado, se obtiene para el cálculo con nudos fijos, puede también aplicarse al caso de nudos desplazables. Por lo tanto, cuando estamos seguros de no haber cometido error en el cálculo de los momeiltos de sujeción. de los coeficierites de reparto y de los factores de corrimiento, podemos estar seguros de obtener resultados correctos. La comprobación de los resultados de un cálculo es a veces laboriosa, pero siempre es recomendable cuando se han debido realizar gran número de operaciones; es además muy conveniente, antes de continuar un cálculo, la comprobación de los resultados ailteriores.

?

Obtenidos las influencias de los giros de los nudos y de los desplazamientos de los mismos, basta para obtener los momentos definitivos en

los extrenlos de las barras, aplicar la fórmula (1 a) en la cual se suma en cada estreirio de la barra: el la la la

momento de empotraniierito perfecto, doble influencia del giro del m i s m o nliilo, iiifluencia del giro del f~rido ofl~~esfo y influencia del desplazamiento.

Para calcular los momentos definitivos en los extremos de las barras del ejemplo que estamos desarrollando, en el cual hemos obtenido las influencias de los giros y de los desplazamientos, el procedimiento a seguir es el siguiente: 1. Se tachan en cada extremo de barra los valores no utilizables, dejando solamente los momentos de empotramiento perfecto y la influenY Mfik). cia final del giro

(Kk

2. Se forma en cada barra la suma de las influencias de giro en ambos extremos más la del desplazamiento (Mi, + M',, + M''$. Esta suma se anota en ambos extremos de l a barra. 3. Se suman estos valores anotados. (En las barras horizontales tenemos en cada extremo tres valores, y en las columnas dos, ya que en ellas no existen, en este ejemplo, momentos de empotramiento.)

La suma de estos valores es el momento total, como podemos observar comparándole con la fórmula (1 a). Los momentos resultantes se han dibujado en la figura 6 b. (En el siguiente ejemplo, en la figura 8 b, explicaremos además el cálculo de los momentos flectores definitivos.) Debajo de los momentos totales obtenidos en el extremo de cada barra, anotamos entre paréntesis los valores obtenidos en el caso de nudos fijos (obtenidos en la fig. 3 b). Esto nos permite comparar estos valores y darnos cuenta de las diferencias, especialmente en las columnas; incluso hemos obtenido cambios en el signo de los momentos. Vista la sencillez del cálculo para el caso de nudos desplazables, no está justificado el suponer que estos nudos son indesplazables, como hemos hecho antes.

Cuando hay articulaciones en los pies de las columnas, en lugar de empotramiento como en el caso anterior, se puede efectuar el cálculo partiendo también de los momentos de empotramiento perfecto en los extremos de las barras, pero asignando un valor a la rigidez 3 .-1 K' = -4 1 para las barras que tengan uno de los extremos articulados. Los factores de corrimiento de las columnas, en el caso de articulación en sus apoyos, siendo todas de la misma altura, se obtiene repartiendo el valor (-

2) (como luego demostraremos) en lugar de

proporcionalmente a las rigideces K de dichas columnas.

(-

%l.

P 6 R r I C O DE V A R I O S PISOS C O Y SC'DOS DESPLAZAOLE\

27

E n el caso del pórtico de varios pisos, sobre el cual actúan fuerzas horizontales en los nudos o fuera de ellos (véase fig. 7), no podemos considerar estos nudos como rígidos. Existirán ahora, además de los rnomentos de sujeción, unas fuerzas horizontales de fijación (representadas

en la fig. 7 por los valores p)que impidan el desplazalniento de los nudos, como los mometitos inipideii el giro de los mismos. Calculados los momentos de empotramieiitc perfecto en los extremos d e las barras, se calculan luego los momentos de sujeción, así como las fuerzas de fijación mediante las eciiaciones de equilibrio. Para calcular los desplazamientos en la misma fortna que lo hemos liecho para el caso de cargas verticales, deberemos sólo tener en cuenta que ahora intervendrán unas fuerzas de fijación H que antes no existían. Estas fuerzas las podremos eliminar introduciendo, para cada una de ellas, una igual y contraria que la anule. Estas fuerzas adicionales se representan en la figura 7 a. Efectuando un corte horizoiital para todas las columnas de un piso cualquiera Y, podemos establecer la condición de equilibrio: (1)

'Y Q t k = 'Y H , (1)

piso

Z -1

O sea, que la suma de las fuerzas cortantes en todas las columnas del Y es igual a la suma de las fuerzas horizontales H que actúan en los

28

P 6 R T I C O . S D E V A R I O S PI.\O.s'

nudos por encima del piso r . Esta s w n a de las juerzas H de lijacio'n gzie actzían por encima riel piso r la designaremos como es/tterzo cortante Q, bajo este piso.

Las fuerzas cortantes de un piso pueden obteiierse de las fuerzas de fijación para el caso de empotramiento perfecto. Así, por ejemplo, calculando la fuerza cortante Q,, para una columna i-k del piso r , y usando luego la fórmula (1 a ) , teniendo en cuenta que

y que todas las columnas del piso tienen la misma longitud h,, podenios poner y para la suma de las influencias del desplazamiento en todas las colun~rias del piso r : 1.%f",, =

(7)

-

2

(rl

Designando como momento del piso

M,

el valor

Q, . hr

igual al tercio 3 del producto del esfuerzo cortante por la altura del piso, teiidrenios: Q, . 11, .TZr= -

--

3

1,os factores de corrimiento son iguales a los del caso de carga vertical, y la única diferencia con este caso consiste en que al hacer la suma de las influencias de los giros en'los extremos de las colunlnas debe añadirse adeniás el nioniento del piso E l cálculo, por lo tanto, de un pórtico de varios pisos coi1 cargas horizontales coiistará de las siguientes fases:

ur.

1. Cálculo de los nlonlentos de empotraniiento perfecto eil los estremos de las barras y de los momentos y fuerzas horizoiitales
Las operaciones a realizar en las fases 2 y 3 pueden serlo al inismo tiempo para las influencias del giro y del desplazamiento.

L a difere~lciaesencial entre el cálcztlo de un pórtico de varios pisos con carga horizontal, y otro con cargas ~!erticales,consiste en que al calcular la i n flzlencia del desPlazamiento debe agregarse en los extremos de las colltmnas el momento del piso %,. Designando por v,, el factor de corrimiento de la barra i - k , el ~ralorque nos d a los momentos debidos a1 corrin7ienfo es:

E l valor que d a los monieritos debiaos a la influencia del giro del nudo es designando coi1 ,ui,el coeficiente de giro en el extrenio i de la barra i - k :

Coniparaiido estas dos igualdades, vemos la analogía de las inismas. en lugar del factor de giro, E n ambos casos, en lugar de M',, hay AV",k; el factor de corrimiento, y en lugar del momento de sujecióii, el momento del ~ i s o . Tanibiéii es análoga la semejanza geométrica. Por la rotacióii del nudo giran todos los extremos de las barras en el niisnio árigulo t y las influericias del giro, debidas a esta rotación, son proporcionales a las rigideces K de las barras. La determinación de la influencia del desplazamiento se lia obtenido calculando el niovimiento de las vigas entre sí. Las columnas del piso considerado experimentan, por lo tanto, el mismo desplazamiento transversal 6, y, por ello, su influencia sobre los momentos de los nudos debe estar en relación con las rigideces K de las barras. Debemos tener en cuenta, además, que al considerar el desplazamiento de los nudos su influencia aumenta en proporción al número de pisos más el número de nudos de cada piso. E l cálculo, por lo tanto, de un pórtico de varios pisos con carga horizontal consistirá en: 1. Suposición de empotramiento perfecto, cálculo de los momentos de empotramiento en los extremos de las barras, de los momentos de sujeción, de las fuerzas de fijación y mediante ellas, de los esfuerzos cortantes y momentos de piso

(Los momentos de piso son positivos cuando la carga horizontal actúa de izquierda a derecha, o sea cuando las fuerzas de fijación lo son de derecha a izquierda.) Deben anotarse los momentos de piso, en el esquema, a la izquierda de la columna del piso correspondiente. 2. Los valores de los factores de giro y de corrimiento son los mismos que eii el caso de carga vertical (véase fig. 6 a ) .

:(O

P ( í K T I C 0 S DE I/'dRIOS P I S O S

3. A1 efectuar la primera iteración debe tenerse y a en cuenta, en cada nudo, el momento del piso M,,en lo cual se diferencia este cálculo del caso de carga solamente vertical. Después de cada iteración en todos los nudos, se hace la compensación por pisos de los valores encontrados en cada extremo de las columnas de un piso y se alternan las dos operaciones hasta conseguir la aproximación deseada. 3. E l cálculo de los momentos totales es igual al caso de cargas verticales, pero col1 desplazamiento horizontal de los nudos. E n el siguiente capítul'o se explicará un ejemplo de cálculo con carga horizontal. Para el caso de actuar a la vez los dos tipos de cargas verticales y horizontales, el cálculo no ofrece ninguna nueva dificultad, siguiendo la marcha indicada anteriormente.

LOLVMXAS D E D I F E R E N T E ALTURA E N U N MISMO PISO

La existencia de columnas de diferente altura en un piso Y no modifica los valores de los factores de giro y las influencias de dichos giros, solamente las influencias del desplazamiento experimentan variación. Empezanlos eligiendo conlo longitud de las columnas del piso Y un valor ficticio Iz,, igual al de las columnas que figuran en tnayor número con esta longitud. Escribamos de nuevo la condición de equilibrio,

que debe cumplirse en cada piso Y , la cual puede transformarse teniendo en cuenta la ecuación ( l ) , y multiplicando luego por h,, en la siguiente:

y llamando factor de redz~cciónel valor c:

obtendren~osiiltroduciendo, además, el valor establecido anteriormente

2, del

momento del piso,

Al desplazarse transversalmente un piso Y , es evidente que todas las cabezas de las columnas se desplazan en un mismo valor 6. Las influencias

P ~ R T I C OD E V A R I O S P I S O S C O N N U D O S L ) E S P L d Z A B L E S

31

del desplazamiento dependen, por lo tanto, únicamente de 6 y de la relación Kik hrk

y son proporcionales a estos dos valores. Teniendo en cuenta, además, que el valor 6 es igual para todas las columnas del mismo piso, la influencia del desplazamiento será proporcional a Kik

o también, el valor cik K i k , resultando de ello la relación

y expresando el valor del factor de corrimiento en una forma general, obtenemos

y la igiialdad (5 a) que expresa el valor del momento total debido al desplazamiento, puede escribirse así:

O sea que, para pisos coi1 columnas de distintas alturas, debemos tener en cuenta las siguientes n~odificaciones:Empezaremos tornando una altura de piso h, en la forina que hemos indicado; calcularemos para cada columna hl y lo anotaremos al lado de las mismas. el factor de reducción c = h Los factores de corrimiento los calcularemos mediante la igualdad (4' aj y los anotaremos también en el esquema de cálculo. Al terminar con la influencia del desplazamiento, niultiplicaremos la suma de los momentos de las influencias del giro en los extremos de las columnas, por el correspondiente factor de reducción c . En el caso de columnas de igual longitud, efectuábamos la comprobación de los factores de corriniiento, viendo si la sunia de los mismos en cada piso era igual a

5).

--

(

Para el caso de columnas desiguales, deberá ser la suma del producto

Vamos a aplicar 10 dicho, al esquema indicado en la figura 8, el cual difiere de la estructura de la figura 3 únicamente en las longitudes de las dos últimas columnas del piso inferior.

Los factores de giro y de corrin~iento son los mismos calculados antes. Elegiremos como altura ficticia para las columnas del piso inferior h, = 6,00 in, con 10 cual los factores de reducción serdn para este piso: c

para las dos colun~nasa la izquierda h, 6,00 -=-- l,50 para las dos de la derecha h,, 4,00

= 1

C =

Los factores de corrimiento para las dos columnas de la izquierda de este piso inferior serán, según (4' a )

y para las de la derecha

la comprobación de los valores de los factores de corrimiento da: 2 (-0,171

. 1,0 - 0 , 3 8 6 .

1,50) =

-

1,500

E n el esquema de la figura 8 a , anotamos los factores de giro, factores de corrimiento, y en las columnas del piso inferior, además de los factores de corrimiento, los de reducción c.

$U1

1S'(]

-

ZI i0C't'

.C'O

- - I'vJt.

=

-

-

Ilt'

:epla!nbz? t. E ~ elaru J - u d e1 ap seurrIn1os se1 e n c l oses alsa rra ualsrxa 019s anb 'selleq se1 ap soru -aqxa so1 ua o)ua!rueqodrua ap soluaruoru so1 s o r u e ~ o u eu g s e n u g u o s y

35

P Ó R T I C O S L)E V S R I O S P I S O S

Para evitar confusiones, conviene separar estos momentos de empotramiento en los extremos de las columnas anotados en el esquema, mediante una línea horizontal por debajo de los mismos que los separe de las influencias de los giros, que se obtendrán más tarde. (Así lo haremos en fig. 8 u.) A continuación se anotan los momentos de fijación obtenidos por suma de los momentos de einpotramierito, en el centro del círcrilo de cada nudo. Sigue luego el cálculo de los momentos de los pisos. Para ello precisamos primero los valores de las fuerzas de fijación, que son, designando la viga superior con 1, la intermedia con 11 y la inferior con 111:

Estas fuerzas serán positivas, según la regla de signos adoptada, por actuar de derecha a izquierda (la carga actúa de izquierda a derecha). Con los valores de las fuerzas de fijación, obtenemos las fuerzas cortantes del piso (que también son positivas) así: en piso superior Q = 0,875 t en piso intermedio Q = 0,875 en piso inferior Q = 0,875

-

-+ 1,875 2,750 t + 1,875 -+ 2,500

==

5,250 t

y los momentos de los pisos:

-t 1,021 nit

Anotamos en el esquema, a la izquierda de las columnas de la primera fila, estos valores de los momentos de los pisos (dentro de unos recuadros para mayor claridad) y a continuación empezamos con el cálculo de las influencias del desplazamiento, que son mayores que las debidas a los giros. Como no conocenios, hasta ahora, ningún valor aproximado para estas influencias de los giros, calculamos únicamente las influencias del despla-

I - ' ~ R T I C OD E V A R I O S P I S O S CO.V N U D O S D E S P L A Z A R L E S

35

zamiento, n~ultiplicandolos momentos de los pisos por el correspondiente factor de corrimiento, obteniendo para las columnas del piso piso piso piso

superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,012 . intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,666 . inferior, dos columnas izquierda. 10,50 . inferior, dos columnas derecha . . 10,50 .

(-0,500) = --0,sl (- 0,375) = -!,38 (-0,171) = -- 1,80 (-0,386) = -4,06

Anotamos estos valores en el esquema (fig. 8 a).

A continuación, calculamos las influencias de los giros en la forma conocida, y seguimos el cálculo hasta la segunda iteración para cada uno de los ntidos. Como demostración de las desigualdades que aparecen'en las colutnnas del piso inferior, continuarenios el cálculo hasta la tercera iteración. Para la influencia del desplazamiento, calcularemos las del giro, para el piso superior:

y como influencia en el piso: -- 0,500 . 1,14 = 0 , 5 7 para las tres columnas. E n el piso intermedio, como influencia del giro:

+ 3,67 + 0,10 + 0,12 + 0.04 + 0,06 + 6,05 + 0,13 -k 0,09 + 0 , 3 0 = + 4,56 y las del desplazamiento -0,373 - 4,56 = - 1,71 para !as cuatro columnas. En el piso inferior, con columnas desiguales, debemos mtiltiplicar por el factor de reducción c: -E 10,56 + (0,12 -+ 0,06) . 1,OO + (0,20

+ 0,45) . l,50 = $- 1l,66

y las del desplazamiento para las

dos columnas de la izquierda dos columnas de la derecha

- 0,17 1

11,66 -=- 1,99 - 0,386 . 11,66 = - 4,50

A continuación, repetimos las iiifluencias del giro en nudo 1 :

+ 0,51 + 0,11 + 0,05 - 0,557 = -+ 0,10 ~ t c . Para obtener los valores totales de los momentos flectores, repetimos, para mayor claridad, el esquema en la figura 8 h. Transcribimos en ella los valores de los niomentos de empotramiento en los extremos de las barras y debajo de ellos los valores finales, obtenidos para las influencias

del giro y del desplazainieilto. Comparaiido con la figura 8 a , venios que ya en la seguilda iteración, los valores obtenidos diferían muy poco de los finales. clue anotamos en la figura 8 6. A continuacióri y en el extrenio

de cada barra sumamos estos valores, poniendo una línea horizontal por debajo de ellos, cuya sunia 110s da los moliientos totales en los estremos. Puede también operarse, sGlo con el esquema 8 a , tachando todos los valores que no necesitanios y sumando los momentos de empotramiento perfecto con los de las influe~iciasde la íiltitna iteración.

P Ó R T I C O D E V A R I O S PISO.5 C O S S U P O S D E S P L A Z A B L E S

Supongamos ahora que en el piso inferior con columnas de diferente altura hay alguna de ellas articulada en el apoyo. Una columna articulada en su base que tiene un coeficiente de rigidez K y una longitud h, experimentará en su extremo superior un giro t y un desplazamiento horizontal 6, iguales a los de una columna empotrada 3 3 en su base que tuviera una rigidez K' = - K y una longitud h' = - h. 4 2 Podemos sustituir, por lo tanto, las columnas articuladas en su apoyo, por otras empotradas, teniendo en cuenta los valores anotados. Solamente debemos tener en cuenta el nuevo valor del esfuerzo cortante en la columna articulada, por lo cual escribiremos la igualdad, que nos da el valor de esta fuerza cortante

3 4 1 para ei caso de empotramiento.

y en ella torriaremos para valor de m

lada y m

=

=

-, en el caso de columna articu-

El procedimiento a seguir será, por lo tanto, el siguiente: calcularemos primero los momentos de empotramiento en los extremos de todas las barras de la estructura, y para aquellas que estén articuladas sustituiremos 3 3 los valores de la rigidez K y longitud h por otros K ' = - K y h' = - h. 1 2 Con estos valores, calcularemos los factores de giro como es costumbre, y los factores de corrimiento mediante la fórmula:

en la cual c,,

=

hr

-

es el factor de reducción de la columna y el valor de

hik

nz

3 o bien m = 1, según sean articuladas o empotradas. 4

= -

Para la comprobación de la suma de los factores de corrimiento del piso r , emplearemos la fórmula

38

I'fih'I'I(

OS

DI; 1 . A R I O . S P I S O S

Ciiando todas las colutiinas del piso r estáii articuladas en sil apoyo, sustituyerido el valor

ilz

=

J

--, obtendremos para el valor de los factores

4

de corrirriierito en este piso:

y su comprobació~cori

REsrram~DEL

C A P Í T Y I . ~111

El cáiciili de los nionieritos totales para uri pjrtico d e varios pisos cori niidos desplazables, se desarrolia de la forilra sipi~ittitey iiiediatite ei es<;uciiia de la figura 8 a

p:iii~:.i<: los iiionieiitos de eniputraiiiieiito perfecto iv,b eii el 1. Sr ca::i113:1 extí-c:r;o í!: c:L3?1:1, i a n l s [lar2 ias fuerzas rerticales coiiio irut~zoritnles\- sc aiioiai: etl 10.: extrenio:. c ~)i,iieric-~i, i~:cgo, loa trioiiiciito~d c siijecicíii cii rarix iiiicio i, siii~~:iiitio los 31011;~iit~7:UL. e m ~ < i k l a ~ i l l í ~
,vi

~ Y Z

(il

y ioi; a:io:atiics el: e' ccritro de los rirciilos de cada iiccio. ZI",el cas<; di.ex;.>,ir ." cargas horizoiitales, clcteriiiinarenios a(2ciii:ís las fuerzas -. ¿!e fij:.cií!;; ií > coíi ei!a~., cr. caca 1)iso 1 , la fuerza (?, uiediante la siiiiin de estas fiicr-.za- 1< qii:, :;iLi1zi, pi:r ei.,ciin~(iei ~ l i s oconsiderado

cOí eSrC.:

.,.*

--

2.

v,91s.r
-

(2, -11, - , los

ciiaies 3 ariotzreiii<.i; a l c izqi~icrdnde las co:uniiias de la priiuera fila, deiitro [le uir reciia
. 4

CGteritlrciiro: ioc cclr/i~icntrsiif ~ r p a r , t oj; (igual coiiio eu e! caso tic pórtico

' 1

de niidos fijo:;) repariiciido ei vztlor

eii ci?ila iiu
P Ó K T I C O DE l r A R I O S P I S O S C O K N U D O S DESPI.AZARLE.5

39

Después de anotar los valores de los coeficientes de reparto en cada nudo frente a la barra respectiva, comprobaremos que la suma de eiios es en cada nudo igual -

1

:

2

z @;A

== --

1 -

(comprobación)

2

íi)

Ca!ciilarernos luego los /actores d~ corrimiento v , distribuyeiido en cada piso el valor

(- f

proporcionalniente a las rigideces de lar columnas y 1% anotarenios

a !a izquierda dc la colu~utiscor~ecpondiente.Tiara uno columna i-k del piso r , el valor de a, será. 3 K,i; l'ik = - - --(4 a) 2 CK,h (71

la suma de :os factores de corrimiento scth en cada pije igual a

3. Lar in/iiiz>i:ias dri givo A l f i R se oY~:eirdrAi? por itcraiihr; sucesiva de la fórmula: M';,, =-. l l i b L11.1; - i Z1 4 ( 3 a) (, L- j,

de iinc: a otro nu.do L a s ir,,/iu~,;cias d?l n'~sfila?a;iiie~zlo JT.~'',~, si. ob!e:iidiA;.i p ~ :itc~nciór;c:irczira a todos los riiidol; d- la lóruiulo

1,as iteraciorre~riiediantc las fórinitlac (3 a ) y ( 5 nj i;?,iali snr<~:..iv::s aitenia?id-, 1az dos, t'ilipczalicli? coi- 1:i (3 a) para cada riudo y liic~cj1á (S n ) ctr.., liwtt. qiie toda? la? i r l f i u ~ i ~ i *di. la.",giros y decplnz~iriilritai!Icguíli a !rc cs;ict ¡ti16 tleiinda. 4 Obte~idrt:iios 1x7 iiii los i j i ~ ~ i ~ ~ l-.ci'eji~;i(i?~os ífo.; cí; i c ~tnt~.~ri.r,.s 26 lns liarrcis, las ini'liic.riri-15i i c 10:- gito:: ;l:'ik, y suiiiandí, los rnorileiitos iir: ci~;~iotraiiUe;i!o las itlfl~iericias[le! dcsplaza~iiii.iito M",i, h í , por ejciii!,lo, Ila?a c.¡ t:xt:erilr, dc 1:: barra i-k -. .lí'::: =: ; ' V , h 4- 2!Lf'ik 4 iVJk" -, ' " i . T 1 s t L , i i (1'

B.

L a s colic~:i?zas d:

117:

I I C ~ S I + K I piso

/ir))z~i.~ I / U Y U S iiisii?:!ns.

1. c 1 cdlci.i!o rlc los t!:c~;te.rifosd t Jijución y i f t los v:on:e1i.!as de los +isc;s es el iuisxi~u dt.1 caso dc pi,so; coi1 coliimnas tiT>igii..,! altiira. C:r>:no eltiira dfl fl.s.s h , piiedc ioina?s-2 la lo!igliild de la-. colu!iinas que iigiirfli C i i ilia'.o? ~~lítilf-le. 2. Ir1 cá/cu!r, cie 1% /<;:lo,-es de gi;,o , ~ iy su coiiiprol,r:~:i es iyiiai. I ' 2 i t ~ 1;, altura adoptada de piso h,, calciiloreii~ospara cada colutiii1-7,i-.k dcl 1,is-;>r: lo' Iaciorei de reducci6ii c: h, CIA " '

hin

los cua!cs anotarenios a! laso de cada coluiiina ec el equclixa rZe chlculo (veefc la

figura 8 b piso inferior). I,os factores de corriniiento iiiediante la siguiente fórmula

vik

del piso

Y

los determinaremos (4 a')

-

y la comprobación con:

3. El rálculo de las influencias del giro M f z k es igual al caso de pkos con coluinnas de la inisma longitud, es decir, mediante la fórmula (3 a ) . La influencia del desplazainiento M I l k se calcularh iiiediarite la fóriiiula: M",k

= v,k

[M,

2 c,k

( . ~ ' , k

~f'k,)]

(5 a ' )

4 . E l cálculo de los monieiitos definitivos en los extreiiios de las barras es el rnisino que en los pisos con columnas de igual longitud, es decir, con la fórmula ( l n ) .

C. Pava el caso de colrwnnas avtzculadas e n sus apoyos con una rigidez II' y una longitud h se calcularán, ciespués de anotados los momentos de empotraniiento en los extreiiios de las barras, sustitiiybndolas. por otras eriipotradas en sus bases con 3 3 3 - . Con una rigidez K' = -Ii', con una a!tura h' = - h y un coeficiente m 1 4 4 estos valores se obteridrdn los coeficientes de reparto v factores de corriiiiiento coino lieiiios explicado en el capitulo correspondiente. 1,uego se seguirá por el método corriente.

IV. Comprobación automática de los momentos totales Este niétodo de cálculo ofrece (con10 het-iios explicado al priiicipio) una coiiiprobacicín autoniática del mismo, pues con excepción de los valores fundatiientales, o sea, momento de rigidez, nionientos de los pisos y rigideces K de las barras, el resto se cotnprueba por iteración. Aunque para la corrección de los factores de giro y de corrimiento existe una comprobación por sunia, es interesante u11 método que permite, adeiliás, coniprobar el resto de valores. Debemos hacer observar que eti el caso de repaso por la misnin persona, de los cálculos efectuados, y siguiendo el niismo camino en el repaso que en el primer cálculo, puede cometer siempre el i~iistiioerror, con lo cual este repaso no es conveniente. I'ara los valores fundanientales, es decir los nlomentos de inercia, longitudes de barras, rigideces K, etc., no puede seguirse otro método que el corriente, por lo cual sólo es posible el repaso por otra persona o por la misiiin, con gran cuidado. I'anios ahora a esponer u11 sistenia de comprolmción de los monientos definitivos con los datos primitil-os del cálculo. Esta comprohacicín será satisfactoria cuaiido pueda deniostrarse que eil ninguna parte de la estructura existe un desequilibrio o deformación que sea incompatible con el estado de equilibrio de diclia estructura. Existiría esto, por ejemplo, cuando en un niido, la suma de los momentos definitivos sea diferente a cero, ya que en este caso existiría un momento flector en el nudo que desequilibraría el tnismo, o también, cuando los extremos de las barras que coticurren en un nudo no giraran todas en el niistno ángulo.

Cuando en un pórtico de varios pisos no es posible el desplazamiento de los nudos, basta coinprobar ias dos siguientes condiciones: 1. La condición de equilibrio se cumple cuando no necesitamos agregar en ningún nudo de la estructura otras fuerzas (fuerzas de fijación o

P Ó l i l l ( O S L)L' I..-lKl 0.5 P I S O S

12

momento de sujeción que no existen en reaiidad) para mantener el equilibrio del iriismo. Se debe tainbién comprobar que eii cada nudo la suma de los momentos definitivos es igual a cero, o sea, cuando sobre el nudo actúa un rnoniento exterior, que la suma de los monientos defiilitivos en este nudo es igual al momento exterior.

11. L a coiidición de que la deforinacióri es normal se cumple cuaiido todos los extremos de las barras rígidamente unidas giran en e? rriismo ángulo de giro. L a comprobación de las sumas de los monientos flect~resdcfiríitivos (condición 1) se puede efectuar muy fácilmente. Para coniprobax 1s coiiclición 11 deberetrios calcular los ángulos de giro en los extremos cie las L* es. barras. Estos áiigulos se obtiefieri coilio suma de tres valores ptrc'71 Para el extremo i de la barra i-k el ángulo de giro se calcula por 12 ccaucióil

.

ro,, es el valor del ángulo producidn pcx ia carga exterior a 1;; :-igs

.

2-Iz

~iiii~~lciiiente apoyada (un tramo sini~,lc con dos apoyos). T:I ~ ~ g i ~ ~ ~ c l iiii.eni?)~c;es el valor del giro proclücido por el mon~entore~u1t;~~iit.cen el estrenlo i, y el t e ~ c c rmiembro, el \-:do; proclucido por eI i:ioni~i;t,, r e d t a i ~ t cque r?ctíia c:i el otro extrenir? k . : . I'ara i:iayor corriodidad de cálciilo, c:!lculareii~o~e;; l~:ga!-Cii :: L I I golos de giro T, otro ángulo Ti c?bteiiicio's~~iuliiplica~ido T, l)oi :! ';' -,

y entonces ?',*

=

SCik

. +

Afik -

.

1

:Ilik -~

.> Iiik 6 1 cA!cdo de estos ángulos de gJro es i i ~ u ysencillo y se efcct:':: <'ii cl i!!isiii~ esr1tie:n;i de la estructura. E I I I ~ ~ Z determiiiatld~3 ~ I I I O ~ pn;.~? 1:- w r g a c s t e ~ i o rIns alo ores del giro de las barras iiiultiplicadoc pcr 3 i:: c : (:( cir, Y'(!,,, nlediante datos de los matiu-iles y a~iotándolo eii el e,ique.!iici eil los cstrenios de las barras correspoiidiciites. Calculareiilos li~ego~ I cada R I,',
ts?icriio de la barra

y lo anot.uenins taiiitiiiii el! el Kik esqueiiin. De acuerdo coi1 la ectiacióii qcc 110s da 7;, deberenios Cn;cntrí iite 7

el valor de

""

di:.idir en dos partes iguales el valor de

Af$): h'i,

y ariotarlo con

.-.r!IC %:;S .

Ct71l-

trario eti el otro extremo de la misma barra. 1,a suma de estos tres vnlores determina eri cacla extremo de la barra el valor de T,, qtie l~:~~c:iii~o::. ;y el cusl para todas las barras que ccticwrei? en u n nudo rígido delicii i e i ~ c r el iiiis:ilo valor.

C O I I ~ P R O B A C I O ND E L O S A I O h I E N T O S T O T A L E S

B.

PÓRTICO D E VARIOS PISOS CON NUDOS DESPLAZABLES E N SENTIDO HORIZONTAL

Cuando existe la posibilidad de desplazamiento horizontal de los nudos, es necesario que se cumplan no solamente las condiciones 1 y 11,párrafo A, sino también otra condición de equilibrio y otra debida a la deforniación: 1 a . E n un corte horizontal por todas las columnas de uri piso, la suma de las componentes horizontales de la carga esterior actuando por encima de esta sección debe ser igual a la suma de todas las fuerzas cortantes eii las coluninas. (En caso de carga vertical la suma de estas fuerzas cortantes es igual a cero.) 11 o. E l desplazaniieiito transversal 6 entre los extrernos de todas las coluninas del mismo piso debe ser igual.

Hagamos en cada piso un corte liorizorital. Cuando la carga horizoiltal actúa úiiicamente en los niidos es indiferente a qué altura del piso se efectúa el corte. Pero cuando la carga liorizoiital actúa directamente sobre las columiias, debe cciiisiderarse la coliimiia coiiio una viga libreniente apoyada en aii-ibos lados y calcular el ptiilto d t iiiflesióri, o de canibio de sigilo, de la fiierza cortatite para la carga dada. Efectuaiido el corte liorizontal por estos l3uiitos de fuerza cortante igual a cero, queda el esqueitia como en el caso de carga úiiicaiiieiite en los iludos. Se suiliati despu6s todas las fuerzas horizontales por e x i m a de este plano y sii siinia debe ser igual a la siinia de las fueizas cortantes en las columnas. Las fucrzas cortantes de las coluninas i-K qiie están íiriicamrnte cargadas por trioiiieiitos eii sus extretiior-, cuando el corte liorizoiital se ha liecho eii la foriná indicada, sc calcularáil con la ecuaci6ti

híái cóiiiodo qiie el eiiipleo de las fuerzas cortaiites tAscalcular con el producto de la altura del piso h, por la fuerza cortante. Para las coluiiiiias de lorigitiid igual a la altura del piso h, iio es iiecesario dividir por la altura del i)iso, y tendrenlos: ii --

,

i

(

+1

. -2h,h

Par;i las coluiniias con 1 1 , ~= h, iiecesitaii~os íiiiicatiiciite sumar los !iioiiieilt,)s ex los extremos. I'zra uti corte horizoiital por uii piso r , doiidc todas las coluninas tiene:i la misiiia longitud, la ecuacióii de equilibrio 1 n puede escribirse corno 13 suiiia de todas las conipone~iteshorizontales de las cargas que r

actiiaii por encinia del corte del piso r y que se designa como .Z IPi 1

44

PÚRTICO.5 DE V A R I O S P I S O S

L a condición de equilibrio 1a se cumple para el piso conszderadn. cuando la s u m a de los momentos definitivos e n los extremos de las columnas del piso r es igual al producto con signo contrario de la altura del Piso h, Por la s u m a ZH,. 1

(Las fuerzas H son positivas cuando actúan de izquierda a derecha.) Cuando las longitudes de las columnas del piso r son desiguales, la condición 1a toma la forma siguiente:

Comprobación de las condiciones de deformación 11 Comparando con una estructura de nudos fijos, en el caso de nudos desplazables horizohtalmente, debemos comprobar los ángulos de giro en los extremos de las barras, teniendo en cuenta que no cnnocemos al principio el valor del desplazamiento transversal 6 de las cabezas de las colun~nascon respecto a los pies de las mismas. Así como la determinación de los ángulos de giro eii los extremos de las barras horizontales se efectúa igual que en el caso de nudos fijos, es necesario para las columnas determinar primero los desplazamientos transversales 6. Es necesario, por 10 tanto, empezar con la comprobación de la condición 11a . El cálci.110 de los ángulos de giro en los extremos de las columnas se diferencia en el caso de nudos móviles del caso de nudos fijos, únicamente por la adición del

o

ángulo -, es decir, el ángulo que fornia el eje de la barra desplazada con h su posicion primitiva (el eje de la colunina es la recta de unión entre los 6 nudos). Llamaremos a este ángulo - ángulo de desplazamiento transversal. h El método explicado en los capítulos anteriores ofrece, además, en el caso de comprobación una ventaja esencial, la de que los ángulos de 6 desplazamiento transversal - se pueden calcular inm: diatamente después h A de las influencias del desplazamiento M"ik.Designando el ángulo 3 E h;, con D j k obtendremos ,

Los ángulos de giro en los extremos de las columnas se calcularáii según la ecuación:

Calculados los ángulos de desplazamiento transversal Dikcon las influenk seguidamente la condición 11a . cias de desplazamiento M r r iobtendremos

Para un piso con coluninas de lo~igitudigual, serán iguales para todas las colun~naslos valores D,, . E n pisos con columilas de diferente loilgitud, serán iguales todos los valores D t k .hik. El cálciilo de los áiigulos de giro para nudos nióviles se diferencia del cálculo de éstos, para el caso de los nudos fijos, únicamente en que en todos los extremos de las columiias se agrega el valor Di,. Cuando se han obtenido los nionientos resultantes por otro procedimiento y debemos calcular los ángulos de desplazamiento transversal D,,, a partir de ellos puede considerarse, en este caso, cada columiia i-k conio una barra en cantilever empotrada elásticamente en su extremo superior k y solicitada en su extremo libre inferior por la fuerza cortante Q,, y por el momento resultante Mi,. El ángulo de desplazamiento transversal Di, se compone, por lo tanto, de cuatro valores:

T , debido al giro de la parte superior k del voladizo; DO,, debido a la carga lateral exterior de la columna (si existe esta carga) donde la columna se considera como una barra en cantilever:

Oik

hik producida por la fuerza cortante Qs que actúa en la parte iiiKik ferior de la columna considerada como un voladizo; 3 M i , producida por el moniento flector Mi, que actúa eii la parte -

2

Kik

inferior de la columna supuesta como una viga en voladizo. Es decir, la ecuación para la determinación del ángulo del desplazamiento transversal Di, de las columnas (cuaiido no conocemos las influencias del desplazamiento M";,) será:

Debemos conocer en este caso los ángulos de giro T , de los extrenios superiores de las columnas. Para ello debemos empezar calculando los ángulos de giro T en las barras horizontales, mediante la misma ecuación que hemos usado para nudos fijos, ya que las barras horizontales no sufren ningún desplazamiento mutuo en sus extremos. Sigue luego el cálculo de los ,ángulos de desplazamiento transversal Di, (con la comprobación de la condición 11a), y el cálculo de los ángulos de giro en los extremos de las columnas. Comparando con el caso de estructuras con nudos fijos, deberemos agregar, además, el valor de Di,; Ti, se calculará entonces según la siguiente fórmula: IVZ~, 1 hZki Ti, = Dik 4- TO;,+ -- (6 a) -

Kik

2

Kik

El cálculo del ángulo de desplazamiento transversal D,, se empieza siempre con el cálculo del giro T , de la parte superior de la columna. Es absurdo y se puede omitir el cálculo de nuevo de estos ángulos de giro en las cabezas de las columnas de valor Di,.

46

P ~ K T I C O SDE V A R I O S P I S O S

Ejemplo Como ejemplo para la comprobación de un pórtico de vanos pisos con nudos desplazables en dirección horizontal, sirve el esquema repre-

sentado en la figura 6. El cálculo de dicha' comprobación se ha efectuado en la figura 9. Se ha supuesto que conocenios únicamente los momentos resultantes. E1 cálculo de los ángulos de desplazamiento transversal Dik, que es complicado, se explicará en el ejemplo.

CO.?IPROB.+CION

DE L O S .110A11ES7 OS 1 0 1 . 1 I t . 5

17

FIemos anotado eii el esquema en los centros de las barras los valores de las rigideces K de las barras y en los respectivos extremos de las barras por encima de las vigas, o a la izquierda de las columnas los momentos flectores definitivos. Además, en los centros de las columnas y por encima de los valores de las rigideces K, hemos anotado el valor de Q h, es decir, la suma de los momentos en los extremos de la colurnna respectiva con signo opuesto.

Convprobación de la condición 1 E n cada nudo, la suma de los momentos definitivos debe ser igual a cero.

Comprobación de la condición 1n E n cada piso la suma de las fuerzas transversales de las columnas debe ser igual a cero, ya que la estructura no tiene ninguna carga horizontal. Debido a que, en nuestro caso, cada piso tiene coluninas de igual longitud entre sí, debe ser la suma de los valores Q . h para cada uno de ellos igual a cero. Por ejemplo, en el piso intermedio -

1,02 - 1,83 - 0,87 $- 3,72

-

O

Cuando las columnas de un piso no tienen la misma longitud, estos valores deben multiplicarse por el factor de reducción c,* antes de hacer la con~probación.

Comprobación de La condición 11 Como se ha explicado anteriormente, es necesario calcular primero los áiigiilos de giro en los extremos de las barras horizontales (cuando no sea posible el cálculo de los ángulos de desplazarniento transversal Di, partiendo de las irifluencias del desplazamiento M",,). Deberemos calcular ,wik 1 AtlkL los tres sumandos: Ti k - Tgik+ - - ICrk

2

Iíik

Cálculo de los sumandos de T,,: Para las barras 1-2, 4-5 y 8-9 con una carga q = 1,8 t/m (véase la fig. 3), tenemos

Para las otras barras horizontales, todas con la misma carga q = 1,8 t/m y además una carga concentrada P z 7 . 2 t en el tercio derecho, encontramos:

P Ó R I I C O S D E I'AIi'1O.S

18

PISOS

Anotamos estos valores en el esquema en los extreriios correspoiidieiites de las barras y por debajo de las misnias. .I,uego, mediante diclios \-a. l Jlk, lores anotados, podemos determinar las relaciones - y , por KLk 2 K,k ejemplo, para la barra 2 - 3 ,

-

sumando los tres valores correspondientes encontramos los ángulos del giro de la barra 2-3 iguales a +3,61 y -8,56 respectivanieilte. Cuando hayamos eilcontrado los ángulos de giro para todos los extrenlos de las barras horizontales, seguiremos con la comprobación de la condición 11 a. Para el cálculo de los ángulos debidos al desplazamiento transversal D,, de los extremos de las columnas emplearemos la fórmula

E n nuestro caso el término DO,k no debe considerarse, por no existir ninguna carga horizontal en las columnas. E l 1-alor de Ios ángulos B,, lo hemos anotado en el esquema en la mitad de la columna y a la derecha de su eje. I{1 pririier térniiilo es el ingulo del giro T h del extremo superior de la columna, el cual se deduce de los ángulos de giro en los extremos de las 3,6. barras horizontales. Para la columna 5-2 el valor de T k = Para el cálculo del tercer término, segundo en nuestro caso, utilizaremos el valor de Q,, . Iz,, anotado junto a la columna. Para la columna 5-2 este valor es -1,20, y dividido por K = 0 , I da un valor de este

+

término

Q . hik

-

-

12,O. Para el cálculo del tercer término de la co3 *lf,k = 7,s. lumna 5-3 e1 valor J f i k = O,,52 y, por lo tanto, 7 fi i k

-

+

'2

Kik

+

La suma de estos tres valores nos da el ángulo de desplazamiento lateral del eje de la columna D, es decir, Dik = - O,6. En pisos con coluniiias de la misma longitud deben ser iguales todos los ángulos D , dentro de los límites de la posible exactitud. (En caso de coluinilns tlesigiiales deben ser iguales los valores de Di, . h,, . ) I'ueden calcularse también los ángulos de giro en los extremos de las coluninas:

(

O.lIPIIOIl.4 C I Ó S DI; [,O.\

1IO.IICSTO.S

1 OTAL/;\

49

El cálculo de los ángulos de giro en los extremos superiores de las columnas, debido a las causas anteriormente explicadas, no se efectúa. Los valores TOikno deben considerarse, ya que no existe ninguna carga horizontal en las columnas; es decir, se sumarán únicamente los tres términos. Para los extremos inferiores de las columnas hemos anotado en el esquema los valores correspondientes. El número inferior en dicho esquema es el valor del ángulo de desplazamiento transversal de las columnas D, el cual para todas las columnas del mismo piso tiene igual valor (cuando las columnas tienen la misma longitud). Para la columna 5-2 vale -0,6. El número siguiente es el 0,52 valor Mi, es decir, para la columna 5-2: -- = +5,2 y el tercer miembro: Kik o, 1

+

--

La suma de estos términos nos da el ángulo de giro en la parte inferior de la columna, el cual debe coincidir con los ángulos de los extremos de las barras horizontales en el mismo nudo. Para poder comparar las diferencias obtenidas en los resultados del cálculo de comprobación, vamos a hacer una coilsideración sobre concordancias en los valores que podemos obtener. El cálculo de los momentos definitivos con dos decimales representa, aproximadamente, un error de 0,Ol. Al calcular los ángulos de giro en los extremos de las barras horizontales se multiplican los momentos definitivos por números meilores que 1. Por lo tanto, un error en 0,01 en el cálculo del momento resultante da lugar a un error menor de 0,01 en el ángulo de giro. Al calcular los valores de la deformación de las columnas en el piso superior se multiplican los momentos resultantes por números iguales casi a 30. Por lo tanto, un error de 0,01 en el momento resultante puede producir otro de hasta 0,3 en los ángulos de giro o en los de desplazamiento. Las comprobaciones en la figura 9 quedan siempre en unos límites de exactitud que permiten obtener los valores de los .momentos definitivos con una aproximación de dos decimales.

A.

Comprobación de los momentos definitivos e n el caso de nudos fijo

Comprobación del equilibrio Condición 1: En cada nudo i la suma de toda? los niomentos definitivos M;k debe ser cero: ZMik = O íi)

o cuando en el nudo actúa un momento exterior M i debe ser

PORTICOS DE V A R I O S PISOS

50

Coitzprobación de las defovmaciones Condición 11: En cada nudo i deben ser iguales los ángulos de giro de todas las barras concurreiltes en el nudo y unidas a él rigidamente. Designando con Toikel valor del ángulo de giro multiplicado por 3 E en el extreiilo i, producido en la barra i-k libremente apoyada en ambos extremos y cargada exterioriiiente, se obtiene este ángulo multiplicado por 3 E en el extremo i de la

barra i-k: T ik. y .ik -

+

Mik Kik

---

1 .Wki - - -2 liiR

(6)

La suma de estos tres térininos para cada extremo de la barra se efectúa en el esquema (fig. 9). B.

Coljzprobacz4n de los momentos definitivos en caso de nzcdos desplaznbles

Co>nprobacióndel equilibrio Condición 1: Es la misma que en el caso de nudos fijos, es decir,

o cuando actúe en el nudo un momento exterior M i Z *TIik= Mi (1)

Condición 1a:

En cada piso Y la suma de las fuerzas cortantes en un plano horizontal debe ser igual a la suma de las componentes horizontales de la carga que actúa por encima del plano de corte Y : r

Cuando la carga actúa directamente sobre las columnas (fuera de los nudos), se determinan primero los puntos de inflexión en los diagramas de las fuerzas cortantes para esta carga horizontal, suponiendo ambos extremos de la columna como libremente apoyados. Efectuando los cortes horizontales por estos puntos de inflexión de las fuerzas cortantes (cuando la columna no está cargada directamente, el lugar del corte horizontal es arbitrario) se obtendrá fácilniente la fuerza cortante para cada columna con Qik - M,k Mk, hik

-

+

es decir, directamente de los valores de los momentos resultantes, lo cual permite comprobar esta condición sin dificultad. Comprobación de las deformaciones Condición TI: En cada nudo i los ángulos de giro de todas las barras ngida-

mente unidas a él, deben ser iguales. Debido al mutuo desplazamiento 6 de los extremos de las columnas, la recta de unión de los extremos de la columna gira el ángulo

-.6 h

%te ángulo, o el ángulo

de desplazamiento transversal Dik correspondiente multiplicado por 3 E, puede determinarse más fácilmente partiendo de las influencias de desplazamiento Mf';k:

('O.IIPRO».-ICI.ÓS

»E

L O S .IIO.IIE.YTO.S

1'01'.-lri'.s

51

E1 valor del ángiilo de qiro T,h (le1 extremo i :niiltiplicado por 3 1 en caso de riiidos desplazables, se calculará con la fóriniila (esqiierria fig. 9):

T ,k es el valor del ángulo de giro inultiplicado por 3 L eil el extremo de la barra 2-k libremente apoyada y cargada cori la carga exterior. (Este valor se encuentra en los inaiiuales.) Cuando iio coiiozcarnos las influencias del desplazamiento ?/I'',k deberemos calcular los áilgulos de desplazaiiiiento transversal D,k partiendo de los momentos definitivos en las barras. Cada coluninl i - k se considera como un trctrilo contilever empotrado en el extremo k , y cargado además de la carga exterior en el extremo !ibre i, por la fuerza cortante QZk y el iiiomento resultante Mik. Designando con Th el valor del giro eii el estreino k iilultiplicado por 3 E y con Do;k al ángulo de giro n~ultiplicadopor 3 B de la recta de unión de los extreinos de la colurrrna, que es la viga en voladizo estáticanierite detenriinada bajo la carga exterior, obtendremos

Los ángulos de giro S,+deben por eilo determinarse antes del cálculo de los ángulos de desplazaniiento transversal Di,+.Como hemos detallado en la figura 9, debernos seguir en este caso el sigiiiente procedimiento: 1. Cálculo del ángulo Tik de giro de los extremos de las barras horizontales (ya que éstos no giran por el desplazamiento transversal D;k, se efectúa el cálculo como en el caso de una estructura con nudos fijos). 2. Cálculo del ángulo de desplazamiento transversal Dik según la ecuación (7 a). 3. Cálciilo de los restantes ángulos de giro Tikde los extremos de las c o l ~ ~ n a s . (Cuando para el cálculo del ángulo de des lazamiento transversal Dik se utiliza el angulo de giro T k en el empotramiento de viga en voladizo, no es aconsejable repetir el cálculo de estos ángulos de giro Tk.)

&

Condición 11 a: En cada piso Y debe ser igual el valor D i k . hik para todas las columnas. Cuando todas las colunnas tienen la misma longitud, los ángulos de desplazarriiento transversal D;k so11 iguales para todas ellas.

V. ' Líneas de influencia

M

El cálculo de la línea de influencia de una estructura puede referirse a la determinación de la elástica de dicha estructura bajo una carga determinada, empleando el teorema de Maxwell, sobre la reciprocidad de las deformaciones. Cuando provocamos, por ejemplo, en la viga continua dibujada en la figura 10 una inflexión 0 en el punto m, la elástica correspondiente a esta inflexión nos da la forma de la línea de influencia para un momento flector M en el punto m. Designando por rj la ordenada de la elástica 9 a) iL 1 en un punto arbitrario, obtendreI mos la ordenada q de la línea de : Y b) --, influencia con m

$1 =

FIG. 10

Y 0

0 es un ángulo arbitrario. El signo de la línea de influencia es contrario a la dirección de la inflexión 0 producida por el momento flector M positisro en la sección considerada (véase fig. 10). Para un ángulo 0 igual a 1, la elástica nos da directamente la línea de influencia. Para determinar la línea de influencia de una estructura para un momento flector actuando en el punto m, deberemos: 1. Producir en el punto m una inflexión 8 , 2. Determinar los momentos correspondientes a esta deformación, 3. Dividir los momentos resultantes por B y dibujar las correspondientes elásticas. Esta elástica es la línea de influencia que buscamos. Es corriente la determinación de la línea de influencia como elástica de la estr.uctura ( n - 1) veces estáticamente indeterminada que se obtiene

suponieiido uiia articulacióii en el punto nl en el cual se produce la inflexión O. Para el cálculo de las distintas líiieas de influeiicia se coloca el punto de articulacihn de tal foriiia que para cada líiiea de influencia exista uii sisteina (iz -- 1) eces estáticamente i~idetermiriado. X pesar de lo eiiuiiierado vanios a usar otro método basado eil las siguientes ideas: Efectuada la inflesióil 6, se da de nuevo a este punto uil estado de rigidez (volviendo a soldarlo). Para la elástica esta soldadura iiu tieiie ninguna influencia, pero explica el origeii de la línea de deforniacióii de otro modo, ya que aliora el puiito de iiiflexión viielve a ser nuevamente rígido, 4- iio se aprecian las propiedades elásticas de la viga deforniada por la inflesióil del sistenia primitivo, Deberenios operar otra vez coi1 un sistema lz veces estáticamerite indeterininado. E1 cálculo se empezará supoiiieiido el estado de eiiipotramieiito perfecto. A. A Eil e s t e e s t a d o d e enipotraniieilto perfecto 1)roducirernos simultáiieamente, i o n l a iiifleFra. 1 1 sión 6, eii el 1)iiiito nz unos momentos de fiiación en los extremos de este vallo, 10s cuales 110 permiten ningún giro de los extremos de la barra (véase la fig. 11). Los otros tramos de la viga están descargados. A1 áiigulo 6 se le puede dar uii valor arbitrario. Doblando el valor del ángulo, quedan tanibién doblados los valores de las ordenadas de la elástica, pero las ordenadas de la línea de iiifluericia rio varían al cambiar el ángulo 6. 1 , y calculaildo para este valor los Eligiendo, por ejemplo, el valor 6 = -2E iiionientos de enipotrarniento perfecto eil los extrenlos del tranio eil que se halla la seccihri 1 1 1 , obteridrenios coi1 las notaciones indicadas en la figura 11: L

A

Iinaginemos primero la barra cortada en ambos extremos y eil la sección m, las dos partes rectas a y b formando el ángulo 6. Luego se unen estas partes rígidamente (por soldadura de las mismas). Dejemos luego actuar libremente en los extremos de la barra los momentos M, y de t a l modo que hagan girar la viga otra vez a su situación primitiva (empotrada). Además de estos dos momentos de fijación no intervienen en el estado de empotramiento perfecto momentos de ninguna otra clase. Anotados los dos momentos de empotramiento perfecto en los extremos de la barra en el esquema de cálculo, calculamos los momentos definitivos del modo corriente.

Tamos ahora a demostrar cómo se obtiene de los iiiorneiitos resultantes, la elástica y la línea de iilflueilcia correspoxidieilte. Cuando una barra a - h (supuesta libre, mente apoyada en anibos estreiiios) está cargada Úiiicameiite con el niomento flector en el estreino J f a o se deforma, conio hemos dibujado eii la figura 12, adoptarido una curva cuyas ordenadas podenios calcular por la ecuación

y sustituyendo por el valor p. indepeiidieiite del inonieiito flector en el extrenlo y de las dimeiisiones de la barra (pues sólo tlepeiideil de relaciones relativas entre x, x' y 1) 1 =

-

3

x'

x

- / . -1 -

/ + A '

1

ohtendrenios ?' =

.LIab . /

2 EK

'P

En el caso en que actúe en el extremo derecho el niomento Mb,, obtendremos los valores simétricos P

1

x'

x

I 4-

3

1

1

1

Y ,

Frc. 13

Las funciones p, y q~', como hemos dicho, son independientes de la luz del tramo; sus valores se han llevado como ordenadas en la figura 13 en cada uno de los diez puntos en que se ha dividido el tramo.

E n el tratno correspoiidiente a la sección nz dcbetrios ademhs considerar la influeiicia de la deforniacióil ocasionada poi la iiiflexióli O. Divicliendo los mo~ilentosáefiiiitiros o las ordeliadac dc la elástica obtetiida.

con estos nionieiitos por el valor de O

=

1

---, obtendrenios la línea de 2E

iiifluencia, que se compone de las tres partes indicadas e11 figiira 11: 1. 1,a parte 77, producida por la infiexión O en la seccióii nz, sc elicueiit r a únicamente en el tranio de dicha seccióil m. 2

La parte 7,

-

3.

1,a parte

=:

1

Mab. - . K ILI,, .

(1

producida por el niomento Al,!, .

L - . g ' producida por el iiioincnto Al,,,

K

se La línea de influencia para el momento flector eri la seccióii compone, en el tranio correspondiente a esta sección m, de tres térniiiios; en todos los otros trailios, íinicamelite de dos términos, es decir, de 77, y 1 1

E n el caso de la líilea de influencia para el momento flector en el apoyo de una barra, desaparece también en el tramo de la sección m la parte 7, y entonces quedan así para todos los tramos únicamente los términos 7, y 7, E n este caso, los momentos de empotramiento perfecto, para la seca b ción m en el extremo izquierdo, es decir, para - = O y para - == 1, son: 1 1 Como ejemplo de cálculo de las líneas de influencia vamos a determinar dos líneas de influencia para los momeiitos flectores de la viga continua representada en la figura 15. Simultáneamente con este cálculo explicare-

~

PÓKTICO.5 DE V A R I O S PISOS

56

mos el de las influencias del giro de los nudos en una viga continua, la cual se puede considerar como un caso particular de uri pórtico de varios pisos. No se estudiará aparte el cálculo de la viga continua ya que coinparándola con uii pórtico de varios pisos rio presenta ninguna diferencia esencial. El cálculo de las iiifluencias de los giros se ha explicado suficientemente en los capítulos anteriores.

Ejemplo a Calcularenios la línea de influencia para el momento flector en la sección m de la viga continua representada en la figura 18. 1. Los momentos de er~ipotramiento perfecto, que úiiicamente aparecen en el tramo de la sección m, soii:

2 . Determinación de las znfluencias del giro. los factores de giro o coeficientes de repartición:

Apoyo 2.

--

1

-

2

.

0,90

0,90 -0,72 ;

=

-

0.278; -

1

2

Calcularenios primero

O72 --0,9i) 1-0,72

.

-

--

0,222 -

Los momeiitos de enipotraniieiito perfecto y los factores de giro se han anotado en el esquema de cálculo, figura 15 (c. Luego se ha efectuado el cálculo de las influeiicias de giro por el método explicado en las páginas anteriores.

Los momentos definitivos en los extremos de las barras de la figura 15 a los hemos anotado en la figura 15 b por encima del eje de la viga. Por debajo 1 1 del mismo eje hemos anotado los correspondientes valores Mik . - y M k , . -

K

K

por los cuales tenemos que multiplicar las funciones 9l y y ' para obtener los valores q, y q,. 1 100 - -0,018 -2 - - 0,080. Por ejemplo, eii el trarno 2, K 0,90 Los valores de las futiciories p y y ' en cada una de las diez seccioiies en que se ha subdividido el tranio se pueden tomar de la figura 13. --

Momentos

Fxc. 15 b

1,a suma de los térniiiios q,, rl, y q, se puede hacer analítica o gráficamente. Eii la figura 15 b se representa la líiiea de influencia definitiva para el momento flector en la sección m . Se ha obtenido sumando gráficamente los valores de las funciones g3 y y' que se haii multiplicado por los 1 I o Mki . - y los valores obtenidos q, y 7, se han dibufactores M,, -

K

K

jado en la mencionada figura.

Ejemplo b 1,ínea de influencia del momento flector en el apoyo izquierdo del tercer tramo. 1. Mome?ztos de empotramiel.tto perfecto e n los extremos de la barra en el tercer tramo: ill,b

=

-2 K

=

Mbo = - K =

- 1,410

- 0,720

2. Deternzilzación de las injltroncicts de giro (véase la fig. 16 a) 3. Los m o n z ~ n i o s definiiizlos se hall aiiotado en la figura 16 IJ por encima del eje de la viga. Por debajo cle la rnisma se han anotado los fac-

1 1 y 1 , para el cálculo de las tuncioK K nes pl y y' (de la figura 13). 1,a suma de los términos 17, y 11, se ha llevado a cabo del niismo modo que en el ejemplo a. El término 11, queda cupriinido en este caso. La línea de influencia obtenida se ha dibujado en la figura 16 b.

tores correspoiidieiites 31,,

-

Obtenida la línea de influencia para el momento flector M, en la seccijn m, podenlos calcular el momento flector M, producido por cargas uniforniemente repartidas en los tramos en que actúan con valores íinicameiite positivos o negativos.

Frc. 16 h

Designaremos con QiR, el área de la línea de influencia del nlomento M, en el tramo i-k, con lo cual obtendremos el valor del momento flector 121, producido por la carga q uniformemente repartida en dicho tramo con M , = 4 . R',

El área Qu se puede obtener suniando las tres partes representadas en la figura 14. El área de la función g. (es un número absoluto, sin dimen1

sión) tiene un valor de - y se obtendrá como valor del momento flec12 tor M, debido a la carga q uniformemente repartida en el tramo i-k. a ) Cuando el tramo i-k no corresponde al de la sección m M,,,

= q' (mik -

12

I

O) Cuando el tramo i-k corresponde al de la sección vi

eii la cual m,, y m,, son los factores del tramo i - k , que heilios obtenido al calcular la línea de influencia M, (véaiise las figs. l.? O y 16 h ) y sus valores se obtienen en unidades de longitud (metros); a y b son las distancias de la sección m al apoyo izquierdo o dereclio respectiva~iiente,en el tramo correspondiente. Cuando hayamos calculado para cada tramo mediante los valores g, 1 y los factores m según a) o O ) , la parte correspondieiite del iiioineiito flector debido a este tramo, obtendremos el momento flector clefi~iitivoAIZ,,, conlo suma de las influencias de todos los tramos.

E n el cálculo de las líneas de influelicia para estructuras con nudos desplazables, se obtiene la elástica que equivale a la línea de iiifluencia, teniendo en cuenta también desplazamieiitos en el sentido perpeiidicular

al eje de flexión. E l procedimiento explicado para determinar las líneas de influencia debe ampliarse calculando la influencia del desplazamiento (la cual no podemos dejar de tener en cuenta). E l desplazamiento transversal S, del extremo i de una barra con respecto al extremo K se puede calcular por la fórmula que nos d a la influencia de dicho desplazainiento

aiR

-

M f C i .k 1,k 6 E . KIk

La línea de influencia se obtiene de la elástica correspondiente divi1 diendo esta última por 0 = --. E l desplazamiento lateral S para un 2E traino de la línea de influencia es, por lo tanto, (Véase la fig. 17)

La construcción de la línea de influencia, por ejemplo, la de la figura 17, se diferencia de la anteriormente obtenida tan sólo en que los térniinos v,, 7 , y 7 , se suman a partir de la línea O - 1' - 2' - 3' - 4'; o sea, que las ordenadas de la nueva línea O -- 1' - 2' - 3' - 4' quedan desplazadas de la línea O - 1 - 2 - 3 - 4 en los valores 6,,-, 6 2 , 3 , Hasta ahora hemos hablado únicamente de la obtención de las líneas de influencia para los rnomeiitos flectores. Las líneas de influencia para las fuerzas cortantes, reacciones en los apoyos, flechas elásticas, etc., se pueden obtener en la niisma forma, o también calculando las líneas de influencia para los momentos en todos los apoyos y eri todos los tramos correspondientes y de estos valores deducir las líneas de influencia basándose en simples relaciones estáticas.

L a línea de znfluetzcia para el momento fleczov e n u n a sección m se calcula en la siguiente fornia: 1. Se calciilan en el tramo a-b de la sección m, los niomentos de enipotraiiiiento 1 = (véase la fig. 11): 2E

perfecto producidos por la inflexión 8

y a continuación, en la forma conocida, las influencias del giro, las del desplazaiiiiento

(cuando existen) y los inoinentos definitivos. 2. Multiplicando los inon~entosdefinitivos por ei valor correspondiente de obtendremos los niultiplicadores para las funciones p y p' (véase la fig. 13).

3.

1

-

Se dibujarán las líneas de influencia.

No se suponen asientos en los apoyos de las vigas: partiendo ile un eje horizontal se dibuja para el tramo de la sección t n el término 7, (fig. 14). Después se suinan en todos los tramos a los valores anteriores los términos rl, y q3 Estos términos se obtienen multiplicando las funciones p y q' por los respectivos factores (párr. 2 ) . La multiplicación resulta más sencilla efectuándola gráficamente. b ) Se suponen asientos en los apoyos d,e las vigas: los térniinos 1 5 , 11, y 7 , (figura 14) se dibujan como en la figura 17 partiendo de la línea O - 1' - 2' - 3' - 4' en lugar de hacerlo de la recta U - 1 - 9 - 3 - 4. Los asientos (o desplazainientos mutuos de los extremos de las barras en cada traiiío) se calcularán partiendo de las influencias del desplazatniento Mf';k: a)

M f t i 'kl i k aik = - -

3 Kik

VI. Estructuras c o n barras

de s e c c i ó n variable El método descrito puede aplicarse también al caso de estructuras coi1 barras de sección variable. El desarrollo del cálculo es casi igual que para el caso de barras con sección constante. 1,as propiedades elásticas de una barra de sección vatiable pueden ser definidas, conio es costumbre, mediante los ángulos de giro: aik

, aki

Y

pik = pki

indicados en la figura 18. Puede demostrarse mediante la ley de Maxwell sobre la reciprocidad de las deformaciones que /lik = /lk,. Los ángulos u y /l pueden calcularse \~ gráfica o analíticamente por los métodos elementales de la Estática, para cualquier varia1 ción del momento de inercia FIG. lii a lo largo de la barra. Pueden obtenerse también por medición directa en los extremos de las barras de modelos reducidos. Para los tipos más corrientes de barras de estructuras se han confec~io~iado tablas numéricas, de las cuales pueden ser obtenidos estos ánguloss. Debe observarse, además, que según la regla de signos adoptada, se admiten como

-233

1,as tablas con valores de los Angulos a y P, para los tipos de barras corrientes, simétricas, así como los correspondientes términos de carga y momento? de empotramiento perfecto, se encuentra, por ejemplo, en: uMétodo de los puntos fijos,), Dr. Ing. SUTER;
positivos a partir del eje de la barra los ángulos de giro eii el sentido de las agujas del reloj; por lo cual los ángulos /? son siempre negativos: p i k = Bki


E n las fórmulas se usa con preferencia el ángulo de giro positi~~o. Definimos las siguientes relaciones numéricas que utilizarenios eii el transcurso del cálciilo:

y, además, el coeficiente de barra derivado de estos valores

E n el caso de barras con el momento de inercia constante es alk=aki=2 y a = ' ! i13 El coeficiente de rigidez K, usado anteriormente, será, en el caso general de barras de sección variable,

Esta fórmula está representada en forma que, en el caso especial de barra con momento de inercia constante, nos dé el valor usado hasta ahora, O sea, con Ürk = '1s

Y

(-

pik) =

1

J - es, por lo tanto, K = 6 E J I

Cuando los ángulos a i k , ski y Bik se obtienen mediante tablas, son dados por regla general en la siguiente forma:

en las cuales se indican con t,, , tk, y t g los correspondientes de la tabla. Luego: 1

y con ello el coeficiente de barra K de (VI-3) será (VI-4)

1

E n la figura 19 está indicado en fornia esquemática cómo se calculaii los restantes \ralores de los extreinos de barra y coeficiente de barra, así coino el coeficiente de rigidez k, y los coeficientes t,, , t,, y t p , que han de ser toinados de la tabla correspoildiente. Debe observarse que J , iio = ol=+ tiene el niismo significado en todas las tablas. E n general se indica con J , el momento mínimo de inercia. Para el cálculo del coeficiente de rigidez K, según ( V I - l), se emplea siempre J , con el sigiiificado dado FIG. 1:) en la tabla de valores, de la cual son tomados los coeficientes t,, , tk, y t p . E n la figura 20 se indican los tres tipos de deforn~acióiique puede experinientar la barra de una Estructura, y que aparecen cuando: a ) sólo gira el extremo i, 6) sólo gira el extremo k, c ) existe sólo un desplazanliento igual y contrario b de los extremos de la barra.

En los gráficos de deforniacióii de la figttra 20 están indicados los momentos extremos resultantes de las correspondientes deformaciones. Por medio de la expresión siniplificada

se coiisigueii expresiones sencillas.

6-i

PÓRTIcOS

BE V A R I O S PISOS

La exactitud de los valores anotados se puede deducir de manera sencilla cuando con los momentos extremos de la barra, indicados en la figura 20, se calculan los ángulos de giro según fórmula (VI-5). Resulta de ella, en el extremo i el ángwlo de giro t i , ,y en el extremo k, t k i = O . La figura 20 b puede obtenerse de la 20 a por permutación de los índices i y k. La figura 20 c puede obtenerse de las dos primeras, si se supone en este gráfico de deformación que la barra se conserva vertical, ejecutando primero sus extremos An giro de

e),

(-

sin experimentar desviación. y luego otro giro en

cada extremo igual a:

(Y

7ik = T k L = h,k

para los cuales se obtendrán los momeiltos estremos según a y b. ,4sí, cuando la barra de una Estructura gira en sus extremos, los ángulos de giro ti, y t k i , y experimenta además u11 desplazamiento transversal 5, pueden obtenerse los momentos extremos correspondientes por suma de los valores parciales de la figura 20. Por lo tanto: -.. - ---

1

Designando nuevamente los momentos estremos de empotramiento perfecto prbducidos por las cargas exteriores con M i k y M k i r y con

se obtiene la expresión general para el momento del extremo i de la barra ik con Mik

=

-G,k + nzrik",k +

Mtk,

+ M f f i k aik 3+ 1 -

(XT1-8)

Obsérvese además que, según (VI-3)

pueden, por lo tanto, escribirse las expresiones (7) en la forma siguiente: r I

l j

1

. 7,k = 2 E K,k . T k , 6 = 6 E Krk . --

M'rk = ,lI'k,

M'',k

2 E K,k

h k

1

~

(X-1-7a)

,

La expresión de M",, no contiene ningún valor que dependa de un extremo de la barra, o sea, que para cada barra sirve para arnbos extre-

E S T R U C T U R A S C O N B.4 R R A S D E S E C C I Ó R '

6.i

V A R I A OLE

mos; tenemos, por lo tanto, solamente una componente del desplazamiento M",lO. Si se designa además por: (VI-1O)

se obtiene la expresión (8) para el momento extremo en la forma:

1

IM* =

.U,> +

a.

+

+-

M.,* bik

1

(VI-8 a )

Su diferencia respecto a la expresión correspondiente para barras con sección constante, consiste tan sólo en que en aquel caso aik= 2 y bik = 1 . La forma de calcular las componentes de giro M ' ; , , se obtiene ahora de la condición de equilibrio del nudo i; es decir, de

Si se observa de nuevo que la suma de todos los momentos extremos de empotramiento perfecto M;, de un nudo i es igual al momento de fijación Mi, se puede escribir

Puesto que todos los extremos de las barras de un nudo i giran en cada caso del mismo ángulo de giro t i , se obtiene, cuando para Mfikse introduce el correspondiente valor de (7 a ) : IW',~

C Tíik

(i)

íi)

Con lo cual sustituyendo

- - Pik

J(ik

-

C iMfik a,h

a,k

ZMfika;, por la expresión anterior: íii -

11

M'. -

~ i [rM i

+ ($1c

+ c ~~~~k

i ~ * i

en la cual se ha designado nuevamente como

b;k]

,ui, el

1

(VI-I 1)

1

factor de giro: (VI-12)

la

En las ediciones 1 a la 4 de esta obra #Pórticos de varios pisos* se fij6 para M"ik

r l siguiente valor:

h1"ih = 6 E Kik

+

6 aik 1 -hik

:. L

3

1,i cual para barras asimetricas existían dos valores diferentes para el desplazamiento.

Obtenidos los factores de giro, es conveniente efectuar eil cada nudo i de la Estructura la comprobación de cálculo siguiente:

Si se trata de una Estructura con nudos no desplazables, con lo cual M",, = O para todas las barras, se calculan las influencias de giro según ( 1 1 ) en la niisnia fornia que para Estructuras con barras de seccióri constante, con la sola diferencia de que los factores de giro han de calcularse con la fórmula general (12). Posteriormente se desarrollará uil ejemplo de cálculo para este caso. Sabemos que para Estructuras de uno o varios pisos con columiias verticales, no puede ser despreciado el desplazamiento lateral. E l cálculo de las influencias del desplazamiento de las columnas nos da lugar también, en el caso general de barras con sección variable, a la condición de equilibrio:

la cual debe cumplirse en cada piso r . L a flíerza cortante del Piso se obtendrá como antes de las fuerzas de fijación horizo~ztales,y las fuerzas cortantes Qi, de las colurnnas, para esta condición de equilibrio, dependen tan sólo de las componentes de los giros de los estretnos de las barras y desplazarnientos de las colurnnas. Resulta, pues,

y según (8 a ) , multiplicando por una altura de columila h, arbitraria:

El factor de reducción c,, tendrá, en el caso general eli que estanlos estudiando, la siguiente forma:

Obsérvese aún que b,, ción de equilibrio con:

=

aik

f 1 3

; con lo cual se obtiene la condi-

,

Debido a que, al desplazarse las coluniiias del piso Y todas experinieiitan el iiiisiiio desplazainieilto trarisversal O, se obtieiie, cuaiido se iritroduce para el valor correspondiente de (7 a ) : , Kik j -~--

1

'

.

<',ji

-

(.ki -

3

f.)

-

. -

Icik - Jlik

h i k- . --

jCik

,

l'ik

Lki)

Si se iiitroduce, adeiiiás, la expresión (1-1), se obtiene conio procediniieiito de cálciilo para la determinación de las componentes de desplazaiiiieiito con

-~

~

eii la cual

,

- - ~

~

-.

- -

..-l

~y

es iiue\-airietite el iiioiiieilto de piso. L a fztevza cortante de piso Q, se calcztla ~c111io s?c?iza ile todas las fuerzas H , aplicadas por encima del piso r:

1,os factores de corriniieiito ( o coeficientes de tlesplazaiiiiento) vi, tlt.1 piso Y se ohtieiieii, en el caso de columnas con nioniento de inercia ~ - : ~ r i a t ~coi^: le, ~- -

~

-

Tainbiéii, para los factores de corriniiento v, debemos insistir en la de efectuar una comprobación, antes de haber comenzado t.1 cálculo de los valores de las componentes del nioniento. Calculados lo:; :,ictores de corrirtiiento para la Estructura estudiada, debe efectuarse parz :.Icoluninas de cada piso r la siguiente comprobación: c ~ i i eiiieiicia \

Puede observarse, por lo tanto, que para las Estructuras de pisos con barras de sección variable, el cálculo de las influencias de giro A1f'lk y de desplazamiento M",, es igual al principio que para las barras de sección constante; sólo han de calcularse los valores auxiliares p í k , v t k , btk y c , ~ según las fórmulas expuestas. Los valores b,, y c,, no son iguales para ambos extremos de una barra asimétrica, pero lo son eii el caso de barras de sección constante, para las cuales

E l cálculo de los momentos en los estremos de la barra a l ~ a r t i rde las influencias de los momentos, se obtiene con la fórmula (8 a ) de este cal~ítulo. CÁLCULOD E

LOS MOMENTOS D E E M P O T R A M l E S T O P E R F E C T O E N LOS E X T R E M O S

Cuando se trata de una forma de barra y de carga que no existe entre los valores tabulados, puede obtenerse en funcióri de los ángulos de giro t o , ,t o k , (fig. 21), producidos para una carga determinada, cuando la barra se supone libremeiite apoyada eil ambos estremos. De acuerdo con lo indicado en la figura 21, puede obtenerse el estado de emFIG. 21 potramiento perfecto cuando se superponen las dos fases de las figuras 20 a y 20 b , correspoildientes a unos ángulos de giro t I k = y t k , = -+,, respectivamente. Desaparecen entonces los ángulos de giro de los extremos de las barras y quedan los siguientes monlentos de empotramiento perfecto en los extremos:

+,,

-

M,k

=

rk

T

-atk

P ik

+

-- T C k i B lk

Mediante la fórmula (9) obtei~einosla expresión para el cálculo de los momentos de empotramierito e n los extremos.

Por razones de cálculo es siempre conveniente multiplicar por E los ángulos de giro E ti,,E zOi, etc. Debemos observar que, siguiendo la regla

E S T R U C T U R A S C O N B A R R A S DE S E C C I ~ NV A R I A B L E

69

de signos establecida anteriormente, el ángulo de giro t k i , en el extremo derecho de la barra ha de ser siempre negativo. Para los casos de barras de uso más frecuente, con uno o con ambos extremos acartelados, damos en el apéndice los coeficientes de barra a,, y ski y el coeficiente de rigidez K,,. Se adjuntan, además, tablas para el cálculo de los momentos de empotramiento en los extremos. Para una barra simétrica, cargada en toda su longitud con una carga uniforme q, puede ser obtenida la fórmula para el cálculo de los momentos de empotramiento perfecto en los extremos. Con las notaciones usadas, se obtiene en este caso: 1

Introduciendo este valor en la expresión (19) para la determinación de los momentos de empotramiento perfecto en los extremos, se obtiene:

Para barras de sección constante a',

=

ski = 2 y entonces

Como se puede observar por las tablas del apéndice, tiene importancia la existencia de acartelamientos aun relativamente pequeños, de maiiera que el no tenerlos en cuenta en el cálculo afecta sensiblemente los resultados.

El caso de barras articuladas en un extremo, que es corriente, por ejemplo, en los tramos extremos de vigas continuas o en los pórticos con columnas articuladas en su base, pueden ser consideradas de igual manera (lue las barras restantes, sustituyendo la articulación por una barra ficticia rígida a la flexión empotrada en su extremo (fig. 22). Esto da lugar, sin eiribargo, a mayor número de nudos que el caso de que las barras articuladas fueran perfectamente empotradas, o sea, que el cálculo es más laborioso. Se puede, sin embargo, abreviar este cálcuio para el caso de barras con sección variable, sustituyendo todas las barras articuladas por barras ficticias. Se calculan primero los momentos de empotramiento perfecto e n . estrel~zos,para los apoyos realmente existentes, con los coeficientes reales '\

de las barras. Para las barras articuladas se calculan los momeritos de empotramielito como vigas empotradas en un extremo al objeto de obteiier con ellos los monientos de fijación de los ilucios (fig. 23 a ) . EII las tablas se dan. por lo general, sólo los valores de los monientos extremos de empotraniiento perfecto para barras empotradas en ambos estreinos ( ~ ? i i , y~ EA, en fig. 23 b). De ellos se obtiene el moniento de enipotra~ilientoperfecto M,,de la viga empotrada sólo en un extremo (fig. 23 u ) cnandc: haciendo ,?a,, =; - ai,, se anula el nlo~ilentode empotramieilto

perfecto del extremo libre i por superposici6ii de la figura 33 u . Eii e! otro extremo k queda después de esta superposicióii, coilio i~ioinento extremo de enipotramieiito perfecto de la barra cuyo apoyo 2 puede girar libremente (figura 23 o ) : -

--

Llík" W t k i

---

, -

!l.¡l h

(1.1 '21)

([rk

Para vigas de sección coiistante con carga uniforinemente repartida q , se obtiene, por ejemplo:

Si se calcula el momento extremo de erripotramierito perfecto J í , , a partir del ángulo de giro to,, de la barra libremente apoyada (fig. 2 1 ) , se obtieiie, debido a que sólo el estremo 1: está enipotrado:

'1:l't'I t1.71: -re y-! errcq e l anb '"q oruar1xa o~rraruo~n O ~ I L ~ I Ila I atrag 'Q lesla&i
:d ept?lS!!e e2.1~3ap ose:, la zred sqqe.) se1 ua anaqqo as a~uefauraselausur a a

u03 (cz '%!j) orualTsa un ua .c-.per~ocIrrra y-! w.req EI a p olsaj -rad o~ua!rirer~oduraap ornaqsa oTrrauroru la ' ~ 2 r e r ,a p ose3 alca ered 'arr -ayc.lo as (q 1 ~ aCI ) .a~ua!puodsar~osopelnqe) ro1e.l la sa ':p a p u o a

:a~ua!n2rs ~ r r r ~ oFI j ua F Y o i 01!2 ap ojn2..ry ;a selqel c q ua '~elauaa01 rod 'ep as O azl~,(o/!zlizW ~ L Uuittz ~ V L V ~

:euIroj c1 rIa 4 orriaqsa la rra olqs epe.i.)odrua e u c q E[ "p 0~3ajradolrra!urer~odrrra ap oruarlxa o7uaworu Ia auayqo as "Ya op2uy le alua~puodsar.so3o p e p q e l roje.1 la 'y? u03 e x p u f as Iens t.1 rra

1

-en3 se] ria 'se31r?rrrnrr seIq-t.7 se1 ap

?Yw

nos e p as sal olnYug Iap 101e.2 la eruol as 1s

La barra ficticia empotrada en el extremo i puede ser elegida de secc i ó n constante (fig. 24 b). En la figura 24 a se han indicado las deformaciones normales de la barra real articulada; en la figura 24 b las de la barra ficticia. E l coeficiente de rigidez de la barra ficticia se ha indicado con K'; su longitud

a)

b)

Barra real

Barra ficticia

Frc. 24

con h'. Si en la barra ficticia y en la barra real para la misnia deformación han de ser iguales los monlentos extremos y viceversa, se tiene, para los valores indicados en la figura 24:

La primera condición nos da:

y la segunda sustituyendo K' por el valor obtenido anteriormente nos da:

ESTh'Z'CTUR.4.5

C0.V R A R R A S D E SECCI6.V

V.4 RI.4 R L E

73

Si se utilizan tablas numéricas para el cálculo de los coeficientes de las barras, en las cuales se conoce el correspondiente ángulo en la forma

y en la cual se indica con

f k , el valor tabulado correspondiente al ángulo a,i, se obtiene el coeficiente de rigidez K' de la barra ficticia con

Si se ha calculado el coeficiente de rigidez K según la figura 19 para la barra real, puede ser deducido de éste el coeficiente de rigidez de la barra ficticia K'. Si se sustituye a,, en (22) por a,, (- pik), t# b + se obtiene, teniendo en cuenta la (3), el coeficiente de rigidez de la barra ficticia con

[,Z

K'= h.-!1 4fil

En esta expresión i se refiere al extremo de la barra con apoyo articulado (fig. %5),en la cual a,, y Ü!h son los valores correspondientes a la barra real. Puesto que a,, y a,i son diferentes para barras asimétricas debe observarse que el valor ai,, de la expresión (22 b ) , se refiere al extremo con apoyo articulado (compárese con fig. 19), por lo tanto, se ha de calcular con el valor tkidel otro extremo. Para la barra ficticia alik = alki = 2 y bfik = $. La barra ficticia es equivalente a la barra real por lo que respecta al momento extremo M,, que proviene de t k i y 6, pero no sucede lo mismo p a r a l a barra real según la figura 21 a :

y para la barra ficticia según la figura 2-1 b:

Introduciendo los valores de (22) y (23), resulta para la barra ficticia

Comparando el valor de la fuerza cortante obtenida para la barra ficticia con la de la barra real en la expresión ( N ) ,se obtiene ei mismo ángulo de giro t,,pero no el mismo desplazamiento 6. Pueden ser obtenidos, sin embargo, los niismos valores si eil el caso de la barra ficticia se aiiade 3 un factor de corrección m = -a la coniponente de la fuerza cortante 1 producida por el desplazamieiito transversal. E n este caso debe complementarse la coiidición de equilibrio ( 1 l ) , obtenida para las frierzas ccrtaiites de las columiias, introduciendo para las compoilentes de desplazamiento ,1ff;, el factor de correccióil m :

Por consideraciones análogas a las anteriores para la expresió11 ( 1 i ) , se obtiene la fórmula para los factores de corrimiento con

Esta expresión sinle en general, es decir, aiin en los casos en que en el piso hayan sólo algunas columnas ficticias o iio haya ninguna, si el íactor de corrección m se establece coino sigiie y se usa la espresióii (18'):

E l jactor de correcciów m tendrá zin valor m

=

3 --

4

para todns las barras

jicticias; es decir, para aquellas qiie szistif~iyena las colz~mnasarticilladas E)% z b n extremo, mientras que para las colztinnas perjecta o e l á s t i c a ~ n e n ieun~ poiradas, tendrá el valor Irz = 1 . Cuando en un piso sólo existen algunas columnas articuladas, se iritroduceii para ellas, eii el cálculo de los factores de corriniiento v,, , los coeficieiites correspondientes a las barras ficticias K', h ' , m

=

3

-

y c',,

=

hr .

-,

4 k' mientras que para las restantes coliin~ilas,perfecta o parcialniente empotradas, se han de ritilizar los coeficieiites realeh. K' = II, Iz' = h , nL = 1 J- los valores c,, y c,, segúii la espresión (13). La coniprobacióii de cálculo para los factores de corriniieiito de 1111 piso, se obtiene^^ en este caso general de (18') con

Con los factores de corrimiento así obtenidos queda también invariable, en este caso general, la expresióil (13) para las coinl~oi~entes de desplazainierito: - -- --

-

N

A\f"lk

= 1.$k

[.Irr

---

'-z.Ir ('1

- --

I l ' k , chal

Ctk -

\

r.1-1\51

(7)

Piiesto que para la obtención de la fórniula de los factores de giro no aparece la fuerza cortante, no soii ilecesarios, aun en el caso de las barras ficticias, factores de corrección. La expresión (12) permanece invariable.

Para las columnas con apoyos articulados se iiltroducen los coeficientes de las columnas ficticias K' y a' = '2; para las otras harras, los valores reales. T,a comprobación de cálculo para los factores de giro segíin (12') permanece iilvariable, aun en el caso de que en el nudo concurran alguiias harras ficticias sustituyendo a las harras articuladas en uti extremo:

Se designa con a',, el valor correspondiente a ai, que debe ponerse eti cada caso; es decir, ali, = 2, para la barra ficticia que sustitiiye a la barra articulada en un extremo; para las otras barras el valor real a,k. Calculadas las componentes de giro y de desplazamiento definitivos, se obtienen los correspondiei~tesmomeiltos extremos mediante (8 a ) :

Tainbiéil los momentos extremos de las harras articuladas han de calcularse con los correspondientes valores de las barras ficticias: a',, = 2 y O',, = 1. O sea, todas las operacioiles de cálculo deben liacerse con los valores de las barras ficticias, con excepción del cálczrlo de los monzentos E I I I ~ ~ P ~ Z de O S etnfiotramiento perfecto [los cuales se calculail mediante una tlc las expresiones (21)] y de las fzlerzas de fijación horizontal.

Para el caso de una Estriictura simétrica con carga simétrica es suficiente, autl en el caso de barras de sección ~rariable,efectuar el cálciilo

'76

Q d R T I C O S »E

VARIOS PISOS

sólo para la mitad de la Estructura; a este fiil cada barra cortada por el eje de simetría es reemplazada por una barra ficticia empotrada, con un coeficiente de rigidez

E n la cual K y a = a,, = a,, son los coeficientes reales de la barra. Mediante tablas en las cuales se dan los valores de los ángulos de giro de las barras con 1 1 a,k = a), tLk y - PLk t p -

-

E

lo

-

-

E

lo

y donde ti, y t son los coeficieiltes tabulados. puede ser también calculado el coeficiente de rigidez K" de la barra ficticia con

Esta fórmula se obtiene introduciendo el ~ a l o rK" de (4) en la expresión anterior y se observa, además, que para barras simétricas

Para cargas antimétricas considerarerilos uii punto de iilflexióil en la iriitad de la barra, eií el cual queda cortada por el eje de simetría, y se comporta como si hubiese una articulacihri eil este punto. Se supone, por lo tanto, como barra ficticia la niitad de la misma con una articulación en el eje de simetría. Debido a ello deben emplearse en el caso de carga antimttrica, factores de giro distintos que 1)ara carga simétrica. El coeficierite de rigidez de la barra ficticia se obtiene, para el caso de Estructura simétrica y carga antimétrica de manera parecida coi1

Debemos znsistir rrna vez m á s , qzte las barras ficticias se introditcev~ e n el cálcrdo despzlés de determinados los momentos extrentos de enzpotvumiento perfecto y sólo a fin de poder calcular los momentos extrevzos m á s jácilvzente. L o s coeficiet~tesde las barras ficticias ( K ' , h' y a 2) aparecen e n el cdlczrlo inmediataitlente después de l a determinación de los nzonzentos extrenzos de empotramiento perfecto y t a n sólo hasta que se h a y a n obtenido los nzovzentos finales. Despz~ésde esto, dehe prescindirse de las barras ficticias.

-

E S T R U C T U R A S C O N B.4RR.4S D E S E C C I ~ N l.'ARIA BLE

77

Ejemplo 1 Cálculo de los momentos totales de la Estructura de varios pisos indicada en la figura 26 a bajo ia acción del viento q, = 0,5 t/m. Los valores

iiecesarios están anotados en cada barra. El cálculo de los coeficientes de rigidez K ha sido hecho en la figura 26 b de acuerdo con los valores de la i i q ~ i r a19, y para las columnas con base articulada, con los de la figura 28.

78

PÓRTICíl.\

D E V.4 R I O S P I S O S

L o s momentos de empotramiento perfecto e n los extremos se calculan antes de introducir las barras ficticias, o sea, con los coeficientes reales de las barras. Para las columnas de la izquierda (cargadas) de los dos pisos superiores, que so11 de sección constante:

La columna 8-12 es de seccicín variable y está articulada en el apoyo 12. ,La articulación de este apoyo de la columna debe transformarse en empotramiento perfecto. El momento de empotramiento perfecto en el extremo 8 se calcula mediante alguna de las fórmulas (21) o 21 a hasta e. Si suponenios que sólo se dispone de tablas auxiliares para ángulos de giro, que proporcionan estos ángulos para una carga unifornie q, en la forma:

Para la longitud de acartelamiento A = 0,30 1 y figura 26 b), se obtiene el coeficiente tabulado

-" J

=

0,200 (véase

.Is

E1 coeficieiite t,,,,, para el ángiilo de giro as,,- se tonia también de tablas y se anota eii la figura 26 b para el extremo 8,lL coi1 t3,1z= 0,207. Así, pues, según (21 c ) :

L a s fzrerzas d e fijaciu'tz covrespondientes al empotramiento perfecto se obtieneii como reacciones en los apoyos ficticios y son las que en la horizontal de la viga del piso inipideii el desplazai~iientode éste. Para las vigas 1, I I , I I I , se obtierieii las siguieiites fuerzas de fijación:

Debido a la asimetría de la columna 8-12, aun en estado de empotramiento perfecto de ambos extremos, la carga exterior no produce iguales reacciones de apoyo, siendo:

E S T R l ' ( ' i (.li.-1.5 ('0.Y I f . 4 R R A . S D E S E C C I Ó S IJ.4 XI.4 B L E

79

Toiilaiiclo para valor de la altura de piso h, para hl = 3,50 m, hll = 2,00 ni, y en el piso inferior igual a la longitud de las columiias ficticias con /lIl1

=

a/2

/1

= 312

6,00 = 9,O 111

se obtieiieii los siguientes ? ~ z o t t l e ~ ~de t o spiso.

.%iiotados en el esquema de cálculo los niomentos de piso, los monientos extrenios de enipotraniiento perfecto y los monientos de fijación de los nudos deducidos de los anteriores (fig. 28), se procede al cálculo de los factores de giro y desplazamiento, para lo cual se reemplazan las barras articuladas por barras ficticias que las sustituyan. Para mayor claridad, se ha hecho el cálculo de los factores de giro y desplazamiento separadar ~iienteen la figura 27. Para el cálculo de los /actores de giro según (12) y (12') son necesarios, para barras de sección variable, además de los coeficientes de rigidez K los coeficientes a,, y ak,. Para estas barras, destacadas en la figura 27 coi1 trazo niás fuerte, se hari anotado los coeficientes aak en los correspondientes extrenios. Para las barras que tienen coeficientes correspondientes a sección constante, y , por lo tanto, tanibiéil para las barras ficticias, atk = a,, = 2 . Los factores de giro se han calculado según la fórmula (12'), que se ha escrito también en la figura 27. Así, por ejemplo, para el iiudo 9:

y con ello segúii (12'):

I,a comprobación de cálculo segúii (12' a ) es:

Los factores de corrimiento o coeficientes de desplazamiento se han calculado según (18) o (18'). En primer lugar se calculan los coeficientes de barra bik y cik de los valores aik, según las expresiones (10) y (13), las cuales se han escrito también en la parte superior derecha de la figura 27.

E S T R U C T G R A S CO"l B A R R A S D E S E C C I Ó N V A R I A B L E

En pisos con columnas de diferentes alturas es necesario, además, el valor h

específico de barra 2, y cuando hay columnas con apoyos articulados, hik

también los factores de corrección m. Este caso, el más general de todos,

se prese~itaeri el iíltiriio piso, en el ciial se liaii anotado estos \-alores e11 el celitro de las colu~iilias,figura 27. Para coliiiniias de sección constante b,, 1, y cuando todas las coluninas del piso son de igual longitud, el \-alor de h , es --Iiy = 1. No es necesario, por lo t;i~ito,la anotaciói~de los

-

htk

valorcs b,, y c,, . Después de anotados estos valores en la figura 27, sigue el cálculo de los factores de desplazainiento según la fórrri~ila(18'), la cual ta1iibii.n se ha escrito en la figura 27. Se obtiene así, por ejeixiplo, cn el piso inferior, para el cual se ha elegido el valor lz, igual a 9,O m:

Que puetleri coriiprobarse con (18 a):

El i~ílcztlode los tno?ne+ztos debidos al giro M',, y JI",, ha sido hecho eii la figura 28. Aiiotados en el esquema los monieiltos de piso, los niomentos extremos de enipotramiento perfecto, los morrientos de fijación obtenidos de los anteriores, los factores de giro y los factores de desplazamiento, sigue el cálculo de los i~iomentosdebidos al giro según expresiones (11) y ( l ñ ) , los cuales se hall anotado, nuevamente, en la parte baja y a la derecha de la figura 28. Como se deduce de estas expresiones, son necesarios tani1)iéii los \ralores b,, y c, para las barras de seccióii variable. Teniendo en cuenta que a1 efectuar las sumas debeii multiplicarse, en cada caso, los M',, por los correspondientes valores c , ~ , y los ill",, por los b,, , es coii\-eiiieiite aiiotar los valores c,, en los extremos de las barras y los valores b,, juiitos a los Llf",,(véase fig. 28). Se eiiipieza el cálculo con la piiniera iteración para la obtención de las iiifluencias de desplazamiento, pues éstas nos darán, para el caso de carga horizoiital, el valor más importante de los momentos extremos. Para ello se suponen, eii priiicipio, iguales a cero todos los M',,, si no disponen~os de mejores valores aproximados. Debido a las coiiiprobaciones autoniáticas que presenta este niétodo de cálculo, los valores iniciales no tienen iiinguila influencia eii los resultados finales, sino tan sólo en la rapidez de con\-ergerici:~.Por eleccióii iriadeciiada de los valores iniciales puede llegar a ser necesario, a lo sunio, un gran número de iteraciones. Teniendo eri cuenta cjue en la figura 8 se ha calculado una Estructura para la misnia

carga, pueden utilizarse las influencias obtenidas allí. Estos valores son, por lo tanto, anotados en la figura 28 como una primera aproxiniacióii de las influencias de giro. E n el piso no existen columnas de seccióii variable, por lo ciial, por ser b,, = 1 para todas las coluninas, no hay niiigiina diferencia en el cálcillc de las iiifluencias de desplazamiento ilf",, comparado con el cálciilo de Estructuras con barras de sección constante. E n el caso de columnas con sección variable, la diferencia consiste solaniente en que al sumar las influencias M',, se ha de tiiultiplicar cada una de ellas por el valor c,, correspondiente a este estrenio. E l cálculo de las influencias sigl~ede igual manera en todas las iteraciones sucesivas. Como ejemplo de la niarcha seguida, es 28 se han llevado suficiente detallar el cálculo de una iteración. E n la figura ', a cabo tres iteraciones sucesivas de las influeiicias del desplazamiento. Como comprobación se ha realizado otra iteración para el último p i x .

3Iultiplicando esta sunia por los factores de desplazaiiiiento de este piso, se obtienen las influencias de desplazamiento de las cuatro columnas con valores: --

1,25

-

3

-

6,81

- - 6,81

Obteniéndose los mismos valores que en la iteración anterior. Los valores definitivos han sido, pues, conseguidos en la tercera iteración. De igual forma se obtiene para el piso interniedio:

AIultiplicando esta suma por los corres~>ondientesfactores de desplax niiento, se obtienen las influencias de des~~lazaniieiito de este pise:

El cálclrlo de Ins i~zflzrenctus de giro, cuando hay barras de sección variable, se diferencia del cálculo para Estructuras con barras de sección *constantetan sólo en que, al efectuar la suma, se hall de multiplicar las influencias del desplazamiento en cada caso por los correspondientes factores b,, . Debe observarse de nuevo, que, aunque es completame~itearbitrario el orden seguido de un nudo a otro, puede, sin enlbargo, iiifliur tiotablemente en la rhpida coilr-ergeiicia. Es conveniente empezar por los nudos en los cuales so11 de esperar mayores cairibios respecto a las influencias de giro coi1 respecto a la etapa anterior. Se debe empezar, por lo tanto, por los nudos (iniás desequilibrados)). En iiiiestro caso el orden más con\-eilieiite es el siguiente: 8, 11, 10, 9 y liiego 1: 7, ti, 3, etc. Puesto (lile para todas las barras del ~ i u d o8, 0,, = 1,0, es exactamente !» misnio que para e1 caso de Estructuras con barras de seccióii constante:

83

P ~ R T I c O SD E V A R I O S PISOS

Con la multiplicación por los correspondientes factores de giro -0,052, -0,386 y - 0,062, se obtienen las respectivas influeiicias de giro

prácticamente los mismos valores de la iteración anterior. Para el nudo 1 1 , por ejemplo:

Por multiplicación de los correspondientes factores de giro se obtienen las influencias de giro de este nudo

Cuando todos los nudos han sido recorridos, de modo que tanto para las influencias d e . giro como para las componentes de desplazamiento no resultan diferencias esenciales respecto a la iteración anterior, pueden ser consideradas como definitivas las influencias de momento obtenidas. L o s momentos extremos se obtienen de las iilfluencias de momento mediante la fórmula (8 a):

En el caso de barras de sección variable, existe sólo la diferencia de que en lugar de los valores fijos a,, = 2 y b,, = 1 se obtienen otros valores para a,, y bsk según la forma de la barra. El cálculo de los momentos extremos puede ser efectuado en el misnio esquema de cálculo en el cual han sido calculadas las influencias de los momentos (fig. 28). En el presente ejemplo se ha hecho este cálculo por separado para mayor claridad, en la figura 29. Trasladados al nuevo esquema los momentos extremos de enipotramiento perfecto, las influencias de giro y las de desplazamiento, se anotaii los valores a,, y bZk en las barras de sección variable (las ciiales se ha11 destacado en la figura con trazo más fuerte). Efectuada la multiplicación por los valores a,, y b,, , de acuerdo a (8 a), se han anotado las influencias una debajo de otra, para obtener por sunia de las misrras los momentos extremos. Así, por ejemplo, para los extremos de barra 6, 1 0 y 10, 14:

,

uos sepesguail las rrapand seJs? anb eñ 'ouq!lmba ap sauo!seqoldwos se1 'souaw opuens 'ienjsaga ' s o w a ~ ~ xsoJuawow a sol ap saloleil sol eled e ~ a l d -wos uo!s.eqoldruos eun o q ~ s.e eilall as ou opuens 'alqepuawosal SS .q g e1&!3 el ua sopeJpsal sol u.eJoue as ñ aJuawlo!laJu.e . e ~ p s -cap (ailalq syw) ~ m o el 3 ua olnsl?s la op!n8as ey as (s-e!s!~s!j s.e~~.eq se1 .el.ed u?!qrueJ 'OJUEJ 01 lod ñ) aJueJsuos u p s a s ap s-elleq se1 .el.ed

mil\- POCG trabajo. Debida R que en el presente ejeniplo iio zctúan iiioiiieiltos exteriores el; niriguno de los nudos, la sunia de los i i i ~ i ~ i e i i textrenlo5 o~ debe ser igual a celo en cada nudo:

extreinos de la figura 12 se ha ciiiirplido esta coiiiPara los i~ioniei~tos probaciói~con suficiente exactitud para todos los nudos. Otras co;iiprobaciones de equilibrio se obtieileii llar consideracitjli dcl equilibrio de los distintos pisos, con 10 cual se obteiidrán tantas condiciones de corripro:)asióil conio pisos existan. Así la suma de las fuerzas horizontales para una seccióii por el ,piso superior de la figura 29, por ejemplo, a la altura de los extreinos inferiores de las columiias, nos da: Fuerzas exteriores: 0 , s t!iil

. 3,50 iii

=

1 .7,5 t

Fuerzas cortantes de las columnas:

Para una sección por el piso intermedio, a la altura de los estreriios inferiores de las columnas, se obtiene: Fuerzas exteriores: 0 , s tlni . (3,50 - 4,OO)

iii

- 3.75 t

Fuerzas cortantes de las columnas:

1,73 t

-

+ 0 , 7-3

4,0

-- 3,7,5 t -

Para el piso inferior: Fuerzas exteriores: 0,s t / t r i (3,50

4.0

6.0) 111

Fuerzas cortantes de las colun~nas:

-

R,75 t

Ejemplo 2 Cálculo de la línea de influeiicia para el nloinerito fledor en la sección 7n de la figura 30. Esta figura 30 tieiie las misnias luces de la 15, pero esta últinia tiene vigas coi1 ricartelamie~itos. 14a viga tieiie en el centro de la barra u11 momento de inercia J o = 3,6 y eii las secciones 3 y 4 un J,,, = 16,3fi.

CáEcirlo de los coeiiciefttes de rigidez de las barras

1311 el tranio con momento de inercia constante: 0- 1

barra

1 '

=

3 1 075.36 - = 4 L 3.60 -

-

-

7,s

=

Para las barras con acartelaniieiitos pueden ser tomados los coeficientes de rigidez de las tablas 1 y 11 a , págiiias 92 y 0.3.11 Por interpolación se obtienen los siguientes valores:

~

~

Iiarra

!

71

1. == -

1

i

J,a, JO ;

~

aik

nk,

i

fCik

c

N

Jo

1

I Ií' i barras ficticias ;

l1 Para ~ t r a sfuriiias de barras pueden ser usadas las t a l h i indicadas en la llamada 9, ~ 1 1 las cuales se dan lri.; ángulos de giro eri la siguictite forma, 1 1 1 .,., i k t r.k ; Ciki yy (= fi J o t.J o ciialldo ha11 sido iiiilicados con l i k , t k i , t b , los correspr~lidientesvalores tabiilados. Con estos valores se obtienen: !ik ñ,k " 1 a i k =~ -;'kz ak, = -

Dhi)

t~

t~

Resultari
ü;k

P J ,

'

¿ikL- 1

P O R T I C O S DE V . 4 R I O S P I S O S

88

El coeficiente de rigidez K', de la barra ficticia, ha sido calculado con la fórmula de K dada anteriormente, es decir, según las expresiones (22 b) y (2). Valores conslanles de la barra Valores Valores ".

-

.

.

-

.

( ( 0 para la barra

Los momentos extremos de em;botramiento ;berfecto producidos por un 1

ángulo 8 = - en el tramo m (véase pág. 53), existen sólo en el tramo 2E

de la sección m y valen

1 1

7

En el ejemplo presente son:

CbLcuLo de Los factores de giro ,
K,k

2 aik

Kik

Apoyo 1:

Apoyo 2: Fa,, =

- 0,90

2,O. 0,90

= -0,267,

+ 1,54

p

-

2,O . 0,90

1 ,O2

+ 1,54 . 1,Oil

=

-0,303

Apoyo 3: l4,a =

- 1,02 - 0,94 - = -0,281; ps,4= = - 0,259 2,082 . 1,02 -1- 1,605. 0,94 2,082 1,02+ 1,605 0,94

.

Apoyo 4: ¡*4,3 =

- 0,94 = -0,334; 1,605 0,94 2,0 . 0,652

+

p,,, =

- 0,652 - - 0,232 1,605. 0.94 2,O. 0,652

+

ESTRUCTUR.4S

CON B A R R A S D E SECCIOiV V A R I A B L E

Como comprobación de los factores de giro se utiliza Z ajk

. ,uik= -.

89

1.

(i)

Los momentos de empotramiento perfecto, los factores de giro y los valores a están anotados en el esquema de cálculo (fig. 31). El cálculo de las

influencias de giro se prosigue de la manera corriente, es decir, como en el caso de vigas con momento de inercia constante. Los momentos extremos de la barra se obtienen de la siguiente expresión:

E l cálculo de los momentos extremos de la barra puede verse en la figura 31. De estos momentos extremos se obtiene la línea de influencia, de la misma manera que en el caso de vigas con monientos de inercia constante; es decir, por suma de los tres términos r],, r], y 7, (véase fig. 14). La componente ql, que sólo existe en el tramo de la sección m , tiene la forma indicada en la figura 14 a , mientras las componentes 7, y q, pueden ser obtenidas de la misma forma como anteriormente; M~~ r es decir, con

-

fl

Representemos de nuevo por l2 -P Js

Y

i2 -v' Jo

i

* k

las flexiones de un piinto cualquiera del tramo i-k multiplicadas por 2 E , cuando en el extremo i o k se aplica un momento FIQ.32 extremo Mi, = 1 ó M,, = 1, respectivamente. De la figura 32 se deduce que en lugar de la línea de deformación de un rriomento extremo Mi,, pueden ser sustituidos los valores correspondientes a la línea de influencia del ángulo extremo de giro del tramo libremente apoyado i-k, por valores que figuran en tablas auxiliares.

Mediante tablas para las líneas de itlflueiicia de los áilgtilos estretilos de giro, que tienen la forma

en las cuales t, y tk son los correspondietltes valores tabulados, se ohtietieii las fuilciones (I y y' con (P =

2t,

y

q'= 2 f k

Por consiguiente, los números tabulados de la línea de itlfliieticia, da11 para los ángulos extremos de giro, del tramo supuesto libremeiite apoyado, la mitad del valor de las funciones p, y p'. Funciones Q y Q' de los t r m s c m cartdas

E n la figura 33 se dan los valores de las funciones y y cpr, determitiadas de este modo para los tramos 2-3, 3-4 y 4-5.12 E n la figura 34 se han anotado en primer lugar los momentos extremos determinados en la figura 31, debajo de los correspondientes factores l2 de corrección Mik - -, por los cuales han de ser multiplicadas las furi.To

ciones rp y y' para obtener los términos 7, y 7, de la línea de influencia. Por suma de los términos qi, q2 y qg ha sido obtenida en la figura 34 b la línea de influencia para el momento de flexión en la sección del tramo 3-4, de igual forma que en la figura 15 b. Una comparación de la línea de influencia de la figura 34 con la le la figura 13 b muestra que, al suprimir las cartelas, las ordenadas de la Iinea de influencia de la sección m aumentan alrededor del 15 %. Puesto que las barras ficticias son introducidas sólo para conseguir una mayor rapidez en la determinación de los momentos extremos, se comprueba, para el cálculo de las componentes 7, utilizando los valores de las barras realmente existentes. l2 Estos valores numéricos han sido obtenidos por interpelación de las tablas auxiliares del Prof. GULDAN, <
Eii general será necesario calcular la línea de influencia en cada tranio para arias secciones. E s coilvenieiite entonces c:ilciilar, de la manera explicada, las líneas de irifluei~ciade los rrioi~ientosde flexióii sólo eii las seccioiies de los apoyos. Para otra sección cualcluiera del tramo puede obtenerse la línea de influencia para el momento de flexión, la fuerza cortante etc., de la manera conocida, de las líneas cle influeiicia de los nioineiitos (le1 referido tranio por suma de loa tres térniirios. E l cálculo de la línea de influencia para el inomerito de flesión en el apoyo, se diferencia del cálculo indicado aiiteriornieiite para la línea de influencia del momeiito de flexión de la sección m, solametite eii que el a) Momentos

m

Frc. 34

término 77, desaparece; de manera que la línea de influencia se obtiene para todos los apoyos como suma de dos componentes; es decir, 1 1 , y q,. E n el presente ejemplo se ha indicado esto, en la barra 1-5, para la sección 1, en el extremo izquierdo de la barra. 1,os niomentos extremos de exnpotraniiento perfecto son, en este caso, (z b con - =. 0 y -- = 1: 1

z

Si se considera que en los extremos de las barras libreniente apoyadas no pueden aparecer momentos de empotranliento, el tnon~eiito de emlmtrainiento perfecto en el extremo izquierdo, para la barra empotrada en un extremo, es:

Luego se sigue el cálculo de niaiiera análoga a la explicada anteriorniente.

TARLA1. Vigas sim4tricas con cartelas

Número superior aik = ski Número inferior c

-'

Para el coeficiente de rigidez Kik = c

, Q

Jo -1

Monientos extremos de empotramiento perfecto:

TABLA11 a. Vigas con cartela en un extremo

Número superior ai, Número intermedio ahi Número inferior c

Jo Para el coeficiente de rigidez K,, = c . 1

I

l

I

Entre

A-=

1

y

A = 0,25 no se debe interpolar

T x n r , ~I I h .

Momentos extremos de empotramiento perfecto en vigas con cartela en un extremo para carga uriilormemente repartida

-

k

J I L k=

-

c1 q 12,

c1

=

número superior

c2 q 12,

c2

=

níiniero inferior

-

Mk!=

-

Tabla de los valores c , y c,

t

e ?

= 1

y A

=

0,'Lt7 no se debe interpolar

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.

Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 . Estructuras con nudos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kesuiiieri del capitulo 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

IV

.

.

Pórtico de varios pisos con nudos desplazables en sentido horizontal . . . . . . Tiifliiciicia ilel desplazaiiiiento de los riiidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carxas verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coliiiiinas articiiladas en los apoyos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cargas horizont:iles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coliiinnas de tlifrreiite altura en iiii iiiisiiio piso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coliimnas articuladas en los apoyos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resiiiiien clel capítiilo 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comprobación automatica de los momentos totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Estructiiras coii niidos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E Pórtico de varios pisos con nuilos desplazables en sentidu horizontal .

Resuriien del capítulo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

.

d

VI

.

Líneas de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I'striicturas con iiutlos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso de carga iiiiifonnemente repartida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estriicturas con nudos desplazables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kesiiiiien del capitulo V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estructuras con barras de sección variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cá:ciilo de los momentos de empotraniiento perfecto en los extreiiios . . . . Barras articuladas en los apoyos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L:, structuras siniétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.I.. i n r . ~ 1.

Vigas siniétricas con cartelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T . 4 1 3 ~11 ~ ii .

I l g a s con cartela en un extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T . 4 ~ r . a 11 h .

;1Ioiiieiitos extrenios de eiiipotramieiito perfecto en vigas con cartela en un extremo para carga uniforiiiemente repartida . . . . . . .