Acción de los terremotos sobre los edificios de varios pisos Normalmente los terremotos de gran magnitud tienen un efecto devastador sobre los edificios Modelo de los desplazamientos de los pisos de un edificio.
En este proyecto trataremos de modelar el efecto de un terremoto sobre un edificio de varios pisos, para
después resolver e interpretarlo matemáticamente. Supondremos que el
-ésimo
piso de un edificio tiene masa
, y que los adyacentes están unidos por un conector elástico, cuya acción se parece a la del resorte. En el
caso nominal, los elementos estructurales de los grandes edificios son de acero, que es un material muy
elástico. Cada unión suministra una fuerza de restitución cuando los pisos se desplazan entre sí. Supondremos que es válida la Ley de Hooke, cuando la constante de proporcionalidad es ésimo. Esto es, que la fuerza de restitución entre esos dos pisos es
donde
representa el desplazamiento horizontal del
desplazamiento del (
)-ésimo, en relación con el
-ésimo
-ésimo
, entre los pisos
e(
piso, respecto del equilibrio, y
-
es el
piso. También supondremos que hay una reacción
similar entre el primer piso y el suelo, y que su constante de proporcionalidad es modelo de edificio con
-ésimo
. La figura 1 muestra un
pisos, mientras que la figura 2 indica las fuerzas que actúan sobre el pisos,
posible aplicar la segunda ley de Newton del movimiento,
-ésimo
piso. Es
, a cada sección del edificio, para llegar al
siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales:
.
.
.
.
.
.
(1)
Edificio de dos pisos
Como ejemplo sencillo, un edificio de dos pisos, cada uno con masa restitución
, y con constante de
. En este caso, el sistema de ecuaciones diferenciales (1) se sim plifica así:
(2)
Se debe demostrar que una solución oscilatoria de las ecuaciones (2) es
También, se tiene que determinar los valores en
y
En términos de matrices
0
0 0
0
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0
el sistema (1) se escribiría en la forma
A
las matrices
matriz matriz
0
se les llama matriz de masa y matriz de rigidez
es diagonal, donde la masa del tiene inversa
-ésimo
piso del edificio es el
del edificio, respectivamente. La
-ésimo
elemento diagonal. Como la
Llegamos a la ecuación matricial de un sistema homogéneo de segundo orden, en la forma normal
La matriz de coeficientes en esta e cuación es
Los valores propios de
indican la estabilidad del edificio durante un terremoto. Son negativos y distintos. Las
frecuencias naturales del edificio son las raíces cuadradas de los valores propios, pero negativos. Si es el -ésimo
valor propio de
, entonces
es la
-ésima
frecuencia siendo
Durante un
terremoto, se aplica una gran fuerza horizontal a la planta baja. Si esta fuerza es de naturaleza oscilatoria; por ejemplo, de la forma
, donde
G
es una matriz columna de constantes, se desarrollarían grandes
desplazamientos en el edificio, en especial si la frecuencia del término a la fuerza frecuencias naturales,
del inmueble.
F
se aproxima a una de las
