Juegos Dinamicos Con Información Incompleta

Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Física y Matemáticas

4. Juegos Dinámicos con Inormaci!n Incompleta 4.1 Defniciones Generales. "os #uegos dinámicos con inormaci!n incompleta tienen las siguientes características$

 "os #ugadores poseen inormaci!n pri%ada so&re preerencias y 'a&ilidades cuando escogen sus estrategias. "a die diere renc ncia ia esen esenci cial al con con los los  juegos con información imperfecta es (ue la  presencia de asimetrías en la inormaci!n se genera antes de 'a&er seleccionado las estrategias. decisi!n tras la acci!n reali*ada reali*ada por alguno de sus  )n #ugador tiene (ue tomar una decisi!n ri%ales. En los capítulos anteriores se 'a&la de e(uili&rios como el e(uili&rio de Nas' para #uegos estáticos con inormaci!n completa+ el e(uili&rio de Nas' perecto para su&#uegos en los  #uegos dinámicos con inormaci!n completa+ y el e(uili&rio &ayesiano de Nas' en los  #uegos estáticos con inormaci!n incompleta, en este capítulo se introduce un nue%o e(uili&rio para los #uegos dinámicos con inormaci!n incompleta$ El e(uili&rio &ayesiano  perecto. Se deine el equilibrio bayesiano perfecto como las estrategias y con#eturas (ue satisacen los siguientes re(uisitos-$

 Requisito 1:  En cada conjunto de información, el jugador que decide debe formarse una conjetura sobre el nodo del conjunto de información al que se ha llegado en el   juego. Para un conjunto con junto de información con más de un elemento, una conjetura co njetura es una distribución de probabilidad sobre los nodos del conjunto de información; para un conjunto de información con un único elemento, la conjetura del jugador asigna  probabilidad uno al único nodo de decisión.  Requisito 2:  En cada conjunto de información, la acción tomada por el jugador al que le toca tirar tirar y su estrat estrategi egia a subsig subsiguie uiente nte deben de ser óptimas , dada la conjetura del 

1 Gibbons, Robert.(1992) Un Primer Curso de Teora de !ue"os. #arcelona$ %ntoni #osc&, '". 19,1*,12.

Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Física y Matemáticas  jugador en ese conjunto de información y las subsiguientes estrategias de los demás jugadores.  Requisito 3.  En conjuntos de información sobre la trayectoria de equilibrio, las conjeturas se determinan de acuerdo con la regla de Bayes y las estrategias de equilibrio de los  jugadores.

n conjunto de información está en la trayectoria de equilibrio si se alcan!a con  probabilidad positi"a cuando el juego se desarrolla según las estrategias de equilibrio, y fuera de dicha trayectoria si es seguro que no se alcan!a. #qu$  %equilibrio& puede significar equilibrio de 'ash, perfecto en subjuegos, bayesiano o bayesiano perfecto(.  Requisito 4:  En conjuntos de información fuera de la trayectoria de equilibrio, las conjeturas se determinan según la regla de Bayes y las estrategias de los jugadores donde sea  posible.

Es preeri&le %er la aplicaci!n de estos re(uisitos en un e#emplo+ la aplicaci!n más comn de los #uegos dinámicos con inormaci!n incompleta son los juegos de señalización.

4.2 !ue"os de se+aliaci-n "os #uegos de se/ali*aci!n consisten en dos #ugadores$ )n emisor 0E1 y un receptor 021. El emisor+ el cual conoce la inormaci!n completa del #uego+ en%iará un mensa#e 0o se/al1 al receptor+ este al o&ser%ar el mensa#e podrá escoger una acci!n, el receptor no conoce el tipo de mensa#e emitido. El desarrollo del #uego es$ -. El a*ar escoge un tipo t+ del con#unto de tipos acti&les 3 5t-+6+tI7(ue asigna al siguiente emisor segn una distri&uci!n de pro&a&ilidad p0ti1. 8. El emisor o&ser%a ti y elige un mensa#e m # del con#unto de mensa#es acti&les M 5m-+6+ m #7. 9. El receptor o&ser%a el mensa#e pero no el tipo+ y elige a continuaci!n una acci!n a: + la cal tam&ién de&e de ser acti&le+ se le llamará al con#unto acti&le de acciones ;5a-+6+a: 7 4. "as ganancias son dadas por )E 0ti+m #+a: 1 y )2 0ti+m #+a: 1. En la siguiente igura se muestra una representaci!n en orma e
Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Física y Matemáticas 3 5t-+t87+ M5m-+m87+ ;5a-+a87 y Pro&5t-7p

misor a1

a1 m1

t1

m2 a2

 p

a2

;*ar 

Rece'tor

a1

a2

a1

)*p

m1

t2

Rece'tor

m2

a2

misor

E#emplo$ 0;daptaci!n de un e#emplo de Morro=1 3ras ser demandado por negligencia+ un proesional 0J-1 orece una cantidad (+ (ue  puede ser mil o cinco mil euros+ al demandante 0J81 para (ue éste retire la demanda+ y el demandante acepta retirarla o no lo acepta+ en cuyo caso se cele&ra el #uicio. "a  pro&a&ilidad a priori de (ue 'aya 'a&ido negligencia+ (ue es de dominio p&lico+ es >+  pero el demandante sí sa&e si 'a sido negligente. Si se cele&ra el #uicio+ se sa&rá a %erdad+ aun(ue resultará costoso 0un coste de dos mil euros para cada uno+ y una indemni*aci!n de I  ? @@@ euros+ (ue el demandado 'a&rá de pagar al demandante si resulta culpa&le1.

En donde$

Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Física y Matemáticas  N Negligente

; ;cepto

D Diligente

N; No ;cepto

 El emisor es J-+ al cual le pertenecen los tipos N y D+ los mensa#es (ue puede emitir están denotados por (- y (?. El receptor+ J8+ tiene dos acciones a decidir$ ; 0;ceptar1 y N; 0No ;ceptar1. Se denota '9 y '4 a los con#untos de inormaci!n de J8 (ue siguen a los mensa#es (- y (?. Requisito 1 de señalización: )na %e* emitido el mensa#e m # de M+ el receptor de&e 'acer una con#etura so&re los tipos (ue podrían 'a&er en%iado m #+ esta con#etura tiene una distri&uci!n de pro&a&ilidad denotada por A0tiBm #1+ donde A0tiBm #1 C @ para cada ti en 3 y ∑ µ ( t i|m j )=1 t i ∈ T 

Requisito 2 de señalización: 2eceptor$ Para cada m # en M+ la acci!n 0a0m #11 del receptor de&e ma
Emisor$ Para cada ti en 3+ el mensa#e 0m0ti11 del emisor de&e ma
 Para 0mensa#e1 q+)+ sin importar los tipos$ "a acci!n !ptima de J8 sería #ceptar + ya (ue el pago esperado es con seguridad -. 1

( ) ( )= 1 2

+1

1 2

1

Si se anali*a el caso de 'o aceptar se tiene (ue el pago esperado sería$

( I −2 )

( ) + (− ) ( ) = − = 1 2

2

1

 I 

2

2

2

1 2

;demás (- es la respuesta !ptima de J- no importando cual estrategia esco#a J8 (ue responda al mensa#e (- con ;. Pagos esperados con ;$

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(−1 )

( ) ( )=− 1 2

1

+ ( −1 )

1

2

Pagos esperados con N;$

(− I − 2 )

( )+ (− ) ( )=− − =− 1 2

2

1 2

 I 

2

2

9

2

Entonces las estrategias !ptimas serán por parte del emisor sin importar los tipos 0sea negligente o no1 escoger (- y por parte del receptor será #ceptar  sin importar  cuál sea el mensa#e reci&ido+ esto es+ A0-B;1. Se cumplen los 2e(uisitos - y 8.

 Para 0mensa#e1 q++ sin importar los tipos$ "a acci!n !ptima para J8 tam&ién sería #ceptar . Se dice (ue un con#unto de inormaci!n está dentro de la trayectoria de equilibrio cuando dic'o con#unto es correspondiente al mensa#e de la estrategia !ptima del emisor. Para los mensa#es en la trayectoria de e(uili&rio se aplica el re(uisito 9. Requisito 3 de señalización: "a con#etura del receptor en el con#unto de inormaci!n correspondiente a m #  de&e deri%arse de la regla de ayes y la estrategia del emisor$ µ ( t i|m j ) =

p (t i)

∑  p (t  ) i

t i∈ T i

)na %e* (ue se tienen las estrategias a0m #1+ m0ti1 y una con#etura A0tiBm #1 (ue satisacen los re(uisitos -+ 8 y 9 anteriores, se 'a encontrado un equilibrio bayesiano perfecto. "a con#etura A0-B;1 cumple con el re(uisito 9 ya (ue$ 0.5

A0-B;1 

+

0.5 0.5

=

1 2

Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Física y Matemáticas Entonces se encuentra un e(uili&rio agrupador con estrategias puras+ esto es por(ue sea el tipo (ue sea J- decide ( -.  N!tese (ue (? está uera de la trayectoria de e(uili&rio.

 ;nali*ando los casos en (ue J- decidiera (- cuando su tipo es -iligente  y (? cuando su tipo es 'egligente. Si %emos los cálculos anteriores sa&emos (ue la respuesta !ptima de J8 será  #ceptar  sin importar la oerta. Pero si se anali*an los pagos esperados para J- con la acci!n de J8 #ceptar $ o o o o

Diligente con mensa#e (-+ el pago es de -.  Negligente con mensa#e (-+ el pago es de -. Diligente con mensa#e (?+ el pago es de ?  Negligente con mensa#e ( ?+ el pago es de ?.

Se puede notar (ue la respuesta (- cuando su tipo es -iligente y (? cuando su tipo es 'egligente no es la !ptima ya (ue se o&tiene un pago de - con (- cuando el tipo es 'egligente+ en %e* de ?.

 ;nali*ando los casos cuando J- emita (- para el tipo 'egligente y (? para el tipo  -iligente. "os pagos esperados para J8 son # - y '# 9 para (- con tipo 'egligente+  por lo tanto la respuesta !ptima del J8 es '#. "os pagos esperados para J8 son #? y '# 8 para (? con tipo -iligente+ por  lo tanto la respuesta !ptima del J8 es #. Pero como en el caso anterior la decisi!n !ptima para J- cuando el tipo es  -iligente es (-. ;sí se puede concluir (ue no e
 Modelo de ;:erlo para el mercado de los coc'es usados.  Modelo de Spence so&re un tra&a#ador el cual da se/ales de su capacidad mediante  

su ni%el de estudios. Modelo de 2ot'sc'ild y Stiglit*+ un asegurado da se/ales de su alto grado de a%ersi!n al riesgo mediante la aceptaci!n de un aseguramiento parcial. Modelo de Milgrom y 2o&erts+ en el (ue una empresa capa* de producir a &a#o coste da se/ales de esta capacidad %endiendo a un &a#o precio.

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 Modelo de So&el+ un demandante en un caso con &uenas posi&ilidades ante los tri&unales da se/ales de dic'as posi&ilidades e
4./ Refnamiento del e0uilibrio baesiano 'erecto. El reinamiento del e(uili&rio &ayesiano incluye en su análisis dos nue%os re(uisitos. En un e(uili&rio &ayesiano perecto se impide (ue el #ugador i #uegue una estrategia estrictamente dominada a partir de algn con#unto de inormaci!n+ por esto no es ra*ona&le (ue el #ugador # crea (ue i utili*ará esa estrategia. Requisito 5

Si el con#unto de inormaci!n (ue sigue a m # está uera de la trayectoria de e(uili&rio y m # está dominado para el tipo ti+ entonces la con#etura del receptor de&ería asignar pro&a&ilidad @ al tipo ti.

Requisito 6

Si el con#unto de inormaci!n (ue sigue a m # está uera de la trayectoria de e(uili&rio y m # está dominado en e(uili&rio para el tipo ti+ entonces la con#etura del receptor de&ería asignar pro&a&ilidad @ al tipo ti. Estos re(uisitos se pueden %er de manera clara en el #uego de GHer%e*a y uic'e+ se llega a la conclusi!n de (ue el receptor de&e preguntarse si el comportamiento pasado del emisor  ue racional o no al emitir la se/al+ eso es una especie de inducción hacia delante.