Juegos con Grafos

GRAFOS JUEGOS CON GRAFOS

M ATEMÁTICAS DISCRETAS

JULIO CESAR NUÑEZ TEJERO INGENIERA EN COMPUTACIÓN DES CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN

25 DE MAYO DE 2015 UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARMEN

Universidad Autónoma del Carmen Ciudad del Carmen, Campeche Cam us I

Matemáticas Discretas DES - Ciencias de la Información

Contenido RESUMEN ................................................................................... ................................................................................... 2 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN ........................................................................ .......................................................................... .. 3 ANTECEDENTES ANTECEDENTES ........................................................... ........................................................................... ................ 4

GRAFO EULERIANO .................................................................... ..........4 Puentes de Königsberg ................................................................4 Grafo de Listing ...........................................................................6

GRAFO HAMILTONIANO .......................................................................6 Dodecaedro Dodecaedro ....................................................................... ..........6

ARBOLES ..................................................................... ......................7 Laberintos Laberintos .......................................................................... ..........7

COLOREABILIDAD DE UN GRAFO .............................................................9 JUEGOS ........................................................................ ...................................................................................... ..............10

El problema de los 3 suministros ...............................................10 Pastor, col, oveja y lobo .............................................................11 Dodecaedro Dodecaedro ....................................................................... ........13 Torres de Hanói .........................................................................14

El Domino (Semi) Perfecto ............................................................17 Problema de Collatz...................................................................19 RESULTADOS RESULTADOS....................................... ............................................................................. ........................................21 REFERNCIAS ............................................................................................................... 22

1 Julio Cesar Nuñez Tejero Juegos Con Grafos



Resumen En el presente trabajo se tiene la intención demostrar que “La teoría de grafos” es una de las herramientas que aparece en el análisis matemático

en los juegos, con una pequeña introducción acerca de los grafos, sus componentes y sus conceptos, explicaremos como es que son tan útiles en la resolución de problemas del mundo real. El propósito de este es modelar a través de la teoría de grafos la matización de situaciones de forma eficiente, intuitiva y sencilla de algunos juegos, revisar las estrategias seguidas para ganar y así como los fundamentos para la realización de estos. Dibujar un grafo para resolver un problema es bastante común, y no se precisa de conocimientos matemáticos. Un grafo es un dibujo, y consta de vértices y de aristas que unen algunos de estos vértices Describiremos un poco de la historia acerca de cómo surgieron los planteamientos de los problemas propuestos y denotar como los ahora llamados grafos fueron de gran ayuda para la resolución de estos. Analizaremos varios juegos que tienen bases en la Teoría de Grafos y de acuerdo a su metodología y su nivel de complejidad iremos desglosando los modelos de resolución en la cual la teoría de grafos es esencial para esta. Lo que finalmente se propone es analizar el modelo matemático que partir de grafos para diversos juegos y ver las características de la estrategia seguida para vencer, tratando de generalizarla para otros juego que puedan modelar de la misma manera. Así como denotar algunas pequeñas observaciones que surgieron al estar desarrollando estos juegos.




Introducción A continuación se presentara un sencillo material introductorio a la teoría de grafos, que posee diversas aplicaciones en la vida cotidiana, en este caso unos juegos que a simple vista parecen sencillos, pero al abordarlos descubriremos que nos tomara un poco más de trabajo la resolución de estos, sabiendo la base en la que se plantean estos podemos formular una estrategia para vencer a través de la teoría de grafos, tendremos que aprender un poco sobre como surgieron a través de diversas situaciones y como fue surgiendo su metodología así como sus conceptos Consideremos un conjunto de puntos sobre el plano, algunos de ellos unido por un segmento. A la figura así obtenida se le llama grafo. A cada uno de los puntos lo llamaremos vértice, y a los segmentos que los unen, aristas. Cada arista queda definida por los dos vértices de sus extremos. Se dice que cada uno de estos dos vértices es adyacente a la arista que los une, o que la arista es adyacente a los vértices que la definen. En un grafo las longitudes de los segmentos no determinan que dos grafos sean diferentes: lo importante es que algunos vértices está unidos y otros no.

La teoría de grafos, es una parte de las Matemáticas que comenzaron en clave de juego y se han convertido en un instrumento fundamental de la Matemática Aplicada. Los problemas de transporte, la combinatoria poliédrica, los problemas de secuenciación de actividades usan de la Teoría de Grafos, para resolver muchos de los problemas de estas áreas. A partir de Euler el modelado mediante grafos fue desarrollando metodologías hasta convertirse en la actualidad, en una herramienta de trabajo para ciencias tan diferentes como la Física, la Química, la Sicosociología, la Economía, la L ingüística, etc. La teoría de grafos está íntimamente relacionada con varias ramas de la Matemáticas como por ejemplo la Teoría de Conjuntos, el Análisis Numérico, Probabilidad, Topología, etc. y es la base conceptual en el tratamiento de problemas combinatorios. La eficacia de los grafos se basa en su gran poderío de abstracción y la muy clara representación de cualquier relación lo que facilita enormemente tanto la fase de modelado como de resolución del problema. Gracias a la Teoría de Grafos se han desarrollado una gran variedad de algoritmos y métodos de resolución eficaces que nos permiten tomar una mejor decisión. 3 Julio Cesar Nuñez Tejero Juegos Con Grafos



Antecedentes El nacimiento del concepto GRAFOS se puede situar, por el año 1730, cuando Euler (matemático) se convirtió en el padre de la Teoría de Grafos al modelar un famoso problema no resuelto, llamado el "problema de los puentes de Königsberg". En 1847, Gustavo Kirchhoff se interesa, en sus trabajos sobre redes eléctricas, por la cantidad de corriente que circula por las diferentes ramas de un circuito eléctrico dando lugar a las leyes que llevan su nombre. Para ello, desarrolla la noción de árbol, tipo especial de grafo sin circuitos Diez años más tarde, en 1857, los grafos se aplican también a la química. Cayley, nacido en Richmond en el año 1821, estudia las diferentes estructuras posibles de una molécula con n átomos de carbono y 2n+2 átomos de hidrógeno. Las substancias con igual número de átomos de cada clase en la molécula y con pro- piedades distintas, se conocen en química como isomería. Ejemplo de dos isómeros son el propano normal y el isopropano, ambos de fórmula química C5H12. Cayley representaba también esas fórmulas con la ayuda de grafos tipo árbol.

Grafo euleriano Puentes de Königsberg

El problema de los siete puentes de Königsberg, enunciado anteriormente, se formularía ahora, de la manera siguiente: ¿cómo sería posible, partiendo de uno cualquiera de los cuatro vértices, colorear la totalidad de los lados del grafo, sin pasar dos veces por el mismo lado, sin levantar el lápiz del grafo, y regresando al mismo vértice de partida? Lo que parece un juego, si fuéramos capaces de construir tal paseo, técnicamente se dice que se trata de un circuito euleriano y, como consecuencia, cuando un grafo contiene tal circuito, se dice que se trata de un grafo euleriano. Dicho de otra manera, y de una forma más general, ¿sería posible saber, de una manera sencilla, si en un grafo dado, sea el de los siete puentes o cualquier otro, existe un circuito euleriano? 4 Julio Cesar Nuñez Tejero Juegos Con Grafos



Problema genérico : dado un grafo (con múltiples líneas entre pares de puntos)

encontrar un camino que recorra el grafo asando por cada arista exactamente una vez. Solución: El grafo debe ser conexo, y en cada punto deben incidir un número par de líneas. Esta condición es suficiente para definir lo que se llama un ciclo euleriano.

La cuestión fue resuelta por el mismo Euler y, en la teoría de grafos actual, esa solución está contenida en un teorema que lleva su nombre. Podríamos enunciarlo así: para que un grafo contenga un circuito euleriano, es necesario que en cada uno de sus vértices incida un número par de lados . Solo así es posible llegar a un vértice cualquiera y poder salir de él sin volver a pasar por el mismo lado por el que se accedió. Aplicando el teorema al caso de los siete puentes descubrimos inmediatamente que, el problema del paseo no tiene solución: vemos que el total de lados incidentes en cada vértice, o grado de sus vértices, es siempre un número impar. Para poder efectuar el paseo propuesto, sería necesario agregar algunos puentes a la topografía existente, por ejemplo, un nuevo puente ac y el bd , Así, todos los vértices serían de grado par. Al genio de Euler se debe, pues, el haber descubierto, apoyándose en la teoría de grafos por él formaliza- da, que el juego del paseo, tal como estaba planteado, y al que tanto tiempo dedicaron las gentes de aquel entonces, no tenía solución. El grafo contiene solo dos vértices impares. Aunque parezca complicado, ese grafo es recorrible comenzando en uno de los vértices de grado impar y finalizando en el otro, a y z.




Grafo de Listing

El grafo anterior procede del tratado titulado Vorstudien zur Topologie, de Johann Benedict Listing. Esta obra fue comunicada al matemático y astrónomo francés Édouard Lucas, 1842-1891, por el también matemático Georg Cantor, profesor en aquel entonces en la Universidad de Heidelberg. Lucas era un apasionado por las curiosidades matemáticas y a él se debe el tratado Récréations Mathématiques publicado después de su muerte en cuatro volúmenes, entre los años 1892 y 1894 . Se le considera el inventor del conocido juego de las Torres de Hanoi o torres de Brama. Grafo hamiltoniano Dodecaedro

En 1857, es decir, 122 años después de los trabajos de Euler, el matemático William Rowan Hamilton, nacido en Dublín en 1805, inventa y presenta su Juego Ico- siano, The Icosian Game, y posteriormente una variante del anterior con los nombres de Dodecaedro del viajero, Un viaje alrededor del mundo, en los que de nuevo aparecen los grafos. Este juego estaba compuesto esencialmente por un dodecaedro regular, de madera, provisto de un mango o asidero fijado en el centro de una de las caras del dodecaedro. En los vértices del poliedro se habían colocado clavos de cabeza ancha, bien de marfil o de metal, mientras que las treinta aristas del dodecaedro estaban marcadas por trazos negros representando las rutas por las que el viajero podía pasar para ir de una población a otra. Para realizar el paseo y recordar las diversas poblaciones atravesadas, se tomaba un bramante que se fijaba en el punto de partida y se iba enlazando en cada población, clavo, del recorrido. El objetivo del juego es que un viajero visite los veinte vértices de ese poliedro regular, uno tras otro, una vez y solo una, y de tal forma que el vértice origen sea también el vértice destino.




Arboles

En los orígenes de la teoría de grafos, parte de las matemáticas que se ocupa de objetos finitos o, como decimos hoy día, de objetos discretos, aparece una figura significativa denominada árbol.

Laberintos

Un árbol es un grafo conexo y sin ciclos. Conexo significa que es posible conectar cualquier pareja de vértices por medio de un camino y los laberintos constituyen un ejemplo de grafo En muchos casos, los laberintos se han concebido como lugares de diversión o esparcimiento como es el caso de uno de los más populares laberintos jardín: el de Hampton Court, en Inglaterra, ideado y realizado por el rey Guillermo III de Orange en 1690. Otros laberintos del mismo uso son: Villa Alteri en Roma y Alfarrás en Cataluña. Asimilando los pasillos de un laberinto a los lados de un grafo y sus cruces o encrucijadas a los vértices, la teoría de grafos permite salir de cualquier laberinto. El interés por un laberinto puede ser diverso: acceder a un punto determinado del mismo; visitar el laberinto completamente para encontrar un tesoro, un secreto y luego salir regresando al origen. La cuestión es cómo explorar el laberinto de forma sistemática o, lo que es lo mismo, cómo recorrer todas sus galerías sin dejar de visitar un solo rincón. Gaston Tarry, 1843-1913, fue un matemático francés nacido en Villefranche de Panat e interesado por distintos temas de las matemáticas recreativas y, entre ellos, por los laberintos. En 1895 enuncia un método sistemático de exploración de laberintos de cualquier tipo. El método descansa en las dos reglas que siguen.




Tendremos en cuenta que un pasillo comienza y acaba en los cruces; un cruce o encrucijada es el punto del laberinto donde se encuentran dos o más pasillos. 1. Se recorre cada pasillo exactamente dos veces, una vez en cada sentido, colocando una marca en la entrada del pasillo y otra en la salida del mismo, de forma que al finalizar la exploración total del laberinto, cada pasillo habrá sido marca- do dos veces en cada extremidad. 2. En cada cruce o encrucijada se impone la condición de no volver a tomar el pasillo por el que se ha descubierto o llegado a tal cruce (el pasillo por el cual nos encontramos con ese cruce por vez primera) más que como último recurso.

En la misma época que Tarry, el ingeniero francés de telégrafos, Trémeaux, había comunicado al matemático E. Lucas, ya citado más arriba, un método muy similar, pero más preciso Tres reglas por las que se rige este procedimiento. 1) Desde el punto de comienzo, se toma un camino cualquiera. Si se encuentra un punto sin salida, se retrocede por el pasillo ya recorrido. Si se llega a una encrucijada de pasillos, se toma uno cualquiera aún no explorado. 2) Si se llega a un cruce ya explorado, pero por una vía nueva, se retrocede por el pasillo al que se ha llegado al cruce hasta recorrerlo de nuevo completamente en sentido inverso. 3) Si se llega a una encrucijada ya explorada y por un pasillo ya recorrido en los dos sentidos, se elige, en primer lugar, un pasillo nuevo, y si esto no fuera posible, un pasillo explorado en un solo sentido.




Coloreabilidad de un grafo

Junto con la caracterización de la existencia o no de ciclos y caminos eulerianos, éste es uno de los problemas más conocidos en teoría de grafos. Se dice que un grafo es n-coloreable si pueden pintarse sus vértices con n colores diferentes de manera que dados 2 vértices del grafo unidos por una arista puedan ser pintados de colores diferentes, y n sea el número más pequeño posible que cumpla esa condición. Uno de los resultados más celebrados (y controvertidos) de finales del siglo pasado es el llamado Teorema de los cuatro colores. Appel y Hakel demuestran en 1976 que todo grafo plano4 es a lo sumo 4-coloreable. Muchos de los grafos que surgen en nuestra actividad de coloreado no son planos, por lo que éste último resultado no es parte del núcleo central de contenidos de la actividad, aunque sí la definición de coloreabilidad de un grafo y cómo se puede comprobar si un grafo es coloreable o no. Numerosos investigadores han intentado crear diversos juegos de coloración. Xuding Zhu creó en 1998 un par de juegos que consistían en obtener el número cromático de un grafo y el número cromático acíclico. Otro de los juegos consiste en intentar una coloración de los grafos, teniendo cada vértice una lista de colores para realizar la coloración. Siguiendo una estrategia de selección de vértices se procede a la coloración de los mismos seleccionando un color de la lista de colores que tie-ne asignada. La coloración será posible si se pueden asignar colores a todos los vértices del grafo. Entre los juegos de coloración también se incluyen algunos en los que es necesaria la participación de dos personas para realizar el juego. Es decir, que no consiste en un juego individual sino colectivo. El juego consiste en realizar una coloración de un grafo con una serie de colores disponibles entre dos jugadores. Cada jugador colorea un solo vértice en su turno, pero ambos tienen metas diferentes. El jugador A intenta colorear el grafo con el menor número de colores posibles, mientras que el jugador B tratará que no pueda completarse la coloración llegando a un vértice que no pueda ser coloreado con los colores que hay disponibles.




Juegos El problema de los 3 suministros

Este es uno de los problemas clásicos y más divertidos de teoría de grafos: El objetivo es conectar cada una de las casas con los tres círculos –agua, electricidad y gas — sin que ninguna de las líneas de conexión corte a otra.

Si representamos cada una de las casas y los posos mediante puntos ( vértices) y tomamos también las líneas de conexión ( aristas) lo que obtenemos es el grafo bipartito Un grafo se dice que es plano si podemos dibujarlo en un papel sin que ninguna de las aristas corte a otra en un punto que no sea un vértice. Solución

Kuratowski demuestra que este grafo K(3,3) no es plano. De hecho demuestra más, que un grafo es plano si y sólo si no contiene a K(3,3) ni al grafo completo K(5). Esto resuelve el problema, en el sentido de que no tiene solución sobre el plano, En cambio, sí tiene solución si nos encontramos en un toro o en una cinta de Möbius.




Pastor, col, oveja y lobo

Un pastor, con una col, una oveja y un lobo se encuentra a la orilla de un río que quiere atravesar. Hay en su orilla una barca en la que cabe él y una sola de sus pertenencias al tiempo. ¿Cómo se las ingeniará para pasarlas todas? Si deja solas a un lado oveja y col, ésta será liquidada rápidamente por la oveja. Si deja oveja y lobo solos a un lado, el lobo se zampará a la oveja. En cambio al lobo no le atrae nada la col y bien se puede quedar solo con ella. Apuntamos las posibles situaciones de las pertenencias del pastor en la orilla inicial I sin que le desaparezca nada. Así

Solución

Señalamos con una flecha los posibles pasos de una situación a otra seg ún la regla del juego, es decir que en el barco sólo pueden cruzar el pastor y una sola de sus pertenencias. El primer paso el llevar la cabra a través del río, ya que de otro modo la cabra o la col serían devoradas. Cuando el granjero vuelve a la orilla original, puede elegir entre llevar el lobo o la col al otro lado. Si lleva el lobo, deben volver luego para llevar la col, entones el lobo se comería a la cabra. Si lleva la col al otro lado, necesitará volver para coger al lobo, entonces la col sería comida. Aquí se encuentra el dilema, se resuelve llevando el lobo (o la col) en la barca y trayendo de vuelta a la cabra. Ahora podemos llevar la col (o el lobo), dejando la cabra y, finalmente, volver a buscar la cabra.


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