Jorge Omar Morel - 2015 - Transformaciones Lineales B

TRANSFORMACIONES TRANSFORMACIONES LINEALES Álgebra Lineal y Geometría Analítica para estudiantes estudiantes de Ingeniería Parte B.2 Jorge Omar Morel

edición

2015

no escribir nada

nada

TRANSFORMACIONES LINEALES Álgebra lineal y Geometría analítica para estudiantes de ingeniería Parte B.2

Jorge Omar Morel FACULTAD DE INGENIERÍA Universidad Nacional de Misiones

(UNaM)

Morel, Jorge Omar Transformaciones lineales : álgebra lineal y geometría analítica para estudiantes de ingeniería. Parte B.2 2015 . – 1a ed. – Oberá : Jorge Omar Morel, 2015. 278 p. : il. ; 18x25 cm. ISBN 978-987-33-8237-6 1. Matemática. 2. Enseñanza Universitaria. I. Título CDD 510.711 nada Fecha de catalogación: 21/07/2015

ISBN 978-987-33-8237-6 Impreso en Argentina 2015 Jorge Omar Morel. Esta obra está licenciada bajo la Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacio naciona nal. l. Para ara ver ver una una copia copia de esta esta lice licenc ncia ia,, visi visita ta http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/.. http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Oberá – Misiones, Misiones, 2015

Prólogo Esta obra comprende una selección de contenidos de Álgebra Lineal y Geometría Analítica para el primer año de las carreras de ingeniería del país. Éstos corresponden básicamente a una visión de lo mínimo que un estudiante de ingeniería debería equiparse en primer año para poder aprovechar mejor los cursos posteriores en la carrera. Y se desarrolla en 4 partes. Parte A.1

• Puntos y Vectores. • Matrices y Determinantes. • Sistemas de Ecuaciones Lineales. Parte A.2

• Rectas y Planos. • Secciones Cónicas. • Superficies Cuádricas y Regladas. Parte B.1

• Espacios Vectoriales. • Combinaciones lineales y Espacio generado. • Bases y Cambios de Base. Parte B.2

• Transformaciones Lineales y Matrices Asociadas. • Autovalores y Autovectores – Diagonalización. • Aplicaciones.

Tienes un libro que he intentado te sea de más ayuda —en este material mantenemos un estilo coloquial, con abundante ejemplificación y ejercicios resueltos, mientras que el contenido mismo se presenta en forma detallada, tratando de no resignar precisión— que un libro de texto normal. La calidad de los gráficos es profesional y en colores; si hubiera algún inconveniente en la versión versión impresa, impresa, puedes solicitarme (omar.morel@ (omar.morel@gmail. gmail.com) com) los archivos archivos en formato electrónico. electrónico. Una de las finalidades finalidades del libro es que te habilite para que puedas leer sin problemas un libro de texto dedicado a las matemáticas o a las ingenierías. v

Para cada capítulo existe un apéndice al final, donde ahondamos en detalles o agregamos contenidos. Espero que sirvan como incentivo para cuando hayas alcanzado cierta madurez, o como material de re-lectura una vez aprobado el curso. Te animo a que leas un apéndice recién después de haber leído el capítulo al cual correspondiera. Los contenidos que aparecen en otras asignaturas y son citadas en estos apéndices, han sido reducidos al máximo posible. Un apéndice —H— está dedicado a ejercitación, y corresponde una sección por cada capítulo. En la sección H-7 hay un ejemplo de examen y experiencia compartida con otros docentes. La notación general ha sido cuidadosamente elegida. Es probable que ésta difiera con algunos libros de texto, pero con relación a sí misma he tratado que sea coherente entre todas sus partes. El capítulo 1 contiene una revisión de espacios vectoriales y trata de trabajar nuevamente el concepto de recta y plano desde ese punto de vista, que mas adelante, cuando en el capítulo 3 realicemos rotaciones de rectas y planos no se haya perdido la familiaridad con aquellos conceptos. Es muy importante que revises el material de trayectorias. Los capítulos 2 y 3 presentan el nudo de las transformaciones lineales: cómo verificarlas, sus propiedades; y además contienen una referencia a las transformaciones no lineales. En particular en su apéndice ( A ), donde hacemos los mapeos de caminos cerrados en el plano, tanto para transformaciones lineales cuanto para algunas transformaciones no lineales. El Cap. 4 versa sobre los autovalores y autovectores de las matrices cuadradas de entradas reales, considerándolas como matrices asociadas a transformaciones lineales en un mismo espacio. En el capítulo 5 trabajamos sobre la diagonalización de matrices cuadradas, para terminar con los cambios de base que dan como resultado matrices asociadas diferentes para una misma transformación lineal. Finalmente en el capítulo 6 se aplican los conceptos a la diagonalización de cónicas y cuádricas.

vi JOM - Transformaciones Lineales

Objetivos —Parte B.2— 1. Objetivos generales Poner a disposición una herramienta matemática que permite tratar relaciones funcionales entre objetos diferentes . Manejar conceptos de función entre espacios vectoriales, Aplicaciones: Rotaciones y Traslaciones en el espacio, Conectar la teoría de las matrices con la de las transformaciones lineales y afines. Proporcionar demostraciones sencillas, manejar la notación formal. 2. Objetivos particulares por tema Capítulo 1: Planos y rectas a la luz de los espacios vectoriales

Se trata de un repaso (revisita) a un tema que normalmente aparece 9 semanas atrás. Ponemos como recurso lo estudiado de los espacios vectoriales para integrar conceptos anteriores. Capítulo 2: Transformaciones lineales

Definimos lo que es una transformación. Aprendemos a detectar las que son lineales. A las lo son, las caracterizamos a través de una matriz asociada. Esto trae como consecuencia poder utilizar el álgebra matricial. De este modo todo lo que has estudiado de espacios vectoriales es «materia prima» para trabajar con este contenido. Capítulo 3: Transformaciones lineales isométricas

Estudiamos más detenidamente una clase de transformaciones lineales, en las que los transformados conservan la norma —es necesario definir una distancia en el espacio vectorial—. Especial tratamiento daremos a las rotaciones en R2 y R3 . La revisión del capítulo 1 funciona como referencia para la operatoria necesaria en esta unidad. Capítulo 4: Valores y vectores propios

Como las transformaciones lineales pueden caracterizarse mediante las matrices asociadas, corresponde un estudio un poco más detallado de las propiedades de éstas. Básicamente los autovalores y autovectores son propiedades fundamentales de las matrices cuadradas. Asimismo se desarrolla el concepto de matriz similar. A pesar de que se evitan los autovalores complejos — que cobrarán importancia cuando se utilice el mismo tema para estudiar por ejemplo las ecuaciones diferenciales o a diferencia de sistemas dinámicos—, porque el enfoque privilegia las aplicaciones relacionadas con la geometría, hay algunos esbozos por tenerlos presente. Desarrollamos el concepto de similaridad pero que lleva a la matriz a ser diagonal —o de Jordan—. Como todo concepto nuevo es necesario darle bastante importancia, sobretodo porque se lo utiliza mucho en todas las ramas de la ingeniería. Capítulos 5 y 6: Diagonalización y aplicación al cambio de base vii JOM - Transformaciones Lineales

En este caso particularizamos el contenido de la unidad anterior aplicando ese concepto a las transformaciones lineales. Es también una aplicación concreta de los cambios de base que se estudiaron en el marco de los espacios vectoriales. La particularidad es que ahora las matrices asociadas no son únicas para cada transformación lineal, sino que dependen de qué bases están involucradas en uno y otro espacio vectorial. Respecto de la canonización, es una de las aplicaciones de toda la teoría anterior. Por estar relacionada con los conceptos geométricos de las cónicas y cuádricas, es un tema que cierra el proceso de estudio de la obra, aunque hayamos dejado afuera otras posibilidades.

viii JOM - Transformaciones Lineales

Dedicatoria y Agradecimientos

a mis tías, Rosa y Angélica No hacen falta consejos cuando hay Amor.

Agradecimientos :

a mi familia: por los fines de semana sin papá a mis ex-alumnos: por los constantes aportes y por «bancarse» las versiones preliminares

Agradecimientos Especiales :

al ing. Carlos Wüst , por animarme y escribir la guia base

a mis alumnos, en particular Brenda Antonella Herda y Sergio Ariel Pacheco por la revisión final de la edición 2014, pero a todos aquellos que han colaborado indicando las partes oscuras, o señalando inconvenientes.

ix JOM - Transformaciones Lineales

x JOM - Transformaciones Lineales

Tabla de contenidos

1. Planos y rectas mediante espacio vectorial

1

1-1. Repaso de espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1-2. Ecuaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1-3. Ecuaciones del Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1-4. Repaso de segmentos y cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. Transformaciones Lineales

21

2-1. Transformaciones o morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2-2. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2-3. Matriz asociada a una transformación lineal . . . . . . . . . . . . . 33 2-4. Matriz asociada a operaciones con Transformaciones lineales 3. Transformaciones lineales isométricas

. . 40 45

3-1. Isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3-2. Rotación en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3-3. Rotaciones en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4. Autovalores y Autovectores

59

4-1. Introducción: Mapeo en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4-2. Autovalores y Autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4-3. Matrices similares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5. Diagonalización de matrices y Aplicación al cambio de bases

83

5-1. Diagonalización de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5-2. Matrices simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5-3. Cambios de base en TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6. Aplicaciones

101 xi

Tabla de contenidos

Tabla de contenidos

6-1. Vector mediante su matriz de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . 102 6-2. Secciones Cónicas y superficies cuádricas . . . . . . . . . . . . . . 103 6-3. Canonización de Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6-4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6-5. Canonización de cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 A. Mapeos de trayectorias en el plano

129

A-1. Circunferencia y cuadrado unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 B. Más sobre mapeos lineales

135

B-1. Ley dada mediante del mapeo de una base . . . . . . . . . . . . . 135 B-2. Núcleo e imagen de una TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 B-3. Relaciones entre los sistemas lineales y las transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 B-4. Traslaciones «matricializadas» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 B-5. Guión de figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 C. Más sobre Isometrías

147

C-1. Rotación alrededor de un punto que no es el origen de coordenadas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 D. Mas sobre autovalores y autovectores

155

D-1. Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 D-2. Matrices relacionadas y sus pares autovalor-autovector . . . . . . 158 D-3. Método de Newton-Raphson (Raíces) . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 E. Más aún sobre autovalores y autovectores

169

E-1. Aplicación de una transformación más de una vez . . . . . . . . . 169 E-2. Espacios invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 E-3. Base ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 F. Extras sobre aplicaciones

179

F-1. «Afinización» de cuádricas y cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 F-2. Formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 F-3. Forma canónica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 G. Transformaciones de la circunferencia

189

xii JOM - Transformaciones Lineales

Tabla de contenidos

Tabla de contenidos

G-1. Mapeos lineales de la circunferencia unitaria . . . . . . . . . . . . 190 H. Ejercitaciones

203

H-1.Rectas, Planos y Espacios Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 H-2. Transformaciones Lineales. Matriz asociada vs Ley . . . . . . . . 206 H-3.Isometrías en el Plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 H-4.Valores y Vectores Propios de Matrices n

×n

. . . . . . . . . . . . 215

H-5.Cambios de Base y Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . 218 H-6. Canonización de Cónicas y Cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . 221 H-7.Ejemplo de examen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 H-8.Una palabra para compartir con profesores . . . . . . . . . . . . . 225

xiii JOM - Transformaciones Lineales

Tabla de contenidos

Tabla de contenidos

xiv JOM - Transformaciones Lineales

Capítulo 1 Planos y rectas mediante espacio vectorial

Resumen:

Empezamos con una revisita a estos temas — repaso de lo que hemos desarrollado en la parte B.1—; pero desde el punto de vista de los espacios vectoriales. Es interesante ver que el espacio vectorial provee un marco donde lo aprendido hasta ahora cabe si no perfectamente, adecuando algunos pocos aspectos. En este libro obtendrás una visión dual; los tratamos mediante la geometría, o bien mediante los espacios vectoriales. Se trata de ver algunos aspectos de la geometría analítica usando las herramientas de los espacios vectoriales. Para ello es necesario definir operaciones en estos espacios: el plano y el espacio tridimensional.

1

Capítulo 1. Planos y rectas mediante espacio vectorial

1-1. Repaso de espacios vectoriales

1-1. Repaso de espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1-2. Ecuaciones de la recta

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-2.1. Matriz de coordenadas de la recta . . . . . . . . . . . . . .

6

1-2.2. Distancia de la recta al origen . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1-3. Ecuaciones del Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1-3.1. Matriz de coordenadas del plano

9

. . . . . . . . . . . . . . 11

1-3.2. Distancia del plano al origen . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1-4. Repaso de segmentos y cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1-4.1. Trayectorias con segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1-4.2. Combinaciones de arcos y segmentos . . . . . . . . . . . . 16 1-4.3. Trayectorias de arcos de cónica . . . . . . . . . . . . . . . 18 1-4.3.1. 1er método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1-4.3.2. 2do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1-1. Repaso de espacios vectoriales Un espacio vectorial es la estructura algebraica que posee un conjunto de vectores , en la que se define una operación llamada « suma de vectores +» , y otra operación entre elementos de un cuerpo de escalares K y los vectores de llamado «escalamiento » ; además se cumplen diez axiomas. La estructura espacio vectorial (e.v.) se simboliza de la siguiente manera:

V

V

·

V

·

V = ( , +, K, )

(1.1)

El K que aparece en la estructura del espacio (1.1) es a su vez, otra estructura —el cuerpo K — que puedes simbolizar

K ·

K = ( , +, )

(1.2)

La suma en el cuerpo (1.2) es la suma de escalares, y es en general distinta a la suma de vectores del espacio vectorial (1.1), así como el producto en (1.2) es entre escalares y el producto en (1.1) se refiere al (escalamiento) producto entre un escalar de y un vector de .

K

V

El conjunto de un espacio vectorial (e.v.) puede contener diversos entes matemáticos, como ser: puntos, matrices, funciones, sucesiones, polinomios, etcétera. es el «conjunto subyacente» del e.v. V = ( , +, K, ).

V

V

V

·

El cuerpo de escalares más común en este libro es el de los reales — = R—, y además con la suma estándar entre reales y el producto estándar entre reales. Cuando eso ocurre, podemos decir que el e.v. V en la (1.1) es un espacio vectorial real y estándar. Y en ese caso —abusando de la notación— , asociar el espacio con el conjunto subyacente V = ( , +, R, ) . En

K

V

· ≡ V

2 JOM - Transformaciones Lineales


1-1. Repaso de espacios vectoriales

particular, cuando decimos «el espacio R2» estamos hablando del espacio R2 = (R2, +, R, ) donde las operaciones son las estándares.

·

Puedes caracterizar un espacio particular dando solamente una base de él, es decir un conjunto de vectores —matrices, funciones,. . . — linealmente independiente y generador de todo el espacio. En espacios n -dimensionales la cantidad de vectores en cualquier base es n. En otras palabras: una base es un conjunto. . . , pero no solamente un conjunto sino que el orden —en latín canon — es muy importante, de modo que un conjunto 1 = (1, 0) , (0, 1) que es igual al conjunto 2 = (0, 1) , (1, 0) , no representan la misma base.

B {

B {

}

}

Cualquier vector del espacio puede representarse por su matriz de coordenadas sobre una base específica, y esta representación es única. En el caso anterior la matriz de coordenadas 1 del vector v = (2, 3) sobre 2 3 base 1 es [v]1 = y sobre la otra, [v]2 = . Recuerda que 1 así 3 1 2 2 definida es la base canónica de R2 , por lo que en este caso puedes escribir 2 simplemente [v] = . 3

 

B



B

Para pasar de una representación respecto de una base u otra vale:

[v] = [B2 ] [v]2

(1.3)

donde [B2 ] representa la matriz de transición de la base 2 a la canónica, y sus columnas son las matrices de coordenadas de cada uno de los vectores de la base 2 expresadas en base canónica. Nota la diferencia de notación entre la base i y la matriz [Bi ]. Para el caso del ejemplo, la base 2 = b2,1 , b2,2 está compuesta por los vectores b 2,1 = (0, 1) y b 2,2 = (1, 0) ; por eso la matriz de transición de esa base a la 0 1 canónica es [B2 ] = [b2,1 ] [b2,2 ] = . 1 0 De esta forma puedes representar un vector en una base cualquiera — 2 — si la conoces, y conoces las coordenadas del vector sobre otra base cualquiera — 1 —, ya que [v] = [B2] [v]2 = [B1 ] [v]1 , entonces

B

B

B {

B

}

 



B

B

[ v ]2 = [ B2 ]−1 [ B1 ] [ v ]1 = [ B1 ]2 [ v ]1

(1.4)

1 Donde, lo puedes comprobar: [B1 ]2 = [B2 ]− 1 . La matriz de transición [ B2 ]1 de la base 2 a la base 1 no es otra que la matriz de coordenadas de los vectores de la base 2 expresadas en la base 1 . Para el ejemplo que nos ocupa —el de R2—, [B2 ]1 = [b2,1]1 [b2,2 ]1 . El pictograma de la figura 1.1 es una ilustración de este hecho.

B

B

B



B



Los espacios vectoriales también son conocidos como espacios lineales. 1 Para

simplificar la notación usaremos solo el subíndice numérico y consecuentemente en esta obra, todas las bases las notaremos i .

B




V

v [v]1

[v]2 [v]

B 1

B 2

[B1 ]2 [B1 ]

[B2 ]

C Figura 1.1: Repaso de cambio de bases

1-2. Ecuaciones de la recta Podemos usar lo que sabemos de los espacios vectoriales con los temas que ya conocemos —rectas y planos—, para verlos desde una nueva manera. En este sentido te adelanto que una aplicación del último tema de este libro se refiere al tratamiento de cuádricas en una posición general donde su eje focal no es paralelo a ningún eje cartesiano. Este ejercicio es necesario para darnos cuenta que las estructuras las podemos usar en cualquier contexto que lo amerite. Valiéndonos de la figura 1.2 que representa una recta en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales en el espacio, comprobaremos la ecuación paramétrica de la recta y luego deduciremos a partir de ella las otras formas de representarla. Q

Z u P

λu

 Q O

−

O  P

Q

Z r

P Y

Y

O X

 u = OQ

 − OP

X

r = P + λu

Figura 1.2: La recta, con vectores geométricos y con EV En la figura 1.2 (derecha) ves claramente que la ecuación recta de la puedes escribir como r = OP + λ u, donde λ es un número real. Si llamáramos P = OP y r = Or , y u = OQ OP , la ecuación anterior se transformaría en r = P + λ u (1.5)

−→ −→

−→

−→ − −→

que es la ecuación vectorial paramétrica de la recta, donde r es un punto 4 JOM - Transformaciones Lineales



cualquiera de la recta (un punto 2 genérico de la recta), P y Q son puntos fijos3 de la recta.4 . La (1.5) es una ecuación paramétrica porque depende de un parámetro λ ; y como todos los demás elementos (r,P,u) son vectores del espacio vectorial real y estándar R3 en la figura 1.2, aunque sirve también para otros espacios 5 . Una palabrita tenemos que decir de u: este «vector» es un punto cuya dirección a partir del origen, es la dirección de la recta. Recuerda que para los espacios vectoriales del tipo R3 los vectores o elementos del espacio son puntos. El concepto de vector geométrico está superado. Para pasar a las ecuaciones cartesianas paramétricas sólo debemos tener en cuenta que los vectores tendrán las siguientes coordenadas en el espacio y base canónica —o estándar, en algunos libros—. [r] =

  x y z

,

[P ] =

  x1 y1 z 1

,

[u] =

por lo que ingresando en la (1.5) las (1.6), tenemos

 

  u1 u2 u3

x = x1 + λ u1 y = y1 + λ u2 z = z 1 + λ u3

(1.6)

(1.7)

que es la ecuación cartesiana paramétrica de la recta Para pasar de las ecuaciones paramétricas a las ordinarias, usamos la ( 1.7) y eliminamos el parámetro λ . Suponiendo u j = 0 tenemos



λ =

x

−x

1

u1

=

y

−y

1

u2

=

z

− z

1

u3

(1.8)

que se conoce como la ecuación segmentaria de la recta, o ecuación ordinaria de la recta en el espacio. Claramente se ve que u j son las componentes de un punto cuya dirección al origen es paralela a la recta, y que los tres juntos no pueden ser cero. 6 Pero si alguno lo fuera, por ejemplo u 1 = 0, la recta se escribiría y y1 z z 1 = con x = x 1 y es una recta paralela al plano YZ. u2 u3 Si dos lo fueran, —por ejemplo u1 = u 2 = 0—, la ecuación de recta se escribiría x = x 1 z = z con , que es una recta paralela al eje Z. y = y 1

−

−



2

En realidad el vector «flecha» lo ponemos para beneficiarnos de la notación y recordar lo que hicimos en la geometría. Es el punto P quien es el vector del espacio vectorial. 3 Puedes elegir dos puntos cualesquiera diferentes P y Q que yacen en la recta r , es decir: P = Q P, Q LGr , donde LGr denota el lugar geométrico de todos los puntos que la forman 4 Escribimos vectores con letra minúscula expresando que son variables, y vectores con mayúscula para dar a entender que son fijos —aunque no los conozcamos—. 5 Si la ecuación la usáramos en Rn con n > 3 , podríamos hablar de una recta en un «hiperplano» . 6 Equivale a escribir u + u + u = 0 1 2 3

 ∧

∈

| | | | | |




1-2.1. Matriz de coordenadas de la recta Podemos escribir las rectas mediante la «matriz de coordenadas» de un punto genérico de ellas. Para ver esto tomemos un ejemplo en R2, r : y = 2x + 1. Claramente el lugar geométrico de esta recta puede expresarse como (x, 2x + 1) , la matriz de x coordenadas del vector genérico sobre base canónica de R2 es . Por 2x + 1 x tanto la recta misma la puedes escribir como [r] = y la notación es 2x + 1 evidente. Se trata de una recta cuya primera coordenada es libre y la segunda depende de la primera (confirma que el grado de libertad es uno).

{

}

 

 

Veamos cómo pasar de la forma (1.8) a esta forma. Suponiendo que u 1 = 0 en la (1.8), tenemos y = y 1 + x−u1x1 u2 y además z = z 1 + x−u1x1 u3 con lo que



r =



x y1 + x−u1x1 u2 z 1 + x−u1x1 u3

  =

x m2 x + b2 m3 x + b3



(1.9)

Ejemplo 1.1.

Sea la recta que contiene los puntos (1, 3, 5) y (6, 4, 2). Halla las diferentes formas de escribirla en ecuaciones 

Hagamos primero P = entonces

r =

 − 

1 + λ5 3+λ 5 λ3

  1 3 5



, y Q =

  6 4 2

, por lo que u =

  − 5 1 3

,

ecuación vectorial paramétrica (EVP)

aunque pudiera escribirse usando cualquier otro punto fijo, 11 + λ5 por ejemplo donde se hizo λ = 2 en la EVP anterior7 5+λ 1 λ3

− −

 



x = 1 + λ5 r : y = 3 + λ z = 5 λ3 x 1 5 z r : = y 3 = 5 3 7 De

−

− −

ecuación cartesiana paramétrica (ECP)

−

ecuación simétrica (ES)

este modo probamos también que la EVP para una determinada recta r no es única




y mediante la matriz de coordenadas (FMR) será r = podemos expresarla como r =

 −

x 1 5x + 3 5x +

14 5 28 5





x 1 3 + x− 5 1 5 3 x− 5

−



que

forma matricial (FMR)

y está bién, porque si se hace x = 1 se obtiene P y si se hace x = 6 se 11 obtiene Q. Si se hiciera x = 11 se obtuviera A = 5 y de la ECP 1 sabemos que basta hacer λ = 2 para obtener ese punto de la recta. Por otra parte, no nos olvidemos de la forma

  −

r :



1 14 x, x + , 5 5

−

3 28 x+ 5 5



lugar geométrico (LG)

que es un calco de la forma matricial. Se trata de escribir las coordenadas del vector genérico respecto de la base canónica. 

1-2.2. Distancia de la recta al origen En la figura 1.3, tenemos que la normal a la recta multiplicada en forma escalar a una paralela a la recta, forzosamente debe ser nula. Q

Z u

n P

N Y O

X

n u = 0

·

Figura 1.3: Distancia al origen En la figura 1.3 hemos puesto que la normal a la recta contiene al origen, por lo que ON es la distancia buscada, y como n u n u = 0,(8 )

−−→

⊥ ⇒ ·

−−→

pero podemos escribir N = ON = k0 n, lo cual implica también que N u = 0, y como N r , se debe satisfacer la EVP N = P + λ 0 u donde λ0 es un valor

·

∈

8

Nota que estamos dotando a nuestro espacio vectorial del producto escalar entre vectores. Esta es otra operación independiente de la suma y el escalamiento. Nota que el producto entre vectores no cierra en el espacio sino que cierra en el cuerpo de los reales.




particular de λ , como hemos visto anteriormente. De esta manera

·

·

N u = (P + λ0 u) u = P u + λ0 u u = 0

·

·

de la cual λ 0 = P u··uu , donde es obvio que no se puede cancelar una u de abajo con una u de arriba porque son vectores, de ahí que

−

− P u ·· uu u

N = P

(1.10)

este es el vector más «corto» del origen a la recta, la distancia será

|N | = u 1· u |(u · u) P − (P · u) u|

(1.11)

Es importante darse cuenta que estamos definiendo una nueva operación entre los puntos del plano: el producto u v = 31 ui vi , similar a la que antes estaba definida para los vectores geométricos.

·

Ejemplo 1.2.



·

Halla la distancia de la recta del ejemplo anterior — 1.1— al origen.



Como P = ec.1.10

    − 1 3 5

y u =

5 1 3

, los productos P u =

−7 u = P + 1 u = N = P − 35 5 √ la distancia pedida es 33.6  5.79655

·

−7 y u · u = 35, en la

  2 3.2 4.4

Pero. . . podemos encontrar soluciones alternativas como:

 

  −

v1 5 v2 que sea normal a u = 1 , por - buscamos un vector v = v3 3 lo que v u = 0, que en este caso arroja 5v1 + v 2 3v3 = 0, o sea que v1 v = 5v1 + 3v3 v3

 · −



−



1-3. Ecuaciones del Plano

- una recta normal a la que tenemos está regida por v , pero contiene al

origen, y ambas contienen a N N = P + λ0 u = 0 + λ1 v

de donde P = λ 0 u

− λ1 v que la podemos escribir matricialmente P =

 − −

5 1 3

 −     u v

v1 5v1 + 3v3 v3

−

λ0 λ1

λ0 λ1



   1 3 5

=

que en este caso deviene en el S.E.L. luego de resolverla, λ0 = tanto arroja el mismo punto N que en la alternativa anterior.

1 5 y

por



1-3. Ecuaciones del Plano Refiriéndonos a la figura 1.4, vemos que u, v , son paralelos al plano π, de modo que cualquier combinación lineal de éstos dos a partir de P arrojará un punto sobre el plano π . Entonces llamemos el vector π a aquel vector de origen en el origen de coordenadas y extremo en el plano. Z

Z Q

n

Q

π

u

α

P

λu

u

P

R

π

R

v

v

Y n u = n v = 0 X

µ v

·

Y

·

X

Figura 1.4: Ecuación del plano En forma paramétrica entonces π = P + λ u + µ v

(1.12)

que es la ecuación paramétrica del plano con parámetros λ y µ. (un plano: dos grados de libertad, dos parámetros), que si tomáramos el vector genérico del plano π = (x,y,z ), y los puntos del plano P = (x1 , y1 , z 1 ), Q = (x2 , y2 , z 2 ) y 9 JOM - Transformaciones Lineales



R = (x3 , y3, z 3 ), o los vectores paralelos al plano u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1, v2 , v3 ) y los introducimos en la (1.12) tendremos

 

x = x1 + λ u1 + µ v1 y = y1 + λ u2 + µ v2 z = z 1 + λ u3 + µ v3

(1.13)

la ecuación cartesiana paramétrica. La ecuación general o cartesiana ordinaria puedes deducirla de la 1.12 teniendo en cuenta que la normal al plano es n = (a,b,c) y que – π P = λ u + µ v , yace en el plano π , con lo que π P n – por tanto n (π P ) = 0, o lo que es lo mismo

−

− ⊥

· −

·

·

n π = n P

– que en forma cartesiana (a,b,c) (x,y,z ) = (a,b,c) (x1 , y1 , z 1 ) es

·

·

ax + by + cz = ax 1 + by1 + cz 1 = d

(1.14)

La pregunta es: ¿cómo se obtiene n conociendo tres puntos no alineados del plano ? ya que debe ser normal al plano, lo será a v y a u simultáneamente, por lo que n = u v —producto vectorial9 —

×

Ejemplo 1.3.

Halla las ecuaciones del plano φ que contiene al punto P = (1, 2, 3) y es paralelo a los vectores u = (1, 3, 0) y v = (0, 1, 2) 

la EVP del plano φ será

{

φ = P + λ u + µ v = 1 + λ , 2 + 3λ + µ, 3 + 2µ

y la ecuación ordinaria será, calculando n = u

}

× v = (6, −2, 1), y

·

n P = 5 = d

de modo que la ec. gral. φ : 6x

− 2y + z = 5

Alternativamente pudiéramos reemplazado en y = 2+3λ+µ la información z 3 λ = x 1 y µ = , de donde obtuviéramos lo mismo 2 

−

−

¿No nos estaremos olvidando de la forma matricial? 9. . . Y

otra vez nos tomamos la licencia de agregar una operación más a nuestro espacio vectorial real y estándar R3




1-3.1. Matriz de coordenadas del plano De la misma manera que en el caso de la recta, para un plano dado en forma general, tenemos π : ax + by + cz = d ax + by de donde, si10 c = 0 podemos hacer z = c puede escribirse ax + by d π : x,y, c



de donde claramente

π:

 

x y ax + by c

−d

  

− d y el lugar geométrico



−

Forma Matricial (FMP)

(1.15)

Nota que la forma matricial de la recta y del plano son muy parecidas, la única diferencia es que una FMR depende solamente de x por ejemplo, y la FMP depende de por ejemplo x e y ( 11 ). Siempre escribiremos las últimas variables en función de las primeras.

1-3.2. Distancia del plano al origen Para encontrarla sabemos que podemos hallar un vector normal al plano dado por n = u v , esto da la dirección de la normal; el punto del plano que interseca esa dirección será

×

N = k0 n

(1.16)

un múltiplo de aquél que satisface la ecuación del plano — N

∈ plano—.

 

a Supongamos que ya calculamos n = b , que será inmediato si el plano c está dado por su ecuación general. Entonces, que N esté en el plano significa que hay un par de parámetros λ y µ tales que

∈ plano

(1.17)

N = P + λ0 u + µ0 v 10

Si no fuera el caso, por ejemplo π : ax + by = d , z = z , donde si b = 0 tuviéramos ax d , y si c = b = 0, tuviéramos el plano π : ax = d, y = y , z = z , de donde π: x, ,z b d π : ,y,z a 11 Le damos una jerarquía a las componentes de un vector, como se hace en ingeniería; aunque matemáticamente hubiese sido correcto escribir una recta dando todas sus componentes en función de z o y (como en la recta (4, y, 2y) , donde tenemos la otra posibilidad z 4, , z , tratemos de evitar esta última). 2



 −   

 

{


}


Por tanto también N


− P = λ u + µ v ∈ plano.

Como N

0

0

− P yace en el plano, su producto escalar por la normal es nulo (N − P ) · (u × v) = 0 = N · n − P · n de donde N · n = P · n, que en la ec.(1.16) tenemos N · n = k n · n y por tanto P · n (1.18) N = k n = n n·n entonces —recuerda que n · n = |n| y que el versor normal sería | | — la dis0

0

n n

2

tancia será

· | | || || | | | | || nota que |d| es un valor absoluto y que |n| es el módulo de n |N |

Ejemplo 1.4.

| |

= k0 n =

P n ax1 + by1 + cz 1 = n n d = = δ n

(1.19)

Halla la distancia al origen del plano del ejemplo anterior — 1.3 —.



  −

6 Calculamos que φ : 6x 2y + z = 5, de modo que n = 2 , como P 1 pudiéramos usar uno cualquiera que pertenezca al plano φ , no necesariamente el que originalmente nos dieron: haciendo x = 1 e y = 2, obtenemos z = 3 —que en este caso es el mismo P que nos han dado. . . pero una forma 0 más sencilla era hacer P = 0 — por tanto 5

−

 

−

6 4+3 N = 36 + 4 + 1

    − − 6 2 1

5 = 41

la distancia es sencillamente el módulo de N , o sea 

6 2 1

√ 541 en este caso

Repaso y notas

El hecho de ver la geometría utilizando las herramientas del espacio vectorial no invalida todo lo que has visto de la geometría analítica, solamente se trata de un punto de vista nuevo. Asimismo, y como hemos dicho, hemos agregado al espacio vectorial R3 una operación como el producto entre puntos —que se corresponde al producto escalar de dos vectores, y se define en forma análoga— y una norma —que se corresponde al módulo de un vector—. 12 JOM - Transformaciones Lineales


1-4. Repaso de segmentos y cónicas

De todas maneras, tampoco hemos trabajado extensivamente los tópicos de la geometría, sino que hemos elegido unos pocos y los hemos abordado de una posible manera, entre muchas. Lo importante es que podemos escribir la ecuación de la recta o del plano mediante una matriz.

1-4. Repaso de segmentos y cónicas Hemos visto que cuando trabajamos en los espacios vectoriales reales (R, +, Rn , ) donde n 2, 3, podemos escribir la ecuación de una recta como 12 r = A + ku ( ), pero si quisiéramos modelizar la ecuación de un segmento entre los puntos A y B , deberíamos modificar la anterior a

·

∈

r = A + k(B

− A)

;

∈ [0, 1]

k

en el esquema que sigue —no se especifica el conjunto sub yacente del espacio vectorial donde está la recta—, a medida que k crece desde cero (r = A) hasta uno ( r = B ) tenemos todos los sucesivos puntos intermedios.

A

(1.20) r

B

En caso de que por algún motivo no quisiéramos que el rango de variación del parámetro k fuera el anterior, sino, por r C A ejemplo, un nuevo k [1, 2] la expresión de la ec.(1.20) no B nos servirá, pues haciendo k = 1 partimos de B . . . por fuera del segmento para llegar con k = 2 a C = B A, por tanto debemos ajustar algo...¿ Qué ? . . . Un procedimiento sencillo puede ser re-escribir la ec.(1.20) cambiando la variable, r = A + u;  [0, 1]

∈

−

−



 = 0 debe darse que k = 1 entonces es inmedia = 1 debe darse que k = 2 1 de donde la ecuación anterior será

y sabiendo que cuando to que  = k

∈

r = A + (k

− 1)u; k ∈ [1, 2]

(1.21)

El mismo procedimiento lo puedes cambiar para reflejar cualquier otro escenario, por ejemplo:

Ejemplo 1.5.

Escribe una ecuación para un segmento de extremos A y B , en donde el parámetro vaya de 5 a 7. 

12

donde r y A son un punto genérico y particular —respectivamente— de la recta, u es otro elemento de ese espacio, el cual nos da la dirección de la recta, y finalmente k es el escalar, —en este caso un real— cualquiera




r = A + u;  [0, 1] donde u = B A modeliza bien el segmento, pero el intervalo del parámetro no coincide, lo que haremos es encontrar una relación lineal entre  —nuestra variable independiente— y k . k Conocemos los puntos ( = 0 , k = 5) y ( = 1 , k = 7 7), de modo que es sencillo escribir la ecuación puntoP 2 k 5 pendiente k 5 = 2, de donde  = , 6 2 por lo que la respuesta es 5 k 5 P 1 r = A + u; k [5, 7] 2 0 1  La cual puedes comprobar.

∈

−

−

−

−

∈



Un ejemplo en el espacio vectorial real del plano se ve en la Figura 1.5

A(1, 2) y B(4, 1) por tanto u = (3, 3) Tenemos que –Caso 1: r = (1, 2) + k(3, 3); k [0, 1] o

−

Y 2

−

−

A

r = (1 + 3k, 2 r

1

∈

− 3k); k ∈ [0, 1]

–Caso 2(a):

− 1)(3, −3); ∈ r = (−2 + 3k, 5 − 3k) ; k ∈ [1, 2]

r = (1, 2) + (k

0

1

-1

2

3

4

X B

Tenemos que k [1, 2] o

–Caso 2(b):

Tenemos que k [2, 3] o

− 2)(3, −3); ∈ r = (−5 + 3k, 8 − 3k); k ∈ [2, 3]

r = (1, 2) + (k

Figura 1.5: Ejemplo de parametrización de un segmento

Prueba

Tengamos en cuenta que no es lo mismo pasar de A a B que de B a A y que además podemos usar otros vectores —al menos en cuanto a la modelización se refiere—

− A) ; k ∈ [0, 1], A → B = B + k(A − B) ; k ∈ [0, 1], B → A = A + k(A − B) ; k ∈ [−1, 0], B → A

r = A + k(B

En el caso de que queramos usar un vector distinto, las cosas pueden complicarse. . . por ejemplo en el caso anterior, use14 JOM - Transformaciones Lineales



mos 2(B

− A) · − A) ; k ∈ [0, 0.5], A → B = A + k · 2(A − B) ; k ∈ [−0.5, 0], B → A

r = A + k 2(B

1-4.1. Trayectorias con segmentos En el caso de la figura de la derecha —no necesariamente estamos en R2 —, podríamos eventualmente tomar dos parámetros diferentes como sugiere el esquema,



r = A + k(B s = B + k(C

− A) − B)

A

r

C s

B

, k1 , k2

∈ [0, 1] ∈ [0, 1]

lo cual consiste en una parametrización «débil» . . . Pero también podríamos —y éste sería el caso más interesante— modelizar todo el camino mediante el uso de un sólo parámetro, valiendo por tramos (parametrización «fuerte» ), con lo que tendríamos r =



− − − B)

A + k(B A) B + (k 1)(C

∈ [0, 1] ∈ [1, 2]

, k , k

(1.22)

Un ejemplo donde se ilustra lo anterior es la situación donde la parametrización nos lleva a los puntos A(0, 0), B (1, 0) , C (1, 1) y vuelta a A . Una posible modelización para ese camino cerrado sería

 

r =

Ejemplo 1.6. sentido

(0, 0) 

∈ [0, 1] ∈ [1, 2] ∈ [2, 3]

(k, 0) , k (1, 1 + k) , k (3 k, 3 k) , k

− − −

C A

B

Parametriza el cuadradito unitario en el plano, en el contrario al de las agujas del reloj. La secuencia es

− (1, 0) − (1, 1) − (0, 1) − (0, 0)

Y C

B

O

A

X

Parametrización «irregular» (x, 0) ; x : 0  1 (1, y) ; y : 0  1 cuIrregular (x, y) = (x, 1) ; x : 1  0 (0, y) ; y : 1  0

    

La parametrización débil es c uDebil (x, y) =


r

(k, 0) (1, k) (1 k, 1) (0, 1 k)

−

−

[0, 1] [0, 1] [0, 1] [0, 1]



La parametrización irregular contiene cuatro parámetros —a pesar de que dos a dos usen la misma letra— y algunos van creciendo mientras que otros decrecen. La desventaja de la parametrización débil es que no se hace recorrer un punto desde O a A y luego a B etc., sino que produce cuatro puntos que se mueven simultáneamente. Y entonces la verdadera parametrización es (k, 0) [0, 1] (1, k 1) [1, 2] cu (x, y) = (3 k, 1) [2, 3] (0, 4 k) [3, 4]

 



− − −

Ejemplo 1.7.

Parametriza la circunferencia unitaria en el plano, en el sentido contrario al de las agujas del reloj. 

En este caso, la ecuación de la circunferencia unitaria es x 2 + y2 = 1, pero la parametrización puede hacerse tomando el ángulo α como parámetro. Y B Parametrización «irregular» α y x, 1 x2 ; x : 1  1 f (x, y) = uIrregular C A X x x, 1 x2 ; x : 1  1

 √ −    −√ −

D

La parametrización débil es f uDebil (x, y) = (cos α, sen α),

α

−

−

∈ [0, 2π)

La parametrización irregular contiene dos parámetros —a pesar de que usen la misma letra— uno decrece mientras que el otro crece. La única desventaja de la parametrización débil es que el parámetro final vale 2π , que sería bueno que fuera 1 en el caso de por ejemplo, media circunferencia unitaria, en ese caso Y B

C

A X

Parametrización «fuerte» (cos πk, sen πk) ; [0, 1] f uFuerte (x, y) = (2k 3, 0) ; [1, 2]



−

Mientras no haya combinaciones con arcos, la parametrización débil es tan buena como la fuerte. 

1-4.2. Combinaciones de arcos y segmentos C A— En la Figura 1.6 vemos un ejemplo de camino cerrado — A B que consta de una combinación de arcos y segmentos para completar nuestra experiencia. En este caso el e.v. es el plano R2 .

→ → →




Y 2

–Tramo AB:

∈ [0, 1] –Tramo BC: g = (k, −1 + 4k − k 2 ); k ∈ [1, 4] –Tramo CA: 1 g = (, 16 ( − 8));  ∈ [4  0] para ir de 4 a 8, debe ser  = 8 − k 1 g = (8 − k, 16 (8 − k)(−k)); k ∈ [4, 8] g = k(1, 2) ;

−1 + 4x − x2

B

g 1

A 0

-1

1

2

3

X

4

k

finalmente

−

x(x 8) 16

C g =

A(0, 0) , B(1, 2) y C (4, 1)

−

 

(k, 2k) (k, 1 + 4k 1 (8 k, 16 (8

− −

k2 )

− − k)(−k))

∈ [0, 1] ∈ [1, 4] ∈ [4, 8]

, k , k , k

Figura 1.6: Trayectorias con segmentos rectos y arcos De acuerdo con lo que hicimos, siempre que podamos identificar el lugar geométrico (x, f (x)) que toma un tramo definido; podremos realizar la sustitución x  k y luego cambiar k para que armonice con los valores extremos que le correspondan. En el segundo tramo de la Figura 1.6 no tuvimos ningún problema porque justo el tramo anterior terminaba con x = k = 1, por lo que debía empezar también con el mismo valor. En cambio en el último tramo no tuvimos la misma suerte: terminaba con x = 4 pero debía volver a x = 0, eso lo corregimos haciendo la sustitición x  8 k de modo que cuando k = 4, x = 4, y, cuando k = 8 sea x = 0.

−

La técnica implementada en el ejemplo 1.5 funciona tanto para tramos rectos cuanto para tramos curvos, donde el L.G. (x, f (x)) es más complicado. El caso de un arco de curva dado en forma implícita puede incorporar dificultades adicionales. En la sección 1-4.3 veremos ejemplos de parametrizaciones de arcos de cónicas. Un ejemplo genérico en el e.v.r.e del plano se ve en la Figura 1.7. f (x) f ( p)

k1 P

|

xy q k Q k2

f (q ) p

Q

q

p X

P  k k1

k2 k

Figura 1.7: Emparejamiento de k (parámetro) con (variable) y o con x Para el camino abierto P Q, debemos buscar la relación entre el parámetro que queremos —k — y el parámetro que tenemos —x o y— (ya que el L.G. lo tenemos en forma implícita F (x, y) = 0 de donde tal vez podamos encontrar con más facilidad una de ellas), y lo podemos hacer de la manera siguiente:

→




Suponemos conocida la expresión del lugar geométrico (x, f(x)) o en su defecto (f(y), y) y el tramo está definido entre P y Q Para el primer caso nos conviene conocer la excursión de x [ p, q ] que hace atravesar de P a Q ; en el segundo, la excursión de y [f( p), f(q )]. También debemos decidir los valores del parámetro k. El procedimiento lo hemos resumido en el cuadro siguiente.

{

{ ∈

}

∈

}

conocemos x

conocemos y

Proponemos los puntos P  (k1 , p) y Q (k2 , q ) de donde formaremos la «recta» relación p punto-pendiente x p = kq − −k (k k1 ) de donde

Proponemos los puntos P  (k1 , f( p)) y Q (k2 , f(q )) con los que formaremos f( p) y f( p) = f(kq )− −k (k k1 ) de donde

−

x = p +

2

− −

q p (k k2 k1

−

−

1

− f(q ) − f( p) y = f( p) + (k − k1 ) k2 − k1 2

− k1)

1

y sustituimos ese valor de y en función de k en la expresión del lugar geométrico obteniendo algo así como

y sustituimos ese valor de x en función de k en la expresión del lugar geométrico obteniendo algo así como

{(f (k∗), y(k)} y

{(x(k), f (k∗))} x

1-4.3. Trayectorias de arcos de cónica Si se trata de arcos de cónica, éstas se pueden escribir perfectamente en forma paramétrica y nada más hacer la relación entre los ángulos y nuestro parámetro —hemos usado exclusivamente k , pero puede ser cualquiera— Y

α = 90

α = 120 2

E

α

α = 0

1 0

1

2

En este caso, no tenemos el LG en la forma explícita, y aunque igualmente podamos resolver el problema como hicimos arriba, una forma de sustitución más natural está al alcance. Para la ecuación de la elipse de centro en E (1, 1.5) y semiejes horizontal 2 y vertical 1 de la figura, la podemos modelizar como

3 X

1 (x 4

− 1)

2

+ (y

− 1.5)

2

=1

pero también como e = (1 + 2 cosα, 1.5 + sen α);

α

∈ [0, 2π)

Los puntos que hemos dibujado son A(3, 1.5), B(1, 2.5) y C (0, 2.366), ya que nos interesa el camino abierto A B C , en ese orden —contra-reloj—. que ¿cómo hemos encontrado esos puntos ? Simplemente tomando A : α = 0 y B : π2 , y sabiendo que C : x = 0, tenemos

− −




1 (0 4

2

3 2

2

√ 3

que . El primero de ellos es aproxi1) + (y 1.5) = 1 arroja y = 2 madamente y = 2.366, ahora puedes calcular el ángulo: x = 0 = 1+ 2 cos α en la ecuación parametrizada, de donde cos α = 12 ; por lo que α = 120◦ = 32 π, el cual en la ecuación comprueba y = 1.5–

−

≈

−

±

−

Ahora tomemos dos maneras de modelizar el camino A

− B − C

1-4.3.1. Primer Método

En este caso usaremos e ABC = (1 + 2 cos α, 1.5 + sen α); y en todo caso





eABC = 1 + 2 cos( 23 k) , 1.5 + sen( 23 k) ;

α

∈ [0,

2 π] 3

∈ [0, 1]

k

1-4.3.2. Segundo Método

En este caso intentamos poner y como función explícita de x —y contamos con suerte porque la trayectoria A B C está totalmente incluida en la rama

 −

− −

2

y = 1.5 + 1 (x−41) , solamente debemos tener en cuenta que x varía ahora de 3 a 0 —, en definitiva



 − −   − −  ∈  −  ∈

eABC = x , 1.5 + 0.5 4

(x

1)2

;

x : 3  0

Y, mediante nuestro conocido método. . . eABC =

− −

= 3

3k + 3 , 1.5 + 0.5 4

3k , 1.5 + 0.5 3k(4

(2

3k)2 ;

3k) ;

k

k

[0, 1]

[0, 1]

Una de las alternativas puede resultar más conveniente que otra —o que algún otro método que no hayamos expuesto, pero que estás en condiciones de abordar— de acuerdo con el uso que luego hagamos de ella. Nos referiremos a este tópico cuando tengamos que transformar trayectorias mediante una transformación lineal —o no lineal— así que con un método u otro puede ser más fácil re-interpretar el transformado —desparametrizándolo—. La desparametrización es tanto más sencilla cuando una de las componentes puede fácilmente escribirse en función de la otra. El «grado de facilidad» de esa cuenta hará que nos decantemos por alguna alternativa.





Capítulo 2 Transformaciones Lineales

Resumen:

Veremos qué es una transformación y aprendere- mos a reconocer aquellas que son lineales (TL) de las que no lo son (TNL). También transformaremos trayectorias en el plano. Es importante que toda (TL) tiene asociada una matriz con la que es posible transformar los elementos de un espacio escritos a través de su matriz de coordenadas sobre base canónica. Las facilida- des del producto de matrices intervienen de modo elegante y simplificador. Podremos encontrar estas matrices asociadas, o por el contrario, a partir de ellas, encontrar la ley de la transformación lineal. Las propiedades de las TL y sus matrices asociadas también es un tema fuerte.

21

Capítulo 2. Transformaciones Lineales

2-1. Transformaciones o morfismos

2-1. Transformaciones o morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2-2. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2-2.1. Propiedades de la TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2-3. Matriz asociada a una transformación lineal . . . . . . . . . . . .

33

2-3.1. Ley de la TL a partir de la matriz asociada . . . . . . . . . 39 2-4. Matriz asociada a operaciones con Transformaciones lineales .

40

2-4.1. Suma de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . 40 2-4.2. Escalamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2-4.3. Composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2-1. Transformaciones o morfismos Transformación, o aplicación, o mapeo, o morfismo son distintos nombres para una función. Hasta ahora has considerado funciones donde tanto el con junto del dominio cuanto el del codominio son los reales, por ejemplo la función afín f : R R f (x) = 2x + 1

→ |

La cual cumple con los axiomas de existencia y unicidad. Reconocemos en la función real — f = R de dominio real— y real-valuada — f = R de codominio real— y cuya ley se da a través de un elemento del codominio — f (x) f — , que resulta del mapeo de un elemento x f del dominio a través de la función f .

D

C

∈D

D

f

C

=R

f

x

∈ C

=R f (x)

f

Figura 2.1: Funciones reales, real-valuadas Por definición las transformaciones son funciones entre dos espacios vectoriales que tienen en común el mismo cuerpo de escalares. Nota que en el segundo espacio vectorial — V  — las operaciones pueden no ser las mismas que en el espacio cuyo conjunto subyacente es el dominio — —, por eso las operaciones las escribimos . . .

V

Operación Suma Suma Escalamiento Escalamiento

Conjuntos

Notación +  +

V ×V →  V V  × V  → V K×V →  V  K × V → V 

· ·




T

V

V  = (  , + , K,  )

·

V

V = ( , +, K, ) v

D

T

=

·

T (v) = v  K ( , +, )

K ·

V

C

T

=

V 

Figura 2.2: Transformaciones entre dos e.v. De esta manera la transformación T se define como cualquier función T : V

→ V  | T (v) = v 

(2.1a)

Y la vamos a desmenuzar. . . : La transformación T que asigna a un vector v V , una cierta imagen v  V  que es otro vector; es una función vectorial 1 . No es necesariamente una función real como la primera.

∈

∈

Recuerda que como v y v  = T (v) son elementos de sendos espacios vectoriales, es posible escribir en su lugar, sus respectivas matrices de coordenadas respecto las bases canónicas que correspondieran, de modo que la 2.1a la podemos concebir como (2.1b) T : V V  T ([v]) = [v  ]

→ |

Por otro lado todavía no hemos dado una ley para individualizar la transformación, la daremos en el ejemplo 2.1.

Ejemplo 2.1.

Individualiza los espacios involucrados, escribe la ley mediante las matrices de coordenadas sobre las bases canónicas que correspondan, y transforma un vector del dominio a partir de la ley de la transformación T ((x, y)) = (2x y , y 2x , 2x + y). 

−

−

– Evidentemente los espacios son R2 y R3 , de modo que la transformación puede completarse T : V = R2

→ W = R3 | T ((x, y)) = (2x − y , x − 2y , 2x + y)

En castellano :

T asigna al vector v del plano, otro vector w del espacio; cuya primera componente es el doble de la primera componente de v menos la segunda componente de v . La segunda componente del transformado w es la diferencia entre la primera menos el doble de la segunda componente del 1

A partir de este punto, y hasta terminar el libro, trabajamos con espacios vectoriales V ,y (  , +  , R,  ) V  , a menos que reales, con operaciones estándares, ( , +, R, ) digamos lo contrario.

V

· ≡


V

· ≡



original v . La tercera componente de w es la suma del doble de la primera componente de v más la segunda componente de v . – El transformado del vector v 1 = (3, 2) será T (v1 ) = (2(3) ( 2) , (3) 2( 2) , 2(3) + ( 2)) = (8, 7, 4) = v 1 . En la figura 2.3 se lo representa – Como v = (x, y) es el vector genérico de R2 , su matriz de coordenadas x respecto de (1, 0) , (0, 1) es [v] = , y del mismo modo la matriz de y coordenadas de v  = (2x y , x 2y , 2x + y) respecto de la base canónica 2x y 3  de R puede escribirse [v ] = y 2x ; 2x + y 2x y x podemos escribir la ley como T = x 2y y 2x + y Podríamos haberlo escrito también como 2a b a T = a 2b . b 2a + b ¿Has notado que momentáneamente hemos cambiado V  por W ? Es solo cuestión de notación.

−−

− −

{

} −

   −− 

−

−

   − −  −   

− −





Z Y T (v1 )

3 -2

v1

7

Y

X 4 8

X

Figura 2.3: Transformación del ejemplo 2.1 La última forma en el ejemplo 2.1, —T ([v]) = [v  ]— debes usarla sólo cuando ya conoces V y W , de lo contrario parecería que siempre se va a tratar de T : Rn Rm . Recuerda que en esta forma estamos tratando con matrices de coordenadas, lo cual hace que la identidad de los elementos de V y W pase desapercibida. En otras palabras: lo que es una ventaja —tratar diferentes elementos como si fueran una misma cosa— también debe tomarse con cuidado —cuando las relacionamos es a través de sus matrices de coordenadas y éstas ocultan la diferencia entre elementos—. No es nada grave, pero nunca hay que perder de vista con qué elementos se está trabajando.

→



2-2. Transformaciones lineales

Ejemplo 2.2.

Haz lo mismo para la transformación U dada por

U ((a, b)) = 2a

− b + (a − 2b) x + (2a + b) x2



Evidentemente ahora U : R2 2a b a U = a 2b b 2a + b 

   −− 

→ P 2 y

En los ejemplos 2.1 y 2.2 hemos comprobado que a pesar que T y U no tienen nada que ver, las dos leyes coinciden si se escriben las transformaciones mediante las matrices de coordenadas en lugar de los elementos genéricos !!

2-2. Transformaciones lineales 2

→ V  cumple con( ) T (v + v ) = T (v ) ⊕ T (v ) = v  ⊕ v 

Si una transformación T : V 1

2

1

2

1

2

(2.2)

y T (kv) = k

 T (v) = k  v

(2.3)

Se dice que es lineal. 2-2.0.2.1. Funcional

Un Funcional es una transformación lineal particular: el espacio codominio es el conjunto de los reales F L : V R F L es lineal.

→ |

2-2.0.2.2. Operadores lineales

conocidos son por ejemplo el operador lineal Derivada y el operador lineal Integral son transformaciones lineales donde los espacios involucrados son espacios de funciones. Concretando: Una transformación o mapeo lineal es una función vectorial lineal. En los cursos de análisis —cálculo— de varias variables generalmente tratas con funcionales y operadores lineales como las transformadas de Laplace —que transforma funciones en el tiempo t a funciones en la frecuencia s —. A lo largo de la carrera de ingeniería, y dependiendo de la orientación que elijas, puedes ver más operadores —transformaciones— lineales. 2 Hemos

vuelto a cambiar +  por

⊕ y · por , esperando que su lectura sea más cómoda. 25

JOM - Transformaciones Lineales



Una transformación es una función entre los conjuntos subyacentes de dos espacios vectoriales que comparten el cuerpo de escalares. Una transformación es lineal cuando cumple con los axiomas de superposición indicados en las ecuaciones (2.2) y (2.3)

Desmenucemos los axiomas ((2.2) - (2.3)). Claramente la primera suma ( +) se realiza en el espacio V y la segunda suma ( ) indica una suma en el espacio V  . Como los espacios pueden ser diferentes, las sumas se distinguen.  en Lo mismo ocurre con el producto3 de K en , y el ( ) producto K .

⊕

V

×V V



× V

Importante: la primera ecuación (2.2), indica que el transformado de la

suma es la suma de los transformados, y la segunda (2.3) indica que el transformado del escalado es el escalado del transformado. La aseveración siguiente —como veremos en las propiedades, más adelante— es alternativa a las dos anteriores (( 2.2) y (2.3)), y las puede reemplazar T (k1 v1 + k2v2 ) = (k1 = (k1

 T (v )) ⊕ (k  T (v ))  v ) ⊕ (k  v ) ; k , k ∈ K 1

1

2

2

2

1

2

2

(2.4)

La (2.4) va más allá, y nos dice que toda transformación lineal (TL) preser va las combinaciones lineales. Para muchas orientaciones de las ingenierías, este concepto de linealidad es fundamental. En principio porque es fácilmente manejable con herramientas matemáticas modestas, y en segundo lugar porque los fenómenos linealizados son didácticamente más sencillos de comprender; y finalmente la evasión a realizar cuentas no imprescindibles es una característica del buen ingeniero. Un modelo no lineal —proveniente de un fenómeno natural— puede «linealizarse» alrededor de un punto de funcionamiento y entonces lo que estamos tratando de aprender se puede usar. Volviendo a las (2.2) - (2.3) y (2.4): A partir de ahora las trabajaremos con el mismo signo para las sumas, pero conscientes de su significado. Entonces 3

No confundas este signo — — con el producto vectorial entre vectores geométricos de tres dimensiones. Esta es la notación para decir que tomamos un elemento de y lo operamos con un vector de para tener como resultado un vector de

×

V

V

K




la notación queda T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) = v 1 + v2 T (k v1 ) = k T (v1 ) = k v1

En el apéndice A hemos completado una serie de ejemplos de mapeos de trayectorias en R2 que completan los ejemplos que desarrollamos en esta sección.

Ejemplo 2.3.

  a c b d

Muestra que T 4 dado por T 4

lineal. 

= (2a

− b, c + d )

es

Suponemos todos los espacios involucrados reales y estándares. Para mostrar que T 4 es lineal necesitaremos: – dos matrices genéricas de R2×2 y un escalar genérico k : v1 =

   p m q

,

v2 =

  e g f h

(a) Verifiquemos que la transformada de la suma. . . T 4 (v1 + v2 ) = T 4



+e m+f

= (2 ( + e)



p+g q + h

+ en R2×2 ley T 4

− (m + f ) , ( p + g) + (q + h))

como cada entrada de las matrices vi son reales, recurrimos a las propiedades de los reales: distributividad, asociatividad, conmutatividad... el transformado lo podemos escribir como T 4 (v1 + v2 ) = (2

− m + 2e − f , p + q + g + h)

y por propiedades de la suma estándar en R2 , podemos descomponer el transformado en la suma de dos vectores T 4 (v1 + v2 ) = (2

− m , p + q ) + (2e − f , g + h)

= T 4 (v1 ) + T 4 (v2 )

. . . es la suma de los transformados. donde el último paso es verificar que cada vector descompuesto es el transformado de las matrices v 1 y v 2 respectivamente. (b) Nos falta demostrar que la transformada del escalado . . . T 4 (k v1 ) = T 4



= (2k 

k km



kp kq

− k m , k p + k q )

al igual que en el proceso anterior, podemos hacer T 4 (k v1 ) = k (2

− m , p + q )

= k T 4 (v1 )


ley T 4



. . . es el escalado del transformado .

Y como se cumplen las dos condiciones, podemos decir que T 4 es una transformación lineal. 

Es importante que explicites claramente esta última afirmación —o la negación— para responder a lo que el ejercicio pregunta, en otras palabras: el hecho de hacer las cuentas no responde satisfactoriamente lo requerido por la consigna del ejercicio. Ten en cuenta que para probar la linealidad es necesario trabajar siempre con vectores y escalares genéricos, pero para probar que una transformación NO es lineal, bastará exponer un contraejemplo donde no se cumpla alguna cualquiera de esas condiciones. Esto vale para las disciplinas —o ramas de la ingeniería—, y es bueno que te acostumbres a ello: forma parte de la metodología lógica de construcción del conocimiento de las ciencias exactas.

Ejemplo 2.4.

Prueba la no linealidad de T 5 (x) = x 2 + 1.



Es importante saber qué le hace la transformación al vector: en este caso, toma el vector, lo eleva al cuadrado y lo aumenta en una unidad. (es una transformación no lineal (TNL) que va de R en R) Tomemos dos vectores, x e y y transformémoslos mediante la T 5 : T 5 (x) = x 2 + 1, y T 5 (y) = y 2 + 1 Verifiquemos que no se cumple un axioma: T 5 (x + y) = (x + y)2 + 1

ley T 5

= x 2 + y2 + 2xy + 1

desarrollo en R

= x 2 + 1 + y2 + 1 +2xy

      T 5 (x)

−1

propiedades en R

T 5 (y )

no se cumple!

= T 5(x) + T 5(y)

con lo que podemos afirmar que T 5 no es lineal. Alternativamente pudimos haber elegido un contraejemplo, por un lado T 5 (1 + 1) = 4 + 1 = 5 , y por otro T 5 (1) = 2, entonces T 5 (1 + 1) = 5 T 5 (1) + T 5 (1) = 4

⇓  T 5(1) + T 5(1) T 5 (1 + 1) =

T 5 no es lineal!

Puedes verificar que hubiese sido más sencillo comprobar que tampoco se cumple el otro axioma: T 5 (kx) = kT 5 (x)






E incluso usar un contraejemplo para este caso. 

2-2.1. Propiedades de la TL Las vamos a ir comprobando y luego articulando en palabras del lenguaje corriente. 1. Cada espacio vectorial tiene su vector nulo. Como los espacios vectoriales son diferentes, puede distinguirse los vectores nulos de diferentes . espacios, por ejemplo θ , y θ¯ Luego si transformáramos el vector nulo del primer espacio y aplicáramos la propiedad 0 u = θ, y la propiedad de linealidad que acabamos de ver... Como4 T (θ) = T (0 v) = 0 T (v) = 0 v  = θ¯ . . . tenemos que una transformación lineal mapea siempre el vector nulo del espacio V en el vector nulo del espacio V  , es decir que

∈ V ∈ V

Para una TL, la imagen del vector nulo; es el otro vector nulo

2. Aplicando la propiedad de linealidad (2.2) a la combinación lineal k 1 v1 + k2 v2 (que es un vector de V ) tenemos que T (k1 v1 + k2 v2) = T (k1 v1 ) + T (k2 v2 )

y aplicando nuevamente la 2.3 al segundo miembro, tenemos T (k1 v1 + k2 v2) = k1 T (v1 ) + k2 T (v2 )

claramente se vé que en la TL la transformada de la combinación lineal es la combinación lineal de los transformados, es decir que

la TL preserva las combinaciones lineales

4 Aplicamos: — propiedad de espacio V , — propiedad de la

transformación lineal, —un T (v)

no es otra cosa que un vector que «vive» en V  , y finalmente —propiedad del espacio V 




Esto se conoce en la ingeniería más comúnmente con el nombre de «principio de superposición» , y es prueba de la (2.4). 3. Una recta se escribe por su ecuación vectorial paramétrica, r = P + λ u donde P es un vector del plano o del espacio, fijo y perteneciente a la recta, mientras que u es un vector paralelo a la recta y λ es un escalar real, para que r sea cualquier punto de la recta (o sea un vector desde el origen de coordenadas hasta un punto genérico de la recta). Transformemos todos los puntos de la recta mediante una transformación lineal tipo T : V = Rn V = Rn donde n = 2, 3 y veamos qué sucede. . .

→

mapeo de la recta

T (r) = T (P + λ u) = T (P ) + λ T (u)

aplicando linealidad

= P  + λ u

es otra r

Evidentemente P  es un vector (fijo); y también u  es otro vector del mismo espacio, por lo que r = P  + λ u representa otra recta5 en ese espacio vectorial. Es decir que

una TL T : Rn

n

→R

mapea rectas en rectas.

Esto es de suma importancia 6 cuando hay que mapear, por ejemplo, el cuadrado unitario a través de una transformación lineal dentro de R2 en R2 : lo que se hará es mapear los cuatro vértices —tres: porque ya sabemos que el origen se transforma en el origen— y luego unirlos adecuadamente de a dos por medio de una recta 7 . Para ver cómo aprovechamos estas propiedades, realicemos el siguiente ejemplo

Ejemplo 2.5.

Prueba la linealidad de T 5 (x) = x 2 + 1.



Ya hemos probado que no es lineal (pág.28), 5

A menos que u  sea el vector nulo, con lo cual la recta pierde un grado de libertad y se mapea en un punto, como caso particular. La afirmación más correcta es que una TL de un espacio en sí mismo no mapea una recta en una curva. 6 Ciertamente que una transformación lineal mapea planos en planos, como fácilmente lo puedes verificar. 7 Puede que una recta se mapee en un punto o un plano se mapee en una recta. Discute en qué condiciones pueden suceder tales resultados.




pero ahora sabemos que se hubiera probado suficientemente con tal de decir que T 5 (0) = 1 = 0



, y como no cumple con la propiedad 1, T 5 no es lineal. 

Nota 1. Debes tener mucho cuidado al usar este tipo de atajos, ya que el hecho

que se cumpla una propiedad no asegura que la transformación es lineal; lo que se asegura es que si NO se cumple una propiedad, la transformación NO es lineal.

Ejemplo 2.6.

Veamos qué sucede si modificamos T 5 modificando su ley de manera que ahora sea T 5 (x) = x 2 . 

Evidentemente T 5 (0) = 0, pero T 5 es claramente no lineal, y lo probaremos: T 5 (z) = z 2 con lo que k T 5 (z) = k, z 2 con k R, luego

∈

T 5 (k z) = (k z)2

Ley de T 5

= k 2 , z 2

propiedad en R

·

= k 2 T 5 (z)

Ley de T 5

= k T 5 (z)

T 5 no es lineal

lo cual hace que no se cumpla la condición del producto y por tanto T 5 es no lineal. Para un contraejemplo pudiéramos usar cualquier k = 0, 1 específico.





En el ejemplo que sigue, transformamos —mapeamos— una trayectoria, no un vector aislado.

Ejemplo 2.7.

Usemos el hecho que una transformación lineal mapea rectas en rectas para mapear la trayectoria cuadrado unitario através de la TL:

T ((x, y)) = (2x 

−y , x+y)

En este caso el cuadrado unitario ( C u ) puede escribirse de una vez como una función paramétrica

C u (λ) =

 

AB : (λ, 0) BC : (1, λ 1) CD : (3 λ, 1) DA : (0, 4 λ)

− − −

, , , ,

0 1 2 3


≤λ≤1 ≤λ≤2 ≤λ≤3 ≤λ≤4

Y D

C

A

BX



y su mapeo es

C u (λ) =

 

(2λ, λ) (3 λ, λ) (5 2λ, 4 λ) (λ 4, 4 λ)

− −

−

− −

, , , ,

0 1 2 3

≤λ≤1 ≤λ≤2 ≤λ≤3 ≤λ≤4

Y

D

C  B

X A Para desparametrizar la trayectoria, lo que haremos es igualar la primera componente a x y calcular la segunda, tenemos la relación para graficar en forma sencilla

  

  BC : y = 3 − x  CD : y = 1.5 + x/2  DA : y = −x AB : y = x/2

C u (λ) =

, x : 0

→ 2

, x : 2  1

−1 , x : −1 → 0

, x : 1 

Nota que hemos podido mapear solamente los cuatro puntos (o los tres, puesto que el mapeo del origen se conserva) y luego calcular los segmentos mapeados Y 2 Y 2 A = (0, 0) (0, 0) = A  1 1 B = (1, 0) (2, 1) = B  X  C = (1, 1) (1, 2) = C  1 2 1 2 X D = (0, 1) ( 1, 1) = D 

→ → → → −

pero nos estamos preparando para el siguiente ejemplo. . . 

En el siguiente ejemplo volvemos a transformar el cuadradito unitario, pero para una transformación no lineal. presta atención a los detalles.

Ejemplo 2.8.

En cambio cuando la transformación no es lineal las rectas no se transformarán en rectas, y será necesario trabajar como en la primera parte del ejemplo anterior. Usa la TNL: H ((x, y)) = (1 x + y, x2 x y). 

−

− −

En este caso C u  =

  − −   − −− −  − −  − −  −− λ

1 λ, λ2 λ (λ 1, 1 λ) 1, λ2 5λ + 5 (5 λ, 4 λ)

, , , ,

0 1 2 3

≤λ≤1 ≤λ≤2 ≤λ≤3 ≤λ≤4

haciendo lo mismo que en el ejemplo anterior lo des-parametrizamos . . .

C u  =

y = x (x 1) y = x y = 1 3x + x2 y = 1 x

, , , ,

x : x : x : x :

1  0 0 1 1 2 2  1

 → →

32



2-3. Matriz asociada a una transformación lineal

. . . y graficamos original y mapeado para ser más claros, en sendos sistemas de coordenadas

Y 1.5

(1, 1)

Y 1

→ (1, −1)

0.5

-0.5 0.5

1.5

-0.5

X

1

2

X

-1



Con esto vemos que las líneas rectas no se mapean en líneas rectas para una transformación NO LINEAL.

generalmente las líneas rectas no se mapean en líneas rectas para una transformación NO LINEAL.

Desde luego que hay excepciones, en particular las transformaciones de traslación, que en el espacio pueden definirse de manera general como T T RASL ((x,y,z ) ) = (x + x0 , y + y0 , z + z 0 )

donde cada punto del espacio se transforma en otro punto distante (x0 , y0, z 0 ). Si lo pensamos en el plano el cuadradito unitario se verá como. . . un cuadradito unitario desplazado. Otra figura importante para reflejar lo que una transformación en el plano efectúa, es la circunferencia unitaria ( X u ), la que puede definirse como X u : (cos x , sen x) , x : 0

o mejor

    

→ 2π

λ λ , sen λ [0, 1) 2π 2π Más adelante —en el apéndice A — trabajaremos con esta trayectoria. X u :

cos

∈

2-3. Matriz asociada a una transformación lineal Proposición 2.1. Dada una Transformación LINEAL L, siempre puede encontrarse una matriz [L] asociada a la transformación L , tal que

[v  ] = [L] [v]




Este teorema afirma que: Si tenemos una transformación lineal, — solo si es lineal— hemos de poder calcular la matriz de coordenadas del transformado v  de cualquier vector v , como producto de una matriz —el teorema no nos dice cómo la vamos a encontrar— por la matriz de coordenadas de v —sobre las respectivas bases canónicas—. Como consecuencia de la proposición 2.1, distintos entes —como lo son las funciones, las matrices, los polinomios etc.— los podremos transformar por medio de sus matrices de coordenadas; ya no importa qué cosa sean: los podemos ver como si fueran vectores columna. En otras palabras:

si T : V V  es lineal, estamos habilitados para tomar ventaja a la hora de transformar, simplemente aplicando el Álgebra matricial.

→

Para la prueba de esta proposición, trabajemos primero con un ejemplo particular en el plano, luego un ejemplo genérico en el plano, y finalmente la prueba real que debe ser genérica.

Ejemplo 2.9.

− y , x + 2y), encuentra una [L] adecuada 3x − y

Sea la TL L ((x, y)) = (3x

de manera que [L] 

  x y

=

x + 2y



Podemos empezar por las dimensiones que debiera tener [L], en este caso [L] [v]2×1 = [w]2×1 , por tanto será [L] R2×2 , a11 a12 si escribiéramos [L] = veríamos que a21 a22 [L] [v] =





a11 a12 a21 a22

 ∈    x y

=

a11 x + a12 y a21 x + a22 y

 =

−

3x y x + 2y



de inmediato surge que [L] debe ser [L] =

 − 3 1

1 2

con lo cual hemos dado el paso —para un caso particular— en encontrar la matriz asociada a una TL, como asegura la proposición 2.1 




En este caso no sólo demostramos su existencia sino que la calculamos. Pero ésta no es la forma que lo haremos sistemáticamente. Para ello usaremos las mismas propiedades de las transformaciones lineales...

Sea la TL 8 L ((x, y)) = (3x y , x + 2y), encuentra la matriz asociada [L] a la transformación —o mapeo lineal— L 

Ejemplo 2.10.

−

Ahora lo haremos un poco más genérico: la base canónica de V ( L = R2 ) es 2 = (1, 0) , (0, 1) = e1 , e2 , y el vector genérico v = (x, y) lo puedes escribir como (x, y) = x (1, 0)+y (0, 1), de modo que el transformado de (x, y) mediante L será:

D

C {

} {

}

El dominio es e.v.

L((x, y)) = L(x (1, 0) + y (0, 1))

linealidad de L

= x L((1, 0)) + y L((0, 1)) = x L(e1 ) + y L(e2 ) = x e1 + y e2 = v 

que lo podemos «bautizar»

 

= x , y 

que para el caso nuestro es v  = (3x

− y , x + 2y) = x (3, 1) + y (−1, 2) =

  x , y 

si escribiéramos cada vector mediante su matriz de coordenadas respecto de la base canónica tendríamos

  x y

=

    − 

−

3x y x + 2y

3 1

= x

    −    x y

y reacomodando [(x, y)] = x y

tenemos. . .

3 1

=

1 2

+y

1 2

x y

=

−

3x y x + 2y



que es lo que teníamos arriba. El procedimiento lo puedes ver en forma genérica a partir de la relación xe1 + ye 2 = (x , y ), escribiéndola en forma matricial:

      [e

1

e ] · 2

x y

=

x y

x x  en la cual [v] = , [v ] = , y entonces la primera matriz no es y y otra que la que estamos persiguiendo: [L] = [e1 e2 ].  8 A simple vista pareciera estar demás dos paréntesis en L ((x, y)), pero observa: la imagen

de v se escribe L (v), y v en este caso es v = (x, y), de modo que no existe tal redundancia.




Es decir que la matriz [ L ] asociada a la transformación lineal L es aquella donde cada una de sus columnas es la matriz de coordenadas del transformado de un elemento base del dominio, respecto de la base canónica del. . . —como es el transformado, no puede ser sino respecto de la base canónica (del)— codominio. Prueba

Sean V y V  de dimensión finita — dim(V ) = n, dim(V  ) = m. Un vector genérico de V se puede expresar como combinación lineal de V la base canónica de V

C

Sean V = e1 , e2 , , e j , las bases canónicas. Entonces un elemento v v1 v2 [v] = .. respecto de .

C {

 

vn

·· · , e } ∈ V y C  = { c , c , · ·· , c , ·· · , c } ∈ V  ∈ V tendrá la siguiente matriz de coordenadas

· ··

 

n

C

1

V

2

j

m

, de modo que

V

(2.5) ··· + v e La transformada de cada vector e de la base C —L(e ) = e ∈ V  — tendrá su matriz de coordenadas respecto de C  como... v = v 1e1 + v2e2 +

n n

j

V

j

j

V

[L(e j )] = [e ] = j

 

e1 j e2 j .. . emj

 

Mientras que un elemento L(v) = v  v1 coordenadas [v  ] =

 

v2 .. .

 vm

 

j = 1, 2,

··· , n

(2.6)

∈ V  tendrá esta otra matriz de

. respecto de V

C

La transformación de v es

v  = v 1 e1 + v2 e2 +

··· + v

n

en

y escrito en forma matricial [v  ] = v 1 [e1 ] + v2 [e2 ] +

··· + v

n

[en ]




reordenando —y teniendo en cuenta la (2.6)—

 

v1 v 2

.. .  vm

 

=

de donde [L] =

o sea

  

e11 e 21

.. .

em1

   

e12 e 22

.. .

em2

   · ·· 

e1n e 2n

.. .

emn

[L (e1 )] [L (e2 )]

···

   ·  

v1 v2 .. . vn

 

[L (en )]

C

[L] = L ( [ V ])

(2.7)

es la matriz de las transformadas de los vectores de la base canónica de V , expresados en la base canónica de V  . De acuerdo con la (2.7), para los espacios vectoriales del tipo R n podemos escribir [L] = [L (In )] donde In es la matriz identidad de n n.

×

Claramente, la matriz [L] asociada a la TL L : V V  se encuentra: 1. Transformando cada uno de los vectores de la base canónica del espacio Dominio —hallando e j j = 1, 2, , n—.

→

∀

· ··

2. Y calculando sus matrices de coordenadas — [e j ]— sobre la base canónica de V  , y ordenando éstas como columnas de [L] 3. En riguroso orden Y el producto [L] [v] = [v  ]

es la matriz de coordenadas del transformado L (v), escrito sobre base canónica V  , donde [v] es la matriz de coordenadas de v sobre la base canónica de V — V — y [L] es la matriz asociada a la TL L : V V  La figura 2.4 es un pictograma indicativo de nuestro trabajo Suponiendo que dim(V ) = n y dim(V  ) = m , claramente es

C C

→

[L]

Ejemplo

2.11. Halla (2x y , x + y , y x)

−

∈K la

dim(V  ) dim(V )

×

matriz

(2.8)

asociada

a

la

TL T ((x, y))

=

−

 1- Verificado está que es T lineal; de lo contrario no intentaríamos encon-

trar la matriz, que se nos pide 2- Los transformados de los elementos de la base canónica (1, 0) , (0, 1) de R2 son T ((1, 0)) = (2, 1, 1) y T ((0, 1)) = ( 1, 1, 1),

−

−


{

}



V v

L

V 

L

v  = L(v)

[L]

[v]

[v’]

C V

C V 

Figura 2.4: Transformación lineal y matrices de coordenadas 3- escritos sobre la base canónica

{(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)} de R3 y agrupados en una matriz... 2 −1 1 0 T = 1 1 = [T ] 0 1 −1 1 2 −1 2x − y x 1 1 = 4- lo podemos comprobar. . . x + y , con lo que y −1 1 −x + y 2 −1 [T ] = 1 1 −1 1

  

 

     

es la matriz pedida





No perdamos de vista que las transformaciones pueden actuar entre dos tipos cualesquiera de espacios vectoriales, siempre que estén asociadas al mismo cuerpo de escalares.

Ejemplo 2.12. L : R2×2 

Halla la matriz asociada a la transformación lineal

  | a c b d

→ P 2 L

= 2b

− (a − b)x + (d + c)x2.

Recordemos que las bases canónicas son

CR × 2

2

=

C

P 2

=

          1 0 0 0 0 1 0 0 , , , 0 0 1 0 0 0 0 1

1, x, x 2

Las transformaciones de los vectores de la base canónica de las matrices de dos por dos y escritas en la base de los polinomios de grado hasta dos




son:

    L

L

1 0 0 0

0 0 1 0

=

  − ≡ −   ≡  0 1 0

x

2 1 0

= 2 + x

y de acuerdo con ello: [L] = 

L

L

0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1

−

  ≡     ≡    0 1 0 0 0 0 0 1

= x

2

0 0 1

= x

2

0 0 1

es la matriz solicitada.

2-3.1. Ley de la TL a partir de la matriz asociada Hasta ahora hemos visto que dada una TL L podemos encontrar su matriz asociada [L], la pregunta es ¿Si se diera la TL a través de dar su matriz asociada [L], seríamos capaces de encontrar la ley de la transformación lineal? En otras palabras: si fuera posible, estaríamos dando por sentado que para cada transformación lineal hay una única matriz asociada y viceversa. La respuesta es sencilla —y lo hicimos en el punto 4 del ejemplo anterior—: nada más hay que transformar un vector genérico de V .

Ejemplo 2.13.

Encuentra la ley de la transformación lineal sabiendo que la ma-

triz asociada es [L] = 

  1 2 3 4 5 6

.

Al ser las columnas de [L] las matrices de coordenadas de la base canónica de V , si no conocemos V y V  no conocemos todo L , pero por lo menos conoceremos la estructura de la ley de L en forma de matriz de coordenadas

   

1 2 3 4 5 6

es decir que L 

x y

=

  

=

x + 2y 3x + 4y 5x + 6y




x y

  

x + 2y 3x + 4y 5x + 6y




2-4. Matriz asociada a operaciones con Transformaciones lineales

Si nos hubiesen dicho que V = R2 y que V  = P 2 hubiéramos podido escribir —cambiando por ejemplo x con a e y con b —,

    a b

L

=

a + 2b 3a + 4b 5a + 6b

y hubiese significado que



L ( (a , b) ) = a + 2b + (3a + 4b) λ + (5a + 6b)λ2

fuera la ley solicitada. 

2-4. Matriz asociada a operaciones con Transformaciones lineales Las transformaciones no son más que funciones, y éstas pueden sumarse, componerse, si es posible hallar la inversa, etcétera. Lo mismo podrá hacerse para las transformaciones. La pregunta es: ¿ Cómo influye esto en la matriz asociada ?

2-4.1. Suma de transformaciones lineales V  y L2 : V V  , Supongamos dos transformaciones lineales L1 : V operando sobre los mismos dominio y codominio9 , de manera que exista la transformación suma, naturalmente definida como. . .

→

Ls : V

→

→ V  | L (v) = L (v) + L (v) 1

s

2

El pictograma de la figura 2.5 lo aclara más. L2

V

L1

L1 L2

u

S S

V 

L1 (u) = u 1 L2 (u) = u 2 S (u) = u S = u 1 + u2

Figura 2.5: Transformación suma de transformaciones lineales Probemos primero que es lineal. Si es así, por la proposición (2.1) deberá existir la matriz asociada, que la calcularemos después. 9 Y naturalmente, ambas

transformaciones lineales sobre el mismo cuerpo, de lo contrario no se podría siquiera considerar alguna de ellas.




Para probar linealidad, debemos probar que los axiomas (2.2) y (2.3) se cumplan para la transformación S . Necesitaremos dos vectores u y v del dominio V y sus transformados u1 , u2 y v1 , v2 a través de L1 y L2 respectivamente, además de un escalar k Prueba

Probemos la suma: Como u y v están en V , su suma está garantizada que está en V —de lo contrario V no sería un espacio vectorial— por tanto podemos plantear que L1 (u + v) = (u + v)1

existe en

= u 1 + v1

V 

linealidad de L1

L2 (u + v) = (u + v)2 = u 2 + v2

ídem para L2

entonces la imagen de la suma a través de S es definición de S

S (u + v) = L 1(u + v) + L2 (u + v) = (u1 + v1 ) + (u2 + v2 )

leyes de L1 , L2

por axiomas de conmutatividad y asociatividad en el espacio vectorial V  S (u + v) = (u1 + u2 ) + (v1 + v2 )

axiomas en

V 

definición de S

= S (u) + S (v)

con lo que la suma está probada. Prueba

Probemos el producto: De manera similar, el vector escalado k u está en V , por lo que S (k u) = L 1 (k u) + L2 (k u)

definición de S

= k L1 (u) + k L2(u)

linealidad de L1 , L2

por axioma distributiva del producto en la suma en el espacio V  , podemos escribir

S (k u) = k (L1 (u) + L2(u))

dist.en V  Definición de S

= k S (u)

con lo que el producto también está probado. Por tanto S : V

→ V  | S (v) = L (v) + L (v) es lineal. 1

2

Calculemos entonces su matriz asociada [S ].




Por ser lineales L 1 y L 2 . . . [u1 ] = [L1 ] [u] , [u2 ] = [L2 ] [u]

la suma es [u1 ] + [u2 ] = [L1 ] [u] + [L2 ] [u]

linealidad en L1 , L2 distr. matrices

= ([L1 ] + [L2 ]) [u]

el primer término no es más que la matriz de coordenadas de la suma de las imágenes de u ([L1 ] + [L2]) [u] = [S (u)] = [us ] de modo que

[S ] = [L1 ] + [L2 ]

(2.9)

2-4.2. Escalamiento V  L(v) = v  , la función escalada se define como Si la TL es L : V Lk : V V  Lk (v) = kv . El proceso de prueba de que sí es lineal, y de cuánto vale la matriz asociada te lo dejo por ser muy similar a las pruebas anteriores. En este caso [Lk ] = [k L] = [Dk ] [L]

→

→ |

|

·

donde [Dk ] es una matriz diagonal con k en cada entrada en su diagonal.

2-4.3. Composición En la composición de aplicaciones lineales, aplicamos la primera a un elemento v de V , y obtenemos un vector de v  de V  , al cual aplicamos la segunda, para obtener el vector v  que vive en el espacio V  . Lo anterior resulta equi valente a aplicar la función compuesta al vector v para obtener directamente el vector v  , tal como se ve en el pictograma

V 

L1 (v) = v 

L1

L2

V 

V

L2 (v  ) = v  v

◦

L2 L1

Figura 2.6: Composición de transformaciones lineales 42 JOM - Transformaciones Lineales



(L2 L1 )(v). Por ser lineal L1 Recuerda que la notación es L2 (L1 (v))  puedes escribir [v ] = [L1 ] [v], y por la misma razón [v  ] = [L2] [v  ] de modo que finalmente [v  ] = [L2 ] [L1 ] [v]

≡

◦

¿Existe el producto [L2 ] [L1]? Claro que sí. Hagamos el análisis de compatibilidad dimensional: [L1 ]m×n [v]n×1 = [v  ]m×1

supuestos dim(V ) = n, dim(V  ) = m

[L2 ]q×m [v  ]m×1 = [v  ]q×1

supuesto además dim(V  ) = q

[L2 ]q×m [L1 ]m×n = [L2 L1 ]q×n

◦





Capítulo 3 Transformaciones lineales isométricas

Resumen:

Nos centraremos en las transformaciones lineales dentro de un mismo espacio vectorial, en donde el módulo del vector se preserva luego de transformado. Como los espacios vectoriales estaban desprovis- tos del concepto de módulos —una medida—, se los dota de esa propiedad. Este contenido viene a echar luz sobre las transformaciones de rotación y reflexión aplicables al mundo real, particularmente en la visión por computadora.-

45

Capítulo 3. Transformaciones lineales isométricas

3-1. Isometrías

3-1. Isometrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3-1.1. Propiedades de las TL Isométricas

46

. . . . . . . . . . . . . 47

3-2. Rotación en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3-2.1. Rotación seguida de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3-3. Rotaciones en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3-1. Isometrías Una transformación LINEAL tal como T : V si se cumple que T (v) = v  = v

|

→ V | T (v) = v  es isométrica

| | | ||

donde v significa módulo de v (1 ). Por ejemplo. . .

||

Ejemplo 3.1.

 

Para la TL T (x, y) = (y, x), discute si es o no isométrica



Si v = (x, y), su módulo será

|v | =



x2 + y 2

y su transformada será v  = (y, x), cuyo módulo es

   v  =

y2 + x2 =



x2 + y2 = v

||

Por tanto T efectivamente es una isometría. 

Ejemplo 3.2.

Verifica que la matriz asociada a la transformación isométrica anterior es ortogonal, es decir todas sus columnas son versores normales

entre sí 

 

0 1 . 1 0 Como (0, 1) (1, 0) = 0 y además (0, 1) = (1, 0) = 1, resulta que [ T ] es ortogonal.

La matriz asociada a la isometría anterior es [ T ] = T ([I ]) =

·

|

| |

|



Lo interesante de una matriz ortogonal es que su inversa es igual a su traspuesta. A−1 = A  1 O norma 2,

que en otros libros verás como v 2 o simplemente v . Para los espacios Rn existen otras normas, como la norma 1( v 1 ) y la norma infinito ( v ∞ ).



 

  



3-1. Isometrías

Nota que la transformación de traslación también preserva la norma (en este caso el módulo), pero no es una simetría porque no es lineal.

Una transformación isométrica preserva la norma, y su matriz asociada es ortogonal.

3-1.1. Propiedades de las TL Isométricas 1. La matriz asociada a la transformación es ortogonal. Lo probaremos más adelante. 2. Las únicas transformaciones posibles son Una rotación

• • Una reflexión • Una combinación de las anteriores. 3. En una TL isométrica T , se da que |T (u) − T (v)| = |u − v | 2

Tomemos un vector w = u

− v, por ser T lineal es T (w) = T (u) − T (v)

y por ser T isométrica es

|T (u) − T (v)| = |T (w)| = |w | = |u − v | con lo que queda demostrado (y ya está) Ejercicio 3.1. Descubre mediante transformar algunos vectores, si las transformaciones lineales isométricas encontradas son una refle- xión o una rotación. ¿Es eso de esperar?

Que las columas de [ T ] deban ser versores es claramente entendible, porque nada más son justamente las transformadas de la base canónica —al menos para Rn y otros espacios completos conocidos—, y el hecho de que por la isometría, conservan la norma. . . pero que sean ortogonales entre sí no es trivial. Probaremos entonces la ortogonalidad. . . 2

−v = v —donde este v es el opuesto de v y no su mapeo— T (v) = −T (v). (en otras

palabras: el transformado del opuesto es el opuesto del transformado).



3-2. Rotación en el plano

Prueba

Si T es isometría, debe darse que

|T (v)| = |v| pero como toda isometría es lineal, puede escribirse

|[ T ] [ v ]| = |[ v ]| como [ v ] 2 = [ v ] [ v ], podemos planear. . .

| |





[ v ] [ v ] = [ v ] [ T ]  ([ T ] [v]) = [ v ] [ T ]  [ T ] [ v ]

que exige que se de la igualad [ T ]  [ T ] = [I]

o lo que es lo mismo [ T ]  = [ T ] −1

que se cumple sólo si [ T ] es ortogonal, es decir, todas sus columnas son versores mutuamente normales. Hemos probado la necesaria ortogonalidad de la matriz asociada a una isometría, ahora sin la especulación anterior sobre los vectores de la base canónica que valía solamente para espacios conocidos.

3-2. Rotación en el plano Consideremos una transformación en el plano que rota cualquier vector, un ángulo determinado θ . Como se ve en la figura 3.1 Y v v

θ

X

Figura 3.1: Transformación de rotación en el plano La pregunta es: ¿Cómo hacemos para encontrar la ley de la rotación ?. 48 JOM - Transformaciones Lineales



Sabemos lo que la TL hace, pero no sabemos aún cómo se escribe la ley. Daremos un paso importante: la «fabricación» de la ley a partir de los conceptos que hemos aprendido hasta ahora. Primero propondremos la matriz asociada a la transformación lineal de rotación —llamémosla Rθ — y con ella, encontraremos la ley. Recordemos la expresión 2.7: (las columnas de [ Rθ ] son las coordenadas de los transformados de la base canónica del dominio, respecto de la base canónica del codominio).

Ejemplo 3.3. Encuentra Rθ , la matriz asociada a la TL que rota un vector del plano un ángulo θ en el sentido antihorario. 

Debemos asegurarnos que esta transformación sea lineal, ya que de lo contrario no intentaremos hallar una matriz asociada. No hay nada más que visualizar los pares v y su mapeado v  en distintas posiciones para establecer que la transformación no sólo será lineal — también puedes comprobar los axiomas de linealidad en forma gráfica— sino que al rotar el vector su módulo se mantiene, por lo que también será isométrica. Como la base canónica de R2 es = e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) , la matriz resulta [ Rθ ] = Rθ (e1 ) Rθ (e2 )

C {

}





como siempre. Lo que nos resta ahora es evaluar adónde se transforman los versores de la base canónica, que con la ayuda del gráfico tenemos eY 2 e1 = R θ (e1 ) = R θ (1, 0) = cosθ, sen θ e2 sen θ e2 = R θ (e2 ) = R θ (0, 1) = sen θ, cos θ 1  e1 θ θ

     −

−

θ

n e s

cos θ

e1 X

por lo que [Rθ ] =



cos(θ) sin(θ)

Esta es la matriz asociada a la rotación.

− sin(θ) cos(θ)



(3.1)



Ejemplo 3.4.

Halla la ley de la transformación rotación (en el plano) del ejercicio 3.3 anterior 




Planteamos sencillamente el producto: [ v  ] = [Rθ ] [ v ], que en este caso es

 

cos(θ) [ Rθ ] [ v ] = sin(θ) =

− sin(θ) cos(θ)

−

   v1 v2

v1 cos(θ) v2 sen(θ) v1 sen(θ) + v2 cos(θ)

o sea que la ley puede expresarse

= v 





− y sin(θ) , x sen(θ) + y cos(θ) (es totalmente lícito reemplazar x ↔ v1 e y ↔ v2 .) Rθ ((x, y)) = x cos(θ)

(3.2)



Ejemplo 3.5.

Rota la recta y =



−2x + 3 de manera que quede horizontal

Tenemos varias posibilidades: la más inmediata es encontrar el ángulo a rotar —eso sería usar la «fuerza bruta3 » —. Mejor no calcularemos el ángulo, sino el coseno y el seno del mismo, que es lo que necesitamos. - Usaremos el vector director u de la ecuación de la recta

−

u = (1, 2)

si la hemos de rotar en sentido contrario a las agujas del reloj nos convendría encontrar el coseno del ángulo que forma con el eje X +

· −

(1, 0) (1, 2) = 1 = 1

de donde cos(θ) =

· √ 1 + 4 · cos(θ) √ 15

de manera que sin2 (θ) = 1 =

− cos2(θ) 1 4 2 1 − = ⇒ sin(θ) = √ 5 5 5

con lo que la matriz asociada a la rotación será [Rθ ] =



√ 15 √ 25

− √ 25 √ 15



3 El

ángulo nos llevará a que la expresión del seno y del coseno casi siempre la tengamos que aproximar, y con ello, propagar un error que podemos evitar.




que podemos escribir. . .

  − √

1 [Rθ ] = 5

1 2

2 1

de manera que la recta rotada será



r = [ Rθ ] [ r ] =

=

    − √ · −   − √    √  1 5

1

2

2

1

1 5

5λ

6

λ

2λ + 3

3

x

=

3 5

Entonces x  puede ser cualquiera, pero que y  =

√ 35 , con lo que el vector

directo rotado es paralelo al eje X; —lo esperado— ya que la ecuación y + 2x = 3 nos dice que la longitud de la normal es

√ 35 = √ a2d+ b2 Es importante que encuentres Rθ en forma exacta, no con aproximaciones decimales. Es mejor que te persuadas que la aproximación en la calculadora es el último paso y no el primero. 

Tratemos de explorar nuevos métodos para resolver los mismos problemas. Cada uno de nosotros tiene una manera de «hacer las cosas» , incluida la matemática. La creatividad es siempre bienvenida. No nos conformemos con reproducir las sugerencias que damos cuando resolvemos un ejemplo; por el contrario busquemos nuevos métodos y comparémoslos. ¿Rotarías la intersección de la recta con una normal que pasa por el origen?

3-2.1. Rotación seguida de rotación Imaginemos que a un vector v lo rotamos mediante una transformación R A de rotación un ángulo α , el vector v  que se obtiene puede escribirse [ v  ] = [ Rα ] [ v ]

(3.3)

Imaginemos ahora que a ese vector ya rotado, se lo vuelve a rotar con la R B , pero un ángulo β , obteniéndose v  , que podrá escribirse como [ v  ] = [ Rβ ] [v  ]


(3.4)



pero por la anterior relación tenemos que [ v  ] = [ Rβ ] [ Rα ] [ v ]

(3.5) (3.6)

= [Rα+β ] [ v ]

y vemos que se ha hecho la composición de las dos rotaciones y la matriz de rotación final es el producto de las matrices de rotación individual. Es importante que notes el orden de la multiplicación. v 

 

= RB RA (v)

⇓

[ v  ]

= [ Rβ ] [ Rα ] [ v ]

Nota también la diferencia con que tratamos la transformación y su matriz asociada ( RB y R β ) respectivamente —aunque estrictamente no fuera necesario, ya que es suficiente la diferencia de notación entre transformación Rα y matriz asociada [ Rα ]—. Observa el pictograma de la figura 3.2, similar a la figura 2.6

V RA

RA (v) = v 

RB

V

V RB (v  ) = v  v

◦ R

RB

A

Figura 3.2: Composición de rotaciones

Ejercicio 3.2.

Ejercicio 3.3.

Muestra que lo mismo sucede cuando se transforma v mediante una transformación lineal cualquiera dada por la matriz asociada [T 1 ] y luego se lo transforma por otra transformación lineal dada por la matriz asociada [T 2 ]. Muestra que, como caso particular,

[Rα+β ] = [ Rβ ] [Rα ] = [ Rα ] [ Rβ ] = [ Rβ +α ] sucede sólo en el plano —y no en el espacio— Necesitas leer una sección más para comparar lo que sucede en el espacio .

Recordemos del capítulo anterior que si hay una composición de transformaciones lineales T 1 : V V 1 cuya matriz asociada es [T 1], con T 2 : V 1 V 2 , cuya matriz asociada es [T 2], la composición de las dos se puede escribir como

→

T : V

→

→ V | [ T ] = [T ] · [T ] 2

2

1

(3.7)



3-3. Rotaciones en el espacio

. . . que por otro lado es lógico si se piensa por ejemplo en las dimensiones de los espacios dim(V ) = n dim(V 1 ) = m y dim(V 2 ) = p las matrices de transición deberán ser de [T 1 ]

∈R

× , [T 2 ] ∈ R p×m

m n

de modo que [ T ] = [T 2] [T 1 ] tiene la dimensión correcta de p

·

p 1

[ v  ]

× = [ T ] p×n · [ v ]n×1

× n y se verifica

como es necesario.

3-3. Rotaciones en el espacio En el espacio nos manejamos —en este libro— con una terna «a derechas» , donde XYZXY es la regla mnemotécnica (de acuerdo con la figura 3.3(a)) para encontrar los productos vectoriales: I J = K, J K = I , con esta regla hemos de deducir las rotaciones según los ejes X, Y y Z : tomaremos los ángulos positivos de manera que se mantenga esta convención.

×

×

Z θZ

Z

1

v

θX



e 2

θX

θY

θX

Y

θX X

e3

e3

v

X

(a)

e2 Y

(b)

Figura 3.3: (a) Rotación en el espacio (b) Alrededor del eje X En la figura 3.4 vemos el efecto que produce sobre el vector v una rotación según el eje X, pensemos en el eje X como el eje de un lápiz y saquémosle la punta con el antiguo sacapuntas. Cualquier generatriz puede ser el vector v y todas las otras son v rotado por una transformación como la que estamos estudiando. El archivo rotax.m —en el apéndice B-5— la reproduce. En la figura 3.3(b) tenemos la rotación sobre el eje X, y llamaremos RX a la matriz asociada a esta transformación ˇ , y lo que haremos La base canónica de R3 es 3 = e1 , e2 , e3 ˇı , ˇ , k es rotar los tres vectores según el ángulo θ X —aplicando la ec.(2.7) pag.37—, con ello la matriz asociada es

C {

RX =



} ≡

1 0 0 cos(θX ) 0 sin(θX )


−

  

0 sin(θX ) cos(θX )

(3.8)



Figura 3.4: Rotación alrededor del eje X (vista 2) De la misma manera obtenemos las restantes matrices asociadas a las rotaciones respectivas. El pictograma (3.5) lo ilustra. Z

Y

e3

e3

e2

e2

1

1

θY



e 1

θZ θZ

e1 θ Y

X

Y

e1 X

Z



e 1

Figura 3.5: Rotación en el espacio. Alrededor de los ejes Y(a), Z (b) Para las rotaciones alrededor de los otros ejes tenemos. . .

RY =

y RZ =

 − 

cos(θy ) 0 sin (θy ) 0 1

0

sin(θy ) 0 cos (θy )

cos(θz ) sin(θz ) 0

− sin(θ )

0 cos (θz ) 0 0 1 z

  

(3.9)

(3.10)

Lo que queda por decir es que una rotación en general va a tener un ángulo 54 JOM - Transformaciones Lineales



tal que sea la composición de tres rotaciones, en general Rθ = R Z RY RX

suponiendo que primero se rota un θ x , luego un θ y y finalmente un θz , en ese orden

Ejemplo 3.6.

Rota el plano π : 2x + 3y + 4z = 1 de manera que quede paralelo a un plano coordenado 

El plano está en una posición tal que no es paralelo a un eje ni a un plano. Entonces podemos rotar el plano π de modo que su traza sobre el plano ZY quede paralelo al eje Z ˇ k Z n

1/4

Z

u

y z

1/4

1/2

1/3

X

1/3

X

Y

Y α

uyz

Vista isométrica y de perfil en este caso la traza del plano sobre el plano YZ será 3y + 4z = 1

y su dirección viene dado por el vector u yz = (0, 4, 3). El coseno del ángulo entre kˇ = (0, 0, 1) y uyz viene dado por el producto escalar

−

−

−

−kˇ · u

yz

· |u | · cos(α) = 5 · cos(α) = 3

=1

yz

(3.11) (3.12)

de donde calculamos el cos(θx ) = cos(α) = 3/5

y por la relación . . .

 −

9 4 = = sin(α) 25 5 . . . y el signo a usar en la matriz asociada viene dado por la rotación en sentido horario —contrario al usado en 3-2 para definir la rotación—, 1

sin(θx ) =


− 45 ;

cos (θx ) =

3 5



Conociendo esto ya conocemos R X (por la 3.8). Efectuamos la rotación θ x al plano, por ejemplo

π =

=

   

1

0

0

0

3 5 4 5

4 5 3 5

−

0

   

x 1 5

− 52 x 3 3 5 20 − 10 x − 4 y

x y 1

 

− 2x − 3y

=

de donde el plano rotado es ahora

 

4

λ

− 2λ

1

5 µ

   

π  : 5y  + 2x = 1; z

∈ R

Con lo que podemos obtener la ecuación de la nueva posición del plano que, obviamente a causa de la rotación va a ser paralelo al eje Z, por lo que Z Y 1/5

1/5 1/2

1/2

Z



u x y

β

1/3

X

uxy

X

Y

Vistas luego de la primera rotación uxy = (5, 2, 0)

−

Además de una traza sobre el plano XY, dada por la dirección u xy , la cual rotaremos nuevamente pero según el eje Z, con un ángulo cuyo coseno estará dado por el producto u xy ˇ I , en forma similar a lo que ya hicimos.

· ˇı · u = 1 · u · cos(β ) √ = 29 · cos(β ) = 5 5 2 ) = √ ; sin (θ ) = √ 29 29



xy

xy

cos(θZ

entonces

Z

con lo que la matriz asociada a la rotación alrededor del eje Z es

RZ =

 

√ 529 √ 229 0

− √ 229 √ 529

0 0

0 1

 




y el plano rotado es

π  =

haciendo la cuenta

 

π  =

√ 529 √ 229

− √ 229 √ 529

0

 

    −    

λ

0

1

0

5 µ

0 1

√ 29 5

λ

−

√

√ 29

2λ

x

2 29 145

√ 29

=

29

29

z 

µ

Con ello el plano rotado dos veces tendrá la forma

√ 29

π  : y  =

, x , z 

29

 

 

∈ R

..que es paralelo al eje ZX, que es una posible respuesta.  

Haciéndolo de una sola vez. . . la matriz asociada a la transformación pedida es entonces

·

Rθ = R Z RX =

 

√ 529 √ 229

− 5√ 629 − 5√ 829

0

√ 329

√ 429

− 45

3 5

y la rotación «sucesiva» del plano π queda

π  =

 

√ 529 √ 229

− 5√ 629 − 5√ 829 √ 329 4 5

−

0

√ 429 3 5

efectuando la cuenta tenemos π  =

que no es otra cosa que

 √ √ −   1

20 29

    − −

1

x y 2x 4

− − 3y

116x 8 20 29( 6x 25y + 3) x

π  =

√ 29 29

z 

 

   



donde claramente se ve que la segunda componente es constante y el plano rotado puede escribirse π  : y =

tal como se pedía. El gráfico muestra las secuencias


√

1 29 29



Z Y

1/4

√

√ 129

1/ 29

Z 1/2

X

1/3

X

Y

Vistas luego de la segunda rotación  

Hay otras manera de hacerlo, una de ellas es mediante la proyección de la normal: 1- proyecta la normal sobre el plano ZY, n ZY (seguro es normal a u yz ) 2- calcula el ángulo de n ZY con el eje Z 3- calcula la R X correspondiente a dejar la proyección sobre el eje Z 4- rota la normal original con esa matriz y obtiene n ZX (en el plano ZX) 5- calcula el ángulo con el eje Z de nuevo 6- y obtiene RY , de manera que nZ (coincidente con el eje Z), luego el

plano quedaría paralelo al plano XY Las combinaciones de rotaciones pueden ser las que queramos, no necesariamente el plano debe quedar paralelo a un plano coordenado determinado. La técnica de rotación de trazas de arriba no es única: además puedes. . . a- rotar solo la normal y un punto, digamos P del plano. Luego volver a armar la ecuación del plano rotado, dado por su normal y un punto, que es todo lo que necesitamos para definir un plano, o b- rotar la ecuación del plano completa mediante la matriz en la forma x compacta, por ejemplo π : 2x + 3y + 4z = 1 y

 ≡

1 2x 3y 4

− −



c- rotar tres puntos no alineados del plano, y luego reconstruir la ecuación

del plano cada vez que sea necesario. 

Solo hemos definido rotaciones alrededor de los ejes coordenados.


Capítulo 4 Autovalores y Autovectores

Resumen:

Cuando tratamos con transformaciones lineales de un espacio en sí mismo, la matriz asociada resulta cuadrada. En este capítulo intentaremos estudiar el comportamiento de ese tipo de transformaciones lineales a través del estudio del comportamiento de la matriz asociada cuadrada. En otras palabras: el estudio de propiedades específicas de las matrices de n n revela conocimiento aplicable a las transformaciones lineales cuando los conjuntos subyacentes de los espacios dominio y codominio son el mismo —y de dimensión n —.

×

Este contenido es uno de los que mas has de usar en otras asignaturas de ingeniería, vale para los cursos de mecánica racional, como los de ecuaciones diferenciales o los de ecuaciones a diferencias, etcétera.-

59

Capítulo 4. Autovalores y Autovectores

4-1. Introducción: Mapeo en el plano

4-1. Introducción: Mapeo en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

4-2. Autovalores y Autovectores

63

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4-2.1. Cálculo de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4-2.1.1. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4-2.1.2. Multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4-2.1.3. Autovalores en matrices triangulares . . . . . . . 66 4-2.2. Cálculo de autovectores

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4-2.2.1. Autovalor y autovector de la matriz escalada . . . 68 4-2.2.2. Autovectores linealmente independientes . . . . . 69 4-2.3. Autovalores repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4-2.4. Matrices simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4-2.4.1. Autovectores mutuamente normales . . . . . . . . 75 4-2.5. Resultados a tener en cuenta . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4-3. Matrices similares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

4-3.1. Propiedad de las matrices similares . . . . . . . . . . . . . 79

4-1. Introducción: Mapeo en el plano Nos centraremos en el estudio de algunas características interesantes de las matrices cuadradas Rn×n (1 ). La razón: estudiando las características de las matrices, podemos sacar valiosas conclusiones acerca de las transformaciones lineales, ya que éstas admiten matrices asociadas. Como trabajamos particularmente con matrices cuadradas, y las conclusiones que saquemos será válidas para transformaciones lineales dentro de un mismo espacio vectorial. Empecemos con un ejemplo

 

1 2 , hallemos los transformados de los 2 1 vectores (2, 2), (2, 1), (1, 1), ( 2, 2), y (1, 1)

Ejemplo 4.1.

Para la matriz A =

−



−

Es tedioso tener que hacer

 ·     ·    1 2

2

2 1

2

1 2

2

2 1

1

=

=

6

6

4

5

y luego

es decir

1

Aunque el concepto matemático es el mismo para espacios que comparten escalares complejos, el abordaje geométrico que haremos aquí, nos permite referimos exclusivamente a escalares reales.




básicamente la misma cuenta para cada vector. Es más sencillo hacerlo «en masa»

   1 2

2

2

1

2 1

2

1

−1

[A]

−2

1

2

1

 ⇓  =

v1 v2 v3 v4 v5 =

6

4

6

5

−1 1

2

3

−2

3

 

v1 v2 v3 v4 v5

Recuerda que podemos pensar que A , está asociada —por ejemplo— a la transformación lineal A : R2 R2 A ((x, y)) = (x + 2y , 2x + y)

→



|

Nota que estamos usando A para definir una matriz, y no el correcto [ A ]. Esta práctica de abuso de notación en aras de la simplicidad es común en muchos textos de álgebra lineal.

Ejemplo 4.2.

Ahora grafiquemos cada vector con su transformado, un par por cada gráfico. . . 

Y

v4

Y

v3 X

v3

X v4

Observa que v 3 es colineal con v 3 , y lo mismo sucede entre v 4 y v 4 . lo mismo vale para los siguientes v1 y v5 , que en este caso no son opuestos y el gráfico de la izquierda está a una escala menor. Y Y 6  3 v1 v5 5

√ 2

4

6

3 2

2

√ 2

3

v1

1

v5

1 1

2

3

4

5

X

6

1

2

3

X



Hasta ahora hemos transformado algunos vectores y comprobamos que algunos pares vector - vector transformado son co-lineales, mientras que otros no. Ahondemos un poco más en la co-linealidad. . . ¿Es probable que los vectores co-lineales a través de la transformación tengan algo más en común?




Ejemplo 4.3.

Tratemos de expresar vectores y transformados co-lineales mediante un escalamiento de los vectores de partida. 

Podemos expresar los coeficientes como si extrayendo factor común, ya que ello está permitido entre las matrices

         −  −      −  − −   −    −  −   v1 v2 v3 v4

v5

6 6

=

4 5

2 2

1 1

4 5

=

3

=

3v1 v2

2 2

1 1

1

1v3

3 3

2 1 3 2 1

1

1v4 3v5

Pongamos los vectores que son co-lineales2 con sus transformados, T

(

v

T T T T

( ( ( (

(2, (1, (2, (1,

2) 1) 2) 1)

− −

)

=

v

=

λ

v

) ) ) )

= = = =

(6, 6) ( 1, 1) ( 2, 2) (3, 3)

= = = =

3 1 1 3

(2, 2) (1, 1) (2, 2) (1, 1)

− −

− −

− −

y reordenando v1 = 3v1 v5 = 3v5 v3 = v4 =

−v3 −v4

pero también hay vectores que no son co-lineales con sus transformados, por ejemplo 2 4 v2 = ∦ v2 = 1 5





Nota que siempre ocurrirá que v = (0, 0) = v  pero como el vector nulo no tiene dirección —o mejor, tiene cualquier dirección—, es inútil esperar que su transformado conserve su dirección, por tanto no nos interesará el caso v = θ 

El archivo geogebra Autovalores-01.ggb3 tiene tres puntos del plano — v1 , v , v3 y sus transformados— donde v puede ubicarse en cualquier lado, y los otros pueden moverse en su dirección fija correspondiente. Los transformados de v 1 y v 5 —comparten una dirección— se escalan por 1 (fijo); y los de v 3 y v 4 —que comparten la otra dirección—:se escalan por 3 , también fijo.

−

Esos números fijos por cada dirección, los llamamos con la letra griega λ y decimos que son valores característicos o autovalores, y los vectores con quienes los cumplen, vectores característicos o autovectores. 2 Esta

idea —repetimos— vale sólo para matrices y vectores reales. pedírmelo por correo electrónico: omar punto morel arroba gmail punto com

3 Puedes




 

1 2 , v1 y v5 son vectores ca2 1 racterísticos —autovectores— asociados al valor característico –autovalor— λ = 3, mientras que v3 y v4 son vectores característicos asociados al valor característico λ = 1.

Así en los ejemplos anteriores donde A =

−

Ese comportamiento es común a otras matrices cuadradas 4 . En ocasiones el número λ es un complejo5 aunque la matriz tenga todas sus entradas reales —no vamos a extendernos a ellos en este libro—. Lo importante es que dada una matriz cuadrada cualquiera, ésta tiene — indefectiblemente— esos números característicos λ , sean reales o complejos, o algunos reales y otros complejos. Y lo probaremos más delante en la subsección 4-2.1.1

4-2. Autovalores y Autovectores Decíamos que el número característico también se llama autovalor (del alemán Eigenvektor ) o valor característico de la matriz. Y los vectores asociados a esos autovalores se llaman autovector(es) (del alemán Eigenwert(en) ) o vectores característicos. En un caso general se tiene que

A v = λv

(4.1)

para un par autovalor-autovector (λ , v). Con esto, la definición de autovalor y autovector queda de la siguiente manera: Definición 1. Para una matriz A cuadrada de dimensiones, un vector no nulo

es autovector si satisface la relación Av = λv ; en otras palabras: si él mismo y su transformado forman un conjunto linealmente dependiente6 : v , A v es LD.

{

}

Repitamos que los autovectores no pueden ser los vectores nulos. La pregunta es: ¿Cómo calculamos los valores característicos de una matriz ? 4

Prueba por ejemplo la matriz B =

 



1 1 0 2 0 0

−1

2 3



con los vectores v1 =

    a 0 0

, v2 =

b b 0

c y v 3 = 4c y sus co-lineales. 2c 5 Puedes probar con lo que aprendas más adelante que los autovalores de la matriz 2 1 0 B = 1 2 0 son λ 1 = 2 + j , λ2 = 2 j y λ 3 = 3 0 0 3 6 Esto elimina la ambigüedad que supone la definición por co-linealidad entre el autovector y su transformado, cuando el autovalor asociado es cero. Es evidente en ese caso que transformado y autovector no son co-lineales, sino normales entre sí. Con más razón cuando A o λ no fueran reales.

 −



−




4-2.1. Cálculo de autovalores Partamos de la definición: Av = λv . Entonces7 λv

− Av = θ

Definición

Como A es una matriz y λ es un escalar, debemos multiplicar λ por la matriz identidad del mismo orden que A para poder escribir

− A) v = θ

(λI

(4.2)

y este es un sistema de ecuaciones lineales homogéneo que, por lo que hemos estudiado anteriormente, indefectiblemente tiene solución. Pero naturalmente, si no nos interesa la solución trivial v = θ, la única posibilidad para que haya otras soluciones es que (λI A) no sea invertible, es decir que

−

Ec. característica

|λI − A| = 0

(4.3)

Con esta ecuación hemos de calcular los autovalores, se llama ecuación característica8 de A

Ejemplo 4.4.

Halla los autovalores de la matriz A =



  1 2 2 1

Efectuando las cuentas que dadas por la ec.(4.3)

|λI − A|

  −    − −  − −

= =

λ 0 0 λ

1 2 2 1

λ 0

2 1

1 0 2 λ

− 1) (λ − 1) − 4 λ2 − 2λ − 3

= (λ =

= πA (λ)

(4.4)

Y éste es lo que se conoce como el polinomio característico de A —nota que la 4.4 tiene la estructura típica de p(x) = 3 2x + x2 —. De él vamos a obtener los autovalores de A

− −

πA (λ) = = =

|λI − A| λ2 − 2λ − 3 (λ − 3) (λ + 1)

7

Ten en cuenta que tanto λv cuanto Av yacen en el mismo espacio vectorial, ya que A es cuadrada. 8 Algunos autores usan la forma equivalente A λI = 0, de ese modo el polinomio resultante será mónico para A con dimensión par y no mónico para A con dimensión impar; mientras que en la forma que hemos optado nosotros, el polinomio resulta siempre mónico. Un polinomio es mónico cuando el coeficiente de la variable de mayor grado es 1.

| − |




de donde finalmente λ1 = +3 λ2 =

−1

donde los preordenamos con los valores absolutos decrecientes. 

La ecuación característica es el polinomio característico igualado a cero. Sus raíces son los autovalores de la matriz.

4-2.1.1. Existencia

¿Tendrá cualquier matriz autovalores? ¿Cuántos? Como ellos aparecen como raíz de un determinante igualado a cero, la matriz debe ser cuadrada. Analiza el grado de los polinomios característicos de estas matrices y combínala con la información —teorema fundamental del álgebra9 — de que todos los polinomios de grado n tienen n raíces. El polinomio característico de una matriz cuadrada de entradas reales tiene todos sus coeficientes reales, y como consecuencia, sus raíces podrán ser reales o, de aparecer raíces complejas, lo harán de a pares conjugados.

4-2.1.2. Multiplicidad

Es sabido que las raíces de un polinomio pueden repetirse. Como el polinomio característico de una matriz es el que provee los autovalores, podemos establecer que un autovalor puede repetirse, es decir: puede tener multiplicidad algebraica.

Ejemplo 4.5.

Halla los autovalores de la matrices B =

 9 Un

    1 0 2 1 y C = 0 1 0 2

polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos o reales, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades.




Efectuando las cuentas necesarias

− 1)2 (λ) = (λ − 2)2

πB (λ) = (λ πC

Vemos que los autovalores se repiten —El autovalor 1 para la matriz B tiene multiplicidad algebraica 2— 

Un autovalor que no se repite, se dice que es simple (multiplicidad algebraica 1). 4-2.1.3. Autovalores en matrices triangulares

Proposición 4.1. Cuando la matriz es triangular, los autovalores están en la diagonal. Prueba

Es evidente que si T es una matriz triangular de dimensiones genéricas la matriz λI T = T λ también lo será. Asimismo las entradas en la diagonal de T λ tendrán la forma (λ ti,i ), por lo que el determinante —el polinomio característico de la matriz T — será n

−

−

det(T λ ) = π T (λ) =

 i=1

(λ

−t

i,i

)

cuyas raíces ya están factorizadas, λ i = t i,i

Como consecuencia o corolario, podemos afirmar que lo mismo sucede para matrices diagonales. Más estudios sobre autovalores los tienes en el apéndice D-2.

4-2.2. Cálculo de autovectores Para encontrar los autovectores, partamos también de (λI A) v = θ luego de haber calculado los autovalores. En la ec.(4.2) hagamos λi I A = Ai y entonces

−

Ai vi = θ

−

(4.5)

Debemos resolver este sistema homogéneo para cada valor de λ i y encontrar los autovectores v i asociados a cada autovalor.




Ejemplo 4.6.

Halla los autovectores de de la matriz A =



 

1 2 . 2 1

Del ejemplo anterior (4.4), los autovalores son λ1 = 3 y λ2 = 1. Para calcular los autovectores, usemos la expresión (4.2) o l a (4.5), proponiendo v que λ 1 = 3, v1 = 11 R2 , entonces: v21

−

 ∈ − −  3 0

        −  →  −  →  −

1 0 2 3 2 2

−2 −1 −2 2

v11 v21

=

0 0

v11 v21

=

0 0

desarrollando la matriz de los coeficientes aumentada (para recordar)

 −

2 2

−2

0 2 0

v11

2 0

2 0 0 0

1 0

1 0 0 0

⇓

− v21 = 0 ⇔ v21 = v11



es decir que para el autovalor λ1 = 3, hemos obtenido una familia de v autovectores asociados dada por v 1 = 11 . Lo notaremos de la siguiente v11 manera: A : 3, (x, x) x=0

             

Si le diéramos a v11 el valor 1 , obtendríamos v 21 = 1 y el autovector aso1 ciado elegido sería v 1 = (1, 1) = , y lo notamos: 1 3 , (1, 1)

Verifiquemos que sea correcto. Debe cumplirse la (4.1)... 1 2 2 1

1 1

=

3 3

= 3

1 1

, cierto.

Una conclusión valedera en este contexto, sería establecer que como hemos propuesto un valor específico para la componente v11 y pudiéramos haber propuesto cualquier otro real (distinto de cero), el autovector v1 pudo haber sido otro de la misma dirección; entonces el par autovalor autovector asociado que dimos arriba en realidad es un representante de los infinitos autovectores que yacen en esa dirección. Y éste es el subespacio asociado al autovalor λ 1 = 3, E λ=3 = x, x

   − −     − − ⇓  

Procedamos de la misma manera para encontrar los autovectores asociados a λ 2 = 1

−

2 2

2 2

v12 v22

=

v2 =


0 0

v12 v12

−



y E λ=1 = (x, x) es el subespacio asociado. Por lo que finalmente

{ − }

A : A :

   − − 3, (x, x) , 3, (1, 1) ,

− 1, (1, −1)

 

1, (x, x)

x=0

La última muestra la matriz y un autovector asociado a cada autovalor, mientras que la primera muestra todos los autovectores asociados a cada autovalor. 

4-2.2.1. Autovalor y autovector de la matriz escalada

Supongamos que la matriz A admite un par autovalor-autovector tal como (λ, v), estudiaremos qué sucede con los autovalores y autovectores de la matriz E = kA donde k es un escalar.

Ejemplo 4.7. 

Si A :

{ (λ , v ) } ¿cuál será el par de kA , k escalar? i

i

Sabemos que v i es elemento de un espacio vectorial, —en este libro podemos pensar el evre V = Rn — donde se da que A vi = λ i vi (kA) vi = k(A vi )

propiedad matrices

= k(λi vi )

expresado arriba

= (kλ i ) vi

axioma espacio V

entonces podemos afirmar que (kA) y A comparten los autovectores, mientras que los autovalores de kA son los escalados de los de A . 

El resultado anterior puede parecerte no convincente, por cuanto el determinante de la matriz escalada tiene la relación det(kA) = kn det(A) y det(kA) = k det(A) por lo que es necesario que hagamos otro ejemplo numérico para confirmarlo



Ejemplo 4.8.

Halla los autovalores y autovectores de B =



 

4 8 . 8 4

Esta matriz es 4 veces la del ejemplo 4.6 y ejemplo 4.6 — B = 4A, donde A : 3, (x, x) , 1, (x, x) —, calculemos su polinomio característico de B

   −

−



− 4)2 − 64 = λ 2 − 8λ − 48 = (λ − 12)(λ + 4) ⇒ λ1 = 4 · 3

πB=4A (λ) = (λ

,

−

λ2 = 4( 1)




con lo cual hemos confirmado la relación entre autovalores. Ahora podemos simplemente probar si los autovectores se comparten

     ·     − −  ⇒   − 4 8 8 4

x 12x 12 x = x 12x 12x = 12

x x

lo podemos hacer para el otro par a-a, A :

3, (x, x) ,

1, (x, x)

4A :

12,, (x, x) , 12

−



4, (x, x)

lo cual puedes comprobar. 

4-2.2.2. 4-2 .2.2. Autove Autovectores ctores lineal linealmente mente indepen independientes dientes

La cantidad de autovectores asociados a un autovalor es infinita, porque todos los autovectores co-lineales con uno dado —excepto el vector nulo—, también lo es. Prueba de ello es el resultado que hemos obtenido en el ejemplo 4.6 plo 4.6,, donde por ejemplo para el autovalor 3

     1 2 2 1

x x = 3 x x

son autovectores todos los puntos de la recta y = x, con la única excepción del origen. Todos ellos está en una misma dirección, también llamada auto λ = 3 dirección asociada al autovalor simple λ = El autovalor está asociado a un subespacio de Rn —volvemos a suponer que trabajamos con autovectores reales— donde todos los vectores son autovectores —excepto el vector nulo—. La dimensión de ese subespacio es la cantidad de autovectores linealmente independientes (multiplicidad geométrica). Proposición 4.2. Si un autovector v0 está asociado a un autovalor λ0 , el par (λ0 , k v0 ) también es un par autovalor-autovector, (siempre que k = 0, naturalmente).



Ejercicio 4.1.

= λ 0 v0 comienza por Prueba la aseveración anterior. anterior. Ayuda: En Av0 = λ k . multiplicar todo por el escalar k

Cuando se calculan autovectores, se exhiben los auto vectores linealmente dependientes ligados a un auto valor. valor.




Ejemplo Ejem plo 4.9.

Discute Discute estos estos pares pares de autoval autovalor-au or-autovec tovector tor cambia cambiando ndo A del ejemplo 4.1 por 4.1 por la matriz identidad de la misma dimensión. 

Las cuentas para el cálculo de los autovalores y autovectores quedan para 1 0 x x tí. Puedes comprobar que como , lo que está sucediendo = 0 1 y y es que: – cualquier vector del plano —por última vez: excepto el vector nulo — es autovector de la matriz identidad, asociado al único autovalor λ = 1 que se repite —grado de multiplicidad algebraica 2—. En otras palabras: tenemos una infinidad de vectores en infinitas direcciones asociados al mismo autovalor – el subespacio asociado al autovalor 1 es E λ=1 = (x, y) y su dimensión es 2 (su multiplicidad geométrica es 2). Pudiér Pudiéramo amoss encont encontrar rar una base base con dos autove autovecto ctores res de ese espaci espacio: o: 1 0 y v 12 = . v11 = 0 1

    

{



}

 

Entonces podemos decir que cada autovalor está asociado un subespacio de «autovectores10 » , y que aparentemente su dimensión puede tener algo que ver con la multiplicidad algebraica de ese autovalor. autovalor. En otras palabras: queremos saber si hay alguna relación entre la multiplicidad algebraica (cantidad de veces que un autovalor se repite) y la multiplicidad geométrica (dimensión del espacio asociado a ese autovalor.).

4-2.3. 4-2 .3. Aut Autova ovalo lores res rep repeti etidos dos La pregunta es: ¿Qué deberíamos esperar hay valores característicos repetidos ? En el ejemplo 4.9 ejemplo 4.9 hemos hemos tratado con una matriz que tenía un autovalor de multiplicidad dos, asociado a un espacio de dos dimensiones —de cual pudimos exponer dos vectores linealmente independientes—, esto podría hacernos suponer que la dimensión del subespacio de autovectores asociados a un auto valor coincide con su grado de multiplicidad. Veamos si es correcto mediante otro ejemplo.

10 Claramente

no es un subespacio de autovectores, ya que le faltaría justamente el vector = λv λ nulo, pero aún asi es un subespacio E λ = vλ A vλ = λv

{ |

}




Ejemplo 4.10.

A = Halla los autovalores y autovectores de A =



 

1 1 . 0 1

Luego de hacer las cuentas —o en forma evidente aplicando la proposición 4.1— 4.1— λ 1 = λ = λ 2 = 1, por lo que los autovectores saldrán de

 −     0 0

1 0

v11 v21

0 0

=

de donde v 11 es libre —puede tomar cualquier número— y v 21 = 0, por lo que v1 =



A

{(1 , (1 , (1, (1, 0))}

:

1 0

De modo que cuando quieras encontrar v 2 , éste será un escalado de v 1 

Ahora hemos visto un caso donde la cantidad de autovectores no co-lineales es menor que la multiplicidad del autovalor asociado. Podemos especular, de acuerdo con nuestra experiencia que: “La cantidad q de de autovectores linealmente independiente independientess asociados a un autovalor autovalor es menor o igual a la multiplimultiplicidad m del autovalor.” Otro ejemplo con una matriz de 3 3 nos aclara aún más la pregunta inicial.

×

Ejempl Eje mplo o 4.1 4.11. 1. 7 16 8

 − − 

Hall Halla a los los auto autova valo lore res s y auto autove vect ctor ores es de la matr matriz iz A =

−16 −8 7 8 8 −5



Calculemo Calculemoss los autovalor autovalores. es. . .

| − A| λ−7

πA (λ) = λI =

=

   −   

eliminemos -8 con 8

λ 7 16 8 0 λ+9 λ+9 8 8 λ+5

propiedad determinantes

= (λ + 9)


 −      −

16 8 16 λ 7 8 8 8 λ+5

− −

− λ−7 1 8

16 8 1 0 8 λ+5

71



hemos calculado una raíz prontamente πA (λ) = (λ + 9)

 −  − − −  −

  

16 8 8 λ+5

= (λ + 9) λ2

18 18λ λ

243

= (λ + 9) (λ + 9)(λ 9)(λ

27)



+

λ

−7

8 8 λ+5

 

Esta técnica funciona en ciertos casos de simetría. En un caso general hubieras arribado a un polinomio característico de tercer grado, y para encontrar sus raíces puedes usar un algoritmo numérico, como el que aparece en la última parte de D-3 de D-3.0.2 .0.2 en en la pág.166 pág.166 (apéndice). (apéndice). En definitiva, los autovalores son λ1 = 27 λ2 = λ3 =

−9

Calculemos entonces el o los autovectores asociados a λ 2 = λ = λ 3 =

 −

16 16 8

16 16 8

− −

  − − 8 8 4

v12 v13 v22 v23 v32 v33

  

−9

0 0 0 0 0 0

=

A2,3 v 2,3 = θ

donde hemos ubicado los dos sistemas. Los renglones de la matriz de los coeficientes son escalamientos del último, por lo que

 −

16 16 8

16 16 8

8 0 8 0 4 0

− − − −

  → − ≡−

−2v12 + 2v 2 v22 + v32 = 0

0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 0



cuyo significado es

9, (v12 , v22 , 2v12



− 2v22)

(4.6)

En la que hay dos grados de libertad. Como una dirección —un autovector define una dirección— tiene un grado de libertad; puedes extraer dos direcciones linealmente independientes. Por ejemplo A :

−

 −

9 , (v12 , 0, 2v12 ) ,

Y puedes elegir en particular v2 = (1, (1, 0, 2)



−

9 , (0, (0, v22 , 2v22 )

−

v3 = (0, (0, 1, 2)

El otro autovector asociado a λ = 27 , ya sabes cómo calcularlo y queda como ejercicio.

{−

−

−

−

}

A : ( 9 , (1, (1, 0, 2)) , ( 9 , (0, (0, 1, )) , (27 , (27 , ( 2, 2, 1))

−9 tiene multiplicidad algebraica y geométrica 2, mientras que 27 tiene multiplicidad algebraica y geométrica 1.






Ha sido otro caso donde la multiplicidad geométrica es igual a la multiplicidad algebraica en cada caso. Lo mismo ocurre en el ejemplo siguiente

Ejemplo 4.12.

2 Para Para la matriz nula de 2 asociados 

× 2, hallar los autovalores y autovectores

En este caso —lo mismo que la matriz identidad— podemos ver que hay un autovalor con multiplicidad dos, λ 1 = λ = λ 2 = 0, pero como

       0 0 0 0

x 0 x = = 0 y 0 y

lo cual significa que no importa cuál dirección tome, siempre se dará que (x, y) será un autovector. Pero también estamos poniendo en evidencia lo que en la definición de autovector: A v , v es linealmente dependiente, y aunque v no pueda ser el vector nulo, A v sí lo puede ser. Este punto no es tan obvio, los estudiantes tropiezarán aquí al principio . Es el mismo caso que el ejemplo 4.11 ejemplo 4.11 anterior anterior también, donde el subespacio asociado a 9 fue = (x,y, 2x 2y)

{

}

−

G {

− }

Este tema está desarrollado con más detalle en un apéndice, en la sección E-2,, donde tratamos los espacios invariantes. E-2 En definitiva, podemos presentar dos autovectores linealmente independientes dientes en este caso

{

}

A : (0 , (0 , (1, (1, 0)) , (0 , (0 , (0, (0, 1))

pero no nos olvidemos de que cualquier combinación de autovectores asociados al mismo autovalor, autovalor, es también autovector asociado a ese autovalor. autovalor. 

Lo cual cual confirm confirma a que. que. . .

La cantidad cantidad de autovectore autovectoress linealmente linealmente independienindependientes asocia asociados dos a un autova autovalor lor (multi (multiplic plicida idad d geométr geométrica ica)) puede ser igual o menor que su multiplicida multiplicidad d algebraialgebraica.




Que contesta la pregunta inicial. Cuando se pide un cálculo de autovectores, se estila en general proporcionar una base de autovectores. Para los casos que hemos visto; el número de autovectores en esa base puede ser igual o menor al grado de multiplicidad del autovalor repetido. En el caso de un autovalor no repetido –simple–: el autovector que damos como asociado es en realidad una base de todos los autovectores asociados del mismo subespacio de dimensión 1.

4-2.4. Matrices simétricas Si la matriz es simétrica — si,j = s j,i —, de n n , podremos encontrar la misma cantidad de autovectores LI, no importa si los autovalores se repiten.

×

Proposición 4.3. Toda matriz simétrica —de entradas reales— tiene todos sus autovalores también reales (condición suficiente)

. . . pero no necesaria, ya que hay matrices no simétricas con autovalores reales (no es necesario que sea simétrica para tener autovalores reales). Veamos unos ejercicios para ver si podemos evitar la prueba formal. Ejercicio 4.2.

Halla los autovalores de A =

 

0 1 y de B = 2 3

−



1.5 0.5 0.5 1.5

a- Son A y B simétricas? Son reales sus autovalores? b- A cuál matriz se aplica la proposición 4.3 anterior?



No probaremos la proposición 4.3, para un caso genérico de n, pero lo haremos para n = 2 Prueba

Tomemos una matriz genérica y simétrica S 2 =

  a b b c

y calculemos su polinomio característico πS 2 (x) = x 2

la resolvente es

− (a + c)x + ac − b



2

(a + c)2 4(ac) + 4b2 2 lo que está dentro de la raíz cuadrada puede escribirse xi =

a + c

a2 + c2 + 2ac

±

−

− 4ac + 4b

2

= (a

2

− c)

+ 4b2

≥0

con lo cual la raíz es real cqd. 74 JOM - Transformaciones Lineales



El proceso de prueba establece que para la matriz res a

± |b| y para la matriz

Ejercicio 4.3.

   

 

a b arroja autovalob a

a b 1 1 = a arroja autovalores 0 y 2a. b a 1 1

Prueba que la matriz antisimétrica tovalores complejos.

 

a b sólo presenta au- b c

−

Otras proposiciones útiles que damos sin prueba son: Proposición 4.4. Todo par de autovalores distintos entre sí; de matriz simé- trica, están asociados a autovectores normales entre sí. Proposición 4.5. Autovalores distintos —de una matriz de entradas reales cualquiera— están asociados a autovectores linealmente independientes entre sí (generalización de la proposición 4.4). Ejercicio 4.4.

Verifica la aseveración 4.5 en el ejemplo 4.6, en donde A =

  1 2 2 1

4-2.4.1. Autovectores mutuamente normales

Según la proposición 4.5 autovalores distintos llevan a autovectores linealmente independientes, la pregunta ahora es ¿ Podría ser que una matriz de n n —aunque tuviera autovalores repetidos— que tuviera n autovectores LI,

×

pudiera tener todos los autovectores normales entre sí ?

La buena noticia es que sí, se puede —siempre que la matriz real( 11) sea simétrica—.

Ejemplo 4.13. 7 16 8

 − − 

Halla los autovalores y autovectores normales de la matriz A =

−16 −8 7 8 8 −5



, si es posible.

Los autovalores ya los tenemos del ejemplo 4.11. También nos quedaremos con el autovector v2 = (1, 0, 2) que satisface la 2v12 + 2v22 + 1v32 = 0, proponemos entonces un autovector v 3 = (v1 , v2 , v3 ) tal que cumpla con la ecuación anterior 2v13 + 2v23 + 1v33 = 0 y que además sea normal a v2 ,

−

−

11 Si la matriz es

de entradas complejas y hermítica, también. A es hermítica si sus entradas simétricas son conjugados a ji = a ij .




es decir que su producto escalar v 2 v3 sea nulo,

·

v3 = (v13 , v23 , 2v13

·

v2 v3 =



1 0 2

 

= v13 + 2 (2v13

− 4v23

= 5v13 = 0

− 2v23) v13 v23

2 (v13

− v23)

− 2v23)



de donde si a v13 le diéramos el valor 4, a v23 le deberíamos dar 5 y v3 quedaría

· − 2 · 5)

v3 = (4 , 5 , 2 4

−

= (4, 5, 2)

El autovalor

−9 está asociado con v2 = (1, 0, 2) y con v3 = (4, 5, −2).

Para encontrar otro autovector v 1 normal a estos dos, podrás hacer v 1 = v2 v3 ?; en ese caso

×

 

ˇı ˇ 1 0 4 5

  − ↓ ˇ k 2 2

−

= ( 10, 10, 5)

−

v1 = ( 10, 10, 5)

≡ (−2, 2, 1)

lo que hay que comprobar ahora es que éste realmente sea autovector asociado a λ = 27, y es así (no hay más que ver el ejemplo citado) Entonces, ya está, los tres autovectores conseguidos son normales entre sí. 

Ejemplo 4.14.

Implementa otro método para hallar lo mismo que el ejemplo

4.13 

Algo más elaborado y que funciona bastante bien cuando hay pocas componentes puede ser: Asumamos que v2 = (1, 0, 2) ya lo hemos adoptamos como un autovector, si hacemos v 3 = ( 2 , v23 , 1) ya es perpendicular al anterior, lo único que tienes que hacer es encontrar la segunda componente, que debe cumplir

−




con

−2v13 + 2v23 + 1v33 = 0, 12 o sea 0 = −2 · (−2) + 2v23 + 1 (1) = 5 + 2v23

⇓

− 52

v23 =

y v3 =

que si lo multiplicamos por

−

2 ,

−

5 ,1 2

−2 tenemos13 v3 = (4 , 5 , −2)



escencialmente el mismo resultado que el anterior, como puedes ver. Podemos verificarlo

 − −

7 16 8

−16 −8 7 8 8 −5

    − −    − − − − − 1 0 2

4 5 2

=

9 0 18

36 45 18

=

9

1 0 2

4 5 2



4-2.5. Resultados a tener en cuenta

Un par autovalor(λ)-autovector(v ) para una matriz A es aquel en que el conjunto Av,v es linealmente dependiente, y satisface la relación A v = λ v . v = θ , pero Av puede ser el vector nulo.

{

} ·



·

En esta última definición ya no importa que las entradas de A sean reales o no, como tampoco el escalar λ . 1. los autovalores de una matriz de entradas reales: a ) Pueden ser valores reales o complejos b ) pueden haber dos o más con el mismo valor —multiplicidad— 12

No te olvides de la condición para los autovectores asociados al autovalor de multiplicidad 2 λ = 9. 13 Esto puede hacerse sin problemas porque los autovectores definen una dirección, e infinitos autovectores pueden estar definiendo una única dirección. Por otro lado sería interesante encontrar autoversores, y de hecho lo haremos en alguna oportunidad.

−



4-3. Matrices similares

c ) pueden tener el valor cero —múltiples o no—

2. Los autovectores de una matriz de entradas reales: a ) Nunca serán el vector nulo. (por definición) b ) Asociados a autovalores distintos, son LI c ) Asociados a un autovalor de multiplicidad m , puede ser un subespa-

cio de dimensión m. Del cual pude extraerse una base, representativa de todos los autovectores asociados con ese autovalor.

≤

3. Para matrices simétricas, además... a ) Los autovalores son reales b ) Pueden darse tantos autovectores LI como dimensión tiene la matriz c ) Siempre puede obtenerse un conjunto de todos los autovectores nor-

males entre sí Definición 1 (Espectro). De una matriz es el conjunto de autovalores de la

misma. Definición 2 (Autoespacio). Espacio vectorial asociado a un autovalor, me-

diante la relación Av = λv donde no se excluye al vector nulo.

Ejemplo: para la matriz A = – el espectro es σ(A) =

 {E

 −

1 1 0

}

−6 −2 4 0

1 1



1, 2 – λ=2 = (x, 12 x, 0) y λ=1 = (x,y, x + 3y) son los auto-espacios asociados a los respectivos autovalores.

E



−

{

−

}

4-3. Matrices similares Dos matrices cuadradas A y B son similares si existe una matriz C invertible, tal que B = C −1 A C (4.7) Notaremos

∼ A

B

el signo significa «similaridad» y no que las entradas de A sean aproximadamente iguales a las entradas de B .

∼

Claramente, puedes escribir también B = D A D−1

con tal de hacer en este caso D = C −1 . Veamos un ejemplo




Ejemplo 4.15.

Encuentra una matriz similar a



  −

0 1 . 2 3

Nada más debemos aplicar la 4.7 proponiendo una matriz C no singular, de dimensiones apropiadas, por ejemplo C =

  1 2 2 1

de modo que B = =

     −  − −1

1 2 2 1 2 0

0 1 2 3

1 2 2 1

1 1

Que es una de las infinitas posibles. 

4-3.1. Propiedad de las matrices similares Proposición 4.6. Las matrices similares comparten los valores característi- cos.

Ejemplo 4.16.

Verifica el teorema a partir del ejemplo anterior( 4.15)



Sólo tenemos que calcular los autovalores de verificar que sean iguales πA (λ) =

 −  − − − −  −  − λ 2 λ

3λ + 2

= (λ

2) (λ

λ

0 1 2 3

−

y de

2 0

1 1

y

1 3

= λ2

πB (λ) =

   −

2 0 λ

1)

1 1

= (λ

− 2) (λ − 1)

con lo que hemos verificado el teorema, diciendo que efectivamente B y A comparten los mismos autovalores. 

Ahora lo probaremos. 79 JOM - Transformaciones Lineales



Prueba

Tomemos dos matrices similares A y B , por tanto podemos escribir B = C −1 A C , calculemos el polinomio característico de B πB (λ) = = =

|[λI − B]| λI − C −

(4.8)

   −   −    −    | − | | | 1

A C

λC −1 I C

C −1 A C

podemos extraer factor común a la derecha . . . πB (λ) =

y también a la izquierda . . .

λC −1 I

C −1 A

πB (λ) = C −1 [λ I

C

A ] C

(4.9)

que por propiedad de los determinantes πB (λ) =

C −1

[λ I

A ]

C

y también por propiedad de los determinantes, los de C −1 y C son recíprocos, por lo que finalmente

|[λ I − A ]|

πB (λ) =

= πA (λ)

|

| | |

(4.10)

Como los polinomios característicos de dos matrices similares son iguales, como predice la (4.10), entonces las matrices similares compartirán autovalores. Y con esto queda demostrado el teorema.

Proposición 4.7. Las matrices similares tienen autovectores ligados por la matriz C de la definición 4.7 Prueba

Tomemos dos matrices similares A y B , donde A : (λ, v) es un par autovalor-autovector; por tanto podemos escribir B = C −1 A C y de ahí que A = CBC −1 pos-multiplicando por v asociado a λ , tenemos A v = CBC −1 v = λv

Efectuemos ahora la sustitución w = C −1v

⇔ v = C w




en la ecuación anterior. Tenemos que A v = CBw = λv = λC w

que por ser λ un escalar puede escribirse CBw = C λw

y como C −1 existe, Bw = λw = λC −1 v

finalmente nos dice que efectivamente, el autovector asociado al autovalor λ de A y B , para la matriz B = C −1 A C no es v , sino C −1 v en otras palabras

{

A : (λ0 , v0 )

1

} ⇔ C −

A C = B :

y ya está.



λ0 , C −1v0



(4.11)

Proposición 4.8. El polinomio caraterístico, el espectro, la traza —suma de los elementos de la diagonal—, y el determinante permanecen invariantes entre dos matrices similares. Es decir: B = A−1 CA, entonces πB (λ) = πC (λ), σ(B) = σ(C ), bi,i = ci,i , det(B) = det(C ).

 

Consecuencia 4.8.1. Como corolario de la proposición anterior, si A tiene autovalores λ i . – A es invertible si 0 / σ(A) λi (también las repetidas) – Tra(A) =



∈





Capítulo 5 Diagonalización de matrices y Aplicación al cambio de bases

Resumen:

En esta unidad vamos encontrar una matriz similar diagonal, mediante el cálculo de los autovalores y autovectores de la matriz. Las condiciones de existencia y el cálculo son el tema de la primera parte. Las matrices diagonales similares a una matriz original son útiles en diversos campos de la inge- niería, como ser: desacoplamientos de sistemas di- námicos lineales y cambios de coordenadas en general. Luego hemos de trabajar con matrices asociadas a transformaciones lineales, donde ocurren cambios de base. En ese momento descubriremos que las matrices asociadas —que hasta ahora eran únicas— dependen de las bases elegidas —que hasta ahora eran solamente las bases canónicas—. Es interesante cuando los dos espacios coinciden.-

83

Capítulo 5. Diagonalización de matrices y Aplicación al cambio de bases

5-1. Diagonalización de Matrices

5-1. Diagonalización de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5-1.1. No unicidad de la matriz diagonal similar

84

. . . . . . . . . 86

5-1.2. Existencia de diagonal similar . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5-1.3. Cuándo es diagonalizable una matriz? . . . . . . . . . . . 87 5-1.4. Para tener en cuenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5-2. Matrices simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

5-2.1. Autovectores de una matriz simétrica . . . . . . . . . . . . 90 5-2.2. Prueba de ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5-3. Cambios de base en TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

5-3.1. Diagonalización: Forma desacoplada . . . . . . . . . . . . 97

5-1. Diagonalización de Matrices Olvidémonos por un momento de la relación entre una matriz asociada a una transformación lineal y centrémonos en las matrices cuadradas en sí. La idea es encontrar, si existiera, una matriz similar diagonal. En ese caso los autovalores de la matriz estarían todas en la diagonal —de acuerdo con lo sostenido en la proposición 4.6—. Supongamos —para hacerlo más sencillo— una matriz cuadrada A R2×2 con autovalores λ1, λ2 asociados a los autovectores v1 , v2 respectivamente. Pudiéramos escribir D A = C −1 AC donde D A tiene la forma

{

}

{

DA =

}

∈

  λ1 0 0 λ2

Por las relaciones Av 1 = λ 1 v1 y Av 2 = λ 2 v2 donde

              A =

a11 a12

v11

a21 a22

v21

a11 a12 a21 a22

=

λ1 v11 λ1 v21

,

v1 =

,

v11 v21

,

a11 a12

v12

a21 a22

v22

         a11 a12 a21 a22

v11 v12 v21 v22

A

V

=

v2 =

=

v12 v22

λ2 v12 λ2 v22

λ1 v11 λ2 v12 λ1 v21 λ2 v22

es decir

o en masa



84




Puedes escribir la matriz de la derecha(1 ) como



λ1 v11 λ2 v12 λ1 v21 λ2 v22

         v11 v12

=

v21 v22

λ1 0 0 λ2

V

DA

En definitiva V DA = A V de donde

DA = V −1 A V

(5.1)

La cual existe siempre que exista la inversa de V . Y la inversa de V existirá siempre y cuando hayan tantos autovectores linealmente independientes como para formar una matriz de n n . V la llamaremos en ese caso «matriz diagonalizante» .

×

Definición 2. La matriz C que hace que la matriz similar D A = C −1 A C sea diagonal, se llama matriz diagonalizante. El proceso para pasar de A a DA se llama diagonalización de la matriz A

Ejemplo 5.1. Diagonaliza A = 

  1 2 2 1

si es posible.

Esta es la misma matriz que hemos trabajado en muchas ocasiones, como en los ejemplos 4.4 y 4.6, de donde

− 3) ⇒ λ1 = 3, λ2 = −1 1 − 1 , v2 =

πA (λ) = (λ + 1) (λ

y



v1 =

 

1

1

Armemos con ellos la matriz de los autovectores V = V =

 − ⇒ 1 1

1 1

V −1

1 = 2



[v1 ] [v2 ]

  1 1 1 1



−

la matriz diagonal Λ = V −1 A V será...

   −  −    − −  

1 Λ= 2

1 1 1 1

1 2 2 1

1 2

1 1 1 1

3 3

= =

3 0

1 1

1 1

1 1

0 1

−

hemos llamado Λ = D A a la matriz diagonal similar a A  1 Recuerda

que en el producto de matrices EC el resultado es la combinación lineal de las columnas de E con los escalares en las columnas de C .




diagonalizar es encontrar una matriz similar diagonal. La matriz diagonalizante está formada por autovectores.

5-1.1. No unicidad de la matriz diagonal similar Proposición 5.1. Una matriz no tiene en general una sola matriz diagonal similar. Ejercicio 5.1.





[v1 ] Para el ejemplo 5.1. Arma ahora la matriz V 1 = [v2 ] y encuentra la nueva matriz diagonal. ¿Es la misma? ¿Puedes encontrar la relación que vincula el orden de la diagonal principal y el orden de los autovectores? Para el ejemplo 5.1. Arma ahora la matriz V 2 [k v1 ] [h v2 ] donde k, h R0 ¿Qué puedes afirmar respecto de la pregunta anterior?

Ejercicio 5.2.





=

∈

Proposición 5.2. La matriz diagonal DA similar a una dada matriz A, tiene en su diagonal los autovalores de A ordenados de tal manera que se corresponda con sus autovectores asociados

La matriz diagonal2 no es única, menos aún la matriz diagonalizante será única.

5-1.2. Existencia de diagonal similar La pregunta es ahora ¿Todas las matrices cuadradas son diagonalizables ?

La respuesta la trataremos de sacar con un contraejemplo

2 Excepto

cuando tiene un sólo autovalor y está asociado a n autovectores, claro está




Ejemplo 5.2.

  − −  − −  −    

1 1 , de ser posible. 0 1

Diagonaliza la matriz A =



Evidentemente



λ 0

1

λ

1 1

1)2

= (λ

y λ 1 = λ 2 = 1 por lo que los autovectores saldrán de 0 0

1 0

v11 v21

=

0 0

de donde v 21 = cualquier número y v 11 = 0, por lo que v1 =

 1 0

De modo que cuando se quiera encontrar v 2 , éste sería colineal con v 1 , y no podríamos armar la matriz C ya que al ser C un conjunto LD, no existe la inversa de C. Por tanto esta matriz no es diagonalizable. 

Y la respuesta a la luz del ejemplo 5.2 es que no todas, porque se ha encontrado una que no es diagonalizable. Entonces la siguiente pregunta es...

5-1.3. Cuándo es diagonalizable una matriz? Como el caso anterior se dió que la matriz no pudo diagonalizarse por tener autovalores repetidos, la pregunta es ahora ¿Si hay autovalores repetidos NO existirá similar diagonal?

La respuesta la trataremos de sacar con otro contraejemplo

Ejemplo 5.3.

Diagonaliza la matriz A =





59 2 5

2 56 10

−

−

5 10 35



de ser posible

El polinomio característico. . . πA (λ) = λ 3

− 150λ2 + 7200λ − 108000 = (λ − 30)(λ − 60)2

. . . tiene un autovalor con multiplicidad 2, por tanto nos interesará hallar dos autovectores asociados a λ = 60

 − −

1 2 5

−2 −5 4 10

10 25

      ⇒ x y z


=

0 0 0

2t1 + 5t2 t1 t2





de donde podremos exhibir dos autovectores linealmente independientes, de la misma manera que producíamos una base para un subespacio

  2 1 0

v1 =

  5 0 1

, v2 =

Puedes constatar que el autovector asociado a λ = 30 es v3 =

 −    1 2 5

con lo cual podemos formar V , y puedes comprobar que 1 30

 −

2 5 1

26 10 2

−

 

−10 5 5

59 2 5

2 56 10

−

5 10 35

−

2 5 1 0 0 1

 

−1 2 5



60 0 0 = 0 60 0 0 0 30

Con lo que hemos mostrado que a pesar de la multiplicidad, A tiene matriz similar diagonal.  

En el proceso de encontrar autovectores para λ = 60 pudimos hacer más aún: exhibir autovectores normales: 2 2t1 + 5t2 tomamos v 1 = 1 y v 2 = y por producto escalar t1 0 t2

  



·

v1 v2 = 5t1 + 10t2 = 0

(5.2)

por lo que si t 2 asumiera el valor 1 , t 1 deberá asumir el valor v1 =

  2 1 0

, v2 =

  − 1 2 1

−2, y quedan

(5.3)

La matriz V ahora tiene una mejor condición para invertirse. 

Claramente la respuesta es que autovalores repetidos no garantizan la inexistencia de la matriz diagonal similar. Podemos decir que la matriz de dimensiones n n será diagonalizable cuando la matriz de los autovectores pueda invertirse, y eso se dará únicamente cuando la matriz tenga los n autovectores linealmente independientes. En otras palabras:

×

Los autovectores de una matriz diagonalizable forman una base para los espacios que relaciona la transformación lineal a la que esta matriz está asociada.



5-2. Matrices simétricas

Ejercicio 5.3.

Diagonaliza, si es posible A =

×

 −

8 3 9

9 2 9

− −

9 3 10



.

Proposición 5.3. Las matrices reales de n n diagonalizables son las que tienen su conjunto de n autovectores Linealmente independiente

5-1.4. Para tener en cuenta 1. Dada una matriz An×n , existen infinitas matrices similares a ella, y habrán a lo sumo n! matrices diagonales similares o ninguna. 2. Para que una matriz An×n sea diagonalizable, sus n autovectores deben ser LI

5-2. Matrices simétricas Recordemos que una matriz simétrica es aquella que es igual a su traspuesta (5.4) S = S  Para nuestra fortuna el resto del libro aprovecharemos las ventajas de trabajar con matrices simétricas y ellas son diagonalizables, ya que como hemos dicho, tienen todos sus autovectores reales y linealmente independientes por lo que Proposición 5.4. Toda matriz simétrica es diagonalizable Proposición 5.5. Para toda matriz simétrica, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales.

Esta proposición no la hemos probado, pero lo haremos para un caso genérico particular en 5-2.2(pág.90). Proposición 5.6. Toda S simétrica de entradas reales tiene matriz diagonalizante ortogonal Q

Las columnas de una matriz ortogonal son versores colectivamente ortogonales y tiene la propiedad de que Q −1 = Q  , con lo que Q−1 A Q = Q A Q = D A

(5.5)

Observación: Todos estos conceptos los aplicaremos en unidades posterio-

res, ya sea considerados en las transformaciones, actuando sobre la matriz asociada a la transformación [ L ] mediante cambios de base; como actuando sobre una matriz que representa una cónica o cuádrica de posición general, para canonizarla. 89 JOM - Transformaciones Lineales



Consecuentemente, insiste en ellos hasta tenerlos en claro. Es recomendable que trabajes ahora con los ejercicios propuestos Para continuar, trabajaremos con una matriz simétrica para el caso 2x2 genérica, de modo que las proposiciones que probemos, conclusiones que extraigamos, etcétera, se aplicarán a esta dimensión. . . pero puedes estar seguro que son extensibles a cualquiera otra matriz simétrica de diferente dimensión.

5-2.1. Autovectores de una matriz simétrica

    − − 

a b , su polinomio característico es. . . b c

Tomemos la matriz S 2 = πS 2 (x) =

 − x

a

b

= x 2

b

x

−c

− (c + a)x + ac − b

2

= (x

− a)(x − c) − b

2

=0

donde si aplicáramos la resolvente tendríamos 1 1 x1 = (c + a) + (c a)2 + 4b2 2 2 1 1 x2 = (c + a) (c a)2 + 4b2 2 2 para el cálculo de los autovectores resolvemos

 −  − −

−



     

−b v = 0 es decir 0 −b x − c v − x − a −b 0 x − a −b 0 −−−−−−−−−−−→ 0 0 0 −b x − c 0 de donde (x − a)v − bv = 0 porque (x − a)(x − c) − b = π (x ) = 0 xi



i

i

a

1i 2i

i

R2 =(xi a)R2 +bR1

i

1i

i

i

si v 1i = b , debe ser

vi =

2

i

  b

xi

2i

S 2

i

autovector de S 2

−a

(5.6)

son los autovectores de una matriz simétrica. Para el caso particular a = c los autovalores serían x1 = a + b

x2 = a

−b

y si calcularas los autovectores asociados, llegarías a S 2 :

    −  −  a + b,

1 1

, a

b,

1 1

(5.7)

5-2.2. Prueba de ortogonalidad Usaremos lo que hemos visto en la sección anterior. . . 90 JOM - Transformaciones Lineales



Prueba

    −

a b b c el polinomio característico es π S 2 (λ) = λ 2 (c + a)λ + a c b2 , sus autovalores son 1 1 λ1 = c + a + (a b)2 + 4b2 λ2 = c + a (a b)2 + 4b2 , y 2 2 v1 = (b, λ1 a) y v2 = (b, λ2 a) por tanto sus autovectores son

Para S 2 =

−

−



 −  −

el producto y la suma de los autovalores son:

  −  −− −

1 λ1 λ2 = c + a + 4 1 = (c + a)2 4 = a c b2

 −  − 

(c

a)2

+ 4b2

(c

a)2

− 4b

2

−

c + a

(c

a)2

+ 4b2

−



 y

λ1 + λ2 = (c + a)

El producto escalar de los autovectores. . . v1 v2 = (b, λ1

·

= b 2 = b 2

2

− a)(b, λ − a) = b + (λ − a)(λ − a) + λ λ − aλ − aλ + a + λ λ − a(λ + λ ) + a 2

1 2

1

1 2

2

1

2

1

2

2

2

reemplazando λ1 λ2 y λ1 + λ 2 , que convenientemente hemos calculado arriba. . . v1 v2 = b 2 + a c

·

2

− b − a(c + a) + a

2

=0

. . . efectivamente el producto es cero, por lo que los autovectores de la matriz simétrica de 2 2 son normales entre sí, y ya está para el caso a = c . Naturalmente, para el caso a = c, está también probado, y ya ves que (1, 1) y ( 1, 1) son normales entre sí.

×



−

Esta prueba hace que las proposiciones 5.4 y 5.6 se comprueben automáticamente, ya que por un lado hemos conseguido dos autovectores linealmente independientes (normales); y por otro estamos en condiciones de armar la matriz diagonalizante simplemente escalando los autovectores normales anteriores de manera que sean versores. Puedes pasarte el repaso que tenemos antes de abordar la próxima sección: Repaso de cambio de base

Recordemos la notación para cambios de base que hemos implementado: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n , y v un elemento de ese espacio; luego [ v ] es la matriz de coordenadas de ese vector v sobre una base canónica de V . Si el conjunto

B 1 =



b11 , b12 ,



··· , b1 ⊂ V fuera linealmente independiente y gen



5-3. Cambios de base en TL

nerador de V , entonces sería una base de V , y supongamos que es distinta a la canónica. Para hallar las coordenadas de v sobre la base

B 1, tenemos la relación

[ v ] = [ B1 ] [ v ]1

(5.8)

donde [ B1 ] representa la matriz de transición de la base 1 a la canónica y está formado por los vectores de la base 1 sobre base canónica, es decir

B

B

[ B1 ] =

     ···    b11

b12

b1n

(5.9)

Un ejemplo lo aclara todo Ejemplo Sea el espacio V = R2 , el vector v = (1, 2), y la base (3, 1) , ( 2, 4) , escribe las coordenadas de v sobre base canónica y sobre 1 = base 1 .

B 



B

−



Primero verifiquemos que

B 1 sea base de R2 3 −2 [ B1 ] =



1

   4



= 14 = 0

y lo es, porque son dos vectores de R2 y el determinante de la matriz de transición no es cero, luego v sobre base canónica es simplemente [v] =

1 2

de modo que el vector v sobre base B1 es: [ v ]1 = [ B1 ]−1 [ v ] =



3 1

1 = 14

−2

4

  8 5

  −1

1 2

1

comprobémoslo. . . 8 5 (3, 1) + ( 2, 4) = (1, 2) = v 14 14

−

Como era de esperarse. 

5-3. Cambios de base en TL Sea una transformación lineal L entre dos espacios V y V  . La matriz asociada a la transformación lineal será [ L ] y se cumplirá que. . . [ v  ] = [ L ] [ v ]

donde que v  V  y v V . La (5.10) liga el mapeo del vector v en base canónica — otra base canónica — 2 —.

∈

∈

B

(5.10)

B — al vector v  en la 1




L

V

v

[L]

[v]

C

V  L(v) = v  [ v  ]

K

V

C

V 

Figura 5.1: Cambio de bases (Ilustración 1) Supongamos disponer de una base para cada espacio, por ejemplo y 2 V  . De acuerdo con lo que hemos trabajado 3 . . .

B ⊂

B ⊂ V 1

[ v ] = [ B1 ] [ v ]1

(5.11)

[ v  ] = [ B2 ] [ v  ]2

(5.12)

La figura 5.2 actualiza lo que hemos propuesto

v

V

[ L1 ]2

[ v ]1

[v]

C

L

V

[ B1 ]

B

1

V 

v

[ v  ]2

B

K

2

[ v  ]

C

V 

[ B2 ]

Figura 5.2: Cambio de bases (Ilustración 2)

Las (5.11) y (5.10) son los cambios de base introducidos: tanto en el dominio cuanto en el codominio tenemos sendas bases 1 y 2 respectivamente, cuyas matrices de coordenadas sobre las bases canónicas son [ B1 ] y [ B2 ]

B B

Incorporando la (5.11) a la (5.10) tenemos [ v  ] = [ L ] [ v ] = [ L ] [ B1 ] [ v ]1

= [ L1 ] [ v ]1

(5.13)

y ésta representa el mapeo del vector v sobre base 1 cuya imagen está en base canónica, y la relación de actualización de [ L ] para efectuar tal cambio es

B

[ L1 ] = [ L ] [ B1 ] 3 En

(5.14)

el repaso, la ecuación (1.3) —pag.3— deviene en [ v ] = [ B1 ] [ v ]1 en el espacio V , y similarmente en [ v ] = [ B2 ] [ v ]2 en el espacio V  .




Por otro lado, incorporando la (5.12) a la (5.10) tenemos [ L ] [ v ] = [ v  ] = [ B2 ] [ v  ]2

⇓

[ v  ]2 = [ B2 ]−1 [ L ] [v]

= [ L ]2 [ v ]

(5.15)

y ésta representa el mapeo del vector v sobre base canónica de V , cuya imagen está escrita como coordenadas en base 2 de V  ; y la relación de actualización de [ L ] para efectuar tal cambio es

B

[ L ]2 = [ B2 ]−1 [ L ]

(5.16)

Por último, incorporando la (5.12) y la (5.11) al mismo tiempo a la (5.10) tenemos [ v  ] = [ L ] [ v ]



[ B2 ] [ v  ]2 = [ L ] [ B1 ] [ v ]1



[ v  ]2 = [ B2 ]−1 [ L ] [ B1 ] [ v ]1

= [ L1 ]2 [ v ]1

(5.17)

y ésta representa el mapeo del vector v sobre la base 1 cuya imagen está en base 2 , y la relación de actualización de [ L ] para efectuar tal cambio es

B

B

[ L1 ]2 = [ B2 ]−1 [ L ] [ B1 ]

(5.18)

La figura 5.3 es un pictograma que brinda toda la escena que hemos traba jado y actualiza lo que hemos propuesto. Luego de los ejemplos hacemos una descripción de la misma. Nota 2 . Importante: Conviene recordar que la transformación lineal L es la misma. No ha cambiado. Lo único que ha pasado es que ahora tenemos más posibilidades de expresarla matricialmente.

Ejemplo 5.4.

Para la Transformación Lineal L, halla la matriz asociada respecto

a) de ambas bases canónicas

 | 

b) de

P 2 L (v1 , v2 ) = v 2 + v1 x + (v1 Donde L : R2 2 y la base 1 R = (2, 3), (1, 3) . 

→ B ⊂

{

}

Considerando que la base canónica de P 2 es que la matriz asociada será a )

C

[L] =

  − 0 1 1

− v2) x2

P 2



B 1 y canónica



= 1 , x , x 2 , tenemos

1 0 1




C

V 

V V

v

L

B

C

V 

v

B

K

1

2

V 

V

[L]

[v]

[ v  ]

[ L1 ]

[ B1 ]

[ B2 ]

[ L ]2 [ L1 ]2

[ v ]1

[ v  ]2

Figura 5.3: Cambio de bases (pictograma final) y la matriz de transición de la base B 1 a la canónica es [ B1 ] =

  2 1 3 3

de modo que b ) [L1 ] = [ L ] [ B1 ]

    −   − −     −      − − 0 1 1

=

1 0 1

3 2 1

=

2 1 3 3

3 1 2

y a la TL L la puedes representar matricialmente de dos maneras

L

L

v2

v1 v2

v1 v2

=

v1

v1

v2

3v1 + 3v2

=

1

2v1 + v2 v1

2v2

La primera es con ambas bases canónicas, y la segunda, mediante una base particular en el dominio y la base canónica en el codominio. 




Ejemplo 5.5. Para el ejemplo 5.4 considera que la base 2 2 2 2 = x , 1 + x , 1 + x + x

B



B 2 ⊂ P 2 es



Halla la matriz asociada a la transformación que mapea vectores (escritos sobre base canónica) en polinomios (escritos sobre base 2 ) . 

B

Tenemos la matriz de transición



[ B2 ] =

0 1 1 0 0 1 1 1 1

y lo que queremos averiguar es [L]2



[L]2 = [ B2 ]−1 [ L ]

 −   · −  −  −    − −

=

1 1 0

0 1 1 0 1 0

=

1 1 1

2 1 0

0 1 1

 − 1 0 1

y la misma transformación de siempre, también puede escribirse L

v1 v2

v1 2v2 v1 + v2 v1

=



(5.19)

2



Ejemplo 5.6.

Referido a los ejemplos anteriores, halla la matriz asociada que mapea vectores de R2 (escritos sobre base 1 ) en polinomios de P 2 (escritos sobre base 2 ). 

B

B

Es casi inmediato que [ L1 ]2 = [ B2 ]−1 [ L ] [B1 ] =

=

 −      − −  − −  1 1 0

0 1 1 0 1 0

4 1 2

5 2 1

0 1 1

1 0 1

2 1 3 3

2




Lo cual da a entender que la TL original L : R2 P 2 L (v1 , v2 ) = v 2 + v1 x + (v1

→ |

  −     − −  L

v1 v2

4v1 5v2 v1 + 2v2 2v1 + v2

=

1

L (v) = v  , cuando v está en la base P 2 . 2

B ⊂

v2 ) x2 puede escribirse como

(5.20)

2

B 1 ⊂ R2 y v está escrito en la base



Las situaciones de los tres últimos ejemplos pueden reflejarse en la figura 5.3 y, pueden asociarse a su vez a composiciones de TL. Ten en cuenta que a la izquierda aparece UN vector v de nada más que escrito sobre base canónica —[ v ]— o escrito sobre base 1 —[ v ]1 — y otro tanto sucede a la derecha en el codominio: aparece UN vector v  de  tal que L (v) = v  , nada más que escrito sobre base canónica — [ v  ]— o escrito sobre base 2 —[ v  ]2—, las flechas con puntas abiertas representan las matrices de transición, y las otras representan matrices asociadas.

B

V

V

B

Una TL puede escribirse matricialmente de infinitas maneras, la matriz asociada dependerá de las bases que se tomen en el dominio y en el codominio.

Ejercicio 5.4.

 

Dada una TL L : R2 R2 L (v1 , v2 ) = (3v1 + v2 , v1 2v2), la base B 1 = (1, 1) , ( 1, 1) , y el vector u = (2, 2), a) Analiza los cuatro casos planteados y represéntalo como en la figura 5.3 . b) Representa el vector u y su transformado de las diferentes formas posibles.

{

→ | − }

−

−

5-3.1. Diagonalización: Forma desacoplada Pensemos ahora en la posibilidad de que V  = V y que estemos usando un sólo cambio de base, por tanto 2 = 1 , de este modo la (5.18) se ha de transformar en [ L1 ]2 = [ B1 ]−1 [ L ] [ B1 ] (5.21)

B B

La pregunta obligada es: ¿qué hubiese sucedido si en lugar de una base cualquiera 1 , usáramos una base que tuviera los autovectores de [ L ]?, o mejor ¿los autoversores normales de [ L ]?

B




Sencillamente [ L1 ]2 hubiese sido diagonal [ L1 ]2 = DL = Q −1 [ L ] Q

(5.22)

y lo que hemos logrado es ver a la transformación lineal cuya matriz asociada [ L ] en forma desacoplada4 . ¿Qué significa esto ? Un ejemplo lo aclara mejor.

Desacopla la TL L : R2

Ejemplo 5.7. 

   

→ R2 | L (x, y) = (x + y, x − y).

Puedes probar que se trata de una TL y que su matriz asociada es [L] =

1 1

−

1 1

y sus autovalores y autovectores



λ1 =

√

2, v1 =



√

1+ 2 1

 

√ λ2 = − 2, v2 =



1

− √ 2 1



por tanto sus autoversores ortogonales q 1 =

 √   √ 

1

    −

4+2 2

q 2 =

1

4

Q =

 − √ 

1

2

1

2 2

de manera que la matriz Q es

 √  √

√

1+ 2 1

√ √

√

1+ 2 4+2 2

√ 14−−2√ 2 2 √ 4−12√ 2

1 4+2 2

√

 

y la nueva matriz asociada a la misma transformación lineal L es [LQ ]Q =

 √ √  2 0

0

−

2

Q

de modo que bajo la nueva base

  Q    √  ≈ =

1

4+2 2

1+

     √ √   − √  −   − 2 , 1

1

,

4

1

2 , 1

2 2

(0. 92388 , 0. 38268) , ( 0. 38268 , 0. 92388)

4

Nota que en este caso particular no escribimos [Q]: Sucede que ésta no es una matriz asociada a una transformación lineal como [L], tampoco es la colección de vectores de una base expresada en términos de otra como [ B1 ] : es simplemente Q porque es una matriz de autoversores normales de [ L ] .




la transformación L se define matricialmente como

   √ −√  v

2 0

= Q

0

2

[ v ]Q

(5.23)

o lo que es lo mismo

L

    v1 v2

=

Q

√ 2v 1 √ − 2v2



(5.24) Q

nota la diferencia con la forma original

L

   v1 v2

=

v1 + v2 v1 v2

−



(5.25)

Esta forma desacoplada —mediante el uso de la base de autoversores normales — claramente es más simple que la original —donde hemos usado la base canónica R2 = (1 , 0) , (0 , 1) —.

Q

C



{

}

Tratemos de mejorar la explicación de alguna manera más sencilla: V es tal que su matriz asociada Supongamos que A : V 1 2 . Como hemos visto —en los ejemplos 4.4 y 4.6— [A] = 2 1 , esta matriz tiene los pares autovalor-autovector

→

 

   − 3 , (1, 1) ,

−

1 , ( 1, 1)



de modo que si tomamos como nueva base a (1, 1), ( 1, 1) , será

{

−

}

[ B1 ]−1 [A] [ B1 ] =

  3 0

0 1

−

= [DA ] 1

de modo que si antes habíamo hecho

    1 2 2 1

v1 v2

=

v1 + 2v2 2v1 + v2



para calcular la imagen de v en la base canónica L (v) = v  [A] [ v ] = [ v  ]


B

1

=



ahora haremos L (v) = v  [DA ] [ v ]1 = [ v  ]1

y esto es

     − −    3 0

Comparando gundo caso,

0 1

v1 + 2v2 2v1 + v2

x1 x2

y

=

3x1 x2

−

3x1 x2

1

vemos que en el se-

1

la primera componente del vector transformado depende sólo de la primera componente del vector original, mientras que en el primer caso la primera componente del vector transformado depende de la primera Y de la segunda componente del vector original. Este es el valor de un cambio de base: hacer que las cosas se vean más simples; sin cambiarlas . Con todo, no podemos garantizar que exista la representación desacoplada, ya que la matriz asociada a una transformación lineal que transforma elementos de un espacio de dimensión n en elementos de otro espacio de la misma dimensión, podría tener menos que n autovectores linealmente independientes. Ejercicio 5.5.

Para la transformación del ejercicio 5.4, trata de encontrar una base 1 tal que la transformación pueda verse desacoplada.

B


Capítulo 6 Aplicaciones

Resumen:

Finalmente veremos unas aplicaciones para los temas de esta parte del libro. La primera es la canonización de ecuaciones de segundo grado: una aplicación geométrica que consiste en encontrar la ubicación de los ejes principales de cónicas o cuádricas en posiciones generales respecto de un sistema de coordenadas. Inter- vienen los cambios de base rotación —elección de un nuevo sistema de coordenadas, rotado respec- to del canónico—; y una posterior transformación no lineal de traslación. La ecuación referida a los nuevos ejes son canónicas —del tipo más sencillo posible; como los que se estudian en la parte 2—. La segunda es la presentación de un método para resolver en forma matricial ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes, de cualquier orden; procedimiento que descansa en una diagonalización.

101

Capítulo 6. Aplicaciones

6-1. Vector mediante su matriz de Coordenadas

6-1.. Vector mediante su matriz de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . 6-1

102

6-2.. Secciones Cónicas y superficies 6-2 superficies cuádricas

. . . . . . . . . . . . .

103

6-3.. Canonizac 6-3 Canonización ión de Cónicas Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

6-3.1. 6-3 .1. Rotación de los ejes en el plano . . . . . . . . . . . . . . . 10 108 6-3.2. 6-3 .2. Ubicación del sistema rotado . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 111 6-3.3. 6-3 .3. Traslación de los ejes (Plano)

. . . . . . . . . . . . . . . . 11 112

6-3.4. 6-3 .4. Ubicación del sistema trasladado . . . . . . . . . . . . . . 11 114 6-4.. Resumen 6-4 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

6-4.1. 6-4 .1. Análisis de algunas posibilidades . . . . . . . . . . . . . . 11 119 6-5.. Canonización de 6-5 de cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

6-5.1. 6-5 .1. Rotación de los ejes en el espacio . . . . . . . . . . . . . . 12 122 6-5.2. 6-5 .2. Traslación de los ejes en el espacio . . . . . . . . . . . . . 12 125

Propuesta

La razón por la que incluimos muchos ejercicios en el cuerpo de este texto es para que una vez terminado de resolverlo puedas preguntarte qué y cómo los has hecho, y fundamentalmente: ¿ hay algo genérico que pueda aprovechar a partir del mismo ? Analizar el resultado sultado es más importante importante que resolver bien un ejercicio. ejercicio. A lo largo de la carrera verás que hay otras aplicaciones incluso más más inte intere resa sant nte e que que ésta ésta,, pero pero es perti pertine nent nte e por esta estarr auto auto-r -ref efer erida ida dentro de la misma asignatura con el libro 2.

6-1.. Vector 6-1 ector media mediante nte su matr matriz iz de Coord Coordena enadas das Pensemos en un vector del plano v = (x , y ) dado por sus coordenadas sobre una base, supongamos la canónica [v] =

 x y

(6.1)

La traspuesta de [ v ] será la matriz fila

    

[ v ] =

y el producto matricial será [ v ] [ v ] =

x y

x y

= x 2 + y 2

un escalar !! —o una matriz de 1

(6.2)

x y

(6.3)

× 1—. 102 JOM - Transformaciones Lineales

Capítulo Capítul o 6. Aplica Aplicaciones ciones

6-2. Secciones Cónicas y superficies superficies cuádricas

De un modo similar vemos que si el vector v está en el espacio tridimensional y sus coordenadas sobre un sistema de referencia X Y Z canónico canónico es [v ] =

      x y z

(6.4)



La traspuesta de [ v ] será la matriz fila [ v ] = x y z y el producto matricial será x  [ v ] [ v ] = x y z = x 2 + y 2 + z 2 (6.5) y = x z



es un escalar. escalar. . . pero también también tiene tiene casi todo el aspecto aspecto de la ecuació ecuación n de una esfera –así como la anterior 6.3 anterior 6.3 el el de una circunferencia–.

6-2.. Secci 6-2 Seccione ones s Cónicas Cónicas y superfi superficie cies s cuádric cuádricas as De la mism misma a mane manera ra que que un poli polino nomi mio o de prim primer er grad grado o repr repres esen enta ta un plan plano o o una recta F ( F (x,y,z ) = 0 ,

#F = 1

(6.6)

2 x + 4y 4 y = 3 , z = 1 representa una recta en el espacio y Por ejemplo: 2x 2x + 4y 4y = 3 , z = z representa un plano, un polinomio de segundo grado F ( F (x,y,z ) = 0 ,

#F = 2

(6.7)

representa o una superficie o una figura plana. Por ejemplo x 2 + y2 = 4 , z = z representa representa un cilindro recto, y x 2 + y2 = 4 , z = 3 representa representa una circunferencia circunferencia de radio dos, en el plano (x,y, 3) .

{

}

La ecuación general de segundo grado1 con dos variables es el polinomio que representa representa una una cónica y puede puede escribirse. escribirse. . . a11 x2 + 2a 2a12 xy + xy + a a22y 2 + b1 x + b + b2 y = c = c

(6.8)

Claramente la notación refiere a: los términos cuyos coeficientes son del tipo “a” son términos de segundo grado –tienen doble subíndice–, y los que tienen coeficiente del tipo “b” son términos lineales. “ c” es un escalar. Nota que el término rectangular xy en la (6.8 ( 6.8)) tiene coeficiente par 2a12 por conveniencia nuestra. Ese término representa una rotación de una cónica respecto de los ejes coordenados XY –recuerda que aparece solo cuando el eje de simetría de la parábola (o de cualquier cónica) está rotada respecto del sistema de referencias–. Además ya sabes que los términos lineales (b ( b1x) y (b2 y) representan una traslación de la cónica respecto del sistema de referencia. 1 Puedes

ver en ejemplo 6.7 el 6.7 el caso de la parábola rotada a 45°



6-3. Canonización de Cónicas

La ecuación general de segundo grado con tres variables es el polinomio que representa una cuádrica de posición general respecto de un sistema de coordenadas 2a12 xy + 2 a13 xz + + 2a 2 a23 yz + b + b1x + b + b2 y + b + b3 z = c = c (6.9) a11 x2 + a22 y2 + a33 z 2 + 2a xy + 2a

Nota que los términos rectangulares xy,xz e yz tienen coeficiente 2a 2 a12 , 2a13 y 2a23 por conveniencia nuestra.

6-3.. Canoni 6-3 Canonizac zació ión n de Cónica Cónicas s Expondremos Expondremos nuestros objetivos y luego los pondremos pondremos en práctica. práctica. Convengamos que el sistema original de ejes es el XY —figura 6.2—, 6.2 —, nuestro sistema V , cuya base es la canónica V XY XY :

C

R2

{

= (1, (1, 0), 0), (0, (0, 1)

}

donde vale la ecuación (6.8 ( 6.8)) a 11 x2 + 2a 2a12 xy + xy + a a22 y2 + b1 x + b + b2 y = c , Mediante un cambio de base donde el nuevo sistema V  está rotado respecto del anterior V X   Y  : 1 = (cos θ, sen θ), ( sen θ, cos θ)

B {

−

Cada base está asociada asociada a un sistema de referencias. referencias. 

Y

}

Y 

X

e2 e1

X

Figura 6.1: Cambio de base rotación Por tanto, un punto v del plano tendrá una matriz de coordenadas [ v ] sobre la base canónica canónica y otra matriz de coordenadas coordenadas [ v  ] = [ v ]1 sobre la base 1 . Es decir que [ v ] y [ v  ] son las respectivas matrices de coordenadas de un punto sobre la base canónica y sobre base 1 , y.

B

[v] =

B ⇒ [ v ] =

 x y

  x y

Hemos dicho que con el cambio de base obtendríamos una ecuación a11 (x )2 + a22 (y )2 + b1 (x ) + b + b2 (y  ) = c

donde el término rectangular es cero: la cónica ha ocultado la rotación. Si lo lográramos, es porque hemos podido encontrar un nuevo sistema de referencia paralelo a los ejes principales de la cónica. Observa que c  = c 104 JOM - Transformaciones Lineales

Capítulo Capítul o 6. Aplica Aplicaciones ciones


Y  

Y

y

 

X

v

E 

Y



x 

x 0 

X

y 



y 0

θ

x

X

Figura 6.2: Canonización de cónicas

Luego, mediante la técnica de completar cuadrados sería sencillo encontrar un sistema sistema V  donde tenga validez la ecuación ecuación

a11 (x )2 + a22 (x )2 = c 

que significará una traslación del sistema V  respecto del sistema V  –ahora sí el coeficiente c en general habrá cambiado a c por la acción de completar cuadrados–. Entonces habríamos podido encontrar un sistema de referencia coincidente coincidente con los ejes principales principales de la cónica. En esta última instancia decimos que la ecuación de la cónica está canonizada. Es decir: obtenemos un sistema de referencias respecto de la cual la cónica está en la posición canónica —con centro en el origen para el caso de la elipse, circunferencia e hipérbola, y vértice en el origen, para el caso de la parábola—, parábola—, y por tanto la ecuación ecuación «está bien comportada» comportada» . Un concepto importante es que el lugar geométrico de la cónica no ha cambiado, lo que hemos cambiado nada más es la ecuación de la cónica porque la estamos refiriendo en general a un sistema que ha rotado y se ha desplazado convenientemente .




a11 x2 + 2a 2a12 xy + xy + a a22 y2 + b1 x + b + b2 y = c

⇓

cia

R Rot otac ación ión de Sist Sistema ema de refer referen en--

a11 (x )2 + a22 (y  )2 + b1 (x ) + b + b2 (y  ) = c

rencia

Trasla Traslació ción n de Sistem Sistema a de referefe-

⇓

a1 (x )2 + a2 (y  )2 = c 

Hasta acá nuestro objetivo, no sabemos sabemos aún cómo lo lograremos. lograremos. Volvamos Volvamos a la (6.3), 6.3), pag.102 pag.102

¿Cómo haríamos para que la parte

a11 x2 + 2a 2a12 xy + xy + a a22 y2 deviniera en

a11 x2 + a22 y 2 mediante un cambio de base ?

Es evidente que ha de intervenir una matriz de cambio de base. Repitamos lo que tenemos x [v ] [v ] = x y = x = x 2 + y 2 y

          

Si intercaláramo intercaláramoss la matriz identidad identidad obtendríamos obtendríamos . . . [v ] I [v ] =

1 0 0 1

x y

x = x = x 2 + y 2 y

. . . la idea idea que que le sigue sigue es inme inmedia diata ta [v ] A¯ [v ] =

x y

a11 0 0 a22

x = a = a 11 x2 + a22 y 2 y

(6.10)

ahora sólo sólo nos falta el término término rectangula rectangularr . . . podemos lograrlo lograrlo con la matriz matriz A tal que por ejemplo

  x y

a11 2a12 0 a22

 

x = a = a 11 x2 + a12 xy + xy + a a22 y2 y

Recuerda que hemos propuesto hacer un cambio de base rotación, de manera que el nuevo sistema de referencias sólo esté rotado respecto del original. Entonces los vectores de la nueva base2 deben deben ser normal normales es entre entre sí,. . . es decir: decir: 2 Que

dan la dirección de los ejes del nuevo sistema de referencia.




esa matriz A que hemos de usar, debe admitir autovectores normales entre sí. Una forma de asegurarnos autovectores normales –y matrices diagonalizantes con columnas ortogonales entre sí– es usar una matriz simétrica. La matriz simétrica apropiada para escribir esa cuenta en forma matricial es A =



a11 a12 a12 a22



(6.11)

de modo que [v] A [ v ] = =

 

x y x y

 

a11 a12 a12 a22

   x y

a11 x + a12 y a12 x + a22 y

= a11 x2 + 2a12 xy + a22 y2

o sea que la primera parte de la ecuación general de la cónica 6.8 ya está desarrollada3 . Para trabajar en forma matricial la otra parte de ( 6.8), propongamos una matriz B tal que (6.12) B = b1 b2 entonces podremos escribir B [v] =

     b1 b2

x y

= b1 x + b2 y

por lo que c = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + b1x + b2 y = [v] A [v] + B [v]

(6.13) (6.14)

éstas dos formas de describir la ecuación general de la cónica son las formas escalar y matricial respectivamente.

Ejemplo 6.1.

Escribe en forma matricial la ecuación de la cónica

7x2

− 6√ 3xy + 12√ 3x + 13y2 + 12y + 292 − 64√ 3y + 64x = 16

 3 Y

se conoce también como «forma cuadrática» , como particular forma bilineal. Estas formas son operadores entre un espacio vectorial y un espacio vectorial real.




Lo que corresponde que hagamos es ordenar y elegir —por inspección— las variables

 √   − √     − √   √ − √    − √ − √     √

7x2

− 6√ 3xy + 13y2 +

12 3 + 64 x + 12

64 3 y = 16

− 292 = −276

en donde, y de acuerdo con lo que hemos discutido x y

[v] =

7

3 3

A =

;

3 3

B =

√ 2 − 64 3

12 3 + 64

13



y para comprobarlo, x y

7

3 3

3 3

13

= 7x2

x y

+

12 3 + 64

√ 12 − 64 3

  x y

− 6√ 3xy + 13y2 + 12√ 3x + 64x + 12y − 64√ 3y

consecuentemente con [v] A [v] + B [v] =

−276

quedaría respondida la consigna. 

6-3.1. Rotación de los ejes en el plano El cambio de base que hemos de proponer es el cambio de base 4 de modo que (6.15) [v] = R θ [v  ] donde [v] y [v  ] son el mismo punto referido al sistema original y al sistema rotado respectivamente. Esta expresión puesta en la (6.14) ecuación general matricial de la cónica . . . c = [ v ] A [ v ] + B [ v ]

(6.16a)



= (Rθ [ v  ]) A (Rθ [ v  ]) + B (Rθ [ v  ])



  = [ v  ] R θ A Rθ [ v ] + B Rθ [ v ] = [ v  ]

 D A

[ v  ] + B  [ v  ]

(6.16b)

4

Recordemos la (1.3), en la pág.3. [v] = [B2 ] [v]2 donde [B2 ] es la matriz de coordenadas de la nueva base ( Rθ ) respecto de la base canónica (sistema V ) ; y [v]2 es un vector cualquiera ([v ]) referido al sistema de referencia o base B 2 (sistema V  ).. Finalmente [v] es el mismo vector escrito sobre la base canónica.




donde es evidente que quisiéramos el cumplimiento de DA = R θ A Rθ

porque de esa manera la cónica referida al nuevo sistema de ejes —la nueva base— se vería sin rotación, es decir con la misma estructura que la (6.10). Es decir que el objetivo es un cambio de bases adecuado como para que DA sea diagonal. ¿Cómo encontraremos la matriz R θ que diagonalice A?. Lo que diagonaliza A es su propia matriz de autoversores ortogonales... Y como A la hemos elegido simétrica, esto está asegurado. De acuerdo con la (5.1) –DA = V −1A V – que vale para las diagonalizaciones, ¿Cómo haremos para que R θ = R θ−1 ?. Hay que considerar que R θ es una matriz ortogonal. Debes hacer que los ejes roten solamente5 , vale decir que det (Rθ ) sea igual a 1 y no a 1. Todo se aclara con el ejemplo

−

Ejemplo 6.2.

Realiza un cambio de base rotación para el ejemplo 6.1 anterior.



La ecuación anterior . . . 2

7x

− 6√ 3xy + 13y2 +

 √   12 3 + 64 x +

√ 12 − 64 3



y =

−276

la puedes introducir en una calculadora adecuada y obtener su grafo. . . Y 4 3 2 1

-7

-6

-5

-4

-3

-2

X

-1

y la acabamos de escribir matricialmente haciendo A =



√ 3 3 − − √ 13 7 3 3



;

5

B =



√

12 3 + 64

12

− 64√ 3



Hemos optado por conservar que cualquier sistema de ejes (base) sea «a derechas» , por eso exiges que la nueva base esté solamente rotada; de lo contrario se incorporaría una reflexión adicional, que cambiaría el sentido de algún eje, lo cual te interesa evitar. Esa es la razón por la que mantenemos que Rθ = 1 .

| |




−276 = [ v ]



√ 3 − 3 − √ 13 7 3 3

  [v]+

12

− 64√ 3

 − √  − √ 7

#

√

12 3 + 64 3 3



[v]

,

diagonalicemos A =

3 3

el polinomio característico es

13

πA (λ) = λ2 =

− 20λ + 64 (λ − 4) (λ − 16) = 0

y los autovalores son λ1 = 16 ,

λ2 = 4

por tanto los autovectores son,

 √  ↔ −   1 3

v1 =

16 ,

 √  ↔   3 1

v2 =

y la matriz de rotación

Rθ =

√ 3

1 2

2

−√ 3

1 2

2

4

como el determinante de esta matriz es 1, no intercambiemos v 1 y v 2 , de ese modo

 √  −√  √ √   √ − √   √ √  − − −   1

3

3

1

7

3 3

3 3

13

1 Rθ = 2

de6 manera que DA = 2

=

1

3

3

1

−1

1 2

1

3

3

1

16 0 0 4

cuenta innecesaria, ya que los autovalores de A estarán en DA en el mismo orden en que hemos formado R θ , y en este caso no hemos intercambiado el orden de los autoversores. La matriz B  quedará B  = B Rθ = = 6

1 2





√

12 3 + 64

n

− 64

 

128 24 =

El inexperto se sorprenderá al calcular

12

1 2

3

1

−√ 3

√ 3 1



b1 b2

  −√

|k [A]| = k · |[A]| donde n es la dimensión de A.

  √

1

3

√

3

1

 

= 2

en lugar de 1 , olvidándose que




De esta manera el sistema cambiado de coordenadas es 16(x )2 + 4(y  )2 + 128 x + 24 y =

−276

y ya está. 

Con ello hemos eliminado el término rectangular. En términos de nuestro problema, hemos calculado todo lo necesario para caracterizar el sistema de referencias rotado V  . El paso siguiente es explicitarlo.

6-3.2. Ubicación del sistema rotado Necesitamos explicitar el sistema de referencia V  —dado por los ejes X  Y  — que han rotado respecto del sistema original V dado por los ejes X Y . Y continuaremos haciéndolo desarrollando el mismo ejemplo.

−

Ejemplo 6.3.

−

La discusión ahora se centrará en los nuevos ejes X  Y 



Describiremos dos formas de encontrarlos: una forma consiste en conocer —aproximadamente en el caso general,

pero exacto en este caso— el ángulo definido por R θ Rθ =

1 2



1

−√ 3

√ 3 1

 =

cos(θ) sin(θ)

− sin(θ) cos (θ)



(6.17)

de ahí que el ángulo de rotación es θ = tan−1

−√  ≈ − 3

60◦

(6.18)

o sea que el nuevo sistema V  estará rotado 60◦ respecto del sistema7 original V . Sin embargo este método no funcionará en el espacio (con las cuádricas), por lo que es mejor...

−

La otra forma. Consiste directamente en aprovechar la relación cambio

de base (revisa la primera nota al pié en la sección 6-3.1) v [v]

C

Rθ

[ v ]1 = [ v  ]

B 1



[ v ] = R θ v 

= R θ [ v ]1 7 Un

error frecuente en los principiantes es atribuir el giro en sentido contrario al que marca la relación v = R θ v




que habíamos impuesto y razonar así: el versor I  correspondiente al eje X  de la base 1 , se escribe –v es en particular I  en este momento–

B

  I 

= 1

1 0

1

respecto de la base de V  ; pero se escribirá respecto de la base — canónica— del sistema V original como

    √  ≈   I  = R θ =

1 2

I 

1

1

−

= Rθ

1 0

1

0. 50000

3

−0. 86603

y ahí ubicamos el eje X  respecto del sistema X Y (8 ). El eje Y  estará correctamente ubicado a 90 ◦ a la derecha de X  , ya que el cambio de base elegido fue una rotación pura, sin reflexión. En otras palabras: la matriz Rθ es la matriz de las coordenadas de los vectores de la nueva base, escritos sobre la base canónica, que es el sistema de referencias original !!. 

Como conclusión diremos que la matriz de rotación Rθ tiene toda la información para trazar los nuevos ejes del sistema de referencia V  respecto del sistema de referencia original V . Para que este nuevo sistema sea dextrógiro, ˇ  . . . — el determinante de R θ debe ser 1 . Cuando uses la matriz —I ˇ J ˇ = K con los autovectores en lugar de los autoversores, la restricción se convierte en Rθ > 0, que de no cumplirse debes intercambiar un par de autovectores —y correspondientemente los autovalores asociados—, o multiplicar un auto vector por 1. Esto es válido para matrices cuadradas de cualquier dimensión.

×

| |

−

Los ejes del sistema de referencias rotado tienen las direcciones respecto del sistema original, en las columnas de R θ , y ésta es ortogonal: sus columnas son versores normales entre sí.

6-3.3. Traslación de los ejes (Plano) Una vez que tenemos rotado la ecuación general, la ecuación respecto del sistema V  queda a 11 (x )2 + a22 (y )2 + b1 (x ) + b2 (y  ) = c , en la que agrupando y 8 Lógicamente

Rθ tiene en sus columnas los versores de los nuevos ejes rotados escritos sobre la base original, así que esta cuenta es superflua, la mostramos con fines didácticos.




extrayendo factor común tenemos c = a 

11

 

  −



(x )2 + 2b1(x ) + a22 (y  )2 + 2b2 (y  ) 2

= a 11 (x )2 + 2b1 (x ) + b1 + a

22

de donde



2

a11 b1 +

−

2 (y  )2 + 2b2 (y ) + b 2

     

a11 x + b1

2

+ a22 x + b2

2

bi donde bi =  2ai

2

a22 b2 2

2

= c + a11b1 + a22 b2 = c 

efectuando el cambio de coordenadas

x = x  +

b1 2a11

y = y  +

b2 2a22

(6.19)


v  = v  + v0

tenemos la ecuación de la cónica está canonizada 2

a11 (x )2 + a22 (y  ) = c 

 

x 2 y 2 donde a i = + =1   a1 a2 El ejemplo siguiente puede servir para clarificarlo.

Ejemplo 6.4.



c /aii

(6.20)

Continua con la canonización de la ecuación del ejemplo 6.3 ante-

rior. 

teníamos 16(x )2 + 4(y  )2 + 128 x + 24 y =

o

entonces

−276

−276 = 16(x)2 + 128 x + 4(y)2 + 24 y = 16 (x )2 + 2 · 4x + 16 − 162 + 4 (y  )2 + 2 · 3y  + 9 − 36 2 2 = 16 x + 4 + 4 y + 3 − 292

             

16 x + 4

2

+ 4 y  + 3

2

= 16

y finalmente, haciendo v  = v  + (4, 3) 1  2 2 x + y =1 4 es una elipse de semiejes de longitud 1 y 2 respecto de los ejes X  e Y  




6-3.4. Ubicación del sistema trasladado Seguimos desarrollando la teoría con el mismo ejemplo...

Ejemplo 6.5.

Haz un bosquejo de la ubicación del sistema V  respecto del

sistema V  

Para encontrar el sistema V  trasladado en función del sistema V  lo único que debemos hacer es ver dónde está el origen del sistema V  respecto del sistema V  , ya que solo hay una traslación Y 

Y 

3

θ

θ

 

X 

x = x  + 4 y  = y  + 3

X 

4

nota el sentido de v 0 . De ese modo el centro de la elipse θ  o el origen de V  X  Y  está en el punto ( 4, 3) del sistema X  Y  . Podemos reunir entonces las dos ubicaciones de los cambios de sistema de referencia que hemos realizado: La rotación Rθ

≡

− −

Y Y  1 Rθ = 2 X

θ ≡ θ



1 3

−√

√ 3 1



X 

La traslación v 0 Y 

Y

θ

Y 

θ

 

X

X  x = x  + 4 y = y  + 3

X 

y finalmente el grafo de la cónica canonizada




Y 

Y

θ

θ

X

X 



Ejercicio 6.1.

Verifica que si hubieses intercalado los autovalores, la ecua- ción hubiera sido

1  2 (x ) + (y  )2 = 1 2 2 pero los ejes también se hubieran intercambiado, y el grafo hubiese sido el mismo. Ejercicio 6.2. Canoniza 4x2 + Ejercicio 6.3.

√ 3 xy + 5y

2

+ 4x = 8. Grafica

¿Qué representan los autoversores de la matriz de los coeficientes A ?

Ejemplo 6.6. 

·

Canoniza la ecuación 2x y = 1.

     − −   −  

0 1 y B = [ 0 0 ], los pares autovalor1 0 autovector de A son 1, (x, x) , 1, ( x, x) , de donde la matriz de 1 1 1 cambio de base rotación es R = √ 2 1 1 1 0 Por tanto D A = con lo que 0 1

En este caso tenemos que A =

−

x2

− y2 = 1

que no es más que la hipérbola y = 21x . Para identificar los ejes rotados, nada más tienes que verificar que el autovalor 1 —cuyo autovector asociado es (1, 1) está marcando la dirección del eje X  — ha quedado ligado a la variable x  .




Y

X



Y

X

como puedes ver, con las circunferencias de radio 1,2 y 3. 

− 2x y + y2 − 4x − 12y = −4 .  1 −1 En este caso tenemos que A = −1 1 y B = [ −4 − 12 ], los pares autovalor-autovector de A son 2, (x, −x) , 0, (x, x) , de donde la ma-

Ejemplo 6.7.

Canoniza la ecuación x 2

      

triz de cambio de base rotación es R = Por tanto D A =

2x2 +

  2 0 0 0

x +

2

1 1 1 1

− 1 y B  = B R = √ [ 8 − 16 ] con lo que 2

16  √ 82 x − √ y = −4 2 2 8 x2 + 2 √ x = √ y − 2 √ 2  √ 2  2  x + 2 2x = 4 2y − 2  √ 2 √ 

 

√ 12

d.m.m por 2 y trabajando solo con x  . . . o lo que es lo mismo. . . completando cuadrados. . .

= 4 2y

finalmente tenemos la parábola y  =

x2 . 4 2

√




Y

 

Y



Y

X



  

−

2, (x, x) , 0, (x, x) X 1 1 1 R = √ 2 1 1 como puedes ver, con las circunferencias de radio 1,2 y 3. Tenemos aún una palabra para verificar el vértice de la parábola: Respecto del sistema de referencias X  Y  el vértice es [V e ]1 = 2 , se escribirá en la base canónica como [V e ] = R[V e ]1 , en este 0 X  Y  caso  

−

 −√ 

√   −    − √

1 [V e ]0 = 2

−

1 1 1 1

2 0

=

1 1

XY

Como puedes observar en la figura. Intercambio de ejes

Veamos qué sucede cuando tomamos la matriz R con otro orden: en este caso los pares autovalor-autovector de A son 0, (x, x) , 2, ( x, x) , de 1 1 1 donde la matriz de cambio de base rotación es R 1 = √ 2 1 1 0 0 1 Por tanto D A1 = y B 1 = B R1 = √ [ 16 8 ] con lo que 2 0 2

   −   −

 

2y 2

−

16  8 − √ y − √ x = −4 2 2 √ √ y2 − 2 · 2y = 4 2x − 2 √ 2 √ y  − 2 = 4 2x

−

d.m.m por 2 y trabajando solo con x  . . . completando cuadrados. . .

 

y 2 , aparentemente distinto al re= 4 2 sultado al que habíamos arribado anteriormente. Sin embargo falta bosquejar el nuevo sistema de referencias donde el autovalor 2, está conectado con la dirección Y  , ( 1, 1), con lo cual, tenemos la figura;

finalmente tenemos la parábola x

−


√


6-4. Resumen

X

 

Y



X

Y

 

X

  

− −



0, (x, x) , 2, ( x, x) 1 1 1 R1 = √ 2 1 1 donde claramente se ve que el lugar geométrico es el mismo, pero lo que cambia es el sistema de referencias y por tanto su ecuación respecto de ellas. 

6-4. Resumen Lo que hemos hecho hasta acá son pocas acciones, pero hay que tenerlas muy en cuenta: 1. Hemos escrito la ecuación general de segundo grado en forma matricial a ) Para la matriz [A] hemos considerado una matriz simétrica, para asegurarnos de que sea posible encontrar autovectores normales entre sí. b ) Necesitamos autovectores normales entre sí porque al hacer el cam-

bio de base, esos autovectores marcarán la dirección de la nueva base, que por comodidad elegimos que solamente esté rotada respecto de la base canónica original ( XY ) 2. Procedemos a hacer el cambio de base [v] = [Rθ ] [v  ], a ) [Rθ ] es la matriz de transición de la nueva base respecto de la canónica, y lleva en sus columnas los autoversores de la matriz [A]

·

b ) Lo que tiene importancia para nosotros es que se trata de una rota-

ción pura, con lo que el determinante de [Rθ ] debe ser 1 —o lo que es lo mismo, el determinante de [V ] la matriz de autovectores debe ser mayor que cero— c ) Los autovectores asociados a cada autovalor, en el orden que se ha

formado [V ] o [Rθ ] —cuyas columnas son las de [V ] divididas por cada módulo— decidirán cuál de ellos es coeficiente de qué variable, y el autovector respectivo decidirá la dirección del nuevo eje. 118 JOM - Transformaciones Lineales


6-5. Canonización de cuádricas

3. Luego del cambio de base nos resta hacer una traslación de los nue vos ejes, lo cual logramos simplemente completando cuadrados. —ten en cuenta las «buenas costumbres» de dejar primero polinomios mónicos, y luego balancear correctamente la ecuación— 4. Finalmente tendremos la ecuación general referida a un sistema de referencia —X  Y  — de tal manera que su origen coincida con el centro —de la elipse o de la hipérbola—, o con el vértice —de la parábola—.

6-4.1. Análisis de algunas posibilidades Hemos visto que el cambio de base adecuado nos lleva a una matriz DA donde se ven los autovalores de [A]. Supongamos que ellos fueran λ1 y λ2 . Analicemos los casos posibles. Supondremos que c es el término independiente que queda luego de realizada la traslación —es decir λ 1 (x x0 )2 + λ2 (y y0)2 = c  — Tendremos entonces una elipse con eje focal Y  λ1 > λ2 > 0 y c  > 0 —si λ 2 > λ1 > 0 , el eje focal sería X  —.

−

•

•λ •λ •λ •λ •λ

−

1

> λ2 > 0 y c  < 0

No tendríamos lugar geométrico.

2

< λ1 < 0 y c  < 0

De nuevo tendremos una elipse, podemos dividir todo por 1.

−

1

> 0 > λ2 y c  > 0

Tendremos una hipérbola con eje focal X 

1

> 0 > λ2 y c  < 0

Tendremos una hipérbola con eje focal Y 

1

> 0 > λ2 y c  = 0

Tendremos un par de rectas. λ1 (y y0 ) = (x x0 ) λ2

2

|λ |(x − x ) − |λ |(y − y ) 1

•λ •λ •λ

0

1

> λ2 > 0 y c  = 0

1

> λ2 = 0 y c  = 0

2

0

2

=0

⇒

−

 ± | |

| | −

Tendremos solamente el punto (x0 , y0 ) Tendremos una recta (x0, y)

{

 1 > λ2 = 0 y c > 0

Tendremos dos rectas: y = x 0

¿Porqué no hemos considerado λ 1 = λ 2?

}

 ±

c λ1

6-5. Canonización de cuádricas Repetiremos los mismos conceptos y tomaremos las misma decisiones que las que hemos transitado en la sección anterior. La ecuación general de segundo grado con tres variables es el polinomio (6.5) que repetimos: a11 x2 + a22 y2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + b1 x + b2y + b3 z = c (6.21)




donde los términos rectangulares xy,xz e yz tienen coeficientes par por con veniencia nuestra. Ellos representarán un cambio de base rotación pura, en este caso dada por una composición de tres rotaciones alrededor de los ejes en el espacio. Sea el sistema V original de ejes XYZ donde vale la ecuación (6.9), mediante un cambio de base rotación obtendremos el sistema V  donde vale la ecuación (6.22) a11 (x )2 + a22 (y  )2 + a33 (z  )2 + b1 x + b2 y + b3 z  = c Solamente nos resta completar cuadrados para encontrar un sistema V  donde tenga validez la ecuación 2

a11 (x )2 + a22 (y )2 + a33 (z  ) = c 

(6.23)

Así, la ecuación de la cuádrica está canonizada, y probablemente ya puedas escribir (x )2 (y )2 (z  )2 (6.24) =1 (a )2 (b )2 (c )2

±

±

±

con los signos que correspondan. El lugar geométrico de la cuádrica no ha cambiado, las variables la refieren a un sistema que ha rotado y se ha desplazado convenientemente . La primera parte de la (6.21), a11 x2 + a22 y2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz

la expresaremos en forma matricial, y propondremos un cambio de bases con los autovectores de la matriz en cuestión, que como la formaremos simétrica siempre serán tres linealmente independientes y normales entre sí. La matriz simétrica apropiada para escribir esa cuenta en forma matricial la podemos armar mnemotécnicamente

x y z

x a11 a12

y a12 a22

z completando... A =

a33



a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33



(6.25)

de modo que [ v ] A [ v ] =

=

 

x y z

x y z

   

a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33

    x y z

a11 x + a12 y + a13z a12 x + a22 y + a23z a13 x + a23 y + a33z

= a11 x2 + a22 y2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz




o sea que la primera parte de la ecuación general de la cuádrica ( 6.9) ya está desarrollada con A . La otra parte es muy simple, si empleáramos una matriz B tal que

 

B=

podríamos hacer9 B [v] =

b1 b2 b3

b1 b2 b3

   

(6.26)

x y z

= b1 x + b2 y + b3 z

por lo que c = a11 x2 + a22 y2 + a33 z 2 + 2a12 xy +

(6.27)

+2a13 xz + 2a23 yz + b1 x + b2 y + b3 z = [ v ] A [ v ] + B [ v ]

(6.28)

ambas dos representan la misma cuádrica. La versión matricial se adapta a nuestros propósitos.

Ejemplo 6.8.

Escribe en forma matricial la ecuación de segundo grado. . .

√ −784 = 1943x2 + 861y2 + 2972z2 − 58 3 xy + 1628xz− − 884√ 3 yz − 1800√ 3 + 3568√ 2 x+ √ √ √ √ + 1800 − 2096 2 3 y + 736 2 − 3600 3 z







 





La ecuación ya se encuentra correctamente ordenada, entonces las matrices son [v] = A =

   √ − √ √  − − √ −  − √ − √ √ √   √ − − √  

x y z 1943 29 3 814

29 3 861 442 3

1800 3

B =

1800

podido haber propuesto B =

no nos ha interesado.

  b1 b2 b3




2096 2 3

736 2

9 Hemos

3568 2

814 442 3 2972

3600 3

, de modo que [ v ] B = b1 x + b2 y + b3 z , pero



lo cual puedes comprobar Para responder la consigna establecemos que [ v ] A [ v ] + B [ v ] =

−784

(6.29)



6-5.1. Rotación de los ejes en el espacio El cambio de base que venimos proponiendo es [ v ] = R θ [v  ]

(6.30)

que en este caso puede ser cualquier combinación R θ = R X RY RZ , o RZ RY RX ,o hay 3! = 6 combinaciones posibles; que puesta en la ecuación general vectorial y trabajando como en las (6.16a) y (6.16b)

···

c = [ v ] A [ v ] + B [ v ]

 D [v  ] + B  [v ] A donde DA = R  A Rθ , = [v  ]

θ

B  = B Rθ

Desde aquí todo es similar al procedimiento que hemos contemplado para las cónicas, en particular el hecho de que la nueva base 1 son los vectores dados por las columnas de R θ .

B

Recordemos que hay que hacer que los ejes roten solamente, vale decir que det(Rθ ) sea igual a 1 y no a 1. Si Rθ = 1 hemos de intercambiar dos auto versores —y consecuentemente sus autovalores en la matriz diagonalizada—, o hemos de multiplicar un autoversor por 1 –dejando los autovalores en la matriz diagonalizada intactos—. Todo se aclara con el ejemplo siguiente.

−

Ejemplo 6.9.

| | − −

Realiza el cambio de base rotación para el ejemplo 6.8.



La ecuación anterior ha sido

−784 = 1943x2 + 861y2 + 2972z2 − 58√ 3 xy + 1628xz− − 884√ 3 yz − 1800√ 3 + 3568√ 2 x+ √ √ √ √ + 1800 − 2096 2 3 y + 736 2 − 3600 3 z





 








y sus matrices A =

 √ − √ √  − − √ −  − √ − √ √ √   √ − − √  1943 29 3 814

29 3 861 442 3

1800 3

B =

1800



3568 2

2096 2 3

736 2

#

814 442 3 2972

3600 3

diagonalicemos A

el polinomio característico es πA (λ) = λ 3

− 5776λ2 + 8755200λ − 3317760000 = 0

y los autovalores son λ1 = 3600

λ2 = 1600

λ3 = 576

por tanto los autovectores son,

 −√   − √ 

v1 =

v2 =

1

3

1

2 3

2 3

y la matriz de rotación R θ será 1 Rθ = 8

 √   − √  5 3

3

 √   −−  1

v3 =

3

3 3 2

 − √ √ √ √ √  − √ √ √ − − − 2 3 2 4 3

5 2 6 2 2

2 3 6 2 2

como el determinante de esta matriz es 1, no intercambiemos v1 y v2 , ni v2 con v 3 , de manera que, si las cuentas están bien, no tendremos problemas en llegar a que 3600 0 0 (6.31) DA = 0 1600 0 0 0 576





porque no hemos intercambiado los autoversores. #

Encontremos B 

La matriz B  quedará B  = B Rθ =

#



7200

−6400

3456



Reemplacemos la ecuación original

la ecuación bajo el sistema de coordenadas rotado es 3600(x )2 + 1600(y )2 + 576(z  )2 + 7200 x

Hemos eliminado el término rectangular


− 6400 y + 3456z = −784


#


Ubiquemos el sistema V  respecto del sistema V

Aprovechemos la relación



[ v ] = Rθ v 



[ v ]V = Rθ [ v ]V 

≡ [ v ] = R

θ

[ v ]1

que habíamos propuesto y razonemos así: 10 el versor I  correspondiente al eje X  de la base V  se escribe

     − √   − I  =

1 0 0

= [I ]1

1

respecto de la base V  ; pero se escribirá en la base V original como 1 0 0

[I ] = R θ [I ]1 = R θ

=

1 8

2 3 2 4 3

1

0. 43301 0. 25 0. 86603

≈ √ − −



es la primera columna de la matriz de cambio de base rotación; y ahí ubicas el eje X  respecto del sistema XY Z (11). El eje Y  estará ubicado haciendo el mismo trabajo para J  —la segunda columna de Rθ —, y similarmente ubicas el tercer eje. La terna será dextrógira si has tenido la precaución de que el determinante de R θ fuera 1 y no 1. Z

−

Y Z 

X

X 

Y 

La figura ilustra cómo quedan los ejes del sistema de referencias rotado. 

Ejemplo 6.10.

Discute la posibilidad de encontrar autovectores normales en el espacio R3 .

10 Recordemos

que es un cambio de base, no una transformación. Rθ tiene en sus columnas los versores de los nuevos ejes rotados escritos sobre la base original, así que esta cuenta es superflua. 11 lógicamente






Una alternativa es encontrar dos autovectores y calcular el restante mediante producto cruz. Esto está asegurado, porque trabajamos con matrices simétricas.

v1

× v2 =

   √   − √   √  I

−√ 3

J

1 4

4

−2√ 3

K 1 8

=

y ya está.

4

4 3 2 3 4 3

2

3 8

6

− 14

2

   √   − √  √

√ 3 √ 6 1 √ 6 √ − √ 3 6 5 3 4 3

2

=

1 8

3 6

−4

= v 3

2



6-5.2. Traslación de los ejes en el espacio La ecuación general para el sistema de referencias rotado X  Y  , será a11 (x )2 + a22 (y  )2 + a33 (z  )2 + b1 x + b2 y  + b3 z  = c

en la que agrupando y sacando factor común puedes escribir 2

2

2

a11 (x + x0 ) + a22 (y  + y0) + a33 (z  + z 0 ) = c 

x0 =

b1 2a11

,

y0 =

b2 2a22

,

z 0 =

donde

b3 2a33

c = c + a11 x20 + a22 y02 + a33 z 02

y efectuando el cambio de coordenadas


 

x = x  + x0

(6.32a)

y  = y  + y0 z  = z  + z 0

v  = v  + v0

(6.32b)

tenemos que la cónica está «casi» canonizada a1 (x )2 + a2 (y )2 + a3 (y  )2 = c 


(6.33a)



y luego dividiendo por c = 0 —puede no darse, y habrá que estudiarlo— y acomodando, en general podrás escribir. . .



1=

±

(x )2 (a1 )2

±

(y  )2 (a2 )2

±

(z  )2 (a3 )2

(6.33b)

donde respectivamente a1 =

         c a 1

c a 2

, a2 =

, a3 =

c a 3

Que no siempre habrá de representar una cuádrica con centro, porque de existir uno o más autovalores iguales a cero, no hubiésemos tenido algún término cuadrático y con ello aparecerían los paraboloides. Además, si en la (6.33a) se diera que c  = 0, tendríamos un cono –dos signos iguales para a i – o un punto en el espacio –los tres signos iguales– El ejemplo lo pone más claro todo en el caso c  = 0.



Ejemplo 6.11.

Continúa con la canonización del ejercicio 6.9 anterior



#

Completemos cuadrados perfectos

−784 = 3600(x)2 + 7200x + 1600(y )2 − 6400 y + 576(z)2 + 3456z  = 3600 (x )2 + 2 x 1 + 1 − 1 + + 1600 (y )2 − 2 y 2 + 4 − 4 + + 576 (z  )2 + 2z  3 + 9 − 9 2 2 2 = 3600 x + 1 + 1600 y − 2 + 576 z  + 3 − 15184 es decir:

             −    

3600 x + 1

2

+ 1600 y 

2

2

+ 576 z  + 3

3600(x )2 + 1600 y 

y finalmente

2

2

= 14400

+ 576(z  )2 = 14400

(x + 1) 2 (y 2)2 (z  + 3) 2 + + 22 32 52

−

= 1

# Canonicemos Entonces, el problema está resuelto en parte si escribiéramos x 2 y  2 z  2 + 2 + 2 =1 22 3 5

#

(6.34)

Ubiquemos el sistema V  respecto del sistema V 




debemos ver dónde está el origen del sistema V  respecto del sistema V  , ya que solo hay una traslación

de ese modo el

 

x = x  + 1 y  = y  2 z  = z  + 3

(6.35)

−

      −  −  − 0 0 0

0 0 0 1 2 3

=

V 

X  Y  Z  está en el punto

1 2 3

+

V 

de modo que el origen de

V 

del sistema X  Y  Z  .

V 

# Repaso la secuencia de cambios de coordenadas sigue este patrón 1- Dibuja el sistema de coordenadas V —XY Z dextrógiro— 2- Representa los ejes del Sistema V  —X  Y  Z  — con los ejes dados por

las columnas de Rθ respecto del sistema V 3- Representa los ejes del sistema V  que es la traslación V  respecto del sistema V 

−v0 del sistema

4- Dibuja el grafo de la cuádrica canonizada.

Z

X 

Z 

Y  Y

Z 

X

X 

Y 

En la figura de arriba, hemos trabajado hasta el paso 3, con la esperanza en que te sea sencillo representar en él el elipsoide. 

Ejercicio 6.4.

Vuelve a trabajar con el ejemplo 6.8 , tomando los autovalores en un orden diferente. Ayuda: Por esta vez, y como el ejercicio está numéricamente mal condicionado, parte de la ecuación aproximada

−78400

= 194300x2 + 86100y 2 + 297200z 2 +

−10046xy + 162800xz − 153110yz − −816360x − 333410y − 519450z

y trabaja con decimales en la calculadora Ejercicio 6.5. Canoniza (a)- 5x2 + 5y 2 + 8xy + 4xz + 4yz + 2z 2 = 1




(b)- dada por A =

 − − 

1 2 0 2

2 3 0 0

−

0 0 5 1

−2 0 −1 6

   y B =

2 1

−4

0



(Ayuda: la forma cuadrática puede tener más variables, en este caso puede hacer v  = x y z q o mejor v  = x1 x2 x3 x4 Ejercicio 6.6.







En el ejercicio 6.5, ítem (a), ¿Qué hubiese sucedido en caso que dos términos cuadráticos fueran iguales y el otro fuera cero? (Ayuda: analízalo teniendo en cuenta las posibilidades respec- to de los autovalores que puedas encontrar en la matriz A )

Hasta ahora hemos trabajado con matrices de dimensión 2 2 y 3 3, porque el tipo de aplicación lo requería, asimismo esas matrices eran simétricas. Sin embargo, ¿qué pasaría si nos interesara individualizar las raíces de los polinomios característicos de una matriz de dimensiones superiores? Y en la carrera de ingeniería —sobretodo las que están orientadas al control de sistemas dinámicos—, aparecerán con seguridad.

×

×

La pregunta es: ¿Cómo se encuentran los autovalores para matrices de cualquier orden ? En el apéndice —D-3.0.2— hemos desarrollado un algoritmo basado en el método de Newton para encontrar las raíces del polinomio característico de una matriz simétrica de 3 3, pero también encuentras —sección D-3— el método aludido para hacerlo en forma genérica.

×


Apéndice A Mapeos de trayectorias en el plano A-1.Circunferencia y cuadrado unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

A-1.1. Ejemplos con transformaciones lineales . . . . . . . . . . 130 A-1.2. Con transformaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . 133

Cuando se trata de transformaciones en el plano —funciones entre conjuntos subyacentes de espacios vectoriales T : R 2 R 2 que comparten el mismo cuerpo de escalares R—, quisiéramos no solamente conocer los transformados de un vector, sino que de trayectorias. En este apéndice ahondamos en este detalle, aplicando transformaciones lineales y no lineales

→

Las trayectorias más comunes que incluso se utilizan para reconocer el efecto de la ley de transformación sobre los vectores del plano son el cuadrado unitario y la circunferencia unitaria, y será cuestión de revisar cómo modelizamos esas trayectorias, para poder someterlas a las transformaciones y luego identificar las trayectorias mapeadas.

A-1. Circunferencia y cuadrado unitarios Como hemos visto en la sección de modelización de caminos en R2 , en la (1-4), el cuadrado unitario lo puedes escribir . . . en forma desparametrizada o en forma paramétrica

cu =

 

(k, 0) (1, k) (k, 1) (0, k)

, , , ,

k k k k

: 0  1 : 0  1 : 1  0 : 1  0

(A.1)

129

cu =

 

(k, 0) (1, k 1) (3 k, 1) (0, 4 k)

− − −

, , , ,

∈ [0, 1] ∈ [1, 2] ∈ [2, 3] ∈ [3, 4]

k k k k

(A.2)

Apéndice A. Mapeos de trayectorias en el plano

A-1. Circunferencia y cuadrado unitarios

y para la circunferencia unitaria ou = (cos k, sen k) =

=

 

,

∈ [0, 2π]

k

(A.3)

√ − x ) , x : 1  −1 √ (x, − 1 − x ) , x : −1  1 √ (1 − 2k, 2 k − k ) , k ∈ [0, 1] √ (2k − 3, −2 −2 + 3k − k ) , k ∈ [1, 2] (x, 1

2

(A.4)

2

2

(A.5)

2

Analizando las cinco ecuaciones anteriores, las más simples —desde el punto de vista de las cuentas para realizar la transformación— son claramente la ec.( A.1) y la ec.( A.3) respectivamente. En general el proceso de mapeado —hallar el transformado de una trayectoria— y el proceso de parametrización son antagónicos: cuando uno se facilita, el otro se complica. En general a pesar de su posible complicación inicial, vale la pena hacerlo todo en la forma paramétrica. Con las transformaciones no lineales es particularmente difícil hacerlo, ya sea de una u otra manera; así que en ese caso mejor es conseguirse un software —como Geogebra— y trabajar en forma parametrizada. A continuación nos abocaremos a mapear ambas trayectorias mediante transformaciones lineales y no lineales.

A-1.1. Ejemplos con transformaciones lineales Recuerda que hallar el transformado de (1, 1) según la transformación con ley L 1 ((a, b)) = (a + b, a b), sería

−

L1 ((1, 1)) = (1 + 1, 1

− 1) = (2, 0)

pero nos interesa calcular no con solamente un punto sino que con una tra yectoria de puntos como el cuadrado unitario. Para eso necesitamos escribir la trayectoria a transformar como si fuera un vector. . . Forma desparametrizada

Forma parametrizada

A partir de la ec.( A.1)

A partir de la ec.( A.2)

L1 (cu ) =

  

(k, k)

, 0  1

− k) (k + 1, k − 1) (k, −k)

, 0  1

(1 + k, 1

  −  −− −− (k, k)

=

, 1  0 , 1  0 (A.6)

(k, 2

∈ [0, 1] , k ∈ [1, 2] = c  , k ∈ [2, 3] , k ∈ [3, 4] ,k

k)

(4

k, 2

k)

(4

k, k

4)

u

(A.7)

Nota que puedes llegar a la ( A.7) parametrizando la ( A.6). Nos falta la desparametrización total, escribiendo una coordenada en función de la otra. 130 JOM - Transformaciones Lineales



Lo podemos hacer a partir de cualesquiera de las formas, así que tomamos la primera. . . (k, k), con k : 0  1 inmediatamente es (x, x), con x : 0  1 y en forma explícita y = x , 0 x 1

•

≤ ≤

• Para el segundo tramo, hacemos x = 1 + k , x : 1  2 e y = 1 − k, con lo que k = x − 1 e y = 2 − x y en forma explícita y =2−x, 1 ≤ x≤ 2 • Seguimos haciendo x = k+1 , x : 2  1 de donde k = x −1 que en y = k − 1 es, explícitamente y = x − 2 , 2  1 • finalmente el último tramo es sencillamente y = −x , x : 1  0

En definitiva, el cuadrado unitario y su transformado se muestran en la figura A.1

Y

Y

2

2

1

(0, 0) (1, 0) (1, 1) (0, 1)

1 1

2 X

1

-1

 → → → →

2

(0, 0) (1, 1) (2, 1) (1, 1)

−

X

-1

Figura A.1: Mapeo lineal de L 1 (cu ) En el caso de la misma transformación, pero transformando la circunferencia unitaria en lugar del cuadrado unitario, tenemos L(ou ) = L ((cos k, sen k)) = (cos k + sen k, cos k = o u

− sen k)

∈ [0, 2π]

k

(A.8)

Y, para recuperar una ecuación —desparametrizar— por lo menos implícita, a partir de las coordenadas x = cos k + sen k, e y = cos k sen k , puedes elevar ambos al cuadrado

−

x2 = cos2 k + sen2 k + 2 sen k cos k ,

y2 = cos2 k + sen2 k

− 2sen k cos k

y sumar; finalmente llegas a la ecuación de otra circunferencia, x2 + y 2 = 2 131 JOM - Transformaciones Lineales


de radio


√ 2 ( ). a

a

En general un mapeo lineal de la circunferencia unitaria nos dará elipses. Pruébalo con la transformación lineal L 2 ((a, b)) = (a + b, 2a 2b), obtendrás una elipse con ejes 1 y 2.

−

Y ( √ 1 , √ 1 ) → (√ 2, 0) 2 2

Y

1.5

1 0.5

X 0.5

-0.5

X

1.5

-1

1

2

-1

Figura A.2: El mismo mapeo lineal de L 1 (ou )

Ejemplo A.1. Para la TL L2 ( (x, y) ) = (x+y, x 2y), mapea el cuadradito unitario.

−



el cuadradito unitario se mapea en

L2 (C u ) =

  

(k, k)

, 0  1

(k + 1, 1

− 2k)

(k + 1, k + 2) (k, 2k)

−

, 0  1 , 1  0 , 1  0

  ≡ −− −  − −  − ≡  −− (k, k) (k, 3 (4 (4

, [0, 1]

2k)

k, 1 k, 8

, [1, 2] k) , [2, 3] 2k) , [3, 4]

y = x

, x : 0  1

y = 3 y = x

2x , x : 1  2 3 , x : 2  1

y =

2x

, x : 1  0

Veamos el mapeo de la c. unitaria y su «desparametrización» : (cos(k), sen(k))

 → 

cos(k) + sen(k) , cos(k)



− 2sen(k)

x = cos(k) + sen(k) y = cos(k)

x (x

− y = 3sen(k) y

o sea

− 2sen(k)

de donde

2x + y = 3cos(k)

− y)2 + (2x + y)2 = 9(sen2(k) + cos2(k)) = 9

de donde 5x2 + 2y 2 + 2xy = 9

(A.9)

Volveremos a trabajar la elipse rotada ( A.9) en el último capítulo. La figura A.3 concentra los mapeos del cuadradito y de la circunferencia para la transformación L 2 ((a, b)) = (a + b, a 2b)

−






Y C

Y

A

L2 Y B

X

O O

B

X

A

X

C 

Figura A.3: Transformación L 2 sobre cu y o u

A-1.2. Con transformaciones no lineales

 

Usemos el mapeo N : R 2 R2 N (a, b) = a + b, 2a vectoriales reales y estándares — (R2 , +, R, )—.

→ |

·

−b

2



, ambos espacios

Cuadrado unitario. En el cuadro siguiente están las cuentas ya hechas,

de modo que no tienes más que verificar. Forma desparametrizada - explícita

, k

original-mapeado

 (k, 2k) → , 0  1 (1, k) → (k + 1, 2 − k 2 ) , 0  1 (k, 1) → (k + 1, 2k − 1) , 1  0 , 1  0 (0, k) → (k, −k2 ) (k, 0)

, x

mapeado

, 0  1

y = 2x

− x2 , 1  2

y = 1 + 2x y = 2x 3 y =

, 2  1

−

−x2

, 1  0

Forma Parametrizada original

(k, 0) (1, k 1) (3 k, 1) (0, 4 k)

−

−

−

→ → → → →

mapeado

rango k

(k, 2k) (k, 1 + 2k k2 ) (4 k, 5 2k) (4 k, 16 8k + k2 )

k k k k

− −

− − −

∈ [0, 1] ∈ [1, 2] ∈ [2, 3] ∈ [3, 4]

Cuadro A.1: Mapeo no lineal de N (cu ) Asimismo el mapeo luce como en la figura A.4. En ella hemos hecho los dos mapeos: el del cuadrado y el de la circunferencia unitarios. El de la última, en este caso, es complicado encontrar una versión no parametrizada de las ecuaciones que modelizan el transformado La versión parametrizada es claramente (cos k + sen k, 2cos k sen2 k) con k [0, 2π]. Puedes solicitarme que te envíe por correo electrónico unas versiones dinámicas con Geogebra para que puedas experimentar e incluso cambiar los mapeos, llevan el nombre G _mep-05.ggb y MapeosPlano.ggb.

−

∈



Y

(1, 0)

1.5


Y

Y

→ (1, 2)

(1, 0)

1.5

Y

→ (1, 2)

1 0.5

1

0.5

1.5

0.5

X

X -0.5

1

2

0.5

-0.5

X

X 1.5

-0.5

1

2

-0.5 -1

-1

Figura A.4: Mapeo no lineal N sobre ambas trayectorias Casualmente para ambas dos últimas transformaciones, una circulación contra-reloj se mapea a favor de reloj, pero esto no constituye una generalidad. Resumen

• Transformas una trayectoria de vectores, no un vector específico. . . • En el plano, —R → R — una trayectoria se mapea en otra trayectoria, 2

2

en general. —otra posibilidad: trayectoria mapeada en un punto —

• El mapeado no será trayectoria, cuando por ejemplo, la transformación esté definida desde R2 a P 2

• Puedes tener modelizada la trayectoria a mapear de distintas maneras, entre ellas en la forma paramétrica.

• Cuando realizas el mapeo, obtienes el modelo matemático de la trayectoria mapeada

• Necesitas identificar cada tramo de ese modelo recién obtenido, • Para ello, generalmente basta con igualar a x la primera componente y recalcular las otras componentes en función de esa x

• Mediante la técnica anterior obtenemos la relación «funcional» entre va-

riables, debes precisar el rango donde esa relación es cierta: para ello debes partir de qué rango tienen x y/o y No confundas una trayectoria con la linealidad o no de la transformación. La trayectoria puede ser lo más «caprichosa» que te imagines, y la trayectoria mapeada también. En otras palabras, la trayectoria no arroja ningún juicio de valor sobre la calidad de linealidad o no de la transformación. Sin embargo la teoría predice que una transformación lineal mapea rectas en otras rectas. La excepción está dada en el caso particular en que el vector director de la recta original se mapea en el vector nulo.


Apéndice B Más sobre mapeos lineales B-1.Ley dada mediante del mapeo de una base . . . . . . . . . . . . .

135

B-2.Núcleo e imagen de una TL

138

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B-2.1. Imagen de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . 139 B-2.2. Núcleo de una transformación lineal . . . . . . . . . . . . 140 B-3.Relaciones entre los sistemas lineales y las transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 B-4.Traslaciones «matricializadas» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

B-5.Guión de figura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

En este apéndice discutiremos contenidos que ayudarán a profundizar en los mapeos lineales, y a que accedas a la idea de qué es lo que se conecta con estos temas, posteriormente en la carrera.

B-1. Ley dada mediante del mapeo de una base Veamos si es posible caracterizar una transformación lineal a partir del conocimiento de los mapeados de una base cualquiera del dominio. Primero mediante un ejemplo y luego formalmente.

Ejemplo B.1. (4, 1) 

Una transformación lineal mapea los vectores (3, 2) ( 1, 5). Halla la ley de transformación.

→ −

→ (−2, 0) y

Claramente todo sucede en el plano: L : R 2 R 2 . Observa que los vectores = v1 = (3, 2), v2 = (4, 1) forman una base para el dominio. La matriz asociada sería

B {

→

}

[ L ] = [ L(e1 )

L(e2 ) ] =

   e

1

e

2

=

e11 e12 e21 e22

donde e i = (e1i , e2i ) es el mapeo del vector e i de la base canónica.

135

Apéndice B. Más sobre mapeos lineales

B-1. Ley dada mediante del mapeo de una base

No sabemos cómo afecta la transformación lineal L a la base canónica — eso es justamente lo que tenemos que averiguar— pero sí lo que L le hace a . Nuestra estrategia es tratar de escribir cada vector como combinación lineal de la base canónica y suponer un mapeo lineal, aplicando sus propiedades:

B

       −   −       −  −  −     −   −      −  −      − −         −

L (3, 2) = L 3(1, 0) + 2(0, 1) = L 3e1 + 2e2 = 3e1 + 2e2 = ( 2, 0)

por linealidad

= 3 (e11 , e21 ) + 2 (e12 , e22 ) = ( 2, 0)

L (4, 1) = 4e1 + 1e2 = (2, 0)

∗

( )

similarmente

= 4 (e11 , e21 ) + 1 (e12 , e22 ) = ( 1, 5)

∗

( )

Las ecuaciones marcadas (*) las puedes escribir. . . 3e11 + 2e12 =

2

3e21 + 2e22 =

0

4e11 + 1e12 =

1

4e21 + 1e22 =

5

Es un sistema de cuatro incógnitas, pero está desacoplado, de manera que A)

3e11 + 2e12 =

2

4e11 + 1e12

1

=

3e21 + 2e22 = 0

B)

4e21 + 1e22 = 5

Y como la matriz de los coeficientes es la misma para ambos casos, también podemos escribir 3 2 4 1

e11 e21 e12

e11 e12 e21 e22

e22

2 0 1 5

=

3 4 = 2 1

2 0

1 5

trasponiendo1 lo cual es

L B = B 

desde lo cual es sencillo arribar a que la ley es L (x, y) = Nota que no hay ningún cambio de base involucrado. 

y , 2x



− 3y .

En la figura B.1 verás un pictograma de la situación. Proposición B.1. Mediante los transformados de cualquier base conocida de un EV, puedes encontrar la única TL que cumpla con la ley de transformación. 1 Ten

en cuenta que (A B) = B  A

·

·



B-1. Ley dada mediante del mapeo de una base

V

V 

L

B

B 

Figura B.1: Ley a partir del mapeo de una base Prueba

Si L es una transformación lineal, entonces existe la matriz asociada [ L ] tal que L(v) = v  pueda calcularse a través de las matrices de coordenadas sobre bases canónicas como: [ L ] [ v ] = [ v  ]. L : V

→ V  | L (v) = v  ≡ [v] = [L] [v]

Si es una base conocida de V , de dimensión n, podemos especular que

B

B = {v

1

, v2 ,

· ·· , v } →  B  = {v , v , ··· , v } n

1

2

n

donde:  es el conjunto de los transformados L(vi ) = v de los elementos de , i [ vn ] ] es la matriz de transición de la base a la y [ B ] = [ [ v1 ] [ v2 ] canónica. Nota que no estamos afirmando que  sea base de V  —y la prueba te queda como ejercicio—a . Haremos una prueba corta, basados en lo que hemos mostrado en el ejemplo B.1 y el hecho de que [ L ] es la matriz de los transformados de la base canónica del dominio, sobre base canónica del codominio. Si aplicáramos [ L ] –que aún no conocemos, pero sabemos que es posible— a cada uno los elementos de obtendríamos sus matrices de coordenadas respecto de la base canónica de V  ,

B

· ··

B

B

B

B

[ L ] [ vi ] = [ vi ]

es decir, las columnas de  . . .

B

[ L ] [ B ] = [ B  ]

y como por propiedad de matriz de transición de una base, siempre existe la inversa de [ B ], podemos escribir queda [ L ] = [ B  ] [ B ]−1

y ya está: tanto [ B ] cuanto [ B  ] son únicas, de modo que el producto será único. a

Ayuda: ¿que pasaría si dim (V  ) > n ?



B-2. Núcleo e imagen de una TL

Podemos afirmar entonces que:

La matriz asociada a una TL dada mediante una base y sus transformados  se calcula como 1 −  [B ] [B] .

B ⊂ V

B ⊂ W

donde [ B ] es la matriz de transición de la base V .

C

B a la canónica

A través de una cierta transformación lineal U , la imagen de (2, 1) Ejemplo B.2. es 2 + 3x x2 , y la imagen de ( 5, 3) es x + 2x2 . Halla la ley de U . 

−

−

De acuerdo con el resultado de la proposición B.1, y teniendo en cuenta que las matrices involucradas son [B] =

 − 2 1

5 3

entonces la matriz asociada es [ U ] =

U : R2

 

  −   − −

[ B ] =

1 11

6 8 5

2 0 3 1 1 2

10 17 1

, de donde la ley

⇒ P 2 | U (a, b) = 6a +1110b + 8a +1117b λ − 5a11+ b λ2

que es la ley solicitada. 

Nota que cuando tienes el resultado de la proposición, el cálculo es elegante y sencillo, sin embargo: evita quedarte con «la fórmula» ; ésta la calculamos como ejemplo de aplicación de conceptos con la esperanza de mostrarte un camino que te servirá cuando debas encontrar relaciones en otro contexto.

B-2. Núcleo e imagen de una TL Como habíamos definido que la Transformación –entre ellas la transforma V  , podremos definir lineal— es una función entre espacios vectoriales V en el codominio, la imagen como un subconjunto de V  . En otras palabras:

⇒

I




la imagen es el conjunto incluido en el espacio V  tal que sus elementos están relacionados con algún elemento de V , formalmente

I (L) = {v ∈ V  | ∃v ∈ V ∧

v  = L (v)

}

Y el núcleo de la TL como el conjunto del dominio que se mapea en el vector nulo (L) = u V L (u) = θ V 

N

{ ∈ |

}

La figura B.2 muestra el pictograma de lo que estamos hablando L

V

L

V 

V 

V θ

N

I

θ

Figura B.2: Núcleo (izquierda) e imagen (derecha) de una TL

B-2.1. Imagen de una transformación lineal Veamos cómo calcular el conjunto imagen mediante algunos ejemplos sencillos:

Ejemplo B.3.

      

1 0 , halla su imagen 2 0

Para la TL en el plano, dada por [T ] =



la imagen del vector genérico es subespacio

1 0 2 0

x y

=

x , . . . que es el 2x

I (T ) = {(x, 2x)} = {(x, y) | y = 2x} o sea la recta y = 2x. Es decir que todo punto del plano se «proyecta» verticalmente sobre y = 2x, sin importar su ordenada. 

Ejemplo B.4.

Para la TL en el plano, dada por [M ] =



 

1 3 , halla su imagen 2 4

Estamos tratando de ver dónde se mapean todos los vectores del plano debido a la TL M . En este caso

     1 3 2 4


x x + 3y = y 2x + 4y



si tomas x + 3y = u , como primera componente de v  , su segunda componente será 2x + 4y = x + x + 3y + y = x + y + u, y como vemos, esta componente no está restringida, por tanto la imagen en este caso es (M ) = R2 , es decir, todo el plano.

I



Rn×n , si El ejemplo B.4 nos permite concluir que en los casos [L] det([L]) = 0, la imagen de L es todo el espacio codominio, y aún más: la transformación inversa quedará representada por la matriz asociada inversa.

∈

La pregunta es ¿Cuándo sucede que la transformación lineal tiene como imagen todo el codominio ? Estamos preguntando si la TL es sobreyectiva. En este caso la dimensión del dominio —dim( ) = n— no debería ser menor que la del codominio —dim(  ) = m— En términos de las dimensiones de la matriz asociada, [ L ] R m×n tendrá al menos la misma cantidad de columnas que de filas. La condición es necesaria, pero no suficiente.

V

V

∈

Claramente puedes ver que el conjunto imagen de una transformación lineal es un subespacio del espacio vectorial que actúa como codominio de la TL. Para probar formalmente que el conjunto imagen de una transformación lineal es subespacio del codominio, puedes proceder de la manera que sigue: Transforma un elemento genérico del dominio escrito como combinación lineal de una base. Obtendrás una combinación lineal genérica de los transformados de la base. . . que es la definición del conjunto generado por el conjunto de los transformados de la base (en V  ), y por tanto un subespacio de V  . ¿Qué pasaría si se diera que el transformado de cualquier base del dominio fuera base del codominio? —La pregunta apunta a la sobreyectividad o no de la TL—

B-2.2. Núcleo de una transformación lineal Hemos dicho que el núcleo de la TL se define como todos los vectores de V que tienen como imagen al vector nulo de V  ,

N (L) = {u ∈ V |

θV  = L (u)

}

en los ejemplos anteriores:

Ejemplo B.5.

      

Para la TL en el plano, dada por [T ] =



La imagen del vector genérico es

1 0 2 0

x y

1 0 , halla su núcleo. 2 0

=

x , . . . que si se la 2x




 

x 0 , que se satisface sólo con x = 0. La = 2x 0 otra variable ( y ) puede ser cualquiera, por tanto

iguala al vector nulo es

N (T ) = {(0, y)}

Lo puedes comprobar. . . 

     1 0 2 0

0 y

=

0 0

Nota que el núcleo de la transformación lineal es el espacio nulo de la matriz asociada, ya que se obtiene del sistema [ L ] [ x ] = [ θ ]

Ejemplo B.6.

Dada la TL en el plano, dada por [M ] =



        

 

1 3 , halla su núcleo. 2 4

1 3 x 0 , = 2 4 y 0 como la matriz asociada tiene inversa: −1 0 1 3 x = existe única solución x = y = 0, y por tanto y 2 4 0

En este caso

N (M ) = {(0, 0)} Donde el núcleo es el espacio trivial del vector nulo. En este caso, puedes hallar la matriz asociada a la transformación inversa simplemente invirtiendo M . 

Nota que siempre que se hable de núcleo e imagen, la notación es de con juntos. Nota asimismo que el núcleo abarca a todos los vectores normales al espacio generado por las filas de la matriz asociada —espacio fila—. Recuerda que la normalidad de los vectores la hemos definido mediante el producto escalar igual a cero. Nota además que el núcleo nunca está vacío; [ L ] [ v ] = [ θV  ] tiene al menos al vector nulo del dominio como solución: [ L ] [ θV ] = [ θV  ] ya que θV V necesariamente, puesto que V es un espacio vectorial, asimismo, por propiedad de transformaciones lineales la imagen del vector nulo del dominio es el vector nulo del codominio. Como en el codominio también existe θV  V  por ser éste un espacio vectorial, concluyes que tampoco el conjunto imagen es vacío.

∈

∈

Tanto el núcleo —«kernel » en inglés— cuanto el conjunto imagen son a su vez espacios vectoriales2 —y si sus dimensiones o permiten puedes definir bases para ellos—. 2

Ya hemos probado que no son vacíos (condición de partida para los subespacios); por tanto falta probar que la suma de dos elementos del núcleo también está en el núcleo, y que el escalado de un elemento del núcleo vive en el núcleo. Lo mismo para la imagen.




Desde el punto de vista de los sistemas lineales el término correspondiente para núcleo es el espacio nulo , —«null space » en inglés— Podemos definir las dimensiones de la imagen y el núcleo dim( (L)) y dim( (L))

I

N

como el rango y la nulidad de L respectivamente3 En transformaciones lineales entre espacios de dimensión finita, digamos y dim(V  ) = m < —ergo [L] es de L : V V  donde dim(V ) = n < m n—, el rango4 de [L] es numéricamente el rango de la transformación lineal L .

×

→

∞

∞

Otra particularidad es que

I

N

dim( (L)) + dim ( (L)) = dim(V )

(B.1)

rango (L) + nulidad (L) = n

Y entonces es sencillo calcular primero el núcleo. Su dimensión será el rango, que con la anterior calcularás la nulidad. Si la nulidad no es cero, ya podemos tener idea del conjunto imagen, que siempre es más complicado de calcular, aunque sabes que es el espacio columna de la matriz asociada. Estos conceptos son importantes porque pueden establecer claramente cuándo una TL admite inversa, es decir, dada una L L (u) = v , es importante saber si existe una U U (v) = u, y U se conoce normalmente como L−1. La importancia está –por ejemplo– en lo que en ingeniería se llama esti- mación de estados : la habilidad para establecer con pocas mediciones de u y su trasformado v , la transformación L. Si la estructura del problema denota que la nulidad no es cero, entonces no hay unicidad entre v y su original sin transformar, porque la inversa no existe.

|

|

Básicamente una transformación lineal con nulidad cero es invertible, y eso quiere decir que si usamos esa transformación para codificar o encriptar algo, podemos tener la transformación inversa y desencriptarlo. Ejercicio B.1.

sea la TL T : R4

3

→ R dada por [T ] =



4 1 2 1 6 0

−2 −3 1 −4 −9 9

a) decide si los vectores v 1 = (0, 0, 6), v 2 = (1, 3, 0), y v3 = (2, 4, 1), están en la imagen de T



−

b) decide si los vectores w 1 = (3, 8, 2, 0), w 2 = (0, 0, 0, 1), y w3 = (0, 4, 1, 0), están en el núcleo de T

−

c) halla el rango y la nulidad de T 3 Rango

: en inglés rank significa rango, como el de la matriz. En inglés range significa conjunto imagen y en oportunidades, codominio. Ambos vocablos se traducen ambiguamente, como rango . En este libro no usamos la palabra rango para nombrar conjuntos. 4 Recuerda que el rango de una matriz es el número de columnas (o filas) linealmente independientes de la matriz, y este rango es la dimensión del conjunto imagen de la transformación.



B-3. Relaciones entre los sistemas lineales y las transformaciones lineales

Ejercicio B.2.

Describe el núcleo de la transformación derivada entre espa- P 3 : D( p) = dd px = p  , p P 4 , p P 3 cios, por ejemplo P 4

→

∈

∈

B-3. Relaciones entre los sistemas lineales y las transformaciones lineales Desde que hemos probado que una transformación lineal tiene la propiedad de que puede proponerse [ L ] [ v ] = [ v  ], y esta no es más que un sistema de ecuaciones lineales, podemos hacer comparaciones interesantes con el sistema A x = b :

·

·

Por ejemplo: el núcleo de la transformación lineal es lo mismo que el núcleo, “kernel ” o espacio nulo de la matriz asociada.

La imagen de una transformación lineal es el espacio columna de su matriz asociada, y el rango es su dimensión. Tanto el núcleo cuanto el conjunto imagen de una TL son espacios. El núcleo es ortogonal al espacio fila de la matriz asociada

B-4. Traslaciones «matricializadas» Es claro que una transformación de traslación —por ejemplo T (x, y) = (x + 1, y + 2) en R2 — es no lineal y por tanto no podrás hallar una matriz asociada. De todas maneras esta transformación es muy usada, así que vale la pena desarrollar una técnica para «matricializarla» .

 

En otras palabras, para la transformación no lineal (afín) T : R2

2

→ R | T ((x, y)) = (x + x

0

, y + y0 )

puedes encontrar una matriz «asociada», y en ese aspecto parecería que puedes verla como una entre dos «espacios» —que ya no serán R2 — desde los cuales la transformación «se ve lineal» . La idea es: hagamos que la transformada del vector v sea el vector v  y que la relación sea v  = m v + v0 donde v0 es una constante y m es la matriz asociada a la parte lineal de la relación. Parece hasta natural que hagamos un cambio de variables y escribamos 143 JOM - Transformaciones Lineales


B-5. Guión de figura

la relación como

      v

=

1

m v0

v

θ

1

1

v = m v

donde la relación se ve como si fuera lineal —nota ( importante) que ya estamos fuera de la formalidad de los espacios vectoriales, solamente queremos aprovechar lo que sabemos del álgebra matricial—

Escribe la TNL T : R 2 matricial. 

Ejemplo B.7.

→ R 2 | T ((x, y)) = (x + 1 , y + 2) en forma

Podemos proponer una matriz como



1 0 1 0 1 2 0 0 1

     x y 1

=

x+1 y + 2 1

Como si fuera una función que va del plano z = 1 a sí mismo. La expresión de arriba tiene todo el aspecto de



T  [u] = [v]

donde la relación se ve lineal aunque no lo sea. 

En una entrada de apéndice posterior —Apéndice C-1—, hemos de completar este abordaje, refiriéndonos a una roto-traslación.

B-5. Guión de figura En algún momento de tu carrera trabajarás con software matemático como Matlab —o sus contrapartes libres como Freemat, Octave, Maxima, Xcas—. La figura 3.4, en página 54, ha sido creada en el entorno Matlab, he aquí el guión que la produce: %rotaX muestra N = 30; v = [1.2;1.2;0]; z = [0;0;0]; fig=figure; for k=2:N+1

cómo dibujar una rotacion %facetas (puedes cambiar) a = pi/N/2; s = sin(a); c = cos(a); R = [1 0 0;0 c -s;0 s c]; V = zeros(3,N+1); V(:,1) = v; %genera vectores rotados




V(:,k) = R*V(:,k-1); E = [z V(:,k-1:k)]; x = abs(1-0.5*(2*(k-2)/(N-1)-1)^2); patch(E(1,:),E(2,:),E(3,:),[0 x 0],’FaceAlpha’,0.8, % ’EdgeAlpha’,0); end gr = .9*[1 1 1]; mr = [128 64 64]/256; set(fig,’color’,gr,’Name’,’Utilice ícono ’’Rotate3D’’’); set(gca,’Zcolor’,gr,’Ycolor’,gr,’Xcolor’,gr,’XDir’,% ’reverse’,’YDir’,’reverse’) text(0,0,2.1,’{\it{\bfZ}}’); %Nombres de ejes text(0,2.1,0,’{\it{\bfY}}’); text(2.1,0,0,’{\it{\bfX}}’); mo = [0 0 0 0 0]; mm = [0 1 1 0 0]; md = [0 0 1 1 0]; patch(2*mm,2*mo,2*md,.7*[1 1 1],’FaceAlpha’,0.5,’EdgeAlpha’,0); patch(2*md,2*mm,2*mo,[.9 .9 .8],’FaceAlpha’,0.5,’EdgeAlpha’,0); patch(2*mo,2*md,2*mm,.6*[1 1 1],’FaceAlpha’,0.5,’EdgeAlpha’,0); v = [zeros(3,1) V(:,ceil(N/3))]; line(v(1,:),v(2,:),v(3,:),’color’,[.2 .2 1],’LineWidth’,2); line(V(1,:),V(2,:),V(3,:),’color’,[0 .8 0]); view(3); axis image a = v(4); b = v(5); c = v(6); h = 1.8; p = 0.05; line(a*(mo+1),md*b,mm*c,’Color’,mr) line(a*(mo),md*b,mm*c,’Color’,mr) line([0 a NaN 0 a NaN 0 a NaN],[b b NaN b b NaN 0 0 NaN],% [0 0 NaN c c NaN c c NaN],’Color’,mr) H = [h h 2 h]; P = [0 p 0 0];M = [0 0 0 0]; patch(H,P,M,’k’,’FaceAlpha’,1,’EdgeAlpha’,0) patch(H,M,P,’k’,’FaceAlpha’,1,’EdgeAlpha’,0) patch(P,H,M,’k’,’FaceAlpha’,1,’EdgeAlpha’,0) patch(M,H,P,’k’,’FaceAlpha’,1,’EdgeAlpha’,0) patch(M,P,H,’k’,’FaceAlpha’,1,’EdgeAlpha’,0) patch(P,M,H,’k’,’FaceAlpha’,1,’EdgeAlpha’,0) %FIN rotax.m





Apéndice C Más sobre Isometrías C-0.1. Reflexión respecto de una recta cualquiera en el plano . . 147 C-0.2. Definiciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 C-0.3. Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 C-1.Rotación alrededor de un punto que no es el origen de coordenadas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

C-0.1. Reflexión respecto de una recta cualquiera en el plano La idea es encontrar la expresión para reflejar cualquier punto respecto de un eje de simetría cualquiera —no los casos estudiados respecto de los ejes coordenados o respecto de la recta y = x — modelizado como la recta y = mx . Esto es estudiar una reflexión bastante genérica, aunque en el plano. Necesitaremos recordar nuestros conocimientos para encontrar una matriz asociada a esa transformación lineal de reflexión. Observa como ayuda la figura C.1 que ilustra la posición del vector v y su transformado v  Y

v

2

u

v

u, dado por y = mx

v

−

v

u

v X

Figura C.1: Reflexión alrededor de una recta cualquiera Nota que v u es la proyección de v sobre la dirección de u . Naturalmente, u es la dirección de la recta y = mx, es decir u = (1, m). Este modelo nos sirve 147

Apéndice C. Más sobre Isometrías

excepto cuando la recta se transforma en el eje Y, donde lo cambiaríamos por u = (0, 1). Llamemos R u a la TL que mapea un vector v en su reflexión a lo largo de la dirección u , y [Ru ] a la matriz asociada. Matricialmente [v  ] = [Ru] [v]

claramente se ve en la figura C.1 la relación v  = 2vu

−v

Podemos pensar que hay dos transformaciones lineales: – la primera, P u , que mapea v en 2vu , dos proyecciones sobre el eje u , y – la segunda,O p , que mapea v en su opuesto

P u : R2

2

→ R | P (v) = 2v ⇓ u

u

−v, simbólicamente. . . O p : R2

y. . .

[v  ] = [P ] [v]

2

→ R | O (v) = −v ⇓ p

[v  ] = [Q] [v]

Por lo que la matriz asociada [Ru ] debe ser1 [Ru ] = [P ] + [Q]

La matriz Q es simplemente

−I =

 −  1 0

−

0 . 1

El problema es entonces encontrar la matriz asociada [P ] a la transformación P u . Como siempre, mapearemos la base canónica proyectando sobre u . El vector proyección de v sobre u es colineal con u, y el módulo es simplemente el producto escalar de v contra un versor de u vu =

·

· ·

v u u v u = u u u u u

|| ||

y aplicado al primer vector v = e 1 = (1, 0)

·

(1, 0) (1, m) P u (e1 ) = 2 (1, m) = 1 + m2



2 2m , 1 + m2 1 + m2



con lo que, y del mismo modo tenemos que

[P u (e1 )] =

1 Recuerda

 

2 1 + m2 2m 1 + m2

 

y

[P u (e2 )] =

 

2m 1 + m2 2m2 1 + m2

 

—en las secciones 2-4.1 y 2-4.2— que la transformación suma de dos transformaciones lineales, o la de una TL escalada, es también lineal.



por lo que la matriz [P ] será [P ] =

2 1 + m2



m

1

m m2



Y la matriz buscada es [Ru ] =

2 1 + m2

1 = 1 + m2

   −  − −  1

m

+

m m2

1

0

0

1

1 m2 2m 2m m2 1

−

Ejercicio C.1.

encuentra la matriz asociada a la reflexión sobre la direc- ción dada por y = x . (Comprueba el resultado con un ejercicio similar ya hecho)

Ejercicio C.2.

encuentra la matriz asociada a la reflexión sobre la dirección dada por y = 2x

C-0.2. Definiciones importantes Un isomorfismo es una transformación biyectiva entre espacios de la misma dimensión. Dos conjuntos son isomorfos si se puede definir entre ellos una transformación uno a uno, es decir: cada elemento de un conjunto está relacionado con uno y solo un elemento del otro conjunto y viceversa. Como lo que sucede en una transformación inversa: si L : V su transformación inversa, tal que

→ V  | L (v) = v ),

S : V 

→ V | S (L (v)) = v

Hagamos S = L −1 .

V v

L L

V 

L(v) = v  L−1 (v  ) = v

v

L−1 (L(v)) = v

L−1

Figura C.2: Función inversa En forma general, un morfismo f es una transformación de ( , +, K, ) en (  , , K, ) tal que

V

V ⊕ 

f (u + v) = f (u)

·

f (k v) = k


⊕ f (v)

 f (v)

·

(C.1)


para todos u, v

∈ V y para todo k ∈ K

Si f , además de la (C.1) fuera inyectiva2 se llamará monomorfismo. Si f además de la C.1 es sobreyectiva3 se llamará epimorfismo. Si f además de la C.1 es biyectiva4 se llamará isomorfismo. Si f es un isomorfismo en el mismo espacio ( f : V V ) se llama automorfismo —y esos son los casos que estudiamos en este libro, es decir que estudiamos los automorfismos isométricos—.

→

Los isomorfismos no pueden darse entre espacios de diferente dimensión finita: supón que dim(V ) < dim(V  ), no podrá ser sobreyectiva, porque cada elemento de estará —lineal— apareado a lo sumo con uno distinto de  , es decir: la dimensión de la imagen será como máximo la de , luego no será sobreyectiva. . . por tanto tampoco biyectiva, y por ello no tendrá inversa, y finalmente no será un isomorfismo. Si supones la posibilidad dim(V ) > dim(V  ) no hay forma de que sea inyectiva. En otras palabras, en alguno de ellos «van a sobrar elementos» .

V

V

V

Por eso puedes hablar de complejos y vectores posición en el plano como si fueran la misma cosa, porque son isomorfos: para cada complejo existe un solo vector posición; y viceversa, para cada vector posición en el plano existe un único complejo. Has de notar que los números complejos son escalares (5 ) y los vectores del plano son vectores —puede formar el espacio (R2 , +, R, ) de dimensión 2—.

·

Los elementos vector posición o punto del espacio 2dimensional, y los números complejos vienen de estructuras diferentes; sólo comparten el hecho de ser isomorfos.

2

Inyectiva: un elemento de la imagen tiene una sola pre-imagen, o: distintos elementos del dominio tienen distintas imágenes. 3 Sobreyectiva : todos los elementos del codominio tienen preimagen, o : el conjunto de las imágenes es igual al conjunto del codominio 4

Biyectiva : si es a la vez inyectiva y sobreyectiva, o sea hay una relación uno a uno entre los elementos del dominio y el codominio , y por lo tanto «visto desde arriba» ambos conjuntos son intercambiables 5 Aunque, —como en el caso de los reales pueden pensarse como vectores haciendo (R, +, R, ) de dimensión 1— pueden ser vectores de un espacio vectorial al formar por ejemplo el espacio (C, +, R, ) de dimensión 2, así como el espacio (C, +, C, ) de dimensión 1

·

·

·



C-0.3. Espacios Normados Las isometrías se refieren a espacios normados, es decir espacios vectoriales donde se puede definir una —al menos una— norma (concepto muy asociado a distancia). La norma α de un vector v se nota v α . Las normas las puedes pensar como funciones que tienen condiciones adicionales que cumplir.



α

es no negativa

α

nula, solo el vector nulo

  ≥ 0 N : v  = 0 ⇔ v = θ N : k · v  = |k | · v  N : u + v  ≤ u + v  N 1 : v 2 3

α

4

α

α

α

α

(C.2)

escalamiento

desigualdad triangular

Muchas veces las normas están asociadas a los productos escalares definidos en un espacio vectorial. Prueba

Rn , +, R, el producto escalar más común es: u v = n i=1 ui vi , exactamente el que conoces. El resultado es un número real (ley de composición externa).

 {

·}

en

·

·

Prueba

{ C , +, C, ·} el producto escalar más común es: u · v = u · v ∗ , donde v ∗ es el conjugado de v , en este caso no se cumple la conmutatividad, sino que (u · v) = (v · u)∗ . n

en



n i=1

i

i

El resultado es un número complejo (ley de composición interna). La norma más conocida para espacios tipo Rn , es la norma 2 . . .

v = 2

= = =

√

·

producto escalar

(C.3a)

v, v

producto interno

(C.3b)

distancia (componentes)

(C.3c)

matriz de coordenadas

(C.3d)

v v

     ·

v12 + v22 +

· ·· + v

2

n

[v] [v]

...que en el caso Rn es el módulo al que estamos acostumbrados en Rn módulo

v = |v| 2

(C.4)

Como ejemplo se puede tomar esta otra norma para Rn

v∞ = máx (|v |) i

i

(C.5)

donde v i es la i-ésima componente de v . Y el vector (1, 3, 2) tiene norma infinito al número 3.

−



 

| |

axi ( vi ) es realmente una norma. Esto Prueba que v ∞ = m´ es pedir que se verifiquen las ( (C.2)).

Ejercicio C.3.

Para espacios de matrices, se suele usar las mismas normas anteriores, pero inducidas. Por ejemplo: [ M ] 2 es la norma dos inducida —en el espacio Rm×n —, y se la calcula mediante el máximo bajo la misma norma que «le produce» a un vector compatible de norma dos unitaria —del espacio Rn — .





[ M ] [ x ] = y

⇒ [ M ] = m´ax {y } 2

x

2

=1

2

En otras palabras: —para el caso de la norma 2 y el espacio de las matrices de 2 2— se hallan los vectores mapeados de la circunferencia unitaria, y se escoge como medida, la del mapeado de mayor norma dos.

×

Prueba que la norma 2 inducida para la matriz A =

Ejercicio C.4.

 

es A

2

= 3.

Ayuda: v =

  1 2 2 1

 

cos α es de norma 2 unitaria, sen α

| | √ 5 + 4 sen 2α

luego v  = Av , y v  = d v

| |

la derivada dα es nula en α 1 = π/4 y α2 = 3π/4 (debes tomar el máximo, no el mínimo) Ejercicio C.5.

Comprueba que la norma infinito inducida para la matriz

A =

 

1 2 es A ∞ = 3. 2 1

 

Ayuda: como todas las entradas de la matriz son positivas, el vector «más grande» es el v =



1 ... 1

Es más: puedes probar que para cualquier matriz, la norma infinito es la mayor de las sumas de los valores absolutos de las columnas

El boceto norma-inducida.ggb ilustra los dos últimos problemas para diferentes matrices, si te interesa puedes pedírmelo por correo. Para el espacio de las funciones reales y continuas en el intervalo [0, 1] la norma más popular es

 | 1

|

f (t) dt

0

Hemos visto que a cualquier espacio vectorial se lo puede dotar de una norma. Todas las normas definibles para un espacio vectorial son equivalentes:

v

X



= k 0 v

Y

donde k 0 es una constante fija



C-1. Rotación alrededor de un punto que no es el origen de coordenadas en el plano

En general una isometría es un isomorfismo que conserva la norma = v

 T (v)

 

W

W

 

= k0 v

V

(C.6)

con k 0 una constante (fija).

C-1. Rotación alrededor de un punto que no es el origen de coordenadas en el plano Retomando lo trabajado en (B-4) pag.143 sobre la «linealización de una traslación» y teniendo en mente la transformación compuesta (ecuación 3.7), tratado en (ejercicio 3.2) pag.52; y para la rotación de la segmento de la figura respecto del punto A lo cual significa trasladar la semirrecta hasta el Y

B 

B b

α h

A k

≡ A a

X

Figura C.3: Rotación del segmento AB respecto del punto A origen, luego rotarla un ángulo α , y finalmente, volver a trasladar lo rotado en dirección contraria. La matriz asociada a la transformación «linealizada» de traslación [ T 1 ] =



1 0 0 1 0 0

−k −h

1



traslada A al origen

suponiendo que las coordenadas relativas de B respecto de A sean (a, b), T 1 0 a  traslada el segmento AB al 0B = 0 b 1 1

  

La matriz asociada a la rotación α es [ T 2 ] =

 

cos α sen α 0

− sen α

cos α 0

0 0 1

rota B’ a B”

Finalmente la traslación al revés [ T 3 ] =

1 0 k 0 1 h 0 0 1



traslada el origen a A 



C-1. Rotación alrededor de un punto que no es el origen de coordenadas en el plano

Entonces la transformación «linealizada» que logra nuestro cometido es [T ] = [T 3 ] [T 2] [T 1 ]

 

=

=

1 0 k 0 1 h 0 0 1

 

cos α sen α 0

− sen α

− sen α

cos α sen α 0

k (1 cos α h (1 0

0 cos α 0 0 1

 

1 0 0 1 0 0

− cos α) + h sen α − cos α) − k sen α

1

...aplicado [ T ] al segmento AB . . . =

=

 

− sen α

cos α sen α 0 k h 1

k (1 cos α h (1 0

− cos α) + h sen α − cos α) − k sen α

1

−

a cos α b sen α + k a sen α + b cos α + h 1

o aplicando [ T ] a las diferencias

   a b 0

[ T ]

=

 −

a cos α b sen α a sen α + b cos α 0



 

−k −h

1





k k + a h h + b 1 1



= AB 

naturalmente, T (AB) y AB tienen el mismo módulo. Concretando, la transformación T que hace girar todas las cosas un ángulo α, a partir del punto A es T

:

R2

2

→R | k + (x − k)cos α + (h − y)sen α h + (x − h)sen α + (y − h)cos α

  

T (x, y)

=

 

,



x . . . como puede comprobarse luego de hacer [ T ] y , y eliminar la tercera 1 —ficticia— componente.


Apéndice D Mas sobre autovalores y autovectores D-1.Teorema de Cayley-Hamilton

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

D-1.1.Polinomio Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 D-1.2.Prueba del teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . 157 D-2.Matrices relacionadas y sus pares autovalor-autovector . . . . . 158

D-2.1.Escaladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 D-2.2.Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 D-2.3.Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 D-2.4.Polinomio característico de matrices de 2

× 2 y 3 × 3 . . . 161

D-2.4.1.Uso de otras variables . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 2 D-3.Método de Newton-Raphson (Raíces)

. . . . . . . . . . . . . . . . 163

D-3.0.2.Aplicación a matrices simétricas de 3x3 . . . . . . 166 D-3.0.3.Aplicación a matrices NO simétricas de 3x3 . . . 168

Tratamos algunas demostraciones interesantes, y el teorema de CayleyHamilton, muy usado en la teoría de control de sistemas dinámicos.

D-1. Teorema de Cayley-Hamilton El TCH es fundamental, y dice que

una matriz satisface su propio polinomio característico.

155

Apéndice D. Mas sobre autovalores y autovectores

D-1. Teorema de Cayley-Hamilton

Podemos comprobarlo con los ejemplos que hemos desarrollado, en particular 1 2 cuando A = , cuyo polinomio característico es πA(λ) = λI A = 2 1 λ2 2λ 3, entonces el teorema se aplica a A en la forma:

− −

 

| − |

πA (A) = A2 = = =

2A

3I

 − −−   −    − −    1 2 2 1

2

1 2 2 1

2

5 4 4 5

2 4 4 2

3 0 0 3

3 0 0 3

0 0 0 0

= θ

la matriz nula. Lo que hemos hecho ha sido reemplazar el escalar λ por la matriz A , y recordando que A 0 = I es la matriz identidad. Este resultado tiene diferentes aplicaciones en la ingeniería. El polinomio característico se dice que es anulador —ya que el resultado es la matriz nula—. Pero en ocasiones no es el único anulador. Un polinomio anulador es el que cumple con la condición P A (A) = θ .

D-1.1. Polinomio Mínimo El polinomio anulador de menor grado se llama polinomio mínimo y se denota pA (λ) = θ

Este es otro resultado que también se usa en ingeniería. Cobrará sentido como apéndice del próximo capítulo, cuando no puedas diagonalizar una matriz, y te conformas con dejarla «casi» diagonal, lo que se llama la forma canónica de Jordan.

Ejemplo D.1.

Para la matriz A =

calculado que. . . 

 − −

7 16 8

−16 −8 7 8 8 −5



del ejemplo 4.11, hemos

. . . el polinomio característico es πA (λ) = (λ+9)2 (λ 27), y el TCH asegura

−



D-1. Teorema de Cayley-Hamilton

que πA (A) = (A + 9I )2 (A

=

 − −  − − 16 16 8

− 27I ) −16 −8 2 16 8

4 4 2

1 = 144

  − − −  · − − − −  −  − − −    ·  −− − −    20 16 8

8 4

−4

2 2 1

4 2

16 20 8

20 16 8

8 8 32

16 20 8

8 8 32

0 0 0 = 0 0 0 0 0 0

mientras que el polinomio mínimo es

pA (A) = (A + 9I )(A

− 27I ) = θ

como lo puedes comprobar. Aclaración: Este es un caso donde la matriz —como verás más adelante— es diagonalizable, estamos ejemplificando únicamente la existencia del polinomio mínimo distinto al polinomio característico. 

¿Cuándo puedes asegurar que el pA (λ) = πA (λ) polinomio mínimo es también el característico.

D-1.2. Prueba del teorema de Cayley-Hamilton Lo haremos para una matriz de n = 4, pero el resultado puede generalizarse para cualquier n . Recuerda que πA (x) = x 4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

para una raíz cualquiera x = λ tenemos que πA (λ) = 0

· · v = A · A · v = Aλv = λA · v = λ v · v = A · A · v = Aλ v = λ v · v = A · A · v = Aλ v = λ v

A v = λv A2 A3 A4

2

2

2

3

3

3

4

Luego... πA (A) v = (A4 + a3 A3 + a2 A2 + a1 A + a0 I ) v

·

= A 4 v + a3 A3 v + a2 A2 v + a1 A v + a0 I v

·

·

·


·

·

·


D-2. Matrices relacionadas y sus pares autovalor-autovector

por lo visto arriba... = λ 4 v + a3 λ3 v + a2 λ2 v + a1 λ v + a0 I v

·

·

·

·

= (λ4 + a3 λ3 + a2 λ2 + a1 λ + a0 I ) v

·

·

= π A (λ) v =0 v = θ

·

·

Entonces, en general



Si π A (x) = nk=0 ak xk , an = 1 es el polinomio característico de una matriz A de n n, y λ es un autovalor de A, entonces πA (λ) = nk=0 ak λk = 0 y además πA (A) = nk=0 ak Ak = θ

×





D-2. Matrices relacionadas autovector

y

sus

pares

autovalor-

D-2.1. Escaladas Hemos de probar en forma genérica y completa la relación entre los pares autovalor-autovector de una matriz A y de su matriz escalada B = kA, k = 0.



 

Lema D.1. Sea A una matriz con un par autovalor- autovector λ, v ; el correspondiente de B = kA será kλ,v , provisto que k = 0.

 



Prueba

Supongamos por ahora que el par a-a para B = kA fuera (µ, w), entonces debe darse que Bw = µw 158 JOM - Transformaciones Lineales



, es decir —y teniendo en cuenta que k = 0—





µ θ = (µI B) w = k I k µ = k I A w = θ k

−

 −

− kA



w

pero como para A se cumple (λ, v), la última es k (λI

− A) v = θ

recogemos naturalmente que —ten en cuenta que k no es cero, ni w ni v son el vector nulo— debe ser w = v y µ = kλ, y ya está.

D-2.2. Inversas Lema D.2. Una matriz invertible no puede tener autovalor cero. Prueba

Supongamos que una matriz tiene un autovalor cero, asociado a un autovector v , por propiedad de espacio vectorial el producto 0v es el vector nulo Av = λv = 0v = θ en definitiva para ese par se cumple queda Av = θ

, admitamos ahora que existe la inversa de A A−1 Av = A −1 θ

propiedad producto matricial

= θ = v

absurdo

el sostener que A en esas condiciones admite inversa, requiere el imposible de que el autovector asociado sea nulo, con lo cual A no admite inversa, y ya está.

Lema D.3. Sea A una matriz invertible, si un par autovalor- autovector de A es λ, v , el correspondiente de A −1 será λ−1 , v .

 

 

Prueba

Supongamos A invertible. El contra-recíproco del lema anterior nos perq es equivalente a su contramite afirmar que λ = 0 —en la lógica, p



⇒




recíproco q

¬ ⇒ ¬ p— entonces λ−1 v = λ −1A−1 Av

matriz identidad

= λ −1A−1 λv

asociatividad y Av = λv

= A −1 v

propiedad de las matrices

la primera y la última escritas en el «modo normal» hacen A−1 v = λ −1 v

recogemos naturalmente que el par a-a de la inversa es (λ−1 , v) y ya está.

D-2.3. Producto Hemos visto que la composición de dos transformaciones lineales es otra transformación lineal, y su matriz asociada es el producto de las matrices asociadas. Para la composición U 1 = A B(v) es [ U 1 ] = [ A ] [ B ]; mientras que para la composición U 2 = B A(v) resulta [ U 2 ] = [ B ] [ A ].

   

Lema D.4. AB y BA comparten los autovalores. Prueba

Supongamos que existen AB y BA, lo cual significa que ambas son cuadradas y de la misma dimensión. Supongamos que una de ellas — A— es invertible. De esta manera el polinomio 1

|λI − AB | = |λI − A− (AB)A| = |λI − BA |

por similaridad, A es invertible asociatividad producto matrices

Como ambas tienen el mismo polinomio, comparten los autovectores, y ya está. Cuando ambas matrices son singulares —no son invertibles— también se da que los autovalores de AB son los mismos que los de BA , pero la prueba requiere alguna habilidad que escapa a nuestros objetivos. En cuanto a los autovectores, si supusiéramos que el producto AB posee el par a-a λ, v , entonces BA posee el par a-a λ, A−1 v . Veamos porqué: por similaridad, —suponiendo que existe A−1 — AB y BA comparten el autovalor λ; y además, como hemos visto en la ec.(4.11), si Mv = λv entonces C −1 MC (C −1 v) = λC −1 v , que en este caso M hace el rol de AB y C el rol de A :

 

 

 ⇒

AB : λ, v

 

A−1ABA = BA : λ, A−1 v

160




D-2.4. Polinomio característico de matrices de 2 2y3 3

×

×

Necesitaremos una definición preliminar: la traza de A es la suma de los elementos de la diagonal, si A = (aij ),

n



T r (A) =

aii , por ejemplo T r

i=1

  1 9 2 5

= 1 + 5 = 6

demás está decir que A = det (A)

| |

Matrices de 2

πA (λ) = λ 2

×2

− T r (A) λ + |A|

Prueba

 

a11 a12 , sabiendo que el determinante y la traza de a21 a22 A se calculan como

Sea a matriz A =

|A| = a

11 a22

−a

12 a21

Tr(A) = a 11 + a22

(D.1) (D.2)

formemos el polinomio característico: πA



−a −a



−a (λ) = λ−a = (λ − a )(λ − a ) − a a = λ − (a + a ) λ + a a − a = λ − T r (A) + |A| λ

11

12

21

22

11

2

22

22

12 21

11

11 22

12 a21

2

y ya está. Matrices de 3

×3

πA (λ) = λ

3

− T r (A) λ

Prueba

2

| 3

+

i=1

| − |A|

Aii λ

Recordemos que Aij es el determinante del menor que queda después de retirar la fila i y la columna j de la matriz A . a11 a12 a13 Sea a matriz A = a21 a22 a23 , sabiendo que el determinante y la traza a31 a32 a33

| |








de A se calculan como

|A| = a |A | − a |A | + a |A | 31

31

32

32

33

33

Tr(A) = a 11 + a22 + a33

|A | = a |A | = a |A | = a 11

22 a33

22

11 a33

33

11 a22

−a −a −a

(D.3) (D.4)

23 a32 13 a31 12 a21

formemos el polinomio característico:

 − −  −− −−   −  −− −−   −  −− − | |  − | |− λ

πA (λ) =

=

a31

λ

a13 a23

λ

    − − −  − | | −  −a −a −a

13 23 33

+ a32

a11 a21 λ

a33) A33

λ

a11 a21

−a −a

a12 a22

a31 ( A 31 + a13 λ) + a32 ( A 32

+ (λ =

a12 a22 a32 λ

a12 a22

a33)

+ (λ =

a11 a21 λ a31

31

(a11 + a22 )λ + λ2

13 31

33

11

23

a23 λ) +

−a |A| − a a λ + a |A| − a a λ+ + |A |λ − (a + a )λ + λ − a |A | + a 31

13



32

2

22

32 3

23 32

33

33

33 (a11 + a22 )λ

3

= λ

3

2

− T r(A)λ

+

| i=1

−a

2 33 λ

| − |A|

Aii λ

y ya está.

D-2.4.1. Uso de otras variables

En la carrera de ingeniería, se usa a menudo el polinomio característico de una matriz cuadrada, con una notación diferente, por ejemplo πA (s) = s 2 πA

− 4s + 4 (z ) = z − 4z + 4

Transformada de Laplace o de Fourier

L|F Transformada Zeta Z

2

donde s = σ + jω y z = R(z ) + j I(z ) son variables complejas. Las definiciones:

L (f (t)) = L (f (t)) =

 

∞

e−s t f (t)dt

T. Laplace unilateral

e−s t f (t)dt

T. Laplace bilateral

0−

∞

−∞ 162 JOM - Transformaciones Lineales


D-3. Método de Newton-Raphson (Raíces)

La transformada de Fourier es más estricta:

F (f (t)) =



∞

e− jω t f (t)dt

T. Fourier

−∞

Ambas anteriores son para funciones de tiempo continuo. Finalmente las Zeta, que son para funciones de tiempo discreto.

Z (f (t)) = Z (f (t)) =

∞

 

f (n T )z −n

T. Zeta unilateral

f (n T )z −n

T. Zeta bilateral

0

∞

−∞

Las transformadas te ayudan a efectuar cálculos complejos con funciones en el tiempo mediante cálculos equivalentes más simples en la frecuencia. Es una operación de ida —f (t o kT ) F (s o z )—, cálculo — F  G—, y vuelta —G(s o z ) g(t o kT )—. Donde T es el tiempo de muestreo, kT es el tiempo discreto y t el tiempo analógico o continuo.

→

→

D-3. Método de Newton-Raphson (Raíces) Pensemos en una función real (dominio), real valuada (codominio) — π : R R—, cuya ley π(λ) es conocida, y supongamos que quisiéramos encontrar sus raíces, es decir los valores de la variable independiente λ que anulan la imagen π(λ). Éste es un problema con el que nos podemos encontrar fácilmente. . . solo piensa que estás interesado en la obtención de los autovalores de una matriz de 3 3 o de mayor dimensión. . . tienes un polinomio de grado 3 o mayor ¿cómo calculas los autovalores?

→

×

En la figura D.1 aparece el fundamento del método: 1. Calculamos el valor de la función en un punto que sospechamos está cerca de una raíz. Llamamos a ese punto λ 0 la semilla del algoritmo 2. Calculamos la recta tangente a la función en ese punto. Nos interesa la raíz de esa tangente, llamémosla λ 1 . Bajo ciertas condiciones este valor de la variable está más cerca de la raíz buscada, de modo que 3. Iterando varias veces nos acercaremos tanto como queramos a una raíz. En este caso diremos que el algoritmo converge a la solución Deduzcamos una expresión para el método: Escogemos una semilla λ 0 y calculamos la recta tangente: su pendiente m 0 no es más que la derivada de la función π en ese punto, m0 = π (λ0 ), y debe ser igual a π(λ0 ) π (λ0) = λ0 λ1

−




π(λ)

π(λ0 )

λ1

λ3 λ0

λ

λ2

m0 π(λ1 )

π

m2 m1

Figura D.1: Ilustración método de Newton-Raphson

de donde

λ1 = λ 0

) − ππ(λ  (λ ) 0

0

En la próxima, el valor siguiente de λ tendrá una expresión equivalente, de modo que en un paso genérico k + 1 , la expresión será

λk+1 = λ k

) − ππ(λ  (λ ) k

(D.5)

k

Ilustremos el caso con un ejemplo

Para el polinomio π(λ) = λ 3 5λ2 4λ + 20 , cuyas raíces son las mismas que el representado en la figura D.1 –nada más que el polinomio está dividido por 10–, calcula las raíces mediante el método de Newton- Raphson. 

Ejemplo D.2.

−

−

La derivada de la función es ddπλ = π  (λ) = 3λ2 10λ 4, cuyos ceros — π  (λc ) = 0— se dan en λc = 31 (5 37), es decir que entre dos puntos críticos en el intervalo [ 0.4283, 3.7616], debe haber una raíz; utilicemos la

± √

−

−

−




semilla λ0 = 0.3 y efectuemos los cálculos iterativos que indica la ec. (D.5): λ1 = 0.3

− ππ(0.3)  (0.3) = 3.03060921248

λ1 = 3.03060921248

− ππ(3.03060921248)  (3.03060921248) = 1.51846303533

λ1 = 1.51846303533

− ππ(1.51846303533)  (1.51846303533) = 1.99930202736

λ1 = 1.99930202736

− ππ(1.99930202736)  (1.99930202736) = 1.99999995946

λ1 = 1.99999995946

− ππ(1.99999995946)  (1.99999995946) = 2

λ1 = 2

− ππ(2)  (2) = 2

La raíz buscada es 2. 

Detalles Cuando sucede como en este caso que la raíz es entera no hay dudas que la sucesión Λ : 0.3, 3.0306092124, 1.5184630353, 1.9993020273, 1.9999999594, 2. converge y tenemos una respuesta. Si la raíz no fuera entera o la convergencia no se diese muy rápidamente —en pocas iteraciones— La forma de salir exitosamente del algoritmo es fijar de antemano una diferencia entre sucesivos valores de la variable, por ejemplo λk+1 λ k < 0.001 y si ésto se da —estaríamos cometiendo errores no mayores a un milésimo—, aceptar el valor λk+1 obtenido como la raíz buscada, en forma aproximada.

•

{

|

− |

• Puede que la sucesión Λ no converja —los valores de λ se

separan cada vez más, u oscilan alrededor de un valor—. La forma de abandonar es habilitar un contador que se λk λk−1 . incremente cada vez que λk+1 λk En ese caso puedes proceder a cambiar de semilla. Es probable que hayas «caído» cerca de un máximo o un mínimo de la función π, con lo que su derivada en ese punto sea muy pequeña, y con ello el término restado de la ec.(D.5), muy grande, con lo que te alejas de la raíz, de modo que el algoritmo no puede regresar. . . o que para una semilla, la tangente te lleve a un valor donde se

|


− |≥| −

|

}



repite la tangente y te lleve de nuevo a la semilla.

D-3.0.2. Aplicación a matrices simétricas de 3x3

Usa esta técnica para encontrar «buenas semillas» para el posterior cálculo de las raíces de un polinomio característico de una matriz A R3×3 simétrica mediante el método de Newton-Raphson, cuando el polinomio característico está dado el la forma general. . .

∈

πA (λ) = a 0 + a1 λ + a2 λ2 + λ3 = (λ

− λ ) (λ − λ ) (λ − λ ) 1

2

3

. . . que está asegurado si procedes a calcular el polinomio característico con la expresión λI A . Procede de la siguiente manera:

| − |

D-3.0.2.1. Algoritmo

Semillas

B=

 − a22

3a1

3

; λ0 =

− a3

2

>0

B

−

λP = λ 0 B λQ = λ 0 + B

π(λ) = (λ λ0 )3

−

=0

π(λP ) π(λQ ) λ0,0 = λ 0 λ0,1 = λ P B λ0,2 = λ Q + B

=0 π = (λ

−

−λ

Q

)2 (λ

−λ

)

π = (λ

K

−λ

P

)2 (λ

−λ

λ0 = λ Q + B

− B

λ0 = λ P

Fin Figura D.2: Algoritmo obtención de semillas A = A 

3 3

∈ R ×

Las semillas que calcula el algoritmo de la figura D.2 valen para calcular recursiva y —tal vez— aproximadamente las raíces del polinomio mediante la 166 JOM - Transformaciones Lineales

)

K



fórmula de Newton-Raphson adecuado a este caso:

λk+1 = λ k

) − ππ (λ (λ ) A

k

A

k

λ3k + a2 λ2k + a1λk + a0 = λ k 3λ2k + 2a2 λk + a1 2λ3k + a2 λ2k a0 = 2 3λk + 2a2 λk + a1

−

−

(D.6)

el algoritmo comienza en k = 0 con la semilla λ 0 . Sin embargo cuando A simétrica es rala, podrás calcular a las raíces antes de llegar al polinomio característico en forma general, Por ejemplo A =



1 2 0 2 2 0 0 0 3



por fila 3 . . . λI

| − A| =

desarrollando por la tercera fila tienes πA (λ) = (λ = (λ

 

λ

− 1 −2 −2 λ − 2

0 λ

0

−

0 0 3

 

− 3)[(λ − 1) (λ − 2) − 4] − 3)



λ2



− 3λ − 2

resolviendo sólo la parte de segundo grado, tienes πA (λ) = (λ

− 3)

 −  −  λ

√

3+ 17 2

λ

−√ 17

3

2

Este procedimiento lo podrás hacer también cuando la matriz A de la forma a d e A = d b f cumpla con cualquier expresión e f c



b

− a =

  −  f e

e d ; f

c

− b =

Por ejemplo la matriz A =



 −  e d

a d e d a e e e c


d e



f ;

c

− a =

 −  f d

d e f

cumple con la primera



de las condiciones de arriba, el polinomio característico será

 

− a −d −d x − a −e −e x − a + d −(x − a + d) −d x − a −e −e 1 −1 (x − a + d) −d x − a −e −e 1 −1 (x − a + d) 0 x−a−d 0 −2e

 

x

   

   −  −  −  −  −  −

−e −e x−c

Línea 1 -Línea 2 arroja

0 e c

ya tienes un factor

0 e c

eliminando e, d( )

x

x

x

∗

0 e c

Ese nuevo determinante, por más complicado que se vea, será un polinomio de grado 2, de cual calcularás los otros dos valores característicos.

D-3.0.3. Aplicación a matrices NO simétricas de 3x3

Cuando la matriz no es simétrica, no estará garantizado que πA (λ) = a 0 + a1 λ + a2 λ2 + λ3

tenga tres raíces reales, por lo que la técnica anterior no ha de funcionar siempre. Lo que puedes hacer en este caso es 1. Halla un intervalo simétrico [ r , r], donde seguro están todas las raíces reales: r = 1 + máx a0 , a1 , a2

−

{| | | | | |}

2. Aplica el método dado por la ecuación (D.6) con la semilla λ0 = r, ten en cuenta que si en alguna iteración λ k+1 «cae fuera de» [ r , r], u oscila entre dos valores, has que abandonar el algoritmo y has de empezar con una semilla distinta, dentro del mismo intervalo.

−

−


Apéndice E Más aún sobre autovalores y autovectores E-1.Aplicación de una transformación más de una vez

. . . . . . . . 169

E-1.1. Matriz asociada diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 E-1.2. “Movimiento” de un autovector . . . . . . . . . . . . . . . 170 E-2.Espacios invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

E-3.Base ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172

E-3.1. Método de Grahm-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 E-3.2. Método del espacio generado . . . . . . . . . . . . . . . . 175 E-3.3. Guión Matlab/Freemat para ortonormalización de bases . 176

E-1. Aplicación de una transformación más de una vez La idea es volver aplicar una misma TL L : V Tomemos por ejemplo [ L ], la matriz asociada a L [v  ] = [L] [v]

y luego

→ V a un vector v de V .

[v  ] = [L] [v  ]

Si lo hacemos todo de una vez, la nueva TL L 2 estará asociada a la matriz [v  ] = [L]2 [v]

hasta acá no hay nada nuevo, se trata de hallar la composición L 2 = L L

◦

E-1.1. Matriz asociada diagonal La pregunta es: ¿Cómo sería la matriz asociada final si se tomara la base de autovectores de 169

Apéndice E. Más aún sobre autovalores y autovectores

E-1. Aplicación de una transformación más de una vez

[ L ]? La respuesta viene luego del análisis. . . estamos proponiendo que L : V

→ V |

v  = L (v)

y entonces [v  ]1 = [L1 ]1 [v]1 = Q −1 [L] Q [v]1 = D L [v]1 =

 

··· ···

λ1 0 0 0 λ2 0 .. .. . . . . .. . . 0 0 λn

···

   · 

v1 v2 .. . vn

 

1

Claramente [ L2 ] = Q −1LQ Q−1LQ = Q −1 L2 Q

·

= D L DL = D L2

·

= (di,j ) donde



di,i = λ i di,i = 0

Es una matriz diagonal con los autovalores al cuadrado en la diagonal.

E-1.2. “Movimiento” de un autovector Si (λ, v) fuera un par autovalor-autovector de [ L ] con el cuerpo de los reales, entonces Lv = λv

y

L2 v = Lλv = λ 2 v

y

Ln v = λ n v

La interpretación en el campo de los reales, es que si el autovalor fuera cero o uno, los sucesivos mapeos lo dejan invariante. Si λ fuera de valor absoluto menor a 1, las sucesivas transformaciones lo acercarían al vector nulo, y el «rastro» yacería en la línea generada por v .

{ }

De la misma manera, si el autovalor fuera de valor absoluto mayor que 1, sucesivas transformaciones lo alejarían del origen, sobre la misma recta. Demás está decir que cuando el autovalor es negativo, las sucesivas transformaciones lo harán oscilar acercándose — λ < 1 — o alejándose — λ > 1 — del centro.

||

||

Esta podría usarse como una prueba gráfica aproximada para encontrar un autovector. Lo ponemos en práctica en el archivo geogebra mapeo15veces.ggb, el cual está disponible por correo electrónico. Puedes generar algo parecido valiéndote de la capacidad de planilla de cálculo de Geogebra: En A1 .. B2 define la matriz asociada, luego selecciona los cuatro 170 JOM - Transformaciones Lineales


E-2. Espacios invariantes

números, haz clic derecho y elige Crea Matriz . Renombra la matriz creada a L. Define un nuevo punto en la vista gráfica, llámalo v. Vuelve a la planilla, en C1 escribe =L*v, en C2 escribe =L*C1. Selecciona C2. Copia esto hasta C20, para tener 21 puntos. Por otro lado, si se utilizara un vector NO Autovector para hacer el experimento, el resultado no será una línea recta: cada vez que se mapee sucesivamente ese vector, no conservará la dirección. ¿Puedes encontrar una transformación lineal que bajo este experimento describa una espiral?, es decir, algo como la figura

Me puedes pedir el archivo espiral.ggb.

E-2. Espacios invariantes

Dada una TL L : V V , con dim (V ) = n finita, un conjunto de autovectores i = v1 , v2 , , vk todos asociados a un mismo autovalor λi , es generador de un subespacio. Si el conjunto contiene el máximo número de autovectores linealmente independientes asociados al mismo autovalor, el espacio generado se denota E i de V . . . E i = u L (u) = λ i u , tales espacios se denominan subespacios invariantes y son muy utilizados en la teoría de control —de sistemas físicos dinámicos que pueden describirse por ecuaciones diferenciales ordinarias—, con nombres y conceptos específicos.

E {

→ }

·· ·

{ |

}

Prueba

Sea A la matriz asociada a la transformación lineal L. Y sean cada uno de los autovectores v1 , v2 , , vk asociados a un autovalor λi . Todos los v j cumplen con la relación

···

A v j = λ i v j

, j = 1, 2,

··· , k ≤ n

Considera además el conjunto i de las combinaciones lineales de v1, v2 , , vk , lo podemos escribir

{

···

E

}

E = i

|   k

E = i

u u =

α j v j

j =1

Este es justamente el subespacio generado por E i , es decir i = gen( i ), veamos si este conjunto es cerrado, es decir si cualquier vector de ese

E


E


E-3. Base ortonormal

conjunto cumple A u = λ i u k

    

A u = A

la definición de u

α j v j

j =1

k

=

A (α j v j )

A es cte., propiedad sumatorio

α j (A v j )

escalamiento en matrices

j =1 k

=

j =1 k

=

par autovalor-autovector

α j λi v j

j =1

k

= λ i

λi es constante en sumatorio

α j v j

j =1

= λ i u

donde hemos probado que cualquier combinación lineal de los autovectores de un mismo autovalor también es autovector del mismo autovalor, k —nada hemos y todos ellos forman un subespacio E i de dim(E i ) dicho acerca de la dependencia o independencia de los autovectores v1 , v2 , , vk —, entonces esta prueba vale también para el caso de una base de autovectores asociados a un solo autovalor.

≤

· ··

Formalmente un subespacio invariante se da en las transformaciones lineales de un espacio en sí mismo T : V V donde la imagen de un subespacio es otro subespacio.

→

E-3. Base ortonormal Ya habíamos dicho que si todos los autovectores en las columnas de una matriz de n n son linealmente independientes (LI), éstos pueden considerarse una base de un espacio de dimensión n.

×

Aún cuando no se trate de matrices asociadas sino simplemente de bases, el problema es el mismo: encontrar una base del mismo espacio en la que todos los vectores son unitarios y normales entre sí. Formalmente : = v1 , v2 ,

B {

··· , v } ∃ B = { uˇ , uˇ , · ·· , ˇu } | gen(B ) = gen(B ) ; uˇ · uˇ N

1

2

n

n

N

i

j

∀

= 0 i = j

En otras palabras, estamos tratando de encontrar una matriz de diagonalización ortogonal. Este concepto no está solamente ligado a los espacios euclidianos, pero nosotros nos limitamos a ellos. 172 JOM - Transformaciones Lineales



Ejemplo E.1. Encuentra una base ortonormal para el espacio generado por 1 = v1 , v2 , siendo los vectores v 1 = (2, 1, 0, 0) y v 2 = (1, 1, 0, 0).

B {

}



Es evidente que

B 1 no es ortonormal, ya que |v2| > 1, y además v1 · v2 = 0.

Este es un caso para poner en práctica la idea, porque puedes resolverlo sin necesidad de teoría alguna: construye el subespacio generado por 1 , el cual es = (x,y, 0, 0) de donde obtienes N 1 = (1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) por inspección. Para desarrollar la idea, daremos dos métodos para encontrar una base N = u1 , u2 que sea ortonormal.

S {

B {

}

B

B }

{

}

1- Método uno

1- a. Construyamos el espacio generado por 1 1- b. Tomemos un vector con la mayor cantidad de ceros 1- c. Propongamos otro vector del espacio, que además sea normal a todos los anteriores 1- d. Repitamos 1-c hasta agotar la cantidad de vectores normales necesarios 1- e. Dividamos cada vector encontrado por su módulo y presentemos la base

B

No es necesario decir que este método en este caso lleva a la base encontrada en primer término. 2 - Método dos.

Tomamos directamente el primer vector u 1 = v 1 y formamos u 2 = v 2 k1 u1 , de manera que como u 1 y u 2 deben ser normales el producto escalar(1 )

−

· − k1u1 · u1 = 0 ⇒ k1 = uu11 ·· uv21

·

u1 u2 = u 1 v2

en este caso

k1 =

(2, 1, 0, 0)(1, 1, 0, 0) 5 = (2, 1, 0, 0)(2, 1, 0, 0) 3 5 u2 = (1, 1, 0, 0) 5 = ( 1, 2, 0, 0)

de donde

− 35 (2, 1, 0, 0)

−

de modo que la base ortonormal es

B 1 = { (0.4, 0.2, 0, 0), ( −0.2, 0.4, 0, 0) } N

después de cambiar cada vector u i por su versor correspondiente. 

Esto parece tedioso, pero es el método más directo que garantiza la obtención de la base ortonormal. 1 recuerda

la distributividad del producto escalar en la suma: a (b + c) = a b + a c.

·


·

·



E-3.1. Método de Grahm-Schmidt Para encontrar una base ortonormal N = uˇ1 , uˇ2 , base = v1 , v2, , vn haremos lo siguiente :

B {

B {

·· · }

· ·· , ˇu } a partir de una n

Método de Grahm-Schmidt 1. tomar

u1 =

v1 k 1

2. para k : 2 . . . n

uk =

3. para todo k

vk

− u ·v i k

 − i=1

uk uk

u ˇk =

·

ui ui

ui

| |

Prueba

La demostración es sencilla, supondremos tener la base de n vectores vi , y haremos los cálculos que nos dice el método 2-

a) u 2 = v 2

− uu ·· uv u , luego el producto escalar es( ) u ·v u · u = u · v − u · u = 0 u ·u − uu ·· uv u − uu ·· uv u y los productos escalares u ·v u ·v u · u = u · v − u ·u − u ·u 0 u ·u u ·u 1

2

1

1

1

b) u 3 = v 3

1

3

1

1

1

a

1

2

1

3

1

1

1

2

2

3

2

2

3

2

   

1

   

1

1

1

2

1

3

1

1

1

1

2

3

2

2

    

1

2

=0

·

· − uu ·· uv u · u 0 − uu ·· uv u · u

u2 u3 = u 2 v3 =0

1

3

1

1

    

2

1

2

3

2

2

2

2

porque ya habíamos probado que u 1 u2 = u 2 u1 = 0 c) repetimos lo anterior, hasta agotar los vectores. Siempre se dará que

·

·

− uu vv u u − uu uv u u − uu uv − ··· ··· − uu−−uv− u − u

uk ur = v k ur

1 k

2 k

1 r

1 1

2 2

k 1 k

k 1 k 1

3 k

2 r

3 3

u3 ur

−

k 1 r

1, 2, donde todos los productos u r um=r = 0, m , k 1 por haberse probado en las etapas anteriores, y el producto u r ur se cancela para probar que v k ur = 0 y consecuentemente normales.

·

∈{

·

··· − } ·




3-

Después de esta cuenta, todos los vectores u tornan versores y ya está. a

Ten en cuenta que

u1 v2 u1 u1

· ·

es un escalar

Si ordenas de otro modo la base de partida, posiblemente obtendrás una base ortonormal distinta.

E-3.2. Método del espacio generado Este método es intuitivo, pero descansa mucho en la forma de expresar los subespacios que hemos visto en el libro anterior. La aplicación la entenderás mejor a partir de la comparativa, en el ejemplo siguiente.

Ejemplo E.2.

B {

Ortonormaliza la base = (1, 0, 0, 1) , (1, 1, 0, 1) , (2, 3,



−1, 1)}

Usando el método GS: u1 = (1, 0, 0, 1)

− 22 (1.0, 0, 1) = (0, 1, 0, 0)

u2 =

(1, 1, 0, 1)

u3 =

2 (2, 3, 1, 1) 2

−

− 32 (1, 0, 0, 1) − 62 (0, 1, 0, 0)

− −

= (1, 0, 2, 1)

con lo que la base pedida es

B

N

 

=

√

 √

1 1 , 0, 0, , (0, 1, 0, 0) , 2 2

−√

 √ √

1 2 1 , 0, , 6 6 6

no descartemos el método del espacio generado

S = {(x,y,z,z + x)} de donde podemos extraer dos vectores ralos normales entre sí (la dimensión es tres), como si se tratara de la base canónica y actuemos sobre un tercero. v1 = (0, 1, 0, 0) v2 = (1, 0, 0, 1) v3 = (x,y,z,z + x)

(ya que v 1 v2 = 0), busquemos u 3 tal que

·

· v2 · v3

u1 v3 = 0 = 0


⇒ y = 0 ⇒ z + 2x = 0



por lo que

−

u3 = ( 1, 0, 2, 1)

con lo que

B

N

=



(0, 1, 0, 0) ,

 √

  √ − √

1 1 , 0, 0, 2 2

,

 √ √

1 2 1 , 0, , 6 6 6

las bases halladas no serán en general las mismas, como en este caso; que fueron obtenidas de esa manera sólo con fines didácticos 

Para que veas lo sencillo que es programar el método de las combinaciones lineales (Grahm - Schmidt, GS) y el esencialmente intuitivo del espacio generado, puedes ver los guiones –“ scripts ”– Matlab/Octave gram y su subordinada baseort.

E-3.3. Guión Matlab/Freemat para ortonormalización de bases function B = gram(A) % GRAM Ortonormalización de bases. % uso: BaseNormalizada = gram(Base) % Base: matriz cuyas columnas son % los vectores de la base A = baseort(A); %llama a la función de abajo... B=A; for k=1:size(A,2) %... y calcula autoversores B(:,k) = A(:,k)/norm(A(:,k)); end %FIN de gram.m

function B = baseort(A) % BASEORT Ortogonalización de bases. % uso: BaseOrtogonal = baseort(Base) % Base: matriz cuyas columnas son % los vectores de la base m = cell(3,1); m{1}= sprintf(’\t argumento: matriz Base a Nomalizar’); m{3}= sprintf(’\t A No es linealmente independiente’); if nargin~=1,error(m{1});end [f,c]= size(A);G = A.’*A;g=det(G);




m{2}= sprintf(’\t%g vectores en R^%g !’,c,f); if c>f error(sprintf(m{2})); elseif g==0 error(sprintf(m{3})); end N = size(A,2); u = A(:,1);v = A(:,2);W= u; B = zeros(f,c); B(:,1) = u; U = G(1,1);V = G(1,2); for k = v = u = W = end %FIN de

2:N A(:,k);V=W.’*v; v - W*(V./U);B(:,k)=u; B(:,1:k);U=[U;u.’*u]; baseort.m





Apéndice F Extras sobre aplicaciones F-1. «Afinización» de cuádricas y cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . .

179

F-2. Formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 F-3. Forma canónica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

F-3.1. Cálculo de la forma canónica de Jordan . . . . . . . . . . . 182 F-3.2. Potencia de una matriz con forma canónica de Jordan . . 186 F-3.2.1. Potencia de un bloque de Jordan cuando el auto valor es cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

F-1. «Afinización» de cuádricas y cónicas La ecuación matricial de la cuádrica, por ser más general, es v  Av + Bv = c

pero la pudes escribir v  Av + 2Kv = c,

2K = B

de modo que con el «cambio de variables»

  −   w =

puedes escibir

c

w

1 v

K

w = 0

K 

A

w A w = 0

la cual puedes comprobar sencillamente efectuando los cálculos. En otras palabras: hemos descripto un cuádrica o cónica poniendo toda la información en una sola matriz. 179

Apéndice F. Extras sobre aplicaciones

F-2. Formas cuadráticas

Ejemplo F.1.

Procede a encontrar la forma afinizada para la ecuación de la cónica de posición general, que aparece en el ejemplo 6.1, de pág.107. 

En ese caso [v] = B = c =

  √ x y

, A =

12 3 + 64



7

−3√ 3 √ 12 − 64 3

−3√ 3 13





−276

escribiríamos la matriz central y las variables como

√

 √   √ − 276

A =

6 3 + 32 6

6 3 + 32 6

32 3

7

−3√ 3

− 32√ 3 −3√ 3 13

. . . que tiene la ventaja de ser simétrica. La respuesta solicitado es

    √ √ − 276

1 x y

6 3 + 32 6

√

6 3 + 32 6

32 3

7

−3√ 3



√

   1

w =

x y

− 32√ 3 −3√ 3 13

es equivalente de 7x2 6 3xy + 13y 2 + (12 3 + 64)x + (12

− √

 

     1

x = 0 y

− 64√ 3)y + 276 = 0.

F-2. Formas cuadráticas , xn ) que pueda expresarse coToda función vectorial F (v) = F (x1, x2, mo F (v) = v  Av —matricialmente— o F (v) = Av v —matricial y producto x1 x2 escalar—, es una forma cuadrática de orden n, donde v = .. . Las que .

·· ·

·

 

 

xn hemos visto anteriormente fueron los casos de segundo y tercer orden, o sea x x v= en el caso de las cónicas, y v = y en el caso de las cuádricas. y z

 



Todos los monomios con coeficiente no cero de una forma cuadrática tienen el mismo grado total —polinomio homogéneo—. 180 JOM - Transformaciones Lineales


F-3. Forma canónica de Jordan

Por ejemplo: a 1 x2 + a2 y2 + a12 xy lo es, pero la función polinomial a 0 + a1 x + a2x2 no lo es, porque los monomios tienen grado total 0, 1 y 2 respectivamente. Una forma cuadrática F (v) es positiva definida si F (v) > 0 para toda v = θ , y F (v) = 0 para v = θ . Y se puede demostrar que la matriz asociada a la forma cuadrática tiene todos sus autovalores mayores que cero, esto es λi > 0, i = 1, 2, n. Aplicado a nuestros problemas: expresan circunferencias, elipses, esferas y elipsoides, de acuerdo con el orden.



· ··

Una forma cuadrática F (v) es positiva semidefinida si F (v) 0 para toda v = θ, y F (v) = 0 para v = θ. Y se puede demostrar que la matriz asociada a la forma cuadrática tiene todos sus autovalores no menores que cero, esto es λi 0, i = 1, 2, n.

 ≥

≥

· ··

Una forma cuadrática F (v) es negativa definida si F (v) < 0 para toda v = θ, y F (v) = 0 para v = θ. Y se puede demostrar que la matriz asociada a la forma cuadrática tiene todos sus autovalores menores que cero, esto es λi < 0, i = 1, 2, n



···

Una forma cuadrática F (v) es negativa semidefinida si F (v) 0 para toda v = θ, y F (v) = 0 para v = θ. Y se puede demostrar que los autovalores de la matriz asociada son todos no mayores que cero, esto es λ i 0, i = 1, 2, n

≤



≤

···

Y por último, una forma cuadrática F (v) es no definida si no es alguna de las anteriores Las formas cuadráticas no definidas expresan por ejemplo parábolas o paraboliodes, o degeneraciones. Las formas no definidas expresan hipérbolas. Nuevamente, estos conceptos aparecen en el estudio de sistemas dinámicos de ingeniería, para estimar la estabilidad de los mismos.

F-3. Forma canónica de Jordan ¿Qué sucedía cuando no podías diagonalizar una matriz ? simplemente la dejábamos allí. Sin embargo esas matrices aún pueden llevarse a una forma —la foma de Jordan— casi diagonal, donde todavía es fácil calcular el cuadrado, el cubo, etc. de la matriz, y además tiene otras propiedades. En uno de los ejemplos hemos visto que la matriz A =

  2 1 0 2

no se pudo diagonalizar porque hay un solo autovector linealmente independiente ligado al autovalor 2 de multiplicidad 2. Pues bien, A está justamente expresada en la forma de Jordan. 181 JOM - Transformaciones Lineales



La forma de Jordan está compuesta de bloques diagonales como el anterior, en los que los autovalores repetidos tienen un sólo autovector LI, Por ejemplo A =



2 1 0 0 2 0 0 0 3



  

2 1 — 0 2 y un bloque diagonalizable de Jordan de 1er orden — 3 —.

tiene un bloque elemental de Jordan de 2do orden — La matriz A =

 

2 0 0 0

1 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 3

 

tiene tres bloques de Jordan, uno de segundo orden con auto valor 2 y dos de primer orden, con autovalor repetido 3 . En cambio la 2 1 0 0 0 2 0 0 A = 0 0 3 1 0 0 0 3

 

 

tiene dos bloques de Jordan de segundo orden. Un ejemplo final :

A =

 

2 0 0 0

1 2 0 0

0 1 2 0

0 0 0 3

 

tiene dos bloques de Jordan, uno de tercer orden y otro de primer orden Recuerda lo que es el polinomio característico — πA (λ)— y el polinomio mínimo — pA (λ)—. El orden del polinomio mínimo es el orden del mayor bloque de Jordan asociado a los autovalores.

F-3.1. Cálculo de la forma canónica de Jordan Para hallar la matriz que «diagonalice a la forma de Jordan» puedes proceder de la manera siguiente: Para cada autovalor λ i , con multiplicidad m : 1. Hallas la estructura de la matriz de Jordan equivalente. Es decir, cuántos bloques y de qué grado. 0, 1, ,m a ) Halla r k = rango (λi I A)k para k



−



∈ {

···

}




b ) Halla d p = r p+1

− 2r + r − para p ∈ { 1, 2, ·· · , m } p 1

p

Habrán d p bloques de Jordan con grado p . Con ello produces una matriz J i con los bloques de Jordan. 2. Calculas los autovectores asociados. (λi I

− A)v

i,0

= λ i vi,0

3. Calculas los «autovectores generalizados» asociados (λi I A)vi,k+1 = vi,k con k 0, 1, ,m 1 Los ejemplo lo aclaran un poco:

−

Ejemplo F.2.

−

∈ {

···

− }

Si no puedes diagonalizar la matriz A =

sarla a la forma de Jordan 

 

3 1 , trata de pa- 1 1

−

El polinomio característico —y mínimo— de esta matriz es πA (λ) = (λ 2)2 , con lo que su valor propio es λ = 2, de multiplicidad algebraica m = 2. El proceso del cálculo de los autovectores arroja solamente un representante —multiplicidad geométrica g = 1— de v = (a, a), o v 1,0 = (1, 1), por lo que no admite diagonalización. Como la matriz es de 2 2, habrá un bloque de Jordan de orden 2, con el autovalor 2.

−

−

−

×

Lo podríamos haber calculado mediante

 

− A)0 (λ I − A)1 (λ I − A)2

r0 = rango (λi I r1 = rango r2 = rango

i i

 

− 2r1 + r0 = 0 d2 = r 3 − 2r2 + r1 = 1

= 2

d1 = r 2

= 1 = 0

r>2 = 0

Un bloque de orden 2, es decir J = . . . pero ¿cómo lo calculamos? En otras palabras

 

2 1 . 0 2

¿Cómo construimos una matriz «diagonalizante» ? Sabemos que Av 1,0 = λ 1 v1,0 tenemos un solo autovector linealmente independiente y para formar la matriz similar J = V −1 A V

necesitamos dos. En un caso más general en esta dimensión, puedes escribir V

[ v1,0

[ λ1 v1,0

v1,1 ]

 ⇓

λ1 1 = A [ v1,0 0 λ1

⇓

v1,0 + λ1 v1,1 ] = [ Av1,0


J = A V

v1,1 ]

Av1,1 ]



Las entradas de estas matrices deben ser iguales, Av1,0 = λ1 v1,0 , la cual representa el par autovalor-autovector (λ1 , v1,0 ), —en el caso del ejemplo: (2, (x, 0)), usamos (1, 0)— y Av1,1 = v 1,0 + λ1 v1,1

que representará el cálculo del autovector generalizado. v1,1 lo puedes escribir: (λ1 I A)v1,1 = v1,0

−

−

En ese caso, v1,1 = (x, 1 x), utilizamos v1,1 = (1, 0) el «autovector» así calculado recibe el nombre de autovector generalizado asociado al autovalor 2. Con lo cual la diagonalizante —o mejor: matriz de paso— es

−

V =

  1 1 1 0

−

Y las cuentas dan

 −      0 1

1 1

3 1 1 1

1 1 1 0

−

−

=

2 1 0 2

1 1 1

 −

como podrás comprobar. 

Ejemplo F.3.

Repite para el caso donde B =



 − −

4 2 2

−

1 1 1

.

El único autovalor es x = 2, con multiplicidad 3: πB (x) = (x 2) 3 y el polinomio mínimo es p B (x) = (x 2)2 , anticipando que hay dos bloques de Jordan, como la matriz es de 3 3, no puede ser sino un bloque de orden dos y otro de orden 1.

−

− ×

 

− B)0 (λ I − B)1 (λ I − B)2

r0 = rango (λi I r1 = rango r≥2 = rango

i i

 

− 2r1 + r0 = 1 d2 = r 3 − 2r2 + r1 = 1

= 3

d1 = r 2

= 1 = 0

Calculemos entonces los autovectores y los autovectores generalizados:

− B)v = θ ⇒

(2I

− − b)

v = (a,b, 2a

de donde podemos extraer dos autovectores linealmente independientes. Sin embargo no lo hagamos aún, sino hasta: (2I B )v1,1 =

−v

 − ⇒

2 2 2

−1 −1 1 1

−a −b

1 1 2a + b






Si para reducir, nos quedáramos con la segunda fila, los valores de a y de b deben ser opuestos, de lo contrario el sistema sería incompatible, por ello tomamos el primer vector v1,0 = ( 1, 1, 1) con lo que v1,1 = (x,y, 1 2x y), podemos extraerlo de tal manera que no pertenezca a (a,b, 2a b) ...puede ser v1,1 = (0, 0, 1), el tercero es un autovector no colineal con el primero: v 2,0 = (1, 0, 2) 1 0 1 Entonces la matriz de paso será 1 0 0 y así: 1 1 2

− − − { − − }

 −

1 1 1

−

  − − −

0 0 1

1 0 2

−1

 −

4 2 2

−

1 1 1

como puedes comprobar.

− −

−

  − − 1 1 1

1 1 1

0 0 1

−

− −

  − 1 0 2

=

2 1 0 0 2 0 0 0 2





Ejemplo F.4.

 −

3 1 0

Repite para el caso donde F =



−1 7 − −1 0 4 1



.

Otra vez, tenemos que πF (x) = (x 2)3 = pF (x) de modo que habrá un solo bloque de Jordan. El autovector asociado es v1 = (x, 3x, x), es decir, si tomáramos v1 = (1, 3, 1), necesitaríamos dos autovectores generalizados:

− −

−

 − ⇒ −  −

1 1 0

− F )w1 = v1

(2I

arroja w 1 = (a , 2

− 3a, a

arroja w 1 = (a , 3

1 7 3

−

a b = c

1 3 1

1), que con a  = 1 formamos w 1 = (1, 1, 0), y

− F )w2 = w1 ⇒

(2I

    −  − − −     − 

0 2 1

1 1 0

0 2 1

1 7 3

− −

a b = c

1 1 0

− 3a, a − 1), que con a = 1 formamos w2 = (1, 0, 0) 1 1 1 por tanto la matriz de paso será V = −3 −1 0 , y la matriz de Jordan equivalente a F será J = 



2 1 0 0 2 1 0 0 2

 

1

0 0



Esto también lo usarás en la búsqueda de soluciones para sistemas dinámicos lineales en función de una matriz fácil de multiplicarse por si misma. 185 JOM - Transformaciones Lineales



Como ejemplos seguidamente aparece la matriz, su cuadrado, su cubo, y su enésima potencia

   

A =

A3 =

2 0 0 0

1 2 0 0

0 0 3 0

0 0 1 3

 

8 12 0 0 0 8 0 0 0 0 27 27 0 0 0 27

A2 =

 

An =

 

 

4 0 0 0

4 4 0 0

0 0 9 0

0 0 6 9

 

2n n 2n−1 0 0 n 0 2 0 0 0 0 3n n 3n−1 0 0 0 3n

 

F-3.2. Potencia de una matriz con forma canónica de Jordan Podemos decir que una matriz con forma canónica de Jordan contiene p bloques de Jordan. La suma de cada bloque por la multiplicidad del autovalor es n para una matriz de n n,

×



J 1

Por ejemplo A =

J 2



J 3 con J 1 : bloque de orden 3, con autovalor 5, J 2 : bloque de orden 1, con autovalor 5 y J 1: bloque de orden 2, con autovalor 4, sería una matriz A R6×6

∈

Cuando se eleva la matriz A a la potencia k > 1, los bloques permanecen independientes, y puedes calcular cada entrada dentro del bloque J  de orden , mediante

     

J k = ji,i+m =



k k−m λ ,0 m k m i 0 , otro m

≤ ≤

k k! y m = 0, 1, , ; m m! (k m)! y claramente m < p, donde p es el orden del bloque J  .

donde

∈{

−



··· }



J 1

 

5 1 0 Sea por ejemplo A = , donde J 1 = 0 5 1 , es J 2 J 3 0 0 5 decir que en el bloque J 1 la multiplicidad del autovalor 5 es 3




—y su multiplicidad geométrica es 1— J 12 =

    

5 1 0 0 5 1 0 0 5 2 0

=

=

       ·       2

2 1 2 0

52−0 0 0

52−1

52−0 0

2 2 2 1 2 0

2

1 5

52−2

52−1 =

0

52−0

0

· 1·5

2 5

0

 ·  ·   ·

1

0

1 5

2

2 51 1 52

25 10 1 0 25 10 0 0 25

F-3.2.1. Potencia de un bloque de Jordan cuando el autovalor es cero

Un bloque de Jordan de orden p es p-nilpotente cuando su autovalor es cero. Como concecuencia de lo anterior, J p0 es tal que j0i,i+m =

   

k k−m 0 ,0 m k = m 0 , otro m

≤ ≤



1 , m = k 0 , otro m

Cuando k = p , el 1 aparece recién para m = p , pero m debe ser menor que p .

   

   

0 1 0 0 0 0 1 0 Sea por ejemplo A = J 0,4 = , expondremos abajo 0 0 0 1 0 0 0 0 las potencias crecientes del cuadrado, el cubo y la cuarta potencia

 

0 0 A2 = 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

 

0 1 0 0

,

0 0 A3 = 0 0


0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

,

 

0 0 A4 = 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

 

0 0 0 0




Apéndice G Transformaciones de la circunferencia G-1.Mapeos lineales de la circunferencia unitaria . . . . . . . . . . . 190

G-1.1.Caso 1: det(L) = 0, Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192



G-1.1.1.Matriz asociada con autovalores complejos . . . . 192 G-1.1.2.Matriz asociada con autovalores reales . . . . . . 193 G-1.2.Caso 2: det(L) = 0, Segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 5 G-1.2.1.Proyecciones (escaladas) . . . . . . . . . . . . . . 195 G-1.2.2.ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

 

Supongamos la transformación lineal L (x, y) = (x, x + y) y que quisiéramos estudiar cómo se mapea la circunferencia unitaria mediante la TL L La circunferencia unitaria la puedes parametrizar como cos α , α [0;2π), y desparametrizada es x2 + y 2 = 1. sen α El mapeado entonces queda:

 

∈

    1 0 1 1

cos α = sen α

cos α sen α + cosα



es decir que x  = cos α y además y  = sen α + cosα, de donde x2 = cos2 α y 2 = (sen α + cosα)2 = 1 + 2 sen α cos α x y  = cos2 α + sen α cos α

de donde obtenemos la ecuación desparametrizada de la imagen de x 2 + y 2 = 1 a través de L 2x2

− 2xy + y 189

2

=1

(G.1)

Apéndice G. Transformaciones de la circunferencia

Ya esa



G-1. Mapeos lineales de la circunferencia unitaria

tenemos las herramientas para graficar elipse: los pares autovalor–autovector son 3+ 5 3 5 , (2, 1 5) , , (2, 1 + 5) 2 2

√

− √

  − √

√





Y

Y

X X



La (G.1) está referida al sistema XY . Respecto del sistema X  Y  su ecuación es x2 2 3+ 5

√

+

y 2 2

√ 3− 5

(G.1’)

=1

La técnica para desparametrizar parece ser simple, pero porque la matriz asociada a la transformación L usada como ejemplo es muy simple. En casos mas genereales...

G-1. Mapeos lineales de la circunferencia unitaria Supongamos tener una transformación lineal en el plano, la cual puede escribirse en forma genérica como L (x, y) = mx + ny,px + qy y queremos saber cómo se mapea la circunferencia unitaria mediante esa ley lineal.

 

   ·   

La matriz asociada a esa transformación lineal es



m n p q

La circunferencia unitaria se modeliza como u = (x, y) = (cos α, sen α) y cos α m n m cos α + n sen α el transformado será entonces , es = p q sen α p cos α + q sen α decir



L(u) = m cos α + n sen α , p cos α + q sen α

o sea...



(G.2)

x = m cos α + n sen α y  = p cos α + q sen α




de donde —excluyendo las transformaciones de proyecciones y otras— x2 = m 2 cos2 α + n2 sen2 α + 2mn sen α cos α

y2 = p 2 cos2 α + q 2 sen2 α + 2 pq sen α cos α

x y = mp cos2 α + nq sen2 α + (mq + np)sen α cos α

(G.3) (G.4) (G.5)

Desparametrizar la ec.(G.2) es muy complicado cuando uno no tiene las herramientas adecuadas. Nosotros, después de canonizar una ecuación de segundo grado sí tenemos las herramientas adecuadas: a11 x2 + a22 y2 + 2a12 x y = c

(G.6)

permite el tratamiento convencional con autovectores para llegar a una ecuación sobre ejes rotados, del tipo canónico. Podemos re-escribir las ecuaciones (G.3)...(G.5) con una notación de vectores... x2 = (m2 , n2 , 2mn) y 2 = ( p2 , q 2 , 2 pq ) x y = (mp , nq , mq + np)

donde la primera componente está multiplicada por un coseno cuadrado de alfa, la segunda componente se multiplica por un seno cuadrado de alfa, y la tercera componente por el producto seno-coseno de alfa. Aprovechando que c cos2 α+c sen2 α = c , podemos formar una «combinación lineal» de modo que se elimine la tercera componente. Entonces la ec.(G.6) queda a11 (m2 , n2 , 2mn) + a22 ( p2 , q 2 , 2 pq ) + 2a12 (mp , nq , mq + np) = (c,c, 0) (G.7)

Y esto arroja el sistema lineal



2mp m2 p2 2 2 n q 2nq 2mn 2 pq 2mq + 2np

     · a11 a22 a12

=

c c 0

(G.8)

M S = C

·

Y si (G.8) tuviera solución, ya podríamos caracterizar la (G.6), y por tanto proceder a la identificación de la cónica resultante mediante el procedimiento de canonización donde no existe la traslación del sistema de referencias. w Aw = c

⇒     x y


a11 a12 a12 a22

x = c y





G-1.1. Caso 1: det(L) = 0, Elipse Supongamos que los autovalores y autovectores que arroja la (G.6) con la solución de (G.8) son [ λ1 (v1 ) , λ2(v2 ) ] donde los autovectores son linealmente independientes; y que la matriz diagonalizante —de A— a usar es [ V ] = [ v1 v2 ]. En ese caso la (G.6) deviene en

     x y

x = c = λ 1 x2 + λ2 y2  y

λ1 0 0 λ2

canonizando queda x2 c λ1

+

y2 c λ2

=1

(G.9)

En el caso que los signos de los autovalores y el de c sean iguales(1 ), la (G.9) quedará como x2 y2 + 2 =1 a21 a2

(G.10)



c donde ai = y la ecuación (G.10) será una elipse. Si además λ1 = λ2 , λi tendremos una circunferencia.

Vamos a dar dos ejemplos donde se utilice esta herramienta. El primero con una transformación de rotación y escalamiento, y el segundo con una transformación un poco más compleja. G-1.1.1. Matriz asociada con autovalores complejos

  −  −        − ·

R2 L1 (x, y) = (2x y , x + Sea la transformación lineal de R2 Ejemplo G.1. 2y), encuentra la transformada (el mapeo) de la circunferencia unitaria.

→ |



En este caso la matriz asociada es [ L ] = ec.(G.8) tenemos que

 −

4 1 1 4 4 4

4 4 6

a11 a22 a12

2 1

1 2

=

c c 0

=

m n . En la p q

(G.8”)

al resolverla tenemos que a 11 = c/5, a22 = c/5, a12 = 0, con lo que haciendo c = 5 tenemos L1 (u) : x 2 + y2 = 5 1 Si

existen y no son cero, serán del mismo signo




es decir, una circunferencia de radio

√ 5. P  Y P X



G-1.1.2. Matriz asociada con autovalores reales

      −      − · −

Ejemplo G.2. R2 L2 (x, y) = (2x + y , x Sea la transformación lineal de R2 3y), encuentra la transformada (el mapeo) de la circunferencia unitaria.

→ |



2 1




4 1 4

1 9 6

4 6 10

−

a11 a22 a12

1 3

=

al resolverla tenemos que a11 = 2c/49, a22 = que haciendo c = 49 tenemos

=

c c 0

−

m n . En la p q

(G.8”’)

−3c/133, a12 = c/49, con lo

L2 (u) : 10x2 + 5y 2 + 2x y = 49

la cual tenemos que canonizar: la matriz de coeficientes es [ A ] = tores√ son 15− 29 : 2, 5 2



 − − √ 

√ 29

29 , 15+2 15

   √  10 1 1 5

: 5+

, cuyos autovalores y autovec-

29, 2

es decir,

− √ 29 x2 + 15 + √ 29 y2 = 49 2

2 aproximadamente

x2 y 2 + =1 3.19262 2.19262

una elipse de semieje focal aproximadamente 3.19 sobre el eje dado por la dirección aproximada (1, 5.19), por aproximadamente 2.19 en la dirección

−




normal (5.19, 1).

Y P X P 



Este es un caso donde los autovectores de la matriz asociada a la transformación lineal [ L ] y los autovectores de la matriz de coeficientes [ A ] son numéricamente iguales2 , y no será normalmente así...

  −     −      ·

R2 L3 (x, y) = (2x , x Sea la transformación lineal de R2 encuentra la transformada (el mapeo) de la circunferencia unitaria. 

Ejemplo G.3.

→ | 2 1




4 0 0

1 9 6

− −

4 0 12

a11 a22 a12

0 3

=

=

c c 0

la cual tenemos que canonizar: la matriz de coeficientes es [ A ] = vectores son



−

5 1

m 0 . En la p q

(G.8””)

al resolverla tenemos que a 11 = 5c/18, a22 = 2c/18, a12 = haciendo c = 18 tenemos L3 (u) : 5x2 + 2y2

3y),

−c/18, con lo que

− 2xy = 18 −1 2



, cuyos autovalores y auto-

2 Recordemos que los ejes principales son los autovectores de la matriz de los coeficientes.




  −√ 13 :

7

2



√ 2, 3 − 13

,

√

7+ 13 2

15

:

−



√ 3 + 13, 2 √ 15 + 29

− √ 29 x2 + 2

es decir,

y 2 = 18

2 aproximadamente

x2 y 2 + =1 1.842402 3.256622

Y P X P 

una elipse de semieje focal aproximadamente 3.26 sobre el eje dado por la dirección aproximada (3.30, 1), por aproximadamente 1.84 en la dirección normal (1, 3.30).

−



La pregunta es entonces

¿Cuándo se da que los autovectores de [L] y de [A] coinciden?

G-1.2. Caso 2: det(L) = 0, Segmentos G-1.2.1. Proyecciones (escaladas)

Lógicamente habrá casos en que el procedimiento no será válido hasta el final: por ejemplo...

Ejemplo G.4.

Mapea la circunferencia unitaria por la transformación de proyec- ción sobre el eje X






        ·

En este caso la matriz asociada es ec.(G.8) tenemos que



1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0

a11 a22 a12

=

m n , con lo cual, en la p q

=

c c 0

(G.8’)

, la cual, como no es invertible, no tiene solución. Pero evidentemente

 ·    1 0 0 0

cos α sen α

cos α 0

=

y como α [0;2π), tenemos que cos α : 1  1 con lo cual el lugar geométrico es un segmento. En el caso más general de proyección seguida de escalamiento k ,

∈

−

 ·   k 0 0 0

cos α sen α

=

k cos α 0



tendremos que la circunferencia unitaria se mapea en el segmento (x, y) = λ(1, 0) , λ [ k , k ] Y P , k = 2

∈ −| | | |

P 



La proyección general, sobre la recta y = mx —y un posterior escalamiento— cubre el caso anterior, pero no el de la proyección sobre el eje Y . Ambas las estudiaremos:

Ejemplo G.5.

Mapea la circunferencia unitaria por la transformación de proyec- ción sobre la recta y = mx 

A partir de la figura siguiente y teniendo en cuenta que la matriz asociada no es más que los mapeos de la base canónica




Y

e2

y = mx

· ·

ei v como v = (1, m) y e i = v, v v tenemos que: e1 = 1+1m2 (1, m),

e2

e2 =

e1 e1

m

1+m2

X

1 En este caso la matriz asociada a la proyección pura es 1 + m2 con lo cual en un caso similar tendríamos k



1 m m m2

(1, m).

·   cos α sen α

= k

cos α + m sen α m(cos α + m sen α)



1 m m m2



,



donde claramente puede desparametrizarse como y  = m x . P  Y P

, k = 2, m = 2 X



La pregunta es:

¿Cuándo se produce la excursión máxima?

Ejemplo G.6.

Mapea la circunferencia unitaria por la transformación de proyec- ción sobre el eje Y 




1 En este caso la matriz asociada a la proyección pura es 1 + m2 con lo cual en un caso similar tendríamos

 ·   0 0 0 k

cos α sen α

= k

que arroja el segmento (x, y) = k(0, 1) ,

k



0 k sen α

 

0 0 , 0 1



∈ [−1, 1]

La pregunta es ahora:

¿Las proyecciones y posterior expansión o compresión son las únicas transformaciones que mapean una circunferencia en un segmento?

¿Puedes averiguar en qué condiciones de [L] no es posible resolver la (G.8)?

Anexo al apéndice En forma genérica... La solución depende del determinante Respecto de los determinantes de L y M puede verificarse3 que det(M ) = 2 det(L)3 = 2 (m q

·

·

− n p)

3

de donde es inmediato que det(L) = 0 det(M ) = 0 y como consecuencia (G.8) tendrá una solución solamente cuando det(L) = 0.

⇔

3 Está



demás decir que det 3 [ L ] = det(L)3




Y con ello de la inversa de M La solución de la (G.8) es S = M −1 C , después de algunas cuentas es

·

 

a11 c a22 = det2 (L) a12

 −



q 2 + p2 n2 + m2 n q m p

−

Tenemos la ecuación de la elipse Por tanto si hacemos c = (m q (q 2 + p2)x2

2

− n p)

podemos escribir directamente 2

− 2(n q + m p)xy + (n

+ m2 )y 2 = 1

como la ecuación de la elipse a canonizar.

Y con el cambio de base La matriz [A] =



q 2 + p2 n q m p

− −

−n q − m p 2

n + m

2

  a11 a12 a12 a22

=

es la que contiene los autovectores y autovalores que definen los parámetros de la elipse. Podemos probar que det([ A ]) = det2 ([ L ])

y si k =

entonces: λ1 =

a22 + a11 2



(a22

−a

11 )

− k,

v1 = (2a12 , a22

2

+ 4a212

λ2 =

− a − k) ,

a22 + a11 + k 2

v2 = (2a12 , a22

11

de donde puede probarse claramente que v1 es nulo.

−a

11 + k)

⊥ v ya que el producto escalar 2

Obtenemos los semiejes y sus direcciones En la ecuación de la elipse girada tenemos: λ1 x2 + λ2 y2 = 1,

x : v 1 ,


y : v 2



de modo que x2

√ λ1

+ 2

1

y2

√ λ1

=1 2

2



Como a22 + a 11 = m2 + n 2 + p 2 + q 2 > 0 y como k = (a22 a11 )2 + 4a212 > 0 resulta que siempre es λ1  λ2 , lo cual implica que √ λ1 2 > √ λ1 2 y entonces 1 2 tenemos que el semieje mayor es √ 1λ1 —salvo el caso en que fueran iguales, caso que devendrá en una circunferencia—

−

La dirección principal entonces está dada por v1 y la elipse podrá escribirse como x2 y2 + 2 = 1, a2 b

semieje mayor : a =

{

XY : v1 , v2



2 a22 + a11

−k

semieje menor : b =



}

2 a22 + a11 + k

...Salvo algo inesperado Cualquier matriz —de entradas reales 4 — puede escribirse como producto de tres matrices como se verá abajo

Descomposición SVD [ L ] = [ U ] [ S ] [ V ]

El procedimiento usual para calcularlas es 1. Calculamos L L y sus autovalores no nulos ordenados de mayor a menor: λ 1 > λ2 > 0. Los valores singulares son σ i = λi

· ···≥

√

2. Calculamos una matriz de autoversores normales asociados a esos auto, un ] valores [ U ] = [ u1, u2,

·· ·

3. Calculamos una matriz de autoversores norma les 5 [ V ] donde cada columa v i = σ i−1 L ui 4. La matriz [ S ] es diagonal y carga los valores singulares de mayor a menor. Maxima

Freemat

load(lapack)$ [S,U,VT]:dgesvd (L, true, true);

[u,s,v]=svd(L)

es una matriz de entradas complejas vale [ L ] = [ U ] [ S ] [ V ]∗ el traspuesto conjugado. En nuestro caso además L es cuadrada. 5 Para nuestro caso V  = S −1 U  L 4 Si




El orden de todas las columnas lo definen los autovalores de [ L L ], que entran en [ S ] de mayor a menor. Comoquiera que sea, [ S ] u puede verse como [ U ] [ S ] ([ V ] XY ) donde ya se ve que si X Y carga con los vectores normales que definen la circunferencia unitaria, ([ V ] XY ) puede verse como una rotación —y posible reflexión— de esos ejes mientras que la circunferencia sigue inmutable. Luego [ S ] ([ V ] XY ) puede verse como una segunda transformación que distorsiona los ejes de la circunferencia y la vuelve una elipse. Finalmente [ U ] [ S ] ([ V ] XY ) puede verse como otra transformación que rota —y posiblemente haga una reflexión de— esa elipse anterior G-1.2.2. ejemplo

Repetimos el ejemplo G.3

    

R2 L3 (x, y) = (2x , x Sea la transformación lineal de R2 encuentra la transformada (el mapeo) de la circunferencia unitaria. 

Ejemplo G.7.

→ |

En este caso la matriz asociada es [ L ] = caso 

[ LL ] =

2 1

0 3

−

m 0 . En este p q

=

   − √ − − √ √   √  √  ≈  −  √ √    √ √  ≈ 4 2 2 10

,

(7

13, ( 3, 2

13)), (7 +

− 3y),

−

13, ( 3, 2 +

√

13))

De donde

7+ 0

[ S ] =

13

0

7

2 4+(3+ 13)2

√ √ 3+ 13 √ 4+(3+ 13)

[ U ] =

2

3.25662 0 0 1.84240

13

2 4+(3

−√ 13) √ 3− 13 √ 4+(3− 13)

2

0.28978 0.95709

2

0.95709 0.28978

−



 

Ésta es una matriz de reflexión alrededor del eje X seguida de una rotación —73.15°—, con lo que sería mejor que la transforme en rotación pura cambiando el sentido del segundo vector6 de esa manera [ U ] =

 √  √

2 4+(3+ 13)2

√ √ 3+ 13 √ 4+(3+ 13)

√ 4+(3−−2√ 13)

2

13 −3+ √ √ 4+(3 − 13)

2

   ≈

√

2

0.28978 0.95709

−0.95709 0.28978



[ U ] será una reflexión alrededor del eje X seguidauna rotación pura de 73.15°. Entonces [ V  ] 6

ya que



a b

b a

−



1 0

0 1

−

 =

a b

−b a



≈


0.47186 0.88167

−

−0.88167 −0.47186



(G.11)

unClase.tex calls ../libros/algebra/M8/mapeo-circunit



[ V  ] será una reflexión alrededor del eje X seguida de una rotación de 61.84° Y e2Y

−

e1 X e2 θV

X

θV e1

primera parte: Reflexión (X) y Rotación producida por V 

·



[ S ] [ V ] =



1.53666 1.62444

−



−2.87128 −0.86935

Y

Y X

e2

X e2

e1

segunda parte: Expansión producida por S

e1

Y

Y X

e2

e 1 X θU

e2

θU

e1

e1

tercera parte: Rotación producida por U , -73.15° e 2

una elipse de semieje focal 3.26 sobre el eje dado por la dirección (3.30, 1), por 1.84 en la dirección normal (1, 3.30). 

−

≈

≈

≈

≈


Apéndice H Ejercitaciones

Resumen:

La estructura de cada uno de los Trabajos Prác- ticos incluye los Objetivos y Recomendaciones. Me- jor es que los resuelvas a todos. En un principio podrías trabajar de la manera siguiente: asegúra- te de calcular todos los ejercicios numéricos, y luego intenta con los ejercicios conceptuales. Como un repaso trata de resolver nuevamente los ejercicios numéricos tratando de aplicar los conceptos. Esta es una técnica que garantiza resultados de excelen- cia en la comprensión de los temas. Para laborato- rios disponibles, solicítalos a la dirección de correo- e, mailto:[email protected].

203

Apéndice H. Ejercitaciones

H-1. Rectas, Planos y Espacios Lineales

H-1.Rectas, Planos y Espacios Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 H-2.Transformaciones Lineales. Matriz asociada vs Ley . . . . . . . . 206 H-3.Isometrías en el Plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211

×n . . . . . . . . . . . .

215

H-4.Valores y Vectores Propios de Matrices n

H-5.Cambios de Base y Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . .

218

H-6.Canonización de Cónicas y Cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . 221 H-7.Ejemplo de examen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 H-8.Una palabra para compartir con profesores

. . . . . . . . . . . . 225

H-1. Rectas, Planos y Espacios Lineales Objetivo: Este es un práctico que combina elementos que a esta altura del curso, se deben conocer. Sin embargo hay algunos ejercicios que piden una demostración, en estos casos lo que se espera es que se piense detenidamente en el mismo, se plantee una propuesta para resolverlo y que se haga la consulta pertinente. Estos temas ya están fuera de evaluación; se ponen aquí simplemente como una ayuda de modo que el alumno sepa en qué momento re-leer algunos temas de los módulos anteriores para aprovechar mejor los contenidos actuales.-

1. Modifica la ecuación vectorial paramétrica de una recta en el plano para que puedas representar la ecuación cartesiana paramétrica de una recta en el plano. 2. Expresa la ecuación de la recta anterior en la forma compacta (forma matricial) —mediante un vector genérico donde la/s variable/s libres aparecen en primer lugar—. 3. La expresión

| d| = δ —pág.12—, ¿describe también la distancia de una |n|

recta al origen en el plano?¿Cómo, o debes modificarla?

4. Referido al ejercicio anterior, demuestra que en el caso de una recta en el plano puede usarse para la distancia al origen, la expresión N =

  ⇒  − 

·

P u˜ u ˜ u2

u1 u2 u˜ = . u2 u1 Ayuda : Bosqueja todo en un gráfico, analiza que u deberás lidiar con un SEL de 2x2

donde si u =

⊥ u˜ seguramente



H-1. Rectas, Planos y Espacios Lineales

5. Especifica si las expresiones son Verdaderas o Falsas a ) Para = λ u u R2 , es 1) el Espacio vectorial generado por u 2) una recta en el espacio 3) una recta en el plano

A { | ∈ }A

b ) Si u

3

∈ R , entonces dim ({λu}) = 2

c ) r = P + λr u

y s = Q + λs v son coincidentes si u = k 1 v = k2 P Q

d ) r = P + λ P Q , λ

∈ [0, 1] implica que r es :

1) el segmento P Q 2) la recta dada por P y Q

6. Escribe la recta en forma matricial x 1 1 3 ab+ λ = y 2 1 2

   − 

c- y = 5x

−

d-

−4

− 2; z = 0

   −  − 1 2 1

+ λ

3 1 2

7. Escribe el plano en forma matricial 1 3 3 µ 1 a2 + λ 1 5 0 2

   −    −

b- 2x + 3y

− z = 6

c- y = 5x

d- dado por 3 puntos : (1, 2, 3) , (4, 3, 0) , (0, 0, 1)

e- z = 2

−


−4


H-2. Transformaciones Lineales. Matriz asociada vs Ley


Objetivo: Este es un práctico que en donde se fijan la habilidad para detectar cuáles transformaciones entre espacios son lineales y cuales no, para hallar la ligadura entre las matrices asociadas a las transformaciones lineales y éstas, y la habilidad para aplicar las pocas propiedades para describir una transformación lineal de diferentes maneras cuando se la define ya sea por la definición de la ley, por su matriz asociada o por un conjunto de vectores de los cuales se conoce lo que la transformación lineal les hace.-

1. Dada la transformación T 1 ((x, y)) = (2x a- Identifica V y W

− y , x + y )

 − 

1 1 c- Representa gráficamente los vectores v1 , v2 y sus transformados w1 y w2 (o v 1 , v2 ) respectivamente

b- Halla los vectores transformados de v 1 = (2, 3) , [v2 ] =

2. A- Repite el ejercicio anterior para las transformaciones y los vectores que figuran abajo. Representa sólo en casos del plano v1 = [v2 ] = Transformación a-

b-

T 2 ((x, y)) = = (2x y , x + y , y

−

T 3 ((x, y)) = (2x

− x)

.

− y )

.

c-

e-

T 4

  a c b d

= (2a

− b, c + d )

T 5 (x) = x 2 + 1 .

 −   −    −     (2, 3)

1 1

(2, 3)

1 1

1 3 2 4

1

f-

T 6 ((x, y)) = (2x + 1 , y) . B- Prueba la linealidad o nó de T 1 ...T 6

(2, 3)

1 1 3 4

− −1

[ 1]

  1

3. Prueba que para cualquier transformación lineal L (v) = w a- L (0 v) = 0 w b- L ( v) = w c- L (av + bu) = aw + bL (u)

·

·

−

−




4. Prueba que L (αu + βv) = αL (u) + βL (v)

reemplaza a

 

L (u + v) = L (u) + L (v) L (k v) = k L (v)

sólo para las transformaciones lineales

 1

5. Probar la linealidad de T : F

→ R | T (f ) =

f (x) dx

0

(Se necesita haber cursado el módulo M71 )

6. Prueba la no linealidad de todas las transformaciones del ejercicio 2, de nuevo pero con contraejemplos 7. Para T 6 , T 7 ((x, y)) = (1 x + y, x2 x y) y T 1 , mapea el cuadrado unitario. Para el caso no lineal, toma una aproximación de diez puntos intermedios para cada lado del cuadrado.

−

− −

8. Para ambos casos, caracteriza el cuadrado unitario como una función paramétrica por trozos, y su transformado de la misma manera y con el mismo parámetro. 9. Respecto del ejercicio anterior, suponiendo que las transformaciones son R2 R2 , establece si una trasformación donde se sufra una traslación es lineal o no.¿Y una rotación ?

→

10. Analiza el significado geométrico que se le puede atribuir a las siguientes transformaciones en el plano. Ayuda: Puedes mapear el cuadrado unitario o varios vectores, la idea es que hagas varias transformaciones para que te des cuenta qué es lo que la ley hace. Si puedes analizarlo sin hacer los dibujitos, has logrado un paso muy importante: la abstracción. abx 0 x y T a = T b = y 0 y x eT e

                f-

x y

=

2x y

T f

x y

1

=

0 y

Que F = C (0 ,1) sea el conjunto de las funciones continuas en el intervalo (0, 1) , de lo contrario puede que deba referirse a otro tipo de integral distinta a la de Riemman que se maneja en M7.



c-


d-

       −          x y

T c

gT g

=

x 0

T d

x y

=

x y

x y

=

2x 2y

h-

x y

=

x 2y

T h

11. Cómo escribirías una transformación que a un vector del plano le corresponda un polinomio de grado hasta 3 en la que el término independiente se corresponde con la segunda componente del vector, el coeficiente del término lineal es la suma de las componentes, el término cuadrático es cero, y el coeficiente del término cúbico es la primera componente del vector. Llama a esta transformación T 8 . Por favor, no continúes sin resolver este ejercicio

12. Respecto de los ejercicios anteriores, ¿Son T 7 y T 8 lineales ? 13. Demuestra que una TL de R3 R3 mapea planos en planos. Discute algún caso en particular donde esto no se diera.

→

14. Halla las matrices asociadas a todas las transformaciones lineales definidas hasta ahora, interésate especialmente por las T a a la T h 15. ¿De qué dimensión debe ser la matriz asociada a una TL que mapea elementos de un espacio de dimensión 10 a un espacio de dimensión 12? 16. En cada caso A- determina [T ], la matriz asociada a la TL T y B- verifica con el elemento cuyas coordenadas sobre base canónica es 1 [v] = 1 1 x T y = casos a-b-c-dz abcdx x + y x + y [x + y] 2y 6y z 6y z 3z 3x + 2y + 4z

      

−

   −

17. Grafica el transformado del cubo unitario en los siguientes casos x = casos a-b-c-dT y z abcdx x + y x x + y 2y 6y z x + y 0 3z 3x + 2y + 4z 0 y + z

 

  

−

     208




para el cubo unitario utiluza la matriz



0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1



18. Aplica la transformación T c definida abajo a las siguientes rectas y grafica la recta y su respectivo transformado T c

   −        x y ax 2x

x y

=

b-

c-

2 + λ 1 + λ

2 + 3λ 2λ

−

dy = 3

− 2x

19. Aplica la transformación T definida abajo a los siguientes planos y grafica el plano y su respectivo transformado

T

   x y z a-

 −  − − − =

x y 0.5 x

2x y y + z

y

 

b-

c-

− − − −

3 + 2λ µ 1 3λ + 2µ 2 + λ µ

  

x + 2y

− z = 4

20. Halla una TL que mapee (a) la recta y = x 1 en la recta y = 2x + 1 y luego x x (b) la misma recta en la recta 2x + 1 3 x (c) Halla las matrices asociadas T 1 y T 2 respectivamente (d) Verifica que la transformación dada por la matriz T 3 = T 2 T 1 mapea la recta y = x 1 directamente en la recta y = 3 x



−

−

−

21. Halla las leyes de las TL que se dan mediante sus matrices asociadas abc0 1 1 1 4 0 1 1 [T i ] = 2 4 0 4 3 0 0 3 0 0 3 Rm sabiendo que todas son transformaciones de Rn



−

  − 

−

 

−



→

22. Halla las leyes de las TL que se dan mediante el mapeo de un conjunto )= de vectores T i ( ab= (1, 2) , ( 3, 1) = (0, 2, 0) , (1, 4, 0) , ( 1, 0, 3)

{A} {B} A { − } B = {(2, 1) , (1, −3)}

A {

−

} B = {(2, 1) , (1, −3) , (1, 2)} sabiendo que ambas son transformaciones de R → R n

m

23. Si se sabe que U i es una TL, halla la imagen de los vectores que faltan 209 JOM - Transformaciones Lineales


 

H-2. Transfor Transformaciones maciones Lineales. Matriz asociada vs Ley

−

U 1 ((1, ((1, 2)) = ( 1, 0, 2)

a-

U 2 ((1, ((1, 2)) = 1

b-

U 1 ((2, ((2, 1)) = (0, (0, 2, 1) U i (( 3, 1)) = U i ((3, ((3, 3)) =

−

U i ((0, ((0, 4)) =

 

U i ((6, ((6, 6)) =

U 2 ((2, ((2, 1)) = ,

−3

El cuadrado unitario

24. Halla, si existe, existe, la TL que verifique... verifique... ((1 , 0, 0)) = 0 , 0 , f ((1, ((1 , 1, 0)) = 0 , 0 , f ((0, ((0 , 1, 2)) = 1 a- f ((1, ((1 , 0)) = (2, (2, 1) , f ((1, ((1 , 1)) = (1, (1, 4) , f ((3, ((3 , 1)) = (0, (0, 2) b- f ((1, ... o cambia una —sólo una por caso— imagen para que sí se verifique.

−

−

25. Demuestra que el mapeo lineal de un subespacio es otro subespacio. (muy importante) 26. Muestra que el mapeo de una base en un espacio, no es en general una base en el otro espacio 27. ¿Cuáles ¿Cuáles serían las condiciones condiciones para que lo anterior anterior,, sí se cumpla?



H-3. Isomet Isometrías rías en el Plano y el espacio

H-3.. Isom H-3 Isomet etrí rías as en el el Plan Plano o y el espac espacio io

Objetivo: Este Es te es un pr prác ácti tico co qu que e en do dond nde e se fi fija jan n la ha habi bili lida dad d para par a dete detecta ctar r cuá cuáles les tran transfo sforma rmacio ciones nes ent entre re esp espacio acios s son so n is isomé ométr tric icas as y cu cuale ales s no no; ; pa para ra dis disti ting ngui uir r qu que e su sus s matric mat rices es aso asocia ciadas das son ort ortogo ogonal nales, es, con apl aplica icacion ciones es a la ge geome ometr tría ía pl plan ana, a, do dond nde e se in incor corpo pora ran n re rela laci cione ones s trigon tri gonomét ométric ricas as con conocid ocidas as en la part parte e A.2 A.2..Una Un a ve vez z te term rmin inad ado o el eje ejerc rcic icio io de debes bes pr preg egun unta tart rte e qu qué é has ha s he hecho cho, , có cómo mo lo ha has s he hech cho o y po porqu rqué. é. Pr Preg egún únta tate te tamb ta mbié ién n si ha habí bía a ot otra ras s ma mane nera ras s al alter terna nati tiva vas s de hac hacer erlo lo y cu cuál ál hub hubie iese se si sido do el pr proc oced edim imie iento nto má más s se senc ncil illo lo y cuál cu ál hu hubie biera ra si sido do el que in invo volu lucr cra a me meno nos s cu cuen enta tas s y má más s razona raz onamien miento; to; y fun fundame damenta ntalme lmente nte: : ¿Hay alg algo o gen genéric érico o o partic par ticular ular que pue puedas das apr aprove ovecha char r a par partir tir del ejer ejercic cicio io que qu e ac acaba abas s de re reso solv lver? er? Anal An aliz izar ar el re resu sult ltad ado o es má más s im impo porta rtant nte e qu que e re reso solve lver r bién bié n el eje ejerci rcicio cio. .

R2 dadas de la forma 1. Verifica si las TL T i : R2 x ? son o no isométricas T i = y ?? ac0 x + 2y 2y

    →      −   −  1 5

0

b-

2x + 4y 4y

d-

y

x cos30

y sin30

x

cos 30 + x sin30 y cos

2. Verifica que si las anteriores anteriores transformacio transformaciones nes lineales son isométricas, isométricas, sus respectivas matrices asociadas son ortogonales 3. Demuestra que si la matriz asociada [G] a una una TL G : V V es ortogonal, si dos elementos del dominio son perpendiculares entre sí, también sus imágenes serán perpendiculares entre sí.

→

4. Referido al ejercicio anterior: Demuestra también que la imagen de una base ortonormal, es otra base ortonormal. 5. Halla, a partir del ejercicio 1, tres composiciones de transformaciones lineales posibles, y comprueba la relación existente entre las matrices 211 JOM - Transformaciones Lineales


H-3. Isomet Isometrías rías en el Plan Plano o y el espa espacio cio

asociadas. ¿Es esto una constante para las transformaciones lineales o sólo para las isométricas?. Justifica.





−

cos α sin α 6. Demuestra Demuestra que la rotación rotación es una isometría tomando sin α cos α los módulos del vector v y de su transformado v  , y verificando que sean iguales. cos α cos α Qué puedes decir de ? sin α sin α



−



7. Halla ángu grados dada por √ el ángulo √ lo de la rotación en grados



2 2 2 2

√

2 2 2 2

− √



por inspección.

Grafica el vector (4, (4 , 3) y su transformado 8. Halla el ángulo ángulo de la rotación en grados grados dada por 0. 8 0. 6 hallando por ejemplo el ángulo entre (4, (4, 3) y su transfor0. 6 0. 8 mado, o directamente por inspección y uso de las relaciones trigonométricas inversas. (4 , 3) T ((4 (( 4, 3)) y luego grafica para Ayuda : recuerda el producto escalar e scalar (4, encontrar el signo del ángulo.



−



·

9. Rota el punto de coordenadas (3, (3, 4), un ángulo de 45°. Verifica gráficamente. Verifica que es una isometría mediante la inspección de su matriz asociada. (3 , 4) hasta 10. Determina Determina la matriz asociada asociada a la rotación que lleve el punto (3, = x . Verifícalo gráficamente. su simétrico respecto de la recta y = x

11. Determina Determina la matriz asociada asociada a la reflexión reflexión que lleve el punto (3, (3 , 4) hasta su simétrico respecto de la recta y = x. = x. Verifícalo gráficamente. 12. Compara Compara y discute discute los dos resultados resultados anteriores; anteriores; particularment particularmente e en lo que se refiere a qué cosa hace cada una de ellas y porqué son distintas. (sólo coincidirán coincidirán al mapear un vector colineal con (3, (3 , 4) ) Verifica Verifica la afirmación anterior transformando el e l vector (4, (4 , 3) 13. Determina las matrices asociadas a las rotaciones que llevan un punto del plano hasta su simétrico respecto de la recta y = x. Verfica gráficamente. Nota: Para cada punto del plano, hay una matriz de rotación. 14. Rota la recta y = 2x un ángulo de 60 ◦ contrareloj mediante una TL. Verifícalo gráficamente. Compruébalo también analíticamente que usando tan(α tan(α) + tan tan (60◦ ) ◦ tan(α tan(α + 60 ) = 1 − tan(α tan(α) tan(60◦ )



H-3. Isomet Isometrías rías en el Plano y el espacio

tan(α) = m = 2 la pendiente de la recta rotada 60◦ contrare y haciendo tan(α loj, será

√ − √

2+ 3 ( α + 60 ◦) = m = tan (α 1 2 3 1. 5146

≈ −

15. Repite el ejercicio anterior con la recta y = reloj.

−3x + 3 un ángulo de 30◦ a

1 16. Rota la recta y = x + 1 un ángulo tal que quede paralela 2 a ) al eje de abscisas. b ) al eje de ordenadas. c ) a la recta y =

−3x + 1

17. Rota el vector (3, (3, 4) un ángulo de 30o y luego al transformado, un ángulo de 45 ◦ . Comprueba que la matriz asociada es igual a una trasnformación de rotación de 15◦ . Es decir que el producto de las matrices asociadas. R−30+45 = R = R 15

−

18. Verifica si es importante el orden de las matrices anteriores. Ten Ten en cuenta que se está rotando siempre respecto de un mismo eje normal al plano que contiene al origen. 19. Prueba Prueba que la matriz matriz de rotación rotación Rα+β = Rα Rβ (donde ambas son rotaciones en el plano o rotaciones en el espacio alrededor de un mismo eje)

·

20. Rota el vector (3, (3 , 4) un ángulo de 30o y luego aplícale la transformación T (( ( (x, y )) = (x (x y , 2x + y + y)) a ) Calcula la matriz asociada a la transformación que hace esas dos cosas a la vez.

−

−

b ) Comprueba que es igual al producto ordenado de las matrices aso-

ciadas. importante el orden de las matrices anteriores. anteriores. c ) Verifica si es importante 21. Respecto Respecto de los ejercicios ejercicios anteriores anteriores (desde 17 (desde 17). ). Estás en condiciones de articular verbalmente lo que ocurre en el plano y dos rotaciones; y en el plano y dos transformacion transformaciones es que no son ambas rotaciones. rotaciones. 22. Rota el plano x + y + z = 1 un ángulo de 30◦ alrededor del eje X y luego un angulo de 60◦ alrededor del eje Z. Halla la ecuación general del plano resultante. x y z 23. Repite el ejercicio ejercicio anterior anterior pero para el plano + + = 1. 3 4 5

−

24. Rota el mismo plano anterior anterior de tal manera que quede paralelo paralelo 213 JOM - Transformaciones Lineales


a ) al eje X.

H-3. Isomet Isometrías rías en el Plan Plano o y el espa espacio cio

planos coordenados. coordenados. b ) a uno de los planos

Analiza gráficamente los resultados. 25. Analiza si en el espacio R3 la matriz asociada a la composición de dos rotaciones puede expresarse por el producto de las matrices asociadas a cada rotación sin importar el orden. Verbalizarlo como en el caso del plano. —Ten en cuenta el resultado del ej.21 ej. 21—. —.


H-4. Valores y Vectores Propios de Matrices n


×n

H-4. Valores y Vectores Propios de Matrices n

×n

Objetivo: Este es un práctico que en donde se enfatiza sobre las características de una matriz cuadrada, que van a tener suma importancia en la descripción de transformaciones lineales o afines. Se calculan los autovalores y autovectores de las matrices cuadradas. Una vez terminado el ejercicio debes preguntarte --y responderte lo más detalladamanete posible-- qué has hecho, y cómo, y fundamentalmente: ¿hay algo genérico o particular que pueda aprovechar a partir del ejercicio que acabo de resolver? Analizar el resultado es más importante que resolver bien el ejercicio.

1. Cuántos autovalores tendrá una matriz cuadrada An×n ? Discútelo a la luz del polinomio característico y el teorema fundamental del álgebra que establece cuántas raíces tiene un polinomio según fuere su orden. 2. Prueba que las matrices simétricas tienen autovalores reales. Hazlo para un caso particular: un caso general de matriz de 2 2 simétrica como a b S = b a

×

 

3. Comprueba que las matrices del tipo, a i,i = k , a j,i = b 0 0 a b como S = o S 2 = 0 a c b a 0 c a tienen autovalores complejos.

 −  

−



−a

i,j

4. Prueba que si una matriz es triangular, sus autovalores están en la diagonal principal. Para tener un método puedes empezar con una matriz triangular genérica de 2 2, luego una de 3 3, y luego anímate a por ejemplo a11 a12 a1(n−1) a1n 0 a22 a2(n−1) a2n 0 a3(n−1) a3n U = 0 .. .. . . .. .. . . . . .

 

×

× ··· ··· ···

0

0

···

0

ann

 

5. Calcula la familia de autovectores asociados a cada autovalor, de las siguientes matrices 215 JOM - Transformaciones Lineales


A =

H-4. Valor Valores es y Vectores Propios de Matrices Matrices n n

 − − −     − − −    1 4

A =

4 1

1 4

2 1 0 0 2 0 0 0 3

×n

  −    − −  − −  −  −    

−4

1 0 4 2

2

2 1 0 1 2 0 0 0 3

2 1 0

1 2 1

0 1 3

6. Calcula Calcula los autovalores autovalores y autovectores autovectores de las siguientes siguientes matrices A = a 4 a 4 β + + 1 1 β 4 a 4 b 1 β β + + 1 A = a a 0 a a 0 a 0 0 a a 0 a a 0 1 b 0 0 0 a 0 0 b d 1 c

−

7. Repite para A = 4 5 2 2 3 0 10 10 10 7 A = 4 2 10 5 3 10 2 0 7

 −  − − −

   

− −

−

0 0 2

1 0 0 1 5 4

−

0 0 1 0 0 1

2 5 4

−

  − −   − 1 8 20

1 0 0

0 7 20

 −  0 4 11

8 20 7 20 4 11

− −

8. ¿Puedes ¿Puedes establecer una propiedad propiedad acerca de los autovalores autovalores y autovectores para las matrices traspuestas? Comprueba que puede sacarse tres, dos, y sólo un autovector de las siguientes respectivas matrices A = 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1



 

 



9. Escoge Escoge una matriz ortogonal ortogonal G R 3×3 ; halla sus autovalores y autovectores. Luego efectúa el producto escalar de los autovectores asociados a autovalores diferentes. Informa lo que observas. Forma la matriz de los autoversores y verifica si es ortogonal o no. Trata de explicártelo conectando el tema de Autovalores y Autovectores con el tema de Transformaciones lineales Isométricas.

∈

10. Obtiene Obtiene dos matrices similares similares distintas, distintas, para la la matriz A = A =

  1 0 4 2

−

11. Respecto Respecto del ejercicio ejercicio anterior anterior,, halla los autovalores autovalores y autovectore autovectoress de las tres matrices similares 12. Discute Discute el resultado anterior anterior 216 JOM - Transformaciones Lineales

H-4. Val Valores ores y Vectores Propios de Matrices n Matrices n


×n

13. Obtiene Obtiene los autovalores autovalores y autovectores autovectores de A = A = y de B = 4A, y de C = kA k A donde k = 0, k



∈ R

  1 0 4 2

−

14. Discute Discute los resultados anteriores anteriores.. 15. Si la matriz [T [ T ]] tiene un par (λ , v ) discute cómo encontrar el par (µ ( µ , w ) asociados a Discute la validez validez del resultado. resultado. a ) la matriz inversa de [T [ T ]] . Discute T ] . Este par se asocia al autovector por b ) la matriz traspuesta de [T ] [ T ]] izquierda de [T

anterior,, la matriz [B [ B ] = [T ] T ] [T ] T ] c ) sobre la base anterior asociado a la matriz matriz similar similar [B d ) asociado [B ] = [M ] [T ] T ] [M ]−1 si [M [ M ] es de la misma [ T ]] y además invertible dimensión de [T

16. Establece el valor de verdad de las proposiciones y justifica, para dos matrices de n n, una diagonal y otra triangular superior

×

a ) si tienen la misma diagonal , son similares. b ) si los elementos de la diagonal de una pueden encontrarse también

en la diagonal de la otra, pero en orden diferente, son similares. c ) Sobre esa base; verifícalo con las siguientes matrices, y en caso de

que no puedas verificar algo, establece claramente porqué. 1 0 0 0 0 1 0 1 2 0 0 2 0 0 0 0 2 1 1 1 A1 = 0 0 3 0 0 A2 = 0 0 3 2 1 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A3 =

   

3 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 2 1 0 0

0 1 0 0 0

0 1 0 0 2

   

A4 =


   

−

3 0 1 4 0

0 1 0 2 0

0 0 0 1 0

0 0 0 3 0

0 0 0 0 2

   


H-5. Cambios de Base y Trans Transformaciones formaciones Lineales

H-5.. Cambios H-5 Cambios de Base y Transformac ransformacione iones s Lineale Lineales s

Objetivo: Este Es te es un pr prác ácti tico co qu que e co comb mbin ina a ca camb mbio ios s de ba base se apli ap lica cado dos s a la las s di dive vers rsas as fo form rmas as de es escr crib ibir ir un una a TL a trav tr avés és de un una a ma matr triz iz as asoc ocia iada da. . Des Descu cubr brim imos os qu que e la ma matr triz iz asoc as ociad iada a qu que e vi vimo mos s en la se secc cció ión n H-2 no er eran an ún únic icas as y depe de pende nden n de la las s ba bases ses ad adot otad adas as en ca cada da es espa paci cio. o. Ex Exis iste te much mu cho o in inte teré rés s en «de «desa saco copl plar ar» » una TL TL, , qu que e qu quier iere e de deci cir r » ve verl rla« a« de desd sde e un pu punt nto o de vista vista ta tal l qu que e se sea a mu muy y si simp mple le entende ent enderla rla, , por porque que las com compon ponente entes s del tra transf nsforma ormado do sol solo o dependen dependen del correspondien correspondiente te original.original.-

1. Dada la matriz A =

 − −

7 16 8

−16 −8 7 8 8 −5

su diagonal a- ordenada de mayor a menor. b- ordenada de esta manera 9 , 27 ,



Halla [Λ] de modo que [Λ] tenga

{−

−9} . 2. Si los autovectores de una matriz de 2 × 2 son v matriz

1

 

y v2 , Prueba que la

v3 v4 , formada por los vectores

v3 = k 1 v1 , v4 = k = k2 v2

donde k 1 , k2 ambos son distintos de cero, también es diagonalizante. 3. Prueba que si se intercambia intercambian n los autovectore autovectoress en una matriz diagonalidiagonalizante, la matriz obtenida sigue siendo diagonalizante. 4. Con los dos últimos ejercicios ejercicios en mente establece cuántas cuántas matrices matrices diagonales podrá tener una matriz de n n y cuántas matrices diagonalizantes podrá tener. —No te olvides que no todas las matrices son similares a una matriz diagonal—

×

5. Diagonaliza Diagonaliza la la matriz de 2

    −    −  −

× 2 simétrica genérica como S =

a b b a

6. Diagonaliza Diagonaliza si es posible las siguientes siguientes matrices a)

e )

 −   −    − 1 4

1 0 4 2

4 1

b )

f )

2 1 0 0 2 0 0 0 3 2 1 1 2 0 1

c )

1 4

4 2

d )

2 1 0 1 2 0 0 0 3

0 1 3

−

Haz las comparaciones del caso



H-5. Cambios de Base y Transformaciones Transformaciones Lineales Lineales

7. Dada una TL T : R2 R2 T ((v (( v1 , v2 )) = (3v (3v1 + v + v2 , v1 2v2 ) la base 1 = (1, (1, 1) , ( 1, 1) , y el vector u = u = (2, (2, 2) a ) Calcula las matrices asociadas a la TL T , en los cuatro casos ([T ] T ] , [T 1 ] , [T ] T ]1 , [T 1]1 ) y representa esas relaciones en un pictograma.

→ | B {

−

−

}

−

b ) Representa el vector u y su transformado de las diferentes formas

posibles. c ) Agrega una base más y determina todas las nuevas matrices posi-

bles. Atribuye un valor valor de verdad a la expresió expresión n : “la cantidad de matrices d ) Atribuye asociadas a una sola transformación lineal es infinita, porque las posibles bases en uno y otro espacio son infinitas. ” 8. Para la transformación anterior, trata de encontrar una base 3 tal que la transformación pueda verse desacoplada. Calcula la matriz asociada sobre esa base en los dos espacios... ...¿Era posible prever con certeza la respuesta anterior con la información de cualquiera de las matrices asociadas calculadas en el punto (a) del ejercicio anterior? Justificar.

B

9. Para Para la transformació transformación n lineal dada por 2a a [T ] T ] = 2b que mapea b a + b un espacio vectorial de polinomios en grado hasta 1 a vectores en R3 , y dada una base 1 = 2 , 4x y el polinomio u (x) = 1 + 2x 2x Determina Determina matricialmen matricialmente. te. . . [ T ]] asociada a la TL T a ) La matriz [T

   

B {

}

b ) el polinomio u (x) transformado —comprueba mediante la ley— c ) el polinomio en la base

B . 1

[ T 1 ] asociada a la TL T d ) la matriz [T e ) comprueba el cálculo anterior, verificando que [T (u ( u) ] = [T [T 1 ] [u]1 , punto 9 b [T (u ( u)] lo has obtenido en el punto 9

[ T ]]1 ? ¿porqué? f ) ¿se podrá calcular [T

prueba ba que que en real realida idad d T : P 1 g ) prue

     −  x,y,

x + x + y y 2

→

siendo do S el subespacio subespacio S , sien

10. Prueba que para la TL U : P 1 Q R3 , con a + b a [U ] = a b , la matriz asociada [U [ U A ]B es la identidad , b 2a

→ ∈ 219



H-5. Cambios de Base y Trans Transformaciones formaciones Lineales

siempre que las bases sean las estándares, en este caso

A = {1, x}

,

= {(1, (1, 1, 2) , (1, (1, −1, 0)} B =

11. Para Para el ejercicio anterior anterior —Ej.9 —Ej.9— , toma una base (1, 1, 1) , ( 1, 1, 1) , (0, (0, 1, 1) . Determina 2 = (1, 1- La matriz [T [ T ]]2 asociada a la TL T 2-La matriz [T [ T 1 ]2 asociada a la TL T

B {

−

− }

12. Para Para los ejercicios ejercicios anteriores anteriores —11 —11 y y 9 9—: —: 1- mapea los vectores de la base canónica de P 1 expresadas en base canónica de R3 y ponlos en orden en la matriz [G [ G1] 2- expresa las imágenes halladas en el ítem anterior sobre la base 2 de d e 3 R y ponlos en orden en la matriz [G [ G2 ] 3- Compara [G1 ] con la matriz asociada a la TL original, Compara [G2 ] [ T ]]2 con la matriz [T 4- Mapea los vectores de la base 1 de d e P 1 , y escríbelos sobre la base ca3 [ G] nónica de R . Arma con ellos la matriz [G 5- expresa las imágenes halladas en el ítem anterior sobre la base 2 de d e 3 R y ponlos en orden en la matriz G 4 [ T 1 ], Compara G 4 con la matriz [T [ T 1 ]2 6- Compara G 3 con la matriz [T Extrae Extrae conclusion conclusiones es sobre definiciones definiciones alternativ alternativas as de las matrices asociadas.

B

B

B

[ T ]] asociada a una TL T : R3 R3 , 13. Consideran Considerando do la matriz [T a b 0 [T ] T ] = b a 0 donde b = a = 0 . 0 0 a a ) Diagonaliza la matriz asociada haciendo un cambio de base adecuado y verifica los resultados mapeando el vector dado por [u] = 1 1 . (debes encontrar una base nueva) 1

→

   

 

b ) ¿Cambia la transformación lineal debido al cambio de base o es la

misma transfo transformació rmación n lineal lineal «vista» «vista» desde otra otra perspectiva perspectiva ? mejora con una forma respecto respecto de la otra? c ) ¿En qué te parece que se mejora 14. Sea T : R2 R2 la reflexión de v sobre la dirección u dada por y = 1- Encuentra la matriz asociada [T [ T ]] a la TL T 2- Encuentra una representación diagonal para [ T ] ]

→

−x .

R3 la proyección de v 15. Sea U : R3 x + 2y 2y z = 0 sobre el plano π : x + 1- Encuentra la matriz asociada [U [ U ]] a la TL U 2- Encuentra una representación diagonal para [ U ] ]

→

−



H-6. Canonización de Cónicas y Cuádricas


Objetivo: Este es un práctico en donde se aplican los conceptos adquiridos a la gemometría de las ecuaciones de las figuras cónicas y las superficies cuádricas. Se aprovecha las características de las matrices simétricas para resolver elegantemente el problema de la rotación de la cónica o cuádrica respecto de los ejes cuando la ecuación admite el término rectangular xy --o los términos xy, xz, yz para las cuádricas-Se completa esto con una traslación, que no es una transformación lineal, pero en este contexto puede aplicarse conjuntamente.-

1. Escribe en forma matricial (a)- 4x2 + 3y2 + 8xy + 2x = 4 (b)- 6y2 + 5xy 3y + 2x = 1 (c)- y2 + x2 = 4

−

2. En el ejemplo 6.1 teníamos que para la ecuación 7x2

√ − 6 3xy + 13y

2

√

+ 12 3x + 64x + 12y

− 64

√

3y =

−276

se podía escribir 276 =

   − √ − √    √ − √    +

y los autovalores eran

7 3 3

x y

12 3 + 64 12

3 3 13

64 3

x y

+

x y

λ1 = 16 , λ2 = 4

Verifica que si se toman al revés los autovalores la ecuación canonizada hubiese quedado de otra manera, pero los ejes se hubieran cambiado también y la figura hubiese sido la misma. 3. Canoniza y Grafica (a)- 4x2 + 3y2 + 8xy + 2x = 4 (b)- 6y2 + 5xy 3y + 2x = 1 (c)- y2 + x2 = 4 (d)- x2 + y 2 + xy + x + y = 1 (e)- 4x2 2y 2 + 4 xy + 2 = 0 (f)- 2x2 + 8y2 + 8 xy 4x + 2y = 0 1 2 (g)- dada por A = y B = 2 3

−

−

 −−    221


2 1



4. Canoniza 1- 5x2 + 5y2 + 8xy + 4xz + 4yz + 2z 2 = 1 2- x 2 2xy + y 2 2 xz 2yz + z 2 + 2 = 0 3- x 2 2xy + y 2 2 xz 2yz + z 2 + 2 z x + y = 0 1 2 0 4- dada por A = 2 3 0 y B = 2 1 4 0 0 5 1 2 0 2 2 3 0 0 5- dada por A = y B = 2 1 4 0 0 0 5 1 2 0 1 6 Ayuda: la forma cuadrática puede tener más variables, en este caso puede hacer v  = x y z q , o mejor v  = x1 x2 x3 x4

− −

− −

− −

 −  − −  −  − −    − − − −     

5. ¿Qué representan los autoversores de la matriz de los coeficientes A ? 6. ¿Qué pasa con la cuádrica si dos autovalores coinciden? 7. ¿Qué pasa con la cuádrica si los tres autovalores coinciden? 8. ¿Qué problemas se generarán en esos casos para encontrar autoversores ortogonales? 9. ¿Qué pasa si dos términos rectangulares son iguales a cero y el otro no es cero? 10. ¿Qué pasa si dos términos cuadráticos son iguales y el otro es cero?



H-7. Ejemplo de examen

H-7. Ejemplo de examen 1. Para el sistema lineal homogéneneo escrito en forma matricial A X = θ , = x A x = θ donde (importante) A R p×q y el conjunto Rq .

∈

S { | ·

Completa los espacios en blanco

a) x

· }⊂

∈ R 0 , y θ ∈ R 0 , lo cual define: X ⊂ V ; V = R 0 , +, R, ·





; θ

∈ V ; V  =



R 0 , +, R,

b ) Completa, justifica o comenta lo que se hace en cada paso

∈ S , a ∈ R ⇓ A · u = θ ∧ A · v = θ A · (u + v) = A · u + A · v

·

u, v

toma dos soluciones y un escalar propiedad distributivavava de las matrices por ser u y v dos solucionesnesnes

= θ + θ

= θ

∈ S A · (a u) = A · (aI u) = A · (D u)

q

convierte todo en matriz, Da es diagonal A y D a conmutan

a

= (ADa ) u = (Da A) u

de nuevo asociatividad reconvierte para volver el escalar

= D a (A u) = (aIA) u = a Au = a (Au)

porque resulta que por 1, u es solución n

propiedad de espacio en

p

q

R R R  verdadero  falso

= θ ∴ a u

p

R R R  verdadero  falso

∴ u + v

= a θ

n

axioma 3 en EVRE:

∈ S

como conclusión:

2. Para el conjunto (3, 3, 2, 6), (1, 1, 1, 3) , encuentra: el espacio generado y la base canónica del mismo.

{ −

− − − }

3. Halla las matrices asociadas a las transformaciones lineales dadas mediante su acción sobre el cuadrado unitario Y C B

A X

O Y A

 a) O

Y

B

1

C  X

 b ) O 223


C 

A

B

2

3 X


H-7. Ejemplo de examen

4. Sean las transformaciones lineales L3 : R3 R2 L3 (x,y,z ) = (x + z, 2x

→ |

− − 3y)

y

L4 : R2 R3 L4 (x, y) = (x,y,y x) a ) Halla la matriz asociada [ L ] de la composición entre L3 y L4 , si es L : R2 R2 .

→ |

−

→

b ) Transforma el cuadrado unitario mediante L , y grafica. c ) Halla los espacios asociados a los autovalores de [L] d ) Halla la base

2

B de R 1

para que [ L1 ]1 se vea desacoplada.



H-8. Una palabra para compartir con profesores

H-8. Una palabra para compartir con profesores Si el tema de que el EV es una estructura algebraica no es sencillo de incorporar en primer año de nuestras facultades de ingeniería y el estudiante tiende a pensar en el EV como un conjunto nada más; el peligro es que las transformaciones lineales entre espacios vectoriales ingresen a su modelo mental como una simple extensión de las funciones entre conjuntos. En otras palabras: la consideración de las propiedades de esos conjuntos y el hecho de que estén conectados dentro de estructuras que comparten el cuerpo de escalares quedaría excluida o al menos muy debilitada. La interpretación de cualquier algoritmo que usen los estudiantes para resolver sistemas lineales es crucial. Prácticamente ningún concepto puede quedar claro —me refiero a que se incluya la parte «saber cómo— sin este requisito, así que resulta primordial asegurarse al principio de que este tema está muy bien aprehendido. La excesiva mecanización de procedimientos es un rasgo propio de estos temas, —pensemos en espacios generados, en la determinación de que un conjunto de vectores es o no linealmente dependiente, en el cálculo de auto vectores y así hasta las canonizaciones de cónica y cuádrica son sencillas de resolver con dos o tres técnicas o procedimientos— y el docente debe estar muy atento para evitar caer en ellas, y para evitar que los estudiantes —aún más propensos justamente por estar expuestos a temas bastante abstractos y en el proceso del aprendizaje, a tomar este atajo— lo hagan. Hay una cuestión no menor: la naturaleza se rige es general por leyes no lineales. Lo lineal es una abstracción que nos permite teorizar bajo supuestos que a estas alturas de la carrera los alumnos no advierten. Por eso es sumamente conveniente aunque más no sea tratar tangencialmente las transformaciones no lineales. Resumir que un si un vector es colineal con su transformado es un auto vector es quedarse con el concepto de que los espacios vectoriales solamente se dan bajo los cuerpos reales, amén de que tampoco es correcto cuando está asociado a un valor propio cero. Los autovectores de interés en la ingeniería —por ejemplo en el control de sistemas, los sistemas se controlan para que tengan autovectores complejos en cierta parte del semiplano izquierdo del plano complejo (si se trata de sistemas dinámicos de tiempo continuo) o que queden confinados a una región de diseño dentro del círculo unitario (en el caso de sistemas de tiempo discreto, digitales o modelos de tiempo continuo discretizados). Existen excelentes oportunidades para combinar lo que el alumno está aprendiendo de los cursos de cálculo y aventurarse a mostrar aplicaciones en otras asignaturas posteriores —ecuaciones versus funciones, funciones de varias variables, esfuerzos en vigas, etcétera. Hay ciertos inconvenientes a la hora de entender que la transformación de 225 JOM - Transformaciones Lineales


H-8. Una palabra para compartir con profesores

rotación no tiene nada que ver con la rotación de coordenadas (cambio de base) con la que se juega para encontrar los ejes principales de cónicas y cuádricas. Asimismo hay una idea generalizada de que las matrices que admiten diagonalización deben ser regulares, y una gran dificultad para encontrar pares autovalor–autovector a partir de matrices genéricas —por ejemplo, los de la traspuesta, los de la escalada, etcétera—


Elementos en color(B.2) Cap.1

Planos y rectas mediante espacio vectorial

Y 2

–Tramo AB:

∈ [0, 1] –Tramo BC: g = (k, −1 + 4k − k 2 ); k ∈ [1, 4] –Tramo CA: 1 g = (, 16 ( − 8));  ∈ [4  0] para ir de 4 a 8, debe ser  = 8 − k 1 (8 − k)(−k)); k ∈ [4, 8] g = (8 − k, 16

−1 + 4x − x2

B

g 1

A 0

-1

1

2

3

X

4

g = k(1, 2) ;

k

, , k)( k)) ,

k k k

finalmente

−

x(x 8) 16

C g =

A(0, 0) , B(1, 2) y C (4, 1)

−

 

(k, 2k) (k, 1 + 4k 1 (8 k, 16 (8

− −

k2)

− − −

∈ [0, 1] ∈ [1, 4] ∈ [4, 8]

Sec. 1-4.2–Fig.1.6, pág.17 – Trayectorias con segmentos rectos y arcos

Cap.2

Transformaciones Lineales T

V

·

V  = (  , + , K,  )

V

V = ( , +, K, ) v

D

T

=

·

T (v) = v 

V

K ( , +, )

K ·

C

T

=

V 

Sec. 2-1–Fig.2.2, pág.23 – Transformaciones entre dos e.v. Una transformación es una función entre los conjuntos subyacentes de dos espacios vectoriales que comparten el cuerpo de escalares. Una transformación es lineal cuando cumple con los axiomas de superposición indicados en las ecuaciones (2.2) y (2.3) pág. 25

Propiedades de las Transf. Lineales 1

• Para una TL, la imagen del vector nulo; es el otro vector nulo • la TL preserva las combinaciones lineales • una TL T : R → R mapea rectas en rectas. n

n

Sec. 2-2.1, pág. 29

Matriz asociada a una TL si T : V V  es lineal, estamos habilitados para tomar ventaja a la hora de transformar, simplemente aplicando el Álgebra matricial.

→

V v

L

V 

L

v  = L(v)

[L]

[v]

[v’]

C V

C V 

Sec. 2-3–Fig.2.4, pág.38 – Transformación lineal y matrices de coordenadas

Z θZ

Z e3

e3

v 1

θX

θX

X

v



e 2

θX

θY

θX

Y

X

(a)

e2

Y

(b)

Sec. 3-3–Fig.3.3, pág.53 – (a) Rotación en el espacio (b) Alrededor del eje X B.2 Color


ˇ k

Z n

1/4

Z

u y z

1/4

1/2

1/3

X

Y

X

1/3

Y α

uyz

Vista isométrica y de perfil Z Y 1/5

1/5 1/2

Z



u x y

1/2

β

1/3

X

uxy

X

Y

Vistas luego de la primera rotación Z Y

1/4

√

√ 129

1/ 29

Z 1/2

X

1/3

X

Y

Vistas luego de la segunda rotación Figuras referidas al ejemplo 3.6, pág. 55

Solo hemos definido rotaciones alrededor de los ejes coordenados.

2015 Jorge Omar Morel. Esta obra está licenciada bajo la Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional. Para ver una copia de esta licencia, visita http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/.

B.2 Color JOM - Transformaciones Lineales

3

Cap.4

Autovalores y Autovectores

Y

Y v4

v3 X

X

v3 v4 Y

Y

v1

6

v5

3

5 4

2

√ 2

6

3

v1

2

√ 2

3

v5

1

1

1

2

3

4

5

6

X

1

2

3

X

Figuras referidas al Ejemplo 4.2, pág 61

La cantidad de autovectores linealmente independientes asociados a un autovalor (multiplicidad geométrica) puede ser igual o menor que su multiplicidad algebraica Sec. 4-2.1.1, Pág. 65

Un par autovalor( λ)-autovector(v ) para una matriz A es aquel en que el conjunto Av,v es linealmente dependiente, y satisface la relación A v = λ v . v = θ , pero Av puede ser el vector nulo. Sec. 4-2.5, Pág. 77



·

{

}

·

Cap.5 Diagonalización de matrices y Aplicación al cambio de bases

B.2 Color


• diagonalizar es encontrar una matriz similar diagonal. La matriz diagonalizante está formada por autovectores.

• La matriz diagonal no es única, menos aún la matriz diagonalizante será única.

• Los autovectores de una matriz diagonalizable forman una base para los espacios que relaciona la transformación lineal a la que esta matriz está asociada.

L

V

v

V  L(v) = v 

[L]

[v]

[ v  ]

K

C

V

C

V 

Sec. 5-3–Fig.5.1, pág.93 – Cambio de bases (Ilustración 1)

v

V

[ B1 ]

B

1

V 

[ L1 ]2

[ v ]1

[v]

C

L

V

v

[ v  ]2

B

K

2

[ v  ] [ B2 ]

C

V 

Sec. 5-3–Fig.5.2, pág.93 – Cambio de bases (Ilustración 2)

V 

V

C

V

v

B

C

v

L

B

K

1

V 

2

V

V 

[v ]

[L] [ L1 ]

[ B1 ]

[ v  ]

[ B2 ]

[ L ]2 [ L1 ]2

[ v ]1

[ v  ]2

Sec. 5-3–Fig.5.3, pág.95 – Cambio de bases (pictograma final)

B.2 Color JOM - Transformaciones Lineales

5

Una TL puede escribirse matricialmente de infinitas maneras, la matriz asociada dependerá de las bases que se tomen en el dominio y en el codominio.

Cap.VI

Canonización

Cónicas Y  

 

Y

y

X

v

E 

Y



x



x 0



X

y 



θ

y 0

x

X

Sec. 6-3–Fig.6.2, pág.105 – Canonización de cónicas

v

[v]

C

[ v ]1 = [ v  ]

Rθ

B

1

Sec. 6-3.2. Figura del ejemplo 6.3, pág.111

Los ejes del sistema de referencias rotado tienen las direcciones respecto del sistema original, en las columnas de Rθ , y ésta es ortogonal: sus columnas son versores normales entre sí. B.2 Color


Y

Y 

θ

θ

X

X 

Figuras del ejemplo 6.5, pág.114 (3 y 4 de 4)

Y

Y  θ

Y  θ

 

X

X 

x = x  + 4 y  = y  + 3

X 

Apx.A

Mapeos de trayectorias en el plano A-1.2

Y

(1, 0)

1.5

Con transformaciones no lineales (Ejemplo)

Y

Y

→ (1, 2)

(1, 0)

1.5 1

0.5

1

X 0.5

1.5

0.5

X -0.5

Y

→ (1, 2)

1

2

X 0.5

-0.5

1.5

X -0.5

1

-0.5 -1

-1

Sec. A-1.2–Fig. A.4, pág.134 – Mapeo no lineal N sobre ambas trayectorias B.2 Color JOM - Transformaciones Lineales

7

2

Apx.C

Más sobre Isometrías

C-0.1 en el plano

Reflexión respecto de una recta cualquiera

u, dado por y = mx

Y v

2

v

u

v

−

v

u

v X

Sec. C-0.1–Fig.C.1, pág.147 – Reflexión alrededor de una recta cualquiera Los elementos vector posición o punto del espacio 2-dimensional, y los números complejos vienen de estructuras diferentes; sólo comparten el hecho de ser isomorfos.

D

Mas sobre autovalores y autovectores D-3

Método de Newton-Raphson (Raíces) π(λ)

π(λ0 )

λ3 λ0

λ1 λ

λ2

m0 π(λ1 )

π

m2

m1

Sec. D-3–Fig.D.1, pág.164 – Ilustración método de Newton-Raphson

B.2 Color


nada

Jorge Omar Morel - 2015 - Transformaciones Lineales B

Recommend Documents