Jorge González - Álgebra y geometría 1

Capitulo 1:

TRIGONOMETRÍA

1.1. TRIGONOMETRIA PLANA Se dice que a los antiguos egipcios se les planteó el siguiente problema: ¿cómo medir, calcular o estimar la distancia de un barco a un punto determinado de la playa? Mandar un bote con una cuerda lo suficientemente larga no parece ser una buena solución: ¿y si el barco es un barco de guerra enemigo que se apresta a atacar el puerto? Conocer la distancia a que se encuentra podría tener como objetivo el poder lanzarle algún objeto contundente.

Figura 1.1 Existen otros problemas similares, mas cotidianos: ¿cómo calcular o medir la altura de un árbol? Tal como antes, uno podría intentar subir hasta la punta del árbol con una huincha lo suficientemente larga. Pero el método tampoco parece muy bueno: aparte de lo trabajoso que es, hay el claro peligro de romper la última rama y precipitarse hasta el suelo.

1

Figura 1.2

Más interesante y difícil aún parece ser el problema de calcular la altura de un cerro, haciendo mediciones desde su base.

Figura 1.3

2

Una solución ingeniosa de todos estos problemas queda ya insinuada en los dibujos que se han presentado: no es difícil medir en el terreno los ángulos indicados, medir la distancia que es accesible, hacer un dibujo a escala en un papel y medir con una regla la distancia a escala que se busca. Solo se necesita multiplicar por el factor de escala para obtener la distancia buscada. Esta solución tiene, al menos, tres desventajas: ñ lentitud del procedimiento ñ precisión precaria, sobretodo si las escalas a tomar son muy grandes: allí el simple grosor del trazado del lápiz con que se hace el dibujo influye en el resultado final ñ dificultades manuales en realizar el dibujo en un papel. Por otro lado la solución obtenida dibujando a escala tiene una hipótesis oculta que es necesario esclarecer y discutir:

Figura 1.4 Si T V œ 5T w V w , entonces se supone que también T F œ 5T w F w con el mismo factor de escala 5 . Esta hipótesis es correcta pues los triángulos ?T VF y ?T w V w F w son semejantes ya que , por construcción, tienen todos sus ángulos iguales: ¡Teorema de Thales! Dividiendo las igualdades anteriores resulta: TF TV

œ

5T w F w 5T w Vw

3

œ

T w Fw T w Vw

Es decir, las razones entre los lados del triángulo no dependen de la escala. Sólo dependerá de los ángulos α y " . Si llamamos: 3 Ðα ß " Ñ œ

TF TV

entonces bastará con conocer el número 3Ðαß " Ñ para resolver nuestro problema. En efecto, la longitud T F (buscada) será 3Ðαß " Ñ multiplicada por T V (medida) : T F œ 3Ðαß " ÑT V . El problema se solucionaría si pudiéramos fabricar listas de esas razones para una gama bastante amplia de ángulos α y " . Tales listas existen y se llaman Tablas Trigonométricas. Sin embargo, tales Tablas ya pertenecen a la Historia: el desarrollo de las calculadoras de bolsillo proporcionan con un solo toque los números que se han estado buscando en las Tablas. Cómo hacer estas listas es un problema cuya solución más completa exige un cierto desarrollo del cálculo infinitesimal. Sin embargo, en principio se pueden hacer con un despliegue de mucha paciencia, midiendo con acuciosidad los ángulos y los trazos en cuestión. 1.2. DEFINICIONES BÁSICAS (para ángulos agudos) Históricamente surgen las siguientes razones, convencionales, definidas para un triángulo rectángulo:

Figura 1.5 ñ =/8 α œ +, : es el seno del ángulo α ñ -9= α œ -, À es el coseno del ángulo α ñ >1 α œ +- : es la tangente del ángulo α

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Se definen también los inversos multiplicativos de las funciones anteriores: ñ -9=/- α œ +, : es la cosecante de α ñ =/- α œ -, À es la secante de α ñ -9>1 α œ +- : es la cotangente de α Las funciones coseno, cotangente y cosecante se denominan también cofunciones de las funciones seno, tangente y secante respectivamente. Es necesario destacar que estas definiciones, tal como han sido hechas, solo tienen sentido si el ángulo α es agudo: en un triángulo rectángulo los ángulos, salvo el recto, deben ser agudos. Veremos más adelante la forma de extenderlas a ángulos cualquiera. EJEMPLOS 1. Si tomamos α œ %&‰ , entonces el ?ABC de la figura 1.5 es isóceles y por lo tanto + œ - . Luego , œ È+#  - # œ È#+# œ +È# y por lo tanto: ñ =/8 %&‰ œ +, œ È"# ñ -9= %&‰ œ ñ >1 %&‰ œ

+ -

,

œ

œ"

+ ,

œ

" È#

2. Si tomamos α œ '!‰ , entonces el ?ABC resulta ser la mitad de un triángulo equilátero:

Figura 1.6 De aqui se obtiene:

5

ñ ñ ñ ñ

È$

=/8 '!‰ œ # œ -9= $!‰ -9= '!‰ œ "# œ =/8 $!‰ >1 '!‰ œ È$ œ -9> $!‰ =/- '!‰ œ # œ -9=/- $!‰

3. ¿Será una mera casualidad que las co-funciones de un ángulo sean precisamente las funciones del ángulo complementario? Desde luego que no: basta hacer un dibujo para darse cuenta que el ángulo complementario se encuentra precisamente en el vertice opuesto y la afirmación resulta directamente de las definiciones:

Figura 1.7 En efecto À =/8Ð*!  αÑ œ -, œ -9= α à -9=Ð*!  αÑ œ >1Ð*!  αÑ œ +- œ -9>1 α à =/-Ð*!  αÑ œ +, œ -9=/- αÞ

+ ,

œ =/8 α à

TEOREMA 1 En un ?ABC (con ángulos agudos) vale: 1. =/8+ α œ =/8, " œ =/8- # œ #< , donde < es el radio de la circunferencia circunscrita. (Teorema de los senos) 2. +# œ , #  - #  #,- -9= α ÐTeorema de los cosenos o Teorema general de Pitágoras). Por simple cambio de nombre de lados y ángulos, valen también : , # œ - #  +#  #+- -9= " à - # œ +#  , #  #+, -9= #

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DEMOSTRACIÓN

Figura1.8 En ?ADC se tiene: =/8 α œ 2,En ?DBC se tiene: =/8 " œ 2+Luego 2- œ , =/8 α œ + =/8 " , de donde =/8+ α œ =/8, " . De modo totalmente análogo : =/8, " œ =/8- # . Por otro lado , llamando O al centro de la circunferencia circunscrita y prolongando la recta AO , se obtiene el punto C' . Por el correspondiente Teorema de Thales, el ?ABC' es rectángulo en el vértice B y el ángulo tAC'B es nuevamente el mismo # . Por lo tanto =/8 # œ #<- , es decir =/8- # œ #< ß lo que completa la demostración del Teorema de los senos. En ?DBC se tiene: +# œ 2-#  ; # por el Teorema usual de Pitágoras En ?ADC se tiene : 2-# œ , #  :# . Por otro lado: -9= α œ :, , es decir: : œ ,-9= α y por lo tanto: ; œ -  : œ -  ,-9= α. Reemplazando en la primera igualdad se obtiene finalmente: +# œ , #  , # -9=# α  Ð-  , -9= αÑ# œ œ , #  , # -9=# α  - #  #,- -9=α  , # -9=# α œ , #  - #  #,- -9=α … Con este teorema podemos resolver los tres problemas que planteamos al principio:

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ñ El problema del barco: usando el Teorema de los senos en el EG EF triángulo ?ABC de la Figura 1.1 se tiene: =/8 " œ =/8Ð")!α" Ñ , es decir: =/8 " EG œ =/8Ð")! α" Ñ EF . La distancia AB se encuentra en la playa y se puede medir. De modo entonces que nuestra razón entre lados : 3Ðαß " Ñ =/8 " resultó ser =/8Ð")! α " Ñ

ñ El problema del árbol resulta más sencillo: en la Figura 1.2 el lado AB del triángulo se puede medir , pues está sobre el suelo, entonces la altura BC del árbol se calcula con la definición de la tangente: >1 α œ FG EF , es decir FG œ EF >1 α ñ El problema de la altura del cerro es un poco más complicada, pero igual es elemental: en el ?OO'B de la Figura 1.3 podemos aplicar el SF SS w Teorema de los senos: =/8 " œ =/8Ð")!α" ) Þ Por otro lado, en el ?OAB, 2 que es rectángulo en A, se tiene: SF œ =/8 # , por lo tanto, la altura 2 buscada se expresa: =/8 " =/8 # 2 œ SF=/8 # œ SS w =/8Ð")! α " Ñ w donde la distancia SS es medible sobre la base del cerro.

1.3. ALGUNAS EXTENSIONES Nuestras consideraciones anteriores tienen una limitación muy molesta, no solo teórica sino completamente práctica: debemos atenernos a ángulos agudos. En particular, los teoremas del seno y el coseno han sido demostrados bajo esa restricción, sin la cual nuestras definiciones de las funciones trigonométricas no tienen sentido. ¿Que ocurre si nuestros triángulos no son acutángulos? Para ver la necesidad de extender estas nociones a triángulos cualesquiera, supongamos que hay un faro en lo alto de un acantilado y que se desea calcular la distancia de un barco que navega a cierta distancia:

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Figura 1.9 En el triángulo ?ABC podrá medirse la altura del faro AC pero tendrá necesariamente un ángulo obtuso en " . DEFINICIÓN Consideremos los ángulos dibujados en un sistema de referencia formado por una recta fija y una semirecta que gira en torno al origen en un sentido u otro. La semirecta podrá girar arbitrariamente en sentido positivo (contrario a los punteros del reloj) o negativo (el sentido de los punteros del reloj) lo que permite considerar ángulos mayores que 3609 o ángulos negativos.

Figura 1.10

9

Si dibujamos el círculo unitario, es decir, el círculo de radio 1 centrado en el origen, entonces las semirecta cortará al círculo en un único punto de coordenadas ÐBß CÑ. Se define entonces: ñ =/8 ) œ C ñ -9= ) œ B Es claro que, si el ángulo ) es agudo y positivo: ! Ÿ ) Ÿ *!9 , entonces las nuevas definiciones coinciden con las antiguas, es decir, estas nuevas definiciones extienden las nociones de seno y coseno a ángulos cualesquiera. Las demás funciones trigonométricas se definen: >1 ) œ

=/8 ) -9= )

à -9> ) œ

" >1 )

à =/- ) œ

" -9= )

à -9=/- œ

" =/8 )

A estas alturas es conveniente introducir otra medida de los ángulos: la razón entre la longitud del arco medido sobre la circunferencia y su radio, en sentido positivo o negativo. Como la longitud de la circunferencia completa es #1< ß entonces 3609 corresponderá a #1< < œ #1 en la nueva unidad. Esta unidad se llama radián , de modo que, por ejemplo, el ángulo recto tendrá una medida de #1 radianes. Una de las ventajas de esta forma de medir los ángulos es que ella es a-dimensional , no depende de las unidades de medida, puesto que se obtiene por una razón entre longitudes. Resulta muy sencillo demostrar que los teoremas del seno y el coseno se pueden extender a triángulos cualquiera. Lo dejaremos como ejercicio. Finalmente indiquemos que muchas veces surge la necesidad de conocer aquellos ángulos cuyo seno es un cierto número conocido. Es claro que habrá, en general, una infinidad de tales ángulos puesto que, con la extensión que hemos introducido, nuestras funciones trigonométricas tienen caracter periódico, es decir, repiten sus valores cuando el ángulo se desplaza en una cantidad apropiada. Se denomina arco-seno de un número B a aquellos ángulos cuyo seno es BÞ Generalmente se buscan ángulos agudos o, al menos, entre 0 y 180 grados. En las calculadoras de bolsillo es éste tipo de ángulos el que aparece como arco-seno , denotado también =38" . Lo mismo puede decirse de los ángulos cuyo coseno es B , denominados arco-coseno ./ x y , análogamente, arco-tangente de B . Más adelante discutiremos estos conceptos con mayor detalle. Una posibilidad de construir una tabla trigonométrica, sería poder calcular senos y cosenos de ángulos pequeños y poder establecer las

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funciones trigonométricas de sus sumas. El siguiente teorema permite llevar a cabo este método. TEOREMA 2 Sean α y " ángulos cualesquiera. Entonces: (a) -9=Ðα  " Ñ œ -9=α -9="  =/8α =/8" Ð,Ñ =/8Ðα  " Ñ œ =/8α -9="  -9=α =/8" >1α>1" Ð-Ñ >1Ðα  " Ñ œ ">1 α >1" DEMOSTRACIÓN. Haremos la demostración para ángulos agudos por mayor claridad del dibujo. Se invita al lector a extender esta demostración para cualquier tipo de ángulos.

Figura 1.11 Los triángulos ?BOP y ?AOD son claramente congruentes, pues ambos contienen el ángulo α  " en su vértice O. Por lo tanto las longitudes de las cuerdas BP y AD son iguales. Para calcular estas longitudes en términos de las coordenadas de los puntos respectivos, usamos el teorerma de Pitágoras (restringido):

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Figura 1.12

La distancia PQ será : ÈÐB  ?Ñ#  ÐC  @Ñ# Þ En nuestro caso las coordenadas del punto B son Ð-9=Ðα  " Ñ ß =/8Ðα  " ÑÑ, mientras que las del punto A son Ð-9= αß =/8 αÑ y las de D : Ð-9=Ð  " Ñß =/8Ð  " ÑÑ œ Ð-9= " ß  =/8" Ñ Finalmente las coordenadas de P son simplemente Ð1,0). Aplicando la fórmula anterior a la igualdad FT œ EH, resulta: ÈÒÐ-9=Ðα  " Ñ  "Ó#  =/8# Ðα  " Ñ œ œ ÈÐ-9=α  -9=" Ñ#  Ð=/8α  =/8" Ñ# de donde, elevando al cuadrado y utilizando la identidad básica =/8# )  -9=# ) œ " (ver problemas 1.4) se obtiene: #  #-9=Ðα  " Ñ œ #  #-9=α-9="  #=/8α=/8" de donde se sigue directamente la fórmula (a) Para demostrar (b) se puede usar la identidad : =/8) œ -9=Ð 1#  )Ñ y aplicar la fórmula ya demostrada. Finalmente para demostrar la fórmula (c) basta poner: α " Ñ =/8α -9=" -9=α =/8" >1Ðα  " Ñ œ =/8Ð -9=Ðα" Ñ œ -9=α -9=" =/8α =/8" y dividir el numerador y el denominador por el factor -9=α -9=" … COROLARIOS: 1. =/8 # α œ #=/8 α -9= α #Þ -9=# α œ # -9=# α  " œ "  #=/8# α

α $Þ =/8 α# œ „ É "-9= (signo según cuadrante en que está #

α 4. -9= α# œ „ É "-9= (signo según cuadrante en que está #

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α #

)

α #

)

Para demostrar estos corolarios basta aplicar el teorema anterior con α œ " y proceder de modo inverso para las fórmulas del ángulo medio. Con estos resultados podemos, en principio, calcular las funciones trigonométricas para, prácticamente , cualquier ángulo. En efecto, puesto È que, por ejemplo, =/8 $!9 œ "# y -9= $!9 œ #$ ß entonces: $! ñ =/8 "&9 œ É "-9= # $! ñ -9= "&9 œ É "-9= # 9

ñ =/8 (ß & œ ñ -9= (ß &9 œ

9

9

"&9 É "-9= # "&9 É "-9= #

œÊ

œÊ

È

" #$ # È

" #$ #

" œË

œ

Ê "

È$ #

#

# È$ " # #

Ê Ë " #

De este modo, con suficiente paciencia, podemos calcular senos y cosenos de ángulos tan pequeños como sea necesario. Enseguida podemos sumarlos apropiadamente y obtener así las funciones trigonométricas que necesitamos. No podemos ocultar el hecho de que existen otros métodos más prácticos, pero esos métodos requieren cálculo infinitesimal. En ese sentido, es interesante hacerse la pregunta: ¿cómo calculan estas funciones trigonométricas las calculadoras electrónicas? ¿ qué precisión pueden asegurar?

1.4. PROBLEMAS 1. Demuestre los teoremas del seno y del coseno para triángulos cualquiera. Para esto demuestre previamente que, si α es un ángulo obtuso, entonces À =/8Ð1  αÑ œ =/8 α à -9= Ð1  αÑ œ  -9= α 2. Sea ) un ángulo cualquiera. Demuestre: ñ =/8# )  -9=# ) œ " ñ =/8Ð)  1# Ñ œ -9=) ñ -9=Ð)  1# Ñ œ  =/8) ñ =/8Ð  )Ñ œ  =/8) (el seno es una función impar)

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ñ -9=Ð  )Ñ œ -9=) (el coseno es una función par) ñ =/8Ð)  #1Ñ œ =/8) ñ -9=Ð)  #1Ñ œ -9=) (seno y coseno son funciones periódicas) 3 Calcule al área de un triángulo en términos de sus lados y ángulos 4. Sobre una colina hay una torre : ¿cómo calcularía Ud. su altura observándola desde el valle? 5. Desde la cúspide de un faro de altura 2 situado sobre un acantilado se mide el ángulo α que forma la visual hacia el barco respecto de la vertical y desde la base se mide el ángulo " que forma la visual hacia el barco respecto de la vertical.(Ver Figura 1.9) ¿A qué distancia se encuentra el barco? Haga el cálculo para el caso: 2 œ (Þ)Ò7Ó ß α œ )(Þ* 9 ß " œ *"Þ(9 6. Desde un helicóptero que pasa justo al medio de dos iglesias separadas por una distancia . que el piloto conoce, se mide el ángulo que subtienden las iglesias. Calcule la altura a que vuela el helicóptero. Una vez obtenida una buena fórmula, póngale estos números: α œ &'9 ß . œ #&!Ò7Ó 7. ¿Qué ocurre en el problema anterior si el helicóptero no pasa justo al medio de las iglesias? ¿Debe hacer nuevas mediciones?. Discuta la situación según diversos casos. 8. Una escala de 3[m] de largo está apoyada sobre la pared de un edificio. Si su base está a 1.3[m] del edificio ¿qué ángulo forma la escalera con el piso? ¿Qué ocurre si el edificio es la torre de Pisa? 9. Justo frente a la ventana de mi departamento, al otro lado de la calle, se eleva un edificio nuevo en construcción. Por razones personales deseo calcular su altura: mido desde mi ventana el ángulo que forma la visual hacia la punta del edificio con la horizontal : 39 Þ Después bajo hasta la puerta de calle de mi departamento y hago la misma medición: 59 . Como estos datos no son suficientes, mido con una lienza la altura a que sencuentra mi ventana: son 8 metros. ¿Qué altura tenía el edificio? ¿a que distancia del mío se encontraba?

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10. Se entiende por resolver un triángulo, el obtener fórmulas explícitas o valores numéricos de los distintos elementos de un triángulo, en función de otros elementos dados: resolver un ?ABC dados: ñ un lado y dos ángulos ñ dos lados y el ángulo comprendido entre ellos ñ dos lados y el ángulo opuesto al mayor ñ los tres lados 11. La paralaje de la estrella proxima centaurii (la más cercana conocida) es de 0,765 segundos de arco. Si la distancia de la Tierra al sol es de, aproximadamente, 150 millones de kilómetros, ¿cuál será la distancia de esta estrella a nuestro sistema solar? Calcúlela también en años-luz, suponiendo que la luz viaja a 300.000 kilómetros por segundo. 12. La torre de Pisa tiene una inclinación aproximada de 89 respecto a la vertical. Calcular la altura de la torre, si un observador que se encuentra a 29 metros de distancia vé la cúspide con un ángulo de elevación de 38.59 Þ ¿Le faltan datos? ¿Cuáles? 13. El palo central de una tienda de campaña de forma de un cono circular tiene una altura de 6 metros y su parte superior está sostenida por cuerda de 12 metros de largo amarradas a estacas clavadas en la tierra. ¿A qué distancia están las estacas del pié del mástil? ¿Cuál es la inclinación de los cables con la tierra? 14. El terreno ocupado por un granero es de 2(m] por 1$[m] y la inclinación de las alas del techo es de 359 Þ Hallar la longitud de las vigas y el área del techo completo, siendo la proyección horizontal de la cornisa de 45[cm] 15. Desde lo alto de una roca de 150 pies de altura los ángulos de depresión de dos botes situados al sur del observador son de 159 y 759 Þ Determinar la distancia que hay entre ellos. 16. Dos vias férreas se cortan en un ángulo de 269 "'w . Del punto de intersección parten dos trenes simultáneamente, una por cada vía. Una viaja a 20 millas por hora. ¿ A qué velocidad debe viajar la otra para que al cabo de tres horas la distancia entre ellas sea de 30 millas? Discuta el realismo de este problema.

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17. Obtenga una fórmula explícita y exacta para el seno de un ángulo menor que un grado sexagesimal, usando la fórmula del ángulo medio para el ángulo de 459 18. Demuestre las identidades (indicando el conjunto de excepciones): ñ "  >1# B œ =/- # B ñ Ð-9=# B  "ÑÐ-9># B  "Ñ  " œ ! ñ -9=# Ðα  " Ñ  -9=# Ðα  " Ñ  -9= #α-9= #" œ 2 ñ -9= $B œ % -9=$ B  $-9= B ">1 α #α ñ "=/8 -9= #α œ ">1 α

1.5 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMO FUNCIONES DE VARIABLE REAL ¿Qué significa medir un ángulo? A nuestro entender significa poder asociarle unívocamente un número real. Con nuestro sistema de asociar a cada ángulo, positivo o negativo, la longitud del arco de un círculo de radio unitario que recorre la semirecta que define el ángulo, tenemos un buen método para medir ángulos. La unidad de medida será en este caso el radián. Si cambiamos de unidad de medida, el número real asociado será otro. Recíprocamente, para cada número real nos gustaría poder definir un ángulo con esa medida. Aquí tropezamos con una dificultad matemática no trivial: poder definir en buena forma la longitud de una curva en el plano y poder calcular dicha longitud. ¿Es que cualquier curva plana tiene longitud? ¿Cuáles curvas tienen longitud y cuales no? En nuestro caso la cosa no es tan complicada: solo tenemos que poder calcular la longitud de un arco de circunferencia, cuya existencia damos por sentada. Aceptando esto, podemos asociar a cada número real, positivo o negativo, un ángulo (positivo si se mide la longitud del arco recorrido en el sentido contrario a los punteros del reloj, y negativo cuando se recorre el arco al revés). Pero a cada ángulo podemos asociar las funciones trigonométricas, de modo que, combinando ambos procedimientos, podemos definir las funciones trigonométricas como funciones reales de variable real:

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Figura 1.13 Sea B un número real, si llamamos )ÐBÑ al ángulo asociado medido en radianes, entonces podemos definir las funciones reales: =/8ÐBÑ œ =/8Ð)ÐBÑÑà -9=ÐBÑ œ -9=Ð)ÐBÑÑ à >1ÐBÑ œ >1Ð)ÐBÑß />-Þ Podemos bosquejar sus gráficas:

Figura 1.14 Se observa que todas estas funciones son periódicas, es decir, repiten sus mismos valores cada cierta distancia fija. En general, una función real 0 À ‘ Ò ‘ se llama periódica si existe un número 3  ! tal que 0 ÐB  3Ñ œ 0 ÐBÑß aB − ‘Þ El menor número positivo 3 que realiza esta igualdad se llama período.

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Figura 1.15 Por amplitud se entiende la mitad de la diferencia entre el mayor y el menor valor posible. Por diferencia de fase se entiende el desplazamiento a izquierda o derecha respecto a una posición considerada de referencia ("fase cero"). Veamos esto mediante algunos ejemplos: EJEMPLOS 1. 0 ÐBÑ œ =/8 B À período œ #1 amplitud œ " diferencia de fase œ ! #Þ 0 ÐBÑ œ $-9=ÐB  1% Ñ : período œ #1 amplitud œ $ diferencia de fase œ  1% ( B debedesplazarse 1% hacia la izquierda para quedar en la fase cero) 3. 0 ÐBÑ œ #=/8Ð$B  "Ñ À período œ #$1 amplitud œ # diferencia de fase œ "$ Notar que, para obtener la diferencia de fase en este caso se ha planteado la ecuación: $B  " œ ! : B œ "$ o sea, B debe desplazarse "$ a la derecha para quedar en la fase cero.

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Figura 1.16 Todas las funciones anteriores suelen recibir el nombre de sinusoides, es decir, parecidas al seno. Consideremos ahora la función seno restringida al intervalo Ò  1# ß 1# Ó: se observa que esta función es biyectiva y por lo tanto posee una inversa, llamada arco-seno: +<-=/8 À Ò  "ß "Ó Ò Ò  1# ß 1# ÓÞ En la Figura 1.17 (a) y (b) presentamos las gráficas de estas funciones: y

y

1.0

1.4 1.2

0.8

1.0 0.6

0.8 0.6

0.4

0.4 0.2

-1.4

-1.2

-1.0 -0.8

-0.6 -0.4

-0.2 -0.2

0.2 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

x

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

-0.4 -0.6

-0.4

-0.8 -0.6

-1.0 -1.2

-0.8

-1.4 -1.0

(a) gráfica de seno

(b) gráfica de arcoseno Figura 1.17

Se pueden definir otras ramas del arco-seno, tomando otra serie de valores de B que produzcan el mismo seno: basta agregar una constante de la forma #5 1. Se puede definir, para cada número real B el conjunto: E<-=/8ÐBÑ œ Ö) − ‘ À =/8 ) œ B× Aquí estamos denotando al conjunto con la inicial mayúscula, mientras que la rama en Ò  1# ß 1# Ó la denotamos con minúscula. Es claro que el conjunto E<-=/8ÐBÑ será vacío, si B Â Ò  "ß "Ó

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De forma análoga podemos proceder con las demás funciones trigonométricasÞ Para el arco-coseno se acostumbra a usar la rama que está en Ò!ß 1ÓÞ En la Figura 1.18 mostramos el coseno y el arccos:

Figura 1.18

En la Figura1.19 mostramos la gráfica de la tangente y una rama de la función arco-tangente:

y

10 8 6

y

4

1.0

2

-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2

1.5

0.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

-2 -4

x -10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-0.5

10

x

-6

-1.0

-8

-1.5

-10

(a) Gráfica de tangente

(b) Gráfica de arco-tangente Figura 1.19

Resulta interesante resolver ecuaciones trigonométricas, es decir ecuaciones donde intervienen funciones trigonométricas. Como estas funciones son periódicas, habrá generalmente infinitas soluciones y el

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problema consistirá en describir apropiadamente todas ellas. Veámoslo en unos ejemplos: EJEMPLOS 1. Resolver la ecuación: $=/8 B œ "  #=/8 B Despejando =/8 B resulta: =/8 B œ "ß luego: B œ 1#  #5 1 ß 5 − ™

Figura 1.20 2. Resolver la ecuación: de donde =/8B œ

" #

$=/8 B œ "  =/8B ß por lo tanto: Bœœ

1 '  #5 1 ß 5 − ™ &1 '  #5 1 ß 5 − ™

21

Figura 1.21 3. Resolver la ecuación: l#=/8B  "l  l=/8 B  "l œ ! Aquí debe observarse que ambos sumandos son positivos y por lo tanto la única manera que su suma sea 0 es que ambos sean 0. En ese caso se tendría: =/8B œ  "# y a la vez =/8 B œ " lo que es imposible. Luego esta ecuación no tiene soluciones. 4. Resolver la ecuación: l#=/8 B  "l  l=/8 B  "l œ " Esta ecuación es muy parecida a la anterior, pero tiene, sin embargo, muchas soluciones. En efecto, primero hay que observar que el término =/8 B  " es siempre negativo, por lo que la ecuación se simplifica y queda: l#=/8 B  "l  =/8 B œ ! Para eliminar el valor absoluto, es necesario buscar las soluciones en dos ámbitos diferentes: Ð3Ñ #=/8 B  "   ! , es decirß si =/8 B   "# , entonces la ecuación es: #=/8 B  "  =/8 B œ ! luego =/8 B œ " , que pertenece al ámbito de busqueda y por lo tanto B œ 1#  #5 1 es una familia infinita de soluciones. Ð33Ñ #=/8 B  "  !, es decir si =/8 B  "# , entonces la ecuación es:  #=/8 B  "  =/8 B œ !

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luego =/8 B œ "$ ß que pertenece al nuevo ámbito de búsqueda y por lo tanto tendremos dos familias infinitas de soluciones: !Þ$%  #5 1 Bœœ #Þ)!  #5 1 De un modo análogo se pueden plantear inecuaciones trigonométricas, es decir, problemas de búsqueda de números reales que satisfacen alguna relación de desigualdad y que contiene funciones trigonométricas. EJEMPLOS 1. Resolver la inecuación: =/8B Ÿ

" #

Utilizando un gráfico, se puede ver que el conjunto solución en el intervalo Ò!ß #1Ó es: Ò 1' ß &'1 Ó

Figura 1.22 2. Resolver la inecuación: =/8B  -9= B  " Una forma poco inteligente de abordar este problema es hacer una elaboración algebraica del tipo: =/8 B  È"  =/8# B  "ß luego È"  =/8# B  "  =/8 B, elevando al cuadrado "  =/8# B  "  #=/8 B  =/8# B ß y simplificando y factorizando

23

=/8 BÐ=/8 B  "Ñ  ! y como =/8 B  " es siempre negativo, se concluye =/8 B  !ß por lo tanto À 1  B  #1 mas las traslaciones debido al período. Pero este resultado se obtiene directamente de la inecuación: =/8 B  "  -9= B puesto que "  -9= B es positivo. Del mismo modo , despejando el coseno: -9= B  "  =/8 B lo que se cumple si -9= B  !, es decir, si 1#  B  $#1 mas el período. Luego, la inecuación se cumple en todo el intervalo Ó 1# ß #1Ò más las traslaciones debido al período. La pregunta ahora es si acaso estas son las únicas soluciones. Para esto hay que investigar que ocurre en el intervalo Ò!ß 1# Ó Þ Pero en ese intervalo =/8 B y -9= B son los lados del triángulo rectángulo de hipotenusa de largo 1. Por lo tanto =/8 B  -9= B  " en ese intervalo. Por lo tanto la solución final es: W œ ÖB  #5 1 À

1 #

B

$1 #

ß 5 − ™×

De modo análogo se pueden plantear sistemas de ecuaciones , sistemas de inecuaciones y sistemas mixtos, es decir, de ecuaciones e inecuaciones. En el caso de los sistemas el problema consiste en encontrar aquellos números que satisfacen todas las condiciones propuestas. Veamos un ejemplo: EJEMPLO Resolver el sistema mixto: l"  #-9= Bl œ " l B  "l Ÿ #

La segunda condición, de desigualdad, es fácil de resolver: "ŸBŸ$ Para resolver la primera condición, de igualdad, es necesario buscar en dos ámbitos diferentes: Ð3Ñ En "  -9= #B   ! , es decir, donde -9= B    "# . Aquí la ecuación es:

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"  #-9= B œ " , luego -9= B œ ! que está en el ámbito de búsqueda, por 1  #5 1 lo tanto B œ œ $#1 #  #5 1 Pero B debe estar entre 1 y 3 , por lo tanto la única solución en este ámbito es 1# Ð33Ñ En "  -9= #B  ! ß es decir, donde -9= B   1# . Aquí la ecuación es:  "  # -9= B œ " , luego -9= B œ  " uque está en el ámbito de búsqueda , por lo tanto B œ 1  #5 1 Pero B debe estar entre 1 y 3 , por lo tanto la única solución en este ámbito es 1Þ Luego, el conjunto-solución del sistema es: W œ Ö 1# ß 1×

1.6 PROBLEMAS 1. Determinar período, amplitud y diferencia de fase de las siguientes sinusoides y dibujar sus gráficas: ñ 0 ÐBÑ œ #=/8Ð#B  1$ Ñ ñ 0 ÐBÑ œ #-9=Ð$B  1# Ñ  " ñ 0 ÐBÑ œ $  -9=ÐB  1% Ñ 2. Escribir la ecuación de una sinusoide con las siguientes características: ñ período œ 1# à amplitud œ " à dif. de fase œ  ñ período œ 1 à amplitud œ "# à dif. de fase œ 1 3. Encuentre : +<--9=Ð=/8ÐBÑÑ

%Þ Demuestre : +<-=/8 + œ +<--9=ÐÈ"  +# Ñ 5. Resolver las siguientes ecuaciones: Ð+Ñ #-9=# )  $-9=) œ # Ð,Ñ =/- B  -9= B œ =/8 B Ð-Ñ =/8Ð B# Ñ œ "  -9=B

25

1 #

Ð.Ñ +<-=/8 B œ +<->1 B Ð/Ñ >1# B  $=/-B  $ œ ! Ð0 Ñ +<- =/8 B  +<- =/8 #B œ ! Ð1Ñ +<- =/8 B  +<--9= B œ 1# 6. Resolver el sistema: =/8B=/8C œ

" %

-9=B-9=C œ

$ %

¹

¹

7. Resuelva la ecuación: -9=#B  =/8B œ " ¿Cuántas soluciones hay en Ò  #1ß #1Ó ? ¿Cuántas soluciones hay en Ò!ß #1Ó? Ubíquelas en un gráfico. 8. Resolver la ecuación:

È"  -9=# B  =/8 Ð'1  BÑ œ !

*. Resuelva : #-9= #B  >1B œ # Indique en un gráfico aquellas soluciones que están en Ò  1ß 1Ó "!. Resolver las inecuaciones: Ð+Ñ =/8 #B  -9= 1$ Ð,Ñ È$ =/8 B  -9= B   " ""Þ Resolver el sistema mixto (ecuaciones con inecuaciones) -9= #B  =/8 B œ " ¹ B#  'B  & Ÿ !

¹

1#. Resolver: #=/8 B  &-9= B  ! en Ó  1# ß 1# Ò

26

1$. Resolver el sistema de inecuaciones: >1 B  -9> B  >1 #B#  'B  #! Ÿ !

"%. Resolver:

1 %

¸

¹

È%=/8# B  "  "  #=/8 B lB  $l Ÿ !

¹

1&. Resolver el sistema mixto:

-9=/- B  -9> B œ È$ "  B Ÿ 6¹

"'Þ Resolver las ecuaciones: ñ l"  #=/8 Bl œ =/8 B ñ |"  $-9= Bl œ -9= B "(Ð‡Ñ Þ Resolver la inecuación con parámetro real : :

È=/8# B  :   "  -9= B (Aquí debe usted clasificar las posibles soluciones según el valor del parámetro : . Distinga en particular los casos : œ ! y : œ  "# ) 1.7 . TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA Se cuenta que, a finales de los años 70, la Gobernación Marítima de Valparaíso contrató a dos jóvenes ingenieros para calcular las rutas de acercamiento de los barcos que se dirigían a puerto desde lejanas latitudes. En aquella época recién se estaban difundiendo las computadoras personales y su uso se estaba convirtiendo en una moda muy extendida

27

entre los jóvenes profesionales. Haciendo uso de ellas, nuestros ingenieros comenzaron su tarea con gran entusiasmo. Sin embargo aparecieron errores reiterados que hacían perder tiempo ( y dinero) a las compañías navieras. Pensando que eran errores de redondeo en los cálculos, introdujeron doble precisión en los programas computacionales. Pero los errores persistían. Hasta que un viejo ingeniero naval se percató que nuestros jóvenes profesionales habían programado los cálculos usando Trigonometría Plana, la única que habían aprendido en la Universidad. Pero la Tierra no es plana y si los barcos estaban bastante lejos, la redondez de la Tierra había que tomarla en cuenta. Si bien la Tierra no es exactamente una esfera, se acerca bastante a esa forma: ¿pero hay versiones de los teoremas del seno y el coseno cuando los lados del triángulo ya no son rectas sino arcos de círculo? ¿Qué relaciones se pueden establecer entre los elementos de un triángulo cuyos lados son arcos de círculo máximo de una esfera? Hay dos problemas básicos en la navegación: uno es el de determinar la dirección en que se debe navegar para llegar al punto deseado. Este es el Problema del Rumbo. El otro es el problema inverso: partiendo de cierto punto conocido y con un rumbo dado, después de recorrer una cierta distancia, ¿ cuál es la ubicación del barco? Este es el llamado Problema de Colón. Para resolver estos problemas se necesita un sistema de coordenadas sobre la esfera terrestre ( y , por supuesto, considerar la Tierra como una esfera). Además, se necesita desarrollar una versión de la Trigonometría sobre la esfera: la Trigonometría Esférica. o Entenderemos por triángulo esférico ?ABC a la figura sobre la superficie de una esfera formada por tres puntos A, B, C sobre ella , llamados vértices, y los tres arcos de círculo máximo que unen dichos vértices.

28

Figura 1.17 o Se van a entender como lados +ß , ß - del triángulo esférico ?ABC los ángulos que subtienden los arcos respecto del centro de la esfera. Los ángulos α , " y # en los vértices respectivos A, B, C son los ángulos diedros formados por los planos que pasan por el centro y los vértices respectivos. Por ejemplo, α será el ángulo diedro formado por los planos OAC y OBC en la Figura 1.17. Recordemos que el ángulo diedro entre dos planos se obtiene trazando perpendiculares a la intersección de los planos:

Figura 1.18

29

Nótese que en un triángulo esférico la suma de los ángulos α  "  # puede ser mayor que 1809 . Por ejemplo en el triángulo trirectángulo esta suma es de 2709

Figura1.19 Dados dos puntos A, B cualquiera sobre la esfera, el arco AB se entenderá como el arco menor o igual a 1809 . Todo arco posee dos polos que son los puntos sobre la esfera que intersecta la recta perpendicular al plano OAB.

Figura 1.20 o Si C es el tercer vértice del triángulo esférico ?ABC , entonces podemos elegir como polo del arco AB aquél que está en el mismo hemisferio que el vértice C. Llamaremos a este polo C' . Lo mismo podemos hacer con los

30

otros dos arcos del triángulo esférico: A' será el polo del arco BC que está en el mismo hemisferio que A y B' el polo del arco AC que está en el mismo hemisferio que B. De este modo hemos definido un nuevo o o triángulo esférico: ?A'B'C' que llamaremos triángulo polar de ?ABC. Es útil notar que cualquier arco que vaya desde el polo T al plano determinado por el arco AB medirá 909 , es decir 1# radianes. Los teoremas básicos de la Trigonometría Esférica hacen uso del triángulo polar y sus propiedades. Demostraremos previamente estas propiedades en forma de Lema: LEMA o o Sea ?A'B'C' el triángulo polar de ?ABC . Entonces: Ð+Ñ +w œ 1  αà , w œ 1  " à - w œ 1  # ß donde +w ß , w y - w son los lados del triángulo polar, mientras que α , " y # son los ángulos del o triángulo ?ABC o o Ð,Ñ El triángulo ?ABC es el triángulo polar de ?A'B'C'

DEMOSTRACIÓN Consideremos el arco BC y su polo asociado A' y además el arco AC con su polo B'. Luego, por definiciónß el arco A'C es recto y del mismo modo el arco B'C también mide 1# Þ Por lo tanto, el vértice C es polo del arco Ew F w . De modo análogo, A será el polo del arco F w G w y B el polo de o Ew G w Þ Esto demuestra que el triángulo ?EFG es el triángulo polar de su triángulo polar.

31

Figura 1.21 Prolongando el arco Ew F w se obtienen las intersecciones H con el arco AC y E con el arco CB. Como Ew es polo del arco CB, el arco Ew I mide también 1# , lo mismo que el arco F w H puesto que F w es polo del arco AC. Observando el arco completo HEw F w I se tiene: #  - w œ HI  Ew F w œ HF w  Ew I œ 1#  1# œ 1 de donde : - w œ 1  # . Si se teme que esta deducción depende de la distribución de los puntos HEw F w I sobre el arco, sería necesario ver que ocurre si los puntos H y I se encuentran en otros lugares: ñ Supongamos que la secuencia es Ew HF w I : también se cumple: HI  Ew F w œ HF w  Ew I ñ Si la secuencia es, finalmente Ew HIF w ß nuevamente se tiene: HI  Ew F w œ HF w  Ew I Notar que en todos los casos se está sumando dos veces el arco interior. Las otras dos relaciones se demuestran solo por cambio de nombre de los elementos.

32

… 9 Sea ?EFG un triángulo esférico. Entonces:

TEOREMA 3 1.

=/8 + =/8α

2.

-9= + œ -9= , -9= -  =/8 , =/8 - -9= α -9= , œ -9= - -9= +  =/8 - =/8 + -9= " -9= - œ -9= + -9= ,  =/8 + =/8, -9= # (Ley de los cosenos para los lados)

3.

-9= α œ  -9= " -9= #  =/8 " =/8 # -9= + -9= " œ  -9= # -9= α  =/8 # =/8 α -9= , -9= # œ  -9= α -9= "  =/8 α =/8 " -9= (Ley de los cosenos para los ángulos diedros)

œ

=/8 , =/8"

œ

=/8 =/8#

(Ley de los senos)

DEMOSTRACIÓN Consideremos primero el caso particular de un triángulo esférico rectángulo en C, es decir, # œ *!9 Þ

Figura 1.22 Tracemos por B un plano perpendicular a OA. Este plano cortará a OA en el punto E y a OC en el punto D. Notar que entonces los ángulos OEB y OED son rectos. Por lo tanto el ángulo BED será el ángulo diedro α. El plano BED es perpendicular al plano OAC pues éste contiene la recta OA

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que es perpendicular al plano BED. Por otro lado, ya que el triángulo esférico es rectángulo en C, el plano ODB es perpendicular al plano OAC. Por lo tanto la recta BD es perpendicular al plano OAC, pues es la intersección de dos planos que son perpendiculares a OAC. En particular BD es perpendicular a OC y también BD es perpendicular a DE. Observando la Figura 1.22 y aplicando directamente las definiciones de las funciones trigonométricas pertinentes, se obtiene: (1) =/8 + œ (2) >1 + œ

FH SH

(3) -9= - œ (4) >1 , œ

FH SF

œ

SI SF

HI SI

œ

FH HI HI SH

œ

œ

FH IF IF SF

œ >1 α =/8 ,

SI SH SH SF

HI IF IF SI

œ =/8 α =/8 -

œ -9= , -9= +

œ -9= α >1 -

o Sea ahora ? ABC un triángulo esférico cualquiera. Por el vértice C y el centro O de la esfera podemos trazar un plano perpendicular al plano AOB, lo que corresponde a la altura 2 :

Figura 1.23 Este plano corta al arco AB en un punto D determinándose los lados 7 y -  7 ( o bien 7  - si la altura corta fuera de AB). Se determinan así dos triángulos esféricos rectángulos en el vértice D y podemos aplicar las relaciones obtenidas más arribaÞ

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1. Demostremos ahora la ley de los senos À

o =/8 2 œ =/8 α =/8 , ( usando (1) en ?ADC ) o =/8 2 œ =/8 " =/8 + ( usando (1) en ?DBC )

=/8 + =/8 , Luego: =/8 α œ =/8 " Þ Bajando la otra altura se completa la igualdad =/8 con el cuociente =/8 #

2. Para demostrar la ley de los cosenos para los lados observamos: o (5) >1 2 œ >1 α =/8 7 Ðusando (2) en ?ADC ) o (6) =/8 2 œ =/8 , =/8 α (usando (1) en ?ADC) o (7) -9= , œ -9= 2 -9= 7 (usando (3) en ?ADC ) o (8) -9= + œ -9= 2 -9=Ð-  7Ñ (usando (3) en ?DBC ) Luego, usando el teorema del coseno de la suma en (8), tenemos: -9= + œ -9= 2 Ð-9= - -9= 7  =/8 - =/8 7Ñ reemplazando aquí -9= 7 y =/8 7 de (7) y (5) respectivamente: -9= , =/8 2 -9= α -9= + œ -9= 2Ð-9= - -9= 2  =/8 - -9= 2 =/8α Ñ œ α œ -9= - -9= ,  =/8 - =/8 2 -9= =/8α reemplazando finalmente =/8 2 de (6) se obtiene la ley del coseno para el lado - . Las otras dos leyes se obtienen simplemente cambiando el nombre a los elementos. Aquí conviene notar que, en caso que la altura corte fuera de AB el lado -  7 deberá ser reemplazado por 7  - y el coseno no cambia en la relación (8). 3. Para demostrar la ley de los cosenos para los ángulos diedros es preciso o pasar al triángulo polar ?Ew F w G w Þ Apliquemos el teorema de los cosenos o para los lados al triángulo polar ?Ew F w G w : -9= +w œ -9= , w -9= - w  =/8 , w =/8- w -9= αw Pero por el Lema, +w œ 1  α à , w œ 1  " à - w œ 1  # ß además, como o o ?EFG es el triángulo polar de ?EFG , + œ 1  αw ß es decir, αw œ 1  +Þ Sustituyendo estas relaciones en la igualdad anterior: -9=Ð1  αÑ œ -9=Ð1  " Ñ-9=Ð1  # Ñ   =/8Ð1  " Ñ=/8Ð1  # Ñ-9=Ð1  +Ñ luego, utilizando la relación de las funciones trigonométricas con los ángulos suplementarios, se tiene:  -9= α œ Ð  -9= " ÑÐ  -9=# Ñ  =/8 " =/8 # Ð  -9= +Ñ

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es decir: -9= α œ  -9= " -9= #  =/8 " =/8 # -9= + que era lo que queríamos demostrar. Las otras dos leyes se obtienen nuevamente cambiando el nombre a los elementos. …

LOS PROBLEMAS DE LA NAVEGACIÓN Para resolver los dos problemas clásicos de la navegación, debemos introducir un sistema de coordenadas apropiado: uno de los "ejes" es el llamado meridiano de Greewich que es el arco de círculo máximo que pasa por los polos y por la ciudad de Greenwich (cerca de Londres). El otro es el Ecuador, que es el círculo máximo situado en el plano perpendicular a la recta que pasa por los polos. Un punto A sobre la esfera quedará determinado por el ángulo α entre los planos que pasan por los polos y A y el plano que contiene al meridiano de Greenwich. Este ángulo se llama longitud y se mide entre 0 y 1809 hacia el Este o hacia el Oeste. La otra coordenada es la llamada latitud , que es el ángulo sobre el meridiano que va desde el ecuador hasta el punto A. La latitud se medirá entonces desde 0 a 909 hacia el norte o hacia el sur.

Figura 1.24

36

Se entiende por rumbo de un de un navío que se mueve sobre un arco de círculo máximo sobre la superficie de la tierra, al ángulo que forma su movimiento medido desde el meridiano que pasa por la posición en que se encuentra. Este ángulo se mide de 0 a 1809 hacia el Este o hacia el Oeste.

Figura 1.25 El rumbo se puede medir también de 0 a 909 hacia el NE (noreste), hacia el NO (noroeste), hacia el SE (sureste) o hacia el SO (suroeste). Nótese que el rumbo depende de la dirección del movimiento y que, a menos que se navegue por un meridiano o por el Ecuador, el rumbo cambia constantemente.

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Figura 1.26 El problema del Rumbo Dados los puntos A y B, determinar el rumbo de salida, el rumbo de llegada y la distancia que los separa. En este caso se forma un triángulo esférico tomando como tercer vértice el polo norte ( o el polo sur):

Figura 1.27 Los datos son: ñ el lado a: 909 „ latitud de B (se tomará el signo  si B se encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si está en el Sur)

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ñ el lado b : 909 „ latitud de A (se tomará el signo  si A se encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si está en el Sur) ñ el ángulo # : la diferencia de longitudes de A y B Se busca: rumbo de salida : α ; rumbo de llegada: 1809  " y distancia : c ñ La distancia se obtiene directamente del teorema del coseno para los lados: -9= - œ -9= + -9= ,  =/8 + =/8 ,-9= # ñ Para calcular el rumbo de salida α usamos el teorema de los senos: =/8 α œ

=/8 + =/8 # =/8 -

donde =/8 - œ È"  -9=# - ß ya que el -9= - ha sido calculado. ñ El rumbo de llegada se calcula análogamente: =/8 " œ

=/8 + =/8 # =/8 -

Apliquemos estos resultados a un problema concreto: partimos de Buenos Aires (359 6+>ÞW ß '!9 6981Þ S ) y queremos llegar a las Islas Canarias (309 6+> R ß #!9 6981Þ S )

Figura 1.28 Entonces: # œ %!9 ß + œ *!9  $!9 œ '!9 ß , œ *!9  $&9 œ "#&9 Por lo tanto, la distancia será:

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-9= - œ Ð!Þ&ÑÐ  !Þ&(Ñ  Ð!Þ)(ÑÐ!Þ)#ÑÐ!Þ((Ñ œ !Þ#' luego - œ (%ß '(9 œ %%)!w œ %Þ%)! millas marinas (una milla marina es aproximadamente un minuto de arco sobre la esfera terrestre. Como 1 kilómetro corresponde a 1,852 millas marinas, la distancia será de, aproximadamente, 8.297 Km. Por otro lado =/8 - œ =/8 (%Þ'(9 œ !Þ*' y por lo tanto À =/8 α œ Ð!Þ)'ÑÐ!Þ'%Ñ œ !Þ&( ß α œ $%ß *)9 I Ð!Þ*'Ñ Análogamente, resulta " œ $$ß #'9 IÞ El problema de Colón Partimos de un punto dado A con un rumbo de salida α dado y recorremos una distancia - siguiendo un arco de círculo máximo: ¿ cuáles son las coordenadas (latitud y longitud) del punto B de llegada? Nuevamente podemos tomar como tercer vértice el polo Norte. Esta vez los datos son (ver Figura 1.27): ñ el ángulo α (rumbo de salida) ñ el lado b : 909 „ latitud de A (se tomará el signo  si A se encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si está en el Sur) ñ el lado - (medido en millas marinas nos dará el ángulo en minutos) El lado + lo podemos calcular directamente de la ley de los cosenos: -9= + œ -9= , -9= -  =/8 , =/8 - -9= α La latitud del punto B será À 909  + o +  *!9 ß según + resulte ser menor o mayor que 909 . Si + es menor que 909 significa que el punto de llagada B se encuentra en el hemisferio norte. Usando la ley de los senos, se tiene: - =/8 α =/8 # œ =/8=/8 + La longitud de B será igual a la longitud de A más (o menos) el ángulo # , según sin el rumbo tomado fué Este u Oeste. Apliquemos estos resultados a un problema concreto: partimos de Valparaíso (339 6+>Þ S , 729 6981Þ O) con rumbo de salida 459 O y recorremos 200 millas marinas. ¿ dónde nos encontramos?

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Figura 1.29 En este caso : α œ %&9 ß - œ #!!w œ $ß $$9 ß , œ *!9  $$9 œ "#$9 -9= + œ Ð  !Þ&%ÑÐ!Þ**Ñ  Ð!Þ)%ÑÐ!Þ!'ÑÐ!Þ("Ñ œ  !Þ&! Luego + œ ""*ß *#9 y por lo tanto la latitud de B será 29,99 R Þ =/8 # œ

Ð!Þ!'ÑÐ!Þ("Ñ !Þ)(

œ !Þ!&

luego # œ #ß )#9 y por lo tanto la longitud del punto B será de 74,829 O.

1.8.

PROBLEMAS

1. El rumbo inicial de un barco que parte desde Nueva York (409 %#w R à (%9 "!w O ) es de $!9 "!w R IÞ Localizar el punto M del recorrido que sea el más cercano al polo Norte y calcular las distancias desde M al polo y a Nueva York.

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2. Un barco parte de San Francisco (379 %)w R à "##9 #%w S) con un rumbo inicial de 409 $!w WS. Calcule la distancia hasta el cruce con el Ecuador. ¿Cuál será la longitud en ese punto? Localice además el punto en que se encuentra el barco después de recorrer 340 millas marinas. 3. Un aeroplano sale de Honolulú (219 ")w R à "&(9 &#w S) con rumbo inicial de 409 %$ R IÞ Encuentre el punto más cercano al polo Norte de su trayectoria y calcule la latitud en que se encuentra cuando la longitud es de 749 S 4. Un barco parte de Valparaíso (339 Wà (#9 SÑ con un rumbo inicial de 329 WSÞ ¿ Qué distancia se puede recorrer de modo que el error cometido en el cálculo de la latitud usando Trigonometría Plana sea menor o igual a un grado sexagesimal? Use el Polo Sur como tercer vértice. (Indicación: use el método de ensayo y error) 5. Un barco que navega en la polinesia francesa (159 W à "%!9 SÑ necesita ser guiado a Valparaíso (339 Wà (#9 SÑ : calcule el rumbo de salida. Calcule este rumbo como si la tierra fuese plana (use el polo sur como tercer vértice): ¿adónde iría a parar en Chile si se usa ese rumbo erróneo? 6. Un barco parte de un punto A (209 R à !9 6981Þ) con rumbo 309 R I y recorre 3000 millas marinas alcanzando el punto B. ñ Calcule latitud y longitud de B ñ Si el capitán no sabe trigonometría esférica y aplica plana, encuentre los valores de latitud y longitud calculados de este modo erróneo. ñ La (falsa) posición calculada por este capitán ¿se encuentra más al Sur o más al Norte, más al Oeste o más al Este de la verdadera? ñ ¿Cuál es el error total cometido? (es decir, la distancia en millas entre la posición falsa y la verdadera? 7. Un barco parte de Valparaíso con la intención de llegar a Isla de Pascua (279 Wà "!*9 SÑ pero parte con un rumbo levemente equivocado de 869 SS . Calcule la distáncia mínima a Isla de Pascua por la que pasa el barco. ¿Cuál debió ser el rumbo (de salida) correcto?

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8. Dos barcos A y B parten desde un mismo punto a las 12:00 hrs. y se alejan uno de otro según un ángulo de 79 . Si el barco A se desplaza en línea recta a 8 nudos y B a 6 nudos, ¿ A qué distancia estará uno de otro a las 16:00 hrs.? Use Trigonometría Plana y Esférica y calcule el error cometido. Estudie cómo aumenta el error a medida que los barcos se alejan. (1 nudo œ 1 milla marina por hora œ 1.852 Km/hora ) 9. Dos submarinos zarpan desde un mismo punto y al mismo tiempo en rumbos que difieren en un ángulo α . Uno navega con un a velocidad de 25 nudos y el otro a 23 nudos. Tres horas después de partir distan entre si 10 millas. ¿cuál es el ángulo comprendido entre sus cursos? (Haga un análisis como en el problema anterior). ¿Que puede Ud. concluir ?

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Capitulo 2:

GEOMETRÍA ANALÍTICA

2.1 INTRODUCCIÓN. Supongamos que se necesita construir un camino que una un cierto punto dado con el borde de una bahía. El camino debe tener una cierta dirección y, por supuesto, debe ser recto para ahorrar costos. ¿cómo calcular la distancia del punto al borde de la bahía? Si el borde de la bahía es aproximadamente una línea recta, tendremos un típico problema de trigonometría plana, ya discutido en el capítulo anterior. Pero si el borde de la bahía es curvo, nuestra trigonometría no nos dá la solución.

Figura 2.1 Un problema de este tipo tal vez se podría resolver si se pudiera describir la curva de la bahía usando relaciones numéricas. La Geometría Analítica nace con el objeto de resolver problemas geométricos mediante el uso de las herramientas del álgebra y del análisis. La aplicación del cálculo a la geometría para el estudio de las propiedades de las figuras y la solución de los problemas que de ellas se derivan, fué empleado por los matemáticos desde los tiempos más remotos, pero sólo para determinar longitudes, áreas y volúmenes. Arquímedes hizo uso de razonamientos muy ingeniosos que relacionaban las figuras geométricas con operaciones numéricas, llegando a desarrollar elementos precursores

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del cálculo infinitesimal. Pero solo con el desarrollo del álgebra se abre la posibilidad de relacionar de modo eficaz la geometría con el álgebra. La búsqueda sistemática de las relaciones entre la geometría y el álgebra se atribuye a Descartes, quien comparte con Fermat la fama de ser los creadores de la Geometría Analítica. Descartes plantea en primer lugar el problema inverso: si a cada número real asociamos un trazo (estos números reales deberán ser positivos y será la longitud del trazo lo que representará al número), ¿ cual será el trazo que representa el producto de dos números? Es claro que si consideramos un rectángulo de lados iguales a los trazos dados tendremos que el producto de los trazos será el área del rectángulo. Pero eso no es lo que quiere Descartes. Él busca un trazo cuya longitud sea igual al producto de las longitudes de los trazos dados. Lo que él busca es una representación geométrica de la operación algebraica de multiplicación de dos números. Por otro lado, la operación suma (y resta) es muy fácil de representar geométricamente: basta colocar un trazo a continuación del otro ( o en sentido contrario). ¿Cómo hacerlo con el producto? ¿Será posible obtener geométricamente otras operaciones de tipo algebraico, como por ejemplo la extracción de raiz cuadrada? Descartes resuelve estos problemas: para el caso del producto, es preciso elegir una unidad: un cierto trazo será elegido como unidad de medida.

Figura 2.2 La unidad es el trazo AB y se desea multiplicar el trazo BC con el trazo BD: basta trazar la paralela a AD por C y se obtiene el punto E. El trazo BE será el producto de BC con BD. En efecto, por el teorema de Thales: FI FH FH y por lo tanto: FI œ FH Þ FG FG œ EF œ "

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Para obtener la raiz cuadrada de un trazo dado, la construcción es igualmente elemental. Supongamos que queremos construir un trazo que sea la raiz cuadrada del trazo BD: prolongamos el trazo BD hacia la izquierda de modo que AB sea nuestra unidad.

Figura 2.3 Enseguida tomamos el punto medio C del trazo AD y trazamos una circunferencia de centro en C y radio CA. Finalmemte levantamos la perpendicular en B y determinamos su intersección con la circunferencia: el trazo BE será la raiz cuadrada de BD. En efecto, el triángulo ADE es rectángulo en E y usando tres veces el teorema de Pitágoras, se obtiene: EI #  IH# œ EH# œ ÐEF  FHÑ# œ Ð"  FHÑ# Pero IH# œ FI #  FH# , y sustituyendo arriba: EI #  FI #  FH# œ Ð"  FHÑ# œ "  #FH  FH# ß luego: EI #  FI # œ "  #FH. Pero AE# œ EF #  FI # œ "  FI # Por lo tanto: "  FI #  FI # œ "  #FHß luego: FI # œ FHß es decir FI œ ÈFH De este modo Descartes le asignaba un significado geométrico a una operación algebraica. Por el otro lado, Fermat comenzaba con una ecuación algebraica y derivaba de ella propiedades de tipo geométrico. De esta manera, los trabajos de Descartes y Fermat tomaron en conjunto los dos problemas básicos complementarios de la geometría analítica: (i) dado un lugar geométrico definido por ciertas condiciones, hallar su ecuación algebraica.

46

(ii) dada una ecuación algebraica, hallar el lugar geométrico que representa. 2.2. EL PLANO AFíN SOBRE ‘# Si consideramos un plano, desde un punto de vista intuitivo, entonces podemos asignarle a cada punto del plano una pareja de números reales. Para esto basta tomar dos rectas orientadas, no paralelas, y establecer en cada una de ellas una escala de medida que permita asignar a cada punto de estas rectas un número real. El cero debe estar en la intersección de las rectas, las cuales se llamarán ejes. Entonces, por cada punto del plano podemos trazar paralelas a estos ejes determinando así puntos en cada eje y por lo tanto números reales.

Figura 2.4 El punto P de la Figura 2.4 determina la pareja de números reales ÐBß CÑ. Recíprocamente, a cada pareja de números reales corresponderá de este modo un punto en el plano. Es claro que estas parejas de números reales dependerá de la elección de los ejes. Esto incluye no solo su ubicación y el ángulo en que se cortan, sino también la escala de medida que se ha elegido en cada una de ellas. En todo caso, una vez fijados los ejes, tenemos una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y las parejas de reales. Los distintos objetos geométricos en el plano, tales como rectas, circunferencias y otras curvas más interesantes como las cónicas, podrán ser, en principio, descritos mediante relaciones algebraicas entre los números B e C asociados. Es lo que hicieron Descartes y Fermat para abordar numerosos problemas geométricos muy

47

difíciles de resolver de otro modo. Pero Fermat y Descartes trabajaron en la primera mitad del siglo 17 y hubo que esperar dos siglos más hasta que matemáticos como William Hamilton y Hermann Grassmann crearan un álgebra, no de los números reales B e C, sino de los mismos pares ordenados: el Álgebra Lineal. Cabe comentar que esta misma álgebra puede ser extendida a tríos de números, lo que proporciona una buena base para estudiar la geometría del espacio y, finalmente, puede generalizarse a dimensiones mayores. La estructura algebraica que se define, para estos fines, sobre el conjunto de pares ordenados es la siguiente: DEFINICIÓN. Sobre el conjunto ‘# œ ÖÐBß CÑ À Bß C − ‘× definimos: Ð3Ñ Ð+ß ,Ñ  Ð-ß .Ñ œ Ð+  -ß ,  .Ñ Ð33Ñ -Ð+ß ,Ñ œ Ð-+ß -,Ñ , - − ‘ Estas operaciones satisfacen las siguientes 4 reglas básicas (axiomas) Si A,B − ‘# ß αß " − ‘ À Ð3Ñ "ÞE œ E Ð33Ñ αÐ" EÑ œ Ðα" Ñ E Ð333Ñ αÐ E  FÑ œ α E  " F Ð3@Ñ Ðα  " Ñ E œ α E  " E El conjunto ‘# provisto de estas dos operaciones y dado que (trivialmente) se satisfacen los cuatro axiomas anteriores, se llama un espacio vectorial sobre ‘ y sus elementos se llamarán vectores. Los coeficientes reales que multiplican a los vectores se denominan en este contexto escalares. Estos vectores pueden ser visualizados como flechas en el plano que parten de un origen común S œ Ð!ß !Ñ. La suma se realiza según la diagonal del paralelógramo que forman las flechas y el producto del vector C con el escalar - acorta o alarga la flecha y la invierte si es negativa:

48

Figura 2.5 En efecto, el triángulo ?ODA es obviamente congruente al ?BEF (ver Figura 2.5) por lo tanto la primera componente del vector A se agrega a la primera componente del vector B para formar la suma A+B. Lo mismo ocurre con la segunda componente. Del mismo modo, el triángulo ?GOC es semejante al ?HOK, por lo tanto las longitudes de sus lados son proporcionales. No está demás recordar que el nombre mismo de vector proviene de la física y significa el que porta o sostiene refiriéndose a las fuerzas. La representación de las fuerzas mediante flechas tiene ese origen y su suma corresponde a la composición de las fuerzas, que resulta ser la diagonal del paralelógramo formado por sus componentes. Estas flechas las haremos actuar sobre un plano cualquiera M del siguiente modo: a cada par de puntos T ß U − Q asociamos un único y bien definido vector E − ‘# À aquél que tiene la misma dirección, sentido y tamaño que la flecha que une T con U Þ Vamos a denotar a este Ä vector por À E œ T U Es muy fácil verificar que se satisfacen las siguientes tres reglas básicas (axiomas): Ä I. T T œ Ð!ß !Ñ œ ! Ä Ä Ä MMÞ T U  UV œ T V Ä MMMÞ aT − Q ß a E − ‘# ß bx U − Q tal que T U œ E En general, un conjunto provisto de esta asociación que satisface estos tres axiomas, se llama un plano afín sobre ‘# . De esta manera, tenemos por un lado las flechas que parten de un punto común ("flechas en el carcaj") cuyo estudio es materia del álgebra lineal y

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por otro lado tenemos a las flechas operando libremente en el plano, lo que constituye nuestra geometría ("geometría afín").

Figura 2.6 Sea ahora O un punto cualquiera del plano M : O − M y consideremos dos vectores no nulos de ‘# que no sean colineales: Ä e" , Ä e# Þ Es interesante # observar que cualquier otro vector (+ß ,Ñ − ‘ se puede representar en la forma: Ð+ß ,Ñ œ αÄ /"  " Ä /# ß con α , " − ‘ En efecto, si Ä e" œ ÐB" ß C" Ñ y Ä e# œ ÐB# ß C# Ñ , entonces se plantea el sistema de ecuaciones para α y " : + œ αB"  " B# , œ αC"  " C # de donde # ,B# α œ B+C " C# C" B# donde la condición À B" C#  C" B# Á ! se deriva de la hipótesis de que los vectores Ä e" y Ä e# no son colineales. En efecto, la condición B" C#  C" B# œ ! , es decir, BB"# œ CC"# es, precisamente la condición de colinealidad de los vectores:

50

Figura 2.7 De modo completamente análogo se puede calcular el escalar " : "œ

+C1 ,B1 B# C" C# B"

El trío: ÐSß Ä /" ß Ä /# Ñ se llama un sistema de coordenadas del plano M. Si P es un punto cualquiera en el plano M, es decir, si P − M, entonces Ä el vector OP se podrá representar, según lo que acabamos de ver, del modo siguiente: Ä OP = B Ä /"  C Ä /# ß Bß C − ‘ Estos escalares Bß C se llaman las coordenadas del punto P y es costumbre denotar este hecho por : P(Bß C). El sistema de coordenadas más sencillo (y también el más usado) es aquel donde se toman los vectores especiales: /" œ Ð"ß !Ñ y /# œ Ð!ß "ÑÞ En este caso la descomposición de un vector cualquiera ÐBß CÑ − ‘# es muy sencilla: ÐBß CÑ œ B Ä /"  C Ä /# La coordenada B se llama abcisa mientras que la coordenada C se llama ordenada. Este será el sistema de coordenadas que usaremos en lo sucesivo. Si ahora tomamos dos puntos cualquiera en el plano : T Ð+ß ,Ñ y Q(c,d) Ä usando el axioma II , podemos calcular el vector PQ que los une:

51

Ä Ä Ä T U œ SU  ST œ Ð-ß .Ñ  Ð+ß ,Ñ œ Ð-  +ß .  ,Ñ Es decir, con este sistema de coordenadas resulta simplemente la diferencia de coordenadas. Del mismo modo podemos calcular la distancia que hay entre dos puntos de M de coordenadas dadas:

Figura 2.8 Aplicando el teorema de Pitágoras:

.ÐT Ð+ß ,Ñß UÐ-ß .ÑÑ œ ÈÐ-  +Ñ#  Ð.  ,Ñ#

Esta distancia entre los puntos T y U se interpreta también como la Ä Ä longitud o norma del vector T U que los une y se denota por: ||T U || . En general tendremos entonces que la norma del vector ÐBß CÑ − ‘# será À mÐBß CÑm œ ÈB#  C#

2.3 LA RECTA EN EL PLANO AFÍN Supongamos que tenemos un punto A en el plano y una dirección caracterizada por un vector Ä @ : ¿ cómo caracterizar los puntos que se encuentran sobre la recta L que pasa por A y tiene la direcciónÄ @ ?

52

Figura 2.9 Si O es un punto en el plano, tomado como origen, entonces: Ä Ä T − P Í ST œ SE  -Ä @ ß -−‘

(1)

Esta expresión se llama ecuación vectorial de la recta. Si llamamos ÐBß CÑ a las coordenadas del punto P , Ð+ß ,Ñ a las coordenadas del punto A y si el vector es @ œ Ð@" ß @# Ñ , entonces la ecuación (1) queda: ÐBß CÑ œ Ð+ß ,Ñ  - Ð@" ß @# Ñ œ Ð+  -@" ß ,  - @# Ñ lo que constituye el sistema: B œ +  - @" C œ ,  - @#

(2)

Esta ecuación (2) se conoce como ecuación paramétrica de la recta L, con - como parámetro. El significado de esta ecuación es: para cada valor del parámetro - se tendrán las coordenadas B e C de un punto sobre la recta L. En esta ecuación podemos eliminar el parámetro -, multiplicando la primera ecuación por @# y la segunda por @" y restando: @" C  @# B  @# +  @" , œ !

(3)

Esta es una relación lineal entre las coordenadas del punto T ÐBß CÑ que está en la recta L. ñ si @" œ ! , entonces @# Á ! pues el vector Ð!ß !Ñ no determina ninguna dirección. ¿Cuál es la dirección del vector Ð!ß @# Ñ ? Si hemos tomado como sistema de coordenadas: /" œ Ð"ß !Ñ y /# œ Ð!ß "Ñ, la dirección será la misma que el vector /# œ Ð!ß "Ñ. En este caso se puede despejar la coordenada B À ", B œ @# +@ @#

53

Se trata entonces de una recta vertical que pasa por el punto de ", coordenadas ( @# +@ , 0) @#

Figura 2.10 ñ si @" Á 0 , entonces podemos despejar la coordenada C : Cœ

@# @" B



@# @" +

,

(4)

Nótese que el coeficiente @@#" de B no es otra cosa que la tangente del ángulo que forma las recta L con el eje OX, es decir, el eje que contiene al vector /" y se llama la pendiente de la recta.

Figura 2.11 La ecuación (4) se acostumbra a escribir en la forma À C œ 7B  8ß donde 7 corresponde a la pendiente y 8 es la altura del corte de la recta con el eje OY Ðo sea el eje que contiene al vector /# Ñ Según hemos visto, las coordenadas de los puntos que están sobre una recta están en una relación lineal. ¿ será cierto el recíproco? Es decir, si +B  ,C  - œ !

54

¿estarán los puntos T ÐBß CÑ sobre una recta? La respuesta es evidentemente positiva, pues: ñ si , œ ! ß la recta con vector @ œ Ð!ß "Ñ y que pasa por el punto EÐ  +- ß !Ñ satisface la ecuación. ñ si , Á ! , la recta con vector @ œ Ð,ß  +Ñ y que pasa por el punto EÐ!ß  -, Ñ satisface la ecuación planteada. Es claro que dos rectas: C œ 7B  8 y C œ 7w B  8w serán paralelas si sus pendientes son iguales: 7 œ 7w . Cabe preguntarse ¿ que condición debe cumplirse para que las rectas sean perpendiculares?

Figura 2.12 Recordando que la pendiente de la recta es la tangente del ángulo que forma con el eje OX, tenemos: 7w œ >1Ð)  1# Ñ œ

=/8Ð) 1# Ñ -9=Ð) 1# Ñ

œ

-9= ) =/8 )

œ 

" >1 )

œ 

" 7

es decir : 77w œ "

(5)

Pero esto es válido solo si acaso 7 Á ! . Si 7 œ ! entonces la recta L será horizontal (paralela al eje OX ) por lo tanto la perpendicular L' deberá ser paralela al eje OY, es decir, vertical. La condición (5) puede ser interpretada también para este caso si consideramos que una recta vertical tiene "pendiente infinita". Este resultado lo podemos usar para calcular la distancia de un punto T de coordenadas α , " , es decir, T Ðαß " Ñ a una recta L de ecuación +B  ,C  - œ !. Supongamos primero que a Á 0 y que b Á 0 . Entonces la recta L tendrá la ecuación: C œ  +, B  -, Þ La distancia de P a L será

55

la distancia de P al pié Q de la perpendicular a L trazada desde P. Trazamos entonces por T una recta L' perpendicular a L : Pw À C œ +, B  8 y por pasar por T Ðαß " Ñ À " œ +, α  8 ß de donde 8 œ "  +, α Þ Intersectamos la recta Pw con P y obtenemos el punto Q: C œ  +, B  -, C œ +, B  "  +, α Por lo tanto: # " +B œ , α+, +# ,# Cœ

+,α+# " ,+# ,#

Estas serían entonces las coordenadas de Q. Luego, la distancia . entre P y Q será: É Ðα 

,# α+," +- # Ñ +# ,#

 Ð" 

+, α+# " ,- # Ñ +# , #

lo que, después de unos arreglos algebraicos elementales nos dá: .œ

ÈÐ+α," -Ñ# È+# ,#

œ

l+α," -l È+# , #

(6)

Una vez obtenida esta fórmula, es fácil ver que también es válida para el caso en que + œ ! o , œ !Þ En efecto, si + œ !, la recta L es una recta horizontal a la altura  -, y la distancia de T Ðαß " Ñ será simplemente la diferencia de coordenadas À l"  Ð  -, Ñl œ l"  -, l , que es lo que proporciona la fórmula. Del mismo modo, si , œ !ß entonces la recta L es vertical y la diferencia de coordenadas será: |α  Ð  +- Ñl œ lα  +- l Þ Es curiosa la estructura de la fórmula (6) : se ha sustituído el par Ðαß " Ñ por el par ÐBß CÑ en la ecuación de la recta. Si el punto P está sobre la recta, entonces debe satisfacer su ecuación y la distancia será cero. La condición (5) de perpendicularidad de dos rectas nos permite encontrar la condición de perpendicularidad de dos vectores, definida como la condición de las rectas perpendiculares que son soportadas por los correspondientes vectores. Recordemos que la pendiente de la recta soportada por el vector @" œ ÐB" ß C" Ñ es 7" œ BC"" ß y análogamente la pendiente de la recta soportada por @2 œ ÐB2 ß C# Ñ es 7# œ BC## . Esto es si acaso las rectas no son verticales. Luego, los vectores @" y @# serán perpendiculares si acaso 7" 7# œ BC"" BC## œ  " ß es decir:

56

B" B#  C" C# œ !

Ð(Ñ

Esta condición es también válida si acaso alguna de las rectas es vertical, es decir , si : B" œ ! o si B# œ !Þ En efecto, si por ejemplo B" œ ! , entonces la condición (7) nos indica que C# œ ! (pues C" no puede ser cero) , por lo tanto la otra recta es horizontal. La condición (7) de perpendicularidad induce a definir el producto interno de los vectores @" y @# ß que se acostumbra a denotar: Ø@" ß @# Ù : Ø@" ß @# Ù œ ØÐB" ß C" Ñß ÐB# ß C# ÑÙ œ B" B#  C" C#

Ð)Ñ

Es decir, dos vectores serán perpendiculares (también se dice ortogonales) si su producto interno es cero. Recordando la definición de norma de un vector, se tiene: ||@|| œ ||ÐBß CÑ|| œ ÈB#  C# œ ÈØÐBß CÑß ÐBß CÑÙ œ ÈØ@ß @Ù Ð*Ñ Recordando ahora la interpretación de la norma de un vector como su longitud, podemos definir el concepto de ángulo entre dos vectores:

Figura 2.13 Por el teorema del coseno: m@"  @# m# œ m@" m#  m@# m#  #m@" m m@# m-9= ) Pero, usando las observaciones anteriores, el lado izquierdo de esta igualdad es: m@"  @# m# œ ØÐB" ß C" Ñ  ÐB# ß C# Ñß ÐB" ß C" Ñ  ÐB# ß C# ÑÙ œ œ ØÐB"  B# ß C"  C# Ñß ÐB"  B# ß C"  C# ÑÙ œ ÐB"  B# Ñ#  ÐC"  C#Ñ# œ œ B#"  B##  #B" B#  C"#  C##  #C" C# œ ||@" ||#  ||@# ||#  #Ø@" ß @# Ù

57

Por lo tanto, la igualdad anterior se reduce a: ||@" ||#  ||@# ||#  #Ø@" ß @# Ù œ m@" m#  m@# m#  #m@" m m@# m-9= ) de donde, simplificando y despejando el coseno, se tiene finalmente: -9= ) œ

Ø@" ß@# Ù ||@" || ||@# ||

(10)

EJEMPLOS 1. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos de coordenadas dadas: A(  "ß #) y B(",  #)Þ Sea C œ 7B  8 la ecuación de la recta buscada. Como debe pasar por los dos puntos, se tiene: # œ 7Ð  "Ñ  8  # œ 7Ð"Ñ  8 lo que nos dá un sistema de ecuaciones para las incógnitas 7 y 8 Þ En este caso su solución es: 8 œ ! à 7 œ  # 2. Encontrar la ecuación de una recta perpendicular a P À C œ  #B  " que pasa por el punto T Ð#ß  "ÑÞ La ecuación tendrá la forma C œ "# B  8 y por pasar por P, se tiene:  " œ "# #  8 , de donde 8 œ  # Þ Luego la recta buscada tendrá por ecuación: C œ "# B  # 3. Calcular la distancia del punto T Ð  "ß #Ñ a la recta P À C œ  B  # Aquí secillamente usamos la fórmula (6) : " . œ l"##l È"" œ È# 4. Una lancha que avanza a 20 O7Î2 debe cruza un río cuya corriente es de 5 O7Î2 . ¿Qué dirección debe llevar la lancha para cruzar perpendicularmente el río? En este caso hay que modelar las velocidades mediante vectores: la suma vectorial de las velocidades debe ser perpendicular al río:

58

Figura 2.14 Llamemos Ð+ß ,Ñ al vector velocidad de la lancha. El vector velocidad del río será: Ð&ß !Ñ Þ Por lo tanto, según la elección de nuestro sistema de coordenadas se deberá tener: ØÐ+ß ,Ñ  Ð&ß !Ñß Ð"ß !ÑÙ œ ! luego: ØÐ+  &ß ,Ñß Ð"ß !ÑÙ œ +  & œ ! , luego + œ  & Por otro lado À ||Ð+ß ,Ñ|| œ #! , es decir, È#&  , # œ #! , de donde , œ È#!#  #& œ È$(& . Finalmente, usando la fórmula (10): È$(& , -9= ) œ ||ØÐ+ß,ÑßÐ!ß"ÑÙ Ð+ß,Ñ|| ||Ð!ß"Ñ|| œ ||Ð+ß,Ñ|| œ #! œ !Þ*')# Luego ) œ "%9 ß &

2.4.

PROBLEMAS

1. Calcule la distancia entre dos puntos del plano afín cuyas coordenadas son: ñ T Ð"ß  #Ñ à UÐ%ß #Ñ ñ T Ð  "ß È# Ñ à UÐÈ$ ß  #Ñ 2. Encontrar las coordenadas del punto de intersección de las rectas: P" À C œ  B  "# à P# À C œ #B  " 3. Encontrar la ecuación de las recta que tiene pendiente 7 œ # y pasa por el punto T Ð  "ß $Ñ

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4Þ Encontrar la ecuación de las recta que tiene pendiente 7 œ  " y pasa por el punto T de intersección de P" À C œ # y P# À que pasa por T Ð$ß  (Ñ y UÐ$ß "Ñ 5. Encontrar las ecuaciones de la recta P tal que: a) pasa por T Ð#ß &Ñ y es paralela a 'B  $C  % œ ! b) pasa por T Ð  #ß $Ñ y es perpendicular a #B  $C  " œ ! c) es perpendicular a $B  #C  " œ ! y pasa por la intersección de esta misma recta con el eje de las x 6. Hay una acequia que forma una pendiente de  "# con un camino y se desea construir otra acequia paralela a la primera y que pase a una distancia de 12[m] de la intersección de la primera acequia con el camino. Suponiendo que todas son rectas ¿cuál es la ecuación de las acequias? (Indicación: elija un sistema de coordenadas adecuado) 7. Calcule la distancia del punto T Ð  $ß "Ñ a la recta L: C œ $B  " 8. Determine la distancia entre las rectas : #B  C  ( œ ! à %B  #C  & œ ! ¿ son estas rectas paralelas? 9. Sea ?ABC : A(-1,2) , B(2,5) , C(3,-1). Calcule el área de este triángulo. 10. Encuentre la recta cuyos puntos equidistan de las rectas: $B  %C  ' œ ! à "#B  &C  * œ ! 11. Decida si acaso los vectores son ortogonales o no: a) Ð"ß $Ñ y Ð  $ß "Ñ b) Ð#ß  "Ñ y Ð"ß %Ñ 12. Sean ?ß @ − ‘# . Demuestre que las tres afirmaciones siguientes son equivalentes: (1) ? y @ son ortogonales (2) ||?  @|| œ ||?  @|| (3) ||?  @||# œ ||?||#  ||@||#

60

13. Demuestre la llamada "desigualdad de Cauchy-Schwartz" : lØ?ß @Ùl Ÿ ||?|| ||@|| donde ?ß @ son vectores de ‘# 14. Descomponer el vector (3,1) en dirección ? œ Ð  #ß $Ñ y @ œ Ð"ß  "Ñ 15. Un barco se vé sometido a la fuerza del viento de 50 Kg en dirección 409 R I . Calcule las componentes de esta fuerza sobre el lado Norte y Este del barco. 16. Una bandera sobre una lancha en movimiento forma un ángulo de 459 respecto de la dirección en que se mueve la lancha, en cambio, una bandera clavada en tierra firme forma un ángulo de 309 respecto de la misma dirección: (a) si la velocidad de la lancha es de 10 Km/h , calcule la velocidad del viento. (b) Encuentre la velocidad aparente del viento para un observador en el bote. 17. Sea ?ABC isóceles donde AC y BC son los lados iguales. Sea P un punto cualquiera sobre el lado AB. Demuestre que la suma de las distancias desde P a los lados AC y BC es constante. 18. Sea ?ABC equilátero, P un punto cualquiera dentro del triángulo. Demuestre que la suma de las distancias a los tres lados es constante, es decir, no depende de la posición del punto. Intente dos demostraciones: una usando geometría analítica y otra usando solo geometría euclideana clásica. 19. ¿Cómo cambian las cordenadas de un punto P en el plano cuando cambia el sistema de coordenadas de ÐSß /" ß /# Ñ a ÐS w ß %" ß %# Ñ ? 20. Encuentre las coordenadas de los puntos del plano cuya distancia a la recta $B  %C  & œ ! es el doble de la distancia a la recta : %B  $C œ '

61

21. Encuentre las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de intersección de : (B  (C œ #% y B  C œ ! y que forman con los ejes coordenados: ñ un triángulo de área ( "& ñ un triángulo de perímetro 12 22. Demuestre que la suma de los cuadrados de las distancias de cualquier punto del plano a dos vértices opuestos de un rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus distancias a los otros dos vértices.

2.5.

LAS SECCIONES CÓNICAS

Supongamos que tenemos una recta fija L9 en el espacio y otra recta L que corta a L9 en un punto O y forma un ángulo agudo α con L9 Þ Si se hace rotar la recta L en torno a L9 , manteniendo fijo el punto O, se forma una figura en el espacio llamada cono circular recto. La recta L9 se llama eje del cono y el punto O se llama vértice del cono. Se entiende por secciones cónicas , o simplemente: cónicas, aquellas curvas que se forman al intersectar un cono circular recto con un plano que no pasa por su vértice. Según sea el ángulo ) con que el plano corta al cono se obtienen los tres tipos básicos de cónicas: elipses () > α), parábolas () = α) e hipérbolas ()< α):

Figura 2.15

62

Es interesante notar que ya el geómetra griego Apolonio ( siglo III A.C.) encontró las propiedades básicas de las cónicas. Fué él quien puso los nombres de elipse, parábola e hipérbola y ha llegado hasta nosotros en una obra denominada justamente "sobre las secciones cónicas" compuesta de 8 libros, la mitad de los cuales sólo se ha conservado en una traducción al árabe. 2.5.1 LA CIRCUNFERENCIA Cuando el ángulo ) es recto, es decir el plano corta perpendicularmente al eje del cono, entonces la elipse resultante se llama circunferencia. Si llamamos C al punto de intersección del plano con el eje del cono , entonces es claro que todos los triángulos ?OCP que se forman tomando un punto P cualquiera de la curva, son congruentes:

Figura 2.16 En efecto, todos ellos tienen el ángulo recto, el ángulo α y el lado OC en común. Por lo tanto, la distancia del punto P al punto C es constante. Esta distancia se llama radio y el punto C se llama centro de la circunferencia. Si llamamos < al radio de la circunferencia, entonces una ecuación vectoria6 de la circunferencia sería simplemente: Ä llT G ll œ < (1) Si tomamos un sistema de coordenadas ÐSß /" ß /# Ñ , usando los vectores especiales À /" œ Ð"ß !Ñ ß /# œ Ð!ß "Ñ , entonces la ecuación anterior toma la forma: Ä Ä Ä llT G ll œ llST  SG ll œ llÐB  +ß C  ,Ñll œ

63

œ ÈÐB  +Ñ#  ÐC  ,Ñ# œ < donde las coordenadas de P son ÐBß CÑ y las de C son Ð+ß ,ÑÞ Elevando al cuadrado, se obtiene la ecuación clásica en coordenadas: ÐB  +Ñ#  ÐC  ,Ñ# œ <#

Ð#Ñ

Observar que la ecuación (2) es una ecuación cuadrática donde los coeficientes de B# y de C# son iguales a 1 y donde no aparece un término en BC. ¿es que cualquiera ecuación cuadrática con esas características representa la ecuación de una circunferencia? Supongamos que tenemos una ecuación de la forma: B#  C#  HB  IC  J œ ! (3) Para que sea la ecuación de una circunferencia debemos llevarla a la forma (2), es decir: B#  C#  #+B  #,C  +#  , #  <# œ ! Þ Luego, bastará que se cumpla: H œ  #+ à I œ  #, à J œ +#  , #  <# Despejando +ß , y < , se tiene: + œ  H# à , œ  I# à < œ "# ÈH#  I #  %J Luego, para que el radio < sea un número real, debe cumplirse que H#  I #   %J (4) Por lo tanto, la relación (3) representa una circunferencia si y solo si se cumple la condición (4). Los números  H# y  I# son las coordenadas del centro. Si en (4) vale la igualdad, entonces la ecuación (3) se transforma en : # # B#  C#  HB  IC  H%  I% œ ÐB  H# Ñ#  ÐC  I# Ñ# œ ! Por lo que solo se satisface con un solo punto de coordenadas: (  H# ,  I# ) es decir, el centro. Se invita al lector a ver que figura se forma cuando no se cumple la condición (4) (se sugiere meter en el Scientific Work Place la ecuación B#  C#  B  C  " œ ! Ñ

2.5.2 LAS RECTAS TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA (a) La recta tangente en un punto X Ð?ß @Ñ sobre la circunferencia:

64

Figura 2.17

Sea

Ä llVG ll# œ

ÐB  +Ñ#  ÐC  ,Ñ# œ <#

(1)

la ecuación de la circunferencia, donde GÐ+ß ,Ñ es su centro . Si T ÐBß CÑ es ahora un punto cualquiera de la tangente, entonces Ä Ä ØT X ,GX Ù œ !

(2)

constituye ya la ecuación vectorial de la recta tangente, puesto que el Ä Ä vector T X debe ser perpendicular al vector GX . Para obtener una ecuación interesante en coordenadas, observemos que Ä Ä Ä T X œ T G  GX ß luego la ecuación (2) queda: Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä ØT G  GX ß GX Ù œ ØT G ß GX Ù  ØGX ß GX Ù œ œ ØÐ+  Bß ,  CÑß Ð?  +ß @  ,ÑÙ  <# œ ! puesto que X satisface la ecuación de la circunferencia y hemos llamado X Ð?ß @Ñ las coordenadas del punto X de tangencia. La ecuación anterior se puede escribir: ÐB  +ÑÐ?  +Ñ  ÐC  ,ÑÐ@  ,Ñ œ <# que es una suerte de desdoblamiento de la ecuación (1) (b) La recta tangente desde un punto EÐαß " Ñ que está fuera de la circunferencia:

65

Ð$Ñ

Figura 2.18 La ecuación será la misma ecuación (3) , solo que esta vez las coordenadas Ð?ß @Ñ del punto de tangencia son desconocidas. Para determinar dichas coordenadas planteamos las dos condiciones : la recta pasa por T Ðαß " Ñ y el punto de tangencia está en la circunferencia: Ðα  +ÑÐ?  +Ñ  Ð"  ,ÑÐ@  ,Ñ œ <# Ð?  +Ñ#  Ð@  ,Ñ# œ <# Este sistema de ecuaciones para ? y @ es de segundo grado, lo que era esperable pues deberá haber dos soluciones, pues hay dos tangentes. (c) Dada una recta, encontrar la ecuación de una circunferencia de un radio dado que sea tangente a la recta en un punto dado de ella.

Figura 2.19

66

Si T Ð?ß @Ñ es el punto sobre la recta L: EB  FC  G œ ! donde la circunferencia debe ser tangenteß entonces esta recta será tangente a una circunferencia de centro GÐ+ß ,Ñ y radio < si es equivalente a la ecuación (3), es decir: ?  + œ -E @  , œ -F  +Ð?  +Ñ  ,Ð@  ,Ñ  <# œ -G Ahora las incógnitas serán las coordenadas del centro de la circunferencia. Resulta también aquí una ecuación de segundo grado, lo que era también esperable pues habrá dos circunferencias del mismo radio tangentes en el mismo punto de la recta: una por un lado y la otra por el otro.

2.6

PROBLEMAS

1. Escriba la ecuación de una circunferencia: ñ con centro en GÐ  "ß $Ñ y radio < œ È$ ñ con centro en GÐ$ß  #Ñ y que pasa por el origen ñ que pasa por T Ð(ß  &Ñ ß UÐ  "ß "Ñ y VÐ!ß  'Ñ #Þ Demuestre que la ecuación: #B#  #C#  "#B  )C  #% œ ! representa una circunferencia. Encuentre su centro y su radio. 3. ¿Para qué valores del parámetro 5 las siguientes ecuaciones describen circunferencias? ñ B#  C#  %B  #C  5 œ ! ñ 5B#  %B  $C#  C œ ! %Þ Encuentre la ecuación de una circunferencia donde uno de sus diámetros une los puntos: T Ð'ß  )Ñ y UÐ  #ß %Ñ 5. Encuentre la ecuación de la tangente a la circunferencia : ÐB  "Ñ#  C# œ #& , en el punto X Ð  #ß %Ñ 6. Encuentre la ecuación de una circunferencia de radio 3 que es tangente a la recta de ecuación: C œ #B  " en el punto X Ð!ß "Ñ de la recta.

67

7. Encuentre la ecuación de las rectas tangente a la circunferencia: ÐB  &Ñ#  C# œ #& desde el punto T Ð  #ß "Ñ exterior a la circunferencia. 8. Demuestre que las circunferencias: G" À ÐB  $Ñ#  ÐC  "Ñ# œ ) G# À ÐB  #Ñ#  ÐC  #Ñ# œ # se cortan en ángulo recto (es decir, el ángulo de las respectivas tangentes en el punto de intersección es recto)

2.7.1.

LA ELIPSE

Se considera que fué Apolonio quien demostró la propiedad más relevante de las elipses: desde un punto cualquiera de la elipse, la suma de distancias hacia dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Esta propiedad resultó ser tan importante que fué considerada posteriormente como definición de elipse. Queda pendiente , sin embargo, la pregunta de si, dada una figura plana con tal propiedad existe un cono del cual proviene y si acaso éste es único. Demostraremos que la respuesta sobre la existencia es afirmativa pero que no hay unicidad. Es claro que la unicidad se pierde para el caso particular de una circunferencia: para una circunferencia dada es fácil construir infinitos conos que la generan. También esto ocurre para una elipse cualquiera, pero su demostración es un poco más complicada. Demostremos la propiedad indicada para una sección cónica que genera una elipse. La demostración se basa en la posibilidad de inscribir dos esferas en el cono, que sean tangentes al plano que lo corta: una por su parte más estrecha y la otra por su parte más ancha. Esto se puede hacer mirando el plano "de perfil" y considerando que las esferas tienen su centro en el eje del cono:

68

Figura 2.20 Aquí se ha tomado, en realidad, un plano conteniendo al eje del cono y perpendicular al plano de corte. Para obtener los centros de las esferas, basta tomar las bicectrices de las correspondientes rectas en este plano e intersectarlas con el eje del cono. Los puntos de tangencia del plano con estas esferas son los focos. Para demostrar que desde un punto cualquiera de la elipse la suma de distancias a estos focos es constante debemos convencernos primero que, si se traza una recta tangente a una esfera desde un punto fuera de ella, la distancia desde dicho punto al punto de tangencia es siempre el mismo. En efecto, los triángulos ?APC y ?BPC de la Figura 2.21 son congruentes, pues tienen un ángulo recto, el lado PC común y los lados CA y CB (radio de la esfera) iguales.

Figura 2.21

69

En la Figura 2.22 J" y J# son los puntos de tangencia del plano que determina la elipse con las esferas , C es el vértice del cono. Se ha tomado un punto P cualquiera de la elipse y se ha unido por una recta con el vértice C. Esta recta está contenida en el manto del cono, por lo tanto corta a las circunferencias que son los puntos de tangencia de las esferas con el cono en los puntos E y D.

Figura 2.22 La distancia PF" es igual , por lo observado anteriormente, a la distancia PD puesto que ambas son tangentes a la esfera menor desde el mismo punto P. Del mismo modo, PF# œ PE. Luego la suma de las distancias PF" y PF# es igual a la suma de las distancias PD y PE, es decir, la distancia entre los planos paralelos que contienen las intersecciones de las esferas con el cono. Pero esta distancia no depende del punto P elegido. Usando esta propiedad es fácil dibujar una elipse: se fijan dos puntos que serán los focos y se amarra un hilo cuya longitud será la suma de distancias a los focos. Es claro que esta longitud debe ser mayor que la distancia entre los focos. El lápiz se desliza sobre el papel manteniendo tenso el hilo:

70

Figura 2.23 Si tomamos un sistema de coordenadas, entonces los focos tendrán como coordenadas: J" Ð+" ß ," Ñ ß J# Ð+# ß ,# Ñ y la elipse tendrá como ecuación: ÈÐB  +" Ñ#  ÐC  ," Ñ#  ÈÐB  +# Ñ#  ÐC  ,# Ñ# œ -

Ð"Ñ

Esta es la ecuación general de la elipse. Pero si uno puede elegir un sistema de coordenadas apropiado, la ecuación se simplifica notablemente:

Figura 2.24 Se ha elegido como eje OX la recta que une los focos y como origen su punto medio. La ecuación (1) queda entonces: ÈÐB  +# Ñ#  C#  ÈÐB  +# Ñ#  C# œ - ß es decir: ÈÐB  +# Ñ#  C# œ -  ÈÐB  +# Ñ#  C# ß y elevando al cuadrado:

71

ÐB  +# Ñ#  C# œ - #  #- ÈÐB  +# Ñ#  C#  ÐB  +# Ñ#  C # , que simplificando y ordenando nos da:  %B+#  - # œ  #- ÈÐB  +# Ñ#  C# ß y elevando nuevamente al cuadrado y simplificando, obtenemos: B# Ð+##  Ð #- Ñ# Ñ  C# Ð #- Ñ# œ Ð #- Ñ# Ð+##  Ð #- Ñ# Ñ

Ð#Ñ

Notemos que debe ser +# Ÿ #- , de lo contrario "el hilo no alcanza" y no hay figura. Si +# œ #- , entonces la figura degenera en el trazo entre los focos. En efecto, la ecuación (2) se reduce a C œ ! y si introducimos en la ecuación original, se obtiene: ÈÐB  +# Ñ#  ÈÐB  +# Ñ# œ - , es decir: lB  +# l  lB  +# l œ que se cumple para B − Ò  +# ß +# Ó Þ Si +#  #- ß entonces podemos llamar: +##  Ð #- Ñ# œ  , # ß #- œ + y se obtiene, dividiendo la ecuación (2) por  +# , # : B# +#



C# ,#

œ"

(3)

El número + se llama semieje mayor mientras que , se llama semieje menor. Finalmente, el número / œ É"  Ð +, Ñ# se denomina

excentricidad. Notar que la excentricidad no cambia si se multiplican los semiejes por una constante positiva cualquiera. Por otro lado, si la excentricidad es nula, entonces + œ , y la elipse degenera en una circunferencia. Finalmente, la distancia entre los focos será: #+# œ #È+#  , # œ #/+

2.7.2. LOS CONOS QUE GENERAN UNA ELIPSE DADA Vamos ahora a abordar el problema inverso: dada una elipse de ecuación B# +#



C# ,#

œ"

Ð"Ñ

construir un cono y un plano que lo corta tal que su intersección coincida con la elipse dada. Para esto tenemos que lograr una interpretación geométrica de la excentricidad. Consideremos nuevamente un cono donde su apertura queda descrita por un ángulo α y un plano que lo corta en un

72

cierto ángulo ), ambos ángulos medidos desde el eje del cono (ver Figura 2.25). En el caso de la elipse se tendrá que )  α Þ Vamos a considerar también, por comodidad, sus complementos : 9 œ 1#  ) y " œ 1#  α .

Figura 2.25 Trazando la esfera tangente al cono y al plano en su parte inferior, podemos determinar la recta en que se intersecta el plano C que contiene la tangente entre la esfera y el cono con el plano que contiene a la elipse. Esta recta se denomina directriz.

Figura 2.26

73

Trazando la perpendicular desde el punto P de la elipse al plano C se determina un punto Q . Consideremos el tetraedro PBQH (ver Figura 2.27)

Figura 2.27 Aquí hay que notar que el ángulo QHP corresponde al ángulo 9 y que el ángulo QBP corresponde al ángulo " . Considerando el ?BQP , que es recto en Q , tenemos: =/8 " œ TT U F y en el ?PQH que también es recto en TU Q tenemos: =/8 9 œ T L , de donde dividiendo ambas expresiones se =/8 9 TF obtiene: =/8 " œ T L . Pero PB œ PF , pues ambas son la distancia del punto P al punto de tangencia a la esfera. Por lo tanto, se tiene: TJ TL

œ

=/8 9 =/8"

ϵ /

Ð#Ñ

J Es decir, la fración TT L no depende del punto P de la elipse. Demostraremos que esta fracción no es otra cosa que la excentricidad, es decir, µ / œ /Þ En efecto, repitamos la Figura 2.24 pero agregando la posición de la directriz y de los vértices de la elipse.

Figura 2.28

74

Tomando como punto P de la elipse los vértices V y V' , obtenemos: ZJ Z wJ µ Z K œ Z w K œ / y reemplazando los valores de las distancias según la Figura 2.28, se tiene: ++# 1+

œ

++# +1

ϵ / #

de donde se puede despejar la distancia 1 : 1 œ ++# . Recordando que +# œ È+#  , # œ +É"  Ð +, Ñ# œ +/ , se tiene que 1 œ +/ y reemplazando en la igualdad de arriba: µ / œ

++# 1+

œ

+Ð"/Ñ + / +

œ

/+Ð"/Ñ +Ð"/Ñ

œ/

Por lo tanto, volviendo a las notaciones originales, tenemos que: =/8 9 =/8 "

œ

-9= ) -9= α

œ / œ É"  Ð +, Ñ#

Ð$Ñ

Tomemos ahora cualquier ángulo α  1# , es decir, cualquier cono no degenerado. La fórmula (3) nos permite calcular el ángulo ) de corte, de modo que la excentricidad sea la dada por la ecuación (1). Necesitamos ahora encontrar los puntos por donde debe pasar el plano de modo de obtener la elipse dada en (1). Para esto consideremos el esquema dado en la Figura 2.29 :

Figura 2.29 La distancia BD no es otra cosa que la distancia entre los vértices de la elipse, es decir #+. Por otro lado el ángulo . es igual a la suma "  9ß es

75

decir: . œ 1  α  )Þ A su vez el ángulo / es igual a 1  #α  .ß es decir: / œ )  α. Por lo tanto, en el ?BAD podemos aplicar el teorema FH #+ EF EH de los senos y obtenemos: =/8 #α œ =/8#α œ =/8 . œ =/8/ de donde: α ) Ñ EF œ #+ =/8Ð =/8 #α

)  αÑ à EH œ #+ =/8Ð =/8 #α

Ð%Ñ

De este modo se han determinado los puntos de corte del plano. Recordar que la Figura 2.29 representa el corte de un plano por el eje del cono. El plano que determina la elipse será un plano perpendicular a éste y que pasa por los puntos B y D. También es posible determinar los radios de las esferas que determinan el plano que ha de definir la elipse. Conviene para esto utilizar la distancia del vértice al foco de la elipse, que llamaremos 0 : 0 œ +  È+#  , #

Figura 2.30

En la Figura 2.30 tenemos que 0 œ FG œ OH. El trazo ED debe bisectar al ángulo ADB para llegar al centro de la esfera, lo mismo que el trazo BF en la esfera superior. Llamando R al radio de la esfera superior y r al de la esfera inferior, tenemos: >1 .# œ 0< y >1 1# / œ V0 , por lo tanto, usando los valores ya calculados para los ángulos . y / , se tiene: < œ 0 >1Ð 1#  2.8.1

α #

 )# Ñ

à V œ 0 >1Ð 1# 

LA HIPÉRBOLA

76

α #

 )# Ñ

Ð&Ñ

Cuando el ángulo ) con que el plano corta al cono es menor que el ángulo del cono, ambos ángulos medidos desde su eje, entonces se produce una hipérbola. También en este caso los puntos de la hipérbola satisfacen una propiedad notable: la diferencia de las distancias a dos puntos fijos del plano es, en valor absoluto, constante. Estos puntos también se llaman focos. Para demostrar esta propiedad vamos nuevamente a inscribir dos esferas en el cono: una tangente al plano en la parte inferior del cono y la otra en su parte superior.

Figura 2.31 Los focos van a ser, como veremos, los puntos de tangencia de estas esferas con el plano que contiene a la hipérbola. Para esto usamos nuevamente la propiedad de que la longitud de las tangentes a una esfera desde punto fijo dado son todas iguales. Es claro que la hipérbola tendrá dos ramas: una al intersectar la parte superior del cono y la otra al intersectar la parte inferior.

77

Figura 2.32 Tomemos un punto P cualquiera de la hipérbola y supongamos que está en la rama superior. Uniendo este punto con el vértice O del cono y prolongando hasta el punto Q de intersección con la circunferencia tangente de la esfera inferior con el cono, la recta también corta a la tangente de la esfera superior en un punto que llamamos R. Notar que esta recta se encuentra sobre el manto del cono. Si llamamos F" y F# las tangentes del plano con las esferas tendremos: el trazo T J" tendrá la misma longitud que el PR , así como el trazo T J# será igual al PQ. Por lo tanto la diferencia T J#  T J" será igual a T U  T Vß es decir a la longitud del trazo UV que es la distancia entre los planos paralelos que contienen las intersecciones de las esferas con el cono. Pero esta distancia no depende del punto T elegido. Si el punto T de la hipérbola se encuentra en la rama inferior entonces la diferencia de distancias que dá la distencia entre los planos será la opuesta: T J1  T J2 . Si tomamos un sistema de coordenadas, entonces los focos tendrán como coordenadas: J" Ð+" ß ," Ñ ß J# Ð+# ß ,# Ñ y la hipérbola tendrá como ecuación: lÈÐB  +" Ñ#  ÐC  ," Ñ#  ÈÐB  +# Ñ#  ÐC  ,# Ñ# l œ -

78

Ð"Ñ

Esta es la ecuación general de la hipérbola. Pero si uno elige un sistema de coordenadas apropiado, la ecuación se simplifica notablemente, al igual que el caso de la elipse:

Figura 2.33 Tomemos un punto T ÐBß CÑ en la rama izquierda: entonces la distancia a J# será mayor que la distancia a J" , por lo tanto la ecuación (1) queda:

ÈÐB  +# Ñ#  C#  ÈÐB  +# Ñ#  C# œ - ß es decir: ÈÐB  +# Ñ#  C# œ ÈÐB  +# Ñ#  C#  -ß y elevando al cuadrado: ÐB  +# Ñ#  C# œ ÐB  +# Ñ#  C#  - #  #- ÈÐB  +# Ñ#  C #  , que simplificando y ordenando nos da:  %B+#  - # œ #- ÈÐB  +# Ñ#  C# ß y elevando nuevamente al cuadrado y simplificando, obtenemos: B# Ð+##  Ð #- Ñ# Ñ  C# Ð #- Ñ# œ Ð #- Ñ# Ð+##  Ð #- Ñ# Ñ

Ð#Ñ

Dividiendo por Ð #- Ñ# Ð+##  Ð #- Ñ# Ñ la ecuación (2) queda: B# Ð #- Ñ#



C# +## Ð #- Ñ#

œ"

Aquí es necesario notar que, según la definición de - , este número corresponde a la distancia entre los vértices de la hipérbola, luego la abcisa +# del foco derecho debe ser estrictamente mayor que #- , en particular la diferencia +##  Ð #- Ñ# es estrictamente positiva. Si llamamos

79

+œ

#

y , œ É+##  Ð #- Ñ#

, entonces la ecuación anterior toma la

forma clásica:

B# +#



C# ,#

œ"

Ð$Ñ

La distancia entre los focos es #+# , lo que , en términos de los nuevos parámetros es: . œ #È + #  , # Ð%Ñ Finalmente, la exentricidad de la hipérbola se define por / œ É"  Ð +, Ñ#

(5)

2.8.2. LOS CONOS QUE GENERAN UNA HIPÉRBOLA DADA Consideremos la ecuación de la hipérbola: B# +#



C# ,#

œ"

Ð"Ñ

Veamos, en primer lugar, que también en este caso la excentricidad corresponde a una razón entre ciertas distancias. Para eso consideremos solo uno de los focos y su correspondiente directriz: la intersección del plano C que contiene la circunferencia tangente entre la esfera y el cono, con el plano que determina la hipérbola. De modo completamente análogo al caso de la elipse, tomando un punto P cualquiera de la hipérbola y trazando la perpendicular al plano C se determina un punto Q y trazando la recta contenida en el manto del cono que pasa por su vértice, se determina el punto B de intersección con la circunferencia anterior. Finalmente trazando la perpendicular desde P a la directriz, se determina el punto H. La Figura 2.34 muestra el esquema "de perfil", es decir, sobre un plano perpendicular al plano que determina la hipérbola y que contiene al eje del cono.

80

Figura 2.34 Usando las notaciones ya establecidas tenemos: TU TL

œ =/8 9 œ -9=) à

TU TF

œ =/8 " œ -9=α

Es importante aquí mostrar que, partiendo de un punto T w situado en la otra rama de la hipérbola se obtienen las mismas razones: T w Uw T wL

œ =/8 9 œ -9=)

à

T w Uw T w Fw

œ =/8 " œ -9=α

Pero T F œ T J y T w F w œ T w J pues se trata de las tangentes a la misma esfera. Tenemos finalmente: TF TL

œ

TJ TL

œ

T w Fw T wL

œ

T wJ T wL

œ

-9=) -9=α

ϵ /

Ð#Ñ

De modo análogo al caso de la elipse, demostraremos que µ / no es otra cosa que la excentricidad / de la hipérbola. Para eso, hagamos un gráfico similar al 2.33 pero poniendo explícitamente la directriz y las distancias pertinentes:

81

Figura 2.35 Tomando como puntos P y P' los vértices de la hipérbola obtenemos, con las notaciones de la Figura 2.35, las siguientes relaciones: µ / œ

ZJ ZK

œ

Z wJ Z wK

œ

+# + +1

œ

++# +1

De la última igualdad podemos despejar la distancia 1 À 1 œ

Ð$Ñ +# +#

Þ Por otro

lado se tiene que +# œ È+#  , # œ +É"  Ð +, Ñ# œ +/ Þ Luego 1 œ

+ /

Þ

Finalmente, substituyendo arriba: µ / œ

++# +1

œ

++/ + +/

œ

"/ " "/

œ/

Por lo tanto, volviendo a las notaciones originales, tenemos que: µ / œ

-9= ) -9= α

œ / œ É"  Ð +, Ñ#

Ð%Ñ

Tomemos ahora cualquier ángulo α  1# , es decir, cualquier cono no degenerado. La fórmula (4) nos permite calcular el ángulo ) de corte, de modo que la excentricidad sea la dada por la ecuación (1). Necesitamos ahora encontrar los puntos por donde debe pasar el plano de modo de obtener la elipse dada en (1). Para esto consideremos las notaciones del esquema dado en la Figura 2.36 :

82

Figura 2.36 Notar, en primer lugar, que la distancia PP' no es otra cosa que la distancia entre los vértices de la hipérbola, es decir #+Þ Por otro lado, el ángulo T ST w es / œ 1  #α ß mientras que el ángulo T T w S es 3 œ 1  α  )  Ð1  #αÑ œ α  ) ß de donde el ángulo T w T S es 1  3  / œ α  ) . Aplicando el teorema de los senos al triángulo T T w S se obtiene finalmente: TTw ST ST w =/8 / œ =/8 3 œ =/8Ð13/ Ñ #+ ST ST w =/8#α œ =/8Ðα)Ñ œ =/8Ðα)Ñ α ) Ñ ST œ #+ =/8Ð =/8 #α

es decir: de donde:

à ST w œ #+

=/8Ðα)Ñ =/8 #α

(5)

De este modo se han determinado los puntos de corte del plano. Recordar que la Figura 2.36 representa el corte de un plano por el eje del cono. El plano que determina la hipérbola será un plano perpendicular a éste y que pasa por los puntos T y T w . También es posible determinar los radios de las esferas que determinan el plano que ha de definir la hipérbola. Para esto, de modo completamente análogo al caso de la elipse, conviene utilizar la distancia del vértice al foco de la hipérbola: 0 œ È+#  , #  + œ +Ð/  "Ñ. Se obtiene, haciendo el mismo análisis que para el caso de la elipse: < œ 0 >1Ð 1# 

α #

 )# Ñ

à V œ 0 >1Ð 1# 

83

α #

 )# Ñ

Ð6Ñ

2.9.1.

LA PARÁBOLA

La parábola es un caso límite entre la elipse y la hipérbola: se produce cuando el ángulo ) con que el plano corta al cono coincide con el ángulo del cono: ) œ α. En este caso hay solamente una esfera tangente al manto del cono y al plano que lo corta:

Figura 2.37 Tomando un punto P cualquiera sobre la parábola podemos trazar una recta que lo una con el vértice del cono: esta recta cortará a la circunferencia tangente de la esfera con el cono en un punto M.

Figura 2.38

84

La intersección del plano C que contiene a esta circunferencia con el plano que determina la parábola es la recta llamada también directriz. Trazando la perpendicular desde el punto P al plano C se determina el punto P' y trazando la perpendicular desde P a la directriz se determina el punto Q. En el tetraedro PP'MQ se tiene que el ángulo PMP' es 9 œ 1#  αß mientras que el ángulo PQP' es también 9 œ 1#  ) , pues ) œ αÞ

Figura 2.39 w

w

T Luego, se tiene que TT Q œ =/8 9 y también TTTU œ =/8 9 Þ Por lo tanto T Q œ T U . Pero T Q œ T J , pues son ambas tangentes a la esfera. El resultado es que los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco que de la directriz: T J œ T UÞ Podemos entonces obtener una descripción analítica sencilla usando un sistema de coordenadas apropiado:

Figura 2.40 Con las notaciones empleadas en la Figura 2.40, se tiene:

85

T U œ B  : œ T J œ ÈÐ:  BÑ#  C# cuadrado y simplificando, se tiene:

, de donde, elevando al

C# œ %:B

Ð"Ñ

que es la ecuación clásica de la parábola.

2.9.2. LOS CONOS QUE GENERAN UNA PARÁBOLA DADA En este caso, la excentricidad geométrica, definida por la razón TT U J es igual a 1. Por lo tanto, procediendo como en el caso de la elipse y la hipérbola, se puede tomar un cono cualquiera y trazar un plano paralelo al manto del cono. Solo es necesario calcular la altura por donde debe pasar dicho plano.

Figura 2.41 La distancia EF en la Figura 2.41 corresponde a la distancia entre el foco y el vértice de la parábola, es decir : en la fórmula (1). En el triángulo IJ ?CEF se tiene: GI œ =/8 α ß es decir, GI œ =/8: α . En el triángulo ?ACE se tiene : GI EI œ =/8 α ß de donde la distancia desde el vértice del cono la punto por donde debe pasar el plano es: EI œ

: =/8# α

86

(2)

El radio de la esfera inscrita también es fácil de calcular: es decir: < œ : -9> α

2.10.

< :

œ >1Ð 1#  αÑ , (3)

LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

Las ecuaciones que definen los tres tipos de cónicas en el plano afin son ecuaciones de segundo grado en ambas variables. Cabe preguntarse si, recíprocamente, toda ecuación de segundo grado representa algún tipo de cónica. La respuesta, como veremos enseguida, es afirmativa, siempre y cuando se acepten como cónicas los llamados casos degenerados. Estos casos pueden clasificarse en cuatro tipos: Ð3Ñ El vacío, como en el caso: B#  C#  " œ ! Ð33Ñ Un solo punto, como en el caso: ÐB  +Ñ#  ÐC  ,Ñ# œ ! Ð333Ñ Dos rectas que se cortan, como en el caso: B#  C# œ ! Ð3@Ñ Dos rectas paralelas o coincidentes, como en los casos: B#  B  " œ ! Ðdos rectas verticales) ; C#  C  " œ ! Ðdos rectas horizontales) ; B#  #B  " œ ! Ðuna sola recta vertical) Consideremos la ecuación de segundo grado: EB#  FBC  GC#  HB  IC  J œ !

(1)

Vamos a demostrar que: ñ Si F #  %EG  !, entonces (1) representa una elipse ñ Si F #  %EG œ ! , entonces (1) representa una parábola ñ Si F #  %EG  ! ß entonces (1) representa una hipérbola aceptando los casos degenerados. Para llevar la ecuación (1) a una forma apropiada, donde se pueda reconocer el tipo de cónica, es preciso examinar como cambia esta ecuación con un cambio de coordenadas. Hay dos tipos de cambio de coordenadas, suponiendo que conservamos la perpendicularidad de los ejes: traslación de ejes y rotación de ejes. I. Traslación de ejes. Sea T ÐBß CÑ un punto cualquiera en un sistema ortogonal de coordenadas y traslademos el origen y los ejes paralelamente

87

sumando una constante 2 a las abcisas y una constante 5 a las ordenadas. Vamos a llamar Bw ß Cw a las nuevas coordenadas. Se tendrá por lo tanto B œ Bw  2 C œ Cw  5

(2)

Figura 2.42 II. Rotación de ejes. Sea ) el ángulo en que se rotan los ejes. Tomemos T ÐBß CÑ un punto en el plano y llamemos T ÐBw ß Cw Ñ al mismo punto pero en las nuevas coordenadas. Llamando < y 9 a las nuevas coordenadas pero polares, se tiene: Bw œ <-9= 9 Cw œ <=/8 9

Figura 2.43

88

Luego, las antiguas coordenadas en coordenadas polares, serán: B œ <-9=Ð)  9Ñ œ <Ð-9=9 -9=)  =/89 =/8 )Ñ C œ < =/8Ð)  9Ñ œ <Ð=/8 9 -9= )  -9= 9 =/8 )Ñ Finalmente, reemplazando los valores de Bw y Cw se tiene: B œ Bw -9= )  Cw =/8 ) C œ Bw =/8 )  Cw -9= )

Ð3Ñ

Vamos a llevar a cabo este análisis en varios pasos: 1. Sea F Á ! en la ecuación (1) . Vamos a hacer una rotación de ejes de modo que el nuevo coeficiente del producto B'C' sea cero. Es claro que, si F œ !ß entonces no necesitamos hacerlo. Sustituyendo B / C según (3) en la ecuación (1), tenemos: EÐ Bw -9= )  Cw =/8 )Ñ#  FÐBw -9= )  Cw =/8 )ÑÐBw =/8 )  C w -9= ) Ñ  GÐBw =/8 )  Cw -9= ) Ñ#  HB  IC  J œ ! Agrupando los coeficientes de Bw Cw , queremos conseguir: #ÐG  EÑ=/8 )-9= )  FÐ-9=# )  =/8# )Ñ œ ! ß es decir: ÐG  EÑ=/8 #)  F-9= #) œ ! Þ Si acaso =/8 #) œ !ß entonces -9= #) Á ! y por lo tanto tendría que ser F œ !ß que hemos descartadoÞ Luego podemos poner: -9> #) œ EG Ð%Ñ F La ecuación (4) tiene siempre una solución 2) − ]0,1[ , es decir, con !  )  1# Þ Con este ángulo ) hemos logrado una rotación de los ejes tal que la nueva ecuación es de la forma: +B#  -C#  .B  /C  0 œ !

Ð&Ñ

donde hemos llamado nuevamente B / C a las nuevas coordenadas. Los coeficientes + y - son À + œ E-9=# )  F=/8 )-9= )  G=/8# ) - œ E=/8# )  F=/8 ) -9= )  G-9=# ) de donde, sumando +- œEG y restando:

89

Ð'Ñ

+  - œ ÐEGÑ-9= #)  F =/8 #) œ =/8 #)ÒÐEGÑ-9> #)  FÓ pero de (4) tenemos que EG œ F-9> #) y sustituyendo arriba: +  - œ F=/8 #) Ð"  -9># #)Ñ œ F=/8 #) =/8"# #) œ =/8F#) Pero sustituyendo nuevamente " œ È"  -9># #) œ É"  Ð EG Ñ# =/8 #)

F

se obtiene finalmente:

+  - œ ÈF #  ÐE  GÑ#

Notar que, como hemos elegido ) positivo y menor que es positivo y +  - tendrá el mismo signo que F .

Ð(Ñ 1 #

ß el seno de 2)

2. Sea ahora À F # œ %EG ß F Á ! Þ Vamos a mostrar que la ecuación (1) , haciendo la rotación respectiva de los ejes, representa una parábola. Introduciendo este coeficiente F en (7), se tiene: +  - œ È%EG  ÐEGÑ# œ ÈÐE  GÑ# œ lE  Gl ñ Caso 1 : F  !, luego también +  -  ! y por lo tanto +  - œ E  G . Pero de (') se tiene +  - œ E  G . Luego - œ ! ñ Caso 2 : F  ! ß luego también +  -  ! y por lo tanto +  - œ  E  G y usando nuevamente (6) se tiene: + œ ! Notar que , si + œ - œ ! la ecuación (5) degenera en una recta Por lo tanto, para los casos no degenerados, con esta rotación la ecuación (5) se reduce a: ñ B#  HB  IC  J œ ! ß o bien: ñ C#  HB  IC  J œ ! donde se ha dividido por el coeficiente no nulo respectivo y se han llamado Hß Iß J los coeficientes resultantes. Tomemos la primera de estas ecuaciones (la otra es enteramente análoga) y hagamos una translación de coordenadas: B œ Bw  2 à C œ Cw  5 Sustituyendo en la ecuación y agrupando, obtenemos: ÐBw Ñ#  Ð#2  HÑBw  ICw  2 #  H2  I5  J œ !

(8)

ñ Si I œ ! ß entonces la ecuación (8) toma la forma: B#  .B  0 œ ! que representa el caso degenerado formado por un par de rectas verticales paralelas ( o coincidentes) o el conjunto vacío.

90

ñ Si I Á !ß entonces podemos elegir : # 2 œ  H# à 5 œ J H22 I y (8) toma la forma: C œ  I" B#

Ð*Ñ

Figura 2.44 3. Sea ahora F # Á %EG , con F œ ! o bien B Á 0 Haciendo la respectiva rotación de ejes ( o no, si F œ !Ñß la ecuación (1) toma la forma: +B#  -C#  .B  /C  0 œ ! Haciendo la traslación: B œ Bw  2 à C œ Cw  5 , la ecuación toma la forma: +ÐBw Ñ#  -ÐCw Ñ#  Ð#+2  .ÑBw  Ð#-5  /ÑC w  L œ ! donde L œ +2 #  -5 #  .2  /5  0 Þ Queremos elegir 2 y 5 de modo que los coeficientes de Bw e Cw sean cero. Pero eso exige que los coeficientes + y - sean diferentes de cero. Pero si + œ ! , usando las igualdades (6) y (7) se tendría que E  G œ ÈF #  ÐE  GÑ# y elevando al cuadrado, se tendría: F # œ %EG , que hemos descartado. Del mismo modo, si - œ ! se llega a la misma contradicción. Por lo tanto, bajo nuestra hipótesis de que F # Á EG podemos elegir: . 2 œ  #+ à 5 œ  #-/ y nuestra ecuación queda de la forma:

91

+B#  -C#  L œ !

Ð"!Ñ

ñ Si L œ ! se obtienen dos tipos de degeneraciones: (i) si + y - tienen el mismo signo, se obtiene un único punto: (0,0) (ii) si + C - tienen distinto signo, se obtienen dos rectas : C œ „È +- B ñ Si L Á ! entonces hay tres casos: (i) si + ß -ß L tienen el mismo signo, entonces la curva es vacía. (ii) si + y - tienen el mismo signo pero L tiene el otro, entonces se puede elegir + y - positivos y L negativo y la ecuación (10) toma la forma de la elipse: C# B# œ" L  L Ð Ñ Ð Ñ +

-

(iii) si + y - tienen distinto signo, entonces , tomando L como positivo, se obtiene una hipérbola de lo forma: B# Ð L+ Ñ



C# Ð L- Ñ

œ"

C# Ð L- Ñ



B# Ð L+ Ñ

œ"

o de la forma:

2.11.

COORDENADAS POLARES

Existe otra manera de describir, mediante números, los puntos de un plano: El sistema de coordenadas polares consiste en: Ð3Ñ un punto de referencia en el plano: éste se llama polo Ð33Ñ una semirecta orientada que parte desde el polo: esta semirecta se llama eje polar. Sea T un punto cualquiera del plano: el punto T puede ser descrito por la distancia < del punto al polo y por el ángulo ) que forma la semirecta que contiene al punto con el eje polar. Este ángulo se medirá desde el eje polar en el sentido contrario a los punteros del reloj: ! Ÿ )  #1

92

Figura 2.45 Es claro que, dado un punto cualquiera en el plano, pero distinto del polo, entonces tanto la distancia < como el ángulo ) , ! Ÿ )  #1 , quedan unívocamente determinados. Pero el polo mismo no determina ningún ángulo: en ese sentido el polo solo posee una coordenada polar: < œ !Þ Recíprocamente, dado dos números: <   !ß y ) con ! Ÿ )  #1 , entonces se determina unívocamente un punto en el plano. Si tomamos el eje polar como uno de los ejes cartesianos y el polo como el origen, entonces la transformación de coordenadas, entre las coordenadas polares y las cartesianas, es muy fácil de obtener:

Figura 2.45

ñ < œ È B#  C # ñ ) œ +<->1Ð BC Ñ

ñ B œ < -9= ) ñ C œ < =/8 )

entendiendo que, para B œ ! , con C Á ! ß ) œ

1 #

Resulta interesante representar figuras en el plano utilizando este sistema de coordenadas. Presentaremos algunas figuras clásicas como ejemplo.

93

ñ La cardioide. Se trata de una figura con forma de corazón (de ahí su nombre) cuya ecuación polar es: < œ +Ð"  -9= )Ñ

(1)

Figura 2.46 Para hacer esta gráfica hay que visualizar la forma como la función coseno cambia al cambiar el ángulo. ñ La lemniscata de Bernoulli. Su ecuación polar es: <# œ +# -9= #)

Figura 2.47

94

Ð#Ñ

Aquí hay que observar que, si 1% Ÿ ) Ÿ $%1 ß el coseno de 2) es negativo, por lo que no hay valores reales de < . Lo mismo ocurre si &%1 Ÿ ) Ÿ (%1 ñ La rosa de tres hojas . Su ecuación polar es: < œ + =/8 $)

(3)

Figura 2.48 ñ La rosa de 4 hojas . Esta figura se entiende respondiendo a la ecuación: < œ +=/8#)

Ð%Ñ

pero, si se mira bien, la función =/8 #) es negativa para 1# Ÿ ) Ÿ 1 y para 31 # Ÿ ) Ÿ 21 , por lo tanto no deberían aparecer cuatro hojas sino solamente dos. Sin embargo las cuatro hojas aparecen aplicando una convención bastante extendida, a saber, que los puntos con < negativo se interpretan como puntos con < positivo pero con el ángulo desplazado en 180! , es decir: T Ð  <ß )Ñ œ T Ð<ß )  1Ñ, si <  !Þ

95

Figura 2.49 También conviene observar que, en la gráfica de la rosa de tres hojas, si se usa esta misma convención no aparecen más hojas: solo se repite cada hoja dos veces. Al buscar la intersección de dos curvas dadas en coordenadas polares es preciso tener en cuenta que el polo se describe con < œ ! pero con cualquier ángulo. Por ejemplo, hagamos la intersección de la cardiode < œ "  -9= ) con la circunferencia < œ -9= ) . En la Figura 2.50 se observa que el polo es un punto de intersección.

Figura 2.50

96

Pero el sistema de ecuaciones: < œ -9= ) < œ "  -9= ) no tiene soluciones. Lo que ocurre es que la circunferencia pasa por el polo cuando ) œ 1# y la cardioide lo hace para ) œ 1Þ 2.12

PROBLEMAS

1. Encuentre la ecuación de una elipse: ñ de focos J" Ð$ß !Ñ ß J# Ð  $ß !Ñ y radio mayor + œ & ñ con distancia entre focos: 4 y radio menor 3 ñ con radio mayor 5 y excentricidad "# 2. Un reflector parabólico tiene 8 pulgadas de diámetro y cuatro pulgadas de espesor: ¿A qué distancia del vértice se encuentra el foco? 3. Hay un paso nivel cuya parte superior tiene forma de parábola. Si el ancho es de 24 pies y la máxima altura es de 16 pies, ¿cuál es la máxima altura que puede tener un camión de 10 pies de ancho para poder pasar? %. Encuentre la ecuación de una hipérbola con focos J" Ð#ß !Ñ ß J# Ð  #ß !Ñ y parámetro + œ È$ &Þ Dibuje la hipérbola de ecuación: B# *  (ayúdese con las asíntotas)

C# "'

œ"

'Þ Se desea construir un puente para cruzar un río de 200 pies de ancho. El arco del puente debe ser semielíptico y tener dimensiones tales que pueda pasar bajo él un barco de al menos 50 pies de ancho y 30 pies de alto. Deduzca la ecuación que corresponde al arco del puente ydetermine la altura del arco a la mitad del puente. (. Al pasar justo sobre el edificio de la escuela, un profesor es lanzado desde un avión sin paracaídas, a una altitud de 36 metros. El fuerte viento que sopla determina que la caída logre un movimiento parabólico con vértice en el lugar en que el profesor comenzó el descenso, de modo que un alumno que se encuentra en una sala a 11 metros desde el suelo, ve al

97

profesor cuando va cayendo a 10 metros de distancia. Determine a cuántos metros del edificio cae el profesor. ). Un automóvil deportivo en una pista de carreras elíptica descrita por la C# B# ecuación: %!!  "!! œ " pierde el control en el punto (16,6) y continúa sobre la tangente hasta golpear un árbol en un punto (14,p). Determine el valor de p. *. En un partido de fútbol entre Chile y Argentina David Pizarro debe lanzar un tiro libre directo al arco a una distancia de 28 metros de aquél, de modo que la pelota se eleve sobre la barrera y luego baje hasta entrar en el arco con un movimiento parabólico. La pelota debe pasar a una altura de 4 metros sobre la barrera que se encuentra a 7 metros del balón y, para que sea gol, debe llegar al arco con una altura de 2 metros. Determine la ecuación del movimiento de la pelota y a qué distancia del lanzamiento logra su máxima altura. 1!. Dos pilares iguales , de 15 metros de altura, ubicados a una distancia de 20 metros , sostienen los extremos de una tabla que se deforma hundiéndose simétricamente desde su centro. A 3 metros de los pilares la tabla descendió 1 metro. Determine a qué altura queda el centro de la tabla si ésta quedó con forma de: ñ parábola ñ semielipse ñ hipérbola con centro en el suelo. "1. Encontrar la parábola que pasa por los puntos T Ð$ß $Ñ ß UÐ'ß &Ñß VÐ'ß  $Ñ "2Þ Encuentre los puntos de intersección de la circunferencia: B#  C# œ ( y la parábola C# œ $B "3Þ La órbita de la tierra alrededor del sol es una elipse con uno de sus focos en el sol. Si la menor distancia de la tierra al sol es de 93.000.000 millas y la mayor es de 96.000.000 millas, ¿ cuál es la excentricidad de la órbita? "4. Haga una rotación de ejes para eliminar el término en BC en las siguientes ecuaciones. ¿Qué cónica resulta? ñ BC  " œ !

98

ñ &B#  #BC  &C#  "# œ ! ñ BC  B#  " œ ! ñ B#  #BC  )C# œ "$' 15. Trazar las siguientes curvas dadas en coordenadas polares: ñ ñ ñ ñ ñ

< œ -9= ) < œ =/8 ) < œ #-9= ) < œ "  #-9= ) < œ ) Ðla espiral de Arquímedes)

% 16. Demuestre que la ecuación polar : < œ "=/8 ) representa una parábola. Haga un gráfico aproximado. ¿ cuál es su ecuación cartesiana? 2 17. Demuestre que la ecuación polar : < œ 2cos ) representa una elipse. Haga un gráfico aproximado. ¿ cuál es su ecuación cartesiana? 2 18. Demuestre que la ecuación polar : < œ "2cos ) representa una hipérbola. Haga un gráfico aproximado. ¿ cuál es su ecuación cartesiana?

19. Encuentre las coordenadas de los puntos de intersección de las curvas siguientes dadas en coordenadas polares: ñ < œ "  -9= ) à < œ #-9= ) ñ < œ =/8 ) à < œ -9= ) ñ < œ -9= ) à < œ "  =/8 )

99

Capítulo 3 LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA 3.1 INTRODUCIÓN 3.1.1. El Teorema de Euler. Hay una curiosa relación entre el número de caras de un poliedro, el número de vértices y el de aristas (descubierta por Euler). Para averiguar cuál es esta relación, hagamos un conteo para algunos poliedros sencillos: Para un cubo tenemos: 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. Para un tetraedro: 4 caras, 4 vértices y 6 aristas.

Figura 3.1 En verdad no es fácil establecer una relación con tan pocos casos....pero tampoco con muchos: tuvo que ser Euler, uno de los matemáticos más creativos de la Historia, quien se diera cuenta que: G Z œE#

(1)

donde G es el número de caras, Z el de vértices y E el de aristas. En los dos ejemplos anteriores se cumple la relación. Si Ud. tiene paciencia y curiosidad, podría intentar hacer el conteo en otros poliedros sencillos, por ejemplo en los 5 posibles poliedros regulares (además del tetraedro regular y el cubo, está el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro). Hagamos un primer salto infinito: consideremos un prisma con 8 caras laterales:

100

Figura 3.2 En este caso es fácil contar los elementos: hay 8  # caras, #8 vértices y 8  #8 œ $8 aristas: ¡¡ la relación (1) se cumple !! Notar que hay aquí una infinidad de poliedros que satisfacen la relación (1). Hay otro caso similar: una pirámide con 8 caras laterales:

Figura 3.3 En este caso hay: 8  " caras, 8  " vértices y 8  8 œ #8 aristas : la relación (1) también se cumple. Tenemos aquí otra familia infinita de poliedros que satisfacen la fórmula de Euler. Sin embargo, es claro que estos casos no agotan todos los posibles poliedros. Hagamos una experiencia diferente: tomemos 2 prismas de base triangular y unámoslos ortogonalmente por sus bases:

101

Figura 3.4 Contando cuidadosamente, se obtiene: hay 9 caras (G œ *Ñ ß 9 vértices ÐZ œ *Ñ pero 15 aristas ÐE œ "&Ñ : G  Z œ ") Á "( œ E  #Þ ¡¡ la relación de Euler no se cumple!!! En realidad, Euler se dió cuenta que no todos los poliedros satisfacen esa relación. Pero conjeturó que, con una condición adicional, la relación sería un teorema. La condición es que el poliedro sea convexo , es decir, que si se toman dos puntos cualquiera dentro del poliedro, el trazo completo que los une también está dentro del poliedro. Esta condición claramente no se cumple en el ejemplo de la Figura 3.4, pero efectivamente se cumple para prismas y pirámides. Aún así el problema está lejos de estar resuelto: hay una infinidad de poliedros convexos que no son ni prismas ni pirámides. Es más: a partir de un poliedro convexo cualquiera uno puede fabricar otro distinto. Por ejemplo cortándole una punta con un plano:

Figura 3.5 Notemos que, si el poliedro original es convexo, el nuevo poliedro también lo será. Supongamos que el poliedro original satisface la relación

102

(1) de Euler y que a la arista A que se corta concurren 8 caras. El nuevo poliedro tendrá G w œ G  " caras, una más que el original, el número de vértices Z w del nuevo poliedro será uno menos que el original (se pierde el vértice que se cortó) pero se ganan 8 vértices nuevos , luego Z w œ Z  "  8 y del mismo modo se ganarán 8 aristas nuevas: Ew œ E  8 Þ Por lo tanto: G w  Z w œ G  "  Z  "  8 œ E  8  # œ Ew  # Nuevamente se cumple la relación (1). Hagamos otro intento: supongamos que tenemos un poliedro convexo que satisface la relación (1). Tomemos una cara cualquiera de este poliedro y agregémosle un "techo":

Figura 3.6 Si el poliedro original es convexo y el "techo" que se agrega tiene una altura suficientemente pequeña, entonces el nuevo poliedro también será convexo. Supongamos que la cara elegida tiene 8 lados: El nuevo poliedro tendrá G w œ G  "  8 caras, pues se pierde una pero se ganan 8 caras nuevas. El número de vertices será Z w œ Z  " pues se gana un solo vértice nuevo. El número de aristas será Ew œ E  8 pues no se ha perdido ninguna pero se han ganado 8 aristas nuevas. Veamos si el nuevo poliedro satiface la relación (1) : G w  Z w œ G  "  8  Z  " œ G  Z  8 œ E  #  8 œ Ew  # ¡Efectivamente la satisface!! Desgraciadamente todavía no podemos afirmar que la relación (1) sea válida para todos los poliedros convexos: agregar un vértice más a un

103

poliedro no agota todos los posibles poliedros. Es fácil ver que hay poliedros convexos muy diferentes con el mismo número de vértices. En efecto, basta considerar los dos poliedros presentados en la Figura 3.7

Figura 3.7 En el poliedro de la izquierda hay 5 vértices, 6 caras y 9 aristas mientras que en el de la derecha hay también 5 vértices pero solo 5 caras y 8 aristas. Esto muestra que, por la vía de agregar un vértice más a un poliedro convexo, no agotamos todos los posibles poliedros convexos. En todo caso hemos encontrado cuatro formas distintas de generar familias infinitas de poliedros convexos que satisfacen la relación de Euler (1). En las dos últimas formas se ha empleado el llamado metodo inductivo, consistente en prolongar cierta propiedad en un caso más, sabiendo que la propiedad se cumple para el caso anterior. La relación (1), llamada Teorema de Euler, ha quedado, sin embargo, en el estado de conjetura : todavía no es teorema. La inducción, desde un punto de vista filosófico, consiste en conjeturar leyes generales a partir de casos particulares. Es la actitud propia de todo científico: la observación y los experimentos permiten conjeturar leyes generales de la Naturaleza, las cuales quedarán en estado de teorías en el caso de las ciencias naturales y de conjeturas en el caso de las matemáticas. Mientras más observaciones y ejemplos satisfacen la teoría, más fuerza adquiere ésta. Lo mismo ocurre en matemáticas: la verificación de una conjetura para un caso más (o para una familia de casos) refuerza la conjetura acercándola al nivel de teorema. Sin embargo basta un caso en que ésta falle para hecharla completamente por tierra. Es lo que nos pasó con el poliedro que no era convexo. También es lo que ocurre en las ciencias naturales: si un nuevo experimento contradice la teoría, es preciso cambiarla. Esto requiere coraje intelectual. Se necesita coraje para revisar

104

las propias creencias. Galileo, cambiando los prejuicios de sus contemporáneos y de la autoridad eclesiástica de la época, es un gran ejemplo de coraje intelectual. También requiere honestidad intelectual. Adherirse a una conjetura que ha sido claramente contradicha por la experiencia sólo porque es mi conjetura sería deshonesto. Sin embargo no es bueno cambiar las creencias frívolamente, sin un serio exámen, tal vez siguiendo una moda o la opinión de alguna autoridad. Se necesita entonces lo que George Polya llama " sabia contención". 3.1.2 La división del espacio. Vamos a presentar un nuevo problema introductorio: ¿en cuántas partes queda dividido el espacio por cinco planos? El problema es fácil de resolver si los cinco planos son paralelos: el espacio queda dividido en seis partes. Pero no es nada fácil si suponemos que ninguno de los planos es paralelo a otro. Usando la intuición geométrica es sencillo ver que, con un plano, el espacio se divide en dos pedazos; con dos planos no paralelos, se divide en cuatro y con tres planos, se divide en ocho. El problema con cuatro planos es ya más difícil. Pero podemos hacer un esfuerzo: cuatro planos no paralelos forman un tetraedro:

Figura 3.8 Un primer trozo del espacio es el que queda atrapado dentro del tetraedro. Cada arista colinda con un trozo nuevo: son seis aristas por lo tanto llevamos 7 pedazos. Cada vértice determina un trozo nuevo : son 4 más. Finalmente, cada cara del tetraedro limita con otro pedazo del espacio que

105

queda hacia afuera : luego serían 15 trozos del espacio. Hacer un conteo como este para cinco planos resulta prácticamente imposible. ¿Qué hacer? Cuando un problema matemático se pone difícil, se puede tratar de resolver uno análogo, pero más fácil. Por ejemplo, dividir el plano por medio de rectas no paralelas. Una recta divide al plano en dos; dos rectas lo divide en cuatro y tres rectas no paralelas lo hacen en 7 . Para cuatro rectas la cosa se complica un poco:

Figura 3.9 Como se puede observar, tampoco el problema para el plano es tan fácil. Por lo tanto, bajemos un peldaño más: dividir la recta por cinco puntos. Ahora si que el problema se facilita. Es más: podemos generalizar el problema y plantearnos dividir la recta por 8 puntos:

Figura 3.10 Se vé claramente que la recta quedará dividida en 8  " trazos. Podemos hacer una tabla con los resultados que hemos obtenido hasta ahora:

106

n 1 2 3 4 5 6 ....... n

línea por puntos 2 3 4 5 6 7 n+1

número de divisiones plano por líneas espacio por planos 2 2 4 4 7 8 11 15 ? ?

?

?

Aquí se observa una regla extraña: sumando en la primera fila los números de la segunda y la tercera columna se obtiene el número correspondiente de la segunda línea, tercera columna. Lo mismo ocurre sumando el segundo con el tercer número: se obtiene el número de la segunda fila. Si tomamos la segunda fila, observamos el mismo fenómeno: $  % œ ( , con los dos primeros números; %  % œ ) con el par de números siguientes. ¿será esto una casualidad? En la tercera fila se observa exactamente lo mismo : %  ( œ "" para los dos primeros y (  ) œ "& con los dos siguientes. Esto no puede ser casual: debe haber alguna razón especial para que esto ocurra. En efecto: debemos preguntarnos cuando tenemos 8 líneas que dividen el plano ¿qué sucede cuando se agrega una línea nueva? La nueva línea, que no debe ser paralela a ninguna de las anteriores, debe por lo tanto cortarlas a todas. Por lo tanto la nueva línea queda dividida con 8 puntos y estos 8 puntos dividen a la línea en 8  " pedazos: cada pedazo nuevo de la línea divide al trozo de plano en que se encuentra en dos, creándose por lo tanto 8  " pedazos de plano nuevos. Llamemos B8 al número de trozos en que 8 líneas dividen al plano. Hemos encontrado una fórmula recursiva: B8" œ B8  8  "

Ð#Ñ

La fórmula recursiva (2) permite obtener una fórmula explícita para el número B8 en que queda dividido el plano por 8 líneas:

B" œ #

107

B# œ B"  # B$ œ B#  $ ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ B8 œ B8"  8 Si sumamos toda esta columna de igualdades, observamos que los términos B5 se van cancelando desde 5 œ " hasta 5 œ 8  " y se obtiene: B8 œ #  #  $  %  ÞÞÞÞ  8 œ "  Ð"  #  $  ÞÞÞ8Ñ Pero sabemos que la suma de los primeros 8 números naturales es por lo que hemos obtenido: B8 œ " 

8Ð8"Ñ #

8Ð8"Ñ #

(3)

Ahora podemos pasar al espacio: la argumentación es completamente análoga a la anterior. La pregunta es ahora ¿ qué ocurre al agregar un plano nuevo a los n planos anteriores? Cuando se agrega un nuevo plano, como no debe ser paralelo a ninguno de los antiguos, se intersecta con los 8 planos anteriores y por lo tanto debe quedar cortado por 8 rectas, las cuales generan, como lo hemos indicado, B8 pedazos en el plano nuevo. Cada uno de estos pedazos genera un nuevo trozo en el espacio. Si llamamos C8 al número de trozos en que 8 planos dividen al espacio, podemos poner: C8" œ C8  B8

(4)

Para obtener una fórmula explícita, podemos emplear el mismo truco que antes: C" œ # C# œ C"  B" C$ œ C#  B# ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ C8 œ C8"  B8" Sumando como antes, obtenemos: 8"

C8 œ #  B"  B#  ÞÞÞB8" œ # 

Ð"  5œ"

108

5Ð5"Ñ # Ñ

C8 œ #  Ð8  "Ñ  œ #  Ð8  "Ñ 

8"

" #

Ð5  5 # Ñ œ

5œ"

" 8Ð8"Ñ # #



8"

" #

5#

5œ"

Para poder continuar necesitamos calcular la suma de los cuadrados. Esto lo podemos hacer con un método similar al que hemos empleado hasta ahora: Ð"  "Ñ$ œ "  $  $  " Ð"  #Ñ$ œ "  $ ##  $ #  #$ ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ Ð"  8Ñ$ œ "  $8#  $8  8$ Nuevamente al sumar las columnas se cancelan (casi) todos los términos al cubo y queda: Ð"  8Ñ$ œ 8  $

8

5#  $

5œ"

8

5  " , de donde, despejando la suma de

5œ"

los cuadrados, se obtiene, despues de un arreglo algebraico: 8

5# œ

5œ"

8Ð8"ÑÐ#8"Ñ '

(5)

Finalmente, introduciendo (5) en la última expresión obtenida para C8 se tiene: C8 œ "  8 

8Ð8"Ñ %



8Ð8"ÑÐ#8"Ñ "#

(6)

La fórmula (6) sobrepasa con creces el problema que nos habíamos propuesto. La división del espacio con 5 planos no paralelos dá 26 trozos de espacio. Pero con la relación (6) podemos continuar indefinidamente.

3.2.

EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN FINITA

109

Supongamos que hay una propiedad T definida para los números naturales tal que: Ð3Ñ T Ð59 Ñ ß es decir, la propiedad se cumple para cierto número 59 Ð33Ñ T Ð8Ñ Ê T Ð8  "Ñ , es decir, suponiendo válida la propiedad para 8 entonces es válida para 8  ". Entonces À T Ð8Ñß a8   59 ß es decir, la propiedad se cumple para todos los números naturales a partir de 59. Este es es el llamado principio de inducción finita , que es un Teorema o un Axioma, según sea el punto de vista que se adopte. Si aceptamos a los números naturales como modelo de cantidades discretas y finitas, entonces este principio se convierte en teorema. En efecto, supongamos que la conclusión no es válida: tendrá entonces que haber un número 7  59 para el cual la conclusión no es válida. Entonces podemos examinar la lista finita de números: 59 ß 59  "ß 59  #ß 59  $ß ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ7 y chequear uno por uno si cumple o no la propiedad T . Uno de ellos será el menor de los que no cumplen, que no puede ser el primero pues hemos supuesto que la propiedad se cumpla para él. Luego, llamando 5 a este número se tendrá que 5  " cumple la propiedad, luego debe cumplirla 5 según nuestra hipótesis Ð33Ñ , lo que contradice el hecho de que 5 es el primero que no cumple la propiedad. La inducción matemática consta entoces de dos fases: Ð3Ñ la fase propiamente inductiva, donde a partir de casos particulares se conjetura una ley general Ð33Ñ la fase demostrativa , donde, suponiendo válida la ley para el caso 8 (esto es lo que se llama hipótesis de inducción) se demuestra para el caso 8  "Þ De este modo, usando el principio de inducción, se demuestra la ley general. EJEMPLOS " " " 1. Consideremos la suma: "# + #Þ$  $Þ%  ÞÞÞÞÞÞ  8Ð8"Ñ ¿habrá alguna formula general sencilla para ella? Hagamos nuestra fase inductiva calculando los primeros casos: " " # œ # " " $" # # + #Þ$ œ #Þ$ œ $ " " " # # + #Þ$  $Þ% œ $

110



" "#

œ

$ %

Observando estos resultados, o tal vez haciendo otros más, podemos 8 aventurarnos en conjeturar el resultado general : 8" Ahora debemos pasar a la fase demostrativa: supongamos que " " " 8 efectivamente "# + #Þ$  $Þ%  ÞÞÞÞÞÞ  8Ð8"Ñ œ 8" . Veamos si la fórmula es válida para el número siguiente: " " " " " # + #Þ$  $Þ%  ÞÞÞÞÞÞ  8Ð8"Ñ + Ð8"ÑÐ8#Ñ 8Ð8#Ñ" Ð8"Ñ# 8" œ Ð8"ÑÐ8#Ñ œ Ð8"ÑÐ8#Ñ œ 8#

œ

8 8"



" Ð8"ÑÐ8#Ñ

œ

con lo que queda demostrado para todo número natural a partir de 8 œ " #Þ Observemos que : "œ" "  % œ  Ð"  #Ñ "%*œ"#$ "  %  *  "' œ  Ð"  #  $  %Ñ ¿Cual será la ley general de esta igualdad? ¿cómo demostrarla? Notar que, al lado izquierdo tenemos la suma de los enteros al cuadrado pero con signos alternados y al lado derecho la suma de los enteros con signo negativo para el caso par y positivo para el caso impar: "  ##  $#  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  8# œ  Ð"  #  ÞÞÞÞÞÞ  8Ñ , 8 par "  ##  $#  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  8# œ "  #  ÞÞÞÞÞÞ  8 , 8 impar Vamos a demostrar estas igualdades utilizando la fórmula de la suma de los primeros 8 números naturales, que ya hemos utilizado en la introducción, y separando los dos casos: Ð3Ñ Sea 8 par: por lo tanto 8  " será impar, luego: "  ##  $#  ÞÞÞ  8#  Ð8  "Ñ# œ  Ð"  #  ÞÞÞÞÞÞ  8Ñ  Ð8  "Ñ# œ  8Ð8"Ñ  Ð8  "Ñ# œ Ð8  "ÑÐ8  "  8# Ñ œ Ð8"ÑÐ8#Ñ # # que es la fórmula de la suma de los naturales hasta 8  " Ð33Ñ Sea 8 impar: 8  " será par, luego: "  ##  $#  ÞÞÞ  8#  Ð8  "Ñ# œ Ð"  #  ÞÞÞÞÞÞ  8Ñ  Ð8  "Ñ# œ

111

œ

8Ð8"Ñ #

 Ð8  "Ñ# œ Ð8  "ÑÐ 8#  8  "Ñ œ 

Ð8"ÑÐ8#Ñ #

lo que demuestra la conjetura. Utilizando la abreviatura de las sumatorias, el resultado anterior se puede escribir: 8

Ð  "Ñ5" 5 # œ Ð  "Ñ8"

5œ"

8Ð8"Ñ #

(1)

3. En general se llama progresión a una secuencia finita de números que se identifican mediante sub-índices: +" ß +# ß +$ ß +% ß ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ+8 La suma de estos números, llamada sumatoria , se abrevia, como hemos 8

+5 . De modo análogo puede ser interesante el producto de

visto:

estos números, que se denomina productoria y se abrevia : # +5 5œ"

8

5œ"

Hay dos progresiones clásicas, muy usadas, que aparecen en distintos problemas: Ð3Ñ La progresión aritmética: +ß +  .ß +  #.ß +  $.ß ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ+  8. cuya característica es que la diferencia entre dos términos sucesivos es constante. Ð33Ñ La progresión geométrica: +ß +<ß +<# ß +<$ ß ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ+<8 que se caracteriza porque la razón entre dos términos consecutivos es constante La suma de 8 términos de una progresión aritmética se puede obtener mediante un truco usado por K.F.Gauss a la edad de 7 años: poner dos veces la suma pero invirtiendo su orden:

112

W8" œ +  Ð +  .Ñ  Ð +  #.Ñ  Ð+  $.Ñ  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÐ+  8.Ñ W8" œ Ð+  8.Ñ  Ð+  Ð8  "Ñ.Ñ  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÐ+  .Ñ  + Sumando estas dos expresiones por columnas, se observa que todas las sumas arrojan el mismo resultado: #+  8. . Como hay 8  " sumandos, se tiene: #W8" œ Ð8  "ÑÐ#+  8.Ñ , de donde À W8" œ Ð8  "Ñ+ 

8Ð8"Ñ . #

(2)

Notar que se han sumado 8  " términos, pues hemos empezado de cero. También se pueden sumar los 8 primeros términos de una progresión geométrica. Acá el truco es un poquito diferente: W8 œ +  +<  +<#  +<$  ÞÞÞÞÞÞÞÞ  +<8"
W8 œ

(3)

Notar que esta fórmula solo es válida para < Á " . Esta no es una restricción importante, pues si < œ ", la suma es trivialmente igual a 8+ 4. Sean +ß , − ‘ , 8 un número natural. La fórmula: Ð+  ,Ñ8 œ

8 5œ!

ˆ 85 ‰+85 , 5

(4)

se conoce en la literatura como Teorema del Binomio. Aquí hay que explicar algunas notaciones : 8 ñ el producto: "Þ#Þ$ÞÞÞÞÞ8 œ # 5 se denota por 8x y se llama 5œ"

n-factorial . Por razones prácticas se extiende al 0 esta definición : 0! œ " 8x ñ ˆ 85 ‰ œ 5xÐ85Ñx Vamos a demostrar (4) usando el principio de inducción finita. Pero antes necesitamos hacer un cálculo algebraico sencillo pero muy útil:

113

8 ‰ ˆ 85 ‰  ˆ 5" ‰ œ ˆ 8" 5

Ð&Ñ

En efecto, basta poner las definiciones y hacer la suma de las fracciones: 8x 5xÐ85Ñx



8x Ð5"ÑxÐ85"Ñx

œ

Ð85"Ñ8x58x 5xÐ85"Ñx

œ

Ð8"Ñx 5xÐ85"Ñx

La fórmula (%Ñ se cumple trivialmente para 8 œ ". También es muy conocida para 8 œ #Þ Supongamos que es válida para 8 y veamos qué pasa para 8  ": Ð+  ,Ñ8" œ Ð 8

œ œ

ˆ 85 ‰+85 , 5 ÑÐ+  ,Ñ œ

ˆ 85 ‰+85" , 5  5œ!

ˆ 8! ‰+8" 5œ!

8

8"

œ 5œ!

 Òˆ 85 ‰ 5œ" 8

8

ˆ 85 ‰+85 , 5" œ

8 ‰ 8"5 5  ˆ 5" Ó+ ,  ˆ 88 ‰, 8" œ 5œ!

ˆ 8" ‰+8"5 ,5 5

que es la fórmula para 8  " 5Þ En el lenguaje corriente una permutación es un intercambio de posición entre objetos dados. Supongamos que tenemos 8 objetos: +" ß +# ß +$ ß ÞÞÞÞ+8 . Estos objetos se encuentran en una ordenación determinada. En matemáticas se entiende por una permutación a una ordenación particular de ellos. El problema es: ¿cuántas permutaciones diferentes se pueden hacer con 8 objetos? Llamaremos T88 a este número y tratemos de obtener una fórmula general por el método inductivoÞ Para los primeros casos basta contar con paciencia: T"" œ "à T## œ #à T$$ œ 'à T%% œ #%à ÞÞ....... ¿Cuál es la conjetura? Atrevámonos a proponer: T88 œ 8x

(6)

Tomemos ahora un conjunto con 8  " elementos: +" ß +# ß +$ ß ÞÞÞÞ+8 ,+8" y observemos que el elemento nuevo +8" tiene 8  " posibilidades de ser ubicado y por cada ubicación del elemento +8" hay 8x posibilidades de ubicar los otros 8 elementos (hipótesis de inducción). Por lo tanto

114

8" T8" œ Ð8  "Ñ8x œ Ð8  "Ñx

lo que demuestra nuestra conjetura. Esta idea puede ser generalizada suponiendo que solo hay < Ÿ 8 lugares donde ubicar los 8 objetos. Vamos a llamar permutaciones recortadas a cada ordenación de 8 objetos en los < lugares y T<8 a su número. Podemos razonar del siguiente modo: hay 8x permutaciones completas: están sobrando 8  < lugares en los cuales se podrán hacer Ð8  <Ñx permutaciones. Por lo tanto: T<8 Ð8  <Ñx œ 8x , luego: T<8 œ

8x Ð8<Ñx

(7)

6. Se dispone de 8 "letras" : +" ß +# ß ÞÞÞÞÞÞ+8 y se desean hacer palabras de < letras, repitiendo cada letra cuantas veces se desee. El largo < de la palabra puede ser mayor o menor que el número de letras. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden hacer? Llamemos E<8 a este número. Esto también se conoce como arreglos de n letras con repetición. Podemos razonar como sigue: en cada lugar de la palabra se pueden usar las 8 letras. Por lo tanto : E<8 œ 8< (8) 7. Supongamos que tenemos un conjunto E de 8 elementos y nos preguntamos: ¿cuántos subconjuntos de E diferentes podemos hacer y que tengan < Ÿ 8 elementos? En este caso el orden no importa, solo queremos definir subconjuntos diferentes. Estas son las llamadas combinaciones y su número vamos a denotarlo G<8 Þ Este es un problema clásico con muchas aplicaciones y no resulta fácil hacer un conteo inductivo directo. Vamos a usar, en este caso el "principio de Condorito" que consiste en contar un número mucho mayor y dividir apropiadamente. Como se sabe, Condorito obtenía el número de ovejas de su rebaño contando sus patas y dividiendo por 4. En nuestro caso tomemos el número de permutaciones recortadas T<8 À si a cada subconjunto de < elementos le practicamos sus
8x
Observar que este número ya era conocido: G<8 œ ˆ 8< ‰

115

(9)

3.3

PROBLEMAS

1. Encuentre una fórmula sencilla para la suma de los números impares: "  $  &  (  *  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÐ#8  "Ñ y demuéstrela usando el principio de inducción finita. 2. Si Ud. suma un número natural y su cuadrado, ¿el número resultante será siempre par? 3. ¿Desde qué número natura 8 es válida la desigualdad #8 Ÿ 8# %Þ Conjeture una fórmula para la siguiente suma y demuéstrela por inducción: " " " " " #  '  "#  #!  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  8Ð8"Ñ 5. Conjeture una fórmula para la siguiente suma y demuéstrela por inducción: " " " " " 3  15  35  63  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  (2n-1)(2n+1) 6. Conjeture una fórmula para la siguiente suma y demuéstrela por inducción: 8 4 2 $ $ 8% 27  9  3  1  #  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  Ð # Ñ 7. Demuestre que, si 8 es un número natural cualquiera, entonces el número: " $ $ Ð8  #8Ñ es un entero. 8. En las siguientes progresiones definidas por recurrencia, conjeture una fórmula general y demuéstrela por inducción: $ ß8œ" +Ñ +8 œ œ %  +8" ß 8  " ,Ñ +8 œ œ

)" ß8œ" # Ð  $ Ñ+8" ß 8  "

116

Ú! -Ñ +8 œ Û " 8# Ü +8" + # Ú!

ß 8œ" ß 8œ# ß 8#

ß 8œ" ß 8œ# .Ñ +8 œ Û " Ü #+8"  +8# ß 8  # *Þ Demuestre usando el principio de inducción finita: +Ñ B8  C8 es divisible por B  C ,Ñ "Þ#  #Þ$  $Þ%  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ  8Ð8  "Ñ œ

8Ð8"ÑÐ8#Ñ $

-Ñ "$  #$  $$  ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ8$ œ Ð 8Ð8"Ñ Ñ# # 10. Usando la inducción Ud. puede demostrar que un conjunto cualquiera de 8 niñas tiene el mismo color de ojos . En efecto, para 8 œ " es evidente. Supongamos que es válido para 8 niñas y agreguemos una más: 8 niñas : iguales èëëëëëëëéëëëëëëëê E"ß E# ß ÞÞÞÞÞÞÞÞÞE8 ß E8" E" ß E# ß ÞÞÞÞÞÞÞÞÞE8 ß E8" ðóóóóóóñóóóóóóò 8 niñas: iguales Explique la paradoja. Ud. puede ayudarse experimentalmente mirando los ojos de varias niñas de su curso. (las niñas pueden resolver el mismo problema demostrando que todos los niños tienen el mismo color de ojos...) 11. Encuentre el término constante (independiente de B ) en el desarrollo de Ð#B# 

" ") #B Ñ

"#Þ En el desarrollo de ÐB  B+ Ñ"" encuentre el quinto término y el término donde aparece B& . ¿son el mismo término?

117

13. Demuestre que la suma de los coeficientes ˆ 85 ‰ del desarrollo del binomio Ð+  ,Ñ8 es igual a #8 8

14. Calcular:

" " Ð# 5"  # 5" Ñ 3

3œ" 5œ"

3"

5œ"

15. Si se pone un grano de trigo el el primer cuadrado de un tablero de ajedrez, dos en el segundo, 4 en el tercero y así, doblando sucesivamente, se llega al final ¿Cuántos granos habrá en el último casillero? ¿Cuánto habrá en el tablero completo? Suponga que 1 kilogramo de trigo tiene aproximadamente 40.000 granos y calcule las cantidades anteriores en toneladas. Compare con la producción mundial de trigo. 16. Una hoja de papel-biblia ( 0.001 cm de espesor) se dobla sucesivamente por mitades 50 veces. Calcule el espesor resultante en Km 17. Tres personas se reparten una herencia de US$210.000 proporcionalmente a sus edades, que están en progresión geométrica. Si la del medio tiene 6 años y la menor recibe US$30.000 ¿Cuánto recibe cada una y qué edad tienen? 18. En cierto cultivo las bacterias se duplican cada 20 minutos. Si se comienza con 1 bacteria ¿cuántas habrá después de 2 horas? ¿y después de 2 dias? (suponiendo que no se mueren ) 19. ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,5,6,7,8, de modo que no haya cifras repetidas? ¿Cuántos son pares? ¿Cuántos son impares? 20. Tres viajeros llegan a una ciudad donde hay tres hoteles. ¿De cuántas maneras se pueden alojar? Discuta las diferentes variantes. 21. ¿Cuántas patentes de automóvil pueden hacerse usando 4 letras y dos números? 22. Para identificar los cerdos de una piara se acostumbra a hacer marcas en las orejas, identificando el lugar de cada marca. ¿Cuántos cerdos se pueden identificar haciendo hasta 3 marcas en cada oreja? ¿ Cuántas marcas por oreja es preciso hacer para identificar 1000 cerdos ?

118

23. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 4 hombres y 4 mujeres en una mesa redonda de modo que haya siempre sexos alternados? 24. Hay 7 estadísticos y 4 matemáticos y se desea formar un comité de 6 miembros de modo que: +Ñ haya 2 matemáticos ,Ñ haya al menos dos matemáticos. 25. Se desea encerrar 3 gallos de pelea en 6 corrales diferentes ¿De cuántas maneras se puede hacer? (no puede haber dos gallos en el mismo corral). ¿y si hay 8 corrales y < gallos? Discuta el problema según 8 y <Þ 26. En un juego de Poker calcule cuántos: a) poker de ases b) poker cualquiera c) full de ases d) par de tontos se pueden formar 27. Un granjero tiene 4 verracos y 36 cerdas. ¿De cuántas maneras puede dividir la piara en 4 grupos de 8 , 9 , 11, 12 animales de modo que haya siempre un verraco en cada uno? 28. ¿De cuántos modos pueden abrevar 3 parejas de leones en una laguna circular de modo que nunca haya dos machos contiguos? 29. Se tienen 4 monedas de $5 , 6 de $10 y 3 de $50. ¿De cuántas maneras puede formarse una cantidad de $50 ?

3.4

LOS NÚMEROS NATURALES

Hasta ahora hemos trabajado con la idea intuitiva de los números naturales. Conviene, sin embargo, presentar el modelo matemático abstracto. Se define como sistema de números naturales al trío: Ðß :ß =Ñ donde  es un conjunto, : − ß y = À  Ò  ß llamada función de sucesión, y donde se cumplen los siguientes axiomas: MÞ

: Â
119

MMÞ =Ð8Ñ œ =Ð7Ñ Ê 8 œ 7 MMMÞ Si Q ©  satisface: ñp−Q ñ B − Q Ê =ÐBÑ − Q entonces Q œ  El axioma MMM se llama axioma de inducción y corresponde al principio de inducción mencionado más arriba. Este axioma hace que nuestro conjunto  sea infinito y que no haya otro conjunto infinito más pequeño. El elemento : es el primer elemento de  y será llamado 0 si lo definimos como neutro de la suma. En este caso se define: =Ð!Ñ œ " Þ La función de sucesión = permite definir la suma de dos números naturales poniendo 8  " œ =Ð8Ñ y definiendo inductivamente la suma para los demás númerosÞ Si al primer elemento lo llamamos 1, entonces la suma en  no tendrá neutro. Históricamente los números naturales han comenzado con el 1. Pero a veces es conveniente dejar atrás la historia. Es fácil demostrar que este sistema es único salvo isomorfismo, es decir, dos sistemas de números naturales se pueden poner siempre en una correspondencia biunívoca de modo que el primer elemento de uno corresponda al primer elemento del otro y que el sucesor de uno corresponda al sucesor del otro. Estos tres axiomas, llamados axiomas de Peano, describen la estructura básica de los números naturales pensados intuitivamente: deben comenzar en algún punto (axioma I ) , debe haber un sucesor adecuado para cada punto (axioma II ) y debe ser el conjunto más pequeño con estas propiedades (axioma III) .

120

Capítulo 4 LOS NÚMEROS COMPLEJOS 4.1 INTRODUCCIÓN Desde la antiguedad se conocía el hecho de que ecuaciones tan simples como B#  " œ ! no tenían solución entre los números que representaban cantidades, que eran los únicos números que se consideraban en aquella época (números reales). Este tipo de ecuaciones no despertó entonces el interés de los matemáticos: sencillamente no tenían solución. Fué en Italia, durante el período del renacimiento, cuando por primera vez los algebristas se encuentran con expresiones formales donde aparecen raíces cuadradas de números negativos. Pero la motivación principal para entender estas expresiones no viene de las ecuaciones cuadráticas sino de las ecuaciones cúbicas. Es en el libro Ars Magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545, donde aparecen los números complejos por primera vez. Allí se presenta, por ejemplo, la ecuación: B$ œ $:B  #; y Cardano dá como solución la fórmula: $ $ BœÉ ;  È; #  :$  É ;  È; #  : $

conocida hoy, haciendo un poco de justicia a la historia, como fórmula de Scipione del Ferro- Tartaglia-Cardano. Si ponemos : œ # ß ; œ "ß entonces la ecuación: B$ œ 'B  # tendrá como solución, según esta formula: $ $ B œ É"  È  (  É"  È  ( Con un poco de paciencia, si uno sustituye este número en la ecuación y si se acepta que: Ð"  È  (ÑÐ"  È  ( ) œ )

121

entonces efectivamente la satisface. Fué Rafael Bombelli , considerado el padre de los números complejos, quien desarrolló el álgebra formal de este tipo de expresiones, basándose en la obra de Cardano. Sin embargo, el significado de estos números seguía quedando en la obscuridad. Es por eso que se los llamó imaginarios y fué Euler quien propuso llamar 3 a la unidad imaginaria À 3 œ È  " Þ Finalmente Gauss publica, en 1831, un trabajo donde expone con toda claridad las propiedades de los números de la forma +  ,3 , cuya representación gráfica como puntos de un plano ya había sido planteada en 1806 por el suizo J.Argand, por lo que dicha representación se conoce como diagrama de Argand.

4.2. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS Sea ‚ œ ‘ ‚ ‘ provisto de la siguiente estructura algebraica: ñ suma: Ð+ß ,Ñ  Ð-ß .Ñ œ Ð+  -ß ,  .Ñ ñ producto: Ð+ß ,ÑÐ-ß .Ñ œ Ð+-  ,.ß +.  ,-Ñ Cabe preguntarse qué reglas básicas satisfacen estas operaciones. La respuesta es que el trío Ð‚ß  ß ÞÑ es un cuerpo conmutativo, es decir, satisface los siguientes 9 axiomas: 1) asociatividad de la suma: ÐB  CÑ  D œ B  ÐC  DÑ 2) existencia de neutro de la suma: !  B œ B  ! œ B $) existencia de inverso de la suma: B  Ð  BÑ œ ! %) conmutatividad de la suma: B  C œ C  B &) asociatividad del producto: ÐBCÑD œ BÐCDÑ ') existencia de neutro del producto : BÞ" œ "ÞB œ B () existencia de inverso del producto para elementos no nulos 8) conmutatividad del producto: BC œ CB 9) distributividad : BÐC  DÑ œ BC  CD La demostración de estas propiedades es sencilla, pero , en algunos casos, un poco larga y tediosa. Veamos algunas de ellas: el par Ð!ß !Ñ es obviamente un neutro de la suma, así como el par Ð  +ß  ,Ñ es inverso aditivo de Ð+ß ,ÑÞ El par Ð"ß !Ñ es claramente neutro del producto y el par + , Ð +# , # ß +# , # Ñ es inverso multiplicativo del par Ð+ß ,Ñ. Notar que si D œ Ð+ß ,Ñ Á ! entonces no puede ser + œ , œ ! ß por lo que + #  , # Á !.

122

La asociatividad de la suma se obtiene directamente de la asociatividad de la suma en ‘, pero la asociatividad del producto es preciso comprobarla con un cálculo un poco largo usando la definición. Lo mismo ocurre con la distributividad. Los números complejos pueden representarse como puntos en un plano:

Figura 4.1 Los números reales pueden ser sumergidos dentro de los complejos: consideremos el subconjunto ‘! œ ÖÐBß !Ñ À B − ‘× © ‚ : la función 9 À ‘ Ò ‘! definida por 9ÐBÑ œ ÐBß !Ñ es una función biyectiva que respeta las operaciones: 9ÐB  CÑ œ ÐB  Cß !Ñ œ ÐBß !Ñ  ÐCß !Ñ œ 9ÐBÑ  9ÐCÑ 9ÐBCÑ œ ÐBCß !Ñ œ ÐBß !ÑÐCß !Ñ œ 9ÐBÑ9ÐCÑ Una biyección de este tipo se llama un isomorfismo y permite identificar (o más propiamente: abreviar) el complejo ÐBß !Ñ con el real B . Es en este sentido en que los reales pueden ser considerados como parte de los complejos. En rigor se trata de complejos con segunda componente nula. El número complejo Ð!ß "Ñ se llama unidad imaginaria y se denota por la letra latina 3 . Con estas abreviaturas podemos representar cada número complejo en la forma llamada cartesiana: Ð+ß ,Ñ œ Ð+ß !Ñ  Ð,ß !ÑÐ!ß "Ñ œ +  ,3 Notar que el complejo 3 satisface la propiedad: 3# œ Ð!ß "ÑÐ!ß "Ñ œ Ð  "ß !Ñ œ  "

123

Es en este sentido que 3 es una raiz cuadrada de  " , pero en realidad no del  " real sino del  " complejo, es decir, de la pareja Ð  "ß !ÑÞ Para el complejo D œ Ð+ß ,Ñ œ +  ,3 se llama parte real de D al real +ß primera componente del par y parte imaginaria de D al real , , segunda componente del par. Se denotan usualmente: + œ dÐDÑ à , œ eÐDÑ Hay dos operaciones muy usadas en ‚: ñ Si D œ B  3C , entonces el complejo B  3C se llama el conjugado de D y se denota:  D œ B  3C ñ El número real : lDl œ ÈB #  C# se llama valor absoluto (o también módulo) En la representación geométrica del plano complejo, el conjugado corresponde a la reflexión del complejo respecto al eje OX y el valor absoluto es la distancia del complejo al origen:

Figura 4.2 Las propiedades elementales que cumplen estas operaciones son: 1) D"  D# œ D"  D# #Ñ D" D# œ D" D# $Ñ D œ D %Ñ lD" D# l œ lD" l lD# l &Ñ lD"  D# l Ÿ lD" l  lD# l (desigualdad triangular) 'Ñ lDl# œ D D

124

La demostración de estas propiedades es un buen ejercicio de manipulación de complejos y la dejaremos para el lector, salvo la propiedad (5) que requiere un análisis más fino. Para hacerlo con mayor claridad demostraremos primero un Lema, es decir, un teorema auxiliar: LEMA Þ

Si D" ß D# − ‚ , entonces: | d (D" D# Ñ| Ÿ lD" l lD# l

DEMOSTRACIÓN. Sea D" œ +  3, ß D# œ -  3.Þ Entonces: D" D# œ Ð+  3,ÑÐ-  3.Ñ œ +-  ,.  3Ð,-  +.Ñ , luego: d (D" D# Ñ œ +-  ,. Por otro lado: lD" l lD# l œ È+#  , # È- #  . # œ ÈÐ+#  , # ÑÐ- #  . # Ñ , luego: ( lD" l lD# l)#  d (D" D# Ñ# œ Ð+#  , # ÑÐ- #  . # Ñ  Ð+-  ,.Ñ# œ Ð+.  ,-Ñ# pero esta última cantidad es positiva, luego: ( lD" l lD# l)#   d (D" D# Ñ# de donde, extrayendo raíces cuadradas, se obtiene la desigualdad buscada. Observar que, puesto que un número real es siempre menor o igual a su valor absoluto, con mayor razón : d (D" D# Ñ Ÿ lD" l lD# l Con este Lema estamos en condiciones de demostrar la desigualdad triangular: lD"  D# l# œ ÐD"  D# ÑÐD"  D# Ñ œ D" D"  D# D#  D" D#  D#D" œ œ lD" l#  lD# l#  D" D#  D" D# pero la suma de un complejo y su conjugado es dos veces su parte real, luego: lD"  D# l# œ lD" l#  lD# l#  #dÐD" D# Ñ y utilizando el Lema: lD"  D# l# Ÿ lD" l#  lD# l#  #lD" llD# l œ Ð lD" l  lD#l Ñ# de donde, extrayendo raíces cuadradas, se obtiene la desigualdad buscada.

125

4.3. RAÍCES CUADRADAS DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Trataremos aquí de discutir el sentido que puede tener la expresión: ÈD cuando D − ‚Þ En forma análoga al caso real, es claro que, si hay un complejo cuyo cuadrado es D , entonces, si D Á !ß hay por lo menos dos: él y su negativo. ¿Se podrá escoger uno de ellos de modo unívoco para designarlo ÈD ? En el caso real se elige la raíz cuadrada positiva, pero en los complejos no hay un orden y por lo tanto no hay negativos ni positivos. Es más: no es posible definir en ‚ una relación de orden que sea compatible con la estructura de cuerpo. En efecto, suponiendo que hay una relación de orden que haga de ‚ un cuerpo ordenado, si suponemos 3  ! , multiplicando por 3 se llega a la contradicción: 3# œ  "  !Þ Si suponemos 3  !ß entonces  3  ! y multiplicando por  3 la desigualdad anterior: 3Ð  3Ñ œ  3# œ "  ! lo que es también una contradicción. Sea D œ +  3, y busquemos los complejos B  3C cuyo cuadrado sea igual a D : ÐB  3CÑ# œ B#  C#  #BC3 œ +  3, lo que nos dá, igualando partes reales e imaginarias (no olvidar que los complejos son pares ordenados de reales): B#  C# œ + #BC œ ,

(1)

Elevando al cuadrado ambas igualdades y sumando: B%  #B# C#  C%  %B# C# œ +#  , # ÐB#  C# Ñ# œ +#  , # luego:

B#  C# œ È+#  , # œ lDl

Sumando esta igualdad con la primera igualdad de (1): #B# œ +  lDl de donde :

126

(2)

B œ „ È"# È+  lDl

(3)

De modo análogo, restando (2) de (1) , resulta

C œ „ È"# È  +  lDl

Ð%Ñ

Si combinamos los signos en (3) y (4) tendríamos 4 soluciones: pero no todas las combinaciones de signos son posibles: el producto BC debe tener el mismo signo que , de acuerdo a nuestra ecuación (1). Recordando que + œ dÐDÑ y que , œ eÐDÑ podemos dar nuestro resultado completo distinguiendo tres casos: ñ Si eÐDÑ  !ß entonces las dos raíces cuadradas de D son: „Ò

" È lDl È#

 dÐDÑ  3

" È lDl È#

 dÐDÑ Ó

(5)

ñ Si eÐDÑ  !ß entonces las dos raíces cuadradas de D son: „Ò

" È lDl È#

 dÐDÑ  3

" È lDl È#

 dÐDÑ Ó

(')

ñ Si eÐDÑ œ ! , entonces hay tres casos:

Si dÐDÑ  ! ß las raíces son: „ÈdÐDÑ Si dÐDÑ  !ß las raíces son „ 3 È  dÐDÑ Si dÐDÑ œ ! ß solo hay una raíz que es el 0

No hay una convención universalmente aceptada para elegir con el símbolo ÈD una de las raíces, de modo que esta expresión se mantiene ambigua. En todo caso las dos raíces siempre difieren solo en el signo.

4.4 LA FORMA POLAR DE LOS COMPLEJOS El sistema de coordenadas polares puede ser utilizado con ciertas ventajas para representar los números complejos:

127

Figura 4.3 Puesto que la distancia al origen, que es el polo, es el valor absoluto de D , se tiene: B œ lDl-9= ) à C œ lDl =/8 ) y por lo tanto: D œ lDlÐ-9=)  3=/8)Ñ (1) El ángulo ) se llama argumento del complejo D y se elige de 0 a 21. Resulta interesante expresar el producto de dos complejos en su forma polar: Sean: D" œ lD" lÐ-9=)"  3=/8)" Ñ D# œ lD# lÐ-9=)#  3=/8)# Ñ D" D# œ lD" llD# lÐ-9=)" -9=)#  =/8)" =/8)#   3Ð=/8)" -9=)#  -9=)" =/8)# Ñ luego, usando las fórmulas de las funciones trigonométricas de la suma: D" D# œ lD" llD# lÐ-9=Ð)"  )# Ñ  3=/8Ð)"  )# Ñ

(2)

Es decir, se multiplican los módulos y se suman los argumentos. En particular, para las potencias 8-ésimas: D 8 œ lDl8 Ð-9= 8)  3=/8 8)Ñ

(3)

Esta igualdad es conocida como fórmula de De Moivre . Con este resultado se pueden obtener fácilmente las raíces 8-ésimas de los números complejos: Sea D œ <Ð-9=)  3=/8)Ñ Þ Buscamos los complejos:

128

A œ 3Ð-9= 9  3=/89Ñ tales que : A8 œ D . Por lo tanto se debe tener: 38 Ð-9= 89  3=/8 89Ñ œ <Ð-9=)  3=/8)Ñ

8 Luego: 3 œ È < y 89 œ )  #5 1ß 5 − ™Þ Hay una única raiz 8-ésima positiva de <, pero habrá 8 valores distintos de 9:

9œ

) 8



#5 81

ß 5 œ !ß "ß #ß $ß ÞÞÞÞÞ8  "

Por lo tanto, el complejo D tendrá 8 raíces complejas ( a menos que sea 0 , en cuyo caso solo tiene una): 8 AœÈ < Ð-9= Ð 8) 

#5 8 1

Ñ  3=/8Ð 8) 

#5 81

ÑÑß 5 œ !ß "ß #ß ÞÞÞ8  " (4)

Figura 4.4 En la Figura 4.4 se han dibujado las cuatro raíces cuartas de 3

4.5Þ

PROBLEMAS

1. Encuentre el módulo y el complejo conjugado de: ñ È#  È# 3 ñ Ð"  3ÑÐ  "  #3ÑÐ#  $3Ñ ñ$ ñ $#3 %$3 " ñ #$ È$  # 3 2. Demuestre que, para cualquier par denúmeros complejos, vale:

129

ñ

D"  D # œ D "  D #

ñ

D" D # œ D " D #

ñ

DœD

ñ lD" D# l œ lD" l lD# l ñ ñ

lDl# œ D D l DD"# l œ

lD" l lD# l

ß si D# Á !

3. Demuestre: | "D D" l œ " . ¿Es válida esta igualdad para cualquier D − ‚? 4. Calcule las raíces cuadradas complejas de: ñ $  %3 ñ  #3 ñ # ñ  "  #3 ñ 3 y ubíquelas en el plano complejo. 5. Demuestre que las dos raíces complejas de la ecuación cuadrática: +B#  ,B  - œ ! " # son : ,V y ,V , donde V" y V# denotan las dos raíces #+ #+ cuadradas complejas del número complejo , #  %+-

6. Resuelva en ‚: ñ 3B#  #B  "  3 œ ! ñ B#  3B  #3 œ ! ñ B#  B  " œ !

7. Sea D Á " una raíz 8-ésima de la unidad. Demuestre: "  D  D #  ÞÞÞ  D 8 œ !

130

8. Resuelva las siguientes ecuaciones en ‚: ñ |D |  D œ "  #3   #D œ $  3 ñ DD " ñ lDl œ lDl œ l"  Dl

131

Capítulo 5: LOS POLINOMIOS 5.1. INTRODUCCIÓN Desde muy antiguo se estudiaron funciones reales de la forma: 0 ÐBÑ œ +!  +" B  +# B#  ÞÞÞÞ  +8 B8

(1)

cuya simplicidad conceptual se deriva simplemente de las operaciones de suma y producto aplicadas a la función identidad. Estas funciones gozan de una propiedad interesante: dos tales funciones son iguales si y solo si sus coeficientes respectivos son iguales. En efecto, si +!  +" B  +# B#  ÞÞÞÞ+8 B8 œ ,!  ," B  ,# B#  ÞÞÞÞ,8 B8 entonces : (+!  ,! Ñ  Ð+"  ," ÑB  Ð+#  ,# ÑB#  ÞÞÞÞ  Ð+8  ,8 ÑB8 œ ! pero como estamos estableciendo una igualdad funcional, ésta debe ser válida para todo B − ‘Þ En particular, para B œ ! . Luego +! œ ,! . Por lo tanto: BÒÐ+"  ," Ñ  Ð+#  ,# ÑB  ÞÞÞÞ  Ð+8  ,8 ÑB8" Ó œ ! ß a B − ‘ En particular, esta igualdad vale para todo B Á !ß es decir: Ð+"  ," Ñ  Ð+#  ,# ÑB  ÞÞÞÞ  Ð+8  ,8 ÑB8" œ !ß aB Á ! Pero, si estamos en ‘, podemos aplicar el límite cuando B Ò !. Luego +" œ ," Þ Este mismo procedimiento podemos aplicarlo inductivamente y obtenemos así el resultado propuesto. Es necesario recalcar que este procedimiento no es generalizable a un cuerpo cualquiera de coeficientes. Por lo tanto, desde un punto de vista algebraico, lo que importa es la colección ordenada de los coeficientes +! ß +" ß +# ß ÞÞÞ+8 Þ Podríamos concebir una teoría sobre sucesiones finitas como ésa, pero tropezamos con el siguiente problema: ¿cómo operar con sucesiones de distinto largo?

132

El truco consiste en alargar con ceros, indefinidamente, estas sucesiones. Es así como se ha llegado al concepto algebraico de polinomio. 5.2. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS. Vamos a denotar por: ‘Ò\Ó œ ÖÐ+8 Ñ8 ! À +8 − ‘ ß +8 œ ! ß aw 8 − × donde el símbolo aw se lee "para casi-todo" y significa: para todo salvo un número finito. Los elementos de ‘Ò\Ó son entonces sucesiones de números reales donde solo un número finito de sus valores difieren del cero, o sea son de la forma: Ð +! ß +" ß +# ß ÞÞÞ+8 ß !ß !ß !ß ÞÞÞÞÞÑ, donde el índice donde empiezan a aparecer los ceros es variableÞ En este sentido se llama grado del polinomio al índice del último término distinto de cero: 1<Ð +! ß +" ß +# ß ÞÞÞ+8 ß !ß !ß !ß ÞÞÞÞÞÑ œ 8ß si +8 Á ! Se define en el conjunto ‘Ò\Ó una suma y un producto: ñ Ð+8 Ñ  Ð,8 Ñ œ Ð+8  ,8 Ñ ñ Ð+8 ÑÐ,8 Ñ œ Ð + : ,; Ñ :;œ8

Notar que estas operaciones están bien definidas, pues las sucesiones resultantes también poseen valores nulos salvo un número finito de índices. PROPIEDADES BÁSICAS 1. La suma es asociativa, es decir: ÐB  CÑ  D œ B  ÐC  DÑß aBß Cß D − ‘Ò\Ó Como la suma se ha definido componente a componente, esta propiedad se deriva directamente de la asociatividad de la suma de números reales. 2. La suma es conmutativa, es decir: B  C œ C  Bß aBß C − ‘Ò\Ó Por el mismo argumento anterior, esta propiedad es válida

133

3. La suma tiene un elemento neutro, que llamaremos "cero", es decir un elemento que cumple: !  B œ B  ! œ B ß aB − ‘Ò\Ó En efecto, basta definir: ! œ Ð!ß !ß !ß !ß ÞÞÞÞÞÑ 4. Cada elemento B − ‘Ò\Ó posee un inverso respecto a la operación suma, es decir, otro elemento C tal que B  C œ !Þ En efecto, para B œ Ð+8 Ñ , basta definir C œ Ð  +8 Ñ 5. El producto es también asociativo , es decir ÐBCÑD œ BÐCDÑß aBß Cß D − ‘Ò\Ó Esta propiedad ya no es tan simple de demostrar, debido a la forma en que se ha definido el producto. Sin embargo, usando la abreviatura de las sumatorias, no resulta tan complicado. Llamemos: B œ Ð+8 Ñ ß C œ Ð,8 Ñ ß D œ Ð-8 Ñ ß entonces: Ð+8 ÑÒÐ,8 ÑÐ-8 ÑÓ œ Ð+8 ÑÐ Ð

Ð

<=œ8

:;œ=

:;œ8

+< ,: -; ÑÑ œ Ð

,: - ; Ñ œ Ð

:;<œ8

<=œ8

+<

+ < ,: - ; Ñ œ Ð

:;œ=

,: - ; Ñ œ

Ð

=;œ8

<:œ=

+< ,: Ñ-; Ñ œ

œ ÒÐ+8 ÑÐ,8 ÑÓÐ-8 Ñ 6.

El producto también es conmutativo:

Ð+8 ÑÐ,8 Ñ œ Ð

+ : ,; Ñ œ Ð :;œ8

,; +: Ñ œ Ð,8 ÑÐ+8 Ñ ;:œ8

7. Vale la distributividad de la suma respecto del producto, es decir: BÐC  DÑ œ BC  BD En efecto, llamando : B œ Ð+8 Ñ ß C œ Ð,8 Ñ ß D œ Ð-8 Ñ ß se tiene: Ð+8 ÑÒÐ,8 Ñ  Ð-8 ÑÓ œ Ð+8 ÑÐ,8  -8 Ñ œ Ð

134

+: Ð,;  -; ÑÑ œ :;œ8

œÐ :;œ8

Ð+: ,;  +: -; ÑÑ œ Ð

+ : ,; Ñ  Ð

:;œ8

+: -; Ñ

:;œ8

8. El producto tiene un elemento neutro, es decir un elemento, que llamaremos 1 y que satisface: "ÞB œ BÞ" œ B . En efecto, el elemento: 1 œ Ð"ß !ß !ß !ß ÞÞÞÞÞÞÞÑ cumple esta propiedad. Por cumplir estas 8 propiedades, el trío Ð ‘Ò\Ó ß  ß Þ Ñ se denomina un anillo conmutativo con unidad. Conviene notar que no hay aquí, en general, un inverso del producto, salvo para los polinomios de grado cero, y por lo tanto surge aquí, tal como en el caso de los números enteros, el problema de la divisibilidad. 5.3.

LA FORMA NORMAL

¿ Cómo es posible expresar los elementos de ‘Ò\Ó en la forma 8

acostumbrada:

+5 \ 5 ? ¿Qué significa esa X ?

5œ!

Antes que nada observemos que ‘ se puede sumergir en ‘Ò\Ó, es decir, hay una función inyectiva que respeta la estructura de suma y producto: F À ‘ Ò ‘Ò\Ó ß definida por: FÐ+Ñ œ Ð+ß !ß !ß !ÞÞÞÞÞÑ

Ð"Ñ

es claramente inyectiva y cumple: FÐ+  ,Ñ œ Ð+  ,ß !ß !ß ÞÞÞÑ œ Ð+ß !ß !ÞÞÞÑ  Ð,ß !ß !ÞÞÞÑ œ FÐ+Ñ  FÐ,Ñ FÐ+,Ñ œ Ð+,ß !ß !ÞÞÞÑ œ Ð :;œ8

+: ,; Ñ œ Ð+ß !ß !ÞÞÞÑÐ,ß !ß !ÞÞÞÑ œ FÐ+ÑFÐ,Ñ

Por esta inmersión se puede "identificar" (mejor dicho: abreviar) el polinomio de grado 0: Ð+ß !ß !ß ÞÞÞÑ con el número real +. Vamos ahora a llamar: \ œ Ð!ß "ß !ß !ß !ÞÞÞÞÞÑ Es fácil calcular : \ # œ Ð!ß "ß !!ÞÞÞÑÐ!ß "ß !!ÞÞÞÑ œ Ð!ß !ß "ß !!!Ñ

135

(2)

y por inducción: \ 8 œ Ð!ß !ß ÞÞÞ!ß "ß !ß !ÞÞÞÑ

Ð$Ñ

donde aparecen 8 ceros a la izquierda del 1. Si se multiplica: Ð+ß !ß !ß ÞÞÞÑ\ 8 œ Ð+ß !ß !ÞÞÞÑÐ!ß !ß ÞÞÞ"ß !ß !ÞÞÞÑ œ Ð!ß !ß ÞÞÞ+ß !ß !ß ÞÞÞÑ Finalmente, el polinomio Ð+! ß +" ß ÞÞÞÞ+8 ß !ß !ß !ß ÞÞÞÑ − ‘Ò\Ó se puede escribir: Ð+! ß +" ß ÞÞÞÞ+8 ß !ß ÞÞÞÑ œ Ð+!ß !ß ÞÞÞÑ  Ð!ß + "ß !ß ÞÞÑ  ÞÞÞ  Ð!ß ÞÞÞ!ß + 8ß !ÞÞÑ œ œ Ð+! ß !ß ÞÞÞÑ  Ð+" ß !ß ÞÞÞÑ\  Ð+# ß ÞÞÞÑ\ #  ÞÞÞÞ  Ð+ 8!ß ÞÞÞÑ\ 8 œ œ +!  +" \  +# \ #  ÞÞÞÞ  +8 \ 8 œ

8

+5 \ 5

5œ!

Esta es la llamada forma normal del polinomio original. Notar que ahora tenemos una definición precisa de \ y además los coeficientes que aparecen en la sumatoria no sonß en realidadß números reales, sino que polinomios de grado 0. TEOREMA 5.1 ( Algoritmo de la división de Euclides) Sean los polinomios: T ß H − ‘Ò\Ó ß " Ÿ 1<ÐHÑ Ÿ 1<ÐT ÑÞ Entonces existen polinomios U ß V − ‘Ò\Ó tales que: ñ T œ HU  V ñ 1<ÐVÑ  1<ÐHÑ DEMOSTRACIÓN La demostración se hará por inducción sobre el grado del polinomio T À ñ Sea 1<ÐT Ñ œ "Þ Luego : T œ +\  , ß H œ -\  . con: + Á ! , - Á !Þ Entonces basta poner: U œ +- ß V œ ,  +. - y se tiene: T œ +\  , œ Ð-\  .Ñ +-  , 

+. -

œ HU  V

ñ Supongamos ahora válida la descomposición para polinomios de grados 1,2,3...8 y sea T un polinomio de grado 8  " À T œ +8" \ 8"  +8 \ 8  ÞÞÞÞ  +!

136

H œ ,< \ <  ,<" \ <"  ÞÞÞÞÞ  ,! donde < Ÿ 8  " ß ,< Á !Þ En este caso definamos el polinomio: U" œ

+8" 8"< ,< \

multiplicando este polinomio U" por H , resulta: HU" œ +8" \ 8" 

,<" +8" 8 \ ,<

 ÞÞÞÞ 

,! +8" 8"< ,< \

luego: T  HU" œ Ð+8 

,<" +8" Ñ\ 8 ,<

 ÞÞÞÞÞÞÞÞ

Como éste es un polinomio de grado 8 , podemos aplicar la hipótesis de inducción: existen polinomios U# y Vß con 1<ÐVÑ  1<ÐHÑß tales que: T  HU" œ HU#  V Luego: T œ HU"  HU#  V œ HÐU"  U# Ñ  V por lo que el polinomio buscado U será: U œ U"  U#

…

Cuando el resto V es cero, se dice que el polinomio T es divisible por Hß o que H es un divisor de T , o que el polinomio H divide a T Þ En tal caso se tiene que T œ HUÞ El mecanismo inductivo presentado en la demostración de este teorema se puede aplicar para encontrar explícitamente el polinomio cuociente y su resto: notar que lo único que se ha hecho es dividir el primer término del polinomio T por el primer término del polinomio H, lo que conduce, al hacer la diferencia, a un polinomio de un grado menor. El proceso se debe repetir hasta que el resto obtenido tenga un grado menor que el grado del divisor. Veamos esto en un ejemplo concreto:

137

Ð  $\ %  #\ $  \ #  \  &Ñ ƒ Ð\ #  %\  "Ñ œ  $\ #  "%\  &)  $\ %  "#\ $  $\ # !  "%\ $  #\ #  \  & "%\ $  &'\ #  "%\ !  &)\ #  "&\  &  &)\ #  #$#\  &) !  #%(\  &$

El polinomio #%(\  &$ es el resto, pues su grado es menor que el grado del divisor. Como el resto no es cero, el polinomio P no es divisible por H. 5.4 LA FUNCIÓN POLINÓMICA ASOCIADA 8

Dado un polinomio T œ

+5 \ 5 − ‘Ò\Ó se puede definir

5œ!

unívocamente la función polinómica asociada: 8

T ÐBÑ œ

+5 B5

(1)

5œ!

donde ahora los coeficientes +5 son números reales y no polinomios de grado cero. Notar que se ha usado la misma letra T para dos objetos diferentes: hay que estar atento para evitar confusiones. Es interesante el estudio de ecuaciones del tipo 8

+5 B5 œ !

5œ!

es decir, la búsqueda de aquellos números reales o complejos que anulan la función polinómica. Estos números se llaman ceros o raíces del polinomio T . Si se hace una gráfica de la función polinómica, se tendrá que las raíces reales del polinomio son aquellos puntos donde la gráfica de la función corta al eje OX:

Figura 5.1

138

La función polinómica dibujada en la Figura 5.1 es: B$  &B#  B  "! El siguiente teorema nos dá una herramienta fundamental para la búsqueda de soluciones de una ecuación polinómica: TEOREMA 5.2. Sea T − ‘[X] de grado mayor o igual a 1. Entonces el número real + es una raíz de T si y solo si el polinomio de grado 1: H œ \  + divide a T DEMOSTRACIÓN. a) Supongamos que H œ \  + divide a T : entonces existe un polinomio U tal que T œ H U, y por lo tanto, pasando a las funciones polinómicas asociadas, se tiene: T ÐBÑ œ ÐB  +Ñ UÐBÑ donde , evaluando en B œ +ß se tiene T Ð+Ñ œ !Þ ,Ñ Supongamos ahora que + es raiz de T , es decir: T Ð+Ñ œ !Þ Hagamos la división con resto de T con divisor \  + À T œ Ð\  +ÑU  V donde À 1<ÐVÑ  1<Ð\  +Ñ œ " . Por lo tanto el grado del resto V es cero, es decir V es una constante. Evaluando la función polinómica asociada en B œ + , se tiene: T Ð+Ñ œ V œ ! Þ Luego \  + divide a T Þ … COROLARIOS 1. Un polinomio de grado 8 tiene a lo más 8 raíces. En efecto, cada raíz determina un polinomio de grado 1 que divide al polinomio dado: pero un polinomio no puede ser divisible por otro de grado mayor. 2. Si D es una raiz compleja de un polinomio de coeficientes reales T − ‘Ò\Ó, entonces también el complejo conjugado  D es raíz de T Þ En efecto, por las propiedades de la conjugación, se tiene:  Ñ8 œ ! ! œ T ÐDÑ œ +!  +" D  ÞÞÞ+8 D 8 œ +!  +" D  ÞÞÞ  +8ÐD 3. Las raíces complejas de un polinomio de coeficientes reales aparecen siempre de a pares. En particular todo polinomio de coeficientes reales de grado impar posee al menos una raiz real.

139

Si + es una raiz del polinomio T y si se hace la división de T por \  + podría ser que el cuociente resultante fuese nuevamente divisible por \  +, con lo que + sería "dos veces" raiz de T Þ Esto conduce al concepto de multiplicidad de una raíz: una raíz + del polinomio T se dice de multiplicidad 7 si acaso Ð\  +Ñ7 divide a T pero Ð\  +Ñ7+1 ya no. En tal caso se tendrá: T œ Ð\  +Ñ7 U. Es claro que la multiplicidad de una raiz no puede exceder al grado del polinomio T Þ Finalmente se dice que + es una raiz simple si acaso su multiplicidad es 1. 4. La llamada Ley de los Signos de Descartes establece que el número de raíces reales positivas de un polinomio en ‘[X] es siempre menor o igual al número de cambios de signo de sus coeficientes, en el entendido que éstos están ordenados. Es interesante notar que, aunque Descartes enunció este teorema en 1637, sin demostración, fué Gauss el primero que dió una demostración satisfactoria y general recién en 1828. La demostración de Gauss se puede hacer por inducción sobre el número de raíces positivas del polinomio. En efecto, si este número es 0, la regla es trivial. Notar que, en este caso la implicación se puede invertir: si el polinomio no tiene cambios de signo, entonces su función polinómica no podrá anularse sobre números positivos (ni tampoco sobre negativos). Supongamos válido el teorema para polinomios de V raices positivas y sea G el número de cambios de signo: entonces nuestra hipótesis de inducción dice: V Ÿ G . Sea ahora T un polinomio con V  " raíces reales positivas. Sea +  ! una de estas raíces: entonces el polinomio T se puede factorizar por \  + À T œ Ð\  +ÑUÞ Luego, U tiene exactamente V raíces positivas y, por nuestra hipótesis de inducción, su número G de cambios de signo será mayor o igual que V . Para calcular el número de cambios de signo de T escribamos el polinomio U juntando los bloques que tienen el mismo signo: U œ T"  T#  ÞÞÞÞÞÞÞ„T5 luego: T œ Ð\  +ÑÐT"  T#  ÞÞÞÞÞÞÞ„T5 Ñ œ \T"  \T#  ÞÞÞ„\T5   +T"  +T#  ÞÞÞÞÞ…+T5 œ \T"  Ð\T#  +T" Ñ  Ð\T$  +T# Ñ  ÞÞÞÞÞ„Ð\T5  +T5"Ñ…+T5

140

donde no se ha alterado el orden decreciente de los términos y el número de cambios de signo ha aumentado en 1. Luego se tiene para T que también V  " Ÿ G  ".

EJEMPLOS 1. Supongamos que se sabe de antemano que 3 es una raiz doble (o sea, de multiplicidad 2) del polinomio À \ %  "#\ $  &&\ #  ""%\  *! Se plantea el problema de encontrar las otras dos raíces. Para esto basta dividir el polinomio dado por Ð\  $Ñ# y buscar en seguida las raices del cuociente resultante: Ð\ %  "#\ $  &&\ #  ""%\  *!Ñ ƒ Ð\ #  '\  *Ñ œ \ #  '\  "! \ %  '\ $  *\ # !  '\ $  %'\ #  ""%\  *!  '\ $  $'\ #  &%\ !  "!\ #  '!\  *! "!\ #  '!\  *! ! Por lo tanto hemos obtenido: T œ Ð\  $Ñ# Ð\ #  '\  "!Ñ Þ Para obtener las otras raíces debemos calcular las raices de \ #  '\  "! Como es un polinomio cuadrático, podemos utilizar la llamada fórmula de Cardano: '„È$'%! œ $„3 # lo que nos permite concluir que el polinomio \ #  '\  "! no es divisible por ningún polinomio de coeficientes reales, lo que se expresa diciendo que este polinomio es irreducible en ‘[X]. La función polinómica asociada podemos, sin embargo, escribirla: T ÐBÑ œ ÐB  $Ñ# ÐB  $  3ÑÐB  $  3Ñ que resulta ser una función de valores reales, a pesar de su apariencia. 2. Consideremos el polinomio de cuarto grado À \ %  % Þ Este polinomio tiene solo un cambio de signo, por lo tanto no puede tener más de una raíz positiva pero por su sencillez podemos descomponerlo completamente:

141

\ %  % œ Ð\ #  #ÑÐ\ #  #Ñ œ Ð\  È# ÑÐ\  È# ÑÐ\ #  #Ñ

Se observa que È# es su única raíz positiva, pues \ #  # es irreducible en ‘[X]

5.5.

PROBLEMAS

1. Demuestre que À ñ 1<ÐT UÑ œ 1<ÐT Ñ  1<ÐUÑ ñ 1<ÐT  UÑ Ÿ 7+B Ö1<ÐT Ñß 1<ÐUÑ× #Þ Dividir con resto: ñ Ð)\ &  $\ $  \ #  '\  " Ñ ƒ Ð#\ #  "Ñ ñ Ð$\ %  ""\ $  ")\  )Ñ ƒ Ð\  %Ñ 3. Encontrar 5 − ‘ tal que \ $  $\  %\  5 sea divisible por \  # 4. Demuestre que ‘[X] no posee divisores de cero , es decir que si dos polinomios T ß U son tales que su producto: T U œ ! entonces o bien T œ ! , o bien U œ !Þ 5. Determinar +ß , − ‘ tales que  " sea una raíz doble del polinomio: \ %  +\ $  Ð+  ,Ñ\ #  ,\  " 6. Si al dividir un polinomio T por \  + se obtiene un resto V+ y al dividirlo por \  , se obtiene un resto V, , con + Á , , V+ Á V, , ¿qué resto se obtiene al dividirlo por Ð\  +ÑÐ\  ,Ñ ? 7. Dados dos polinomios no nulos T ß U demuestre que existe un máximo comun divisor de P y Q, es decir, un polinomio de máximo grado que divide a T y a U. 8. Dados dos polinomios no nulos T ß U demuestre que existe un mínimo común múltiplo de P y Q, es decir, un polinomio de mínimo grado que es divisible por T y U.

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APENDICE: LÓGICA Y CONJUNTOS En matemáticas se trabaja con proposiciones, sentencias o afirmaciones, que son frases bien formadas que solo pueden ser verdaderas o falsas. Por ejemplo "4 es un número par", o: "un triángulo tiene 4 lados" , son proposiciones (la primera verdadera y la segunda falsa). Mientras que: "no seas así", o "¿cuándo haremos la prueba?" no son proposiciones. En la vida real se hacen muchas afirmaciones que no son ni totalmente verdaderas ni totalmente falsas: la vida real es compleja y para modelarla adecuadamente es preciso construir una lógica diferente. En matemáticas se simplifica drásticamente esta lógica y sin embargo usando esta misma lógica simplificada es posible modelar situaciones de una lógica diferente. Es el caso de la llamada lógica fuzzy en cuyo detalle no entraremos aquí. Las proposiciones matemáticas se pueden asociar para formar nuevas proposiciones usando las llamadas conectivas: "y ", en símbolos: • , y "o", en símbolos : ” . También una proposición : puede transformarse en su negación: no-: , en símbolos: c:Þ Si denotamos por V a "verdadero" y F a "falso", se tiene la siguiente tabla de verdad:

: Z Z J J

; Z J Z J

c: J J Z Z

:”; Z Z Z J

:•; Z J J J

Aquí es preciso notar que, en matemáticas, la conexión : ” ; significa: o bien : o bien ; ß o bien ambas. Existe también la llamada "o exclusiva" que significa que solamente debe ser verdadera una de ellas, pero esta conectiva prácticamente no se usa. En todo caso no es una conectiva básica y se puede expresar usando las conectivas ya presentadas: : ” ; significa : Ð: ” ;Ñ • ÒcÐ: • ;ÑÓ

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A partir de estas conectivas se construyen todas las demás. Las más importantes son la implicación ß en símbolos: Ê y la equivalencia lógica, en símbolos : Í , que se definen: ñ : Ê ; À c: ” ; ñ : Í ; À Ð: Ê ;Ñ • Ð; Ê :Ñ Por lo tanto sus tablas de verdad serán:

: Z Z J J

; Z J Z J

:Ê; Z J Z Z

:Í; Z J J Z

Aquí debe notarse que la implicación solo es falsa cuando de una proposición verdadera se deduce una falsa. El significado de : Ê ; es entonces : "si : es verdadera, entonces ; debe ser verdadera, pero si : no es verdadera entonces nada se afirma de ; ". Por eso, si : es falsa, la implicación es verdadera cualquiera sea el valor de verdad de ; . Dicho de otro modo: de una proposición falsa se deduce cualquier cosa. Es así como se usa y hemos usado este símbolo lógico. Queda dentro del sentido que se suele dar a afirmaciones como: "si tu eres inteligente, yo soy Napoleón", que solo quiere decir que ninguna de las dos afirmaciones es cierta. Es importante recalcar que el símbolo Ê es estrictamente binario , es decir relaciona solamente dos proposiciones. Esto se debe a que esta relación no es asociativa, o sea : Ð: Ê ;Ñ Ê < no es equivalente a : Ê Ð; Ê <ÑÞ Es frecuente el mal uso de este símbolo tomándolo como sinónimo de "por lo tanto" : ¡no lo es! . La expresión "por lo tanto" alude a un resultado que depende, en general, de muchas otras hipótesis. Una escritura de la forma: : Ê ; Ê < Ê s no tiene ningún significado. Se llama una tautología a una proposición compuesta que es verdadera cualquiera sea el valor de verdad de sus componentes. Por ejemplo: ñ : • Ð: Ê :Ñ ñ c Ð: ” ;Ñ Í Ðc:Ñ • Ðc;Ñ ñ c Ð: • ;Ñ Í Ðc:Ñ ” Ðc;Ñ ñ c Ðc :Ñ Í :

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Se llama una contradicción a una proposición compuesta que es falsa cualquiera sea el valor de verdad de sus componentes. Por ejemplo: ñ : • Ðc :Ñ ñ c Ð: ” Ðc :ÑÑ En matemáticas todos los teoremas son, por definición, proposiciones verdaderas y las demostraciones pueden seguir dos caminos, esquemas o reglas lógicas: ñ El modus ponens: ñ : es verdadera (es la hipótesis) ñ : Ê ; es verdadero (camino correcto de deducción) ñ entonces ; es verdadera. ñ El modus tollens : ñ : Ê ; es verdadero (camino correcto de deducción) ñ ; es falso (esta es ahora una hipótesis) ñ entonces : es falso. Este camino corresponde a una suerte de negación del anterior: en efecto, si suponemos que : es verdadero, entonces, por el modus ponens, ; tendría que ser verdadero. Este camino corresponde a la llamada demostración indirecta, o "demostración por el absurdo", donde se supone que lo que se desea demostrar, o sea ; , es falso: haciendo un camino correcto de deducción se llega a que la hipótesis, o sea :, es falsa. Conviene notar que aquí se usa siempre el principio del tercero excluído, según el cual, una proposición es verdadera o es falsa, excluyéndose una tercera posibilidad. La experiencia ha demostrado que las mayores dificultades en el razonamiento matemático se producen con el uso de los llamados cuantificadores, que ya hemos usado en este curso desde el principio. Los cuantificadores no se usan sobre proposiciones sino sobre funciones proposicionales que son afirmaciones más abiertas que dependen de un objeto indeterminado que se denota por una letra, como B, y que debe ser sustituída por algún elemento de algún conjunto previamente establecido para tranformarse en proposición: :ÐBÑ es una función proposicional y si se reemplaza la B por un elemento + − Y ß entonces :Ð+Ñ es una proposición. ñ El cuantificador universal : "todo" o " para todo", en símbolos: a y su uso es: "aB − Y , :ÐBÑ " o bien : ":ÐBÑß aB − Y "

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que significa que la proposición : es verdadera para todos los B tomados de Y . También se escribe: " ÐaBÑ:ÐBÑ" cuando el universo de donde se sacan los B es ya conocido. ñ El cuantificador existencial : "existe" o " existe al menos un" , en símbolos b y su uso es: "b B − Y ß :ÐBÑ " que significa que al menos un elemento B del universo Y hace verdadera la proposición :ÐBÑ Þ Cuando el universo donde viven los B es conocido, entonces se escribe À ÐbBÑ:ÐBÑ Ya hemos usado estos símbolos y también algunas de sus variantes, como el símbolo bx , que significa que existe un único y el símbolo aw que significa para todos salvo un número finito. Es interesante ver lo que resulta al negar alguno de los cuantificadores: ñ c ÐaB, :ÐBÑÑ : significa que no para todos los B es cierto :ÐBÑ, o sea que existe algún B para el cual :ÐBÑ es falso , es decir: ÐbBÑÐc:ÐBÑ Ñ ñ c Ðb Bß :ÐBÑÑ : significa que no existe un B que cumpla :ÐBÑ ß es decir : para todos los B, :ÐBÑ es falso: ÐaBÑÐc:ÐBÑÑ En el análisis real aparecen funciones proposicionales que contienen ambos cuantificadores, lo que suele complicar su comprensión. Por ejemplo, la definición de límite tiene la forma: a%  !ß b$  !ß Ð!  lB  B9 l  $ Ê l0 ÐBÑ  Pl  %Ñ ¿Cómo se demuestra una afirmación (es decir, un teorema) que contiene cuantificadores? Hay dos casos: ñ El caso universal afirmativo: la proposición: aB − Y ß :ÐBÑ se demuestra tomando un elemento cualquiera de Y y razonando adecuadamente hasta convencerse que efectivamente :ÐBÑ es verdadera. ñ El caso universal negativo: la proposición:

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c (aBß :ÐBÑÑ se demuestra mediante un contraejemplo, es decir, encontrando un B particular en Y que no cumple :. ñ El caso existencial afirmativo: la proposición: bB − Y ß :ÐBÑ se demuestra mediante un ejemplo, es decir, encontrando un B particular en Y que efectivamente cumple la proposición :Þ ñ El caso existencial negativo: la proposición: c (bB − Y ß :ÐBÑÑ se demuestra tomando un B cualquiera en Y y demostrando que B no cumple la proposición :Þ

EL LENGUAJE DE LOS CONJUNTOS. Es importante observar que toda la matemática, al menos a partir de 1930, llamada a veces "matemática moderna", se expresa en el lenguaje de los conjuntos. Por eso es importante manejar bien este lenguaje y tener claro sus limitaciones. Lo primero es poder describir apropiadamente un conjunto y para eso hay dos maneras: ñ Por extensión : se identifican los elementos del conjunto con algún rótulo y se agrupan con un paréntesis de llave: Ö+" ß +# ß +$ ß ÞÞÞÞÞ+8 × así se denota el conjunto cuyos elementos son todos los +3 . Por ejemplo: {+} denota el conjuntoß llamado singulete ( en inglés : singleton) , cuyo único elemento es +. Todo esto funciona mas o menos bien para conjuntos finitos o, admitiendo cierta informalidad, para conjuntos de elementos cuya ley de formación es sencilla y clara , como por ejemplo: {2,4,6,8,10,.....} que permite entender que se trata del conjunto de los números pares. Pero para conjuntos más complicados este método no resulta. ñ Por comprensión : el conjunto se define mediante una propiedad:

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ÖB À T ÐBÑ× denota el conjunto de todos aquellos objetos que satisfacen la propiedad T Þ Pero aquí surgen, al menosß dos dificultades: la primera es que se pueda decidir sin ambiguedad que el objeto B cumple o no cumple la propiedad T . En la vida real las cosas no son tan simples: si quisieramos trabajar, por ejemplo, con el conjunto de los fumadores en una población determinada, ¿quién es realmente un fumador? Esta dificultad da origen a los llamados conjuntos fuzzy, donde se establecen distintos grados de pertenencia al conjunto. La segunda dificultad es de una naturaleza más básica y profunda y fué descubierta por Bertrand Russell. Como los elementos de un conjunto pueden ser también conjuntos, es posible pensar en aquel conjunto de todos los conjuntos que no se contienen, como elemento, a sí mismos: V œ ÖB À B  B× La pregunta aquí es si acaso V se contiene o no se contiene a si mismo: si se contiene, entonces: V − Vß lo que significa que debe satisfacer la propiedad: V  V lo que es una contradicción. Si no se contiene, es decir, si acaso V  V , entonces cumple la propiedad y debe pertenecer al conjunto: V − V lo que también es una contradicción. Esta es la llamada paradoja de Russell. Esta paradoja y otras obliga a poner condiciones y establecer axiomas apropiadados, lo cual ha dado origen a las llamadas Teorías axiomáticas de Conjunto, de las cuales hay varias. La más popular y sencilla, que es la que hemos usado hasta aquí, soluciona este problema estableciendo que debe haber un conjunto de referencia, desde donde se especifica al conjunto formado por aquellos elementos que satisfacen la propiedad: ÖB − Y À T ÐBÑ× Esta es la notación usual para designar al conjunto de aquellos elementos de Y que cumplen la propiedad T Þ Veamos cómo de esta forma se soluciona la paradoja de Russell y obtendremos además una consecuencia sorprendente: sea Y un conjunto cualquiera y definamos nuevamente: V œ ÖB − Y : B  B×

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Hay dos posibilidades: o bien V − Y o bien V  Y Þ Si suponemos que V − Y hay nuevamente dos posibilidades: ñ V  V en cuyo caso V satisface la propiedad , luego V − V lo que no puede ser. ñ V − V en cuyo caso V no satisface la propiedad que define Vß luego V  V lo que tampoco puede ser. Se concluye entonces que V  Y Þ Pero Y era un conjunto cualquiera, lo que nos permite afirmar que, dado un conjunto, siempre hay algún objeto que no está en ese conjunto, o en otras palabras: no hay nada que contenga todo, o, lo que es lo mismo: el conjunto de todos los conjuntos no existe. Recordemos finalmente las distintas operaciones y relaciones que se definen entre conjuntos: ñ E es subconjunto de Fß en símbolos: E © F , si: B−EÊB−F ñ El conjunto vacío es un conjunto que no posee elementos. Se denota por 9. Luego, recordando la definición de implicación, se tiene que : 9 © Eß aE conjunto, es decir, el vacío es subconjunto de todo conjunto. ñ E es igual a F ß en símbolos: E œ F si E © F • F © E ñ La unión de dos conjuntos, en símbolos: E ∪ F , se define: E ∪ F œ ÖB − Y À B − E ” B − F× ñ La intersección de dos conjuntos, en símbolos: E ∩ F , se define: E ∩ F œ ÖB − Y À B − E • B − F× ñ El complemento del conjunto E À E- œ ÖB − Y À B  E×

ñ La diferencia entre dos conjuntos:

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E  F œ ÖB − Y À B − E • B  F× ñ El producto cartesiano de dos conjuntos: E ‚ F œ ÖÐ+ß ,Ñ − Y À + − E • , − F× En esta definición se ha usado el concepto intuitivo de par ordenado , donde lo único que se pide es poder distinguir la ubicación de cada término del par. ñ Si E es un conjunto, el conjunto de todos los subconjuntos de Eß se denota de las siguientes dos formas: ÐEÑ œ #E œ ÖF − Y À F © E× También en matemáticas se consideran las llamadas familias : ÖE3 ×3−M donde se han rotulado los conjuntos que pertenecen a la familia mediante índices 3 − M . La unión y la intersección de familias se define: ñ ñ

- E3 œ ÖB − Y À b3 − Mß B − E3 × 3−M

+ E3 œ ÖB − Y À B − E3 ß a3 − M× 3−M

Notar que aquí es crucial distinguir con claridad ambos cuantificadores: B−

- E3 Í b3 − Mß B − E3 3−M

mientras que para la intersección: B−

+ E3 Í B − E3 ß a3 − M 3−M

Es claro que, si la familia consta de solamente dos elementos, estas nuevas definiciones coinciden con las antiguas.

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EJERCICIOS 1. Calcule el valor de verdad de la proposición compuesta: Ò: • Ðc: ” ;Ó Ê = ” Ðc; Í :Ñ sabiendo que : es falsa, ; es verdadera y = es falsa 2. Demuestre las distributividades: ñ : • Ð; ” <Ñ Í Ð: • ;Ñ ” Ð: • <Ñ ñ : ” Ð; • <Ñ Í Ð: ” ;Ñ • Ð: ” <Ñ 3. Demuestre las tautologías: ñ cÐ: ” ;Ñ Í Ðc:Ñ • Ðc;Ñ ñ cÐ: • ;Ñ Í Ðc:Ñ ” Ðc;Ñ ñ Ð: Ê ;Ñ Í Ðc: Ê c;Ñ 4Þ Suponga que B e C son números reales. Escriba las negaciones de : ñ ÐaB − FÑÐaC − EÑÒÐB  C ” C  #Ñ Ê B#  C #  "Ó ñ (aB − EÑÐbC − FÑÒlBl  C Ê B  C œ "Ó ñ a%  !ß b$  !ß Ò!  lB  B9 l  $ Ê l0 ÐBÑ  Pl  %Ó 5. Determine los valores de verdad de :ß ;ß < ß si la proposición: ÒÐ; ” Ð: Ê c<ÑÓ • Òc; Ê Ðc; ” <ÑÓ es verdadera pero Ðc; ” <Ñ es falsa. 6. Sean E ß F conjuntos. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: ñ ÐE ∪ F œ E ∪ GÑ Ê ÐF œ GÑ ñ ÐE ∩ F œ E ∩ GÑ Ê ÐF œ GÑ ñ ÐE ∪ FÑ œ ÐEÑ ∪ ÐFÑ ñ ÐE ∩ FÑ œ ÐEÑ ∩ ÐFÑ 7. Sea E œ Ö+ß ,× . Determine: ÐEÑ ß ÐÐEÑÑß ÐÐEÑ  EÑ

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8. Sean Eß Fß G conjuntos. Demuestre o refute (con fundamento) las siguientes igualdades: ñ E  ÐF  GÑ œ ÐE ∩ GÑ ∪ ÐE  FÑ ñ E  ÐF ∪ GÑ œ ÐE  FÑ ∩ ÐE  GÑ ñ E  ÐF ∩ GÑ œ ÐE  FÑ ∪ ÐE  GÑ 9. Sea ÖE3 ×3−M una familia de conjuntos. Demuestre las llamadas Leyes de De Morgan: ñ Ð + E3 Ñ- œ - E33−M 3−M ñ Ð - E3 Ñ- œ + E33−M 3−M 10. Dados los conjuntos: E œ Ö!ß "ß #× ß F œ Ö"ß $ß &× construya : ñ E ‚ ÐF ∩ EÑ ñ ÐE  FÑ ‚ ÐF  EÑ ñ ÒE ‚ ÐF  EÑÓ ∩ ÒF ‚ ÐE  FÑÓ 11. Determine si es verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones: ñ ÒE ‚ F © G ‚ HÓ Í ÒE © G • F © HÓ ñ ÒE ‚ F œ 9Ó Ê ÒE œ 9 • F œ 9Ó ñ E ‚ ÐF ∩ GÑ œ ÐE ‚ FÑ ∩ ÐE ‚ GÑ ñ E ‚ ÐF ∪ GÑ œ ÐE ‚ FÑ ∪ ÐE ‚ GÑ 12. Los brillantes casos del inspector Cluseau. El famoso inspector de la policía francesa nos presenta algunos casos para ver si nosotros también podemos resolverlos. Se puede usar la lógica informal intuitiva pero también la formalización en lenguage lógico. a) Se realizó un importante robo en el IMA y el botín fué transportado en camioneta. Tras interrogar a tres conocidos maleantes: Mak, Pop y Pira, sospechosos del robo se estableció: ñ ninguna otra persona, distinta a los tres sospechosos, intervino en el robo. ñ Pop no actúa nunca sin contar con Mak ñ Pira no sabe conducir. ¿Es Mak culpable o inocente?

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b) En otra ocasión, tras interrogar a los mismos tres sospechosos, el inspector Cluseau estableció los siguientes hechos: ñ Si Mak es culpable y Pop inocente, entonces Pira es culpable ñ Pira nunca trabaja solo ñ Mak no trabaja con Pira ñ Al menos uno de ellos es culpable y nadie distinto de ellos intervino. Esta información no es, evidentemente, suficiente para determinar todos los culpables o inocentes, pero ¿puedes acusar con certeza a uno de ellos? c) En otra ocasión Cluseau fué solicitado por el director del IMA para resolver la misteriosa rotura de los cristales de la biblioteca. En este caso los sospechosos eran los hermanos Zipi y Zape y su amiga Pedri. Se disponía de gran información sobre ellos y Cluseau estableció que: ñ tanto Zipi como Zape nunca actuaban sin contar con un cómplice ñ al contrario, Pedri lo hacía siempre ella sola ñ un testigo aseguraba haber visto en el cine a Zipi o Zape a la hora de los hechos, pero no sabría decir a cuál de ellos. ¿cómo resolvió el inspector Cluseau el caso? d) Aprovechando la presencia del inspector, se le planteó un caso ocurrido el año anterior, que involucraba a los mismos tres personajes anteriores y a un cuarto personaje conocido como Luisín. Las pistas eran: ñ se sabía que el (o los) culpables estaban entre los cuatro mencionados. ñ Pedri era esta vez definitivamente inocente. ñ Si Zipi era culpable, entonces tenía un único cómplice. ñ Si Zape era culpable, entonces tenía exactamente dos cómplices El director estaba especialmente interesado en saber si Luisín estaba o no implicado en los hechos. ¿qué opinas tú? e) Revisando los archivos del IMA encontraron otro caso que también involucraba a nuestros cuatro amigos. Se establecieron las pistas: ñ Si tanto Zipì como Zape eran culpables, entonces Pedri era cómplice. ñ Si Zipi es culpable, entonces al menos uno de los dos: Zape o Pedri colaboró en el acto. ñ Si Pedri es culpable, Luisín estaba involucrado. ñ Si Zipi es inocente, entonces Luisín es culpable. Después de un arduo trabajo, nuestro eficiente inspector resolvió el caso. ¿Podrías hacerlo tu? f) Finalmente, el Inspector Cluseau relató al director del IMA un antiguo caso, ocurrido en la Guayana francesa: había tres prisioneros en la

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cárcel, de cuyo nombre el inspector no se acordaba, por lo que los llamó A, B y C, que eran conocidos por su astucia. El alcaide de la época decide ponerles la siguiente prueba: les presenta 5 sombreros de dos colores: tres blancos y dos negros y les explica que liberará al preso que adivine el color de su propio sombrero, una vez que los puso en fila y sorteó los sombreros. El preso que estaba al final de la fila (digamos: C), sólo podía ver los dos sombreros delante de él y el segundo (digamos: B) solo podía ver el que tiene delante, mientras que el primero, A, no podía ver ninguno de los sombreros. Le preguntó a C el color de su sombrero y éste dijo que no sabía. Después le preguntó a B el color de su sombrero y también respondió que no sabía. Finalmente le preguntó a A, el que no veía a ningún sombrero y éste, sorprendentemente, respondió que sí sabía el color de su sombrero. ¿cómo lo dedujo? ¿de qué color era su sombrero?

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