TUGAS M3 KB 6 PERSAMAAN DIFERENSIAL
Nama No. Peserta Prodi PPG/Kelas LPTK Tahap
: Farid Hidayat, S.Pd. : 18032118010173 : (180) Matematika Matematika / Kelas A : UNS :2
1. Sebutkan persamaan diferensial berikut, manakah yang merukan persamaan diferensial biasa dan parsial?
a. b. c. d.
" 2′ 3 = 2 2 3 3 = 0 3 = 3 = 0
′ " (Diferensial parsial, karena menggunakan notasi dan )
(Diferensial biasa, karena menggunakan notasi dan ) (Diferensial biasa, karena menggunakan notasi dan ) (Diferensial parsial, karena menggunakan notasi dan )
2. Sebutkan order dan derajat persamaan diferensial berikut!
a.
b.
cos = 0 = = (ordo , derajat 1) " 2′ ′ = 0 (ordo , derajat 2)
3. Periksalah, apakah fungsi-fungsi berikut merupakan solusi dari persamaan diferensial yang
bersangkutan? a.
= − −, 2 − = 0 P enyelesa nyelesaii an: = − − maka ′ = − 2 2− ……(i) Dipunyai persamaan: 2 −− = 0 = 2 = − 2 = − 2 − − Substitusikan = , maka diperoleh − − ) = − 2 = − 2−− 2−− = 11 −2 2 − = 2− 1 2 − = 2 − 2 2 1 −1 tidak sama dengan persamaan diferensial no (i) − = 0. maka = bukan solusi dari 2
b.
= , = −− Penyelesaian: Dipunyai = ⟺ = maka ln e y
ln( C e x )
y ln( C e x )
dy dx dy dx
e x
(C e x )
dy
e x
ex )
e
dy dx
(e y x
dy dx
e x
e y e x
y
e x y dx
Jadi, karena diperoleh dy
−−
e x y dx maka
= bukan merupakan solusi dari =
4. Tentukanlah persamaan diferensial yang solusinya diketahui berikut! a.
b.
= , Penyelesaian: = = Dari fungsi yang diberikan = ⟺ = Dengan demikian diperoleh = ⟺ = ⟺ = 0 Jadi persamaan diferensialnya adalah = 0 . = + , Penyelesaian: = + = + Dari fungsi yang diberikan = + ⟺ ln = ln + ⟺ ln = ⟺ = ln = + ⟺ = +−+ ⟺ = ⟺ = ⟺ = ⟺ = 0 Jadi persamaan diferensialnya adalah = 0
5. Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut! a.
1 = 0 Penyelesaian:
Persamaan diferensial tersebut dapat ditulis menjadi xdy ( x 1)dx 0 xdy ( x 1)dx ( x 1)
dx dy 0
x
1 1 dx dy 0 x Solusi persamaan diferensialnya adalah
1 1 x dx dy C 1 , C 1 konstan sebarang x ln | x | y C 1 ,C 1 konstan sebarang y
x ln | x | C
Dengan demikian solusi dari perasamaan diferensial tersebut adalah y x ln | x | C dengan C sebarang konstanta. b.
1 1 = 0 Penyelesaian:
Persamaan diferensial tersebut dapat ditulis menjadi
y 2 ( y 1) dx y 2 ( x 1) dy 0 y 2 ( y 1) dx y 2 ( x 1)dy dx dx
dx x 1 dx x 1
y 2 ( x 1) dy
y 2 ( y 1) ( x 1) dy
( y 1)
dy
y 1 dy y 1
0
Solusi persamaan diferensialnya adalah
dx
x 1
dy y 1
C , C1 k onstan sebarang 1
ln( x 1) ln( y 1) ln C , C konstan sebarang ln( y 1)( x 1) ln C
( y 1)( x 1) C y 1
C
x 1 C y 1 x 1 C x 1 y x 1
Dengan demikian, solusi persamaan diferensialnya adalah y
C x 1 x 1
dengan C konstan
sebarang. 6. Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial eksak,
Penyelesaian:
, = 3 2 ⇒ = 2 , = 2 ⇒ = 2 = = 2 dengan Ternyata
demikian
3 2 2 = 0!
3 2 2 = 0 merupakan
diferensial eksak. Tulis
= , = 3 2
= , = 3 2 = 2 = 2 = 2 = Didapat = dan berarti = 12 Jadi solusi persamaan diferensial eksak
3 2 2 = 0 adalah
(32 2) 12 = 3 2 1 = , . 2 2
7. Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial order 1,
Penyelesaian: Tulis persamaan diferensial dalam bentuk standar ( x y )dx xdy 0
xdy
( x y )dx
dy
( x
y)
dx x dy ( x y ) 0 dx x y y '1 0 x
= 0 !
persaman
y '
Jadi
1
y 1
x
P ( x)
1 dan Q( x ) x
1
Faktor integrasinya adalah 1
P ( x ) dx x dx 1 e e ln x e ln x x 1 ( x) e 1
x
Kalikan kedua ruas dengan faktor integrasi diperoleh ( x )( y ' P ( x) y ) ( x)Q( x ) dy dx
dy dx dy dx
( x) y
( x ) y ( x ) y
xy y
( x)Q( x )
1
x
( 1)
1
x
1
dx ln x C x ln x C , , C konstanta sebarang. x
>0
Jadi solusi untuk persamaan diferensial tersebut adalah y
8. Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial Bernoulli,
Penyelesaian:
ln x C
x
,
> 0, C konstanta sebarang.
= !
= 2 . Maka, = − = − =− − atau = = − = Pada persamaan diferensial tersebut
Substitusikan ke persamaan diferensial semula. Diperoleh persamaan diferensial linear orde-1 dalam bentuk baku (dalam variable v):
= − = − − − = − − − − − = = =
Bentuk persamaan diferensial linear orde-1 Faktor integrasinya:
= ∫ = ∫− = −
′ =
Dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan diperoleh:
=
− = − = . − = .−− −− = − − =
dengan C konstan sembarang. Substitusikan
= − atau = pada − = − − memberikan solusi umum persamaan diferensial yang dimaksud, yakni − − =− − − − − = − − = 1 = ++ dengan C konstan sebarang.
