TUGAS M3 KB 4 TURUNAN DAN APLIKASINYA
Nama No. Peserta Prodi PPG/Kelas LPTK Tahap 1.
: Farid Hidayat, S.Pd. : 18032118010173 18032118010173 : (180) Matematika Matematika / Kelas A : UNS :2
f
Dengan Menggunakan Menggunakan definisi turunan t urunan buktikan bahwa : Jika (c) ada maka f kontinu pada c. Petunjuk Pengerjaan : a. Ubah f(x) menjadi
− . x c f c. −
b. Hitung nilai limitnya untuk x → c
Penyelesaian:
l→im[ ] →lim −− →lim →lim −− [ ]] → 0 →lim = =
=
= (0) =0
Karena selisih f(x) selisih f(x) – f(c) mendekati f(c) mendekati 0 ketika
, maka
, sehingga f sehingga f kontinu kontinu
pada x pada x = c
2.
{,,, ≥ 2< 2 ∈
Diberikan f(x) =
. Tentukan m dan b sehingga f sehingga f mempunyai mempunyai turunan di
setiap nilai x
Petunjuk pengerjaan :
a. Ingat syarat perlu suatu fungsi mempunyai turunan adalah fungsi tersebut kontinu.
→lim = 2 −2 +2 − 2 − 2
b. Hitunglah
.
c. Hitunglah
d. Selesaikan
Penyelesaian:
,, ≥< 22 = { , , →lim →lim , 2 = 2 2 = 4 = 2 −. 2 = +. 2 = 2 =4 kontinu jika
(mempunyai (mempunyai limit)
...............................(1)
Kontinu di titik
jika
................................(2)
Subtitusi
ke persamaan (1)
2= 4= 4}8 = 4 = 4 = 4 = 4 Jadi
3.
dan
Diberikan lingkaran dengan persamaan
x 4xy
+3 = 0. Tentukan persamaan garis yang
melalui titik asal (0,0) dan menyinggung lingkaran tersebut. a. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran,sebut pusat P dan jari-jari r. b. Misalkan titik potong garis singgung dengan lingkaran adalah A= (a,b). Subtitusikann a dan b ke persamaan lingkaran, diperoleh persamaan pertama dalam a dan b. c. Hitung jarak titik A ke titik asal dan tit ik P ke titik asal. Dari jarak yang diperoleh ,gunakan teorema phytagoras untuk memperoleh persamaan kedua dalam a dan b. d. Gunakan persamaan pertama dan kedua untuk menentukan nilai a dan b. e. Gunakan turunan fungsi implisit untuk menentukan f. Subtitusikan nilai a dan b ke dalam
dd
Penyelesaian: Diketahui persamaan lingkaran:
4 1 = 4,1 = 0, = 3 = ( 2 , 2 ) = . 4 , .0 = 2,0 = 14 14 = 4 0 3 = √ 4 03 = √ 1 =1 1 2 12 = 0 , 2 3 = 0 2 2 3 = 0 2 2 3 = 0 1 +3 = 0
, maka
Titik potong garis singgung dengan lingkaran
..........
.
untuk memperoleh gradien garis singgung kemudian
subtitusikan ke dalam persamaan garis singgung.
Diperoleh
dd
y
A(a,b) x
-2 P
O
Jarak titik P(-2,0) ke titik asal O(0,0)
|| = 20 00 = √ 4 0 = √ 4 =2 || = 0 0 = √ = = 4 1 = 4 = 3 2 2 3 = 0 2 . 2 3 = 0 2 2 3 = 0 4 3 = 0 = 3 4 3 = 0 34 3 = 0 4 6 = 0 4 = 63 = 2 Jarak titik A(a,b) ke titik asal O(0,0)
.........(persamaan 2)
Persamaan (1) untuk (x,y) diganti (a,b)
Substitusi
ke
= = 3 = 3 ( 32) = 3 94 = 3 = 3 94 = 34 = ∓ 34 = ∓ 12 √ 3 4 3 = 0 4 3 = 0 2 42() 0 = 0 = 224 = 2 = = 2 = 2 = 1 32 2 2 √ 3 = 112 2 1√ 3 3 = √ 3 × √ √ 3 = 31 √ 3 Substitusi
ke
Turunan fungsi implisit
= = 2 = 2 = 132 2 2 √ 3 1 = 12 2√ 3 = √ 13 × √ √ 33 = 13 √ 3 = = 1 = 1 3 ( 2 √ 3) = 3 √ 3 ( 2) = 31 √ 3 12 √ 3 12 √ 3 = 31 √ 3 = = 1 = 1 3 ( 2 √ 3) = 3 √ 3 ( 2) = 13 √ 3 12 √ 3 12 √ 3 = 13 √ 3 Persamaan garis singgung 1,
dan
Persamaan garis singgung 2,
dan
4. Buktikan teorema turunan invers fungsi trigonometri untuk yang belum dibuktikan. Petunjuk pengerjaan: Lihat sebagian bukti teorema turunan invers fungsi trigonometri.
Penyelesaian: Pembuktian sin
= √− ,|| < 1 = − → sin = sin = cos = 1 =
= − = √− 1 > 0 ↔ < 1 ↔ || < 1 = + = − → tan = tan = sec = 1 = = + = +
Pembuktian tan
Pembuktian cotan
= +− = − → cot = cot = cosec . = 1 = − = +− = +− Pembuktian cosecan
= ||√−− || > 1 = − → cosec = | cosec = cosec . .cot = 1 = − . = . ,
|
5.
= .− − = ||−− 1 > 0 ↔ > 1 ↔ || > 1 =
Diberikan
sebuah maksimum lokal dan sebuah minimum lokal jika dan hanya jika Petunjuk pengerjaan: a. Hitung
dan
.
3 > 0
dengan A > 0 . Tunjukkan bahwa mempunyai .
b. Tentukan bilangan kritis dari dan syarat mempunyai dua bilangan kritis. c. Gunakan uji turunan kedua untuk masing-masing bilangan kritis.
Penyelesaian:
" = 2 2 = 6 2 = 2 2 , = − ±. −..
5. a.
b. Menentukan bilangan kritis dari f
− ±√.− − ±√ − −+√ − = −−√ − = =
=
c. Uji turunan kedua untuk masing-masing bilangan kritis
" = 6 2 → " = 6 −+√ − 2 2√ 3> → " = 6 −−√ − 2 2√ 3< =
=
0,
0,
maksimal minimal
Jadi, f mempunyai sebuah maksimal lokal dan minimal lokal jika dan hanya jika
6.
3>
0
Tentukan volume terbesar kotak terbuka yang dapat dibuat dari sepotong kertas karton berbentuk persegi dengan panjang sisi 24 inchi dengan memotong persegi yang sama pada tiap pojoknya kemudian dilipat ke atas masing-masing sisinya. Petunjuk pengerjaan: a. Tentukan rumus volume kotak yang dibentuk. b. Cari turunan pertama dari rumus volume tersebut. c. Tentukan titik kritisnya. d. Subtitusikan masing-masing titik ke rumus volume dan tentukan yang nilainya terbesar.
Penyelesaian:
24
24 = × × = 242∙242∙ = 57696 4∙ = 576 96 4 576 96 4 = 576192 12 12 192 576 = 0 16 48 = 0 12 4 = 0 = 12 = 4 4 = 12 → = 576 96 = 576129612 412 = 6912138246912 =0 = 4 → = 576 96 4 = 5764964 44 = 23041536 256 1024 :12
=1024
Jadi volume terbesar adalah
7.
Turunan simetris didefinisikan dengan
ℎ = →lim ℎ 2ℎ Tunjukkan : Jika
ada maka
Petunjuk pengerjaan: a. Ubah
+−−
menjadi
ada
+−+− −
b. Pecah menjadi dua limit dengan ketentuan limit yang pertama untuk
ℎ → 0 +−− ′ = →lim
kedua untuk
c. Gunakan definisi
.
Penyelesaian:
7. Akan dibuktikan jika Dipunyai
ada maka .
ada.
ℎ→0
dan limit yang
′ →lim +− ℎ ℎ ℎ l→im ℎ = l i m → 2ℎ 2ℎ ℎ = →lim ℎ l i m → 2ℎ 2ℎ = 12 →lim ℎℎ 12 →lim ℎ ℎ ] = 12 →lim ℎℎ 12 →lim [ ℎ ℎ ] = 12 →lim ℎℎ 12 −→ lim [ ℎ ℎ = ℎ = 12 →lim ℎℎ 12 →lim [ ] +− l→im +− l i m → l→im +−− ′ Karena
ada maka
ada.
Jelas
Misalkan,
maka
Karena
ada maka
Sehingga
juga ada.
ada.
Berdasarkan definisi maka terbukti jika
8.
ada maka
ada.
Garis normal adalah garis yang tegak lurus garis singgung. Tentukan persamaan garis normal kurva
8 = 100
di titik (3,1).
Petunjuk pengerjaan : a. Tentukan
dengan menggunakan turunan fungsi implisit.
b. Subtitusikan (3,1) pada
c. Hitung gradien garis normal dengan menggunakan aturan tegak lurus. d. Bentuk persamaan garis melalui titik (3,1) dengan gradien yang diperoleh dari langkah c.
Penyelesaian:
= 1100 = 008 2 = 225 252 4 4 4 4 = 25 25 4 4 25 = 25 4 4 4 4 25 = 25 4 4 = 42544 425 3,1 4.3 4.325..11 = 4.325.3.14.1 510812 = 736425 Subtitusi
untuk mencari
(gradien garis singgung)
= 6545 = 139 . = 1, = = 13 1 = 9 3 9 9 = 13 39 399 = 13 9 13 9 = 30 Mencari
(gradien garis normal) jadi
Persamaan garis normal :
9.
Tunjukkan bahwa persegi panjang dengan keliling K yang mempunyai luas maksimum adalah persegi. Petunjuk pengerjaan:
p l
a. Misalkan ukuran panjang dan lebar persegi panjang berturut-turut adalah dan b. Dengan menggunakan permisalan tersebut,rumuskan keliling dan luas.
l p
c. Dengan menggunakan rumus keliling, nyatakan dalam kemudian subtitusikan ke rumus luas.
d. Cari turunan pertama dari rumus luas kemudian tentukan bilangan kritis dari rumus luas dengan menggunakan turunan pertamannya. e. Lakukan uji turunan pertama pada bilangan kritis yang diperoleh.
Penyelesaian: misal panjang = p lebar = l
→ −
K = 2p + 2l L = pl =p
− =
−
l=
= – 2 p
Mencari titik kritis: – 2p = 0 K – 4p = 0 -4p = -K p =
Substitusikan p = K = 2p + 2l
= 2 ( + 2l 2K = K + 4l 2K - K = 4l K = 4l
ke K = 2p + 2l sehingga
