1.
Buktikan sifat 4a dan 4b halaman (2) dan (3) tentang Ketunggalan Unsur Identitas dalam Sistem Field! Jawab:
Sifat 4a: “Jika z dan dan a unsur unsur di ℝ sehingga z + + a = = a , maka z = = 0.” Bukti: z + + a = = a z + + a + + ( – a) = a + + ( – a) (tambahkan ( – a) pada kedua ruas) – a – a – a z + + (a (a + + ( – a )) )) = a + + ( – a) (sifat asosiatif penjumlahan) – a – a z + z + 0 = 0 (eksistensi unsur negatif, a + + ( – a) = 0) – a z = z = 0 (eksistensi unsur nol, z + + 0 = 0) z = = 0 ( ) dan b ≠ 0, unsur di Sifat 4b: “Jika u dan
ℝ sehingga u .b = = b , maka u = = 1.”
Bukti: Karena b ≠ 0, maka terdapat di ℝ yang selanjutnya kedua ruas dikalikan dengan . u .b = = b
(kedua ruas dikalikan )
(sifat asosiatif perkalian)
(u .b ). ). = b .
u . (b.) = b . u .1 .1 = 1 u = u = 1 u = = 1 (
(eksistensi unsur kebalikan) (eKsistensi unsur satuan) )
Jawab: Saya berpendapat, setiap aksioma pada ring ada dalam aksioma field. Namun, tidak semua aksioma field ada pada aksioma ring. Aksioma ring berlaku pada sistem bilangan bulat ℤ, sedangKan aksioma field lebih luas berlaku dalam sistem bilangan real ℝ, yang mana di dalam sistem bilangan real terdapat bilangan rasional dan irrasional. Dalam sistem bilangan bulat tidak memuat bilangan rasional. Sehingga dalam aKsioma ring tidak ada aksioma eksistensi unsur kebalikan “untuk setiap a ≠ 0 di ℝ terdapat unsur di ℝ sehingga . = 1”. Unsur bukan bilangan bulat. Jadi, kesimpulannya setiap ring adalah field.
Jawab: Himpunan bilangan kompleks C = C = a + a + bi ; a ,b ∈ ℝ, ℝ himpunan bilangan real dan −1. i adalah bilangan bilangan imajiner imajiner dengan dengan i = = √ −1 Misalkan : C 1 = a 1 + b 1i (i ∈ C ) C 2 = a 2 + b 2i (i ∈ C ) C 3 = a 3 + b 3i (i ∈ C ) 1.
Tertutup terhadap penjumlahan C 1 + C 2 = (a (a 1 + b 1i ) + (a (a 2 + b 2i ) = (a (a 1 + a 2) + (b (b 1 + b 2)i (i ∈ C ) C tertutup tertutup terhadap operasi penjumlahan.
2. Asosiatif terhadap penjumlahan penjumlahan (C 1 + C 2) + C 3 = C 1 + (C (C 2 + C 3) {(a {(a 1 + b 1i ) + (a (a 2 + b 2i )} )} + (a (a 3 + b 3i ) = (a (a 1 + b 1i ) + {(a {(a 2 + b 2i ) + (a (a 3 + b 3i )} )} (a 1 + a 2 + a 3) + (b (b 1 + b 2+ b 3)i = = (a (a 1 + a 2 + a 3) + (b (b 1 + b 2+ b 3)i C memenuhi memenuhi sifat asosiatif terhadap operasi penjumlahan. 3.
Elemen identitas penjumlahan C 1 = a 1 + b 1i ∈ C dan dan terdapat 0 ∈ C C 1 + 0 = (a (a 1 + b 1i ) + 0 = a 1 + b 1i = = C 1 C mempunyai mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan.
4.
Invers penjumlahan C 1 = a 1 + b 1i ∈ C dan terdapat −C 1 = −( a 1 + b 1i ) = −a 1 − b 1i ∈ C C 1 + (−C 1) = (a (a 1 + b 1i ) + (−a 1 − b 1i ) ) = (a (a 1 − a 1) + (b (b 1 − b 1)i = 0 C mempunyai invers penjumlahan.
5.
Komutatif terhadap penjumlahan C 1 + C 2 = C 2 + C 1 (a 1 + b 1i ) + (a (a 2 + b 2i ) = (a (a 2 + b 2i ) + (a (a 1 + b 1i ) (a 1 + a 2) + (b (b 1 + b 2)i = (a (a 2 + a 1) + (b (b 2 + b 1)i (a 1 + a 2) + (b (b 1 + b 2)i = (a (a 1 + a 2) + (b (b 1 + b 2)i C komutatif komutatif terhadap penjumlahan
6.
Tertutup terhadap perkalian C 1.C 2 = (a (a 1 + b 1i ).(a ).(a 2 + b 2i ) = (a (a 1a 2 − b 1b 2) + (a (a 2b 1 + a 1b 2)i ∈ C C tertutup tertutup terhadap perkalian.
7. Asosiatif pada operasi operasi perkalian (C 1.C 2).C ).C 3 = C 1.(C .(C 2.C 3) {(a {(a 1 + b 1i ).(a ).(a 2 + b 2i )}(a )}(a 3 + b 3i ) = (a (a 1 + b 1i ){(a ){(a 2 + b 2i ).(a ).(a 3 + b 3i )} )} C asosiatif asosiatif terhadap operasi perkalian 8.
Distributif perkalian terhadap penjumlahan C 1.(C .(C 2 + C 3 ) = (C (C 1.C 2) + (C (C 1.C 3 ) (a 1 + b 1 i ).{(a 2 + b 2 i )}+(a 3 + b3i )} )} = {(a {(a 1 + b 1i )(a )(a 2 + b 2i )} )} + {(a {(a 1 + b 1i )(a )(a 3 + b 3i )} )} 1 + 1i).{(a 2 + 2i)}+(a 3 + C distributif distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Dari (1) s.d. (8) himpunan bilangan kompleks dengan operasi yang terdefinisi dalam himpunan itu adalah sistem ring.
| + | | + − Jawab: a. f (x ) = |2 + 4| x y = = f (x ) = |2 + 4| Titik (x (x , y )
−3
−2
−1
2 (−3, 2)
0 (−2, 0)
2 (−1, 2)
0 4 (0, 4)
1 6 (1, 6)
2 8 (2, 8)
3 10 (3, 10)
Grafiknya adalah:
b. f (x ) = | + 2 − 3| x y = = f (x ) = | + 2 − 3| Titik (x (x , y )
−4
−3
−2
−1
5 (−4, 5)
0 (−3, 0)
3 (−2, 3)
4 (−1, 4)
Grafiknya adalah:
*****
0 3 (0, 3)
1 0 (1, 0)
2 11 (2, 11)
