2 cos fJ dove con X1, X2, cp 1 e 'P2 si sono indicate rispettivamente le aperture dei coni fondamentali e dei coni primitivi delle due ruote. Come si può notare, tutte le considerazioni ora svolte sono analoghe a quelle a suo tempo effettuate per le ruote dentate cilindriche e pertanto, evitando di ripetere in ogni dettaglio il ragionamento allora seguito, si potrà senz'altrg affermare che anche le ruote dentate coniche, sebbene costruite per funzionare con certi coni primitivi ben definiti, detti nominali, mantengono un funzionamento corretto con rapporto di trasmissione costante e pari a quello voluto anche quando gli assi delle due ruote subiscono spostamenti di piccola entità dalla loro posizione nominale. In tal caso infatti i due coni fondamentali restano inalterati, mentre variano soltanto i due coni primitivi e l'angolo ,J compreso tra la tangente comune ai due coni primitivi e la tangente nel piano I: alla circonferenza r. Le dimensioni geometriche caratteristiche di una ruota dentata conica sono indicate nella Fig. 82. Come si può osservare, il dente risulta limitato
Fig. 82 - Dimensioni e grandezze caratteristiche di una ruota dentata conica: a ::::: addendum; d. = dedendum; h = altezza del dente·, b = larghezza del dente·' cp = an~o l~ d. 1 apertura; C; = cono di fondo; Ce = cono di tronca.tura; Cp = cono pnmtttvo; Cc = cono complementare; D = diametro primitivo; De diametro esterno; l = lunghezza del cono
=
Nei calcoli relativi alle ruote dentate coniche, in particolar modo nel calcolo delle forze scambiate fra i denti, è tuttavia più opportuno riferirsi alla sezione media del tronco di cono in cui avviene l'ingranamento fra i denti. Quando l'angolo
cp
di apertura del cono primitivo diventa. retto, il
112
113
.l.
cono stesso si trasforma in una superficie piana e la ruota conica corrispondente è detta ruota dentata piano-conica (Fig. 83); essa rappresenta per gli ingranaggi conici il corrispondente della dentiera di quelli cilindrici. Per essa, se '!9 è l'angolo di pressione, l'angolo di apertura del cono fondamentale vale naturalmente 1rj2- '!9 (Fig. 83 a) ed i suoi denti inoltre sono diritti, ossia l'intersezione del profilo del dente con un piano perpendicolare a quello primitivo è un segmento. diretto in senso radiale (Fig. 83 b).
tivi con la sfera del moto può essere approssimato dal moto di rotolamento senza strisciamento, nel piano tangente alla sfera del moto, di due circonferenze di raggi: 7'1 r2 Pl=-- e P2=--. cos 'Pl
cos '?2
a)
l
l
/
/
. . --t--.. . ...'
e
l'
TT
....
/"""
',\
l
\
~L_ \
'
l c
' '.... ....
---,'
l
/
/
l
/
l
l
l
---t-,..
..... ....
b)
',, \
. l .
\
\
l
r cos tp
j l
{1
/
/'
/
Lo studio dell'ingranamento tra i denti di due ruote dentate coniche e la determinazione del numero minimo di denti necessario a evitare l'interferenza possono essere effettuati in modo rigoroso considerando l'ingranamento tra i profili dei denti sulla sfera del moto. Questo studio si presenta però notevolmente complesso e perciò si ricorre normalmente alla approssimazione di Tredgold che consiste nel sostituire alla sfera del moto, in corrispondenza di un punto generico P e per il piccolo tratto corrispondente all'altezza del dente, il piano ad essa tangente (Fig. 84). Questo piano, avente traccia PQ nel piano della Fig. 84 a, interseca il cono primitivo C secondo una conica che in P possiede un raggio di curvatura pari a:
\
\,
' ' ' . . . . . . __ + l __ . . . . "/
Fig. 83 - Ruota dentata piano-conica: a) generazione dei denti; b) aspetto dei denti della ruota
bl
...............
\
l
l
..
\ -y-·-·-· s ·-·:--·-·-·) i
l
~ \
------
/// L"·\ _.,..,....
Fig. 84 - Tl:acciamento approssima.to dei profili dei denti di una ruota dentata conica: a) cono primiti~o .G_ e. piano tangente in P alla sfera del moto S; b) circonferenza pmmt1va Immaginaria
Queste due circonferenze non sono altro che le circonferenze osculatrici nel punto P alle coniche intersezioni del piano tangente alla sfera del moto con i coni primitivi. Ai raggi p1 e p2 viene pertanto dato il nome di raggi primitivi immaginari e le due circonferenze osculatrici assumono a loro volta il nome di circonferenze primitive immaginarie. Indicando ora con m il modulo della. dentatura al raggio corrispondente al punto P, si otterrà per le due circonferenze primitive immaginarie un numero di denti immaginario dato da:
p=--
Per il piccolo angolo di rotazione corrispondente all'ingranamento fra una coppia di denti di due ruote dentate coniche, il moto relativo di rotolamento senza strisciamento delle due circonferenze intersezioni dei coni primi-
(2.61)
In definitiva quindi l'ingranamento fra due ruote dentate coniche, aventi numeri di denti .:-1 e Zz e angoli di apertura pari a <; 1 e ç 2 , è approssima.bile
114
115
).
!
all'ingra.namento fra du~ ruote cilindriche a denti diritti aventi il numero di denti fornito dalle (2.61). Si noti che per una ruota piano-conica si ha IP2 = 1r /2 e z:; = oo. Si ritrova dunque che la ruota piano-conica corrisponde a una dentiera e che il profilo dei suoi denti è di conseguenza un profilo rettilineo. In base alla (2.61) si ha che alle due ruote dentate immaginarie corrisponde un rapporto di trasmissione immaginario: •
zi
z1 cos I{J2
z:i
z2 cos 'Pl
T=-=---
Pèr il calcolo della forza scambiata fra una coppia di ruote dentate coniche a denti diritti si considerino i due coni primitivi e il piano tangente nel punto C alla sfera del moto (Fig. 85). La forza F scambiata tra i denti delle due ruote dentate, quando il contatto avviene in C, giace nel piano II tangente alla sfera e può essere scomposta in una componente tangenziale Q di modulo Q = F cos '!9 ed in una F', normale a Q, che giace nel piano tangente ed interseca gli assi, di intensità F' = Fsin !9. Le coppie C\ e C2 agenti sulle ruote vengono equilibrate solo dalla componente Q e pertanto si avrà:
e che il minimo numero di denti fittizio per evitare l'interferenza è quindi esprimibile, con riferimento alla (2.47), mediante la: l+Jl+r*(2+r•)sin 2 !9
• zmin
=
(l+
(2.62)
T2") sin2!9 dove
mentre l'effettivo minimo numero di denti ammissibile è dato da:
se con l si è indicata la ruota di raggio minore. Con procedimento del tutto analogo si è in grado di calcolare la lunghezza dell'arco d'azione riferendosi a quella calcolabile in una coppia di ruote dentate cilindriche immaginarie a denti diritti.
·-·--.
........
~
Yf·"-. \ -~
2
TT
r1 e r2 sono i raggi primitivi medi dei denti delle due ruote. La componente F' a.gente sulla ruota 1 è a sua volta scomponibile in una componente assiale A1 ed in una radiale R1 di intensità:
{
A1
= F' sin lfJl = F sin '!9 sini{J1
R1
= F' cos lP = F sin '!9 cos l!' l
l
e, in base alle (2.62), si ha in definitiva:
(2.63)
TT
l
l Fig. 85 - Forza scambiata fra i denti di una coppia di ruote dentate coniche
ed in modo del tutto analogo possono essere calcolate le intensità delle componenti A2 e R2 agenti sulla ruota 2. Si osservi infine che le due componenti radiali R1 e R2 sono dirette nel senso di distanziare le due ruote, mentre le componenti assiali sono dirette nel senso di sfilare le ruote stesse allontanandole dal centro O. Poichè le ruote dentate coniche, come quelle cilindriche a denti elicoidali, sono soggette anche a. una spinta assiale, è di conseguenza necessario che i cuscinetti che sostengono gli alberi delle due ruote siano in grado di sopportare, oltre ai carichi radiali, forze di tipo assiale.
117
116 . 3.13 - Ruote dentate coniche ad asse dente curvo
rotola senza strisciare sui coni fondamentali delle due ruote dentate (Fig. 88). Le intersezioni della superficie dei denti con la sfera del moto sono di conse-
Le ruote dentate coniche ad asse dente curvo (o ruote dentate coniche a denti obliqui) (Fig. 86) sono ruote in cui le superfici primitive del moto sono ancora dei coni, ma l'asse del dente, anzichè essere rettilineo, è curvilineo. l
l
l l l
-f->.1.'11-----:+·-·-
(al
lbl
(C)
Fig. 86 - Ruote dentate coniche ad asse dente curvo (Alfredo Gusti S.p.A., Milano)
(dJ
I vantaggi degli ingranaggi conici a denti obliqui nei confronti di quelli ad asse dente rettilineo sono analoghi a quelli degli ingranaggi cilindrici a denti elicoidali, e possono essere riassunti in: aumento della lunghezza effettiva del segmento dei contatti, gradualità nella variazione del carico su una coppia di denti in presa, silenziosità del funzionamento. TI tipo di dentatura proprjo di una coppia di ruote dentate coniche a denti obliqui è definito facendo riferimento alla relativa ruota piano-conica. Mentre i denti della ruota piano-conica a denti diritti sono segmenti radiali (Fig. 87a), i denti delle ruote piano-coniche a denti obliqui più comuni sono: segmenti di rette tangenti ad una circonferenza (Fig. 87b) nelle ruote dentate Bilgram, archi di spirale logaritmica (Fig. 87c) nelle ruote dentate Gleason, archi di circonferenza (Fig. 87d) e archi di evolvente (Fig. 87e). I profili dei denti di queste ruote dentate, qualunque sia il tipo di asse dente, sono comunque sempre profili ad evolvente. I denti sono infatti generati dalla curva (nel caso più elementare una retta) appartenente, a un piano che
(el
Fig. 87- Ruote dentate coniche ad asse dente curvo: a) a denti diritti; b) a denti tangenziali; c) aspirale logaritmica; d) ad archi di circonferenza; e) ad archi di evolvente
guenza sempre due evolventi sferiche. Durante l 'ingrana.mento fra le ruote, i due denti in presa vengono a contatto lungo la curva generatrice /, che giace nel piano tangente comlfne ai due coni fondamentali, e detta generatrice si sposta, nel corso dell'ingranamento, lungo il piano II.
5. JACAZIO-PIOMBO • La trasmissione del moto
l
118
119
anche l'aumen~o dell'arco d'azione dovuto alla forma obliqua del dente: il passo angolare fra i denti è infatti pari a -y, mentre l'angolo formato fra la fine e l'inizio del dente è e:. Quindi, se o è l 'angolo formato fra le tracce delle generatrici di troncatura, il numero di denti in presa è dato da:
o+e:
Zp=-')'
L'esame delle forze scambiate fra i denti di una coppia di ruote dentate conici a denti obliqui risulta abbastanza complesso, sia per il fatto di essere i denti curvi, sia perchè l'inclinazione della curva del dente è in genere variabile da punto a punto, ad eccezione del caso di denti a spirale logaritmica, per i quali l 'angolo di inclinaiione è costante. In essi infatti facendo riferimento alla ruota piano-conica (Fig. 87c) ed adottando un sistema di riferimento in coordinate polari con l'origine degli angoli coincidente con un raggio r;, si ha.:
Fig. 88 - Generazione dei denti di una ruota dentata conica a denti obliqui
La superficie di ingra.namento altro non è dunque che una. parte del piano II tangente comune a.i due coni fondamentali, e risulta. delimitata dai coni di troncatura esterna e, nel senso della lunghezza, dai coni complementari (Fig. 89). Nella stessa Fig. 89 risulta inoltre chiaramente evidenziato
c,
Fig. 89 - Superficie dì ìngranament.o in una coppia di ruote dentate coniche ad asse dente curvo: c1, c2 = tracce dei coni complementari; t 1 , t 2 = tracce dei coni di troncatura; !1, h tracce dei coni fondamentali
=
e l'angolo formato fra la tangente alla curva in un punto generico ed il raggio corrispondente è dato da: rd'IJ tg ex= - dr
l k
= - = costante
Normalmente in questo tipo di ruote dentate si assume per l'angolo a un valore di 35 •. In tutti gli altri casi, come si è visto, l'angolo di inclinazione dell'asse dente è variabile da punto a punto; purtuttavia, data l'estensione relativamente piccola della. superficie di contatto, si può considerare con buona. approsima.zione che la risultante delle forze scambiate fra i denti passi per il punto medio M del tratto di generatrice lungo il quale i due coni primitivi vengono a contatto (Fig. 89). Come per le ruote dentate cilindriche a denti elicoidali, così per le corrispettive ruote dentate coniche esistono due modi differenti di scomposizione della forza scambiata fra i denti. n primo considera la forza scambiata appartenente al piano II tangente comune ai due coni fondamentali. La forza f scambiata fra i denti può allora essere scomposta, nel piano tangente comune, in due componenti: una di intensità A' diretta secondo la tangente comune OC ai due coni primitivi, e una di intensità F' normale ad essa (Fig. 90). Si avrà pertanto, indicando con (3 l'angolo di inclinazione dell'elica. sul cono fondamentale: (2.64)
F' = F cos(3 { A'= Fsìn(3
l
120
121
una componente tangenziale Q e in una intensità rispettivamente pari a:
R'
normale a questa. (Fig. 91a.) di
Q = F' cos il = F cos (3 cos il { R' = F' sin il = F cos (3 sin il
(2.65)
dove con il si è indicato l'angolo di pressione. Delle tre componenti Q, R', A', solo la Q fornisce un momento in grado di equilibrare la coppia motrice e di conseguenza: cl= Qrl.
cl>
Le due componenti R' cd A' danno luogo globalmente a una forza A m direzione assiale e ad una R in direzione radiale (Fig. 91 b) che valgono:
A { Fig. 90 - Scomposizione della forza. f scambia.t.a. fra. i denti nelle componenti .4' e F'; Cft =cono fondamentale della. ruota. l; cp,cp 2 =coni primitivi delle due ruote
Sostituendo in queste equazioni le (2.64) e (2.65) si ottiene:
{
a)
b)
cp,
A = F sin (3 cos so 1 + F cos (3 sin1'J sin so 1 R = - F sin (3 sin so 1 + F cos (3 sin 1'J cos
. sin IJ
(2.160)
7.4 - Meccanismi a rapido ritorno In numerose applicazioni meccaniche, quali ad esempio quelle inerenti le macchine utensili dotate di moto alternativo, è importante far si che che la corsa di lavoro, ossia la corsa durante la. quale la macchina fornisce lavoro, avvenga più lentamente della corsa di ritorno, durante la quale la macchina. deve solo vincere gli attriti e le resistenze al moto. Per ottenere questo scopo in modo puramente meccanico si ricorre ai !!_1~c_cq_n~s!21}_!1 glifo o~illante, dei
r
'iT
relazione questa che fornisce i valori degli angoli di rotazione
./(1>.), in corrispondenza di t'J O, mentre il massimo valore di
\--~
o.5
=
o
o
5
Fig. 213- Massimo valore di
1'---.
10
15
20
N
25
286
287
7.9 - Meccanismi a croce di Malta interna, sferica e rettilinea I meccanismi a croce di Malta interna (Fig. 214) presentano un funzionamento del tutto simile a quelli a croce di Malta esterna; l'unica differenza consiste nel fatto che, nel caso di croce interna, l'angolo descritto dalla ruota motrice durante la fase corrispondente alla presenza del perno P all'interno di una delle scanalature è maggiore di 180°.
Durata di
un~ rotazione della croce di Malta: T= 1r(~; 2)
L'angolo r.p di rotazione della croce di Malta è ora dato da: tgr.p=
r1 sin {}
. i + r 1 cos {}
{} = l +À sin Àcos {}
dove: À
=rdi
e di conseguenza la velocità e l'accelerazione angolare della croce di Malta valgono rispettivamente:·
(2.164)
{
. .>.(>. + cos {}) r.p= (1+2Àcos{J+.>. 2
t
.. À(l - .>. 2 ) sin{} 2 r.p =-(l+ 2Àcos{J + >. 2 ) 2 w
La massima velocità angolare si verifica al solito per {} valore è dato da:
(
= O ed
il suo
>.w = l+ À
La massima accelerazione angolare invece, contrariamente a quanto avviene nei meccanismi a croce di Malta esterna, si manifesta proprio nell'istante corrispondente all'imbocco del perno nella fenditura (ossia per{}= e) e vale: Fig. 214- Schema di meccanismo a croce di Malta interna
Procedendo in modo identico a quello esposto nel caso di croce di Malta esterna, si ricavano per le varie grandezze caratteristiche dell'accoppiamento le seguenti relazioni.
sermango · r d. 1avoro: = N, " 1
1
Interasse: i=~= sin
e = " (~2 + ..!._) N
1
'' sin( 7r /N)
Raggio interno ro della croce di Malta: ,., · · d'1 una go l a: l Pro fon d1't'a ra d'1a1e mnuma
= tg(n/N) r1
= 1·1 [ l - l +cos(n/N) . , ] sm( 7r /.i\)
I meccanismi a croce di Malta sferica sono utilizzati per trasmettere il moto tra assi ortogonali anzichè paralleli (Fig. 215) e funzionano secondo un principio del tutto identico a quello delle croci di Malta interne ed esterne prima esaminate. I meccanismi a croce di Malta rettilinea costituiscono una realizzazione limite dei meccanismi a croce di Malta esterna quando le dimensioni di quest'ultima tendono ad infinito. Essa si presenta quindi come Ùna banda rettilinea dotata di scanalature perpendicolari al suo asse di traslazione (Fig. 216) per cui il suo spostamento x, calcolato a. partire dall'istante in cui il perno P si impegna nella scanalatura, vale:
288
289
mentre la sua velocità è data da:
e pertanto, come era facile intuire, il moto realizzato dalla croce di Malta rettilinea altro non è che un moto intermittente con semionde di tipo sinusoidale.
7.10 - Meccanismi a camme cilindriche per la generazione di un moto intermittente
I meccanismi a croce di Malta, di costruzione relativamente semplice e poco costosa, posseggono però sia l'inconveniente di presentare uno strisciamento relativo fra le varie parti che vengono a contatto, sia una limitazione intrinseca dovuta al fatto di originare una ben determinata legge del moto.
Fig. 215- Meccanismo a croce di Malta sferica
-
v
Fig. 216- Meccanismo a croce di Malta rettilinea
Fig. 217 - Applicazione di un meccanismo a camma cilindrica per il comando di una piattaforma rotante. a: piattaforma rotante e piattaforma porta-utensili; b: flangia di montaggio della piattaforma rotante; c: cuscinetto di supporto della piattaforma rotante; d: camma cilindrica; e: risalto per il collegamento con la ruota porta-rulli; f: foro di passaggio del refrigerante; g: sezione di un rullo (Ferguson Machine Company, St. Louis, Missouri)
290 Onde superare queste limitazioni, si è fatto ricorso nelle applicazioni tecniche all'uso di sistemi per la trasformazione di un moto continuo in un moto intermittente basati sull'accoppiamento di una camma cilindrica ad una ruota sulla quale sono montati rulli cilindrici a contatto col profilo attivo della camma stessa. In tal modo, durante la rotazione della camma, i rulli rotolano senza strisciare lungo il profilo di questa, dando luogo perciò a piccole azioni dissipative di attrito, ed inoltre, variando il profilo della camma, si possono realizzare diversi tipi di diagrammi delle accelerazioni, ottenendo di conseguenza la legge del moto più adatta alla particolare applicazione a cui tale meccanismo deve essere destinato. Per effetto delle proprietà ora descritte, questi meccanismi a camme cilindriche sono ampiamente usati nel campo delle macchine utensili e particolarmente nei comandi delle piattaforme rotanti delle macchine transfer, dei quali è illustrato nella Fig. 217 un esempio.
8. FRENI ED ARRESTI
8.1 - Definizione e funzione dei freni
Si definiscono comunemente come freni quegli organi meccaniCi la cui funzione principale consiste nel trasformare l'energia cinetica di un corpo o di un sistema in calore e nel dissipare poi quest'ultimo nell'ambiente. I freni possono essere fondamentalmente di tre tipi: - freni a fluido - freni ad attrito - freni elettromagnetici
Questa distinzione si riferisce alla. natura del fenomeno fisico che causa la trasformazione di energia cinetica in calore e non al tipo di comando del freno. Va ora. osservato <;he, qualunque sia. il tipo di freno che si considera, due sono i-fattori di primaria importanza che stanno alla base del suo dimensionamento, e precisamente: la massima coppia resistente che deve essere realizzata dal freno e la quantità di calore che questo deve assorbire, e successivamente dissipare, ad ogni frenatura. Riguardo a quest'ultima caratteristica è bene rammentare che se al sistema da frenare sono applicate forze o coppie, motrici o resistenti, la quantità di calore sviluppata durante la frenatura dipende anche dalla loro intensità. Si consideri ad esempio il sistema illustrato nella Fig. 218: in esso un peso P è sostenuto da. un cavo che si avvolge su un tamburo di diametro d. Sapendo che I è il momento di inerzia polare totale delle masse rotanti attorno
293
292 all'asse del tamburo e che il peso P è inizialmente in moto con una velocità di discesa V0 si supponga di voler determinare i valori della coppia frenantt_0, supposta costante, da applicare all'asse del tamburo e dell'energia .c1 che deve essere dissipata dal freno per arrestare la discesa del peso P in uno spazio t:.h. Scrivendo l'equazione di equilibrio alla rotazione del sistema attorno all'asse del tamburo:
c,+ 1 dw
_
dt
(p_!:_g dV)~= O dt 2
e tenendo conto che w.= 2V/d, si ottiene: dV dt
-=-
2g(CJ - Pd/2) d(P + 4gl fd2)
e x= t:.h) si ottiene per la coppia frenante necessaria ad arrestare il peso P nello spazio t:.h il valore:
n valore dell'energia dissipata dal freno può essere facilmente calcolato utilizzando il teorema dell'energia cinetica. Poiché il lavoro compiuto da tutte la forze e le coppie agenti sul sistema deve essere uguale alla variazione di energia cinetiCa dello stesso, e poiché il lavoro delle forze di attrito è evidentemente negativo, si ha: P
v2
Jw2)
-.C1 +Pt:.h=- ( - - + g 2 2
da cui si ricava in definitiva la relazione: 2
V .C 1 =Pl:.h+2
(p-+-41) g
d2
relazione che fornisce il valore dell'energia dissipata. nel freno in funzione del peso P e dello spazio di frenatura t:.h.
8.2 - Freni ad attrito
Fig. 218 - Frenatura di un carico in moto verticale
Questa equazione differenziale può ora essere riscritta sotto la forma: V dV=- 2g(CJ- Pd/2) dx d( P+ 4gl fd2)
Integrando quest'ultima equazione tra l'istante iniziale (definito dalle condizioni V= Vo e x= O) e l'istante finale (definito dalle cqndizioni V= O
I freni ad attrito costituiscono la principale categoria di freni impiegato nelle applicazioni meccaniche. Essi sono in grado di applicare una coppia resistente sia in condizioni dinamiche che in condizioni statiche. I freni ad attrito sono costituiti da un elemento mobile, normalmente rotante, collegato al sistema eh~ deve essere frenato, sul quale viene applicata l'azione frenante mediante l'ausilio di opportune superfici di attrito. n materiale di attrito usato nei freni può essere di varia natu:r:a: in tal uni casi esso è metallico oppure organico, ma in generale è costituito da miscele di gomma, amianto e resine sintetiche impregnate di asfalto e rinforzate mediante fili di rame, denominate commercialmente ferodi. Con riguardo al modo in cui si realizza l'accoppiamento tra corpo rotante e materiale di attrito, i freni vengono normalmente suddivisi in tre categorie differenti, e precisamente in:
295
294
a) freni a tamburo (o freni a ceppi); b) freni a disco; c) freni a nastro; mentre se si considera il tipo di comando ad essi applicato si possono distinguere freni a comando meccanico, idraulico, pneumatico od elettrico.
8.3 - Distribuzione delle pressioni in un freno
Come si è detto nel precedente paragrafo, nei freni ad attrito l'azione frenante è ottenuta grazie alle forze di attrito che si sviluppano nella zona di contatto tra due elementi in moto relativo tra loro. Per poter valutare l'entità della coppia resistente fornita da un certo freno è quindi necessario conoscere la distribuzione delle pressioni esistenti nelle superfici a contatto dell'accoppiamento; solo quando è nota. questa distribuzione di pressioni si è infatti in grado di risalire alla rela.tiva distribuzione di azioni tangenziali di attrito ed ottenere di .conseguenza il valore del momento frenante. La determinazione in via teorica della distribuzione delle pressioni di contatto in un freno presenta però notevoli difficoltà., e può essere ottenuta solo in prima approssimazione sulla base di alcune assunzioni ed ipotesi, così come si avrà modo di osservare nel seguito.
p
a)
b)
~
si consideri ad 'esempio un disco rotante premuto contro un disco fisso ad esso coassiale (Fig. 219). Quando il disco è nuovo è ragionevole assumere che la pressione p si mantenga costante in tutti i punti di contatto tra i due dischi (Fig. 219-a); dopo un certo periodQ di funzionamento però, si riscontra che il disco costituito da materiale di attrito risulta più sottile in corrispondenza del diametro esterno, così come è indicato nella Fig. 219-b, e questo fenomeno trova una sua spiegazione introducendo l'ulteriore ipotesi di proporzionalità tra consumo del materiale d'attrito e lavoro compiuto dalle forze di attrito. In tal caso infatti, il volume dV di materiale asportato in corrispondenza di un elemento di area dA in ·un intervallo di tempo dt è esprimibile mediante la: dV= d6 ·dA
dove d6 rappresenta lo spessore di mate1:iale asportato nel tempo dt. n lavoro compiuto nello stesso inter,va1lo .di tempo dalle forze tangenziali di contatto dovute all'attrito è dato ·d~~.::.< . d,C1 = J p dA V dt
=' f p w r
dA dt
dove f rappresenta al solito il coefficiente' di' attrito, p la pressione esistente in un'area infinitesima dA della zona di contatto~ V la velocità relativa tra le due superfici nel luogo considerato. Ipotizzando ora che dC 1 sia proporzionale a dV:
C)
dc 1
= kdV
si ottiene in definitiva che: (2.165)
Fig. 219- Pressioni e consumo in un disco rotante
Volendo determinare in un caso semplice tale distribuzione di pressioni.
Si può osservare dalla (2.165) che, essendo il coefficiente di attrito f una quantità pressoché costante per tutti i punti dell'accoppiamento, il consumo unitario d6jdt del materiale di attrito risulta proporzionale alla pressione p esistente in ciascun punto dell'accoppiamento ed alla distanza r di questo dall'asse di rotazione. Se ora si suppone, in base a quanto précedentemente esposto, che nella fase iniziale del funzionamento (Fig. 219-a) la pressione p si mantenga costante, è evidente che il consumo unitario d6fdt varia esclusivamente al variare del raggio r e cresce al crescere di questo. Tale variazione
296
297
di consumo unitario lungo il raggio durante la fase iniziale di funzionamento conferisce al disco costituito da materiale di attrito l'aspetto della Fig. 219-b, · e con una tale configurazione della superficie di contatto è logico prevedere che la pressione non si mantenga più costante in tutti i punti, ma che si presenti maggiore verso il centro, dove lo spessore del disco è maggiore, e minore verso l'esterno dove lo spessore del disco è minore. Se poi il moto di accostamento del disco rotante nei confronti del disco fisso è, per effetto dei vincoli imposti, una traslazione in direzione assiale, è altrettanto intuitivo supporre che il successivo consumo del materiale di attrito avvenga in modo pressoché uniforme in tutti i punti e che di conseguenza il consumo unitario d6jdt si mantenga. pressoché costante per tutti i punti della zona di contatto (Fig. 219-c). In base a tale assunzione ed alla (2.165) si osserva pertanto che, per istanti successivi a quelli iniziali, la pressione p varia in modo inversamente proporzionale al raggio r: p=
k(déjdt) fwr
e di una traslazione in direzione perpendicolare alla congiungente OA, che non influenza quindi il consumo del materiale di attrito) si può in definitiva supporre che la pressione in un punto generico P dell'accoppiamento valga p = kx, dove x rappresenta la distanza di P dal punto A. Indicando ora con b la larghezza dèl pattino, con l la sua lunghezza e con a la distanza del
a
h
-
x
k'
j7
=r
e che quindi essa, a conferma. di quanto in precedenza a.nticipato, risulta tanto maggiore quanto più ci si avvicina all'asse di rotazione. L'ipotesi ora utilizzata di lavoro ,di attrito proporzionale al consumo, detta ipotesi di Reye, pur non essendo valida in ogni circostanza, è comunque applicabile in prima approssimazione in tutti i casi caratterizzati dalla presenza di attrito secco tra le superfici che vengono a contatto; proprio tale ipotesi, accoppiata all'informazione concernente il tipo di accostamento realizzato fra le superfici di ~ttrito, consente di determinare la distribuzione teorica delle pressioni di contatto e di risalire ovviamente da questa a quella delle azioni tangenziali ed in definitiva al valore del momento frenante. A titolo di esempio applicativo di tale ipotesi si consideri ora un pattino piano premuto contro un nastro che trasla ad una velocità V (Fig. 220) e si supponga di voler calcolare il valore della forza frenante FT una volta noto il valore della coppia C applicata al pattino. Poichè la velocità relativa tra nastro e pattino è costante in tutti i punti della zona di contatto, è evidente che, in base alla (2.165), si può supporre che la pressione sia proporzionale al consumo; essendo poi, come si è già avuto modo di osservare, il consumo funzione del tipo di accostamento, ed essendo questo una rotazione rigida attorno al punto A (una rotazione attorno al punto O può infatti essere considerata come somma di una. rotazione attorno ad A
Fig. 220 - Distribuzione delle presisoni in un pattino piano premuto contro un nastro che trasla
punto di incernieramento del pattino dall'estremità della superficie frenante (Fig. 220), si è in grado di scrivere l'equazione di equilibrio alla rotazione del pattino attorno al punto O sotto la forma: C-
j
a
a+l
b P x dx + f
ja+l a
b p h dx
=O
e da questa, sostituendo a p la sua espressione in funzione di x si ottiene il ' valore della costante k,_ valore dato da:
-
(2.166)
La forza tangenziale data in modulo da:
k
=
2[(a + 1) 3
6Cjb -
a3)- 3 f h[( a+ 1)2 - a2)
FT, che esercita l'azione frenante sul nastro, è ovviamente FT
= f ja a+l b p dx = f b l k .(a + 2'l)
299
298
e sostituendo in questa la (2.166) si ottiene l'espressione desiderata della relazione esistente fra le intensità della coppia C applicata al pattino e della relativa forza FT originata sul nastro.
8.4- Freni a tamburo (od a ceppi)
I freni a ceppi o a tamburo sono costituiti dall'accoppiamento di un cilindro rotante (detto tamburo) e di uno o più ceppi realizzati con materiale di attrito, che vengono premuti sulla superficie laterale esterna od interna del tamburo stesso in modo da creare così un'azione frenante. Si consideri ad esempio il freno a ceppo esterno della Fig. 221: quando all'estremo H del ceppo viene applicata una forza S, questo ruota attorno al fulcro E fino a portarsi a contatto del tamburo, ed in corrispondenza di ogni area infin~esima di contatto sorgono di conseguenza sia una forza elementare normale d F N, sia una forza elementare tangenziale dovuta all'attrito di intensità dFT = fdFN, forza che si oppone al moto relativo tra ceppo e tamburo.
Fig. 221 - Schema di freno a ceppo esterno
Da un'accurata analisi della Fig. 221 nascono ora alcune semplici ma importanti considerazioni. E' in primo luogo evidente che, qualunque sia la
distribuzione delle forze elementari normali iF N, la. loro risultante è necessariamente costituita da una forza radiale che non fornisce alcun momento rispetto al centro del tamburo, e ciò perché ogni singola. [p N possiede direzione radiale. In secondo luogo appare altrettanto evidente che la. risultante FT di tutte le forze tangenziali elementari dFT è in modulo minore della. somma. dei ~eduli, ossia. che IFTI < I:ldFTI, e che pertanto essa. dovrà possedere un braccio rispetto ad O maggiore del raggio R del tamburo, in quanto devono necessariamente essere uguali tra. loro i valori del momento risultante rispetto al centro O delle forze tangenziali elementari, a.pplica.te tutte al raggio R, e del momento rispetto ad O della. loro risultante. In terzo luogo si constata. che per ogni area. elementare della. superficie di contatto sussiste la. relazione dFT f dFN, e che perciò la. stessa. relazione deve sussistere tra. le forze risulta:nti; deve cioè essere in definitiva.: FT = f FN. In base a. queste tre semplici considerazioni si può concludere pertanto che, comunque siano distribuite le pressioni lungo la. superficie di contatto tra. ceppo e tamburo, la. loro risultante F R deve passare per un punto I< esterno al tamburo e che tale risulta.nte deve essere inclinata. di un angolo 9 = a.rctg f rispetto alla. congiungente J( O. E' chiaro ora che per determinare il valore del momento frenante realizzato da. un freno a. ceppi occorre in definitiva. conoscere la posizione del punto J{ di applicazione della. forza. risultante rispetto al centro di rotazione O del tamburo, e che questa. dipende unicamente dal modo con cui si distribuiscono le pressioni nella. zona. di contatto tra. ceppo e tamburo. Per ceppi che ruota.no attorno ad un punto fisso (freni a ceppi ad accostamento rigido) si può però supporre, in prima. approssimazione, che la. risultante delle forze scambiate fra ceppo e tamburo passi per il punto medi_o della. loro zona. di contatto (Fig. 222-a.). Questa. approssimazione, utilizzabile in tutti i casi in cui si voglia. valutare rapidamente la. coppia resistente fornita. da. un freno, risulta. tanto più valida quanto minore è l'angolo di apertura. del ceppo e quanto più l'angolo compreso tra. la congiungente OE e la. mezzeria. del ceppo si avvicina. a. 90°. Tenuto conto ora. del fatto che le forze F',v e Fr che il tamburo esercita. sul ceppo sono uguali ed opposte alle forze F N e F T che il ceppo esercita. sul tamburo, si potrà. scrivere la. seguente equazione di equilibrio alla. rotazione del ceppo attorno al punto E:
=
S h - Fsb- FTa
da cui si otterrà:
=0
301
300
hS FN=-b+fa
ed il momento frenante, nell'ambito di questa approssimazione, sarà in definitiva esprimibile mediante la: fhrS MJ =Fr·r= - - b+fa a)
b)
Se si vuole ora procedere ad una più precisa determinazione della posizione del punto di applicazione della risultante delle forze scambiate fra ceppo e tamburo, occorre, come si è già avuto modo di osservare, ipotizzare una certa distribuzione delle pressioni di contatto fra i due elementi. A tale scopo si suppone generalm$:!nte valida l'ipotesi di Reye esposta nel paragrafo precedente; nel caso di freni a ceppi l'assunzione di tale ipotesi, essendo la velocità relativa tra ceppo e tamburo costante in tutti i punti, equivale ad asserire che la pressione risulta proporzionale in ogni punto al consumo (vedasi a questo proposito la (2.165)), il quale è a sua volta funzione del tipo di accostamento realizzato tra le due superfici dell'accoppiamento. Si consideri allora nuovamente un freno ad accostamento rigido (Fig. 223): il moto del ceppo è orà costituito da una rotazione attorno al punto E; questa rotazione può al solito essere considerata come somma di una rotazione attorno al centro O del tamburo (che non fornisce alcun contributo al consumo del materiale costituente il ceppo) e di una traslazione nella direzione perpendicolarE ad OE, che viene di conseguenza usualmente definita come direzione di accostamento.
Fig. 222 - Schema di freno a ceppo esterno; a) ad accostamento rigido; b) ad accostamento libero
Per un freno in cui il ceppo ruoti attorno ad un punto mobile (freno a ceppo ad accostamento libero, Fig. 222-b ), è invece evidente che la forza che l'asta !{E esercita sul ceppo deve passare per la cerniera H e poiché questa è normalmente molto vicina alla superficie del tamburo, si può addirittura supporre che la risultante delle forze scambiate tra ceppo e tamburo passi proprio per il punto H. In base a questa assunzione si è quindi in grado, ripetendo passo a passo il procedimento visto per il freno ad accostamento rigido, di determinare in prima. approssimazione l'entità del momento frenante in funzione dell'intensità S della forza di comando.
Fig. 223 - Direzione di accostamento e consumo in un freno a ceppi ad accostamento rigido
Il valore del consumo 8, dovuto alla traslazione del ceppo lungo la di-
303
302
rezione di accostamento e realizzato in un certo intervallo di tempo in corrispondenza di un punto generico della superficie. di contatto individuato da un angolo t? rispetto alla mezzeria del ceppo, è dato allora da: 6 = 60 cos(t?- !3)
dove con !3 si indica l'angolo compreso tra la direzione d'accostamento e la mezzeria del ceppo e con 60 si indica il consumo massimo, ossia il consumo che si è verificato nello stesso intervallo di tempo nel punto intersezione della retta di accostamento con il tamburo. Poiché in questo caso la pressione è proporzionale al consumo, si avrà in definitiva una distribuzione delle pressioni tra ceppo e tamburo definita da una legge del tipo: p= Po
cos(t?- !3)
con t? variabile da -o:/2 a +o:/2, se co:n o: si indica l 'angolo di apertura del ceppo. Nota la distribuzione delle pressioni lungo la superficie di contatto sarà di conseguenza nota la distribuzione delle azioni tangenziali di attrito e si potrà pertanto procedere al calcolo sia dell'intensità della forza risultante F scambiata tra ceppo e tamburo, sia della. posizione del suo punto di app~ zione M. -~i~~olito ,8 -~-~.ngol~.isG€-c-J.!isP§falla mei;eria ~~Ù:.~IP~C.cos~_.am~o~_IJ'é!-;J&s>loJ.m:o~nito èhe- definis-ce, setp.J>re nspetta:al!~~ç~~~L$gp__po_,_la dir~_zione ..NO_,risJtl!g,~J-e..P:~1~J.orze elemell~<:ri_norm~genti suU~bu~? (Fig. 224),;tl:ang()!~~Is.ce...la ~un punto. gen~ri_~ risp:!to alla me~~~_:~a -~~ ~-~J?P.Q,_,o: l'angolo d1 a~.el-C~E:e:::~Jl~. Poiché la direzione MO definisce la direzione della forza normale Fn complessivamente scambiata tra ceppo e tam~ro,~~somma delle componenti delle singole azioni elementari d F n in direzione normale alla MO deve essere nulla· se con a si ~itainburo, tale condizione è espressa dalla:'
l
+a/2
a Po cos(t?- P),sin(t?- i)7' d t?= O
-n/2
e risolvendo l'integrale sopra scritto si ottiene in definitiva la relazione: ---=--~c=-=-·-.::C.~~-
(2.167)
(
s~n o:-\. o:+smo:
tg;-= tgf]o:~
~--=--------~·
Fig. 224 - Determinazione della forza scambiata fra ceppo e tamburo relazione che consente di determinare la direzione della forza normale scam-
__bìata~!'~..l~PPsl e t~~b~r~-~na ;olta ;;t_e Ja direz~-;·d~~;;;~~'t"t.~~~Pan
. g<;>~-=~~BSTJ~~4~L...cep.P-:9-:;:; -If""ffi(;ftfl(j--p:~ììa :ròFia· normale risultante- è fornito invece dalla somma delle componenti di tutte le forze normali secondo la direzione MO, per cui si ha in definitiva: Fn =
l
+n/2
apo cos( t? -
/3) cos( t? - i )rdt? =
-n/2
(2.168)
=
~ap 0 r[(o: +sin o:) cos /3 cosi+ (o:- sin o:) sin/3 sin i]
Volendo ora definire la posizione del punto M sulla semiretta uscente da O ed i~ata dell'angolo ;y rispetto alla niezzeria.del ceppo, baster"àriCoraar~ ~-il mom~elle forze elem~iliBia""n-ginzT;ili~ rispètt~ .:a'dO"èlève'""es~e:te .wafè ~afmome'rlto~:.~~fupfè" rispetto-àd o, _deil~_lQ.r9 forza ris~l_!~t-;;·ij~e fQ.~di?i9ne....riene espressa a
l
+n/2
-n/2
fapo cos(t?- f])r 2 dt? = 2fapor 2 sin ~ cos /3 = Ft · OM
2
= f FnOM
305
304 Da quest'ultima relazione e dalle (2.167) e (2.168) si ricava in definitiva per OM l'espressione:
Analizz.ando ora tale relazione si può osservare che, una volta fissati il raggio del tamburo_r_e l'angolo di apertura del ce:~mo a-,jl punto· M per cui passa la risultante delle forze scambiate tra ceppo e tamburo si muove, al variare della direzione di accostamento, e quindi degli angoli j3 e -y, lungo una circonferenza r di diametro: ------
- ----""" .
(2.169)
. b = 4r sin(a/2)\
·"----
a- + sin a-/
~-·----._____..,..·
Questa proprietà, caratteristica dei freni a tamburo, è stata evidenziata per la prima volta da A. Romiti, per cui la circonferenza r avente diametro definito dalla (2.169) viene usualmente denominata circonferenza di Romiti. ~~_risultante Fr delle forze scambiate fra ceppo e tamburo passa dunque per il punto M ed è inclinata di un angoio i-~ispetto all~..Ql\{ 1~Èsh!ar9_èhe, una vorta-dèfirutalageometria"del.freno, i(puiit~- 1.1 è univoc~mente determinat~; ciò nonostante la risultante Fr può essere ·i;;:~iinata dell'angol~ r.p da ùna parte o dali 'altra rispetto alla direzioiìeradiaìeo.M a :~ecgnd~ .9,_el Y~_
·ciò
raffinato rispetto a quello di prima approssimazione visto in precedenza, mantiene la sua validità. solo nell'ambito della validità. dell'ipotesi di Reye, sulla quale si basa per quanto concerne la determinazione delle pressioni di contatto tra ceppo e tamburo; ove la validità. dell'ipotesi di Reye venisse meno, anche i risultati qui esposti. necessiterebbero di ulteriori ritocchi ed affinamenti.
8.5 - Tipi di freni a tamburo Nelle applicazioni pratiche si possono riscontrare sostanzialmente quattro tipi di freni a tamburo: il ceppo ad ess_9 acc()ppiato ~ infatti essere interno od esterno ed il suo accostamento _p_uò essere di tipo rigido o libero. I due casi di freni a ceppo ad accostamento rlgido-;;nc;-ra,ppresentati nella Fig. 225: p~_en.tramhi risuLta_nQ!a la direzione di accostamento (normale ad OE) definit~-d~angol9_§; in base alla (2.167)- si può pertanto determinare, nell'un caso e nell'altro, il valore dell'angolo 'Y e quindi, mediante la (2.169), la posizione del punto M; noto poi il valore del coefficiente di attrito, è nota di conseguenza la posizione del punto di Romiti Re la congiungente M con R fornisce quindi la direzione della forza scambiata tra ceppo e tamburo; il valore del momento frenante M1 è pertanto dato da:
mentre il valore di Fr è ricavabile, secondo quanto già. esposto nel precedente paragrafo, dalle equazioni di equilibrio del ceppo. Anche i freni ad accostamento libero (Fig. 226) p~I\Q.eSs,er.e_es.~ni 9 interni: pur essendo in ambedue i casi incognita a priori la direzione di ac-
c=;;=stamento~_uò.però_ ~sservare ~~fo~ licate~c.eppo...sLJ.Uilllanq
l'asta t::;?-sme.tte..4l~pp,_at.tra~7rso la cerniera --f!~e che· pe~ queste due forze debbono essere uglial!ln direzi_9g_e e Il}~_d_ulo e possedere versi opposti. Ne consegue dieTa' ri"sultante delle forze scamb~te fra ceppo e tamburo deve necessariamente passare per la cerniera B; poichè essa deve anche passare per il punto di Romiti R, è ovvio che ne resti automaticamente determinata la sua direzione. L'intersezione della retta BR con la circonferenza di Romiti r individua poi il punto M che, unito al centro O, determina l'ampiezza dell'angolo 'Y e da questo, in base alla (2.167) si è in grado di determinare il valore dell'angolo /3, ossia di individuare in definitiva la direzione di accostamento. Al
307
306
questi sono po~ti come illustrato nella f:ig. 227-a, a parità di forze S1 ed S2 , le forze F\ ed F2 da loro scambiate con il tamburo sono diverse e di conseguenza i due ceppi presentano una diversa azione frenante (a parità di forza S infatti il ceppo di destra frena più di quello di sinistra).
solito poi, imponendo l'equilibrio dell'asta EB, si può determinare l'intensità· della forza Fn e da questa risalire al valore del momento frenante applicato (\l tamburo.
a) .
b)
Fig. 225 - Freni a tamburo ad accostamento rigido: a) ceppo esterno; h) ceppo interno a)
b) Fig. 227 - Freno a tamburo a due ceppi esterni
~
Fig. 226 - Freni a tamburo ad accostamento libero: a) ceppo esterno; h) ceppo interno Si verifica sovente nelle applicazioni pratiche, che un tamburo venga frenato azionando contemporaneamente due ceppi uguali tra loro; se però
Per poter distinguere tra loro i due ceppi è invalso l'uso di indicare come ceppo avvolgente quello in cui un punto del tamburo si muove verso la cerniera, e c~ceppo_s~e quello in cui -~-n- punto del tambur~- si allontana dalla cerniera. In base a quanto sopra esposto resta allora evidente che, a parità di forza di comando S agente sui due ceppi, quello svolgente risulta, nel caso di ceppi esterni, più efficiente di quello avvolgente, mentre l'opposto si verifica nel caso di ceppi interni. Per ottenere una uguale azione frenante sui due ceppi a parità di forza esterna applicata, si dovrà pertanto adottare una soluzione simile a quella della Fig. 227-b, in cui entrambi i ceppi si trovano nelle medesime condizioni. I freni a tamburo presentano talvolta la peculiare caratteristica di essere autoavvolgenti; ciò significa che, una volta che si sia realizzato il contatto tra tamburo e ceppo, questo, per effetto delle forze che si originano sulla superficie di contatto, tende a serrarsi sempre più sul tamburo stesso.
309
308
dimensioni, un momento frenante uguale a quello relativo ai freni a tamburo; il materiale di attrito che li costituisce deve pertanto essere in grado di sopportare pressioni maggiori di quelle insorgenti in un contatto ceppo-tamburo. I freni a disco possono essere raggruppati in tre categorie differenti a seconda del moto di accostamento che il pattino possiede nei confronti del disco. Si possono ritrovare pertanto freni a disco di tipo:
Una tale situazione potrebbe ad esempio verificarsi nel freno schematizzato nella Fig. 225-b: se il valore del coefficiente di attrito fosse particolarmente alto ed il punto di Romiti fosse di conseguenza spostato verso sinistra, la congiungente M con R andrebbe infatti ad intersecare la retta m esternamente al segmento OE, ed in tal caso la forza f: che il tamburo esercita sul ceppo originei:e?be un momento rispetto al punto E tale da serrare il ceppo sul tamburo. E evidente che un funzionamento del genere è, a parte casi eccezionali, quanto mai indesiderato, per cui occorre sempre assicurarsi che, adottando una configurazione del freno sul tipo di quella ora indicata, i parametri geometrici ed il coefficiente di attrito siano tali da escludere il verificarsi di una simile condizione.
a) ad accostamento rigido; b) ad accostamento semilibero; c) ad accostamento libero.
n tipo di freno a disco che trova più frequenti applicazioni nella. tecnica è quello ad accostamento rigido, in cui il moto di accostamento del pattino frenante consiste in una traslazione rigida in direzione perpendicolare alla superficie del disco (Fig. 229). Volendo calcolare il valore del momento frenante realizzabile con freni di questo tipo in funzione della loro geometria e dell'intensità d~lla forza normale Fn applicata al pattino, va innanzi tutto osservato che per essi, una volta superata la fase iniziale del funzionamento, il consumo \ del materiale di attrito in un certo intervallo di tempo si mantiene, in base \ alle considerazioni esposte nel §8.3 del presente capitolo, costante lungo tutta la superficie di contatto.
8.6 - Freni a disco
I freni a disco sono costituiti dall'accoppiamento di un disco rotante, solidale al sistema da frenare, e di un pattino rivestito di materiale di attrito· il contatto tra i due organi dell'accoppiamento può essere esteso a tutta l~ superficie del disco, oppure solo ad una. sua parte, e viene realizzato premendo su questa il pattino in una direzione ad essa. perpendicolare (Fig. 228).
Fig. 228 - Schema di freno a disco Fig. 229 - Freno a disco ad accostamento rigido
. l freni a disco, pur presentando svariati vantaggi rispetto agli altri tipi d1 freno, e principalmente una maggiore costanza nell'azione frenante, una minore sensibilità alla contaminazione (da acqua. o da olio) grazie ai valori molto piccoli del gioco esistente tra le superfici di attrito ed il disco, ed una ugual capacità frenante in entrambi i versi di rotazione, debbono tuttavia essere sottoposti ad una forza di comando più intensa per originare, a parità di
Supponendo valida l'ipotesi di Reye si è pertanto in grado di asserire che il prodotto tra i valori della pressione di contatto e della velocità di strisciamento esistenti in ogni punto della superficie di contatto è proporzionale, nel caso di freni a disco ad accostamento rigido, al consumo unitario d5fdt e
i
l
_j_
11. JACAZIO-PIOMBO- La trasmissione del moto
l
310
quindi che: (défdt) k p= c---=wr r
Siano ora r; ed r. i raggi interno ed esterno della superficie di contatto (Fig. 229), a l'angolo di apertura ad essa r-elativo, A il valore della sua area e 'IJ ed r rispettivamente i valori della posizione angolare, riferita alla mezzeria della superficie di contatto, e del raggio relativi ad un punto generico della zona di contatto. Poichè l'intensità della forza risultante di tutte le azioni di pressione deve essere pari a quella Fn della forza normale agente sul pattino, si avrà ovviamente che: (2.170)
Fn
=
r.
+o:/2
l 1 r,
prd1·d'!J
-a:/2
311
I freni ad accostamento libero infine, posseggono, rispetto a quelli ad accostamento semilibero, un grado di libertà in più. Essi sono infatti costituiti· da un pattino che viene premuto contro il disco con forze di uguale intensità F originate da due cilindretti che nello schema della Fig. 230 b hanno tracce C 1 e C2 • E' chiaro allora che in questo tipo di freno il pattino, oltre a traslare ed a ruotare attorno all'asse y può anche ruotare attorno all'asse :z:, perpendicolare ad y. a)
b)
·---
= ka(re- r;)
ed il momento frenante complessivo, calcolato come somma dei singoli contributi delle azioni tangenziali di attrito agenti in ogni punto del contatto, sarà evidentemente dato da:
Sostituendo in quest'ultima equazione il valore di k ricavabile dalla (2.170) si otterrà in definitiva la relazione voluta: (2.171)
mentre il valore della massima pressione riscontrabile nella zona di contatto risulterà espresso dalla:
Pmax
k =- = r;
Fn w·;( r • - r;)
I freni a disco ad accostamento semilibero sono realizzati invece secondo lo schema della Fig. 230 a: in essi il pattino è incernierato all'estremo B dell'ast: EB e viene premuto contro il disco applicando a quest'ultima una coppia C. TI moto di accostamento è quindi costituito da una traslazione più una rotazione.
Fig. 230- Freni a disco ad accostamento semilibero (a) e ad accostamento libero (b) Poiché questi tip! di freno a disco hanno più gradi di libertà la distribuzione di pressione nel freno è più complessa di quella per il freno ad accostamento rigido. Tuttavia, per il calcolo del momento frenante, è possibile utilizzare sempre la (2.171).
8. 7 - Freni a nastro
I freni a nastro sono costituiti da un nastro che porta del materiale di attrito e da un tamburo solidale al sistema meccanico da frenare; ponendo in tensione il nastro, questo si serra sul tamburo e, grazie alla presenza delle forze di attrito che si sviluppano nella zona di contatto, lo sottopone ad un'azione frenante.
312 J l
313
l
per cui l'espressione dell.a coppia frenante realizzata da un accoppiamento sul tipo di quello indicato in Fig. 231 vale in definitiva:
l
(2.172)
ad · c,= -F(eff3l) 2c
La distribuzione delle pressioni esistenti fra nastro e tamburo può essere ricavata scrivendo un'equazione di equilibrio alla traslazione in direzione radiale di un elemento infì.nitesimo di nastro (Fig. 232). Indicando con b la larghezza del nastro si ha allora: [T+ (T+ dT)]
l.
a
J
Fig. 231 - Freno a nastro semplice
dt9 2 = p b r d 1J
da cui, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore, si ha:
T 2T p=-=br bd La pressione massima si sviluppa pertanto là dove è massima la tensione, e vale:
D tipo più semplice di freno a nastro è schematizzato nella Fig. 231: in esso n nastro è avvolto sul tamburo per un angolo di ampiezza /3 ed n rapporto tra le tensioni T1 e T2 vale, per il verso di rotazione indicato in figura, ed in base alla (2.11 ): TJ.
T2
= eff3
e di conseguenza la coppia frenante agente sul tamburo risulta espressa dalla:
~ove il valore della tensione
T2 dipende evidentemente dall'entità della forza
F applicata all'estremo della leva di comando; dall'equazione di equilibrio alla
rotazione della leva attorno al suo fulcro si ha infatti: To = F~ c
Fig. 232 - Pressione agente su di un elemento infinitesimo di nastro
Con il freno a nastro semplice illustrato nella Fig. 231 però, l'azione frenante si manifesta con intensità differente a seconda dei due possibili versi
314 315
di rotazione del tamburo. Se infatti il tamburo ha verso di rotazione antiorario le tensioni T1 e T2 si presentano scambiate tra loro e la tensione massima sarà ora data da: T1
Fa
c, =
= c-
d
2c(ef/3 +l).
e che essa mantiene' inalterato il suo valore per entrambi i versi di rotazione del tamburo.
mentre la coppia frenante varrà di conseguenza: C1
pertanto si ricava, mediante alcune semplici considerazioni, che in tal caso la coppia frenante vale: Fad(ef/3- l)
Fad
.
=(T1- T2)-2 = -2cef/3 - ( e f 13 -1) 8.8 - Dissipazione dell'energia cinetica nei freni
e pertanto, a parità di forza T agente sulla leva, la coppia frenante agente sul tamburo per un suo verso di rotazione antiorario risulta ef/3 volte minore di quella sviluppata nel caso di verso di rotazione orario.
Come si è già avuto modo di osservare all'inizio del presente capitolo, due sono i fattori principali di cui si deve tener conto nel calcolo di un freno, e precisamente la massima coppia resistente che esso deve realizzare e la quantità di energia cinetica che esso deve dissipare ad ogni frenatura. Nei precedenti paragrafi si sono ampiamente esaminati i metodi atti a calcolare l'entità della coppia resistente fornita dai vari tipi di freni; verrà invece qui di seguito analizzato, se pure a grandi linee, il secondo aspetto, ossia la. trasformazione dell'energia. cinetica in calore e la successiva. dissipazione di quest'ultimo nell 'ambiente circostante. Una. delle formule approssimate per il calcolo della temperatura. media. Tm di equilibrio alla. quale si porta un freno durante il suo funzionamento è data. dalla: (2.173)
a
Fig. 233 - Freno a nastro con ugual azione frenante per entrambi i versi di rotazione del tamburo
Per ottenere una ugual azione frenante nei due versi di rotazione. occorre modificare lo schema del freno a nastro prima. visto ed adottare il tipo. di freno indicato nella Fig. 233. In esso le distanze dei punti di collegamento degli estremi del nastro dal fulcro della leva di comando sono uguali tra loro e
Nt "( Nt )] C(Tm- Tl) [ 3600 +l, o l- 3600
EN =A
dove N rappresenta il numero di cicli di frenatura all'ora, E lq. quantità di calore in kcal sviluppata. durante una. singola. frenatura, A la. superficie di scambio termico in m 2 , t la. durata in secondi di ogni frenatura., T 1 la temperatura dell'ambiente e C un coefficiente di scambio termico medio funzione del materiale costituente il tamburo od il disco e della loro velocità periferica iniziale. Per un tamburo in ghisa od in acciaio il coefficiente C (espresso in kcal/h m 20 C) varia in funzione della velocità periferica del tamburo stesso nel modo indicato dal diagramma della Fig. 234. Il calcolo della presumibile temperatura di equilibrio raggiungibile all'interno di un freno durante il suo funzionamento assume una notevole importanza in quanto le caratteristiche dei materiali che vengono a contatto
316
317
nell'aCcoppiamento variano al variare della temperatura; esisterà di conseguenza, per ogni possibile coppia di materiali costituenti il freno, una temperatura massima ammissibile di funzionamento, in quanto al di là di questa si otterrebbero, per l'accoppiamento in esame, delle prestazioni troppo dissimili da quelle teoricamente previste e pertanto inaccettabili da un punto di vista applicativo. I valori indicativi della massima temperatura e della massima pressione ammissibile per alcune coppie di materiali usate nei freni sono riportati nella tabella IV.
nante, V la velocità di strisciamento e k un coefficiente che vale, mediamente, 8, 5 N 2 m per ferodo su acciaio con fun-zionamento intermittente. cm s TABELLA I.V - Caratteristiche dei materiali usati nei freni
Materiali di contatto
l - -~ ~
15
/
10
/
~
~
~
/
/ 5
o
l 5
15
10
20
25
V(m;s) Fig. 234 - Coefficiente di scambio termico medio in un freno a tamburo
La Fig. 235 riporta l'andamento del coefficiente di aderenza fa e del coefficiente dj attrito f in funzione della pressione, della velocità di strisciamento e della temperatura superficiale. Un metodo approssimato seguito per verificare la capacità del freno di assorbire una certa quantità di calore senza danneggiarsi consiste nel verificare che sia soddisfatta la seguente relazione:
dove Ad è l'area della superficie di scambio termico, fil coefficiente di attrito, la pressione media, A1 l'area di contatto lungo la quale avvitene l'azione fre-
p
Massima temperatura ammissibile (o C)
Massima pressione ammissibile (N/cm 2 )
-
150 300 250 250 250
50..;- 90 100 ..;- 200 100 ..;- 150 100 150
O, 03 ..;-O, 05
-
250
100
o, 05 ..;-o, l
o, l ..;- o, 4
500
100
0,05 ..;-o, l
0,170,3
550
200
150 100 100 100
40 ..;- 60 10 ..;- 30 10 10 ..;- 30
bagnate
25
o
Coefficiente di attrit.o per superfici
Bronzo su ghisa o acciaio Ghisa su ghisa Ghisa su acciaio Acciaio duro su acciaio duro Acciaio duro su acciaio duro con rivestimento di cromo Bronzo fosforoso su acciaio duro con rivestimento di cromo Poi vere di metallo su ghisa o acciaio Polvere di metallo su acciaio duro con rivestimento di cromo Legno su ghisa o
o, 05 ..;-o, 07 o, 05 ..;-o, 08 O, 06 ..;-O, 09 o, 05 ..;-o, 08 O, 03 ..;-O, 06
asciutte
0,15 0,23 0,42
o, 16 ..;-o, 20 o, 35 ..;-o, 65 o, 12 ..;-o, 15 O, 30 ..;-O, 50 o, 15 ..;-o, 25 o, 30 ..;-o, 50 ... o, 30 ..;-o, 50 o, 08 ..;-o, 20 o, 05 ..;-o, 10 o, 10 ..;-o, 15 -
O, 20 ..;-O, 60 0,25 0,25
150 ..;- 400 350 ..;- 550 150
50 ..;- 150 200 .. 70
In applicazioni in cui il freno sia sottoposto ad un funzionamento continuativo e di conseguenza la quantità di energia da esso dissipata nell'unità di tempo assuma valori molto elevati, o tali comunque da portarlo ad una temperatura di equilibrio inammissibile, si può ricorrere ad un processo di raffreddamento delle superfici dell'accoppiamento, così come è illustrato nella Fig. 236 per il caso di un freno a dischi con circolazione di refrigerante.
319
318
la.l
0,25
0,20
0,2
'.
0,15
0,05
o
o
0,25
o
0,20
0,15
0,1 5
' ' la -"-... l
~10
l
a)
l
0,25
,
~
~l
L--
-
o"'-.
0,0
l o
20 40 60 80 100
p (N/cm 2 )
4
8
12
0,05
o
16 20
l
0,25
0,2 5
0,25
0,20
0,20
0,1 5
0,15
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0,15 0,10
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0,05
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o
o
40
l
l
b)
0,1
v~ [5:; ~ .:::,;:
~
0,05
80 120 160 200
o
o
8
p (N/cm 2 )
16
~lO
0,05
o
24 32 40
l 0,5
0,5
0,4
0,4
:::
0,3
r
0,1
o
·- .z
~ ~ V--:
0,2
o
lZ~ "\ ~ ~ ..._
p (N/cm
)
100 200 300 400 500
l
c)
0,3 0,2
~ ......
o
0,3
~
0,1
40 80 120 160 200 2
o
o
_:-.. 0,2 ~
~ i:s:: ;::-<:;:: 0,1
o 4
8
12
V (mis)
-.:
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T(OC)
0,5
la
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V (m/s)
laJ 0,4
o
V (m/s)
laJ 0,20
-v
0,10
v
In questo freno i ferodi a, solidali al disco collegato al sist~ma meccanico da frenare, strisciano contro due dischi fissi di rame b, i quali vengono lambiti dal :fluido refrigerante lungo la faccia opposta a quella a contatto dei ferodi. n disco che porta i ferodi è mobile assialmente·ed il disco di rame di destra, montato su di un supporto d'acciaio, si presenta anch'esso mobile in senso assiale. In tal modo l'introduzione di aria in pressione nel tubo di neoprene h provoca lo spostamento assiale dei vari dischi che vengono così premuti uno contro l'altro. Tra il tubo di neoprene ed il supporto di acciaio e è posto un elemento intermedio in fibra di vetro g che serve ad ottenere una distribuzione la più possibile uniforme della pressione.
16
20
o
-'
-.::.:: ~
!00 200 300 400 500
T(°C)
Fig. 235 - Valori del coefficiente di attrito per: a) acciaio-acciaio, funzionamento lubrificato; b) acciaio-ferodo, funzionamento lubrificato; c) acciaio-ferodo, funzionamento a secco. Condizioni di riferimento: p= 100 Njcm 2 ; V= 5 mjs; T= 100° C
.!!.'
' /l
Fig. 236 - Freno a dischi refrigerato. a) ferodi; b) dischi di rame; c) albero scanalato solidale al sistema rotante; d) anelli Seeger; c) supporti di acciaio; f) molla di richiamo; g) disco di pressione in fibra di vetro; h) tubo attuatore in neoprene; i) passaggi per l'aria di raffreddamento; j) passaggi per il refrigerante (Wichita Clutch Company)
____ --;::--_--
321
320 TI fatto che il materiale costituente i due dischi contro cui strisciano i ferodi sia rame assicura una notevole capacità di trasmissione del calore dalla superficie di attrito a quella lambita dal refrigerante; il freno viene inoltre refrigerato sulla superficie esterna con l'ausilio di una opportuna circolazione di aria ottenuta mediante i passaggi radiali i. Adottando tutti gli accorgimenti sopra esposti, il freno riesce a dissipare potenza meccanica nella misura di 35 W per ogni cm 2 di superficie di attrito, mentre la portata di refrigerante è approssimativamente di 0,6 1/min per ogni kW di potenza meccanica dissipata nel freno e la velocità periferica massima t.ra le superfici di attrito non supera in genere i 30 m/s.
8.9 - Freni elettromagnetici
8
-, 7
.......~
mentali della SAE, risultati che forniscono, per quindici operazioni successive, il rapporto tra il valore medio della forza di comando necessario per ottenere l'arresto di un veicolo viaggiante alla velocità iniziale di 100 km/h, ed il valore medio della forza corrispondente alla prima frenatura. Come si può osservare dal grafico della Fig. 237, il freno a disco, avente una maggiore capacità di trasmissione del calore, presenta, a conferma di quanto in precedenza esposto, un aumento di forza necessaria sul pedale minore di quello relativo ad un freno a tamburo.
Per ottenere la dissipazione dell'energia cinetica di un sistema meccanico si può ricorrere, oltre che all'effetto derivante dalla presenza dell'attrito tra due superfici in moto relativo, ad altri metodi, principalmente di natura elettrica ed elettromagnetica; questi sono:
l 1\ ,/ \
4
l
~ 3
::
1 ...,......... ~
/ 3
.
.
5
~
v
./'
7
9
Numero di arresti
7
- freni a correnti parassite;
\/
- freni ad isteresi; - freni a particelle magnetiche.
a)
11
13
15
-
Fig. 237 - Aumento dello sforzo medio sul pedale di un freno per autoveicolo in funzione del numero degli arresti successivi: a) freno a disco; b) freno a tamburo Come si è visto, una buona trasmissione del calore dal freno verso l'esterno, oltre che impedire l'eccessivo aumento di temperatura nel freno e quindi il suo danneggiamento, serve a far sì che il coefficiente di attrito fra i materiali che strisciano si mantenga costante durante più frenature successive. A questo riguardo vengono qui riportati i risultati di una serie di prove speri-
I freni ad isteresi, usati in applicazioni di piccolissima potenza, sono costituiti da uno sta.tore cilindrico fisso, che porta sulla sua superficie esterna tanti poli magnetici l'uno di polarità opposta ali 'altro, e da un anello cilindrico di materiale ferromagnetico, solidalmente collegato al sistema meccanico da frenare, la cui superficie interna è affacciata ai poli dello statore. Quando si genera un campo magnetico, ogni punto dell'anello rotante incontra in istanti successivi poli dello statore aventi, come si è detto, polarità opposta ed i fenomeni di isteresi che ne derivano creano di conseguenza una coppia frenante agente sull'anello stesso. In tali freni la coppia resistente è evidentemente proporzionale all'intensità della corrente che attraversa gli avvolgimenti dello statore, e questa proprietà li rende particolarmente adatti ad applicazioni speciali quali quelle riguardanti i dinamometri utilizzati per la misura di forze di piccola intensità. I freni a correnti parassite consistono essenzialmente di un rotore e di uno statore coassiali privi di contatto diretto, e lo statore porta un avvolgimento percorso da corrente continua. La presenza del campo magnetico
323
322
dovuto al passaggio della corrente attraverso lo statore genera delle correnti parassite nel rotore, che ne risulta di conseguenza frenato. L'intensità della coppia frenante è, in tali freni, proporzionale sia alla velocità angolare relativa fra rotore e statore, sia all'intensità della corrente che percorre l'avvolgimento e pertanto, poichè a rotore fermo si ha ovviamente coppia resistente nulla, i freni a correnti parassite vengono unicamente utilizzati per creare coppie resistenti al moto e non, ad esempio, per mantenere un carico in condizioni statiche. I vantaggi dei due tipi di freno ora descritti consistono principalmente . nel non presentare superfici striscianti e nel possedere di conseguenza una vita notevolmente maggiore di quella relativa ad altri tipi di freni. I freni a particelle magnetiche sono invece costituiti da due dischi magnetici tra i quali è interposta una miscela lubrificante contenente delle particelle magnetiche. Variando la corrente di eccitazione dei due dischi magnetici, si varia di conseguenza il valore del coefficiente di attrito equivalente della miscela contenente le particelle magnetiche, riuscendo così a creare coppie resistenti di intensità variabile da zero fino ad un massimo dipendente dall'intensità della corrente eccitatrice e dalle dimensioni geometriche del freno.
8.10 - Freni a fluido
- pompe centrifughe - pompe volumetriche.
Nelle pompe cèntrifughe il fluido aspirato viene portato ad elevata velocità da parte di una girante opportunamente sagomata, di solito fornita di un certo numero di palette, e successivamente, in un diffusore, l'energia cinetica viene convertita in energia di pressione.
--i::::=:=:::::._..J
I freni a fluido sono dispositivi nei quali la coppia frenante viene fornita da una pompa che, funzionando, fa circolare un fluido entro un impianto nel quale viene dissipata quindi l'energia meccanica fornita all'asse della pompa. Lo schema di base dell'impianto che costituisce un freno a fluido è illustrato nella Fig. 238. La pompa è collegata meccanicamente all'organo rotante che deve essere frenato. La pompa, ruotando, fa circolare nell'impianto una portata di fluido e, in funzione delle caratteristiche della pompa e del circuito idraulico, si stabilisce alla mandata della pompa una pressione p1 • Indicando con po la pressione del fluido nel serbatoio (pressione di aspirazione della pompa), con w la velocità angolare della pompa e con 77 il suo rendimento, la coppia all'asse della pompa è:
(2.174)
Le pompe impiegate nei freni a fluido _possono essere:
C= Q(pl- Po) 7]W
.Serbatoio
Fig. 238 - Freno a fluido: schema del circuito
Nelle pompe centrifughe la portata, la pressione e la velocità angolare della pompa sono mutuamente dipendenti e sono legate tra loro da relazioni rappresentate da curve caratteristiche del tipo rappresentato nella Fig. 239. In questa figura sono anche riportate le curve pressione-portata che caratterizzano la resistenza idraulica del circuito al variare dell'area di passaggio attraverso la valvola (Fig. 238). Al diminuire dell'area di passaggio la resistenza Rv aumenta ed aumenta la pressione richiesta a parità di portata. Variando l'apertura della valvola è quindi possibile ottenere un diverso punto di funzionamento a parità di velocità angolare, e quindi una diversa coppia all'asse della pompa. Nelle pompe centrifughe la separazione fra le zone ad alta e a bassa
. 324
325
pressione è ottenuta dal fluido stesso che viene pompato e non da elementi meccanici, per cui è possibile far ruotare la girante della pompa anche con la mandata completamente chiusa. In questo caso il fluido ricircola nell'interno della pompa stessa, mantenendo una differenza di pressione fra aspirazione e mandata. Pressione differenziale (p,- Po)
{
(2.175)
Q=
D.
-WTJv
271'
C= .D.(pl - Po) 211''1/m
dove: '1/v è il rendimento volumetrico della pompa, inferiore a uno a causa dei trafilamenti interni; '1/m è il. rendimento meccanico della pompa, inferiore a uno a causa degli attriti interni. n rendimento globale della pompa è dato dal prodotto 'T/v'T/m, infatti si ha: (2.176)
Caratteristiche della pompa
TJ
=
Q(pJ - Po) Cw
= 7]v'1/m
A causa dell'altissimo rendimento volumetrico, le pompe volumetriche hanno caratteristiche pressione-portata quasi verticali, come riportato nella Fig. 240.
Portata Q
Fig. 239 - Caratteristiche di un freno fluido con pompa centrifuga
Pressione differenziale
Nelle pompe volumetriche il fluido viene trasportato in volumi determinati dalla zona di aspirazione {bassa pressione) a quella di mandata (alta pressione). Nelle pompe volumetriche i trafilamenti interni sono molto piccoli, per cui la portata è quasi indipendente dalla pressione, ma è funzione quasi esclusivamente della velocità angolare, nonchè delle caratteristiche della. pompa. A ca.u.sa. dei minimi trafilamenti interni il rendimento delle pompe volumetriche è sempre alto (mediamente O, 9), contrariamente a quello delle pompe centrifughe che, a seconda delle condizioni di esercizio, varia tipicamente tra O, 5 e O, 7. Per le pompe volumetriche si definisce cilindrata il volume teorico di fluido trasportato dalla aspirazione alla mandata per ogni giro della pompa. Indicando con D. la cilindrata, con p 0 la pressione di aspirazione, con p1 quella di mandata, con Q la portata, con w la velocità angolare della pompa, con C la coppia richiesta all'asse della. pompa, si hanno le seguenti relazioni:
P1 -Po
Caratteristiche della pompa
Portata Q
Fig. 240 - Caratteristiche di un freno a fluido con pompa volumetrica
327
326
n punto di intersezione fra la caratteristica della pompa e quella del circuito determina il punto di funzionamento, e quindi la pressione differenziale (p1 - po), nota la quale si può calcolare la coppia all'asse della pompa in base alla seconda delle (2.175). I freni a fluido presentano, rispetto ai freni ad attrito, due incovenienti: sono più ingombranti e costosi, e non sono in grado di esercitare una coppia frenante in condizioni statiche. Ciò poichè l'azione frenante è dovuta alla resistenza al moto di un fluido in un circuito, resistenza che viene quindi a cessare se la pompa è ferma. Un importante vantaggio dei freni a fluido è, invece, quello di poter regolare con precisione la coppia frenante, operazione che risulta invece difficoltosa nei freni ad attrito. Per tale ragione i freni a fluido sono sovente impiegati nei banchi di prova motori, dove occorre generare una coppia frenante regolabile con precisione e mantenibile costante nel tempo. Inoltre, nei freni a fluido l'energia meccanica trasformata in calore può essere facilmente trasmessa all'ambiente esterno facendo passare il fluido caldo attraverso uno scambiatore di calore.
rotazioni in verso orario, ma non in verso antiorario. Ad una seconda categoria di arresti appartengono gli arresti ad attrito, un esempio dei quali è riportato nella Fig. 242. Ìn esso la ruota S ed il nottolino N vengonQ a contatto nel punto H: se S ruota in verso orario, si osserva che la coppia resistente alla quale essa è soggetta è molto piccola, in quanto la forza tangenziale di attrito che si origina al contatto ruota-nottolino dipende unicamente dall'intensità della piccola forza che la molla M trasmette al nottolino stesso in modo da mantenerlo leggermente premuto contro la ruota. Se invece S ruota in verso antiorario, la forza tangenziale di attrito Fr dà luogo ad un momento rispetto al centro del perno del nottolino che origina un aumento della componente normale della forza scambiata in H ed un conseguente aumento della forza tangenziale Fr stessa. Si verifica cioè un fenomeno di impuntamento che porta in definitva all'arresto della ruota S.
8.11 - Arresti Gli arresti altro non sono che particolari meccanismi ai quali viene affidata la funzione di impedire il moto tra due elementi prescindendo àall'intervento di un comando esterno. Gli arresti sono quindi costituiti in prevalenza da meccanismi di non ritorno, ossia da quei meccanismi che consentono il moto in un dato verso di rotazione, ma non nel verso opposto. Una prima categoria di arresti è costituita dagli arpionismi (Fig. 241), già esaminati nel capitolo riguardante i meccanismi nella loro qualità di organi atti a trasformare un moto continuo in un moto intermittente, e che qui invece sono semplicemente costituiti da una ruota dentata, solidale al sistema in moto, e da un nottolino, incernierato nel punto A, che consente Fig. 241- Arpionismo
Fig. 242- Arresto ad attrito
Una terza categoria di arresti è quella costituita dagli arresti a molla nei quali una molla M viene montata con una certa interferenza su di un albero :fisso (Fig. 243), mentre l'estremità H della molla stessa viene accoppiata al sistema meccanico che deYe essere arrestato. Se l'estremo H viene mosso
329
328
nel senso indicato dalla freccia continua, è chiare che l'interferenza iniziale della molla viene ad essere interamente recuperata e che- tutto il sistema può liberamente ruotare attorno al proprio asse presentando unicamente un piccolissimo fenomeno di attrito. Se invece l'estremo H della molla è mosso nel verso indicato dalla freccia tratteggiata, è evidente che la molla viene ulteriormente serrata sull'albero e che il punto H si sposta solo di una distanza molto piccola, corrispondente all'allungamento elastico della molla, provocando di conseguenza l'arresto del sistema ad esso collegato. Se si indicano con E il modulo di elasticità del materiale costituente la molla, con J il momento di inerzia geometrico della sezione della molla, con r il suo raggio medio e con ~ro l'interferenza iniziale, il momento Mo che deve essere applicato per ricondurre l'interferenza a zero, nel caso in cui H si muova nel verso indicato dalla freccia continua., è dato da: (2.177)
e questo è perciò il valore del momento resistente incontrato dal sistema durante la rotazione della molla sull'albero.
r
Fig. 243 - Schema di arresto a molla
Quando invece il sistema tende a spostare H secondo la freccia tratteggiata (Fig. 243), la molla si comporta come un freno a nastro capace di fornire una coppia frenante massima pari a: (2.178)
dove M 0 è dato dalla (2.177), n è il numero di spire della molla ed f il coefficiente di attrito. Questo tipo di arresto si comporta quindi come tale solo a patto che non lo si sottoponga ad una coppia di intensità 'maggiore di quella data dalla (2.178). Oltre quest6 limite infatti la molla, pur continuando a fornire una coppia resistente di intensità pari a Mmax, striscerebbe sull'albero e l'accoppiamento perderebbe quindi la peculiare caratteristica degli arresti.
9. INNESTI
9.1 - Caratteristiche degli innesti
Gli innesti costituiscono una particolare categoria di accoppiamenti aventi, come i giunti, lo scopo di trasmettere il moto rotatorio tra due alberi coassiali, ma dotati, al contrario di questi, della possibilità di attivar.e o disattivare, mediante un opportuno comando, il collegamento da essi realizzato. È opportuno osservare, prima di passare ad una più dettagliata descrizione dei vari tipi di innesti, che essi presentano la caratteristica di dissipare sempre, durante la fase del loro inserimento tra due alberi appartenenti ad un sistema meccanico, una certa quota parte dell'energia meccanica del sistema stesso, e che l'entità dell'energia dissipata dipende, in generale, sia dalle coppie agenti sul sistema, sia dalla durata dell'operazione di innesto. Con riferimento alla Fig. 244, si supponga infatti che l'elemento l dell'innesto sia collegato all'albero motore, che l'elemento 2 sia collegato all'albero condotto e che siano inoltre w 10 ed w20 i valori delle velocità angolari iniziali dei due elementi (ossia prima dell'inizio dell'operazione d'innesto), WJ il valore comune della loro velocità angolare al termine dell'operazione stessa, Cm la coppia motrice, Gr quella resistente, h ed ! 2 i momenti di inerzia delle masse rotanti solidali ai due alberi e 19 1 e 19 2 i valori generici degli angoli descritti dagli alberi stessi. La quantità di lavoro .c1 dissipata durante l'operazione di innesto può allora essere calcolata applicando il teorema dell'energia cinetica; in base ad esso si ha infatti:
ed integrando questa operazione per tutta la durata. r dell'operazione di in-
333 332
da cui si ricava in definitiva:
nesto si .ottiene:
c,= ~[Itwi 0 + I2w~o- (ft + I2)w}]+ (2.179)
+
1
Cm wl dt -
1
Crw2dt
ed il lavoro perso durante l'operazione di innesto assume di conseguenza, in questo caso particolare, l'espressione data da: (2.180)
9.2 - Innesti a denti
Fig. 244 - Innesto tra due alberi
Quale caso particolare di quello generale ora visto può considerarsi quello in cui le coppie agenti sui due alberi siano entramb: n~lle, oppure Ilo in cui il tempo di innesto sia talmente breve da consenttre dt trascurare d' · · que li integrali a secondo membro della (2.179). In entrambe queste con JZJOlll ~ lavoro perso durante l'operazione di innesto è dato, sempre in base alla (2.179), da:
c, = ~ [ftwr0 + I2w~o- (It + I2)w]J mentre la velocità angolare finale del sistema complessivo è facilmente ricavabile scrivendo una equazione di equilibrio alla rotazione del sistema stesso, equazione data: da: Cm+Cr
dff = dt
Integrando quest'ultima equazione si avrà infatti, nell'ambito delle ipotesi prima esposte: H;niz
ossia:
= Hfin
Gli innesti a denti rappresentano il tipo più semplice di innesti realizzato nelle applicazioni pratiche. Rispetto agli innesti ad attrito, ai quali verrà dedicato il paragrafo successivo, essi si presentano, a parità di coppia trasmessa, notevolmente più piccoli, leggeri ed economici; essi inoltre non richiedono, al contrario di quelli ad attrito, una regolazione periodica per ovviare al consumo, e la frequenza con la quale possono essere inseriti e disinseriti è estremamente elevata in quanto, essendo i tempi di innesto brevissimi il lavoro dissipato durante ogni operazione di innesto è dato dalla (2.180) e si presenta pertanto sensibilmente minore di quello relativo ad un innesto ad attrito di pari caratteristiche. Gli innesti a denti presentano però diversi inconvenienti, e tra questi due sono i principali: a) essi possono essere inseriti solo a velocità molto basse, in quanto in caso contrario sorgerebbero durante l'operazione di innesto urti di intensita inaccettabili; b) essi non possono in genere essere inseriti a velocità nulla; l 'operazione di innesto infatti deve essere quasi sempre effettuata in presenza di una piccola velocità angolare relativa tra i due elementi dell'accoppiamento. Gli innesti a denti si suddividono essenzialmente in tre tipi differenti; esistono infatti innesti a denti rettangolari, a denti a spirale e a denti trape::oidali. Gli innesti a denti rettangolari non sono molto diffusi: essi sono utilizzati generalmente solo per applicazioni a bassa velocità (meno di 100 giri/min) e
334
per essi l'operazione di innesto avviene di norma in un campo di velocità compreso tra i 2 ed i lO giri/min. Gli innesti a denti a spirale vengono usati per velocità maggiori di quelle relative al caso precedente e l'operazione di innesto può avvenire per essi a velocità comprese fra i 2 ed i 150 giri/min. Gli innesti a denti trapezoidali, infine, sono realizzati in genere mediante molti denti p~sti sulla faccia di due dischi contrapposti, dischi che vengono di solito inseriti tra loro utilizzando un comando elettromagnetico, e l'operazione di innesto può svolgersi, a seconda dei tipi, a velocità comprese tra i 60 ed i 300 giri/min.
335
alberi al termine dello slittamento e la quantità di lavoro dissipato dipendono sia dal valore della coppia trasmessa per attrito dalla frizione, sia dai valori delle coppie esterne agenti sui due alberi, da quelli dei loro momenti di inerzia e da quelli delle loro velocità. angolari iniziali. Con riferimento alla Fig. 245
9.3 - Innesti ad attrito
Gli innesti ad attrito, detti comunemente frizioni, costituiscono il tipo di innesti più comunemente utilizzato in campo meccanico. Essi sfruttano il fenomeno dell'attrito esistente tra due superfici a contatto per poter trasmettere una certa coppia fra due elementi rotanti a queste collegati, e possono pertanto essere utilizzati per operazioni di innesto che debbano avvenire anche ad alta velocità. ed in presenza di carichi notevoli. Quando infatti i due elementi della frizione aventi diversa velocità angolar~gono-poFtati-ar-conta@_,_ si ongma nell'accoppiamento una coppia di a~.a della forza con cui i due elementi vengono premuti l'uJ:!o contro l'altro, sia della geometria della frizione stessa, sia infine del valore del
c~ffi:cfente dC~ttrito relati~-~l.la_f.QPQia-~-~ateriajT;_--;;-~~Và:Osser
vato che, se quest'liftimo è costante o comunque diro~o variabile in modo da poter essere sostituito con buona approssimazione dal suo valor medio, anche la coppia trasmessa per attrito tra le due superfici della frizione si mantiene costante. Una volta che i due elementi della frizione hanno raggiunto la stessa velocità angolare, si passa da una fase di trasmissione della coppia per attrito dovuto allo strisciamento ad una fase di trasmissione della coppia per aderenza fra le due superfici, ed è ovvio che in queste condizioni la coppia trasmessa attraverso la frizione può assumere valori qualsiasi purchè questi si mantengano entro il limite massimo stabilito dalle condizioni di aderenza. La durata dell'operazione di innesto, la velocità angolare comune ai due
:~h'::~:::,~·:~·.: Fig. 245 - IiméSto. ad· attrito
si considerino infatti i due elementi d~ll~:.frlzione collegati rispettivamente l'uno all'albero motore, avente velocità inizi~e w 0 , e l'altro all'albero condotto, inizialmente fermo, e si supponga ad esempio che il motore fornisca una coppia di intensità costante Cm e che l'utilizzazione origini una coppia resistente di intensità Cr proporzionale al quadrato della sua velocità angolare. Se si indica con c, l'intensità della coppia trasmessa per attrito tra i due elementi della frizione, si è allora in grado di scrivere le equazioni di equilibrio dell'albero motore e di quello condotto, equazioni date rispettivamente dalle:
Cm
-c, - I1 d~1
=O
(2.181) {
Cf- Cr
-I~• dw2 dt
=O
Poichè nell'ambito delle ipotesi assunte Cm e c1 sono costanti, si ricava dall'integrazione della prima delle (2.181) che la velocità angolare dell'albero motore, inizialmente pari a w0 , varia durante l'operazione di innesto in fun-
336
337 L'andamento nel tempo delle velocità. angolari dell'albero motore e dell'albero condotto, per il caso di innesto ad attrito precedentemente esaminato è qualitativamente riportato nel grafico della Fig. 246 in cui le curve l, 2 e 3 rappresentano rispettivamente le (2.182), (2.183) e (2.184).
zione del tempo t secondo la: (2.182) Dalla seconda delle (2.181), tenendo conto del fatto che Cr = Co+ kwi e che w2 è inizialmente nulla, si ottiene, dopo alcune semplificazioni, l'espressione. che fornisce, in funzione del tempo t, la legge di variazione della velocità. angolare w 2 dell'albero condotto. Si avrà. pertanto:
w
(2.183) Uguagliando tra loro la (2.182) e la (2.183) si ricava una equazione nella variabile t che, una volta risolta., fornisce il valore del tempo t• relativo all'istante terminale della fase di innesto, ed è ovvio che la corrispondente velocità. angolare w* comune ai due mer,nbri dell'accoppiamento è quindi ottenibile ponendo t= t• indifferentemente nella. (2.182) o nella. (2.183). Una volta terminata la fase di slittamento, gli alberi motore e condotto posseggono, come si è visto, la stessa velocità. e l'equazione del moto del sistema in esame, per istanti corrispondenti a valori di t maggiori di t•, è data da: ~
dw
Cm -Co - kw- - (11 + /2) dt
=O
Procedendo all'integrazione di questa equazione differenziale, e ricordando che per t = t* si ha w = w*, si è in grado di ricavare, dopo alcuni passaggi, che la velocità angolare ~ del sistema complessivo ad un istante t generico successivo a quello corrispondente al termine della fase di innesto è data da: (2.184)
l (l - a (1
w-
+ aw* )e(t-t.)/T - (l - aw•) + aw•)e(t-t•)jT- (1- aw•)
dove:
{
a-
7
= 2jk(Cm- Co)
Fig. 246 - Velocità degli alberi motore e condotto in un innesto ad attrito
La quantità di lavoro dissipata durante l'operazione di innesto della frizione è calcolabile sia mediante la (2.179) sia osservando che, essendo in questo caso la fonte della dissipazione dovuta unicamente all'effetto dell'attrito esistente tra gli elementi della frizione stessa, essa vale di conseguenza:
(2.185)
dove al posto di w 1 ed w 2 debbono èssere ovviamente sostituite le rispettive espressioni fornite dalla (2.182) e (2.183). Va infine osservato che si è finora ipotizza.to di conoscere il valore c1 della coppia trasmessa dall'innesto grazie alla presenza dell'attrito esistente tra le due superfici a contatto dell'accoppiamento, ma che d'altro canto non se ne è mai fornita una sua espressione esplicita. Nei paragrafi successivi verranno pertanto esaminati diversi tipi di frizioni in modo da poter ricavare per ciascuno di essi il rispettivo valore della coppia c, trasmessa durante la fase
339
338
di innesto in funzione e delle caratteristiche geometriche dell'accoppiamento e delle forze ad esso applicate.
9.4 - Frizioni radiali
Dohmen-Leblahc (Fig. 247): esso è infatti costituito da quattro pattini P, solidali all'albero motore, che possono scorrere in direzione radiale; spostando il collare Gin direzione assiale la molla M viene compressa ed esercita di conseguenza una forza in direzione radiale che serra i quattro pattini dell'innesto nelle corrispondenti gole ricavate nella campami. E.
Nelle frizioni radiali i due elementi costituenti la frizione vengono portati a contatto, durante l'operazione di innesto, mediante uno spostamento relativo tra le rispettive superfici di attrito in direzione radiale. Le frizioni radiali possono essere a tamburo, ed in tal caso esse hanno un aspetto identico a quello dei freni a tamburo, oppure a gole, ed in questo caso esse sono costituite da più pattini collegati ad un albero ed aventi tutti una superficie esterna sagomata in modo tale da poter essere inseriti, durante il funzionamento, entro una o più gole corrispondenti ricavate sulla superficie interna di un cilindro solidale all'altro albero dell'accoppiamento.
Fig. 248- Forze agenti sui pattini dell'innesto Dohmen-Leblanc Si consideri ora uno dei pattini costituenti l'innesto (Fig. 248), e si supponga che la forza radiale S con la quale viene premuto ogni pattino sia egualmente suddivisa fra le varie gole che lo costituiscono. Se si indicano con N la forza agente in direzione radiale in ogni gola e con a l'angolo di apertura della gola stessa, si ha ovviamente che l'intensità della forza N' scambiata fra le singole superfici a contatto è data da: Fig. 247- Innesto Dohmen-Leblanc L'applicazione di questo tipo di frizioni è limitato a soluzioni tecniche implicanti basse velocità di rotazione degli alberi del sistema, in quanto, per valori elevati della loro velocità angolare le forze centrifughe agenti sui pattini diverrebbero di intensità tale da provocare fenomeni non trascurabili di disturbo durante l'operazione di disinnesto. Un tipico esempio di innesto radiale a gole è riscontrabile nell'innesto
N= 2N'sin ~ 2
Ft
mentre la forza tangenziale di attrito F
,
t
ha un'intensità data da: !N
= 21 N = sin(a-/2)
dove j3 rappresenta al solito il valore del coefficiente di attrito relativo alla coppia di materiali costituenti le superfici a contatto dell'innesto.
341
340
Se S è l'intensità della forza radiale agente su ciascun pattino (va osservato che S ed N sono uguali solo nel caso che il pattino sia costituito da un'unica gola), n il numero dei pattini e d il loro diametro medio, l'intensità della coppia totale c1 trasmessa per attrito dalla frizione risulta in definitva espressa dalla: C
1
=
accostamento rigido; l'unica differenza consiste nel fatto che nel caso della frizione la superficie di attrito si estende per l'intero giro e che, sempre nel caso della frizione, entrambi i dischi costituenti l'accoppiamento sono contemporaneamente in rotazione durante la fase di innesto.
njSd 2sin(a/2)
_ _ _ ,.,.,oferro Pacco lamellare
mentre la pressione p esistente in un punto generico dell'accoppiamento, nell'ipotesi che essa si distribuisca sulle superfici di contatto, vale: 2N' b{3d
p=-=
IO
1
Corpo es1ernu
2
Corpo tnterno porta-bobina
3
Bussola
5
Ghtera O• regotaz•one
7
Lamelle esterne
8
Lamelle tnterne
hPO S • in olio
acciaio/bronzo sintenzzato
S ibd{3 sin( a /2)
dove {3 rappresenta l'angolo di apertura del pattino ed i il numero di gole presenti in ogni pattino.
t
D•sco distanziatore
10
Anello collettore
11
Anello tsolante
12
Dtsco •sotante
14
Bobtna
9.5 - Frizioni assiali
Le frizioni assiali sono costituite da due o più dischi che vengono collegati l'uno all'altro in direzione assiale. Nella loro realizzazione più semplice esse sono schematizzabili mediante due soli dischi, solidali a.i due alberi da collegare, uno dei quali porta del materiale di attrito simile a quello utilizzato nei freni; serrando l'uno contro l'altro i due dischi con l'ausilio di una forza assiale N si ottiene, grazie alla presenza dell'attrito esistente fra le due superfici a contatto, una coppia di intensità c1 (Fig. 249) all'interno della frizione.
Pacco lamellare
15
Perno d• gutda
11
Nollohno d• press•one
17
Molla di distacco
18
Lamella anterna schermata
tipo T • a secco • acciaio/textar
Fig. 250- Frizione assiale a dischi multipli con comando elettromagnetico (StrornagMarzorati, Milano)
Fig. 249 - Schema di frizione assiale semplice monodisco
Supponendo perciò valida l'ipotesi di Reye sul consumo del materiale per attrito, ed indicando con N il valore della forza assiale che preme le due superfici di attrito, con fil valore del coefficiente di attrito relativo a.i materiali a contatto e con r; ed re i raggi interno ed esterno della zona di contatto, si ha dalla (2.171) che la coppia trasmessa per attrito vale in definitiva:
Una frizione assiale semplice è perciò identica ad un freno a disco ad l
12.
JACAZIO~PIO:\IBO-
La trasmissione del moto
343
342 mentre l'intensità della coppia trasmessa per attrito, se ' è data a sua volta da: dente di attrito, (2.186) (2.188)
e che la pressione p in un punto generico P dell'accoppiamento situato al raggio generico r vale: p
N = -::----:---..,.. 27rr(r e - r;)
C
= t1rpbd =
tNd
2
2sina:
2
1
t
è al solito il coeffi-
e da questo si vede che se la frizione è piana, ossia se a:= 1rj2, si ritrova per c1 l'espressione fornita dalla (2.186).
Quando si debbono trasmettere coppie elevate, le frizioni assiali, anzichè essere costituite semplicemente da due sole superfici di attrito, sono formate da numerosi dischi (alcune realizzazioni prevedono addiritura l'impiego di 60 dischi) collegati alternativamente con l'albero motore e con l'albero condotto (Fig. 250). I dischi, tutti mobili assialmente, a frizione inserita vengono tutti premuti uno contro l'altro mediante la stessa forza assiale N e pertanto, se i è il numero totale delle superfici di attrito che vengono a contatto durante l'operazione di innesto, la coppia trasmessa durante l'operazione stessa dalla frizione ha intensità pari a: C j=Z'tNr. + r;-2
Fig. 251 -Schema di frizione conica
9.6 - Frizioni coniche Nelle frizioni coniche (Fig. 251) le superfici che trasmettono la coppia per attrito hanno la forma di un tronco di cono. Si riesce in tal modo ad ottenere, a parità di forza assiale con la quale vengono serrati .i due elementi della frizione, una coppia trasmessa per attrito di intensità molto superiore a quella relativa ad una frizione assiale-semplice. Se si indicano infatti con d il diametro medio della frizione, con a: l 'angolo di semiapertura del cono, con p la pressione, supposta uniforme, esistente tra le due superfici a contatto e con N l'intensità della forza assiale con cui i due elementi vengono premuti tra loro, si ha: (2.187)
N
=1rpbd sin a:
È opportuno ora osservare che se N è la forza necessaria a mantenere premuti i due coni della frizione quando si vuole trasmettere la coppia Cf, la forza N' necessaria ad innestare i due coni risulta maggiore della N stessa. Quando i due coni vengono premuti uno contro l'altro infatti, danno luogo ad un moto di strisciamento relativo lungo le loro generatrici di contatto con conseguente nascita, lungo le generatrici stesse, di azioni tangenziali di attrito pari in ogni punto a tP (Fig. 252); l'effettiva forza N' necessaria ad innestare i due coni ha pertanto un'intensità pari a: N'
=1rbdp(sin a:+ t cosa:)
ossia, in base alla (2.187), essa vale in definitiva: 1Y'
=N(l + tftga:)
344
345
Dall'esame della (2.188) si nota chiaramente, a conferma di quanto in precedenza anticipato, che le frizioni coniche sono in grado di trasmettere una coppia molto maggiore, a parità di altre condizioni, di quella trasmissibile dalle frizioni piane. Ciò, pur potendo da una parte costituire un vantaggio, fa sì però che anèhe le accelerazioni del sistema, e quindi le relative coppie di inerzia, siano molto superiori a quelle presenti nelle frizioni piane e proprio per questo motivo le frizioni coniche, ampiamente usate in passato, sono ora prevalentemente destinate ad applicazioni implicanti piccole potenze e basse velocità periferiche.
Ad ogni pattino è inoltre collegata una molla che lo assoggetta ad una forza di richiamo di intensità FM pari a: FM
= Fo+ kx
d
Fig. 253 - Frizione a forza centrifuga Fig. 252 - Forze scambiate tra. le superfici di una frizione conica durante il loro avvicinamento
9. 7 - Frizioni a forza centrifuga
Le frizioni a forza centrifuga sono costituite da un certo numero di pattini rotanti~solidalmente all'albero motore e dotati della possibilità di scorrere in direzione radiale (Fig. 253). Se m è la massa di ogni pattino, h la distanza in condizioni statiche del baricentro di ogni pattino dall'asse del motore ed x il suo spostamento rispetto a questa condizione iniziale, il pattino è sottoposto, se l'albero a cui è collegato ruota ad una velocità angolare w, ad una forza centrifuga di intensità pari a:
Fc =m( h+ x)w 2
dove Fo rappresenta al solito il precari co iniziale della molla e k la sua rigidezza, e pertanto, se a è il, gioco radiale iniziale esistente tra la superficie esterna dei pattini e la superficie interna del cilindro solidale all'albero condotto, l 'operazione di innesto avrà inizio ad una velocità angolare w0 dell'albero motore pari a: wo
=
(Fo + ka) (h+ a)m
mentre per velocità angolari maggiori di wo la frizione trasmetterà una coppia di intensità c1 pari a::
c1 = i~d [m( h+ a)w
2
-
(Fo
+ ka)]
dO\·e al solito i rappresenta il numero di pattini presenti nella frizione, d il loro diametro medio ed f il coefficiente di attrito relativo ai materiali a contatto.
346
347
Un altro tipo di innesto a forza centrifuga, sovente denominato innesto a fluido secco, è costituito da tanti elementi centrifughi, realizzati con piccolissime sfere di acciaio, contenuti entro un involucro solidale al motore. Quando il motore inizia a ruotare, la forza centrifuga sospinge le sferette d'acciaio verso la periferia del loro involucro in modo da comprimerle tra questo ed un rotore, costituito da un disco sagomato, solidale all'utilizzatore. La Fig. 254
poso, leggermente sollevata rispetto ai due mozzi A e B solidali rispettivamente all'albero motore S ed all'utilizzatore. Entrambe le estremità della molla sono piegate in modo da formare due linguette che vanno ad impegnarsi rispettivamente nel mozzo B e nE'l collare C, collare che costituisce inoltre l'armatura di un elettromagnet"e il cui avvolgimento E è situato nell'involucro fisso ed è alimentato mediante i due cavi H.
Fig. 254- Innesto centrifugo a sferette di acciaio (Dodge, Mfg. Comapny)
illustra per l'appunto una realizzazione pratica di questo particolare innesto a forza centrifuga, in cui l'albero motore è collegato ad un involucro doppio mediante un giunto elastico, mentre l'albero condotto porta due rotori sagomati che vanno ad alloggiare nelle rispettive gole dell'involucro. Fig. 255 - Innesto a nastro con comando elettromagnetico
9.8 - Innesti a nastro Gli innesti a nastro differiscono da quelli sinora esaminati in quanto presentano la caratteristica di essere unidirezionali, ossia di essere in grado di funzionare solo per un determinato verso di rotazione. Nelle versioni più recenti essi sono costituiti da una molla elicoidale M (Fig. 255) a sezione rettangolare la cui superficie interna è, in condizioni di ri-
Quando l'avvolgimento non è percorso da corrente, il collare C risulta libero e la molla M, le cui spire si avvolgono in parte sul mozzo A ed in parte .sul mozzo B, si mantiene sollevata rispetto alla superficie dei mozzi stessi. Poichè, come si è visto, gli estremi nella molla sono impegnati rispettivamente nel mozzo B, solidale all'utilizzatore, e nel collare C, ne consegue che, in mancanza di corrente nell'avvolgimento dell'elettromagnete, tutti e tre questi elementi ruotano assieme all'utilizzatore, oppure mantengono una posizione di quiete se quest'ultimo è fermo.
348 Se si provvede invece ad alimentare opportunamente gli avvolgimenti dell'elettromagnete, questo attira verso di sé il collare C, portandone la superficie Z a contatto del mozzo A e rendendo di conseguenza il collare C e la linguetta L della molla solidali all'albero motore. n secondo estremo della molla è d'altro canto sempre solidale al mozzo B, e la molla pertanto in queste condizioni si allunga, il suo diametro si riduce e le sue spire infine vengono premute contro le superfici cilindriche dei due mozzi realizzando così il collegamento tra i due alberi. La forza che l'elettromagnete deve esercitare è evidentemente molto piccola, in quanto essa è unicamente quella necessaria a mantenere il collare C contro il mozzo A mentre la trasmissione della coppia è affidata alla presenza dell'attrito nella zona di contatto tra la molla ed i due mozzi. Gli innesti a nastro, che possono trasmettere coppie molto elevate, presentano un tempo r di innesto molto inferiore a quello relativo alle frizioni usuali (ma superiore a quello proprio degli innesti a denti) e tale tempo inoltre non è tanto influenzato dall'entità della coppia trasmessa quanto dal valore della velocità angolare relativa dei due alberi. Gli innesti a nastro, pertanto, bene si prestano ad essere utilizzati in tutte quelle applicazioni caratterizzate da un valore del momento di inerzia dell'utilizzatore abbastanza piccolo e nelle quali si richieda una piccola durata dell'operazione di innesto. È evidente infine che, essendo il contatto tra collare e mozzo dell'albero motore assicurato dalla forza esercitata dall'elettromagnete E, è necessario alimentare l'avvolgimento dell'elettromagnete stesso anche quando l'innesto è inserito; va però precisato che una tale dissipazione di potenza, pur verificandosi per tutto il periodo di funzionamento dell'innesto, si mantiene entro limiti accettabili in quanto corrisponde a circa l Watt per ogni Nm di coppia massima trasmissibile dall'accoppiamento.
9.9 - Innesti elettromagnetici Gli innesti elettromagnetici sono analoghi ai freni elettromagnetici esaminati nel relativo paragrafo del capitolo precedente e si avranno pertanto: a) innesti ad isteresi (Fig. 256a); b) innesti a correnti parassite (Fig. 256b); c) innesti a particelle magnetiche (Fig. 256c).
349 Gli innesti ad isteresi, adatti alla trasmissione di piccole coppie (da O, 05 a lO Nm), presentano, come si è già avuto modo di osservare a proposito dei freni dello stesso tipo, la proprietà di trasmettere una coppia di intensità proporzionale alla loro corrente di alimentazione, e grazie a questa loro caratteristica essi sono pertanto principalmente utilizzati nel campo della strumentazione e nella realizzazione dei servocomandi. Elettromagnete
Fig. 256- Innesti elettromagnetici; a) ad isteresi; b) a correnti parassite; c) a particelle magnetiche
Gli innesti a particelle magnetiche sono usati in modo particolare dove esistano utilizzatori con elevati valori del momento di inerzia e sono in grado di trasmettere coppie di intensità fino a 1000 Nm. Gli innesti a correnti parassi te sono caratterizzati essenzialmente da due proprietà: quella di trasmettere una coppia proporzionale alla velocità relativa tra i due elementi dell'innesto, e quella di possedere una vita praticamente infinita. Grazie alla prima caratteristica è evidente che non è mai possibile ottenere una uguaglianza tra i valori delle velocità angolari dell'albero motore e dell'albero condotto; questi innesti trovano la loro principale applicazione come regolatori di velocità. Va osservato infine, che gli innesti a correnti parassi te sono in grado di trasmettere coppie di intensità anché. elevate, fino ad un massimo di 15000 Nm.
9.10 - Considerazioni di progetto Sia nel progetto che nella scelta di un determinato tipo di frizione occorre tenere ben presenti, così come nei freni, due fa.ttori principali, e cioè: l'entità della coppia che deve essere trasmessa e la quantità di calore generata
350
351
all'interno della frizione ad ogni operazione di innesto. Per quanto concerne il valore della coppia che può essere trasmessa dalla frizione va osservato che esso, a parità di forza di comando, dipende, come si è visto nei precedenti paragrafi, dal valore del coefficiente di attrito e dalle dimensioni geometriche della frizione stessa. È opportuno però ricordare che il valore del coefficiente di attrito può variare al variare della velocità relativa esistente tra le due superfici a contatto, come riportato nella Fig. 235. In media la coppia trasmissibile da una frizione' in condizioni stati che è di circa il 50% superiore a quella trasmissibile oltre i 5 mjs. 500 kJ/ins,
300
>
fornite, da parte dei costruttori, delle curve sperimentali che riportano, per ogni tipo di frizione, la quantità di calore massima che si può generare durante ogni operazione di innesto, in funzione del numero di innesti operati nell'unità di tempo. il grafico della Fig. 257 riporta per l'appunto la quantità massima di calore E che si può generare ad ogni operazione di innesto, in funzione del numero di innesti all'ora N, per diverse frizioni assiali a dischi multipli, ciascuna delle quali è caratterizzata dal valore della coppia massima Co trasmissibile in condizioni dinamiche. Le frizioni del diagramma di Fig. 257 hanno lamelle in acciaio-ferodo e funzionano a secco. Per frizioni con flusso d'olio di raffreddamento la capacità di smaltimento del calore aumenta. Per queste frizioni la potenza termica dissipa.bile, a frizione fredda, è in genere compresa fra l e 4 \V jmm 2 •
200 100
9.11 - Innesti di sopravanzo
50
40
o
30
,2
~
20
"" 'O
10
"'c
-~
5 4
O,
3
" 'iii
Gli innesti di sopravanzo, detti anche ruote libere, costituiscono quella particolare categoria di innesti che conse1~tono all'albero condotto di sopravanzare l'albero motore sia quando questo venga. arrestato o fatto ruotare in verso opposto a quello corrispondente al normale funzionamento dell'accoppiamento, sia quando, per effetto ad esempio di una inversione del carico agente sull'albero condotto, la velocità di questo aumenti rispetto a quella dell'albero motore. Gli innesti di sopravanzo si suddividono, da un punto di vista costruttivo, in tre tipi principali e precisamente in innesti:
i5
0,5 0,4 0,3 0,2 O,l
numero inserzioni z inserzioni/ora - - ·
Fig.257 - Dissipazione del calore in frizioni assali a dischi multipli. Funzionamento a secco. (Stromag-Marzorati, Milano)
Per ciò che riguarda la quantità di calore sviluppata invece, è sufficiente assicurarsi che essa non provochi un eccessivo aumento di temperatura nel materiale d'attrito. Volendo procedere ad una determinazione approssimata della massima temperatura raggiunta in una frizione, basta rifarsi a quanto esposto a proposito dei freni. A tale riguardo tuttavia vengono normalmente
a) a rulli; b) a camme; c) a molla.
Negli innesti a rulli, un esempio dei quali è schematizza.to nella Fig. 258-a, l'albero motore è collegato all'anello esterno E, l'albero condotto è solidale alla ruota. dentata I, i cui denti hanno fianchi rettilinei, e tra due denti successivi della ruota I trovano posto i rulli R che vengono leggermente premuti contro le superfici della ruota stessa e dell'anello E dall'azione delle molle M. Quando l 'anello esterno ruota nel verso indicato dalla figura, esso tende a far rotolare i rulli R lungo le superfici inclinate della ruota dentata I, com-
352
353
primendoli di conseguenza tra l'elemento motore e l'elemento condotto. Se si trascura la forza esercitata dalla molla, generalmente di intensità molto piccola, si può osservare che ogni rullo si trova soggetto all'azione di due sole forze, e precisamente quelle che rispettivamente gli trasmettono l'anello esterno E e la ruota dentata I. Tali forze, indicate con F nella Fig. 258b, devono essere necessariamente uguali ed opposte tra loro, e posseggono
Se poi l'anello esterno E ruota in verso opposto a quello indicato nella Fig. 258, è evidente che esso non tende più a forzare i rulli R nelle rispettive sedi, e che di conseguenza la rotazione de}l'anello stesso non influenza . minimamente quella .della ruota dentata interna I, in quanto non esiste più la possibilità di trasmettere il moto tra i due organi dell'accoppiamento.
b) a)
a)
R
!i..2 l
! ---,--l
+
Fig. 258 - Ruota libera a rulli
Fig. 259 - Innesti a camme
ciascuna una componente normale di intensità N ed una tangenziale di intensità T. Va ora innanzi tutto osservato che solo se il rapporto T/N= tg (1/J/2) risulta minore del valore del coefficiente di aderenza relativo ai materiali a contatto, la trasmissione del moto è effettivamente possibile, perchè in caso contrario il rullo striscerebbe rispetto alle superfici dell'anello esterno e della ruota dentata, alterando di conseguenza il corretto funzionamento dell'innesto. Se si suppone verificata la condizione sopra esposta e se C è l'intensità della coppia trasmessa dall'accoppiamento, la componente normale della forza scambiata tra ogni rullo e le superfici con le quali è a contatto vale ovviamente:
Gli innesti a camme (Fig. 259-a) sono invece costituiti da un anello esterno E collegato all'albero motore, da un cilindro interno I collegato all'albero condotto, e da una serie di elementi sagomati intermedi S. Se l'anello esterno E ruota nel verso indicato nella :figura, l'elemento intermedio Stende a ruotare in verso orario (Fig. 259-b) e quindi, a causa della sua forma, si impunta tra i due cilindri. Anc}le in questo caso ogni elemento S è soggetto solo all'azione di due forze uguali ed opposte e la componente normale N di tali forze vale, come per l 'innesto a rulli:
N=__!!!__ 2C • - ndtg(1/J/2) N-
dove n rappresenta il numero dei rulli R e d il diametro della superficie di contatto dell'anello esterno E.
n d tg rJ
dove C rappresenta al solito il valore della coppia trasmessa, n il numero degli elementi intermedi e d il diametro della superficie di contatto dell'anello esterno.
354 Gli innesti di sopravanzo a molla sono invece simili agli arresti a molla descritti nel capitolo precedente. In essi la molla M (Fig. 243) è montata con una certa interferenza iniziale sull'albero condotto A, e l 'estremo H è comandato dall'albero motore. Se H viene spostato nel senso indicato dalla freccia tratteggiata, la molla viene ulteriormente serrata sull'albero condotto, consentendo così la trasmissione del moto; se invece l'estremo H subisce uno spostamento nel verso indicato dalla freccia continua, là molla ruota sull'albero condotto A ed è soggetta solo a.lla coppia necessaria ad annullare l'interferenza iniziale, coppia il cui valore è fornito dalla (2.177).
Rispetto agli innesti a. rulli ed a camme, gli innesti di sopravanzo a molla si presentano più affidabili e meno costosi; essi sono soggetti tuttavia all'inconveniente, non sempre a.ccetta.bile, di dar luogo di solito ad una rotazione relativa di alcuni gradi tra. albero motore ed albero condotto durante l 'operazione di innesto.
10. TRASMISSIONI A FLUIDO
10.1 - Classificazione delle trasmissioni a fluido
Le trasmissioni a fluido sono, come dice il nome, dispositivi in cui la trasmissione della potenza meccanica avyi~l1e mediante l'interposizione di un fluido. Nelle trasmissioni a fluido la .Pot,~nz~·meccanica viene trasmessa mediante una pompa dall'albero di ingresso a un fluido, e da questo trasmessa successivamente, mediante una turbina o uri. motore, all'albero di uscita. Esistono tre tipi diversi di trasmissioni a ffuido, e precisamente: - trasmissioni idrostatiche; - trasmissioni idrocinetiche; - trasmissioni idroviscose. Le trasmissioni idrostatiche sono fondamentalmente costituite da una pompa e un motore volumetrici tra i quali circola una portata di fluido determinata dalla velocità angolare e dalla cilindrata della pompa. Le trasmissioni idrocinetiche sono invece costituite da un pompa centrifuga e da una turbina; la portata di fluido circolante dipende dalle condizioni di funzionamento di tutta la trasmissione. Le trasmissioni idroviscose utilizzano le forze tangenziali viscose che si sviluppano fra due superfici in moto relativo, con fluido interposto, per trasmettere la potenza meccanica tra un albero di ingresso ed uno di uscita.
356
357
10.2 - Trasmissioni idrostatiche
Q
ll.p
= differenza di pressione tra mandata e aspirazione della pompa = rendimento meccanico della pompa = cilindrata della pompa
wp
= velocità angolare della pompa
T/vp
= rendimento volumetrico della pompa.
épp
Le trasmissioni idrostatiche costituiscono un particolare tipo di sistema di trasmissione della potenza meccanica e sono formate da una pompa, in cui la potenza viene trasferita da un albero ad un fluido, e da un motore idraulico, dove avviene il trasferimento inverso di potenza dal fluido ad un albero rotante. Nelle trasmissioni idrostatiche, a differenza delle trasmissioni idrocinetiche, che verranno esaminate nei paragrafi 10.3, 10.4, 10.5, la pompa e il motore idraulico sono di tipo volumetrico (v. par. 8.10). Lo schema di base di una trasmissione idrostatica è rappresentato nella Fig. 260. Pompa e motore idraulico impiegati nelle trasmissioni idrostatiche sono generalmente a pistoni, radiali o assiali, e possono essere a cilindrata fissa e a cilindrata variabile.
Ps Fig. 260 - Schema di base di una trasmissione idrostatica
=portata
T/mp
In queste relazioni il rendimento meccanico T/mp tiene conto di tutte le perdite di potenza meccanica interne alla pompa: perdite dovute agli strisciamenti, in presenza di attrito, fra le parti in moto, agli effetti ventilanti dovuti alla rotazione di un corpo entro un fluido, e alle cadute di pressione nei passaggi interni della pompa. n rendimento volumetrico T/vp della pompa tiene invece conto del fluido che ricircola internamente alla pompa tra la zona ad alta pressione e quella. a bassa pressione, a causa dei trafilamenti interni. Di conseguenza, di tutto il fluido che viene pompato nell'unità di tempo: ll.pwp/27r, solo la quota espressa dalla (2.190) è utilizzata, mentre la parte rimanente costituisce una fuga interna. I rendimenti meccanico e volumetrico dipendono sia dal tipo di pompa che dalle condizioni di funzionamento. E' evidente che, a parità di altre condizioni, il rendimento volumetrico diminuisce all'aumentare della differenza di pressione poiché aumentano le fughe interne. Invece il rendimento meccanico inizialmente aumenta all'aumentare della differenza di pressione poiché la quota di coppie passive, costanti e indipendenti dalla pressione, conta percentualmente meno rispetto alla coppia totale. Per le pompe a pistoni assiali, che normalmente hanno i migliori rendimenti, i rendimenti nelle condizioni di progetto sono tipicamente:
Le relazioni fondamentali fra i parametri che caratterizzano il funzionamento delle pompe volumetriche, come già visto nel paragrafo 8.10, sono: (2.189)
c
_ll.p~
27r TJmp .6.p Q= _,, WpT)vp 2 P -
(2.190)
dove: Cp
= coppia applicata all'asse della pompa
7Jmp {
7)vp
= O, 90- O, 93 = O, 95- O, 97
Per il motore idraulico si hanno relazioni analoghe alle (2.189) e (2.190 ), solo con i rendimenti che giocano un effetto opposto, per cui, utilizzando le stesse notazioni delle (2.189) e (2.190) in cui ora il pedice m si riferisce al
359
358
motore, si ha: (2.191)
.6., l 7Jvm Q= '2;Wm
(2.192)
La differenza di pressione épm disponibile fra ingresso e uscita del motore non è, in generale, uguale alla differenza di pressione épp fra mandata e aspirazione della pompa. Ciò poiché il moto del fluido nei· condotti tra pompa e motore dà luogo a cadute di pressione. Si avrà quindi, in generale: (2.193)
dove
op0
rappresenta le cadute di pressione nelle tubazioni. Dalle (2.189), (2.191) e (2.193) si ottiene allora la seguente relazione fra le coppie all'asse della pompa e del motore: (2.194)
C p -
.6.p
.6.,
C, ---'-"'--+ -6po -.6.p l)mpT/mm
2;r
T/mp
Dalle (2.190) e (2.192) si ottiene la seguente relazione fra le velocità angolari: (2.195)
.6.p
Wm
= ~T/vpT/vmWp um
Si consideri ora il ca.so ideale di una trasmissione idrostatica priva di perdite in cui si abbia: T/mp = 7)mm = T/vp = T/vm = l e épo = O. In questo caso, le (2.194) e (2.195) diventano:
c,~ (2.196) {
:m .6.p
Cm
p w W m-~ p
deriva dal fatto che, essendo pompa e motore due macchine volumetriche, la portata di fluido circolante è, a parte le fughe, direttamente proporzionale alle velocità angolari della pompa e del motore. La presenza delle perdite (meccaniche e volumetriche) altera leggermenté il comportamento della trasmissione idrostatica. rispetto al caso ideale, p1a non ne muta sostanzialmente le caratteristiche. Se la pompa e il motore sono a cilindrata fissa, il rapporto .6.p/.6.m fra le cilindrate è evidentemente costante. Se invece, la pompa, o il motore, o entrambi contengono un dispositivoin grado di farne variare la cilindrata, la trasmissione idrostatica diventa a rapporto di trasmissione variabile e realizza di conseguenza un variatore continuo di velocità. In molte applicazioni la pompa è collegata al motore primo che fornisce la potenza meccanica e ruota a velocità angolare costante, o quasi costante; facendo variare la cilindrata .6.r della pompa dal massimo fino a zero si ottiene la possibilità di diminuire la velocità angolare del motore, fino ad annullarla. Quando la velocità angolare del motore è nulla, è .6.p/.6., è uguale a zero, si ha pure, nel caso ideale, che Cp = O, indipendentemente dalla coppia agente sull'asse del motore. Ciò significa che, variando la cilindrata della pompa fino a zero si può, nel caso ideale, mantenere una coppia all'asse del motore idraulico senza che venga richiesta potenza alla pompa, e mentre questa continua a ruotare alla propria velocità angolare. Anche se, in realtà, le perdite meccaniche e volumetriche fanno sì che, a motore idraulico fermo, la pompa debba comunque generare un po' di potenza che viene dissipata a causa dei rendimenti non unitari, le trasmissioni idrostatiche sono <;omunque estremamente vantaggiose quando si debbono generare coppie e velocità angolari variabili ali 'asse di uscita di una trasmissione (asse del motore idraulico) mentre l'asse di ingresso (asse della pompa) ruota a velocità angolare quasi costante. Il dimensionamento di una trasmissione idrostatica viene normalmente effettuato nel modo seguente. Nota la massima coppia Cm che deve essere fornita dal motore idraulico, e stabilito il valore massimo di pressione op, al quale deve lavorare l'impianto idraulico, si ricava, noto il rendimento meccanico del motore idraulico scelto, la cilindrata del motore .6.,o:
"-'m
Da queste relazioni si vede come una trasmissione idrostatica ideale costituisca un organo di trasmissione con rapporto di trasmissione pari al rapporto .6.p/ .6.m fra le cilindrate della pompa e del motore. Questa caratteristica
(2.19i)
~
_ 2;rC,o mO- 6p,7Jmm •
In base alla velocità :...·, 0 richiesta al motore idraulico si ottiene la portata
361
360 circolante nell'impianto, dalla (2.192): Qo
= ~mo 271'
Wmo 7Jm
Conoscendo la velocità angolare wp alla quale deve ruotare l'asse della pompa, si ottiene, dalla (2.190), la cilindrata massima della pompa: A
(2.198)
_
"-"pO -
~mO
Se, come si è supposto finora, la cilind~ata, del motore è fissa e pari a al diminuire della coppia rispetto al valore massimo Cmo, diminuisce, in base alla (2.191), la differenza di pressione 6pm nell'impianto idraulico e, in base alla (2.194), la coppia Cp richiesta all'asse della pompa. In certe applicazioni si vuole che, al diminuire della coppia in uscita della trasmissione, aumenti la velocità angolare. Ciò è possibile nelle trasmissioni idrostatiche impiegando un motore a cilindrata variabile. Se infatti si mantiene costante la cilindrata della pompa (che ruota a velocità angolare costante) si mantiene pure costante la portata circolante nell'impianto. Diminuendo allora la cilindrata del motore idraulico si ha, in base alla (2.192) un aumento della sua velocità angolare. Poiché la cilindrata ~m del motore, mantenendo costante 6pm, è circa proporzionale alla coppia fornita dal motore idraulico, si ottiene in questo caso una relazione circa iperbolica tra coppia e velocità angolare del motore idraulico (Fig. 262). ~mo,
Wmo
--- -7]vp7Jvm Wp
Sostituendo ~po nella (2.194) si ottiene il valore della coppia massima richiesta all'asse della pompa. Wm
Fig. 261 - Variazione della velocità angolare del motore in funzione della cilindrata della pompa (wp = costante)
Se ora, ferma restando la velocità angolare wp della pompa, viene fatta diminuire la cilindrata ~P della pompa, la velocità angolare del motore e la portata circolante nell'impianto diminuiscono. La velocità angolare del motore si annulla in corrispondenza di un valore di cilindrata ~pL, che costituisce il minimo necessario per compensare le fughe interne e mantenere la differenza di pressione necessaria a equilibrare la coppia agente sull'asse motore in base alla (2.191).
Fig. 262 - Relazione coppia-velocità angolare di un motore idraulico a cilindrata variabile alimentato a portata costante
Si è finora supposto che la pompa della trasmissione idrostatica ruotasse a velocità angolare costante, o quasi costante. Ciò avviene in molte applicazioni, ma in molte altre la velocità angolare della pompa è variabile e ciò non modifica, ovviamente, le caratteristiche fondamentali di funzionamento delle trasmissioni idrostatiche. In certe applicazioni, ad esempio, le trasmis-
363
362
sioni idrostatiche sono usate per produrre, all'asse del motore, una velocità angolare costante, indipendentemente dalla velocità angolare della pompa e dalle variazioni di coppia sull'asse del motore. Ciò è ottenibile associando alla trasmissione idrostatica un regolatore che misura la velocità angolare del motore idraulico e fa variare le cilindrate della pompa e del motore in modo da mantenere costante tale velocità. Le trasmissioni idrostatiche sono normalmente impiegate per trasmettere potenze comprese fra 5 e 250 kW.
10.3 - Trasmissioni idrocinetiche Le trasmissioni idrocinetiche sono anch'esse costituite, come le trasmissioni idrostatiche, da un elemento (pompa) che trasmette potenza da un organo ruotante a un fluido, e da un elemento (turbina) che trasmette potenza dal fluido a un organo meccanico rotante. Tuttavia, nelle trasmissioni idrocinetiche pompa e turbina non sono più macchine volumetriche, ma turbomacchine, in cui la pressione del fluido, la portata. e la velocità angolare della pompa e della turbina sono legate tra loro in modo più complesso. Nelle turbomacchine non si ha una netta separazione meccanica fra la zona ad alta e a bassa pressione, di conseguenza le trasmissioni idrocinetiche forniscono un 'ottima protezione in caso di urti della parte meccanica collegata alla turbina. Le trasmissioni idrocinetiche sono normalmente disponibili per potenze comprese fra l e 3000 kW; vi sono tuttavia applicazioni speciali fino a 25000 kW. Esistono due tipi fondamentli di trasmissioni idrocinetiche: - giunti idraulici - convertitori di coppia.
Questi due tipi di trasmissioni verranno esaminati nei successivi paragrafi.
10.4 - Giunti idraulici Un giunto idraulico (Fig. 263) è costituito da una pompa P che, ruotando, accelera il flui~o che entra al suo raggio interno ed esce al suo raggio esterno. L'energia cinetica così acquistata dal fluido viene da questo ceduta ad una turbina T, coassiale alla pompa, all'interno della quale il fluido stesso rallenta nel passare dal raggio esterno a quello interno. Poiché il fluido passa direttamente dalla pompa alla turbina e viceversa, la coppia che la pompa trasmette al fluido è esattamente uguale, qualunque sia la condizione di funzionamento a regime, a quella che il fluido trasmette alla turbina, e l'entità di questa coppia dipende dalla portata di fluido e dalla velocità relativa esistente tra pompa e turbina.
T
2
Fig. 263 - Schema di giunto idraulko
Per poter meglio compfendere il funzionamento di un giunto idraulico, si supponga ad esempio che in una certa condizione pompa e turbina ruotino alla stessa velocità. In queste condizioni la differenza di pressione del fluido tra raggio esterno e raggio interno dovuta. al campo di forze centrifughe agenti su di esso è la stessa sia per la pompa che per la turbina; il fluido perciò non circola fra questi due elementi dell'accoppiamento e la coppia trasmessa è di conseguenza nulla. Se invece la turbina ruota ad una velocità angolare inferiore a quella della pompa, la differenza di pressione creata dalla turbina è minore di quella creata dalla pompa; si origina pertanto una circolazione di
365
364
fluido che al raggio esterno passa dalla pompa alla turbina, mentre al raggio interno passa dalla turbina alla pompa e si ha di conseguenza un certo valore non nullo della coppia trasmessa, coppia la cui intensità è, a parità di velocità angolare della pompa, tanto ma.ggiore quanto minore è la velocità angolare della turbina ed è, al limite, massima quando la turbina è ferma. Poiché, come si è visto, la coppia trasmessa è funzione della velocità angolare relativa, è allora opportuno introdurre un parametro u, detto scorrimento, definito dal rapporto: (2.199)
dove wp ed w 1 rappresentano rispettivamente le velocità angolari della pompa e della turbina. La coppia trasmessa sarà quindi, per ogni tipo di giunto, funzione della velocità angolare della pompa wp e dello scorrimento u; la Fig. 264 mostra per l'appunto il tipico andamento della coppia trasmessa in funzione delle succitate grandezze (le quantità Co ed w0 rappresentano rispettivamente una coppia ed una velocità angolare di riferimento).
la trasmissione del moto. Si può innanzi tutto osservare che, qualunque sia il tipo di carico collegato alla turbina, la coppia resistente incontrata dal motore, solidale alla pompa, è nulla per velocità angolare nulla. Ciò consente dunque al motore di raggiungere una certa velocità prima che la coppia resistente diventi rilevante e questa proprietà assume una particolare importanza quando si interponga ad esempio un giunto idraul~co tra un motore elettrico ed un utilizzatore, in quanto riduce notevolmente il valore della corrente assorbita allo spunto. Si può notare in secondo luogo che, se si verificano durante il funzionamento rapide variazioni del carico sull'albero condotto, queste non vengono praticamente risentite dal motore, ma portano come effetto ad una rapida variazione dello scorrimento e quindi ad una successiva graduale variazione della velocità del motore. Va osservato in terzo luogo che le vibrazioni e gli urti eventualmente insorgenti durante il funzionamento vengono fortemente smorzati dalla presenza del fluido all'interno del giunto, ed infine va rilevato che, quando si disponga di più motori in parallelo collegati ad un solo utilìzzatore, si riesce, inserendo dei giunti idraulici ali 'uscita dei motori, ad ottenere una effettiva equiparazione del carico agente su di essi. .
100
c
c Co
(Nm)r----------65 50
0 ~~==----~~--------~10~0~0----~~~15~0~0~--~n--~ 1354 1440 (giri/min)
0
Wp/W 0
Fig. 265 - Condizioni di funzionamento a regime di una trasmissione dotata di un giunto idraulico
Fig. 264 - Coppia trasmessa in un giunto idraulico
In base alle caratteristiche dei giunti idraulici ora descritte, si è dunque in grado di rile\'are che essi presentano numerosi vantaggi per.quanto riguarda
Per concludere poi, è evidente che, essendovi in un giunto idraulico trasmissione di coppia solo per Yalori non nulli dello scorrimento. il motore e
367
366
l'utilizzatore ad esso collegati non possono mai a.:vere la stessa velocità angolare. A questo proposito la Fig. 265 illustra ad esempio il caso di un motore elettrico asincrono, avente la caratteristica meccanica indicata dalla curva m collegato ad un utilizzatore che fornisce una coppia resistente il cui andamento è fornito dalla curva u. Se il collegamento tra motore ed utilizzatore avvenisse tramite un giunto od un innesto tradizionali, le condizioni di funzionamènto a regime del sistema sarebbero evidentemente quelle individuate dal punto I 0 • Con l'interposizione di un gi1;1nto idraulico, giunto che presenta, per un valore dello scorrimento pari a 0,06, la caratteristica indicata dalla curva g, il punto di funzionamento a regime del motore si sposta in I m, per cui la coppia da questo fornita vale C1 = 65 Nm e la sua velocità angolare vale nm = 1440 giri/min. n punto di funzionamento dell'utilizzatore si sposta d'altro canto da Io ad Iu, per cui la coppia da esso assorbita vale sempre Ct 65 Nm, ma la sua velocità angolare vale nu = 1354 giri/min, il che corrisponde proprio ad uno scorrimento u del giunto pari a (nm - nu)/nm =O, 06. Poiché la pompa e la turbina costituenti il giunto idraulico sono sostanzialmente due macchine centrifughe, valgono evidentemente per esse le leggi di similitudine delle turbomacchine, per cui la coppia trasmessa dal giunto può essere in definitiva espressa sotto la forma:
=
(2.200) dove wp rappresenta la velocità angolare della pompa, d il suo diametro esterno (Fig. 263) e ](A un fattore di accoppiamento, misurato in Ns 2 jm 4 , che assume lo stesso valore per giunti geometricamente simili e per lo stesso valore dello scorrimento. E' evidente, in base alle considerazioni prima esposte, che il fattore di accoppiamento è massimo quando lo scorrimento u è pari ad l ed è nullo per u O. Poiché inoltre per giunti idraulici geometricamente simili la coppia, e quindi la potenza trasmessa, sono proporzionali, in base alla (2.200), al diametro alla quinta, è altrettanto evidente che la potenza trasmissibile da un giunto idraulico raddoppia se si aumentano le sue dimensioni del 15%. n rendimento di un giunto idraulico, definito al solito come rapporto tra la potenza entrante e quella uscente dal giunto, è nullo per scorrimento unitario, in quanto in tal caso la turbina è ferma e tutta la potenza meccanica fornita dalla pompa viene dissipata sotto forma di calore nel fluido circostante,
=
ed aumenta al tliminuire dello scorrimento in modo praticamente lineare (Fig. 266); è ovvio però che per scorrimento nullo il rendimento del giunto è nuovamente pari a zero, in quanto in tali condizioni si annulla il valore della coppia trasmessa C1• 1.0
0.8
/
0.6
0.4
0.2
o~ o
v
/ 02
~
/
0.4
_/ ~
v
/
0.6
0.8
1.0
1-cr Fig. 266- Rendimento di un giunto idraulico in funzione dello scorrimento
Si è finora fatto riferimento alle normali condizioni di funzionamento dei giunti, nelle quali la potenza viene trasmessa, dalla pompa alla turbina, ma si possono a volte anche verificare temporanee situazioni particolari in cui, per effetto dei carichi applicati, l 'utilizzatore collegato alla turbina accelera e raggiunge velocità superiori a quelle del motore. Per funzionamenti caratterizzati da queste sovravelocità della turbina, il fluido circola nel giunto nel verso opposto a quello normale e la pompa funziona. così da freno fornendo in definitiva una coppia frenante tanto maggiore quanto maggiore è la differenza fra le velocità angolari della turbina e della pompa. Accanto ai giunti idraulici ora esaminati, in cui la quantità di liquido circolante nel giunto è costante, esistono anche giunti idraulici a riempimento variabile nei quali si può regolare la quantità di fluido circolante tra pompa e turbina. Essi posseggono generalmente (Fig. 267) una pompa volumetrica di riempimento a portata costante, che fa circolare il fluido immettendolo nella pompa centrifuga solidale all'albero motore, ed un tubo di aspirazione la cui posizione è regolabile e tale da determinare il livello di fluido nella pompa e nella turbina costituenti l 'accoppiamento.
369
368 10.5 - Convertitori di coppia
Si è visto nel precedente paragrafo che i giunti idraulici sono sostanzialmente degli innesti automatici: i convertitori di· coppia invece, pur svolgendo le stesse funzioni dei.giunti idraulici, si differenziano da questi in quanto per essi il valore della coppia agente sulla turbina è diverso da quello della coppia agente sulla pompa. Per ottenere questa caratteristica i convertitori di coppia presentano, in aggiunta alla pompa P ed alla turbina T, uno statore S avente le funzioni di un elemento di reazione (Fig. 268). Poiché, in condizioni di regime, la somma delle coppie agenti sui tre elementi deve essere nulla, si avra Cp +Ct +C.= O
da cui appare evidente che è possibile ottenere una C 1 diversa dalla Cp, a patto che l'elemento di reazione fornisca una opportuna. coppia di intensità C, in grado di equilibrare la somma delle prime due.
Fig. 267- Giunto idraulico a riempimento variabile: p: pompa; t: turbina; a: tubo di aspirazione; u: uscita di fluido verso lo scambiatore di calore; e: leva di regolazione; m: albero motore; c: albero condotto; Pc: pompa di circolazione; i: ingresso del fluido di ritorno dallo scambiatore di calore. (Liquid Drive Corporation)
Se il livello del fluido si abbassa, e. quindi è minore la portata di fluido circolante tra pompa e turbina, la coppia trasmessa, a parità di velocità angolare del motore ed a parità di scorrimento, diminuisce, e pertanto le curve caratteristiche del funzionamento del giunto idraulico rappresentate nella Fig. 264 conservano lo stesso andamento, ma si appiattiscono tanto più quanto minore è il livello di fluido presente.
Fig. 268 - Schema di convertitore di coppia: P: pompa; T: turbina; S: elemento stazionario di reazione
Come per i giunti idra.ulici, anche per i convertitori di coppia si definisce lo scorrimento O' mediante il rapporto: O'= Wp- Wt
Wp
371
370
dove wp ed Wt sono rispettivamente le velocità angolari della pompa e della turbina, ed anche in questo caso la coppia che deve essere fornita dalla pompa è esprimibile come:
Mediant~ queste due curve, ed utilizzando inoltre la (2.201), si è in grado poi di determinare i valori delle coppie agenti sulla pompa e sulla turbina in tutte le altre condizioni di funzionamento. Alla velocità angolare di riferimento w 0 si avrà infatti:
(2.201)
(2.202)
dove al solito d rappresenta una dimensione caratteristica della pompa (normalmente il diametro esterno) e ]{A il fattore di accoppiamento misurato in · N . s2 fm 4 • Questo fattore è funzione dello scorrimento e del tipo di convertitore ma, per convertitori geometricamente· simili ed a parità di scorrimento, esso è indipendente dalle loro dimensioni e dalla velocità angolare della pompa. Le prestazioni di un convertitore di coppia sono normalmente presentate nel modo seguente: una volta stabilita una certa velocità angolare di riferimento della pompa w0 , vengono per essa fornite due curve in funzione del rapporto tra le velocità angolari della turbina e della pompa; la prima individua l'andamento della coppia fornita dalla pompa (oppure del fattore di accoppiamento), mentre la seconda caratterizza l'andamento dei rendimento 1J del convertitore (Fig. 269).
c
Fig. 269 - Coppia fornita dalla pompa e rendimento di un convertitore di coppia ad una data velocità angolare wo della pompa
per cui dalle curve di Cp e di 1J in funzione di wtfwp si ricava il valore della coppia Ct agente sulla turbina in quelle condizioni. Dalla (2.201) inoltre, si ha che la coppia Cp agente sulla pompa ad una certa velocità angolare w diversa da w0 è legata alla coppia Cp 0 agente sulla pompa stessa nelle condizioni di riferimento dalla: Cp
= Cpo
(:J
2
ed una analoga relazione si avrà evidentemente per le coppie agenti sulla turbina. Quest'ultima relazione però non è esattamente verificata in corrispondenza della condizione di stallo, ossia quando la turbina è ferma, e per scorrimenti prossimi ad l. Vengono pertanto anche normalmente fornite, in funzione della velocità angolare wp della pompa, sia la curva che individua il valore del rapporto esistente tra la coppia C1, agente sulla turbina e la coppia Cp, agente sulla pompa nelle condizioni di stallo, sia la curva della coppia Cp, agente sulla pompa nelle stesse condizioni (Fig. 270).
Wp Fig. 2i0 - Andamenti della coppia agente sulla pompa e del rapporto tra le coppie agenti sulla turbina e sulla pompa in condizioni di stalle
372
373
Dall'esame della. (2.202) e della. Fig. 269 si possono trarre, per quanto concerne il comportamento dei convertitori di coppia, alcune importanti conclusioni. In primo luogo si osserva che la coppia agente sulla turbina è nulla quando lo scorrimento è nullo, ed è crescente all'aumentare di questo; in secondo luogo appare evidente che la curva del rendimento presenta un massimo per un certo valore dello scorrimento (J che, al contrario di quanto accade per i giunti idraulici, non sempre è prossimo a zero. Sovente infine, viene introdotto per i convertitori di coppia un parametro detto rapporto di utilizzazione; esso è definito come il rapporto tra. i valori massimo e minimo di wt/wp per cui il rendimento TJ del convertitore è maggiore di O,i, ed esso fornisce di conseguenza un'indicazione sul campo di condizioni normali per non dissipare una potenza eccessiva. Accanto al tipo fondamentale di convertitore di coppia. schema.tizzato nella Fig. 268 e il cui spaccato è riportato nella Fig. 271, ne esistono nella pratica. molti altri tipi, da questo derivati, e miranti allo scopo di migliorarne le prestazioni, anche se con una maggiore complessità di costruzione. Si hanno, infatti, convertitori di coppia pluristadio e polifasici. Si definiscono convertitori di coppia a più stadi quei convertitori che posseggono più turbine, tutte solidali all'albero condotto, mentre si definiscono polifasici quei convertitori di coppia nei qua.li lo statoi'e, o gli statori, che forniscono la coppia. di reazione sono collegati a.ll'involucro fisso mediante l 'inserimento di una o più ruote libere. In quest'ultimo caso quindi, lo statore è effettivamente fisso solo finché la coppia che il fluido esercita su di esso ha un
ben determinato verso; quando tale coppia cambia di segno, lo statore, collegato come si è visto all'involucro mediante una ruota libera, non può più fornire una coppia di reazione ed in queste condizioni un convertirore di coppia ad uno stadio si trasforma evidentemente in un giunto idraulico, in quanto tutta la coppia agent~ sulla pompa deve essere ad ogni istante equilibrata da quella agente sulla turbina. In questo senso si dirà pertanto che il convertitore è bifasico.
Fig. 272 - Convertitore di coppia monofasico a tre stadi
Fig. 273 - Convertitore di coppia monofasico ad uno stadio
Le Figg. 272 e 273 illustrano gli schemi rispettivamente di un convertitore di coppia monofasico a tre stadi e di un convertitore di coppia. polifasico ad uno stadio. Si noti però che nel convertitore polifasico della Fig. 2i3 vi sono in realtà due pompe in serie P 1 e P 2 tra le quali è posta una ruota libera L.
10.6 - Trasmissioni idroviscose Fig. 271- Spaccato di convertitore di coppia: c: carcassa; p: pompa; m: albero motore; t: turbina; u: albero condotto
Le trasmissioni idroviscose (Fig. 27 4) sono costituite da. una. serie di dischi affacciati, collegati alternativamente all'albero di ingresso e a quello di uscita, tutti immersi in olio. Indicando con d 2 e d 1 i diametri esterno e interno
13. JACAZIO-PIOl\180- La trasmissione del moto
l
374
dei dischi, con p. la viscosità del :fluido, con wr la velocità angolare relativa fra i dischi solidali all'albero di ingresso e a quello di uscita, con h la distanza fra i dischi, la coppia trasmessa per ogni superficie di disco è, in base alla {1.87), (Vol. I, para. 3.12):
11. CUSCINETTI
M= 11'"J.LWr(d~- di) 32h
(2.203)
La coppia totale trasmessa dipende, ovviamente, dal numero di superfici affacciate. 11.1 - Considerazioni generali Scambiatore di calore
ingresso
Serbatoio
Fig. 274- Trasmissione idroviscosa
Poiché il rapporto fra coppia e velocità angolare dipende dalla distanza h fra i dischi, regolando questa variabile è possibile mantenere costante la
velocità angolare al variare della coppia trasmessa. Le trasmissioni idroviscose sono realizzate in un campo di potenze molto ampio, fra 3 e 1500 kW.
Si definiscono generalmente come cuscinetti tutti quegli organi meccanici aventi sia la funzione di supportare i carichi applicati ad un albero rotante da parte degli altri elementi della catena cimnematica alla quale questo ap. partiene, sia la proprietà di originare nel contempo coppie resistenti di piccola intensità. I cuscinetti si suddividono poi; in base al principio di funzionamento che li caratterizza, in due grandi categorie:· nella prima, quella dei cuscinetti a strisciarnento, l'albero ruota entro una boccola cilindrica di diametro leggermente maggiore a quello dell'albero stesso, e nel cui interno viene normalmente introdotto un opportuno lubrificante; nella seconda categoria invece, e precisamente in quella dei cuscinetti a rotola.rnento, tra l'organo rotante e quello fisso dell'accoppiamento si interpongono degli appositi elementi intermedi di rotolamento (quali ad esempio rulli o sfere), riuscendo così ad ottenere un moto relativo di rotolamento puro tra i vari componenti dell'accoppiamento stesso. La scelta del tipo di cuscinetto da adottare in una generica soluzione costruttiva è evidentemente in:fl.uenzata dalla presenza o meno di numerosi fattori, che verranno più avanti esaminati; in linea di massima conviene comunque qui anticipare che: a) i cuscinetti a rotola.mento sono in grado di sopportare la presenza di forti carichi sia ad albero fisso che ad albero rotante; b) i cuscinetti a strisciamento possono in genere sopportare solo carichi limitati ad albero fermo; c) la capacità portante dei cuscinetti a strisciamento aumenta in genere all'aumentare della velocità.
376
377
Qualunque sia il tipo di cuscinetto in esame poi, va osservato che esso può essere soggetto o ad un carico radiale (e quindi giacente in un piano normale all'asse di rotazione), oppure ad un carico assiale (diretto parallelamente all'asse di rotazione), oppure infine ad un carico misto, derivante dalla contemporanea presenza di un carico radiale e di uno assiale. Nel presente capitolo verranno pertanto esaminate per ciascun tipo di cuscinetto, ed iniziando da quelli a rotolamento, sia le principali soluzioni costruttive sino ad ora realizzate, sia le metodologie di calcolo da seguire onde poter valutare l'entità. dei carichi massimi sopportabili dal cuscinetto stesso.
Va= Ve+ V1 2
=w r 0
0
+w;r; 2
mentre, indicando con d il diametro della sfera, si otterrà. ovviamente il valore della velocità angolare w, di quest'ultima mediante la relazione:
11.2 - Principi di funzionamento di un cuscinetto a rotolamento Un cuscinetto a rotolamento è costituito da quattro elementi principali (Fig. 275): un anello interno I solidale all'albero rotante, un anello esterno E solidale all'involucro o ad un altro elemento di supporto, degli elementi intermedi di rotolamento S (sfere nel caso della Fig. 275) ed una gabbia distanziatrice G, la cui l funzione, come è facile intuire, è unicamente quella di mantenere equidistanziati tra loro gli elementi di rotolamento S. Onde determinare le caratteristiche cinematiche di un cuscinetto a rotolamento, si supponga ora che i due anelli, quello interno di raggio r;, e quello esterno di raggio r., ruotino rispettivamente alle velocità angolari w; ed w. (Fig. 276) e che tra essi siano interposte ad esempio delle sfere: le velocità dei punti di contatto fra i due anelli ed una qualsiasi Fig. 275 - Cuscinetto radiale delle sfere saranno pertanto date da: rigido a sfere (SKF)
r;w;
e di conseguenza la velocità del centro G di ogni sfera varrà:
Fig. 276 - Velocità degli organi caratteristici di un cuscinetto a rotolamento
Si noti infine che la velocità Va del centro della sfera è pari alla velocità periferica della gabbia distanziatrice, per cui la velocità angolare n~ di quest'ultima varrà evidentemenete:
n 9
-
Va
(r;
+ d/2)
= Were +w;r; 2r; +d
Volendo ora valutare l'entità di quella particolare coppia resistente, agente sull'anello interno, dovuta al rotolamento delle sfere sui due anelli, si supponga ad esempio che il carico agente in direzione radiale su di una sfera valga P; in presenza di attrito volvente le forze scambiate tra sfera ed anelli non passeranno ovviamente più per i punti geometrici di contatto ma passeranno, nell'ambito della schematizzazione esposta nel paragrafo 3.13 del l o
378
379
volume, per i punti di E ed I spostati rispetto ai punti geometrici di contatto di una distanza u pari al parametro di attrito volvente (Fig. 277). TABELLA V - Coefficiente di attrito equivalente nei cuscinetti a rotolamento
Tipo di cuscinetto
Cuscinetti Cuscinetti Cuscinetti Cuscinetti Cuscinetti Cuscinetti Fig. 277- Effetto della presenza dell'attrito volvente nei cuscinetti a rotolamento
La forza R scambiata tra sfera ed anelli avrà pertanto un'intensità approssimativamente eguale a R = P/ cost:, dove t: == arctg(2u/d), e quindi la forza che la sfera esercita. sull'anello interno possiederà una componente in direzione tangenziale pari a: 2u T= Ptgt: =-P d
Ciò significa in definitiva che, per contrastare l'effetto dovuto alla presenza dell'attrito volvente, deve essere applicata all'anello interno una coppia di intensità C; pari a: 2u C;
=T . r; = dr;P
a sfere o a rulli oscillanti a rulli cilindrici reggispinta a sfere radiali a sfere a rulli conici e a botte a rullini
!. 0,0010 0,0011 0,0013 0,0015 0,0018 0,0045
Quella ora valutata non è però l'unica fonte di dissipazione di energia meccanica presente in un cuscinetto a rotolamento; si possono ritrovare infatti anche dissipazioni di energia per effetto delle resistenze di attrito dovute allo strisciamento delle sfere contro la gabbia distanziatrice, per effetto dei fenomeni di isteresi nel materiale e per effetto di una resistenza addizionale al moto dovuta ad una eventuale eccessiva quantità di lubrificante all'interno del cuscinetto. A causa della complessità e della varietà delle singole azioni presenti, la resistenza complessiva al moto per un cuscinetto a rotolamento viene di solito espressa introducendo un coefficiente di attrito equivalente fe che tenga conto di tutte le cause di dissipazione ed il cui valore è solitamente ricavato con metodi sperimentali. Alcuni valori medi del coefficiente di attrito equivalente riscontrabili nei principali tipi di cuscinetti utilizzati nella pratica sono riportati nella Tabella V, ed in base a questi valori si potrà calcolare l'entità Gr della coppia resistente agente sull'anello interno mediante la:
e che, se l'anello interno ruota alla velocità angolare w;, durante il moto di rotolamento viene dissipata una potenza w, pari a: dove P1 rappresenta l'intensità del carico radiale agente sul cuscinetto e r; rappresenta al solito il valore del raggio dell'anello interno del cuscinetto stesso.
380
381
11.3 - Tipi di cuscinetti a rotolamento
Le realizzazioni dei cuscinetti a rotola.mento a tutt'oggi esistenti presentano differenti caratteristiche costruttive a seconda del tipo di carico che essi debbono sopportare (radiale, assiale o misto), dell'entità dE>Jlo stesso, della loro velocità angolare, dell'ambiente in cui debbono funzionare e dell'accuratezza di montaggio. Una descrizione particolareggiata di tutti i tipi di cuscinetti a rotolamento esula dagli scopi del presente volume, per cui ne verranno qui di seguito analizzati solo i tipi principali. Cuscinetti radiali rigidi a una corona di sfere. Sono il tipo di cuscinetti rappresentato nella Fig. 275. Essi sono in grado di sopportare un carico assiali pari a circa il 40 ..;-50% del massimo carico radiale ed ammettono un disallineamento massimo tra gli assi dell'accoppiamento dell'ordine di 0° 15'. Cuscinetti radiali oscillanti a sfere .(Fig. 278-a). Posseggono in genere due corone di sfere rotolanti e la pista di rotolamento ricavata nell'anello esterno è comune ad entrambe. Grazie a tale accorgimento, questo cuscinetto tollera piccoli disallineamenti (fino a 2°30' circa), mentre la sua capacità di carico assiale è pari a circa il 25% di quella radiale. a)
bJ
tale da presentare la direzione del carico agente sulla sfera obliqua rispetto all'asse del cuscinetto. Entrambi i tipi sono in grado di sopportare carichi assiali anche elevati, con la differenza che, mentre il cuscinetto ad una corona di sfere può sopportare un carico assiale diretto in un solo verso, il cuscinetto a due corone di sfere può sopportare un carico assiale agente in entrambe le direzioni. In tutti e due i casi infine, i valori del massimo disallineamento tollerabile dal cuscinetto sono estremamente bassi. Cuscinetti a rulli cilindrici (Fig. 279-a). Sono cuscinetti adatti a sopportare elevati carichi radiali ad alta velocità di rotazione. I rulli sono in genere guidati dai bordini esistenti su uno dei due anelli, mentre l'altro ne è normalmente privo, e ciò consente quindi un piccolo spostamento relativo degli anelli in direzione assiale. Si possono ritrovare nelle applicazioni anche casi di cuscinetti a rulli cilindrici dotati di bordini di guida su entrambi gli anelli, e tali cuscinetti possono di conseguenza guidare l'albero in direzione assiale a condizione però che gli ::;forzi agenti in tal senso siano molto piccoli. a)
C)
Fig. 279- Cuscinetto a rulli cilindrici (a) e cuscinetto oscillante a rulli (b) (SKF) Fig. 278- Cuscinetti radiali a sfere oscillanti (a) e cuscinetti obliqui (b e c)
Cuscinetti obliqui a sfere. Possono essere a una (Fig. 278-b) o a due (Fig. 278-c) corone di sfere. In essi le piste di rotolamento sono r~cavate in m od o
Cuscinetti oscillanti a r·ulli (Fig. 219-b). Sono costituiti da due corone di rulli che rotolano su una pista sferica comune ricavata nelranello esterno. Essi possono quindi tollerare un certo disallineamento (fino a l o 30') e possono
382
383
resistere anche a carichi assiali di intensità contenute entro un valore limite pari a circa il 30% di quella del carico radiale massimo.
a)
Cuscinetti a rulli conici (Fig. 280). Questi cuscinetti vengono usati in tutte quelle applicazioni caratterizzate dalla presenza di carichi assiali e radiali di forte intensità; essi sono normalmente montati in coppia in modo da poter sopportare spinte assiali nei due sensi ed è importante osservare che, per ottenere un funzionamento cinematicamente corretto, le generatrici e l'asse dei rulli conici debbono necessariamente incontrarsi in uno stesso punto situato sull'asse del cuscinetto.
Fig. 281- Cuscinetti reggispinta a sfere a semplice effetto ad anelli piani (a) e ad anelli sferici (b)
a)
b)
Fig. 280 - Cuscinetti a rulli conici
Cuscinetti reggispinta a sfere a semplice effetto. Possono essere ad anelli piani (Fig. 281-a) oppure ad anelli sferici (Fig. 281-b), ed in quest'ultimo caso consentono piccoli disallineamenti degli assi dell'accoppiamento. È chiaro poi che entrambi questi cuscinetti possono resistere a spinte assiali dirette in un solo verso, e che inoltre es.si non sono in grado di sopportare carichi radiali. Cuscinetti reggispinta a sfere a doppio effetto. Sono simili ai precedenti, ma posseggono due corone di sfere anzichè una e riescono pertanto a sopportare spinte assiali dirette in entrambi i versi. Anche questi cuscinetti possono avere anelli piani (Fig. 282-a) od anelli sferici (Fig. 282-b ). Cuscinetti reggispinta oscillanti a rulli sferici (Fig. 283). Posseggono una corona di rulli posti obliquamente e rotolano su due piste sferiche, presentando
Fig. 282- Cuscinetti regggispint.a a sfere a doppio effetto ad anelli piani (a) e ad anelli sferici (b)
384
385
così una elevata capacità di autoallineamento. Questi cuscinetti possono infatti tollerare disallineamenti fino a circa 3° e sono in grado, contrariamente ai cuscinetti reggispinta precedentemente esaminati, di sopportare anche discreti carichi radiali.
Cuscinetti a rullini. Sono utilizzati ogni qualvolta vi sia uno spazio limitato per l'installazione del cuscinetto, e sono costruiti normalmente per sopportare carichi radiali (Fig. 284-a); esistono tuttavia anche cuscinetti reggispinta a rullini (Fig. 284-b), ma in essi, contrariamente a quanto accade in tutti gli altri tipi di cuscinet-ti fin qui esaminati, il moto relativo tra rullini ed anelli è un moto di rotolamento puro solo in corrispondenza di un ben determinato raggio, mentre in tutti gli altri punti di contatto si è in presenza di velocità relative di strisciamento diverse da zero.
11.4- Vita di un cuscinetto e carico sopportabile durante il funzio-
namento
Fig. 283 - Cuscinetti reggispinta oscillanti a rulli sferici a)
b)
Fig. 284 - Cuscinetti a radiali (a) e reggispinta (b) ( Torrington Company)
Si consideri ora un generico cuscinetto e si supponga che esso sia sottoposto all'azione di un certo carico: è chiaro che tutte le volte in cui un organo intermedio di rotola.mento (sfera. o rullo) passa nella zona di applicazione del carico, l 'elemento stesso ed i pun ti degli anelli con i quali esso viene a contatto sono sottoposti ad una sollecitazione locale. Gli elementi costituenti il cuscinetto vengono perciò sottoposti ad una serie di sollecitazioni variabili nel tempo per cui il cuscinnetto stesso, dopo una vita più o meno lunga a seconda delle sue condizioni di carico e di funzionamento, è soggetto ad una rottura per fatica, o ra.ggiunge una usura eccessiva. Se si analizza. poi un grande numero di cuscinetti uguali tra loro e li si sottopone tutti ad urta prova di durata effettuata nelle stesse identiche condizioni, si può constatare che non tutti i campioni presenteranno rotture per fatica dopo uno stesso numero di cicli di funzionamento, ma che questo limite varierà molto da esemplare ad esemplare. Ciò nonostante si è in grado di effettuare dei calcoli sulla vita di un cuscinetto, in quantG si è osservato che il comportamento dei cuscinetti sottoposti alla prova di durata standard è raffigurabile -mediante il grafico della Fig. 285; in esso Lm rappresenta una vita media, definita come quel numero di cicli per cui nelle condizioni standard della prova funziona ancora il 50% dei cuscinetti prima di presentare rotture per fatica, L rappresenta un valore generico della vita dei cuscinetti stessi e ( la percentuale di questi che ha presentato in corrispondenza ad essa rotture per fatica. Una volta nota la vita media di un tipo di cuscinetto, si è di conseo-uenza in oa-rado di ricavare una correlazione fra percentuale di cuscinetti o
l
386 rotti per fatica e numero di cicli di funzionamento. Si può infatti osservare ad esempio che per una vita L pari a l, 5Lm si sarà rotto circa. il68% dei cuscinetti, mentre solo il 10% degli stessi risulterà danneggiato dalla fatica per una vita pari a 0,2Lm. Proprio quest'ultimo valore, ossia il numero di cicli per cui può funzionare il 90% dei cuscinetti prima che inizino ad insorgere evidenti fenomeni di fatica, viene indicato come vita nominale del cuscinetto in esame nelle condizioni di funzionamento considerate, ed assunto come durata del cuscinetto stesso nei calcoli del progetto.
387 cuscinetto radiale, come il carico radiale corris.pondente alla vita nominale di un milione di cicli nel caso in cui l'anello interno sia rotante, quello esterno fisso e la direzione del carico sia costante nel tempo; per un cuscinetto reggispinta, invece, il coefficiente di carico C rappresenta più semplicemente il valore del carico asSiale corrispondente alla vita nominale di un milione di cicli del cuscinetto stesso. In base alla (2.204) si può allora dedurre che per un carico P, diverso da C, ma applicato con le stesse modalità, la vita del cuscinetto, espressa in milioni di cicli, è data da:
100
80
/
60 40 20
/:/
/
/
~
~
~
(2.205)
mentre la sua durata Lh, espressa in ore di funzionamento, risulterà ovviamente pari a:
/
(2.206)
1.0
1.5
2.0
L/Lm
2.s
Fig. 285 - Percentuale di cuscinetti danneggiati per fatica in funzione della vita, per prove effettuate in condizioni sta.nda.rd
Tutte le considerazioni sinora svolte si riferivano ad un ben determinato tipo di cuscinetto sottoposto all'azione di un ben determinato carico di intensità pari ad esempio a P1. Se poi, nota la vita L1 (in milioni di cicli) di un cuscinetto sottoposto all'azione del carico P1 , si vuole determinare la vita L2 dello stesso cuscinetto quando venga sottoposto all'azione di un carico pari ad esempio a P2, si può utilizzare la relazione espressa da:
dove n rappresenta il valore della velocità angolare relativa tra i due anelli espressa in giri/min. Se il carico agente sul cuscinetto è applicato secondo le modalità prima viste, la (2.205) permette di calcolare, in base al valore di P, la vita nominale del cuscinetto in esame; se però il carico non è soltanto radiale od assiale, ma possiede una componente in entrambe le direzioni, oppure se l'anello esterno è rotante, si deve introdurre al posto di P nella (2.205) un carico equivalente P, 9 così definito: a) Per cuscinetti radiali:
Peq
= X V Pr + Y Pa
dove: (2.204)
Pr
dove a è un coefficiente che assume un valore pari a 3 per i cuscinetti a sfere e pari a 10/3 per i cuscinetti a. rulli. Per definire la capacità di carico di un cuscinetto, si introduce pertanto un coefficiente di carico C definito, per un
Pa X
Y
= carico radiale effettivo costante, = carico assiale effettivo .costante, = coefficiente radiale, = coefficiente assiale,
389
388
V
= fattore di rotazione;
i coefficienti X and Y dipendono dal tipo di cuscinetto e dal valore del rapporto Pr 1Pa, mentre V è un fattore di rotazione che normalmente viene posto uguale a 1 per anello esterno fisso e uguale a l, 2 per anello esterno rotante. b) Per cuscinetti assiali a sfere:
in quanto questi cuscinetti non sono in grado di sopportare alcun carico radiale.
carico equivalente gravante su di esso. Si deve però tenere ancora conto di due fattori che possono ridurre la durata del cuscinetto, e precisamente: la presenza di urti e vibrazioni durante il funzionamento e la temperatura assoluta dal cuscinetto durante il funzionamento stesso; Della presenza di eventuali urti si tiene conto moltiplicando il valore del carico equivalente calcolato in condizioni di regime per un fattore di carico /d il cui valore dipende dal tipo di applicazione a cui il cuscinetto è destinato. Per macchinari che diano luogo ad urti di piccola intensità !d varia tra l, 2 e l, 5, mentre per macchinari in cui insorgono forti urti !d assume valori maggiori, e compresi in genere fra 2 e 3. Dell'effetto di temperature elevate si tiene conto invece moltiplicando il coefficiente di carico C per un coefficiente c, minore di l, i cui valori, per cuscinetti a rotolamento normali, sono ricavabili dal grafico della Fig. 286.
c) Per cuscinetti assiali oscillanti a rulli sferici:
-
1.0
Peg
= Pa + l,2Pr
In tali cuscinetti tuttavia Pr deve essere sempre inferiore a O, 55 P•. Sovente poi, il carico che a.gisce su di un cuscinetto non ha intensità costante, ma variabile nel tempo. Se allora Pl> P2, ···,Pn sono i carichi di intensità costante agenti rispettivamente per N 1 , N2, · .. ,Nn giri, il carico di intensità costante Pm equivalente alla successione di carichi variabili è dato da: Pm
=
, PfN1 + P?N2 + · ·· + P;Nn N N1 + N2 + ·· ·+ n
mentre nel caso particolare che la velocità angolare del cuscinetto sia costante ed il carico vari nel tempo con una legge all'incirca lineare, mantenendo però invariata la sua direzione, il carico medio equivalente agente sul cuscinetto è approssimabile mediante la: _ Pmin + 2Pmax Pm 3
dove Pmin e Pmax indicano rispettivamente i valori minimo e massimo del carico stesso. 1Iediante i procedimenti ora esposti si è dunque in grado di calcolare la vita del cuscinetto, una volta noti i valori del suo coefficiente di carico e del
Ca.
0.8
--
~
0.6
-.........
ì-- r--
-r--
0.4
0.2
o
40
60
BO
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
TC·c) Fig. 286 - Variazione del coefficiente di carico con la. temperatura
Si è considerato finora il caso di un cuscinetto in moto; quando invece un cuscinetto non ruota. o comunque compie unicamente piccole oscillazioni attorno ad una posizione di riposo, è ovvio che il valore del carico gravante sul cuscinetto non deve essere tale da produrre eccessive deformazioni nelle piste di rotolamento, e perciò ogni cuscinetto è caratterizzato da un coefficiente di carico statico Cn, che rappresenta per l'appunt.o il massimo valore del carico sopportabile in condizioni statiche. A conclusione di quanto ora esaminato, viene qui riportata una tabella.
390
391
!·
originariamente approntata dalla casa costruttrice SKF, indicante i valori della durata di funzionamento in ore raccomandata per i vari tipi dì applicazioni dei cuscinetti a rotolamento. TABELLA VI - Durata in ore di funzionamento raccomandata per diversi tipi di applicazioni di cuscinetti a rotolamento
Tipi di macchine
Durata in ore di funzionamento Lh
Strumenti ed apparecchi di impiego saltuario: Apparecchi dimostrativi, meccanismi per manovra di porte scorrevoli ..................................................
500
Macchine funzionanti per brevi periodi o saltuariamente il cui arresto accidentale non ha eccessiva importanza: Utensili a mano, paranchi per officine, macchine a mano in gene~e, macchine agricole, gru per montaggio, apparecchi domestiCI .....................................................
4000-8000
Macchine ~er funzionamento intermittente il cui arresto accidentale è a evitare: Macchine ausiliarie per produzione di energia, trasportatori continui, gru per depositi, ascensori, macclìme utensili ausiliarie .......................................................
8000-12.000
Macchine per funzionamento intermittente di 8 ore al giorno: Motori elettrici fissi, ridut.tori in genere .....................
12.000-20.000
.Macchine per funzionamento continuo di 8 ore al giorno: Macchine per l'industria meccanica in genere, gru parco deposi ti, ventilatori, contralberi ...............................
20.000-30.000
Macchine per funzionamento continuo (24 ore al giorno): Separatori centrifughi, compressori, pompe, elevatori per miniere, motori elettnci fissi; macchine per funzionamento continuo su navi da guerra .....................................
40.000-60.000
Macchine per~unzionamento continuo di 24 ore al giorno per le quali si ric .iede assoluta sicurezza di funzionamento: Macchine per la fabbricazione della cellulosa e della carta, macchine per la produzione di energia per servizio pubblico, Rompe per miniere 1 impianti per acque.d_otti, macchine per unzwnamento contmuo su navi mercant1h ..................
100.000-200.000
11.5 - Cuscirletti a strisciamento I cuscinetti a strisciamento, secondo quanto si è già avuto modo di anticipare, altro non sono che semplici supporti, portanti o di spinta, nei quali, a causa dell'assenza di elementi meccanici intermedi come le sfere od i rulli dei cùscinetti a rotolamento, il moto relativo tra albero e supporto è esclusivamente un moto di strisciamento. I cuscinetti a strisciamento, pur potendo in talunì casi presentare un funzionamento a secco (ciò avviene ad esempio quando le applicazioni cui sono destinati sono caratterizzate da carichi di modesta entità o da moti relativi a bassa velocità o intermittenti), funzionano, nella grande maggioranza dei casi, in presenza di un opportuno lubrificante avente lo scopo percipuo di attenuare i fenomeni dovuti all'attrito e quindi di diminuire in definitiva i valori della potenza dissipata dall'accoppiamento. Tale lubrificante, poi, può esplicare la sua funzione secondo differenti modalità, ed a questo proposito vengono di solito distinti nelle applicazioni pratiche tre tipi di lubrificazione e precisamente:
a) lubrificazione idrostatica; b) lubrificazione i:drodinamica; c) lubrificazione limite. Nella lubrificazione idrostatica il lubrificante (e come tale può essere usata anche l'aria) viene introdotto nella zona di carico del cuscinetto ad una pressione di valore tale da poter mantenere separate le superfici dei due elementi dell'accoppiamento anche in assenza di moto relativo fra gli elementi stessi. Anche nella lubrificazione idrodinamica le due superfici in moto relativo si trovano separate da uno strato sufficie!ltemente spesso di lubrificante; in questo caso però lo spessore dello strato non dipende dall'introduzione di lubrificante a pressione elevata, ma dipende-essenzialmente dal moto relativo delle due superfici. L'effetto del moto relativo è infatti quello dì sospingere il lubrificante in opportune zone a sezione variabile (dette meati) comprese fra le due superfici dell'accoppiamento, con una velocità sufficientemente elevata in modo da creare così la pressione necessaria ad equilibrare il carico esterno ed a mantenere separati ralbero ed il cuscinetto. n caso della lubrificazione mista (o limite), infine, è quello in cui, per
393
392 effetto di un carico troppo elevato o di una troppo piccola velocità relativa tra gli elementi dell'accoppiamento, non si possono raggiungere le condizioni necessarie allo stabilirsi di un regime di lubrificazione idrodinamica, e ci si ritrova pertanto in presenza di un parziale contatto metallico tra albero e cuscinetto. Nei sucèessivi paragrafi verranno esaminati per primi i cuscinetti con lubrificazione idrodinamica, che costituiscono il caso più comune di cuscinetti a strisciamento, mentre successivamente verranno esaminati i cuscinetti con lubrificazione idrostatica e limite. Nei cuscinetti a strisciamento, la proprietà del lubrificante fondamentale, che ne determina le caratteristiche di funzionamento, è la viscosità, che è stata definita nel paragrafo 3.6 del volume l. È tuttavia opportuno ricordare che la scelta di un lubrificante non va effettuata esclusivamente in base aj valori della sua viscosità, ma che vanno generalmente tenute in conto anche altre sue caratteristiche, quali ad esempio l'acidità, la resistenza chimica, il punto di ebollizione, la resistenza a formare schiume, il calore specifico, la conducibilità. termica, e così via.
g) lo strato .del lubrificante presente tra i d'ue elementi in moto relativo sia così sottile da consentire di trascurare la curvatura degli stessi; ed infine che: h) in ogni sezione normale alla direzione della velocità del fluido la pressione si mantenga costante. Di tutte queste assunzioni, alcune sono pienamente giustificate dal comportamento del fluido in esame, mentre altre, a cominciare dall'ipotesi di viscosità. costante, sono valide solo in prima approssimazione (si tenga ad esempio presente per quanto concerne la viscosità, che si è in generale in presenza di variazioni di temperatura nel fluido lungo il meato e che di conseguenza varia anche la viscosità del fluido stesso). Ciò nonostante, i risultati teorici ottenuti sulla base delle ipotesi prima elencate sono generalmente abbastanza ben verificati nella pratica, ed essi pertanto possono fornire una sufficientemente valida spiegazione dei fenomeni riscontrati.
11.6 - Equazione di Reynolds Per ottenere in modo semplice una relazione fra le varie grandezze in gioco nei supporti lubrificati, relazione che tornerà utile per risolvere numerosi problemi concernenti la lubrificazione idrodinamica e quella idrostatica, conviene formulare alcune ipotesi semplificative, che, peraltro, sono normalmente più che accettabili nei problemi relativi alla lubrificazione. In particolare, verrà supposto che: a) il lubrificante sia un fluido newtoniano; b) il lubrificante sia un fluido incompressibile (ossia a densità costante); c) la viscosità del lubrificante si mantenga costante lungo tutta la zona interessata deli 'accoppiamento; d) gli effetti dovuti all'inerzia del fluido siano trascurabili; e) il peso del lubrificante sia trascurabile; f) il moto del fluido sia laminare;
(H~dy)~x
~~
l-(P+ ~~
dx)dy
T. d x
x
il Fig. '287 - Equilibrio di un elemento di fluido
Si consideri dunque il caso semplice di due elementi in moto relativo l'uno rispetto all'altro e si supponga ad esempio che le loro superfici non siano parallele (Fig. 281) e che l 'elemento inferiore trasli con una velocità
395
394
costante V. Se si analizza ora un elemento infinitesimo di fluido di larghezza unitaria, lunghezza dx e spessore dy, si può osservare che sulle due facce normali alla direzione del moto agiscono le forze per unità di larghezza p. dy e - (P+
~~ dx) dy dovute alla pressione, mentre sulle due facce laterali agiscono
le forze per unità di larghezza -Tdx e (T+
~: dy) dx dovute alle azioni tangen-
ziali originate dalla presenza della viscosità. Scrivendo allora una equazione di equilibrio alla traslazione secondo l'asse x dell'elemento di fluido considerato si avrà: pdy - (p +
~~ dx) dy -
Tdx
+ (T + ~; dy)
dx
=O
per cui si otterrà in definitiva: (2.208)
l dp (h- y) u= - - ( y - h ) y + V - 2p. dx
dove, si noti, l'altezza h di una generica sezione del meato non è costante, ma è normalmente variabile lungo l'asse x del moto stesso. Volendo ora eliminare la variabile u della. (2.208) ed ottenere una relazione tra le sole grandezze note del problema in esame, basta osservare che la portata in volume di fluido per unità di larghezza del meato in una generica sezione di altezza h è da.ta da.:
da cui si otterrà in definitiva: (2.207)
{)p _
8T
{)x -
{)y
Poichè la pressione, sulla. base di una delle ipotesi assunte, si mantiene costante lungo y, si può sostituire alla. derivata parziale della. pressione lungo x la sua. derivata. totale e, sempre dalla (2.207), si otterrà. ancora., in base alla (1.55): dp {) 2u d x =p. {)y2
Integrando ora. questa equazione rispetto a.d y si ha: 8u l dp -{)y = --y+fl(x) ,u dx
ed integrando ancora una volta si a.vrà:
dove fl(x) ed h(x) sono due funzioni che dipendono dalle condizioni ai limiti; nell'ipotesi in cui l'angolo formato tra le superfici in moto relativo sia piccolo, tali condizioni, relativamente al caso in esame, sono date da:
{
u= V
per y =O
u=O
per y =h
h
q
=
1 h
o
d
u ·Y
per cui si ricava in definitiva che: (2.209)
Vh 2
h3 dp 12,u dx
= -.- - - ·..
dp _-6,:tV'(.·~·'=·2q) - 1-dx h2" ~· •. · Vh
Questa relazione, che collega trà loro· il gradiente di pressione dpfdx esistente nel fluido, la velocità V della. parete mobile, la. portata. in volume q e l'altezza generica h della sezione a cui queste grandezze si riferiscono, costituisce l'equazione di Reynolds(*) nella sua forma più semplice, ossia relativa ad un caso di moto bidimensionale del fluido nel piano xy, ed una espressione simile può essere ovviamente ricavata nel ca.so più generale di un moto tridimensionale. Nella (2.209) il rapporto 2q/V è una. costante poichè, essendo per ipotesi il fluido incompressibile, la portata. q è evidentemenete costante in tutte le sezioni; questo rapporto ha le dimensioni di una. lunghezza e l'equazione di Reynolds può perciò essere anche scritta. sotto la. forma: (2.210)
dp dx
= 6p.~ h-
(1- h*) h
(*)Fu appunt.o Osborne Reynolds nell886 a derh·are la present.e equazione e ad utilizzarla per la spiegazione dei principali fenomeni riscontrat.i nella lubrificazione.
397
396 dove evidentemente: h•
= 2qfV.
11.7- Applicazione dell'equazione di Reynolds ad alcuni casi elementari Si consideri, quale primo esempio applicativo di quanto finora esposto, un pattino dotato di uno scalino di spessore e (Fig. 288) che si muove di moto traslatorio con velocità V relativamente ad una superficie piana, e si supponga sia ad allungamento infinito, ossia che il rapporto tra la sua larghezza e la sua lunghezza sia molto grande e tale comunque da consentire di trascurare gli effetti laterali.
meato è costante, la derivata della pressione rispetto a :r è costante; b) poichè la pressione è a sua volta necessariamente uguale alla pressione esterna (posta a zero) all'inizio ed alla fine del pattino, ne consegue che all'interno del meato si deve avere un primo tratto a pressione crescente seguito da un secondo tratto a pressione decrescente; c) il valore massimo della pressione Pm si otterrà in corrispondenza dello scalino e, in base alla (2.210), esso varrà:
(2.211)
d) dovrà infine essere ovviamente soddisfatta la condizione geometrica:
y
(2.212)
Si supponga ora di assegnare il valore dello spessore minimo del meato h 2 e di voler determinare i valori della massima pressione Pm e del carico totale P sopportabile dal pattino, nell'ipotesi che la sua larghezza sia. l. Dalle (2.211)
e (2.212) si ricava. dopo alcune semplici operazioni:
{
6J.LVabe
x
Pm
= ah~+ b(h2 + e) 3
mentre il carico totale P sarà da.to a. sua. volta. da:
l.
a
·l·
b
Fig. 288 - Pattino piano con gradino
Osservando la Fig. 288 si può constatare che il pattino forma con la sede fissa. un mea.to costituito da. due tratti a. spe<;sore costante h1 ed h2 , e ciò conduce alle seguenti considerazioni: a.) dall'equazione di Reynolds (2.210) si ricava che, se lo spessore h del
P=l
l
a+b
o
l p(x)dx=l·-(a+b)pm
2
e quindi da: P= 3~Vab(a+b)le ah 2 + b(h2 + e)3
Quale secondo esempio, si consideri il caso di un pattino piano che formi un meato a spessore costante h. che avanzi con velocità costante V e nel quale
399
398
venga immessa una portata di fluido per unità di larghezza pari a q (Fig. 289). Anche in tal caso è ancora possibile ottenere lungo il meato un gradiente di pressione dpjdx diverso da zero, poiché le portate di fluido all'interno del primo e del secondo tratto sono differenti tra loro. Si ha dunque, utilizzando la (2.209): Pm a
= 61tV2
( 1-
h
{ _Pm b
= 6J.LV2 h
(
2ql) Vh 1- 2q2) Vh
caso precedente: P= l
a+b
1 o
p(x)dx
(a+ b) =1--pm 2
e da questa si otterrà la relazione: 6J.Lablq P - -h3 -
relazione che fornisce il legame esistente tra il valore del carico P sopportabile dal pattino ed i valori delle grandezze ca.ra.tteristiche dell'accoppiamento.
ed essendo il fluid
Fig. 289- Pattino piano con immissione intermedia di lubrificante
Così come i cuscinetti a. rotolamento, anche quelli a strisciamento possono essere di tipo portante e reggispinta, ed in quest'ultimo caso essi sono realizzati, nella loro versione più semplice, accoppiando un anello fissso E, che porta un certo numero di pattini S rettilinei inclinati (Fig. 290), con un anello rotante R, detto ralla, solidale all'albero e coassiale con quello fisso. Entrambi gli anelli sono immersi nel lubrificante, e questo viene immesso nel loro interno utilizzando appositi fori posti nelle scanalature esistenti tra i vari pattini. ll carico PT, applicato lungo l'asse dell'accoppiamento, viene pertanto ad essere euiqlibrato dalla risultante delle pressioni originate nel lubrificante dalla presenza dell'effetto idrodinamico dovuto al moto relativo della ralla e dell'anello fisso. I cuscinetti reggispinta così costruiti prendono il nome di cuscinetti Michell e le loro prestazioni vengono generalmente ricavate supponendo che il carico totale PT sia ugualmente suddiviso fra i vari pattini, ed ipotizzando inoltre che la distribuzione di pressione lungo ogni pattino sia uguale a quella realizzata da due elementi rettilinei aventi la stessa geometria e animati di moto traslatorio con velocità pari alla velocitf periferica media:
Da queste espressioni si ricava facilmente il valore della pressione massima, valore dato da: l2J.Labq
Pm
= (a+b)h3
Se inoltre il carico totale è P e la larghezza del pattino è l. si avrà, come nel
Ogni pattino può dunque essere schematizzato secondo quanto indicato dalla Fig. 291; la lunghezza l che i vi compare sarà ovviamente pari a ì (d 1 : d 2 ),
400
401
dove 1 (Fig. 290) è l'angolo di apertura di ogni pattino, mentre la sua larghezza in senso normale alla figura sarà data da b (d 2 - d1)/2. n rapporto
=
Sulla base di questa relazione e ricordando che k9 è pari normalmente a circa 0,8, che la pressione media Pm è in genere compresa tra 3 e 4 MPa e che il valore del diametro d 1 è solitamente di poco superiore a quello dell'albero dell'accoppiamento, si potrà in definitiva determinare il diametro esterno del cuscinetto una volta. che sia nota l'entità del carico totale Pr agente su di esso.
x
y Fig. 291 - Schematizzazione di un pattino di un cuscinetto Michell
Fig. 290 - Schema di cuscinetto reggispinta Michell À tra larghezza e lunghezza del pattino prende il nome di allungamento del pattino stesso, ed è naturalmente pari a:
Al_ fin_e_ di _v:a.l_ut_ar~ ora la ~apacità portante di un cuscinetto quando siano asseÙla~_k§ue_.ill_m_ensionLecÙl tlpo -di lubriflc~il:te__im:Qi§gat!,), si inizi col co-nsiderare il caso ideale di un.pattino.ad.allungamento infinito, ossia di un pattino in cui À sia sufficientemente grande e tale da consentire di trascurare le fughe laterali di lubrificante. In questo caso dalla equazione di Reynolds (2.210) si ha: (2.213)
Prima di procedere al calcolo della distribuzione delle pressioni lungo il pattino, conviene soffermarsi su alcune considerazioni utili al dimensionamento di massima dei cuscinetti Michell. Indicando con k9 la frazione di circonferenza occupata dai pattini, la. pressione media agente su di essi è pari
dp= 6,uV ( hl 2
-
h*) h dx 3
dove lo spessore h del·meato è ora una funzione di x e vale (Fig. 291): (2.214)
a: Pm
=
4Pr k (d' iT ·g ·2 - d') i
Per ottenere le condizioni al contorno del problema basta osservare che la pressione esistente nelle sezioni iniziale e finale del pattino, pari alla pressione
402
403
che regna nell'ambiente in cui si trova il cuscinetto, costituisce per l'accoppiamento in esame una pressione di riferimento e che quindi, essendo per ipotesi il fluido incompressibile, essa può essere posta pari a zero. Sarà pertanto:
ed in base allei (2.215) si otterrà: p= 6ttVb/
(2.216) p=
O
{ p=O
per
x= O
per
x= l
Integrando allora la (2.213), dopo aver sostituito in essa il valore di h dato dalla (2.214), e tenendo conto delle condizioni al contorno sopra scritte, si ottiene la relazione: (2.215)
h~
2
(-1-) ç -l
2
[In
ç _ 2(( -l)] . ç +l
dove ç non rappresenta altro che il valore del rapporto hl/h 2 • L'ascissa x 0 del punto di applicazione della forza risultante delle azioni di pressione sarà a sua volta data da:
(2.217)
xo
=
f~ p(x)x dx J~ p( x) dx
=
/(( 2 - l- 2(ln() 2((( - l)ln(- 2((- 1)2) 2
mentre la forza tangenziale agente sul pattino e dovuta alla viscosità del fluido sarà evidentemente pari a:
relazione che fornisce l'andamento della pressione all'interno del meato considerato. In base alle (2.213) e (2.215) il valore massimo della pressione ali 'interno del fluido viene raggiunto in corrispondenza dell'ascissa: x
•
Fr
(2.218)
ed è dato da:
3(~-1)
2_!_
_!_
+ l)
h2 h2 Dall'espressione dell'ascissa del punto di pressione massima si può osservare che ad a: = O corrisponde x• = //2 e che all'aumentare di a: il punto stesso tende a spostarsi verso ascisse di valori sempre maggiori di 1/2. In condizioni di equilibrio il carico P agente su ogni pattino deve essere necessariamente uguale alla risultante delle forze di pressione, per cui sarà:
P. _ Ph 2 2(( 2 - l)ln(- 3((- 1) 2 T l 3(( + l)ln(- 6((- l)
Le (2.216), (2.217) e (2.218) sono espressioni abbastanza complesse per quanto concerne l'uso pratico, e pertanto vengono normalmente riscritte in modo più conciso facendo comparire in esse tre coefficienti adimensionali cp, cm e c1 , funzioni unicamente del rapporto ( = hifh 2 , e più precisamente esse appaiono S6tto la forma: ttVbz2 P =-h2 Cp '2
(2.219)
P=blp(x)dx
dx y=O
In questa espressione al valore di 8uj8y può essere sostituito quello ottenibile dalla (2.208) per cui si avrà in definitiva:
+ad)/ = (h2 2h2 +a:/
ttVI Pmax = };2 h (h 2
=b lot r(x)dx = btt lo( (~u) Y
404
405
mentre i valori dei tre coefficienti cp, cm e CJ in funzione di ( sono riportati nel diagramma della Fig. 292. Si noti ora che dalla terza delle (2.219) si può calcolare anche il valore della potenza W dissipata per attrito in ogni pattino, in quanto essa vale:
0.18 Cp
0.16
0.14
0.12
0.10
0.9
\"
Cj Cm
0.8
cj_ ~ \
i v b K ---t-r-Z r-- ,_ v
0.6
l
""'
0.08
""'"
0.0 6 0.0 4 o
0.7
~
2
3
4
5
6
........
e pari a:
Q=Vb~ hl+ h2
Fino a questo punto del calcolo si è implicitamente ipotizzato, facendo riferimento all·a Fig. 291, che fosse nota l'inclinazione a del pattino, ma gli stessi ragionamentio effettuati valgono anche nel caso in cui si abbia un cuscinetto a pattini orienta.bili, ossia un cuscinetto realizzato con pattini incernierati in un ben determinato punto della loro lunghezza (Fig. 293). In questo caso l'angolo di inclinazione a del pattino durante il funzionamento è sì incognito, ma è per contro noto il punto di applicazione della forza agente sul pattino (cioè la cerniera, ed è di conseguenza noto il valore di c,; le prestazioni di un tale tipo di cuscinetto possono pertanto essere ricavate usufruendo dapprima dei grafici della Fig. 292 ed utilizzando poi le (2.219).
o.s 0.4
~
7
'~
8
0.3
~ 9
0.2 10
~=h,/h2
Fig. 292- Coefficienti Cp, Cm e CJ in funzione del rapporto ( pattino ad allungamento infinito
=
hdh2 nel caso di
Sulla base poi dell'entità della potenza dissipata per attrito, si può anche effettuare un calcolo appròssimato dell'aumento ·ai temperatura subìto dal lubrificante nel passaggio attraverso il pattino. Supponendo infatti che tutta la -potenza dissipata vada a riscaldare il lubrificante, ed indicando con p la densità di questo, con c il suo calore specifico e con Q la portata di fluido in una generica sezione, si ha: W= pcQ!j,T
dove !j,T rappresenta il valore dell'aumento di temperatura cercato e dove al valore della portata Q va sostituito quello rica.vabile dali 'equazione di Reynolds
Fig. 293 - Schema di cuscinetto con pattini orientabili
Tutto ciò che è stato finora esposto si riferiva, per ipotesi, al caso di un pattino ideale di allungamento infinito; volendo ricavare le caratteristiche di un pattino ad allungamento finito va innanzi tutto osserva.to che questè certamente peggioreranno rispetto al caso ideale in quanto la pressione deve in tal caso essere nulla su tutti e quattro i lati del pattino, e di conseguenza essa assume nei vari punti del pattino stesso valori minori di quelli corrispondenti al caso di pattino ad allungamento infinito. I valori del coefficiente di pressione cp da introdurre in un caso reale nella prima delle (2.219) per calcolare il carico sopportabile dal cuscinetto sono riportati nella Fig. 294 in funzione di (e per diversi valori di A; naturalmente, anche gli altri coefficienti che compaiono
14. JACAZIO-PIOMBO - La trasmissione del moto
407
406 0.16
nelle (2.219) variano al variare di >. e la Fig. 295 riporta infatti il valore del rapporto c1 /cp in funzione di (per diversi valori di >.. Si è qui preferito riportare l'andamento del rapporto c1 /cp in quanto esso è direttamente proporzionale al coeffici~nte di attrito equivalente f del cuscinetto; dalla prima e dalla terza delle (2.219) si ha infatti:
Cp
0.14
0.12
0.10
f=Fr=CJh2
p
Cp
/
0.08 1.0 Cm
0.06
0.9
0.04 0.8
l~
0.02
...,...
0.7
o o
2
3
4
5
Fig. 294 - Andamento del coefficiente di pressione
7
6 Cp
8
9
~
10
~~ ::z:L_ ;::;-
0.6
nei pattini ad allungamento finito 0.5
30o
l
200
··~·\\
't Cp
100
80 60
30
20
r-""' f--1.5 \ '\
o(_\
.........
0.7.\""--.. . . . .
-·:~
4
~l 1
l
T
2
3
--
...--::
-::?::::.-::~ ~
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~
.....-- ~ ~
l l
00~
o
1--
--
........ 10 1--- 2 1 4 \ . 8
6
o
2
3
4
Fig. 296 - Andamento del coefficiente
l
f40
0.4
~ ~l l
~~
l ~~
~~
4
5
6
l 7
8
l 9
~ 10
Fig. 295 - Andamento del rapporto cJl Cp nei pattini ad allungamento finito
---a_ &
~ .::;:::::- ---=
5 Cm
6
7
l
8
9
~
10
nei pattini ad allungamento finito
In Fig. 296 è invece riportato l'andamento, sempre in funzione dei due parametri adimensionati ( e >., del coefficiente adimensionato cm che individua la posizione della.forza risultante delle azioni di pressione, mentre in Fig. 297 sono riportati, in funzione di ( e >., due fasci di curve: quello continuo rappresenta l'andamento del rapporto tra. la. portata. Q che entra nel meato e la portata. caratteristica v'bh 2 (ed in esso la. curva. corrispondente a>.= oo è palesemente quella ottenibile direttamente dall'equazione di Reynolds), mentre quello tratteggiato indica i valori della portata. QL che fuoiiesce lateralmente dal cuscinetto, sempre riferita alla portata caratteristica, e sempre in funzione dei parametri ( e >.. · Nella Fig. 298, infine, è illustrata. la realizzazione costruttiva dell'anello fisso di un cuscinetto Michell progettato dali 'U .I.I. (Ufficio Impianti
409 408
-a)
----b)
2.51---1---+21---+----1f--
Idroelettrici, Milano), realizzato dall'ASGEN {Ansaldo San Giorgio, Genova), e destinato a sostenere la girante di una delle turbine Kaplan utilizzate nella centrale idroelettrica di Jupià in Brasile. Tale cuscinetto sopporta carichi di intensità pari a 2300 t ed in esso i pattini sono dotati di un particolare sistema di equilibratura idraulico: ciascuno di essi infatti oscilla attorno ad un punto solidale ad un pistone idraulico e spostato rispetto al baricentro del pattino stesso; si riesce così ad avere l'inclinazione voluta della superficie di scorrimento dei pattini, ed ottenere di conseguenza una corretta formazione del velo d'olio lubrificante. I pistoni idraulici di tutti i pattini sono poi collegati tra loro mediante un collettore, visibile nella Fig. 298, che assolve la specifica funzione di garantire l 'uniformità della ripartizione del carico gravante sull'intero cuscinetto.
11.9 - Andamento divergente
Fig. 297- Portata entrante nel meato (a) e portata uscente dai lati (b) di un cuscinetto ad allungamento finito
della
pressione
in
un
meato
convergente-
Si consideri ora un pattino dota.to di una superficie sagomata in modo da formare, rispetto ad una sede piana, un meato costituito da due tratti distinti: un primo convergente ed un secondo divergente (Fig. 299); quando il y
-v
x
Fig. 299- Andamento della pressione in un meato convergente-divergente
Fig. 298 - Realizzazione costruttiva di un anello fisso di un cuscinetto Michell (U.I.l., Milano; ASCE.-,..', Genova)
410
411
pattino e la sede piana sono in moto relativo tra loro, la pressione varia lungo il meato secondo quanto stabilito dall'equazione di Reynolds (2.209) ed assume l'andamento individuato dalla curva a) della Fig. 299. La curva teorica delle pressioni è dunque una curva antisimmetrica rispetto al punto centrale del meato, ed una tale distribuzione di pressioni lungo il meato stesso è ottenuta integrando l'equazione di Reynolds nell'ipotesi che sia p= Oper x= ±oo, condizione questa che prende il nome di ipotesi di Sommerfeld. Essendo la distribuzione delle pressioni rappresentata da una curva antisimmetrica, è chiaro che, se nel primo tratto del meato esiste una grande pressione positiva, esisterà di conseguenza una altrettanto grande pressione negativa nel tratto divergente del meato stesso. Va ora osservato, che i fluidi lubrificanti possono essere sottoposti con continuità solo a pressioni negative molto piccole ( ovviamente in riferimento a quella ambiente); ciò significa pertanto che, se la pressione all'interno del tratto divergente tende ad assumere valori negativi rilevanti, la corrente fluida si rompe e la pressione rimane pressochè costante ovunque. Ciò corrisponde in pratica ad avere all'interno del meato una distribuzione di pressioni simile a quella indicata dalla curva b) della Fig. 299. La curva b) è ancora ottenuta integrando l 'equazione di Reynolds (2.209), ma ponendo delle condizioni aj limiti differenti da quelle ipotizzate da Sommerfeld, e precisamente assumendo che sia p = O, per x = -oo e che, per x > O, sia p = O dove dp/dx = O. Questa condizione ai limiti prende il nome di condizione di Reynolds ed è quella che, in definitiva, consente di calcolare una distribuzione di pressioni più aderente a quella verificata sperimentalmente.
11.10 · Cuscinetto portante completo
Si consideri ora. un cuscinetto portante lubrificato costituito da un albero di raggio r accoppiato ad una. sede circolare (detta boccola) di raggio R leggermente maggiore di quello dell'albero, e sia di conseguenza. b = R- r il gioco radiale. Si supponga inoltre che ali 'albero sia applicato un carico costante è chiaro che se l 'albero è fermo, esso appoggia, per effetto del carico applicato, sulla boccola lungo una sua generatrice; se invece l'albero ruota ad una data velocità angolare w, esso va a disporsi eccentricamente rispetto alla boccola in modo da formare un rneato ed originare una relativa distribuzione di pressioni, la cui risultante serve ad equilibrare il carico esterno applicato.
P:
n problema relativo alla determinazione dell'andamento della pressione lungo il meato nel caso di un cuscinetto completo (ossia di un cuscinetto che si estende per tutti i 360°) è stato risolto per la prima volta da Sommerfeld nel 1904 per il caso di cuscinetto ad allungamento infinito, ossia per il cuscinetto ideale in cui la lungh.ezza del perno è molto maggiore del suo diametro.
Fig. 300 - Schema di cuscinetto portante lubrificato completo
Si consideri allora (Fig. 300) un perno di raggio r e centro 01 in posizione eccentrica rispetto ad una boccola di raggio Re centro 0 2 , e si assuma come origine degli angoli {) quella individuata da.lla semi retta uscente da 01, congiungente i centri 0 1 ed 0 2 e corrispondente al massimo spessore del meato. Se si indica con e l'eccentricità, ossi a la distanza esistente fra i centri 01 e 02, distanza che è sempre molto piccola rispetto ai raggi ,. ed R, lo spessore h del meato in corrispondenza di una generica sezione è allora esprimibile mediante la: h= 02P2- 02P1
Essendo però:
=R- OzP1 =R- (0' P1- 020')
412
413
e:
= 0 20 1 cos iJ = e cos iJ
0 2 0' sarà anche:
h= R- r+ ecosiJ
=6 + ecosiJ
e, ponendo e::;::; e/6 si otterrà in definitiva: (2.220)
Dalla (2.220) è facile osservare che lo spessore h del meato, massimo per '19 = O e pari a hmax = 6(1 +e:), diminuisce all'aumentare di iJ, raggiunge un valore minimo hmin 6(1 -e:) per iJ 1r, e quindi torna ad aumentare per raggiungere di nuovo il valore h hmax per i} 27r. n meato pertanto è proprio del tipo convergente-divergente descritto nel precedente paragrafo, e la soluzione del problema è quindi ottenibile integrando l'equazione di Reynolds (2.210) scritta ora sotto la forma:
=
dp RdiJ
=
6pV [ 1
= h2 (iJ)
=
h* ] - h(iJ)
ed assumendo come condizione ai limiti la condizione di Reynolds, e cioè ipotizzando che sia: p {
e che, per
.'!J
(2.221)
S
= pLRw(R/6)
= e/6;
tale parametro è il
2
-;rP
dove J.L rapp.resenta al solito la viscosità dinamica del lubrificante, L la lunghezza del perno, w la velocità angolare in rad/s e P l'intensità del carico applicato all'accoppiamento. Esprimendo la velocità angolare in giri/min (n) si avrà:
h= 6(1 +e: cosiJ)
=
dato allungamento di questo, del solo rapporto e: numero di Sommerfeld S, ed è definito dalla:
=O per iJ =O
> 1r sia p::::: O nel punto in cui dp/ d{} = O.
La risoluzione dell'equazione differenziale sopra scritta, con le condizioni ai limiti imposte, è piuttosto complessa, ed ancor più complessa è la ris9luzione delle equazioni differenziali che descrivono il moto del fluido in un cu~cinetto ad allungamento finito. Tali problemi vengono quindi prevalentemente affrontati per via numerica ed i risultati ottenuti sono qui di seguito esposti ricorrendo all'uso di alcuni grafici. Dalla risoluzione dell'equazione di Reynolds, si è in grado di identificare un parametro adimensionato, caratteristico del cuscinetto e funzione, per un
S
= pLRn(R/6) 2 30P
Se invece si esprime la velcoità angolare in giri/s (N) si avrà: S
= 2pLRN(R/6) 2 p
E' bene ancora rammentare che i grafici che sono qui riportati dalla Fig. 301 alla Fig. 30.5 sono validi esclusivamente per un cuscinetto completo e sono stati ricavati nell'ipotesi che sia p= O per iJ = O; ciò presuppone che l'immissione di lubrificante avvenga in corrispondenza della sezione in cui il meato ha la massima altezza (iJ = O). In realtà questa evenienza non è sempre verificata anche perché, come si può osservare dalla Fig. 303, l'angolo compreso tra la direzione del carico e la congiungente dei centri varia al variare delle condizioni di funzionamento; ciò significa in pratica che anche se l'immissione di lubrificante avviene per iJ = O in una certa condizione di funzionamento, essa non avverrà pii1 in corrispondenza di v= O per un'altra condizione di funzionamento diversa dalla precedente. Ciò nonostante, l'immissione di lubrificante avviene nella realtà sempre nell'intorno della posizione iJ = O ed un cuscinetto completo è poco sensibile a variazioni anche di ±20° rispetto Cf questa condizione. Se però l'immissione di lubrificante avvenisse in zone molto discoste dalla linea iJ = O, si dovrebbe considerare il cuscinetto non più come completo, ma come un cuscinetto parziale, ed il comportamento di quest'ultimo dovrebbe essere analizzato secondo le modalità che verranno esposte nel paragrafo successivo.
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0.3
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Fig. 301 - Andamento dell'eccentricità relativa tante lubrificato completo
E:
0.7
1
2
3
5
10
7
20
30
50
70
100
in funzione del numero di Sommerfeld S per un cuscinetto por-
Rf
o
1000 800 600
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10
20
30
7
Fig. 302- Andamento del parametro Rf /6 in funzione del numero di Sommerfeld S per un cuscinetto portante lubrificato completQ
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70 100
Andamento dell'angolo
fJmax
jJ
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l
r-t-1 -+1.--11~1L1U11 11L:
l l l l Hl
2:=p,~~~~ 0,
1
0.01
0.02
1
1
1
1
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1 1 1 1
0.1
1
1
0.2
0.3
1
1 1 1 1 11
0.5
0.7
1
s
1
1
2
3
1
1 1 1 1 11 5
7
10
1 20
1 1 1 1 1 l Il 30
50
70
Fig. a04 - Andamento del rapporto Pmax/Po in funzione del numero di Sommerfeld S per un cuscinetto portante lubrificato complet.o
100
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418
419 o !2
R o
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o .....o u
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(2.222)
.....
.: ..... .... o Cl.. .....o ..... Q)
Nella Fig. 302 viene riportato l'andamento della quantità fR/8 in funzione del numero di Sommerfeld S, dove f sta ad indicare un coefficiente di attrito definito come rapporto tra la coppia resistente Mr, originata dall'accoppiamento, ed il prodotto del carico applicato P per il raggio R:
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(2.223)
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2R
j == Mr
RP
Si noti che la Fig. 302 è valida solo fino a quando il cuscinetto funziona in regime idrodinamico, ossia finchè il gioco minimo esistente fra perno e cuscinetto è sufficientemente grande e tale da assicurare la presenza di un velo continuo di lubrificante. Ove questa condizione venisse a mancare, l'attrito fra perno e cuscinetto si manifesterebbe con modalità di tipo misto, ed a queste si farà riferimento nel paragrafo 11.15 del presente Capitolo. ll grafico della Fig. 303 riporta i valori deU:angolo
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Tornando ora ai grafici che forniscono le prestazioni di un cuscinetto completo, si può osservare che la Fig. 301 riporta il valore dell'eccentricità relativa e efé in funzione del numero di Sommerfeld S e per diversi valori dell'allungamento >., definito ora come:
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La Fig. 305 infine riporta, sempre in funzione del numero di Sommerfeld S, i valori della portata. adimensionata. ii: che fuoriesce dalle estremità laterali del cuscinetto e definita come:
421
420
dove al solito N rappresenta i numeri di giri al secondo del perno e Q. la portata effettiva di fluido fluente delle estremità dell'accoppiamneto.
11.11 - Cuscinetto portante parziale
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Un cuscinetto parziale (Fig. 306) è, come si è già avuto modo di anticipare, un cuscinetto in cui la zona utile dell'accoppiamento ricopre un arco f3 inferiore ai 360°; in generale poi l'angolo /3 è nei_ cuscinetti parziali inferiore anche ai 180°. La soluzione delle equazioni differenziali che descrivono il comportamento di un cuscinetto portante parziale è ancor più complicata di quella relativa ad un cuscinetto completo per il fatto che in questo caso vengono introdotte nel problema due nuove variabili, e precisamente l'ampiezza angolare f3 del cuscinetto e l'angolo a che individua la posizione del carico rispetto al cuscinetto stesso. La soluzione delle equazioni relative ad un cuscinetto parziale lubrificato sono qui riportate sotto forma grafica e per il solo caso di cuscinetto caricato simmetricamente, caso in cui sarà ovviamente: a= /3/2.
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Fig. 312- Andamento dell'angolo di assetto in funzione del numero di Sommerfeld S per un cuscinetto parziale con f3 = 120°
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Fig. 313- Andamento del rapporto RJ /6 in funzione del numero di Sommerfeld S per un cuscinetto parziale con f3 120°
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Fig. 314- Andamento della portata adimensionale if.z in funzione del numero di Sommerfeld S per un cuscinetto parziale con fJ 120°
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Fig. 315- Andamento dell'eccentricità relativa e in funzione del numero di Sommerfeld S per un cuscinetto parziale con fJ = 60°
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Fig. 316- Andamento dell'angolo di assetto
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Fig. 317- Andamento del rapporto RJ /6 in funzione del numero di Sommerfeld S per un cuscinetto parziale con f] = 60°
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432
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Le Figg. 309, 313 e 317 illustrano, sempre per gli stessi valori dell'angolo di apertura (3, i diagrammi che riportano i valori del rapporto Rf /6 in funzione del numerò di Sommerfeld S, ed infine le Figg. 310, 314 e 318 riportano, per (3 rispettivamente pari a 180°, 120° e 60°, i valori della portata adimensionata q, che fuoriesce dai lati del cuscinetto in funzione del numero di Sommerfeld
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11.12 - Potenza dissipata in un cuscinetto a strisciamenlQ"::
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433
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dove f è il coefficiente di attrito equivalente, R il raggio del cuscinetto, P il carico gravante su di esso ed w la velocità angolare. Questa potenza meccanica viene trasformata in calore e questo viene poi trasmesso verso l 'esterno sia per conduzione, sia per convezione, sia per irraggiamento. La valutazione delle frazioni di quantità di calore che vengono trasmesse in ciascuno dei tre modi risulta estremamente difficile, e per semplicità si ipotizza normalmente che tutta la quantità di calore sviluppata venga trasmessa -ai(·~~ter~~ per convezione dall'olio che esce dai due lati del cuscinetto. Con questa assunzione, la potenza W dissipata deve essere uguale a: W= pcQ:l::.T
dove p è la densità del lubrificante (mediante 850 kg/m 3 ), c il suo calore specifico (mediamente 0,42 kcal/kg °C), Q. la portata di lubrificante che fuoriesce dai lati del cuscinetto e t:. T l 'aumento di temperatura che il lubrificante ha subìto rispetto a quella che possedeva al suo ingresso nel cuscinetto. Si deve a questo punto osservare che, essendo la Yiscosità del lubrificante funzione della temperatura ed essendo questa variabile lungo il mea.to, si dovrà introdurre nell'espressione del numero di Sommerfeld caraetteristico
434
435
del funzionamento dell'accoppiamento un valo.re della viscosità corrispondente ad una temperatura intermedia tra quella di ingresso T; e quella di uscita T. del lubrificante stesso. Dal confronto tra i risultati teorici e quelli sperimentali ricavati a questo riguardo, si è riscontrato che, per ottenere una sufficiente attendibilità dei primi nei confronti dei secondi, occorre considerare una temperatura effettiva Tetr pari a: Tetr
11.13 - Cuscinetti idrostatici
= 'Fi + 0,8t:.T
ed industriali, compressori, e così via; in alcuni casi poi, l'azione di portanza deriva effettivamente dalla presenza di lubrificante in pressione, mentre in altri la portanza è fornita principalmente dalla presenza dell'effetto idrodinamico, e l'alimentazione mediante olio in pressione viene esclusivamente utilizzata per aumentare la portata assiale di lubrificante e diminuirne di conseguenza la temperatura. D cuscinetto idrostatico elementare è riportato nella Fig. 319, in cui h è l'altezza (costante) del meato, P il carico agente sul pattino, Q la portata immessa nel meato.
l
I cuscinetti idrostatici (o cuscinetti pressuriz~ati) sono cuscinetti, portanti o di spinta, nei quali si immette all'interno dell'accoppiamento una certa portata di lubrificante ad una pressione maggiore di quella. ambiente, ottenendo di conseguenza un effetto di portanza indipendentemente dalla presenza o meno di una velocità relativa tra i due membri dell'accoppiamento stesso. I cuscinetti idrostatici presentano alcmil vantaggi rispetto ai cuscinetti idrodinamici. Uno di questi ad esempio consyste nel fatto che, grazie all'effetto dell'immissione di lubrificante in pressione, l'albero ed il cuscinetto sono sempre separati da uno strato di lubrificante, anche a velocità nulla. Ne consegue pertanto che, essendo la forza resistente viscosa proporzionale alla velocità, l'attrito statico è in tal caso nullo; proprio questa importante proprietà di assenza di attrito statico ha fatto sì che i cuscinetti idrostatici venissero e siano tuttora usati in numerose applicazioni particolari, quali ad esempio i supporti di installazioni radar e di telescopi (i~itelebre telescopio da 200 pollici di Monte Palomar è per l'appunto montato sJ_ un cuscinetto di spinta idrostatico). __ Una seconda caratteristica peculiare dei cuscinetti idrostatici è rappresentata dal fatto che in essi, come si vedrà più avanti, l'altezza del meato è in funzione della radice cubica del carico, mentre in un cuscinetto idrodinamico essa. dipende (2.219) dalla radice quadrata del carico stesso e che pertanto il cuscinetto idrostatico risulta più rigido di quello idrodinamico. I cuscinetti pressurizzati possono essere di tipi quanto mai diversi e possono anche essere costruiti con scopi assai diversi: oltre che nelle applicazioni prima citate di cuscinetti di spinta infatti, essi possono anche essere utilizzati come cuscinetti portanti di macchinari pesanti quali turbine, ingranaggi navali
Fig. 319 - Cuscinetto idrostatico elementare
Indicando con b la larghezza del pattino, e supponendo che questa sia molto grande rispetto alla lunghezza L (allungamento infinito), si ottiene dalla equazione di Reynolds (2.210): 12J.L(Q/2)
po
L/2 =
bh3
(2.225) 3J.LLQ
Po
= bh3
da cui risulta che la relazione fra carico applicato e altezza del meato lubrificato è: (2.226)
436
437
La rigidezza del cuscinetto idrostatico nell'intorno di un determinato punto di funzionamento è data da: (2.227)
k _ (- oP)
-
ah
2
= 9tJL Q 2h 4
Una variante del cuscinetto idrostatico elementare è rappresentata nella Fig. 320, in cui il cuscinetto presenta una cavità centrale nella quale la pressione è praticamente costante e pari al valore massimo Po·
maggiore portata, e questa è la soluzione normalmente adottata nei cuscinetti idrostatici. I due semplici esempi di cuscinetto idrostatico qui presentati si riferiscono al caso di moto del fluido unidimensionale; verrà ora esaminato il caso di un cuscinetto reggispinta, alimentato da una portata costante, in cui il moto del fluido avviene radialmente a partire da una zona centrale. Si consideri dunque l 'albero sottoposto ad un carico assiale di intensità p ed il relativo cuscinetto di spinta idrostatico schematizzati nella Fig. 321. li cuscinetto è costituito da una scanalatura circolare di raggio rr. entro la quale viene immesso l 'olio in pressione, e da un meato di altezza costante h formante una corona circolare di raggi r1 ed ro.
Fig. 320 - Cuscinetto idrostatico elementare con cavità centrale
In questo caso si ottiene, per la p.resisone massima identica alla (2.225 ):
p0 ,
una espressione Fi~.
321 - Schema di cuscinetto idrostatico di spinta con flusso radiale
l mentre la capacità di carico diventa.:
In base alla (2.209rsi può osservare che;- se il cuscinetto è fermo (è quindiv = O), la portata che passa attraverso una sezione infinitesima di meato di larghezza rdfJ è pari a: 3
dq
(2.229)
h dp = -12JJ - -1·df} d7·
per cui la portata totale Q è data da: Confrontando la (2.226) e la (2.229) si vede chiaramente come questa seconda soluzione offra una maggiore capacità di carico, anche se richiede
2
Q=
1 0
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3
7rh .7· dp dq=--6p d1·
438
439
Poiché il valore di tale portata è costante qualunque sia il valore di r, si ha: -1rh3
6p
J
dp
= -Q
J
-dr r
+
11.14 - Cuscinetti idrostatici a pressicme costante I cuscinetti idrostatici esaminati nel precedente paragrafo erano basati sul principio di immettere una portata costante d'olio nel cuscinetto, mentre la pressione massima veniva stabilita di conseguenza in base al carico applicato. Questa soluzione fornisce grande rigidezza al cuscinetto; tuttavia, in molti casi, si preferisce adottare, per ragioni pratiche, una soluzione a pressione costante, in cui la po_rtata che fluisce attraverso il cuscinetto risulta funzione delle dimensioni geometriche del meato, e quindi· anche del carico applicato.
costante
per cui, effettuando l'integrazione, si otterrà in definitiva: 7rh3p
- - = -Q In r + costante 6p
Poiché al raggio esterno la pression~:è pari a quella ambiente, si può determinare il valore della costante di irttegrazione ponendo p = O per r ro, e i/ pertanto sarà:
=
7rh3p
6p
= Q In
7'o r
=
Al raggio interno r r 1 la pressione p è uguale alla pressione. di alimentazione Pa che, se il cuscinetto è alimentato da una pompa volumetrica a portata costante, risulterà ovviamente determinabile mediante la: l (2.230)
E' chiaro poi che il carico P agente sul cuscinetto deve essere equilibrato dalla risultante di tutte le forze di pressione, per cui sarà:
PA Fig. 322 - Schema tipico di cuscinetto idrostatico a pressione costante ;i
( Da questa, dopo opportune semplificazioni; si ricava là: 2
(2.231)
P
l - (rl/ro) 2 =7rroPa 2 l n (ro/7·1)
e. introducendo nella (2.231) il valore di Pa espresso dalla (2.230), si otterrà in conclusione: (2.232)
Un cuscinetto idrosta"tico à pressione costante è schematizzato nella Fig. 322, in cui la sorgente a pressione costante PA è separata dalla camera a pressione p0 da una resistenza idraulica R. Si possono avere due casi: - la resistenza idraulica è lineare (caso di moto laminare del fluido); - la resistenza idraulica è non-lineare (caso di moto turbolento del fluido). Per il caso di moto laminare del fluido, quale è quello che si può ottenere in tubi lunghi e di piccolo diametro, la relazione fra la portata Q e la differenza
440
441
di pressione PA - Po è:
dove cd è il coefficiente di efflusso (normalmente compreso fra 0,5 e 0,75 e mediamente pari a 0,61), A l'area di passaggio dell'orifizio, p la densità del fluido. Sostituendo la (2.238) nella (2.228) si trova, dopo alcuni passaggi:
Q= 1rd4 (PA- Po)
(2.233)
a
128J.t
dove a è la lunghezza di un tubo, di diametro d, percorso dal fluido lubrificante. Tale. relazione sussiste fino a che il numero di Reynolds,
(2.239)
(2.234)
dove:
Po
=
jl
w= in cui
è la densità del fluido èminore di circa di 2300." La resistenza idraulica R risulta allora: p
+ 4h 6 pA/W- l 2h6JW l8J.t 2 L 2l c 2d A 2 pb2
Nota p0 [il carico sopportato dal cuscinetto, per un· dato valore dell'altezza h del diventa:
m;jto,
_ (PA- Po) _ 128J.ta
R-
Q
-
;rd4
r----------------------,
Sostituendo la (2.233) nella (2.228) si ottiene:
l l l
PA Po= l+h3jV
(2.235)
l
l
l
dove:
l 4
V= 37rd LI 128ab
(2.236)
l l
l l r---------------
1
l
l
l
l
(2.237)
p_
b L1
- Po 2 + Po
bL ~ PAb(Lo
o-
+ Lt/2)
l+ h3JV
_N_ota la pressione di alimentazione PA e nota la geometria del cuscinetto è possibile, con questa relazione, ricavare il valore dello spessore del meato in funzione del carico applicato. Una volta che sia noto h è anche possibile determinare p 0 e, di conseguenza, la portata Q in base alla (2.233). Nel caso in cui la resistenza idraulica sia rappresentata da un orifizio, il moto del fluido risulta turbolento. In questo caso, la portata di fluido lubrificante attraverso l'orifizio è esprimibile mediante la relazione seguente: (2.238)
Strozza tori
l
n carico sopportato è allora dato da:
l l
,: l
-ì l
l l
l l
1--------1
l
l
1--------:-, .--~.----. -Te--~m-f-,------___,..~,...,..,..___,,_..J Pompa ·
l l
l l l l
Valvola !imitatrice di pressione
l
~-------------------------~
Fig. 323 - Schema di cuscinetto portante idrostatico con circuito idraulico a pressione costante
La lubrificazione idrostatica, oltre che per i cuscinetti reggispinta, può essere utilizzata per i cuscinetti portanti. Questi sono costituiti, nella loro
443
442 versione più semplice, da un cuscinetto dotato di quattro gole nelle quali viene inviata una certa portata di lubrificante in pressione (Fig. 323). Se il çarico agente sul perno è nullo, il perno si mantiene centrato rispetto al cuscinetto; se invece il carico è diverso da zero, il perno si dispone eccentricamente rispetto al cuscinetto, variando così la distribuzione delle pressioni all'interno del meato in modo da realizzare l 'uguaglianza tra la forza risultante da tale distribuzione ed il carico esterno stesso. Il cuscinetto idrostatico della Fig. 323, che rappresenta un tipico cuscinetto portante per mandrini di macchine utensili, presenta, oltre alle quattro camere di immissione del lubrificante, anche quattro gole di scarico in cui il lubrificante è r raccolto e inviato al serbatoio. Il cuscinetto lavora con una . pompa a pressione costante che invia l 'olio a quattro strozzatori, i quali dosano il lubrificante Alle camere pressurizzate del cuscinetto. Per ciascun quarto del cuscinetto possono essere scritte le. relazioni prima viste, con l'unica avvertenza che ~er il calcolo del carico sopportato dal cuscinetto occorre integrare le componbti della pressione nella direzione del carico, tenendo conto che l 'altezza c;l.el meato è variabile con l 'angolo.
l
ll.lS- Lubrificazione limite
/
: 1
Per tutti i cuscinetti che operano in regime idrodinamico esistono invariabilmente periodi di funzionamento durante i quali non si realizzano le condizioni atte a mantenere un velo continuo di lubrificante; ciò avviene ad esempio durante le fasi di avviamento e di arresto dell'albero, oppure quando il carico assume valori troppo elevati o la velocità angolare valori troppo bassi. In tutti questi casi, le caratteristiche dell'azione resistente dovuta all'attrito sono determinate da fenomeni differenti da quelli finora esaminati, quali l'assorbimento del lubrificante o lac fcirÌmizìone- di composti chimici· dovuti alla reazione dei componenti del lubrificante stesso con la superficie del cuscinetto. In generale si può affermare che il passaggio dalla condizione di lubrificazione idrodinamica a quella. di lubrificazione limite avviene per numeri di Sommerfeld inferiori a 0,05 e che al di sotto di questo valore il coefficiente di attrito aumenta fino a raggiungere un valore massimo quando il numero di Sommerfeld diventa pari a zero. La capacità portante di un cuscinetto nelle condizioni di lubrificazione limite viene poi di solito stabilita verificando le condizioni seguenti. Definita
una pressioll€1 media Pm mediante la: p
Pm
= 2RL
dove P è al solito il carico agente sul cuscinetto, R il raggio di quest'ultimo e L la sua lunghezza, è necessario che il prodotto della Pm stessa e della velocità periferica V sia inferiore ad un limite massimo dipendente dal materiale con cui il cuscinetto è realizzato, ed è inoltre necessario che, sia la pressione media _ Pm, sia la velocità periferica V, sia la temperatura T non superino a loro volta dei rispettivi valori che, pér alcuni tipi di materiali usati nei cuscinetti, sono elencati nella Tab. VII.
.~
l TABELLA VII - Caratteristiche dì funzionamento di cuscinetti in condi-. zione di lubrificazione limite
Materiale
Bronzo Ferro poroso Resine fenoliche Nylon Teflon Teflon rinforzato Grafite
(Pm)max (N/cm 2 )
3000 5500 4000 700 350 1500 400
Tmax (•C)
65 65 95 95 250 250 400 ·.
. (Pm V)max
Vmax (m/s)
7)
( cm2 N) ( m
200 200 '50
8 4 12 5 0,5 5 12
10
4 40 50
,: l
~ lL~6 - Confronto tra cuscinetti a strisciamento ed a 'roto lamento
La scelta di uno dei due tipi fondamentali di cuscinetto, a rotolamento od a strisciamento, è evidentemente influenzata, in ciascuna applicazione tecnica, dalla presenza di numerosi fattori: si può tutta.via asserire che generalmente questi si suddividono in tre categorie principali, e più precisamente che essi sono costituiti: a) dai requisiti meccanici dell'applicazione a cui il cuscinetto è destinato; b) dalle condizioni ambientali in cui questo dovrà funzionare;
445
444
c) dal costo relativo tra i due cuscinetti. Si ritiene pertanto opportuno qui riportare la Tab. VIII, ripresa da Bearing Design and Applications (v. bibl.), la quale illustra chiaramente le proprietà dei due tipi principali di cuscinetti relative ai tre ordini di fattori su esposti. TABELLA VIII - Caratteristiche dei cuscinetti a rotolamento ed a strisciamento
Fattori Meccanici
Caratteristiche Carico Uni direzionale Alternato Di spunto. Eccentrico D'urto Velocità limitata da:
Tolleranza al disallineamento
Cuscinetto a strisci amen t o
Cuscinetto a rotolamento
Buono Buono Scarso Buono Discreto
Ottimo Ottimo Ottimo Ottimo Ottimo
Thrbolenza Temperatura
Carico centrifugo Effetti dinamici
Discreta
Scarsa, ad eccezione di cuscinetti appositamente disegnati, a scapito però della capacità di carido
/
A ftri t o statico
Ingombro Radiale Assiale
Grande Piccolo (eccetto il caso di lubrifìcazione idrostati ca)
Piccolo Da 1/4 a 2 volte il diametro
Grande Da 1/5 a 1/2 del diametro
Cuscinetto a rotolamento
Condizioni di emergenza
Normalmente si può avere un funzionamento di emergenza successivo a una rottura
Si può avere un limitato funzionamento dopo rottura per fatica
Smorzamen to
Buono
Scarso
Tipo di lubrificante
Olio o alt.ro liquido; grasso; aria o gas
Olio o grasso
Quantità di lubrificante
Grande, eccetto che per cuscinetti progettati per funzionamento in lubrificazione limite
Molto piccola, ad eccezione dei casi in cui si generino grandi quantità di calore
Rumorosità
Molto piccola
Può essere grande; dipende dal montaggio e da eventuali risonanze
l Dissipazione di potenza
l'
----
Cuscinetto a strisci amento
Caratteristiche
Fattori
-
Ambien.talL. -·
6
Bassa temperaturaL - - - - . -- --· Scarse Proprietà alla partenza Alta temperatura Funzionamento
Economici
w 2 d3 L Varia con - -
Vita
--
Varia entro un campo molto vasto e dipende dal tipo di lubrifìcazione. Generalmente minore che nei cuscinetti a strisciamento ·-
Buone
Limitato dal lubrifica n te
Limitato dal lubrifìcante
Illimitata, eccetto che per carichi cicl ici
Limitata dalla resistenza a fatica del materiale
446
Fattori
Caratteristiche
Cuscinetto a strisci amento
Cuscinetto a roto}amento
Manutenzione
Richiesto lubrificante pulito
Richiesto lubrificante pulito
Costo
Molto piccolo per i tipi semplici o di grande produzione
Intermedio per i tipi standard
Facilità di sostituzione
Dipende dal tipo di installazione
Dipende dal tipo di installazione
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t!
r
r
Accostamento, direzione di 303 Addendum 77' 78, 134 Albero flessibile 56 Allungamento 41 infinito 396, 401, 435 finito 405-408, 412 77 Altezza del dente Alzata 220 Angolo di addendum 78 di apertura 106, 108 di avvolgimento 34 di azione 76 di contatto 214-217 di dedendum 78 di fondo ii di inclinazione dell'elica 97 di pressi011e (ingranaggi) 63, 67, 78, 99 ~di pressione Tcammey~= 249-251 di pressione. normale 99 di troncatura 77 fra gli assi 70 primitivo 70 Arco di aderenza 35 di azione 83, 114 di scorrimento 35 ozioso 221 Argano di sollevamento 15 -,--·<--
Arpionismo Arresti Assortimento Attrito nei perni Azionatori rotativi a ingranaggi
Base motore mobile Base scorrevole Ben dix- Weiss, giunto Buckingham, E.
274-276 326-329 73 24 190-191
38-39 39 16-17 156
Cabestano Cambio di velocità 164, Camme ad accelerazione costante a fianchi rettilinei - --~- -~ihnéln cb~e ~,~ --- · 254-255,
45 185-188 219-256 228-232 236-242 289-290
con braccio oscillante desmodromica di traslazione policentrica Caratteristica Cardano, giunto di Catene ad anelli separabili a perni a rulli
252-254 252 254-255 242-247 73 3-13 47-56 48 48-49 49
- -
~-
-
--
453
452
a sfere silenziose Cedevolezza flessionale istantanea rotazione Ceppo avvolgente Ceppo svolgente Cerchio di base Cerchio di riposo Cicloidale, profilo Cinghie a costole
,If
v
id~ntate
l l
l
i
50 50 21 Centro di
67 309 309 224, 227, 249 227 65 26-47 29 28 46-47 27 29
· p1ane rotonde Circonferenza 306 di Romiti fondamentale 65-66 osculatrice 113 primitiva 64-68 primitiva immaginaria 113 Coefficiente di attrito nei cuscinetti a rotolamento 379 nei cuscinetti 419, 433 Coefficiente di carico 386-387, 389 Cone, S.I. 139 Cono complementare 111 108, 109 . fondamentale primitivo l06-10i, 109-110 Contatto fra i denti· ·- i_i2 136 Convertitori di coppia 369-373 Corda 80 Coriolis, accelerazione di 262 Correzione delle ruote dentate 87 Corsa di lavoro 266 Corsa di ritorno 266 Croce di ì\falt a 2ii-290 esterna 277-285 interna 285-287 '~
rettilinea sferica Cuscinetti a pattini ori en t abili a rotolamento a rulli cilindrici a rulli conici a rullini a strisciamento idrostatici obliqui a sfere oscillanti a rulli portanti completi portanti parziali radiali oscillanti a sfere radiali rigidi a sfere reggispinta a sfere reggispinta lubrificati reggispinta Michell reggispinta oscillanti
Dedendum Denti Dentiera Dent.iera corretta Diametro di fondo di troncatura Differenziale Direzione di accostamento Doppi~-gi-tinro· di Càrèlano
Eccentricità relat.iva Elica media Elicoide Energia cinetica Equazione di Reynolds Evolvente di una circonferenza
287-289 287-289 375-446 405 375, 390-443 381 382 385 375, 376-390 434-442 380 381 410-420 420-433 380 380 382 399-409 399-409 382-384
77, 78, 134 59 84, 98 87 77 77 177-180 303 11-13
411 419 134 199 323-324 392-399 65-67
79 Faccia di una dentatura 78 Fianco del dente 199-200 Filetto 21-56 Flessibili 21, 37 Flessi bili tà 38-42 Forzamento delle cinghie Forza scambiata 378 nei cuscinetti a rotolamento 151-156 Forze dinamiche fra i denti 247-252 Forze nelle camme Forze scambiate nei freni a tamburo. 305-306 Forze scambiate nella croce di Malt.a 282-285 Forze scambiate nelle ruote dentat.e 89-90 a denti diritti 104-105 a denti ~licoidali 115 coniche 119-125 coniche ad asse dente curvo 130-131 ad assi sghembi 137-138 a vite 291-326 Freni 293 ad att.rito 308-311 a disco 322-326 a fluido 311-315 a nastro 298-3_08 a tamburo 307 autoavvolgenti 334-348 elettromagnetici Frizioni radiali 338-340 340-342 assiali
Gabbia distanziatrice Gioco di fondo normale trasversale Giunti Bendi x- Weiss
376, 377 79 79 79 3-19 16-17
di Cardano di Hooke di .Oldham idraulici omocinetici Rzeppa Glifo oscillante Graham, scappamento di Grossezza di un dente Guida di Fairbairn
. 3-13 3 18-19 362-368 13-17 17-18 266 276 88 266, 280
,; Hindley
/
'·
139
Ingranaggi 59-157 ad assi concorrenti 69 ad assi paralleli 69 ad assi sghembi 69, 72, 125 a vite 125, 132-139 cilindrici elicoidali ad assi sghembi l 125-132 conici 106-125 conici ad asse d.ente curvo 116-125 elicoidali 95-106 ellittici 147-150 esterni 72, 81-92 h eli con 146-147 interni 72 i poi di ,: 125, 140-146 parziali. 274, 276 spiroidi · 146-147 In-nesti 331-354 a correnti parassite 348-349 ad attrito 333 a denti 333 ad isteresi 348-349 a forza centrifuga 344-346 a nastro 346-348 a particelle magnetiche 348-349 di sopravanzo 351-354 elettromagnetici 348-349
l
45-!
455
Int.erasse di funzionament.o Interferenza In viluppo Irregolarità periodica
70 80, 84-87 73 9, 53
Larghezza di dentatura Leggi del moto delle camme Linea di azione Linea di contatto Lubrificazione idrodinamica idrostatica limite mista
79 23'2-236 75, 76 63, 73, 75 391 391 391, 442-443 392
Manovella ::?64-265 Manovellismo :?64-366 Meato 391' 409 Meccanismi 257-391 a glifo oscillante 266-269 a rapido ritorno 266-268 articolati 257-264 con punti di precisione 272 di amplificazione degli sforzi 269-270 di Peaucellier 270-271 di Scott-Russell 270 di Watt 272 per la generazione di moto intermittente 274-291 ___ _per la gener.azione di un moto ellittico 272-274 Modulare, proporzionamento 80 Modulo 79 assiale 79, 134 normale 79 Moltiplicatori a rotismi ordinari 163 Molt.iplicatori di sforzo con flessibili 21-26 .Momento di inerzia equivalente 161 Moto sferico 109
~umero
di coppie di denti in presa 84, 101, 119 ~umero di denti fittizio 103 Numero di denti immaginario 113 ~umero minimo di denti 86, 94, 112-114
Oldham, giunto di Omocinetico, giunto
18-19 13-18
Pantografo Paranco di sollevamento Passo assiale assiale nelle viti dell'elica di una catena di una dentatura elicoidale frontale normale trasversale Pattino piano Peaucellier, meccanismo di Piano dei contatti generatore omocinetico principale ti Piede di biella Pignone Planetario Poncelet, formula di Portatreno Potenza dissipata Pressione in un freno ad attrito in un freno a disco in un freno a tamburo Primitive
l
273-274 25 79, 134, 131 200 '97 i
48 76 134-135, 200
/
l
100 79, 100 79, 100 396-399 270-271 100-101 98 15 132 264 69 165-166 92, 95 165-166 433 294-298 312
302-303 64, 68, 73, 77
/
Principi di una vite l Profili coniugati Profilo a evolvente assiale cicloidale dei denti di lavoro normale teorico trasversale Puleggia condotta motrice Punt.eria Punto di riferimento Punto di Romiti Punto morto
132, 135, 200-201 51, 63-64 65-67 78 65 65-68. 108 224 78 224 78 30 30 219 304 264
Quadrilatero articolato
258-261
Raccordo Raggio di curvatura Raggio di raccordo Raggio primitivo immaginario Rapporto di ingranamento Rapporto di trasmissione immaginario nei rotismi epicicloidali nei rotismi ordinari ... nellé' cinghie nelle ruote dentate nelle ruote di attrito Reazioni vincolari Rendimento meccanico nei rotismi epicicloidali nella vite-madrevite
-----------------------~-------------
78 80 80 113 69 114 167 160 '36'
62, 67, 70, 108, 128, 135, 157
60 10 2, 10 325, 357 175-177 204
nelle cinghie 36 nelle ruote de n t ate 91. 132, 138, 139 nelle vi t.i a circolazione di sfere 218 nelle viti differenziali 211 volumetrico 325, 357 Retta di pressione 63, 61, 214 Reye, ipotesi di 298 Reynolds condizione di 410 equazione di 392-399 numero di 440 Riduttori armonici 194-198 a rotismi epicicloidali I72-1i4 a rot.ismi ordinari 163 cicloidali 191-194 Riduzione dei momenti di inerzia 161 Rigidezza anelastica 23 elastica 23 Rocchetto 84 Romiti circonferenza di 304 punt.q di 304 Rotismi epicicloidali 165-191 a ingranaggi conici 177-180, 182 multipli 180-18i senza portatren o 190-191 Rot.ismi ordinari 159-163 Rullo tenditore 38,41 Ruota a vite 132, 134 ·---Ruot.a oziosa 160 Ruot.e dentate 51, 59, 60, 69 a scalini 95-97 Bilgram 116 cilindriche a denti elicoidali 95, 97-106 cilindriche elicoidali ad assi sghembi 125-132
cilindriche esterne a denti diritti 84-92 cilindriche interne a denti diritti 92-95
456 coniche coniche ad asse dente curvo esterne Gleason interne piano coniche Ruote di attrito Ruote libere Rzeppa, giunto
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Satellite Scappamenti Scappamento di Graham Scorrimento arco di globale Scott-Russell, meccanismo di Segmento dei contatti Solare Sommerfeld ipotesi di numero di Spessore di sommità normale trasversale Sterzo dei mezzi cingolati Superfici coniugate di riferimento primitive Superficie ausiliaria di azione di fondo di piede
106-125 116-125 76 116 76 112 59-60 351-354 li-18
165-166 276 276. 277 35 35
di testa di troncatura
74 74
39-41 Tensione di forzamento Trasmissione 33-38 a cinghie 355-374 a fluido 44-45 a rapport-o variabile 51-56 con catene con ruot.e de n tal-e -62 con ruote di attrito 59-60 fra assi sghembi 125 idrocinetica 355, 362-373 idrostatica 355, 356-362 idroviscosa 355, 373-374 Tredgold, approssimazione di 112
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:no 81-82, 93 165-166 411 410 413, 419 80 78 78 188-189 73 ì2,ì3 7ì i3 74, 76
i4 i4
Vano normale 78 t.rasversale 78 Variat.ori continui di velocità 61, 62, 359 Velocità angolare negli ingranaggi il Velocità di strisciamento 73, 84, 129, 136 Vit-a di un cuscinetto 385-390 Vit-e 132, 199-218 a circolazione di sfere 211-218 differenziale 209-211 globoidale 139 multipla 211 13'>_ _ senza fine
Wau, meccanismo di Willis, formula di
2ì2 167
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