290814876-Eserciziario-Meccanica-Applicata-alle-Macchine.pdf

Indice 2

Cinematica del punto e del corp o rigido

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3

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Attuatore oleodi odinamico . . . . Quadrilatero articolato . . . . . Mano Ma nov velli ellissmo ordi rdinari narioo devi deviat atoo Disco cuneo . . . . . . . . . . . Manovellismo parti rticolare . . . . Manovellismo piano inclinat nato . Sistema Disco Asta . . . . . . . Carrellino . . . . . . . . . . . . Sis Sistema meccanico arti rticolato .

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Scala . . . . . . . . . . . Disco su guida circolare Manovellismo . . . . . . Glifo . . . . . . . . . . .

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9 10 11 12 13 14 15 17 18 19

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Geometria delle masse

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

3 3 4 5 6 7 9

Statica dei sistemi di corpi rigidi

4.1 4.2 4.3 4.4 5

es es.1 es es.2 . . . . . . . . . . . .

Cinematica dei sistemi di corpi rigidi

3.1 3.2 3.3 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

Moto del punto nel piano: Moto del punto nel piano: Tram su per percorso urbano Gru da cantiere . . . . . . Asta su guida circolare . . Disco su guida circolare .

3

19 20 20 21 23

Asta non omogenea . . . . . . Pia Piastra triangolare omogenea nea Semidisco omogeneo . . . . . Anello con massa puntiforme Asta e disco omogenei . . . . Riduzione della biella . . . . . 1

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23 23 24 24 25 26

E2

6

Dinamica dei sistemi di corpi rigidi

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 7

Asta ad L . . . . . . . . . . . Asta che scorre su disco . . . Martellone . . . . . . . . . . . Quadrilatero Quadro . . . . . Disco Cuneo . . . . . . . . . . Disco che rotola su un piano .

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29

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Azioni mutue tra elementi di macchine

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 8

Capitolo 1

Attrito radente tra corpi . . Veicolo a due ruote in salita Quadrilatero articolato . . . Manovellismo deviato . . . Attuatore oleodi odinamico . . Sistema meccanico . . . . .

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35

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Dinam Dinamica ica della della macc macchin hina a a un grado grado di libert` libert` a

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Skilift . . . . . . . . . . . . . . Ascensore . . . . . . . . . . . . Muletto . . . . . . . . . . . . . Impianto di sollevamento . . . Utilizzatore a regime per periodi odico

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Trasm rasmis issi sion onee me medi dian ante te cing cinghi hia a pia piana na Dime Dimens nsio iona name men nto tend tendic icin ingghia hia . . . Camma circolare . . . . . . . . . . . Freno a disco . . . . . . . . . . . . . Cinem Cinemat atiica del del veic eicolo olo in in curv urva . . . Inne Innest stoo a fri frizi zion onee auto automo mobi bili list stiico . . Fermap orta . . . . . . . . Lo comotore . . . . . . . . Sospen pensione motoci ociclistica Sistema vibrante: es es.1 . . Sistema vibrante: es es.2 . .

41 42 44 45 46 49

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11 Vibrazioni meccaniche a un grado di libertà

11.1 11.2 11.3 11.4 11.5

35 36 36 37 38 39 41

10 Gli elementi delle macchine

10.1 10.1 10.2 10.2 10.3 10.4 10.5 10.5 10.6 10.6

29 30 31 32 33 34

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49 49 51 52 53 55 57

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57 58 58 60 60

Capitolo 2

Cinematica del punto e del corpo rigido 2.1 2.1

Moto Moto del del pun punto to nel nel pia piano no:: es.1 es.1

Un punto pu nto materiale si muove lungo una traiettoria la cui legge oraria or aria è P (t) = (9t (9t)i + (3 + 2t 2t2 ) j

Si richiede di: 1. calcolare calcolare i vettori velocit` velocit` a ed accelerazione in funzione del tempo; 2. calcolare calcolare l’espressione l’espressione dei versori tangente tangente e normale normale alla traiettotraiettoria all’istante t = 3 s; 3. calcolare calcolare il raggio di curvatura curvatura della traiettoria traiettoria sempre all’istan all’istante te t = 3 s

2.2 2.2

Moto Moto del del pun punto to nel nel pia piano no:: es.2 es.2

Un punto si trova inizialmente (t ( t = 0 s) in una posizion posizionee individ individuat uataa dall’origine O di un sistema di riferimento assoluto rispetto al quale ` assegnato l’andamento della sono definite le grandezze d’interesse. E velocit` a in funzion funzionee del tempo, in termin terminii di com componen ponenti ti cartes cartesian iane: e: 4t j . Si determinino: v = 2 i + 4t 1. la legge legge di moto: moto: x = x = x((t), y = y = y((t); 2. la traiettoria traiettoria del punto materiale; materiale; 3. l’accelera l’accelerazione zione in funzione del tempo; 4. i vettori vettori posizi p osizione, one, velocit` velocit` a e accelerazione al tempo t = 2 s.

3

E4

Capitolo 2

2.3

Tram su percorso urbano

Di un tram che si muove su percorso urbano, schematizzabile come un punto che si muove su un piano, è assegnato il seguente percorso tra due fermate successive, identificate dai punti A e D, distanti lungo l’ascissa curvilinea s T = 1870 m: A

✛

B 200m ✲

✯ ✟ ✟ R1 = 400m ✟ ✟ ✟

C

✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ R2 = 600m ✟ ✙

D

E

Figura 2.1: Schema percorso urbano del tram Sono inoltre note:

• la velocità massima del veicolo: v = 60 km/h; • la massima accelerazione in trazione: at = 1 m/s ; • la massima decelerazione in frenatura: af = −0.8 m/s . max

2

2

Sapendo che il tram parte e deve arrivare fermo alle due fermate, si chiede di: 1. definire la legge di moto del veicolo che minimizzi il tempo di percorrenza del tragitto assegnato; 2. realizzare i diagrammi di spostamento, velocit` a ed accelerazione del veicolo in funzione del tempo; 3. realizzare i diagrammi di velocit` a ed accelerazione in funzione dell’ascissa curvilinea; 4. verificare che l’accelerazione laterale massima sui passeggeri sia minore di un valore di comfort fissato pari a 0.8 m/s2 .

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata

2.4

E5

Gru da cantiere

vr , ar

Figura 2.2: Gru a braccio La figura 2.2 riporta lo schema di una gru da cantiere a braccio girevole con il carrello portagancio mobile lungo il braccio. Si richiede di studiare il moto del carrello, schematizzato come un punto materiale, determinandone velocità ed accelerazione quando il braccio ruota con velocità angolare ω = 0.1 rad/s ed accelerazione angolare ω = ˙ 0.01 rad/s2 attorno all’asse verticale (entrambe in senso orario viste da una vista in pianta dall’alto) mentre il carrello si sta muovendo verso l’estremit` a del braccio con componenti di velocità ed accelerazione allineate al braccio pari rispettivamente a v r = 0.7 m/s e a r = 0.1 m/s2 . Si conosce la distanza del carrello dall’asse di rotazione nell’istante di tempo considerato pari a 3.9 m e la posizione angolare del braccio pari a π/6 rispetto all’asse x della terna riportata in figura 2.3. Risolvere il problema mediante:

• metodo dei numeri complessi; • teorema dei moti relativi. y

Im P

P ρ

O

ϑ

ϑ x

O

Re

Figura 2.3: Posizione del punto P nel piano complesso

E6

2.5

Capitolo 2

Asta su guida circolare

A l R

α

vB , aB

B

O Figura 2.4: Asta su guida circolare L’asta AB di lunghezza l = 2 m, rappresentata in Figura 2.4, si muove nel piano ed è vincolata tramite due carrelli agli estremi A e B. Il carrello in A scorre su una guida circolare di raggio costante R = 2 m e centro in O. Il carrello in B scorre invece su una guida rettilinea orizzontale. Nell’atto di moto rappresentato, l’angolo α formato dall’asta AB con la guida orizzontale è pari a π/6. Note la velocit` a e l’accelerazione 2 del punto B (vB = 0.5m/s e a B = 0.1m/s ):

√

1. individuare la posizione del centro di istantanea rotazione; 2. calcolare la velocit` a e l’accelerazione angolare dell’asta: ωAB e ˙ AB ; ω 3. calcolare la velocit` a e l’accelerazione del punto A: vA e aA .


2.6

E7

Disco su guida circolare O

ϑ R

y

P

x

r C

Figura 2.5: Disco su guida circolare Il sistema meccanico riportato in Figura 2.5 si muove nel piano verticale ed è composto da un disco rigido di raggio r = 0.25m che rotola senza strisciare su una guida rigida curva con raggio di curvatura R = 1 m. ` nota la legge di moto dell’angolo ϑ(t) che descrive la posizione E angolare del disco rispetto al sistema di riferimento assoluto Oxy con origine nel centro di curvatura della guida. Nell’atto di moto rappresen˙ 2 rad/s e ϑ = ¨ 0.1 rad/s2 ) si richiede di tato in Figura 2.5 (ϑ = π/6, ϑ = calcolare: 1. velocit` a ed accelerazione del centro del disco (punto C ); 2. velocit` a ed accelerazione del punto P posto sulla circonferenza (nell’atto di moto considerato il vettore (P C ) è parallelo all’asse x).

−

Le soluzioni svolte degli esercizi sono liberamente scaricabili all’indirizzo http://www.ateneonline.it/Bachschmid

E8

Capitolo 2

Capitolo 3

Cinematica dei sistemi di corpi rigidi 3.1

Attuatore oleodinamico O1

B

γ O

β Figura 3.1: Sistema articolato

Del meccanismo riportato in Figura 3.1 è nota la geometria: lunghezza della manovella O 1 B = 2.5 m, lunghezza del telaio OO1 = 2 m e l’inclinazione del telaio γ = π4 rad. Nell’istante di tempo considerato (t = 3 s), rappresentato in figura, l’angolo di manovella α = 0rad. La legge con cui varia la lunghezza dell’attuatore oleodinamico OB in funzione del tempo è:

√

OB(t) = b(t) = 3.385 + 0.07t + 0.005t2 [m] Nell’istante considerato, si chiede di determinare: 1. il valore dell’angolo β dell’attuatore oleodinamico; 2. i valori dei vettori velocit` a angolare delle aste O1 B e OB; 3. i valori dei vettori accelerazione angolare delle aste O 1 B e OB. 9

E 10

Capitolo 3

P

γ

G

B

O2

β A

D

ϑ

α O1

Figura 3.2: Sistema articolato

3.2

Quadrilatero articolato

In figura 3.2 è riportato lo schema di un sistema meccanico composto da un disco incernierato a terra nel suo centro O1 , al quale è collegata un’asta AB di lunghezza pari a 0.8 m mediante la cerniera A, posizionata ad una distanza radiale O1 A = 0.2 m. All’estremo B di tale asta è incernierata una seconda asta BO2 lunga 0.6 m, che risulta rigidamente collegata al semidisco, di raggio RSD = 0.15 m, incernierato a terra nel punto O2 . Su tale semidisco si avvolge senza strisciare una fune inestensibile al cui estremo è collegato il centro del disco D, di raggio RD = 0.15 m che rotola senza strisciare su un piano inclinato di un angolo ϑ = 160◦ . Sono note le distanze fra le due cerniere poste a terra nei punti O 1 e O2 distanti 0.3 m sull’orizzontale e 0.8 m sulla verticale. Sono note inoltre le seguenti grandezze fisiche relativamente all’atto di moto considerato, riportate in Tabella 3.1. Si richiede di calcolare all’istante di tempo considerato: 1. i vettori velocità e l’accelerazione del punto G, baricentro del semidisco (si ritenga nota la distanza del baricentro dalla cerniera O2 pari a R SD /2); 2. i vettori velocit` a e l’accelerazione del punto D. Tabella 3.1: Dati dell’atto di moto considerato dell’esercizio 3.2 α = 160◦

α = ˙ 0.1 rad/s

α = ¨ 0 rad/s2


3.3

E 11

Manovellismo ordinario deviato P A

β

ω

B R C

α, α, ¨ ˙ α O Figura 3.3: Manovellismo ordinario deviato Il manovellismo rappresentato in Figura 3.3 è costituito da una manovella OA, da una biella AB e da un disco di raggio R che rotola senza strisciare su una guida rettilinea. Siano noti i dati relativi all’atto di moto da considerare (riportati in Tabella 3.2), ovvero posizione, velocità e accelerazione angolare della manovella e posizione della biella. Si chiede di determinare: 1. deviazione del manovellismo; 2. i vettori velocit` a ed accelerazione del centro del disco B; 3. i vettori velocit` a angolare ω e accelerazione angolare ω˙ del disco; 4. i vettori velocit` a ed accelerazione del punto P , posto sulla circonferenza del disco. Tabella 3.2: Dati del manovellismo ordinatio deviato nell’atto di moto considerato α = π3 rad β = 0 rad R = 0.2 m

α˙ = rad/s 1 OA = √ m 3

α ¨ = rad/s2 AB = 1 m

E 12

3.4

Capitolo 3

Disco cuneo

B x, ¨ ˙ x ψ

A

C D

δ

Figura 3.4: Sistema meccanico disco cuneo Il sistema meccanico rappresentato in Figura 3.4 è costituito da tre corpi rigidi:

• un cuneo costituito da un piano inclinato di un angolo δ , traslante su di una guida orizzontale;

• un disco di raggio R e centro in A che rotola senza strisciare sul piano inclinato;

• un’asta

AB incernierata al centro del disco, e con un pattino all’altra estremit` a vincolato a scorrere lungo una guida verticale.

Nell’istante considerato t sia assegnata la velocità di traslazione del piano inclinato x = ˙ 0.4 m/s e la sua accelerazione x ¨ = 0.2 m/s2 secondo le convenzioni riportate in Figura 3.4. Siano inoltre noti l’angolo di inclinazione del piano inclinato δ = π6 rad, l’angolo di inclinazione dell’asta ψ = π4 rad, la lunghezza dell’asta AB pari a 0.2 m ed il raggio del disco R = 0.05 m. Nell’istante t determinare: 1. il vettore velocità del punto B ed il vettore velocità angolare del disco ωD ; 2. il vettore accelerazione del punto B ed il vettore accelerazione angolare del disco ω˙ D .


3.5

E 13

Manovellismo particolare β

A C

O

α

B

Figura 3.5: Manovellismo particolare In Figura 3.5 è riportato lo schema di un sistema meccanico, che si muove nel piano, costituito dalla manovella AO = 0.4 m incernierata a terra nel punto O e dalla biella AB = 1.4 m vincolata in A all’asta AO tramite una cerniera e in C al terreno tramite un manicotto che consente la rotazione dell’asta e lo scorrimento della stessa. I dati relativi all’atto di moto nell’istante considerato t, sono riportati in Tabella 3.3 in termini di posizione α, velocità angolare α, ˙ accelerazione angolare α della ¨ manovella, distanza AC tra la cerniera in A ed il vincolo in C e posizione angolare della biella β . Si chiede di determinare: 1. il vettore velocit` a angolare ωAB dell’asta AB; 2. il vettore accelerazione angolare ω ˙ AB dell’asta AB; 3. il vettore velocit` a assoluta vB del punto B ; 4. il vettore accelerazione assoluta aB del punto B . Tabella 3.3: Dati relativi all’atto di moto considerato al tempo t α = 45◦ β = 170◦

˙ 25 rad/s α = AC = 0.6 m

−

¨ 0 rad/s2 α =

E 14

3.6

Capitolo 3

Manovellismo piano inclinato C β A

α

B

O

Π

π/6

Figura 3.6: Sistema manovellismo con piano inclinato Il manovellismo rappresentato in Figura 3.6 è costituito da una manovella OA di lunghezza 0.4 m, da una biella AB di lunghezza 0.4 m e dal corsoio B che scorre su un piano Π inclinato di π/6 rispetto all’orizzontale. Da ultimo il corsoio è collegato a terra tramite un attuatore idraulico CB. I dati relativi all’atto di moto da considerare sono riportati in Tabella 3.4, ovvero posizione angolare α, velocità α e ˙ accelerazione angolare α della ¨ manovella, posizione angolare della biella β e lunghezza del attuatore idraulico. Si chiede quindi di determinare: 1. la velocità del corsoio B; 2. la velocità di sfilo del pistone C B; 3. l’accelerazione del corsoio B . Tabella 3.4: Dati dell’atto di moto considerato α = 30◦ β = 330◦

α = ˙

−10 rad/s

CB = 0.5 m

α = ¨ 100 rad/s2


3.7

E 15

Sistema Disco Asta

Il sistema meccanico illustrato in Figura 3.7 si muove nel piano verticale. Due dischi concentrici aventi rispettivamente raggio R1 = 0.4 m e R2 = 0.5 m sono rigidamente collegati tra loro. Tra il disco di raggio R2 e un piano inclinato di un angolo ϑ pari a π/6 agisce un vincolo di rotolamento in assenza di strisciamento. Un perno è rigidamente vincolato ai dischi in corrispondenza del punto E posto ad una distanza dal centro D pari a ED = 0.25 m. Il perno E scorre all’interno di un’asta incernierata a terra in O. La distanza s fra la cerniera in O ed il piano inclinato è assegnata e pari a 2 m che scorre su un piano inclinato. Sulla superficie laterale del disco di raggio R 1 si avvolge una fune in estensibile all’estremo della quale è collegata una massa m. Il tratto di fune che collega il disco alla massa m ` e parallelo al piano inclinato. ´ assegnata la legge di moto della rotazione dell’asta lungo cui scorre E il perno E : ϕ(t) = ϑ + π2 + π6 sin(2πt), secondo le convenzioni riportate in Figura 3.7 dove è rappresentata la configurazione del sistema in un istante generico t = 0.17s. Si considerino note le grandezze riportate nella Tabella 3.5 per l’istante t = 0 s e t = 0.1 s. Si richiede quindi di calcolare nell’istante t = 0.1 s:

 

1. il vettore velocit` a ed accelerazione angolare dei due dischi: ωd e ω ˙d ; 2. il vettore velocit` a ed accelerazione punto E : vE e aE ; 3. il vettore velocit` a ed accelerazione della massa collegata alla fune: vm e am . Tabella 3.5: Dati dell’atto di moto considerato t = 0 s t = 0.1 s

OE = 2.75 m OE = 2.72 m

ε = 120◦ ε = 187.9◦

E 16

Capitolo 3

m

F

E D

ϑ ϕ O (a) Istante t = 0 s

m

F

E D

ε R2 R1

ϑ

s ϕ O

(b) Istante t = 0.17 s

Figura 3.7: Sistema articolato nell’istante t = 0 e t = 0.17 s


3.8

E 17

Carrellino B h

v,a

D

E

R

Rp

ϑ

L/4

L/4

L/4

L/4

Figura 3.8: Sistema carrello automobile In Figura 3.8 è riportato lo schema cinematico di un sistema meccanico che si muove nel piano. Tale sistema è composto da un carrello lib ero di muoversi lungo un piano inclinato rispetto all’orizzontale di un angolo pari a ϑ = 10◦ . Un attuatore idraulico collega il punto E della ruota anteriore al punto B appartenente al carrello stesso. Sono note le grandezze geometriche riportate in Tabella 3.6. Per il sistema in esame viene inoltre assegnata, a partire dalla condizione di quiete, la seguente legge di moto: a(t) =



2 m/s2 0 m/s2

0 t

≤ t < 1 ≥ 1.

(3.1)

Si richiede quindi di calcolare: 1. la lunghezza e l’inclinazione dell’attuatore nell’istante t = 0.5 s; 2. il vettore velocit` a di allungamento del pistone v EB nell’istante t = 0.5 s; 3. il vettore accelerazione di allungamento del pistone a EB nell’istante t = 0.5 s. Tabella 3.6: Dati geometrici del carrello automobile h = 5 m

R = 0.8 m

L = 4 m

R p = 0.4 m

E 18

3.9

Capitolo 3

Sistema meccanico articolato D B

G C

A Figura 3.9: Schematizzatione di una carriola In figura 3.9 è riportato lo schema di un sistema meccanico, che si muove nel piano verticale, costituito dall’asta AB = 3 m collegata mediante un pattino ad una seconda asta DC . All’estremit` a C di tale asta è incernierato un disco di raggio 0.6 m che rotola senza strisciare ` inoltre assegnata la legge oraria (di tipo lungo un piano orizzontale. E periodico) del punto C espressa secondo un sistema di riferimento con origine nel punto A; tale legge vale x C (t) = 6 + 2.5 sin(2πt) [m]. Si consideri quindi il sistema nell’istante t = 0 s e si calcolino: 1. la velocità e l’accelerazione angolare dell’asta AB; 2. la velocità e l’accelerazione del baricentro G.


Capitolo 4

Statica dei sistemi di corpi rigidi 4.1

Scala y A

G m, l B

α O

F x

Figura 4.1: Scala Il sistema meccanico in Figura 4.1, posto nel piano verticale, è costituito da un’asta AB omogenea di massa m e lunghezza l che è vincolata agli estremi A e B tramite dei carrelli. I carrelli scorrono su guide rettilinee prive di attrito, il carrello in A scorre in direzione orizzontale mentre il carrello B scorre in direzione verticale. Determinare la forza orizzontale F applicata nel punto B che garantisce l’equilibrio statico del sistema per un angolo α pari a 30◦ . Tabella 4.1: Dati scala m = 20kg

l = 4 m

19

α = 30◦

E 20

4.2

Capitolo 4

Disco su guida circolare O

y ϑ

R r

x C

P H

Figura 4.2: Disco su guida circolare Il sistema meccanico in Figura 4.2, posto nel piano verticale, è costituito da un disco di raggio r e massa m che rotola senza strisciare su una guida curvilinea circolare di raggio R. Nella posizione rappresentata in Figura, determinare: 1. la coppia C che garantisce l’equilibrio statico del sistema; 2. le reazioni vincolari nel punto di contatto tra disco e guida (punto H ). Tabella 4.2: Dati disco m = 30kg

4.3

r = 1 m

R = 3 m

ϑ = 30◦

Manovellismo

Il sistema meccanico in Figura 4.3, posto nel piano verticale, è costituito da un’asta AB omogenea di massa m e lunghezza l che è incernierata a terra in A e in B ad un’asta BC priva di massa e lunga L. L’asta B C è incernierata in C al centro di un disco di massa M e raggio R omogeneo che rotola senza strisciare su una guida orizzontale. Nella configurazione indicata in figura, calcolare: 1. la coppia C m applicata al disco che garantisce l’equilibrio statico del sistema; 2. le reazioni vincolari che l’asta BC scambia in B ed in C .


E 21

B m, l

L G M, R C

α

C m

A Figura 4.3: Manovellismo Tabella 4.3: Dati del manovellismo m = 20kg l = 0.6 m

4.4

M = 10kg L = 0.7348m

α = 60◦ R = 0.1 m

Glifo

D

B

F

m C

A

α

Figura 4.4: Glifo

Il sistema meccanico in Figura 4.4, posto nel piano verticale, è costituito da un’asta AD priva di massa al cui interno è ricavata una guida rettilinea in cui scorre un corsoio di massa m. Tra corsoio e guida c’` e attrito con coefficiente di attrito statico f s . Al centro del corsoio è vincolata tramite una cerniera un’asta BC priva di massa che è collegata in B a terra tramite un’altra cerniera. All’estremo D dell’asta AD è applicata una forza orizzontale F . Determinare il valore della forza F che garantisce l’equilibrio statico del sistema per un angolo α pari a 30◦ .

E 22

Capitolo 4 Tabella 4.4: Dati glifo m = 20 20 kg AD = AD = 4 m

α = 30◦ AB = AB = 2 m

f s = 0.3 BC = 2 m


Capitolo 5

Geometria delle masse 5.1 5.1

Asta Asta non non om omog ogen enea ea y

dx x

O L Figura 5.1: Asta non omogenea

L’asta rappresentata in Figura 5.1 è lunga L lunga L,, ha altezza h altezza h e spessore s costanti costanti e trascurabili trascurabili rispetto alla lunghezza. lunghezza. La densit` a dell’asta non è omogenea e segue una legge del d el tip o ρ(x) = A + Bx

(5.1)

Rispetto al sistema di riferimento rappresentato in Figura, calcolare: 1. la posizione del del baricentro baricentro ; 2. il momento momento d’inerzia polare rispetto all’origine all’origine degli assi. Tabella 5.1: Dati asta non omogenea A = 5000 kg/ kg/m m3

5.2

B = 100 kg/ kg/m m4

L = 4 m

Piastr Piastra a triang triangola olare re omogen omogenea ea

La piastra rappresentata in Figura 5.2 ha la forma di un triangolo isoscele di altezza OC OC lunga h = 2m, base AB lunga b = 2m e spessore 23

E 24

Capitolo 5

y C

dy 2x

A

O

B

x

Figura 5.2: Piastra triangolare costante s costante s = = 10mm. La densità è costa c ostante nte e pari p ari a ρ = ρ = 2700 kg/ kg/m m3 . Determinare la posizione del baricentro rispetto al sistema di assi cartesiano rappresentato in Figura 5.2.

5.3 5.3

Semi Semidi disc sco o om omog ogen eneo eo y

R O

x

Figura 5.3: Semidisco omogeneo Dato il semidisco omogeneo di densità ρ = 7850 kg/m3 , spessore s = 20 mm e raggio R raggio R = 0.75 m, rappresentato in Figura 5.3, calcolare: 1. la massa del semidisc semidisco; o; 2. la posizione del baricentro baricentro nel sistema di riferimento riferimento centrato centrato in O in O come in Figura; 3. il momento momento d’inerzia d’inerzia baricentrico baricentrico J J G .

5.4 5.4

Anel Anello lo con con mass massa a pun puntifor tiforme me

Il sistema meccanico in Figura 5.4 è composto comp osto da un anello omogeneo di massa M massa M = = 1 kg, raggio esterno R esterno Re = 2.1 m, raggio interno R interno R i = 1.9 m e


E 25

y

Ri Re

m

R O1

O2

x

Figura 5.4: Anello omogeneo e massa concentrata spessore s = 10 mm. All’anello è fissata una massa puntiforme di massa m = 2 kg distante R = 2 m dal centro dell’anello. Determinare: 1. la posizione del baricentro del sistema, nel sistema di riferimento centrato in O 1 riportato in Figura; 2. il momento d’inerzia complessivo rispetto al polo O 1 .

5.5

Asta e disco omogenei

R

O m

A R

M L

Figura 5.5: Anello omogeneo e massa concentrata Il corpo mostrato in Figura 5.5 è costituito da un’asta omogenea di massa M = 1 kg e lunghezza L = 2 m rigidamente collegata ad un disco omogeneo di massa m = 5 kg e raggio R = 0.5 m. Il punto A si trova ad una distanza R dal centro del disco. L’asta ha un estremo coincidente col centro del disco. Calcolare: 1. la posizione del baricentro; 2. il momento d’inerzia complessivo J A .

E 26

5.6

Capitolo 5

Riduzione della biella

Figura 5.6: Biella La biella rappresentata in Figura 5.6 ha le caratteristiche riportate in Tabella 5.2. Si chiede di calcolare le masse puntiformi che approssimano le propriet` a inerziali della biella nel caso: 1. a tre masse; 2. a due masse. Discutere le differenze tra i due casi valutando l’errore massimo che si commette nella stima del momento d’inerzia nel caso a 2 masse. Tabella 5.2: Propriet` a inerziali biella densità massa momento d’inerzia

ρ M J x J y J z

7833 0.118574 0.000264 0.000256 0.000012

kg/m3 kg kg m2 kg m2 kg m2


E 27


E 28

Capitolo 5

Capitolo 6

Dinamica dei sistemi di corpi rigidi 6.1

Asta ad L a m G

l

j

C O

k

ϑ

i

Figura 6.1: Sistema asta ad L Dell’asta ad L, incernierata a terra ad un’estremità in O, rappresentata in Figura 6.1 è nota la geometria a = 0.3 m e l = 0.5 m e la legge di moto ϑ(t) = At 2 + Bt + C . Sono inoltre noti A = 0.03 rad/s2 , B = 0.04 rad/s, C = 0.06 rad, m = 2 kg e J G = 0.015 kg m2 . Al tempo t = 2s, si vuole determinare: 1. la coppia C necessaria a realizzare la legge di moto assegnata; 2. le reazioni vincolari in O.

29

E 30

6.2

Capitolo 6

Asta che scorre su disco F A

G2

M 2

P 1 M m

B

α

j

O

ϑ

k

M 1 , J 1 , R

i

Figura 6.2: Sistema composto da un’asta che scorre su un disco. Il sistema meccanico rappresentato in Figura 6.2 si muove nel piano verticale ed è costituito da un disco di raggio R, massa M 1 e momento d’inerzia baricentrico J 1 che è incernierato a terra nel suo centro: punto O. Sul disco agisce una coppia motrice M m e su di esso appoggia un’asta AB omogenea con baricentro in G2 che rotola senza strisciare sul disco con punto di contatto in P 1 . L’asta è poi vincolata in B tramite un carrello che scorre su una guida rettilinea scabra. Nel punto B agisce poi una forza esterna F inclinata di un angolo α rispetto all’orizzontale. Noti i dati relativi al problema, riportati in Tabella 6.1, determinare l’andamento nel tempo di: ˙ ¨ 1. posizione ϑ, velocità ϑ ed accelerazione ϑdel disco, note le condizioni iniziali: ϑ(0) = 0 rad (6.1) ˙ ϑ(0) = 0 rad/s



2. le reazioni vincolari in O. Tabella 6.1: Dati dell’esercizio 6.2 R = 0.2 m M 2 = 3 kg AP 1 = 0.3 m

M 1 = 10 kg F = 30 N AB = 1 m

J 1 = 0.4 kg m2 (disco non omogeneo) α = 45◦ M m = 50 Nm


6.3

E 31

Martellone f b D

e

P M 2

G

C

F d

a M 1 , J 1

B

c

j k

A

i

Figura 6.3: Sistema martellone Il sistema meccanico riportato in Figura 6.3 si muove nel piano verticale ed è composto da un’asta AC incastrata a terra. Nel punto A un’altra asta C P di massa M 1 e momento d’inerzia J 1 è incernierata in C all’asta AC . In P una massa M 2 , con momento d’inerzia trascurabile, è vincolata rigidamente all’asta C P . Il sistema è movimentato da un attuatore idraulico incernierato in B all’asta AC ed in D all’asta C P . Nel punto P è applicata una forza esterna F = 100 N diretta verticalmente verso il basso. Nell’istante considerato (per cui c = 3 m) determinare:

√

1. la posizione angolare dei bracci B D e C P ; 2. la velocit` a e l’accelerazione angolare del braccio CP , data una portata d’olio costante entrante nel cilindro Q = 9 m3 /h; 3. la pressione all’interno del cilindro e le reazioni di incastro in A. Tabella 6.2: Dati dell’esercizio 6.3 a = b = 1 m M 1 = 20 kg

d = 2 m M 2 = 30 kg

e = 0.7 m J 1 = 10 kgm2

f = 2 m Acilindro = 0.5 dm2

E 32

6.4

Capitolo 6

Quadrilatero Quadro

h B C

π/4 G P

F j

D A

π/6

k

i

Figura 6.4: Sistema quadrilatero con massa a forma di quadrato Il sistema meccanico rappresentato in Figura 6.4 si muove nel piano verticale ed è costituito da un corpo di forma quadrata di lato h = CD = 0.353 m omogeneo con baricentro in G, massa M = 10kg e momento d’inerzia baricentrico J = 0.1 kg m2 . Nel punto P del quadrato agisce una forza F perpendicolare al lato del quadrato con verso entrante. Il corpo è poi vincolato nel vertice C ad un’asta BC (BC = 0.183m) priva di massa che è incernierata a terra in B . Nell’atto di moto rappresentato, l’asta BC è parallela all’orizzontale. Il vertice D del quadrato è invece incernierato ad un’asta AD (AD = 0.5 m) che è incernierata a terra in A. La distanza tra le cerniere A e B, allineate verticalemnte, è AB = 0.5m. L’asta AD, nell’atto di moto considerato, è inclinata di π/6 rispetto all’orizzontale. Sempre nell’atto di moto i punti B, C e G sono allineati. Note inoltre la velocit` a angolare ω = 37.32 rad/s e l’acce2 lerazione angolare ω = ˙ 110rad/s della manovella BC , determinare per l’istante temporale considerato: 1. le velocit` a e le accelerazioni angolari delle aste AD e C D; 2. le velocit` a del punto G (baricentro del corpo) e del punto P (punto di applicazione della forza F ); 3. la coppia C m da applicare alla manovella B C per ottenere il moto studiato con F = 50N; 4. le reazioni vincolari in A e B .


6.5

E 33

Disco Cuneo y a A

G b

B

α

P

M, R

j

C F O

x

k

ϑ

i

Figura 6.5: Sistema disco-cuneo. Il sistema rappresentato in Figura 6.5, posto nel piano verticale, è composto da due corpi rigidi: un disco ed un cuneo, a contatto in condizione di rotolamento senza strisciamento. Sul centro C del disco, omogeneo di raggio R e massa M , che scorre lungo una guida orizzontale, è applicata una forza F orizzontale. Sul disco è appoggiato un cuneo omogeneo di massa m, cateti a e b e ipotenusa inclinata di un angolo α rispetto all’orizzontale. Il cuneo è vincolato mediante due carrelli a scorrere lungo una guida verticale. I dati del problema sono riportati in Tabella 6.3. Conoscendo la legge di moto del centro del disco x(t), calcolare: 1. il modulo della forza F necessario a garantire il moto assegnato nell’ipotesi di rotolamento senza strisciamento tra disco e cuneo nel punto di contatto P . 2. le reazioni vincolari in A e in B, sapendo che il carrello inferiore del cuneo si trova a metà del lato verticale di lunghezza b e che nell’istante considerato il punto P è allineato al carrello inferiore. Tabella 6.3: Dati dell’esercizio 6.5

√

a = 3/2 m M = 10kg

b = 0.5 m R = 0.25 m

m = 5 kg AB = b/2

E 34

6.6

Capitolo 6

Disco che rotola su un piano

y C

m, R G

ϑ H O

x Figura 6.6: Disco che rotola su un piano

Come mostrato in Figura 6.6, il sistema in esame è composto da un disco che rotola senza strisciare su una guida rettilinea. Nota la storia temporale della coppia C (t) = At Nm applicata al disco, le condizioni ˙ iniziali del moto ϑ(0) = 0 rad e ϑ(0) = 0 rad/s, la massa m = 5 kg, il raggio R = 0.1 m ed il valore della costante A = 0.008 Nm/s calcolare: 1. la legge di moto del disco ϑ(t); 2. le reazioni vincolari H e V nel punto di contatto con la guida al tempo t = 1 s.


Capitolo 7

Azioni mutue tra elementi di macchine 7.1

Attrito radente tra corpi

m2 m1

µs , µ d F µs , µ d

Figura 7.1: Attrito radente tra corpi Del sistema meccanico mostrato in Figura 7.1, disposto nel piano verticale, sono note le masse dei due corpi ( m1 = 3 kg e m2 = 2 kg) e i coefficienti di attrito statico e dinamico (µs = µ d = 0.5). Si chiede di determinare il moto del sistema al variare della forza F applicata al corpo 1, ovvero determinare il valore della forza F per cui: 1. i corpi 1 e 2, solidali tra loro, iniziano a strisciare sul piano; 2. il corpo 1 striscia sul piano ed il corpo 2 inizia a strisciare sul corpo 1.

35

E 36

7.2

Capitolo 7

Veicolo a due ruote in salita C a C p

m, R

m, R

M, L

f s α Figura 7.2: Veicolo in salita Il veicolo schematizzato in Figura 7.2 è composto da due dischi omogenei di raggio R = 0.3 m e massa m = 20 kg, schematizzanti le ruote, e un’asta rigida omogenea di lunghezza L = 1.75 m e massa M = 250 kg schematizzante la cassa. Il veicolo si muove su un piano inclinato di un angolo α = π/6 rad rispetto all’orizzontale. Il coefficiente d’attrito statico tra ruote e piano inclinato è f s = 1, si consideri inoltre un coefficiente di restistenza al rotolamento f v = 0.01. Nelle condizioni di moto a regime in salita, verificare l’aderenza delle ruote, ovvero il vincolo di rotolamento senza strisciamento, per i seguenti casi: 1. coppia motrice applicata alla sola ruota anteriore (C a = 0, C p = 0);



2. coppia motrice applicata alla sola ruota posteriore (C a = 0, C p = 0);



3. coppia motrice applicata egualmente ad entrambe le ruote (C a = C p = 0).



P.S. le coppie motrici sono forze interne al sistema: sul telaio si hanno delle coppie uguali e contrarie a quelle applicate alle ruote.

7.3

Quadrilatero articolato

Si consideri il sistema meccanico riportato in figura 7.3 di cui è stata calcolata la cinematica all’esercizio 3.2. Il disco 1 è omogeneo di massa m1 , raggio R 1 e momento d’inerzia baricentrico J 1 ; il semidisco ha massa mSD , raggio R SD e momento d’inerzia baricentrico J G mentre. Il disco 3 è omogeneo ed ha massa m D , raggio R D e momento d’inerzia baricentrico J D . Tra il disco 3 e il piano inclinato il coefficiente di resistenza al rotolamento è f v = 0.2. Per le condizioni di moto assegnate, si chiede di calcolare:

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata mSD , RSD , J G

E 37

P

G

B

mD , RD , J D O2

D

C m A

O1

f v

m1 , R1 , J 1

Figura 7.3: Sistema articolato Tabella 7.1: Dati dell’esercizio 7.3 m1 = 1 kg mSD = 0.5 kg mD = 5 kg

R1 = 0.2 m RSD = 0.15 m RD = 0.15 m

J 1 = 0.05kg m2 J SD = 0.005kg m2 J D = 0.06kg m2

1. la potenza assorbita per resistenza al rotolamento del disco 3; 2. la coppia C m applicata al disco 1 che garantisce le condizioni di moto assegnate.

7.4

Manovellismo deviato P A

β

B R C f v

C r α, α, ¨ ˙ α O Figura 7.4: Manovellismo ordinario deviato

ω F

E 38

Capitolo 7

Al sistema in Figura 7.4, la cui cinematica è stata risolta nell’esercizio 3.3, sono applicate una forza motrice F , applicata al centro del disco, ed una coppia resistente C r , costante ed applicata alla manovella. Il sistema si muove nel piano verticale. Tra disco e piano orizzontale il coefficiente di resistenza al rotolamento è f v . Il disco è omogeneo di massa M mentre l’asta, anch’essa omogenea, ha massa m. Determinare: 1. il valore della forza F che garantisce il moto assegnato; 2. le reazioni vincolari in C . Tabella 7.2: Dati dell’esercizio 7.4 α = π3 rad 1 OA = √ m 3 M = 10kg

7.5

α˙ = rad/s AB = 1 m m = 2 kg

α ¨ = rad/s2 R = 0.2 m f v = 0.02

β = 0 rad C r = 50Nm

Attuatore oleodinamico

O1

γ O

F

M, J A A

C

D

B

m, J C

β Figura 7.5: Glifo Oscillante

Del meccanismo riportato in Figura 7.5 è nota la cinematica, calcolata all’esercizio 3.1. L’asta O1 B ha massa M e momento d’inerzia baricentrico J A mentre il pistone ha massa m e momento d’inerzia baricentrico J C . All’interno dell’attuatore agiste una pressione p e, tra cilindro e pistone, una forza d’attrito con coefficiente d’attrito dinamico µd . Nel punto D è applicata una forza F verticale di modulo costante e diretta verso il basso, la distanza B D è nota e riportata in Tabella 7.3. Il sistema giace nel piano verticale. Determinare: 1. la pressione p all’interno del cilindro che garantisce il moto assegnato; 2. le reazioni vincolari tra cilindro e pistone.


E 39

Tabella 7.3: Dati dell’esercizio 7.5 O1 B = 2.5 m γ = π4 rad M = 13kg m = 2 kg

7.6

OO1 = 1.41 m α = 0rad J A = 0.5 kg m2 J C = 0.01kg m2

BD = 0.5 m OB(t = 3 s) = 3.64 m F = 150N µd = 0.3

Sistema meccanico m, J G B f d

G M, R C

F

A Figura 7.6: Schematizzatione di una carriola Il sistema meccanico in Figura 7.6, la cui cinematica è stata risolta all’esercizio 3.9, è posto nel piano verticale ed è mosso da una forza F applicata nel punto C . L’asta CG ha massa m e momento d’inerzia baricentrico J G mentre il disco è omogeneo di massa M e raggio R. Considerando un coefficiente d’attrito dinamico f d tra pattino ed asta, per l’atto di moto rappresentato, calcolare: 1. la forza F che garantisce il moto assegnato; 2. le reazioni vincolari nel punto B . Tabella 7.4: Dati dell’esercizio 7.6 AB = 3 m m = 50kg M = 2 kg

R = 0.6 m J G = 1kg m2 R = 0.2 m

xC = 6 m CG = 1.2 m f d = 0.2


E 40

Capitolo 7

Capitolo 8

Dinamica della macchina a un grado di libert` a 8.1

Skilift R2 , J 2 R1 , J 1

A′

A β

β B

η, τ

m

B′

Motore

m

J m

α Figura 8.1: Sistema meccanico dell’esercizio 8.1 Il sistema riportato in Figura 8.1 schematizza un impianto di risalita (skilift), costituito da una fune inestensibile, avvolta sulle pulegge di momento d’inerzia baricentrico J 1 e J 2 , che è azionata da un motore 2 elettrico la cui curva caratteristica è C m (ωm ) = A Bω m . Quest’ultima puleggia è collegata al motore mediante una trasmissione caratterizzata da un rapporto di trasmissione τ e da un rendimento diretto ηd e un rendimento retrogrado η r . Alla fune sono collegate, tramite due funi AB e A ′ B ′ (ipotizzate prive di massa), due masse puntiformi di massa m che vengono trascinate da due pattini, ad esse rigidamente collegati, lungo un piano inclina-

−

41

E 42

Capitolo 8

to caratterizzato da un coefficiente di attrito dinamico f d . I dati del problema sono riportati in tabella 8.1. Ipotizzando di trascurare l’attrito dinamico tra pattini e piano inclinato, calcolare: 1. l’accelerazione as allo spunto delle masse in salita; 2. la coppia motrice a regime; 3. la velocità v di avanzamento delle masse a regime; 4. il tiro nelle funi di traino AB e A′ B ′ nelle condizioni indicate nel punto 1. Ipotizzando di considerare l’attrito dinamico presente tra pattini e piano inclinato, calcolare: 5. la coppia motrice necessaria per garantire il moto a regime in salita; 6. l’accelerazione delle masse a partire dalla condizione di regime del punto precedente ipotizzando di annullare la coppia motrice lasciando il motore folle. Tabella 8.1: Dati dell’esercizio 8.1 A = 100 Nm B = 0.1 Nms2 /rad2 J m = 6.25 kgm2 m = 70 kg

8.2

R1 = R 2 = 0.5 m ηd = η r = 0.95 J 1 = 2.5 kgm2 f d = 0.2

α = 20◦ β = 45◦ J 2 = 3.75 kgm2 τ = 1/5

Ascensore

Sia assegnato l’impianto di sollevamento riportato in Figura 8.2. Tale impianto è costituito da un motore elettrico posizionato su un supporto vincolato isostaticamente come mostrato in Figura 8.3 che movimenta, attraverso un sistema di riduzione, una puleggia di raggio R p e momento d’inerzia polare baricentrico J p . Su tale puleggia si avvolge una fune inestensibile alle cui estremità è collegata una cabina di massa mc , in grado di caricare una massa utile mu , ed un contrappeso di massa mq . ` inoltre nota la I dati noti dell’impianto sono riportati in Tabella 8.2. E curva caratteristica del motore elettrico: C m (ωm ) = C m0 kωm . Si richiede di calcolare:

−


J m

ω p

C m

τ, ηd , ηr

ωm

R p , J p

mq v

E 43

v

mc

Figura 8.2: Sistema meccanico dell’esercizio 8.2 b

a B α

C m A

C mq mc Figura 8.3: Sistema di vincolo

1. l’accelerazione allo spunto in salita del sistema, nel caso in cui la cabina sia a pieno carico (quindi con massa sollevata pari a mc + mu ); 2. la velocità di regime a pieno carico in salita e la coppia motrice necessaria per mantenere tale velocit` a; 3. la decelerazione del sistema a partire dalla condizione di regime calcolata al punto 2 applicando una coppia frenante sull’albero motore pari a C f = 8.6 Nm e annullando la coppia motrice; 4. la coppia necessaria a garantire un’accelerazione della cabina pari a a = 0.5 m/s2 nel caso quest’ultima sia in salita e priva di alcun carico e quindi con massa pari a m c ; 5. le reazioni vincolari in A, nelle condizioni di moto del punto 1.

E 44

Capitolo 8 Tabella 8.2: Dati dell’esercizio 8.2 mc = 300 kg τ = 1/55 J m = 0, 02 kg m2 C m0 = 30 Nm b = 0.8 m

8.3

mu = 325 kg ηd = 0.7 J p = 1 kg m2 k = 0.01 Nm/rpm α = 45◦

mq = 500 kg ηr = 0.6 R p = 0, 27 m a = 1 m

Muletto

m1 G1 G m m2 G2

h1

h d a

b

c

Figura 8.4: Carrello elevatore Del carrello elevatore riportato in Figura 8.4 sono note le seguenti grandezze geometriche: semipasso posteriore a = 0.5 m, semipasso anteriore b = 1 m, il raggio delle ruote R = 0.4 m, l’altezza del baricentro G del solo carrello elevatore rispetto al suolo h = 0.6 m, la distanza orizzontale tra il baricentro G del carrello e il baricentro G1 della massa posta sulle forche c = 2 m e l’altezza rispetto al suolo del punto di attacco della fune di traino d = 0.5 m. Risulta inoltre noto lo schema del sistema di trasmissione di potenza, rappresentato in Figura 8.5. Conoscendo la massa del solo carrello m = 2000 kg, il momento d’inerzia baricentrico di ogni singola ruota J r = 2.5 kg m2 , il momento d’inerzia del motore J m = 0.25 kg m2 , il rapporto di trasmissione τ = 1/50 ed il rendimento della trasmissione η = 0.80 oltre ai coefficienti di attrito statico f s = 1, dinamico f d = 0.30 e volvente f v = 0.02, si richiede di determinare: 1. il carico limite m1 sollevabile a veicolo fermo senza che avvenga il ribaltamento del carrello elevatore;


E 45

Trasmissione η, τ

Motore Motore longitudinale J m

Ruote motrici anteriori

Figura 8.5: Sistema di trasmissione In condizione di avanzamento a regime con motore erogante una coppia C m pari a C m = 200 Nm si determini: 2. il carico limite m2 trascinabile dal carrello nel caso di massa m1 posta sulle forche; 3. il valore della risultante dei carichi normali agenti sulla coppia di pneumatici anteriori e posteriori con carrello impegnato a trasportare le masse m 1 e m2 ; Infine, per coppia motrice C m pari a 1.5C m e sempre nel caso di masse trasportate m1 e m 2 , si calcoli: 4. l’accelerazione longitudinale del carrello; 5. l’altezza h 1 massima rispetto al suolo del baricentro G1 per la quale risulta verificata l’aderenza delle ruote motrici.

8.4

Impianto di sollevamento

In Figura 8.6 è raffigurato lo schema di un impianto di sollevamento. L’azionamento elettrico, con momento di inerzia J m pari a 0.5 kg m2 , ha una caratteristica di coppia descritta dalla relazione: C m (ω) = C m0

− kω

m

dove C m0 = 10 Nm e k = 0.0318 Nms/rad. Quest’ultimo è collegato attraverso un organo di riduzione, caratterizzato da τ 1 = 1/50, η1d = 0.9 e η1r = 0.75, ad una puleggia di raggio R1 = 0, 2 m e momento

E 46

Capitolo 8

A

C m

τ 2 η2d η2r

τ 1 η1d η1r J m

ω2

J 1 , R1

J 2 , R2

A

R2 m2 f s , f d

v1

m1

α

Figura 8.6: Sistema d’inerzia baricentrico J 1 = 2.5 kg m 2 . Su tale puleggia si avvolge una fune inestensibile collegata alla massa m 1 = 100 kg. Sul medesimo albero cui è calettata la puleggia, viene installato un organo di riduzione ad assi sghembi costituito da una vite senza fine e una ruota dentata; tale trasmissione è caratterizzata dai rapporti τ 2 = 1/11, η2d = 0.85 e η2r = 0.7. L’albero di uscita del secondo riduttore è collegato a un disco (di raggio R2 = 1 m e momento d’inerzia baricentrico J 2 = 1 kg m2 ) su cui si avvolge una fune inestensibile per il sollevamento della massa m 2 = 100 kg, che striscia su un piano inclinato di un angolo α = 30◦ con coefficiente di attrito dinamico f d = 0.1 e di attrito statico f s = 0.15. Si richiede di determinare: 1. la coppia motrice necessaria p er sollevare a regime la massa m 1 ; 2. la velocità di regime cui si porta il sistema; 3. l’accelerazione allo spunto in salita della massa m 1 ; 4. la coppia agente nella sezione A del punto precedente;

− A dell’albero nella condizione

5. il valore di m 2 per cui, in condizioni di regime, il flusso di potenza sulla prima trasmissione passa da diretto a retrogrado o viceversa; 6. utilizzando il valore di m2 calcolato al punto precedente valutare, a regime, la coppia motrice e la velocità del sistema.

8.5

Utilizzatore a regime periodico

Il sistema MTU rappresentato in Figura 8.7 è composto da un motore con inerzia J v e coppia motrice M m incogniti, una trasmissione di rendimento η = 0.8 e rapporto di trasmissione τ = 1/50 ed un utilizzatore

Eserciziario di fondamenti di meccanica teorica e applicata J v

ωm M m Mot.

E 47

M r Trasm.

Util.

Figura 8.7: Macchina ad un grado di libert` a con utilizzatore a regime periodico M r [Nm] ✻ M r,A M r,B

✲ 0

π

2π

3π

4π

αr [rad]

Figura 8.8: Andamento del momento resistente in funzione dell’angolo dell’albero dell’utilizzatore con momento resistente M r variabile periodicamente in funzione della posizione angolare dell’utilizzatore αr secondo l’equazione: M r =



M r,A = 800 Nm 0 M r,B = 400 Nm π

≤ α < π ≤ α < 2π r

(8.1)

r

con periodo ∆αr = 2π come mostrato in Figura 8.8. calcolare:

Si chiede di

1. il momento motore M m costante che garantisce il moto del sistema a regime periodico; 2. lo scostamento dell’energia cinetica E c dal valore medio ovvero ∆E c = (E c,max E c,min )/2;

−

3. il valore del momento d’inerzia del volano J v che fornisce un indice di irregolarit` a di funzionamento della macchina i max del 3%; 4. la velocità angolare (ωm ) massima e minima dell’albero motore.


E 48

Capitolo 9

Capitolo 10

Gli elementi delle macchine 10.1

Trasmissione mediante cinghia piana

M m d

M r

S

D

I Figura 10.1: Trasmissione a cinghia piana Sia assegnato il sistema di trasmissione a cinghia riportato in Figura 10.1. Siano inoltre assegnate le grandezze geometriche riportate in Tabella 10.1. Si richiede di effettuare: 1. il calcolo degli angoli di avvolgimento della cinghia su entrambe le pulegge; 2. il calcolo del momento resistente M r , con momento motore M m ce la velocità angolare della puleggia motrice ω m = 50 rad/s costanti; 3. la verifica di aderenza; 4. il calcolo del massimo momento motore M m-max trasmissibile.

10.2

Dimensionamento tendicinghia

In Figura 10.2 è rappresentato un sistema di trasmissione a cinghia con tendicinghia sul ramo lasco costituito da un sistema a molla e cuscinet49

E 50

Capitolo 10 Tabella 10.1: Dati cinghia M m = 20 Nm I = 600 mm

D = 500 mm f s = 0.6

d = 200 mm S = 300 N E

A

y x

C m O1

C

O2

B D

Figura 10.2: Trasmissione a cinghia con tendicinghia to. Il momento motore applicato alla puleggia motrice è C m mentre la potenza da trasmettere è W . La puleggia motrice ha raggio R m mentre la puleggia condotta ha raggio Rc , l’interasse tra le puleggie è l. I dati del problema sono riportati in Tabella 10.2. Determinare: 1. la velocit` a angolare della puleggia motrice e della puleggia condotta; 2. la coppia resistente della puleggia condotta; 3. gli angoli di avvolgimento della cinghia sulle pulegge; 4. il precarico della molla del tendicinghia che garantisce il non slittamento. Tabella 10.2: Dati per il dimensionamento del tendicinghia Momento motore Potenza Raggio puleggia motrice Raggio puleggia condotta Rigidezza molla interasse pulegge coordinate punto C

C m 20 W 5 Rm 100 Rc 300 k 100 l 600 xC 500 yC 0

Nm kW mm mm kN/m mm mm mm


10.3

E 51

Camma circolare m p k O

R e

ϑ

C

P z(t)

ω Figura 10.3: Meccanismo a camma circolare centrata con punteria a piattello e molla elastica di richiamo Il meccanismo a camma rappresentato in Figura 10.3 è costituito da una camma centrata con punteria a piattello e molla elastica di richiamo di rigidezza k (si trascuri la massa della molla). La camma è ottenuta con un profilo circolare che ruota intorno ad un punto distante dal centro del cerchio del profilo di una quantità e. La velocit` a di rotazione della ˙ camma (ω = ϑ) è costante nel tempo. I dati noti del meccanismo sono riportati in Tabella 10.3. Determinare: 1. la legge di alzata, la velocit` a e l’accelerazione della punteria z(t), ˙z(t), ¨ z (t); 2. la velocità di strisciamento tra camma e punteria; 3. la rigidezza della molla di richiamo che impedisce alla punteria di staccarsi dal profilo della camma; 4. l’energia dissipata per attrito per un giro completo della camma. Tabella 10.3: Dati meccanismo a camma raggio camma (CP ) eccentricit` a (CO) velocit` a angolare massa punteria coefficiente attrito dinamico compressione della molla per ϑ = 0 rad

R e ω mp f d ∆l0

20 mm 3 mm 4π rad/s 50 g 0.1 1 mm

E 52

Capitolo 10

10.4

F

Freno a disco

A B a C b 1 2 3 4 5

Figura 10.4: Sistema frenante a disco: 1 corpo pinza, 2 camera olio, 3 pistoncino, 4 pastiglia, 5 disco In Figura 10.4 è riportato il disegno di un tipico sistema frenante automobilistico. Il sistema è costituito da un disco, la cui pista frenante ha raggio esterno R e = 310 mm e raggio interno R i = 200 mm, e da una pinza a 6 pistoncini di diametro d p = 65 mm che premono le pastiglie contro il disco. Le pastiglie hanno raggio interno ed esterno pari a quelli del disco e coprono un settore circolare ∆ϑ = 75◦ ; il coefficiente d’attrito dinamico tra disco e pastiglie è µd = 0.4. Nell’istante considerato il veicolo viaggia a 100 km/h (raggio ruota Rr = 300mm) ed il pilota applica una forza sul p edale del freno di 100 N. La pompa del freno ha una superficie di spinta di S f = 45mm2 ed è movimentata secondo lo schema in Figura (a = 50 mm, b = 150 mm). Si chiede di calcolare: 1. la pressione dell’impianto frenante; 2. la forza che preme le pastiglie contro il disco; 3. la forza e la coppia frenante sviluppate; 4. la potenza istantanea dissipata per attrito.


10.5

E 53

Cinematica del veicolo in curva

R vs ωm

ωs

ω p

ωc

ψ˙

vd

CIR

ωd

c Figura 10.5: Autoveicolo in condizioni di sterzatura cinematica In Figura 10.5 è rappresentato un autoveicolo a trazione posteriore in condizioni di sterzatura cinematica. Nota la geometria del veicolo e del differenziale e note la velocità di avanzamento e la velocità d’imbardata1 , calcolare la velocità dell’albero motore e la coppia alle ruote nel caso di potenza erogata dal motore costante e pari a 20 kW. Tabella 10.4: Dati veicolo velocit` a veicolo velocit` a d’imbardata raggio ruota raggio primitivo ruota conica albero trasmissione raggio primitivo corona dentata ponte raggio primitivo ruota planetaria differenziale raggio primitivo ruota satellitare differenziale carreggiata

v ψ˙ Rr rm r p r pl rsat c

54 0.3 280 50 150 40 35 1500

km/h rad/s mm mm mm mm mm mm

La velocit` a d’imbardata ψ˙ è la velocit` a angolare con cui il veicolo ruota intorno all’asse z , perpendicolare alla strada. Pertanto in una curva di raggio medio R, un v veicolo che viaggia con velocità v ha una velocità d’imbardata in modulo pari a ψ˙ = R 1

E 54

Capitolo 10

7 5 6 1

1

2

3

4

Figura 10.6: Differenziale: 1 semialbero, 2 perno satelliti, 3 satellite, 4 planetaria, 5 corona dentata ponte, 6 ruota conica trasmissione, 7 albero di trasmissione


10.6

Innesto a frizione automobilistico

1 2

E 55

5 6

3 4

7

8

a) frizione innestata

b) frizione disinnestata

Figura 10.7: Innesto a frizione automobilistico: 1 volano, 2 materiale di frizione lato volano, 3 materiale di frizione lato disco frizione, 4 albero motore, 5 disco frizione, 6 molla a diaframma, 7 meccanismo di disinnesco (spintore, cuscinetto assiale, forcella di comando), 8 albero condotto (verso il cambio) In Figura 10.7 è rappresentato lo schema di un tipico innesto a frizione di derivazione automobilistica. Il meccanismo ha il compito di sincronizzare la velocità dell’albero motore e l’albero condotto che entra nel cambio di velocità. Un disco ricoperto di apposito materiale di frizione viene premuto contro il volano del motore: l’attrito che si genera nel contatto assicura la trasmissione del moto tra i due alberi. Il comando viene azionato tramite il pedale su cui agisce il guidatore della vettura. Nota la geometria della frizione e la legge con cui viene esercitata la forza N (t) premente i dischi di frizione, determinare: 1. le equazioni di moto del sistema; 2. l’andamento delle velocit` a angolari dei due alberi fino ad innesto avvenuto; 3. l’energia dissipata per attrito nel processo di avviamento del veicolo.


E 56

Capitolo 10

Tabella 10.5: Dati innesto a frizione coppia motrice costante velocit` a angolare iniziale motore velocit` a angolare iniziale utilizzatore inerzia motore + volano inerzia lato cambio coppia resistente costante raggio esterno dischi frizione raggio interno dischi frizione legge della forza premente coefficiente d’attrito dinamico coefficiente d’attrito statico

C m ωm0 ωu0 J m J u C r Re Ri N (t) f d f s

100 100 100 0.5 0.8 30 200 120 3000t 0.5 0.5

Nm rad/s rad/s kg m2 kg m2 Nm mm mm N

Capitolo 11

Vibrazioni meccaniche a un grado di libert` a 11.1

Fermaporta A

G

m, l

x k

r

Figura 11.1: Schematizzazione del fermaporta In Figura 11.1 è rappresentato un meccanismo di ritenuta che impedisce ad una porta di sbattere. Per minimizzare il tempo di riposizionamento della porta nella posizione di riposo, è stato progettato un sistema molla-smorzatore che opera in condizioni di rapporto di smorzamento critico. Nota la massa m della porta, la lunghezza l, la rigidezza k della molla e che l’estremo della porta (punto A) subisce uno spostamento massimo di xmax = 20 mm dopo l’impatto, si chiede di determinare in base ai valori riportati in Tabella 11.1: 1. il valore del coefficiente di smorzamento fisico r; 2. la velocità iniziale del punto A: x˙ 0 ; 3. il tempo necessario affinché il punto A ritorni ad una posizione di x2 = 5 mm dalla posizione iniziale.

57

E 58

Capitolo 11 Tabella 11.1: Fermaporta: dati massa porta lunghezza della porta rigidezza molla

11.2

m 30 l 900 k 10000

kg mm N/m

Locomotore

Un locomotore di massa m in moto con una velocità v è fermato alla fine del binario da un respingente schematizzato come un sistema mollasmorzatore, Figura 11.2. Nota la rigidezza k della molla e la costante di smorzamento r, si chiede di determinare lo spostamento massimo raggiunto dall’istante in cui il locomotore colpisce il respingente ed il tempo necessario per raggiungere il massimo spostamento in base ai dati indicati in Tabella 11.2.

Figura 11.2: Schematizzazione del respingente ferroviario Tabella 11.2: Locomotore: dati massa locomotore velocit` a all’impatto rigidezza molla costante di smorzamento

11.3

m 80 v 15 k 10 r 2

t km/h kN/mm kNs/mm

Sospensione motociclistica

Si vuole effettuare il dimensionamento di una sospensione per una motocicletta di massa m = 200 kg che soddisfi le seguenti specifiche:

• Le oscillazioni devono smorzarsi con un tasso di riduzione che ne riduca le ampiezze di 4 volte ogni mezzo periodo;


E 59

m k

r

Figura 11.3: Schematizzazione di una sospensione motociclistica

• Il periodo di vibrazione del sistema sia uguale a 2 s La sospensione può essere schematizzata, in prima approssimazione, come in Figura 11.3. Una volta identificati i parametri di rigidezza e di smorzamento della sospensione in base ai dati forniti in Tabella 11.3, determinare quale sia la minima velocità iniziale da fornire al sistema meccanico per raggiungere un massimo spostamento di x Lim = 50 mm. Tabella 11.3: Dati per il dimensionamento della sospensione massa moto periodo di vibrazione riduzione di ampiezza

m T x(t + 0.5T )

200 2 =

kg s 1/4x(t)

40 ] m m [ ) t ( x

20 0

−20 −40 0

1

2

3 t [s]

4

Figura 11.4: Oscillazioni nel tempo

5

6

E 60

Capitolo 11

k2

m2 , J 2 C (t) k3

R

r2 2R

ϑ

m3 r3 m1 r1

k1

Figura 11.5: Sistema vibrante: es.1

11.4

Sistema vibrante: es.1

Il sistema in Figura 11.5, posto nel piano verticale, è costituito da un carrello di massa M 3 che scorre su un piano orizzontale. Il carrello è vincolato a terra tramite un gruppo molla-smorzatore di caratteristiche k3 , r3 . Su di esso è posta una coppia di dischi concentrici e solidali, di massa totale M 2 e momento d’inerzia complessivo J 2 . Il disco di raggio 2R rotola senza strisciare sul carrello ed è vincolato allo stesso tramite un gruppo molla-smorzatore di caratteristiche k 2 , r 2 . Sul disco di raggio R si avvolge una fune collegata ad una massa M 1 . La massa M 1 è vincolata a terra tramite un gruppo molla-smorzatore di caratteristiche k1 , r1 . Una coppia esterna C (t) = C 0 cos(Ωt) agisce sul disco di raggio 2R. Considerando la coordinata libera ϑ, determinare: 1. la posizione di equilibrio statico ϑ0 ; 2. l’equazione di moto del sistema nell’intorno della posizione di equilibrio statico; 3. la frequenza propria del sistema smorzato; 4. la risposta a regime del sistema.

11.5

Sistema vibrante: es.2

Il sistema rappresentato in Figura 11.6 si trova nel piano verticale. Un corpo di massa M 1 scorre lungo una guida verticale ed è vincolato a terra attraverso un gruppo molla-smorzatore di rigidezza k1 e smorzamento r1 . Una coppia di dischi concentrici, di momento di inerzia complessivo pari


E 61

Tabella 11.4: Dati dell’esercizio 11.4 M 1 = M 2 = J 2 = M 3 = R= Ω= C 0 =

10 50 25 70 0.5 30 100

k1

kg kg kg m2 kg m rad/s Nm

r1

k1 r1 k2 r2 k3 r3

= = = = = =

k2

100 10 100 10 1000 30

N/m Ns/m N/m Ns/m N/m Ns/m

r2

R3 M 1

R2

F 1

F 2

r3

ϑ

k3

Figura 11.6: Sistema vibrante: es.2 a J 2 , è incernierata a terra nel suo centro O e rotola senza strisciare sul corpo di massa M 1 . Una fune collega il disco interno di raggio R 2 a terra attraverso un gruppo molla-smorzatore di rigidezza k2 e smorzamento r2 . Un’altra fune si avvolge sul disco esterno di raggio R 3 ed è vincolata ad un altro gruppo molla-smorzatore di rigidezza k3 e smorzamento r3 che la collega al carrello. Al sistema sono applicate due forzanti esterne: F 1 (t) = F 1 cos(Ωt), F 2 = costante. Si richiede di determinare: 1. l’equazione di moto del sistema nell’intorno della posizione di equilibrio statico, utilizzando come variabile indipendente la rotazione ϑ indicata in figura; 2. la frequenza propria del sistema e lo smorzamento adimensionale; 3. la risposta del sistema ϑ(t) in transitorio perturbando il sistema a partire dalla condizione di equilibrio statico (ϑd (t = 0) = 0 rad, ϑ˙ d (t = 0) = 1rad/s).

290814876-Eserciziario-Meccanica-Applicata-alle-Macchine.pdf

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