[Ingegneria - eBook] Jacazio-Piombo- (Meccanica Applicata Alle Macchine) Vol 1-OCR-2

N = cos 8A — sin P H ossia k = sin 8 sin pA + sin p cos HP+ cos pv N = cos 8A — sin HP

si otterranno in definitiva, dopo opportune sostituzioni ed uguagliando i secondi membri delle (1.27) e (1.28), le:

detta hnea dei nodi.

p = j cos 8+ / sin H sin p

(1.29)

q = gsinpcosH — j sin8

r = gcosy+8 che costituiscono quindi le relazioni cercate tra le tre componenti della velocità angolare rispetto ad assi solidali al corpo rigido ed i tre angoli di Eulero che ne individuano la posizione rispetto ad un sistema di assi fissi, La accelerazione angolare d~jdt può essere ricavata dalla (1.27): d~ dt

,-

.„

dA dt

dj dt

— = pA+qj + r v + p — + q — + r .

dv dt,

Poichè A, P, v sono tre versori solidali al corpo rigido e posseggono quindi una velocità angolare Z, si ha inoltre:

Fig. 16 — Angoli di Eulero

Una volta definiti i tre angoli di Eulero si è poi in grado di esprimere le componenti p; — q ed r de lla rotazione ~ di un sistema rigido nello spazio rispetto alla t erna di v ersori A , P e v ' ad e sso solidale, in funzione degli angoli stessi e delle loro derivate prime rispetto al tempo. Essendo infatti:

(1,27)

-

".

d = pA + qP + rv

dA — = ~ A A = — qv +rP dt

dP — = uVA P = pv — rA dt dv — = (DA v = - p dt

P+qA

21

20 1 .7 - M o t o

d i u n c o r p o r i g i d o r i s p e t t o a u n s i s t em a m o b i l e d i c o o r -

dinate Si consideri un corpo rigido R i n m oto e si supponga, di conoscere il suo moto rispetto a unsistema di coordinate (O'z'y'z'), in moto a sua volta

rispetto a un sitema di coordinate fisso (Ozyz) (Fig. 17).

La velocità angolare p1 che compare nella (1.32) è somma della velocità angolare ~ „ r e l a t iva al sistema di riferimento mobile più la velocità angolare Q di t r ascinamento: G =d, + A

(1.34)

Sostituendo le (1.33) e (1.34) nella (1.32) si può ottenere l'espressione della, velocità di un punto generico P del corpo rigido in funzione della velocità relativa di un altro punto A relativa e di trascinamento:

d e l corpo rigido e delle velocità angolari

vp = vAr + (Q A 1Ap~) + vpi + (p7r+ Q) A rpA =

(1.35)

r Ar p A + voi + Q h r p o

= VAr +

i =

rpo i t

— VPr + Vpt

Per le accelerazioni si ha, analogamente, che, in base alla (1.18), la accelerazione di un punto A del corpo rigido è:

O'

aA = aAr + aA1+ aAy =

(1.36)

Fig. 17 —Moto di un corpo rigido relativo a un sistema mobile di coordinate r:

dQ = aA, +ao + — hr Ap + Qh(QhrAp )+2 AA vA,

Le accelerazioni di due punti P ed A d i u n corpo rigido sono legate dalla(1.23) che, in questo caso, è: ap = aA + -' h 1pA+d h (p1 ArpA dt

La velocità di un punto P de l corpo rigido è (1.22 ): (1.32)

vy = vA+ J A r p A

Si deve ora tenere presente che la velocità relativa

In questa relazione u è la velocità angolare del corpo rigido R r i spetto ai riferimento fisso, e vA è la velocità del punto A s empre rispetto al riferimento fisso. La velocità del p u nt o A p uò e s sere espressa, in funzione della, sua velocità vAr r e l a t iva al sistema di riferimento mobile e della sua velocità di trascinamento vA<. ,in base alla (1.14 ) si ha:

(1.33)

VA = VAr + V At = VA r +

(Q A TAO') +

)

Vp'

dove vp è la velocità dell'origine del sistema di riferimento mobile rispetto al sistema di riferimento fisso e Q è la velocità angolare di trasci namento.,ossia la velocità angolare del sistema di riferimento mobile rispetto a quello fisso.

~„

è e s p r i m i b il e

come: >r

= >rai'I + 4by j'l

,I +> r a ~

Pertanto la derivata rispetto al tempo della velocità angolare assoluta data, da:

d(i (1.37)

~ è

' dj ' d (~ + Q) = ~,, i ' + + „ j ' + ~ „ , - k', + ~ „ , di — + ur „ — + -

dP

+ u "' rz dt

+

dQ dt

,

=u)r" +

-

,

dA + QA1'r dt

dove Zr„è la accelerazione angolare relativadel corpo rigido considerato.

22 Da queste relazioni si può ricavare, per l'accelerazione di un punto

P

del corpo rigido:

2 . PROPR I ET À D I I N E R Z I A D E I C O R P I R I G I D I

(1.38) +

dQ

a p>+ — A r pp'+ Q A (Q A r pp') dt

+ 2 0 A "ùpr

In questa relazione il p r imo t er mine fra parentesi a secondo membro

costituisce l'accelerazione di P re l a tiva al sistema mobile di coordinate, il secondo termine fra parentesi l'accelerazione di trascinamento del punto P e l'ultimo termine l'accelerazione di Coriolis,

2.1 - Baricentro Dato u n corpo costituito da N m as s e puntiformi m , , m 2 , ...,mA, l a cui posizione nello spazio è data dai vettori ri , r 2 , ...,r~, il v e t t o re rG c h e

definisce la posizione del baricentro del corpo è

(1.39)

rG

miri + m2r2+ " + mN "N mi + m,2 + ... + miv

Pm„r„ 1

M

dove M è la massa totale del corpo. Per un corpo costituito da un insieme continuo di materia avente densità p, la posizione del baricentro è data da;

(1.40)

j~ pr dV

dove dV è i l v o l ume infinitesimo e V i l v o l ume totale. Queste espressioni vettoriali per la posizione del baricentro possono es-

sere scritte come un insieme di equazioni scalari; ad esempio le (1.39) possono essere scritte nel modo seguente:

3. JACAZIO-PIOMBO - Principi generali di meccanica

Sono definite momenti centrifughi le seguenti grandezze:

N

.Q, m„z„

f,zdm

M N

(1.41)

Iy=

M

m.y,

z ydm = I y

fv ydm (1.43)

Iy, =

P, m„s„

Si consideri un corpo rigido R e un sistema di coordinate di riferimento; i momenti di inerzia del corpo rispetto ai tre assi z, y, s sono espressi da:

I„ = f(y +y ) dm Jv

= f ("+ ' ) d Jv

I„ = f (z +y~)dm Jv In queste espressioni V è il volume totale del corpo e dm è la massa infinitesima. Inoltre, le somme (y +y ), (z + z ) , ( z + y ) r a p presentano i quadrati delle distanze della massa infinitesima considerata dagli assi z, y, s.

dn1

,„

zdm = I~,

Jv

Proprietà importanti sono le seguenti: a) I momenti di inerzia

2.2 - Definizione dei momenti di inerzia

f yz dm = I

Jv

Iz~-—/

M La posizione del baricentro per alcuni corpi più comuni è riportata nella, tabella I.

(1.42)

f

Jv

I,

Iyy , I„ s

on o s empre positivi.

b) I momenti centrifughi I, y, I„„ I, pos s ono essere positivi o negativi. c) I~y = Iy, = 0 se l'asse * o l ' a sse y o e ntrambi, sono assi di simmetria del corpo; analogamente per gli altri momenti centrifughi.

2.3 - Raggi di inerzia Si definisce raggio di inerzia di un corpo la radice quadrata del rapporto fra il momento di inerzia e la massa del corpo

(1.44)

2.4 - T r a sposizione dei m o m e nt i

Sl I

Si supponga di conoscere i momenti di inerzia I ,

centrifughi I „, I„ „ I ,

Iyy , I „ e

i mo m e n t i

e di v o ler calcolare i momenti di inerzia e centrifughi

y', z' traslati rispetto a, z; y, z;- Indicando rispetto a; un sistema. di-assi- -z'-, con zp, yp, zp le coordinate di O n e l sistema di riferimento (O'z'y'z') si ha: Iz'z' = Izz + m (zp + yp ) + 2zp

Fig. 18 — Definizione dei niòmenti di inerzia, di un coipo

I a
Jv

z dm+ 2 yp y Jv

d m+ yp

z dm

dm

27

26 Se il punto O è il baricentro del corpo, allora,gli integrali z

dm ,

y dm = l>t>Ixz + 1>/yIyy + I zztzIzz 2 lz tzlz ty I>y

sono nulli (1.41), per cui, indicando con G il baricentro: Iz'z'

Iy

(1.45)

I

t

= I„ + m( zo +yo) = I + m ( zo + zo) = I + m ( yo +zo) = I y +mzoyo

Iy t,

t

2lz yl

I

I

Iyz + m y
Iyy

2 lz tzlz tz I
Iy

lytzI
2 lytzly ty I >y

2 l ytzly tzIzz+

2lz tzlz ty Izy

tz I>z + 2 l zt >lz

y 'y y'z y »

I,

(1.46)

tzt

lztz I>z + lzty Iyy + lztz Iz z 2lz t y lz t z Iyz

I y

lz tz ly tzIzz

+(lz tylytz + +(lytylz tz +

I z tz ly tz Izz + (lz tzly ty

lzt zlyty)Iyz + (lz tzly tz +

lytzlzt>I
Iyt, t

lz tylyty I yy

ly t z l z t z I z z+

l ytylztyIyy

+ lzty lyt z)Izy

l z tzly tz )Izz t

(lytzlz ty + lytylz tz )Izy

ly/ zlzty)Iyz + (lytzlztz + lyt zlztz)Izz t

= - l z t z l z t z I z z — lztylztyIyy — IztzlztzIzz

+ (lztzlzty + I ztylz tz )Izy

+(lz tylz tz + Iztzlzty )Iyz + (lztzlztz + l ztzlztz )Iz

dm t I

O p/ O"i 0

- — I+x t0 30

Fig. 19 — Trasposizione dei momenti: traslazione degli assi

Si considerino ora due sistemi di coordinate aventi entrambi origine nello stesso punto O , m a r u o t ati tr a loro,

Supponendo ancora di conoscere i momenti di inerzia e centrifughi rispetto al sistema di assi z , y , z e di voler calcolare i corrispondenti momenti

rispetto al sistema di assi z',"y", z' si ha:

Fig. 20 — Trasposizione dei momenti: rotazione degli assi dove

l t„ l „ , 1 ,,

son o i c o s eni direttori d ell'asse

z, y, z, ossia: I t = i ' i

(1.4r)

I y = i'I

I. , =

i' k

Analogamente per gli altri coseni direttori.

rispetto ai t r e assi

28 TABEL LA , I — Proprietà di i n e rzia di corpi r i g i d i (G = posizione del barice)ntro, V = volume, ITs = massa, I = momento di inerzia) SFERA CAVA

Solido

y

, 'Il

Volume

LI2

'

ly

~

mL'

x

I àà

mrs / ' V

àà

2 ( I+

2arA

m r' / '

B ARR~A' ~.

y' ,

P I EGATA AD ./IRCO

) sin a cos o )

X

QQ

mLs =— sin' a

A

a

à/ '

I

sin a cos a

V = wdss

4

V àà -

c

3

I
l D'D' , , àà

l/ ~ as

TORO

R Iy

mas

lx

'

y PARAI.LELE IPEDO

'

-~ '

~

X

V àà p

hc

J-

In

.y

,'I x +lrl

d x

h 3

4

y V=

II d'h

I xx ..= -

mds S

CONO

D'

x o o

4

I

-

I

3 rs ~ m I Rs+ —

I

~ — (as + bs)

4) )

V~ab-

x

(bs+ cs)

C! LINDRO

;

PIRAM I D F. RETTAN(IOLARE

l'

(ps 4 hs)

àà -

I,,

— (as + bs)

-

p

I ÃD' à

(as + cs)

-( - -'. )

V = 2srsRrs

I bX.

m

~ — (bs + cs) I„

, 4~

p

srabc

md

=1

Iàà = -

z/

x

I

ELLISSOIDE

. • --.. • . CUBO

sj;

= xr = l p ( D s

SFERA CAVA SOTTI L E

s

L

x

;A

I

y'

m (D' — d') ds)

Ã

V = — (D' — ds)

6

I ,.= -

V =A' L l 'j

x

mL

BARRA DIRITTA

a p

+s/ s

Momenso di inerzia

à

2P

3 l„, ~ — pm(ds +bs)

srds h, 12

I

~ —3 m d s

I, .I TRONCO Dl CONO

CIL! YDRO CA'VO

Ic

D

wb

I xà

V = — (D' —ds)

T

4

y

s

(.,',

m f .= 16 -

.

/

m

àà

ID P

x

y/s b(D'+ 2Ddà 3d') 4(D s à Dd+ d')

)

4h' X 3

xb V = — (ds+ D s+~ d i D i ) 12

I

3

(D s d s)

40 m (Ds —ds)

SETTORF. SFERICO

= — (as + hs) y/'

ls = sspbh

r

x

p

CI I JNDRO ELLITTICO

l

b

= — (Ds + ds)

2

6'I 3

y/, = —„(2r — h)

ns

I,, xx = —]s (3hs + h')

V= — srr b

1n'

3

rss = — (3 rb —bs)

y SIICMRNTO SFERICO

SFERA

/

l' =-

slds

6

mds 1xà = I ss ,

lp

y"

V = ssbs(r -

— ) 3

2b 3r — b

30 2 .5 - A ss i e xnoxnenti p r i n c i p al i d i

inerzia

3. F®lt.ZE E C®PP'IE Per una data origine O del sistema di coordinate si possono scegliere infinite terne di assi

z, y, z, mu t u a m ente perpendicolari. T ra t u t t e q ueste

terne è possibile trovarne una per la quale i momenti centrifughi I „, I„„ I , sono nulli. I c o r r ispondenti momenti,di inerzia I , I » , I „ sono detti momenti principali di in e rzia e verranno scritti come I„ I „ , I„ gl i as s i z , y , z corrispondenti sono detti assi princig>ali di inerzia, Se un corpo ha un asse di simmetria questo è un asse principale di inerzia, Nel caso in cui l'origine degli assi coincida con il baricentro G del corpo gli assi principali di inerzia, sono anche detti assi centrali di inerzia.

I momenti principali di inerzia per alcuni corpi rigidi principali sono elencati nella tabella I,

8.1 - Classi6cazione delle forze Le forze agenti sui corpi possono essere classificate in vari modi, a seconda dell'aspetto considerato; le più comuni classificazioni vengono fatte secondo i criteri seguenti; a,)natura della forza; ls) posizione della forza. rispetto a3 sistema, meccanico considerato; c) origine della forza; d) lavoro compiuto dalla forza. In l
di gravità e le forze elettromagnetiche. Le forze di inerzia sono pure forze di massa originate da.un campo di moto non uniforme, ma vengono sovente considerate separatamente dalle altre forze di massa. Le forze di superficie hanno una diretta origine molecolare e decrescono rapidamente al crescere della distanza fra. gli elementi che interagiscono. Le forze di superficie sono, in pratica,, trascurabili se non si ha contatto diretto fra, due elementi, poichè in assenza di contatto le t varie molecole non sono in grado di esercitare forze apprezzabili.

32

33

Riguardo alla loro, posizione rispetto a un determinato sistema meccanico le forze possono essereinterne o esterne. Considerato un sistema Z qualsiasi (Fig. 21) sono fon~e esterne, rispetto' sistema stesso, tutte quelle forze, di qualsiasi natura, esercitate da sorgenti poste al di fuori del sistema.

zero e può assumere valori sia negativi sia positivi. A d esempio, in un motore

È importanterilevare che le forze esterne agenti su un sistema sono di natura qualsiasi e possono essere quindi sia forze di massa che forze di

quella di espansione della miscela combusta (Fig. 22).

alternativole forze che ilgascontenuto nella camera di combustione esercitano sul pistone e sul cilindro sono forze interne per il sistema Z , ' ed il lavoro da esse compiuto risulta negativo nella fase di compressione del gas e positivo in

superficie. I tI

I

Z

~

I

.F::; " ::"F',:

Fl

F; r' I

r

Fr

Fig. 21 — Forze interne F, e forze esterne E, agenti sul sistema Z

Sono invececonsiderate forse interne rispetto alsistema Z tutte quelle forze, di qualsiasi natura, che una parte di sistema stesso.

Ora, se si indicano con A e 8

Z e s e r cita su un'altra parte del

d u e elementi del sistema Z si osserva

Fig. 22 - Schema di motore alternativo

Per cio che riguarda la loro origine, le forze si possono distinguere in forze attive e forze reattive. Si indicano comeforze attive le forze agenti sul sistema in esame che o sono note, oppure hanno una espressione nota in funzione delle caratteristiche del moto del sistema. Ad esempio sono forze attive la forza esercitata da una molla, che è proporzionale allo spostamento relativo delle estremità della molla stessa, oppure la resistenza aerodinamica all'avanzamento, che è funzione della velocità del sistema considerato. Si indicano invece conie forze reattive quelle che i vincoli interni o esterni del sistema esercitano su di esso e delle quali si conosce in genere la direzione., ma non il valore, che viene determinato mediante le equazioni di equilibrio (vedi

che, se A e s ercita una forza F su B , que s t ' u lt i mo esercita una forza —P su A, e ciò porta a concludere che la risultante di tutte le forze interne di un sistema è uguale a zero.

) 3.3). Sono cosi forze reattive per un autoveicolo quelle generate ai contatto ruota-terreno.

Si noti ora che se si considera un sistema Z' (Fig. 21), parte del sistema Z, forzeinizialmenteinterne per Z possono diventareesterne per Z', mentre forze esterne per Z p o ssono non esercitare più la loro influenza su Z'; r i s ulta, di conseguenza assolutamente necessario, quando si parli di forze interne od esterne, specificare rispetto a quale sistema si operi tale suddivisione.

forze motrici o forze resistenti. Le forze motrici sono quelle che hanno. la stessa direzione e lo stesso verso del moto del sistema, e compiono quindi un lavoro positivo, mentre le forze resistenti hanno verso opposto a quello del moto del

E da notare inoltre che, mentre la risultante delle forze interne di un . sistema è uguale a zero, il lavoro da esse compiuto è generalmente diverso da

Rispetto al lavoro da esse compiuto le forze possono essere distinte in

sistema ecompiono di conseguenza un lavoro negativo.

35

3.2 - Momenti e Coppie Si consideri una forza F ag e n te in un punto P. Si d efinisce momento della forza F ri s p e t to ai punto O i l p r o d o t to vettoriale

Mp =

(1.48)

risultante non è nullo e vale, rispetto a qualsiasi punto, M la distanza frale,due forze.

= Fa d ov e a è

CAF

dove Tp è il v e t t o re (P —O). Il momento M p è u n v e t t ore libero, è perpendicolare al piano individuato da F e da rp , e va l e in modulo. ()lXp) = rpFsin8 P

dove 8 (Fig. 23) è l'angolo formato fra i vettori F e r p .

hf p Fig. 24 — Definizione di coppia

8

Si definisce momento assiale di una forza l' versore X ilprodotto scalare:

p rp

Fi g. 2 5 — Definizione di momento assiale

ri s p etto a un asseI d i

r /

(1.50)

r

Mi = A (rp h F) = A • Mp

Il modulo di M i è d a to (Fig. 25) dal prodotto della componente F „ della forza F giacente nel piano perpendicolare all'asse 1 per la sua distanza a dall'asse: /Mi/ = F „a Le coppie, come le forze, possono essere classificate in esterne, interne,

Fig. 23 — Definizione di momento di una forza

attive, reattive, motrici, resistenti> come riportato nel paragrafo 3.1. JV

Se un sistema diforze F i, F..

.F

ha, u n a r isultante R =

P F„ e la 1

somma dei momenti di queste forze rispetto a un punto O è M p , i l m o mento r isultante di tu tt e le stesse forze rispetto a un altro punto A è d a t o d a :

(1.49)

iM~ = Mp Si considerino ora due forze

+Rn(A — O) F

u gu a l i e o p poste, ma con differente è n u l la, ma il momento

punto di applicazione (Fig. 24). La loro risultante R

3 .3 - E q u i l i b r i o d e i c o r p i

-Una proprietà fondamentale-della meccanica è che, per -un-corpo qualsiasi, la risultante di tutte le forze esterne F, e il mo mento risultante rispetto a un qualsiasi punto O d i t u t t e leforze e coppie esterne C, ag enti sul corpo è pari a zero:

36

37 cambia mentre essa percorrela sua traiettoria. La forza di inerzia alla quale

la particella è sogget ta vale: (1.51)

Pf;

=0

dv

(1.53) (1.52)

P

—+[lr p; h F; ) + C;j = 0

Afe, -

F= — m- dt

Si noti che una forza di inerzia nasce non solo per una variazione del

modulo della velocità, ma anche per una variazione della direzione della velocità. 3 .4 - Fo rz e d i

m a ssa -+ v2 + F =m — X

Come già anticipato nel paragrafo 3.1, le forze di massa che principalmente si incontrano nelle applicazioni meccaniche sono:

r

— forza di gravità — forza elettromagnetica — forza di inerzia La forza di gravità è causata dal campo gravitazionale e vale:

ed è diretta secondo la verticale locale.

L'accelerazione di gravità g su lla Terra varia leggermente con la latitudine e con la quota (ad esempio g = 9,80608 m/s a Torino;9,80367 m/s a Roma; 9,80943 m/sz a Parigi; 9,81188 m/sz a Londra; 9,81274 m/sz a Berlino; 9,8218 m/s a Eagle (Alaska); 9,77941 m/s a Città del Messico). Il valore standard della accelerazione di gravità è pari a, g = 9, 80665 m/sz, mentre il suo valore in funzione della. latitudine e della quota è dato, approssimativamente, dalla seguente formula, empirica.: y = 9,78075(l+0,00524sin P)(1 — 2,926 x 10 h)

m /s

dove p è l a l a t i t u dine e h è l ' a l tezza in metri sul livello del mare. La forza elettromagnetica si origina quando una particella carica elet-

tricamente con una carica, e si trova in un campo elettrico di intensità E o si muove con velocità v in u n . c ampo-magnetico di intensità H. In ge nerale la forza agente sulla particella è: F = eE + e V A B La forza di inerzia. nasce quando una, particella di massa m si muove. in un c ampo d i v e locità non u n iforme, per cui l a v e locità della,'particella

Fig. 26 — Particella in moto lungo una traiettoria circolare

Ad esempio, nel caso di un moto lungo una traiettoria circolare a velocità V costante di una particella avente massa m, si ha una accelerazione: t

u

t

a=-

v2 —A r

e, di conseguenza una forza di i n erzia,, detta anche, in q uesto caso, fo rz a centri fuga: v Fi= m

— A

Per un corpo rigido in moto non uniforme la forza di inerzia globale è la risultante di tutte le forze di inerzia, elementari delle singole particelle e la sua espressione sarà vista nel successivo capitolo 4.

38

Si consideri ad esempio (Fig. 27) una piastra P di area A, appoggiata

3.5 - Forze di superficie

Le forze di superficie si distinguono in due grandi categorie: — forze di pressione (normali alle superfici a contatto) — forze tangenziali (direttesecondo la tangente comune alle superfici a contatto ). Le forze di pressione provocano uno schiacciamento locale nella zona di contatto fra i due corpi e il massimo valore di forza che può essere scambiata in direzione normale fra due superfici a contatto è limit ata unicamente dalla, resistenza dei materiali costituenti i due corpi a contatto.

Le forze tangenziali possono essere a loro volta di due tipi completamente diversi, e precisamente: — forze viscose — forze di attrit o .

Data l'importanza di queste forze nelle applicazioni meccaniche esse verranno trattateseparatamente.

su uno strato di fluido avente spessore h: si può constatare sperimentalmente c he, per mantenere la piastra in moto uniforme ad una velocità V , o c c o r r e applicare ad essa una forza di intensità F ch er i s ulta inversamente proporzionale allo spessore h d e l l o s t r ato di fl uido e dirett amente proporzionale all'area A d e l l a piastra ed alla sua velocità V . S arà pertanto:

p — p VA

(1.54)

h

c h e compare nella (1.54) prende il nome di viscosità dinamica (o più semplicemente di viscosità). Tale grandezza è funzione sia della temperatura sia, se pur in misura minore, della pressione; per molti fluidi poi, la viscosità non dipende dalla velocità, o dal rapporto V/h; in tal caso i fluidi vengono detti newtoniani, mentre nel caso contrario essi vengono indicati come fluidi non-newtoniani. Dalla (1.54), indicando con r il valore della tensione tangenziale che si sviluppa tra due strati contigui di fluido, si ha: e la costante di proporzionalità p

3.6 - Forze viscose

e piu in generale si avra;

Le forze viscose sono forze tangenziali che nascono quando due strati adiacenti di fluido si trovano in condizioni di moto relativo.

(1.55)

Gu T= P -

ct y

dove u rappresenta la velocità di un punto generico del fluido ed y la coordinata dello stesso in direzione normale alla velocità. Ciò vale, naturalmente, nel caso in cui il moto del fluido sia unidimensionale; se iiifatti il fluido possedesse anche componenti della velocità non trascurabili in altre direzioni, la tensione tangenziale assume una espressione più complessa (si veda il paragrafo 8.3 ). Dalla (1.55) si può quindi ricavare che, in generale, se y = 0 rappresenta la coordinata della superficie solida, la forza per unità di superficie lungo la parete, in direzione tangenziale, causata da un fluido in moto è:

(1;56)

Dalla (1.55) si può facilmente osservare che le dimensioni della viscosità sono: Fig. 27 — Distribuzione della velocità in uno strato di fluido

Forza x Tempo (l'.unghezza)

Massa Lunghezza, TemPo

4. JACAZIO-PIOMBO - Principi generalidi meccanica

i

40

41

L'unità di misura più coiirente della viscosità è quella corrispondente al sistema

-- CGS, unità che prende il nome di Poise (P) ed è deflnita come:

g — 1 P — 0' 1 kg 1 )p)cos —1 c mx s mxs Ciò nonostante il Poise è ancora una, unità di misura grande rispetto ai valori consueti della viscosità di u n fl u i do , per cu i sovente se ne utilizza un suo sottomultiplo e p recisamente il centiPoise (cP), ovviamente definito come: 1 cP = 0,01 P.

dove p rappresenta la densità del fluido stesso. Le dimensioni della viscosità cinematica saranno pertanto date da.:

Massa (Lunghezza) X Lunghezza x Tempo M assa

(Lunghezza) Tempo

e di conseguenza essa verrà misurata nel sistema internazionale in ms/s e nel sistema CGS in cm~/s. Quest'ultima unità prende il nome di Stokes (S) ed è dunque pari a: 1 S = 10 ' m -'/ s

Anche per l'unità di misura. della, viscosità, cinematica di un fluido, cosi come per quella dinamica, si ricorre più comunemente ad un sottomultiplo ài quella definita nel sistema CGS, e precisamente si fa uso del centiStokes (cS), ovvia; mente pari a: 1 c S = 0,01 S. Tra. i centiStokes e le unità di misura di viscosità pratiche prima citate

(e cioè gradi Saybolt, Redwood ed Engler ) sussistono le relazioni riportate dalla tabella II.

Saybolt

j

Rediaood

50

33 39 46 52 59 77 98 141 232

31 36 41 46 52 68 86 125 205

>50

(4,6 x cS)

(4,1 x cS)

30

modo legata al tempo impiegato da una certa quantità dello stesso per passare

P

~

8 10 15 20

dere, sotto il solo effetto del proprio peso, attraverso un lungo tubo capillare. È allora intuitivo pensare che la viscosità del fluido in esame sia in qualche

v=

centiStokes

6 4

La viscosità di un fluido viene poi normalmente misurata, nella pratica

(1,57)

- ' F a t t o r i d i conversione approssimati per i e u n i t à pratiche di viscosità

2

ricorrendo ad appositi viscosimetri nei quali il l u b rificante viene fatto scen-

— attraverso il tubo capillare, ed assumere di conseguenza il valore di tale tempo quale caratteristico della viscosità stessa: a tale tipo di misura fanno riferimento infatti le unità di viscosità quali i gradi Saybolt, Redtsood edEngler, Oltre che alla viscosità dinamica di un fluido, si fa sovente riferimento anche alla sua viscosità cinematica v, definita come:

T ABELL A l I

j

Engler 11 1,3 1,5 17 1,8 23 2,9 4,1 6,6 0,132 x cS)

Ritornando a quanto prima accennato, va ricordato che la viscosità di un fluido è funzione della. sua temperatura: essa però presenta delle modalità di variazione differenti a seconda che il fluido considerato sia un liquido od un gas. Per un liquido infatti, la viscosità diminuisce all'aumentare della temperatura ed in particolare, per i lubrificanti, si può supporre valida con buona approssimazione la formula di ùValther (1.58)

Log [Log(v+ 7)] = A —B Log T

dove T è l a temperatura assoluta del fluido espressa in 1~', A e B s on o due costanti dipendenti dal tipo di olio, v è l a sua viscosità cinematica espressa in centiStol'es e 7 una costante quasi indipendente dal tipo di olio e compresa comunque sempre tra 0,6 e 0,8. I valori della viscosità cinematica alle temperature di 40'C e 100'C per alcuni tipi principali di oli lubrificanti sono riportati nella Tabella III. Le proprietà della viscosità sono presentate in modo più dettagliato nel paragrafo 5.9.

43 TABELL A

I I I — Viscosità cinematica di alcuni oli lubrificanti

Lubri ficante ) Olio da Turbina SA'E 10 SAE 20 SAE 30 SAE 40 SAE 70

v (40'C) (centiSkokes ) [ v (100'C) (centiStokes) 37 40 58 05 125 400

Si supponga ora di applicare al corpo A , i n di r e z ione parallela alla superficie di contatto, una forza T, d i p i c c o la intensità (F i g. 28b): si p u ò osservare che il corpo A s i m a n t iene fermo nella sua posizione iniziale e ciò

4,2 6 8,4 12 15 30

b)

Nel caso di fluidi gassosi invece, contrariamente a quanto accade per

i liquidi, la viscosità aumenta all'aumentare della temperatura, secondo una legge che per l'aria è esprimibile approssimativamente mediante la:

c) ma

(F7),

F

dove p è la viscosità dinamica del gas alla temperatura assoluta T e pp rappresenta la viscosità dinamica dello stesso ad una temperatura assoluta di

e)

riferimento T p .

Ad esempio, la viscosità dell'aria alla pressione ambiente alla tempera-

N

y

t ura di 0' C è p p = 0 , 0171 cP, m e n tre alla temperatura di 100'C è / l i p p 0,0217 cP. L e corrispondenti viscosità cinematiche valgono: v p — 13,2cS, vipp — 23 cS.

T

Fz 3 .7 - Fo rz e d i A t t r i t o

Le forze di attrito sono forze di superficie che si sviluppano in direzione tangenziale a due superfici a contatto.

Fig. 28 — Forze di aderenza e di attrito fra solidi a contatto

A l c o n t r ario delle forze viscose che

si sviluppano solo in condizioni di moto relativo, le forze di attrito possono esistere anche in assenza di moto relativo fra le due superfici solide a contatto. In questo caso siha aderenza fra le due superfici.

Si consideri un corpo A (Fig. 28a) premuto contro un altro corpo B da una forza F' p erpendicolare alla superficie comune di contatto tra i due corpi; di conseguenza il corpo A risulta in equilibrio sotto l'azione della forza N e delle forze esercitate da B su t u t t a la superficie di contatto. Tali forze

devono possedere, onde soddisfare alle condizioni di equilibrio, una risultante F~

av e nte la s tessa retta d'azione, egual modulo e verso opposto a quello

della forza N.

è reso possibile dall'insorgere lungo la superficie di contatto tra i corpi

A

e B di fo r z e a genti in d i r ezione tangenziale, forze che ammetteranno una risultante Fy di i nt e n s ità u guale e v erso opposto alla T, . M a l a fo r z a . Fz, pu r a s s icurando l'equilibrio al)à't r a slazione orizzontale del corpo A, forma con la f orza T, una co p p ia c he non p uò e ssere equilibrata se non modificando la distribuzione delle forze agenti in di rezione normale. Q uesta nuova distribuzione ammetterà ancora una risultante di intensità pari a F ~ , ma ora traslata rispetto alla forza N in m o d o da creare una coppia uguale e contraria a quella, formata dalle forze F z e T, (Fig. 28b).

45 La forza Fy che i l c o r po B ese r c i ta, sul corpo A nel l e c ondizioni prima indicate è dovuta t all'aderenza che si ha fra le superfici a contatto e rappresenta la risultate delle forze d'adesione che si hanno fra, i punti dei due corpi che vengono a contatto. All'aumentare della, forza T, a p p l i cata al corpo A > a umenta anche il valore della, forza, di aderenza Fz fi n o a quando si raggiunge un valore limite,

indicato con (F~)„

(Fig. 28c), che rappresenta la massima forza di aderenza

valore dell'area di contatto tra le due superfici. Queste leggi dell'attr i to, già enunciate da Leonardo d Uinci (1452-1519), furono riscoperte dall'ingegnere francesè Amontons nel 1699 e furono infine verificate sperimentalmente in modo completo da Coulomb nel 1781, per cui si indicano frequentemente con la denominazione di attrito coulombiano i fenomeni di att r i to c he presentino le caratteristiche prima, esposte. Esse valgono con ottima approssimazione per i materiali duri.

che si può sviluppare fra. le superfici a contatto. Se la forza T, aum e n t a. ulteriormente, anche di una quantità piccola, t, il c orpo abbandona la sua posizione di quiete e si muove nella direzione di

applicazione della forza (T, + t), (Fig. 28d). Una volta che il corpo

3 .8 - C o ef fi ci e nt i d i

a d e r e nz a e d i a t t r i t o

L'entità delle forze di aderenza e di attrito viene normalmente espressa

A è i n m ot o r i spetto a B, si c o n s tata, speri-

mediante i coefficienti di a derenza e di a t t r i t o .

S i d e f i niscecoefUciente di

mentalmente che la forza T necessaria a mantenere A. in moto con velocità uniforme è minore della forza T, ne cessaria ad iniziare il moto(Fig. 28d), e che tale forza, T, ne l la, maggioranza. dei casi, varia abbastamza poco al variare della velocità con la quale si muove il corpo ( ). Pertanto, quando il

aderenza f, il r apporto tra il modulo della forza massima. tangenziale (Fr ), che si puo sviluppare fra le superfici a contatto prima che inizi il moto relativo ed il modulo della forza normale F~.

corpo A è in mo t o c on la velocità, V r i s p e tto a B, B e se r c ita su A u n a , forza Fr , par a l l e la alla. direzione del moto relativo tra A e B , e d av e n te

(1.59)

verso opposto a quello della, velocità. di A relativa a B. La forza Fr pr ende

Si definisce di attrito f il r apporto tra, il modulo della forza tangenziale Fz che si genera al contatto fra due superfici in moto relativo ed il modulo della forza normale Ffv

il nome di forza di attrito fra. le due superfici a contatto. E chiaro che, come B es ercita su A una forzaFz

avente verso

opposto alla velocità di A r i spetto a B, co si A e s ercita su B un a forza — Fr, opposta alla precedente, ed avente quindi verso opposto alla velocità di

(Fz )e Fy

cosciente

(1.60)

B r e lativa ad A .

Come risulta evidente, la caratteristica peculiare che contraddistingue la presenza dei fenomeni di aderenza o di attrito fra due corpi è rappresentata dall'esistenza o meno di moto relativo fra i corpi stessi. Cosi, quando non esista moto relativo fra. due corpi a c on tatto ci si t r o verà in c ondizioni di aderenza, mentre quando esista nioto relativo fra due corpi a contatto ci si troverà in condizioni di at trit o . Oltre alle caratteristiche finora esposte, i fenomeni di aderenza e di attrito fra due superfici a contatto prsentano due importanti proprietà. Innanzi

tutto sia la forza limite di aderenza, (Fz), sia la forza di attrito Fz so n o proporzionali alla forza F~ co n l a q uale vengono premute l'una contro l'altra, in ambedue i casi, le due superfici a. contatto. In secondo luogo, la forza

limite di aderenza (F~), e la f orza di attrito Fr son o indipendenti dal (*)

L ' influenza della velocità sulla forza di attrito verrà esaminata più dettagliatamente al para-

grafo successivo.

La Tabella IU riporta i valori dei coefficienti di aderenza e di attrito per numerose coppie di materiali a, contatto. Salvo indicazioni contrarie il contatto è da intendersi secco, ossia in assenza, di materiale lubrificante, ed in condizioni ambientali standard, mentre il coefficiente di attrito è da intendersi

misurato ad una velocità relativa tra le superfici a contatto compresa tra 0,5 e 5 m/s. L'infiuenza di particolari parametri sui coefficienti di aderenza e di attrito verrà ora esaminata.

47 Mat eri ah TABELLA I V — Coefficienti di aderenza f, e di a ttrito f in co n d i z ioni ambientali standard e in assenzadi lubri6cantl

Materiali

Zinco su zinco Acciaio fucinato su ghisa Acciaiotenero su bronzo fosforoso Acciaio tenero su ghisa Acciaio tenero su piombo Alluminio su acciaio tenero Bronzo su ghisa Cadmio su acciaio tenero Carburo di tungsteno su acciaio Carburo di tungsteno su ferro Carburo di tungsteno su rame Costantana su acciaio Lega di bronzo-alluminio su acciaio Lega di rame-piombo su acciaio Magnesio su acciaio tenero Magnesio su ghisa Nickel su acciaio tenero Ottone suacciaio tenero Ottone su ghisa Piombo su ghisa Rame su acciaio tenero Rame su ..ghisa

0,85

0,32 0 21

Materiali vari su legno

Metalli e leghe metalliche su metalli e leghe metallich,e Acciaio duro su acciaio duro Acciaio fucinato su acciaio fucinato Acciaiotenero su acciaio teneroAcciaiotenero su ghisa Alluminio su alluminio Argento su argento Bronzo su bronzo Cadmio su cadmio Carburo di tungsteno su carburo di tungsteno Cromo su cromo Ferro su ferro Ghisa su ghisa Magnesio su magnesio Nickel su nickel Platino su platino Rame su rame

Stagno su ghisa Zinco su ghisa

0,78 0,74 1,40 1,40

0,42 0,44 0,57 0,23 1,25 0,25 — : 0,30 0,80

0,20-: 0,25 0,41, 1,00 1,10

0,15

0,60 1,05

0,53

1,20

1.00 0,65 0,40 0,40 0,95 0,61

0,18 0,34 0,23

0,95 0,47 0,22 0,46

Acciaio fucinato su legno di faggio (1) Acciaio fucinato su legno di olmo (1) Acciaio fucinato su legno di pioppo (1) Acciaiofucinato su legno di rovere (1) Acciaio fucinato su legno di salice (1) Cuoio su legno di rovere (1) Fune di canapa su legno rugoso (1) Fune di canapa su legno liscio (1)

Ghisa su legno di faggio (1) Ghisa su legno di olmo (1) Ghisa su legno di pioppo (1)

Ghisa su legno di rovere asciutto (1) Ghisa su legno di rovere bagnato (1) Legno di rovere su legno di rovere (1) Legno di rovere su legno di rovere asciutto (2) Legno di rovere su legno di rovere bagnato (2) Mattone su legno (1) Ottone su legno di rovere (1)

0,54 0,49 — : 0,60 0,60-: 0,65 0,40 — : 0,51 0,60-: 0,63 0,50 — : 0,60 0,35 — : 0,50 0,50 — : 0,80 0,50 0,33 0,29-:0,37 0,36 — : 0,37 0,35-: 0,40 0,30 — : 0,50 0,63 0,33 0,62 0,48 0,54 0,42 0,71 0,25 0,30 — : 0,40 0,48

Mola e smeriglio su altri materiali Mola a grana ruvida su acciaio Mola a grana ruvida su ghisa Mola a grana fine su acciaio Mola a grana fine su ghisa Smeriglio su acciaio

0,25-: 0,30 0,21 — : 0,24 0,94 0,72 0,28-: 0,50

0,40-: 0,60

0,80

Materiali vari su neve e ghiaccio (a-1P C)

0,35 0,40 0,45 0,22

Acciaio su ghiaccio Alluminio su neve Ghiaccio su ghiaccio Nylon su neve Ottone su ghiaccio Politetrafl uoroetilene su neve

0,51

0,53 1,05

0,42 0,25 0,64 0,44 0,30 0,43 0,36 0,29

0, 027 0,38 0,30 0,30

0, 014 0, 035 0, 075

0; 08

Materiali vari su vetro

Grafite su vetro Nickel su vetro Rame su vetro Vetro su vetro

0,78 0,68 0,94

0,18 0,56 0, 530,40

Materiali

Z8etto della velocità

I

Sughero su altri m.ateriali

Sughero su acciaio Sughero bagnato su acciaio Sughero su acciaio bagnato Sughero su sughero Sughero su vetro

Per la maggior parte dei materiali duri per i quali si ha attrito coulombiano il coefficiente di attrito ha un brusco decadimento passando da velocità nulla a, una ve)ocità variabile tra 3 e 8 mm /s;ciò corrisponde, come esposto

0,45 0,56 0,69 0,59 0,52

nel precedente paragrafo, al passaggio delle condizioni di aderenza{o attrito statico ) alle condizioni di attrita {dette anche di attrito dinamico). Successivamente, dopo un p i ccolo incremento, il coefficiente di at t r it o d i m i n uisce all'aumentare della velocità relativa, fra i due corpi a, contatto {Fig. 29). Per

Materiali cristallini vari su materiali vari

Cristalli di NaNOs, I
0,50 0,10 0,10 — :0,15 0,10 0,15

velocità relative molto grandi il coefficiente di attrito tende a raggiungere un valore quasicostante e, sovente, a.crescere di nuovo. 0,10

0,15

fa

0,20

Materie plastiche su materiali vari Plastica laminata su acciaio Polistirene su acciaio Polistirene su polistirene Teflonsu acciaio Teflonsu tefl on

0,35 0,30-:0,35 0,50 0,04 0,04

Fibre su materiali vari Fibra di cotone su fibra di cotone Nylon su nylon Seta su seta

0,30 0,15 — : 0,25

0,20-: 0,30 Fig. 29 — Andamento tipico del coefficiente di attrito in funzione della velocità re)stiva fra i corpi a contatto

Altre coppie di materiali Argilla su argilla. (bagnata) Argilla su argilla (umida) Cuoio su ghisa Ferro su pietra Pneumatici su asfalto asciutto (valor medio ) Ruote di acciaio su rotaie Solidi su gomma -

-

(1) Direzione parallela alle fibre;

0,31 1,00 0,50 0,30 — : 0,70 0,75 0,24 1— :4

(2) Direzione perpendicolare alle fibre

0,60 0,07

In molte applicazioni meccaniche in cui le forze di attrito non sono t rascurabili è suFiciente schematizzare la variazione del coefficiente di attr i t o con la velocità unicamente come successione di un coefficiente di aderenza f ,

seguito, con una discontinuità, da un coefficiente di attrito medio f' , c o m e indicato in Fig. 29. Vi sono tuttavia alcuni casi in cui i fenomeni fisici che si riscontrano possono essere spiegati solo tenendo conto della diminuzione del coefficiente di attrit o con l a v elocità; ciò sarà esaminato nella t r a t t azione relativa alle oscillazioni autoecci tate nel quarto volume.

50 EBet t o della p r e ssi on e

A questa relazionepuò essere accoppiata.una. interpretazione geometrica molto

La pressione fra le superfici di contatto ha una scarsa infiuenza sul'coefficiente di attrito per materiali duri. Per materiali non lubrificati il coefFiciente di attrito di solito diminuisce leggermente all'aumentare della, pressione, mentre per materiali tr a i q u ali sia interposto un sottile strato di lu brificante il coefficiente di at t r it o aumenta all'aumentare della pressione di contatto; sovente si osserva un rapido aumento del coefFiciente di attrito per valori della

semplice.

pressione prossimi a 1 MPa, seguito da un ampio campo di pressioni nell'arnbito del quale il coefFiciente di attrito si mantiene pressochè costante.

E Betto d e l l u b r i f i c a n t e

La presenza di un materiale lubrificante diminuisce il valore dei coefFicienti di aderenza e di attrito. E stato ripetutamente constatato che l'azione àel lubrificante è particolarmente accentuata quando quest'ultimo reagisce chimicamente con le superfici a contatto. Un esempio tipico è quello fornito da due superfici di acciaio duro per le quali il coefFiciente di attrito secco vale 0,42, ma si riduce a 0,1 circa in presenza di olio da turbina e a solo 0,029 in presenza di acido stearico. In alcune applicazioni pratiche inoltre vengono usati lubrificanti solidi; sempre nel caso di acciaio duro su acciaio duro il coefficiente di attrito vale 0,305 in presenza di mica in polvere, 0,071 in presenza di iodato di piombo, 0,054 in presenza di solfato d'argento, 0,058 in presenza di grafite, 0,033 in presenza di bisolfuro di molibdeno, 0,037 in presenza di disolfato di tungsteno. In presenza di olio lubrificante il coefficiente di attrito per acciaioduro su acciaio duro è,in generale, compreso fra 0,065 e 0,085. )

3.9 - Angoli di aderenza e d i attr i t o Si consideri un corpo A i n qu i e t e r i spetto ad u n al tr o corpo B e s ottoposto all'azione di una forza normale F N (fig. 30). Si è visto nel paragrafo precedente che il corpo A p u ò m a n t enere la sua posizione di quiete anche dopo l'applicazione di una forza, agente in direzione tangenziale purchè il rapporto tra i valori. della forza tangenziale e di quella normale che-i-corpi A e B si s c a mbiano attraverso la superficie di contatto si mantenga minore del coefFiciente di aderenza tra i due materiali, ossia purchè sia rispettata, la

disuguaglianza: (1.61)

Fz — ( f FN

I

Fig. 30 — Cono di aderenza; Fy e F N so n o le componenti tangenziale e normale dellaforza che B esercitasu A

Sempre con riferimento alla, fig. 30, si tracci la risultante F de lle forze Fy e F N , tal e r isultante formerà un angolo p. rispetto alla direzione normale alle superfici, angolo per il quale sussiste la relazione: t gw. = -

Fr FN

ARinchè si abbia aderenza occorre che sia soddisfatta la (1.61) e di conseguenza deve essere: tgge (

fa

Si è in grado allora di definire un angolo di aderenza p„ p

{1.62)

er i l q u a le sia:

tg V'a = fa

La condizione algebrica (1.61) da soddisfare per avere aderenza si tras forma quindi nella seguente condizione geometrica: afFinchè il corpo A s i a in quiete rispetto a B è n e c essario chel'angolo p, fo r m a t o dalla direzione della risultante delle forze scambiate con la normale alle superfici a contatto sia minore dell'angolo di aderenza ia,. Ciò signific a nche che la, risultante F

53 delle forze scambiate tra',le due superfici deve essere interna ad un cono detto cono di aderenza,aventé angolo di apertura p,. Quanto esposto finora nel caso dell'aderenza vale anche per il caso dell'attrito e, procedendo in modo del tutto analogo, si giunge a definire l'angolo di attrito p me d i a n te la relazione:

(1.63)

tgy= f

Durante lo strisciamento, il rapporto fra le componenti tangenziale e normale della forza scambiata tra le due superfici è, si veda, la (1.60) :

f - Fz -

Fw

e ciò non significa altro che la. risultante F de lle forze scambiate è inclinata rispetto alla normale alle superfici a contatto dell'angolo p dato dalla (1.63). 3.10 - Casi elementari d i

a d erenza o d i a t t r i t o f r a c o rp i s o l idi a

c ontat t o

Si esamineranno in questo paragrafo alcuni casi elementari di aderenza od attrito fra corpi solidi a contatto. Si consideri quale primo esempio il caso rappresentato da un corpo di peso P pos to su di un piano, inclinato di un angolo n r i s petto all'orizzontale, e soggetto all'azione di una forza T

(fig. 31). Indicando con Fz e 1"~ l e componenti tangenziale e normale della forza, che il piano esercita sul solido, si è in grado di scrivere le seguenti equazioni di equilibrio: T cos:,8 — Psin a — Fz = 0 T sin P —P cos e+ F~ = 0 Associando a questo sistema la condizione di aderenza Fr N


T cos P — Psiu a
che esprime la condizione che deve essere soddisfatta, afiinchè il corpo non si rriuova.

Si supponga ora che siano contemporaneamente verificate le condizioni P = 0 e T > P s i n a (fig. 32); la condizione (1.64) può essere allora riscritta sotto la forma: T — Psine < f, P c o sa

oppure, tenendo presente la (1.62), sotto la forma: T si n ( n+ p,) (1.65)) P c os p , Se il modulo della forza T parallela al piano è minore di Psina, o se la forza T st essa è diretta in verso opposto a, quello delle figg. 31 e 32 (verso assunto conie positivo nellè equazioni di equilibrio ), il termine T —Psina diventa negativo e la condizione (1.G4) va scritta in questo caso nel modo seguente:

-f, <

T — Psine P cose

Da quest'ultima., operando le opportune sostituzioni, si ottiene:

(166)

si ottiene la disuguaglianza:

(1.64)

Fig. 31 — Solido in moto lungo un piano inclinato

T

si n ( e — p,) cos
Se si ha,come caso particolare, T = 0, ossia se il corpo è soggetto unicamente alla propria, forza, peso, oltre che alla reazione del piano inclinato,

la condizione di aderenza diventa,, in base alla (1.6G): sin(e — p,) < 0

55 Ossia:

Risolvendo il sistema, formato dalle (1.68) e (1.69) si ottiene: f cose+ sino cos P+ f sin P

(1.67) La (1.67) indica che un corpo soggetto al proprio peso, posto su un piano inclinato, rimane in equilibrio fintantochè l'angolo di inclinazione del p iano, cr , s i m a n t i ene minore dell'angolo di aderenza y , . L ' a n g olo limit e oltre al quale il corpo inizia a muoversi lungo il piano inclinato viene anche chiamato angolo di riposo.

da cui,tenendo in considerazione la (1.63), si ha:

sin(o + p) cos(y — P)

(1.70)

Quale caso particolare di un corpo in m ot o l u ngo un p i ano i n clinato si consideri ora il caso di u n corpo sottoposto ad una f orza orizzontale T

(fig. 33). In questo caso l'angolo P della fig. 31, che compare nelle equazioni (1.64) e (1.70), è pari a. -e. La condizione di aderenza (1.64) si tramuta in: (1,71)

T cos e — P sin a

-fa < P cosa+ T sin a < fa

f Fi Fig. 32 — Solido in"'moto su un piano inclinato soggetto a una forza di trazione T parallela al piano stesso

Ritornando ora al caso generale illustrato nella fig. 31, e supponendo che, in seguito alla applicazione di una forza T su f ficientemente grande, il corpo si sia posto in movimento, si è in grado di calcolare il valore di T necessario a mantenerlo in moto uniforme. È sufficiente in tal caso riscrivere le equazioni di equilibrio delle forze agenti sul corpo secondo le direzioni parallela e normale al piano inclinato:

(1.68)

T cos P —P sin o — Fr = 0

Se T cosa > P sin a, si ottiene;riopo opportune operazioni algebriche:

T sin P —P cos cr + F~ = 0

ed aggiungere a queste la condizione di attrito:

(1.69)

Fig. 33 — Solido in moto lungo un piano inclinato sottoposto all'azione di una forza orizzontale T

(1.72) Se la forza T è d i r e tta in verso opposto a, quello indicato nella fig. 33, e la sua componente lungo il piano inclinato ha quindi, lo stesso verso di P sin cr,

5. JACAZIO-PIOMBO - Principi Senera1idi meccanica

57

56 la condizione di aderenzg è ancora ricavabile dalla (1.71), a patto di sostituire a T i l va l o r e —T e di c o nsiderare in questo caso il li m i te sinistro della disequazione. Cosi facendo si ottiene la nuova condizione di aderenza:

(1.73) Se il corpo è in movimento lungo il piano inclinato i valori della forza, T necessari a mantenerlo in moto uniforme si ricavano con ragionamenti analoghi a quelli esposti per i casi precedenti, ottenendo, per i due casi di corpo in moto in salita o in discesa:

un piccolo gioco entro una guida prismatica, verticale (fig. 34). Sia P il p eso dello stelo e F un a f o rza di trazione diretta, verticalmente ed agente con una eccentricità e. Per effetto del gioco esistente e dell'azione dellè forze F e P , lo stelo si inclina entro la guida toccandola nei punti A e B . Le e q uazioni di equilibrio alla, traslarione verticale, a quella orizzontale e alla rotazione dello stelo possono essere scritte sotto la forma,: F- T g — P — TA =0 Na — NA =0 Ng h — 2aTs — Pa + F(a —e) = 0

(1.75)

Si voglia ora determinare il valore della forza F ne c essaria a vincere

(in salita)

l'aderenza e a mettere in moto lo stelo. Se lo stelo sta per muoversi ciò significa

(in discesa)

che la condizione limite di aderenza, è stata. raggiunta in entrambi i punti di contatto A e B, e si hanno quindi le ulteriori condizioni:

(1,74)

Ta = faNp

(1.76)

(TA = faNA

Sostituendo le (1.76) nelle (1.75) si ottiene il seguente valore della forza limite necessaria a provocare il moto del corpo: P 1 - 2fae h

(1.77)

-

P

Da questa relazione si puo constatare che F è t anto maggiore quanto maggiori sono P, f „ e , e d è t a nto minore quanto maggiore è h. S e i n particolare il coefficiente di aderenza f„ l' e ccentricità e, l ' a ltezza h hanno valori tali per cui 2 f,e/h = 1, il denominatore della (1.77) si annulla e il valore della forza necessaria, a muovere lo stelo diventa infinito. Cio rappresenta un tipico caso di impuntamento: all'aumentare di F aume n t a no N a ed N A e quindi T ~ e T„ e l' aum e n to è tale per cui la forza, F no n r i e sce mai a superare il valore della forza risultante dalla somma delle forze TA, Tp e P.

3 .11 - A t t r i t o Fig. 34 — Impuntamento di uno stelo entro una guida

nei perni

Si consideri un perno (fig.35) sopportato da un cuscinetto e soggetto ad una forza verticale F ; tr a. perno e cuscinetto esista un certo gioco in modo che

Un fenomeno che è, in certe condizioni, causato dalle forze di attrito è quello dell'impuntamento. Si consideri, ad esempio,uno stelo che scorre con

il perno possa ruotare liberamente entro il cuscinetto. Per assicurare l'equilibrio del perno in condizioni statiche il cuscinetto deve-ad esso trasmettere una.

58 forza F, ug u a le ed opposta, alla,F ed a vente inoltre la stessa retta d'azione. Il punto di contatto tra perno e cuscinetto sarà quindi situato sulla, verticale

(fig. 35a).

Ca)

I n queste condizioni però, pur essendo assicurato l'equilibrio alla t r a slazione del perno, non è più assicurato il suo equilibrio alla rotazione. Deve quindi necessariamente esistere una coppia C u g u ale ed opposta alla, coppia formata da F e F, . In d i c ando con r i l r a g g io del perno, il modulo di t a l e coppia deve valere:

Cb)

C

(1.79)

q 0

l ' -= — — gP q)

F

C= F , r s in p =

F rsinp

Poichè il ragionamento ora effettuato può essere ripetuto per qualsiasi direzione assunta dalla forza F, si p uò t r a r re la seguente conclusione: qua-

F~ C

Fc

componente F~ ed u n a c omponente F~ i cu i m o d u li s ta nno nel rapporto

indicato dalla (1.78).,

rp

lunque sia la direzione della forza. scambiata tra perno e cuscinetto, essa non passa per il centro geometrico della coppia. rotoidale, ma è tangente ad un cerchio avente raggio:

(1.80)

py = l'sin p

Tale cerchio prende comunemente il nome di cerchio di attrito. Fig. 35- Contatto perno-cuscinetto in condizioni statiche (a), e in condizioni di m oto relativo con attrito secco (b)

Quando esista invece moto relativo tra, i due organi, la distribuzione delle forze agenti sul perno viene ad essere radicalmente modificata. A causa dell'attrito, infatti, la reazione che il cuscinetto esercita sul perno deve possedere una componente tangenziale F7 di r etta in verso opposto alla velocità del perno relativa al cuscinetto. Il modulo di tale componente deve stare, rispetto al modulo della componente normale Fz de lla forza scambiata, nel rapporto: Fz — =f Fw

(1.78)

C

= tg v l~

D'altro canto la risultante

F, de l l e forze che il cuscinetto trasmette al

O

F A

perno deve pur sempre essere uguale in modulo e indirezione alla.forza F

-onde poter assicurare-l'equilibrio alla traslazione del perno lungo-la verticale; Il simultaneo verificarsi di queste due condizioni (presenza della Fz e direzione verticale della F „ di c u i Fz rap p r e senta la componente tangenziale ) porta

yh

H Fig. 36 — Manovellismo in presenza di attrito nei perni e nel piede di biella

a concludere che la normale comune al contatto perno-cuscinetto non è più

verticale, ma è ruotata di un angolo p, p ari all'angolo di attrito (fig. 35b). Solo cosi infatti la forza F, che il cuscinetto esercita sul perno possiede una

Quale applicazione di quanto finora esposto si voglia ad esempio determ inare il valore della. coppia C c h e deve essere applicata alla manovella M

60-

61

di un manovellismo (figi 36), quando sul piede di biella A a gisca una forza resistente F. Se la velocità del piede di biella possiede il verso indicato nella fig. 36, il moto della biella B risp e t to al piede di biella A è r a p p r esentato da una rotazione oraria, e la rotazione di B r i sp e t t o a lla manovella M è anch' essa, oraria. Pertanto, poichè la biella B è so t t o p osta unicamente alle forze esercitatesu di essa da,parte di A e di M, queste due forze debbono essere uguali e opposte, la loro direzione deve essere quella della retta tangente ai cerchi di attrito dei perni Q e P e il l o ro verso deve essere tale da opporsi alle rotazioni di B rel a t i v e ad A e a d M , co m e è indicato in fig, 36.

Il valore della, forza FB agente sulla biella è ricavabile dalla condizione di equilibrio delle forze agenti sul piede di biella. La coppia C da applicare alla manovella si ricava scrivendo una equazione di equilibrio alla rotazione attorno al punto di applicazione della forza FR che il cuscinetto O esercita sul perno ad esso collegato, forza che è tangente a1 corrispondente cerchio di attrito. FR de ve essere uguale e contraria a FB ed il valore di C r i s ulta quindi:

corpi, p l a d e n sità del fluido, c z e cR du e c o efficienti di a d imensionati detti rispettivamente: coeffi cie) ite di portanzae coefficiente di resistenza. I

F

I I f

I

I

R

Fig. 37 — Forze agenti su un corpo immerso in un fluido 1,8

0,36

C!

CR

1)6

0,32 Ct

C= FB • IE 1)4

0)28

1,2

0,24

1>0

0,20

0)8

0,16

dove h è la distanza, indicata in fig 36. 3 .12 - Forze superficiali agenti su corpi in moto entro un fl u i d o Q uando un corpo si muove entro un fluido con velocità relativa V, a causa delle forze superficiali agenti in direzione normale (forze d)' pressione) e in direzione tangenziale (forze viscose), si sviluppa sul corpo una forza risultante F che viene normalmente espressa come somma di una componente R in direzione della velocità relativa, detta, resistenza (f ig. 37), e di una componente L in d irezione perpendicolare alla, velocità relativa,, detta, portanza. Queste due componenti della forza che il fluido esercita sul corpo sono funzione della geometria, del corpo e delle sue dimensioni, della velocità relativa, fra corpo e fluido, e delle caratteristiche del fluido. È consuetudine scrivere le espressioni della portanza e della resistenza

CR

0)6

0) 12

0„4

0,08

012

0>04

nel modo seguente: L = ci.

(1.81)

pV2

A

2 pV2 R= C R A 2

:dove A è u n '.area caratteristica del corpo, V è l a v elocità relativá fra i due

— 0,2 -4

0,04 0

4

8

12

16

20

24

Angolo di incidenza (')

Fig. 38 — CoefBcienti di portanza e di resistenza per un tipico profilo alare Per un corpo avente un asse di simxnetria,, investito da un a corrente

fluida diretta. secondo l'asse di simmetria., il coefficiente di portanza è nullo. In

Nel caso di un cilindro di diametro d e lunghezza L, o di una piastra di larghezza d- e lunghezza L, investiti da un fluido (in direzione perpendicolare

generale, i coefficieilti di portanza e di iesistenza variano al variare dell'angolo di incidenza, ossia dell'angolo formato fra. la direzione della velocità relativa e la direzione di portanza. nulla. Ad esempio, l'andamento tipico dei coefficienti d i portanza e di resistenza per un profilo alare è riportato nella fig. 38. I n questo caso l'area A che compare nelle(1.81) è il prodotto A = bL d e l l a

100

50

larghezza del profilo per la lunghezza della corda.

20

Come prima detto, per un corpo simmetrico investito da una corrente fluida nella direzione dell'asse di simmetria la portanza è nulla e si ha solo resistenza.. In generale il coefficiente di resistenza è funzione di un parametro adimensionato detto numero di Reynolds, definito come: Re =

L Piastra

V

cs

(1.82)

Cilindro

10

2

d

Z piana

1

pVL

0,5

P

0,2

in cui p è la densità del fluido, p, la sua viscosità, V la velocità del fluido relativa al corpo ed L un a. lunghezza, caratteristica. Ad esempio, nel caso di una sfera e nel caso di un disco di diametro d, definendo con d la lunghezza caratteristica della (1.82) e con A = xds /4 l'areache compare nelle (1.81), il coefficiente di resistenza, in funzione del numero di Reynolds è riportato nella fig. 39. 200

0,1 005

0,1

0,5

2

10

50 100 2 0 0

1000 Rc = p Vd/p

10. 000

100.0 0 0

1.00 0 . 0C

Fig. 40 — Coefflciente di resistenza in funzione del numero di Reynolds per un cilindro e per una piastra piana. perpendicolari alla corrente fluida (L/d )) 1)

100

50 20

Sfera

10

OXd V ~ p D is c o 0,5

alla loro lunghezza) con velocità V, definendo ancora il numero di Reynolds come Re = pVd//s edefinendo l'area che compare nelle (1.81) come A = dL, si hanno i valori del coeffiiciente di resistenza c/t riportati nella fig. 40, validi nel caso di grandi rapporti L / d . Nella fig. 41 è iiportato il coiefliciente di resistenza ci t p e r un a piastra piana lunga L, di a r ea totale A (area delle due facce), investita da una corrente fluida con velocità V n e l la, direzione della lunghezza. Il numero d i Reynolds in questo caso è definito come R e = pVL //s. Nella fig. 41 sono

0,2

riportate due curve per il coefficiente di resistenza. c~. .un a corrisponde alla c ondizione di m ot o l a m inare e una all a condizione di m ot o t u r b olento. I l

0,1

. passaggio. dalla condizione di moto laminare,a quella di moto turbolento si

0,05

ha per un numero di R eynolds compreso fra 10' e 10s e dipende dai grado di turbolenza della corrente fluida incidente sulla piastra. Ne l caso di mot o laminare, il valore di c ~ è d a t o da:

0,02 0 ,1

0 ,5 1

2

10

50 100 2 0 0

1 000 Rc = p Vd/p

10 .000

100.000

1. 0 0 0 .000

Fig. 39 — Coefficiente di resistenza, in funzione del numero di Reynolds per una sfera é per un disco

(1:-83)

CR =

1, 328

Nel caso di moto turbolento, supponendo che la transizione avvenga per Re = 5 x 10, c n h a l a Seguente espressione: 0,455 (Log Re)z 's

1700 Re

Rg 0,10 0,08 0,06

10

0,04

0,009

10

6

0,008

4

0,02

6

0,007

V„ AR

0,01 0,008 0,006

0,006 cn 0,005

0

0,004 0 002

0,003 Crcsccntc turbolenza

0,002

r6oI coro

10

cstcrna

0,001

10

10'

10'

10

10 Rc = p Vt./p

10'

Fig. 41— Coefhciente di resistenza per una piastra piana investita da una corrente fluida in direzione parallela alla piastra

Nel caso di un disco sottile di raggio R ruotante con velocità angolare in un fiuido avente densità p e vi s cosità,p, si sviluppa sul disco una cdppsiá resistente llfR. Il valore di questa coppia. resistente è dato defineiido

(1.85)

chr-

MR

— p~'R' 2

6

10

4

2

6

r

10

h

il raggio generico. La coppia resistente agente su una faccia del disco è quindi data da:

pigrad rd8 = rr dA =, Jf—

rrp+ D4

iu Ra

p e dal rapporto fra la velocità V del fl u i d o i n d i r ezione perpendicolare al disco e la velocità. periferica di questo. Nella, fig. 42 sono riportati i v alori di

6

dove h è l o spessore dello strato di fluido ed

(1.87) M = Re =

4

"(ày)~

Il valore di chr dipende dal numero di Reynolds che, in questo caso è definitocome:

10 2 4 4 Re = puR / p Fig. 42 — Coefficiente di momento per un disco sottile

2

Per un disco sottile che ruota entro un involucro fisso e in cui lo spessore dello strato fluido sia piccolo, il moto del fluido si può considerare laminare (fig. 43}. Pertanto la tensione tangenziale sulla superficie del disco è, in base alla (1.56}:

un coefhciente di momento resistente chr p e r una faccia del disco:

(1.86)

turbolento

laminare

0,004

Questa espressione è valida, per numeri di Reya 10000. nolds Re = D~iu p/4p inferiori Per un

Fig.43- Discosottilerotante entro un involucro

ci l i n d ro r o t a nte entro u n a s e de c i l i n drica f is sa e c o a ssiale

(Fig. 44}, se lo spessore b dello strato di fluido fra i due cilindri è piccolo, il

67

moto del fiuido è laminare e si ha ancora, in base alla (1.56): r = p

V ~D = p 6 . 26

P oichè la tensione r è c o stante in tutti i punti, il momento resistente èdato da: f

JA

D r — d A= r 2

ttD~L

2

0,004

0,002 laminare~ lam i nare con vortici~ 41,3

Se lo spessore b non èpiccolo, la coppia resistente M„viene espressa definendo il coefficiente di momento resistente: c~

1 tr p~s R4L — 2

0,001

Fig. 44- Cilindro rotante entro una sede fissa coassiale

2

4

6 8 10

2

4

6 8 10

2

4

6 8 10

Fig, 45— Coefficiente di momento per un cilindro rotante entro una sede cilindrica coassiale

3.13 - Forze agenti su corpi in m ot o di r o t olamento

cM =

8p ~Dpá

In generale, il coefficiente di momento resistente è funzione di un parametro adimensionato detto numero di Taylor"e definito come:

(1.91)

10

turbo l ento

Tp

dove R = D/2 è il raggio del cilindro rotante, Nel caso di moto laminare, si ha:

(1.90)

Rg rrr

0,04

0,01 0,008 0,006

x~LDs 46

(1.89)

0,08 0,06

0,02

(1.88) M„=

0,1

~R6 p

R

Fino ad un valore del numero di Taylor pari a 41,3 si ha m oto fl uido

laminare e il coefficiente di momento resistente è dato dalla (1.90). Per valori del numero di -Taylor compreso fra 41;3 e 400>i ha moto fiuido la,minare con presenza di vortici; oltre il numero di Taylor 400 si ha moto fluido turbolento.

Si consideri un cilindro (o, caso del tutto analogo, una. sfera) appoggiato su un piano orizzontale e premuto contro questo da una forza normale F ~ (fig. 46 ). Si supponga ora di voler far ruotare il cilindro lungo il piano nel verso indicato nella fig, 46; si constata sperimentalmente che il corpo non si muove finchè il momento M a p p licato al cilindro non raggiunge un valore limite. M„, valore.che è funzione della forza F~ applicata. Poichè quando il corpo si muove in condizioni di moto uniforme si deve avere una condizione di equilibrio fra la coppia M, la forza F~, e la reazione del piano sul cilindro, ne risulta che la forza normale, uguale e opposta a F>, che il piano esercita sul cilindro non passa per la normale comune alle due superfici a contatto, m a r i sulta spostata, in avanti, nel verso del m ot o d el cilindro, di una quantità u det t a pa r ametro di att ri to volvente. Il p r o dotto F~ . u ra p p r esenta il m o mento resistente do~uto all'attri to al r o t o lamento ed è uguale al momento M„ c he deve essere applicato alcilindro per farlo avanzare a velocità angolare costante.

68 punto C , m a i l d i agramma delle pressioni di contatto diviene asimmetrico a causa, delle imperfezioni elastiche dei due materiali. E p r ecisamente avviene che, a parità di deformazione, la pressione è maggiore dove le deformazioni stanno aumentando ed è m i n ore dove le deformazioni stanno di m i nuendo; di conseguenza la forza risultante dalla somma delle pressioni di contatt o è ancora normale al terreno e di valore F~, ma p assa per un punto D, di v e r s o d al punto geometrico ideale di contatto C (fig. 47 b).

al

b)

F„

Fig. 46 — Rullo premuto contro un piano — resistenza al rotolamento

Anche qui, come nel caso dell'aderenza e dell'attrito radente, si dovrebbe distinguere un parametro di in i z io di r o t o lemento u, maggiore del

parametro di attrito volvente che si riscontra quando il cilindro è in moto; il momento necessario per iniziare il moto è infatti maggiore di quello necessario per mantenere il cilindro in moto uniforme, tuttavia la differenza tra questi due valori è in genere abbastanza piccola ed i parametri u e u, p ossono essere considerati uguali in molti casi. Le cause fisiche della resistenza al rotolamento sono essenzialmente tre: — imperfezioni elastiche dei materiali a contatto; — strisciamento fra i due corpi; — imperfezioni del terreno.

A causa della elasticità dei materiali costituenti i due corpi infatti, il contatto tra il cilindro ed il terreno non è più costituito, come nel caso ideale, da, una linea, ma da una superficie avente un'estensione funzione dell'elasticità -stessa. Nel caso di cilindro fermo, considerando-una generica sezione normale

Fig, 47 — Distribuzione delle pressioni di contatto tra cilindro e piano nei casi di

quiete (a) e di moto (b) Una seconda causa di perdita di energia durante il rotolamento è, come si è detto, dovuta allo strisciamento' locale che avviene fra cilindro e piano, Infatti, essendo i due corpi a contatto lungo una superficie per effetto dell'elasticità dei materiali, esisterà uno strisciamento, con conseguente presenza di un fenomeno dissipativo, per tutti quei punti della superficie che non stanno sulla, generatrice ideale di contatto.

L a r i sultante delle pressioni è pertanto uguale ed opposta

Una, terza, causa di perdita di energia durante il rotolamento è costituita dalle imperfezioni del terreno lungo il quale il cilindro rotola. Ogni imperfezione infatti è causa di un urto al quale corrispondono una dissipazione di energia, ed un ulteriore aumento della dissimmetria esistente nel diagramma delle pressioni di contatto della fig. 47 b.

alla, forza Epr es ercitata dal cilindro. Se invece il cilindro rotola sul piano, ji.diagramma delle deformazioni continua a rimanere simmetrico rispetto ai

stenza al rotolamento è tanto'maggiore quanto maggiori sono le imperfezioni

dei corpi a contatto (fig. 47 a), si osserva che la distribuzione delle deformazioni e delle pressioni scambiate tra i corpi è simmetrica rispetto al punto geometrico

di contatto C .

Sulla base delle considerazioni ora, esposte si può concludere che la resi-

70

71

maggiore

del terreno e la cedevolezza dei materiali a contatto. Infatti, quanto è la, cedevolezza,, tanto maggiore è, a parità di forza normale, l'area della su-

p erficie di contatto e di conseguenza tanto maggiore è il parametro di att r i t o volvente u. Per la resistenza al rotolamento sono state proposte alcune formule che tenessero conto della dipendenza del parametro di attrito volvente dalla forza normale agente sul rullo e dal raggio r di q u e sto. In particolare, la relazione più approssimata è la formula di Gerstener-Coriolis:

TABELLA V — Valori del coefFiciente di attrito volvente

Materiali Acciaio su acciaio (superfici lucide) Acciaio su acciaio (superfici rugginose) e 5000 N e per una pressione di gonfiaggio di 200 kPa

, Fprr

dove: a = costante

b = larghezza del cilindro In realtà, si constata sperimentalmente che fino a quando la deformazione dei due corpi a contatto è essenzialmente elastica, il parametro di attrito volvente u è quasi indipendente dal carico, e si ha:

(1.93)

0, 0005 — 0, 002 0,005 — 0,01

Pneumaticisu strada asfaltata,per carichi fra 1000 N

Pneunatici su strada asciutta con ghiaia compatta

(1.92)

f„

0, 008 — 0, 012 0, 012 — 0, 015

Pneumatici su strada bagnata con ghiaia

0,05 — 0,06

Pneumatici su sabbia non compatta

0, 18 — 0,45

Pneumatici su neve non compatta

0,08 — 0,28

Pneumaticisu cemento

0, 018 — 0, 035

Pneumatici su sabbia compatta

0,013 — 0,016

Pneumatici su terra fangosa

0,09 — 0,015

Ruote di acciaio su cemento

0,013 — 0,023

/„F 0 >2 N

mentre per corpi con grandi deformazioni plastiche si ha:

(1.94) Per valutare la resistenza al rotolamento viene spesso utilizzato, al posto del parametro di attrito volvente u, il coegcierite di attrito uoluerite f„. Tale coefficiente, adimensioeeto, viene definito come: (1.95)

Per una ruota ferroviaria su rotaia viene riportato in alcuni testi: u = 0,5 mm, valore che rientra nel campo f, = 0,0005 — 0,002. Per ciò che riguarda la dipendenza della resistenza al rotolamento con la velocità angolare, essa è sensibile alle alte velocità. Per i pneumatici si ha la legge seguente (valida su strada asfaltata ): ('1.96)'* dove k„ = 1,5 x 10

s /rad2 e f„, è ilvalore 0,012 — 0,015 che compare

nella tabella V. I valori medi del coefficiente di attrito volvente sono riportati nella ta; bella V. Per ciò che riguarda la dipendenza dal raggio, dai dati sperimentali risulta che il coefficiente di attrito volvente f„ d i minuisce, in misura maggiore o minore, all'aumentare del raggio e, di conseguenza, il parametro di attrito

Occorre notare che nella zona di contatto fr a r u ll o e p i ano si h anno in generale anche forze in direzione tangenziale scambiate fra rullo e piano. Affinchè sia mantenuto un moto di rotolamento senza strisciamento fra rullo e piano occorre poi che nel punto geometrico di contatto fra i due corpi si abbia

volvente u aumenta leggermente all'aumentare del raggio, come appare anche

relativa.

aderenza in modo da garantire l'annullarsi, in questo punto, della velocità

dalla (1.92). L'aumento di u

c o n i l raggio è piccolo per materiali duri e maggiore per materiali più cedevoli.

6. JACAZIO-PIOMBO - Principi generali di meccanica

73

72

Se questo rapporto èminore del coefficiente di aderenza, fra rullo e piano si ha effettivamente un moto di rotolamento senza strisciarnento; viceversa il

rullo rotola e striscia lungo il piano inclinato e fra le componenti tangenziale Fr e no r m a le F~ del l a f orza scambiata fra rullo e piano si ha: Fr = f F~ , dove f è i l c o e fFiciente di attrito .

S.l4 - F o r z e ne i v i n c o l i a

C

l'r

O gni elemento meccanico è in genere vincolato in una o più parti a u n altro elemento (eventualmente al terreno), in modo che esso può compiere di

conseguenza solo certi particolari movimenti. Poichè all'elemento meccanico vincolato sono in generale applicate forze o coppie, il vincolo deve di conseguenza esercitare una forza (o una coppia, o entrambe ) sull'elemento stesso in modo tale da impedire il movimento di questo come stabilito dal vincolo.

Tale forza (o coppia) è detta reazionevincolare. Fig. 48 — Rullo in moto su un piano inclinato

Esistono tre tipi principali di vincolo. a) Appoggio semplice (o appoggio scorreuoLe ).

Si consideri ad esempio> un rullo di diametro d (fig. 48) che rotola senza strisciare su un piano inclinato di un angolo a rispetto all'orizzontale e si supponga che sul rullo di peso P agisca una forza resistente R, passante per il baricentro G del rullo, in direzione parallela al piano inclinato. Si supponga inoltre che sia u il parametro di attrito volvente fra rullo e piano. Si vogliono agente sul rullo necessaria per mantenere il rullo determinare la coppia C in condizioni di moto uniforme e le forze Fz ed Fiv in direzione tangenziale e normale scambiate fra rullo e piano. Le equazioni di equilibrio delle forze secondo le direzioni z e y (fig. 48) sono: -R — Psina+ Fz = 0

E un vincolo (fig. 49 a) che costringe l'estremo A dell'elemento mecca6ico a mantenersi sempre lungo una retta (z — z nella fig. 49 a ). L'elemento può dunque ruotare attorno al punto A e quest'ultimo può traslare lungo la retta z — z. La reazione vincolare creata da questo tipo di vincolo è una forza passante per A e perpendicolare alla direzione z — z,


-P cose+ F~ — 0

L'equazione di equilibrio di momento rispetto al punto, in cui passano F~ e F~ (spostato in avanti della quantità u r i s p etto al punto geometrico di contatto

Rv

C ) è: C — R — — P cos+u = 0 2

Da quest'ultima equazione si ricava il valore della coppia motrice necessaria per mantenere il rullo in moto uniforme lungo il piano inclinato. Dalle equazioni precedenti si ricava: Fy F~

R + P si n n 'P cosa

R +tga P cosa

Fig. 49 — Tipi di vincolo

74

75

b) Cerniera È un vincolo (fig. 49 b) che costringe l'estremo A dell'elemento meccanico a mantenersi fisso in un determinato punto. L'unico movimento possibile dell'elemento meccanico èuna. rotazione attorno ad A e la reazione vincolare è pertanto una forza passante per A

Numero di gradi di liberrà: h'= 3 x 3 — (2+2 + 2 + 2 ) = 1

a v e nte direzione qualsiasi,

c) Incastro

È un vincolo (f ig. 49 c) che costringe l'estremo A

d e l l 'elemento mecca;

nico a mantenersi in una posizione fissa e che impedisce all'elemento meccanico di ruotare attorno al punto A , L a reazione vincolare di un incastro sarà quindi costituita da una forza passante per A, avente direzione qualsiasi, e da una

N = 3 x2 — (2+ 2 + 1 ) = 1

coppia. 3.15 - Gradi di l i b e rtà di un c orpo ri g ido Poichè i vincoli impediscono ad un corpo rigido determinati movimenti, essi tolgono al corpo alcuni gradi di hbertà. Un corpo rigido nello spazio ha sei gradi di libertà poichè la sua posizione è detefinita dalle tre coordinate di un punto e dalle tre rotazioni del corpo attorno a questo punto (angoli di Eulero, paragrafo 1,6). Un corpo rigido piano ha tre gradi di libertà, poichè nel piano la sua posizione è definita dalle due coordinate di un punto e dalla rotazione del corpo attorno a questo punto. Sempre nel caso di un piano, un appoggio semplice toglie un grado di libertà, una cerniera toglie due gradi di libertà, un incastro toglie tre gradi di libertà. Se si considera un sistema meccanico costituito da più corpi rigidi tra„ loro collegati mediante vincoli, si possono verificare tre casi distinti. a) 11 numero di gradi di libertà complessivo è maggiore di zero; ciò significa che il sistema ha possibilità di movimento. 11 numero di gradi di libertà indica

h~ = 3 x 2 — (2 + 2) = ?

N= 3 x

1 — 3 =0

N = 3 x 2 — (2+2 + 2 ) = 0

N = 3 x l —(2+ 1 ) = 0

il numero di coordinate indipendenti necessarie per definire la posizione del sistema meccanico,

b) Il numero di- gradi di libertà complessivo-è pari a zero; ciò significa che-ilsistema non ha possibilità di movimento e che è possibile determinare il valore delle reazioni nei vincoli mediante le equazioni di equilibrio del pa.-

h'= 3 — (3+3) = — 3

ragrafo 3.3. Il sistema si dice allora, staticamente determinato o isostatico.

c) 11 numero di gradi di libertà complessivo è minore di zero. Il sistema non ha possibilità di movimento e non è possibile determinare le reazioni dei

Fig. 50 — Esempi di calcolo del numero di gradi di liberta di un sistema meccanico piano

77 vincoli mediante le semplici equazioni di equilibrio. Il sistema si dice staticamente indeterminato o iperstotico. Nella fig. 50 sono riportati alcuni esempi di calcolo del numero di gradi di libertà di un sistema meccanico.

In numerose applicazioni meccaniche occorre considerare l'elasticità dei corpi. In particolare, vi sono componenti meccanici (molle) che hanno piccola m assa e che esercitano una, forza proporzionale allo spostamento relativo z

fra gli estremi (fig. 51 a,: molla indeformata.; fig. 51 b: molla, compressa, fig. 51 c: molla tesa) :

k,~ k , ~ l kg +~

r. c)

Fig. 51 — Molle

La costante k di proporzionalità prende il nome di: rigidezza,mentre il suo inverso 1/k prende il nome-di cedeuolezza. Nel caso in cui più molle siano tra loro collegate, nel caso di collegamento in parallelo (fig. 51 d ), la
(1 98)

1 ki

1 kz

nali a uno spostamento relativo fra gli estremi, si hanno molle di torsione che g enerano una coppia C p r o p o rzionale allo spostamento angolare relativo t ) fra gli estremi:

(1.100)

C = - k e8

dove ke è la ri g idezza torsionale.

Per le rigidezze torsionali valgono le stesse regole di somma (1.98) e (1.99) delle rigidezze lineari.

(1.97)

ossia:

1 k

(1.99)

Oltre alle molle che generano forze di trazione/compressione proporzio-

3 .16 - F o rz e e l a s t i c h e

a)

Nel caso in cui le molle siano collegate in serie (fig. 51 e), la cedevolezza totale èla somma, delle cedevolezze, ossia:

I

k = ki+ kz + k s

4 . DIN A M I C A

4 .1 - Quantità di m ot o e momento della quantità d i m o t o Per un punto P di m assa m e di velocità V s i d efiniscequantità di moto il vettore

=mV

(1.101)

',

Per un sistema qualsiasi costituito da N ma sse la quantitàdi moto del sistema è la somma delle quantità di moto delle singole masse: N

(1.102)

Q = pm„V„ tt=l

Indicando ora con m l a massa totale del sistema, e con Vo l a velocità del baricentro del sistema si ha che la quantità di moto del sistema, definita dalla {1.102) è uguale a: (1.103)

Q =mVg

Per un punto P di m a s sa, m a vente velocità V si d e f i n isce momento .della tiuontttà di moto dei punto P 'spetto a, u~n. u n t o O i i v e t t o r e:

(1.104)

f I7II = (P —O) A mV

per un sistema, ~u alsiasi costituitttsla ~ arm s s ~ i àe fi ' dsul tante della quantità di moto del sistema ris etto a un u n t o O i l ve t t o r e : N

(1.105)

Il, = P( P„— O) W m„Vg l

80

81

Per un sistemo rigido qualsiasi il momento risultante della quantità. di moto rispetto a un punto O cui 5Ù è il vettore rot

p u ò essere anche espresso dalla seguente relazione, in ' is an.aneadel sis

Per un sistema rigido piano, l'asse , appunto perpendicolare al piano, è un asse principale di inerzia e la velocità angolare 5Ù è rappresentata da un vettore anch' esso perpendicolare al piano ( Fig. 52). Indicando con k i l

fàf

(1.106)

Ho = p

m„ ( ( P „— O) h Vo + (P„— O) tÙ+

st=l

— [(P„— O) x 5Ù] (P„— O)) Se poi il punt o

O è fi s s o o coincidentecol baricentro G d e l s is tema,

in u n zione dei m ~

M iw n er z 4 . I<< , Inn, I<< e dei m o menti c entrifughi

I
al sistema ri ido del vettore rotazion

sol j d a l i

ent i v ernorh&sq,g, ntndunzionadsfhs co~munenti p q, r '

tanca~ ~

sp e t t o s f M a e s sfmscsntfM~

(1 107) Ho = (I<

Fig. 52 — Sistema rigido piano

date da:

(1.1II)

p= rVx A q= àÙ x ffd

versore dell'asse z, la rotazione u7 è pari a <Ùtc eil momento risultante della quantità di moto rispetto a un punto O d el sistema fisso o coincidente col baricentro è:

T — fsf X V

(1.111)

Ho = IÙÙk

Se infine gli assi ( , g,f,' uscenti da O so n ocoincidenti con gli assi principali di inerzia del sistema rispetto ad O , l ' e s pressione (1.107) può essere semplificata in quanto i momenti centrifughi si annullano, per cui:

in cui I ra p p resenta, il momento di inerzia del sistema rispetto all'assez.

(1.108)

4.2 - Riduzione delle forze di inerzia

Ho = I~< ph + Inn qp + I<
Data la relativa semplicità della (1.109) è quindi utile fare sempre riferimento a questa espressione in tutti i casi possibili. Quando si debba calcolare

Si è visto nel paragrafo 3.4 che quando una particella di massa m si muove con velocità non uniforme si sviluppa sulla particeUa uns, forza di

i l momento risultante della quantità di m ot o r i spetto a u n p u nt o O ' che non sia fisso o coincidente col baricentro conviene ancora riferirsi alla (1.109),

inerzia pari a F —mdÙ/= dt i1.53i. Per un sistema formato de, N m a s s e, se il sistema non e in m oto uniforme, in ogni punt o P „ del s i s t ema avente massa, m„ n a s ce una forza di inerzia di valore pari a — m„a„, essendo a,.

piuttosto che alla espressione generale(1.106), procedendo nel modo seguente. S i calcola, il momento della quantità di moto del sistema rispetto al punto O , fisso o coincidente col baricentro mediante la (1.109); si calcola poi il momento della quantità di moto rispetto al punto O ' u t i l i z zando la formula di trasposizione dei momenti che in tal caso fornisce la seguente relazione:

(1.110)

H o'= H o + - ( O

=

O') h ppàVa

l'accelerazione del punto P„.

I,' e Ãqgo~lobale delle forze di inerzia che si

s~v'tuppanome~ u n t i - del sistema è equivalente a:

• ml- - « (1.112)

F' = - m a g - -dQ/dt -

ove con m si indichi ria massa totale del sistema e con dif,- l'accelerazione del baricentro del sistema, applicato nel punto A;

82 b) un momento risultante delle forze di inerzia r isp tto al punto A :

{1'.113)

M„'A = — -

— VA h Q

dove HA è il momento risultante della, quantità di moto calcolato rispetto ad A, V A l a v elocità di A e Q = m V a l a q u antità di moto del sistema. Tale espressione, come quella per F' , è va l i d a per qualsiasi sistema; se poi in particolare si sceglie il punto A d i r i d u zione delle forze di inerzia fisso o coincidente col baricentro, si avià:

(1.114)

lifA =

Indicando con F„ F„ ,F , le t r e c o m p o nenti della forza F se c o ndo tre assi cartesiani, e con d z , dy, dz, l e c o m ponenti dello spostamento dr" secondo gli stessi assi, si ha, pure: ( 1.116)

dL = F zdz y F y d y+ F ,d z P

dr

Si consideri ora un corpo rigido (Fig. 54) sul quale agiscono N for z e Fl , F z, ..., FN. I l lavoro compiuto globalmente da queste forze è:

(1.117)

dL = Fl

4.3 - Equazioni di equilibrio della dinamica

Fig. 53- L avoro compiuto da una forza

d r l + . . . + FN . drN F,

Nel paragrafo 3.3 si è visto che una proprietà fondamentale della meccanica consiste nell'essere nulla la risultante di tutte le forze esterne agenti su un corpo:

Pl

Pz

P)

(1.51 rip.)

Prt z=l

e nullo il momento risultante, rispetto a un punto 0 forze e coppie esterne agenti sul corpo

Fl

q u alsiasi, di tutte le O

N

(1.52 rip.)

Q Jlf„ i=l

= Q[(r ; h F;)+ C;] = 0

dd

Fig. 54 -'Forze agenti su un corpo rigido

i=l

Se il corpo non è itn condizioni di moto uniforme si hanno forze e coppie di inerzia che, essendo forze esterne, vanno introdotte nelle (1.51) e (1.52). Fra le varie F; si a vrà quindi anche una F ' (1.112) e fra le varie C, s i avrà anche una M„' (1.113 o 1.114). In questo caso le (1.51) e (1.52) vengono solitamente indicate come equazioni di equilibrio della dinamica.

es resa» n

b ase alla 1 . 22 , i t t d nnzinnua)a))out)testatesi~

N

dL =+

unto

N

Fi d); = p

i=l

(1.118)

4 .4 - L a v o r o

di un

qualsiasi del corpo rigido e della rotazione d8, pertanto la (1.117) diventa: F; (dr A + d 8 h r P A )

=

i=l

N

)=

drA. pF;+ d8 + {F; h EPA) = i= l

Si consideri una forza F agente su-una particella P e si supponga che questa particella abbia uno spostaniento infinitesimo dr . Si d e f iniscelavoro compiuto dalla forza F il p r o d o t to della componente della forza nella direzione dello spostamento (in valore e segno) per l'ainpiezza dello spostamei.to, ossia, con riferimento alla Fi . 5

(1';j15)

dI = F

d r = F c o s8dr

= drA R +

d8 l) E A

dove: R = ri s ultante delle forze agenti sul corpo rigido MA -— momento risultante delle forze agenti sul corpo rigido, calcolato ri-

s petto ad A .

84 Per una coppia C ,

e ssendo R = 0 , i l l a v oro risulta,: dI,= C

(1,119)

telaio dell'autoveicolo. Le tre equazioni di equilibrio sono in questo caso:

d8

TA — Tg — R= 0

-P + NA + Ãg = 0 Il lavoro compiuto nell'unità di tempo costituisce la potenza. Se un corpo non è r i gido due forze interne uguali e opposte possono compiere lavoro se varia la distanza fra i loro punti di applicazione.

X/2

P(b —u) —NA(a+ b) — R = 0

F

u NA

Fig. 56 — Coppia motrice e forza resistente in un autoveicolo

Fig. 55 — Forze agenti su una molla

Ad esempio, una molla di rigidezza k v i ene sottoposta all'azione di d ue forze, uguali e opposte, tali da produrre uno spostamento relativo X . Lo spostamento relativo fra i punti di applicazione delle due forze fa si che venga compiuto un lavoro anche se la molla si trova internamente al corpo considerato, Indicando con dz lo spostamento infinitesimo relativo, il lavoro compiuto globalmente dalle due forze interne F, ug uali e opposte, è: X

X

(1.120)

dI, =

F dz = 0

Per le sole ruote motrici (anteriori) la coppia Czr è una coppia esterna, per cui si puo scrivere: Chr — TA

d + ~Au 2

dove d è il diametro delle ruote. Per le sole ruote motrici posteriori si ha inoltre: d Ngu = Trr2

g2 k zd z = k -

0

Un altro esempio di lavoro compiuto da forze interne, in questo caso da coppie interne, è quello di un autoveicolo in moto. Si consideri dunque il caso illustrato nella Fig. 56, dove un autoveicolo pesante P è in moto su una strada piana sottoposto alla forza resistente aerodinamica R. C s r è la coppia agente sull'asse delle ruote motrici (anteriori ), Ii'A, N2r, TA, T~ le forze, in direzione normale e tangenziale, agenti sulle due ruote anteriori e sulle due posteriori. La resistenza, al rotolamento è caratterizzata. dal parametro di attrito volvente

La coppia motrice C w è u n a coppia, interna per tutto l'autoveicolo e non compare nelle tre equazioni di equilibrio (due di risultante e una di momento rispetto al punto per cui passano T rr e N ~) dell'intero veicolo; esiste infatti una coppia di reazione - C s r

u g u ale e opposta che si scarica sul

Da tuttequeste espressioni si ricava che la coppia, motrice è: d Csy = Pu+ P i2

e quindi la potenza fornita dal motore, indicando con ~ la velocità angolare d elle ruote, e tenuto conto che la velocità. di avanzamento del veicolo è V

=

a d/2: Csr~ -— P u'+

RV

Ne risulta quindi che la potenza, necessaria a vincere la resistenza al rotolamento e la resistenza aerodinamica è fornita dal mot ore, e che allo stesso

tempo la coppia fornita da questo è interna e non compare nelle equazioni di equilibrio del veicolo.

86 87 4.5 - Lavoro ed energia potenziale

E consuetudine definire energia potenziale U l ' o p p osto della funzione poten-

H lavoro I co m piuto da una forzaF ag ente su una particella che si spostalungo unalinea I è :

(1.127) per cui,per un campo di forze conservativo si ha:

L= fF • dr

(1.121)

ziale

Ji

(1.128)

( L)1 2 — Ul U 2

dove dr è l o s postamento infinitesimo.

Se l'integrale (1.121) dipende solo dal punto iniziale e finale della linea l, ma non dal suo percorso, si dice che il campo di forze agente sulla particella è conservativo,

Ciò è possibile quando: — la forza F è f u nzione solo delle coordinate del punto in cui essa agisce, ossia:

Un semplice esempio di u n c ampo di forze conservativo è il campo gravitazionale. Sulla, terra, t r ascurando le variazioni della,

gravità con la quota, il peso di un corpo è costante, per cui il lavoro compiuto dalla forza peso per un sollevamento pari ad h è ; h

(1.122)

(1.129) I =

F = F(z,y,z )

— è possibile definire una funzione scalare P t ale per cui la forza F p u o essereespressa come ilgradiente della funzione

<:

(1.123)

8¹ e 8z

(1.124)

8 4 J-'+ . — 8 4k8v 8z

F = grad p = — i+ —

o, in coordinate cilindriche

kd z = -P h = - (U2 — Ul)

Fig. 57 —Energia potenziale per un corpo pesante P

Ponendo U l = 0 c ome riferimento, si ha: U2 — Ph. Un secondo esempio di campo di forze conservativo è costituito dalla forza agente all'estremità di una molla. Applicando una forza di trazione all'estremo libero di una molla (Fig. 58) si ottiene un allungamento della molla con una relazione fra forza applicata ed allungamento:

(Fig, 3): 84i - 1 8 4

84 -

F = grad P = — A + - — y. + — k r 88 8z

e, in coordinate sferiche (Fig. 4): (1.125)

-P 0

~K

V J!.M !2 p

F =kx

8< 1 84 F = grad P = — A+ — P+ 1-84 —k 8r

rsinp 88

r 8ip

Quando la forza F so d d i sfa, a queste proprietà, il lavoro L (1.121) diventa:

Fig 58 — Energia potenziale in una molla

2

(1.126)

(L)1,2

Ji

.F ' - d r — - -grad ¹ d r = l ' 2 =-41 Jl

e risulterà pure che il lavoro totale compiuto dalle forze agenti su una particella che sj iiiuove lungo una linea chiusa è nullo: F dr =

4 ' 1 — d'1 =0

La forza-di-richiamo elastico generata dalla molla è uguale e opposta a quella applicata ed è quindi: F = -k z

per cui si ha, indicando con X

(1.130)

l o s p ostamento totale dell'estremo libero:

rx

L =J

-J, - k x de = -k —

7. JACAZIO-PIOMBO - Pr incipi eenerali di meccanica

= - (U2' — Ul)

88 rispetto alle diverse coppie di assi, p, q, r le componenti della velocità angolare cV rispetto agli assi Se gli assi (, 71, C sono assi principali di inerzia del corpo rigido, l'energia cinetica è data, da:

Ponendo come riferimento U i — 0 si ha allora: U s= k X

/2

4 .6 - E n e r g i a c i n e t i c a S i è visto nel paragrafo 3.4 clie su una particella, di massa m con velocità V non uniforme nasce una forza diinerzia, che vale:

avendo indicato con

r

in moto

dV d r = - m. — = - m dt~ dt

f

(1.131)

l

„ 1 E = — mV<+ — (I<

(1.135)

Per un sistema che trasla, ~ = 0, e q u indi: l E = — mVa 2

(1.1N)

il ve t t o r e spostamento rispetto a un punto fisso. Il

lavoro compiuto dalla forza di inerzia, mentre la massa m si sposta dal punto 1 al punto 2 è:

P untodsso G ,

ass

tndicmdo

~

jl mo me l l t o o i a r e d ii n e r s j a ràsd,etto a u n

s s an~e er il baricentro G e perpendicolare al~inno, l'energie, cinetica

è at a a : L=

I" dr = —

(1.132) 1

l'/ '

d-r d r" — dt= m— dr = — m— dt""„ dt dts i

dr

d7 '

dt

dt

dt= -

(7.137i

l q l -1 m ff dV-, = —m V, - — mV~

— mVz costituisce l'energia cinetica E 2

de lla particella di massa m e la differenza fra l'energia cinetica iniziale e quella finale costituisce Il termine

il lavoro compiuto dalle forze di inerzia. durante lo spostamento della particella di massa m dalla. posizione iniziale a quella finale. Per un sistema di N pa r t icelle di massa m,; l'energiacinetica totale è: Jv

(1.133)

E = - Q m;Vz 2. i=l

Per un sistema rigido qualsiasi l'energia cinetica, può essere espressa in funzione dei momenti di inerzia e dei momenti centrifughi del sistema,, e delle caratteristiche del moto. F i ssati ai solito tr e assi ( , q , ( s o l i d ali al sistema r igido, aventi rispettivamente versori A , p ,II, e d origine nel baricentro G , l'energia cinetica complessiva del sistema. è data, da:

IZ = -ruVo+ —Iewt j 2 2

I(

'

Come si vede, in un sistema nigido piano l'energia cinetica risulta, composta di due termini: il primo corrisponde all'energia cinetica del sistema come se tutta la sua massa m fosse concentrata nel baricentro il secondo corrisponde all energia cinetica del sistema dovuta al suo moto di rotazione attorno ai baricentro. P ' h' 'è Va V a == ~ GO Poichè GO, e poichè il momento di lnerzià r>spetto a un asse normale al piano e passante per O è: essere serittta come:

(1.138)

I

G

G

0

Fig. 59 — Sistema piano in r o tazione attorno al punto fisso O I p = I p + m. GO l

a ( 1 . 1 37 ) può

l

E = — Ip~-

4 7 - Equazione dell'energia (1.134)

E = —mVa+ —(I<

dove m

è l a m a ssa totale, V p l a v e l o cità del baricentro, I< <, I«, I«

i

momenti di inerzia rispetto ai tre assi (, 71, (, I<„ I«, I<< i momenti centrifughi

Quando su un corpo agiscono delle forze, il lavoro compiuto globalmente da tuttele forze deve essere pari a zero. È una diffusa consuetudine ma@tenere separateleforze di inerzia dalle altre forze; in questo caso sipuò scrivere che

90

91

il lavoro compiuto da, tutte le forze agenti sul corpo (ad eccezione di quelle di

inerzia) è pari alla variazione di energia cinetica,, ossia: )

Q Jlf

(1.139)

F; d r „ =

E 2 —E , = L

E

Le forze F; , a l o r o v o l t a, possono essere di tipo conservativo (F„) e am-

Le forze agenti sul proiettile sono: la forza peso, data dalla gravità: P = -m gj la forza resistente aerodinamica: R = — cVzr dV la forza di inerzia: F' = -m — = -m i i —myj dt La risultante di queste forze deve essere pari a zero, quindi:

mettere potenziale, e di tipo non conservativo (F„;), per cui dalla (1.139) si

-mgj — CV"F — mii — myj = 0

ricava,: 2

2

F „ d r; + Q 1

(1.140)

Questa equazione vettoriale può essere scritta come un sistema di due equazioni scalari: -mi — cV2 cos 8 = 0

F„; d r ";= bE 1

2 I

-my' — mg — cVs2 sin 8 = 0

F„, d~; = D (E+ U)

ossia, tenuto conto che y/i = tg8: dove U ra p p resenta l'energia potenziale complessiva delle forze conservative agenti sul corpo. La (1.139) e la (1.140) rappresentano due forme della equazione dell'energia.

rna = -c z

1+

my' = -c iy

1J 1+ -

(1.141) 4.8 - Esempi di a p p licazione delle equazioni fondamentali della di-

1/2

i2 .

,

l/2

— mg

2

namica M ot o d i

un proiettile

U n proiettile viene lanciato con una velocità Vp e d un angolo 8p rispetto all'orizzontale (asse z); si consideri il caso di un proiettile con traiettoria abbastanza tesa (8p piccolo) e di resistenza aerodinamica proporzionale al quadrato della velocità, ciò che è sufficientemente approssimato per velocità superiori h, 50 m/s.

Queste equazioni differenziali, che costituiscono le equazioni del moto del proiettile, sono di difficile soluzione ed è conveniente risolverle numericamente, Nel caso considerato di traiettoria abbastanza tesa del proiettile, y/i è sensibilmente minore di uno, per cui ( y/i) 2 puo essere trascurato rispetto a uno e le (1.141) diventano: C

m

(1.142)

C '111

zy

g

La prima delle (1.142) può essere scritta come: Z

C

i2

.m

I

.~

8

ossia: dz

'8p

x

Z

c =- — dt 171

che, integrata, fornisce: Fig. 60 — Forze agenti su un proiettile

1 c = — — t+ Ci z m

Per t = 0 , i = Vp caos 8p, dove Vp è la velocità iniziale e Hp l'angolo iniziale, per cui: 1 Cl Vp cos 8p -

-

Si consideri ora un proiettile avente massa m = 1 4 0 kg , l anciato con velocità iniziale Vp = 800 m /s e con un angolo 8 p — 25', i l c o efficiente di resistenza aerodinamica è C= 0,018Ns /m 7. Con questi dati si ottiene: 725,05 0,09322t + l

e: Vo cos Ho CVo cos 8p t+l

(1.143)

z = 7777,781n(0,09322t+ 1) (1.147) y=

Sostituendo questa, espressione nella, seconda delle (1.142) si ha: — Vo cos Ho CVo cos Ho 77l

y=

+1

t"

Dall'ultima di queste espressioni, ponendo y = 0 s i r i cava il tempo in corrispondenza del quale il proiettile tocca il terreno; precisamente: = 25,123 s. Ponendo t' n e lla seconda delle(1.147) si ricava la gittata:


La soluzione di questa equazione differenziale è: /'

Cs

m

Co -.V,co 8,

m

Nell'esempio ora fatto si è supposto che la forza resistente aerodinamica fosse proporzionale al quadrato della velocità del proiettile. In realtà, la relazione funzionale tra forza e velocità è, nel caso dei proiettili, molto più complessa e viene normalmente fornita in forma grafica in base a risultati

V o sin8p per t = 0 :

f

77lg

(

93 8 4 m.

Ponendo invece y = 0 nella terza delle (1.147), si ottiene il tempo per il quale si ha la quota massima; t' = 11,293s, che, sostituito nell'ultima delle (1.147), fornisce ym,„= 1607m.

t+ cVo cos 8o La costante Co è determinata ponendo y =

— 105> 198(0i 09322 t + 1)

y = 4755,321n(0,09322t + 1) — 4, 9033t — 105, 198t

C

y'+

'

0,09322t + 1

(Vp slll Hp + cVp cos 8p J

sper imentali. Si consideri, ad esempio, utilizzando le stesse notazioni della Fig. 60, un

Pertanto:

proiettile avente massa m =

(1,144)

all'orizzontale pari a 8p — 30' e ad una velocità iniziale Vp = 610m/s, e si supponga di voler calcolare la massima altezza e la massima distanza (ossia la gittata) da esso raggiunte. Si supponga inoltre che il modulo R d ella forza resistente aerodinamica agente sul proiettile varii, in funzione della velocità, nel modo inàicato nella, Fig. 61.

777 g

Vp sin 8p +

cVp cos 8p CVp cos Hp

t+l

777g cV pcosHp t cVp cos 8p m

+

La (1.143) può facilmente essere integrata nel tempo fornendo l'espressione dello spazio percorso a partire dall'istante iniziale:

(1.145')

In questo àiagramma si nota che la forza resistente cresce approssima-

tivamente col quadrato della velocità fino a velocità di circa.300 m /s, quindi subisce un brusco aumento in corrispondenza della zona transonica, eà infine varia in modo quasi lineare per velocità supersoniche.

t+ I '

z = — 1n

7 , 2 5kg, s p a r ato con una angolazione rispetto

Scrivendo ora le equazioni di equilibrio dinamico nelle direzioni orizzontale everticale, come fatto preceàentemente, si ha:

Analogamente, integrando la (1.144) si ottiene: (1.146) y

mf =-

(

tg.Hp+

mg

h

f cVp

> 8, )) ln( ,V,...

(1.148) cos 8pt+ 1

gt 2

Y7lgt

CV p cos 8p

=0 ( -—mimy'——Rcos8 mg — RsinH = 0

94

95 e, tenuto conto che:

700

tg 8 = dy /dz = y /i

(N)

*' = Vcos8

600

y = Vsin8

500

e che: 400

(V)~=o = Vo

E

(8)I=o = 8o

300 200

e ricavando infine i valori di R i n f u n z i one della velocità V da l l a, Fig. 61, si potrà pervenire in via numerica alla soluzione del problema, che è riport ata, nella tabella VI. L'integrazione termina, ovviamente, quando la quota y

100

raggiunge un valore pari o inferiore a zero.

150

200

250

300

350

400

450

SOO

SSO

Dispositivo di a r r e sto di

600

un ae r e o plano

V (m/s)

Fig, 61 — Andamento della resistenza aerodinamica agente su di un proiettile in funzione della sua velocità TABELLA V I — Risultato dell'integrazione numerica delle Eq. (1.148) V

(s) 1 0 3 2

7 6 5 4

9 8 10 11 12 13 14 15 lá 17 18

V

(m)

(m/s) 610 513,9 441,4 386,2 346,3 320,6 311,8 296,6 283,8 272,5 262,2 253,0 244,8 236,8 230,1 225,2 220,1 215,5 211,6

30 29,13 28,10 26,90 25,52 24,02 22,36 20,65

18,33 16,42 14,40 12,28 10,85 7,78 5,40 2,93 0,42 -2,16 -4,80

0 488

(m) g 277 506 697

908 1275 1603 859 1907 ggg 2193 1121 2476 1233 2749 1331 3014 1432 3272 1485 3522 1544 3766 1592 3997 1629 4236 1656 4463- - 1673 4685 1679 4903 1676 5115 1663

(s)

(In/s)

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 . 32 33 34 35 36

207,9 205,1 203,3

201,8 200,6 199,6 199,5 199,6 200,2 201,2 202,4 203,9 205,7 207,9 210,0 212,4 214,9 217,6

y — 7,50 -10,20 -12,93 -15,63 -18,33 -21,00 -23,63 -26,22 -28,73 -31,18 -33,57 -35,53 -38,08 -40,22 -42,28 -44,25 -46,30 -47,93

(m)

(m)

5324 5528 5728 5923 6116 6304 6488 6670 6S47 7022 7192 7359 7523 7683 7840 7998 8149 8296

1641 1609 1569 1518 1460

Un aereoplano che atterra su una portaerei è frenato da un cavo che, inizialmente, ha lunghezza AB = LA. Qu ando, in questa condizione, l'aereo aggancia il cavo, la velocità è Pari a Vo. Q u ando l'aereo ha Percorso uno spazio X1 la velocità è pari a V 1. In queste condizioni la lunghezza del cavo è diventata: I =2

X 2 +-LÁ 8

I

L/2

1392 1317 1233 1140 1040 932 817 693 563 425 280 129 —30

i LA I I I

I

L/2

I I

I

A

Fig. 62 — Dispositivo di arresto di un aereoplano

Se la lunghezza indeformata, del cavo è,Lo, l a variazione di energia

potenzialedel cavo è: I

dove:

1 b,U = — k (b,L — AL ) 2

A L = L ,— L p AL> -— Lx — Lo L a corrispondente variazione di energia. cinetica è, indicando con m

la

massa dell'aereoplano: AE = — m (V, — Vp ) 2 Trascurando, in p r im a approssimazione, le altre forze agenti sull'aereoplano

raggio di inerzia baricentrico pG, la distanza, a tr a il baricentro e il punto in cui viene applicato lo sforzo di trazione e l'accelerazione ir t de l rimorchiatore, si vuole determinare la posizione del centro di i s t antanea rotazione C e l'accelerazione angolare 8 d e lla nave. Le forze di inerzia possono essere ridotte a una risultante — miGX passante per il baricentro e ad un momento risultante pari a IG 8 = pGm8 avente

il verso indicato nella Fig. 63. S crivendo una equazione di equilibrio di momento rispetto al punt o

si ha, dalla (1.140):

-mzGa + pGm8 = 0

— l:(AL' — hL~)+ —m(V, — V') = 0

L'accelerazione iG

Si supponga ora di avere: Lp = 34ni, Lg = 37ni, ni = 3000kg, Vp = 110km/h

di voler ridurre la velocità dell'aereoplano a V, = 25 km/h in uno spazio z 15m. Dalle relazioni precedenti si ha:

e

del b a r i c entro può essere scritta come: i G =

c8

dove c è ladistanza dal centro di istantanea rotazione (incognito); pertanto;

i =

-mca8+ pGm8 = 0

L = 47 ,63m; bL = 13 ,63m; 6L ~ = 3 m

e siricava quindi che occorre avere una rigidezza: 3000 x [(30,556)- "— (6,944)-"]

(13, 63)s —(3)-" 4.9 - Esempi di a p p l icazione delle equazioni fondamentali della dinamica ad un corpo ri gido piano

e quindi:

(1.149)

c= PG/a

L'accelerazione del rimorchiatore è allora esprimibile come: ip =

N ave t r a i n a t a

A

si ila:

*G

(a+ c)8 = (a+ c)-

da un ri m o r chiatore

Si consideri una nave trainata, da un rimorchiatore in direzione perpendicolare all'asse della nave (Fig. 63). Nota la, massa, m della, nave, il suo

per cui:

(1.150) Se, ad esempio, m

ottiene:

8


8'

(i + PG/C(

= 1 0 k g , a = 5 0 m , p G = 6 5 m , ip = 0,0 0 2 m/ s,

si

c= 8 4,5 m 8 = 1,487 x 10

r a d/s

AC. CJ

Rotolamento di una sfera su una sfera Bssa I, 0

Si consideri una sfera A d i r aggio r in i z i a lmente ferma, nella posizione

più alta,, sopra una, sfera fissa 8 di raggio R (Fig. 64). In seguito a un pi ccolo spostamento iniziale, la sfera A Fig. 63 — Nave trainata da un rimorchiatore

r o t o l a senza,

strisciare sopra la sfera fissa B. Si vuole determinare il punto in cui la sfera, A si distacca dalla sfera B.

98 Fino a quando la sfera A s i m a ntiene a contatto con la sfera fissa B i l baricentro G si muove lungo una circonferenza dicentro O e raggio R+r,

per cui l'accelerazione di G è, dalla

(1.2):

le seguenti (Fig. 64): — la forza peso: — mg j

ag = (r + R)pP —j 2(r + R)i

(1.151)

Le forze e coppie esterne alle quali è sottoposta la sfera A sono pertanto

'NcA — Tcp

— la reazione vincolare in C :

— la forza di inerzia (ridotta al baricentro ): — mag = -m

(r + R)PP + j 2m.(r + R) A

— la coppia di inerzia:

I~H

/

iA

p

P' ' ~G ~

S crivendo una equazione di momento rispetto a C

Il

y .

Cp

.

8

mgr sin p — Io8 — r (r+ R)Pm= 0

ossia, in base alla (1.153) :

TC

~c/y C

mg

mgrsiny=

I~

Io

l+ —

Indicando inoltre con p s questa relazione:

+

Mentre la sfera A rotola sulla sfera B il centro di istantanea rotazione C si spostalungo lasfera B descrivendo un angolo y. Contemporaneamente, la rotazione della sfera A rispetto al sistema mobile di coordinate (X, p) è: 4 = R p/r

infatti il punto della sfera A

(r2 p p2G )

La componente No del l a r eazione vincolare diretta, normalmente alle

superfici di contatto è data da:

(1.155)

)Vo — mg cos p + m(r + R) jP = 0

Per ricavare la velocità angolare j 2 c h e compare in questa: relazione si può ricorrere al seguente artifizio. Moltiplicando entrambi i membri della. (1.154) per j , e t enuto conto che la (1.154) è del tipo:

c h e inizialmente si trovava in C p s i è spostato

in C' e gli archi CpC e C' C

P = ksinp

d ebbono essere uguali. Poichè nel frattempo

il sistema mobile di coordinate (7 , p} è r u o t ato dell'angolo y , l a r o t a zione 8 della, sfera A r i s p e tto a. un riferimento fisso è: 8 =p+ 4 = y

1+ -

si ha: —j i

P = k sin p

ossia:

e l'accelerazione angolare vale: ,(1.153)

(r+R) P = 0

g r sm'

(1.154)

Fig, 64— Sfera,che rotola su una sfera fi ssa

+ mr

i l r a ggio di inerzia baricentrico, si ha da

R

(1.152)

8 =P

si ha:

1~ -

1 dj2 . d< p — — = ksinp 2 dt dt

e quindi:

AP = 2ksinpdp

100

101

I ntegrando questa,:.relazione differenziale con le condizioni iniziali j per p = O, si o t t i ene:

= 0

[

{1 — cos@)-

e da questa., tenendo in conto l'espressione di R e si avrà la:

(1.15G)

2gr(1 — cosp)

PD . C„— Pu cos a - — s i n o 2

k„ V2D 2

r i c ordando che ~ = 2 V / D , P D dV g 2 dt

1y — (r + po) Sostituendo questa espressione nella Nc =

-g

(1.155) si ricavai,:

TDg CO S

p ZV dt

2(1 — cos p) f

L'istante di distacco si ottiene quando Nc = 0, ossia quando: 2 3 y p2/r2

Dalla tabella, I (pag. 28) si ricava che, per una sfera, po - —r, il punto di distacco è dato da: COSP = -

Fig. 65 — Autoveicoio in moto non uniforme lungo una rampa

)

per cui

10 17

e quindi:

Se si suppone ora che la coppia. motrice sia costante e si vuole ad esempio ricavare qual è il valore At de l tempo necessario aflinchè l'autoveicolo passi da una certa velocità, iniziale Vi ad una certa velocità V2, basta osservare .che dalla (1.156) si ha: (1.157)

p = 53,97'

[C, —Pu o

(PD/2g) dV —(PD i ) / 2 ] — /:,DV 2/2

e che se nella (1.157) si pone: PD 2g

V eicolo in m o t o no n u n i f or m e

PD a = C„— Pu cos a - — s in n 2 k„D 2

Si consideri ora un sistema costituito da, un autoveicolo in moto non uniforme lungo una rampa (Fig. 65) e soggetto anche all'azione fluidodinamica che su di esso esercita l'aria circostante. Siano dunque

a l a pendenza della, rampa, P il p e so dell'autoveicolo, C„ l ' i n t e nsità della coppia agente sull'asse delle ruote motrici, u il parametro di attrito volvente (attrito che si suppone p resente su tu tt e l e r u o t e ), D i l d i a m e tro d elle ruote, V l a v el o c i tà d i avanzamento lungo la rampa ad un istante generico t , ~ la c orrispondente velocità angolare delle ruote e R = . k, V 2 l' i n t e nsità della, risultante delle azioni aerodinamiche; nell'ipotesi che la m assa, delle ruote sia t r ascurabile l'equazione che esprime il bilancio delle potenze assumerà pertanto la forma,: P dV C„u — Pu cos au —P sin e V — R V = - — V g dt

si ottiene

*-" z«= /'/'

Adz -Q- — CZ

per cui il valore di

J~ At è d a t o in d efinitiva. dalla:

1+ (1.158)

ln 1 -

—g

—z

102

103

S e poi, oltre al tempo, si vuole ricavare anche il valore dello spazio A s percorso dal veicolo nel passare dalla velocità V 1 alla velocità V2, conviene

e la velocità finale V 2 sarà pari a: V2 — - 0,9 x 26,91 = 24,21 m

osservare che la (1.156) è una. espressione del tipo:

da fermo sarà quindi dato, in base alla. (1.157) ed alla. (1.158), da: f 2" ' '

e che da, questa, ricordando la:

At =

dV dV ds dV — = — — = V dt d s dt ds VdV

f(v)

b.s =

(PD/24l) VdV [Ci — Pa cos a — (PD sin cr)/2] —kr DV /2 Rammentando ora. che: g2

f

A zdz a — cc2

A 1 hl a 2c c

C

1 a gi A = — ln C 2C 1 - -g2 a

ed osservando che il secondo membro della (1.161) con le posizioni in precedenza assunte altro non è che il primo membro della (1.162), si vede come si possa giungere anche in tal caso ad una. soluzione per via diretta del problema proposto.

Quale applicazione numerica. si supponga. ora. che i parametri caratteristici del sistema della Fig. 65 valgano: C, = S00 Nm; m = 2600 kg; tga = 0,05; u = 6 m m ; D = 66 0 m m; k, = 0 , 9 5 Ns/ms e si supponga inoltre di v oler calcolare i valori del tempo impiegato A t

x 24 21

p' 2122 x 24,21 227

858VdV 227 — 0, 3135f l '-" 858 1 ln 2 X 0 3135 0 3 135 227

— 149,6 s

d.V 227 — 0 3135 V = 858dt

)

dV — = f( V ) = a —bv — cV2 d,t

allora le espressioni del tempo ht im p iegato per passare da una velocità V1 ad una velocità Va e d ello spazio b.s p ercorso nel tempo at sarebbero rispettivamente date dalla.: dV

At =

f (l'')

'' J),

dV a — bV — cV2

xll-"+ 4 .c+ (ù+ 2cV) l ln vl"-+ 4ac 444-"+4ac — (4+2eV) e dalla,:

'-" VdV hs=

v, f(V )

j ve

v

VdV

Jv, a —bV — cV2

11

c2 ~ in(a.— b V — V-)+

per cui la velocità di regime (alla quale corrisponde evidentemente la condizione dV/dt = 0) sarà, piata; 227 — 26, 91 111 / s = 96, 87 km/h 0,3135

— 2269 m

Per concludere l'analisi di questo particolare problema va, poi ancora osservato che se nell'equazione del moto (1,159) la funzione f(V) contenesse anche un termine lineare, ossia fosse:

e d e ll o spazio percorso h s

dal veicolo prima di raggiungere, partendo da una. posizione di quiete, una velocità pari al 90% di quella di regime. La (1.156) diventa. allora:

Vp =

0' 313ùr

mentre lo spazio percorso sarà., in base alla (1.161) ed alla (1.162) pari a:

per cui si ha in definitiva che

(1.162)

S58 d V 227 — 0,3135 Vs

1+ 858 1n 2 x ~ 22i x 2,$134 1-

si ottiene la:

(1.160)

/h

Il tempo impiegato dal veicolo per raggiungere questa velocità partendo

dV = f(V) d,t

(1.159)

/s = S7,19 l'm

+

4 ylr+ 4ae

~b + 4ac + (4+ "-2cV) Vp-"+4ac — (á+2cV)

S. JACAZIO-PIOMBO - Principi generali di meccanica

V2

Vl

104

105

4.10 - Equazioni d i y q u i l i b rio d ella d i n amica per u n c o r po r i g i d o nello spazio Si consideri un corpo rigido in moto nello spazio e si supponga di effettuare la riduzione delle forze di inerzia al baricentro G d e l c o rpo rigido. H momento risultante delle forze di inerzia, è: dHg dt

con Ho da to dalla(1.107). Si indichino ora con ~ l a v elocità angolare del corpo rigido, le cui componenti sono p, q, r (1.108), e con Q la velocità angolare del sistema di assi di riferimento (t', rt, (), di versori (A, P, v). Si ha allora:

costanti rispetto al t empo e Q = ~ p er c u i i n d i c ando con M < , M n, M( l e "componenti secondo ( , rt,'( d e l momento risultante di tutte le forze e coppie esterne, ad eccezione di quelle di inerzia, agenti sul corpo si ha: M( = I(P - (In — I()«

(1.166)

M( -—I(r' - (I( — In) pq Queste relazioni costituiscono le equazioni di Eu lero. Si hanno frequentemente applicazioni in cui la terna di assi di riferimento

( (, rt, () non è solidale al corpo rigido in movimento, per cui Q g ~ , m a , a causa della particolare geometria, del corpo rigido, i momenti di inerzia, del corpo rispetto alla terna di assi baricentrici (g, g, () sono costanti e questi assi sono assi principali di inerzia. Le (1.166) diventano allora:

d

M' = — — (H(A+ H P+H (v)

(1.163)

M( = I(p — Q(Inq+ QnI(r

(1,167) Le derivate rispetto al tempo dei versori A, P, v valgono:

Mn = Inq - (I( — I<)rp

Mn

I np — Q(I(r+ Q( I ( p

M( = I( i', — Q n It p + Qt In q

dA — = Q A A = Q( P — Qnv dt d/7 — = Q AP= Q( v- Q < A dt dv — = Q A v = Q A — Qt j dt

(1.164)

Pertanto, tenuto conto della (1.107), le tre componenti di Ma sono: /

dt (I«p- I~„q — I@r)+ Q<(I q- I„< — I(p) —Qn(I« r — I«p — I
/

(1.165)

Mn = -

( Innq- In
I n ( p) + Q((I(( — I«p — I<.q)

— Q,(I«p — I
I . ( —I . ( p)

Se gli assi (, rt, ( sono solidali al corpo rigido e sono anche assi principali inerzia, tutt i i m o m enti centrifughi sono nulli, i m omenti di i n erzia, sono

Fig. 66 — Coordinate di riferimento per un missile in volo

106

107

caso di un missile in volo (Fig. 66) che per motivi concernenti la sua stabi-"

Dalle (1.168) si può ricavare che, se il disallineamento della spinta S si manifesta per un periodo di tempo molto breve, in modo che il momento di

lizzazione sulla traiettoria (si veda a questo proposito il successivo paragrafo 4.11) ruoti attorno al proprio asse di simmetria con una, velocità angolare costante e di modulo pari ad ~ , e si supponga di volerne valutare le condizioni di equilibrio nell'ipotesi che in una, certa condizione di volo la spinta S ad

intensità M~ applicato esternamente al sistema possa essere considerato come un impulso di ampiezza Z , t a l e d i sallineamento porta come conseguenza a delle rotazioni del m i ssile attorno agli assi i 1 e ( di i nt e n s i t à ri spet ti vamente pari a:

Quale esempio applicativo delle equazioni di E ulero si consideri ora il

esso applicata non abbia più la direzione dell'asse di simmetria, bensi risulti inclinata rispetto a questo di un certo angolo 8 . Se si sceglie come terna di

assi di riferimento solidali al missile (Fig. 66) quella costituita dal suo asse di simmetria ( ,

(1.169)

Z . s i n(Af)

Z ~g — — cos(At) J

d a l l ' asse i1 passante per il baricentro G e g i a cente nel piano

individuato dall'asse di simmetria e dalla direzione della spinta, e dall'asse ( passante per G e perpendicolare al piano (g,i,'), si potrà osservare che tale terna ruota in efFetti attorno all'asse i,' con una velocità angolare di modulo ~ e che anche la direzione della spinta S ruota con la stessa, velocità angolare attorno a i,' s e poi il modulo della spinta è costante nel tempo, ne risulta di conseguenza che il missile è sottoposto, per un certo angolo di disallinea; mento 8 s upposto costante, ad un momento di modulo M<, d ovuto alle forze esterne, agente lungo l'asse ( ed anch' esso costante. Sulla base delle considerazioni ora esposte e delle ipotesi precedentemente assunte, ricordando inoltre che un missile è in genere costituito da un solido di rivoluzione, cosa questa che equivale ad affermare che i suoi momenti di inerzia I~ e I„ r is p etto agli assi ( ed i1 sono eguali tra loro, e ponendo quindi I< — I, =,.J e I< — I, si otterranno dalle(1.166) le:

Q ueste due componenti della velocità angolare secondo gli assi ( e d altro non sono, poi, che le proiezioni sugli assi stessi di un vettore di ampiezza Z/J r u o tante attorno all'asse ( con la velocità angolare A, e tale vettore, sommato al vettore rotazione J del missile attorno al proprio asse, originerà di conseguenza un vettore risultante J~ che formerà un angolo e = arctg (Z/~J) rispetto a i,' medesimo e che ruoterà attorno ad esso con una velocità angolare pari a A (Fig. 66). Se si vuole esprimere il moto del missile rispetto a un sistema di riferimento fisso, si possono utilizzare gli angoli di Eulero definiti nella Fig. 16 (paragrafo 1.6) e le trasformazioni di coordinate (1.29), per cui dalle (1.169), e tenuto conto che ~~ = ~ = costante, si ha: Z

j cos8+ Qsin8siny = — cos(At) J

M( = Jir( —~~q (J

(1.170)

0= Iùr

J gcosp+8 = ~ S e poi gli angoli p e t!r sono, cosi come sovente accade, di piccola entità, le (1.170) possono essere semplificate nelle:

—I) 0 = J~q — ~~g (I —J) dalla terza delle quali si è immediatamente in grado di ricavare che il valore dell'accelerazione angolare ~ è nullo, ossia che la velocità angolare di rotaz ione del missile attorno al proprio asse è costante. Ponendo poi A = ~(J-I ) / J (si noti che A è sempre positivo in quanto in un missile è certamente J > I ) tali equazioni si semplificheranno nelle: ~( — A~„= M(

/J

i)„+ A~( — -0

ld!r

+A

fd! r =

Z vr sin y cos 8 — j sin 8 = - — sin(At)

Z j cos 8 + pvr sin 8 = — cos(A/) J Z. @p cos 8 — p sin 8 = — — sin(Af) J

. 4+. e da queste, ricavando i/r dalla terza e sostituendolo nelle altre due, si otterranno in definitiva le:

dalle quali si ricava: (1.168)

~ „= - -

J

Z J

j cos 8+ p(~ — 8) sin 8 = — cos(At) Z (~ — 8)p cos 8 — j sin 8 = — —',sin J!

(At)

108

109

che possono essere integiate per via. numerica. conducendo cosi alla determi-

nazione dei valori assunsi dagli angoli di Eulero g, p quelli del tempo t .

Tornando ora alle equazioni (1.29) sipotrà osservare che queste, risolte rispetto alle tre componenti di velocità 1/1, j e

8 , s i t r a sformano nelle:

sin 8 co s8 +q. s in p si n p {1.171)

p = pcos8 — qs1n8

s in 8 co s8 O=r — p — — q tgp tg q'

e che queste, associate alle equazioni di equilibrio (1.166), costituiscono un si-

stema di sei equazioni in sei incognite che rappresenta il modello matematico più generale da adottare quando si voglia. risolvere il problema della determinazione dell'assetto di un corpo rigido nello spazio. Tale modello si riduce poi ad una forma estremamente semplice se per il sistema rigido in esame si ha., in condizioni di regime, pp -— qp = T p = 0 ; se si sceglie infatti un sistema, di riferimento inerziale in modo che, sempre in condizioni di regime, si abbia 8p = 0, p = s/ 2

Esiste, tuttavia, una categoria di solidi per i quali le equazioni di Eulero sono applicabili in forma semplificata,.

e 8 in f u n zione di

Si definisce sohdo giroscopico un qualsiasi corpo caratterizzato dall'avere un asse di simmetria ( r i s p e tt o al quale il solido possiede un momento di inerzia, I, e da l l ' a vere momenti di inerzia, calcolati rispetto ad assi passanti per i l baricentro e giacenti in un piano perpendicolare a, ( t u t t i u g u a li t r a

loro (un caso tipico e limite di solido giroscopico è ad esempio quello di un disco sottile in cui il momento di inerzia polare, ossia valutato rispetto al suo asse di simmetria vale I = md "/8, - dove m è la massa,del disco e d il suo diametro, ed in cui i momenti di inerzia valutati rispetto ad un qualsiasi asse diametrale valgono tutt i J = m d z/ 16).

Quando un solido giroscopico ruota, ad elevata velocità angolare attorno al proprio asse di simmetria, nascono fenomeni dinamici che possono essere investigati utilizzando le equazioni fondamentali della dinamica, ma che, almeno da un punto di vista qualitativo, possono anche essere giustificati in modo estremamente semplice ed intuitivo.

e g p = 0 , i l s i stema derivante

dall'accoppiamento delle (1.166) e delle (1.171) assume allora, nell'ipotesi che le deviazioni dalla condizione di regime siano piccole, la forma:

dH= H' — H

M (= A j Mp -- B q

M( = Cr' P. = P

8= r

ossia in definitiva, si riduce alle: M( -

AP

Mp = Bg

Fig. 67 — Variazione del momento della quantità di moto in un disco rotante

1Uc — — C8

4.11 - Fenomeni giroscopici

Si consideri infatti un disco rotante attorno ai proprio asse di simmetria, c on una velocità angolare costante e di m o d ulo pari a d c u (Fig. 67): se

I

è i l m o mento di inerzia polare del disco, il suo momento della quantità

di moto rispetto al b aricentro Le equazioni di Eulero esaminate nel precedente paragrafo hanno validità del tutto generale e sono applicabili a, qualsiasi corpo in moto nello spazio.

G va r r à a l l ora in m o d ulo II = I ~

e sarà

evidentemente diretto secondo l'asse di rotazione; se si ipotizza ora che il supporto del disco ruoti con una piccola velocità angolare costante e di modulo

110 pari ad A di r e t t a nel verso della Fig. 67, si potrà osservare che, una volta trascorso un certo intervallo infinitesimo di tempo dt , l' a s se di rotazione del disco sarà ruotato di un angolo di t = Q dt , e ci ò significa in definitiva che il m omento della quantità di moto del disco rispetto al proprio baricentro G s i sarà si mantenuto costante in modulo, ma avrà variato la sua direzione e sarà quindi rappresentato, in queste nuove condizioni, dal vettore H ' . E s i s t erà quindi nell'intervallo di t empo considerato una variazione di momento della, quantità di moto del disco dH ch e , riferita all'unità di tempo, varrà:

(1.172)

dH

H' —H

dt

dh

M' =

perpendicolare ad H, o la quota parte di Q o rtogonale ad Occorre osservare che la (1.172) può essere ricavata dalle equazioni di Eulero espresse nella forma (1.167). Infatti, in questo caso:

4l =

= H — A = H Q A = I~A A dt

dH = -I~AA dt,

ed avente quindi una direzione normale al piano individuato dal vettore momento della quantità di moto H e dal vettore rotazione Q. La coppia data dalla (1.173) viene poi comunemente definita, come coppia giroscopica, mentre con velocità angolare di rota=ione propria e con velocità angolare di precessione si intendono di norma indicare rispettivamente la velocità angolare di rotazione del solido giroscopico attorno al proprio asse e la velocità angolare di rotazione di cui sono dotati i suoi supporti. È inoltre evidente che le considerazioni appena esposte possono poi essere ribaltate, ossia che si può naturalmente affermare che se si applica dall'esterno al disco rotante una coppia, M = Mq%, questo, in condizioni di regime, ) precessiona attorno all asse P uscente dal piano della Fig. 67 con una velocità

angolare di modulo Q pari a:

{A = costante ) (~ = costante )

Q=AP

dg -

e poichè il momento risultante M ' d e l l e azioni di inerzia agenti sul disco è pari proprio a -(dH/dh), ne consegue evidentemente che al ruotare dei supporti del disco attorno ad un asse perpendicolare a v si originerà sul disco stesso una coppia (coppia che dovrà chiaramente essere equilibrata da una eguale e contraria, fornita all'albero da parte dei cuscinetti ) pari a: (1.173)

certa velocità angolare attorno ad u n a sse non perpendicolare a. quello di rotazione propria del solido giroscopico) il procedimento prima esposto può e ssere passo a passo ripetuto tenendo in considerazione, cosi come si av r à modo di meglio evidenziare nel successivo paragrafo, o la quota parte di coppia

(dV

It = I q -— J I„= I

per cui:

r'= 0 p = O ) )1 =Q ) r ' = 4)

Qt= 0 ,

Aq= Q, Q( = 0

e quindi, dalla (1,167) si ritrova: Mt = ~AI Mq — — 0 Mt -— 0

Al fine di fornire una giustificazione fisica dell'origine della coppia giroscopica, si consideri ora nuovamente un disco rotante attorno al proprio asse con una velocità angolare di modulo ~ (Fig. 68) e si osservi dapprima che le velocità dei due punti A e B so n o di conseguenza dirette nel verso della figura stessa; se poi l'asse del disco ruota con una velocità angolare di modulo A attorno all'asse p, è allora evidente che anche i vettori velocità dei punti A e B ru o t a no attorno a P, c h e inoltre questi due punti subiscono ovviamente delle accelerazioni pari rispettivamente a dV ~ / dt e dV r s /dt, e che pertanto le due masse elementari dm si t u a te in A e d i n B son o a loro volta soggette alle forze di inerzia dF~ = — dm(dV>/dt) e dFz - — dm(dV~/Ck) il cui effetto risultante si riduce proprio ad una coppia elementare diretta secondo -A. Poichè lo stesso ragionamento può essere ripetuto per le componenti di velocità normali a P di tu t t i i p u n t i d e l d isco, si ot t errà in definitiva che anche la coppia risultante delle azioni di i nerzia sarà in eRetti d i r etta, cosi come è espresso dalla (1.172), secondo — A. -

Anche se nell'esempio ora citato il momento della quantità di moto, la coppia esterna,e la velocità angolare di precessione erano rappresentate da tre vettori mu t u amente ortogonali tra loro, è tut t avia chiaro che se al disco fosse applicata una coppia esterna avente direzionenon perpendicolare ai suo momento della, quantità di moto, oppure se i supporti fossero animati di una

Per lo studio dinamico di un solido giroscopio è conveniente utilizzare

le equazioni di Eulero espresse nella forma (1.167), in cui la terna di assi di

113

112 ri™ nt o è m o b i l e nello spazio con il solido, ma non ru ota attorno a] suo asse di simmetria

In molte applicazioni, tuttavia, si ha che ~ = costante e ~ >> Q~, Q„, Q~, per cui le equazioni che caratterizzano il comportamento dinamico di un solido giroscopico si possono cos i semplificare: M( -— JQ(+ IQ „~ = Jp + I q ~

(1.176)

V

M„= J Q„— IQg ~ — - J q —I p u)

Nel seguito del seguente paragrafo verranno presi in considerazione alcuni dei fenomeni giroscopici più frequentemente riscontrabili in pratica e nei

quali sono valide le (1.176). Reazioni sui supporti di un rotore

V

d Vs

Fig, 68 — Origine della coppia giroscopica in un disco rotante

Quale primo esempio significativo della presenza di fenomeni giroscopici si consideri il caso di un generico rotore, e per tali si intendono ad esempio la girante di una turbina, l'elica di un propulsore navale od aeronautico, la ventola di raffreddamento di un radiatore od il rotore di un elicottero e cosi via, montato su di un sistema che percorre una traiettoria curvilinea: durante il moto insorgeranno allora su di esso delle azioni di inerzia che daranno luogo come effetto risultante ad una coppia giroscopica la quale a sua volta originerà delle reazioni sui supporti del rotore stesso, reazioni che possono talora raggiungere valori notevolmente elevati.

Date le carátteristiche di simmetria dei solidi giroscopi si ha pertanto: It = I =

co s t a nte

I~ -— I„ = J = c o s tante

h

Inoltre, le componenti di rotazione p, q, r sono: (1.174) Dalle (1.167) si ha allora: (1.175)

M( -— J Q( — J Q(Qq + IQ» (Q( + (u)M~ = JQ„— IQ( (Q( + ~) + JQ(Q( M( -—I(~+ Qc)

Le {1.175) costituiscono le equazioni generali,di equilibrio dinamico di un solido giroscopico.

Fig. 69 — Schematizzazione di un rotore di turbina situato in una nave dotata di moto di beccheggio

114 Si consideri, ad esempio, un sistema costituito dalla girante della turbina a vapore di una nave che, in condizioni atmosferiche avverse, beccheggi con

un moto periodico rappresentabile mediante un moto sinusoidale di periodo Z 'ed ampiezza +ibp (Fig. 69) e si supponga che I e J s i a no i momenti di inerzia polare e diametrale della girante e che sia ~ la sua velocità angolare, diretta nel verso indicato nella Fig. 69. Se si indica allora con i6 l'angolo di beccheggio dell'imbarcazione ad

un generico istante t, e lo si considera positivo quando la prua della nave si solleva dall'acqua, in modo che sia: i6 = ibp sin(at) i6 = ibpcr cos(crt) Q = -gpcrp sin(pt)

dove p è p ari a 2 ~/Z', si potrà notare che la rotazione complessiva della, girante della turbina è, con riferimento alla Fig. 69, pari a: cV, = -<%+~v

reazioni che, in definitiva., avranno come eAetto quello di c a ricare ulteriormente i cuscinetti costituenti i supporti stessi. Reazioni sulle r u ote di u n v e i c olo in c u r v a S i consideri un v eicolo che si muove con una v elocit à V l un g o u n a curva di raggio R e s i s u p p onga che P sia l a q u o t a d i p e s o t o ta le che grava su una sua coppia di ruote, che d si a il loro diametro e che la distanza 6 fra le ruote stesse sia piccola rispetto a R i n m o d o d a p o ter con buona approssimaziome considerare i valori della velocità angolare di entrambe le ruote come coincidenti tra loro e pari a: 2V

d Se, allo scopo di calcolare il momento risultante delle forze di inerzia, si assume quale terna di assi di riferimento solidale al telaio quella costituita dai versori A, P e P i n dicati nella Fig. 70, si potrà allora osservare che la rotazione del veicolo è esprimibile mediante la:

mentre quella del supporto del rotore, coincidente con la rotazione della nave, è pari a -ibX. Assumendo quale terna di riferimento solidale alla nave la terna A, P, v indicata nella Fig. 69 si avrà quindi, in base alle (1.176) e ponendo in esse p = -4, j = - g , q = 0 e q = 0~ che le equazioni di equilibrio dinamico del rotore della turbina saranno rappresentate dalle:

J„= -

VQA = - —A R

I,

M~ - - J g = J /pp sin(rt)

(1.177)

V

M„= I+ g = I u g p rrcos(p't)

V

M „= O

e che pertanto il rotore stesso sarà sottoposto all'azione di una coppia avente una, componente diretta secondo l'asse P

e d u n a d iretta secondo l'asse A.

Di queste due componenti però, quella diretta secondo A è molto minore di quella diretta secondo P (il loro rapporto infatti è pari a M q / M „ = J o/ I ~ , e da questo è facile verificare che, essendo J e d I del l o s t e sso ordine di g randezza ed essendo ~ m o l t o m i n ore di ~ , è a n che M q molto minore di

M„), e si potrà pertanto affermare, con buona approssimazione, che sui due supporti del rotore nascono, al fine di equilibrare la coppia giroscopica, due reazioni vincolari, uguali ed opposte, dirette secondo A e pari in modulo a: Iw ibp p' cos(cr f ) I

b Q=-

V

R Fig 70 — Veicolo in curva

mentre quella complessiva di ogni ruota sarà pari a: u), = — AA +~v

117

116 Da queste è poi facile ricavare che le componenti p e che compaiono nelle (1.176) valgono rispettivamente -Q

q d e l l a rotazione e . 0 , che inoltre,

nell'ipotesi che la velocità V si m a n t e nga costante, è anche: p = q = ~ = 0 , ed infine che il momento risultante delle forze di inerzia agente su una coppia di ruote è pari a: 2IV' „ M' = I ~ pp = - I ~ QP = Rd P dove I è a l s o l i to il m o mento di inerzia polare della coppia di ruote stesse. Prima di procedere al calcolo delle reazioni R~ ed Ra che il terreno trasmette all'autoveicolo, occorre poi ancora tenere presente che sulla coppia di ruote in

Bicicletta C ome è'a t u t t i n o t o d a l l 'esperienza, una bicicletta animata di m o t o rettilineo risulta stabile in posizione verticale anche se tocca il terreno. solo in due punti: nel caso infatti che essa ad un certo istante si inclini leggermente, ad esempio verso destra, il ci clista istantaneamente ne ruota leggermente il manubrio, sempre verso destra, immettendola cosi su una traiettoria curvilinea

lungo la quale nasce evidentemente una forza centrifuga diretta versosinistra, forza che tende quindi a ri port are la bicicletta nella sua originaria, posizione verticale,

esame agisceanche una forza,centrifuga F, paria: P V~ — v

F = -

gR

e che pertanto i valori delle reazioni stesse potranno essere facilmente ricavati scrivendo un'equazione di equilibrio alla rotazione attorno ad un asse passante per B e diretto nel verso di P, ed associando a questa un'equazione di equilibrio alla traslazione nella direzione di A, operazioni queste che condurranno alle: 2IV~ Rd

Pb 2

+ ZQ

dH

PV~ gR

Rg+ R a = P

dalle quali si ricaverà in definitiva che Rq ed Ra varranno rispettivamente: It'

RA -

P

V ~ / ' 2I

2

bR(d

—+-

— +-Phh

Fig. 71 — Coppia giroscopica in una ruota di bicicletta

g)

E altrettanto noto però, che è anche possibile guidare una bicicletta senza minimamente toccarne il manubrio, ed è proprio in questo caso che la stabilità è ottenuta grazie alla presenza di un'azione giroscopica: se infatti ad un certo istante la bicicletta è inclinata di un angolo y (Fig. 71), il peso crea u n momento rispetto ai punto di contatto C

p ari a:

N = Phsin yP e se la bicicletta è soggetta ad un tale momento la sua ruota. anteriore si pone in rotazione attorno all'asse di versore A

c o n u n a v e locità avente il verso

indicato nella Fig. 71 ed il cui modulo g v ale, in base alle (1.176): Ph sin rp I~

118

119

) ed il cui eRetto sarà (infatti, con i l v e rso assunto per A, g è n egativa in definitiva quello di immettere la bicicletta in una traiettoria curvilinea in modo che suessa siorigini una forza centrifuga in grado proprio di riportare

angolare propria di rotazione, e che pertanto se allo scafo della nave è applicato

il veicolo nella sua posizione verticale.

coppia giroscopica (1.178) a seconda del valore imposto a rp. Si osservi poi che la Fig. 72 rappresenta il giroscopio in una sua configu-

Stabilizz a t or e g i r o s c op ic o di

un a n a v e

Gli stabilizzatori giroscopici delle riavi consistono essenzialmente in un grosso disco rotante vincolato ad un telaio collegato a sua volta ad un motore elettrico in grado di porlo in rotazione attorno ad un asse ortogonale a quello di

rotazione propria del disco (Fig. 72) e vengono utilizzati al fine di contrastare il moto di rollio, ed eventualmente quello di beccheggio, delle imbarcazioni medesime. Se si suppone infatti di applicare un segnale di comando al motore elettrico in modo da fornire al giroscopio una velocità angolare di modulo costante attorno all'asse A, si potrà notare che nasce di conseguenza nel giroscopio una coppia di inerzia diretta secondo P e pari in modulo a: (1,178)

M„' = I ~p

un momento di rollio di modulo

M „ dir e t t o nel verso qui indicato nella

Fig. 72, tale momento potrà essere equilibrato del t u t t o o d i n

p a r t e d all a

razione caratterizzata da una direzione verticale del suo asse, e che pertanto in questa, condizione l'asse di versore P c o i n cide esattamente con l'asse di rollio. Se invece l'angolo formato fra la direzione del versore v e quella verticale fosse pari, cosi come durante il funzionamento, ad un certo angolo
In tal caso il valore di j c h e origina una coppia giroscopica in grado di equilibrare completamente il momento di rollio sarebbe pertanto pari a: M„ I4J cos lp

Tale velocità angolare in effetti è, come si è già visto, imposta da un motore elettrico, ed il suo valore viene di solito determinato in base al segnale ottenuto da un piccolo giroscopio, simile a quello stabilizzatore, ma di dimensioni ridotte e non collegato ad un motore elettrico, giroscopio che, quando alla nave è applicato un momento di rollio, precessiona attorno all'asse di versore e nel suo moto chiude degli opportuni contatti elettrici alimentando cosi nel modo voluto il motore E de llo stabilizzatore. I ndicat or e d i

virata

Un indicatore di virata è costituito, nella sua realizzazione più semplice, da un giroscopio portato da un supporto S e capace di oscillare attorno ad un asse ad esso solidale; al supporto S è poi collegata una opportuna massa di peso P al fine di spostarne il baricentro al di sotto dell'asse di rotazione propria del giroscopio (Fig, 73) in modo da originare cosi una coppia di ri-

Fig. 72— Stabilizzatore giroscopico di una nave: E: motore elettrio c; G: giroscopio; R: r i d uttore; S: anello di supporto

'dove I

è i l m omento di inerzia polare del giroscopio ed ~ l a s ua velocità

chiamo per valori non nulli dell'angolo di inclinazione p (a questo proposito va però ricordato che in alcune realizzazioni pratiche tale coppia viene anche originata sfruttando l'azione di opportune molle anzichè della'massa di pes6 P). Se si monta allora, cosi come è indicato nella Fig. 73, un t a le sistema s u di un veicolo che si muove lungo una curva di raggio R c o n v e locità V , si potrà rilevare, in primo luogo, che il sistema stesso ruota. attorno all'asse verticale con una velocità angolare — QC = - (V/R)k, e volendo poi esprimere

la rotazione complessiva d, del giroscopio riferendola ad una terna A, P e

9. JACAZIO-PIOMBO - Pr incipi generali di meccanica

120

121

v s olidale al supporto i S, b a s t erà. in secondo luogo osservare che questo ruota, attorno all'asse AB co n una velocità angolage j%, e che pertanto tale rotazione varrà:

una coppia di inerzia — Js jA (se Js ne è il momento di inerzia diametrale ), ad una, forza centrifuga E, ed a l peso P . Scrivendo allora una equazione di equilibrio secondo l'asse di versore X

~, = — Ak+ ipA +~v

{1.179)

dove J e d I son o a l solito il momento di inerzia diametrale e quello polare del giroscopio stesso, e.che l'anellp S d i s u p porto è a sua volta soggetto ad

dei momenti agenti sul sistema giroscopio più anello di supporto S s i avrà, in base alla, prima delle (1,180), la: A

B P' F,h cos p — Ph sin p — JsP — Jp + IwQ cos p = 0 e da questa., essendo: P V~

k

g R

si otterrà la: o

B

IV'

~

Ph [ - cos p — sin p = ( Js + J) j' — I~V — cos p [Rg )

h

dalla quale si potrà ricavare che in condizioni di regime ( ossia per P = 0 l'angolo

)

~c

/

P

Fig. 73 — Indicatore di virata

Essendo L = cos pP — sin pv

(1.181)

giroscopio. Utilizzando poi le (1.176) si potrà quindi affermare che il momento ri-

— +-

fuga). Se poi l'angolo p è piccolo ed il termine I~/Ph è molto maggiore di V/g si ottiene, dalla, (1.181), la: I ~V I~ = — Q P hR Ph

y = —

cV, = j% — Qcos pP+ {v+ Qsin p)v = j À — Q cos
-

(Si noti che la (1.181)) è stata ricavata per un ben determinato verso di rotazione propria del giroscopio, e che pertanto se si invertisse il segno di l'effetto della coppia giroscopica sarebbe opposto a quello della forza centri-

essa sarà in definitiva, esprimibile mediante la:

dove ~

ts' -

la quale, sotto le ipotesi prima, viste, stabilisce quindi che la deviazione subita

dal giroscopio rispetto alla verticale è all'incirca, proporzionale alla velocità angolare del veicolo sul quale il sistema è montato.

s ultante delle forze di inerzia agenti sul giroscopio possiede componenti M >

(direttasecondo 7 ) ed M„' (direttasecondo P ) date rispettivamente dalle: Mq - — Jip+ Iu)fl cos p -

(1.180)

(

M„' = — JQ j sin y+ I~ j

S tabilizzazi on e d i

uri pr oi ettile

Quando un missile (e si intende come tale un qualunque corpo, propulso o meno', che percorre una traiettoria prestabilita, come ad esempio i

122

123

missili veri e propri od i proiettili ) si trova ad operare nell'atmosfera terrestre, „esso risulta soggetto, durante il suo moto, all'azione di forze aerodinamiche che si riducono fondamentalmente, come si è già avuto modo di osservare nel precedente paragrafo 4,8, ad una forza resistente agente in verso opposto a

quello della sua veloùtà di avanzamento (Fig. 74a). Accade però nella grandissima maggioranza dei casi riscontrabili nella, realtà che, grazie alla presenza di numerosi fattori esterni non considerati in questa semplice schematizzazione,

rotatorio attorno al l oro asse in modo che, come si avrà m odo di v erificare immediatamente, il momento rispetto al baricentro della risultante delle forze aerodinamiche venga ad essere equilibrato da una coppia giroscopica, avente momento ad esso uguale ed opposto. Al fine di studiare il moto ad esempio di un p r oi et t ile nelle condizioni sopracitate,occorre innanzi tutto notare, riferendosi alla Fig. 74b, che se l'asse di simmetria C d e l p r oiettile forma, un angolo p c o n l a d i r ezione della sua v elocità, anche la forza risultante aerodinamica R f o r m a u n a ngolo p c o n l'asse ( , c h e i n oltre durante una rotazione del proiettile att orno al proprio

asse la forza R continua in pratica ad avere la stessa direzione e che quindi il suo momento rispetto al baricentro G

a)

b) C

Gr

z~

V

I I

/

/

/

l

Fig 74 — Sistema di assi di riferimento per un missile in volo

n o n ru o ta assieme al proiettile. Grazie

a questa prima considerazione si potranno pertanto utilizzare, le equazioni di equilibrio dinamico alla rotazione (1.175). In secondo luogo si potrà osservare che, poichè il moto di precessione dell'asse del proiettile, moto che verrà dettagliatamente analizzato nel seguito del paragrafo, si realizza di solito in modo estremamente rapido rispetto a quello con cui avvengono le variazioni della sua velocità di avanzamento, il moto di precessione stesso potrà essere studiato assumendo come terna di coordinate inerziali di riferimento una terna di assi ortogonali in cui l'asse z coincide, istante per istante, con la direzione della velocità di avanzamento. Siano dunque i, j e k i v ersori di tre assi ortogonali "fissi" aventi origine nel baricentro G e sia per essi k il versore dell'asse z (Fig. 74b). Siano inoltre v il versore dell'asse ( del proiettile e X e I7. i versori di due assi che si muovono con il proiettile ma non ruotano assieme ad esso attorno all'asse di questi due versori poi (Fig. 74b), I7 sia il versore di un asse normale a, ( e giacente nel piano ((,z), mentre A si a a sua volta il versore di un asse n ormale al piano individuato da P e da v . E allora chiaro che, sulla base di tali assunzioni, si potrà passare dalla, 'l

si manifestino delle deviazioni sia pur piccole tra l'asse di simmetria del missile e la direzione della sua velocità di avanzamento, cosa questa che scosta la direzione della risultante totale R d e lle forze aerodinamiche rispetto a quella

dell'asse di simmetria medesimo (Fig 74b). In tali condizioni inoltre, poichè la

i, j , k al l a t e r na A , p , v r u o t a n do dapprima la t e rna " f issa" di u n a t t o r n o a k, e r uo t a n dola poi u l t eriormente di u n a n golo attorno a, A , o s sia che la rotazione Q , d e l l a t ern a A , P, v costituente il "supporto" del sistema è data da:

risultante R p a ssa per un punto C c h e si trova spostato in avanti, e cioè nel senso del moto, rispetto al baricentro G, appare evidente come una deviazione

(1,182)

angolare p

terna

angolo iI

Q = iIik+ j A = ph + it~sinyP+ g cospv

a n che piccola faccia si che si generi un momento rispetto al

baricentro che tende ad aumentare il valore della deviazione stessa. Proprio

per evitare questo fenomeno si imprime sempre ai proiettili (sparandoli da canne provviste di rigature elicoidali ) ed ai missili sprovvisti di impennaggi (disegnandone in modo opportuno gli ugelli del propulsore) un rapido moto

che pertanto la rotazione complessiva cV, del proiettile è esprimibile mediante la:

(1.183)

~, = jA+QsinPI7+(~+ ii Posy)v

124 dove ~ è a l solito la sup velocità di r o t azione propria,, ed infine che la forza

R, giacente nel piano (p, v) orgina un momento M p ari a: M = Rl sin p A

In base alle (1.175) ed indicando al solito con J e con I rispettivamente il momento di inerzia, diametrale e quello polare del proiettile, si avranno quindi le: Rl sin p = J r@ + I(~ + @ cos p) @ sin p — J il sin pii cos p

come è facile osservare, dalla somma di una rotazione continua (g crescente nel tempo ) attorno all'asse di versore k e di un a r o t a z ione periodica (p v ariabile periodicamente nel tempo attorno ad un valore medio y p ) at t o r ll o all'asse di versore l",, ed al primo di questi due moti vi ene usualmente dato

0 = J(gsinp+ gj cos
il nome di moto di precessionedell'asse del proiettile, mentre il secondo viene comunemente definito come moto di nutazione dell'asse stesso,

e da queste, osservando che dalla terza si ricava, immediatamente che ~ + g cos p = wo = costante, si otterranno in definitiva le:

Rl sin y = Jj' + I~ pg sin p — J/z sin p cos p

(1.184)

integralmente: ci si limiterà unicamente a ricordare che da essa si ottiene che, a partire da una generica condizione iniziale, gli angoli y e i i v a r i ano nel tempo in modo tale che l'asse ( d e l p r oiettile risulta animato di un m o to, att orno al baricentro G del l o s t esso, che puo essere, a seconda dei valori assunti dai parametri caratteristici del sistema,, del tipo qui i n d icato nella Fig. 75a o ppure di quello della F ig. 75b. T a l e m ot o è comunque sempre costituit o ,

0 = J/sin p+ 2Jj g cos y —I~o j

che costituiranno quindi il modello matematico del sistema considerato.

b)

a)

Se si osserva ora che il moto di nutazione è per lo più un moto smorzato nel tempo, in quanto la presenza di una velocità angolare j o r i g ina generalmente una coppia resistente sul proiettile proporzionale a j e d avente la direzione di P, coppia della quale non si è tenuto conto nel dedurre le (1.184), si è quindi in grado di ricavare dalle (1.184) medesime il valore a regime della velocità angolare di precessione dell'asse del proiettile nel caso in cui questo venga soggetto ad un disturbo iniziale tale da procurare un disallineamento tra il suo asse di simmetria e la direzione della sua velocità pari ad esempio a, pp. Ponendo infatti p = y o, j = 0 e P = O nelle(1.184) si ha: (1.185)

Rl = I~pg —J/z cos@p 0—@

ossia che il valore di tale velocità è pari a:

(1.186) G

I~p [ 2J cos'ho[

4JRI cos iip IzLPp

Come si puo notare quindi, esistono teoricamente ben due possibili velocità angolari di precessione (anche se va d'altro canto rammentato che quella alta in generale non viene mai raggiunta ), ed il loro valore è reale solo se il radicando della (1.186) è maggiore di zero, ossia solo se è verificata la condizione: Fig. 75 — Possibili moti dell'asse di un proiettile dotato di stabilizzazione giroscopica La risoluzione del sistema di equazioni diAerenziali non lineari

(1.184)

è abbastanza, complessa e non si ritiene pertanto opportuno qui riportarla

(1. 187)

2 • ) — ~ERI cos pp I

Ciò significa, in definitiva, che se il valore della velocità angolare di rotazione ~ = ~ p= — 1i cos@p del proiettile attorno al proprio asse è minore di quello

126

127

limite ricavabile dalla (1.187) non è possibile procedere alla stabilizzazione giroscopica del proiettile stesso, e che inoltre la velocità angolare necessaria, per la stabilizzazione è tanto minore quanto maggiore è il valore del disturbo

risultante di t u t t e l e forze esterne agenti sulla particella, ad 'eccezione delle forze di inerzia, e tenuto conto che la forza di inerzia risultante è R ' = — ma, si ottiene: F.=

iniziale p p. Per concludere sipotrà poi ancora osservare che se il valore del prodotto

Rl è piccolo rispetto alle altre grandezze in gioco, si può sviluppare in serie il radicale della (1.186) ottenendo cosi, per il valore a regime della, velocità angolare di precessione dell'asse del proiettile, l'espressione:

l

I+p

4J Rlcos>pp R

F, = m z

Moltiplicando la prima equazione per bz, la seconda per by, l a t e rza per b z e sommando membro a membro si ottiene la, seguente equazione risultante: F bz+ F„b y+ F ,6z = mib z+ my 6 y+ m zbz

(1.191)

/

e che a tale risultato si può anche pervenire in modo immediato dalla prima,

delle (1.185) se solo si ipotizza che g

s i a piccolo e che quindi il termine contenente ib' sia trascurabile rispetto agli altri che compaiono nell'equazione

Le quantità b z , 6y, bz, definite spostamenti virtuali, sono spostamenti arbitrari e infinitamente piccoli.

Utilizzando le (1.188)si possono ora esprimere bz,áy,áz in funzione di qi, qs, qs.

stessa,

Bz Bz Bz bz = — bq, + — bqz + — 6qs Bqi

Si considerino le tre coordinate z, y, z di un punto; esse possono essere espresse in funzione di tre coordinate generalizzate qi, qq, qs per mezzo di. tre relazioni funzionali :

Sostituendo le (1.192) nella (1.191) si ottiene:

(Fz

(1.188)

(1.193) +

Se, ad esempio, qi, qs, qs sono le tre coordinate cilindriche r, 8, z, le (1.188) diventano: (1.189)

(

Bz

+ Fy

Bz Bqs

By

Bz b

f

B~

By

Bz b

+ F'Bq z ) bq> +~F,— + Fy — + F,) ( Bq yBq 'Bq ) bq>+

By Bqs

)

B» N / ..Bz .,B — m i — y y' —y + ..zB-zh ) bqs Bqs ( Bqi Bq> Bql ) bq~+

F, — + Fy —+ F,-

B z + y.. B—y + ..zzq B z)— bqz+ m( i.,— Bz + ..y 'By — h bqs + m (i — — + .."-Bz Bqg

B qg

Bq.)

Bqs

Viene definita forza generalizzata la quantità:

z = z

Se qi, qz, qs sono letre coordinate sferiche r,8,p tano:

(

(Fig. 3)

z = rcos8 y= r sin8

Bqs

Bz Bz Bz áz = — bqi + — bqz+ — bqs

z = 4>(qi qz qs) z=Os(q» qz qs)

Bqz

By By By 6y = — bq i + — b q z + — b q s Bq~ Bqs Bqs

(1.192)

4.12 —Equazioni di Lagrange

(1.190)

mi

Fy — my'

z = rsinp cos8 y = r sin @sin 8 z = rcosp

L'equazione di equilibrio della dinamica per una particella è data dalla (1.51 rip.) nel paragrafo 4.3. Indicando ora con F„Fy, F, le componenti della

Bz By Bz + F — + F"Bq> Bqi yBq i Bz By Bz Qz — -F — + F — +FBqz Bqz Bqz Bz By Bz Qs —F ,— + F„— + F , Bqs Bqs Bqs

Q> —F.—

(Fig. 4), le (1.188) diven(1.194)-

-

Q uesta definizione di forza generalizzata indica il m odo i n cu i Q p uò e s sere.determinata: occorre calcolare il lavoro totale compiuto da tutte le forze I

128

129

esterne (ad eccezione di quelle di inerzia) durante un piccolospostamento 6q; di una delle coordinate e'dividere questo lavoro totale per 6q;. Occorre notare che laforza generalizzata Q; non ha necessariamente l e dimensioni di una f orza.. Se, ad esempio, q ; è u n a n g olo , Q ; avrà le dimensioni di una, coppia,, essendo il rapporto tra un lavoro e un angolo. Poichè áqy, 6qg e 6q s c h e compaiono nella (1.193) sono spostamenti

arbitrari, la (1.193) puo essere scritta tre volte ponendo ogni volta, due spo-

Sostituendo la,(1.199) e le espressioni analoghe per le coordinate y e z n ella prima, delle (1.195) si ottiene: Q =

'2

dt B

" 2+ 2

-B

;+'2

'2

I

Poichè l'energia cinetica di una, particella è data da,: 1 E= — m ( i 2

stamenti pari a, zero; pertanto si ottiene;

+v + z )

sl l'i cava:

(1.200)

(1,195)

e, in generale: .. Bz

Il termine i —

può , a sua volta, essere scritto nel modo seguente:

Le (1.201) costituiscono le equazioni dt' Lagrange per un corpo puntiforme nella forma di maggior utilità per i problemi di ingegneria. Se il campo di forze agente sulla particella è conservativo, si può definire una energiapotenziale U (1.127) e (1.128), per cui la forza generalizzata Q, può essere espressa come:

(1.196) Inoltre, dalla (1.188) si ha: dz Bz , Bz , 8Ã z = — = — q i + — qs+ — qs dt Bqi Bqs Bqs

ed avendo posto, per la, prima delle (1.195), 6qs = 0, 6qs = 0 si ha: (1,197)

(1.201)

Bz qi Bqi

BU

(1.202)

Bqi

e l'equazione di Lagrange (1.201) diventa:

z =—

(1.203)

d

BE

BE

BU

dt

Bq ;

Bq;

Bq;

per cui:

(1.198)

Bi

Bz

Analogamente per le derivate rispetto alle altre coordinate.

Tenuto conto allora delle (1.197) e (1.198) si ha, dalla (1.196):

P oichè U è f u n zione solo delle coordinate q; e no n delle velocità q, , s i h a pure che BU/Bq; = 0, pe r cui si può definire una funzione di Lagrange, detta, anche Lagrangi ano:

(1.204) per la quale la (1.203) diventa,: (1.205)

130 Se le forze che agiscono sulla particella sono in parte conservative, in parte non conservative, si può scrivere Q ; c ome la loro somma:

dove (Q;)„è laforza non conservativa generalizzata. In questo modo, la (1.205) diventa:

dove:

Zquazioni di L a g r a nge applicate a u n si st em a d i

d u e m a s se

Quale esempio di applicazione delle equazioni di Lagrange a un sistema di particelle, si consideri l'esempio riportato nella Fig. 76.

(1.206) Le equazionidi Lagrange per una particella possono facilmente essere estese a un sistema di

K

p ar t i c elle. O ccorre osservare che se il sistema di

jq particelle ha n gradi di libertà(paragrafo 3.15) occorrono n coordinate indipendenti, dette coordinate lagrangiane, per descriverne la posizione nello spazio. Seguendo la stessa procedura utilizzata per ricavare le equazioni di Lagrange per una particella si ottiene che per ciascuna coordinata lagrangiana q; si può scrivere: x

I

(1.207)

F>g. 76 Sistema dz particelle a due grad> dz hberta c on i = l , 2, . . . , n .

L'energia cinetica totale è:

Il sistema di due particelle ivi rappresentato è a due gradi di libertà e si scelgano come coordinate lagrangiane: q> = z (posizione della, massa M )

Pertanto, le equazioni di Lagrange per un sistema di N pa rticelle diventano: (1.208)

q~ = 8 (angolo formato dalla massa m rispetto alla verticale). Le coordinate della massa m

d / DEA B E

s ono allora.:

zg — z + I sin8

'- dt (aq) aq,

y~ — - I cos 8

con : La velocità V

d e l l a massa m è d at a allora da: V = (i+ 18cos8) + (18sin8) = i" y p 8 + 2/i 8cos8

Per sistemi con campo di forze conservativo: L'energia cinetica totale del sistema è:

(1.209)

d fBGN — B—G= 0

dt (a,,)

a,,

-

1= l , 2 , . . ., n

E=

1 1 ,~ 1 M i + rn V ~ = - (M+ m)i y2 —1 m(p8~ y2ii8cos8) 2 2 2 2

132

133

Poichè la forza di richiartio elastico della molla e la forza di gravità sono forze I conservative, l'energia petenziale totale è (1.129) e (1.130):

per un sistema di più corpi ), mentre n è il numero di coordinate lagrangiane che definiscono la posizione del corpo (o dei corpi ).

1 U = — kz + rngl(1 —cos8) 2

E quazioni di J a g r a nge applicate a u n c o rp o r i g i d o

Il lagrangiano G è pari a:

Si consideri (Fig. 77) un rullo avente momento di inerzia baricentrico Ia, raggio r, mas s a M , a l q u a le è collegata un'asta, lunga 1, co n i n erzia trascurabile, all'estremità, della quale si trova una massa concentrata m. A l l'istante iniziale (t = 0} il r u llo si tr o va con l'asta in posizione orizzontale e

1 1 G = E —U == -1 (M ~ m}i y — m (I 8 y 21i8 cos 8 kz2 —mgl (1 — cos 8) } -— 2 2 2

Dalla (1.209) si ha allora per la coordinata z:

-

la velocità nulla.

BG = (M + m}i+ ml8 cos 8 Bi,

d /BG' = — —,) (M+ m)i + mi(8cos8 — 8 sin8) dt ((B.)

Ci'i

Y

X

e l'equazione del moto diventa:

(1.210)

(M + m) k + ml(8 cos 8 — 8 sin 8) + kz = 0 I

Per la coordinata 8

s i h a i n vece:

'O 'In

BG — = - m l (i8+ g}sin 8 B8 BG . = ml (18+ i cos 8)

Fig. 77 — Rullo con asta e massa concentrata

Prendendo come sistema di coordinate di riferimento il sistema di assi ortogonali (z,y} aventi origine nella, posizione iniziale Gs del baricentro del rullo, si possono scrivere le seguenti relazioni:

-

Bé

d /BG% — -.) = ml (18+i dt ( (Bé)-

cos8 — iésin8}

Posizione del baricentro

e l'equazione del moto diventa,:

(1.211}

18+ i cos 8+ g sin 8 = 0

L'-insieme delle (1.210) e (1.211) costituisce l'equazione del moto del sistema di due particelle della Fig. 76. Per un corpo rigido possono essere utilizzate le equazioni di Lagrange (1.208) e(1.209). Infatti,un corpo rigido può essere considerato come un insieme di infinite particelle distribuite con continuità. Nelle (1.208) e (1.209) N è il numero di forze o coppie totale agente sul corpo rigido(o sui corpi rigidi

Posizione della massa m. -

z = za + (l + r) cos 8 y = - (l+ r) sin8

134

135 Ne consegue che la velocità del baricentro del rullo è:

Quando due corpi, aventi inizialmente differenti velocità, vengono a contatto, il processo dinamico che ne consegue è generalmente caratterizzato dall'azione di forze molto grandi che agiscono per un intervallo di tempo molto

mentre la velocità della massa, m è: v=

~ k ~ + ))~=

r~+(l+rP

4 .13 - Fenomeni d ' u r t o

— 2r()+ )s in& H

L'energia cinetica totale del corpo rigido è: 8 [(M ~ m)r 2 + Io + m(1 + r)2 — 2mr(l + r) sin 8] 2 L'energia potenziale della massa m la cui forza peso è l'unica forza (a parte quelle di inerzia) a compiere lavoro, è:

piccolo, e che portano ad una variazione finita delle velocità dei due corpi durante questo intervallo di tempo. Quando ciò avviene si parla di ur to fra i due corpi che vengono a contatto. Durante un urto la forza che viene scambiata fra i due corpi nel punto di contatto e le forze che si generano di conseguenza nei vincoli sono molto

maggiori delle altre forze agenti sui corpi che si urtano, per cui nello scrivere le equazioni di equilibrio della dinamica possono essere fatte alcune importanti

semp lificazioni.

U = mgy = - m g (1+ r) sin 8

Definiz ioni Il lagrangiano risulta allora: 1 28 G = E —U = — [(M + m)r + Io + m(l + r) — 2mr(l + r ) sin 8] + mg(l + r ) sin 8 2

Le derivate parziali di G r i spetto a 8 e 8

s ono:

8G — == - 8 m r (l + r ) cos 8 + mg(I + r) cos 8 = m(I + r) (g —r8") cos 8 a8 8G = 8 [(M + m) r 2 + Io + m (I + r) 2— 2mr (l + r )sin 8]

Nel presente volume verranno indicate cor i l'apice + le grandezze all'i-

stante immediatamente successivo all'urto e con l'apice — le grandezze all'istante immediatamente precedente all'urto. Si definisce hnea d'urto la retta normale alle superfici dei due corpi nel punto di contatto. Si definisce urto centrale l'urto fra due corpi in cui la linea d'urto passa per i baricentri di entrambi i corpi che si urtano (Fig. 78a) ; in caso contrario l'urto viene detto eccentrico (Fig. 78b).

88

e quindi: zl (c)Gi

— —.) = [(M+ dt ((g8)

L,nea d '2 m) r" + Io+ m(l+ r) 2— 2mr(l+ r)sin8]8 — 2mr(1+z) cos8 8-

L'equazione di Lagrange (1.209) diventa allora:

G)

Ci)

Ga

Linea d'urto

G)

(1.212) [(M + m) r + Io + m(l p r) = 2mr (I + r) sin 8]8 — m(l + r ) cos 8(r8 + g)=" 0 che costituisce l'equazione.del moto per il corpo rigido in esame,

a)

b)

Fig. 78 — Urto centrale (a) ed urto ec)entrico (b)

10. JACAZIO-PIOMBO - Principi generali di meccanica

'))zto

136

137

Nel caso di urto centrale, se le velocità di avvicinamento dei due corpi .,hanno la stessa direzion )e della linea d'urto (Fig. 79a), l'urto si dice diretto

altrimenti (Fig. 79b) l'urto si dice obliquo.

di contatto durante l hurto. L'equazione di equilibrio delle forze agenti su A in u n istante generico t r m n ore di t„ , o v e con t „ si indichi la durata dell'urto, è fornita, ricordando le (1.51 rip.) e (1.112) dei paragrafi 4.2 e '4,3, da: d + Fn + F B ,A = d, (mA VGA)

Fi + F2+ "

essendo VGA la velocita del baricentro del corpo A n e l l i s tante considerato Analogamente, indicando con VGB l a v e locità del baricentro del corpo B n ello stesso istante t , s i h a :

V)

a)

Fl + F2 +

b)

" + F M + F A,B

dt {mBVGB)

Integrando queste due equazioni tra l'istante t =

Fig. 79— Urto centrale diretto (a) e obliquo (b)

0 e l' i s tante t = t „

si

ottiene:

4.14 - Equazioni fondamentali dell'urto per corpi liberi

QF l d t + 0

(1.213) Si considerino due corpi A e B ch e si urtano in un punto C (Fig. 80). Il corpo A, d i massa mA, è soggetto alle forze F,', F,', ...,F~ e alla forza FB A che il corpo B su di lui esercita nella zona di contatto durante l'urto. hh

F1

F,'

Fq" Ghh

C

M

QF j dt +

0

0

FA Bd t = m, B(VGB

VGB)

dove gli apici + e — si riferiscono agli istanti immediatamente successivo e immediatamente precedente l'urto. Una delle considerazioni più importanti che si possono trarre dalle (1.213) consiste nel fatto che, se la durata, dell'urto è molto breve, come avviene nella maggioranza dei casi di urto fra solidi metallici, il tempo t „ d i v enta molto piccolo, e il primo termine delle (1.213) può essere trascurato rispetto agli altri in quanto le forze F e F;" a g e n ti su A e B han n o un valore finito. In tal caso, il valor medio della forza scambiata durante l'urto è dato da:

dV~

F~'B

F4'

mA IVGA

(FB,A /m-

t hh

VGA I

mB IVGB

VGBI

t hh

Nella maggior parte dei problemi riguardanti l'urto conviene però scri-

Fs' ' F4"

1 ig. 80 — Urto tra due solidi liberi Analogamente il corpo B, di m a ssa mB, è soggetto alle forze F i ', F2', ..., F M e alla forza FA B op posta alla precedente, che A s u di lui esercita nella zona, 1

J

FB Adt = m A{VGA — VGA)

vere, riferendosi al sistema complessivo costituito dai due corpi A

e B, una

soli equazione di equilibno. In tal caso, le forze FB A e F„ ' B , es s e ndo forze interne, non compaiono nell'equazione globale di equilibrio, che assume pertanto la forma:

(1 214)

s„W

f Q

Fch+f

0

M

Q

F,"dh = mz (Vg+„— Vg„) + mhh(Vg+hh —Vgp

)

139

138

Se poi, come detto in precedenza, h„ è esterne agenti su A

e B son o n u l l e, si ha:

+

(1.215)

m o lto piccolo, o se le forze

+

m AVGA ™ B V G B

m A VGA + B

GB

Sotto le ipotesi precedenti dunque, la quantità di moto complessiva, del sistema, rimane costante durante l'urto. Tutto quanto finora esposto sull'equilibrio delle forze durante l'urto vale

ovviamente anche per l'equilibrio dei momenti agenti sui corpi A e B durante l'urto stesso. Se. si indicano con (M,.')p i momenti esterni agenti sul corpo A

calcolati rispetto al punto generico O, s celto anche quale polo di riduzione delle forze di inerzia, con (MB A)p il momento dato dalla forza d'urto che il corpo B es ercita sul corpo A, sempre calcolato rispetto al punto O, con (HA)0 il momento risultante della quantità di moto del corpo A r i spetto al punto O, si ha, dalle (1.52 rip) e (1.113) dei paragrafi 4.2 e 4.3.

(1.216)

f

della riduzione dei momenti il punto C d i applicazione della forza d surto, in modo da annullare i momenti (M„'B)p e ( M BA)p ad essa dovuti..

4.15 - U r t o

c e n t r a l e f r a co r p i l i b e r i

S i consiàeri il caso di urto centrale diretto fra due corpi di massa m i

e

mq (Fig. 81). Per l'insieme dei due corpi può essere scritta, l'equazione della cònservazione deela quantità di moto (1.215): (1.219)

mi V, + mp Vq — mi V,+ + mr Vq+

N

(M t )pdh+

0

(MB A)pdk = (HA)p — (HA)p + Vj

t„

+

Vp h ( m A VGA )dh

0

Analogamente, per il corpo B: M

(1.21t)

0

Fig. 81 — Urto centrale diretto fra due corpi liberi

'tu

P( j ')0 +

(

0

A ,B)0 = ( B)0

( B)0 + Per determinare i valori delle velocità V, e Vs+ dei due corpi successivamente all'ùrto occorre scrfvèrè"ùna seconda rèlaziorie fra le velocità. Questa è data èialI estrressronè dei cdèiitctertte ài mstituzione:

t„

Vp A (m B VGB )dh

+ 0

Come nel caso di equilibrio delle forze, cosi anche per le equazioni di equilibrio dei momenti, il primo termine delle (1.216) e (1.217) può nella maggioranza dei casi essere trascurato, in quanto il t e mpo d ' u rt o

h„ è in

genere, come si è detto, molto piccolo. Ne risulta quindi: l w~

(1.218)

0

0

t

(1.22O)

i

V+ — V+ l 2 V, — V~

Questo è definito, come si vede dalla (1.220), come l'opposto del rapporto fra le velocità relative dopo e prima dell'urto. I l coefFiciente di restiturione varia irs, i due valori estremi~~s= 0 iurto onelol st~co ed~ ht u~ro

(MB,A)pdh = (HA)0 AA — ( A)0 ~

~

~

~u (MA B)pdh = (HB)0

( HB ) 0

Poichè il momento della forza d'urto costituisce in generale un'incognita del problema, è per lo più opportuno, ove possibile, scegliere quale polo O

r to el a s t i co corrisdtondedrertanto si caso di uns, deformazione com-

pletamente elastica dei corpi e di assenza di dissipazione di energia durante il c on una dissipazione di energia tale da annullare la velocità relativa tra i due

140

141

Associando la (1.219) e la (1.220) si ottengono i valori delle velocità dopo l'urto:

V,+ e V +

d e i due corpi sono uguali tra loro. In questo caso, dunque, e = 0;

pertanto dalle (1.221) si ottiene: + V+

(1.221) V+

( m j — em2 ) V, + m2(1+ e) V2 mj +m2

mj +m2

e l'energia persa vale di

(m2 — emj ) V2 + mj(1+ e) Vj mj +m2

Il coefficiente di restituzione è, in generale, funzione della velocità relativa prima dell'urto. T u t t a via,, nella maggioranza delle applicazioni esso può e ssere considerato costante ed assume i valori indicati nella tabella VI I .

contenenza: 2(m, + m.2)

Dalle (1.221) si possono dedurre alcuni casi limite particolarmente sig nificativi. Se, ad esempio, un solido di massa m d o t at o di velocità V u r t a in modo elastico un solido di ugual massa inizialmente fermo, si ha:

TABELLA VI I — Coefficiente di restituzione e per contatti d'urto

V ,+=V2 = 0 Ve+=V,

= V

Mfjteri fjle

Acciaio contro acciaio Avorio contro avorio Legno contro legno Rame contro rame Vetro contro vetro

Ossia, il corpo l in seguito all'urto si arresta, mentre il corpo 2 parte con la velocità posseduta inizialmente da l e nella stessa direzione, Se uno dei corpi, ad esempio 2, è fermo ed ha una massa m 2 mol t o

0,65 0,89 0,50

maggiore di mj ,

0,40 0,93

L'energia Ey pe rsa dal sistema durante l'urto è data dalla differenza delle energie cinetiche da questo possedute prima e dopo l'urto, per cui: dh = — m,

1 1 +)2 - — (V ) + -m (V - )2 - -m,(V, m2(V+)

Introducendo in questa relazione le (1.221) si ottiene: (1.222)

t a l e che si possa supporre m j / m 2 ~ 0, e il corpo l è dotato

inizialmente di velocità Vj

2 mjm2 (1 — e )

si ha, per urto elastico:

(

V + = -V ;

= - V

V2 = V 2" = 0

Quindi, in seguito all'urto il corpo 1 si muove con la stessa velocità iniziale, ma in verso opposto, mentre il corpo 2 si mantiene fermo. Nel caso di un urto centrale obliquo (Fig. 79b e Fig. 82) si deve osservare che la forza scambiata durante l'urto fra i due corpi può far variare unicamente la componente della quantità di moto di ciascun corpo nella direzione della linea d'urto. Ne risulta, con riferimento alla Fig. 82, che, durante l'urto, variano le componenti delle velocità V j e V 2 secondo l'asse z m e n t r e

rimangono inalterate le componenti delle velocità Vj

2(mj + m2 )

Si può quindi scrivere:

Da u e sta espressione risulta evidente che l'ener ia, ~s a d u r a n te Zuavo~ a nnulla in due casi: se s = 1 , e c i ò c o rri • on ~ l~ e-d ej l h r ~ astic , oppure se V, = Vr e c i ò c o r ris onde alla, assenza di urto. A p p are inoltre altrettanto chrarsrnente ch~e ' ner r~ae r s a s fnraanajhrrto è a nche funzi e delle masse dei due corpi che si urtano.

Vj+y = Vj y y

+

Un altro caso limite di urto è quello corris ondente all'urto anelastico

mjVj+, y m2V2, = m j V j + m2V2

V2+ — V,+ ' V2 — Vj

e V2 secondo l'asse y.

143

142

Da queste ultime due relazioni possono essere ricavate le espressioni di V~+ e V+ ottenendo relazioni identiche alle (1.221).

carrello ha, un valore V ben d eterminato e la velocità del punto O

p assa,

a z ero, anche l'integrale a secondomembro della (1.216)

durante l'urto, da V diventa praticamente nullo data la piccola entità di t„ . P er t a n to si p o t r à scrivere l'equazione di momento assiale attorno all'asse z, normale al piano

della Fig. 83, sotto la forma: Ho+ H o

= 0

Vj

F,

Fig. 82 — Urto centrale obliquo

G 4.16 - Urto eccentrico per corpi l i b eri Quando un urto è eccentrico (Fig. '?8b) la forza, scambiata durante l'urto non passa per i baricentri dei corpi che si urtano; pertanto varierà durante l'urto non solo la quantità di moto, ma anche il momento risultante della quantità di moto dei due corpi. Ciò significa che, in generale, durante un urto eccentrico variano sia le velocità dei baricentri che le velocità angolari 4 dei corpi che partecipano all'urto. Si voglia ad esempio calcolare la velocità angolare ~ assunta dal carrello di una teleferica a seguito di un urto tra il suo punto O di sospensione al cavo ed un arresto (Fig. 83). Siano V l a velocità del punto O p r ima dell'urto m la massa del carrello, Ig i l s u o m o m ento di inerzia baricentrico e h l a distanza del baricentro G d a l l ' asse di sospensione.

Questo problema può essere risolto utilizzando la (]-.-2]6) e calcolando i momenti rispetto all'asse di sospensione in modo da. annullare il momento

M' dato dalla forza d'urto, che passa evidentemente per il punto O. poichè anche la forza peso ha momento nullo rispetto ad O , e c o m unque essa ha un v alore piccolo rispetto alla forza che sviluppa durante l'u r to, t u t t o i l p r i m o

membro della (1.216) è pari a zero. Inoltre, poicliè la velocità iniziale del

P = — AI

P = —rngI

Fig, 83 — Urto anelastico del carrello di una teleferica contro un arresto Prima dell'urto il punto O n o n è un punto fisso in quanto avanza con la velocità V d e l c arrello; per calcolare H o conviene quindi calcolare innanzi tutto il momento della quantità di moto rispetto al baricentro G ; u t i l i z zando la (1.110) il momento della quantità di moto rispetto ad O s arà dato pertant o

da: (1.223)

Ho = H~ + (G — O) r mV

= O) Tuttavia prima dell'urto la velocità angolare del carrello è nulla (H~ m d e ll a m assa del per cui, in base alla (1223) ed introducendo il valore carrello si ha: : iHo -— mhV

144

Dopo l'urto il punto O I

q uantità di moto rispetto ad O

è f ermo, per cui il momento risultante della v ale: H~+ = Io~

dove: Io = Ig+ m h

Quale esempio di urto di u n c orpo vincolato si consideri il caso di un pendolo di Charpy, utilizzato per le prove di resilienza dei materiali, che urta, contro una provetta, di materiale (Fig. 84). Si indichino con m l a massa del pendolo, con Io il s uo momento di inerzia rispetto all'asse di sospensione O, con ~+ la v e locità angolare dopo l'urto e con ~ la velocità angolare prima dell'urto, Si indichino inoltre con F * la forza esercitata sul pendolo durante l'urto e con R l a r e a zione vincolare conseguente all'urto.

è il momento di inerzia del carrello rispetto ad O . P o i chè, come si è visto, deve essere H~+ = Ho si o t t i e ne dalle precedenti relazioni il valore cercato d ella velocità angolare ~ : mhV Io

Poichè Io —p',m dove po è il raggio di inerzia del carrello rispetto al suo asse di sospensione, si avrà di conseguenza: 4)

o Po

Come si può notare ~ è i ndipendente, nell'ambito delle ipotesi precedentemente assunte, dalla massa m del carrello, e dipende unicamente dalla sua forma, attraverso il parametro h/po, e dalla velocità V c o n la, quale esso trasla prima dell'urto,

4.17 - Urto fra corpi vincolati Quando un corpo vincolato (ad esempio un corpo che ruota attorno a un punto fisso) urta contro un altro corpo, nascono nel vincolo forze che sono dello stesso ordine di grandezza della forza che si sviluppa, nel punto in cui avviene l'urto, Q u este forze non possono essere trascurate; pertanto, indicando con R„ l a r eazione vincolare che si sviluppa nel vincolo di un corpo A c h e u r t a, contro un altrocorpo B e con I"'z „ la forza che B esercitasu A nel punto in cui avviene l'urto, la prima delle (1.213) diventa:

f

In questo problema la forza peso e laforza centrifuga possono essere trascurate rispetto alla forza d'urto.

In base alla (1.224) si può scrivere:

t„

(1.224)

Fig. 84 — Urto di un corpo vincolato: pendolo di Charpy

(F~ „+ R~)dt = mw (Vg„— Vo„)

— F* + R" = m(vg+ — v~)/t„

0

Le equazioni di momento (1.218) continuano ad essere valide, purchè nel momento (M~ „)o si includa anche il momento rispetto ad O d ella reazione I

vincolare.

mentre in base alla, (1.218), si può scrivere la seguente equazione di momento r ispetto al punto

O: - F ' I = I o(~+

-~ )/4

146

147

Tenuto conto che oa = ~a , si ha, dopo alcuni passaggi:

(~

(1.225)

— ~+)

Ip

Da questa espressione si vede chiaramente che R * è, in generale, dello stesso ordine di gr andezza della forza d'urto . T u t t a v ia, se l'urto avviene ad una distanza I , t a l e per cui: Io = po pg I= — — = a +ma a a

(1.226)

dove po e pg sonoi raggi diinerziarispetto ad O e a G , l a r e azione vincolare R* si annulla,. Il punto del corpo a distanza I d a l l ' asse di sospensione viene

detto il centre di percossadel corpo.

in cui z ~ è l o s chiacciamento massimo. Il tempo tp in c o r r i s pondenza del quale la velocità si annulla è dato

(1.227)

t o= -

7r

m

2

21 ' x o'q

Subito dopo l'annullarsi della, velocità si ha la separazione tra le due superfici in seguito al ri cupero delle deformazioni elastiche. I l t e mp o corrispondente

a tale ricupero elastico è, nelle ipotesi fatte, sensibilmente minore del tempo di deformazione in campo plastico, per cui il valore di tp da to dalla(1.227) può, con buona approssimazione, essere assunto quale durata dell'urto.

Si consideri ad esempio il caso di una sfera di acciaio di diametro d = 8 cm che urta contro una sfera identica e si supponga che la pressione di snervamento del materiale sia a, = 800 N /mm'. Indicando con p la densità

dell'acciaio, pari a 7800 kg/ms, si ha, dalla (1.227) :

4 .18 - Durata dell'ur t o La durata di un urto dipende sia dal tipo dei materiali che vengono a contatto, sia dalle loro dimensioni. E chiaro che, a parità di altre grandezze, la durata dell'urto sarà, tanto maggiore quanto minore è la rigidezza dei corpi

tp -

-

-

2

pd~ 6o,

Introducendo i valori sopra elencati si ottiene:

che si urtano.

Nel caso di due sfere uguali di massa m, di cui una è ferma e l'altra in moto con velocità V, si è in grado di calcolare la durata dell'urto nell'ipotesi che la sua intensità sia sufficientemente grande e che quindi la deformazione avvenga prevalentemente in campo plastico. In queste condizioni, indicata con o, la pressione di snervamento del materiale, si può scrivere la seguente equazione di equilibrio: dg - cr,wao= m dto

dove a è i l r aggio dell'impronta circolare, mentre z è l o schiacciamento di ciascuna delle due sfere, Se r è il r a g gio della, sfera si ha, in prima approssimazione:

2r z = a~, p er cui si ottiene: d2g

m - -+ 2xi r,z = 0 dt~ .

La soluzione di questa equazione differenziale è data da:

tp — 1 60,4 x 10 s

I valori misurati sperimentalmente sono però in media dal 30 al 50% maggiori del valore teorico e, a patto che la deformazione sia prevalentemente plastica,

sono pressochè indipendenti dalla velocità con la quale i corpi si urtano.

PARTE B

M ECCA N IC A D E I F L U I D I L I Q U I D I

5 . PROPRI ET À D E I F L U I D I

5.1 - Il concetto di fluido La principale proprieta macroscopica dei Pu>di (proprieta che li distin'gue dai solidi ) è costituita dalla assenza di sforzi tangenziali in uno stato di quiete. Mentre in un solido l'applicazione di uno sforzo tangenziale provoca, una deformazione, in un fluido l'applicazione di uno sforzo tangenziale ne provoca lo scorrimento per un tempo non inferiore alla. durata di applicazione dello sforzo. Se, tuttavia, al termine di un cambiamento di forma, comunque importante, il fluido ritorna in uno stato di quiete, non rimane alcuno sforzo tangenziale residuo.

I fluidi si distinguono iri /iquidi e gas. Nei liquidi i legami molecolari sono suFicienti a mantenere, mediamente, le stesse distanze molecolari. Di conseguenza, i liquidi, pur cambiando facilmente forma, tendono a conservare il proprio volume. Il volume di una data massa di fluido cambia poco al variare di pressione e temperatura. Nei gas i legami molecolari sono debolissimi e le molecole di gas si muo. vono urtandosi tra loro in m o d o -casuale. D i c onseguenza., i gas non hanno una propria, forma, nè un proprio volume; un gas in condizione di ri poso si dispone in modo da t r ovarsi uniformemente distribuito nel recipiente che lo contiene. Un fluido puo essere considerato un mezzo continuo, a meno che esso

sia un gas cosi rarefatto che il cammino libero medio delle molecole divenga dello stesso ordine di grandezza delle dimensioni degli oggetti con cui il gas è Il. JACAZIO-PIOMBO - Principi generalidi meccanica

152

153

a contatto.

dove R è la costante caratteristica del gas ed è pari alla difFerenza fra i calori specifici a pressione e volume 'costante;

5.2 - P r o p r i et à t e r m o d i n a m iche e s tato di u n f lu i d o Proprietà t e r m o di n a m i che principali Le tre proprietà termodinamiche fondamentali di un fluido sono: — pressione p — densità p — t emperatura T.

(1.229)

R = cp — cq

La costante R, ca r a t t e ristica, di ogni gas, è pari alla costante universale 'R divisa, per la massa molecolare del gas M

(1.230) con 'R = 8310

Joule ~~gmole

Queste tre grandezze sono sempre presenti nello studio della statica e della dinamica dei fluidi. Quando si considerino problemi in cui intervengono lavoro, calore, energia, le seguenti altre proprietà termodinamiche vanno

k cal

= 1, 986 =

~~gmole

Per considerare lo scostamento del comportamento dei gas da, quello della legge dei gas perfetti si usa l'equazione di van der Waal: PRT p 1 —bp

(1.231)

considerate:

dove a e b so no due costanti caratteristiche del gas considerato.

— energia interna e ; — entalpia h — entropia s

Equazione di stato dei liquidi

— calori specifici c~, c„ — modulo di comprimibiiità P. In aggiunta a queste grandezze, i fenomeni di attrito e di trasmissione del calore sono governati dalle seguenti proprietà di trasporto:

Non esiste per i liquidi una, equazione di stato paragonabile a quella dei gas perfetti. I l i quidi sono quasi incompressibili ed i loro calori specifici a pressione e volume costante sono praticamente uguali, pertanto si ha: p = costante

— viscosità (dinamica p e cinematica v ) — conducibilità termica I :.

Tutte le proprietà termodinamiche, nel loro complesso, descrivono lo stato di un fluido. Per molti fluidi, tuttavia, due proprietà termodinamiche fondamentali, pressione e temperatura, sono suflicienti a determinare tutte le altre, per cui:

Quando si hanno forti variazioni di pressione in un liquido, le corrispondenti variazioni di densità possono essere messe in relazione alle prime nel modo seguente: (1.232)

p = p(p,T),

e; = e;(p,T), p = p(p,T), ecc.

c~ = c „~ c dh ~ c d T

dp

dp

p

P

dove P è il modulo di comprimibilità. Se il li quido può essere ritenuto incompressibile, il su o s t at o r i sult a, definito dalla, soli tempera, tuia.

Equazione di s t a t o de i g a s Per tutt i i g a s ad alta temperatura e bassa pressione (relative ai loro

punto critico ) sussiste una relazione fra. pressione, densità e temperatura, detta legge dei gas perfetti; (1.228)

p= PRT

A ltre p r op ri età t e r m o di n a mi che di u n g u i d o

In aggiunta alle proprietà prima elencate, altre proprietà termodinamiche caratterizzanoun fluido, e precisamente:

154

155

— tensione super ficiale T — tensione di vapore p„ — dilatazione volumetrica n .

Le proprietà termodinamiche dei fluidi, ora elencate, verranno brevemente descritte nei successivi paragrafi.

L a densità dei prodotti p e troliferi viene talvolta, indicata con i g r a d i

API. La conversione fra i gradi API e la densità misurata. in kg /ms è data dalla seguente espressione: (1.233)

k

s

141500

gradi API + 131, 5

Per i gas, la densità varia con la pressione e la t emperatura secondo

5.3 - Pressione Si definisce pressione, in un determinato punto del fluido, la forza per unità di superficie che viene esercitata sopra una superficie ideale qualsiasi,

passante per quel punto, dal fluido che sta da una delle due parti della suoerfice al fluido che sta dall'altra parte. In un fluido in quiete, in assenza di sforzi tangenziali, la pressione è indipendente dalla giacitura della superficie considerata. Se si hanno sforzi tangenziali, le forze per unità di superficie variano leggermente a seconda della giacitura del piano che viene considerato, In tal caso la pressione viene normalmente considerata come il valore medio degli sforzi normali agenti su tre piani perpendicolari fra loro; la pressione cosi calcolata viene anche indicata come il valore idrostatico delle forze per unità di superficie agenti in direzione perpendicolaresecondo tre assi mutuamente normali. Nel sistema internazionale la pressione viene misurata in Pa scal: 1 Pa=l N /ms. Poichè questa unità di misura è molto piccola, si usano correntemente i suoi multipli: 1 kPa=1000 Pa; 1 MPa=10 Pa. Altre unità di misura della pressione e i relativi fattori di conversione sono riportate nella tabella V dell'Appendice. La pressione, se è misurata rispetto al vuoto viene definita pressiore' assoluta, mentre se è misurata rispetto all'ambiente viene definita pressione relativa. La pressione di una atmosfera standard è definita pari a 1, 01324 x 10'

N/m'.

l'equazione di stato (1.228), oppure (1.231) del paragrafo 5.2. Per i liquidi, la variazione della densità con la temperatura, è esaminata nei successivi paragrafii.

L'inverso della densità, ossia il volume occupato dall'unità di massa., viene chiamato volume specifico,

5 .5 - T e m p e r a t u r a

La temperatura è la proprietà che caratterizza l'equilibrio termico fra i corpi; due corpi in condizione di equilibrio termico posseggono lo stesso valore della proprietà che viene indicata, come temperatura. I cambiamenti di temperatura causano la variazione delle altre proprietà, La temperatura nel sistema. internazionale viene misurata, in gradi Celsius ('C). Nel sistema inglese la temperatura è misurata in gradi Fahrenheit ('F) ; tra queste unità, di misura sussistono le seguenti relazioni: t ('F) = 1,8 t ( 'C)+3 2 t ('C) = 0,55555(t ('F) — 32)

(1.234)

Se misurata rispetto allo zero assoluto, la temperatura viene definita, temperatura assoluta e, n el sistema internazionale, viene misurata in g r a d i

Kelvin (K). Tra gradi Celsius e Kelvin sussiste la relazione: (1.235)

5.4 - D e n sit à

t ('C) = T (I~) — 273,16

N el sistema iiiglese la t empeiatui a assoluta viene mi surata i n

Rankine

('R)

La densità di un fl u ido è definita come la massa per unità di vo lume,

Nel sistema internazionale la densità viene misurata in kg/ms. Le unità di misura in altr i sistemi e i r elativi f a t t ori di conversione sono riportati nella

tabella IV dell'Appendice.

(1.236)

T ( R) = 1 8 T(IC) = 45g 67 y t ('F)

gradi

156

157

5.6 - E n e r gia i n t e r na, e n t a lpia, en t r opia

Nel sistema internazionale, il c a lore specifico viene m isurato i n kcal/kg'C, oppure in m %" C; tra queste due unità di misura. si ha la se-

L'enérgia interna e; è definita come l'energia per unità di massa dovuta alPenergia cinetica e potenziale presente nella sostanza considerata a causa, della, sua attività molecolare e dipende essenzialmente dalla temperatura,. Per un gas che obbedisce alla legge dei gas perfetti l ' energia interna è funzione della sola, tempetatura secondo la legge:

guente relazione:

(1.237) dove c„ è

c

2

,

= 4185,8c

Nel sistema inglese, il calore specifico viene misurato in 'Btu /lb 'F; in base alla definizione di Btu, risulta che:

de; = c„dT

kcal kg oC

i l c a l ore specifico a volume costante.

B tu lb. oF

L'entalpia h è definita dalla somma seguente:

(1.238)

p

h =e;+ P

ed è quindi, come l'energia interna, una energia per unità di massa. L'entropia s è un potenziale termodinamico espresso dall'integrale di tutte le quantità elementari di calore che la sostanza considerata ha ricevuto, divise per le rispettive temperature con cui tali quantità di calore sono state ricevute. La relazione fra la variazione di entropia e la quantità di calore Q, fornita lungo una trasformazione reversibile è data da: (1,239)

(d@c)gev T

L'unità di.misura di energia nel sistema internazionale è il Joule (J). Altre unità di misura dell'energia e i relativi fattori di conversione sono riportate nella tabella VI dell'Appendice. Nella tabella VII dell'appendice sono riportate le unità di misura e i fattori di conversione della potenza (energia per unità di tempo ).

5.7 - C a l or e specifico

5.8 - Comprirnibilità La variazione della densità di un fluido con la pressione è ricavabile per un gas dall'equazione di stato e dal tipo di cambiamento di stato. Per un liquido la variazione della densità con la pressione è generalmente espressa dalla (1.232); il modulo di comprimibilità P che appare in questa espressione ha le dimensioni di una pressione ed è tanto maggiore quanto meno comprimibile è il liquido. Il modulo di comprimibilità dei liquidi diminuisce all'aumentare della temperatura e aumenta leggermente all'aumentare della pressione. Invece della (1.232), si usa talvolta la seguente espressione per indicare la variazione della densità con la pressione: (1.240)

p = po(1+ a'p+ b'p')

Quando in un liquido le variazioni di pressione sono sufFicientemente elevate, e tali quindi da dover considerare le variazioni di densità, si deve tenere presente che sovente, accanto alla comprimibilità del liquido stesso, si manifestano due fenomeni concomitanti: — dilatazione del serbatoio o della tubazione

Il calore speci fico è definito come il rapporto fra la quantità di calore per unità di massa fornita a una sostanza e la corrispondente variazione di temperatura.

Per i liquidi il calore specifico è funzione della temperatura; per i gas il calore specifico dipende anche da come avviene la variazione di stato. Per un gas'vengono normalmente definiti il calore specifico a volume costante c„ e i l calore specificoa pressione costante c„.

— compressione dell'aria presente nel liquido. -Questi due fenomeni contribuiscono a dare al liquido una comprimibilità apparente più grande. -

-

-

158

159

Dilatazione del contenitor e

Esempio

L'aumento della pressione del liquido causa una dilatazione del conteni-

tore (serbatoio o tubazione). Un contenitore cilindrico sottile avente diametro medio d , m o d ulo di elasticitàE, spessore s; ha un modulo di comprimibilità equivalente: P =-

S i consideri un liquido avente modulo di,comprimibilità P p — 1700 MPa, contenuto in una tubazione di acciaio avente diametro medio d = 18 mm e spessore s = 1 mm; si consideri inoltre una percentuale di aria presente pari all'1% in volume ed una pressione media di 20 MPa. In base alla (1.241), alla (1,243) e alla (1.244) si ottiene:

Es d l'

1 0, 018 + + 0,01 1 700 x 10P 2 06000 x 10P x 0,001 2 0 x 10

Un tubo spesso di diametri d; (interno) e dp (esterno) e rapporto di Poisson pari a v~, h a u n m o dulo di comprimibilità equivalente: E

(1.242) 2 -„

l 1700 x 10

~+ vp

1 + 11 4 4 4,4 + x 10P

1 2 0 00 x 10P

8 50,6 x 10 N/ m

= 850,6 MPa

Per un tubo flessibile non esiste una formula del modulo di comprimibilità equivalente; esso normalmente è compreso fra 600 e 1200 MPa.

Da questo risultato si vede che la presenza di una piccola quantità di aria diminuisce drasticamente il modulo di comprimibilità del liquida.

Compressione dell'aria presente nel liquido La presenza anche di piccole quantità di aria in un liquido causa una notevole diminuzione del modulo di comprimibilità apparente. Nell'ipotesi, normalmente verificata, di piccole quantità di aria presenti nel liquido, indicando con: V, = volume di aria Vp = volume di liquido

p = pressione media il modulo di comprimibilità apparente è, riferito al volume totale: Vp P. = — p V,

(1.243)

5,9 - Viscosità Nei fluidi si sviluppano forze che tendono ad opporsi al moto relativo delle particelle che li costituiscono. La capacità di trasmettere forze fra due strati di fluido viene chiamata uiscosità; questa proprietà. già esaminata nel paragrafo 3.6, verrà ora discussa in modo più approfondito. Nei liquidi la viscosità è dovuta principalmente all'attrazione molecolare. Nei gas, dove le forze di attrazione molecolare sono trascurabili, la viscosità è 'dovuta soprattutto al fenomeno di diffusione molecolare fra strati contigui. Nel caso di un moto rettilineo di un fluido per strati paralleli (Fig. 85) esiste una relazione fra la tensione tangenziale r„ ,

sca m b i a ta fra due strati

contigui di fluido e il gradiente di velocità, Bu/By in direzione perpendicolare alla direzione del moto:

M odulo di c o m p r imi bilità t o t a l e

Se con pp si 1ndica,il modulo di comprimibilità del liquido, l'effetto della dilatazione del serbatoio e dell'aria presente nel liquido può essere globalmente considerato introducendo nella (1.232) un modulo di comprimibilità equivalente P dato da: (1.244)

1

P

1

1

Pp P

1

P.

(1.245)

ry

—f

Iu molti fluidi la relazione funzionàle (1.245) è di diretta proporzionalità, ossia:

(1.246)

160

161

dove la costante p viene chiamata viscosi' dinamica o anche, semplicemente, uiscositò. I fluidi per i q )ali è valida la (1.246) vengono definiti guidi newto-

~~cO

mani. Si noti che la viscosità p è , i n g enerale, funzione della temperatura e della pressione, ma, in un fluido newtoniano, è indipendente dal gradiente di velocità Du / By e dal t e mpo.

BZ/ u + — dy ily

go~ ox

~gC

xe

Tyx

B

C

dy

Bu/By Fig. 86- Comportamento dei fluidi non newtoniani con proprietà indipendenti dal tempo

A ll

D

r ,

D

Nella Fig. 87 è indicato l'andamento nel tempo della tensione tangenziale, a velocità di deformazione costante, per un fluido tixotropico e per uno reopectico,

Fig. 85 — Deformazione angolare di un elemento fluido viscoso

I fluidi non-newtoniani con viscosità indipendente dal tempo si distinguono (Fig. 86) in:

q.coi'" V

— guidi pseudoplastici, in cui la viscosità diminuisce al crescere della velocità di deformazione; — guidi dilatanti, in cui la viscosità aumenta al crescere della velocità di deformazione.

5D V C ll

O

I fluidi non-newtoniani con proprietà dipendenti dal tempo sono:

Tjyprr

Plco

— guidi tizotropici nei quali la viscosità diminuisce col tempo mentre il fluido viene deformato con gradiente di velocità costante; reopectici n ei quali la v iscosità aumenta col tempo mentre il flu i d o viene deformato con gradiente di velocità costante.

—guidi

Tempo

Fig. 87 — Variazione della tensione tangenziale in fluidi non-newtoniani dipendenti dal tempo

162 Per i fluiài non-newtoniani con proprietà indipendenti dal tempo la re-

lazione fra tensione tangenziale e viscosità diventa: (1.247)

pp

conversione sono indicate nella tabella IX dell'Appendice..

f Duhi"

(~y)

dove n è un esponente minore di 1 per i fluidi pseudoplastici, maggiore di 1 per i fluidi dilatanti, mentre pii è la viscosità per gradienti di velocità Du/Oy tendenti a zero. Per i fluidi pseudop/astici sono state proposte varie equazioni empiriche

sostitutive della (1.247), e precisamente: r = A arcsin

Du/By (1.248)

Bu/By C , r .

f

Bu A-

ci y

misura del tempo di efHusso di una certa quantità di fluido attraverso un orifizio calibrato o un condotto capillare; misura del tempo di risalita di una bolla d'aria attraverso una colonna di

misura della coppia necessaria per mantenere in rotazione a velocità costante un cilindro o un disco immersi in un fluido. Negli strumenti ohe misurano il tempo di efflusso, la viscosità, in questo caso la viscosità cinematica, viene indicata secondo scale direttamente collegate al tempo di efflusso e, di conseguenza, non direttamente correlabili alla viscosità intesa come grandezza fisica. Le principali unità empiriche di viscosità sono:

Bu 'i

r = A — + Barcsinh (C —

( ay)) (Powell-Eyring)

>y

La viscosità ài un fluido viene misurata mediante opportuni strumenti denominati viscosimetri, dai quali si ricava il valore di una grandezza correlata alla viscosità del fluido. I viscosimetri più comuni sono basati su uno dei seguenti metodi:

fluido;

(Prandtl)

+ C sin(— ) . iEyringi

Bu

A ltre unità à i m i s ura, della viscosità cinematica e i r e l ativi f att ori à i

Dv

+ p — ( Williamson)

Dy Un'altra grandezza che caratterizza un fluido viscoso è, come già visto nel paragrafo 3.6, la viscosità cinematica v, definita come:

— Saybolt Univer sai (SSU), usata principalmente negli Stati Uniti; — Redisood N.1 Standard, usata in Gran Bretagna; — Engler, usata in molti paesi europei.

(1.249)

Le relazioni fra queste unità di misura empiriche e la viscosi tà cinematica, misurata in centistokes sono riportate nella tabella II del paragrafo 3.6. Fra la viscosità cinematica in cS e il tempo di efliusso in secondi Saybolt Universal esistono approssimativamente le seguenti relazioni:

V =- P

P

dove p è la densità del fluido. Come già visto nel paragrafo 3.6, nel sistema internazionale la viscosità viene misurata in kg /ms; è tuttavia consuetudine indicare la viscosità nelle unità del vecchio sistema CGS, In tale sistema la viscosità è misurata iii gr/cm s eviene indicata poise (P); poichè, tuttavia, il poise è una unità di misura, abbastanza grande, si usa frequentemente il suo sottomultiplo centipoise

(cP) 1

kg

— Per tempi di efBusso compresi fra 32 e 100 SSU:

(1.250)

195

v [cS] = 0,226t [SSU] t [SSU] -

— Per tempi di efliusso maggiori di 100 SSU: = 10 P = 1 000 cP

ms Altre unità di m i sura della viscosità e i r elativi f a t t ori d i

c onversione

sono riportate nella tabella VIII dell'Appendice. La viscosità cinematica, nel sistema internazionale si misura in m' /s; anche in questo caso si usa. normalmente l'unità nel sistema CGS, definita sto&es (S): 1St = 1 cm /s, e il suo sottomultiplo centistokes (cS). 1 m /s=

1 0 "S = 1 0 c S

(1.251)

v [cS] = 0,220t

[SSU]- t [SSU]

La viscosità è notevolmente influenzata dalla temperatura del fluido e, più moderatamente, dalla sua pressione. Nei liquidi l'aumento della, temperatura favorisce l'allentamento dei le-

gami intermolecolari, che sono la causa principale dei fenomeni viscosi, e determina quindi una àiminuzione della viscosità. Per,la maggior parte dei liquidi

165 idraulici a, base di olio minerale è abbastanza bene soddisfatta la fo rmula di Watther, già vista nel pàragrafo 3.6:

Log [Log (V+ c)] = n Log T p C

(1.252)

dove v è l a v i s cosità cinematica in centistokes, c u n a c o stante che vale mediamente 0,8, n e C due c o stanti caratteristiche del fluido. Per i gas, l'aumento della temperatura provoca un aumento del moto di

agitazione molecolare e, di conseguenza, un aumento della viscosità. Nei gas l'aumento della viscosità con la temperatura è espresso in modo soddisfacente

punto, dué frazioni di petrolio e precisamente un olio a base naftenica e un olio a base paraffinica, aventi, alla temperatura, di 98,89'C, la stessa viscosità cinematica del liquido in esame. L'olio a base naftenica,, la cui viscosità varia maggiormente con la temperatura,, avrà una viscosità vL a ll a temperatura, di

37,78'C, mentre l'olio a, base paraffinica, la cui viscosità varia relativamente poco con la temperatura,,avrà una, viscosità. Vrr alla stessa temperatura di

37,78'C (Fig. 88). L'indice di viscosità del liquido in esame è cosi definito: Indice di viscosità = I. V. =

(1.256)

VL — VU

vr. —va

x 100

dalla formula di Sutherland: (cS)

(1,253)

T

C

V/

To

I I

iao la viscosità alla temperatura assoluta Tp e C un a costante che dipende dal tipo di gas. Un'altra legge approssimata che, ad esempio, è valida per l'aria fra 0 e 100'C, è: dove, p

è l a v i s cosità alla temperatura assoluta T ,

I I I

I

50

I I PU

I,V. =0

(1,254) La viscosità dei liquidi aumenta con la pressione secondo una legge logaritmica: (1.255)

P = C(p — po) Log — Po

dove p è l a viscosità alla pressione p e p o è l a viscosità, alla pressione ambiente po. La costante C, per la maggior parte di liquidi idraulici a base

I

100

I

I I,V. = 100

I

vu

I

I

II

I

di olio minerale, vale approssimativamente C = 1 x 10 Pa ' . D i c o nseguenza,,

un incremento di pressione di 20 iviPa comporta un aumento di viscosità per

I 37, 8

Temperatura ('C)

un fattore 1,585. Fig. 88 — Definizione dell'indice di viscosità I.V. Indice di vi scosità P er indicare approssimativamente la variabilità della viscosità di un li quido con la temperatura si usa un indice di ciscosità cosi definito, Si supponga, di avere un l i q u ido che, all a t e mperatura d i 9 8 , 89'C = 210'F ) abbia una certa viscosità cinematica vp mentre alla temperatura di ( 37,78'C ( =100'F ) abbia una viscosità cinematica v„. Si considerino, a. questo

Da questa definizione segue che un olio a base naftenica ha un indice di viscosità pari a zero, mentre un olio a base paraffinica ha un indice di viscosità pari a 100. U n elevato indice di viscosità significa una piccola variazione di

viscosità con la temperatura; è possibile realizzare liquidi sintetici il cui indice di viscosità sia superiore a 100. Ad esempio, i liquidi poliglicoli posseggono indici di viscosità compresi fra 160 e.200.

- 166

167

Viscosità di d i l a t azione

5.11 - T e nsione superficiale

La viscosità, còme definita all'inizio di questo paragrafo, determina in un fluido in moto una perdita di energia meccanica in funzione della velocità di deformazione della forma di un fluido. Se un volume di fluido.si espande o contrae, mantenendo la propria forma inalterata, si ha comunque una dissipazione di energia meccanica che è rappresentata dalla uiscosità di dilatazione

(o viscosità secondaria). Questa caratteristica non ha in generale interesse, tuttavia può diventare significativa in particolari i fenomeni di propagazione

di onde di pressione.

Tra le molecole di un liquido in prossimità della, superficie si esercitano forze attrattive che generano lungo la superficie stessa uno stato di tensione. La forza per unità di l unghezza lungo la superficie si chiama tensione superficiale T . L a t e n s ione superficiale dipende dalla natura dei d ue fiuidi c h e vengono a contatto e tra i quali si forma una interfaccia. L )unita di mi sura della tensione superficiale nel sistema internazionale è il N/m ; a l tr e unità di m i sura e i fat t ori di conversione sono indicate nella

tabella X dell'Appendice. La tensione superficiale ha le dimensioni di una forza per unità di l u n-

5.10 - Conducibilità termica La conducibilità ter mica k è la proprietà fisica che mette in relazione la quantità di calore q, per unità di tempo trasmessa per unità di superficie in funzione del gradiente della temperatura T: (1,257)

q,= - k

ghezza; il prodotto TdA della tensione superficiale per un elemento di area dA rappresenta il lavoro necessario per formare un nuovo elemento di superficie di area dA t r asportando le molecole del fluido dal suo interno alla superficie.

g radT

Questa relazione può essere scritta sotto forma scalare, in coordinate cartesiane (1.258) e cilindriche(1.259):

R, Rg

(1.258)

BT q „= - k — ; B'

BT ; qe '"y = - k — By'

BT

qe. = -k- Bz

Tdsi p)ds)dsg

(1,259)

qer = - k

BT Br

i

k BT

q c s = r B8'j

qe ' z=

BT Bz T dsg

La conducibilità termica nei liquidi diminuisce all'aumentare della tem-

peratura,mentre nei gas aumenta all' aumentare della temperatura,,analogamente a quanto avviene per la viscosità. La conducibilità t ermica viene misurata in k c al /m h'C, oppure, nel sistema inglese, in Btu /ft h.'F; .tra queste unità di misura sussiste la seguente relazione: Btu kcal = 1,4885 ' ft.h'F m h'C

T dsg Tds i

pzds,dsz

Fi'g. . Su9 - -TTensione superficiale e differenza di pressione lungo una interfaccia curva

A causa della tensione superficiale è p avere superfici di i n t erfaccia fra due fiuidi curve e tra le quali si ha una differenza di pressione. Si

ossbili'

12. JACAZIO-PIOMBO - Principi generali di meccanica

168

169

consideri infatti una superficie curva i cui raggi di curvatura principali (mase R2 ( Fig. 89). T r a l e p ressioni p i , p 2 e la simo e minimo ) siano R i tensione superficiale T s i h a l a seguente relazione, ottenibile da una equazione di equilibrio delle forze sull'elemento di superficie curva,: f 1

{p'- p' = T

(1.260)

Anche in questo caso, se T 13 — T23 è maggiore di T12 non sussiste equilibrio e - il fluido 2 forma un sottile strato continuo sulla superficie solida. Se T, 3 T23

è negativo l'angolo c d i v enta maggiore di 90', come nel caso di aria(1), mercurio (2) e vetro (3).

( Z, + R,)

A causa della diversa tensione superficiale fra fluidi diversi, quando tre fluidi vengono a contatto le superfici di i n t erfaccia debbono formare un an-

Tl2

golo ben determinato affinchè siano soddisfatte le condizioni di equilibrio.

TI 3

Indicando con T1 2,T13,T23 le tensioni superficiali fra i fluidi 1 e 2, 1 e 3, 2 e

3, si deve avere (Fig. 90): (1.261)

3 Fig. 91 — Equilibrio fra tensioni superficiali in presenza di una superficie solida

T12 + T13 + T23 — 0

T12

T13

T23

T13

5.12 - Tensione di vapore A causa del moto di agitazione molecolare, lungo la superf icie di separazione fra un liquido e un gas alCune molecole si distaccano dal liquido sotto forma di vapore, mentre altre ritornano dallo stato di vapore a quello di liquido. In condizioni di equilibrio, le molecole di liquido evaporate danno luogo nella zona sovrastante il liquido ad una pressione parziale detta tensione di vapore. Quando la tensione di vapore, che aumenta all'aumentare della temperatura, diventa maggiore della pressione totale del gas sovrastante il liquido si ha ebollizione di questo.

Fig. 90 — Equilibrio fra tre superfici in tensione

Se una delle tre tensioni, ad esempio T31, è maggiore della somma delle altre due non si può avere equilibrio. E questo il caso in cui il fluido 1 sia aria, il fluido 2 olio minerale e il fluido 3 acqua.. Non potendo crearsi una situazione di equilibrio, l'olio minerale forma uno strato sopra, l'acqua.

Se una delle tre sostanze è un solido, la superficie di questo è definita e, in condizioni di equilibrio, la somma algebrica delle componenti delle tensioni superficiali lungo la superficie solida deve essere nulla (Fig. 91) :

(1.262)

T13 — T12 cos cI'+ T23

L'angolo di contatto risulta quindi:

(1.263)

COS Q' =

T13

T 23 12

5.13 — Dilatazione volumetrica Le variazioni di volume dei gas con la temperatura sono espresse dalla equazione di stato (1.228). Per i liquidi un aumento di temperatura, comporta. un aumento di volume e, di conseguenza, una diminuzione della densità. La. relazione fra densità e temperatura in un liquido è esprimibile mediante uno sviluppo in serie: (1.264)

p = pp{l — c b.T — c2'DT2 y ...)

Normalmente solo il termine in

coeffiiciente c3 prende il nome di

6T

è si g n ificativo, e il corrispondente

coscientedi dilatazione 12olumetrica.

6.1 -Forze di massa e forze di superficie Un volume di fluido può essere sottoposto all'azione di due tipi di forze, che, come già visto nel paragrafo 3.1, sono: — forze di massa — forze di superfici. Le forze di massa agiscono nell'interno del fluido, anche a distanze grandi dagli elementi che le generano, mentre le forze di superficie hanno una diretta origine molecolare e decrescono rapidamente al crescere della, distanza fra gli elementi che interagiscono.

6 .2 - P r e ssione in u n p u nt o d i u n g u i d o Si consideri un elemento infinitesimo di fluido rappresentato dal tetrae-d» della F ig ' 92 . L e f o rze di ' m assa, agenti sul t et raedro infiriitesimo sono proporzionali al volume infinitesimo dV = d z d y d z/ 6 e sono quindi t r ascura-

bili rispetto alle forze di superficie, proporzionali a d andy/2, dzdz/2, dydz/2. Le forze agenti sulle quattro superfici, se il fluido è in quiete, sono

(Fig. 92)

dF, d F„ , d E'„ d P . Indicando con n

l ' a n golo formato fra la giacitura della faccia A B C e

la, giacitura della faccia OBC si può scrivere, fra

/ e rispettive superfici d A

e

172 173

6.3 - Equilibrio di un g u i do (1.265)

dA, = dAcosa

!

Come detto nel precedente paragrafo 6.1,le forze agenti su un fluido sono forze di massa. e forze di superficie. Per u n fl u id o i n q u i ete le uniche forze di superficie sono le forze di pressione e, affinchè il f l uido continui a mantenersi in quiete, le forze di pressione agenti su un dato volume di fluido debbono essere in equilibrio con le forze di massa agenti sullo stesso volume di fluido considerato. i I

i dz I

dF

Ig

dF»

pdcdy

)dh~ /

/ /

A

~p

df',

dx

p + —ap dx d = d» aÃ

c

Fig. 92 — Volume di un elemento fluido infinitesimo nella forma di un tetraedro

Inoltre, dovendo essere in equilibrio le forze agenti lungo l'asse z, si ha pure: (1.266)

Fig. 93 — Variazione della pressione tra due facce parallele di un volume di fluido infinitesimo '

dF, = dF cos o

Da queste due relazioni si ha,, di conseguenza: dF, dA,

Si consideri un volume di fluido in quiete (Fig. 93); le forze di pressione

dF dA

a genti nella direzione z

Lo stesso ragionamento può essere esteso alle altre facce, ottenendo cosi: dF, dAz

dF„ d Ay

dF, dA >

dF dA

Ne risulta,, di conseguenza, che in un fl u ido i n q uiete la forza, per unità di superficie è uguale in t u tt e le direzioni; tale forza si chiama pressione, come definito al paragrafo 5.3.

sono:

p dzdy

e

Bp

— p+ — dz Bz

dz d y

La risultante delle forze di pressione secondo la direzione

s è quindi:

Bp dz dy dz Bz Lo stesso procedimento puo essere seguito per il calcolo della risultante delle

f orze di pressione nelle direzioni y

e z. La risultante di tutte le forze di

174

175

pressione agenti su un elemento infinitesimo di fluido dV = da dyd- è quindi:

(1.267)

ossia, indicando con p la d e nsità del fluido:

p k —~j —B— "-"-((-a.B- pi .-Bp ay a. ) ) dV

àFp„,„=

— gradp dV+ fp d V = 0

I l termine fra parentesi è l'opposto del vettore gradiente. della pressione p ,

per cui la (1.267) può essere scritta, in forma più compatta, come: (1.271) (1.268)

dFp„„ = — gradp dV

L'espressione (1.268) può, a sua volta, essere scritta in coordinate cilindriche

pf =grad p

Alla, forza per unità di massa f pu ò e ssere data una espressione particolare, come l'opposto del gradiente di un potenziale 4i d i f o rze per unità di massa,:

o sferiche, Coordinate sferiche

Coordinate cilindrichc

(1.272)

f = — grad P

La (1.272) è valida purchè la forza f pe r unità di massa, sia una forza di tipo conservativo, come avviene per la maggior parte delle forze per unità di massa agenti su di un fluido. Dalle (1.271) e (1.272) si ha allora: (1.273)

p+ pP = costante

Fig 94 - Coordinate cilindriche e sferiche Pf

~'masss

In coordinate cilindriche:

<<

V

(1.269) In coordinate sferiche:

(1.270)

r'ap 1 —A+ .

dFpress =

Indicando ora con

(ar f

ap

rsinp cl8

1ap

> P+ r-— ap

)d V

le fo r z e per unità di m assa agenti sul fluido nel

punto considerato, la condizione che esprime l'equilibrio di un fluido in quiete è: dFpress + dFmssss = 0

pp'„ = -

p n dn A

1 'ig. 96 — Equilibrio statico di un voluge V

difli

nt

176

L'equazione (1.271) che definisce l'equilibrio statico di un fluido è valida,

ossia, dp pg+ — = 0

i n ogni punto di un fluidg, per cui, per un dato volume V d i fl u i d o(Fig. 95), essa può essere integrata a tutto il volume V o t t e nendo:

dg

integrando questa, espressione si ha:

(pf d'V- grad p dV)= 0 (1.276)

p y pg' =

D'altro canto l'integrale di volume di una funzione gradiente di una variabile puo essere scritto come integrale di superficie della variabile stessa, per cui si ha:

(1.274)

Nel serbatoio della Fig. 96, se h è l ' a l tezza del liquido presente, la pressione ai fondo del serbatoio è, in base alla (1,276) :

dV - ( pndA = 0

f V pp

c o stante

po = pgh

Jw

dove n è i l v e r s ore perpendicolare in ciascun punto alla superficie A che

delimita il volume V ed è diretto nel verso uscente dalla superficie +se111pio

6.4 - Equilibrio di un fl u ido in un campo gravitazionale di forze In un campo gravitazionale di forze, indicando con z la d i r ezione verticale (Fig, 96), la forza per unità, di massa è -gk, per cui, dalla (1.271) si ha: (1.275)

La Fig. 97 indica due condotti A e B in cu i s i t r ova olio avente densità po = 880 kg/ms, m e ntre nel tubo ad U p o sto tra i due condotti si trova ;.equa, avente densità p, = 1000 kg /m . Le altezze hl, hs e h s v algono rispettivamente: hl =- 0,3 0 m, hs = 0,15 m, hs = 0,6 m; determinare la diKerenza di pressione fra i condotti A e B .

pgky grad p= 0

h, h,

Fig 97 — Condotti collegati mediante tubo a U e i nterposto liquido di misura

Fig. 96 — Fluido soggetto a un campo gravitazionale di forze

I punti H e I ~ app a r tengono allo stesso fluido(acqua) in stato di quiete e sono allo stesso livello. Pertanto, dalla (1.276) risulta che la loro pressione è la stessa.

178

179

Sempre dalla (1.276), applicata una volta al ramo di destra e una volta al ramo di sinistra si ottiene: pH = pA + POgkl

Essendo a, dl p:

e g i n d i p e ndenti da z e z, s i o t t i ene la seguente espressione

p+ p(a z+ gz) = costante

pE — PB + PO9(ks — k2) + p.gk2 Quindi, essendo pB = pa.

Le linee ad ugual pressione sono rette inclinate secondo la relazione: (pA p B ) = [PO(k3 h2 k l ) + Pak2]g = [880(0,6 — 0,15 — 0,3)+1000 x 0,15] x 9,806 =

Q~ z = costante - — z

= 2765 [Pa] = 2,765 [kPa]

6.5 - Equili brio di u n fl u i d o i n u n c ampo di fo rze gravitazionali e di inerzia Si consideri un recipiente, contenente un liquido avente densità p, che accelera in direzione orizzontale con una accelerazione a,. Con i riferimenti della Fig. 98, la (1.271)può essere scritta come: -p(a,i + gk) =gradp per cui: Dp

— = -pa oz

Dp

Pg Fig. 99— Recipiente rotante Un altro caso tipico di fluido sottoposto a forze gravitazionali e di inerzia

è quello di un fluido posto in un recipiente aperto rotante (Fig. 99). Le forze per unità di massa agenti sul fluido sono: — pd~1

— la forza di gravità: — gk pgk

— la forza, centrifuga:

r~zA

Pertanto, dalla (1.271), e tenendo conto della (1.269), si ottiene: Fig. 98 — Recipiente contenente fluido che accelera in direzione orizzontale

Dp ~ 1 Bp

Dp

p(- g k + r ~ 2 A) = — A+ - — Py — k Dr r 8 8 , Oz

180 Di conseguenza:

Bp Dr

=

T4J

7 . CIN E M A T I C A D E I F L U I D I

Op — =0 cig

e , essendo g e

w c o stanti:

p = costante + p

fu'r~

( - — g;

Le linee ad ugual pressione, e in particolare la, superficie libera del fluido, sono date da ~2rs • = costante+ 2g

La differenza di livello fra la periferia e il centro del serbatoio è quindi: u)s Rs

2g

7.1 - Velocità e portata La velocità di una particella di fiuido è, in generale, definita da un 'vettore avente tre componenti: u = ui

(in. coordinate cartesiane)

+ v j+ wk

u = rX + r8P + wk

)

(in coordinate cilindriche

)

u = r7+ r8P + r j v (in coordinate sferiche

Si definisce portata attraverso una superficie A l ' i ntegrale: (1.277)

Q= /

Jx

uA d n

dA

dove n è il versore perpendicolare alla superficie n el punto considerato. L a (1.277) definisce la portata in volume; analogamente viene definita l a, portata in massa attraverso la superficie A come:

(1.278)

m =

p u d A dn

Fig. 100 — Portata attraverso una superficie

182

183

7 .2 - A c c e l e r a z i o n e

In coordinate sferiche, l'espressione della, accelerazione è' (ponendo Vr ) r 8 = VS t rtir =

):

Vtp

La velocità di una particella di fluido è, in generale, funzione del tempo t e delle tre coordinate che ne definiscono la posizione nello spazio. Ad esempio, in un sistema di coordinate ortogonali, le tre componenti del vettore velocità u valgono: tl = u (Z> y) 2) t) v = v (z,y,z,t) w = w (z,y,z,t) Le trecomponenti del vettore accelerazione a si ottengono derivando rispetto al tempo le tre espressioni ora scritte, pertanto: -

du dt

Bu z B u d y Bu dz — + Bu — d— + - — +B t Bz d t By dt B z dt Bu Bu Bu Bu = — +u — +5 — + w Bt Bz By Bz -

(1.279)

Bu

Il primo termine a secondo membro della (1.279) è chiamato accelerazione locale e corrisponde al tasso di variazione locale della velocità dovuto alla non-stazionarietà dell'efflusso. Il termine fra parentesi della (1.279) è chiamato acceleruzione convettiva e corrisponde al tasso di variazione della velocità dovuto allo spostamento della, particella di fluido nel campo dell'efiusso. Questo termine, in generale, è diverso da zero anche per efHlussi permanenti. L'espressione della accelerazione in coordinate cilindriche è (ponendo

)•

r — V r ) T~ — Vtt

r-

. BVr

(

(

(1 280) Bw a~ = + Bt

B Vr

V sBvr

Bvp v s

+

Bv s

Bg+

2

Vs

v rv s

a

+

Bv~ Bt

( (

r

V

Br Bvtt

Br

+

Bvtp

5s

Bv„r

rs i n y B8 Vtr

Bvtr

rs i n t p B tr

+

VS

5s2

+ vrtp BBvrpt + Vpr

B vtp

+

BV t t

Bvp

v2

r

+

Vtp B vt p

Vr Vtp

Vtt

r

rtgp

+ 5 r V tt +

V tt V ( p

escussnoon permanente

a= + u — +v — +w- > Bt ( B. B y B. )

Bu

Bvtt

ae = Bt

+

escusso permanente (o stazionario) mediamente per manente escusso efflussosemiper rnanente

dt Bt Bz By Bz Il vettore accelerazione è quindi esprimibile come: Bu

(1.281)

(

Bvr

Dal punto di.vista cinematico è utile considerare quattro diversi tipi di efHusso, e precisamente:

Bv Bv Bv Bv - +u — +v — + w Bt Bz Bz By Bw Bw Bw Bw - +u — +v — +w-

Bu l '

Bt

r

7 8 - Tl p l di C fH usso

analogamente dv a = — = dt dw a. = — =

Bar+

ar = -

B vr .

Bvs )

+w B

)

L'efHusso permanente è quello per cui il campo di velocità, la pressione e la densità in ciascun punto sono indipendenti dal t empo. Le tre componenti del vettore velocità sono funzione unicamente delle tre coordinate spaziali, L'efHusso mediamente permanente è quello tipico dei moti turbolenti (paragrafo 9.1) in cui le componenti del vettore velocità, cosi come la pressione e la densità, in ciascun punto variano nel tempo, ma rimangono mediamente costanti, ossia:

u=-

pt+T

J

u dt = costante

t

Questi tipi d i m o t o f l uido vengono normalmente analizzati come se fossero permanenti. Esiste una categoria di efHussi simili a quelli mediamente permanenti, ma nei quali l a v e locità media è costante su un a b ase di t e mpo T pi ù

grande. Tipico è il caso di efflusso di un fluido in una tubazione collegata a una rriacchina (pompa o motore) volumetrica. Questi efHussi sono generalmente indicati come semipermanenti.

Gli efHussi non permanenti sono infine quelli in cui le velocità in un dato punto non si c ostanti nel tempo.

mantengono

13. JACAZIO-PIOMBO - Principi generali di meccanica.

184

L=

7 .4 - C a m p o d i v e locità n e ll 'intorno di u n p u n t o I

I n un fl uido i n m ot o un a p a r t icella di fl ui do, avente velocità u ( z , y , z ,t) i n u n d e t erminato punt o A , a causa della presenza di un campo di velocità non nullo dopo un i n t ervallo di t empo d t si troverà in un n u ovo punto A ' d i s t a nt e d s = u d t d a l p u nt o A . I n d i cando allora con u, v, w le t re componenti del vettore velocità secondo tre assi cartesiani z , y, z, l e t r e c omponenti del vettore velocità nel punto A ' valgono: Du Du Du u+ du = u+ — dz+ — dy+ — d" Dz Dy Dz

(1.282)

Dv Dv Dv V+ dv = v+ — dz+ — dy+ — dz Dz

w+ div

w+

Btv

Bc

Dy

dz +

Dw

Dy

Dz

Div dy + — dg 8$

Conviene indicare le variazioni di velocità d u , dv, div nel modo seguente:

(1.284b)

I tre termini ( , g , ( p o s sono essere interpretati come la, metà delle tre componenti di un vettore ~ d e f i nito come:

(1.285)

u =rot u

Questo vettore ~ è chiamato vorticità locale del fluido e ha un ruolo importante nella meccanica dei fluidi. Quando in un fluido in moto il vettore

rV è nullo in tutti i punti si dice che il moto è irrotazionale. Ai vari termini che costituiscono le equazioni prima scritte può essere data una utile interpretazione fisica. Si consideri, per semplicità, il caso di un moto piano; la (1.282), in base alle (1.283), (1.284), (1.285) diventa: Du 1 / ' D u D vi 1 f Dv Du 'i u+ du = u+ — dz+ - — + — d y — - — — — ) dy

D.

(1.286) dv (syz dz + sy dy + Gydz) + (( dz ( dy) dw = (s, dv + s',ydy+s.,d-) + ((dy —gdz)

Le grandezze che compaiono in questa espressione valgono, in base alla,

(1.282) :

2 (8. Dy )

'i ( -—Du 8,—) ) dz

du = (s~d@ + s~y dy + s~, dz) + (g ds — ( dy)

(1.283)

2 (Dy 8. )

Dv 1 /' D u Dv~ 1 f Dv v+ dv = v+ — dy+ - ( — + — ) d 2(8, 8. ) e+ 2(8. D,

D u Du D v D v —, —, C aso 1). Tutte le derivate parziali — , Dy' Dz' Dz' — Dy s ono uguali a zero. Ne r isulta:

d u = 0 , d v = 0 e l 'e l e mento fl uido t r a sla come un c o rpo r i g i d o

(Fig. 101a). Caso 2 ). Sono diverse da zero le due derivate parziali (Du/Dz) e ( D v/Dy),

(1.284a)

s @y = syz

mentre le altre derivate sono nulle. L'elemento fluido varia di volume mantenendo inalterata la forma (Fig. 101b); i termini (Du/Dz)dz e (Dv/Dy)dy rappresentano quindi la velocità di dilata ione.


Caso 3). Le derivate parziali (Dv/Dz) e (Du/Dy) sono diverse da zero, mentre Du Dv ; in ( Dv/Dy) sono nulle. Inoltre, -Dy = — Dz ' base alle (1.284b) e (1.285) si ha. che il moto è irrotazionale, per cui l'angolo

le derivate parziali (Du/Dz) e

Dv Dy Gy~ = Eg y

1

Dv

Dt v

8 formato dalla diagonale A C d i u n elemento fluido rispetto a un asse fisso rimane costante. L ' angolo y fo r m a t o da due segmenti(AB e AD) solidali

all'elemento fluido considerato varia nel tempo; si ha quindi una distorsione dell'elemento fluido.

187 Caso 4 ). Le derivate parziali (Ou/Dy) e

( B v/Bz) sono diverse da zero, xnentre le derivate parziali (Ou/Oz) e ( B v/Oy) sono nulle. Inoltre si ha (Bu/By) = - (Dv/Bz). In questo caso l'elemento fluido non subisce distorsione (Fig. 101d), ma, si ha una rotazione di tutto l'elemento come se fosse un corpo rigido dotato di velocità angolare Q = (Ou/Oy) = -(De/Bz). Ne risulta che per un fluido rotante come un corpo rigido, la velocità angolare è pari a metà della vorticità del fluido:

(1.287) Talvolta, nello studio della cinematica dei fluidi si considera la circuitasione lungo una curva chiusa: ( 1,288)

l' =

ds

p7 r ds

dove ~ è il versore tangente alla linea in ciascun punto e ds l'elemento infinitesimo di linea. Si può dimostrare (teorema di Ampère-Stokes) che: (1.289)

l' =

u v" d s = / > n d'

Fig. 102- Vorticitàe circuitazione

dove n è i l v e r sore normale in ogni punto alla superficie A r a c c h iusa dalla

linea considerata.

7.5 - Derivata di un i n tegrale di volume Nello studio della meccanica dei fluidi occore sovente effettuare la de-

rivata rispetto al tempo di un integrale di volume. Si consideri la funzione f(r,t), f unzione della posizione (rappresentata dal vettore r ), e del tempo t e

si i n d i chi con I

funzione f(r", t) : (1.290)

l 'i nt e g r ale esteso a un determinato volume V

d el l a

188

189

La derivata. rispetto al tempo di

f

dt

= li m

~v+6v

I è da t a , da:

controllo. Sia M l a mas s a di fluido che a un dato istante si tr o va entro il volume di controllo; indicando con p l a d ensità del fluido, si ha.:

f (r,t+ bt)dV - Jvf f(r,t )dV

M ='

6t

6t ~ 0

pdV

Tuttavia,

fdV+

fdV =

f

v

fdV f Bf

f(r",t+ 6t) dV = J

f( r",t )dV+ Jv -Bt bt dV V

Pertanto: dI — = lim dt

61~ 0

f

Bf btdV —

y Bt

bt

f

f

Bf

J6yf ( r t)dV

J6V-Bt átdV

6t

bt

Fig. 103— Conservazione dellamassa

Quando bt ~ 0 si ha pure che 6V ~ 0, per cui il terzo termine fra parentesi quadra tende a zero e si ottiene: dI = f Bf — J— B't dV+ lim 6<~0

Poichè la massa di una data pdrzione di fluido deve mantenersi costante nel tempo, si ha: dM dt

bt

Il diffe renziale di volume dV può essere espresso come: dV = t7 i7dA6t

Tuttavia, in base alle (1,290) e (1.291) si puo anche scrivere:

f

(1.292)

Bp

— dV+

JA p

v Bt

t7 ndA = 0

dove n è il versore normale all'area dA e preso come positivo nel verso uscente dalla superficie considerata, mentre u è l a velocità nel punto considerato.

lemento dA e pi7 ndA è la portata in massa uscente attraverso l'elemento

Da ciò si ottiene, in definitiva:

dA,

(1.291)

dI = f Bf — dt J J— BtdV+J f(r,t)i7

ndA

Il termine u

n d A rap p r e senta', la portáta iil volume uscente attraverso l'e-

Sovente un dato volume di controllo V p r esenta una sezione di ingresso di area Ai , i n c u i il fl uido entra ad una velocità media u i , e u n a, sezione di

uscita ài area Az in cui il fluido esce ad una velocità media uz (Fig. 104). Indicando inoltre con

m la ma s sa contenuta nel volume di c ontrollo si ha,

dalla (1.292) : 7 .6 - E q u a z i on e d i c o n t i n u i t à

(1.293) Si consideri un determinato volume V nello spazio, che verrà definito volume di controllo, delimitato da una superficie A , def i n i t a su perficie di

mi

rn/

BBm Bt

dove mi e mz .sono le portate in massa entranti e uscenti dalle sezioni 1 e 2.

190

191

La {1.292)puo anche essere espressa sotto forma di un solo integrale di volume ricordando che, in base al teorema della divergenza: u ndA =

f Ap

/

Bu B v + Bz B y

(1.296)

div(pu)dV

Jv

In coordinate cartesianela (1.295) è:

+

Bw B.

In coordinate cilindriche si ottiene:

Pertanto:

l Bp

[ — + div (pu) dV = 0 f, [Bt )

l B(ev„) Br

(1.297)

A,

In coordinate sferiche si ottiene:

t

~

l

B v s Bw — + —+ r1 B8 Bz

l B(r v,) '+

(1.298)

p>

Br

1 B (sin pv<) r ema

Bp

1 Bvs + r sin