IV Cinética del cuerpo rí0000000000000000000000000000000000000000000000gido

MECÁNICA PARA INGENIERÍA Y SUS APLICACIONES – DINÁMICA

Capítulo IV

I V CI NÉTI CA DE UN CUERPO RÍGI DO EN M OVI M I ENTO PLAN O

4.1.- INTROD INTRODUCCIÓN. UCCIÓN. Todo cuerpo rígido posee un centro de masas, el cual describe un movimiento de traslación debido a la acción de las fuerzas externas que actúan sobre él.

Se aplica las Leyes de Euler; la primera Ley gobierna el movimiento del centro de masa, que representa al movimiento de traslación del cuerpo y la segunda Ley gobierna el movimiento rotacional del cuerpo rígido, en términos de la cantidad del movimiento angular (momento cinético, ímpetu angular o momentum angular), está cantidad incluye los momentos y productos de inercia de masa del cuerpo, y su movimiento angular. Entendiendo al momento de inercia de masa, como una medida de la resistencia de un cuerpo a acelerarse angularmente angularmente respecto respecto a un eje en , y la masa, masa, como una medida de la resistencia del cuerpo a acelerarse linealmente en el marco de referencia .

4.2.- CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO.Sea: A

Punto conveniente o base del cuerpo

P

Un punto cualquiera del cuerpo

G

Centro de masa.

O

Punto fijo en

r A

Vector posición de A en

.

r P

Vector posición de P en

.

A

dm

.

.

.

Figura F4-2

Vector posición de P respecto a A. Masa diferencial del punto P.

Por definición el momento cinético de la masa diferencial, con respecto a A es: d H A

UNASAM

A

V dm

Autor: VÍCTOR MANUEL MENACHO LÓPEZ

400


Capítulo IV

Para el cuerpo, el momento cinético con respecto a A es: H A

[4.2.0.0.0.1]

V dm

A

La velocidad de la masa diferencial, es: V

V A

A

En 4.2.0.0.0.1: H A

VA

A

dm

A

VA dm

A

A

dm

A

Como, V A es único: H A

A

dm

VA

A

A

[4.2.0.0.0.2]

dm

4.2.1.- Considerando tres casos, (para 4.2.0.0.0.2).4.2.1.1.- Si, A es un punto fijo o extensión rígida de para designar dicho punto, se tiene: H0

0

0

.- Entonces V A

usando "O" "O" 0 , y usando

[4.2.1.1.0.1]

dm

4.2.1.2.- Si, A es el centro de masa de

.- Entonces

A

dm

0 , y usando "G" para

designar dicho punto, se tiene: HG

G

G

[4.2.1.2.0.1]

dm

4.2.1.3.- Si, A es un punto cualquiera diferente del punto fijo o centro de masa ("O" o "G"). Si, se tiene de la figura F4-2: A

AG

y

G

rG

r A

AG

En 4.2.0.0.0.2: H A H A

UNASAM

AG

AG

G

VAdm

VA m 0

AG

AG

G

AG

AG

m 0

G

dm

0 H G


401


Capítulo IV

Para el cuerpo, el momento cinético con respecto a A es: H A

[4.2.0.0.0.1]

V dm

A

La velocidad de la masa diferencial, es: V

V A

A

En 4.2.0.0.0.1: H A

VA

A

dm

A

VA dm

A

A

dm

A

Como, V A es único: H A

A

dm

VA

A

A

[4.2.0.0.0.2]

dm

4.2.1.- Considerando tres casos, (para 4.2.0.0.0.2).4.2.1.1.- Si, A es un punto fijo o extensión rígida de para designar dicho punto, se tiene: H0

0

0

.- Entonces V A

usando "O" "O" 0 , y usando

[4.2.1.1.0.1]

dm

4.2.1.2.- Si, A es el centro de masa de

.- Entonces

A

dm

0 , y usando "G" para

designar dicho punto, se tiene: HG

G

G

[4.2.1.2.0.1]

dm

4.2.1.3.- Si, A es un punto cualquiera diferente del punto fijo o centro de masa ("O" o "G"). Si, se tiene de la figura F4-2: A

AG

y

G

rG

r A

AG

En 4.2.0.0.0.2: H A H A

UNASAM

AG

AG

G

VAdm

VA m 0

AG

AG

G

AG

AG

m 0

G

dm

0 H G


401


H A

HG

m

AG

VA

m

AG

Capítulo IV

[4.2.1.3.0.1]

AG

Podemos encontrar lo deducido también, de la cinética de un sistema de partículas.- Sabiendo de la ecuación 3.5.1.5.0.2: H A

HG

m

AG

H A

HG

m

AG

VG

y

VG

V A

V A

AG

[4.2.1.3.0.2]

AG

4.2.2.- Cuerpo Rígido en movimiento plano: Sea: A

Origen del sistema de coordenadas cartesianas (xyz).

XY

Plano de referencia del movimiento (paralelo con xy).

Velocidad de "P" de masa diferencial "dm", que es la misma la de su punto acompañante Q en el plano de referencia. V P

V P

VQ

VA

rAQ

Fi ur uraa F4-2 F4-2.2 .2 A

xi

y j

zk y

AQ

xi

y j

En 4.2.0.0.0.2: y

H A

A

dm

VA

x i

y j

zk

k

x i

i

x

j

y j

zk

dm

I II

UNASAM


402


Capítulo IV

Dónde: 0

I

AG

I

m

i

j

k

x

y

z

y II

i

VA dm

G

dm

V A

A I yz

dm

xz i

yz j

x2

y 2 k dm

0

x xz dm

A I xz i

II

AG

V A

AG

II

VAdm

G

j

yz dm

A I zz

j

x2

k

y 2 dm

k

Dónde: xz dm

A I xz (Producto de inercia de masa de

yz dm

A I yz (Producto de inercia de masa de

x 2

, respecto a los ejes x e z a través de "A") , respecto a los ejes y e z a través de "A")

A I zz (Momento de inercia de la masa de , respecto al eje z a través de "A")

y 2 dm

Por lo tanto: H A

m VA

AG

A I xz

i

I yzA

j

Izz A

[4.2.2.0.0.1]

k

4.2.3.- Puntos convenientes, para el estudio del movimiento en el plano.- En 4.2.2.0.0.1 a).- Si, A es un Punto fijo o extensión rígida de designar dicho punto, se tiene: H0

0

I xz

i

0

I yz

j

0

I zz

G I xz i

G I yz

j

G I zz

AG

0 , usando "G" para designar dicho punto

[4.2.3.0.0.2]

k

c).- Si, A es el centro instantáneo de velocidad nula.- Entonces V A designar dicho punto se tiene: UNASAM

0 , usando "O" para

[4.2.3.0.0.1]

k

b).- Si, A es el centro de masa de .- Entonces se tiene: HG

.- Entonces V A

0 , usando "Ci" para


403

MECÁNICA PARA INGENIERÍA Y SUS APLICACIONES – DINÁMICA C i I xz

H C i

C i C i I yz j I zz

i

Capítulo IV

[4.2.3.0.0.3]

k

d).- Si, A es un punto cualquiera y están con el centro de masa G en un mismo plano, y el cuerpo es simétrico con el plano de movimiento de G: H A

m V G d

Dónde: d

brazo de palanca de V G

Figura F4-2.3 4.3.- SEGUNDA LEY DE EULER, PARA UN CUERPO RÍGIDO EN MOVIMIENTO PLANO. a).- De las ecuaciones 3.5.2.2.0.2 y 3.5.1.5.0.2 (cinética de un sistema de partículas) M A

HA

VA

m V G

y

H A

HG

AG

mV G

Derivando H A respecto al tiempo: H A

HG

AG

mVG

m aG

AG

Si: V G



V A H A

 AG

AG

HG VA mVG

V G

AG

V A

[4.3.0.0.0.1]

m aG

Remplazando 4.3.0.0.0.1 en M A , se tiene: M A

HG VA M A

HG

mVG

AG

AG

m aG

m aG VA mV G

[4.3.0.0.0.2]

b) Tomando el momento asociado al centro de masa.- Sabemos de la ecuación 3.5.2.2.0.4 (cinética de un sistema de partículas): M G

UNASAM

 H G


404


Capítulo IV

De 4.2.3.0.0.2: d

M G

dt

d

H G

dt

G I xz

[4.3.0.0.0.3]

G G I yz j I zz k

i

Analizando 4.3.0.0.0.3:

i).- Si, x e y con origen en "G", lo fijamos al marco inercial entonces i y j (así como k ) G serán constantes con relación a ; pero I xzG y I yz serán, en general dependientes del tiempo. ii).- Si, x e y con origen en "G", lo fijamos en el cuerpo rígido, de manera que el momento y los productos de inercia no cambian en el tiempo, sin embargo i y j dependerán del tiempo en relación al marco inercial ( k constante) y sabiendo de la cinemática. di dt

i

d j

j y

j

dt

i

"Escogemos está, segunda opción por simplificar el estudio del movimiento" y permitirnos la

utilización directa de la tablas de los momentos y productos de inercia. Efectuando la derivación respecto al tiempo en

, de la ecuación 4.3.0.0.0.3, tendremos:

j

i



M G

G i I xz

G M G I xz

G I xz

2

G I yz



i

G  j I yz

i

G I yz

j

G I yz

2

G I xz

j

G  k I zz

G I zz

[4.3.0.0.0.4]

k

También: M G x

I xzG

G I yz

2

[4.3.0.0.0.5]

M G y

I yzG

G I xz

2

[4.3.0.0.0.6]

M G z

I zzG

[4.3.0.0.0.7]

c).- Luego en la ecuación 4.3.0.0.0.2, se tiene: M A

G

I xz

G

I yz

2

i

G

I yz

G

I xz

2

j

G

I zz

k

AG

m aG

[4.3.0.0.0.8]

4.3.1.- Casos que se presentan: 4.3.1.1.- Momentos con respecto a G de cuerpos simétricos con el plano de movimiento de G: UNASAM


405

MECÁNICA PARA INGENIERÍA Y SUS APLICACIONES – DINÁMICA G

0 , I xz

AG

G I yz

0

M G x

M G y

Capítulo IV

0

De 4.3.0.0.0.7: M G z

I G 

IG

[4.3.1.1.0.1]

4.3.1.2.- Para cuerpos simétricos, con el plano de movimiento de "G" (XY): a).- Para un cuerpo: M A

Si,

AG

IG

k

AG

m aG

y aG están en un mismo plano, el producto vectorial de ellos será paralelo a k , luego:

M A

I G

m aG d (Donde: "d" es brazo de palanca de aG )

[4.3.1.2.0.1]

Figura F4-3.1.2a b).- Para un sistema de cuerpos simétricos al plano de movimiento de sus centros de masa e interconectados:

Figura F4-3.1.2b UNASAM


406


F i

mi aG i

M A

I G i

Capítulo IV

[4.3.1.2.0.2] [4.3.1.2.0.3]

mi aG i d i

i

Nota.- El radio de giro K G del cuerpo alrededor del eje perpendicular a G, se define como: I G

m K G

I G

K G

m

Aun cuando la unidad del radio de giro es la longitud, no es una distancia que se puede medir físicamente sino que su valor sólo es una propiedad matemática, que depende de la distribución de la masa de los cuerpos, que sirve para "compara las resistencias rotativas de cuerpos que tienen la misma masa" .

4.3.1.3.- Usando las propiedades inerciales, para un punto arbitrario "A".Sabemos: De 4.2.2.0.0.1 y de 3.5.1.5.0.2 (cinética de un sistema de partículas): H A H A

AG

A I xz i

x mV A

HG

AG

A I yz

A I zz

j

[4.3.1.3.0.1]

k

[4.3.1.3.0.2]

m V G

Igualando 4.3.1.3.0.2 y 4.3.1.3.0.1 y luego derivándoles con respecto al tiempo, se obtiene de 4.3.0.0.0.2: M A

H G

AG

m aG

m VG

AG

m VA

AG

AG

d

m aA

dt

A

I xz

i

A

I yz

j

A

I zz

k

AG

M A

AG

M A

I xz

A

m V A VG A

I yz

2

i

AG

A

I yz

d

maA A

I xz

dt 2

j

A

i

A

k

I xz

I zz

A

I yz

AG

j

A

I zz k

m aA

[4.3.1.3.0.3]

Los ejes x e y, tienen como origen a A y están ligados al cuerpo rígido.

4.4.- ESTUDIO DEL MOVIMIENTO EN EL PLANO DEL CUERPO RÍGIDO. 4.4.1.- Movimiento en traslación: 0 y

a

 i X

Y j (de toda las partículas)

F X

 m X

[4.4.1.0.0.1]

FY

 m Y

[4.4.1.0.0.2]

UNASAM


407


Capítulo IV

0 y

M G M A

[4.4.1.0.0.3] [4.4.1.0.0.4]

ma

AG

Ejemplos: E4-1.- Un panel delgado de 60 lb se coloca en un camión con el extremo A descansando

sobre

una

superficie

horizontal rugosa y el extremo B soportado por una superficie vertical lisa. Si se sabe que la desaceleración del camión es de 12 pies/s2 y el panel no P4-1

tiene movimiento respecto al camión, determine: a).- Las reacciones en los extremos A y B. b).- El coeficiente de fricción mínimo requerido en el extremo A.

Solución El panel delgado tiene un movimiento de traslación. 1).- D.C.L. de AB:

2).- Relaciones cinéticas: M A

+ ↺ M A

P4-1a

AG

M A

60 32.2

ma 0 NB * 5 sen 60

*12*2.5 sen 600

60 * 2.5 cos 600 (1) 48.4114 lb-pie (2)

(1) = (2): N B

28.501 lb

F X

ma

NB

f

60 32.2

*12

f 6.1404 lb

Luego: R A

2

NA

UNASAM

2

f

602

6.14042

60.3135 lb

84.20


408


Capítulo IV

3).- Cálculo de coeficiente de fricción requerida: f

6.1404

N A

60

0.1023

E4-2.- El tubo en arco tiene masa de 80 kg y descansa sobre una superficie de la plataforma para la cual el coeficiente de f ricción estática es μs =0.3. Determine la máxima aceleración angular α posible de la plataforma, partiendo del reposo cuando θ

P4-2

= 450, sin que el tubo resbale sobre la plataforma.

Solución 1).- D.C.L. y diagrama cinético del tubo en arco:

P4-2a

2).- Relaciones cinemáticas; el tubo en arco se mueve en traslación curvilínea, por lo que, los puntos A, B y G, se mueven en trayectorias circulares congruentes. at

r

an

2

*1

(m/s2)

r 0 *1 0

3).- Relaciones cinéticas: F X

maG X

0.3 N A

FY

maG Y

NA

N B

0.3 N B

80* * sen 450

(1)

80*9.81 80* *cos 450

(2)

mat

M A

mi aG i di

N B *1 80*9.81*0.5

80* cos 450 * 0.2 mat

(3)

80* sen 450 *0.5

Resolviendo (1), (2) y (3):

UNASAM


409

MECÁNICA PARA INGENIERÍA Y SUS APLICACIONES – DINÁMICA 5.95 rad/s2 y N A

628 N,

N B

Capítulo IV

494 N

4.4.2.- Movimiento alrededor de un eje fijo en un marco inercial (punto base "O" en el eje): F X

 m X G

[4.4.2.0.0.1]

FY

 m Y G

[4.4.2.0.0.2]

De 4.3.1.3.0.3: 0 I xz

M0

0 I yz

2

i

0 I yz

0 I xz

2

j

0 I zz k

[4.4.2.0.0.3]

Para cuerpos simétricos, con el plano de movimiento de "G": M eje k

I eje

k

Maxial

[4.4.2.0.0.4]

I eje

4.4.3.- Movimiento General en el Plano: F X

 m X G

[4.4.3.0.0.1]

FY

 m Y G

[4.4.3.0.0.2]

Para los momentos, se utiliza cualquiera de las ecuaciones deducidas Si, el cuerpo es simétrico, con respecto al plano de movimiento del centro de masa "G" y/o la resultante de las cargas externas tiene su línea de acción en el plano de movimiento del centro de masa "G", usamos: M G Z

[4.4.3.0.0.3]

I G

Ejemplos: E4-3.- El engranaje B tiene una masa de 1.8 kg y un radio de giro centroidal de 32 mm. La barra uniforme ACD tiene una masa de 2.5 kg y el engranaje exterior está inmóvil. Sabiendo que a la barra se le aplica un par antihorario M de momento 1.25 Nm estando el sistema en reposo, determinar la aceleración angular de la barra y la aceleración del punto D.

Solución 1).- D.C.L.(s): UNASAM

P4-3


410


Capítulo IV

P4-3a

2).- Relaciones cinemáticas: 0.06

a D

y

ACD

0.04

aD

B

(El sistema parte del reposo)

Luego: 0.06

0.04

ACD

B

1.5

B

ACD

3).- Relaciones cinéticas: En (a): MC

IC

ACD

M D

ID

B

M C i

IC i

M

0.06 DX

I C

ACD

(1)

En (b): 0.04 f

I D

0.04 DX

B

B

IC i

(2)

B

DX

I C i

B

0.04

(3)

(3) en (1): M

0.06*

I C i

B

0.04

I C

ACD

Remplazando valores y operando:

1.25 0.06*

ACD

a D

1.8*0.0322 1.8*0.042 *1.5 0.04

ACD

1 2

*2.5*0.122 *

ACD

91.7 rad/s2 0.04*1.5*91.7

UNASAM

5.5 m/s2


411


Capítulo IV

4.4.4.- Casos especiales: a).- Disco con movimiento de rodadura o con deslizamiento.- Si no se sabe con certeza si el disco está deslizando o no; la condición para no deslizamiento (rodadura) deberá suponerse y comprobarse primero. Cuando la fuerza de fricción tiene una magnitud 0 f no S N existe deslizamiento y la suposición fue correcta. Por otra parte si f deslizamiento. La solución debe iniciarse de nuevo con f no están relacionados.

k

N indica que existe

S

N ahora conocido, pero aG y

b).- Rotación de cuerpos desbalanceados o inequilibrados.- Hay dos causas, que desequilibran a un cuerpo en rotación: i).- La primera, es que el centro de masa se localiza a una distancia, fuera del eje de rotación. Al girar el cuerpo, aparecen fuerzas en los apoyos (cojinetes), igual a m aG , estás fuerzas cambian constantemente en dirección (respecto al marco inercial), si es, que no en magnitud. A A y/o I yz , ii).- La segunda causa del desbalanceo es la presencia de los productos de inercia I xz en donde "z" es el eje de rotación y "A" un punto sobre ese eje.

Para balancear, podemos añadir o quitar material, para forzar que los productos de inercia sean nulos; cuando se hace esto, además se asegura que el centro de masa "G" se encuentre sobre el eje, luego se dice que el cuerpo está dinámicamente balanceado y por su puesto estáticamente también, que demostraremos como sigue. Sea: Cuerpo montado sobre cojinetes de bolas en D y E. M

Par aplicado, al eje de rotación (par impulsor).

xG , y G , a

x,y,z

Coordenadas de "G".

Coordenada cartesiana fijo en

Figura F4-4.4a *).- D.C.L. (omitiendo los efectos de la gravitación en el análisis): UNASAM


412


Capítulo IV

Figura F4-4.4b **).- Relaciones Cinemáticas: aG

k

aG

xG i

yG

2

yG j 2

xG

i

xG i

xG

yG j

yG

2

j

***).- Relaciones Cinéticas (no consideramos el peso): F

maG

D x

E x

m yG

D y

Ey

m xG

D z

E z

0 I D xz

M D

2

xG 2

yG

D I yz

a b E y

I D xz

a b E x

I D yz

2

D I yz

i

D I yz

D I xz

D I xz

2

j

D I zz

k

2

2

D I zz

M

Observamos, si se conocen: , las propiedades geométricas y de inercia del cuerpo, se podrá obtener las reacciones D x , Dy , E x , y E y pero, para balancear al cuerpo estás fuerzas dinámicas deben desaparecer ; de tal manera que: xG*

yG*

0

*

D I yz

*

0

D I xz

Esto se consigue aumentando (contrapeso) o quitando masa al cuerpo; si aumentamos y conocemos del cuerpo desbalanceado m, xG , yG , I xzP e I xzP , ("P" punto cualquiera localizado en el eje de rotación); determinaremos las coordenadas ( x A , y A ) y ( x B , yB ) de las masas m A y UNASAM


413


Capítulo IV

m B (pequeños para tratarlos como partículas),en dos planos correctivos A (en z

z A ) y B (en

z B ) para que, el cuerpo quede balanceado. De la siguiente manera:

z

xG*

0

mA x A

mB x B

m xG

[1]

yG*

0

mA y A

mB y B

m yG

[2]

P * I xz

0

m A x A z

mB x B z

P I xz

[3]

*

0

m A y A z

mB y B z

P I yz

[4]

P I yz

Si, conocemos: x A2

y A2

R A2

x B2

y

y B2

RB2

[5 y 6]

Balanceamos al cuerpo con estas seis ecuaciones.

4.5.- MÉTODOS ESPECIALES PARA EL MOVIMIENTO PLANO DEL CUERPO RÍGIDO.- TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA, E IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO. 4.5.1.- Principio de Trabajo y Energía cinética.4.5.1.1.- Energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento plano: Sea: Cuerpo rígido en movimiento plano. Q Punto compañero de "dm" en el plano del movimiento de "G". x, y, z Coordenadas cartesianas fijos en , con origen en "G". V

Velocidad de la masa diferencial

"dm".

Figura F4-4.5.1

Sabemos, que: n

E K i 1

E K

1 2

1 2

miV i 2

1 2

V V dm

V 2 dm

[4.5.1.1.0.1]

Si: UNASAM


414


V

VG

V V

k

xi

y j 2

VG VG

zk

x2

y2

VG

2 VG

yi x j

Capítulo IV

x j yi

Remplazando en 4.5.1.1.0.1 y operando:

E K

E K

1 2 1 2

0  

2

VG VG dm

1

mVG2

2

IG

x2

2 2

EK V

y 2 dm

VG j

xdm

0  

VG i

ydm

[4.5.1.1.0.2]

E K

Nota.- Se tiene dos partes identificables (no componentes), una se refiere al movimiento del centro de masa y la otra al movimiento rotacional del cuerpo relativo a G 4.5.1.2.- Energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento plano, que implica usar el centro instantáneo de velocidad nula.-

En 4.5.1.1.0.2:

Figura F4-5.1.2

I C i

E K

1 2

2

m d

1 I G 2

2

1 2

 I G md 2

2

[4.5.1.2.0.1]

Del teorema de los ejes paralelos (Steiner), tenemos en 4.5.1.2.0.1: E K

1 2

I C i

2

[4.5.1.2.0.2]

También, si: V

r C iQ

La ecuación 4.5.1.1.0.1, se puede escribir: E K

1 2

V

rC iQ dm

Aplicando la propiedad para el triple producto escalar, A B C al integrando, obtenemos, V

UNASAM

rC iQ dm

B C

A ,

rC iQ V dm , así que la energía cinética es:


415

MECÁNICA PARA INGENIERÍA Y SUS APLICACIONES – DINÁMICA 1

E K

1

rC iQ V dm

2

Capítulo IV

H C i

2

Para cuerpos simétricos al plano de movimiento del G: E K

1 2

1

2

C i I zz

2

I C i

2

[4.5.1.1.0.3]

4.5.1.3.- Deducción del Principio de Trabajo y Energía Cinética: Trabajo y Potencia en Sistema de Fuerzas y Pares. Derivando 4.5.1.1.0.2, respecto al tiempo: dE K

d 1

dt

dt 2

dE K dt

mVG .VG

1 2

IG

1

m aG .VG VG . a G 2 

k.

1 2

k

IG

k. k k. k  

2 aG .V G

dE K dt

maG .V G 

F

2

I G k . k 

dE K dt

k.

k

F .V G

M G . k

[4.5.1.3.0.1]

M G k

Nota._ El cambio de la energía cinética en el tiempo, da a lugar a la aparición de la suma de la tasa de trabajo o Potencia (P) debido a las fuerzas y pares. 4.5.1.3.1.- Para un Cuerpo sometido a un sistema de Fuerzas y Pares (Momentos).-

Figura F4-5.1.3.1 F

F1

M G

ρ

F3 .............. F n

F2 G1

F1

ρ

G2

F2

........

ρ

Gn

Fn

C1

C2

..........C n

Sustituyendo en 4.5.1.3.0.1: UNASAM


416


F1

dE K dt

........

F 2

F n

dE K

F1

dt

ρ

VG

ρ

F2

F1

G1

Fn VG

G2

Fn

Gn

k

ρ

F1

ρ G1

............

F 2

C1

Capítulo IV

k

... Cn

C2

F2

ρ G2

C1

C2

k

Aplicando la propiedad del triple producto escalar , en los pares del sistema de fuerzas, se tiene: dE K

F1

dt

...... VG

F2

k

ρ

G1

F1

k

ρ

G2

F2

.......

C1

C2

......

k

Como: V1

VG

k

ρ G1

VG

V1

k

ρ G1

V2

VG

k

ρ

VG

V2

k

ρ

G2

G2

Por lo que, desaparecerán las potencias de los pares producidos por el sistema de fuerzas:

k

F1

ρ G1

k

F1 ...............

ρ G1

k

ρ Gn

Fn

k

ρ Gn

Fn

0

Luego: dE K

F1 .V1

dt

F2 .V2 ... C1

C2 ...

[4.5.1.3.1.1]

k

Nota._ 4.5.1.3.1.1 nos indica, que los momentos producidos por el sistema de fuerzas, no producen potencia (tasa de trabajo). De 4.5.1.3.0.1, se obtiene el trabajo sobre el cuerpo: dE K

P

dt

 E K

[4.5.1.3.1.2]

Separando variables e integrando, 4.5.1.3.1.2: t 2 t 1

W1

P dt

2

W1

2 2

E K

1

1 2

dE K

2 G

mV

EK 2

1 2

E K 1 2

IG

2

[4.5.1.3.1.3] 1

De 4.5.1.3.0.1:

UNASAM


417


W1

W1

t 2

2

t 1

1 2

t 2

F .VG dt

2

MG .

t 1

1

m VG2

2

Capítulo IV

k dt

I G 2

[4.5.1.3.1.4]

4.5.1.3.2.- Para dos cuerpos rígidos y , que forman un sistema y suponiendo, que los cuerpos están conectados por un pasador (o articulación) con fricción despreciable: Sea: R

Fuerza ejercida por

sobre .

V

Velocidad común del punto de

unión. Potencia de las fuerzas (externas), que actúan en . P 1

Potencia de las fuerzas (externas), que actúan en . P 2

E K 1

Energía cinética de

.

E K 2

Energía cinética de

.

Figura F4-5.1.3.2a

D.C.L.(s):

Figura F4-5.1.3.2c

Figura F4-5.1.3.2b La ecuación 4.5.1.3.1.1 en

y

dE K 1

dE K 2

dt

P 1

UNASAM

R V

y

:

dt

P 2 R V


418


Capítulo IV

Sumando ambas expresiones: d dt

E K1

EK2

P1

P2

dE K

P t

[4.5.1.3.2.1]

dt

Dónde: P t

Potencia de las fuerzas externas ejercidas en el sistema.

E K

Energía cinética del sistema.

Nota.- Si hay fricción en el punto de unión, tendríamos momentos o pares interactivos M y M (desapareciendo si la fricción fuese demasiado grande, en donde ), y la potencia de estos es : M ; que en general no es nulo (es negativo), y trae como consecuencia la disipación de energía por fricción.

4.5.1.4.- Trabajo efectuado por diversos tipos de fuerzas y pares. 4.5.1.4.1.- Si, F 1 es constante: W1

2 2

1

F1 V1dt

F1

2 1

[4.5.1.4.1.1]

V1dt

4.5.1.4.2.- Si, F 1 actúa sobre el mismo punto (del cuerpo W1

2 2

1

2

F1 V1dt

1

), en su movimiento: [4.5.1.4.2.1]

F1 dr1

4.5.1.4.3.- Si, F 1 es debido a la gravedad (Z es positivo hacia abajo): W1 W1

2 2

1

m g k drG 2

2

m g dZG 1

mgk

m g ZG 2

2

drG

1

ZG1

y drG

dX Gi

dYG j

dZ G k

[4.5.1.4.3.1]

mgh

4.5.1.4.4.- Si, F 1 es la fuerza normal ejercida en el punto de contacto sobre un cuerpo rígido, que mantiene contacto con una superficie fija en , esté el cuerpo rodando o resbalando:

Figura F4-5.1.4.4 UNASAM


419


Si , F1 V p

Capítulo IV

[4.5.1.4.4.1]

F1 V p dt 0

1

4.5.1.4.5.- Si, F 1 es la fuerza de fricción ejercida en el punto de contacto, cuando un cuerpo rueda (sin deslizamiento) sobre una superficie fija en :

Figura F-5.1.4.5

Si: V p

0

W 1

0  F 1 V p

2 2

1

[4.5.1.4.5.1]

0

4.5.1.4.6.- Si, F 1 es la fuerza de un resorte lineal conectado a los mismos dos puntos P y Q de los cuerpos y , durante un intervalo de sus movimientos: Sea: K

Módulo del resorte.

i

Longitud sin alargamiento.

0 Alargamiento ( representa acortamiento).

Vector unitario a lo largo del resorte, dirigido hacia el cuerpo . u

Figura F4-5.1.4.6 El trabajo del resorte S sobre el cuerpo t 2

W S en

t 1

F V P dt

t 2

es: ( )

K u V P dt

t 1

Si: r P

r Q

i

u

Derivándole, con respecto al tiempo: V P

V Q

u

i

u y sabiendo que: u

u

Sustituyendo en ( ): WS en

t 2

K u VQ dt   t 1

K

t 2 t 1

 dt

K

t 2 t 1

0



i

u u dt

W S en

UNASAM


420


W S en

W S en

K

2

Capítulo IV

d

1

Luego: W S enel sis tema

W S en

K

W S en

2 1

2

2 2

[4.5.1.4.6.1]

4.5.1.4.7.- Fuerzas de un cable inextensible, unidos a dos puntos Q y P de los cuerpos y , durante un intervalo de su movimiento.- El cable en mención, puede pasar sobre una o más poleas ligeras sin fricción, colocados entre los cuerpos, pero deben estar tensos en todo momento. De hecho el trabajo es igual a cero, lo que demostraremos.

Figura F4-5.1.4.7a t 2

WCable en

Figura F4-5.1.4.7b

T n VQ dt

t 1

y

t 2

WCable en

Poniendo VQ y V P en términos de sus componentes // y VQ

VQ / /

VQ

y

VP

VP / /

T u V P dt

t 1

VP

al cable:

Notando, que las componentes perpendiculares a las velocidades, tienen productos escalares nulos con n y u respectivamente; obteniendo los trabajos, por lo tanto, como sigue: t 2

WCable en

t 1

T n VQ // dt

t 2

WCable en

t 1

T u VP / / dt

2 1

d  1

Tn

2 1

dt

Tu

n dt

d  2

u dt

dt

2 1

T d 1

2 1

T d 2

Tomando la diferencial del cable inextensible: d 1

2

0

WCable en el sistema

d 1 WCable en

d  2 WCable en

2

T d 1

1

2

T d 1 0

1

[4.5.1.4.7.1]

4.5.1.4.8.- Para un par M en 4.5.1.3.0.1: UNASAM


421


W1

t 2

2

t 1

M

2

k dt

1

Capítulo IV

[4.5.1.4.8.1]

M Z d

Si, el momento en Z es constante, el trabajo del par es: W1

2

M Z

2

[4.5.1.4.8.2]

1

Nota 1.- Si el trabajo es positivo, nos indica que cuerpo gira en la dirección del momento. Nota 2.- Para fuerzas conservativas, es válido todo lo deducido para un sistema de partículas. Ejemplos: E4-4.- El movimiento de la barra ligera y uniforme AB de 2.4 kg se guía en A y C mediante collarines de masa despreciable. El sistema se suelta del reposo en la posición θ = 30º. Si la magnitud P aplicada al collarín A es de 10 N, determine la velocidad angular de la barra AB cuando θ

P4-4

= 45º.

Solución Como el movimiento está en función de su posición, utilizaremos el principio de trabajo y energía cinética. 1).- Diagrama de posiciones: P4-4a

2).- Relaciones cinemáticas.- Cálculo de la velocidad del centro de masa de AB en la posición 2, por el método de los centros instantáneos: AC

V A

VG

b sen AC i

VA i

y AC i

AC

b

sen

sen2

b sen2

k

rAG

P4-4b

UNASAM


422


b

VG

sen2

i

0.225

VG

2

0.0566

2

2

2 2

0.0449

2

i

*0.3

i

0.5

V G2

2

k

2

j

2

2

i

Capítulo IV

2

0.45 0.218

j

i

0.212

j

2

0.102

3).- Por el principio de trabajo y energía cinética: 0

W1

2

E K 2

E K 1

W1

2

P * X A

W1

2

12 * 0.225 cot 30 0

W 1

2

Si: Wg 1

P*

2

b

b

tg 30

cot 45 0

0

w 0.3 sen 450

0

tg 45

2.4 * 9.81 0.3 sen 45 0

0.3 sen 300

0.3 sen30 0

0.184 Joule

E K 2

1 2

1

mVG2

2 2

E K 2 0.1584

I G

2

1 2

* 2.4 *0.102

2

1

*

1

2 12

* 2.4 *0.62

2

Joule

Luego: 0.184 1584

2

1.08

↺

rad/s

E4-5.- Una esfera de masa m y radio R descansa al borde de una saliente horizontal. Si comienza a rodar con velocidad angular nula desde la posición mostrada y suponiendo que la fricción es suficientemente grande para evitar el deslizamiento, determinar la velocidad y aceleración angulares cuando la esfera abandona el borde del saliente.

P4-5

Solución Como la única fuerza que produce trabajo es el peso, la energía mecánica se conserva, la que nos permitirá encontrar la velocidad angular, para la aceleración utilizaremos las leyes de Euler.

UNASAM


423


Capítulo IV

1).- Por conservación de le energía mecánica, para un instante cualquiera donde no hay resbalamiento, en el que el movimiento genérico de la esfera esta dado por el giro respecto al punto de apoyo: 0

E K 1 U1

EK 2

1

mg R

2

mV

2

U 2

1 2

IG

2

mg r cos

Despejando: P4-5a

2

10 g 7 R 10 g 7 R

1 cos

1 cos

(1)

(Unid. Velocidad Angular)

2).- Relaciones Cinéticas. a).- D.C.

P4-5b

b).- Por

M C :

mg * Rsen

Si: aG t

maG t * R IG R

mg * Rsen

m

c).- Por

F n :

mg cos

N

R2

maG n

2 5

m

mR2

2

5 g 7 R

sen

R

(2)

(3)

Cuando la esfera abandona la saliente, se cumple que N = 0, entonces en (3) con (1):

UNASAM


424


mg cos

m

10 7

g 1 cos

10

cos

17

Capítulo IV

5.970

En (1) y (2): 10 g

g

0.767

17 R

15 21 g

R

0.578

119 R

g R

(Unidades de velocidad angular)

(Unidades de aceleración angular)

E4-6.- La barra uniforme tiene una masa m y una longitud L. Si se suelta desde el reposo cuando θ = 0º determine el ángulo en el que comienza a deslizarse. El coeficiente de fricción estático en O es μ s =

0.3.

P4-6

Solución

Para encontrar la aceleración angular utilizaremos las relaciones cinéticas, para su velocidad angular el principio de trabajo y energía. 1).- D.C.L. (Cuando no hay deslizamiento, habrá movimiento alrededor de un eje fijo):

P4-6a

2).- Relaciones cinemáticas: L

aG

et

6

L

6

2

en

3).- Relaciones cinéticas: Ft

mat

Fn

man

UNASAM

mg cos

f

N

mg sen

m

m

L

6 L

6

2

(1)

(2) Autor: VÍCTOR MANUEL MENACHO LÓPEZ

425


M G

N*

IG

L

1

6

12

2 N

mL2

mL

Capítulo IV

(3)

4).- Por el principio de trabajo y energía cinética: W1

2

E K

mg

L

g sen

L

6

2

1 1

sen

2 12

3g sen

2

3

L

2

mL

m

L

2 2

6

(4)

(3) en (1): mg cos

N

m

L 2 N * 6 mL

4 3

N

(5)

(4) en (2): mg sen

3 2

m

mg sen

L 3g sen * L 6

s

s

N (hasta el movimiento inminente)

N

(6)

(6) / (5): 3 2

tg

3 4

s

tg

1 2

s

0.5* 0.3

0.15

8.530

E4-7.-El conjunto consta de dos barras esbeltas de 15 lb cada uno y un disco de 20 lb. Si el resorte no está estirado cuando

= 45º y el conjunto es liberado del reposo en esta posición,

determine la velocidad angular de la barra AB en el instante en que

=0º. El disco rueda sin

deslizar.

P4-7

UNASAM


426


Capítulo IV

Solución Como las únicas fuerzas que producen trabajo son conservativas, la energía mecánica se conserva. 1).- Diagrama de la posición inicial y final:

P4-7a

2).- Por conservación de la energía mecánica: U1 U2

2*15*1.5 sen 450

2 w AB hAB 1 2

Ek 2

k

2

2

Ek AB 2

Si: EM1

1

* 4 * 6 2 *3 cos 450

E k BC 2

31.82 lb-pie 6.18 lb-pie

1 1 15 2* * * *32 2 3 32.2

2 AB

1.394

2 AB

EM 2

31.82 1.394

2 AB

6.18

2 AB

18.393

4.289 rad/s

AB

4.5.1.5.- Determinación de la aceleración instantánea mediante el método alternativo del principio de Trabajo y Energía, para un sistema de cuerpos interconectados, con movimiento de sus centros de masa respecto al plano de referencia, usando variaciones infinitesimales de sus desplazamientos reales (lineales y/o angulares). Si, se tiene para el trabajo de fuerzas y/o momentos no conservativos (activos): W NC 1

2

E M 2 E M 1

E K 2

U 2

E K 1

U 1

Está ecuación, lo escribimos para variaciones infinitesimales de desplazamientos reales: dW NC

dE K

dU

[4.5.1.5.0.1]

Dónde: UNASAM


427


dE K

1

d

2

1

miV G2 i

2

miV G i d V G i

d V G i

Si, para cada cuerpo, aG i d r G i miV G i d V G i

2 i

I G i

dt

d r G i

y también,

mi aG i d r G i

I G i

aG i d r G i d i

i

*

dt

Capítulo IV

d d

i

d

[1]

i

V G i d V G i , luego;

i i

d

i

i

d i , luego,

i

como la dirección del movimiento angular es perpendicular al plano del movimiento; 1 d i i d i . En [1]: dE K

mi aG i d r G i

I G i

i

d

[2]

i

También, se puede escribir, como: dE K

dU

F i d r G i

d

M G i d

mi g hi

1 2

i

K j X j2

mi g dhi

[3]

K j X j dX j

Dónde: distancia vertical del centro de masa del cuerpo representativo de masa referencia.

, a la línea de

hi

X j

deformación (de tracción o de compresión) de un resorte de constante

.

Luego en 4.5.1.5.0.1, [2] y [3]: dW FNC

mi aG i d r G i

I G i

i

d

i

mi g dhi

K j X j dX j

[4.5.1.5.0.2]

Nota 1.- La ecuación deducida tiene la ventaja de relacionar directamente las aceleraciones con fuerzas y pares activo (no conservativos que producen trabajo), lo cual elimina la necesidad de desmembrar el sistema y eliminar después las fuerzas internas y fuerzas reactivas, al resolver el sistema de ecuaciones fuerza-masa-aceleración, escritas para cada uno de los miembros por separados. Nota 2.- Los sumandos serán positivos si las aceleraciones y los desplazamientos respectivos tienen el mismo sentido. Ejemplos: E4-8.- El sistema de engranajes que se muestran en la figura giran alrededor de sus ejes fijos, un engranaje impulsor grande A y dos engranajes pequeños idénticos impulsados B y C. La masa del engranaje mayor es de 1 kg y la masa de cada uno de los engranes pequeños es de 0.4 UNASAM


428


Capítulo IV

kg. Los radios de giro son K A = 36 mm y K = 19 mm, respectivamente, para el engranaje mayor y los engranajes pequeños. Cuando el sistema está en reposo se le aplica una torca M A = 0.5 t (N-m) al engranaje impulsor, donde t denota el tiempo en segundos. Usando el método alternativo del principio de trabajo y energía para desplazamientos infinitesimales reales (MAPTEDIR), determinar la rapidez angular de cada uno de los engranajes para t = 3 s. Ignore las fricciones en las chumaceras de los engranajes.

P4-8

Solución 1).- Consideraciones elementales.

P4-8a dx

r Ad r A

B

r

rd

A

B

rd

C

d

r A B

r

d

A

y d

r A C

r

d A

r A

y

C

r

2).- Por MAPTEDIR.

dW NC

UNASAM

IG i

i

d i


429


M d

M

2

mK *

A

2

r A r

2mK 2 *

m A K A

*

rA r

d

2

A

mA K A * * d

2

A

mK *

rA r

Capítulo IV

*

rA r

d

A

r A r 2

Remplazando Valores:

05 t 1*0.036

2

2

2*.4*0.019 *

50 25

2

1.408*10

4

203.98 t Luego: d dt

0

d

t o

203.98 t dt

101.99 t 2

Para t = 3 segundos:

917.917 rad/s (del engranaje A) r A B

C

r

2*917.917 1835.834 rad/s2

E4-9.- Un tractor tiene una masa de 900 kg, incluyendo al conductor (ver figura): Las grandes ruedas motrices tienen una masa cada una de 90 kg con un radio de 0.6 m y un radio de giro centroidal de 0.55 m. Las ruedas pequeñas tienen una masa de 18 kg cada una, con un radio de 0.3 m y un radio de giro centroidal de 0.25 m. El tractor está tirando de una bala de algodón de masa de 135 kg. El coeficiente de rozamiento entre la bala y el terreno es de 0.2, y todas las ruedas ruedan. Usando el método alternativo de trabajo y energía para desplazamientos infinitesimales reales (MAPTEDIR), responder la pregunta, ¿qué par necesitará aplicar el motor sobre las ruedas motrices para acelerar el tractor desde 1.5 m/s hasta 3 m/s en 25 s?

P4-9

Solución 1).- Cálculos elementales: UNASAM


430


Capítulo IV

Se tiene en cuenta

P4-9a

N dX

Rd a

1

rd

dX

y d

R

r

a

y

R

dX

d

w cos50

2

r

2).- Por MAPTEDIR: dW NC

dEk

fdX

M

dU

dX

m A a dX

R

a dX 2 m D r02D * * r r

M

a m A

mC

2 mB

2 mD

2 mB r02B *

2 mB a dX

mC a dX

mA

2 mB

r02 B R

2

2 mB

mC

2 mD

r 02D 2

r

a R

*

dX R

2 mD a dX

2 mD * g * sen 50 dX

* R mt g sen 50 * R

f *R

Si: a

f

V f

V i t

3 1.5 25

0.06 m/s2

N 0.2* 9.81*135*cos50

263.862 N

Remplazando valores: M

0.06 135 900 180 36 180 *

0.552 0.6

2

36 *

0.252 2

0.3

0

* 0.6 1251*9.81* sen 5 * 0.6

263.862*0.6

M 851.459 N-m

4.5.1.6.- Trabajos Virtuales.- Para un sistema mecánico que adquiere una configuración estacionaria para una aceleración constante, suele ser conveniente introducir el concepto de trabajo virtual, ya que, un desplazamiento virtual es todo tipo imaginado y arbitrario, lineal o angular, que aparta al sistema de su posición natural o real. En caso de un sistema de cuerpos UNASAM


431


Capítulo IV

conectados, los desplazamientos virtuales han de ser compatibles con las ligaduras del sistema, para la que se tiene tomar en cuenta los conceptos de la cinemática del cuerpo rígido, es decir, tiene que ver con la geometría de los movimientos posibles y proporcionan las llamadas ecuaciones de ligadura, teniendo luego los mismos principios para encontrar la relación de trabajo y energía, al de los desplazamientos infinitesimales reales. Se acostumbra a emplear el signo "d" de diferencial para referirse a variaciones infinitesimales en desplazamientos reales, mientras que se emplea el signo para representar variaciones infinitesimales que se imaginan, o sea, variaciones virtuales. W NC

mi aG i

r G i

I G i

i

i

mi g

hi

K j X j

X j

[4.5.1.6.0.1]

4.5.2.- Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento. 4.5.2.1.- Impulso lineal I y Cantidad de movimiento lineal. Sabemos, que: dL

L

F

dt

Separando variables e integrando: t 2

F dt t 1  

L f Li

d L

L f Li

L

mV G f

mV Gi

I

I

[4.5.2.1.0.1]

L

Si, el cuerpo se está moviendo en un plano referencial XY: I X

I Y

t 2

FX dt

L X

 m X G

[4.5.2.1.0.2]

FY dt

LY

 m Y G

[4.5.2.1.0.3]

t 1

t 2 t 1

4.5.2.2.- Impulso Angular I y Cantidad de movimiento Angular, referido al centro de masa.Sabemos: M G

 H G

dH G dt

Separando variables e integrando:

UNASAM


432

MECÁNICA PARA INGENIERÍA Y SUS APLICACIONES – DINÁMICA t f

H G

M G dt t i  

H G i

f

d HG

HG f

HG i

Capítulo IV

H G

I

I

t f

I

X

I

Y

I

[4.5.2.2.0.1]

H G

t i

t f t i

t f Z

t i

G

M GX dt

I xz

M GY dt

I yz

M GZ dt

G I zz

G

f

G

I xz

[4.5.2.2.0.2]

i

G

f

f

I yz G I zz

[4.5.2.2.0.3]

i

[4.5.2.2.0.4]

i

Nota.- Para cuerpos simétricos, con respecto al plano de movimiento del centro de masa, solo existirá la ecuación 4.5.2.2.0.4, la que generalmente se nos presentará. Ejemplo: E4-10.- El bloque B está unido a la rueda A mediante una cuerda enrollada a ella, como se muestra en la figura. Si en instante mostrado B tiene velocidad vB = 2 m/s, se pide calcular la velocidad de B después de t = 3 s, considerar que la cuerda tiene masa despreciable. Si r = 0.2 m, IA = 0.40 kg/m2, MA = 20 kg y m B = 6 kg.

Solución P4-10

I).- Primer método, considerando a cada cuerpo libre. 1).- Para la rueda, realizamos el diagrama y aplicamos convenientemente para cada parte el principio de impulso y cantidad de movimiento lineal, e impulso angular y cantidad de movimiento angular:

P4-10a

H A : I A

UNASAM

2 1

1

T r dt

IA

2

IA

1

r

2 1

T dt

I A

2

(1)


433


Capítulo IV

2).- Para el bloque:

P4-10b

LV : 2

m B VB 1 2 1

1

T dt

mB g dt

m B VB 1

2 1

T dt

mB VB 2 2

VB 2

1

mB g dt

(2)

(2) en (1): I A

1

r mB VB 1

r mB g t

IA

2

r mB V B 2

(3)

Si: V B 1 1

2

2

r

0.2

V B 2

V B 2

r

0.2

Remplazando V B 2

1

10 rad/s

5V B 2 y

2

en (3) y resolviendo:

13 m/s

II).- Segundo método, Aplicando la ecuación de impulso angular y cantidad de movimiento angular para todo el sistema:

P4-10c UNASAM


434


Capítulo IV

H A :

I A I A

mB VB 1 r

1

mB VB 1 r

1

2 1

mB g r dt

mB g r t

IA

IA

mB VB 2 r

2

mB VB 2 r

2

(4)

Si: 1

10 rad/s y

2

5V B 2

En (4) remplazando valores y operando: V B2

13 m/s

II).- Tercer método, por MAPTEDIR, siendo este el más sencillo, por lo que dejamos que Ud. Lo realice.

4.5.2.3.- Conservación de la Cantidad de movimiento lineal y angular. a).- Conservación de la cantidad de movimiento lineal: Si,

F

0

de ti a t f

Lf

constante.

Li

[4.5.2.3.0.1]

También: Si,

F X

0 de t i a t f

LX

constante..

LX i

f

[4.5.2.3.0.2]

b).- Conservación de la cantidad de movimiento angular, asociado al centro de masa: Si,

M G

0 de ti a t f

HG f

H G i

constante.

[4.5.2.3.0.3]

H GZ i

constante.

[4.5.2.3.0.4]

También: Si,

M GZ

0 de ti a t f

HGZ

f

Ejemplo: E4-11.- Un instante antes de hacer contacto, las velocidades angulares de los cilindros A y B son: ωA = 1.5 rad/s y ω = 5 rad/s respectivamente. Si las

masas son mA = 226 kg y mB = 181 kg, se pide: a).- Calcular las velocidades angulares de los cilindros inmediatamente después de que dejan de deslizar uno respecto a otro. UNASAM

P4-11 Autor: VÍCTOR MANUEL MENACHO LÓPEZ

435


Capítulo IV

b).- Si el coeficiente de rozamiento μk es 0.3 y la fuerza normal transmitida de A hacia B es de 2668 N, calcular el tiempo transcurrido para que los cilindros no resbalen uno respecto a otro.

Solución Utilizaremos el principio de cantidad de movimiento lineal e impulso lineal y el principio de cantidad de movimiento angular e impulso angular para cada uno de los cilindros, desde el instante que hacen contacto los cilindros hasta el instante en que dejan de deslizar una sobre la otra, E evidente que en ese lapso de tiempo la fricción originada es cinética. 1).- Aplicando el principio de cantidad de movimiento angular e impulso angular, para ambas ruedas: 2 1

M G i dt IG

2

IG

IG

1

2 1

1

MG i dt I G

2

A} Para la rueda A:

P4-11a H A :

I A

2 A1

1

f rAdt

I A

A2

(1)

b).- Para la rueda B:

P4-11b

H B :

I B

2 B1

UNASAM

1

f rB dt

I B

B2

(2)


436


Capítulo IV

2).- Caso, específico, cuando las ruedas dejan de deslizar, habrá rodamiento: r A

r B

A2

B2

En (2): 2

f r B dt

1

IB

IB

B1

r A

I B

B2

B1

A2

r B

(3)

En (1): 2 1

f rAdt

I A

A2

A1

(4)

De (3) y (4): I B

r B r A

B1

I A

A 2

r A r B

A2

A2

r A2

rB I A

r B

r B I A

A2

rAI B

A1

B1

r A r B

A2

A1

IB

rB I A

A1

rAI B

B1

Sabiendo que: 1

I A

2

mA rA2

10.17 kg m2

y

IB

1 2

mB rB2

3.62 kg m2

Remplazando valores: A 2

2.32 rad/s

B 2

A2

r A r B

3.48 rad/s

3).- Cálculo del tiempo transcurrido para que no resbalen: En (4): 2 1

f r Adt

N r At

2

IA

IA

A2

A2

A1

A1

1

t

N rAdt I A

I A

A2

N r A

A2

A1

A1

10.17 2.32 1.5 0.3*2668*0.3

t 3.47 10 2 s UNASAM


437


Capítulo IV

EJEMPLOS EN GENERAL E4-12.- La barra AB tiene un peso de 10 lb y está fija al carrito en A. Determine la fuerza axial interna, la fuerza cortante, y el momento flector en la sección A, si el carrito está descendiendo del plano inclinado, con una aceleración de 4 pie/s2.

Solución 1).- D.C.L. de la barra cortada en la sección “A” (ver figura P4-12): P4-12

2).- Relaciones Cinemáticas.- Como el cuerpo, tiene un movimiento de traslación, todas las partículas tienen el mismo movimiento: aG

4

cos 30 i sen30 j

2 3i

aG

2 j (pie/s2)


m aGX

G

Y

W b

X

10 32.2

VX

x2 3

M f

VA AY

V X

1.076 lb (Fuerza cortante)

F Y maGY AY M G M f

AY

wb

10 32.2

*2 P4-12a

9.38 lb (Fuerza axial) 0 1.076 lb-pie

M f

1.076 *1

0

(Momento flector )

E4-13.- Las cuerdas en la figura tienen una resistencia a la tensión de 12 N. El carro masa de 35 kg; la barra

tiene una

vertical articulada en A

tiene una masa de 10 kg y una longitud de 1.2 m. Encuentre el valor máximo de P que puede ejercer sin romper ninguna cuerda. Si: (a) P actúa hacia la derecha y (b) P actúa hacia la izquierda; desprecie la fricción y suponga una tensión despreciable en cada cuerda cuando el carro está en reposo. UNASAM


438


Capítulo IV

Solución Sistema de cuerpos en movimiento de traslación. Y

1).- D.C.L.: Y T1

T2 T2

X

T2 θ

T1 a

G

T1

L

P

WC AX

mg

N1

AX

AY

X

N2

AY (a)

(b)

P4-13a

P4-13b

2).- Relaciones Cinéticas: a).- En (a): 0

 k H GZ

M A k T 1 cos

T 2 

F X

T1 cos

T1 cos

T2





AG



2

x m aG

ma

IG T 2

T2

AX

k

2

j x mai a m 2

T 1 cos

2

m a k

(1)

ma

m a

A X



(2)

b).- En (b): T 1 cos

F X

T 2

P mc a

A X

(3)

(2)en (3): ma

P

mca

P

a m mc

45 a

(4)

3).- Relaciones de compatibilidad, para las condiciones dadas: a).- Si, P

T2 max

12 N

y

T 1 min

0:

En (1): 12

5a

UNASAM

a

2.4 m/s2 Autor: VÍCTOR MANUEL MENACHO LÓPEZ

439


Capítulo IV

En (4): 108 N

P 2.4 * 45

b).- Si,

P

T1 max

12 N

y

0:

T2 min

En (1): 12 *

3

5a

5

a

1.44 m/s2

En (4): P

1.44 * 45

P 64.8 N

E4-14.- Si el cable CB es horizontal y la viga está en reposo en la posición indicada, determine la tensión en el cable en el instante en que se aplica la fuerza remolcadora F = 1500 N. El coeficiente de fricción entre la viga y el piso en A es

A

0.3. Para el cálculo, suponga que

la viga es una barra delgada uniforme que tiene

P4-14

una masa de 100 kg.

Solución La barra tiende a un movimiento general en el plano, al aplicársele F. 1).-D.C.L.:

2).- Relaciones Cinemáticas.- Como el cuerpo, parte del reposo, la obtención del centro instantáneo de aceleración cero es similar al de la velocidad nula. P4-14a aG

k x

aG

k x 2 i j

aG

2

ca G

i j

P4-14b UNASAM


440


Capítulo IV

3).- Relaciones Cinéticas: a).- Tomando momentos con respecto al centro instantáneo de aceleración cero Ca:  k M ca Z k H GZ

2 mg

x maG

ca G

f 2 2

F

1 12

m

2

m a Gx 2

m a GY 2

Remplazando valores: F f 188.56

50 g

(1) b). N

m aGY :

FY

m 2

mg

N

2

m g

(2)

(2) en (1): 1500 0.3 *100 g

c).-

188.56

3.1 rad/s2

50g

m aGX :

F X

m 2

F f

T

188.56

50 g T

T

2

m 2 g

636.63 N

E4-15.- El bloque de 10 kg se apoya sobre la plataforma para la cual

P4-15

= 0.4.

Si en el instante indicado la barra AB tiene una velocidad angular de

= 2

rad/s, determine la aceleración angular máxima de la barra de manera que el bloque no se deslice.

Solución N

No hay movimiento del bloque con respecto a BC, que está en movimiento de traslación. 1).- D.C.L.: 2).- Relaciones cinemáticas:

Y G

X

f

mg

UNASAM

P4-15a


441


k x (15 . j)

a B

a B

(15 . j)

15 . i

2

15 .

Capítulo IV

j

(Movimiento de traslación)

aG


m aGX

F Y

maGY

m x 15 .

f N w

1.5m

15 .m

f 2

(1)

N 98.1 1.5 *10 * 4

N 38.1 N

Si: f

N

0.4 * 38.1 15.25 N

(Para el movimiento inminente)

En (1): f

15.25

1.5 m

15

1.02 rad/s2

E4-16.- Las barras uniformes están moviéndose en el plano XY horizontal y tienen una longitud  10 plg y peso w = 2 lb cada una. La barra AB está girando a una velocidad angular constante

= 50 rad/s. Calcule el par

requerido en B para restringir a la barra BC a permanecer paralelo al eje Y como se muestra. BY C BX

P4-16

M G

Solución

G'

1).- D.C.L.: M

AX

BX

P4-16a

BY

AY

2).- Relaciones cinemáticas, para BC (se encuentra siempre en traslación): 2

aG

a B

aG

1041.67 i

r AB

502 * 10 12

cos 60 i sen60 j

1804.22 j (pie/s2)

3).- Relaciones cinéticas, para BC: UNASAM


442


F X

maG X

F Y

maGY

M

64.7 *



2 10 2 *12

32.2

B X

64.7 lb

* 1041 .67 2

BY

0

M G

2

B X

32.2

Capítulo IV

*1804 .22

112 .06 lb

BY

0

M

26 .96 lb-pie

B 0.75 pies A

E4-17.- El disco A tiene un peso de 5 lb y el disco B tiene un peso de 10 lb. Si entre ellos no ocurre

M

deslizamiento, determine el par M que debe

A

aplicarse al disco A para darle una aceleración

0.5 pies

P4-17

angular de 4 rad/s2.

Solución

1).- D.C.L.:

X f

Y

r 2 EY E 1

DY

r 1

N

N DX

D

c

EX B 2

c

m2g

A

f

P4-17a

m1g

2).- Relaciones cinemáticas: a).- En A: aC

1

k x r1

1

r j

k x r1 i

(1)

1 1

b).- En B: aC

2

k x r2

2

k x

r j

r2 i

(2)

2 2

(1)= (2) (aceleraciones tangenciales): 1r1

UNASAM

2 r 2

r 1 2

1

r 2

(Para engranajes de ejes fijos)


443


Capítulo IV

3).- Relaciones cinéticas: a).- En B: M E

f

I E

1

*

1

f r2

2

10

2 32.2

2

m2 r 22

r 1 1

f

r 2

1

m2

2

r

1 1

0.3106 lb

* 4 * 0.5

b).- En A: M D

M

ID

1

M

1

5

*

2 32.2

1

f r1

* 0.5 2 * 4

2

m1r12

M

1

1 2

m1r12

1

f r 1

0.233 lb-pie

0.3106 * 0.5

E4-18.- Sobre una esfera fija, completamente rugosa,

B b

de radio “b”, rueda otra de radio “a” y peso G,

partiendo de un punto muy próximo a B. Determinar la presión y el rozamiento entre ambas esferas en función de . ¿Bajo qué ángulo se separará la esfera móvil de la fija?

Solución 1).- D.C.L.(ver figura P4-18a): N

P4-18 G

et

f

mg

en

P4-18a

2).- Relaciones cinemáticas (ver figura P4-18b): Arc. AB

Arc. AD

b

a

a

→

a

b a

a).- aceleración de “G” tomando como referencia al punto “O”:

UNASAM


444


aG t

a 

b

aG n

b

a

2

a

b

a

d 2

dt 2

(1) 2

d

b

dt

(2) D a

b).- Movimiento de la esfera móvil:

d

d

dt

a

dt

b a

B

d 2

y

Capítulo IV

d 2 2

a

b

2

dt

a

dt

C

G A

(3)

3).- Relaciones cinéticas (ver figura P4-7a): F t

a

maGt

b

d 2

1

dt 2

m

Fn

a

G sen

2

d

b

1

dt

m

M G I G

m a b

dt 2

f

G sen

m aG n

f

d 2

(4)O

G cos

N

G cos

N

f a I G

m a

b

P4-18b

2

d dt

(5)

d 2

dt 2

(6)

(3) en (6): 2

f a

5

ma

2

d 2

a 2

dt

d 2

b

5 f 2

a

dt

2m a

b

(7) (7) en (4): a

b

5 f 2m a

1 b

2 G sen

f

7

m

G sen

f

(Unidades de fuerza)

f

5 2

1

G sen

(8)

(8) en (7): d



2

d 2

dt

d

*

d

5 G sen

dt

7m a

b

Separando variables e integrando: UNASAM


445


d

0

2

5 G sen 0

d

2

7m a

2

b

d

2

10 G 1 cos 7m a

dt

5G 7m a

b

Capítulo IV

cos 0

b

(9)

(9) en (5): a

b

10G 1 cos 7m a G

N

7

1

b

17 cos

m

G cos

10G 10G cos

N

G cos

7

N


10

(10)

4).- Para el caso, en que la esfera se separa de la fija N = 0: En (10): 0

17 cos

10

10

cos

17

5397 .

E4-19.- Un cilindro sólido uniforme

(ver

figura) es empujado sobre la superficie por un brazo móvil . Si  la derecha con X C

g 10

se traslada hacia

C

¿cuál debe ser el

coeficiente mínimo entre

y

coeficiente de fricción entre

y

? El es .

P4-19 f 2

Solución 1).- D.C.L.:

N 2 Y

Sistema de cuerpos rígidos con movimientos en traslación.

C mg

f 1

aC

g

 X C

10

X

i

P4-19a


 mX C

FY

0

UNASAM

N2

f2

N1

f1

mg

m

g

10

0

N1

(1) N1

f2

mg

(2)


446


0

MC 2 N 2

f 2r

0

f 1r

1 N 1

f2

N 2

1

N 1

2

Capítulo IV

f 1

(3)

10

(4)

(5)

De (1) y (2): 2 N 2

2

N1

2

N1 1

2

1 N 1

N2

mg 2

10 mg

mg 1

1

2

También: N 2

1

N1

1

2

N 2 1

1

2

N 1

N2

mg

10 mg

mg

1

1

1 1

10

(5) (4): N 2 N 1

1 10

1 2

1

10

(6) Si, (3) = (6): 1 2

1 10

1

10 2

1 9

9

1 2

2

10

10

1 1

1 9

1

10

1 10

1

(Coeficiente de fricción entre

y

)

E4-20.- El tubo en la figura tiene una masa de 500 kg y descansa sobre la plataforma del camión. El coeficiente de fricción entre el tubo y la plataforma es

= 0.4. El camión empieza a

moverse partiendo del reposo con una aceleración constante a 0 . UNASAM

P4-20


447


Capítulo IV

a).- ¿Cuán grande puede ser a0 para que el tubo no resbale en ningún momento? b).- Para el valor encontrado de a 0 en (a) ¿cuánto se ha desplazado el camión cuando el tubo rueda fuera de la plataforma? Y

Solución

1).- D.C.L.:

r

C X

mg

2).- Relaciones cinéticas:

f

D

F X

 mX C

f

FY

0

N

MC

I C

f r

 m X C

(1)

m g

(2)

mr

2

P4-20a m r

f

N

(3)

(1)=(3):  X C

r

(4) 3).- Relaciones cinemáticas: a).- Considerando a “C” como una partícula independiente:  X C

 X C a

 X C

 X C

C a

 X C

 X C a

C a

(5)

b).- Considerando a “C” como parte del cuerpo rígido: VC

VD

k x rj

X C i

X Ca i

X C

ri

 X Ca

r

(6)

(5) = (6): X C

X Ca

Ca

r

X Ca

X C

Ca

r

(7)

Derivando (7), respecto al tiempo:  X C

r

Ca

Derivando (5), respecto al tiempo:  X C

 X C

Ca

 X Ca

 X C

r

a0

(8)

(4) = (8): UNASAM


448


 X C

 X C

 2X C

a0

a0

 X C

Capítulo IV

a0

2

(9)

Si: 2

 dX C

X C

 X 0

dt

0

 dX 0

2 X C

dt

0

 X 0

De la misma manera: X 0

2 X C

(10)

4).- Ecuaciones de compatibilidad y remplazando valores: (9) en (1): a0

f

2

(Sentido contrario a lo considerado)

m

Para que, haya rodamiento (sin resbalamiento), debe cumplirse, que: f f max

a0

2

m

N

mg

a0

2 g 2 * 0.4 * 9.81

7.85 m/s2

a0

Si: X C

X 0

X 0

2 X C

X 0

X C

2

ca

X 0

X C

ca

ca

X 0

2 *10

E4-21.- Las barras

20 m

y

(a la izquierda)

o

tienen cada una

masa m (ver figura P4-21). Encuentre las reacciones en “O” y en “A” sobre

A

al

g

liberar el sistema desde el reposo en la

P4-21

posición horizontal indicada.

Solución UNASAM


449


Capítulo IV

1).- D.C.L.(s), ver figuras P4-21a y P4-21b: AY

1

L1 OX



L 22 C

AX

AX OY

G

mg

mg AY

(a)

(b)

P4-21a

P4-21b

2).- Relaciones cinemáticas (parten del reposo): 1

aC

j

2

1

a A

1

1 j

aG

1

1

aG 2

j

a A 1

j

2

2

x 2 k

2

2 1

i

2 2

2

j

3).- Relaciones cinéticas: a).- En (b): F X

0

F Y

ma GY

AY

AY

m g  1

M G

1

AY

6

0

A X

2 1

2

2

(1)

mg

m 1

2 1

2

2

(2)

2

1

2

12

m 22

I G

2

AY

m 2

2

m 2

2

O X

A X , de (1)

2

6 AY

(3)

b).- En (a): F X

0

F Y

ma CY

M 0

I 0

UNASAM

1

AY

OY

mg

AY  1

m

mg

0

O X 1

2

1

1

1

2

3

(4)

(5)

m 12

1


450


AY

mg

1

2

3

m 1

1

m 1

1

Capítulo IV

(6)

(3) en (2): AY

mg

3 AY

m

A y

4

g  1

1

(7)

(7) en (6): m

4

g  1

1

mg

1

2

3

m 1

1

1

9 1

7

g

(8)

(Unidades fuerza)

(9)

(8) en (7): m

AY

g

4

9 7

g

mg

AY

14

(8) y (9) en (5): mg

14

OY

mg

9

m

14

g

OY

2 7

mg

(Unidades fuerza)

E4-22.- La barra delgada homogénea en la figura, está soportada por una cuerda en A y un pasador horizontal B, se corta la cuerda. Determine en ese instante la localización del pasador B, que dará la máxima aceleración

P4-22

angular inicial a la barra.


X


P4-22a 0

M B

Para,

I

1

mg X

12

max

UNASAM



B zz

xma B

BG

mL2

B

I zz 12mg X

m X 2

por máximos y mínimos

mL2 d dX

12m X 2

(1)

=0 :


451

MECÁNICA PARA INGENIERÍA Y SUS APLICACIONES – DINÁMICA mL2

d

12m X 2 *12mg 12mg X * 24m X

dX

mL

2

12m X

2 2

Capítulo IV

0

(2)

Para que, (2) sea igual a cero, se debe cumplir: mL2

12m X 2 12mg 12mg X 24m X

mL2

12m X 2

0 L

X 2 L

X

L

X 1

12

12

0

(Bueno)

(Malo)

(Unidades de longitud)

12

E4-23.- El cuerpo

es una barra delgada en

forma de un cuarto de circunferencia (ver figura). Encuentre las tensiones en las cuerdas OA y OB cuando el sistema se libera desde el reposo. P4-23

Y 2R/

Solución

TB X

o

1).- D.C.L.:

2R/

G

2).- Relaciones cinemáticas: TA mg

aG

aG

P4-23a

k x

2 R

i

j

2 R

i

j

3).- Relaciones cinéticas: M 0

2 R

I 0

2 g R F X

UNASAM

 m X G

mg

mR 2


T B

mg m

2 R

*

2 g R


452

MECÁNICA PARA INGENIERÍA Y SUS APLICACIONES – DINÁMICA 4mg

T B


2

 mY G

F Y

T A

4

mg 1

T A

Capítulo IV

mg

2 R

m

*

2 g R


2

E4-24.- Una viga de longitud L y peso w por unidad de longitud está soportada por dos cables en A y B (ver figura P4-13). Si se rompe el cable en B. Encuentre la fuerza cortante “V” y el momento flexionante “M” en la sección x -

x, justamente después de la ruptura. P4-24

Solución

1).- D.C.L.(s):

L/4

Y

M

TA

TA

G1 G A

X

A

B

V

WL/4

WL

(a)

(b)

P4-24a

P4-24b

2).- Relaciones cinemáticas, para la barra AB: aG

a A

 i X G

x r AG

 j Y G

 X G

a Ai

a A

k x

y

L

2

i

G Y

a A i

L

2

j

L

2

3).- Relaciones cinéticas, para la barra AB: En (a): F X

UNASAM

 m X G

0

 m X G

 X G

0

a A

(1)


453


 mY G

F Y

M G

T A

wL

wL  Y G g

L

1

2

12

T A *

I G

wL 

Capítulo IV 2

T A

wL

wL

2 g 2

2

m L

T A

wL

6 g

(2)

(3)

(2)= (3): wL

wL2

wL2

2 g

6 g

3 g


2 L

En (3): wL2

T A

*

6 g

3 g

wL

2 L

4


4).- Cálculo de la fuerza en la barra “L/4”: En (b):  mY G

F Y wL

T A

wL L * 4 g 8

V

4

Remplazando (5): wL

wL

4

4

V

wL L 3 g * * 4 8 2 L

V

3wL


64

5).- Cálculo del momento flector M en la barra “L/4”: En (b), tomando momentos con respecto a G1 :

T A *

L

8

M V *

L

8

wL

L

4 g

4

12

2

*

3 g 2 L

Remplazando valores: wL2

32

UNASAM

M

3wL2

wL2

512

512

M

18 512

wL2


454


M

9wL2

Capítulo IV

(Unidades de momento)

256

E4-25.- Se aplica un par constante T0 ↺ a la manivela del mecanismo planetario mostrado en la figura, los ejes de los engranajes idénticos

y

son

verticales y los extremos de la manivela están articulados a los centros de

y

aceleración angular de

está fijo en el marco

; si

. Determine la

inercial de referencia. Trate a los engranajes como P4-25

discos uniformes. El plano de la página es horizontal. Si M masa de los engranajes y m de la manivela.

Solución

1).- D.C.L.: X

Ax

Ax Ay

f

To G

Ay

Y

By

P Bx

N

P4-25b

P4-25a N

P f B

P4-25c

By

Bx

2).- Relaciones cinemáticas: A

VP = 0

P

2 2

an 2R

P4-25d

2 2

2R B

R B

3

B

2

P4-25e

Lo que nos dice: UNASAM


455


2 R

a B

R

2

3

2

3

Capítulo IV

2

3).- Relaciones cinéticas: a).- Tomando momentos en A para la barra M A

I A

1

BY * 2 R

T 0

2

3

:

m 2R

2

b).- Tomando momentos en P para el engranaje  k M P k H BZ BY R

1 2

x M a B

I B

PB

MR 2 2

2

MR 2 2

3

→

3

T 0

Rm

2

2 R

(1)

:

k RMR

2

2

→ BY

2

3

k

BY

3 MR

2

(2)

(2) = (1): 3 MR

2 2

2

3

Rm

T 0 2

2 R

3T 0 2 R 2 9 M 2m

2

R 3 M

→

2

3

m

T 0 R

(Unidades de aceleración angular) (Antihorario)

E4-26.- El disco de 12 kg tiene una velocidad angular de

= 20 rad/s. Si se aplica el freno

ABC de manera que la magnitud de la fuerza P varíe con el tiempo como se indica, determine el tiempo necesario para que el disco se pare. El coeficiente de fricción en B es

= 0.4

P4-26


P

N f

f N

mg

OX

AX

OY AY (a)

UNASAM

P4-26a

(b)

P4-26b


456


Capítulo IV

2).- Relaciones cinéticas: a).- En (a): M A

0

y

0.5 N P 0.4 f 0

0.5 N P 0.4 * 0.4 N 0

f

0.4 N

y f 1.176 P

2.94 P

N

N

(1)

b).- En (b): t

0

M 0 dt

t

H 0 Z

0

0



0.2 fdt I 0

I 0

f

i

Remplazando (1): t

0

0.2 *1.176 Pdt

1 2

*12 * 0.2 2 * 20

4.8

→

t

0

0.235 Pdt 4.8

(2)

i).- Suponiendo que pare, antes de los 2 s: 5

P

2

t

2.5 t

En (2): t

0

0.588 tdt 4.8

0.294 t 2

t = 4 s 2 s (no)

4.8

ii). - Suponiendo que pare, después de los 2 s

P 2.5 t 5

En (2): 2 0

0.588 tdt

t

2

0.235* 5 dt 4.8 → 1.176 1.175 t 2.35

4.8

t 5.1 s (bueno)

El disco para a los t = 5.1 s

E4-27.- El cilindro mostrado en la figura, está hecho de dos mitades de densidad diferentes. La mitad izquierdo es de acero con

1

15.2

slug/pie3; la mitad derecha es de madera con 2

1.31 slug/pie3. El centro de masa de cada

mitad está localizado a

4r 3

del centro

geométrico Q (r = 1 pie). Encuentre la aceleración de Q cuando se libera desde el reposo. Suponga suficiente fricción para impedir

P4-27

el resbalamiento.

UNASAM


457


Capítulo IV


Y X

C2


Q C1

A zz

M A k I

k

f

G

xma A

AG

A

0



2

Donde: a A

r 0 (parte del reposo)

4r

m1 gsen r m1 g cos

g

vgsen

1

1

1

2

2 3

m2 gsen r m2 g cos

3

vg cos

3

m2g

N

P4-27a

A I zz

M A

1

m1g

4r 2

3

2

2

2

vgsen

2 3

3

3 2

2

r

1

vg cos

4r 3

1 2

2

r m1

2

r m1

4r

3

3

2

rv

m2 m2 1

2

2

Remplazando valores: 17.37 rad/s2

Luego: aQ

r 17.37*1

aQ

17.4 pie/s2

E4-28.- El cilindro de 50 kg tiene una velocidad angular

= 30 rad/s cuando se pone en

contacto con la superficie horizontal en C. Si el coeficiente de rozamiento es

C

= 0.2 ,

determine el tiempo que tarda el cilindro en pararse, ¿qué fuerza se desarrolla en el pasador A, durante ese tiempo?. El eje del cilindro está conectado a dos barras simétricas (solamente se indica AB), para el cálculo desprecie el peso de las barras.

P4-28 UNASAM


458


Capítulo IV

Solución

1).- D.C.L.(s): Y G

Y

GY

X

AX

GX W

GX f

AY

P4-28a

N

(a)

P4-28b

(b)

2).- Relaciones cinéticas: a),- En (b), por el principio de impulso y cantidad de movimiento angular: t

0

0   M GZ dt H GZ f

r f t I G

H GZ i

t

mr

2 f

(1)

b).- En (a): M A

1 3

0



m 2

0

GY 

0

GY

0

c).- En (b): F Y

0

f 0.2 * 490.5

N

w

490.5 Newton

98.1 Newton

En (1): t

50 * 0.2 * 30 2 * 98.1 t 1.53 s

1.529 s

2).- D.S.F.: En (c): F Y

UNASAM

0

2 AY N w

0

AY

0

P4-28c


459


0

F X

f 2 A X

0

A X

98.1 2

Capítulo IV

49.05

49 Newton

A

E4-29.- El carrete tiene un peso de 500 lb un radio exterior de r = 2 pies y un radio de giro centroidal de K G =1.83 pies. Si está originalmente en reposo sobre la plataforma de un camión, determine su aceleración angular si al camión se le da una aceleración

P4-29

1.5 pie/s2. El carrete rueda sin

de aT

deslizar en B. Y

Solución

W

1).- D.C.L.:

G

2).- Relaciones cinemáticas:

X f

B

V G

V B

k x r BG

P4-29a N

 X T

 X G  X G

i T

 i X T

k x r j

 i X T

r i

r

(1)

T

Derivando (1), con respecto al tiempo:  X G

aG

r

aG

T

aT

aG

1.5 i

r i T

2 i

1.5 2

i (pie/s2)

T

3).-Relaciones cinéticas: 500

F X

 m X G

f

M G

I G

f r mK G

f 26

g

1.5 2

2

(2) 2 f 15.53 *1.832

(3)

(2) = (3): 26

15.53 1.5 2

UNASAM

→

0.408 rad/s2


460


Capítulo IV

E4-30.- Una barra delgada se coloca sobre una

KL

mesa como se muestra en la figura. Comenzará a pivotear alrededor del borde E, y a cierto ángulo

S

C

E

, comenzará a resbalar. P4-30

Halle tal ángulo, que depende del coeficiente de fricción

y de K. Resuelva la ecuación

resultante para

= 0.3 y K = 0.25. f

Solución

O 1

S

1).- D.C.L.:

N

C


mg S

aC

2

KL et KL

O 2

en P4-30a


et

F t

mat

mg cos

F n

man

f mg sen

M C

I C

en

NKL

N

S

1 12

mKL

(1)

2

(2)

mK L

S

12 KN

mL2

mL

(3)

3).- Por el principio de trabajo y energía cinética: W 1

E K

2

mgKL sen 2 L 1 12 K

gK sen

S

1 S

1

2 12

2

mL2

mK 2 L2

24 gK

2

2

24

L 1 12 K

2

sen

S

(4)

(3) en (1): mg cos

N 12 K 2 N N 1 12K 2

S

(5)

(4) en (2): mg sen

S

mKL

24 gK L 1 12 K 2

sen

N → mg sen

S

1 36 K 2 S

1 12 K 2

N (6)

(6) ÷ (5): tg

1 36 K 2 S

1 12 K 2 S

UNASAM

tg 1

1 12 K 2 1 36 K 2

tg

S

1 36 K 2


461


4).- Para

S

Capítulo IV

= 0.3 y K = 0.25, en (7):

tg 1

0.3

5.27380

1 2.25

E4-31.- La barra AB de 500 gr se apoya a lo largo de la superficie interior lisa de un tazón hemisférico. Si la barra se suelta desde el reposo a partir de la posición indicada, determine su velocidad angular en el instante en que se mece abajo y adquiere la posición horizontal.

P4-31

Solución Solo el peso (fuerza conservativa) producirá trabajo, por lo que habrá conservación de la energía mecánica. 1).- Diagrama de las posiciones inicial y final: Ci

60º

0 .2 m

60º m 2 . 0

60º

0.173 m

N 2

G A2

2

60º

60º

0.05 m

A1

0.0268 m

30º

L.R

1

W N1

P4-31a

2).- Por conservación de la energía mecánica: 0

E K 1 U 1

0.05 mg

E K 2

1 2

mV G2

1 2

2

I G

1 2

m 0.173

2

1

*

1

2 12

m * 0.2 2 *

2

0.01667 m

2

U 2 0.0268mg

Como: E M 1

E M 2

UNASAM


462

MECÁNICA PARA INGENIERÍA Y SUS APLICACIONES – DINÁMICA 0.05mg

2

0.01667 m

3.695 rad/s

2

0.0268 mg

Capítulo IV

1.39 g

3.7 rad/s

→

E4-32.- Una barra delgada homogénea pesa 64.4 lb y tiene 20 pies de longitud; está soportada como se muestra, Las barras

y

son de masa despreciable y tienen P4-32

pasadores sin fricción en cada extremo. El sistema se libera desde el reposo en

= 0°:

a).- Obtenga expresiones para la velocidad angular y la aceleración angular de las barras en función de

y

.

b).- Obtenga expresiones para la fuerza axial en las barras

y

en función de

.


R Bn

R En

R Et

R Bt

R Et

R Bt

C

R Bn

R At

et

R En

R Dt W R Dn

R An

en

P4-32a

P4-32b

2).- Relaciones cinemáticas.- La barra EF, se encuentra en movimiento de traslación, por lo que los puntos B y E tienen el mismo movimiento: a B

a E

aG AB

aC

aG DE

  e

 2 e

  e t 2

2  e n 2

t

n

3).- Relaciones cinéticas: a).- Tomando momentos en la barra AB (masa despreciable) y como punto de giro a “A”: M A

R B t 

I A

0

I A

R B t

1 3

0



m 2

R E t

0

M A

0

0

b).- En la barra BF: UNASAM


463


F t

mat



w 

w sen

g

rad/s

4.025 sen

 g sen 



Capítulo IV

4.025 sen

(horario)

(1) De (1): d  d

*

d

 d d

dt



4.025 sen

Separando variables, integrando y remplazando valores:

0

4.025 sen d

0

2.84 1 cos F n

man

R B n

0

M C

2

 d 

4.025 cos

rad/s

R B n *10 cos

2

(horario) w cos

R E n

0

w 2  g

R E n * 5 cos

0

w g

2



R E n

(2) 2R B n

(3)

(3) en (2): R B n R B n R E n

2R B n

64.4 cos

193.45 cos

2 * 2.842 1 cos

129.05

2 193.45 cos

lb

*8

(tensión)

129.05 lb (compresión)

E4-33.- La barra

y el disco

tienen pesos de w

1

en la figura

=5 lb y w 2 = 6 lb

respectivamente. La longitud de la barra es de 8 plg, el radio del disco es de 4 plg, la excentricidad del centro de masa del disco es de 2 plg desde Q y el radio de giro de la masa de

con respecto al eje ZC es de 3 plg. Se

desea conectar un resorte entre el punto Q y un punto fijo en

de manera que el disco y la

barra se detengan (en la posición punteada) después de que

P4-33

gire 90° en sentido horario

a partir del reposo. UNASAM


464


Capítulo IV

El resorte tiene un módulo de 25.5 lb/pie y una longitud natural de 4 plg; inicialmente el resorte debe colocarse sin alargamiento. Encuentre el alargamiento final del resorte y con el resultado determine donde conectar el extremo fijo de él (Hay dos puntos posibles)

Solución De acuerdo a lo enunciado, concluimos que debemos utilizar el principio de trabajo y energía cinética. 1).- Relaciones cinemáticas, de Q (para encontrar la posición final de C):

O

Q

en

C

1

L R

C



Q θ C

et Q

P4-33a

2

a).- Cálculo de la velocidad de Q, como un punto de V Q

:

R  et

(1)

b).- Cálculo de la velocidad de Q, como un punto de V Q

Ci

:

  et

(2) (1)= (2): R 



R

d dt



d

Rd

dt

d

Integrando:

0

Rd

0

d

R



Luego: 

8

R

4

*

2

2).- Cálculo de los trabajos sobre el sistema: UNASAM


465


Capítulo IV

a).-Del peso: W 1

mgh

2 g

5*4

mgh

6 *8

68 lb-plg

b).- Del resorte: 1

W 1

2 S

W 1

2 S

2

0



K

2 1

2.125 2

2 2

y

K

25 .5 lb/pie o K 2.125 lb/plg

2 2




W 1 2 2

E K

2

W 1

64

L f

2

W 1

2 S

8 plg

2

Li

2 g

E K 2

0



68

E K 1

2.125 2

2 2

0

(alargamiento final)

4 8 12 plg ( longitud final)

Los dos puntos, donde puede colocarse el resorte vienen dado por la intersección del perímetro de la circunferencia del disco (en la posición inicial) y la circunferencia de radio de 12 plg con origen en Q (en la posición final).

E4-34.- Dos gimnastas en A y B, cada uno de peso w están agarrados en el lado izquierdo de una cuerda que pasa sobre una

r

polea cilíndrica (peso w, radio r); el lado derecho de la cuerda sostiene un contrapeso C igual a 2w (ver figura) inicialmente el gimnasta A está a una distancia “d” debajo de B; A trepa la cuerda para unirse a B. Determine el desplazamiento del contrapeso C cuando A alcanza a B. W

Solución

B

C 2W

Del análisis del problema concluimos, que el momento con respecto a “O” es nulo, por lo que, hay conservación de la cantidad de movimiento angular:

d A W

P4-34

1).- Relaciones cinemáticas:  Y Cu

r

 , Y Co

 , Y  Y Cu B

  Y y Y Cu A

Y Cu

 Y A

(1)

Cu

2).- Por conservación de la cantidad de movimiento angular, en el sistema: UNASAM


466


0

M 0

H oz i

A H oz H oz H B 0 z

1 w 2 * r 2 g

1 2

w  r Y A g

 Y A

r

C H oz

 Y B

0

0

f

w  r Y b g

 2Y C

f

0     H oz i i

Capítulo IV

2w  r Y C g

0

0

(2)

(1) en (2) : 1  Y Cu 2

 Y A

Cu

 Y Cu

 2Y Cu

9  Y Cu 2

0

 Y A

0 Cu

Integrando: 9 2

Y Cu

Y A

C 1

Cu

Para, t = 0 s, se tiene: Y Cu Y Cu

2 9

Y A

0 Cu

C 1

0


(3)

Cu

En (3), para Y A

d y Y Cu

Cu

Y Co

0 y Y A

2 9

d

Y Co , se tiene:


E4-35.- Encuentre el módulo K que ocasionará que el sistema se detenga momentáneamente en

= 0°. Después de soltarse del reposo en = 50°. Si: a) el alargamiento inicial

i

en el

resorte es cero, b) el alargamiento es 0.2 m (ver figura) sugerencia: use la simetría. (Los discos no deslizan).

Solución UNASAM


467


Capítulo IV 0.643 m

Despreciando los rozamiento en los pines, en el sistema las fuerzas que producen trabajo son conservativas, por lo que, la energía mecánica se conserva. 1).-Diagrama de las posiciones inicial y final: 2

h

1

1m

P4-35a

2).- Por conservación de la energía mecánica en el sistema, para el caso (a): U e 1

0

U g 1

2mgh 2mg * 0.5 sen50

E K 1

0 K 1

U e 2

2

K 1

2 2

2

0 y E K 2

U g 2

1 0.643

150.3 J

2

0.0637 K 1 J

0

Luego: 0

0

0





U e 1

U g 1 E K 1

150.3



U e 2

U g 2

0



E K 2

0.0637 K 1 2359.5 N/m

K 1

3).- Por conservación de la energía mecánica, en el caso (b): U e 1 U g 1

U e 2

1 2

K 2 * 0.2 2

0.02 K 2

J

150 .3 J K 2

2

U g 2

0

E K 2

0

UNASAM

1

0.643

0.2

2

0.155 K 2

J


468


0



U e 1

U g 1 E K 1

0.2 K 2

150.3

K 2

0





U e 2

Capítulo IV

U g 2

E K 2

0.155K 2

1112.3 N/m

E4-36.- La barra en la figura pesa igual (w) que el aro al que se encuentra soldada. El cuerpo combinado se suelta del reposo sobre el plano inclinado en la posición mostrada. Si no hay resbalamiento, determine la velocidad de P4-36

Q después de una revolución del aro.

Solución Como las únicas fuerzas, que producen trabajo son conservativas la energía mecánica se conserva. 1).- consideraciones elementales: 1

r cos

Q

2 r sen

W

b r cos

b

W

Q

L.R

2

W

2 r

P4-36a

W

2).- Por conservación de la energía mecánica en el cuerpo combinado: E K 1

0

U g 1

mb g

E K 2

1 2

UNASAM

r

2

cos 1

2

mbV b

2 rsen

2

2

I b

2

1 2

md g 2 rsen

2

md V Q

1 2

I d

2


469


Capítulo IV

Donde: I b

mr 2

,

12

r mb g cos 2

mr 2 y U g 2

I d

Luego: E K 1

U g 1

mb g

r

2

E K 2

cos

U g 2

2 rsen

mb

2

md g 2 rsen

2

4 grsen

2

V b

2

r

2

2

V Q

24

V

2

r

2

mb r 2

2 b

md

2

24

2

md r 2

2 Q

V

2

2

r mb g cos 2

2

2

(1)

3).- Relaciones cinemáticas: V b

3r 2

y

V Q

r

3

V b

2

V Q

V Q y

2

(2)

(2) en (1): V 2

4 grsen

V Q

13r 2

2

3 13r 2

2

24

24 13

g r sen

Q   52 2 r 24

V Q2

24 13

g r sen

(Unidades de velocidad)

E4-37.- Los dos eslabones idénticos

y

en

la figura cada una de masa m y longitud  , están articulados entre si en A; y articulado a

está

en B. El extremo C de

resbala en la ranura vertical. La fricción es despreciable y el sistema se suelta desde el reposo. Encuentre la velocidad del punto C justamente antes de que el punto A alcance su punto más bajo.

P4-37

Solución Como solo los pesos realizan trabajo, se conserva la energía mecánica en el sistema. 1).-Diagrama de las posiciones inicial y final: UNASAM


470


Capítulo IV

1 C 2 L 4

G 21 mg G 11

B

2 L 4

A

mg

2 L 4

G 12

L

mg

2 L 4

G 22 A' =Ci

L.R 2

mg

C'

P4-37a


E K 1 U g 1

E K 2

3 2 4 1 2

2 4

4 1

mV G222

U g 2

2 2

mg

2

5 2

mg

4

mg

2 2

I G 2

mg

Luego: 0



E K 1

5 2 4

U g 1

E K 2

1

mg

2mg

2 1 2

U g 2

1

mV G222

2

m



m

4



1

2 12

2

6 2 g

*

24



2

m 2

2

2

2 4

mg

2

6 2 g 


Como “A’ ” es el centro instantáneo de velocidad nula:

V C



V C

UNASAM

6 2 g 

6 2 g 



(Unidades de velocidad) Autor: VÍCTOR MANUEL MENACHO LÓPEZ

471


Capítulo IV

E4-38.- Sobre el engranaje actúa un par ”C” cuya magnitud está dada por la fórmula C = (6 + 0.8 t) N-m, con t en s (ver figura).Si el sistema parte del reposo en t = 0, encuentre la velocidad del bloque

cuando: (a) t = 3 s; (b)

t = 10 s. El radio de giro centroidal del engrane es de 0.25 m.

P4-38

Solución Como el movimiento, está en función del tiempo es más conveniente utilizar el principio de impulso y cantidad de movimiento. T

T

1).- D.C.L.:

X G m1 g C Y

f

Ci

m2 g N

(a)

P4-27a

P4-38b

(b)

2).- Por los principios de impulso y cantidad de movimiento: a).- En (a): 0



t

F X dt

0

t

0

t

0

 m1 X Gf

t

 X Gi

0

0 

M G dt I G

0.15Tdt

t

0

f

0.3 fdt

I g t

0

i

Tdt

t

0

fdt

 5 X Gf

(1)

m1 K G2

Cdt 5 * 0.252

(2)

b).- En (b): t

0

 F Y dt m2Y f

t

t

0

0

19.62dt

 Tdt 2Y f

t

0

m2 gdt

t

0

 Tdt 2Y f

(3)

(1) + (3):

UNASAM


472

MECÁNICA PARA INGENIERÍA Y SUS APLICACIONES – DINÁMICA t

 fdt 5 X Gf

19.62t

0

Capítulo IV

 2Y f

(4) (1)*0.15- (2): t

t

0

0

0.45 fdt

 Gf Cdt 0.75 X

0.313

(5) (5)-(4)*0.45: 8.829t t

0

t

0

Cdt

  1.5 X 0.9Y Gf f

  1.5 X 0.9Y Gf f

6 0.8t dt 8.829t

0.4t 2

2.829 t

0.313

 1.5 X Gf

 0.9Y f

0.313

0.313

(6)

3).- Relaciones cinemáticas:  X Gf  Y f

 X Gf

0.3

0.3  Y f

0.3 0.15 0.3  Y f 0.45

 X Gf

0.45  0.6667 Y f

En (6): 2

0.4t

 Y f

2.829 t

 Y f

 0.9Y f

0,313

 Y f

0.45

1.09t 0.154 t 2

(7)

En (7): Para, t = 3 s:  Y 3

3.27 1.386 1.884

→

 Y 3

1.884

m/s

Para, t = 10 s:  10.9 15.4 Y 10

UNASAM

 4.5 → Y 10

4.5

m/s


473


Capítulo IV

E4-39.- Dos cables están enrollados alrededor del cubo del carrete de 10 kg mostrado en la figura, que tiene un radio de giro de 500 mm respecto a su eje. Se aplica una fuerza

G

constante de 40 N al cable superior. Encuentre la velocidad del centro de masa en el tiempo de 5 s después de comenzado el movimiento a partir del reposo si: (a)

= 0.2, (b)

= 0.5

P4-39

Solución Se trata de un movimiento en función del tiempo, por lo que, utilizaremos el principio de impulso y cantidad de movimiento: 1).- D.C.L.: Y

R

40N

G

r T

D

X

mg

A

f

P4-39a

N

2).- Relaciones cinemáticas.- El cuerpo tiene movimiento de rodadura (sin deslizamiento), respecto al cable (D), en donde V A 0 , pero V D 0 y a Dt 0 . Luego: aG

a D

k x r DG

0.2

aG

2

r DG

2

0.2 j

k x 0.2 j

2

0.2 j

i

(1) 3).- Relaciones cinéticas: a).- Para F Y

= 0.2: 0

f M g

N

mg 10 * 9.81 98.1 Newton

0.2 * 98.1 19.62 Newton

I G

T 18.86

UNASAM

N

12.5

0.2 T 40

0.6 f 10 * 0.52


474

MECÁNICA PARA INGENIERÍA Y SUS APLICACIONES – DINÁMICA  m X G

F X

T 40 19.62

10

0.2

2

T 59.62

Capítulo IV

(3)

(2) – (3): 2.811 rad/s2

40.76 14.5

En (2): T 18.86 12.5 * 2.811

54 Newton

Por el principio de impulso y cantidad de movimiento lineal: 5

 F X dt m X G5

0

 X G5

 54 40 19.62 * 5 10 X G5

2.811 m/s ó

b).- Para,

= 0.5:

f 0.5 * 98.1 M G

49.05 Newton 0.2 T 40

I G

0.6 * 49.05

2.5

12.5

T 107 .15

 m X G5

F X

2.811 m/s (← )

V G 5

(4) T 40

49 .05

2

2

T 89 .05

(5)

(4) – (5): 1.248 rad/s2

18.1 14.5

En (4): T 122 .75 Newton

Por el principio de impulso y cantidad de movimiento lineal: 5 0

 X G5

 F X dt m X G5

 122.75 40 49.05 * 5 10 X G5

3.37 m/s (Esto no es posible, por el signo positivo, ya que no existiría la “Tensión”) V G5

UNASAM

0

(El centro de masa no se mueve)


475


E4-40.- La barra delgada uniforme

Capítulo IV

pesa 10

lb (ver figura). La rueda de 15 lb es un disco circular. La superficie horizontal tiene fricción suficiente para impedir el resbalamiento. El resorte en la posición indicada no tiene alargamiento. La barra

se suelta desde el

reposo y el bloque ligero

resbala en la

ranura lisa. Despreciando la fricción en los pasadores determine: (a) la velocidad angular de la barra cuando A golpea al resorte con

P4-40

en la posición horizontal; (b) la deformación máxima del resorte (El Módulo del resorte es de 10 lb/plg).

Solución Como las fuerzas que producen trabajo sobre el sistema son conservativas, la energía mecánica se conserva. 1).- Diagrama de sus posiciones respectivas:

1

A

G Y

0.5' A' 2

B

B'

B''

L.R

max

A'' X

3

Ci

P4-40a

2).- Por conservación de la energía mecánica: a).- Para las posiciones “1” y “2”: U 1

0.5 mg

,

E K 1

U 2

0

,

E K 2

0 1 m V G2 2

1

k x

j

2

I G

2

(1)

Si: 0



V G

V B

k x r BG

i

En (1): E K 2

1 2

m

2

1

*

1

2 12

m * 22 *

2

2 3

m

2

Luego: UNASAM


476


Capítulo IV

0





E K 1

U 1

E K 2

2

0.5mg

3

U 2 2

m

4.914 rad/s

b).- Para las posiciones “2” y “3”: 0

U 2 U 3

m g

max

1

2

2

K

2 max

,

E K 2

,

E K 3

2

*

10

3 32.2

* 24.15

5 lb-pie

0

Luego: 0



E K 2 5

U 2 5

max

1 12 max

E K 3 60

1 144

U 3

2 max

2 max

1 12

1 max

0

12

4 12

2

0.25 (No)

max 1

max 2

0



0.333 (Bueno) max

0.333 pies

E4-41.- La figura muestra una puerta de

W = 150 Lb

incendio en el techo de un edificio. La puerta de 4 pies de ancho, 6 pies de longitud y 4 plg de espesor, es de madera (30 lb/pie3) y

5 pie

puede girar alrededor de un pasador sin fricción en “O”. Un brazo

4 pie

en voladizo, de

peso despreciable, está unido rígidamente a la puerta se abre girando 45°. Calcule la

45º Techo

4 pulg o

velocidad angular de la puerta justamente Artuculación

antes de que el peso de 150 lb golpee al techo: (a) sin nieve en el techo; (b) con nieve (1

P4-41

lb/pie3) de 1 pie de espesor, sobre el techo.

Solución Como las únicas fuerzas que producen trabajo son conservativas, la energía mecánica se conserva. UNASAM


477


Capítulo IV

1).-Diagrama de las posiciones inicial y final: 1

5 2 pie 2

C' 45º

2 pie

45º

L.R O

2

P4-341a

2).- Por conservación de la energía mecánica en el sistema: a).- Para el techo sin nieve: U 1

5 2

375 2 lb-pie

2

0

E K 1 U 2

150 *

mw ghw

1 30 * 6 * 4 * * 2 3

m P ghP

1

E K 2

2 1

E K 2

*

150

78.14

E K 2

2

* 25

2 32.2

1

2

mw 5 *

2

m P 2 * 1

*

240

2 32.2

240 2 lb-pie 1

2

2 2

*4

I GP

2

1 1

*

240

1

2 12 32.2 3

2

42

2

2

Luego: 0



E K 1

U 1

E K 2

375 2

U 2

1.6021

240 2

78.14

2

rad/s (Antihorario)

b).- Para el techo con nieve: U 2

E K 2

E K 2

w P 1

*

150

2 32.2

80.134

UNASAM

240 4 * 6 *1 2

w N hP

* 25

2

1

*

264

2 32.2

*4

2

264 2 lb-pie 1 1

*

264

1

2 12 32.2 9

16

2

2


478


Capítulo IV

Luego: E M 1

375 2

E M 2

264 2

2

80.134

1.4 rad/s (Antihorario)

1.437

E4-42.- A una barra esbelta AB de sección uniforme y masa 10 kg la mantienen fija inicialmente dos hilos, según se indica en la figura. Determinar la tensión en el hilo amarrado a B y la aceleración angular de la barra inmediatamente después de cortar el hilo amarrado a A. Supóngase lisa la superficie horizontal en contacto con el extremo A de la barra. P4-42

Solución 1).- D.C.L.: T

4T 5

Y 0.4 m

B

37º 0.3 m

X

3T 5

G W

P4-42a P4-179a

A N

dw

en

53º 37º G

37º

A

2).- Relaciones cinemáticas

B

dW

et

16º

aA

aB

d T

0.5 sen16

0.138 m

d w

0.25 cos 37

0.2 m

dt

37º

P4-42b Ca

UNASAM


479

MECÁNICA PARA INGENIERÍA Y SUS APLICACIONES – DINÁMICA aG

a B

aG

4 5

k x r BG

a B

0.75 5

a B 3 5

i

4 5

3 5

i 1 5

a B

4 5

k x 0.25

j

i

3 5

Capítulo IV

j

j

(1) También: aG

a A

k x r AG

k x 0.25

a Ai

4 5

i

3 5

a A

j

0.75 5

i

1 5

j

(2)

(1)= (2) e igualando las componentes de “Y”: 3 5

1 5

a B

1 5

2

a B

3

En (1): 8 15

aG

0.75 5

6 15

i

1 5

j

0.383 i

0.2 j

(3)


M A k I G

wd w

3 5

maGX

Td T

T 10

k

AG

xmaG

1 12

*10 * 0.52

98.1* 0.2 6.383 * 0.138

En (4):

T

60.64

0.383

6.383

T

I G k 10 * 0.25 0.8 i

0.6 j x

(4)

0.383 i

0.2

j

2.5 0.16 0.23

0.306

→

9.5 rad/s2

(horario)

Newton

E4-43.- La carretilla y su contenido tienen una masa de 40 kg y un centro de masa “G”, excluyendo la rueda. La

rueda tiene una masa de 2 kg y un radio de giro K 0 = 0.12 m. Si se suelta del reposo, estando en la posición que se ilustra. Determine su rapidez después de que ha recorrido 4 m por la pendiente. El coeficiente de fricción cinético entre el plano y A es

A

=

P4-43

0.3. La rueda gira sin deslizar en B. UNASAM


480


Capítulo IV

Solución 1).- D.S.F.(Grafico de posiciones) y D.C.L.(s): Y

1

G 4 m

X

A

WG

f 2

20º

N2

1.368 m

o

f 1

2

B'

G'

Wr N1 20º

1.368 m

A' o'

20º

B'

P4-43a

(a)

0 .4 m

Roy

0 .1 m

f 2 r o

Roy

A

Rox

20º

G

Wr

O

20º

Rox

N2

Ci

WG

0 .2 5 m

WC

f 1

0 .2 5 m

N1

(b)

(c)

P4-43b

P4-43c

2).-relaciones cinéticas: a).- En (b): M 0

I 0

f 1 r I 0

f 1

I 0 r

(1)

b).- En (c):

UNASAM


481


Capítulo IV

0



M 0 k I G

c

xmc aG , si: aG

k

wG 0.1cos 20

0G

0.25 sen20

3.32 0.445 N 2 k

0.4 N 2

a0

r i

0.15 N 2 k

1.5 k

0.1 i

0.2967N 2

0.25 j xmc r i

2.21

(2)

mc r

(3)

c).- En (a): F X i

m1a X i

f 1 f 2

42 gsen20

mr

(1) en (3): I 0

N 2

A

r

140 .92

21.71 0.0462 N 2

6.3

(4)

(2) = (4): 0.2967 N 2

2.21

21.71 0.0462 N 2

N 2

69.76 Newton

3).- Por el principio de trabajo y energía cinética; en el sistema: W 1

2 sis t .

E K sis t .

42 * 9.81* 1.368

W 1

0.3 N 2 * 4

2 c r

1 2

W 1

2 G

mcV

E K i

2 f 2

1 2

2 r G

m V

1 2

f

mr 0.12

2

V G

2

r

Remplazando valores: 21.64 V G2

V G

479 .93

4.71 m/s

E4-44.- Dos barras delgadas OA y AB están soldadas entre si para formar un cuerpo rígido (ver figura P4-44). Tal cuerpo está articulado al techo en “O” y se suelta desde el reposo en la posición

dada con el resorte sin estirar. Encuentre la velocidad angular del cuerpo cuando OA pasa por primera vez por la posición vertical.

P4-44

Solución En el cuerpo solo actúan fuerzas conservativas, que producen trabajo, por lo que, habrá conservación de la energía mecánica. UNASAM


482


Capítulo IV

1).- Diagrama de las posiciones inicial y final:

Y 21.65 cm

21.65 cm

O 60º

2

m c 7 0 . 3 3

B'

L

o'

G

1 60º

G2 30º

L.R X

Fe

d

mg

B A'

mg

A

P4-44a

21.65 cm


E K 1

,

1

E K 2

2 1

E K 2

2

1

mV G2

2

m

0

U g 1

, 1

2

I g

2

1

r 02G 2

3



2 2

U e1 m

2

r 02G 2

0 1 2

2

1 3

m 2

md 2

d 2

Remplazando valores: E K 2

5.953

U g 2

mgh 1

U e 2

2

K

2

2

J

800¨*0.0625 1 2

* 300 * 0.5 2

50 J 37.5 J

Luego: E M 1

0

E M 2

5.953

2

50

37 .5

2.1 rad/s →

UNASAM

2.1 k (rad/s)


483


Capítulo IV

E4-45.- La barra uniforme de 10 lb de peso, en la figura, está suspendida de dos cables inextensibles. En el instante mostrado, cuando cada punto de la barra tiene una velocidad de 10 i pies/s, el cable derecho se rompe. Calcule la

fuerza en el cable izquierdo inmediatamente después de la ruptura.

P4-45

Solución

Y

T

1).- D.C.L.: G

X

B


A mg

a B

c

aG

a B

aG

2

102 2

r i

2 

k x

c

2

2

2

i

c

50 j

i

2

i



2

P4-45a 2

i

c

50 j

i

2 j

2

2

i

50 2 j

3).- Relaciones cinemáticas: F Y

10

10 T

ma GY

32.2

50

2

15.53 0.62

1.61T 41.1

(1) 2T

M G I G

1

*

10

12 32.2

* 42

→

4.83 T

(2)

(1) = (2): 1.61 T 41.1

4.83 T →

T

6.38

lb

E4-46.- Un mono hambriento de masa m observa un racimo de plátanos de la misma masa (ver figura). Trepa con velocidad relativa a la cuerda (ligera). Determine si el mono alcanza los plátanos antes de que éstos pasen por encima de la polea de radio “R”, si la masa de la polea es “ f m”, en donde f

0 y el radio de giro con respecto a su eje es “K”. Si la respuesta es

afirmativa, de la relación entre d y H, para el cual es posible alcanzar los plátanos. UNASAM


484


Capítulo IV

P4-46

1).- D.S.F:

P4-46a

Y

Solución

Oy

En el análisis del sistema, se observa que las fuerzas no producen momentos.

Ox

X

O

2).- Por conservación de la cantidad de movimiento angular: 0

M 0

H 0 Z i

 mRY M

 I mRY P 0

 mR Y M

 mR Y P

2

 Y P

h

mg

0

m po K

mg

0

0

a).- En (1), para m po  Y M

f

0   H 0 Z i i

d

 Y M

→

 Y P

m po

K 2 mR

(1)

0:

El mono no alcanza el racimo de plátanos.

b).- En (1). Para m po f m :   Y Y M P

El mono alcanza al racimo.

Si: Y M

Ycu

Yrel

,

YP

Ycu

y

Y cu R

En (1): UNASAM


485


 Y Cu

 Y rel

 Y rel

 Y cu

 f Y cu

K 2 R

K

2

R

*

 Y cu

R

 Y rel

f

dH

d (d )

dt

dt

 2 f Y cu

f

K

K

Capítulo IV 2

R

2

R

Integrando y operando: HR 2 d f K 2 (El mono alcanza al racimo si cumple

está relación)

E4-47.- Una puerta rectangular de peso 40 N, se abre hacia arriba estando equilibrado por un resorte, según se indica en la figura. La constante y la longitud natural del resorte son K = 400 N/m y  0 = 575 mm, respectivamente. Si la puerta lleva una velocidad angular de 3 rad/s en sentido antihorario cuando está vert vertic icaal ( = 0°), determinar su velocidad angular y el módulo, dirección y sentido de la reacción que el gozne P4-47

ejerce sobre sobre la puerta puerta cuando cuando ésta ésta esté horizonta horizontall ( = 90°).

Solución Las fuerzas que producen trabajo son conservativas, por lo que, la energía mecánica se conserva. 1).- Grafico de sus posiciones inicial y final:

6 2 5 m m

500 mm 875 mm A

B

L.R

2

375 mm

1

P4-47a

UNASAM


486


Capítulo IV

2).- D.C.L.: Y

Fe

53.13º

Ax

B

G

Ay

X

mg

P4-47b

3).- Por conservación de la energía mecánica: mg * 0.375 375

U g 1

1

E K 1

2

1

E K 2

2

, U e 2 * 0.765 765

2 2

2

K

2

200 200 * 0.32

18 J

3.44 J

0

U g 2

1

, U e1

J

1 1 * m 2 * 9 2 3

2 1

I P

1.5

1 2

K * 0.05 2

0.5 J

2 2

0.382 382

Luego: E M 1

E M 2

15 18

3.44

0.5 0.382

2 2

3.943 rad/s

2

4).- Relaciones cinéticas: M A

I 0 P

0.375

mg sen53.13 * 400 * 0.05

0.765

11.7.65 rad/s (horario)

Luego: a B

k x rAG 5.83 i

a B F X

UNASAM

ma BX

2 2 AG

11.765 k x 0.375 i

r

3.9432 *0. *0.375 j

4.41 j (m/s2) A X

cos 53.13 * 400 400 * 0.05

40 9.81

* 5.83


487


11.772 Newton

A X F Y

AY

Capítulo IV

ma BY

AY

40

sen53 .13 * 400 400 * 0.05

40 9.81

* 4.41

6.018 Newton A

11.772 772 i

6.018 j

(Newton) →

A

13.22 Newton

E4-48.- El sistema en la figura consiste de un cilindro

(100kg) y de una placa

triangular

equilátera (20 kg); ambos están articulados en el centro de masa C 1 del cilindro. Los otros dos vértices de la placa están conectados a resortes; el izquierdo S 1 permanece vertical en la ranura (el resorte S 1 se muestra en la posición inicial). Los alargamientos iniciales de los dos resortes (en la posición mostrada) son 0.2 para S 1 y 0.04 m para S 2 . Los módulos son 40 N/m para S 1 y 10 N/m para S 2 . Si el sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada, encuentre la velocidad de C 1 cuando el vértice B alcanza su punto más bajo en la ranura. Considere que hay suficiente fricción para impedir que

resbale sobre el plano. El momento

de inercia de una placa triangular equilátera de lado “S” respecto al eje Z C es

m s 2

12

.

P4-48

Solución Como las fuerzas que producen trabajo en el sistema son conservativas, la energía mecánica se conserva. UNASAM


488


Capítulo IV

1).-Grafico de su posición inicial y final: C'1

C1

Ci1 C'2

L.R Fe 2

P4-48a

C2

F'e1

m 3 7 1 . 0

Fe 1

Ci 2 F'e 2

Para el resorte S1:

P4-48b

1 f

0.05 m

0.2 0.15

Para el resorte S2: 2i

2 f

2

0.04

2i

0.1  2 i

2i

0.06 m

0.12 m

0.18 0.06

2).- Por conservación de la energía mecánica en el sistema: E K 1 U S 11

U S 2 1

E KD 2

E KD2

0

,

1 2

K 1

1 2

K 2

1 2

UNASAM

2 1i

2 2i

m DV C 21

0.75

mgh 100* 9.81* 0.15 147.15 J , U gP 1

U gD1

2 D

1 2

* 40 * 0.2 2

1 2

0.8 J

*10 * 0.04 2

1 2

I C 1

2 D

0

1 2

0.008

*100

D

J

* 0.1

2

1

1 * 100 * 0.12 2 2

2 D

J


489


E KP 2

2 1

E KP 2

2

1

2

m P V C 2

* 20

I C 2

2

1

U S 1 2

2

K 1

1

U S 2 2

2

K 2

2 1 f

2 2 f

(Ver figura P4-37a, centro instantáneo Ci 2) 2

0.1

D

0.3

147.15 J

U gD2

2 P

* 0.173

,

1 2

U gP 2

40 * 0.05 2

1 2

Capítulo IV

10 * 0.12 2

20 2 *12

* 0.3

2

0.1

2 D

0.0416

0.3

2 D

J

0 0.05 J

0.072 J

Luego: E M 1

E M 2

147 .15 0.8 0.008 D

0.75

2 D

0.0416

2 D

147.15

0.05

0.072

0.931 rad/s (Antihorario)

Luego la velocidad de C1 en la posición final, es: V C 1

0.931 * 0.1

0.0931

(m/s)

E4-49.- La rueda en la figura pesa 200 N y tiene un radio de giro de 0.3 m respecto al eje Z C . Se suelta desde el reposo con el resorte

estirado1/2 m. Si no hay resbalamiento, encuentre cuánto se desplaza el centro “C” del

cilindro:

C

a).- Hacia arriba.

Q

b).- Hacia abajo en el movimiento que se establece. P4-49

Solución Solo producen trabajo el peso y el resorte, y el cambio de la energía cinética es nulo. 1).-Grafico de sus posiciones iniciales y finales:

UNASAM


490


Capítulo IV

X

CC 2 Y

Ci

h=3Xc 5

37º

CC1

X c

P4-49a

2).- Relaciones cinemáticas: Si:  X C

0.5

 X Q

y

 X C

 X Q

y

0.5  X C

 X Q

0.5

0.3

0.3

0.3 0.3  X C 0.5

 X Q

0.6 X C

X Q

3).- Por el principio de trabajo y energía cinética: Si: W 1

E K

2

0

0.5 m y

1

2

0.5 0.6 X C

Luego: 3 5

X C * 200

120 X C

1 2

420 0.5 2

0.5 2

75.6 X C 2 126 X C

0

0.36 X C 2

X C

0.6 X C 6 75.6

0

0.0794 m

4).- El desplazamiento hacia abajo.- Como las fuerzas que producen trabajo son conservativas, de regreso hacia atrás llega a su punto de partida. X C

0

UNASAM


491


Capítulo IV

E4-50.- El poste uniforme tiene una masa de 15 kg y cae desde el reposo cuando

= 90°,

hasta que choca contra el borde en A, = 60°. Si el poste después empieza a pivotear alrededor de este punto después del contacto con él, determine la velocidad angular del poste justo después del impacto. Suponga que el poste no desliza en B cuando cae hasta que choca contra A.

Solución P4-50

1).- Cálculo de la velocidad de “G” antes del choque; por conservación de la energía mecánica: E M 1

E M 2

2

1 1 * * 15 * 3 2 2 3

15 * 9.81* 0.2

2

1

mgh

I B

2 2

G

h L.R

G'

2 2

1.5 m

1.3 m

A

1.144 rad/s B

V G 2

1.5 *1.144

P4-50a

1.716 m/s

2).- Como no existe ningún deslizamiento o rebote, en principio la barra gira entorno del punto A durante el contacto. Esta condición se ilustra en la figura siguiente, la cual indica, respectivamente, el momento de la barra un instante antes del impacto, los impulsos que recibe durante éste y el momento un instante después del impacto. Sobre la barra actúan sólo dos fuerzas impulsivas. En comparación, el impulso en A es mucho mayor que el provocado por el peso, y dado que el tiempo de impacto es muy breve, el peso puede considerarse como no impulsivo. La fuerza impulsiva F en A tiene una magnitud y una dirección desconocida. Para eliminar está fuerza impulsiva tomamos momentos con respecto a A, observando que el momento angular entorno de A se conserva esencialmente, ya que 98.1 t * 0.923cos 60 0 a).- Diagrama cinético:

IG

IG

2

3

mVG2 G

+ A

P4-50b UNASAM

G

G

0.923 m

W dt

wdt

0

0

=

mVG3

F dt

P4-50c

P4-50d


492


Capítulo IV

b).- Por el principio de conservación de la cantidad de movimiento angular: 0

M A

0.923mV G 2

H AZ I G

H AZ

0.923 mV G 3

2

1

0.923 * 15 * 1.716

2

2

I G

15 * 32 * 1.144

3

3

0.923 *15

3

* 0.923

1 12

15 * 3 2 *

3

1.52 rad/s

3

E4-51.- Un medio cilindro uniforme de radio “r” y masa m se mantiene en la posición mostrada en la B

figura, por medio de la cuerda a B. Encuentre la reacción del piso justamente después de cortar la

A

cuerda. Se dispone de suficiente fricción para impedir el resbalamiento. P4-51

Solución

1).- D.C.L.: Y

4r 3 c G

X

mg Q

f

P4-51a

2).- Relaciones cinemáticas: aG

aC

x r CG

r 1 0.424cos

aG

r i

k x

i

4r 3

sen i

N

cos j

0.424 rsen j

(1)

3).- Relaciones cinéticas: F X F Y

maGX maGY

M C k I C

UNASAM

(2)

rsen

(3)

f

m r 1 0.424cos

N

mg 0.424m

r CG xmaC

I C

k

4r 3

sen i

cos j x m

r i


493

MECÁNICA PARA INGENIERÍA Y SUS APLICACIONES – DINÁMICA mr 2

4r f r mg sen 3

4r

2

3

m

Capítulo IV

r cos

0.5m r 0.424m r cos

f 0.424mgsen

(4)

(2) = (4): m

r 1 0.424 cos

0.424mgsen

m

r 1.5 0.848 cos

0.5m

0.424m r cos

0.424mgsen

0.424 gsen


r 1.5 0.848 cos

En (2): f

mgsen

f

mgsen

0.424

1 0.424 cos

1.5 0.848 cos 0.179 cos

0.424

0.848 cos

mgsen

1.5

0.179 cos

0.424

0.848 cos

1 5

En (3): N

mg

mg * 0.424 sen

1.5 0.848 cos

* 0.424 sen

mg 1

0.179 sen2 0.848 cos

1.5

Luego: R

f N

mg sen

0.179 cos 0.848 cos

0.424 1.5

i

mg 1

0.179 sen2 0.848 cos

1.5

j (Unidades de fuerza)

Y

E4-52.- Una barra delgada homogénea con peso 193 lb, tiene una velocidad angular horaria de 2 rad/s y una

P

B

aceleración angular de 8 rad/s2, cuando se encuentra en la posición mostrada en la figura. La pared en B es lisa; el coeficiente de fricción en A es de 0.1. Calcule las reacciones en A y B sobre posición.

en está A

X

O 2 pie

UNASAM

4 pie

G

1 pie

P4-52


494


Capítulo IV

Solución

1).-D.C.L.:

P

Y

NB

X G

P4-52a

mg


f A NA

Si: aG

a B

a B j 8k x 1.5i

r BG

2 j

4 15i

2 j

20 a B j

10 i

aG

2

k x r BG

(1)

También: k xr ´

aG

a A

aG

10 a A i

2

r AG

8k x 1.5i

a Ai

2 j

4 1.5i

2 j

20 j

(2)

De (1) y (2): 10 i

aG

20 j (pie/s2)

3).- Relaciones cinéticas: f A

0.1 N A F X

maGX

0.1 N A N B F Y

m 10

f A N B

59.94

maGY

0.1 N A

N B

59.94

N A P mg m

N A P 193 119.88

(3)

20

P 73.12

N A

(4) M G

I G

0.5 P 0.2 N B

2 * 0.1 N A

1.5 N A

1

*

193

12 32.2

* 52 * 8

99.9

(5)

(3) en (5): 0.5 P 0.2 N A UNASAM

119.88 0.2 N A

1.5N A

99.9 Autor: VÍCTOR MANUEL MENACHO LÓPEZ

495


439.56

P 2.2 N A

Capítulo IV

(6)

(4) + (6): 3.2 N A

512.68

160.21 lb

N A

160 lb

N A

Luego: 16 lb

0.1 *160.21 16.021 lb → f A

f A

En (3): 0.1 *160.21 59.94

N B

75.961 → N B

76

Las reacciones en A y B son: R A

16 i

160 j (lb)

76 i (lb)

R B

E4-53.- El cuerpo

de 50 lb de peso en la figura, puede

considerarse como un cilindro macizo con radio de 2 pies. El coeficiente de fricción en

y el plano es

= 0.2. Se aplica una

fuerza P = 10 lb verticalmente a una cuerda enrollada alrededor del cubo. Encuentre la velocidad del centro G en el tiempo 10 s después de comenzado el movimiento a partir del reposo.

P4-53


P

Y

G mg

X

f

P4-53a

N

2).- Relaciones Cinéticas, suponiendo que el cuerpo rueda (sin deslizamiento): F X

UNASAM

ma G

f

m

r

50 32.2

2

3.106

(1)


496


0

F Y M G

N P mg 0

1.5 P 2 f

I G

N

Capítulo IV

40 lb

mr 2

50 * 4

2

32.2 * 2

f 7.5 1.552

(2)

(1) = (2): 3.106

1.61 rad/s2

7.5 1.552

En (1): f 3.106 *1.61 5 lb N

0.2 * 40

Luego, como f

8 lb N , no hay deslizamiento, haciéndose la suposición correcta.

3).- Por el principio de impulso y cantidad de movimiento lineal: 10 0

0



F X dt

mV G 10

mV G 0

10

10

0

0

f dt mV G 10

50

50 32.2

V G 10

5 dt mV G 10

V G 10

32.2 pie/s (

)

E4-54.- La tubería uniforme tiene un peso de 500 lb/pie y un diámetro de 2 pies. Si se levanta según se ilustra con una aceleración de 0.5 pie/seg2. Determine el momento interno del centro A del tubo originado por el izamiento. P4-54

Solución La tubería tiene un movimiento de traslación.

UNASAM


497


Capítulo IV

1).- D.C.L. (s): T

T

T

M F





v mg

(a)

(b)

mg

F4-54a


F4-54b

a).- Para (a): F Y

maY

2T sen 45

T sen 10 000

b).- Para (b): M A k

10 000 32.2

T sen

mg maY

* 0.5

x m1 aY

AG

M T sen * 5 T cos *1 m1 g * 5 k

M

388.2 k       5 000 5 i x 0.5 j 32.2

388.2 25 388.2 5 077.64 25 000

M

7180 .87 lb

T

5077.64

5 077.64 lb-pie (antihorario)

E4-55.- La barra delgada de longitud “L” y masa m es liberada del reposo cuando θ = 0°. Determine como función de θ, las

fuerzas normal y de fricción que ejercen sobre la esquina en A a medida que cae. ¿A qué ángulo θ comienza a deslizarse si el

coeficiente de fricción estática en A es ? P4-55

Solución La barra tiene un movimiento alrededor de un eje fijo hasta que comienza a deslizar.

UNASAM


498


Capítulo IV

1).- D.C.L.: 2).- Relaciones cinéticas: F n

2

m

r

f mg sen

F t

m

L

2

(1)

r

mg cos

N

M A

2

m

L

m

2

(2) F4-55a

I A

mg cos*

L

1

2

3

3 g cos

L2

.

2 L

(3)

3).- Relaciones cinemáticas: Si: d dt

*

d

d

d

d

Remplazando valores e integrando, en (3): 3 g cos 0

2 L

d

0

2

3 g sen

d

2

2 L

2

0

0

3 g sen

(4)


(5)

L

(4) en (1): f

mg sen

3mg sen L

L

f

2

2.5 mg cos

(3) en (2): N

mg cos

mL 3 g cos

2

N

2 L

0.25 mg cos (Unidades de fuerza)

(6)

3).- Para el movimiento inminente: f

Sabiendo que f N 2.5 mg sen 0.25 mg cos

N

10 tg

, de (5) y (6):

tg 1

10

tg 1 0.1

UNASAM


499


Capítulo IV

E4-56.- Una fuerza F = 2 lb es aplicada perpendicular al eje de la varilla de 5 lb y se desplaza de O a A con una rapidez constante de 4 pie/s. Si la varilla se encuentra en reposo cuando θ = 0° y F está en O cuando t = 0, determine

la velocidad angular de la varilla en el instante en que la fuerza está en A. ¿Hasta qué ángulo ha girado la varilla cuando esto ocurre? La varilla gira en el plano horizontal. Use el principio de fuerzas y momentos. P4-56 A

0t 0n

Solución El cuerpo tiene un movimiento alrededor de un eje fijo y en el plano horizontal.

0

1).- D.C.L.: 2).- Relaciones cinéticas: en

et

F n

F

On



P4-56a

F t

m r G

F Ot M O

I O

m aG n m r G

2

(1)

m aG t

(2) 1

F

3

m L2

(3)

3).- Relaciones cinemáticas: Si, 

d dt

4 pie/s (constante)

Separando variables e integrando:

0

t

d

0

4 dt

También sabemos:

d dt

4 t

(4)

(5)

Remplazando (4) y (5) en (3): 4 t F

1 3

UNASAM

mL2

d dt

4 F

t

0

t dt

1 3

mL2

0

d


500


2 F t 2

1 2

mL

2

Capítulo IV

(6)

4).- Para el caso específico de ρ = 4 pies: 4

t 1 s

4 t

En (6): 2 * 2 *12

1

*

5

3 32.2

* 42

4.83 rad/s

→

E4-57.- El carrete tiene una masa de 500 kg y un radio de giro K G = 1.30 m, se encuentra en reposo en la superficie de una banda transportadora cuyo coeficiente fricción cinética es

k =

0.4. Si la banda

transportadora acelera a aC = 1 m/seg2, determine la tensión inicial en el alambre

P4-57

y la aceleración angular en el carrete. El carrete está originalmente en reposo.

Solución El carrete un movimiento general en el plano con rodamiento. Y

1).- D.C.L.:

X

2).- Relaciones cinemáticas.- El instantáneo de velocidad nula es A:

centro

a).- Aceleración de G: aG

0.8

i (Por rodamiento)

b).- Aceleración de B: P4-57a a B

aG

k x r GB

0.8

i

k x

1.6 j

0.8

i

c).- Aceleración C, de la banda: aC

at B

0.8

i (Por rodamiento)

(1)

2).- Relaciones cinéticas: UNASAM


501


0

F Y

4905 N

mg 500 * 9.81

N

Capítulo IV

Para que aC máximo, la fuerza de fricción debe ser (resbalamiento inminente): S

F X T

2452.5 N

N 0.5 * 4905

f

2452.5 T 500 * 0.8

m aG

2452.5 400 M G

I G

(2) 0.8 T 1.6 f m K G2

1.6 * 2452 .5 0.8 * 2452 .5

400

500 *1.32

1.68 rad/s2 (horario)

En (1): aC máx

0.8

0.8 *1.68 1.344 m/s2 (

)

En (2): T

2452 .5 400 *1.68

3126 .14 N (→)

E4-58.- El disco de 15 lb descansa sobre la placa de 5 lb. Una cuerda se enrolla en torno de la periferia del disco y está unida a la pared en B. Si se aplica un torque M =

1. 25 pies

40 lb-pie al disco, determine la aceleración angular del disco y el tiempo necesario

P4-58

para que el extremo C de la placa recorra 3 pies y golpee la pared. El disco no desliza y la superficie en D es lisa. Ignore la masa de la cuerda.

Solución El disco tiene un movimiento general en el plano y la placa un movimiento de traslación. Se tiene solo un momento activo, por lo que usamos el método alternativo del principio de trabajo y energía, para desplazamiento infinitesimales reales. 1).- Relaciones cinemáticas.- El centro instantáneo de velocidad nula es A: a).- El tiempo para recorrer una distancia X de C, es:

UNASAM


502


aC



X

V 0 t

2

t 2

2 X

t

aC

Capítulo IV

(1)

b).- Relaciones de los desplazamientos infinitesimales lineales y angulares de los centros de masa de los cuerpos, y las relaciones de sus respectivas aceleraciones: aG

y

r

X G

2 aG

aC

2

P4-58a

X

y X G

r

aC

aG

2

Luego: dX G

r d

dX

dX G

2

dX

d

2r

y

dX

2 r d

3).- Aplicando el método alternativo, para desplazamientos infinitesimales reales: 0



dW NC

dU

dE K

(2)

Dónde: dW NC

40 d

M d

dE K

40 *

mi aG i d r G i

aC

w D

4

4

40 dX

3 w D

wC

2 r

8 g

g

w D

dE K

*

g

*

dX

2r

I G i

i

d

aC

wC

2

g

i

m D *

aC

2

* aC dX

*

dX

1

2

2

3

w D

wC

g

g

8

*

2 m D * r *

aC

*

dX

2 r 2 r

mC aC dX

aC dX

Luego en (2): aC dX

aC

160 g 3 w D

8 wC

* r

Remplazando valores: aC

48.49 pie/s2

Remplazando lo encontrado en (1):

UNASAM


503


t

2*3 48.49

Capítulo IV

0.352 s

E4-59.- El cilindro de 10 lb descansa sobre una plataforma de 80 lb. Si el sistema es soltado desde el reposo, determine la velocidad angular del cilindro en 2 s. Si los coeficientes de fricción estática y cinética entre el cilindro y la plataforma son y

= k =

S =

0.3

P4-59

0.2 respectivamente.

Solución 1).- D.C.L.(s):

P4-59a

2).- Primero debemos comprobar si hay rodamiento entre disco y la plataforma. a).- Relaciones cinemáticas: aG

a D

x r DG

2

r DG

Si: k , aG aG i P4-59b

a i

a D Y j

aG i y a D X 2

r i

a

r j

Luego: aG

a

r y

a D Y

2

r

b).- Relaciones cinéticas.UNASAM


504


Capítulo IV

En (b): F X

m a

f m g sen 30

mC aG

mC g sen 30

20

a

32.2

f

0.621 621 a

10

(1)

En (a): F X

0

M G

f 5 0.311 aG

mC aG

r

f 5 0.311 311 a

F Y

f

N 1

I G

(2)

mC g cos30 f r

1 2

8.66 N

mC r 2

f

1 2

mC

r

(3)

(1) = (3) 0.621 a

1

10

2

mC

r

r

2 mC

0,621 a

10

(1) = (2): 0.621 621 a

10

5 0.311 311 a

2 mC

0.621 621 a

10

2.176 176 a

35.03

16.1 pie/s2

a

Luego en (1): 1.9 x10 3 lb

f

Para que haya rodamiento debe cumplir, que 0

f

S

N 1 :

Si: N 1

S

0.3 * 8.66

2.598 598 lb

La primera condición f 0 , lo que nos dice en el D.C.L. (a) S N 1 , si se cumple; pero f que no hay un par que produzca movimiento angular, por lo que: 2

0

Concluyendo que los dos cuerpos tienen movimientos de traslación.

UNASAM


505


Capítulo IV

E4-60.- La barra delgada de 25 lb tiene una longitud de 6 pies. Utilizando un collarín de masa despreciable, su extremo A se halla limitado a moverse en torno de una barra circular lisa de radio 3 2 pies. El extremo B descansa sobre el piso, cuyo coeficiente de fricción cinética es

B

= 0.4. Si la barra es

soltada desde el reposo cuando θ = 30°,

P4-60

determine la aceleración angular de la barra en este instante.

Y

Solución La barra tiene un movimiento general en el plano. 1).- D.C.L. (ver figura P4-60a):

P4-60a

2).- Relaciones cinemáticas.- Usando el método de los centros instantáneos de aceleración nula, ya que el cuerpo parte del reposo (ver figura P4-60b): Por la Ley de senos: 6

B C a

A C a

sen 45

sen 15

sen 20

B C a

2.196 196 pies

A C a

7.348 348 pies

aG

k x r C a G

aG P4-60b

aG

k x 2.598 i

3.696

i

3.696 j

2.598 j

3).- Relaciones cinéticas: M C a k I G

UNASAM

k

x aG

C a


506


2.196 f 2.598 mg

2.196 f 64.95 F X

F Y

3.696 * 2m

(1)

f N cos 45

3.696 m

f

3.696 m

m aG Y

N sen 45

2.598 * 2 m

23.41

m aG X

N cos 45

12

m 62

Capítulo IV

(2) mg N sen 45

N 1

2.598 m

N 1

m g 2.598

(3)

(3) ÷ (2): m g 2.598

tg 45

3.696 m

N 1

N 1

B N 1

41.667

8.143

(4)

(4) en (1): 2.196 * 0.4 * 41.667 8.143

64.95

23.41

3.323 rad/s2

E4-61.- Los cilindros A y B, pesan 1.8 daN y 4 daN respectivamente, están inicialmente en reposo. Sabiendo que es 0.2 el coeficiente de rozamiento cinético entre el cilindro B y la correa. Usando el método alternativo del principio de trabajo y energía, para desplazamientos infinitesimales reales; hallar la aceleración angular de cada cilindro inmediatamente después de que el cilindro B se ponga en contacto con la correa y sabiendo que entre los cilindros hay rodamiento. P4-61

Solución Sabiendo que la única fuerza activa, es el rozamiento entre la correa y el cilindro B. 1).- D.S.F. y relaciones cinemáticas.- Relación entre desplazamientos lineales y angulares infinitesimales del sistema, y relaciones de las aceleraciones angulares. Para rodamientos de cilindros de ejes fijos debe cumplirse: r A

A

r B

B

r A

A

r B

B

UNASAM

r A d

A

r B d

B

P4-61a Autor: VÍCTOR MANUEL MENACHO LÓPEZ

507


r B

d

A

dX

d

r A

r B d

Capítulo IV

B

B

r B A

B

r A

2).- Por el método alternativo del principio de trabajo y energía cinética, para desplazamientos infinitesimales: 0



dW NC

dE K

dU

Dónde: dW NC

f dX

0

F Y f

dE K

dE K

w B

N 18 40

N

58 N

N 0.2 * 58 11.6 N

dW NC

dE K

w A

f r B d

11 .6 * 0.1 d

B

0     mi aG i d r G i

1 2

m A r A2 *

r B r A

B

I G i

*

1

58 * 0.12 * 2 9.81

B

r B r A d

d

i

d

1 B

B

1.16 d

B

2

i

I G A

m B r B2

0.02956

B

B

A

d

d

B

B

I G B

A

1

d

2

r B2

B

B

d

m A

B

m B d

B

B

Luego: 1.116 d B

0.02956

B

d

B

B

39.242 rad/s2 (Horario)

También: 0.1 A

0.075

UNASAM

* 39.242

52.323 rad/s2 (Antihorario)


508


Capítulo IV

E4-62.- El volante de 700 lb de un pequeño malacate tiene un radio de giro de 24 pulgadas. Si la energía eléctrica se interrumpe cuando la velocidad angular del volante es de 100 rpm en el sentido de las manecillas del reloj, determine el tiempo requerido para que la velocidad angular del volante se reduzca a 40 rpm en el sentido de las manecillas del reloj.

A

P4-P4-62

Solución Por el principio de impulso angular y cantidad de movimiento angular en el sistema, en la dirección perpendicular al plano de movimiento. t 0

M A dt

H A

w B r t

IA w A

w B r t

g

w A K A2

t

mVB 2 r

2

K A2

wB g

wB r 2

IA

mVB 1 r wA

r2

1

1

2

g

K A2

wB g

r2

1

2

w B r g

Si:

1

K A

100 *

30

24 12

10.472 rad/s,

2 pies,

r

9 12

2

40*

30

4.189 rad/s

0.75 pies

Luego: 700*2 t

2

2

240*0.75

* 10.472 4.189

240*0.75*32.2

t 3.182 s

UNASAM


509


Capítulo IV

E4-63.- Un panel delgado de 60 lb se coloca en un camión con el extremo A descansando sobre una superficie horizontal rugosa y el extremo B soportado por una superficie vertical lisa. Si se sabe que la desaceleración del camión es de 12 pies/s 2 y el panel no tiene movimiento respecto al camión, determine: a).- Las reacciones en los extremos A y B. b).- El coeficiente de fricción mínimo requerido en el extremo A.

P4-63

Solución El Camión junto al panel están en movimiento de traslación. 1).- D.C.L de AB:

2).- Relaciones cinéticas: 0

FY M A

NA

60 lb

wAB

P4-63a

ma

AG

NB * 5 sen 600

M A

60 *2.5 cos 600

60 32.2

*12 *2.5 sen 600

48.4114

28.501 lb

N B

F X

ma

NB

60

f

32.2

*12

f 6.1404 lb

Luego: N A2

R A

f 2

602

6.14042

60.313 lb

3).- Cálculo del coeficiente de fricción requerida: f

6.1404

N A

60

UNASAM

0.1023


510


Capítulo IV

E4-64.- El movimiento de la barra ligera y uniforme AB de 2.4 kg se guía en A y C mediante collarines de masa despreciable. El sistema se suelta del reposo en la posición θ = 30º. Si la magnitud P aplicada al collarín A es de 10 N, determine la velocidad angular de la barra AB cuando θ = 45º.

P4-64

Solución Por el principio de trabajo y energía cinética. 1).- Diagrama de la posición inicial y final:

P4-64a

2).- Relaciones cinemáticas.- Cálculo del cuadrado de la velocidad del centro de masa G2, por el método de los centros instantáneos de velocidad nula: d

AC

y AC i

sen

d

sen 2

sen

d

*C i A

V A

AC

sen 2

P4-64b VG

VG

VA i

0.225 0.5

UNASAM

k

rAG

i

0.3

d

i

sen2 2 2

i

2

k

2 2

2

j

2

i

2 2

j

0.45 0.212

i

0.212

j


511


2

0.102

V G

Capítulo IV


W1

2

E K 2

E k 1

W1

2

P * X A

W 1

2

W 1

2

w* h

12*0.225 cot 30 0

Ek 2

d

P*

tg 30

d 0

0.184 Joule

1

2

1

mVG2

2

2

I G

tg 45

cot 45 0

1.647 1.463

1 2

w 0.3sen 450

0

2.4*9.81 0.3sen 45 0

* 2.4*0.102

2

1

*

1

2 12

0.3sen 300

0.3sen 30 0

* 2.4*0.62

2

0.1584

2

Luego: 0.184

2

0.1584

1.08 rad/s

E4-65.- La barra ligera y uniforme AB de 1.5 kg se conecta al engranaje B de 3 kg que encaja con el engrane exterior estacionario C. El radio de giro centroidal del engrane B es de 30 mm. El sistema se suelta en la posición mostrada cuando la velocidad angular de la barra es de 4 rad/s en contra del sentido de las manecillas del reloj. Si la magnitud de la velocidad angular de la barra cuando ésta pasa por la posición vertical es de 1.2 rad/s, determine la cantidad de energía que se P4-65

disipa por fricción.

Solución Por el método alternativo del principio de trabajo y energía, ya que la fricción es una fuerza no conservativo. 1).- Relaciones cinemáticas: V B

V G

r B

AB B

AB

AB

B

r B

AB

1 AB

UNASAM

2

AB

AB


512


Capítulo IV

2).- Por el método alternativo. W NC

E M

a).- Cálculo de la energía cinética para el sistema, para una posición cualquiera: Ek

E K

E k

1 1 * mAB 2 3

1 1 2 3 1 1 2 3

2 AB

mAB

2 AB

*

2 AB

*

2 AB

*1.5 3 3*

1 2

1 2

1

mB VB2

mB

0.030 0.05

2 AB

2

*

mB K B2

2 AB

1 2

2 B

2 B

mB K

2 AB

r B2

2 AB

2

2

*0.12 2 *

2 AB

2 AB

0.03297

b).- Diagrama de las posiciones:

c).- Cálculo de las energías: E k 1 0.03297 *16

U1

w aB *

U 2

0

AB

wB

2

E k 2 0.03297*1.2

P4-65a

0.5275 Joule

AB

1.5*9.81* 0.06 3*9.81* 0.12

4.4145 Joule

0.0475 Joule

Luego: U2

Ek 1

U1 0.0475

W NC

EK 2

W NC

3.895 Joule (Energía disipada)

4.4145 0.5275

E4-66.- Dos cilindros uniformes cada uno de peso de 14 lb y radio 5 pulgadas, se conectan mediante una banda en la forma que se indica. Si en el instante que se muestra la velocidad angular del cilindro B es 30 rad/s en sentido contrario a las manecillas del reloj. Usando el método alternativo del principio de trabajo y energía UNASAM

Autor: VÍCTOR MANUEL MENACHO LÓPEZ P4-66

513


para

desplazamientos

infinitesimales

Capítulo IV

reales

(MAPTEDIR), determine el tiempo que se requiere para que la velocidad angular del cilindro B se reduzca hasta 5 rad/s.

Solución 1).- Relaciones de los desplazamientos infinitesimales y de las aceleraciones: dX

rd

dX G

2 rd

B

rd A

B A

2

d A

A

d B

2

rd B

2 r

y aG

B

2

P4-66a

2).- Por MAPTEDIR: 0

dW NC

0

m g

2

dEk

r B

2 7 8

r

dU

r * d 2

1 B

mr 2 *

2

B

2

*

d

B

2

2

32.2* 4*12 B

B

1

mr 2 *

B

*d

B

r mg * d 2

B

44.16 rad/s2

7 *10


0

B

t

5 30

0

t

44.16

B

0.566 s

E4-67.- Dos barras homogéneas, de masa m cada una, están situadas en un plano vertical y articuladas tal como se indica. La figura representa el instante inicial, en el cual la barra OA (①) está en posición vertical mientras que la AB (②) está horizontal. El sistema se pone en movimiento en esta posición con

1

= 0 y

2

conocida.

Determinar, en el instante considerado: a).- Aceleraciones angulares de las barras. UNASAM


514


Capítulo IV

b).- Reacción horizontal AX sobre la barra ②

P4-67

Solución 1).- D.C.L.(s):

P4-67a

2).- Relaciones cinemáticas: a A

1

i

aG

aA

2

k 2 2

aG

1

2 2

rAG

2

i

rAG

2

2

i

1

2

k

2

2 2

i

2

i

j

3).- Relaciones cinéticas. En (b): o

M A k

IA

3 g 2

2 3 g

2

2 F X

2k

AG

AG

maA

maA

mg

1 2

3

m

2 2


↻


maG X

AX

m

2 2 1

2

(1)

En (a): M O

UNASAM

IO

1

AX

1 3

m

2 1

AX

1 3

m

1

(2)


515


Capítulo IV

De (1) y (2): m

2 2 1

2

3 1

1

8

2 2 ↺

3

m

1

2 2

4

2

3

1

(unidades de aceleración angular)

Luego en (1): A X

m

3 8

2 2

2 2

1

2

8

m

2 2

(Unidades de Fuerza)

E4-68.- El sistema de la figura se mueve en un plano vertical y el disco rueda sin deslizar. La masa de la barra OA es despreciable, la barra AB y el disco son homogéneos y de masa m cada uno de ellos. El resorte, de longitud natural nula, tiene una rigidez de constante conocida k. Si el sistema parte del reposo en determinar el valor de

= 0º,

cuando la barra OA

P4-68

pase por la posición = 60º.

Solución Como las únicas fuerzas que producen trabajo son conservativas, la energía mecánica se conserva. 1).- Diagrama de las posiciones inicial y final:

2).- Relaciones cinemáticas para un X B

cualquiera:

2 cos

UNASAM


516


cos

X G Y G

2 sen 3

X G Y G

cos

2

sen

2

V B

2 3

cos

2 2

V

X

2 G

2 G

Y

V B D

2

cos2

4

2

r

sen

2

cos

2

sen

sen

2

2 G

Capítulo IV

9sen 2

sen

r

3).- Por conservación de la energía mecánica: a).- La energía cinética para un

Ek 2

Ek b

1

Ek D

1

mVG2

2

cualquiera:

2

1

2 2

IG

2

2 D

I C i

3 2 2

1

Ek

2 1

Ek

m*

m

8

2

cos

4

2

2

2

9 sen

cos 2

1

2

1

2

* m 2 12

1

9 sen 2

24

2

2

2K

2

m

1

2

2 3m

2

* 2

1 2

mr

2

mr

2

2

mr

*

2

2 r

sen

sen 2

B0.- Cálculo de las energías: 0

E K 1

0

U1

U g 1

1

Ek 2

8

m

2

1

U2

2

K

2 2

2

2 2

0.875 m

Ek 2

1

Ue1

K

1

2

2

cos 2 600 2

1 2

2 2

2

K 2

9 sen 2 600

0.042 m

mg sen 600

2

1 2

2 2

1 24

2.25 m

m

2

2

2 2

K 2 cos 600

2 2

2 2

3m

2

3.167 m 0.433 mg

2 2

2

sen 2 600 2 2

Luego: 2 K

2

UNASAM

3.167 m

2

2 2

0.5 K

0.433 mg Autor: VÍCTOR MANUEL MENACHO LÓPEZ

517


2 2

1.5 K

Capítulo IV

0.433 mg

3.167 m 1.5 K

2

0.433 mg

3.167 m


E4-69.- Cada uno de los engranajes A y B pesa 1.5 lb y tienen un radio de giro de 1.6 in (pulgadas), mientras que el engranaje C pesa 8 lb y su radio de giro es de 4 in. Suponiendo que la fricción cinética en los cojinetes de los engranajes A, B y C producen pares de magnitud constante de valor respectivo igual a 0.1 lb.pie, 0.1 lb.pie y 0.2 lb.pie. Si la velocidad angular inicial del engranaje C es de 2000 rpm, determinar usando el MAPTEDIR el tiempo requerido para que el sistema quede

P4-69

en reposo.

Solución 1).- Relaciones de los desplazamientos infinitesimales y de las aceleraciones:

r A d

rB d

A

r C

d

A

r A

d

C

C

y

r C A

r A

rC d C

B

y d

r C B

r B

d

C

r C B

C

r B

P4-69a

2).- Por MAPTEDIR , calculamos la aceleración angular de “C”: 0

dW NC

M A d

mi aG i drG i

A

2*0.1*

UNASAM

0

rC r A

MB d

B

d

0.2* d

C

IG i

MC d

C

i

d

2

C

2

w A g

dU

i

w A g

K A2

K A2 *

rC rA

wC

Ad

C

A

*

rC rA

g d

K C2 wC

C

g

C

d

K C2

C

C

d

C


518


2*0.1* 0.7

6

0.2

24

0.038

2*

C

1.5

2

1.6

*

32.2 12

2

6 2.4

8 C

32.2

4

*

Capítulo IV 2 C

12

18.42 rad/s2

C

3).- Relaciones cinemáticas: 2000 *

0

30

209.44 rad/s

0 C t

0

209.44

0

t

18.42

c

11.37 s

E4-70.- Una barra ligera y uniforme de 0.24 lb/pie de peso se utiliza para formar el ensamble que se muestra. Éste gira en la dirección de las manecillas del reloj a la razón constante de 120 rpm bajo el efecto combinado de la gravedad y del par

M, que varía en magnitud y sentido. Determinar la magnitud y sentido del par M y la reacción en el punto A para: a).- θ = 90°. P4-70

b).- θ = 180°. Solución 900 :

1).- D.C.L., para

Si:

P4-70a

8

w1

0.24 *

w2

0.24* 120*

0.16 lb

12

2 *8 12

30

1.0053 lb

rad/s

4


FY

mi aGX i

0

M A

AY

w1

w2

m 1 r

2

0.16

*

4

32.2 12

* 4

2

0.26155 lb

0.16 1.0053 1.1653 lb

0 (Por que la única aceleración pasa por A) r

M

w1 *

M

0.64 lb-plg

UNASAM

Ax

2

0

M

0.16*

4 12

0.533 lb-pie


519


AX2

R A

AY 2

3).- D.C.L., para

0.261552

1.16532

Capítulo IV

1.1943 lb

1800 :

P4-70b


R A

F X

0

FY

m1 r

M A

0

AX 2

0 AY

M

1.1653

0.16

*

4

32.2 12

* 4

2

1.4269 lb

0

1.427 lb

E4-71.- La barra AB de 8 lb se fija a un collarín de peso despreciable en A y a un volante en B. El volante tiene un peso de 32 lb y un radio de giro de 9 pulgadas. Si en la posición mostrada la velocidad angular del volante es de 60 rpm en el sentido de las manecillas del reloj, determinar la velocidad del volante cuando el punto B está directamente debajo de C.

P4-71

Solución

Como la única fuerza que produce trabajo en el sistema es conservativa, la energía mecánica se conserva. 1).- Diagrama de las posiciones inicial y final: 12

sen h1

19.4720

36

1 2

16.4706 plg

*36cos

h 1 1.4142 pies

h2 P4-71a

UNASAM

h2

36 2

12

6 plg

0.5 pies


520


Capítulo IV

2).- Por conservación de la energía mecánica: 1 w AB

Ek 1

1

VG21

2 g

2

1

2 AB 1

I AB G

2

2 1

I D C

Si: 1 w AB

I AB G

12 g w

I D C VG 1

g

32

2

K

32.2

VB 1

1

2 AB

8

*

12 32.2

1

12 1

12

0.186 lb s2 pie

12

0.559 lb s2 pie

12

r

2

2

9

*

*

36

1

(El centro instantáneo se encuentra en el infinito)

Luego: 1

E k 1

*

8

2 1

2 32.2

U1

2

2 1

*0.559*

0.404

2 1

8*1.4142 11.314 lb-pies

w AB h1 1 w AB

Ek 2

1

0

1

2

VG 2

2 g

2

2 AB 2

I AB G

1 2

I D C

2 2

Si: V B 2

12

r

2

2

12

V B 2 AB 2

2

V G 2

AB 2

0.333

3

36 12

2

2

AB

*

2

*

3

2

6 2

0.5

2

Luego: 1

E k 2

*

8

2 32.2

U2

w AB h2

* 0.5

8 * 0.5

1

2 2

2

*0.186* 0.333

2 2

1 2

*0.559*

2 2

0.3209

2 2

4 lb-pies

Si: E M 1

E M 2 2

0.404* 60 *

2

30

8.512 rad/s

11.314

2

0.3209

2 2

4

81.3 rpm ↻

E4-72.- Un aro de radio R reforzado con un diámetro dado CD y momento de inercia conjunto respecto de O de valor UNASAM


521


Capítulo IV

I, se mueve en un plano vertical con su centro O fijo. Sobre el aro se mueve una varilla AB de masa m y longitud R de tal modo que el extremo A desliza sin rozamiento sobre el diámetro y el otro extremo B desliza sin rozamiento por el aro. Se pide: a).- Lagrangiano del sistema.

P4-72

b).- Ecuaciones diferenciales del movimiento. c).- Calcular el par que hay que aplicar al aro para que su velocidad angular sea constante.

Solución 1).- Relaciones cinemáticas.- El sistema tiene dos grados de libertad, para los que tomaremos el ángulo θ indicado en el enunciado y

= ∠AOB =

OAB. Para describir el movimiento

∠

emplearemos los vectores unitarios indicados en la figura adjunta u (según BA), v (normal), u v y et (tangente a la circunferencia).

k

La velocidad angular de la varilla es: k

Teniendo en cuenta que la velocidad de B es: V B

R

et

La velocidad del centro de la varilla G vale: VG

R

VB

2

u

R

R

et

P4-72a

v

2

Necesitamos el cuadrado de esta magnitud para el Lagrangiano: 2 G

V

R

R

2 G

V

R

2

2

2

2

4

R2

cos

2 2

4

(1 8cos2

)

2

1 8 sen2

6

2).- Determinación de la expresión de la ecuación de Lagrange. a).- El Lagrangiano es: L L

Ek

U

1

2

2

I

1 2

m*

R

2

4

mg 2 R cos cos

2

(1 8cos2

R

2

)

2

1 8 sen2

6

1

*

1

2 12

2

mR

2

(1)

cos

b).- Las ecuaciones de Lagrange se obtiene derivando (1):

UNASAM


522


I

4

1 12 1 4

mR2

1 8cos 2

mR 2

mR2

4 mR3

2 mgR cos sen 1 8sen 2

mg 2 Rsen cos

2 mR2

3

sen cos mg

2

2

R mg sen 2

R

2

4

Capítulo IV

mR2

(2)

0

sen

sen cos

3 4

mR2

(5)

0

3).- El momento M aplicado al aro es la fuerza generalizada asociada al giro del aro se deduce inmediatamente de la expresión de su trabajo virtual W emplearemos la expresión de Lagrange en momento M y sustituyendo 4 mR3

sen cos

3 4

. Por tanto,

M

(2), introduciendo a la derecha del signo igual el

0.

,

mR2

. Lo que

1 12

mR2

2 mgR cos sen

mg

R

2

sen

M

E4-73.- El bastidor del rodillo tiene una masa de 5.5 Mg y un centro de masa G. El rodillo tiene una masa de 2 Mg y un radio de giro con respecto a su centro de masa k A = 0.45 m. Si se aplica un par de torsión de M = 600 N-m a las ruedas traseras, determine la velocidad de la aplanadora en t = 4 s, a partir del reposo. No hay deslizamiento. Ignore la P4-73

masa de las ruedas motrices.

Solución Como se trata de un movimiento en función del tiempo, utilizaremos los principios de impulso línea y angular, ya que hay movimiento de traslación y rotación. 1).- D.S.F. y D.C.L.(s):

(a)

UNASAM


523


Capítulo IV

P4-73a

(b)

(c)

2).- Relaciones cinéticas en las ruedas con masas despreciables, en (b): 0

M D

600

fc *0.5

0

1200 N

f C

3).- Por el principio de impulso y cantidad de movimiento en el bastidor y ruedas motrices, en (a): 0 4

mb VG 1

A X

FX dt

0

0 1200* 4 AX * 4

mb VG 2

5500 VG 2

1200 1375V G 2

(1)

4).- por el principio de impulso y cantidad de movimiento en el rodillo, en (c): Si: VG 2

V A 2

0.6

0

H B r

4 1

A X *0.6

0

M B dt

2000*0.452

H B r

V G 2

0.6

2

2000VG 2 *0.6

AX

781.25V G 2

(2)

De (1) y (2): A X

435 N y

V G 2 0.557 m/s

E4-74.- La polea A y el tambor B conectado tienen un peso de 20 lb y un radio de giro de k B = 0.6 pie. Si la polea P “rueda” hacia abajo sobre la cuerda sin deslizar, determine la rapidez del embalaje C de 20 lb cuando s = 10 pies. Para el cálculo, ignore la masa de la polea P y la cuerda.

Solución Como las únicas fuerzas que producen trabajo, son los pesos la energía mecánica se conservará.

P4-74

1).- Relaciones cinemáticas.- Encontraremos la relación de la velocidad de C, con la velocidad angular de la polea, utilizando el método de los centros instantáneos de velocidad nula. UNASAM


524


Capítulo IV

P4-74a

X V D

V C

0.4

X

0.4

V E

0.4

0.6

X 0.4

X

A

A

0.6

V C

0.4

0.8

A

0.4 pies

X

A

(1)

2).- Por conservación de la energía mecánica: E K 1

0

U 1

100 lb-pies

1

E K 2

2

1

mc VC2

2

I B

2 A

1

*

20

2 32.2

* 0.6

1

2 A

*

20

2 32.2

*0.62

2 A

0.2236

2 A

lb-pies

200 lb-pies

U 2

Luego: E K 1 A

U1

EK 2

U 2

0 100

0.2336

2 A

200

21.15 rad/s

La velocidad de C, cuando s = 10 pies, es: V C

0.6

A

0.6 * 21.15 12.7 pies/s

E4-75.- Se muestra parte de una cinta transportadora. Una cadena está engranada en las ruedas dentadas A y B. La cadena tiene una masa de 5 kg/m. Además, cada engranaje tiene una masa de 3 kg y un radio de giro de 300 mm. Si se aplica una fuerza de 100 N en un extremo tal como se muestra, ¿cuál es la máxima fuerza posible T que se puede transmitir al otro extremo si 5 rad/s2? Los engranajes ruedan libremente. El sistema está en un plano vertical.

UNASAM


525


Capítulo IV

P4-75

Solución Por MAPTEDIR 1).- Relación de los desplazamientos infinitesimales y de las aceleraciones: dX

rd

2 r

dX1

2

dX 3

4

a

d

2 r

2d

r

2 r

a1

2

a3

4

2 r

2

P4-75a

2).- Por le método alternativo del principio de trabajo y energía para desplazamientos infinitesimales reales (MAPTEDIR): 0 n

dW NC

n

mi aG i drG i i 1

100 dX

n

TdX

100 T rd

IG i

i

d

mi gdhi

i 1

m1 2 a1 2 dX 1

2

2r

5* r *

n

i 1

m2 3 a2 3 dX 2

*

2 r

K j X j dX j j 1

3

m3 4 a 3 4 dX 3

5*1* r * rd

d

4

2

1 2

m D r 2

d

dX m0 1g 2

0

5*

UNASAM

r

2

*

2r

2 *

2r

2 d

2

3* r *

rd 5* rd * g * 2


526

IV Cinética del cuerpo rí0000000000000000000000000000000000000000000000gido

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