1.1 Importancia de los métodos numéricos Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “ aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:
Cálculo de derivadas
Integrales
Ecuaciones diferenciales
Operaciones con matrices
Interpolaciones
Ajuste de curvas Polinomios
Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, etc...
1.2 Conceptos Básicos. Cifras significativas. Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.
1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. 2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras. Exactitud y Precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. Insertidumbre Algunas veces se introducen errores en un análisis debido a la incertidumbre (sin certeza) de los datos físicos sobre los que se basa el modelo.
1.3 Tipos de errores Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos. Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado esta dada por: Valor verdadero = Valor aproximado + Error Error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es: Eu = Valor verdadero – Valor aproximado Ejemplo: Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm, calcúlese: a) el error y B) el error relativo porcentual de cada caso:
Solución: a) el error en la medición del puente es de: Eu = 10 000 – 9 999 = 1 cm Y para el remache es: Eu = 10 – 9 = 1 cm b) El error relativo porcentual para el puente es de: Eu = 1/ 10 000 100% = 0.01 % Y para el remache es de: Eu = 1 / 10 100% = 10% Por lo tanto aunque ambas medidas tienen un error de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear. Error relativo fraccional = error . Valor verdadero El error relativo también se puede multiplicar por 100% para expresarlo como: Eu = error verdadero 100% Valor verdadero Donde Eu denota el error relativo porcentual I) la aproximación es mayor que el valor verdadero (o la aproximación previa es mayor que la aproximación actual), el error es negativo; si la aproximación es menor que el valor verdadero, el error es positivo. También en las ecuaciones, el denominador puede ser menor de cero, lo que lleva a un error negativo.
Errores de redondeo
Este tipo de errores se deben a que las computadoras solo guardan un numero finito de cifras significativas durante un cálculo. Por ejemplo: si solo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar p como p = 3.141 592 y generando un error de redondeo. Esta técnica de retener solo los primeros números se le llamo "Truncamiento" en el ambiente de computación de preferencia se le llamara de corte para distinguirlo de los errores de truncamiento discutidos. Un corte ignora los términos restantes de la representación decimal completa. Por ejemplo: el octavo número significativo en este caso es 6. Por lo tanto p se representa de manera exacta como 3.141593 que como 3.141592 obtenido mediante un corte, ya que el valor esta mas cercano del valor verdadero. Esto se puede visualizar de la siguiente forma: si p se aproxima por p = 3.141593, el error de redondeo se reduce a; Eu = 0.000 000 035........
Errores de truncamiento
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. dv = D u = u(t-1) – v(t) dt D t t-1 - t Se introdujo un error de truncamiento en la solución numérica ya que la ecuación de diferencias solo se aproxima el valor verdadero de la derivada.
Error numérico total
El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento. (Los errores de truncamiento decrecen conforme él numero de cálculos aumenta, por lo que se encara el siguiente problema: la estrategia de disminuir un componente del error total lleva al incremento del otro).
Errores por equivocación, de planteamiento o incertidumbre en los datos
En los primeros años de la computación, los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computadora misma. Hoy en día, esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se pueden atribuir a errores humanos.
Errores de formulación
Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de un error de formulación imperceptible es el hacho de que la segunda Ley de Newton no explica los efectos relativísticos.
1.4 Software de Cómputo Numérico Muchos problemas de cómputo en ingeniería pueden ser divididos en pedazos de cálculos bien conocidos, como solución de sistemas de ecuaciones lineales, transformada rápida de Fourier, etc. Por consecuencia, frecuentemente el programador sólo tiene que escribir una rutina pequeña (driver) para el problema particular que tenga, porque el software para resolver las subtareas se encuentra ya disponible. De esta forma la gente no tiene que reinventar la rueda una y otra vez. El mejor software para un tipo particular de problema debería ser adquirido de una compañía comercial, pero para álgebra lineal y algunos otros cómputo numéricos básicos hay software de calidad gratis (a través de Netlib). Netlib Netlib (NET LI Brary) es una colección grande de software, documentos, bases de datos gratis que son de interés para las comunidades científicas y de métodos numéricos. El depósito es mantenido por los Laboratorios Bell de AT&T, la Universidad de Tennessee y el Laboratorio Nacional Oak Ridge, y replicado en varios sitios alrededor del mundo.
Netlib contiene software de alta calidad que ha sido probado en forma intensiva, pero todo el software libre no tiene garantía y poco (si existe) soporte. Para poder usar el software, primero se tiene que descargar en su computadora y entonces compilarlo. Paquetes de software comercial para cómputo numérico general: NAG El Grupo de Algoritmos numéricos (Numerical Algorithms Group) (NAG) ha desarrollado una biblioteca de Fortran conteniendo alrededor de 1000 subrutinas accesibles al usuario para resolver problemas generales de matemáticas aplicadas, incluyendo: ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, transformada rápida de Fourier, cuadratura, álgebra lineal, ecuaciones no lineales, ecuaciones integrales, y más. IMSL La biblioteca numérica de Fortran IMSL hecha por Visual Numerics, Inc. cubre muchas de las áreas contenidas en la biblioteca NAG. También tiene soporte para analizar y presentar datos estadísticos en aplicaciones científicas y de negocios. NUMERICAL RECIPES Los libros de Numerical Recipes in C/Fortran son muy populares entre los ingenieros porque pueden ser usados como libro de cocina donde se puede encontrar una “receta (recipe)” para resolver algún problema a mano. Sin embargo, el software correspondiente de Numerical Recipes no es comparable en alcance o calidad al dado por NAG o IMSL. Es un software muy usado en universidades, centros de investigación y por ingenieros. En los últimos años ha incluido muchas más capacidades, como la de programar directamente procesadores digitales de señal, crear código VHDL y otras. MATLAB Es un programa de cálculo numérico, orientado a matrices y vectores. Por tanto desde el principio hay que pensar que todo lo que se pretenda hacer con él, será mucho más rápido y efectivo si se piensa en términos de matrices y vectores. GNU OCTAVE
Es un programa libre para realizar cálculos numéricos. Como indica su nombre es parte de proyecto GNU. MATLAB es considerado su equivalente comercial. Entre varias características que comparten se puede destacar que ambos ofrecen un intérprete permitiendo ejecutar órdenes en modo interactivo. Nótese que Octave no es un sistema de álgebra computacional como podría ser GNU Máxima, sino que usa un lenguaje que está orientado al análisis numérico.
