INVESTIGACIÓN INVESTIGACIÓN DE D E OPERACIONES OPERACIONES I. ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES? I. a.
Origen de la investigación de operaciones
I. b.
Modelo
I. c.
Optimización
II. PROGRAMACIÓN LINEAL II. a. Concepto de programación lineal II. b. Planteamiento de problemas en términos de programación lineal II. c. Estructura general de un modelo de programación lineal II. d. Método gráfico II. e. Teoría del método simplex Por lo visto anteriormente, para encontrar la solución óptima de un modelo lineal se debía analizar todos los puntos posibles extremos, lo cual puede ser una tarea laboriosa. George Dantzig elaboró un método a finales de los 40’s que permite resolver un problema lineal sin necesidad de analizar de manera explícita el valor de la función objetivo en cada punto extremo. Esta herramienta se le conoce como método simplex. Considerando el modelo lineal en la forma conocida, el cual después de añadir variables de holgura puede llevarse a la forma estándar, deben ponerse tantas variables de holgura S n como restricciones existan en cada problema, y se asigna cada una en cada restricción. Max Z = Cxi + Cx j Sujeto a: xi + x j ≥ b1 xi + x j ≤ b2 xi, x j ≥ 0
Max Z = - Cx i - Cx j Sujeto a: xi + x j - s1≥ b1 xi + x j + s2 ≥ b2 xi, x j, s1, s2 ≥ 0
Problema 1 Suponga que usted produce galletas y que gana $6.00 por cada galleta cuadrada y $5.00 por cada galleta redonda. El modelo del problema se presenta a continuación: X1 = cantidad por pieza de galleta cuadrada X2 = cantidad por pieza de galleta redonda Max Z = Sujeto a:
6x1 + 5x2 x1 + x2 ≤ 9 x1 – x2 ≥ 1
Para resolver este problema en primer lugar debemos convertir la función objetivo a la forma estándar. La función objetivo Max Z = 6x1 + 5x2 deberá cambiar de signo; es decir, si son valores negativos la función tomará valores positivos y viceversa. Max Z =
- 6x1 - 5x2
Continuemos ahora con las restricciones. La primera restricción x1 + x2 ≤ 9 deberá convertirse a la forma estándar, el valor de x1 y x2 no cambia pero tenemos que quitar la desigualdad agregando una variable de holgura s1, tarea que hay que repetir en cada restricción; si la desigualdad es ≤ la variable de holgura toma un signo positivo, y si la desigualdad es ≥ la variable de holgura es negativa. Por lo que las restricciones quedan de la siguiente manera: Sujeto a:
x1 + x2 + s1 = 9 x1 – x2 – s2 = 1
Max Z = Sujeto a:
6x1 + 5x2 x1 + x2 ≤ 9 x1 – x2 ≥ 1
Max Z = Sujeto a:
- 6x1 - 5x2 x1 + x2 +s1 = 9 x1 – x2 + s2 = 1
el siguiente paso es introducir los valores del modelo a la tabla simplex:
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
1
1
1
0
9
s2
1
-1
0
-1
1
Z
-6
-5
0
0
0
Ya con los valores en la tabla se debe resolver el problema con los siguientes pasos: Paso 1. Elegir el valor de Z más negativo.- el valor que se elija indicará la columna que nombrará columna pivote o columna de entrada. x1
x2
s1
s2
Solución
s1
1
1
1
0
9
s2
1
-1
0
-1
1
Z
-6
-5
0
0
0
En la tabla anterior puede observarse que x1 es la variable de entrada. Paso 2. Determinar la variable de salida mediante la división de la columna solución en tre la columna de entrada. Solo se aplica a las restricciones. x1
x2
s1
s2
Solución
s1
1
1
1
0
9
9/1=9
s2
1
-1
0
-1
1
1/1=1
Z
-6
-5
0
0
0
Se elige el valor positivo más pequeño sin tomar en cuenta negativos o ceros. En este caso la variable s2 sale y entra la variable x1. Paso 3. A la intersección entre la columna de entrada y el renglón de salida se le llama pivote.
Paso 4. Es muy importante que el pivote tome el valor de 1, si éste no tiene dicho valor, conviértalo a 1 dividiendo todo el renglón entre el valor del pivote. En este caso el pivote ya es uno, por lo tanto el renglón queda igual. Paso 5. Hacer ceros los demás valores de la columna de entrada o pivote y cambiar el nombre de la restricción s2 a x1 x1
x2
s1
s2
Solución
s1
1
1
1
0
9
X1
1
-1
0
-1
1
Z
-6
-5
0
0
0
En primer término, se tiene que multiplicar el renglón x1 por el inverso del valor que se hará cero y sumárselo al renglón que desea convertirse, es decir, si queremos hacer cero al 1, multiplicamos al renglón x1 por -1 y el resultado se lo sumamos a s2. x1
x2
s1
s2
Solución
s1
0
2
1
1
8
s2
1
-1
0
-1
1
Z
0
-11
0
-6
6
Paso 6. Si en el renglón de Z aún existen valores negativos, regrese al paso 1 hasta que el renglón Z no tenga valores negativos. x1
x2
s1
s2
Solución
x2
0
1
0.5
0.5
4
x1
1
-1
0
-1
1
Z
0
-11
0
-6
6
x1
x2
s1
s2
Solución
x2
0
1
0.5
0.5
4
x1
1
0
0.5
-0.5
5
Z
0
0
5.5
-0.5
50
x1
x2
s1
s2
Solución
s2
0
2
1
1
8
x1
1
0
0.5
-0.5
5
Z
0
0
5.5
-0.5
50
x1
x2
s1
s2
Solución
s2
0
2
1
1
8
x1
1
1
1
0
9
Z
0
1
6
0
50
Problema 2 Max Z = Sujeto a:
5x1 + 2x2 6x1 + 10x2 ≤ 30 10x1 + 4x2 ≤ 20 x1, x2 ≥ 0
Max Z = Sujeto a:
- 5x1 - 2x2 6x1 + 10x2 + s1 = 30 10x1 + 4x2 + s2 = 20 x1, x2, s1, s2 ≥ 0
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
6
10
1
0
30
s2
10
4
0
1
20
Z
-5
-2
0
0
0
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
6
10
1
0
30
x1
1
0.4
0
0.1
2
Z
-5
-2
0
0
0
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
0
7.6
1
-0.6
18
x1
1
0.4
0
0.1
2
Z
0
0
0
0.5
10
Problema 3 Max Z = Sujeto a:
5x1 + 2x2 6x1 + 10x2 ≤ 30 10x1 + 4x2 ≤ 20 x1, x2 ≥ 0
Max Z = Sujeto a:
- 5x1 - 2x2 6x1 + 10x2 + s1 = 30 10x1 + 4x2 + s2 = 20 x1, x2, s1, s2 ≥ 0
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
2
1
1
0
8
s2
2
3
0
1
12
Z
-3
-1
0
0
0
x1
x2
s1
s2
Solución
x1
1
0.5
0.5
0
4
s2
0
2
-1
1
4
Z
0
0.5
1.5
0
12
II. f.
Dualidad
El término dualidad señala la existencia de dos fenómenos o caractere s diferentes en un mismo estado. Por ejemplo el bien y el mal. Dentro de la investigación de operaciones, el concepto de dualidad desempeña un papel importante tanto en la teoría como en la práctica. Todo modelo de programación lineal está asociado a otro modelo llamado dual. Entre otras cosas las estructuras duales permiten:
Resolver problemas lineales que tienen más restricciones que actividades.
Hacer interpretaciones económicas de las soluciones óptimas de los problemas de programación lineal.
Concebir nuevos algoritmos para solucionar problemas de redes de optimización.
Generar métodos como el dual simples para realizar el análisis de sensibilidad de los programas de programación lineal.
Para poder entender el concepto de dualidad debemos referirnos al tema de matriz transpuesta. Podemos decir que la matriz transpuesta es aquella en donde las columnas se transforman en filas y viceversa. Ejemplo
a
b
c
1
15
20
25
2
10
30
40
1
2
a
15
10
b
20
30
c
25
40
Cuestiones importantes que se deben tomar en cuenta: 1. Si el primal es un problema de maximización, su dual será un problema de minimización o viceversa.
2. Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los coeficientes del vector de disponibilidad del problema dual. 3. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten en los coeficientes de la función objetivo del problema dual. 4. Los coeficientes de las restricciones del problema primal serán la matriz de coeficientes del dual. 5. Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal. 6. Si el primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendrá n restricciones y m variables. Problema 1 Min Z = Sujeto a:
15x1 + 12x2 x1 + 2x2 ≥ 3 2x1 - 4x2 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0
Max Z = Sujeto a:
Min Z = Sujeto a:
x1 + 3x2 + 2x3 3x1 – x2 + 2x3 ≤ 7 2x1 - 4x2 ≥ 12 -2x1 + 3/2x2 + 4x3 ≤ 5 x1, x2, x3 ≥ 0
Max Z = Sujeto a:
3y1 + 5y2 1y1 + 2y2 ≤ 15 2y1 - 4y2 ≥12 y1, y2 ≥ 0
7y1 + 12y2 + 5y3 3y1 + 2y2 - 2y3 ≥ 1 - y1 - 4y2 + 3/2y3 ≤ 3 2y1 + 4y3 ≥ 2 x1, x2, x3 ≥ 0
Ejemplo 1. Una compañía cultiva brócoli y coliflor de 500 acres de terreno. Un acre de brócoli produce $500 de contribución a las utilidades y un a cre de coliflor $1,000. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse más de 200 acres de brócoli. Durante la temporada de plantación habrá disponibles 1,200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada acre de brócoli requiere 2.5 horas-hombre y cada acre de coliflor 5.5. Determine cuántos acres de brócoli y cuántos de coliflor deben plantarse para maximizar la contribución a las utilidades. Ejemplo 2. La AHM Corporation tiene una pequeña planta en la que fabrica dos productos. Con propósitos de planteamiento identificaremos a los productos como x1 y x2. Las contribuciones a las utilidades son $10 y $12 respectivamente. Los productos pasan a través de tres departamentos de producción en la planta. El tiempo requerido para fabricar cada producto y el tiempo requerido disponible se muestran en la siguiente tabla: Horas hombre
Horas hombre
Horas hombre
requeridas para x1
requeridas para x1
disponibles
1
2.0
3.0
1500
2
3.0
2.0
1500
3
1.0
1.0
600
Departamento
Los administradores de la AHM desean determinar la mezcla de producción de los pr oductos x1 y x2 que maximice las utilidades.
Ejemplo 3. Maximizar Z=300x1 + 410 x2 Sujeto a 50x1 + 120x2 <6000 110x1 + 60x2 < 6600 60 x1 + 70 x2 < 4200 X1, x2 >0
Ejemplo 4. Minimizar Z=90x1 + 110x2 Sujeto a 50x1 + 120x2 > 6000 130 x1 + 40x2 > 5200 80x1 + 80 x2 > 6400
1 MÉTODO DE TRANSPORTE 1.1Introducción Conocido también como método de distribución, de asignación y de transbordo debido a su aplicación en diferentes tipos de problemas. Es un caso particular de la programación lineal que se resuelve por una metodología diferente más sencilla que el simplex. Consiste en asignar o distribuir diferentes cantidades de objetos desde los orígen es hacia algunos destinos buscándolo hacer de manera óptima, con costo mínimo o utilidad máxima.
1.2Planteamiento del problema Para el planteamiento se tomará como ejemplo el caso de abastecer mercancía desde cuatro diferentes centros de suministro A, B, C y D hacia cuatro centros de consumo W, X, Y y Z buscando hacerlo a un costo total mínimo. En la siguiente tabla se presenta las diferentes ofertas de los centros de suministro, aspi como las demandas de los centros de consumo. Centro de Suministro A B C D TOTAL
Capacidad de producción PA PB PC PD P
Centro de consumo
Demanda
W X Y Z TOTAL
DW DX DY DZ D
Se considerará que la oferta total P debe ser igual a la demanda total D.
1.3Métodos de inicialización 1.4Caso base 1.4.1 Método de la esquina noroeste 1.4.2 Método del costo menor 1.4.3 Método mutuamente preferido 1.4.4 Método de Vogel
Centro de Ventas
Centro de Ventas
Centro de Ventas
1
2
3
24
18
21
7500
23
20
19
6500
6000
4500
3500
14000
Centro de Producción 1 Centro de Producción 2 Demanda
Oferta
W
X
Y
Z
Oferta
A
25
18
21
23
510
B
19
23
22
26
475
C
22
25
26
17
390
D
24
21
20
22
225
Demanda
600
500
300
200
1600
