CVO;CSC. Santiago. Desarrollo problema intersección de dos cilindros.
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CÁLCULANDO EL VOLÚMEN DE DE UN OCTANTE; CUADRADO CUADRADO SOBRE CUADRADO Espinosa. Santiago
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j ( x )
RESUMEN: Calcule el volumen de un octante de
∫[
la región común a dos cilindros circulares rectos de radio r que se intersecan en formando un ángulo recto.
h( x)
Así, solo seria necesario integrar la integral -que determina el área- entre los límites que comprenden la altura del solido para conocer el volumen de la figura.
PALABRAS CLAVE: Integral definida, Sección transversal, Steinmentz solid, Volumen.
1 INTRODUCCIÓN
a j ( x )
d ydz ∫ ∫ [ f ( y) − g( y)] dy
El problema planteado puede ser resuelto por medio de tres maneras distintas utilizando el cálculo integral.
b h( x)
Donde a y b corresponden a la parte más alta y baja de la figura y comprenden su altura.
INTEGRALES SENCILLAS
DESCOMPOSICION INTEGRALES TRIPLES.
La primera forma es por integrales sencillas utilizando el teorema de volúmenes sobre sólidos, el cual se define así: “sea un solido cualquiera, sea A(x) la función que determina el área de las seccione transversales del mismo solido, el volumen del solido será dado por”:
∫
dy ( y) − g( y)] dy
ALGEBRAICA
E
La ultima forma de resolver la integral seria por medio de la descomposición algebraica de los cilindros para generar desigualdades las cuales luego generarían integrales triples que nos conducirían al mismo resultado.
•
( x) dx = V
De esta manera bastaría con hallar la función que determina el área de las secciones transversales del solido y luego integrarla entre los límites de la figura, para hallar el volumen correspondiente.
Debido a los niveles de complejidad de estos procesos se ha decidido resolver el problema de manera descriptiva y argumentativa por el método 1, de manera expositiva por el método 2 y el método 3 no será utilizado.
2 CONTENIDO Para iniciar el desarrollo del problema el primer paso que se debe tomar es realizar un análisis geométrico al octante para determinar cuál será la la manera más adecuada para estudiarlo y encontrar su volumen.
INTEGRALES DOBLES Para resolver el problema por este método lo primero seria conocer las funciones que limitan las curvas del solido, que a su vez limitan las secciones transversales. Una vez conocidas las funciones bastaría con aplicar el teorema que que dice: “sea un solido cualquiera, el area de la región limitada por y=f(x) , y=g(x) , x =h(x) y x=j(x) considerándolas todas como funciones continuas , asegurándose que f(x)>g(x) para todo x [h(x),j(x)] (h(x)
Fig. 1
1
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. De esta manera ya conocemos que el lado del cuadrado
De esta manera si observamos la intersección de los dos cilindros en una proyección por el eje x hacia los ejes (y,z ))- desde arriba-encontramos que el octante se compone de una sucesión infinita de cuadrados que aumentan y disminuyen en tamaño conforme a las funciones que delimitan las circunferencias de los cilindros proyectadas en el origen del plano cartesiano.
2 r2 − y2 así el área del cuadrado cuadrado es :
mide
(2 r 2 − y2 ) 2 = 4( 4( r 2 − y2 ) = A( y )
(1)
Es claro entonces que el volumen del octante comprendido en la intersección de los dos cilindros esta dado por la integral del área de los cuadrados evaluada en un barrido por el eje x evaluando los puntos comprendidos entre r y –r. Fig. 2
r
∫
V= A(y)dy
(2)
-r r
V=
∫ 4(r
2
− y2 )dy
− r
r
∫
V = 2 4(r 2 − y 2 )dy Así sabremos que cuando realicemos los cortes transversales del octante, la placa “S” (la cual corresponde a la sección transversal) resultará ser un cuadrado inscrito en las circunferencias de radio r.
0
r
∫
V = 8 ( r 2 − y 2 ) dy 0
Para calcular el área de esta sección transversal (cuadrado), realizamos un triángulo como se ilustra en la figura , y por Pitágoras encontramos su valor.
r
2 y 3 V = 8 r y − 3 0 3 r 3 V = 8 r − 3 V = 8 V =
r 2 = y 2 − z 2
2r 3
16 3
3
r 3
TERMINOS Y SIGNIFICADOS SIGNIFICADOS Tabla 1.
= r 2 − y2 Abreviatura r V A y,z A(y)
Fig. 3
2
Significado Radio circunferencia volumen área Catetos triangulo Fig.3 Función del área de la sección transversal
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4 RESULTADOS
5 CONCLUSIONES
La expresión matemática
16 r 3 3
1. El trabajo desarrollado me permitió permitió adquirir herramientas útiles para desarrollar problemas que se pueden presentar en la cotidianidad. 2. La metodología desarrollada para elaborar el trabajo me permitió encontrar herramientas útiles para enfrentar situaciones que se avecinan con el paso a la universidad. 3. El formato en el cual se desarrollo el trabajo me permitió encontrar posibilidades nuevas para presentar y desarrollar trabajos de mayor calidad estructural y más formalidad. 4. El trabajo me permitió adquirir nuevos conceptos matemáticos mas avanzados.
corresponde a la
función que nos indica el área del octante que se genera por la intersección de dos cilindros en un Angulo recto, de igual radio. Donde r corresponde al radio de los cilindros. Ejemplos: Tabla 2. Radio
Volumen octante
1
16/3
2
128/3
3
432/73
4
1024/3
5
2000/3
6
3456/3
7
5488/3
8
8192/3
9
11064/3
10
18000/3
11
21296/3
12
27648/3
6 REFERENCIAS [1]http://temasmatematico [1]http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/I s.uniandes.edu.co/Integral_de_Honor ntegral_de_Honor es/dos_cilindros/dos_cilindros.htm [2] James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, Transcendentals , Fifth Edition, Thomson Brooks/Cole, Belmont CA, 2003 p. 454 (Exercise 64 in Section 6.2: Volumes). Volumes). [3] La intersección de dos cilindros por Manuel Sandoval, estudiante universidad de los andes.
7 AUTORES Grafica 1.
Santiago Espinosa Meléndez
Notas: Formato adquirido de: intercon2010.org/downloads/paper_ieee _intercon2010_es.doc
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