Interpretacion de Funciones de Transferencias Final

INTERPRETACIÓN DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA CON DIFERENTES EXCITACIONES. Juan Alberto Londoño James Vanegas Ríos Facultad de ingeniería [email protected] [email protected] Instituto Tecnológico Metropolitano

Resumen. En este Documento se plantea la simulación e interpretación de funciones de transferencia, excitadas con señales de tipo escalón unitario, rampa unitaria, random,delta dirac, entre otras y se llevaran a cabo cálculos como factor de amortiguamiento, frecuencia natural, teorema del valor final, tiempos de establecimiento, polos y ceros del sistema. Además fue implementado en dos etapas, y para cada una de ellas diferentes interfaces del software MATLAB, tales como Script y Simulink para modelar la respuesta del sistema.

Palabras claves: Función de transferencia, polos del sistema, ceros del sistema, tiempo de establecimiento, factor de amortiguamiento, frecuencia natural, teorema del valor final.

Abstract. In this paper arises the simulation and interpretation of transfer functions, excited with signals of type unit step, unit ramp, random, among others and will take performed calculations such as damping factor, natural frequency, final value theorem, settling time, poles and zeros of the system. Furthermore was implemented in two stages, and for each of them different interfaces of MATLAB software, such as Script and Simulink to model the system response.

Keywords: Transfer function, system poles, System zeros, settling time, damping factor, natural frequency, final value theorem.

1) Introducción. El siguiente informe se trabajara con los sistemas de control de lazo abierto, utilizado las funciones de transferencia que modelan las ecuaciones de primer y segundo orden. Un sistema de control es una interconexión de componentes que forman una configuración del sistema, la cual proporcionará una respuesta deseada del mismo. La mayor parte de sistemas de lazo abierto serán automatismos a los que no podremos llamar robots porque, al no tener en cuenta la salida, su capacidad de toma de decisiones “inteligentes” es muy limitada. Las aplicaciones de control automático son sinónimos de la tecnología moderna, se encuentran dentro del ámbito de la robótica hasta en un simple tostador. El control moderno aborda el problema de obtener el comportamiento deseado de un sistema que trabaja por sí solo. La importancia de este laboratorio proviene de la posibilidad de entender mejor los conceptos del sistema de control en lazo abierto de manera gráfica, matemática y el comportamiento de una señal excitada en el tiempo y la estabilidad de dicho sistema.

2) Objetivos Objetivo general: Simular la respuesta de un sistema descrito por su función de transferencia ante una determinada función de excitación

Objetivos específicos:   

Identificar los diferentes elementos que forman parte de un sistema de control en lazo abierto. Implementar un algoritmo para calcular los elementos de control y graficar cualquier función de transferencia deseada. Crear un diagrama de bloques ayudado de la interfaz Simulink y entender la respuesta gráficamente del sistema.

3) Marco Teórico

Función de transferencia: Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) con una señal de entrada o excitación (también modelada). En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo. También se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iniciales son nulas. Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su transformación matemática. Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión (1):

(1)

Donde H(s) es la función de transferencia (también notada como G(s)); Y(s) es la transformada de Laplace de la respuesta y X(s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada. La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada:

(2) La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de (3) Y la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s): (4) Cualquier sistema físico (mecánico, eléctrico, etc.) se puede traducir a una serie de valores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos.

Por ejemplo, en análisis de circuitos eléctricos, la función de transferencia se representa como:

(5) Sistema de control: Un sistema de control es un conjunto de dispositivos encargados de administrar, ordenar, dirigir o regular el comportamiento de otro sistema, con el fin de reducir las probabilidades de fallo y obtener los resultados deseados. Por lo general, se usan sistemas de control industrial en procesos de producción industriales para controlar equipos o máquinas. Los sistemas de control deben conseguir los siguientes objetivos: 1. Ser estables y robustos frente a perturbaciones y errores en los modelos. 2. Ser eficiente según un criterio preestablecido evitando comportamientos bruscos e irreales. Sistema de control de lazo abierto: Es aquel sistema en que solo actúa el proceso sobre la señal de entrada y da como resultado una señal de salida independiente a la señal de entrada, pero basada en la primera. Esto significa que no hay retroalimentación hacia el controlador para que éste pueda ajustar la acción de control. Es decir, la señal de salida no se convierte en señal de entrada para el controlador. Ejemplo 1: el llenado de un tanque usando una manguera de jardín. Mientras que la llave siga abierta, el agua fluirá. La altura del agua en el tanque no puede hacer que la llave se cierre y por tanto no nos sirve para un proceso que necesite de un control de contenido o concentración. Ejemplo 2: Al hacer una tostada, lo que hacemos es controlar el tiempo de tostado de ella misma entrando una variable (en este caso el grado de tostado que queremos). En definitiva, el que nosotros introducimos como parámetro es el tiempo. Estos sistemas se caracterizan por:





Ser sencillos y de fácil concepto.



Nada asegura su estabilidad ante una perturbación.



La salida no se compara con la entrada. Ser afectado por las perturbaciones. Éstas pueden ser tangibles o

intangibles.



La precisión depende de la previa calibración del sistema. Este sería el esquema que los define:

Fig 1. Esquema que define un sistema de control.

Aproximación de Padé: La aproximación de Padé es la "mejor" aproximación de una función por una función racional de un orden dado. En virtud de esta técnica, la serie de potencias de la aproximación concuerda con la serie de potencias de la función que se aproxima. La técnica fue desarrollada por Henri Padé. La aproximación de Padé, da una mejor aproximación de la función que truncar su serie de Taylor, y funciona incluso donde la serie de Taylor no es convergente. Por esta razón las aproximaciones de Padé se usan ampliamente en los cálculos de ordenadores. Han sido también aplicados a las aproximaciones diofantinas, aunque para resultados nítidos, típicamente son reemplazados por métodos en cierto sentido inspirados en la teoría de Padé. Ahora, las aproximaciones de Padé para el tiempo muerto, son de las más populares en los estudios de control por las características que este mismo estudio permitió confirmar. −θs La transformada de Laplace para el tiempo muerto es e , que se puede desarrollar en serie de potencias, a los efectos de tener expresiones exclusivamente polinómicas, que son más fáciles de manejar. Así, dependiendo de los términos de orden superior que despreciemos tendremos: Aproximación de Padé de primer orden: θ 1− ∗s 2 e−θs = θ 1+ ∗s 2

(6)

Aproximación de Padé de segundo orden:

2

θ θ 1− s + s 2 2 12 e−θs = θ θ2 2 1+ s+ s 2 12

(7)

Estabilidad de un sistema. Un sistema es estable si la respuesta del sistema al impulso tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Si el sistema tiende a un valor finito diferente a cero, se puede decir que el sistema es críticamente estable. Una magnitud infinita hace al sistema inestable. Si todos los polos de la función de transferencia se encuentras en el lado izquierdo del plano s entonces el sistema es estable. Un sistema se considera críticamente estable si al menos uno de los polos se encuentra en el eje imaginario del plano s Los polos del sistema son las raíces obtenidas del denominador de la función de trasferencia cuando este se iguala a cero. Polinomio característico estabilidad según la las raíces de la

ubicación de

Fig 3.Esquemas de sistemas con distintas características de estabilidad

Fig 4. Caracterización de la estabilidad según las raíces del denominador

Funciones de singularidad. Las funciones de singularidad son un grupo de funciones que están relacionadas con la función impulso (delta dirac). Aparte de la función impulso (delta dirac) están la función escalón unitario y la función rampa unitaria.  Función escalón unitario. Es una función matemática que tiene como principal característica el tener valor de 0 (cero) para todos los valores negativos de su argumento y de 1 (uno) para todo el valor positivo de este mismo.

Fig 5. Expresión matemáticas función escalón unitario. Fig 4. Comportamiento de la función escalón unitario

 Función rampa unitaria La función rampa es la integral de la función escalón. Si consideramos que estamos sumando toda el área bajo la función escalón a hasta un tiempo t. Si t < 0 (cero), el valor de la integral será 0 (cero). Si es mayor que 0 (cero), entonces el valor será igual a la integral de 1 desde el tiempo 0 hasta el tiempo t, la cual también tiene el valor t, es decir:

Fig 6. Grafica de la función rampa unitaria

 Función delta dirac La delta de Dirac es una función generalizada que viene definida por la siguiente fórmula integral:

Fig 7. Expresión matemática de la función del dirac.

La delta de Dirac no es una función estrictamente hablando, puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos. A veces, informalmente, se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones que tiende a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergiría hacia infinito; de ahí la "definición convencional" dada por la también convencional fórmula aplicada a las funciones definidas a trozos.

Fig 8. Función delta dirac definida a trozos.

4) Modelos matemáticos y Desarrollo :

Cuando hablamos de sistemas de control de lazo abierto debemos tener en cuenta que hay dos tipos de sistemas, unos de orden 1(uno) y otros de orden 2(dos). 

Orden 1(uno): En este caso tenemos dos tipos de entradas, la señal escalón y la señal rampa, ahora debemos tener presente que: Función de transferencia para orden 1(uno): G ( s )=

Y (s) K = X (s) Τs+ 1

(8)

G ( s )=

O

Y ( s) K∗e−θs = X ( s) Τs+1

(9)

Dónde: K = Ganancia Τ (tau) = Constante de Tiempo; Tiempo que transcurre hasta que la salida alcanza el 63.2% del valor de la salida en estado estable. θ = Retardo Ts = Tiempo de establecimiento = 4Τ lim s∗Y (s) Teorema del valor final (Yee) = s →0



Orden 2(dos): En este caso tenemos en cuenta la señal escalón: Función de transferencia para orden 2(dos): Forma Normalizada: G ( s )=

Y ( s) K (Wn)2 = 2 X (s) s +2 E ( Wn ) s +(Wn)2

;

(10)

Dónde: K = Ganancia Wn = Frecuencia natural E = Factor de amortiguamiento: Aquí debemos tener en cuenta que hay 4(cuatro) casos particulares: 1) Si E = 0, el sistema es oscilatorio 2) Si E esta entre 0 y 1 (0
Td = Tiempo de retardo =

2π (Wn) E

(11) π

Tp = Tiempo de máximo pico =

(Wn) √1−E

2

(12)

−Eπ

Mp = Sobre impulso máximo =

100∗e

Ts = Tiempo de establecimiento =

√ 1−E 2

4 E ( Wn )

(13)

(14)

3) Si E = 1, el sistema es críticamente amortiguado. Este no tiene Mp (sobre impulso máximo). 4) Si E es mayor a 1 (E > 1), el sistema es sobreamortiguado Para cada uno de estos casos se aplica el teorema del valor final el cual tiene la misma definición tanto para orden 1(uno) como para orden 2(dos): Teorema del valor final (Yee) =

lim s∗Y (s) s →0

Etapa 1: Script Ahora, el código que realiza cada uno de los modelos anteriores y que nos da la posibilidad de entender mejor la respuesta de cada sistema particular es: Este programa fue implementado en Matlab.

%Funcion de Transferencia %Curso de Control Automatico %James Vanegas %Juan Londoño clc clear all close all

%Mensajes que especifican el desarrollo de los algoritmos disp('Calculo de Parámetros de un Sistema de Control') disp('Ingrese los Datos de la FTLA') %Datos necesarios para el desarrollo de los modelos matemáticos y sus %respectivas

restricciones (no pueden ser ni cero ni negativo). N=input('Digite los Datos del Numerador: '); %Numerador while N(1,1)<1 N=input('Digite los Datos del Numerador: '); end D=input('Digite los Datos del Denominador: '); %Denominador while (D(1,1)<1 || D(1,2)<1) D=input('Digite los Datos del Denominador: '); end O=input('Digite el Valor del Retardo: '); %Retardo while O<0 O=input('Digite el valor del retardo: '); end %Condición para sistemas de primer orden if (N(1,1)>0 && D(1,1)>0 && length(D)==2) %Orden 1 disp('Orden 1') %Normalizando la Ecuación disp('Ecuación Normalizada') N1=N/D(1,2); D1=D/D(1,2); Yee= vimit((nt/dt,'s',0)) %Función de Transferencia de orden 1 sys = tf(N1,D1,'inputdelay',O) %Función de Transferencia en Padé disp('Expansion de Padé') sys1 = pade(sys,1) %Tiempo de Estabilización disp('Tiempo de Establecimiento') Ts = 4*D1(1,1) %Cálculo de Polos, Ceros y Ganancia [ceros, polos, gan] = tf2zp(N1,D1)

%Definición de estabilidad if polos>0 disp('El Sistema es Inestable'); elseif polos<0 disp('El Sistema es Estable') else disp('El Sistema es Criticamente Estable') end %Proceso para calcular el teorema del valor final syms s; if (length(N1)==2) disp('Teorema del Valor Final') nt = N1(1,1)*s + N1(1,2); dt = (D1(1,1))*s+D1(1,2); Yee= vpa(limit((nt/dt),'s',0)) elseif (length(N1)==1) disp ('Teorema del Valor Final') nt = N1; dt = (D1(1,1))*s+D1(1,2); end %Graficación %Inicialización del Vector Tiempo t = [0:0.1:50]; %Aplicación de la Entrada Tipo Escalón figure(1) sys2 = step(N1,D1,t); step(sys,t) grid on

title('Respuesta Ante Escalon Unitario'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Temperatura[c]'); %Aplicación de la Entrada Tipo Impulso figure(2) impulse(sys) grid on title('Respuesta Ante una Entrada Tipo Impulso'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Temperatura[c]'); %Aplicación de la Entrada Tipo Rampa Unitaria figure(3) ramp = t; lsim(sys,ramp,t) grid on title('Respuesta Ante una Entrada Tipo Rampa Unitaria'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Temperatura[c]'); %Graficacion de los Polos y Ceros del Sistema figure(4) K = length(D1); r = rlocus(N1,D1,K); rlocus(N1,D1) grid on title('Polos y Ceros del Sistema'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Theta'); % Condición para sistemas de segundo orden elseif (N(1,1)>0 && D(1,1)>0 && length(D)==3) %Orden 2 disp('Orden 2') %Normalizando la Ecuación disp('Ecuación Normalizada')

N1=N/D(1,1); D1=D/D(1,1); %Función de Transferencia sys = tf(N1,D1,'inputdelay',O) %Función de Transferencia en Padé disp('Expansion de Padé') sys1 = pade(sys,1) %Cálculo de Polos, Ceros y Ganancia [ceros, polos, gan] = tf2zp(N1,D1) %Definición de Estabilidad if polos>0 disp('El Sistema es Inestable'); elseif polos<0 disp('El Sistema es Estable') else disp('El Sistema es Criticamente Estable') end %Identificación del Sistema Wn = sqrt(D(1,3)); %Frecuencia Natural E = D(1,2)/(2*Wn); %Factor de Amortiguamiento %Casos dependiendo el valor del factor de amortiguamiento if E==0 disp('El Sistema es Oscilatorio') elseif E>0 && E<1 disp('El Sistema es Subamortiguado') Td = (2*pi)/ (Wn*sqrt(1-(E)^2)) %Tiempo de Retardo

Tp = pi/(Wn*sqrt(1(E)^2)) %Tiempo de Maximo Pico Mp = 100*exp((E*pi)/sqrt(1-(E)^2)) %Sobre Impulso Maximo (%) Ts = 4/(E*Wn) %Tiempo de Establecimiento en segundos elseif E==1 disp('El Sistema es Criticamente Amortiguado') disp('Este sistema no tiene Mp(sobre impulso maximo)') elseif E>1 disp('El Sistema es Sobreamortiguado') Te = (2*E)/Wn %Constante de tiempo equivalente Ts = 4*Te %Tiempo de Establecimiento en segundos end %Proceso para calcular el teorema del valor final syms s; if (length(N1)==2) disp ('Teorema del valor final') nt = N1(1,1)*s + N1(1,2); dt = (D1(1,1)*s^2)+ (D1(1,2))*s+D1(1,3); Yee= vpa(limit((nt/dt),'s',0)) elseif(length(N1)==1) disp ('Teorema del valor final') nt = N1; dt = (D1(1,1)*s^2)+ (D1(1,2))*s+D1(1,3); Yee= vpa(limit((nt/dt),'s',0))

end %Graficación %Inicialización del Vector Tiempo t = [0:0.1:50]; %Aplicación de la Entrada Tipo Escalón figure(1) sys2 = step(N1,D1,t); step(sys,t) grid on title('Respuesta Ante Escalon Unitario'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Temperatura[c]'); %Aplicación de la Entrada Tipo Impulso figure(2) impulse(sys) grid on title('Respuesta Ante una Entrada Tipo Impulso'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Temperatura[c]'); %Aplicación de la Entrada Tipo Rampa Unitaria figure(3) ramp = t; lsim(sys,ramp,t) grid on title('Respuesta Ante una Entrada Tipo Rampa Unitaria'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Temperatura[c]'); %Graficacion de los Polos y Ceros del Sistema figure(4) K = length(D1); r = rlocus(N1,D1,K); rlocus(N1,D1) grid on

title('Polos y Ceros del Sistema'); xlabel('Tiempo'); ylabel('Theta');

else disp('El Sistema es Incorrecto') end

El código anterior lo pusimos a prueba con tres ecuaciones, las cuales respondieron de la siguiente manera: 1)

G ( s )=

Y (s) ( s+ 2.28) = X ( s ) s+ 3.75

Calculo de Parámetros de un Sistema de Control Ingrese los Datos de la FTLA Digite los Datos del Numerador: [1,2.28] Digite los Datos del Denominador: [1,3.75] Digite el Valor del Retardo: 0 Orden 1 Ecuación Normalizada sys = 0.2667 s + 0.608 ---------------0.2667 s + 1 Continuous-time transfer function. Expansion de Padé sys1 = 0.2667 s + 0.608 ---------------0.2667 s + 1 Continuous-time transfer function.

Tiempo de Establecimiento Ts =1.0667 ceros = -2.2800 polos =-3.7500 gan =1 El Sistema es Estable Teorema del Valor Final Yee = 0.608

Fig 9. Respuesta ante escalón unitario

Fig 10. Respuesta ante una Entrada Tipo Impulso

Fig 11. Respuesta ante Rampa unitaria

Fig 12. Polos y Ceros del Sistema

2)

G ( s )=

Y (s) 1.2∗e−0.6 s = X ( s ) s2 +1.2 s+ 9

Calculo de Parámetros de un Sistema de Control Ingrese los Datos de la FTLA Digite los Datos del Numerador: [1.2] Digite los Datos del Denominador: [1,1.2,9] Digite el Valor del Retardo: 0.6 Orden 2 Ecuación Normalizada sys = 1.2 exp(-0.6*s) * -------------------s^2 + 1.2 s + 9 Continuous-time transfer function. Expansion de Padé sys1 = -1.2 s + 4 ---------------------------------s^3 + 4.533 s^2 + 13 s + 30 Continuous-time transfer function. ceros =Empty matrix: 0-by-1 polos =-0.6000 + 2.9394i -0.6000 - 2.9394i

Tp =1.0688

gan =1.2000

Mp =52.6621

El Sistema es Estable

Ts =6.6667

El Sistema es Subamortiguado Td =2.1376

Teorema del valor final Yee = 0.1333

Fig 13. Respuesta ante un Escalón Unitario.


Fig 15. Respuesta ante Rampa Unitaria

Fig 16. Polos y Ceros del Sistema.

−0.15 s

3)

G ( s )=

Y (s) (3 s+ 2)∗e = X ( s ) 7 s 2 +2.23 s +0.01

Calculo de Parámetros de un Sistema de Control Ingrese los Datos de la FTLA Digite los Datos del Numerador: [3,2] Digite los Datos del Denominador: [7,2.23, 0.01] Digite el Valor del Retardo: 0.15 Orden 2 Ecuación Normalizada sys = 0.4286 s + 0.2857 exp(-0.15*s) * --------------------------------s^2 + 0.3186 s + 0.001429 Continuous-time transfer function. Expansion de Padé sys1 =-0.4286 s^2 + 5.429 s + 3.81 --------------------------------------------s^3 + 13.65 s^2 + 4.249 s + 0.01905 Continuous-time transfer function. ceros =-0.6667 polos =-0.3140, -0.0045 gan =0.4286 El Sistema es Estable El Sistema es Sobreamortiguado Te = 223.0000 Ts = 892.0000 Teorema del valor final Yee =200.0

Fig 17. Respuesta ante Escalón Unitario


Fig 19. Respuesta ante Rampa Unitaria

Fig 20. Polos y Ceros del Sistema.

Etapa 2: Simulink Después de entender todo el proceso anterior hacemos unos análisis similares pero ayudados de la opción en Matlab Simulink, para esto tenemos las siguientes ecuaciones y sus respectivas respuestas ante un escalón unitario, rampa unitaria, generador de pulsos con amplitud 2, y random:

1)

G ( s )=

Y (s) 2.023∗e−0.896 s = 5.108 s+1 X(s)

Fig 21. Proceso en Simulink frente a un escalón unitario (step), rampa unitaria (ramp), generador de pulsos de amplitud 2 (pulse generator) y random (random number).

Fig 22. Respuesta ante Step

Fig 23. Respuesta ante Ramp

Fig 24. Respuesta ante Pulse Generator

Fig 25. Respuesta ante Random.

2)

G ( s )=

Y (s) (s+ 7.23)∗e−0.47 s = s+0.963 X(s)

Para poder trabajar con ecuación debemos llevarla a la forma estándar: G ( s )=

Y ( s) K∗e−θs = X ( s) Τs+1

(15)

Entonces: G ( s )=

Y (s) (1.038 s+7.51)∗e−0.47 s = 1.038 s+1 X ( s)





Fig 30. Respuesta ante Random

Como podemos ver cada una de estas respuestas en vez de llegar a un punto estable lo que sucede es que empiezan a oscilar de forma indeterminada y podemos decir que están erróneas. Ya que nuestra respuesta anterior es inadecuada según los estudios previamente realizados, debemos asumir una nueva forma para esta función, ahora veremos esta misma ecuación pero normalizada: G ( s )=

Y (s) 1.038∗e−0.47 s = 1.038 s +1 X(s)





Fig 35. Respuesta ante Random

5) Conclusiones 1) Se identificaron los diferentes elementos que forman parte de un sistema de 2) 3) 4) 5)

control en lazo abierto. Se implementó un algoritmo para calcular los elementos y modelos matemáticos del control y para graficar cualquier función de transferencia deseada. se crearon diversos diagramas de bloques ayudados de la interfaz Simulink y entendimos cada una de las respuestas graficas de cada sistema. Para poder llegar a una buena interpretación de una gráfica es necesario ingresar la ecuación normalizada. Al ser el grado del numerador inferior que el del denominador es más probable que el sistema responda de manera adecuada y se estabilice rápidamente.

6) Referencias [1] SMITH J. R. et al. 1993. Transfer Function Identification in Power Systems Applications. IEEE Transactions on Power Systems, Ago 1993. [2] FELTES J. W. et al. Deriving Model Parameters from Field Test Measurements. IEEE Computer Applications in Power, Oct 2002. [3] IEEE Std 421.5. Recommended Practice for Excitation System Models for Power System Stability Studies. 1992. [4] BOTERO, H; RAMÍREZ, J.M. Identification of excitation systems – Methodology and Results. International Conference on Industrial Electronics and Control Application. Quito (2005

[5] RAMIREZ, J. M. et al. Modelos Matemáticos para los Reguladores de Velocidad y los Sistemas de Excitación de la Planta de Salvajina. Energía y Computación. No 2, 2000. [6] SAAVEDRA, A. J. Modelado Para Estudios de Estabilidad de los Sistemas de Control Velocidad y Excitación de la Central de Salvajina. Tesis de Maestría, Universidad del Valle, 2002. [7] SODERSTROM, TORSTEN. System Identification. Prentice Hall. 1989. [8] DAVIS, W.D.T. System Identification for Self Adaptive Control. Wiley Interscience. 1970. [9] LANDAU, IOAN DORE. . Identification et Commande des Systemes. Edition Hermés. 1993 [10] LJUNG, L. System Identification: Theory for the User. Prentice Hall 1987. [11] SMITH C AND CORRIPIO C. Principles and Practice of Automatic Process Control. John Wiley and Sons, 2 ed, 1997. [12] OROZCO, MARTHA. Diseño e Implementación de un Regulador de Voltaje para un Generador Sincrónico. Tesis de Maestría en Ingeniería - Automática. Universidad del Valle. 2005. [13] IEEE Committee Report. (Digital Excitation Applications Task Force of the Excitation Systems Subcommittee). Computer Models for Representation of Digital - Based Excitation Systems. IEEE Transactions on Energy Conversion, Sep 1996.

Interpretacion de Funciones de Transferencias Final

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