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EJEMPLOS DE CASOS DE TRANSFERENCIAS DE CALOR EN CONDICIONES FRONTERA, CON Y SIN GENERACIÓN DE CALOR
1. Considere Considere una pared plana plana grande de espesor L espesor L = = 0.2m, conductividad térmica k = 1.2W/m ·o C y y área superficial A cial A = = 15 15m m2 . Los dos lados de la pared se mantienen a las temperaturas constantes T 1 = 120o C y T 2 = 50o C , respectivamente, como se muestra en la figura. Determine a) la variación de la temperatura dentro de la pared y el valor de la temperatura en x = 0.1m, y b) la razón de la conducción de calor a través de la pared en condiciones estacionarias.
Debido a las condiciones del caso, se pueden considerar los siguientes puntos: a ) La conducción conducción de calor es estaciona estacionaria. ria. b ) La conduc conducció ción n de calor calor es unidim unidimens ension ional, al, dado que la pared pared es grande grande en relaci relación ón con su espesor espesor y las
condiciones térmicas en ambos lados son uniformes. c ) La conductividad conductividad térmica térmica es constante. constante. d ) No hay generació generación n de calor.
La dirección del flujo de calor y las ya mencionadas condiciones nos permiten simplificar la ecuación diferencial para la transferencia de calor y plasmar las condiciones frontera: d2 T =0 dx2 b ) T (0) T (0) = T = T 1 = 120o C T ( T (L) = T 2 = 50o C
a )
Integrando la ecuación diferencial una vez con respecto a x, se obtiene dT = C 1 dx Integrando una vez más se obtiene T ( T (x) = C 1 x + C 2 1
Resolviendo el sistema de ecuaciones para las condiciones frontera establecidas obtenemos: T (0) = C 1 × 0 + C 2 → C 2 = T 1 T 2 − T 1 T (L) = C 1 L + C 2 → T 2 = C 1 L + T 1 → C 1 = L Una vez resuelto el sistema y simplificando, la ecuación correspondiente a la solución general, es: T 2 − T 1 T (x) = x + T 1 L Haciendo uso de ésta se obtiene la temperatura correspondiente a 0.1m: (50 − 120)o C T (0.1m) = (0.1m) + 120o C = 85 o C 0.2m La razón de transferencia de calor se obtiene ya que se tiene los datos de las temperaturas: T 1 − T 2 Q = kA (1.2W/m ·o C )(15m2 ) = 6300W L 2. Considere la placa base de una plancha doméstica de 1200W que tiene un espesor de L = 0.5cm, área de la base de A = 300cm2 y conductividad térmica de k = 15W/m ·o C . La superficie interior de la placa base se sujeta a un flujo de calor uniforme generado por los calentadores por resistencia que están en el interior y la superficie exterior pierde calor hacia los alrededores que están a T = 20o C , por convección, como se muestra en la figura. Tomando el coeficiente de transferencia de calor por convección como h = 80W/m2 ·o C y descartando la pérdida de calor por radiación, obtenga una expresión para la variación de la temperatura en la placa base y evalúe las temperaturas en las superficies interior y exterior. ∞
Se toman las siguientes consideraciones en base a lo planteado en el caso: a ) La transferencia de calor es estacionaria, ya que no existe cambio con el tiempo. b ) La transferencia de calor es unidimensional, puesto que el área superficial de la placa base es grande en
relación con su espesor y las condiciones térmicas en ambos lados son uniformes. c ) La conductividad térmica es constante. d ) No se tiene generación de calor en el medio. e ) La transferencia de calor por radiación es despreciable. f ) La parte superior de la plancha está bien aislada, de modo que todo el calor generado en las resistencias de
alambre se transfiere a la placa base a través de su superficie interior. Debido a las condiciones mencionadas se calcula el flujo uniforme de calor: Q0 1200W q 0 = = = 40000W/m2 Abase 0.03m2 2
Las condiciones frontera nos permiten expresar la ecuación diferencias de forma simplificada: d2 T =0 dx2 Expresando las condiciones frontera las tenemos expresadas de la siguiente manera: dT (0) −k = q 0 = 40000W/m2 dx dt(L) = h[T (L) − T ] −k dx ∞
Integrando de nuevo en dos ocaciones podemos resolver el sistema de la siguiente manera: dT (0) q 0 = q 0 → −kC 1 = q 0 → C 1 = − −k dx k dT (L) −k = h[T (L) = T ] → −kC 1 = h[(C 1 L = C 2 ) − T ] dx ∞
∞
La ecuación general queda de la siguiente manera: L−x 1 T (x) = T + q 0 ( + ) k h ∞
Resolviendo para las condiciones frontera tenemos los siguientes resultados: L−x 1 0.005m 1 + ) = 20o C + (40000W/m2 )( + ) = 533o C T (0) = T + q 0 ( o k h 15W/m · C 80W/m2 ·o C L−x 1 40000W/m2 o T (L) = T + q 0 ( + ) = 20 C + = 520o C k h 80W/m2 ·o C ∞
∞
3. Considere una pared plana grande de espesor L = 0.06m y conductividad térmica k = 1.2W/m ·o C en el espacio. La pared está cubierta con losetas de porcelana blanca que tienen una emisividad de ε = 0.85 y una absortividad solar de α = 0.26, como se muestra en la figura. La superficie interior de la pared se mantiene a T 1 = 300o K en todo momento, en tanto que la exterior está expuesta a la radiación solar que incide a razón de q solar = 800W/m2 . La superficie exterior también está perdiendo calor por radiación hacia el espacio profundo que está a 0K . Determine la temperatura de la superficie exterior de la pared y la razón de la transferencia de calor a través de la pared cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación.
Se pueden asumir los siguientes puntos debido a las condiciones del fenómeno: a ) La transferencia de calor es estacionaria dado que no hay cambio con el tiempo. b ) La transferencia de calor es unidimensional, ya que la pared es grande en relación con su espesor y las
condiciones térmicas en ambos lados son uniformes. c ) La conductividad térmica es constante.
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d ) No hay generación de calor.
Las condiciones expresadas nos permiten representar la ecuación diferencial correspondiente y las condiciones frontera de la siguiente manera: d2 T =0 dx2 T (0) = T 1 = 300o K dT (L) 4 = εσ[T (L)4 = T espacio ] − αq solar −k dx αq solar − εσT L4 T (x) = x + T 1 k Mediante iteraciones o métodos numéricos se puede obtener: T L = 292.7o K Aplicando la fórmula de flujo de calor se obtiene: T 1 − T 2 (300 − 292.7)o K q = k = (1.2W/m ·o K ) = 146W/m2 L 0.06m
PROBLEMAS PARA RESOLVER 1. En los medidores de flujo de calor se usa un dispositivo muy sensible, conocido como termopila, que sirve para medir la diferencia de temperatura de uno a otro lado de una película delgada conductora del calor, hecha de kaptón (k = 0.345W/m ·o K ). Si la termopila puede detectar diferencias de temperatura de 0.1o C o más y el espesor de la película es de 2 mm, ¿cuál es el flujo mínimo de calor que puede detectar este medidor? 2. Considere un tubo de vapor de agua de longitud L = 30f t, radio interior r1 = 2in, radio exterior r2 = 2.4in y conductividad térmica k = 7.2Btu h · ft ·o F . El vapor está fluyendo por el tubo a una temperatura promedio de 300 o F y el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección sobre la superficie exterior se da como h = 12.5Btu h · f t2 ·o F . Si la temperatura promedio sobre la superficie exterior del tubo es T 2 = 175o F : a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción unidimensional y estacionaria de calor a través del tubo, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en éste, resolviendo la ecuación diferencial, y c) evalúe la razón de la pérdida de calor del vapor a través del mismo. 3. Se está usando una resistencia de alambre homogénea y larga de radio r0 = 5mm para calentar el aire en un cuarto por el paso de la corriente eléctrica. El calor se genera en el alambre de manera uniforme a razón de 5 × 107 W/m3 como resultado del calentamiento por resistencia. Si la temperatura en la superficie exterior del alambre permanece a 180o C , determine la temperatura en r = 3.5mm, después de que se han alcanzado las condiciones estacionarias de operación. Tome la conductividad térmica del alambre como k = 6W/m ·o C .
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4. Considere una pared plana grande de espesor L = 0.05m. La superficie de la pared en x = 0 está aislada, en tanto que la superficie en x = L se mantiene a una temperatura de 30 o C . La conductividad térmica de la pared es k = 30W/m ·o C y el calor se genera en ella a razón de egen = e0 e 0.5xL W/m3 en donde e0 = 8 × 106 W/m3 . Si se supone una transferencia unidimensional de calor en estado estacionario, a) exprese la ecuación diferencial y las condiciones de frontera para la conducción de calor a través de la pared, b) obtenga una relación para la variación de la temperatura en ella, resolviendo la ecuación diferencial, y c) determine la temperatura de la superficie aislada de la misma. −
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