Problemas de Transferencias de Calor

Problemas de Transferencia de Calor

Problemas de Transferencia de Calor Carlos Corrochano Sánchez · José Antonio Fernández Benítez Javier Muñoz Antón · Adriana Ortiz Gómez

D XTRA EDITORIAL

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Diseño de cubierta: ©TheIdeas · www.ideasjc.net © Carlos Corrochano Sánchez, José Antonio Fernández Benítez, Javier Muñoz Antón, Adriana Ortiz Gómez © Sección de Publicaciones de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales. Universidad Politécnica de Madrid © Dextra Editorial S.L. C/Arroyo de Fontarrón, 271, 28010 Madrid Teléfono: 91 773 37 10 Reservados todos los derechos. Está prohibido, bajo las sanciones penales y el resarcimiento civil previstos en las leyes, reproducir, registrar o trasmitir esta publicación, íntegra o parcialmente por cualquier sistema de recuperación y por cualquier medio, sea mecánico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o por cualquier otro, sin la autorización expresa por escrito de Dextra Editorial. S.L.

ISBN: 978‐84‐16277‐24‐7 Depósito legal: M‐31218‐2014 Impreso en España. Printed in Spain

WZM>K'K

Hoy y siempre, en todos los planes de estudios de cualquier rama de la ingeniería, en las universidades de todo el mundo, existe un hueco de mayor o menor tamaño para la Transmisión o TransĨerencia de alor͘ ontar con una ďuena ďiďliograİa puede y deďe ayudar al Ĩuturo ingeniero en la asimilación de los conceptos y en la aplicación prĄcƟca de los mismos͘ unque la ďiďliograİa es amplia y de calidad en nuestra materia, no queremos deũar pasar la ocasión para aportar nuestro grano de arena. En esta ocasión, presentando este libro de problemas resueltos cuyas soluciones se han pensado y escrito en aras de una meũor comprensión por parte del lector͖ clasiĮcado segƷn la temĄƟca de la asignatura y homogeneiǌado en su formato para una más fácil lectura. Eo quisiĠramos que el libro sirviese exclusivamente para responder a la cuesƟón primaria que suscita cada uno de los enunciados: el “cómo se hace”. Más bien el lector debería responderse a cuesƟones prácƟcas de suma importancia en su presente y futuro profesional: ͎de quĠ orden de magnitud estamos hablando͍, ͎cómo podría opƟmiǌarse el sistema que se propone en cadaeũercicio͍, ͎quĠ factor o variable inŇuye más en el resultado Įnal͍, ͎cuál es el lenguaũe que se emplea en el área de la ingeniería tĠrmica͍ ê busca que desarrolle el lector su ingenio: vea una barra de combusƟble nuclear dónde aparece un cilindro con generación interna de calor; o un radiador de calefacción donde proponemos una placa plana verƟcal. prenda los niveles de temperatura en que nos movemos. sí, cuando lo que tenga delante sea una pantalla de ordenador podrá detectar, uƟliǌando su senƟdo comƷn y su experiencia universitaria, si el resultado que se propone es lógico y plausible. >a experiencia nos dice que no basta con ver cómo se resuelve un eũercicio; la capacitación exige intentar hacerlo desde el principio, y posteriormente obtener conclusiones que sirvan para encarar otros problemas de índole similar. z hablando de co-autores, no sería ũusto deũar de citar y agradecer su colaboración a profesores que han parƟcipado, en mayor o menor medida, en la proposición, adaptación y resolución de algunos de los eũercicios que aquí se recogen. Wor orden alfabĠƟco nuestros compañeros y ex-compañeros lberto bánades, :osĠ >uis Elviro, Wablo >eón, :osĠ María Marơneǌ-sal y >uis Zebollo, cuyo talento en la enseñanǌa de la Transferencia de alor en nuestra Escuela, la TĠcnica ûperior de /ngenieros /ndustriales de la hniversidad WolitĠcnica de Madrid, no nos pasa desapercibido.

Índice 1.Conducciónenrégimenpermanente PROBLEMA 1. Pared con capas irregulares sin fuente............................................................................................ 9 PROBLEMA 2. Placa plana multicapa: optimización de la capa aislante............................................................... 12 PROBLEMA 3. Placa plana multicapa con sumidero de calor ............................................................................... 14 PROBLEMA 4. Placa plana multicapa con fuente de calor .................................................................................... 16 PROBLEMA 5. Pared cilíndrica multicapa con fuente ........................................................................................... 19 PROBLEMA 6. Pared cilíndrica multicapa con fuente: ecuación diferencial ......................................................... 23 PROBLEMA 7. Pared cilíndrica multicapa: tubería aislada y sin aislar .................................................................. 26 PROBLEMA 8. Esfera con fuente interna de calor y convección exterior ............................................................. 28 PROBLEMA 9. Placa con fuente de calor no constante......................................................................................... 30 PROBLEMA 10. Placa plana multicapa con dos fuentes de calor.......................................................................... 32 PROBLEMA 11. Pared cilíndrica con dos fuentes de calor .................................................................................... 34 PROBLEMA 12. Aleta tipo aguja con extremo caliente ......................................................................................... 36 PROBLEMA 13. Aleta tipo aguja con extremo frío ................................................................................................ 38 PROBLEMA 14. Aletas rectas en un de canal de refrigeración de un circuito electrónico.................................... 40 PROBLEMA 15. Dos aletas tipo aguja de distinto material unidas en serie .......................................................... 43 PROBLEMA 16. Conjunto de aletas tipo aguja ...................................................................................................... 46 PROBLEMA 17. Cilindro con fuente aleteado con aletas anulares ....................................................................... 50 PROBLEMA 18. Condensación sobre tubo aleteado con aletas anulares ............................................................. 53 PROBLEMA 19. Cilindro aleteado con aletas anulares.......................................................................................... 55 PROBLEMA 20. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional ......................................................... 59 PROBLEMA 21. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional - forjado .......................................... 62 PROBLEMA 22. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional - mallado cilíndrico.......................... 66 PROBLEMA 23. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional - aleta .............................................. 68 PROBLEMA 24. Métodos numéricos: régimen permanente bidimensional - aleta triangular ............................. 71

2.Conducciónenrégimentransitorio PROBLEMA 25. Régimen transitorio: pared plana (Heisler).................................................................................. 75 PROBLEMA 26. Régimen transitorio: pared plana (Heisler).................................................................................. 77 PROBLEMA 27. Cilindro con fuente de calor + régimen transitorio (Heisler) ....................................................... 79 PROBLEMA 28. Régimen transitorio: cilindro (método de la capacitancia).......................................................... 82 PROBLEMA 29. Régimen transitorio: cilindro (Heisler)......................................................................................... 84 PROBLEMA 30. Régimen transitorio en tres dimensiones (cubo)......................................................................... 87 PROBLEMA 31. Régimen transitorio en cilindro (Heisler e iteración).................................................................. 89

3.Convecciónsincambiodefase PROBLEMA 32. Convección forzada interior de tubería ....................................................................................... 97 PROBLEMA 33. Convección forzada: chimenea vertical de humos ...................................................................... 99 PROBLEMA 34. Convección forzada: flujo normal a cilindro (transistor) ........................................................... 102 PROBLEMA 35. Convección forzada: haz de tubos (batería de agua caliente) ................................................... 104 PROBLEMA 36. Convección forzada: haz de barras ............................................................................................ 106 PROBLEMA 37. Convección forzada: tubo aleteado con convección forzada por el interior ............................. 109 PROBLEMA 38. Convección forzada: cilindro multicapa..................................................................................... 113 PROBLEMA 39. Convección libre: cilindro horizontal ......................................................................................... 116 PROBLEMA 40. Convección libre: placa horizontal............................................................................................. 119 PROBLEMA 41. Convección forzada y libre en tubería ....................................................................................... 122 PROBLEMA 42. Placa horizontal con condiciones de convección forzada y libre ............................................... 125 PROBLEMA 43. Convección forzada y libre placa inclinada. ............................................................................... 128

4.Convecciónconcambiodefase PROBLEMA 44. Ebullición nucleada. Olla express............................................................................................... 133 PROBLEMA 45. Curva de ebullición .................................................................................................................... 135 PROBLEMA 46. Ebullición nucleada y en película sobre filamento metálico ..................................................... 138 PROBLEMA 47. Ebullición: banco de 10 cilindros horizontales (generador de vapor)........................................ 140 PROBLEMA 48. Condensación y convección forzada.......................................................................................... 143 PROBLEMA 49. Ebullición y condensación simultáneas...................................................................................... 145

5.Radiación PROBLEMA 50. Cilindro cerrado por superficies semiesféricas .......................................................................... 149 PROBLEMA 51. Horno cúbico.............................................................................................................................. 152 PROBLEMA 52. Cilindros concéntricos................................................................................................................ 154 PROBLEMA 53. Cilindro finito ............................................................................................................................. 156 PROBLEMA 54. Conducto de sección triangular ................................................................................................. 158 PROBLEMA 55. Cilindro cerrado por superficie recta y superficie semiesférica................................................. 160 PROBLEMA 56. Horno cúbico.............................................................................................................................. 162 PROBLEMA 57. Prisma de base cuadrada ........................................................................................................... 165 PROBLEMA 58. Prisma de base cuadrada ........................................................................................................... 167 PROBLEMA 59. Recinto troncónico..................................................................................................................... 170 PROBLEMA 60. Prisma de base cuadrada ........................................................................................................... 173 PROBLEMA 61. Recinto finito formado por tubos concéntricos......................................................................... 176 PROBLEMA 62. Dos cilindros concéntricos en recinto grande............................................................................ 178 PROBLEMA 63. Cilindro en gran recinto ............................................................................................................. 181 PROBLEMA 64. Placa horizontal apoyada en gran recinto ................................................................................. 183 PROBLEMA 65. Placa vertical suspendida en gran recinto ................................................................................. 185 PROBLEMA 66. Placas ensayo y patrón en gran recinto ..................................................................................... 187 PROBLEMA 67. Panel solar.................................................................................................................................. 190 PROBLEMA 68. Horno con pequeño visor de vidrio ........................................................................................... 192 PROBLEMA 69. Placa: una cara a cielo y la otra a un gran recinto ..................................................................... 195 PROBLEMA 70. Pieza pequeña dentro de horno grande .................................................................................... 196

6.Transmisióndecalorcombinada PROBLEMA 71. Radiación y conducción: horno y cilindro multicapa ................................................................ 201 PROBLEMA 72. Radiación y convección libre: pared que separa dos recintos ................................................... 203 PROBLEMA 73. Radiación y conducción: esfera en rég. transitorio.................................................................... 205 PROBLEMA 74. Radiación y convección libre: placa horizontal expuesta a suelo y cielo .................................. 208 PROBLEMA 75. Radiación y convección libre: fluido ideal a dos temperaturas ................................................. 211 PROBLEMA 76. Radiación y convección libre :placa con fuente interna en recinto ........................................... 213 PROBLEMA 77. Radiación y conducción: aleta y balance radiativo con bóveda celeste .................................... 216 PROBLEMA 78. Radiación y conducción: panel solar con métodos numéricos .................................................. 219 PROBLEMA 79. Radiación y convección: formación de capa de hielo en lámina de agua.................................. 222

7.Intercambiadoresdecalor PROBLEMA 80. Cambiador de flujos cruzados (aerorrefrigerante) .................................................................... 229 PROBLEMA 81. Cambiador de placas en contracorriente................................................................................... 231 PROBLEMA 82. Cambiador de carcasa y tubos: distintas configuraciones ......................................................... 234 PROBLEMA 83. Cambiador de placas en contracorriente................................................................................... 236 PROBLEMA 84. Cambiador de placas en una instalación de energía solar térmica............................................ 238 PROBLEMA 85. Tres cambiadores de carcasa y tubos en paralelo ..................................................................... 241 PROBLEMA 86. Cambiador de flujos cruzados (aerotermo) ............................................................................... 246 PROBLEMA 87. Cambiador de carcasa y tubos ................................................................................................... 250

7

1. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE

ŽŶĚƵĐĐŝſŶĞŶƌĠŐŝŵĞŶƉĞƌŵĂŶĞŶƚĞ

Conducción en Régimen Permanente.

9

ϵ

PROBLEMA1 Se tiene un muro de 21 cm de espesor, tal y como se representa en la figura adjunta, con las dimensiones indicadas. La cara izquierda del muro se encuentra a una temperatura de 400ºC y la derecha a 100ºC. Considerando conducción de calor unidireccional y resistencia de contacto nula entre los bloques que lo forman, y sabiendo que la temperatura en la intersección DEF es de 295ºC, determinar: 1) 2) 3) 4) 5)

El flujo de calor que atraviesa el muro. La temperatura en el punto de contacto entre los bloques B, D y E. La conductividad del material D. La diferencia de temperaturas a lo largo del bloque F. ¿En qué condiciones sería difícil justificar el tratamiento unidimensional del problema?

DATOS Conductividades (W/mͼK):

A= 2 B= 8 C= 10 E= 35 F= 2

SOLUCIÓN El análisis de este programa de conducción multicapa se puede realizar mediante el símil eléctrico equivalente, que responde al siguiente esquema:

En donde las resistencias térmicas por unidad de área correspondientes de cada uno de los elementos que se indican son:

ϭϬ 10

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ La ka

Ra

2 0, 1 35

Le ke 1 2 Lf Kf

Rf

0, 015

2 0, 1 kd

Ld kd 1 2

Rd

m2 K W

0, 01875

3 0, 05 10

Lc kc 1 3

Rc

0, 005

3 0, 05 8

Lb kb 1 3

Rb

Re

0, 01 2

m2 K W

m2 K W

0, 2 m2 K kd W

0, 005714

0, 05 2

0, 025

m2 K W

m2 K W

El flujo de calor que atraviesa el muro lo hace a través del bloque F, en el que se tiene una diferencia de temperaturas de 195ºC, con lo que: qcc

'TF Rf

295 100 0, 025

7800

W m2

La resistencia total de todo el muro se obtiene a partir del flujo que se transmite a través de todos sus nodos: qcc

'T1o5 RT RT

'T1o5 qcc

400 100 7800

0, 03846

m2K W

Esta resistencia total se obtiene por la combinación de resistencias en serie y paralelo de la configuración del muro. RT

R1o2 R2o3 R3o4 R4 o5

En la que cada uno de estos componentes es: R1o2

R2 o 3

Ra

0, 005

§1 1 1· ¸ ¨ © Rc Rb Rc ¹

1

0, 005357

§1 1· ¨ ¸ R R e ¹ © d

R3o 4

R4 o5

m2 K W

Rf

0, 025

1

m2 K W

m2 K W

11ϭϭ

Conducción en Régimen Permanente. ŽŶĚƵĐĐŝſŶĞŶƌĠŐŝŵĞŶƉĞƌŵĂŶĞŶƚĞ

Del análisis de resistencias en el tramo 1-3 se obtiene la temperatura en el nodo 3, punto de contacto entre los bloques BDE. qcc

'T1o3 R1o3

7800 'T1o3

qcc R1o2 R2o3

7800 0, 010357

80, 8º C

Con lo que la temperatura en el nodo 3 es: T3= 400-80,8= 319,2ºC. A partir de la resistencia total se deduce que la resistencia asociada al tramo en el que se encuentra el bloque D ha de ser: R3o 4

RT R1o2 R2o3 R4 o5

0, 003104

m2 K W

Del análisis de D y E en paralelo se obtiene la resistencia del bloque D 1

R3o 4

0, 003104

§1 · 1 ¨ ¸ Rd , R 0 005714 © d ¹

0, 2 kd

0, 006797 kd

29, 42

W m·K

La conductividad del material D es de 29,42 W/mͼK. En este problema las conductividades de los materiales, especialmente los que se encuentran en paralelo, son comparables, con lo que la distribución de temperaturas a lo largo del muro se prevé que sea bastante constante en la dirección paralela a las paredes de los muros, siendo aplicable un análisis 1-D. En el caso en que las conductividades sean muy diferentes entre los materiales, las resistencias térmicas asociadas a cada uno de los elementos serían muy diferentes, lo que provocaría distorsiones en las distribuciones de temperatura en el muro que harían que esa distribución fuera difícil de aproximar con una función 1-D, y tendría que ser calculada en 2-D, con una red de nodos más compleja o mediante métodos numéricos. Con conductividades de los materiales muy diferentes en las dos direcciones, no se podría realizar un análisis unidimensional sin incurrir en errores locales de consideración. Un ejemplo de este tipo de problemática se puede encontrar en los puentes térmicos en estructuras aisladas.

ϭϮ

WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ

12

Problemas de Transferencia de Calor.

PROBLEMA2

Una placa de acero (k = 43 W/mͼK) de 1,25 cm de espesor está expuesta por un lado a vapor a 650ºC con un coeficiente de transmisión calorífica de 570 W/m2K. Se desea aislar la superficie exterior de la placa, de modo que la superficie exterior expuesta del aislamiento no exceda de 38ºC. Para reducir el coste, se aplica a la superficie de acero un costoso aislamiento resistente a las altas temperaturas (k=0,04 W/mͼK), y después se pone en el exterior un aislamiento más económico (k = 0,09 W/mͼK). La temperatura máxima admisible para el aislamiento más económico es de 315ºC. El coeficiente de transmisión en la superficie más exterior es de 11,3 W/m2K y el aire ambiente está a 30ºC. Determinar los espesores comerciales más económicos de ambos aislantes, sabiendo que la gama varía de 5cm en 5 cm de espesor, con valores máximos de 30 cm. SOLUCIÓN

El flujo de calor máximo para que la temperatura exterior del montaje sea de 38ºC es: §q· Ä¸ © ¹MAX

he ( Text Taire ) 11, 3 ·(38 30)

90, 4

W m2

Por encima del cuál la temperatura exterior del aislante 2 superará el valor requerido de 38ºC. Haciendo una primera estimación con dicho flujo de calor pueden obtenerse los espesores teóricos necesarios: §q· Ä¸ © ¹MAX

§q· Ä¸ © ¹MAX

90, 4

90, 4

Tint,2 Taire 'x 2 1 k2 hext

Tvap Tint,2 'x 'x 1 acero 1 hint k acero k1

315 30 'x 2 'x 2 1 0, 09 11, 3

0, 276m

650 315 'x1 1 0, 0125 'x1 570 43 0, 04

0, 148m

^ƵƉŽƐŝĐŝſŶϭ͗ƐƉĞƐŽƌĚĞĂŝƐůĂŶƚĞϭсϭϱĐŵ͖ĞƐƉĞƐŽƌĚĞĂŝƐůĂŶƚĞϮсϮϱĐŵ

Al mejorar ligeramente el espesor teórico del aislante 1, podría ser posible disminuir el espesor teórico del aislante 2. Comprobando: q A

Tvapor Taire 'x acero 'x1 'x 2 1 1 hint k acero k1 k2 hext

650 30 1 0, 0125 0, 15 0, 25 1 570 43 0, 04 0, 09 11, 3

93, 68

W m2

Al ser un valor superior al máximo, la temperatura exterior del montaje será superior a 38ºC, y por consiguiente no es válida la suposición. ^ƵƉŽƐŝĐŝſŶϮ͗ƐƉĞƐŽƌĚĞĂŝƐůĂŶƚĞϭсϭϱĐŵ͖ĞƐƉĞƐŽƌĚĞĂŝƐůĂŶƚĞϮсϯϬĐŵ

13ϭϯ


El flujo de calor queda: q A


650 30 1 0, 0125 0, 15 0, 30 1 570 43 0, 04 0, 09 11, 3

86, 42

W m2

Lógicamente inferior al valor máximo, y que por tanto cumple la condición “temperatura exterior del montaje inferior a 38ºC”. A continuación se comprueba la temperatura interior del aislante económico: Tint,2

Taire

'x · q§ 1 2¸ ¨ A © h ext k2 ¹

0, 30 · § 1 30 86, 42 · ¨ , , 09 ¸¹ 11 3 0 ©

325, 7º C

Resultando superior a la temperatura máxima que permite dicho aislamiento. Por tanto los espesores elegidos no son válidos. Es necesario disminuir dicha temperatura, aumentando el espesor del aislante 1. ^ƵƉŽƐŝĐŝſŶϯ͗ƐƉĞƐŽƌĚĞĂŝƐůĂŶƚĞϭсϮϬĐŵ͖ĞƐƉĞƐŽƌĚĞĂŝƐůĂŶƚĞϮсϭϱĐŵ

q A


650 30 1 0, 0125 0, 20 0, 15 1 570 43 0, 04 0, 09 11, 3

91, 75

W m2

84, 78

W m2

Valor superior al máximo, y por tanto suposición incorrecta. ^ƵƉŽƐŝĐŝſŶϰ͗ƐƉĞƐŽƌĚĞĂŝƐůĂŶƚĞϭсϮϬĐŵ͖ĞƐƉĞƐŽƌĚĞĂŝƐůĂŶƚĞϮсϮϬĐŵ

q A


650 30 1 0, 0125 0, 20 0, 20 1 570 43 0, 04 0, 09 11, 3

Valor también inferior al máximo y que satisface la condición de la temperatura exterior del montaje. Recalculando la temperatura interior del aislante más económico: Tint,2

Taire

'x · q§ 1 2¸ ¨ A © h ext k2 ¹

0, 20 · § 1 30 84, 78 · ¨ , , 09 ¸¹ 11 3 0 ©

225, 9 º C

Valor inferior a 315ºC y que por consiguiente resulta adecuado. Así, la solución es: Espesor del aislante 1 (k=0,04) = 20 cm. Espesor del aislante 2 (k=0,09) = 20 cm.

ϭϰ


14


PROBLEMA3

El techo del recinto congelador de un frigorífico doméstico está construido con las siguientes capas desde el exterior hasta el interior: Espesor (mm) 2,5 95 2,5 -30

Poliéster. Aislante. Poliéster. Placa congeladora. Chapa.

Conductividad (W/mͼK) 0,035 0,025 0,035 30 2,5

La placa congeladora está uniformemente distribuida en toda la superficie del techo, comportándose como un sumidero de calor y absorbiendo 3260 W/m3. Determinar, considerando transmisión de calor en régimen permanente: 1) Espesor (mm) de la placa congeladora para mantener una temperatura de Ͳ30ºC en la superficie inferior de la chapa. 2) Flujo de calor (W/m2) que atraviesa la capa de aislante. 3) Temperatura de la superficie superior del techo. DATOS he = 10 W/m2K

Te = 30ºC

hi = 5 W/m2K

Ti = - 20ºC

SOLUCIÓN

Es un problema de flujo unidireccional en pared multicapa con un sumidero de calor (q* < 0), en su interior. El flujo de calor evacuado del recinto congelador , según la figura adjunta, es: q0 A

hi Ti T1

5 ª¬ 20 30 º¼

50

W m2

Por otro lado, dicho flujo, según la teoría de fuentes, es: q0 A

§R · U Ti Te q* L U ¨ f ¦ R f oe ¸ ©2 ¹

El coeficiente global de transmisión de calor y las resistencias térmicas son calculables en función del espesor de la fuente, que es desconocido:

15ϭϱ


1 1 30 103 L 2, 5 103 95 103 2, 5 103 1 5 2, 5 30 0, 035 0, 025 0, 035 10

¦ Rf o e Rf L 0, 0167 L 2 2 30 ¦ Rf oe 4, 0429

1 W 4, 2549 0, 0333 L m2 K

U

Igualando ambas expresiones del flujo entrante por la superficie 0: 50

20 30 4, 2549 0, 0333 L

( 3260) L 0, 0167 L 4, 0429 L 4, 2549 0, 0333 L

0, 02 m 20 cm

Efectuando un balance a la capa fuente: qL A

q0 q* L 50 ( 3260) 20 103 A

15, 2

W m2

(lógicamente entrante, o de sentido contrario al expresado en la figura) La temperatura exterior del camión, a partir de la ley de Newton: qL A

he T4 Te T4

Te

qL 1 A he

30 15, 2 ·

1 10

28, 5º C

ϭϲ


16


PROBLEMA4

Se desea diseñar un calentador de neumáticos (ƚǇƌĞǁĂƌŵĞƌ) para mantener una temperatura mínima en las “gomas” de un neumático de una moto de gran cilindrada (60 cm de diámetro exterior y 18 cm de ancho). El calentador no es sino una manta calefactora formada por una resistencia eléctrica uniformemente distribuida y una capa aislante envueltas en una lona acolchada (ver figura adjunta). Además, un sensor de temperatura impide que el aislante alcance una temperatura superior a 75ºC. En tal circunstancia, se pide: 1) Estimar la potencia eléctrica que permite mantener el neumático caliente en condiciones invernales (temperatura ambiente 5ºC; coeficiente de película 10 W/m2K). 2) Calcular la temperatura mínima que alcanza la goma del neumático y la temperatura en la superficie exterior del calentador. Nota.- Despréciense los efectos bidimensionales y trátese el conjunto de manta + neumático como una pared plana multicapa. Lona acolchada

DATOS

Lona acolchada Aislante Manta calefactora Goma Cámara de aire Llanta de acero

Aislante

k (W/mͼK)

espesor (cm)

0,5 0,03 8 0,3

0,5 2 0,2 1.5

20

0,5

Resistencia térmica (m2K/W)

Manta calefactora Lona acolchada Goma Cámara de aire Llanta de acero

0,5

3) Existen calentadores de neumático comerciales de 500 W, similares al descrito. ¿Puede justificar la diferencia entre la potencia calculada y la del calentador comercial? SOLUCIÓN

Nota previa: resulta obvio que el calentador se pone en contacto directo con el neumático, “abrazando” este. También resulta obvio que la moto no está circulando y que el calentamiento se produce con la rueda parada. El problema propuesto es aplicación directa del problema de transferencia de calor en pared plana multicapa con una fuente de calor interna. Debe resolverse en régimen permanente (con convección al aire ambiente en ambas caras) y condición de temperatura máxima en el aislante de 75ºC. La estructura multicapa es la siguiente:

17ϭϳ

ŽŶĚƵĐĐŝſŶĞŶƌĠŐŝŵĞŶƉĞƌŵĂŶĞŶƚĞ Conducción en Régimen Permanente.

k W/mͼK )

espesor (cm)

20

0,5

0,3 0,5 8 0,03 0,5

1.5 0,5 0,2 2 0,5

Convección al ambiente Llanta de acero Cámara de aire Goma Lona acolchada Manta calefactora (fuente) Aislante Lona acolchada Convección al ambiente Tair

T1 conv

0.5

1/10

T2

T3

T4

llanta cámara goma

1/h

ȴx/k

Resistencia térmica (m2K/W) 1/10

Rt

ȴx/k

T5 lona

T6

T7

fuente aislante

ȴx/k

ȴx/k

ȴx/k

q(-)

T8

Tair

lona

conv

ȴx/k

1/h

q(+) q* Rt(-)

Rt(+)

Condición de temperatura máxima en el aislante (punto 6, más cercano a la fuente, T6=75ºC): q”

T6 Tair 1 / h ( 'x / k )aislante ( 'x / k )lona

90, 13 W / m2

Cálculo de la temperatura en la superficie exterior del calentador (punto 8)

q”

h · T8 Tair T8

Taire

q” h

14, 01º C

Resistencias térmicas: Rt

§ 'x · 1 § 'x · § 'x · § 'x · ¨ ¸ Rtcámara ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ h © k ¹llanta © k ¹goma © k ¹lona © 2k ¹ fuente

Rt

§ 'x · 1 § 'x · § 'x · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 2k k k h © ¹ © ¹ © ¹ fuente aislante lona

Rt total

Rt Rt

1, 437

0, 777

0, 66

m2K W

m2K W

m2K W

Flujo de calor a la derecha de la fuente:

90, 13

q”

Rt Tair Tair q * ·'x fuente · Rt total Rttotal

0 q * ·'x fuente ·

Rt Rttotal

q* 98076

Cálculo de la potencia de la fuente: D=0.6 (diámetro); B=0.18 (ancho); ȴxfuente (espesor)

W m3

ϭϴ

18

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ

Volfuente = ȴxfuente ͼ ʋ D ͼ B = 6.79ͼ10.4 m3 qfuente = q* ͼ Volfuente = 66,55 W Cálculo de la temperatura de la goma (el valor mínimo se dará en el punto 3, más alejado de la fuente): q” q”

Rt Tair - Tair q * ·'x fuente · Rt total Rt total

106

Tair T3 T3 1 / h ( 'x / k )llanta Rtcámara

W m2 68, 64 º C

Como el flujo de calor “sin fuente” es nulo (a ambos lados hay aire ambiente), los flujos de calor a derecha e izquierda dependen inversamente de las resistencias térmicas a izquierda y derecha: q”(+) ͼ Rt(+) = q”(-) ͼ Rt(-) Ello lleva, finalmente, a que la temperatura a ambos lados de la fuente sea idéntica (en el problema, 75ºC). Observaciones (pregunta 3) Se necesitan sólo 66 W para mantener calientes las gomas (régimen permanente), pero para llevarlas a la temperatura requerida (“hasta que salte el termostato”) desde la temperatura ambiente en un tiempo razonablemente corto (régimen transitorio) se necesita una potencia mayor. De ahí los 500 W de potencia nominal. El tratamiento del problema como placa plana no introduce un error importante. El efecto bidimensional queda atenuado porque la goma es un mal conductor (k=0,3) Comentarios ¿Cómo funciona un calentador de neumáticos? Con la moto parada, se cubre el neumático con el calentador. Obviamente el calentador tiene una longitud suficiente (ʋD) y un ancho suficiente (B). Se enchufa la resistencia eléctrica y comienza el calentamiento del conjunto. Un termostato ubicado cerca de la fuente (en nuestro caso entre la fuente y el aislante) desconecta la fuente externa cuando se llega a un determinado valor, en este caso 75ºC. El tiempo necesario para alcanzar la temperatura máxima dependerá de la potencia nominal de la fuente. Al cabo del rato, el neumático perderá calor y el termostato volverá a conectar la fuente hasta nuevamente alcanzar la temperatura máxima, regulando así de forma indefinida. Este funcionamiento garantiza que la temperatura mínima de la goma sea de 68,64ºC (según los cálculos). Durante el periodo de conexión/desconexión del termostato cualquier fuente de potencia superior a 66 W (según los cálculos) hubiera sido suficiente para mantener caliente el neumático. Información técnica de calentadores comerciales Material interno Algodón interno sobre la cara calefactora. Aislamiento Poliéster cosido en la parte posterior Elemento calefactor Aislamiento doble de caucho silicónico Colores Negro, azul o rojo. Tensión 110 ó 230 voltios. Potencia: 500 W


ϭϵ

19


PROBLEMA5

Para determinar el comportamiento térmico de un material plástico, a emplear como aislamiento eléctrico, se enfunda un cable de 3 mm de diámetro y 5 m de longitud, con una conductividad térmica de 200 W/mͼK, con una envuelta de dicho material plástico, de 2 mm de espesor, con una conductividad térmica de 0,15 W/mͼK. A continuación, en un laboratorio experimental se somete al cable enfundado a una diferencia de potencial eléctrico de 1,303 V de corriente continua, midiéndose una intensidad de 61,4 A en régimen permanente, lo que propicia su calentamiento, por efecto Joule, y la disipación térmica al entorno por convección y radiación. Sabiendo que el coeficiente combinado de convección-radiación en torno al cable eléctrico enfundado tiene un valor de 8 W/m2K, y que el aire y las paredes del laboratorio se encuentran a una temperatura estable de 30ºC, se pide lo siguiente: 1) Calcular la temperatura en la interfase entre el cable y el plástico, despreciando la resistencia de contacto entre ambos materiales. 2) Calcular el perfil de temperaturas en el cable y en el aislante, en régimen permanente, sabiendo que toda la potencia disipada se genera, de forma homogénea, en la corteza radial exterior del cable, con un espesor de 0,2 mm. 3) Determinar el efecto térmico que provocaría aumentar en 2 mm el espesor del aislante. SOLUCIÓN

1) La transmisión de calor entre la parte exterior del cable y el medio que rodea al aislante de plástico se puede representar mediante el siguiente esquema eléctrico:

en el que TSC es la temperatura en la superficie del cable, TSP la temperatura en la superficie del plástico y Ta la temperatura ambiente. Las resistencias de conducción en el plástico y de convecciónradiación combinada se representan por Rk y Rc. Esas resistencias globales son:

Rk

Rc

§D · ln ¨ sp ¸ © Dsc ¹ 2 S kp L 1

2 S h

Dsp 2

L

§ 0, 035 · ln ¨ ¸ © 0, 015 ¹ 2 S 0, 15 5

0, 1798

1 2 S 8 0, 0035 5

K W

1, 137

K W

Con lo que la resistencia total es: Rt

Rc Rh

1, 317 K/W

De esa forma se puede obtener la diferencia de temperaturas que se establece entre el aire que rodea al cable y la interfase entre el cable y aislante de la forma:

ϮϬ20

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ 'T

Tsc Ta

q Rt

80 1, 317 105, 36 K

con lo que para una disipación de 80 W, que es lo que se tiene con una caída de tensión de 1,303 V con una intensidad de corriente de 61,4 A, se obtiene que la temperatura en la interfase del cable es: Tsc

Ta 105, 36

135, 36 ºC

La temperatura en la superficie exterior del aislante se puede calcular teniendo en cuenta sólo la resistencia de convección: Tsp

Ta q Rc

30 80 1, 137 120, 96 ºC

2) Los perfiles de temperatura en el cable y aislante pueden obtenerse de la resolución de la ecuación del calor con las condiciones en cada uno de los tramos del cable aislado. Tramo 1: Aislante (0,0015 < r < 0,0035) Caso de transmisión de calor en un cilindro sin fuente de calor: 1 d § dT · r r dr ¨© dr ¸¹

0

con condiciones de contorno: T2 = 135,6ºC

para r2 = 0,0015 m

T1 = 120,96ºC para r1 = 0,0035 m Cuya solución es: T(r )

T2 T1 T2

ln r r2

ln r1 r2

135, 6 14, 64

T(r ) 135, 6 17, 27 ln r

ln r 0, 0015

ln 0, 0035 0, 0015

0, 0015

Tramo 2: Cable en donde se genera la potencia (0,0013 < r < 0,0015) Caso de transmisión de calor por conducción en un cilindro con fuente de calor 1 d § dT · r r dr ¨© dr ¸¹

q* K

Con las condiciones de contorno: T2 = 135,6ºC q'' r3 Cuya solución es:

0, 0013

0

para r2 = 0,0015 m dT dr r

0 0,0013

para r3=0,0013

21 Ϯϭ


T2

T(r )

q* 2 q* r2 r r32 ln §¨ r ·¸ 4 k 2 k © r2 ¹

Con la generación de potencia por unidad de volumen como: q*

V I

S r2 r3 L 2

2

1, 303 61, 4

S 0, 0015 0, 0013 5 2

2

9, 095 · 106

W m3

Con lo que el perfil de la temperatura queda:

T(r ) 135, 6 11368 0, 00152 r2 0, 0038 ln r

0, 0015

Que sustituyendo para el caso del extremo de la zona de conducción resulta: T2 = 135,6ºC

para r3 = 0,0013 m

Tramo 3: Cilindro interior del cable en donde no hay generación de calor (0 < r < 0,0013) Caso de transmisión de calor por conducción en un cilindro sin fuente de calor: 1 d § dT · r r dr ¨© dr ¸¹

0

con condiciones de contorno adiabáticas en el centro del cilindro y en la superficie exterior del cilindro, al no haber conducción neta de calor en esos puntos: q'' r q'' r

0

0, 0013

0

0

dT dr r

0

dT dr r

0

0

para r = 0

0

para r = 0,0013

Esta condición de contorno indica que la temperatura es constante: T(r ) K 135, 6 ºC El perfil de temperaturas en función del diámetro del radio del cable y aislante se muestra en la figura:

ϮϮ 22


140 138 136 134

Conductor

7&

132

Aislante

130 128 126 124 122 120 0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0,003

0,0035

5 P

La distribución de temperatura tiene una forma aproximadamente parabólica en la zona de generación de potencia (conductor), aunque debido a la alta conductividad del cable y su pequeño espesor el salto térmico es inapreciable en la gráfica. 3) Al aumentar el espesor del aislante en 2 mm, hasta 4 mm, resulta un radio final de 0,0055 m, con lo que la resistencia térmica total de la transmisión de calor entre la superficie interior del aislante y la atmósfera que rodea al cable es: Rt

Rc Rh

0, 9991

K W

Lo que ha ocurrido es que al aumentar el área de disipación, la resistencia total disminuye. El salto de temperatura en el aislante resulta: 'T

Tsc Ta

q Rt

80 0, 9991 79, 92º C

Con lo que la temperatura en la parte interior del aislante es de 109,9ºC, sensiblemente menor que en el caso del ensayo con 2 mm de aislante, lo que lleva a que todas las temperaturas sean inferiores.



23

Ϯϯ

PROBLEMA6

Una nave de grandes dimensiones es atravesada por una tubería por la que circula un fluido que se congela a 250ºC (sal fundida). Con objeto de que la sal fundida no congele en ningún punto de la tubería, se instala una funda con una fuente de calor homogénea alrededor de la tubería. Este sistema sirve para mantener la superficie exterior de la tubería a una temperatura de T2 = 300ºC en toda su longitud, cuando la sal fundida accede a la tubería a 300ºC y la temperatura de la nave es de Tf = 300ºC. 1) Relacione en una expresión matemática la potencia característica q de la funda con las pérdidas térmicas convectivas y radiativas, haciendo uso de los datos del problema que considere oportunos y de T3 2) Partiendo de la ecuación general de la transmisión de calor determine la ecuación del perfil de temperaturas en la funda atendiendo a los siguientes pasos: a) Determine la ecuación en sí, sin sustituir los datos del enunciado por valores numéricos b) Determine las condiciones de contorno a aplicar c) Aplique las condiciones de contorno a la ecuación, obteniendo la expresión buscada 3) Explique razonadamente la forma en que varía el perfil de temperaturas del sistema con el radio. 4) Determine el valor de la fuente de calor en la funda ( q [W/m3]) para obtener una temperatura de 300ºC en la cara exterior de la tubería, despreciando el calor que se pierde por radiación al exterior en el cálculo 5) Indique que mejoras plantearía al diseño para el caso de que la q disponible fuera inferior a la calculada en el apartado anterior SOLUCIÓN

1) Balance de energía. Se identifica el flujo energético saliente a través de convección y radiación, y el flujo entrante como el que se genera en la zona de la funda.

E in E out E g

'Est

No hay aporte térmico entrante como tal, ni tampoco variación en la energía almacenada al deducirse del enunciado que se trata de régimen permanente, por lo que el balance se reduce a:

E out E g

0

La generación se realiza en el volumen ocupado por la funda, por lo que este sumando se puede escribir como: E g

L·S· r32 r22 ·q

De los datos del enunciado se deduce que el sistema intercambia calor con el exterior mediante convección y radiación:

Ϯϰ 24

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ E out

qcv qrd

2·S·r3 ·L·hf · T3 Tf 2·S·r3 ·L·H·V· T34 Tf4

Por tanto, la ecuación que se pide es (con las simplificaciones obvias):

r

2 3

r22 ·q 2·r3 ·hf · T3 Tf 2·r3 ·H·V· T34 Tf4

2) Ecuación general de la transmisión de calor en coordenadas cilíndricas para conducción unidimensional con fuentes y régimen permanente: 1 d § dT · k·r· · q r dr ¨© dr ¸¹

0

2.a) Integrando la ecuación de forma genérica aparecen dos constantes de integración, por lo que serán necesarias dos condiciones de contorno (C1 y C2): T r

q·r2 C1 ·ln r C2 4·k

2.b) Las condiciones de contorno asociadas a este problema en concreto pueden ser varias, pero se observan dos a la vista del boceto del perfil de temperaturas: x

En r2 la temperatura debe ser T2

x

En r2 se alcanza un máximo, la pendiente se hace nula por lo que

300 DC dT dr r2

0

2.c) Sustituyendo en las expresiones: T r

q·r2 § r · q 2 2 r r2 2 ·ln ¨ ¸ T2 4·k 2·k © r2 ¹

3) Justificación perfil de temperaturas: Por simetría desde r=0 m hasta r2 la temperatura será constante e igual a 300ºC. Desde r2 hasta r3 está la generación de calor, por lo que la variación no será lineal de uno a otro, será una curva como la encontrada en el apartado anterior, descendiente según se aumenta el radio. De r3 a mayores radios aparece el aire ambiente, convección, por lo que se producirá un descenso acusado de temperatura desde r3 en una distancia corta (capa límite térmica), para terminar en 20ºC, temperatura ambiente. En la figura se puede apreciar el perfil en cuestión, representándose en varias figuras por la diferente escala de la variación de temperatura en cada medio.

25Ϯϱ


4) Para encontrar el valor de q se tienen las expresiones del perfil de temperaturas en la capa de la funda y en la expresión resultado del apartado primero. Ambas se pueden relacionar si se aplica la ecuación del perfil de temperaturas a r3: T3

q · r2 § r · q 2 2 r3 r2 2 ·ln ¨ 3 ¸ T2 4·k 2·k © r2 ¹

Y se introduce en la ecuación solución del apartado eliminando el término radiativo como indica el enunciado:

r

2 3

r22 ·q 2 · r3 · hf · T3 Tf

ª q 2 2 º · 2 § r · qr r32 r22 ·q 2·r3 ·hf ·« r3 r2 2 ·ln ¨ 3 ¸ T2 Tf » 2·k © r2 ¹ «¬ 4·k »¼

Resulta una ecuación con una incógnita, despejando: q

T2 Tf § r3 · º r32 r22 1 ª1 2 2 2 « r r r2 ·ln ¨ ¸ » 2·r3 ·hf 2·k ¬ 2 3 2 © r2 ¹ ¼

2, 85 · 106

W m3

5) Disponer un aislante alrededor de la funda sería una medida adecuada (entre otras) si el q fuera inferior al considerado inicialmente.

Ϯϲ


26


PROBLEMA7

Una tubería de cobre de 50 m de longitud está expuesta al ambiente exterior en la cubierta de un edificio, soportada de tal manera que la totalidad de la tubería se encuentra rodeada de aire ambiente a 0ºC. Por el interior de la misma circula un fluido que entra en la tubería a 90ºC y sale a 88ºC, a una velocidad de 1 m/s. Determinar: 1) Perdidas térmicas (W) de la tubería al entorno. Se decide aislar la tubería con una coquilla de 40 mm de espesor, para minimizar las pérdidas. Asumiendo que se mantienen constantes tanto el coeficiente de película interior como el coeficiente combinado de convección-radiación por el exterior, determinar: 2) Temperatura de salida del fluido, manteniendo constante la temperatura de entrada. 3) Pérdidas térmicas (W)la tubería aislada al entorno. DATOS - Tubería: k= 400 W/mͼK, De = 28 mm, Di=26 mm - Aislamiento: k = 0,04 W/mͼK - Fluido: cp = 4179 J/kgͼK, U=1000 kg/m3 - Coeficiente de película por el interior de la tubería: hi = 2300 W/m2K SOLUCIÓN

1) Tubería sin aislar. El caudal másico de agua circulante es:

C·U m

v ·S ·U

D2 0, 0262 v ·S· i ·U 1·S· ·1000 4 4

0, 531

kg s

Dicho caudal másico se enfría desde 90 hasta 88ºC:

P TE TS1 q mc

0, 531 ·4179· 90 88

4437, 5 W

2) Tubería aislada. Igualando la pérdida energética del agua a la pérdida energética de la tubería aislada: q2

P TE TS2 mc

2·S ·L·( Tb2 Tamb ) 1 ln(r2 / r1 ) ln(r3 / r2 ) 1 hri 1 k12 k23 her3

siendo Tb2 la temperatura media de masa del fluido que circula por la tubería aislada: Tb2 Por consiguiente,

TE TS2 2

27Ϯϳ


P TE TS2 mc

TE TS2 Tamb ) 2 1 ln(r2 / r1 ) ln(r3 / r2 ) 1 hri 1 k12 k23 her3 2·S ·L·(

(*)

En la ecuación anterior, son desconocidos TS2 y he. Puesto que se mantiene constante el coeficiente combinado he, se obtendrá su valor a partir de la información de la tubería sin aislar. TE TS1 Tamb ) 2 1 ln(r2 / r1 ) 1 hri 1 k12 her3

2·S ·L·( q

Despejando he:

TE TS1 Tamb ) 2 4437, 5 1 ln(r2 / r1 ) 1 hri 1 k12 her3

2·S ·L·( q

0, 0336

71, 428 he

6, 3 he

11, 4

90 88 0) 2 1 1 ln(28 / 26) 2300·0, 013 400 he 0, 014 2·S ·50·(

27960, 175 71, 428 0, 0336 he

W m2K

Con el valor de he, entrando en la ec. (*) 90 TS2 0) 2 0, 531·4179· 90 TS2 1 1 ln(14 / 13) ln( 54 / 14 ) 2300·0, 013 400 0, 04 11, 4·0, 054 4500S 199714, 41 4500 S 50 S TS2 35 .406 89, 66 º C 199714, 41 2218, 63 · TS2 TS2 50 S 35, 406 2218, 63 35, 406 2·S ·50·(

Por último, las nuevas pérdidas son: q2

P TE TS2 mc

0, 531·4179·(90 89, 66) 759, 5 W

Ϯϴ


28


PROBLEMA8

Se tiene un material generador de calor de origen nuclear (k = 40 W/mͼK) almacenado en una esfera de acero (k = 15 W/mͼK) de 0,5 m de radio interior y 10 cm de espesor. Se asume que la generación de calor es constante y de valor 2ͼ105 W/m3. La superficie exterior de la esfera se expone a una corriente de agua a 25ºC, presentándose un coeficiente h= 1000 W/m2K. Se pide: 1) Temperaturas superficiales del acero 2) Temperatura en el centro de la esfera. SOLUCIÓN

1) Efectuando un balance de energía:

*

qV

h · A · TSE TF TSE

q* V TF hA

4 S ·0, 53 3 25 1000 * 4 S 0, 62

2 · 105

48, 1º C

El calor se transmite por conducción a través de pared esférica simple. Así pues:

q

4 Sk( TSI TSE ) 1 1 ri re

q q* V

TSI

4 q* · Sri3 3

104720 W

§1 1 · q¨ ¸ © ri re ¹ T SE 4 Sk

1 · § 1 104720 · ¨ ¸ © 0, 5 0, 6 ¹ 48, 1 233, 3º C 4 S 15

2) Para averiguar la temperatura en el centro de la esfera debe obtenerse la distribución de temperaturas en el seno de la misma. A partir de la ecuación general en esféricas: k

d § 2 dT · * 2 qr r dr ¨© dr ¸¹

0

Resolviendo la ecuación y particularizando en r= 0 se obtendrá la temperatura deseada: § 2 dT · ¨ r dr ¸ © ¹

q*r 3 dT C1 3k dr

q*r C1 T 3k r2

q*r2 C1 Cw2 6k r

Aplicando condiciones de contorno: T(ri ) T(0) Así pues la ecuación queda:

233, 3½ ¾ C1 finita ¿

TSi

0; C2

TSi

q*ri2 6k


T

q*r2 q*r2 TSi i 6k 6k

TSI

q* (ri2 r2 ) 6k

Y particularizando para r=0: T(0)

TSI

q* (ri2 ) 6k

233, 3

2 · 105 · 0, 52 6 · 40

441, 6º C

29Ϯϵ

ϯϬ


30


PROBLEMA9

Determinar en régimen permanente la posición y magnitud de la temperatura máxima existente en una placa infinita de 0,05 m de espesor, que tiene una conductividad térmica de 1 W/mºC y una emisividad térmica nula, en cuyo interior existe una fuente térmica que varía linealmente entre un valor nulo en la superficie izquierda y un valor de 2ͼ105 W/m³ en la superficie derecha, sabiendo que ambas superficies están refrigeradas por un mismo fluido a 100ºC que proporciona un coeficiente de convección de valor 100 W/m2K. SOLUCIÓN

Se trata de un problema de conducción con una fuente no uniforme. La ecuación general de la conducción es: k·

w2 T q* wx2

U · cP ·

wT wt

En régimen permanente: k·

d2 T q* dx 2

0

La ecuación de la fuente es: §x· q* (x ) qL* · ¨ ¸ ©L ¹

x > 0, L @

Sustituyendo: k·

d2 T §x· qL* · ¨ ¸ 2 dx ©L¹

0

d2 T dx 2

qL* ·x kL

Integrando: dT dx

qL* 2 ·x C1 T 2 kL

qL* 3 ·x C1x C2 6 kL

Aplicando las condiciones de contorno: § dT · En x=0 : convección k·¨ ¸ © dx ¹x

h· Tf T0 k · C1

h· Tf T0 C1

h · Tf T0

0

k

La condición de contorno anterior expresa una de las constantes de integración en función de la temperatura (desconocida) en x=0. Por consiguiente no determina el problema. § dT · En x=L : convección k·¨ ¸ © dx ¹x

L

§ q* · h· TL TF k · ¨ L ·L2 C1 ¸ h · TL TF © 2 kL ¹

31ϯϭ


Otra condición de contorno que, en primera instancia, no sirve para determinar el valor de C2, estando en función de TL, también desconocido. El valor de C2 puede relacionarse con T0 si se emplea otra condición de contorno: En x=0, T=T0 C2

T0

Que tampoco determina el problema al no conocerse el valor de T0. Sustituyendo en la ecuación integrada:

T(x )

qL* 3 h ·x T0 TF ·x T0 6k L k

(*)

Será necesario efectuar un balance energético para eliminar la dependencia de la temperatura superficial T0. L L q0 q* V h · A · TL TF h · A · TF T0 qL* · A h · TL TF h · TF T0 qL* 2 2 L TL TF TF T0 qL* (**) 2h qL

En la ecuación anterior, se puede eliminar la dependencia de TL, particularizando para x=L en la ecuación (*):

TL

qL* 2 h · L · T0 TF · L T0 6k k

Expresión que introducida en (**) resulta:

qL* 2 h · L · T0 TF · L T0 TF 6k k

TF T0 qL*

L 2h

Obsérvese que en la expresión anterior, la única incógnita es T0. Sustituyendo los datos del enunciado :

2 · 105 0, 05 · 0, 052 100· T0 100 · 0, 05 T0 100 100 T0 2 · 105 T0 6 2 · 100

Entrando en (*): T(x )

6, 6ˆ · 105 · x 3 1905·x 119, 05

Posición y magnitud de la temperatura máxima: dT dx

0 1905 2·106 ·x 2 x

T(x

0, 031m) 158, 2 C

2

dT 0 máximo dx 2

0, 031 m

119, 05C

ϯϮ


32


PROBLEMA10

Se desea mantener una placa de cierto material a una temperatura mínima de 60ºC, cuando está inmersa de manera continua en una corriente de aire a 20ºC. Para ello se adosan a la placa original dos placas adicionales, que generan calor de forma uniforme, exactamente iguales. El conjunto queda conformado geométricamente como se indica en la figura adjunta. Se pide: 1) Determinar la potencia mínima (W/m3) necesaria de cada una de las fuentes. 2) Determinar la temperatura superficial en la cara libre de las fuentes. 3) Razonar la variación de los resultados anteriores si se dobla el espesor de la placa original DATOS

kMATERIAL = 1,4 W/mͼK kFUENTES = 0,03 W/mͼK

SOLUCIÓN

En régimen permanente, el material no puede recibir calor, pues aumentaría su temperatura. Por consiguiente, en la interfase fuente-material el flujo de calor es nulo. Y la temperatura de todo el material es la mínima requerida, 60ºC. A partir de la ecuación general de la conducción de calor, para una de las capas fuente: kF ·

d2 T q* dx 2

0

d2 T dx 2

q* dT kF dx

q* x C1 T kF

Condiciones de contorno: dT 0 C1 0 °En x=0 dx ® °En x=0 T=T =60ºC C T 0 2 0 ¯ Y la ecuación queda: T

T0

q * x2 kF 2

Así, se puede poner la temperatura superficial libre de la placa fuente en función de la temperatura superficial interior de la fuente: TL

T0

q * L2F kF 2

Efectuando un balance energético a una de las fuentes:

q * x2 C1 x C 2 kF 2


§ · q * L2F q * L2F h·A· TL Tf h·A·¨ T0 TF ¸ q * LF h T0 TF h kF 2 kF 2 © ¹ h T0 TF 15 60 20 § h · L2F · W q * ¨ LF 114286 3 ¸ h T0 TF q* 2 2 2k h L 15 0 003 m · · , F ¹ F © 0, 003 LF 2 · 0, 03 2kF q * VF

Y la temperatura superficial resulta: TL

T0

q * L2F kF 2

60

114286 · 0, 0032 0, 03 · 2

42, 9º C

33ϯϯ

ϯϰ


34


PROBLEMA11

Una varilla de combustible nuclear convencional está formada por dos cilindros concéntricos. El radio del cilindro interior es de 0,2 cm, y el del exterior es de 0,4 cm. Ambos cilindros están compuestos por combustible nuclear UO2, con una conductividad del material nuclear generador de potencia de k = 5 W/mͼK. La varilla de combustible está refrigerada por su parte exterior por agua, a una temperatura media de 300ºC, y con un coeficiente de película de h = 6000 W/m2K. El cilindro interior tiene una fuente de calor q1* = 1600 W/cm3. El cilindro exterior tiene otra fuente de calor, de valor q2* = 300 W/cm3. La longitud de la varilla es órdenes de magnitud mayor que el radio. Determinar, en régimen permanente: 1) La temperatura máxima del conjunto. 2) En el caso de que en el cilindro interior se apague la fuente (q1* = 0), manteniéndose constante el resto de datos del problema, representar sin hacer cálculos como es la distribución de temperatura en ambos cilindros, explicando el resultado. 3) En el caso de que en el cilindro exterior se apague la fuente (q2* = 0), manteniéndose constante el resto de datos del problema, representar sin hacer cálculos como es la distribución de temperatura en ambos cilindros, explicando el resultado. SOLUCIÓN

1) El eje de la varilla debe ser obligatoriamente un máximo de temperaturas, ya que al ser el cilindro interior de generación interna positiva no pude haber transmisión de calor hacia el mismo desde puntos situados más al exterior. Para determinar esa temperatura es necesario obtener adecuadamente las condiciones de contorno del problema. En primer lugar se busca la temperatura de la superficie exterior del conjunto, T2. q’1(W/m) = q*1ͼʋͼr12 = 201,06 W/cm q’2(W/m) = q*2ͼʋͼ(r22-r12) = 113,10 W/cm q’TOTAL (W/m) = q’1 + q’2 = 314,16 W/cm Por conservación de la energía todo el calor así generado pasa por convección al fluido circundante: q’TOTAL

2·S·r2 · T2 Tagua T2

508, 33qC

Conocido T2 y q’1 se puede determinar el valor de la temperatura de la cara interna de la pared cilíndrica en que la tasa de generación es q*2

q1'

ª 1 § r22 º · « ¨ 2 1¸ » 2 r T T ¹ 1» o T 2Sk 1 2 S r12 q2* « © 1 1 « » r r ln 2 ln 2 « » r1 r1 ¬« ¼»

1048, 76qC


35ϯϱ

Conocido T1 se puede obtener la temperatura máxima pedida , sustituyendo en la expresión de la distribución de temperaturas para cilindros macizos con generación de calor uniforme: T0

T1

q1* ·r22 4k

1368, 76qC

2) Si se anula el termino de generación de calor del cilindro macizo interior (q1*=0), en régimen permanente ni sale ni entra energía en dicho cilindro. Por tanto, el perfil de temperaturas debe ser plano (temperatura constante), con derivada nula en el eje. Sin embargo en la pared cilíndrica donde permanece la generación de calor, la temperatura disminuirá en el sentido que toma el calor para escapar del sistema, por lo que será decreciente según aumenta el radio. Tal y como se ilustra en la figura adjunta. 3) Si se anula la fuente de la pared cilíndrica exterior, el perfil de temperaturas presentará una variación en el cilindro macizo interior composición de una aportación con el radio al cuadrado más otra aportación con el logaritmo neperiano del radio, tal y como dicta el perfil de temperaturas que se obtiene para un cilindro macizo. En el cilindro exterior se tratará de un decremento de temperatura asociado a la variación que experimenta la función logaritmo neperiano del radio desde el radio interior de la pared cilíndrica hasta el radio exterior de la misma.

ϯϲ

36



PROBLEMA12

El destornillador de la figura está formado por una barra metálica (k = 50 W/mͼK), de 5 mm de diámetro y 15 cm de longitud, tal que 11 cm quedan libres y 4 cm están empotrados en una empuñadura de plástico duro que tiene una conductividad térmica despreciable.

En un taller mecánico con 20qC de temperatura ambiente, en donde existe un coeficiente de convección de valor 10 W/m2K, un operario que está ajustando un motor emplea este destornillador para apretar un tornillo que se encuentra a 200qC. En régimen permanente, y despreciando todo efecto radiativo, se pide: 1) Calcular la posición y magnitud de las temperaturas máxima y mínima en toda la barra 2) Dibujar con 4 puntos representativos la distribución de temperaturas en toda la barra 3) Calcular el calor total transferido por la barra al entorno SOLUCIÓN

1) Puesto que el calor se transmite en el sentido de las temperaturas decrecientes, la máxima temperatura de la barra se da en el extremo libre del destornillador, que está en contacto con el tornillo del motor. Dicha temperatura es de 200ºC. La mínima temperatura se da en la porción de la barra contenida dentro de la empuñadura, que es la zona más alejada de la fuente de calor. Puesto que la empuñadura se asume con conductividad nula, no puede transmitirse calor a su través. Así, toda la barra empotrada será isoterma, correspondiéndole la temperatura mínima. Entiéndase que esta asunción de conductividad nula es en realidad imposible, y que por consiguiente, en la realidad, sí se transmitiría calor hacia la empuñadura, desde la parte final de la barra metálica. La barra se comporta como una aleta tipo aguja de longitud igual a la zona expuesta al fluido y adiabática en su extremo

La distribución de temperaturas se rige por la expresión:

37ϯϳ


T T0 hͼC kͼA

m

Con

Ch ª¬m L x ¼º

T x TF

Ch mL

T0 TF

T x TF T0 TF

Ch ª¬m L x ¼º Ch mL

Ch ª12,65 0,11 x º¼ 4h 12,65 m-1 T x 20 (200 20) ¬ kͼD Ch >12,65 ͼ0,11@

hͼSD D2 kͼS 4

Las temperaturas máxima y mínima son: TMAX

T(x 0) 20 180

TMIN

T(x L) 20 180

Ch ª¬12,65 0,11 º¼ 2,135

200

Ch ª¬12,65 0,11 0,11 º¼ 2,135

104,3 º C

2) Además de los dos puntos anteriores, pueden ser representativos el punto central de la barra expuesta al fluido y el final de la barra:

T x L 2 20 180 qE kͼAͼ

Ch ¬ª12,65 0,11 0,055 º¼ 2,135

125,6º C

TL T(x 0,15) 0 T(x 0,15) TL 104,3º C 'x

250 200

200

150 7&

125,6 104,3

104,3

100

50

0 0

0,025

0,05

0,075

0,1

[P

3) El calor total transmitido por una aguja adiabática es:

q km A T 0 Th mL 1,97 W

0,125

0,15

ϯϴ


38


PROBLEMA13

El destornillador de la figura está formado por una barra metálica (k = 50 W/mqC), de 5 mm de diámetro y 15 cm de longitud, tal que 11 cm quedan libres y 4 cm están empotrados en una empuñadura de plástico duro que tiene una conductividad térmica despreciable.

En un taller mecánico con 20qC de temperatura ambiente, en donde existe un coeficiente de convección de valor 10 W/m2K, un operario que está ajustando un congelador emplea este destornillador para apretar un tornillo que se encuentra a 30qC bajo cero (- 30qC). En régimen permanente, y despreciando todo efecto radiativo, se pide: 1) Calcular la posición y magnitud de las temperaturas máxima y mínima en toda la barra 2) Dibujar con 4 puntos representativos la distribución de temperaturas en toda la barra 3) Calcular el módulo, la dirección y el sentido del calor total intercambiado entre la barra y su entorno Nota: sólo se acepta la solución analítica exacta del problema, no siendo válida la solución aproximada calculable mediante métodos numéricos. SOLUCIÓN

1) Puesto que el calor se transmite en el sentido de las temperaturas decrecientes, la mínima temperatura de la barra se da en el extremo del destornillador, que está en contacto con el tornillo del congelador. Dicha temperatura es de -30ºC. La máxima temperatura se da en la porción de la barra contenida dentro de la empuñadura, que es la zona más alejada del sumidero de calor. Puesto que la empuñadura se asume con conductividad nula, no puede transmitirse calor a su través. Así, toda la barra empotrada será isoterma, correspondiéndole la temperatura máxima. Entiéndase que esta asunción de conductividad nula es en realidad imposible, y que por consiguiente, en la realidad, sí se transmitiría calor desde la empuñadura hacia la parte final de la barra metálica. La barra se comporta así como una aleta tipo aguja de longitud igual a la zona expuesta al fluido y adiabática en su extremo. La distribución de temperaturas se rige por la expresión:

T T0

T x TF T0 TF


T x TF T0 TF


39ϯϵ


hͼC kͼA

m

Con

hͼSD D2 kͼS 4

Ch ª12,65 0,11 x º¼ 4h 12,65 m-1 T x 20 (30 20) ¬ kͼD Ch>12,65 ͼ0,11@

Las temperaturas máxima y mínima son: TMAX

T(x L) 20 50

Ch ¬ª12,65 0,11 0,11 º¼

TMIN

T(x 0) 20 50

Ch ¬ª12,65 0,11 ¼º

3,4 º C

2,135 2,135

30 º C

2) Además de los dos puntos anteriores, pueden ser representativos el punto central de la barra expuesta al fluido y el final de la barra: T x L 2 20 50 qE kͼAͼ

Ch ª¬12,65 0,11 0,055 º¼

T(x 0,15) TL 'x

2,135 0 T(x 0,15) TL

9,3 º C 3,4 º C

0 -5

-3,4

-3,4

-9,3

7&

-10 -15 -20 -25 -30

-30

-35 0

0,025

0,05

0,075

0,1

[P

3) El calor total transmitido por una aguja adiabática en su extremo es:

q km A T 0 Th mL 0,55 W El calor es entrante a la barra desde el aire exterior.

0,125

0,15

ϰϬ


40


PROBLEMA14

Los canales de refrigeración que se encuentran en intercambiadores de calor compactos pueden estar configurados de acuerdo con el esquema de la figura que se adjunta. En el caso de aplicarse a circuitos electrónicos, las superficies 1 (superior) y 2 (inferior) están adosadas a elementos electrónicos que requieren refrigeración, la cual se consigue impulsando aire por el interior de los canales que se han formado entre ellos. Para una configuración de canal con una distancia entre superficies de 60 mm, una anchura de canal de 4 mm, con 1 mm de espesor de aluminio en la unión entre superficies, una profundidad de canal de 80 mm y una número total de canales de 40. Si las temperaturas en las superficies 1 y 2 son 35 y 30ºC respectivamente, y el aire impulsado tiene una temperatura media de 20ºC, induciendo un coeficiente de convección en las superficies de los canales de 60 W/ m2K. Determinar: 1) El calor disipado a través de los canales. 2) Si el salto térmico máximo que se pretende en el aire es de 10ºC, determinar el caudal de aire impulsado a través del conjunto de canales.

SOLUCIÓN

La estructura básica de canal, es la que se muestra en la figura: Esta estructura es una superficie extendida en el que las temperaturas de sus extremos son fijas y conocidas; equivalente a una aleta en la que se tiene la condición de contorno de temperatura conocida en su extremo. La solución del campo de temperaturas que corresponde a esa aleta se puede encontrar en cualquier libro de texto de transmisión de calor: T

T(x ) Tf

TL sinh mx Tb sinh m L x sinh mL

A partir de la cual se puede obtener el valor del flujo de calor en cada punto de la superficie extendida:

41ϰϭ


qx

kA c

dT dx

ª TL cosh mx Tb cosh m L x º kA cm « » sinh mL «¬ »¼

El calor total transferido a través de las separaciones entre canales se obtiene a partir del balance energético en la aleta equivalente, sustrayendo al calor que sale de la base (superficie 1), el que se obtiene en el extremo (superficie 2). qa

q1 q2

Este sería el calor únicamente transferido a través de la separación entre los canales. Hay que sumarle el calor transferido a través de las superficies que cierran esos canales de refrigeración. qs1

A1 h T1 Tf

a b h T1 Tf

qs2

A 2 h T2 Tf

a b h T2 Tf

Siendo a, y b el ancho y la profundidad del canal, 4 y 80 mm respectivamente. Con lo que el calor total disipado a través de los canales es: qT

N qa qs1 qs2

El caudal de aire impulsado se obtiene a partir del calor total evacuado y el salto térmico que se produce. ma

qT Cp 'Ta

El cálculo de la aleta requiere determinar sus parámetros característicos, que se obtienen de su geometría y de las propiedades del aluminio, que es el material que la forma. De tal forma que: Tb

T1 Tf

35 20

TL

T2 Tf

30 20 10 ºC

Ac

m

hP k Ac

e b 1 80

h2 b k Ac

15 ºC

80 m2

60 2 0, 08 237 0, 00008

26, 93 m

Siendo k, la conductividad del Aluminio, del orden de 237 W/m2K (tablas). Con estos valores se obtiene: q1

q 0

ª T Tb cosh m L º kA cm « L » sinh mL ¬« ¼»

ª 10 15 cosh 26, 93 0, 06 º 237 0, 000080 26, 93 « » sinh 26, 93 0, 06 ¬« ¼»

4, 423 W

ϰϮ 42


q2

ª T cosh mL Tb º kA cm « L » sinh mL «¬ »¼

q L

ª 10 cosh 26, 93 0, 06 15 º 237 0, 00008 26, 93 « » sinh 26, 93 0, 06 «¬ »¼

1, 6 W

Lo que indica que en la superficie “1” se disipan 4,423 W, y en la superficie “2”, 1,6 W. En cuanto a la disipación térmica por el resto de las superficies de canal: qs1

a b h T1 Tf

0, 004 0, 08 60 15

0, 288 W

qs2

a b h T2 Tf

0, 004 0, 08 60 10

0, 192 W

Con lo que el calor total evacuado queda: qT

N qa qs1 qs2

40 4, 423 1, 6 0, 288 0, 192

260, 1 W

Y el caudal de aire impulsado para extraer ese calor (tomando el cp del aire a presión atmosférica de tablas): ma

qT Cp 'Ta

260, 1 1007 10

0, 0259

kg s


43


ϰϯ

PROBLEMA15

En un laboratorio se tiene una placa de acero que se mantiene a una temperatura constante de 1000qC. Sobre ella, se ha instalado perpendicularmente una barra de aluminio, de 1,25 cm de diámetro y 30 cm de longitud, que se comporta como una aleta recta de sección transversal constante. Para incrementar el efecto de disipación térmica de esta aleta se le ha unido coaxialmente en su extremo una barra de hierro forjado, de igual diámetro y longitud, pudiéndose considerar despreciable la transmisión de calor del extremo libre al entorno. Sabiendo que el aire del laboratorio se encuentra a 0qC, y suponiendo que existe un único coeficiente combinado de convección-radiación, aplicable a las dos barras, de valor 9 W/m2K, se pide calcular, en régimen permanente, lo siguiente: 1) 2) 3) 4) 5)

Temperatura en la unión entre las dos barras Temperatura en el extremo libre de la barra de hierro forjado Calor (W) extraído de la placa de acero Calor (W) disipado al entorno por la barra de aluminio Calor (W) disipado al entorno por la barra de hierro forjado

Complementariamente a lo anterior, razonar cualitativamente, sin realizar cálculos, los resultados que se obtendrían para las preguntas previas en caso de invertir la posición relativa de las dos barras, uniendo a la superficie de acero la barra de hierro forjado y a ésta, la de aluminio. NOTA: Suponer despreciable la resistencia térmica de contacto entre la barra de aluminio y la superficie metálica, así como entre la barra de aluminio y la barra de hierro forjado. DATOS DE LOS MATERIALES Acero 7 833 0,47 54

Densidad (kg/m3) Calor específico (kJ/kgͼK) Conductividad (W/mͼK)

Aluminio 2 707 0,89 228

Hierro forjado 7 849 0,46 57

Formulario para el cálculo del flujo térmico en aletas rectas

shmL HͼchmL chmL HͼshmL Aleta con condición adiabática en su extremo libre: q o

Aleta con temperatura conocida en su extremo libre:

Aleta en el caso general:

qo

kmAT o

qo qL

Aleta infinita:

q kmAT o

kmAT o thmL chmL T L / T o kmAT o shmL 1 T L / T o chmL kmAT o shmL

ϰϰ44

WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ Problemas de Transferencia de Calor.

SOLUCIÓN

1) El calor que disipa por su extremo la barra de aluminio es el calor total que disipa la barra de hierro. En el punto de unión de ambas barras la temperatura es única, TU. La barra de aluminio se comporta por tanto como una aleta con temperatura en el extremo fija TU. La barra de hierro se comporta como una aleta con temperatura en la base TU y cesión de calor despreciable en su extremo.

Los parámetros característicos de cada una de las aletas resultan: hP kS

m

h SD D2 kS 4

-1 °mAL 3,554 m ® -1 °¯mFE 7,108 m

4h kD

L AL LFE L 0,3 m T T Tf ½ ¾T T Tf 0º C ¿ Para determinar la temperatura en la unión, se iguala el calor disipado por el extremo de la aleta de aluminio al calor que disipa la aleta de hierro: qLAL

qFE k ALmL A

TU

To TU Ch mALL Sh mALL

k ALmL T0 Sh mALL

kFEmFE A TU Th mFEL

kFEmFE Th mFEL k ALmL Cth mALL

445,1ºC

2) La aleta de hierro tiene una distribución de temperatura correspondiente a aleta recta o aguja expuesta a convección, despreciando la transmisión de calor en el extremo. Como se desea averiguar la temperatura en el extremo, se particulariza dicha distribución para x= L: T Tf Tb Tf

T Tb

Ch L x Ch mL

TE TU

1 TE Ch mL

TU 104,1 D C Ch mFEL

3) El calor extraído de la placa de acero será el que atraviesa la base de la aleta de aluminio:


q0AL k ALmAL A

T0 Ch mALL TU Sh mALL

45ϰϱ

91,6 W

4) El calor disipado por la aleta de aluminio es el calor total que se disipa desde la placa menos el calor que disipa la aleta de hierro: qAL

q0AL qFE 0

q0AL kFEmFE A TU Th mFEL

91, 6 21, 52

70, 08 W

5) El calor disipado por la aleta de hierro , empleado para el cálculo del apartado anterior, corresponde al flujo saliente por conducción de la aleta de aluminio: qFE 21,52 W 0 6) Razonamiento cualitativo del caso inverso Al situar invertidas las aletas, con la de hierro soldada a la placa de acero, la evacuación del calor se dificulta, puesto que el hierro tiene menor conductividad que el aluminio. Por ello, habrá una mayor diferencia de temperaturas entre la base de la placa y la unión. Esto es, la temperatura en la unión será menor. La temperatura media en la aleta de hierro será por consiguiente menor que en la situación original, y el calor disipado también. Lo mismo puede decirse de la aleta final, en este caso de aluminio: la temperatura en su base (virtual) será menor, por lo que el calor disipado también. A pesar de que aumente la efectividad de la aleta, pues la conductividad sería mayor, este efecto no compensará nunca la bajada de temperatura media del conjunto. Por consiguiente, el perfil de temperatura es más bajo en toda la longitud del dispositivo, y el calor entregado por cada una de las aletas y por el conjunto es menor. Si un aleta se instala para disipar calor, cuanto más se facilite la evacuación del calor a través de la misma, mejor. Y facilitar la evacuación está directamente relacionado con aumentar la conductividad térmica, ya que, aunque el calor se cede en definitiva por convección, debe llegar a la superficie exterior de las aletas por conducción.

ϰϲ


46


PROBLEMA16

Dos fuentes térmicas homogéneas de 1 m de espesor se utilizan para calentar un determinado caudal de aire. Para ello, se emplea el esquema de la figura. Las dos fuentes están conectadas por un conjunto de aletas rectas de sección circular, de 1 m de longitud. La disposición de las aletas sobre las superficies es cuadrada, con una distancia entre centros de aletas de 2 cm. Las temperaturas de las paredes de las fuentes en contacto con el aire son, para la fuente q1*, T1 = 220qC y para la fuente q2*, T2 = 120qC. La temperatura media del aire a su paso por el conjunto es de Tf = 20qC.

En el régimen permanente, y despreciando la transmisión de calor por radiación, se pide determinar: 1) Partiendo de la ecuación general de la transmisión de calor en aletas y haciendo las simplificaciones necesarias, obtener la ecuación analítica que define la distribución de temperatura en la aleta en función de la variable ‘x’, con las condiciones de contorno del problema. Se debe llegar a la solución:

T(x )

TL sh(m x ) T0 sh(m (L x )) sh(m L )

°°sh(x ) Sabiendo que: ® °ch(x ) °¯

ex e x 2 ex e x 2

2) Determinar la localización del mínimo de dicha distribución, dibujar a mano alzada la distribución de temperaturas y comentar qué está ocurriendo físicamente en la aleta (media cara como máximo) Determinar asimismo la cantidad de calor en ambos extremos de la aleta (q0 y qL) y justificar el sentido del flujo de calor en dichos extremos. ¿Cuál es el flujo de calor por conducción en el punto de mínima temperatura? 3) Determinar qué longitud de la aleta hace de disipador de calor de cada una de las superficies. Determinar la efectividad de la aleta correspondiente a cada superficie, y la efectividad de ambas superficies totales aleteadas. Determinar asimismo el flujo de calor total (W/m2) que sale de ambas superficies hacia el aire. 4) Determinar el valor de las fuentes (las superficies exteriores de ambas fuentes son paredes adiabáticas, excepto la superficie que está en contacto con el aire, como muestra la figura).

47ϰϳ


5) Suponiendo un volumen de ambas fuentes de 10 m3, determinar la temperatura de entrada y salida del aire en el conjunto, sabiendo que la temperatura media del aire a su paso por el conjunto es de 20qC y su caudal de 1 kg/s. DATOS

Coeficiente de película: h = 10 W/m2K Radio de la aleta: r = 5 mm. Conductividad de la aletas: k = 160 W/mͼK Calor específico del aire: cp = 1000 J/kgͼK

SOLUCIÓN

1) De la ecuación general de las aletas:

½ d2 T 1 dA dT h dS T Tf 0°° d2 T hͼP dx 2 A dx dx kͼA dx T Tf 0 ¾ 2 kͼA dx dA dS ° 0; P { Perímetro °¿ dx dx T T Tf ½ ° d2 T ° mx mx Cambio de variable : ® hͼP ¾ 2 mT 0 Solución : Tx C 1 e C 2 e dx m ° ° kͼA ¿ ¯ Aplicando las condiciones de contorno: T x 0 T o T o T x L TL TL

C1 C2 C 1 emL

½ C2 mL ¾ C 2e ¿ C1

T o e mL TL emL e mL

To C2

T o emL e mL T o e mL TL emL e mL

Por tanto:

Tx

>T e

@

>

@

>

@ >

e mL ToemL TL emx ToemL TL e mx TL emx e mx To emL x e mL x emL e mL emL e mL TL 2shmx To 2shmx TL shmx Tosh>mL x @ 2shmL shmL mL

o

2) El mínimo de la distribución estará en:

T mͼchmx T omͼch>mL x @ dTx 0 L 0 TL chmx T o ch>mL x @ dx shmL m

hP kA

L 1m To

200 D C

TL

100 D C

10 ͼ 2S ͼ 0 ,005 160 ͼ S ͼ 0 ,0052

½ 5 m -1 ° ° ° ¾ 100 ͼ ch5x 200 ͼ ch>51 x @ x ° ° °¿

0 ,57 m

@

ϰϴ 48


El flujo de calor en ambos extremos de la aleta:

qo qL

kA kA

dT dx x dT dx x

kA 0

kA L

TL mͼchmx T omͼch>mL x @ shmL x

TL mͼchmx T omͼch>mL x @ shmL x

12,48 W 0

6,11 W L

El flujo de calor en el punto de mínima temperatura será nulo pues:

dT dx x

0 0 , 57

3) L 1 Se trata de dos aletas con extremo adiabático de longitudes: ® ¯L 2

0,57 m 0,43 m

La superficie de aletas y la superficie total son:

Sa

2SͼrL 0,57 m

ST

S a 0,02 2 Sͼr 2

½ °1 : S a1 2SͼrL 1 1,791ͼ10 2 m2 ; S T1 1,823ͼ10 2 m2 La ¾ ® 0,43 m¿ °¯2 : S a2 2SͼrL 2 1,351ͼ10 2 m2 ; S T2 1,383ͼ10 2 m2

eficacia de cada una de ellas es:

N

N1 thmͼL c °° ® mͼL c °N °¯ 2

thmͼL 1 mͼL 1 thmͼL 2 mͼL 2

th5 ͼ 0 ,57 0 ,35 5 ͼ 0 ,57

th5 ͼ 0,43 0,45 5 ͼ 0,43

La efectividad total de la estructura aleteada:

°K 1 S ° K 1 a 1 N ® ST °K °¯ 2

S a1 1 N 1 0,361 S T1 S 1 a2 1 N 2 0 ,463 S T2

1

Por tanto, el flujo de calor total de ambas será:

49ϰϵ


q A

§ q · °¨ A ¸ °© ¹ 1 K hT ® °§¨ q ·¸ °¯© A ¹ 2

K1 hT o

0 ,361 ͼ 10 ͼ 200 722

W m2

K 1h T L

0,463 ͼ 10 ͼ 100 463

W m2

4) El valor de las fuentes en cada caso será:

§q· * * ¨ ¸ q Lq ©A¹

* q1

q / A °° L

® °q* 2 ¯°

q / A 1

W m3 W 463 3 m

722

L1 q / A 2 L2

5)

ͼC p 'T q*1 V1 q*2 V2 'T m

q

q*2 ͼV ͼC p m

* 1

722 463 ͼ 10 1 ͼ 1000

°Te 11,85 D C ® °¯Ts

14 ,08 D C 25,92 D C

ϱϬ


50


PROBLEMA17

Se tiene un cilindro macizo de acero inoxidable de longitud infinita, con un diámetro exterior de 5 cm, en el que se genera una potencia térmica homogénea y constante en el tiempo de valor 90 W/m, disponiendo de aletas anulares del mismo material de 7 cm de diámetro exterior, 1 mm de espesor y una separación entre aletas de 1 cm. Sabiendo que el cilindro está ubicado en el interior de un laboratorio cuyo aire y paredes se encuentran de a una temperatura constante de 25ºC, contra la que presenta un coeficiente combinado de convección-radiación de valor 10 W/m2K, se pide determinar, en régimen permanente, lo siguiente: 1) Ecuación T1 (r) de la distribución de temperaturas (ºC) en el interior del cilindro, en función del radio (m). 2) Incremento térmico que sufriría el eje del cilindro en caso de eliminar las aletas, manteniéndose el resto de las condiciones. Dato: Conductividad del acero, k = 14 W/m ºC SOLUCIÓN

La ecuación general de la conducción para geometría cilíndrica, unidireccional c y con generación de calor, es: 1 d § dT · r r dr ¨© dr ¸¹

q* k

La ecuación general que resulta de la integración de la ecuación diferencial es de la forma: T r

q* 2 r K1 ln r K2 4 k

§ r2 · q' ¨ 2 ¸ K1 ln r K2 4 S k © rE ¹

En donde las constantes de integración se obtienen de la aplicación de las condiciones de contorno, y en donde la densidad de potencia volumétrica se ha expresado en función de la potencia lineal, que es uno de los datos del problema. Las condiciones de contorno que hay que aplicar en este caso son las de flujo de calor nulo en el centro del cilindro por simetría y la condición de contorno de convección en la superficie exterior, teniendo en cuenta la presencia de una superficie aleteada. Estas condiciones son: q''

r 0

k q' · L AEA

dT dr r

0 0

dT dr r

0 0

K h ª¬ T rE Tf º¼

Esta segunda condición de contorno indica que el calor que se genera en el interior del cilindro se evacúa por la superficie total de la estructura aleteada con una eficiencia determinada por las características de las aletas. La descripción de la condición de contorno se realiza por unidad de longitud, y da lugar a que la temperatura en la superficie tenga la forma:


T rE

Tf

51ϱϭ

q' L K h AEA

Aplicando las condiciones de contorno se tiene que: dT dr r T rE

Tf

0 K1

0

0

q' L K2 K h AEA

Tf

' q' qL 4 S k K h AEA

Con lo que la expresión de la distribución de la temperatura en el interior del tubo queda de la forma: T r

Tf

' § q' r2 · qL ¨1 2 ¸ 4 S k © rE ¹ K h AEA

En el caso de no tener aletas, la distribución de temperaturas queda (K=1; AEA=AT=2SrEL): T r

Tf

§ q' r2 · q' ¨1 2 ¸ 4 S k © rE ¹ h 2 S rE

La diferencia de temperatura en el eje entre las dos configuraciones con aletas y sin aletas sería 'T r

q' § 1 L · ¨ ¸ h © 2 S rE K AEA ¹

0

Solo resta realizar la sustitución de valores y el cálculo de la eficiencia del conjunto de aletas para obtener los resultados numéricos. La eficiencia de una aleta anular de forma rectangular se obtiene a partir de los siguientes parámetros: rb re

D 1

§ 2 h ·2 E re ¨ ¸ ©kw¹

5/2 7/2

0, 714 1

§ 2 10 · 2 0, 035 ¨ ¸ © 14 0, 001 ¹

De donde se obtiene una eficiencia de aleta (fórmula o gráfica) de N=0,947 La eficiencia del conjunto de aletas es de la forma: K 1

AA 1 N AEA

1, 32

ϱϮ 52


Las áreas de las aletas y el total son 0,376 y 0,531 m2/m respectivamente, dando lugar a una eficiencia del conjunto de aletas de 0,96. Con estos datos, la diferencia de temperaturas en el eje entre el caso sin aletas y con aletas es de: 'T r

0

q' § 1 L · ¨ ¸ h © 2 S rE K AEA ¹

90 § 1 1 · 10 ¨© 2 S 0, 025 0, 96 0, 531 ¸¹

39, 7 º C


53


ϱϯ

PROBLEMA18

Por el interior de una tubería circula un caudal de vapor saturado a TSAT = 100qC en régimen permanente. Por el exterior de la tubería hay aire a una temperatura de Te=20qC. Para incrementar la cantidad de condensado obtenido por cada metro de tubería, se disponen unas aletas anulares del mismo material en la parte exterior de la misma. Determinar: 1) Calor por metro lineal disipado por la tubería sin aletas. 2) Calor por metro lineal disipado por la tubería con aletas. 3) Cantidad de condensado obtenido por metro lineal de tubería en ambos casos (sin aletas y con aletas). 4) Calcular la temperatura de la superficie exterior del tubo en ambos casos. Razonar la diferencia de los resultados. DATOS -

Considérese que no hay subenfriamiento en el líquido condensado Radio exterior de la tubería: re = 1.5 cm Radio interior de la tubería: ri = 1.2 cm Conductividad térmica del tubo: kt = 20 W/mͼK Radio exterior de la aleta: ra = 5 cm Espesor de la aleta: w = 1,7 mm Distancia entre centros de aletas = 1 cm Conductividad térmica de la aleta: ka = 30 W/mͼK Coeficiente de película por el interior de la tubería: hi = 1000 W/m2K Coeficiente de película por el exterior de la tubería: he = 5 W/m2K Calor latente de cambio de estado del agua: hfg = 2257 kJ/kg

SOLUCIÓN

1) El calor disipado por metro lineal de tubo sin aletas será:

§q· q' sin ¨ ¸ © L ¹ sin

2STi Te 1 lnre / ri 1 hiri k h ere

2S100 20 1 ln1,5 / 1,2 1 1000 ͼ 0 ,012 20 5 ͼ 0,015

2) La efectividad de una aleta simple es:

D E

½ ° ° Gráfica ¾ o N 0,88 2ͼhͼra2 ° w 0,7° kͼw ¿

re ra

0,35

Dado que la separación entre centros de aletas es de 1cm, en 1 metro de tubo (L = 1 m), el número de aletas es:

N

1m 100 aletas 0,01 m

Es necesario determinar la eficiencia global de la estructura aleteada:

37,43 W/m

ϱϰ 54

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ Kf

½ ° ° ° 2SͼN ra2 re2 2S ͼ 100 ͼ 0,052 0 ,0152 1,43 m2 ¾ Kf 2° 2Sͼre L Nͼw 2S ͼ 0 ,15 ͼ 1 100 ͼ 0 ,0017 0 ,0782 m ° ° S a S E 1,51 m2 ¿

1

Sa SE ST

Sa 1 N ST

0 ,89

Con lo que el calor disipado por metro lineal de tubo con aletas resulta:

§q· q'con ¨ ¸ © L ¹ con

2STi Te 1 lnr2 / r1 2SͼL hiri k he ͼKf ͼS T

3) La cantidad de condensado por metro lineal de tubería será: m

x

sin Tubo sin aletas: m

x

con Tubo con aletas: m

q / L sin h fg

q / L con hfg

485,9 W/m

q/L h fg

1,66ͼ10 5 kg/sͼm

2,15ͼ10 4 kg/sͼm

4) Para el caso del tubo sin aletas:

§q· he 2Sͼre Tb Te ¨ ¸ © L ¹ sin 1 1 §q· Tb Te ¨ ¸ 20 37,43 99 ,43 D C L h 2 r S 5 ͼ 2 S ͼ 0 ,015 © ¹ sin e e Para el caso del tubo con aletas:

§q· ¨ ¸ © L ¹ con Tb

K f he

ST Tb Te L

L §q· Te ¨ ¸ © L ¹ con K f he S T

20 485,9

1 0 ,89 ͼ 5 ͼ 1,51

92,32 D C

Esto es debido a que cuanto mayor sea el calor disipado por metro lineal menor será la temperatura de la base:

§q· ¨ ¸ ©L ¹

2STsat Tb 1 lnre / ri hiri k

2S100 Tb §q· n ¨ ¸ n 100 Tb p Tb cte ©L ¹

Por esta razón, el tubo con aletas (que disipa más calor) tiene una temperatura en la base menor respecto al tubo sin aletas.



ϱϱ

55

PROBLEMA19

Por medio de aire que se encuentra a una temperatura ambiente de 25qC, se quiere enfriar hasta 80qC un caudal de 3 m3/h de agua que se encuentra a 120qC. Si el agua circula por el interior de un tubo de 40 cm de diámetro interior y 1 cm de espesor, determinar la longitud de tubo necesaria para enfriar el agua. Si se dota al tubo de aletas anulares del mismo material, con 2 mm de espesor, 56 cm de diámetro exterior y una separación entre sus centros de 3 cm, determinar la longitud de tubo necesaria para enfriar el agua. DATOS Coeficiente de película en el interior del tubo hi = 100 W/m2K Coeficiente de película en el exterior del tubo he = 6 W/m2K Conductividad térmica del tubo k = 80 W/mͼK NOTAS Considerar que no hay resistencia de contacto entre tubo y aleta Considerar que el coeficiente de película en el exterior del tubo no varía al poner las aletas Considerar despreciable la transmisión de calor por radiación SOLUCIÓN

1) Tubo sin aletas La transferencia de calor necesaria para enfriar el agua es:

q total

C p Teagua Tsagua m

3 ͼ 928 ͼ 4217 ͼ 40 134663 W 3600

La transferencia de calor hacia el exterior del cilindro es:

q' tubo

2STi Te 1 lnr2 / r1 1 hir1 k her2

2S75 1 ln21 / 20 1 100 ͼ 0,2 80 6 ͼ 0,21

Por tanto, la longitud de tubo necesaria será:

L

q' tubo q total

134663 558

2) Tubo aleteado

241,3 m

558 W

ϱϲ 56


Determinación de la eficacia de una aleta y de la eficiencia del tubo aleteado:

D E

r2 re

½ ° ° Gráfica o N 0,87 Kf ¾ 2ͼhͼre2 ° w 2,42 ° kͼw ¿ 0,75

1

Sa 1 N 0,889 ST

D= 9

,8

0, D=

0 D=

,6

0,7 D=

0 D=

0 ,5

0 ,4 D=

0,3 D=

0 ,2 D=

N

E

El número de aletas por metro es: n 100 / 3 33,33 aletas Debido a que no se trata de un número entero, el problema se puede resolver de manera aproximada o de manera exacta. SOLUCIÓN EXACTA Cada tramo estará formado por una aleta y el espacio de tubo desnudo entre aletas que tiene una longitud de:

L tramo sin aleta

w· § ¨ 0 ,03 2 ¸ 2¹ ©

0,03 0,002

El calor del dicho tramo y el calor total serán:

0 ,028 m


57ϱϳ

qtramo UT ͼS T Ti Te ® ¯qtotal qtramo ͼN UT : Coeficient e global en el tramo Siendo: S T : Área exterior del tramo N : Número total de tramos

UT

1 S T S T lnr2 / r1 1 Sihi 2Sͼk Kf ͼhe

SE Donde:

2S re2 r22

0 ,216 m2

Sa 2Sͼr2 ͼL tramo sin aleta 2S ͼ 0,21 ͼ 0 ,028 0,037 m2 ST

S a SE

0 ,253 m2

Si 2Sͼr1 ͼL tramo sin aleta 2S ͼ 0 ,20 ͼ 0 ,03 0 ,038 m2 1 0,253 0,253 ͼ ln0 ,21 / 0 ,20 1 0,038 ͼ 100 2S ͼ 80 0 ,889ͼ 6

UT

3,94

W m2K

U T ͼS T Ti Te 3,94 ͼ 0 ,253 ͼ 75 74 ,76 W

q tramo

q tramo ͼN N

q total

q total q tramo

134663 74 ,76

1801,27 N 1802

Por tanto la longitud del tubo aleteado será:

L tubo aleteado

NͼL tramo

1802 ͼ 0 ,03 54 ,06 m

SOLUCIÓN APROXIMADA Dependiendo de si redondea el número de aletas por metro de n = 33,33 a 33 ó 34 se tiene una solución u otra. a) Redondeando a n=34:

UT

1 S T S T lnr2 / r1 1 S ihi 2Sͼk K f ͼhe

Donde:

SE 2Sͼr2 1 nͼw 1,23 m2 / m

S a nͼ2Sͼ re2 r22 ST

S a SE

7,33 m2 / m

8 ,56 m2 / m

S i 2Sͼr1 1,26 m2 / m

ϱϴ 58

UT

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ 3,90

W m2K

q' tubo aletas U T ͼS T Ti Te q' tubo aletas

2503,8

W m

Por tanto:

L tubo aleteado

SE Sa ST Si

q total q' tuboaletas

1,23 m2 / m ½ ° 7,11 m2 / m ° ¾ UT 8,34 m2 / m° ° 1,26 m2 / m ¿

q' tubo aletas 2458 ,22

134663 53,78 m 2503,8

3,93

W m 2K

W L tubo aleteado m

54 ,78 m


59


ϱϵ

PROBLEMA20

Se dispone un material (k= 2 W/mͼK) de 6 cm de ancho, 2 cm de alto y longitud infinita intercalado en una membrana adiabática de espesor despreciable que separa dos fluidos A y B, tal como indica la figura. Determinar en régimen permanente: 1) 2) 3) 4)

Velocidad de transmisión del calor (W) desde el fluido A hasta el fluido B, por metro de longitud La temperatura de las celdas asociadas a los nodos 1,2,3 y 4. Velocidades de transmisión del calor (W) entre celdas, por metro de longitud. La temperatura del fluido A y el coeficiente de película hA.

DATOS:

T5= 268ºC T6= 282ºC TB= 200ºC hB= 100 W/m2K k (constante) = 2 W/mͼK Despreciar la transmisión de calor por radiación.

SOLUCIÓN

1) Flujo de calor neto Por simetría T6== T7 y T5 = T8 El calor que llega al fluido B, por metro de longitud de la placa, es: q hB L T5 TB hB L T6 TB hB L T7 TB hB L T8 TB 2 ·hB L T5 TB 2 ·hB L T6 TB 2 · hBL T5 T6 2TB 2 · 100 · 0, 02 · 268 282 2 · 200 600 W que evidentemente debe proceder del fluido A. b) Temperaturas de las celdas 1,2, 3 y 4. También por simetría: T4 = T1 y T3 = T2. Balance de calor a la celda asociada al nodo 5: q1o5 q6o5 q5oB q6o5

q5oB

§L · §L · hB ¨ ·1 ¸ T5 TB hB ¨ ·1 ¸ T5 TB hBL T5 TB 100 · 0, 02 268 200 136 W ©2 ¹ ©2 ¹ § L · T T5 k ¨ ·1 ¸ 6 T6 T5 14 W ©2 ¹ L

Despejando: q1o5

136 14

§ L · T T5 122 k · ¨ · 1 ¸ 1 ©2 ¹ L

Balance de calor a la celda asociada al nodo 6:

T1 T5 T1

T5 122

390 º C

ϲϬ 60


q2o6 q5o6

q6oB

q6oB

hB L·1 T6 TB 100 · 0, 02 282 200 164 W

q5o6

q6o5

14 W

Despejando: q2o6

164 14 178 k · L ·1

T2 T6 L

2 · T2 T6 T2

89 282

371º C

Y las temperaturas simétricas quedan así calculadas. c) Velocidades de transmisión de calor entre celdas Han sido calculadas ya varias de ellas: q1o5

122 W

q6o5

14 W

q2o6

178 W

De la celda 1 a la 2: q1o2

§L ·T T k · ¨ ·1 ¸ 1 2 ©2 ¹ L

T1 T2

19 W

El plano que separa las celdas 2-6 de las celdas 3-7 es adiabático por simetría, y a la derecha del mismo las velocidades de transmisión de calor serán las mismas:

d) La temperatura del fluido A y el coeficiente de película hA. El calor que llega al fluido B primero se transmite desde A hacia las celdas 1,2,3 y 4. Balance de calor a la celda asociada al nodo 1: q1o2 q1o5

§L L · hA ¨ ¸ · 1 · TA T1 19 122 ©2 2¹

0, 02hA TA 390 hA TA 390

7050

de calor a la celda asociada al nodo 2: q2o1 q2o6

hA L ·1 TA T2 19 178

0, 02hA TA 371 hA TA 371

Obteniendo así dos ecuaciones con dos incógnitas. Despejando en la primera hA : TA Sustituyendo en la segunda:

7050 390 hA

7950

Balance

61ϲϭ

Conducción en Régimen Permanente. ŽŶĚƵĐĐŝſŶĞŶƌĠŐŝŵĞŶƉĞƌŵĂŶĞŶƚĞ § 7050 · hA ¨ 390 371 ¸ h © A ¹

7950 7050 19hA

TA

7050 390 47, 4

7950 hA

538, 8º C

900 19

47, 4

W m2K

ϲϮ

62



PROBLEMA21

En un edificio de viviendas se produce el encuentro del muro de la fachada con los diferentes forjados que conforman los pisos. Se desea estudiar las pérdidas térmicas que se producen hacia el exterior por fachada y forjado, desde habitaciones que dan al exterior. Para ello se analiza una longitud de forjado de 1,25 m desde el exterior, tal y como se aclara en la figura. Se pide: 1) Explicar lo que ocurre en la frontera izquierda de las celdas 1, 4 y 7. 2) Evaluar las pérdidas en régimen permanente, comparando las pérdidas a través del forjado con las pérdidas a través de fachada, por metro cuadrado de superficie exterior. 3) ¿Cuál es el criterio de estabilidad que da por buena la solución obtenida?

SOLUCIÓN 1) Puede considerarse despreciable el calor que se escapa a la izquierda de dichas celdas, dado que es esperable que, dada la longitud de un forjado de vivienda, la resistencia térmica al paso de calor sea muy alta. 2) A continuación se desarrolla el análisis por métodos numéricos del problema, por lo que se definen las siguientes variables:

ȴx = 0,5m; ȴy = 0,125m; k = 1W/mºC; hi = 5 W/m2K; he = 10 W/m2K; Ti = 20ºC; Te = -3ºC Dada la simetría del problema, sólo deben analizarse seis nodos, los marcados con los números 1 a 6. Balance de energía de la celda asociada al nodo 1: q41+q21+qi1=0 Donde cada sumando se puede escribir de forma explícita: q41=kͼȴxͼ(T4-T1)/ȴy q21=kͼȴy/2ͼ(T2-T1)/ȴx qi1=hiͼȴxͼ(Ti-T1)


De donde resulta la ecuación 1: 32ͼT4-53ͼT1+T2+400=0

(1)

Balance de energía de la celda asociada al nodo 2: qi2+q12+q52+q32=0 Donde cada sumando se puede escribir de forma explícita: qi2=hiͼȴxͼ(Ti-T2) q12=-q21 q52=kͼȴxͼ(T5-T2)/ȴy q32=kͼȴy/2ͼ(T3-T2)/ȴx De donde resulta la ecuación 2: 400-54ͼT2+T1+32ͼT5+T3=0

(2)

Balance de energía de la celda asociada al nodo 3: qe3+q23+q63=0 Donde cada sumando se puede escribir de forma explícita: qe3=heͼȴy/2ͼ(Te-T3) q23=-q32 q63=kͼȴx/2ͼ(T6-T3)/ȴy De donde resulta la ecuación 3: -15-22ͼT3+T2+16ͼT6 =0

(3)

Balance de energía de la celda asociada al nodo 4: q14+q54+q74=0 Donde cada sumando se puede escribir de forma explícita: q14=-q41 q54=kͼȴyͼ(T5-T4)/ȴx q74=-q14 De donde resulta la ecuación 4: -33ͼT4+32ͼT1+T5 =0

(4)

Balance de energía de la celda asociada al nodo 5:

63ϲϯ

ϲϰ

64


q25+q45+q85+q65=0 Donde cada sumando se puede escribir de forma explícita: q25=-q52 q54=- q45 q85=q25 q65=kͼȴyͼ(T6-T5)/ȴx De donde resulta la ecuación 5: -34ͼT5+32ͼT2+T4+T6 =0

(5)

Balance de energía de la celda asociada al nodo 6: qe6+q36+q96+q56=0 Donde cada sumando se puede escribir de forma explícita: qe6=heͼȴyͼ(Te-T6) q36=-q63 q96=q36 q56=q65 De donde resulta la ecuación 6: -15-22ͼT6+16ͼT3+T5=0

(6)

Por lo tanto, se tienen 6 ecuaciones con 6 incógnitas que son las temperaturas de los 6 nodos, que resolviendo resulta: T1 19,84ºC

T2 18,40ºC

T3 0,53ºC

T4 19,78ºC

T5 17,92ºC

T6 0,52ºC


65 ϲϱ

Cálculo del calor perdido por unidad de superficie de fachada: al tener el muro 0,25m de espesor, una profundidad de 4m de espesor conforma una superficie de 1m2.

En la figura se pueden ver los nodos 3, 6 y 9, los cuales intercambian calor con el exterior a través de sus superficies A3, A6 y A9 respectivamente. A3=4mͼ0,25m/4=0,25m2 A6=4mͼ0,25m/2=0,5m2 A9=A3=0,25m2 De esta forma, el calor evacuado a través de la fachada por el forjado resulta: qforjado=heͼ(2ͼA3ͼ(T3-Te)+A6ͼ(T6-Te))=35,26W

3) La solución es incondicionalmente estable dado que el sistema se encuentra en régimen permanente.

ϲϲ


66


PROBLEMA22

Un cilindro macizo, homogéneo, de 4 cm de radio y gran longitud, que dispone de una fuente térmica constante en el tiempo y uniformemente distribuida en su interior, de valor 5 x 105 W/m3, alcanza el régimen permanente transfiriendo calor por convección y radiación a su entorno en un recinto que se encuentra en equilibrio térmico a 0ºC. Aplicando exclusivamente métodos numéricos, y sabiendo que el coeficiente combinado de convección-radiación de acoplamiento térmico entre el cilindro y el recinto vale 100 W/m2K, se pide lo siguiente: 1) Escribir las ecuaciones nodales térmicas correspondientes al eje del cilindro (T1), al radio intermedio de 2 cm (T2), y a la superficie exterior del cilindro (T3). 2) Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones nodales anteriores, calcular las temperaturas T1, T2 y T3. DATOS: k = 1 W/mͼK

cp = 1800 J/kgͼK

U= 2000 kg/m3

SOLUCIÓN

rB T3

T2

T1

rA r3 1) Ecuaciones nodales (modelo unidimensional, sentido radial): Nodo 1 (eje del cilindro; frontera: radio rA=1/2 r2) gen q2cond 1 q1

0

T T k 2SrAL 2 1 S rA2L q* r r rA B A 2 T2 T1 50 0

0 S · 2 ·0, 01

T2 T1 S 0, 012 · 5 ·105 0, 03 0, 01 0, 01 2

Nodo 2 (punto intermedio del cilindro; fronteras: radios rA y rB=1/2(r2+r3) q12 q32 q2gen

0

T T T T k 2SrAL 1 2 k 2SrBL 3 2 S rB2 rA2 L q* rB rA r r rA rA B A 2 2

0

0

67ϲϳ


T T T1 T2 2 · 0, 03 3 2 0, 032 0, 012 5 ·105 0 0, 02 0, 02 T1 T2 3T3 3T2 400 0 T1 4T2 3·T3 400 0

2 · 0, 01

Nodo 3 (superficie exterior del cilindro; fronteras: radios rB y r3) conv rad q2cond q3gen 3 qF 3

0

T2 T3 h · 2Sr3L · TF T3 q* S r32 rB2 L 0 rB rA rA 2 T2 T3 2 · 0, 03 100 · 2 · 0, 04 · 0 T3 5 · 105 0, 042 0, 032 0, 02 3T2 3T3 8T3 350 0 3T2 11T3 350 0

k 2SrBL

0

2) La resolución del sistema de las tres ecuaciones anteriores conduce a la solución: T1 = 300ºC T2 = 250ºC T3 = 100ºC Nota: por técnicas analíticas podrían comprobarse los resultados numéricos obtenidos. La distribución de temperaturas del cilindro macizo con fuente uniforme es: T(r )

T3

q*r32 § r2 · ¨1 2 ¸ 4k © r3 ¹

Para determinar la temperatura T3 se acude a un balance energético del cilindro completo: qgen

qconv rad S r32L q*

T(r ) 100

5 ·105 ·0, 042 4

hCR · 2Sr3L T3 TF T3

§ r2 · ¨1 ¸ 0, 042 ¹ ©

TF

r3 · q* 2 ·hCR

§ r2 · 100 200 ¨ 1 ¸ 0, 042 ¹ ©

0 r1 ® ¯r2

0, 04 · 5 · 105 2 · 100

0 T1

100qC

300qC

0, 02 T2

250qC

ϲϴ


68


PROBLEMA23

Un soldador consiste en una varilla cilíndrica metálica maciza de una aleación de wolframio (k=170 W/mͼK, U=19,25 g/cm3, cp=130 J/kgͼºC que se calienta eléctricamente por un extremo B alcanzándose en el otro extremo A (punta del soldador) la temperatura requerida para realizar la soldadura. Teniendo en cuenta que las dimensiones del soldador son 10 cm de longitud, con un diámetro de 5 mm. Teniendo en cuenta que la temperatura exterior es de 20ºC y considerando un coeficiente combinado de radiación-convección de 25 W/m2K. 1) Calcular la temperatura en el extremo B cuando la temperatura en el extremo A sea de 410ºC, y la potencia eléctrica que se debe aplicar en el extremo B para mantener el régimen térmico estacionario en esas condiciones. 2) Realizar el análisis mediante métodos numéricos aplicando una distancia entre centros de los nodos de 2 cm. 3) Comparar los resultados obtenidos por ambos métodos, evaluando en % la desviación en la temperatura en B y la potencia obtenida. SOLUCIÓN

1) El soldador se comporta térmicamente como una varilla cilíndrica que se calienta por uno de sus extremos, transmitiéndose la potencia proporcionada por conducción a lo largo de la varilla, produciéndose pérdidas por convección por la superficie exterior de la varilla hasta que el calor llega al extremo. El comportamiento térmico de esta varilla es, por tanto, el de una aleta de sección recta circular. La solución de la ecuación general de una aleta de sección recta constante con convección en el extremo es:

Tx Ta Tb Ta

cosh m L x

hr c sinh m L x mK h cosh m L r c sinh m L mK

hr c § · ¨ sinh m L m K cosh m L ¸ q M¨ ¸ ¨¨ cosh m L hr c sinh m L ¸¸ © ¹ mK

Siendo los coeficientes fundamentales de la ecuación característica de la aleta en función de su conductividad (K), su coeficiente combinado de radiación-convección (hr-c), y sus características geométricas como la sección recta (Axs=SD2/4) y su perímetro circular (P=SD): m

P hr c KA

4 hr c K D

y M

hr c A xs K P Tb Ta


69ϲϵ

Sustituyendo los valores correspondientes al material de la varilla (wolframio), el coeficiente combinado de transferencia proporcionado, y su configuración geométrica se tiene que estos parámetros adquieren los valores: m 10, 85m1

M 23, 52 W

Es necesario despejar primero la temperatura de la base, que a partir de la expresión de la distribución de temperaturas en una aleta se tiene particularizando para el punto conocido (x=L, extremo de la aleta): Tx Ta Tb Ta

0, 6002 x L

410 20 Tb Tb 20

699, 7 º C

La potencia necesaria para mantener esas temperaturas será, de acuerdo con la expresión antes descrita: q=18,82 W 2) La segunda parte del problema consiste en la determinación de esos mismos parámetros mediante métodos numéricos, con un 'x=2 mm. La red nodal para este análisis se muestra en la figura, en donde se tiene como condición de contorno la temperatura en el extremo A conocida, junto con la temperatura ambiente, que no está representada.

En esta red las resistencias térmicas asociadas con la de conducción entre los nodos A, 1, 2, 3, 4, y B, que es la misma, al ser la misma distancia nodal y la misma área de transferencia, siendo: RK

'x 4 K S D2

5, 992

K W

Las resistencias térmicas de transferencia de calor a través de la superficie de cada nodo con el exterior serán para los nodos 1, 2, 3 y 4: Rci

1 hr c S D 'x

127, 3

K W

En los nodos A y B, esa resistencia térmica resulta ser el doble al tener la mitad de superficie, al estar el nodo en el extremo de la celda. Rcab

2 hr c S D 'x

254, 6

K W

Con todo esto ya se está en disposición de establecer las ecuaciones de balance de energía en cada nodo. Nodo A: T1 TA Te TA RK Rcab

0

ϳϬ 70


En donde todo es conocido, excepto la temperatura en el nodo 1, que se puede obtener despejando. T1=419,2 ºC Nodo 1: TA T1 T2 T1 Te T1 RK RK Rc

0 T2

447, 1 º C

T1 T2 T3 T2 Te T2 RK RK Rc

0 T3

495, 2 º C

T2 T3 T4 T3 Te T3 RK RK Rc

0 T4

565, 6 º C

T3 T4 TB T4 Te T4 RK RK Rc

0 TB

661, 7 º C

Nodo 2:

Nodo 3:

Nodo 4:

Nodo B: T4 TB Te TB qn RK Rcab

0

En donde se despeja el calor aportado en la base: qn=18,56 W 3) Las diferencias encontradas entre el cálculo con métodos numéricos y de forma analítica es: Diff _ T

1

Tb TB

0, 012 1, 2%

Diff _ Q

1

Q Qn

0, 014

1, 4%


ϳϭ

71


PROBLEMA24

Se tiene una aleta triangular de un material de conductividad k = 180 W/mͼK con una longitud de 4 cm, y con una base de 0,8 cm, y muy larga en la dirección perpendicular al plano del papel, como se muestra en la figura. La base de la aleta se mantiene a una temperatura de 200ºC, el medio que la rodea se encuentra a 25ºC con un coeficiente combinado de convecciónradiación de h = 15 W/m2K. Mediante métodos numéricos y utilizando los cinco nodos que se muestran en la figura, con ȴx = 1 cm en la dirección de la aleta, Determinar en régimen permanente: 1) Las temperaturas en cada uno de los nodos. 2) La potencia disipada por metro lineal de aleta. 3) La eficiencia de la aleta. SOLUCIÓN

Se tiene el dominio de la aleta dividido según las condiciones del problema en 5 celdas, con un nodo en la base de la aleta, tal y como se muestra en la figura, en donde se indica la notación de las áreas más relevantes de transferencia térmica. La aplicación de las técnicas de métodos numéricos con los 5 nodos/celdas que se proponen da lugar al siguiente sistema de ecuaciones con 5 ecuaciones con 5 incógnitas, la potencia disipada por la aleta y las 4 temperaturas desconocidas (q, T2, T3, T4 y T5) que resultan del balance de energía teniendo en cuenta la conducción en la aleta, convección-radiación a través de la superficie exterior de cada nodo y el aporte de calor al nodo 1, que es el que disipa la aleta y que se transfiere por su base.

Balance a la celda 1: q k·A12 · Balance a la celda 2:

0

k·A12 ·

T T T1 T2 k·A23 · 3 2 h·2·A c · Ta T2 'x 'x

0

k·A 23 ·

T2 T3 T T3 k·A 34 · 4 h·2·A c · Ta T3 'x 'x

0

Balance a la celda 3:

Balance a la celda 4:

T2 T1 h·A c · Ta T1 'x

ϳϮ 72

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ k·A 34 ·

T3 T4 T T k·A 45 · 5 4 h·2·A c · Ta T4 'x 'x

Balance a la celda 5: k·A 45 ·

T4 T5 h·A c · Ta T5 'x

0

0

Son conocidos k = 180 W/mͼK, h = 15 W/m2K, T1 = 200ºC y ȴx = 0,01 m. Falta calcular las áreas de transferencia teniendo en cuenta la geometría triangular de la aleta. Las áreas de intercambio entre celdas se obtienen por semejanza de triángulos: A12 = 0,007 m2/m A23 = 0,005 m2/m A34 = 0,003 m2/m A45 = 0,001 m2/m El área de convección por metro lineal es: Ac

'x cos T

0, 01

cos 5, 71D

0, 01005 m2 / m

En donde el ángulo ɽ que forma la superficie de la aleta con su eje se obtiene de las dimensiones de la aleta, como: b/2 L

tan T

0, 04 4

0, 1 T

arctg 0, 1

5, 71D

Sustituyendo valores se obtiene el sistema de ecuaciones (Nótese que las últimas 4 ecuaciones sólo involucran a las 4 temperaturas desconocidas, con lo que puede resolverse sólo para las temperaturas, deduciéndose después el calor disipado): q 90· T2 200 0, 1575· 25 200

0

126· T1 T2 90· T3 T2 0, 3015· 25 T2 90· T2 T3 54· T4 T3 0, 3015· 25 T3

54· T4 T3 18· T5 T4 0, 3015·25 T4 18· T5 T4 0, 1575· 25 T5

0 0 0

0

Cuya solución es: q = 207,6 W/m T2 = 198,6ºC T3 = 197,1ºC T4 = 195,7ºC T5 = 194,3ºC La eficiencia de la aleta se define como: N

q qmax

Con qmax como el calor que disiparía la aleta si toda su superficie estuviera a la temperatura de la base. N

q qmax

q A t ·h· Tb Ta

207, 6 2 · 4 · 0, 01005 ·15 · 200 25

73

2. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO

ŽŶĚƵĐĐŝſŶĞŶƌĠŐŝŵĞŶƚƌĂŶƐŝƚŽƌŝŽ

Conducción en Régimen Transitorio.

75

ϳϱ

PROBLEMA25

La pared cilíndrica de un cohete tiene un espesor de L = 50 mm. El material de la pared es un acero aleado. Puesto que el cilindro tiene un espesor mucho menor que su diámetro, se puede considerar para los cálculos como una pared plana. Inicialmente, la temperatura de la pared es uniforme en todo su espesor e igual a 25qC. Por el interior de la pared circulan los gases de combustión, a una temperatura de 1750qC. El exterior de la pared está perfectamente aislado. Mediante las pruebas del cohete, se pretende obtener el tiempo máximo de funcionamiento del mismo. Este tiempo máximo viene definido por la temperatura de fusión del material, que es de 1500qC. Determinar, en régimen permanente: 1) Cuál es el tiempo máximo que puede durar el experimento, antes de que se funda el material. 2) Si se pretende aumentar el tiempo de funcionamiento del cohete, razonar si es mejor aumentar o disminuir el espesor de la pared. Después del razonamiento, comprobarlo numéricamente para un espesor de L = 75 mm. 3) Para un espesor L = 50 mm, razonar como deberían variar las propiedades de los materiales (densidad, conductividad y calor específico) para aumentar el tiempo de funcionamiento, y calcular la difusividad térmica del nuevo material para que el cohete dure hasta una hora. DATOS:

Densidad acero: U = 8000 kg/m3 Calor Específico del Acero: cp = 500 J/kgͼK Conductividad del Acero: k = 25 W/mͼK Coeficiente de película de los gases: h = 500 W/m2K

SOLUCIÓN

1) La pared del cohete empezará a fundirse cuando la temperatura del extremo ( [ 1 ) alcance la temperatura de fusión del material. El número de Biot es igual a:

Bi

hL k

500 ͼ 0,05 1 ! 0,01 o Gráficos de Heisler 25

Se entra en el gráfico de Heisler de corrección de la posición de la placa con 1/Bi=1 y se obtiene:

T* T*0

T - Tf [ 1 T - Tf [ 0

0,65 T - Tf [

T - Tf [ 1 1500 - 1750 0

0,65

0,65

384,62 D C

ϳϲ 76


[

T 0*

T* T*0

Fo

%L

Entrando en el gráfico de Heisler que representa la temperatura adimensional en el plano central de la placa plana se obtiene:

T*0

§ T-Tf · ¨ ¸ © Ti -Tf ¹[

0

384,62ºC 25-1750

0,223 Fo | 2

Por tanto:

Dͼt ½ 2 2 °° L 2 ¾ t | 800 s k m ° 6,25ͼ10 6 D s °¿ UͼCp

Fo

2) Al aumentar el espesor de la pared, el calor se evacua de la superficie hacia más masa de material, de forma que la elevación media de la temperatura de la placa es menor: las zonas internas de la placa actúan como ƐƵŵŝĚĞƌŽ de calor elevando su propia temperatura. Puesto que el límite de funcionamiento lo marca la temperatura superficial, cuanta mayor sea la masa, más tarde se alcanzarán valores altos de temperatura en la superficie. Por tanto, aumentar el espesor de la pared del cohete aumentara su tiempo de funcionamiento. Siguiendo un proceso análogo al del primer apartado para el caso concreto de 75mm de espesor se obtiene:

L 75mm Bi 1,5 Fo | 1,4 t | 1260 s 3) Para aumentar el tiempo del transitorio vía modificación de propiedades termofísicas, y manteniendo la geometría del apartado 1, se necesita modificar las propiedades de manera que la difusividad térmica disminuya: a menor difusividad, más lentamente se adapta la placa a cambios en su entorno. Así, disminuir la conductividad térmica o bien aumentar la densidad o el calor específico, surtirá el efecto deseado Para que la pared del cohete dure hasta 1 hora:

Dͼt ½ ° 6 2 L2 ¾ D 1,389ͼ10 m / s t 3600s °¿

Fo 2


77


ϳϳ

PROBLEMA26

Una placa de 4 cm de espesor se introduce suspendida verticalmente en un horno para darle un tratamiento térmico. La temperatura del aire en el horno, y de la superficie interna del mismo, es constante, igual a 200qC. La conductividad del material de la placa, en el intervalo de temperaturas de interés, es de 1 W/mͼK, su densidad es de 1000 kg/m3, y el calor específico es de 1000 J/kgͼK. La temperatura inicial de la placa, antes de comenzar el tratamiento, es de Ti = 20qC. Se observa en el tratamiento que, tras 4.000 s de calentamiento, la temperatura, en la parte central de la placa, es de 182qC. Determinar: 1) Coeficiente combinado convección-radiación ‘h’ dentro del horno. 2) Temperatura de la placa en la superficie de la misma tras los 4.000 segundos del tratamiento. 3) Determinar la temperatura media de la placa, mediante el cálculo del calor cedido en el tratamiento hasta los 4.000 segundos.

SOLUCIÓN

1) La difusividad térmica del material es:

D

10 6 m2 / s

½ 10 ° 2 2 ° Gráfico 1 2ͼ10 4 o ¾ Bi To Tf 182 200 ° 0,1° Ti Tf 20 200 ¿ 10 6 ͼ4000

T*0

T0*

Entrando en el gráfico temporal de Heisler:

Dͼt Fo L2

1 1000 ͼ 1000

k UͼCp

Fo

1 hcv / rd ͼL 4 Bi 0,25 hcv / rd 12,5 W/m2K Bi k Dado que Bi>0,01, el uso de los gráficos de Heisler es correcto frente al método de la capacitancia. Además, se cumple que Fo>0,2. 2)Entrando en el gráfico de Heisler corrector de posición:

1 ½ 4 ° Gráf. T* Bi ¾ o * T0 [ 1 °¿

TL Tf | 0,89 To Tf

[

T T0

%L

ϳϴ 78


T* TL T*0

Tf 0,89 To Tf 184 D C

3) Entrando en último gráfico de Heisler:

Fo 10 ½ Gráf. Q ¾ o | 0,93 Bi 0,25¿ Qi

T 187,4 DC

Fo=100 50 30 20 10

5 3 2

1

44L

0,5

0,3 0,2

0,1

Q 0,93ͼQ i p ͼ T 20 mͼC

p ͼ 200 20 0,93ͼmͼC

1~PHURGH%LRW%L



79

ϳϵ

PROBLEMA27

Una fuente cilíndrica de calor de plomo sólido de 10 cm de diámetro está recubierta por una envoltura cilíndrica del mismo plomo de 20 cm de diámetro. Ambos cilindros tienen una altura de 50 cm. Para su funcionamiento en régimen permanente, la potencia térmica a disipar por la fuente es de 20 kW. La fuente está refrigerada por un canal de agua con una temperatura media de 50ºC. La temperatura de fusión del plomo es de 327,6ºC. 1) Determinar cuál debe ser el coeficiente de película del agua con la superficie del cilindro para que no se funda el plomo en su parte central. Partiendo de las condiciones alcanzadas en el régimen permanente, se apaga la fuente, y comienza un régimen transitorio de enfriamiento. Se supone que en ese instante inicial la temperatura del plomo es uniforme e igual al valor medio de la máxima y la mínima del régimen permanente en todo el conjunto de plomo (20 cm de diámetro.) Suponiendo que el coeficiente de película y la temperatura media del canal de agua de refrigeración no varían con respecto al régimen permanente, hallar: 2) el tiempo transcurrido de enfriamiento hasta llegar a una situación en que la evacuación térmica sea de 2 kW en la superficie exterior del cilindro. 3) la temperatura del plomo en ese momento. Nota: Considerar, cuando sea necesario, un cilindro infinito en los cálculos, por tener tapas adiabáticas en ambos extremos. Datos del plomo: k = 30 W/mͼK, D = 2,343ͼ10-5 m2/s

ϴϬ

80


SOLUCIÓN

1) Estudio del régimen permanente La fuente térmica es igual a: q*

q S (0, 05)2 0, 5

5, 093

MW m3

La fuente es homogénea dentro de un cilindro macizo de radio r1. La distribución de temperaturas correspondiente es, en función del radio: T1

T0

q* r12 r2 4 k

(*)

Puesto que el calor abandona la fuente cilíndrica por su periferia, y dicho calor debe discurrir en el sentido de las temperaturas decrecientes, la máxima temperatura (punto de mayor riesgo de fusión) se da precisamente en el eje de la fuente. Así, se toma como valor límite: T0 = 327,6ºC Entrando en (*) y sustituyendo los datos, se obtiene la temperatura en la interfase fuente-envoltura cilíndrica T1 = 221,5ºC En la parte de la envoltura (cilindro hueco sin fuente) se cumple: q L

2 S k

T1 T2 ln r2 r1

Siendo ahora r2 el radio exterior de la envoltura. Sustituyendo: 20000 0, 5

2 S 30

221, 5 T2 T2 ln 10 5

74, 41º C

Que resulta la temperatura máxima que no debe alcanzarse en la periferia del conjunto. La superficie “2” disipa calor por convección al agua que la baña. Aplicando Newton: q = hͼ A ͼ 'T q = hͼ2Sr2L ͼ T2 Tf h

q W 2608, 03 2 2Sr2L ͼ T2 Tf mK

Por debajo de este coeficiente de película, el plomo fundirá. 2) Estudio del régimen transitorio. Se va a analizar un transitorio que, en condiciones normales, requeriría el empleo de métodos numéricos, ya que la temperatura inicial del cilindro no es constante, como se ha demostrado en el apartado anterior. No obstante, el enunciado indica que se asimile la solución a la que resultaría de imaginar temperatura inicial constante, con valor la media entre las temperaturas de eje y periferia del apartado anterior. Así: Ti

327, 6 74, 41 2

200º C

81ϴϭ

Conducción en Régimen Transitorio. ŽŶĚƵĐĐŝſŶĞŶƌĠŐŝŵĞŶƚƌĂŶƐŝƚŽƌŝŽ

Lo primero en el transitorio es determinar el número de Biot: Bi

h r2 k

8, 69

1 Bi

0, 12

Lo cual imposibilita el empleo del método de la capacitancia. Se acudirá a los gráficos de Heisler. La condición es que al final del tratamiento la potencia instantánea cedida sea de 2 kW. Eso implica una temperatura determinada en la superficie del sólido cilíndrico:

q = hͼ A ͼ 'T q = hͼ2 S r2 L ͼ T2' Tf T2'

Tf

q h · 2 S r2 L

52, 44 º C

Con esta temperatura, en el gráfico corrector de posición: 1 Bi U

½ 0, 12 ° T T f U ° ¾ r T T U f 1° °¿ R

1

0, 14

0

Para hallar tiempo de tratamiento es necesario hallar el número de Fourier, que se lee en el gráfico de la temperatura adimensional en el eje, la cual es calculable a partir del resultado anterior:

T T

Tf U

Tf U

1

0, 14 T Tf U

0

0

T

Tf U Ti Tf

52, 44 50 0, 14

½ 0, 116 ° ° Gráfica ¾ o Fo 0, 6 1 ° 0, 12° Bi ¿

0

17, 43

T

D·t t R2

Tf U

0

Ti Tf

0, 6 · 0, 12 2, 343 · 10 5

17, 43 200 50

0, 116

256 s

La temperatura media del plomo en ese momento se obtiene a partir del tanto por uno de energía intercambiada, el cuál a su vez se lee en el gráfico de Heisler correspondiente a partir de los valores de Fourier y Biot: Bi 8, 69 ½ Gráfica Q ¾ o 0, 91 Fo 0, 6 ¿ Qi Q Qi

Ti Tm Tm Ti Tf

63, 5º C

ϴϮ


82


PROBLEMA28

En un recinto cerrado que se mantiene a una temperatura constante de 0qC se quiere enfriar un cilindro macizo de 5 cm de diámetro y gran longitud que tiene una temperatura uniforme de 250qC. Al introducir el cilindro en el recinto se inicia el transitorio de enfriamiento, midiéndose en ese instante un gradiente térmico radial conductivo de valor 50qC/m en la superficie lateral del cilindro. Asumiendo, como hipótesis simplificadora, que durante el transitorio de enfriamiento permanece constante el coeficiente combinado de convección-radiación en torno al cilindro, se pide determinar el tiempo que debe transcurrir para que el gradiente térmico radial conductivo inicial se reduzca a la mitad. DATOS k = 100 W/mͼK U = 3000 kg/m3 cp = 900 J/kgͼK SOLUCIÓN

En un transitorio de enfriamiento, a medida que transcurre el tiempo se va aplanando el perfil de temperaturas de la pieza a enfriar, hasta que toda ella llega a la temperatura del fluido que la rodea. El gradiente térmico radial conductivo es precisamente la variación espacial de la temperatura, en el seno de la pieza. En este caso, se estudia un cilindro, y su gradiente térmico en las inmediaciones de su superficie.

Para hallar un tiempo de tratamiento en régimen transitorio, por métodos analíticos, debe calcularse el número de Fourier, o aplicar directamente el método de la capacitancia. Cualquiera de los dos métodos implica habitualmente el conocimiento del coeficiente combinado de convección-radiación y de una temperatura significativa . En t = 0 s el balance en r = R es: t 0

q''CD

§ dT · q''CV/RD k CILINDRO ¨ ¸ © dr ¹r t 0

hCR

§ dT · k CILINDRO ¨ ¸ © dr ¹r T r R TF t 0

hCR ͼ Tr R TF t

W ºC ͼ(50) mK m (250 0)º C

100 R

0

R

20

W m2K

Conducción en Régimen Transitorio. ŽŶĚƵĐĐŝſŶĞŶƌĠŐŝŵĞŶƚƌĂŶƐŝƚŽƌŝŽ

83ϴϯ

(se ha asumido que el recinto y sus paredes están en equilibrio térmico) Al cabo de un tiempo t1 el gradiente se ha reducido a la mitad. No obstante, el balance es el mismo. Si se mantiene el coeficiente combinado, entonces: t 1

§ dT · q''CD q''CV/RD k CILINDRO ¨ ¸ © dr ¹r

hCR ͼ TR TF t

t 1

TR TF t TRt

1

1

§ dT · k CILINDRO ¨ ¸ © dr ¹r hCR

1

R

100 R

W ºC ͼ(25) mK m W 20 2 mK

125º C

125º C 0 125º C

Es decir, el tiempo necesario para que el gradiente se reduzca a la mitad es aquel necesario para que la temperatura en la periferia del cilindro sea de 125ºC. Ya se dispone del coeficiente combinado y de la temperatura significativa. Para analizar el transitorio, se calcula previamente el número de Biot: Bi

hR k CILINDRO

0,005 0,01

Por lo que se puede aplicar capacitancia: T t1 TF T 0 TF

e t1 / W t1

§ T t1 TF · W ͼln ¨¨ ¸¸ © T 0 TF ¹

Con : W

UVCp

3000 ͼ S 0, 052 / 4 · 900

CR

20 ͼ S ͼ 0,05

h A

1687, 5 s

Sustituyendo: t1

§ T t1 TF · § 125 0 · W ͼln ¨¨ ¸¸ 1687,5 s ͼ ln ¨ ¸ 1170 s T 0 T © 250 0 ¹ © F ¹

ϴϰ


84


PROBLEMA29

Un eje cilíndrico de 20 cm de diámetro de acero inoxidable, como consecuencia de un ciclo de trabajo, llega a alcanzar de forma homogénea una temperatura de 600ºC. Tras ese ciclo de trabajo se deja enfriar de forma natural en un recinto con una temperatura estable de 80ºC, tanto en el aire, como en las paredes, presentando un coeficiente de convección constante de h = 30 W/m2K. Determinar el tiempo que tarda en alcanzar 300ºC en la superficie del cilindro, la temperatura en el eje en ese momento, y la energía por unidad de longitud que ha disipado. Propiedades acero: U=7832 kg/m3

cp =434 J/kgͼK

D=18,8ͼ10-6 m2/s

k=63,9 W/mͼK

H=0,7

SOLUCIÓN

Se trata de un problema de transitorio de conducción en un cilindro. Ese tipo de problemas se caracterizan por el número de Biot, que ha de incluir todos los mecanismos de transferencia de calor a través de la superficie del cilindro. Para el cálculo de Bi hay que determinar un coeficiente convectivo-radiante equivalente para todo el proceso. hc r r k

Bi

hc hr

hc r

En donde el coeficiente de convección se indica que es constante y el de radiación se debe estimar en función de la evolución de las temperaturas del proceso. hr

H V Ts4 Ta4

Ts Ta

Existen varias formas de estimar este parámetro. En esta solución se toma la media de coeficiente de radiación a lo largo del proceso, aunque también sería válida una estimación a partir de la temperatura media en la superficie del cilindro durante todo el transitorio (450ºC). Para TS=600ºC hr

0, 7 5, 67 ·108 8734 3534 520

43, 1

W m2K

Para TS =300ºC hr

0, 7 5, 67 ·108 5734 3534 220

16, 64

W m2K

ŽŶĚƵĐĐŝſŶĞŶƌĠŐŝŵĞŶƚƌĂŶƐŝƚŽƌŝŽ Conducción en Régimen Transitorio.

85 ϴϱ

Con lo que la media es 16, 64 43, 1 2

hr

29, 87

W m2K

El número de Biot para el transitorio es entonces: Bi

h

hr r

c

30 29, 87 0,1

k

0, 093

63, 9

El proceso transitorio (al ser Bi > 0,01) no puede resolverse por el método de la capacitancia. Se puede resolver mediante la solución aproximada para el transitorio de un sistema radial con condición de convección.

T*

C1 exp ]12 Fo J0 ]1 r *

Para Bi=0,09, se obtienen: ]1=0,4195 C1=1,0222 De la expresión anterior, y para la superficie del cilindro, se tiene que:

Fo

§ T* ln ¨ ¨ C1 J0 ]1 r * © ]12

· ¸ ¸ ¹

En donde: T*

T Tf Ti Tf

300 80 600 80 r*

0, 423

1

Las funciones de Bessel pueden extraerse de tablas presentes en cualquier libro de transmisión de calor, o bien mediante cualquier software matemático:

J0 ]1 r *

J0 0, 4195

0, 9589

Con lo que:

Fo

0, 423 § · ln ¨ ¸ , , 1 0222 0 9589 ¹ © 2 0, 423

4, 69

Y el tiempo en que se logra la condición de 300ºC en la superficie será: Fo

Dt t r2

Fo r2 D

4, 69 0, 12 18, 8 ·106

2494, 68 s

ϴϲ 86


Para obtener la temperatura en el eje, se tiene que: T*

T0* J0 ]1 r * T*0

T*

J0 ]1 r

*

0, 423 0, 9589

0, 4411

T0 Tf Ti Tf

Resultando T0

80 0, 4411 600 80

309, 37 ºC

En cuanto a la evacuación de energía total del cilindro, ésta responde a la relación: Q Q0

1

2 T*0 2 0, 4411 J1 ]1 1 J1 0, 4195 0, 4195 ]1

0, 5683

Con lo que la energía aliviada por unidad de longitud de cilindro queda: Q L

0, 5683 U S r2 Cp Ti Tf

31, 556

MJ m

De forma alternativa se puede resolver el problema mediante métodos gráficos, utilizando los gráficos de Heisler correspondientes para fenómenos transitorios en cilindros. a) Entrando en el gráfico corrector de posición y calculando la temperatura en el eje al final del transitorio, se obtiene T(eje) = 311ºC. b) Entrando en el gráfico de la temperatura del eje y calculando el número Fo se obtiene Fo = 4,50. Con este valor el tiempo final que se calcula es 2.395 s. c) Entrando en el gráfico de la energía y leyendo (Q/Qo) = 0,55 se calcula una energía liberada de 30,54 MJ/m.


87


ϴϳ

PROBLEMA30

Un cubo macizo metálico de 2 cm de lado, cuyas paredes pueden considerarse grises y tienen 100% de reflectividad frente a la radiación térmica, y que se encuentra a 50qC, se introduce en un gran recinto lleno de vapor de agua saturado a presión atmosférica. Se observa experimentalmente que el proceso de condensación del vapor induce un coeficiente de convección en torno al cubo de valor medio 1000 W/m2K, por lo que al cabo de un cierto tiempo la temperatura en el centro del cubo varía 32,85qC frente a la inicial. Calcular la temperatura que tendría el centro del cubo en ese mismo instante si el recinto, en lugar de vapor, hubiese estado lleno de aire seco a 100qC con un coeficiente de convección forzada de valor 50 W/m2K. DATOS k = 80 W/mͼK ʌ = 8.000 kg/m3 cp = 0,38 kJ/kgqC SOLUCIÓN

Se trata de un problema de régimen transitorio tridimensional de un cubo de semiespesor L=0,01m. Se estudiará primero el caso de calentamiento por condensación del vapor y en segundo lugar el calentamiento por convección forzada. Calentamiento del cubo por condensación del vapor El número de Biot es: Bi

hL k

1000 ͼ 0,01 0,125 ! 0,01 o Gráficos de Heisler 80

Las temperaturas del transitorio son: ½° D ¾ Tt 82,85 C ; Tf 'T 32,85 C°¿

Ti

50 D C

D

T*0

§ Tt - Tf ¨¨ © Ti - Tf

· ¸¸ ¹[

0

100 D C vapor saturado

82,85 100 50 - 100

0 ,343

Un cubo es la intersección geométrica de tres placas de igual espesor. Por tanto: § T x, y, z, t - Tf ¨¨ Ti - Tf © § Tt - Tf ¨¨ © Ti - Tf

· ¸¸ ¹

· ¸¸ ¹ cubo

§ Tx, t - Tf ¨¨ © Ti - Tf § T t - Tf ¨¨ © Ti - Tf

·§ Ty, t - Tf ¸¸¨¨ ¹© Ti - Tf

·§ Tz, t - Tf ¸¸¨¨ ¹© Ti - Tf

· § Tt - Tf ¸¸ ¨¨ ¹placa © Ti - Tf 3

· ¸¸ ¹placa

· ¸¸ ¹ § Tt - Tf ¨¨ © Ti - Tf

1

·3 ¸¸ ¹ cubo

1

0,343 3

0,7

Entrando en el gráfico de Heisler que da la temperatura adimensional en el plano central:

ϴϴ

88


%L

T0*

Fo

§ T - Tf ¨¨ © Ti - Tf

T*0

1 8 Bi

· ¸¸ ¹[

0

½ 0,7° ° ¾ Fo | 3 ! 0,2 o solución válida ° °¿

Por tanto:

Fo D

Dͼt ½ 3 °° L2 2 ¾ t | 11,4s k m ° 2,63ͼ10 5 UͼCp s °¿

Calentamiento del cubo por convección forzada El número de Biot es:

Bi

hL k

50 ͼ 0,01 0,00625 0,01 o 80

T Tf Ti Tf W

e

VͼUͼCp hT ͼA

t 11,4 s Ti

50 D C ,

Método de la capacitancia

½ ° ° 3 0,2 ͼ8000ͼ380 202,84 s °° D ¾ T 52,73 C 2 50ͼ6ͼ 0,02 ° ° ° °¿ Tf 100 D C

t W


Conducción en Régimen Permanente..

89

ϴϵ

PROBLEMA31

Una barra maciza y opaca, de 2 cm de diámetro, con una temperatura homogénea de 50qC, se introduce en una cámara frigorífica de grandes dimensiones en la que el aire y las paredes se mantienen a una temperatura estable de -50qC, quedando suspendida verticalmente del techo mediante una correa de conductividad despreciable atada a uno de sus extremos. Dicha cámara dispone de un sistema de ventilación con regulación automática de la velocidad del aire que permite mantener el coeficiente de convección forzada en torno a la barra en un valor constante, preseleccionado por el operario, en la banda 10 ÷ 500 W/m2K. Sabiendo que la absortividad monocromática de la superficie de la barra es nula en todo el espectro, y que al cabo de 1000s la temperatura superficial de la barra vale -34qC, se pide calcular, durante el transitorio de enfriamiento, lo siguiente: 1) Coeficiente de radiación, coeficiente de convección, y coeficiente combinado de convecciónradiación en torno a la barra 2) Posición y magnitud de las temperaturas máxima y mínima en la barra en t=1000s 3) Posición y magnitud del máximo y mínimo gradiente térmico en la barra en t=1000s 4) Temperatura media de la barra en t=1000s DATOS

ʌ = 5000 kg/m3 cp = 2 kJ/kgqC k = 1 W/mͼK

SOLUCIÓN

1) La absortividad monocromática de la superficie de la barra es nula en todo el espectro. Aplicando la ley de Kirchoff: H O D O 0 , O H 0 Por tanto:

H V TR4 Tf4 TR Tf

hR h TOT

h CV h R

0

W m 2K

o No hay transmisión de calor por radiación

h CV o 10 y 500 W / m2K

Es necesario analizar qué método de resolución del régimen transitorio es aplicable:

1 ° Bi ! 100 o Método de la capacitanc ia (exacto) ° 1 ° ®10 100 o Método de la capacitanc ia (aproximad o) Bi ° °1 ° Bi 10 o Gráficos de Heisler ¯

ϵϬ 90


En la cámara frigorífica el coeficiente de convección tiene un valor entre 10 d h T d 500 W / m 2K . Calculando el número de Biot correspondiente a ambos extremos: hT hT

½ h T R 10 ͼ 0,01 0 ,1 ° 1 ° 1 k ¾ 0,1 d Bi d 5 0,2 d d 10 T Bi 500 ͼ 0 , 01 h R 500 W / m 2K o Bi 5° °¿ k 1

10 W / m 2K o Bi

Por tanto, no es aplicable el método de la capacitancia y se usan los gráficos de Heisler. El objetivo es calcular el número de Biot. Se trata de un proceso iterativo entre utilizando dos gráficos de Heisler. El proceso iterativo es el siguiente: x

Primero se entra en el gráfico de Heisler de corrección de la posición

U

T T0

%L

Se supone un valor de 1/Bi (entre 0 ,2 d 1 / Bi d 10 ) para la curva correspondiente a U r / R 1 y se obtiene un valor de T / T 0 . Sabiendo que: *

T* T*0 x

*

T-Tf U 1 -34- -50 16 T-Tf U 0 T-Tf U 0 T-Tf U 0

A continuación, se usa el gráfico temporal de Heisler

o se obtiene T-Tf U

0

91ϵϭ

Conducción en Régimen Permanente.. ŽŶĚƵĐĐŝſŶĞŶƌĠŐŝŵĞŶƚƌĂŶƐŝƚŽƌŝŽ

%L

T*0

1~PHURGH)RXULHU)R

Conocido T - Tf U

se obtiene el valor de T 0 , sabiendo que: *

0

T *0

§ T - Tf ¨¨ © Ti - Tf

· ¸¸ ¹U

0

T - Tf U 0 T - Tf U 50 - - 50 100

0

Se entra en la gráfica con el valor T 0 obtenido y con el número de Fourier: *

D

k UͼCp

1 m2 Dͼt 10 7 Fo 5000 ͼ 2000 s L2

10 7 ͼ1000

0,01

2

1

Entrando con estos dos valores se obtiene un valor de 1/Bi y se comprueba que coincida con el valor inicialmente supuesto. Se tantean valores de 1/Bi hasta que ambos valores coincidan. Iterando se obtiene: Tanteo 1/Bi

1ª Gráfica Heisler

0,50 1,30 0,90 0,97

35,5 22,8 25,8 25,0

T - Tf U

0

2ª Gráfica Heisler 1/Bi 1,30 0,90 0,97 0,99

Se obtiene, finalmente, 1/Bi=1 o Bi=1 h TR ½ ° T k ¾ h Bi 1 °¿ Bi

Bi ͼ k R

1ͼ1 0 ,01

100 W / m 2K

Por lo tanto, queda: h CV hR

100 W / m2K 0 W / m2K

ϵϮ 92


2) La temperatura mínima de la barra corresponde a su temperatura superficial Tmin

34D C

La temperatura máxima es la correspondiente al eje. De la tabla de operación:

T-Tf U 0

25D C Tmax

25D C

3) El gradiente térmico es mínimo en el eje ya que corresponde al máximo del perfil de temperaturas: § dT · ¨ dr ¸ © ¹mín

0 DC / m

El gradiente térmico máximo se sitúa en la superficie de la barra, donde la pendiente del perfil de temperaturas es más acusada. '' Haciendo un balance de calor en la superficie de la barra, se tiene: qCD

' q'CV

Donde: ' q'CD ' q'CV

§ dT · kͼAͼ¨ ¸ © dr ¹r

R

AͼhͼTR Tf

Por tanto:

§ dT · kͼAͼ¨ ¸ © dr ¹r

R

§ dT · AͼhͼTR Tf ¨ ¸ © dr ¹r

R

100 ͼ 34 50 hͼTR Tf 1600 DC / m k 1

93ϵϯ

Conducción en Régimen Permanente.. ŽŶĚƵĐĐŝſŶĞŶƌĠŐŝŵĞŶƚƌĂŶƐŝƚŽƌŝŽ

4) § dT · Empleando el gráfico de Heisler de energía: ¨ ¸ © dr ¹máx

1600 DC / m

44

)R

L

1~PHURGH%LRW%L

Entrando en la gráfica se obtiene:

Bi 1 ½ Q ¾o Fo 1 ¿ Qi

0,80

Sabiendo que: 1-

Q Qi

T 50 T Tf 1 - 0,8 Ti Tf 50 50

T 50 T 30D C 100

Nota: se comprueba que la temperatura media obtenida es un valor comprendido entre las temperaturas mínima y máxima antes calculadas.

25D C Tmáx ! T ! Tmín

34 D C

95

3. CONVECCIÓN SIN CAMBIO DE FASE

ϵϲ

96


ŽŶǀĞĐĐŝſŶƐŝŶĐĂŵďŝŽĚĞĨĂƐĞ

97

Convección sin Cambio de Fase.

ϵϳ

PROBLEMA32

Se pretende calentar agua circulando por el interior de un tubo de 5 m de largo y 3 cm de diámetro interno desde 15 a 60ºC. Para lograr ese objetivo se adosa a la superficie exterior del tubo un manto de resistencias eléctricas que proporciona un flujo de calor uniforme por la superficie del tubo. La parte exterior de ese manto se encuentra completamente aislada, de tal forma que todo el calor generado se transfiere al interior del tubo. La cantidad de agua que se pretende calentar es de 7 litros/minuto. Determinar: 1) La potencia proporcionada por el manto de resistencias. 2) La temperatura media de la superficie interior del tubo. Nota: La presión en el interior del tubo se asume la atmosférica, desestimando efectos de pérdida de carga. SOLUCIÓN

La potencia proporcionada por el manto de resistencia se consume íntegramente en el calentamiento del agua, del que se conoce sus temperaturas de entrada y salida del tubo y el caudal que se caliente, por lo que (obteniendo las propiedades del agua a la temperatura media de 37,5ºC en las tablas de propiedades termofísicas):

Cp 'T q m

U v Cp 'T

993,10,007604183(60-15)=21,8 kW

Para evaluar la temperatura media de la superficie interior del tubo, se conoce el flujo de calor uniforme que lo atraviesa, y se necesita conocer el coeficiente de convección por el interior de la tubería para relacionarlo con la temperatura en la superficie de la forma, con Ti la temperatura en el interior del tubo: qcc h Ts Ti Ts

Ti

qcc h

Se trata de un problema de convección forzada en el interior de una tubería. Se determina el régimen (laminar o turbulento) y luego se busca la correlación correspondiente. En las condiciones de temperatura media del agua de 37,5ºC, se tiene que: Re

U v D P

U v D PA

U v 4 P S D

993, 1 0, 007 60 4 6, 851 · 10 4 S 0, 03

7177

Con lo que es turbulento. Como primera aproximación se puede aplicar la correlación de DittusBoelter: Nu

0, 023 Nu

0, 023 Re0,8 Prn

0, 023 71770,8 4, 6650,4

51, 76 0,8 Prn

Con n=0,4 al ser calentamiento, obteniéndose: Nu

0, 023 Re0,8 Prn

Y resultando el coeficiente de convección:

0, 023 71770,8 4, 6650,4

51, 76

ϵϴ 98

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ Nu k D

h

51, 76 0, 6143 0, 03

1066

W m2K

Que sustituyendo en la expresión ya definida anteriormente proporciona la temperatura media de la superficie interior: Ts

Ti

qcc h

37, 5

q S 5 0, 03 1066

81, 66 º C

La correlación de Dittus-Boelter sólo es válida para saltos moderados de temperatura, cifrado en 6ºC para líquidos, muy inferior al salto que se tiene en este caso, con lo que sería más conveniente realizar el cálculo usando la correlación alternativa que se indica: Nu

§P· 0, 027 Re0,8 Pr1/ 3 ¨ ¸ © Ps ¹

Que da lugar a : Nu

57, 49

h 1177

W m2K

Ts

76, 81º C



99

ϵϵ

PROBLEMA33

Los gases de combustión a 200ºC procedentes de un horno se descargan a velocidad de 6,5 m/s a través de una chimenea vertical de pared delgada de 40 cm de diámetro y gran altura (20 m). El ambiente exterior está a 10ºC y la velocidad del viento perpendicular a la chimenea es de 1 m/s. Calcular la temperatura de salida de los gases y estimar la temperatura de la superficie de la chimenea en el extremo de salida. Calcular asimismo las pérdidas de calor por la chimenea (W). Notas:

Supóngase inicialmente una temperatura de salida de gases de 170ºC. Considérense los gases de combustión como aire seco a la presión atmosférica. Despréciese todo efecto radiativo.

SOLUCIÓN

Se trata de un problema de transmisión de calor en régimen permanente, sin fuentes ni sumideros, sobre una geometría cilíndrica. Se van a determinar las pérdidas de calor, y a partir de las mismas, la temperatura de salida de los gases y la temperatura superficial en la coronación de la chimenea. Despreciando la resistencia de la pared de la tubería: q

TG Text 1 1 hi A he A

Se hace necesario determinar los coeficientes de película interior y exterior. Cálculo de hi Convección forzada en el interior de tuberías. Las propiedades se deben evaluar a la temperatura media de masa del fluido. Supuesta una temperatura de salida de los gases: TS gas=170ºC TG

Te,gas Ts,gas 2

200 170 2

185qC

Las propiedades del aire a 185ºC son: cp = 1023 J/kgͼK ʅ=2,55 ͼ10-5 kg/ms

ʌ = 0,769 kg/m3 Pr=0,698 Re

Ui U · Di P

k = 0,037 W/mͼK

78500 (régimen turbulento)

Suponiendo una diferencia de temperatura entre superficie y gases inferior a 60ºC, será de aplicación la correlación de Dittus-Boelter: NuD = 0.023 Re0.8D Pr0.3 = 170,1

100 ϭϬϬ

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ NuD

hi Di hi k gas

15, 87

W hi m2K

15, 87

W m2K

Alternativamente se emplearía la correlación de Sieder-Tate (si la TSUP es muy distinta de TG) Cálculo de he: Convección forzada, con flujo normal a cilindro. Ahora las propiedades del fluido deben evaluarse a la temperatura media de película. Para ello es necesario suponer una temperatura superficial media para toda la pared exterior de la tubería Supuesto TSUP = 130ºC: TSUP TF 2

Tmp

130 10 2

70qC

Las propiedades del aire a 70ºC son: ʅ=2,075 ͼ 10-5 kg/ms

ʌ=1,016 kg/m3 Re Re

ke=0,0298 W/mͼK

Ue U · De P

Pr=0,702

19576

Por tanto, es de aplicación la correlación de Hilpert, convección forzada flujo normal a un cilindro (con un número de Re aprox. 20000) 0, 193 Re0,618 Pr 1/ 3

NuD NuD

heDe he k aire

5, 74

77, 04 W m2K

Alternativamente se podían haber utilizado las correlaciones de Zhukauskas y de Churchill-Bernstein (ver cuadro de soluciones al final) Cálculo de las pérdidas de calor q

TG Text 1 1 hi Ai he A e

TG Text 185 10 1 1 § 1 1 · 1 hi SDH he SDH ¨© 15, 87 5, 74 ¸¹ S 0, 40 ·20

18 567 W

Valor válido siempre y cuando se cumplan las hipótesis: TS,GAS = 185ºC; TSUP = 130ºC Comprobación de la temperatura de salida de los gases Todo el calor que pierde la chimenea sale de la corriente de gases, que disminuye su energía:

gas cP 'Tgas q m gas m

Ugas

SD Ui 4

gas cP Te,gas Ts,gas Ts,gas m

2

0, 628

kg s

Te,gas

q ½ gas cP °° m ¾ Ts,gas ° °¿

200

18567 0, 628 · 1023

171, 1qC

101 ϭϬϭ

Convección sin Cambio de Fase ŽŶǀĞĐĐŝſŶƐŝŶĐĂŵďŝŽĚĞĨĂƐĞ

Lo que da validez a la hipótesis de cálculo TS,gas=170 ºC Comprobación de la temperatura superficial media de la pared q h e S · D · H· TSUP TF TSUP

TF

q h e S ·D ·H

10

18567 5, 74· S · 0, 4 · 20

138, 7qC

Lo que da validez a la hipótesis de cálculo TSUP=130 C *NOTA: si se hubiera supuesto un valor de TSUP de 100ºC ó de 150ºC (algo alejado de la solución) la primera iteración habría arrojado un valor recalculado de TSUP de 138 C y 138,8 C, respectivamente, por lo que en la segunda iteración se habría validado la hipótesis de cálculo. Comprobación de la diferencia de temperatura pared-fluido ѐTpared = TG - TSUP = 185-138,7 = 46,3ºC (< 60ºC) Lo que da validez al empleo de la correlación de Dittus-Boelter. Cálculo de la temperatura de pared a la salida Suponiendo válidos los valores de hi y he a la salida: qsalida A

Ts,gas Text 1 1 hi he

qsalida A

he · TSUP,s TF TSUP,s

170 10 1 1 15, 87 5, 74 TF

674, 5

W m2

qsalida 1 A he

10 674, 5

1 5, 74

127, 5qC

Cuadro de resultados según la correlación empleada Correlación Churchill-Bernstein Hilpert Zhukauskas

T salida humos 171,1 ºC 171,1 ºC 167,7 ºC

T media superficial 138,6 ºC 138,6 ºC 131,3 ºC

ϭϬϮ


102


PROBLEMA34

Un transistor de 0,50 cm de altura y un diámetro de 0,40 cm se encuentra montado en una placa electrónica adiabática como se muestra en el dibujo. El transistor se refrigera con aire impulsado por un ventilador hasta una velocidad de 1 m/s en dirección paralela a la placa. Si la temperatura del aire impulsado es de 50 ºC y la de toda la superficie del transistor es 90 ºC. Determinar: 1) Coeficiente de transmisión de calor en la superficie lateral del transistor. 2) Coeficiente de película en la superficie circular del transistor 3) Potencia disipada en el transistor 4) Discutir la forma de calcular lo que ocurre si se estropea el ventilador. Indicar si influye si la placa está en posición vertical u horizontal.

SOLUCIÓN

La temperatura en la superficie del transistor es 90ºC, mientras que la del aire que le rodea es 65ºC. La capa límite de aire que rodea al transistor tendrá como temperatura media: Tm

90 50 2

70 º C

Con lo que las propiedades del aire a 70ºC para la determinación de los coeficientes de convección son: U= 1,0287 kg/m3 ; cp = 1,0087 kJ/kgºC ; Pr = 0,707 ; k = 29,22x10-3 W/(m ºC) ; Q= 19,9x10-6 m2/s La superficie lateral es un cilindro sobre el que incide un flujo de aire en dirección perpendicular, con lo que la correlación a usa es: 1/ 4

NuD

§ Pr · c ReDm Pr n ¨ f ¸ © PrS ¹

El número de Reynolds es: Re

v D Q

1 0, 004 19,9 10-6

201

103 ϭϬϯ

Convección sin Cambio de Fase. ŽŶǀĞĐĐŝſŶƐŝŶĐĂŵďŝŽĚĞĨĂƐĞ

Para este valor se tiene que c=0,51, m=0,5. El número de Prandtl indica que n=0,37. Los números de Prandtl para 50 y 90ºC son respectivamente 0,709 y 0,705, con lo que su relación es 1,00567. Sustituyendo se tiene: NuD

0, 51 2010,5 0, 7070,37 1, 00567

1/ 4

6, 368

Con lo que el coeficiente de convección en la superficie lateral es: h

Nu k D

6, 368 29, 22 103 0, 004

46, 52

W m2 º C

El coeficiente de la superficie circular del transistor se calcula con la correlación de superficie plana en régimen laminar (Re=201), que es: NuL

0, 664 ReL1/ 2 Pr 1/ 3

0, 664 2010,5 0, 7071 3

8, 386

Con lo que el coeficiente en la superficie circular es: h

Nu k D

8, 386 29, 22 103 0, 004

61, 26

W m2 º C

La potencia disipada en el transistor es: 2

q hl Al 'T hc A c 'T

§D· hl S D L 'T hc S ¨ ¸ 'T ©2¹ 2

§ 0, 004 · 46, 52 S 0, 004 0, 005 90 50 61, 26 S ¨ ¸ 90 50 © 2 ¹ 0, 1169 0, 03 0, 1476 W Se disipan 147 mW en el transistor. Si se estropea el ventilador actúan únicamente los fenómenos de convección natural, con lo que previsiblemente alcanzará el transistor mayores temperaturas si tiene que disipar la misma cantidad de energía. La posición de la placa influye, ya que los fenómenos de convección natural dependen de la orientación de la superficie en función de la dirección de la gravedad, siendo previsible una mayor disipación por convección natural cuando la placa esté en posición horizontal, al tener mayor superficie en ese caso en condiciones de refrigeración de placa plana vertical, al tiempo que la superficie circular caliente se encuentra en condiciones óptimas para la refrigeración por convección natural.

ϭϬϰ


104


PROBLEMA35

A través de un conducto de climatización de 33 cm de altura interior fluye aire a 7 m/s y 15ºC. En un momento dado, el flujo atraviesa una batería de agua caliente formada por 50 tubos de cobre de 22 mm de diámetro exterior, situados en disposición cuadrangular en 10 filas transversales a la corriente de aire y 5 hileras en el sentido de avance de la corriente de aire, separadas todas ellas 3 cm entre ejes de los tubos. Las superficies exteriores de los tubos se mantienen a una temperatura promedio de 80ºC. Calcular el calor transferido por unidad de longitud del haz de tubos y la temperatura de salida del aire.

SOLUCIÓN

Para calcular el calor transferido es necesario determinar el coeficiente de película entre el haz de tubos y la corriente de aire. Se aplicará la siguiente correlación, para flujo normal a haces de tubos: 1/ 4

NuD

§ Pr · n Pr 0.36 ¨ f ¸ c ReDm © Prs ¹

Para calcular el número de Reynolds es necesario previamente determinar la velocidad media del fluido en el haz: Um = Uf

ST 3 =7 ST D 3-2,2 UmD ReDm Q

26, 25

m s

Las propiedades, se evalúan a la temperatura media de película: Tmp

Tf Ts 2

15 80 2

47, 5º C

K cp D Q U Pr Pr PrS (m2/s) (m2/s) (J/kgͼK) (W/mͼK) (kg/m3) 1006,2 0,027925 1,103075 1,75025E-05 0,70925 1,75311E-05 0,7145 0,69 Sustituyendo: ReDm

UmD Q

26, 25 · 0, 022 1,75 u 10-5

32941, 46

Puesto que el número de Reynolds se encuentra entre 1000 y 2ͼ105 y además C 0, 27 S S T SL 3cm T 1 , los coeficientes C y n resultan respectivamente: ® SL ¯n 0, 63

105 ϭϬϱ


Así pues el número de Nusselt resulta: 1/ 4

NuD

§ 0, 7145 · 0, 27 32941, 460,630, 709250.36 ¨ ¸ © 0, 69 ¹

168, 89

Y el coeficiente de película queda: h

Nu · k D

168, 89 · 0, 027925 0, 022

214, 38

W m2K

Como el número de hileras es de 5, debe aplicarse el coeficiente corrector correspondiente, de valor 0,92 en este caso. Así pues: h

0, 92 · 214, 38 197, 23

W m2K

El calor transferido a través de la pared de los tubos hacia el aire hace que éste aumente su temperatura. Aplicando un balance: T Tf,S · § cP Tf,S Tf,E h · A · TSUP Tf,MEDIA h · A ·¨ TSUP f,E q m ¸ 2 © ¹

El caudal másico de aire es: (kg / s ) C(m3 / s )· U(kg / m3 ) Uf ·10 ·S T · U m

7 ·10 · 0, 03 ·1,103075=2,31 kg/s

El área de intercambio de calor por unidad de longitud del haz es: A

N S D ·1

50 · S · 0, 022

3, 4558 m2

Sustituyendo en la ecuación del balance térmico: 15 Tf,S § q 2, 31 · 1006, 2 Tf,S 15 197, 23 ·3, 4558 · ¨ 80 2 ©

· ¸ Tf,S ¹

31, 6 º C

Y el calor entregado por metro lineal de haz de tubos es: 15 31, 6 · § q 2, 31 · 1006, 2 31, 6 15 197, 23 ·3, 4558 · ¨ 80 ¸ 2 © ¹

38638 W 38, 64 kW

Se podría corregir los valores de las propiedades termofísicas del aire empleadas en los cálculos anteriores con los nuevos valores, pero no afectan prácticamente al resultado.

ϭϬϲ


106


PROBLEMA36

Para tratar térmicamente barras metálicas de acero inoxidable de 4 cm de diámetro y 40 cm de longitud, que se encuentran a 300 K, se introducen en posición vertical en un horno, formando un haz de 20 filas en disposición escalonada (alternada), con circulación de los gases del horno a 1000 K, velocidad de 10 m/s y dirección perpendicular al eje de las barras, según se indica en la figura (que representa una sección transversal). Determinar, con los datos e hipótesis que más abajo se indican, el tiempo que se requiere para alcanzar una temperatura de 700 K en la superficie de las barras.

SL=6 cm

ST=12 cm UF TF

NOTAS: x x x x

Suponer que todas las barras se encuentran en las mismas condiciones. Para el cálculo del coeficiente de película en las barras, suponer que su temperatura superficial es la media en el tratamiento térmico y se mantiene constante. El horno es de gran capacidad en comparación con el haz de barras, que respecto a la radiación se puede considerar un cuerpo pequeño en un gran recinto. Los gases y las paredes del horno están a la misma temperatura. Coeficiente de transmisión por radiación equivalente para el haz global de barras hr = 85 W/m2 K

DATOS Gases ʌ(kg/m3) ʅͼ107(Nͼs/m2) Pr kͼ103(W/mK)

300K 1,1614 184,6 0,707 26,3

500K 0,6964 270,1 0,684 40,7

750K 0,4643 354,6 0,702 54,9

1000K 0,3482 424,4 0,726 71,5

Barras k(W/mK) ɲͼ106(m2/s)

300K 15,1 23,1

500K 18,7 23,1

750K 22,1 23,1

1000K 25,4 23,1

SOLUCIÓN

Cálculo del coeficiente de convección en el haz de barras. El coeficiente de radiación es dato del problema (hrad=85 W/m2K). Se trata de convección forzada normal a un haz de tubos (correlación de Zhukauskas) NuD

§ Pr · m Pr 0.36 ¨ C ReDm ¸ © Prs ¹

1/ 4

107 ϭϬϳ


Propiedades del fluido (gases) a la temperatura TF, excepto Prs a la temperatura superficial. (ver tabla de datos del enunciado) Suponiendo una TSUP media del proceso = 0,5ͼ(300+700)=500 K, Prs=0,684 Umax D U P

ReD

Para el cálculo de la velocidad: Umax = UF ͼST / (ST - D) para tubos alternados y siempre que SD > (ST + D)/2 ST SL

12 cm½ ¾ SD 6 cm ¿

8, 49 cm !

ST D 2

8 cm

Sustituyendo valores: Umax = 15 m/s ReD = 4922,7 Para números de Reynolds entre 1000 y 2ͼ105 : c=0,4 m=0,6 1/ 4

NuD

C Re

m Dm

Pr

0.36

§ Pr · ¨ ¸ © Prs ¹

0, 4 4922, 7 · 0, 729 0,6

NuD

59, 4

1/ 4

0,36

§ 0, 726 · ¨ 0, 684 ¸ © ¹

59, 4

hD W h 106, 2 2 k mK

Por tanto, el coeficiente combinado de convección-radiación es: h = hconv + hrad = 85 + 106,2 = 191,2 W/m2K

Cálculo del transitorio Se trata de un transitorio de calentamiento de las barras (supuestas todas en las mismas condiciones). En primer lugar se determina el número de Biot, para elegir el método más conveniente: Bi

hcr re kbarra

191, 2 0, 02 18, 7

0, 2

Donde la conductividad de las barras se ha elegido a una temperatura de 500K. Se resolverá el problema vía analítica, empleando los gráficos de Heisler. Para determinar un tiempo de tratamiento, por consiguiente, se determinará el número de Fourier. Así, se hace necesario determinar la temperatura en el eje de las barras cuando en la superficie se alcanzan 700 K. Para ello se utiliza el gráfico corrector de posición:

108 ϭϬϴ 1 ½ =4, 89 ° ° Bi ¾ r R U= = 1° ¿° R R


GRÁFICA o

T* 0, 91 T0* T0*

T* 0, 91

700 1000 1 · 300 1000 0, 91

0, 47

Se puede entrar con este dato en el gráfico temperatura del eje-número de Fourier: 1 ½ =4, 89 ° Bi ¾ T*0 0, 47°¿

GRÁFICA o Fo 2,1

Dt t R2

2, 1 · 0, 022 23, 1 ·10 6

36, 4 s

Podría comprobarse el valor de la temperatura media de las barras, y por ende de k y D. No obstante, a la vista de los datos del enunciado, la variación en estas propiedades no es lo suficientemente importante como para efectuar la comprobación, ya que el error cometido en la lectura de los gráficos amortizará las ligeras variaciones.



ϭϬϵ

109

PROBLEMA37

Se pretende construir un intercambiador de calor para calentar agua con los gases de escape a 400ºC de un proceso industrial. Ese intercambiador estaría formado por tubos de cobre aleteados por el que circularía agua a una temperatura media de 60ºC. Los tubos de 18 mm de diámetro exterior y 14 mm de diámetro interior cuentan con 100 aletas anulares por metro lineal de tubo de un espesor de 2,54 mm y con un radio exterior de 82,25 mm. El coeficiente de película exterior de los tubos es de 7 W/(m2K), considerándose independiente de que el tubo esté o no aleteado. El agua circularía por los tubos a una velocidad de 5 m/s. Calcular: 1) La cantidad de calor por metro lineal de tubo que se transfiere sin aletas. 2) La cantidad de calor transferida con el tubo aleteado. 3) El coeficiente de película exterior se ha tomado como constante en el cálculo. ¿Sería estrictamente el mismo en el caso del tubo aleteado y sin aletear? Razonar la respuesta. SOLUCIÓN

Para obtener la transferencia de calor hay que evaluar el mecanismo de transmisión por convección en el interior del tubo, la conducción y la convección por el exterior teniendo en cuenta si la superficie está aleteada o no. En el caso de tubo sin aletas: 2 S TE TI ln re ri 1 1 hi ri K he re

q L

El coeficiente de película por el interior del tubo se calcula aplicando las correlaciones de convección forzada por el interior de tubos cilíndricos. Los datos del agua a la temperatura de masa son: T=60ºC cp = 4,186 kJ/kgºC ; U = 983,1 kg/s ; P = 0,4668 . 10-3 ; k = 0,6507 W/(m ºC); Pr= 3 Con los datos del problema, el número de Reynolds: U v D P

Re

147422, 8

Con lo que se tiene flujo turbulento por el interior de tubos, con la correlación (para 'T < 6 ºC en la superficie): Nu

0, 023 Re0,8 Pr n

Para el caso de que la temperatura en la superficie sea mayor que en el fluido n=0,4, con lo que: Nu hi

436, 23 Nu Nu k D

486, 88

22629, 4

W m2K

110 ϭϭϬ


Con los datos geométricos del problema, con la conductividad dadas y el coeficiente de película exterior se tiene: q L

2 S TE TI ln re ri 1 1 hi ri k he re

2 S 400 60 ln 18 14 1 1 22629, 4 0, 007 379 7 0, 009

134, 52

W m

Hay que comprobar la correlación para el coeficiente de película interior: q L

2 S TST TI 1 hi ri

TST 60

2 S TST 60 1 3213, 4 0, 007

134, 52 22629, 4 0, 007 2 S

134, 52

0, 14 ºC

Por lo tanto es válida la correlación que se ha utilizado para el coeficiente de película interior. En el caso del tubo aleteado: q L

2 S TE TI ln re ri 1 1 AT hi ri K K he 2 S L

Ahora es necesario calcular la resistencia térmica de convección en la parte exterior aleteada con la eficiencia del tubo aleteado y el área total de transmisión (aletas + tubo). Para calcular la efectividad del tubo aleteado: D

rb re

0, 009 0, 08225 1

§ 2 h ·2 E re ¨ ¸ ©kw¹

0, 1094 1

27 § ·2 0, 08225 ¨ ¸ © 379 0, 00245 ¹

0, 319

entrando en la gráfica de la efectividad de una aleta se observa que se encuentra por debajo de D=0,2. Como se trata de una aleta de Cobre, material buen conductor, es previsible que la eficiencia de la aleta sea elevada, como corresponde en la región con E<0,5. Se toma un valor de la eficiencia cercano al correspondiente a D=0,2 y por debajo de él, con lo que se puede estimar como N=0,95. En cualquier caso, puede acudirse a la fórmula que da la efectividad: Kan

K (D, E) I1 (E) I1 (DE) K1 (E) 2D 1 2 E(1 D ) K0 ( DE) I1 (E) I0 (DE) K1 (E)

0, 93

Teniendo en cuenta las dimensiones que se indican, se calculan las áreas correspondiente, despreciando en esta resolución la superficie del extremo de la aleta: El área aleteada es:

111 ϭϭϭ


AF L

2 S ra2 rb2 nT

2 S 0, 082252 0, 0092

4, 19 m2/m tubo

y el área total: AT L

AF 2 S rb 1 nT w L

4, 19 2 S 0, 009 1 100 0, 00259

K 1

AF 4, 19 1 0, 93 1 N 1 AT 4, 19 0, 042

4, 232 m2/m tu

0, 93

y el calor transmitido por unidad de longitud de tubo es:

q L

2 S TE TI ln re ri 1 1 AT hi ri K K h 2 S L e

2 S 400 60 ln 18 14 1 1 4, 19 22629 0, 007 379 7 0, 93 2S

9008, 6

W m

Faltaría comprobar la hipótesis de la correlación para la convección en el interior del tubo q L

2 S TST TI 1 hi ri

2 S TST 60 1 22629 0, 007

9008, 06

que indica que el incremento de temperatura en la capa límite de la superficie del interior del tubo es de :

TST 60

9008, 06 22629 0, 007 2 S

9, 05º C

lo cual no es compatible con la correlación < 6 ºC que se ha utilizado para el coeficiente de película por el interior de los tubos. Hay que recalcular el coeficiente de película interior, con la correlación: NuD

§P· 0.027 ReD0.8 Pr 1/ 3 ¨ ¸ © Ps ¹

0.14

En donde Ps debe calcularse a la temperatura estimada de la superficie, que se puede obtener de la estimación anterior del salto de temperatura de 10,27ºC, con lo que TS = 60 + 10 = 70ºC, que es P: 0,4044 .10-3, con lo que: NuD

§ 0, 4668 · 0.027 147422, 80,8 31/ 3 ¨ ¸ © 0, 4044 ¹

hi

Nu k D

25190, 3

W m2K

0.14

541, 97

112 ϭϭϮ


con lo que el calor por metro lineal queda: q L

2 S 400 60 ln 18 14 1 1 4, 19 25190, 3 0, 007 379 0, 93 7 2S

9032, 5

W m

El coeficiente de película exterior será diferente en el caso de un tubo aleteado o sin aletear como consecuencia de que las condiciones de refrigeración (geometría de las superficies y flujo de refrigerante en cada una de ellas) en las superficies de las aletas es muy diferente de la del tubo, con lo que habría que utilizar diferentes correlaciones. En el tubo aleteado estaría dominado por las condiciones de la refrigeración en la superficie de las aletas que podría ser similar a la de una superficie plana, mientras que en el tubo sin aletas, habría que utilizar la correlación para un tubo o conjunto de tubos. El coeficiente de película global sería una media ponderada con el área correspondiente a cada configuración con distintas correlaciones.



ϭϭϯ

113

PROBLEMA38

Un gran caudal de vapor sobrecalentado a 150 bar de presión y temperatura media de 543ºC es conducido a gran velocidad (15 m/s) por el interior de una larga tubería (diámetro interior, 400 mm; espesor, 30 mm) de acero inoxidable SS-304 (k = 32 W/mͼK). Para reducir las pérdidas de calor y evitar quemaduras por contacto involuntario con la superficie de la tubería se disponen exteriormente una capa de aislante (k=0,075 W/mͼK) y una chapa protectora de aluminio (de espesor despreciable) y emisividad ɸ=0,20. Supóngase que las paredes del edificio por donde discurre la tubería (recinto) están a igual temperatura que el aire exterior (23ºC). El coeficiente de convección por el exterior de la tubería (hconv,e) puede considerarse constante e igual a 8 W/m2K. Se pide: 1) ¿Sería aceptable considerar que la temperatura de la superficie interior de la tubería está a la temperatura del vapor? Justifíquese calculando la diferencia de temperaturas 2) Espesor mínimo de aislante que evite temperaturas superiores a 55oC en la chapa protectora externa 3) Pérdidas de calor por unidad de longitud de la tubería 4) ¿Sería aceptable despreciar las pérdidas de calor por radiación desde la superficie exterior de la tubería? Justifíquese calculando el porcentaje de pérdidas por radiación respecto del total DATOS: (propiedades del vapor de agua a 150 bar y 543oC) cp = 2727 J/kgͼK

U = 44,18 kg/m3 k = 0,085 W/mͼK P = 3,11ͼ10-5 kg/mͼs Pr = 1.0

SOLUCIÓN

Se trata de un problema de transmisión de calor en régimen permanente, sin fuentes ni sumideros, sobre una geometría cilíndrica multicapa. Para determinar la temperatura de la superficie interior, es necesario determinar el coeficiente combinado de convección-radiación exterior y el coeficiente de película interior. Cálculo de he hconv e

8

W m2K

Por tratarse de un recinto a temperatura = Te que envuelve por completo a la tubería: hrad e

V H TSE2 Te2 TSE Te = 1,38 W/m2K

he =hconv hrad e e

9,38

W m2K

La contribución de la parte radiativa al total es del 14,72%, porcentaje solicitado de pérdidas por radiación respecto del total. En principio no parece adecuado despreciar la radiación en este caso.

114 ϭϭϰ


Cálculo de hi Convección forzada en el interior de tuberías. Para determinar el régimen se calcula el número de Reynolds: Re

U Uvapor · Di P vapor

8,5 106 (régimen turbulento)

Por tanto, es de aplicación la correlación de Dittus-Boelter: NuD = 0,023 Re0.8D Pr0.3 = 8055 NuD

hi Di hi k vapor

1709

W m2K

Flujo de calor (régimen permanente; geometría cilíndrica) Ti Te ln D0 Di ln De D0 1 1 S Di hi 2S kmetal 2S k aislante S De he

q L

Sustituyendo: q L

543 23 0, 0004656 0, 0006951 2, 122 ·ln(De 0, 46) 0, 03393 De

(*)

Este calor es el que abandona la chapa a 55ºC por radiación y convección: q he · A e · TSE Te he · S · De ·L · TSE Te

q L

he · S · De TSE Te

943, 1 De

(**)

Igualando (*) Y (**): 520 0, 005351 2, 122 ·ln(De 0, 46) 0, 03393 De

943, 1 De

Ecuación que se resuelve por iteración o con medios computacionales adecuados: Iteración 1 2 3

Espesor del aislante 5 cm 8 cm 12 cm

De 0,56 0,62 0,70

ec (*) 1085 754,4 552,9

ec (**) 528,1 584,7 660,2

Luego el espesor mínimo de aislante requerido es aproximadamente de 10 cm (De = 0,66 m). La solución exacta es 10,19 cm (De=0,6638 m). Para este valor: q’ = q/L = 626 W/m

115 ϭϭϱ


Una vez determinado el flujo de calor, la temperatura en la superficie interior de la tubería se calcula fácilmente a partir de la ley de Newton: q hi · A i · Ti TSI hi · S ·Di · L · Ti TSI TSI

q 1 Ti · L hi · S · Di

que resulta muy próxima a la temperatura de 543ºC del vapor.

542, 7qC

ϭϭϲ


116


PROBLEMA39

Se desea enfriar una lata perfectamente cilíndrica llena de refresco que inicialmente se encuentra en equilibrio térmico con el ambiente a 25ºC, hasta que su temperatura superficial alcance 6ºC. Para ello se la sumerge horizontalmente en un gran recipiente lleno de agua a 0ºC, bañando el agua toda la superficie de la lata. Determinar la velocidad de transmisión de calor (W) de la lata al agua en el instante inicial del transitorio. Justificar mediante cálculos si es posible completar el enfriamiento del refresco hasta una temperatura media de 7ºC en dos minutos, si se dan las condiciones adecuadas. (VER DATOS AL DORSO) DATOS Altura de la lata: 10 cm Diámetro de la lata: 6,5 cm Espesor de la lata: despreciable. Las propiedades siguientes se considerarán constantes en todo el transitorio de enfriamiento Agua a 0ºC: 4217 1000 0,569 12,99 1,75ͼ10-3 -68,05ͼ 10-6

cp (J/kg) U(kg/m3) k (W/mͼK) Pr Pkg/mͼs) E(K-1)

Agua a Temp. Media de película 4184 999 0,598 7,56 1,08ͼ10-3 174ͼ 10-6

Refresco 4198 1000 0,582 10,26 1,42ͼ10-3 46,04ͼ10-6

NOTA.- Si fuese necesario, considérese que la longitud característica equivalente de las tapas circulares de la lata es el 75% del diámetro. SOLUCIÓN

a) Cálculo del calor disipado por la superficie lateral cilíndrica. Se aplica la siguiente correlación:

NuD

9 / 16 8 / 27 · § ª º ¨ 0.60 0.387Ra1/ 6 «1 § 0.559 · » ¸ D ¨ ¸ ¨ ¸ © Pr ¹ ¼» « ¬ © ¹

2

Para 'T = 25 - 0 = 25ºC, en el instante inicial del enfriamiento el número de Rayleigh resulta: RaD =

gEU²D3 'T ͼPr=75728728,25 P2

El número de Nusselt, sustituyendo, resulta 65,36. Con lo que el coeficiente de película queda: NuD

65, 36

hLATD hLAT k

65, 36 ·0, 598 0, 065

Y el calor intercambiado por la superficie lateral del cilindro:

601, 32

W m2K

117 ϭϭϳ


qLAT

hLAT ALAT 'T

hLAT · SDL · 'T

601, 32 · S ·0, 065 · 0, 1 · 25 306, 98 W

b) Cálculo del calor disipado por las tapas de la lata. Las tapas se encuentran totalmente verticales, por lo que se comportan como placa plana vertical expuestas a convección libre. Para determinar la correlación más apropiada se evalúa el número de Rayleigh, tomando como longitud característica el 75% del diámetro, tal y como indica el enunciado. gEU² 0,75ͼD 'T 3

RaD =

P2

ͼPr=31948057,23

Al ser el número de Rayleigh de valor inferior a 109, se aplicará la correlación:

NuL

ª § 0.492 ·9 / 16 º 0.68 0.670RaL1/ 4 «1 ¨ ¸ » «¬ © Pr ¹ »¼

4 / 9

Con L = 0,75ͼD= 0,04875 m El número de Nusselt, sustituyendo, resulta 46,87. Con lo que el coeficiente de película queda: NuL

46, 87

hTAPAL hTAPA k

46, 87 ·0, 598 0, 75 · 0, 065

574, 99

W m2K

Y el calor intercambiado por ambas tapas de la lata: qTAPAS

hTAPA A TAPAS 'T

hTAPA ·2

SD2 · 'T 4

574, 99 · 2 ·

S ·0, 0652 · 25 95, 40 W 4

c) Cálculo de la velocidad de transmisión de calor en el instante inicial del tratamiento: q qLAT qTAPAS

306, 98W 95, 40 W

402, 38 W

Justificar si es posible completar el enfriamiento en dos minutos. La velocidad de transmisión de calor media debe ser inferior al valor del inicio del tratamiento, para que pueda realizarse el enfriamiento. Si se desea enfriar hasta 7ºC en dos minutos, el calor total a ceder al agua será: Q

m · cP · TINICIAL TFINAL 1000 · S

U V · cP · TINICIAL TFINAL

0, 0652 · 0, 1 · 4198 · 25 7 4

U

SD2 · L · cP · TINICIAL TFINAL 4

25074, 46 J

Y en dos minutos resulta una velocidad de : qMEDIO

m · cP · TINICIAL TFINAL 't

25074, 46 J 120 s

208, 95 W

118 ϭϭϴ


Puesto que la velocidad de transmisión de calor es inferior a la inicial, podría completarse el enfriamiento si se produjesen las condiciones adecuadas. Comentarios La representación gráfica de la potencia cedida frente a la temperatura superficial es la siguiente:

qvs(TsupͲTf) 450 400 350

250 200

q(W)

300

150 100 50 0 25

24

23

22

21

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

7VXS7I& Cuyo valor medio es 234,97 W, superior al calor promedio a extraer del refresco. La experiencia indica que para ello sería necesario que toda la masa del refresco entrase en contacto con la superficie de la chapa. Se ha considerado temperatura homogénea de la chapa en cada instante del enfriamiento.



ϭϭϵ

119

PROBLEMA40

Se tiene un calefactor eléctrico plano horizontal de 20 cm de diámetro en una gran nave industrial utilizado para tratar térmicamente un determinado material. Dicho calefactor está perfectamente aislado, disipando calor exclusivamente por su cara superior. Las paredes y aire ambiente de la nave se mantienen a temperatura constante Tf = 25ºC. Con el calefactor estabilizado a máxima potencia (Pmax) su cara superior se mantiene a TS = 200ºC. 1) ¿Cuál es la potencia eléctrica (Pmax) que se está consumiendo? A continuación coloca una placa del material a tratar de 20cm de diámetro y espesor 0.5cm horizontalmente sobre el calefactor con resistencia térmica de contacto despreciable. Si la temperatura del calefactor eléctrico se estabiliza a TS = 200ºC y se considera que las condiciones convectivas se mantienen iguales a las del apartado anterior (mismo coeficiente de película): 2) ¿Cuál es la potencia eléctrica P que se está consumiendo? Si en lugar de convección libre sobre la cara libre de la pieza, el modo de convección pasa a ser convección forzada por la instalación de un ventilador y se quiere seguir teniendo la cara de la placa en contacto con el calefactor con una temperatura de valor TS =200ºC: 3) ¿Cuál es el valor máximo del coeficiente de película generado por el ventilador sobre la cara libre de la pieza a tratar que permite que el tratamiento se realice a la temperatura indicada? DATOS

Emisividad del calefactor 0,5 Emisividad placa material a tratar 0,5 Considerar superficies grises Conductividad material a tratar 0,15 W/mͼK Considérese transmisión de calor unidireccional y régimen permanente

SOLUCIÓN

1) Toda la potencia que genera el calefactor eléctrico se disipa al ambiente por convección y radiación. Pmax

qconv;1 qrad;1

Radiación: se trata de una nave de gran tamaño y el enunciado indica que se consideren superficies grises, por tanto es de aplicación la expresión: qrad;1

A calefactor · V · Hcalefactor · Ts4 Tf4

Dado que el área de calefactor se puede conocer al conocer el diámetro, se obtiene que qrad;1=38W La expresión de la potencia disipada por convección es: qconv;1

A calefactor · h · Ts Tf

120 ϭϮϬ


De la que se conoce todo menos el coeficiente de película, el cual se puede determinar con la ayuda de la correlación del formulario oficial de la asignatura ‘convección libre alrededor de placas horizontales, placa caliente por la cara superior, placa fría por la cara inferior’. Aparecen dos correlaciones dependiendo del número de Rayleigh, por lo que se calcula el valor de dicho parámetro: RaLc

GrLc ·Pr

g·Lc3 ·E·'T·U2 ·Pr P2

Las propiedades densidad, viscosidad y número de Prandtl se evalúan a la temperatura media entre fluido y superficie de calefactor (112,5ºC) y ɴ a la temperatura del fluido siendo Lc= 0.05m, resulta: RaLc 8,2ͼ105 Con este valor del número de Rayleigh la correlación a utilizar es: NuLc

0, 54·Ra1Lc/ 4

16, 2

h·LC W h 11 2 kf mK

Con este resultado qconv;1 59 W Pmax

97 W

2) Para la resolución de este apartado se pueden utilizar parte de las expresiones y resultados obtenidos anteriormente: P2 qrad;2

qconv;2 qrad;2

4 A calefactor · V · Hplaca · Tplaca Tf4

qconv;2

A calefactor · h · Tplaca Tf

Además, hay que incluir la transmisión de calor por conducción a través de la placa de material, que considerándola unidimensional como indica el enunciado lleva por conservación de energía a: P2

qcond;2

Desarrollando la transmisión de calor por conducción: qcond;2

A calefactor ·

kplaca espesorplaca

· Ts Tplaca

Igualando la expresión de la conducción a la suma de radiación + convección se puede obtener la temperatura del lado libre de la placa ~ 139ºC Con esta temperatura en la expresión de la conducción se obtiene rápidamente la potencia total: P2

qconv;2 qrad;2

38, 6 W 18, 7 W

57, 3 W


121 ϭϮϭ

Se observa que en estas condiciones el calefactor funciona a potencia inferior a la máxima como cabía esperar, ya que la placa hace las veces de aislante entre calefactor y entorno. 3) El enunciado indica que se debe considerar el conjunto funcionando a máxima potencia (Pmaxу97W), con la temperatura en la superficie del calefactor la del tratamiento térmico (TS = 200ºC), lo que dará lugar al coeficiente de película máximo que se puede aplicar sobre la pieza, ya que en caso de ser superior la temperatura del tratamiento térmico disminuiría por debajo de la de consigna. qconv;3 qrad;3

Pmax

qcond;3

(*)

Con la expresión de la conducción se obtiene el valor de la temperatura de la cara libre de la pieza sometida a tratamiento térmico: qcond;3

A calefactor ·

kplaca espesorplaca

· Ts Tplaca;3

Tplaca;3 ~ 97ºC Con ese valor puede determinar la energía cedida por radiación al entorno: qrad;3

4 4 A calefactor · V · Hplaca · Tplaca ;3 Tf

En este punto se conocen todos los valores de la parte derecha de la expresión anterior, con lo que se obtiene: qrad;3 ~ 10W Teniendo en cuenta que la convección responde a una expresión como la que se muestra a continuación: qconv;3

A calefactor · hmax · Tplaca;3 Tf

Y que por balance de energía de la expresión (*) sólo se desconoce el coeficiente de película hmax, este valor se puede despejar, obteniendo: hmax 38

W m2K

ϭϮϮ


122


PROBLEMA41

En una nave industrial con 25ºC de temperatura ambiente se dispone en posición horizontal un doble tubo metálico de gran conductividad, de 20 m de longitud y espesores de tubo despreciables, que se emplea para recuperar el calor de los gases de escape de una caldera de combustión. Dichos gases circulan por el interior del tubo interior, aportándole una carga térmica uniforme de 10 kW/m, en tanto que por el espacio anular circulan 2,05 kg/s de aire que entra al sistema con una temperatura de 26,8ºC. Sabiendo que la superficie exterior del tubo exterior está cubierta por un aislamiento perfecto, se pide calcular, en régimen permanente: 1) Temperatura de salida del aire circulante por el espacio anular. 2) Temperatura media de la superficie exterior del tubo interior.

A continuación se retira el aislamiento, manteniéndose el aporte de 10 kW/m. Una vez alcanzado el régimen permanente, se mide una temperatura media de 67,4ºC en la superficie exterior del tubo exterior. En estas condiciones se pide: 3) Temperatura de salida del aire circulante por el espacio anular. 4) Coeficiente de convección en la superficie interior del tubo exterior. 5) Temperatura media de la superficie exterior del tubo interior NOTA IMPORTANTE.- Despreciar todo efecto radiante. DATOS -

Diámetro del tubo exterior: 2,05 m Diámetro del tubo interior: 2 m

Propiedades del aire (por simplicidad se considerarán constantes): cp (J/kgͼK) 1030

ʌ (kg/m3) 0,6964

ʅͼ107 (Nͼs/m2) 270

SOLUCIÓN CASOA:dobletuboaislado

q q '·L

10000 ·20

200000 W

Todo el calor se lo lleva el aire que circula por el espacio anular:

kͼ103 (W/m K) 41

Pr 0,68

ϭϮϯ 123

ŽŶǀĞĐĐŝſŶƐŝŶĐĂŵďŝŽĚĞĨĂƐĞ Convección sin Cambio de Fase.

a cPa ( Tsa Tea ) Tsa q m

Tea

q a cPa m

121, 52º C

Para determinar la temperatura superficial exterior del tubo interior se aplica la correlación de convección forzada en espacios anulares: q h A Ts Tf Dh Re

Dext Dint vUDh P

0, 05m

Dh m S P

2, 05 · 0, 05 2, 052 22 S· · 270 · 10 7 4

NuDh = 0,023 (ReDh )0,8 Pr 0,4

NuDh =

hDh h k

TSi

0, 023 · 23869, 60,8 · 0, 68 0,4

62, 66 · 41 · 10 3 0, 05

NuDh · k Dh

q h A Ts Tf TS

Tf

57, 77 152, 5 2

23869, 6

q Ah

51, 38

62, 66

W m2K

200000 °26, 8 S · 2 · 20 ·51, 38 57, 77 º C ° ® 200000 °121, 52 152, 5 º C °¯ S · 2 · 20 ·51, 38

105, 1 º C

CASOB:dobletubosinaislar

Dato: TS e= 67,4ºC Se calcula el calor que sale por convección libre al ambiente: g E U² D3 'T Ra = ͼPr = P2

9,8ͼ

1 · 0, 69642 · 2, 053 (67, 4 25) 273,15+25

270 ·10

7 2

· 0, 68

5431472830

2

qaire

8 / 27 § · ª § 0.559 ·9 / 16 º ¸ =196,69 NuD ¨ 0.60 0.387RaD1/ 6 «1 ¨ » ¸ ¨ ¸ © Pr ¹ »¼ « ¬ © ¹ Nu · k 196, 69 · 41 · 10 3 W he 3, 93 2 De 2, 05 mK he A e ( Tse Tamb ) 3, 93 · S ·2, 05 ·20 ·(67, 4 25) 21483, 6W

exterior

El resto se invierte en aumentar la temperatura del aire interior q he A e ( Tse Tamb ) 200000 21483, 6 178516, 4 W

qaire int erior

qaire

int erior

a cPa ( Tsa Tea ) Tsa m

Tea

q ma cPa

111, 35º C

124 ϭϮϰ

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ Taire

int erior

26, 8 111, 35 2

69º C

El coeficiente de película por el interior sale directamente aplicando Newton: qaire exterior

TSe ) hint

hint A e ( Taire ext

int erior

ext

q h A Tsi Tf TSi

TSi

q Tf Ah

21483, 6 1 · S · 2, 05 ·20 69 67, 4

99, 7

W m2K

200000 °26, 8 S · 2 · 20 ·51, 38 57, 8º C ° ® 200000 °111, 35 142, 3º C °¯ S · 2 · 20 ·51, 38

57, 8 142, 3 2

100 º C


ϭϮϱ

125


PROBLEMA42

El techo de un camión frigorífico (8 m de largo por 2 de ancho) está formado por una capa de 7 cm de espuma aislante (k=0,026 W/mͼK) revestida por ambas caras con paneles de aluminio (k=180 W/mͼK) de 5 mm de espesor. La temperatura de la superficie interior del techo puede considerarse constante y de valor -5ºC gracias al funcionamiento de un equipo frigorífico. 1) Si el camión se mueve por ciudad a la velocidad media de 30 km/h y la temperatura del aire exterior es de 32º C, calcular las ganancias de calor a través del techo del camión. 2) En las condiciones descritas en 1), estimar el coeficiente de película local exterior a la distancia de 1, 4 y 8 m desde la cabecera del camión. Sólo a estos efectos, y para simplificar, considere invariables las propiedades térmicas del aire calculadas en el apartado anterior. 3) Calcular las ganancias de calor a través del techo del camión cuando está parado. NOTA: en todos los casos, despréciense los efectos de insolación y radiación.

SOLUCIÓN

1) En caso de que el camión esté circulando. Cálculo del calor transferido por el techo del camión (placa de longitud 8 m) a partir de las temperaturas del fluido exterior y la superficial interior q ''

Taire Tsi R ''

Taire Tsi 1 § 'x · § 'x · 2¨ ¸ ¨ ¸ © k ¹panel © k ¹aislante hext

(*)

Se desconoce el valor de hext, que se estimará mediante una correlación de convección forzada a lo largo de una placa: Las propiedades termofísicas deben calcularse a Tmp (temperatura media de película), por lo que se hace necesario suponer una temperatura superficial exterior. La TSe será intermedia entre la TSi y la Taire; pero además será algo más cercana a la Taire puesto que tiene por detrás casi toda la resistencia térmica (la del aislante). Así, se supone: Tse

24qC Tmp

Tse Taire 2

24 32 2

28qC

Propiedades del aire a 28ºC: ʅ= 1,863ͼ10-5 kg/mͼs

ʌ=1,172 kg/m3

k=0,02573 W/mͼK

Pr=0,7273

Cálculo de h en convección forzada

Re

L U U P

8·

30000 · 1, 172 3600 1, 863 ·10 5

4, 195 · 106 ! Recrítico

5 · 105

126 ϭϮϲ


Se trata de convección forzada con régimen turbulento. La correlación adecuada es: Nu = (0,037 ͼ Re0,8 - 872) ͼ Pr1/3 = 5828 Nu

hextL hext k aire

20

W m2K

Introduciendo este valor en (*): q" = 13,5 W/m2 Comprobación de la temperatura superficial q´´ hext · Tair Tse ' Tse '

31, 3°C

Si no resulta válida la aproximación (24º versus 31,3ºC) se puede recalcular todo para una temperatura superficial exterior supuesta de T= 31ºC. Tmp

Tse Taire 2

31 32 2

31, 5qC

Propiedades del aire a 31,5ºC: ʅ= 1,88ͼ10-5 kg/mͼs

ʌ=1,158 kg/m3

k=0,02601 W/mͼK

Pr=0,7264

Recalculando: Re = 4,105 ͼ106 > Recrit =5ͼ105 (se mantiene el régimen turbulento) Nu = 5712 hext= 19,82 W/m2K q" = 13,47 W/m2 El resultado directo -sin iteración- era suficientemente bueno, dada la poca variación en las propiedades termofísicas. Comprobación de la temperatura superficial (T = 31ºC) q´´ hext · Tair Tse ' Tse '

31, 3°C

2) Cálculo del coeficiente de película local para x=1 m ; x=4 m ; x=8 m. Se emplearán los valores de las propiedades térmicas del aire calculadas en el apartado previo. La longitud de placa mínima por encima de la cual hay régimen turbulento se calcula a partir del número de Reynolds crítico: Recrítico

x crítica U U P

5 · 105 x crítica

5 · 105 ·1, 88·105 30000 ·1, 158 3600

0, 974 m

Por tanto, los tres puntos solicitados están en la región turbulenta. Además, el número de Reynolds para la longitud mayor (L=8 m) es de 4,105ͼ106 <107, por lo que la correlación apropiada para los tres casos es:

127 ϭϮϳ


Nux

0, 0296 · Re0,8 · Pr1/ 3

hx x hx k

Nux ·k x

Resultados: Posición x (m) 1 4 8 hx (W/m2K) 25,61 19,41 16,9 3) Camión parado Cálculo del calor transferido por el techo del camión (placa de superficie 8x2 m) a partir de las temperaturas del fluido exterior y la superficial interior Taire Tsi R ''

q ''

Taire Tsi ' x 1 § · § 'x · 2¨ ¸ ¨ ¸ © k ¹panel © k ¹aislante hext

(**)

El valor de hext se estima mediante una correlación de convección libre sobre una placa: Las propiedades termofísicas deben calcularse a Tmp (temperatura media de película), por lo que se hace necesario suponer una temperatura superficial exterior. Nuevamente, por ejemplo TS = 24ºC Tmp

Tse Taire 2

24 32 2

28qC

Propiedades del aire a 28ºC: ʅ= 1,863ͼ10-5 kg/mͼs

ʌ=1,172 kg/m3

k=0,02573 W/mͼK

Pr=0,7273

ɴ=0,003321 K-1

En las correlaciones de convección libre sobre cara superior de placa fría respecto al fluido, la longitud característica es: LC

Gr

Nu

Área Perímetro

g E U2 Tsup Taire L3C P2 0, 27·Ra0,25

38, 43

ancho l arg o 2 l arg o ancho

0, 8 m

5, 644 · 108 Ra = Gr ͼ Pr = 4,105ͼ108

hextL C hext k aire

38, 43 · 0, 02573 W =1, 236 2 0, 8 mK

Introduciendo todos los valores en la ec (**): q" = 10,57 W/m2 Comprobación de la temperatura superficial: q´´ hext · Tair Tse ' Tse '

23, 5°C

ϭϮϴ

128



PROBLEMA43

Una gran placa de acero al carbono ordinario de 1 cm de espesor y dimensiones 10 x 5 m (ancho x alto), inclinada 45 grados, constituye el cerramiento de cubierta de un edificio residencial. En verano, durante las horas centrales del día está expuesta a un intensa insolación (800 W/m2) y a una ligera brisa marina de 1,5 m/s que fluye paralela a la placa según la altura (ver dibujo). Se presume, por tanto, que la temperatura superficial exterior de la placa será elevada (tómese 120ºC, si fuera necesario). Si por el interior la placa está revestida con una chapa de madera de alta densidad (1 cm espesor) y manta aislante de fibra mineral (8 cm de espesor), estímese el flujo de calor (W/m2) a través de dicho cerramiento para 25ºC de ambiente interior (hi = 5 W/m2K), 38ºC de ambiente exterior y cielo despejado (temperatura equivalente del cielo: -10ºC) Discútase si la transferencia de calor desde la placa al ambiente exterior es debida a convección natural, forzada o una mezcla de ambas. DATOS Propiedades del aire entre 50 y 100ºC: ʅ=209ͼ10-7 kg/mͼs

ʌ=1,004 kg/m3

Conductividad térmica (W/m2 K):

Pr=0.716

Acero: 58

Propiedades radiativas de la placa de acero: DS= 0,8

k=0,02943 W/mͼK Madera: 0,15

ɴ=2.843ͼ10-3 K-1

Aislante: 0,049

H

SOLUCIÓN

El problema consiste en calcular el flujo de calor a través de un cerramiento que separa dos ambientes (int/ext) y sometido a irradiación por su cara exterior. Se resolverá estimando el coeficiente de película en la superficie exterior. Dado que la velocidad del fluido es baja y la temperatura de la superficie relativamente alta podría dudarse sobre si debe estudiarse como convección forzada sobre superficie inclinada -debida a la velocidad del aire- o como convección natural -debida a la diferencia de temperatura entre la superficie y el aire-.

ɲG qrad qconv qcond

La temperatura de la superficie exterior no es conocida pero cabe suponer que será elevada. A sugerencia del enunciado se supondrá (hipótesis a comprobar) que dicha temperatura es de 120ºC. Balance de calor en la superficie exterior: q"cond = ɲG - q"rad - q"conv = ɲ G - ɸ ʍ (T4sup-T4cielo) - he (Tsup-Taire)

129 ϭϮϵ


Para una pared plana multicapa: q ''cond

Tsup Tint

Tsup Tint

Rtot

1 § 'x · § 'x · § 'x · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ k ¸ © ¹placa © k ¹madera © k ¹aislante hint

Las dos ecuaciones anteriores constituyen un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas (q"cond , Tsup , he) Se determina a continuación una de las incógnitas, he, para así poder resolver las otras dos. Nótese que si se utiliza como dato la Tsup propuesta entonces la resolución del ejercicio es directa (de la primera ecuación, q"у 50 W/m2 y de la segunda, he=4,5 W/m2K). Pero sería necesario validar dicha hipótesis calculando de forma independiente el coeficiente de película. Cálculo del coeficiente de película (he) [1] Si se tratase de convección forzada pura con velocidad del aire de 1,5 m/s y longitud característica igual a la altura de la placa (L=5 m): Propiedades del aire a Tmp = 0.5 (Tsup+Tair) = 79 ºC (suponiendo Tsup=120ºC): ver datos del enunciado Re

L UU P

360287 < 5 ͼ105 y por consiguiente régimen laminar

Nu = 0,664 ͼ Re0.5 ͼ Pr1/3 = 356,6

heL he k aire

2, 1

W m2K

Con este valor de he la solución del sistema de dos ecuaciones es: Tsup = 154,9ºC q" = 68,38 W/m2 Dado que Tsup т 120 C será necesario iterar con este nuevo valor de Tsup : Propiedades a Tmp = 0,5 (Tsup+Taire) = 96ºC (suponiendo Tsup = 154,9ºC) Dado que las propiedades no varían entre 50 y 100 ºC el resultado anterior puede darse por válido. [2] Si se tratase de convección natural pura con Tsup=120ºC (supuesto) y longitud característica igual a la altura de la placa (L=5 m) ... Propiedades a Tmp = 0,5 (Tsup+Tair) = 79ºC (suponiendo Tsup=120ºC) Gr

g cos T E Tsup Taire L3 Q2

4, 65 · 1011

Ra = Gr ͼ Pr = 3,33ͼ1011 > 109 y por consiguiente, régimen turbulento. Es de aplicación la correlación de convección libre sobre placa vertical (Churchill y Chu):

130 ϭϯϬ


2

NuL

8 / 27 9 / 16 ª º ª º «0.825 0.387RaL1/ 6 «1 §¨ 0.492 ·¸ » » = 776 « » © Pr ¹ ¼» « ¬ ¬ ¼

Nu

heL he k aire

4, 57

W m2K

Con este valor de he la solución del sistema de dos ecuaciones es: Tsup = 119,9ºC q" = 49,94 W/m2 dando por buena la hipótesis de Tsup = 120ºC Discusión de resultados Los valores de he obtenidos en ambos casos: 4,57 (convección natural pura) y 2,1 (convección forzada pura), son del mismo orden de magnitud. Sin embargo, el coeficiente de película de mayor valor es el de convección natural, lo que parece indicar que este mecanismo de transferencia de calor será predominante. Ambos mecanismos convectivos (natural y forzado) van en el mismo sentido, ascendente a lo largo de la placa, por lo que ambas contribuciones son acumulativas (pero no se suman). Conclusión: cabe esperar un coeficiente de película algo mayor que el debido a la convección natural pura (4,57 W/m2K) como consecuencia de la contribución de la convección forzada. Ello llevaría a un valor de Tsup algo menor que el calculado en el segundo caso (119,9ºC) y un menor valor también de flujo de calor que el estimado (49,94 W/m2) Comparando los números adimensionales característicos de la convección natural y forzada (Gr/Re2 у 3,53) se puede pensar que, en efecto, la convección natural predomina sobre la convección forzada. Pero tampoco se puede despreciar la contribución de esta última, pues son del mismo orden de magnitud. Algunos autores mencionan que la contribución simultánea y en el mismo sentido de ambos mecanismos debe hacerse a partir de una expresión similar a: Nu3total = Nu3libre + Nu3forzada Aplicado a este caso: Nu3 total

7763 356, 63 Nutotal

796, 7 he = 4, 69

Con este valor de he la solución del sistema de dos ecuaciones es: Tsup = 118,6ºC q" = 49,28 W/m2 lo que confirma la conclusión previa.

W m2K

131

4. CONDUCCIÓN CON CAMBIO DE FASE

ŽŶǀĞĐĐŝſŶĐŽŶĐĂŵďŝŽĚĞĨĂƐĞ

ϭϯϯ

133

Conducción con Cambio de Fase.

PROBLEMA44

Una olla express cilíndrica de acero 1%C pulido que tiene 18 cm de diámetro y una altura de 15 cm se llena de agua hasta los 8 cm. El agua se introduce a la temperatura de la red de suministro (15ºC), llegando hasta la temperatura de saturación, que a la presión a la que está dentro de la olla es de 115ºC. La temperatura exterior (en la cocina) es de 20ºC. A partir de ese punto la transmisión de calor por la base de la olla es capaz de transformar el 50% de ese líquido en vapor de agua en un tiempo de 30 minutos, cuando la placa calefactora suministra una potencia de 1400 W. Determinar: 1) 2) 3) 4)

La temperatura en la superficie exterior de la olla, asumiendo que es constante en toda ella La temperatura que alcanza la cara interior de la base de la olla en contacto con el agua. El coeficiente de transmisión de calor entre la base y el agua durante el cambio de fase. Temperatura en la superficie interior de la olla que no está en contacto con la placa calefactora asumiendo un espesor de la olla de 15 mm.

DATOS. Calor de cambio de fase del agua=2280 kJ/kg Coeficiente de radiación-convección combinado exterior: 12 W/m2K SOLUCIÓN

El calor que proporciona la base de acero inoxidable realiza la conversión íntegra del 50% de agua (inicialmente a 15ºC) en vapor de agua, compensando las pérdidas por el exterior de la olla. El balance energético que se cumple es: P ͼ t = m . hfg + Q ext D2 P . t - x ͼU · S · · L · hfg 4 0, 182 1400 · 1800 - 0, 5 · 999, 2 .S . ͼ 0, 08 · 2280 · 103 4

Q ext = P · t - m · hfg

201 099 J

Ese calor perdido permite obtener la temperatura de la superficie de la olla, mediante la expresión: Q ext

hr -c · Sext · Ts - Text · t

§ D2 · 12 ·¨ S · D · aolla S · ¸ . Ts - Text · t 4 ¹ ©

En donde despejando la TS se obtiene: d 104,4ºC

La transmisión de calor entre la placa de acero y el agua saturada a 115ºC es en forma de convección en ebullición, en donde hay que establecer el flujo de calor crítico. §q· Ä¸ © ¹max

ª V g (Ul Uv ) º S hfg Uv « » 24 U2v ¬ ¼

1/ 4

1/2

§ Uv · ¨1 ¸ Ul ¹ ©

cuyas propiedades se evalúan a la temperatura de cambio de fase, que se busca en las tablas correspondientes y encontrándose a 115ºC: Uv = 0,6527 kg/m3 Ul = 958,86 kg/m3

134


ϭϯϰ

Pl =0,2446x10-3 kg/(m s) Prl=1,52 cpl=4,2383 kJ/kgºC En donde para T=115ºC: V

0.2358 (1

T T ª º )1.256 «1 0, 625 (1 )» 647, 15 647, 15 ¼ ¬

0, 05601

N m

Sustituyendo: §q· Ä¸ © ¹max

194, 805

kW m2

El flujo de calor transferido por la base de la olla es: q P Pͼ 4 1400 . 4 kW = = = = 55,016 2 A A S D2 S · 0, 182 m

De lo que se deduce que se está en condiciones de ebullición nucleada, que se rige por la correlación:

q A

ª g (Ul UV ) º Pl hfg « » V ¬ ¼

1/2

§ Cpl 'T ¨¨ s © Csf hfg Prl

· ¸¸ ¹

3

en donde Csf=0,0130 al tratarse de acero inoxidable pulido, y con el resto de las variables conocidas, salvo el salto térmico, que despejando resulta ser 'd 7,3ºC Con lo que la temperatura en la superficie de la placa de cobre resulta: Tsup= 122,3 ºC El coeficiente de transmisión se obtiene como: h

q 1 · A 'T

55016 W = 7518 2 7, 3 m ºC

El salto térmico a través de la pared de la olla se rige por las leyes de la conducción, con lo que: qext 'T 'T 201099 =k. = 43ͼ = A e 0, 015 1800 ͼ 0.1103 dando un salto de temperatura en el acero de 0,4ºC, con lo que se tendrán en el interior 104,8ºC.



ϭϯϱ

135

PROBLEMA45

Con un filamento de platino, de 1 m de longitud, 1 mm de diámetro y emisividad despreciable, se han realizado diversos ensayos de ebullición con cierta disolución química, a presión atmosférica, estando el líquido a su temperatura de saturación de 120ºC, obteniéndose la curva adjunta.

Por tratarse de un filamento de emisividad despreciable, no ha existido transmisión de calor por radiación en ningún ensayo, por lo que el eje de ordenadas (q/A) representa exclusivamente la transmisión de calor por ebullición pura del filamento al fluido, con idénticos valores a los que se obtendrían aplicando las correlaciones de ebullición. A continuación, empleando la misma disolución química a 120ºC, se realizan dos experimentos de ebullición empleando un filamento de acero (ʌ = 7600 kg/m3; cp = 0,46 kJ/kgͼK), de igual geometría que el de platino, pero cuya superficie se comporta como un cuerpo negro frente a la radiación térmica: Experimento A Estando el filamento de acero en equilibrio térmico con la disolución química, se le aporta una potencia eléctrica estable de 314 W. 1) ¿Qué temperatura superficial tendrá el filamento al alcanzarse el régimen permanente? 2) Si se desconecta la fuente eléctrica, ¿cuál será la velocidad de enfriamiento (ºC/s) del filamento en el instante inicial del transitorio? Experimento B Estando el filamento de acero en equilibrio térmico con la disolución química, se le aporta una potencia eléctrica que estabiliza su temperatura superficial a 1120ºC. 3) ¿Qué potencia eléctrica se le ha aportado para estabilizarle a dicha temperatura? 4) Si se desconecta la fuente eléctrica, ¿cuál será la velocidad de enfriamiento (ºC/s) del filamento en el instante inicial del transitorio?

ϭϯϲ


136


SOLUCIÓN

a) Experimento A (filamento de acero con potencia de 314 W) q A

q SDL

314 S 10 3 · 1

105

W m2

Puesto que inicialmente el filamento está en equilibrio térmico con la disolución ('T = 0), la ebullición es nucleada (ya que no se ha sobrepasado el punto crítico) De acuerdo con la figura del enunciado se obtiene, de forma aproximada: q A

105 'T 10 TSUP

120 10 130qC

Al desconectarse la fuente, el filamento se somete a un transitorio de enfriamiento por convección exterior. Dicho transitorio inicialmente se caracteriza por un valor de coeficiente de convección que se calcula a partir de la ley de Newton: q 1 · A 'T

h

105 ·

1 10

10000

W m2K

En el instante inicial:

m cP filamento

wT wt

h A 'T

h S D L 'T § · D ¨ U S L cP ¸ 4 © ¹ filamento 2

wT wt

h A 'T

h A 'T

m cP filamento U V cP filamento

4 h 'T U D cP acero

4 10000 10 7600 10 3 460

114, 4

qC s

Puede observarse que rápidamente decaería la temperatura del filamento hasta la de la disolución química

b) Experimento B (filamento de acero estabilizado a 1120ºC) De acuerdo con la figura se obtienen, de forma aproximada, los siguientes valores: TSUP

hb

W §q· 1120 qC 'T= 1120 120 = 1000qC ¨ ¸ 106 2 A m © ¹b q 1 · A 'T

106 ·

1 1000

1000

W m2K

Que corresponde exclusivamente al intercambio de calor propio de la ebullición. A esto cabe añadir el intercambio radiativo en la película de vapor que rodea al filamento: qrad

4 4 A V HFIL TSUP TSAT

hrad A 'T

137 ϭϯϳ

Conducción con Cambio de Fase. ŽŶǀĞĐĐŝſŶĐŽŶĐĂŵďŝŽĚĞĨĂƐĞ

Despejando: hrad

4 4 V HFIL TSUP TSAT

5, 67 ·10 8 1 ª¬(1120 273, 15)4 (120 273, 15)4 º¼

'T

1000

212, 2

W m2K

Componiendo ambas contribuciones –simplificadamente-, de acuerdo con Bromley:

h hb

3 hrad 4

1000 0, 75 · 212, 2

1159,2

W m2K

La potencia eléctrica necesaria para la estabilización ha sido, pues: q h · A · 'T

h · S · D ·L ·'T

1159, 2 · S · 0, 001 ·1 ·1000

3641, 6 W

Al desconectarse la fuente, el filamento de acero se somete a un transitorio de enfriamiento por convección exterior que en el instante inicial se caracteriza por un coeficiente combinado ebulliciónradiación de 1159,2 W/m2K .

m cP filamento

wT wt

h A 'T

h S D L 'T § · D ¨ U S L cP ¸ 4 © ¹ filamento 2

wT wt

4 h 'T U D cP acero

h A 'T

h A 'T

m cP filamento U V cP filamento 4 1159, 2 3 · 1000 7600 103 460

1326, 3

qC s

ϭϯϴ

138



PROBLEMA46

Un cilindro de cobre pulido de 1 cm de diámetro, calentado eléctricamente, produce la ebullición del agua saturada a presión atmosférica del recipiente en que está sumergido horizontalmente, conforme presenta la figura experimental adjunta.

Se pide lo siguiente: 1) Haciendo uso de la figura, estimar el valor aproximado de los coeficientes de convección del agua, tanto en ebullición nucleada como en ebullición en película, en el entorno del flujo calorífica máximo (flujo crítico) 2) Aplicando las correlaciones experimentales de trabajo que resulten de aplicación, calcular el valor exacto del coeficiente de convección del agua en ebullición nucleada inmediatamente antes de alcanzarse el flujo calorífico crítico 3) En caso de repetir el experimento con un cilindro de latón, responder razonadamente a las siguientes cuestiones:

¿Variará la ordenada del punto C? En tal caso, ¿será mayor o menor? ¿Variará la abscisa del punto C? En tal caso, ¿será mayor o menor? ¿Variará el coeficiente de convección por ebullición nucleada en el tramo BC. En tal caso, ¿será mayor o menor?

SOLUCIÓN

1) Solución gráfica aproximada De acuerdo con la figura adjunta se obtienen, de forma aproximada, los siguientes puntos: Punto C: ѐT = 50 K; q /A = 2 ͼ 106 W/m2 Punto C’: ѐT = 2000 K; q /A = 2 ͼ 106 W/m2 Aplicando la ley de Newton:

139 ϭϯϵ


q A

q 1 · A 'T

h 'T h

°°h C ® °h C’ °¯

2 · 106 / 50

W ebullición nucleada m2K W 1000 2 ebullición en película mK

40000

2 · 106 / 2000

2) Cálculo detallado de h en ebullición nucleada, muy próximo al flujo máximo Propiedades del agua saturada a presión atmosférica (TSAT = 100ºC): cp L = 4217 J/kgͼK ʌv = 0,597 kg/m3

ʌL = 958,4 kg/m3 ʍ=0,0589 N/m

PrL = 1,788 hfg = 2257 kJ/kg

El flujo máximo sigue la correlación de Kutateladze y Zuber: ª V g UL Uv º S hfg Uv « » 24 Uv 2 ¬ ¼

§q· Ä¸ © ¹max

1/ 4

§ Uv · ¨1 ¸ UL ¹ ©

1, 108 · 106 W / m2

En las cercanías del punto C (a la izquierda de este punto) el flujo es prácticamente el crítico. Además el tipo de ebullición es nucleada, por lo que también es de aplicación la correlación de Rohsenow: §q· Ä¸ © ¹eb _ nucl

ª g UL Uv º PLhfg « » V ¬ ¼

Para el agua: s = 1.0.

1/2

§ CpL 'T ¨¨ s © Csfhfg PrL

· ¸¸ ¹

3

Para el cobre: Csf = 0.013

Utilizando esta correlación con el valor del flujo máximo (q/A=1,108ͼ106W/m2), se puede despejar el salto térmico ѐT = 20ºC Nuevamente h

q 1 · A 'T

2 · 106 / 20

55000

calculado

previamente

W ebullición nucleada m2K

3) Al cambiar el material del cilindro caliente (latón por cobre): x x

El flujo de calor máximo no varía, pues no depende del material. Así, no varía la ordenada (q/A) del punto C. El flujo de calor en ebullición nucleada depende del coeficiente Csf, que pasaría de 0,013 (Cu) a 0,006 (latón), según la correlación de Kutateladze. Para un valor de (q/A)max constante, entonces la relación (ѐT/Csf) debe mantenerse constante por lo que … § 'T · ¨ ¸ © Csf ¹cobre

§ 'T · 'Tlatón ¨ ¸ © Csf ¹latón

9, 23 qC

Por consiguiente la abcisa ('T) correspondiente al punto C es menor. x

Finalmente, al reducirse el salto térmico ѐT entonces el coeficiente de convección aumentará: h

q 1 · A 'T

2 · 106

1 9, 23

119 000

W ebullición nucleada con latón m2K

ϭϰϬ


140


PROBLEMA47

Un generador de vapor está formado por un banco horizontal de 10 barras combustibles de 2 m de longitud (véase abajo la descripción de éstas) inmerso en un depósito de agua a la presión de 5,7 bar. Bajo ciertas condiciones de operación la temperatura superficial de los tubos es de 400ºC. En dichas condiciones calcular la potencia calorífica del combustible (W/m3) que sería capaz de disipar en régimen permanente. ¿Qué caudal (m3/h) de agua saturada a 5,7 bar sería necesario inyectar en el equipo para mantener las condiciones estables? Calcular asimismo la máxima temperatura alcanzada por el combustible en tales condiciones. Nota: Considérese el intercambio radiativo entre la superficie de las barras y el vapor generado. Detalle de las barras:

Elemento combustible

Diámetro exterior combustible: 11 mm Diámetro exterior vaina de acero: 14,5 mm Diámetro interior vaina de acero: 12,5 mm (entre combustible y vaina existe un pequeño huelgo) Conductividad de la pastilla de combustible: 2,5 W/m.K Conductividad del acero: 10 W/mͼK Resistencia térmica del huelgo: 0,02 mͼK/W Emisividad: 1 (superficie negra)

Huelgo (gap) Vaina

Propiedades del agua saturada a 5,7 bar Densidad Conductividad Viscosidad Calor específico Temp. saturación Calor latente cambio de fase

kg/m3 W/mͼK kg/mͼs J/kgͼK C J/kg

vapor 3,02 0,033 1,42ͼ10-5 2349 156,8 2092ͼ103

Líquido 910,6 0,667 1,74ͼ10-4 4330

Propiedades del vapor de agua a 5,7 bar y 280ºC Densidad Conductividad Viscosidad Calor específico

kg/m3 W/mͼK kg/mͼs J/kgͼK

Vapor 2,276 0,042 1,93ͼ10-5 2084

SOLUCIÓN

Se trata de una superficie caliente (400ºC) inmersa en un líquido en saturación, cuya temperatura es de 156,8ºC (TSAT a la presión de 5,7 bar), lo que ocasionará la ebullición del líquido en contacto con aquella. Esta ebullición es del tipo "ebullición en película" dada la importante diferencia existente entre Tsup y TSAT:: 'T = 243,2 K). Correlación de ebullición en película (en el exterior de la vaina de acero):

141 ϭϰϭ


ª g Uv (Ul Uv )(hfg 0, 8 Cpv 'T ) D3 º 0, 62 « » P v k v 't ¬« ¼»

hb D kv

NuD

1/ 4

hfg y UL a TSAT = 156,8ºC ;ǀĞƌƚĂďůĂϭͿ Resto propiedades a Tmp = 0,5 ͼ (Tsup + TSAT) = 278,4ºC y P = 5,7 bar ;ǀĞƌƚĂďůĂϮͿ Sustituyendo: 84,29 hb

Nu

321, 8

W m2K

Debe considerarse además el intercambio radiativo entre la superficie y la película de vapor generada en torno a ella:

hrad

Hsup ·V·

273 T sup

4

273 Tsat

4

1 · 5, 67 · 10 8 ·

Tsup Tsat

273 400

4

273 156,8

400 156,8

4

39, 9 º C

Combinando ambos términos, según la hipótesis de Bromley (cuando hrad < hb) hb

hmix

3 hrad 4

351, 7

W m2K

Entonces, la potencia de calor disipada es qbarra

hb · Abarra · 'T

hb · ( S De L )· Tsup Tsat

351, 7 · 0, 0911 · 243, 2

7792 W

Para 10 barras: qtotal = 10 ͼ q = 77 921 W En régimen permanente, el vapor generado debe ser remplazado por agua líquida saturada: qtotal

vapor · h´fg m vapor m

112, 3

kg h

Dicha masa de reposición corresponde a un caudal de líquido saturado: CL

L m UL

vapor m UL

0, 123

m3 h

Obviamente la potencia de calor disipada en el proceso de ebullición proviene de la fuente interna de calor de las barras combustibles (diámetro Dfuel ) por lo que: 2

qbarra

qgen

q* · Vfuel

§D · q * ·S ¨ fuel ¸ ͼ L q * © 2 ¹

4, 1 · 107

W m3

Al tratarse de un cilindro macizo con una fuente de calor interna uniformemente repartida, la distribución de temperatura en el interior del mismo es (T0 es la temperatura en el eje y TR es la temperatura en el radio exterior)

142 ϭϰϮ

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ q* · Dfuel 2

2

T0 TR

(*)

4 k fuel

TR puede obtenerse a partir de la temperatura superficial exterior de la envuelta de acero (transmisión de calor en cilindro multicapa sin fuente "huelgo+vaina") qbarra L

TR Tsup

ln De Di Rhue lg o 2 S k acero

TR

Y entrando en (*): T0 = 611,1 ºC

487, 1 º C


ϭϰϯ

143


PROBLEMA48

Se tiene un condensador formado por 20 tubos horizontales (4 en la misma vertical y 5 en la misma horizontal) de 1 m de longitud, diámetro exterior 3 cm y diámetro interior 2,5 cm. Exteriormente, los tubos se encuentran en un ambiente de vapor de agua saturado a 41,7ºC (hFG =2402 kJ/kg). El haz de tubos está refrigerado interiormente por un flujo de agua, de tal forma que su superficie exterior se mantiene constante a 32ºC. Determinar: 1) La potencia térmica que tiene que extraer el sistema de refrigeración. 2) Cantidad de condensado producido (kg/s) 3) Si el coeficiente de película por el interior de los tubos es hi = 7316 W/m2K, determinar la velocidad por el interior de los tubos y el salto térmico. Nota: Se asume el salto térmico despreciable en el tubo. El salto térmico en la capa límite interior es mayor de 6ºC. SOLUCIÓN

La superficie exterior de los tubos está en contacto con vapor que se encuentra a la temperatura de saturación de 41,7ºC, que es la que corresponde con una presión de 81 mbar en condiciones de saturación. En esa superficie exterior del tubo se producirá condensación entre la temperatura de saturación del vapor y la que mantiene la refrigeración interna en la superficie del tubo, que es de 32ºC. La correlación que se aplica a la condensación de tubos horizontales es:

NuD

hD k

ª g Ul (Ul Uv ) h'fg D3 º 0, 728 « » N P l k l 't ¬« ¼»

1/ 4

Siendo N el número de tubos en la misma vertical, que en este caso es 4. En las tablas de datos de agua saturada se obtienen los datos sobre las propiedades necesarias: la densidad del líquido y vapor saturado, la viscosidad ya la conductividad del fluido a la temperatura media, así como el calor específico y la entalpía de cambio de fase a la temperatura de saturación a la que se encuentra el vapor: UL = 993,3 kg/m3 UV = 0,043 kg/m3 ʅL = 69,37ͼ10-5kg/mͼs kL = 0,6134 W/mͼK cp L = 4183 J/kgͼK hfg = 2576 kJ/kg con ȴT=9,3ºC y D=0,03 m. El calor de cambio de fase corregido es: h 'fg

§ c 'T · hfg 1 0, 68 Ja hfg ¨ 1 0, 68 PL ¸ ¨ hfg ¸¹ ©

El número de Nusselt según esa correlación:

2429

kJ kg

144 ϭϰϰ


NuD = 368,2 Lo que lleva a un coeficiente de convección por condensación de: h

Nu · k D

368, 2 · 0, 6134 0, 03

7528

W m2K

Una vez obtenido el coeficiente de convección medio para la configuración indicada, el flujo de calor por condensación que se transfiere a través de la superficie exterior es: q ' h S D ( Ts Tw )

7528 S 0, 3 (41, 7 32)

6977

W m

La cantidad de condensado que se produce por unidad de longitud de tubo es:

m

q' h 'fg

2, 872 103

kg m· s

Este flujo de calor es el que se transfiere por convección forzada al agua de refrigeración, con lo que el salto térmico en el interior de los tubos será: Ts Ti

q' hi S Di

6977 7316 · S · 0, 025

12, 14 º C

La evaluación de la velocidad por la que circula el agua por el interior de los tubos se puede obtener a partir del Nusselt correspondiente a convención forzada en el interior de los tubos. Sabiendo que el salto es mayor de 6ºC, se tiene que una correlación aplicable es: NuD

§P· 0.027 ReD0.8 Pr 1/ 3 ¨ ¸ © Ps ¹

0.14

0,8

§ U UDi · 1/ 3 § P · 0.027 ¨ ¸ Pr ¨ ¸ P © ¹ © Ps ¹

0.14

hi · Di k

De donde se puede despejar la velocidad, y en donde hay que introducir las propiedades del agua a la temperatura de 20ºC, que son: k = 0,5896 W/mͼK, Pr = 6,774, Q= 9,57ͼ10-7 m2/s, ʅ = 95,49ͼ10-5 kg/mͼs, ʅs = 95,49ͼ10-5 kg/mͼs, obteniéndose una velocidad de 2 m/s.


ϭϰϱ

145


PROBLEMA49

Un equipo de laboratorio utilizado para visualizar los procesos de ebullición y condensación, consiste en un depósito cerrado de paredes transparentes que contiene agua saturada a presión atmosférica a 100ºC. En la parte inferior se encuentra sumergida horizontalmente una resistencia eléctrica de cobre pulido de 5 mm de diámetro y 30 cm de longitud que produce la ebullición del agua. En la parte superior, donde se acumula el vapor generado, se dispone un tubo horizontal de 60 cm de longitud y 30 mm de diámetro exterior por el que se hace circular un fluido refrigerante, produciéndose en su exterior la condensación del vapor, que se desprende y gotea a la zona inferior del depósito. Cuando se alcanza el régimen permanente se mide la potencia consumida en la resistencia resultando 2 kW, se ve que se está produciendo ebullición nucleada y condensación de película y se observa que se han igualado las velocidades de producción de vapor y de condensado. Determinar en esas condiciones: 1) Coeficiente de película en la superficie de la resistencia eléctrica. 2) Coeficiente de película en la superficie exterior del tubo. Propiedades de los fluidos: Vapor saturado a 100ºC ʌ (kg/m3) 0,5956

Agua líquida saturada a 100ºC ʌ (kg/m3) 958,1

ʅ (kg/mͼs) 0,2822 10-3

k (W/mͼK) 0,6775

cp (kJ/kgͼK) 4,215

Pr 1,76

hfg (kJ/kg) 2257

ʍ (N/m) 58,9 10-3

Agua condensada a la temperatura media de película ʌ (kg/m3) 958,8

ʅ (kg/mͼs) 0,2853 10-3

k (W/mͼK) 0,6771

cp (kJ/kgͼK) 4,214

Pr 1,78

Nota: Considerar que en la película de condensado h’fg = hfg puesto que su subenfriamiento es despreciable. SOLUCIÓN

1) Sobre la superficie de la resistencia eléctrica se está produciendo la ebullición del agua líquida saturada

Condensación

qe = 2000 W Ares = ʋ ͼ Dres ͼ Lres = ʋ ͼ 5 ͼ 10-3 ͼ 30 ͼ10-2 = 4,71 10-3 m2 q”e = qe/Ares = 424 413 W/m2 q”e = he ͼ ѐTe Es de aplicación la correlación de Rohsenow (ebullición nucleada):

Ebullición

146 ϭϰϲ

q "e

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ ª g (Ul UV ) º Pl hfg « » V ¬ ¼

1/2

§ cPL 'Te ¨¨ s © Csf hfg Prl

· ¸¸ ¹

3

Propiedades a TSAT (ver tablas de datos del enunciado) Para el cobre: Csf = 0,013 Para el agua: s=1 q "e

424413

Despejando:

ª 9, 81 (958, 1 0, 5956 ) º 0, 28 ·10 2257·10 « » 58, 9 · 10 3 ¬ ¼ 3

1/2

3

§ · 4, 215 · 103 'Te ¨ ¸ 3 0 , 013 2257 · 10 1 , 76 © ¹

3

ѐTe = 14,53ºC

Puesto que este calor es intercambiado por convección (ebullición), debe cumplirse la ley de Newton: q''e

424413 W

he · 'Te he

29209

W m2K

2) Sobre la superficie del tubo refrigerado se está produciendo la condensación del vapor saturado qc = 2000 W Atubo = ʋ ͼ Dtubo ͼ Ltubo = ʋ ͼ 30 10-3 ͼ 60 10-2 = 0,0565 m2 q''c

qc A tubo

35367, 77

W m2K

hc · 'Tc

(*)

Es de aplicación la correlación de Nusselt (condensación sobre tubo horizontal)

NuD

hcDtubo kliq

ª g Ul (Ul Uv ) h'fg D3tubo º 0, 728 « » N Pl kl 'Tc «¬ »¼

1/ 4

Propiedades del vapor a TSAT (ver datos de enunciado) Propiedades del líquido a Tmp (ver datos de enunciado) h’fg = hfg despreciando el subenfriamiento de la película líquida NuD

hc 30 · 10 3 0, 6771

ª 9, 81 958, 8 (958, 8 0, 5956 ) 2257 · 103 (30 ·10 3 )3 º 0, 728 « » 0, 2853 · 10 3 0, 6771 'Tc ¬ ¼

Con las ecuaciones (*) y (**), se pueden obtenerse las dos incógnitas : ѐTc = 1,96ºC hc = 18022 W/m2K

1/ 4

(**)

147

5. RADIACIÓN

ZĂĚŝĂĐŝſŶ

Radiación.

ϭϰϵ

149

PROBLEMA50

Se tiene un depósito formado por una superficie cilíndrica (denominada superficie 2) de 1 metro de diámetro y un metro de altura, que termina en dos superficies semiesféricas (denominadas superficies 1 y 3) del mismo diámetro que el cilindro (ver figura adjunta) Las superficies son adiabáticas por su parte exterior. Las superficies del depósito son superficies negras. Las temperaturas de las superficies son T1 = 900 K, T2 = 600 K y T3 = 300 K. En régimen permanente, se pide: 1) Todos los factores de forma del conjunto 2) Los calores totales intercambiados por las superficies 3) Los valores de fuentes o sumideros de las superficies, necesarios para mantener el conjunto en régimen permanente 4) Razonar sin cálculos cual debe ser la suma total de fuentes y sumideros del problema

SOLUCIÓN

1)Se incorporan al problema dos superficies virtuales, 1’ y 3’, círculos que delimitan las regiones semiesféricas, y que servirán para facilitar el cálculo de los factores de forma. Recinto 11’: En este caso la superficie 1’ se estudia por su cara superior. Dicha superficie no se ve a sí misma, y aplicando la propiedad de recinto cerrado:

F1'1'

0

F1'1' F1'1

½ ¾ F1'1 1¿

1

Aplicando reciprocidad:

A 1F11'

A 1'F1'1 F11'

A 1' F1'1 A1

D2 4 ͼ 1 0,5 D2 2S 4 S

F11' F12 F13 0,5½ ¾ F11 1 F12 F13 0,5 F33 (por F11 F12 F13 1 ¿ simetría) Recinto 1’23’: en este caso, la superficie 1’ se estudia por su cara inferior, y la 3’ por su cara superior

L / r1 1 / 0,5 2 ½ Gráfica F1'3' o ® ¾ o F1'3' ¯r2 / L 0,5 / 1 0,5¿

0,16 F3'1'

150 ϭϱϬ F1'1' F1'3' F1'1'

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ 0

0 ,16 F1'2 F1'3'

½ ° ¾ F1'2 1°¿

A 2F21'

A 1'F1'2 F21'

A 1F12

A 2F21 F12

1 F1'3'

0 ,84

D2 4 ͼ 0,84 0 ,21 F F23 21 SDL

S

A 1' F1'2 A2

SDL ͼ 0,21 0 ,42 F32 D2 S 4

A1 F12 A2

Recinto 123:

F11 F12 F13 1 F13 1 F11 F12 1 0,5 0,42 0,08 F31

F22 F21 F23 1 F22 1 F21 F23 1 0,21 0,21 0,58 F33 F32 F31 1 F33 1 F32 F31 1 0,42 0,08 0,5 Por tanto, los factores de forma son:

F11

0 ,5

F21

0 ,21

F12 F13

0 ,42 0 ,08

F22 F23

0 ,58 0 ,21

F31 F32 F33

0,08 0,42 0,5

2)

q11 q22 q33 0 W

q12

A 1F12 V T14 T24

4542,64 W

q13

A 1F13 V T14 T34

4614 ,74 W

q21

q12

q23

A 2F23 V T24 T34

q31

q13

4614 ,74 W

q32

q23

19694 ,76 W

4542,64 W

19694 ,76 W

3) Superficie 1:

q12 q13

4542,64 W ½ * ¾ q1 4614 ,74 W ¿

q12 q13

9157,38 W (SUMIDERO)

Radiación. ZĂĚŝĂĐŝſŶ

151 ϭϱϭ

Superficie 2:

q21 q23

4542,64 W ½ * ¾ q2 19694 ,76 W ¿

q21 q23

15152,12 W (SUMIDERO)

Superficie 3:

4614 ,74 W ½ * ¾ q3 q32 19694 ,76 W ¿ q31

q31 q32

24309,5 W (FUENTE)

4)

q*1 q*2 q*3

0

La suma de fuentes y sumideros debe ser igual a cero ya que se trata de un recinto adiabático en régimen permanente.

ϭϱϮ


152


PROBLEMA51

Sea un hexaedro de un metro de lado. 1) Determinar los factores de forma interiores del mismo Si una de las superficies verticales se encuentra a 263,3qC, su suelo a 90qC, y el resto están perfectamente aislados y a temperatura de 200qC, determinar: 2) El calor que se transmite del recinto al suelo por radiación NOTA: Considérense todas las superficies negras.

SOLUCIÓN

1)Factor de forma con que 1 ve a 2: X D Y D

1 ½ 1 1 °° Figura o F12 ¾ 1 ° 1 1 °¿

Por simetría: F12

F13

0,2

F15

F16

0,2

Por propiedad de recinto F14 1 F12 F13 F15 F16 0,2

cerrado:

Es decir: x

Fij

0 ,2 (con arista común o enfrentadas)

x

Fii

0 (ninguna de las superficies se ve a sí misma

2) El calor neto que recibe el suelo (superficie 2) se puede calcular como toda la radiación que abandona la superficie menos toda la que le llega de las demás superficies:

q2

J2 F12 ͼJ1 F32 ͼJ3 F42 ͼJ4 F52 ͼJ5 F62 ͼJ6 A 2


Donde las radiosidades: Ji resto.

J1

4697,3 W/m 2

J2

986 ,1 W/m 2

J3

J4

J5

J6

153 ϭϱϯ

VͼTi4 al ser negras las superficies 1 y 2, y adiabáticas rerradiantes el

2841,7 W/m 2

986 ,1 0 ,2ͼ4697,3 4 ͼ 2841,7 2226 ,7 W (Lógicamente entrante)

q2

Puede comprobarse que todo el calor proviene de la superficie 1:

q1

J1 F21 ͼJ2 F31 ͼJ3 F41 ͼJ4 F51 ͼJ5 F61 ͼJ6 A1

4697,3 0,2ͼ(986,1 2841,7ͼ4) 2226,7W

O que cualquiera de las superficies adiabáticas rerradiantes presentan balance neto 0 por radiación:

q3

J

3

F13 ͼ J1 F23 ͼJ2 F43 ͼJ4 F53 ͼJ5 F63 ͼJ6 A 1 2841,7 0,2ͼ(4697,3 986,1 2841,7ͼ3) 0 W

ϭϱϰ


154


PROBLEMA52

Dos cilindros concéntricos de 10 y 20 cm de radio tienen 20 cm de longitud. El cilindro interior es macizo y el exterior, hueco. Calcular el factor de forma entre los espacios anulares de los extremos. SOLUCIÓN

Notación: x x x

1: superficie exterior del cilindro interior 2: superficie interior del cilindro exterior 3 y 4: superficies anulares de los dos extremos del cilindro

OBJETIVO: F34 Datos: r1= 0,1 m; r2=0,2 m; Longitud del conjunto (L)= 0,2 m F33 = 0 por no verse a sí misma. Así, por la propiedad de recinto: F31 + F32 +F34 = 1

Deben determinarse F31y F32. Comenzando por el factor de forma F31: F12 F13 F14

1 ; como F13 = F14 , despejando: F12 2 · F13

1 F13

1 F12 2

F12 se obtiene a partir de su recíproco F21 del gráfico adjunto, en función de :

R1

r1 r2

0, 5

R2

L r2

0, 2 0, 2

F12

A2 F21 A1

½ ° ° ¾ F21 # 0, 33 1° °¿ S ·d2 · L F21 2 · F21 0, 66 S · d1 ·L

Y por consiguiente F13

1 0, 66 2

0, 17

Interesa su recíproco, F31: F31

A1 F13 A3

S ·d1 · L

S · d22 d12

F13

4 · 0, 2 · 0, 2 · 0, 17 0, 42 0, 22

0, 23

4 Para calcular F32 se realiza un proceso análogo, evaluando su recíproco F23, a partir de la propiedad de recinto cerrado: F21 F22 F23 F24

F21 F22 2 · F23

1 F23

1 F21 F22 2

Otra vez acudiendo a la gráfica de los factores de forma:

1 0, 33 F22 2

155 ϭϱϱ


R1

r1 r2

0, 5

R2

L r2

0, 2 0, 2

F32

A2 F23 A3

½ ° ° ¾ F22 0, 23 F23 1° °¿ S ·d2 · L

S · d22 d12

F23

1 0, 33 0, 23 2

4 · 0, 4 · 0, 2 · 0, 22 0, 42 0, 22

0, 22

0, 587

4 Entrando en la expresión: F31 F32 F34 = 1 F34

1 F31 F32

1 0, 23 0, 587

0, 183

ϭϱϲ


156


PROBLEMA53

Se desea estudiar el comportamiento térmico del interior de un recinto cilíndrico al vacío de radio y altura iguales a 1 m. La tapa circular (superficie 1), de emisividad 0,8, se mantiene a 700 K. La base del cilindro (superficie 2), de emisividad 0,4, se mantiene a 500 K. La superficie lateral (superficie 3), que se comporta como un cuerpo negro, se mantiene a 400 K. Determinar el flujo de radiación neto en cada superficie en condiciones estacionarias, indicando qué superficies se comportan como fuentes y qué superficies se comportan como sumideros de calor. SOLUCIÓN

Se tiene una superficie cilíndrica con las siguientes emisividades: H1=0,8, H2=0,4 y H3=1.

1 3 2 Para obtener el factor de forma entre las dos caras circulares paralelas que forman la superficie cilíndrica se tiene que el radio de cada una de las caras es 1 m, y la altura 1 m, con lo que entrando a la figura adjunta con L/r1 =1, y r2/L=1 se tiene que: F1-2=F2-1=0,38 Siendo además F1-1=0 y F2-2=0, ya que las superficies 1 y 2 no se ven a sí mismas F12 (convexas) Con estos dos factores de forma se puede obtener el resto de los factores de forma que afectan al estudio del interior del volumen cilíndrico. F11 F12 F13

1 F13

1 0, 38

0, 62

F21 F22 F23

1 F23

1 0, 38

0, 62

Por la propiedad de reciprocidad entre factores de forma: A1 F13 F31

A1 F13 A3

A 3 F31

S r12 F13 2 S r1 L

r1 F13 2L

F13 2

0, 31

F3-2=F3-1=0,31 F31 F32 F33

1 F33

1 0, 31 0, 31

0, 38

Para el cálculo del calor neto que se transfiere por cada superficie se aborda el cálculo de la radiosidad en cada superficie que responde a la expresión:

ZĂĚŝĂĐŝſŶ

ϭϱϳ

157

Radiación. Ji

HiEbi 1 Hi Gi

para i=1,2,3

Siendo Ebi la emisión del cuerpo negro a la temperatura de la superficie V Ti4

Ebi

En donde al tratarse de un recinto cerrado se cumple que: Ai Gi

3

¦F

ji

A j Jj

para i=1,2,3

j 1

Dando lugar al siguiente sistema de ecuaciones: A1 J1

A1 H1 V T14 1 H1 A 2 F21 J2 A 3 F31 J3

A2 J2

A2 H2 V T24 1 H2 A1 F12 J1 A 3 F32 J3 J3

Eb3

V T34

El área de cada una de las superficies que forman el interior del cilindro son: S r2

A1

A2

A3

2 S r L

S m2 2 S m2

En donde todo es conocido menos las radiosidades J1, J2 y J3. La de la superficie 3 se obtiene directamente de la temperatura de la superficie: J3=1451 W/m2 con lo que queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya solución es: J1=11416 W/m2 J2=4560 W/m2 Una vez obtenidas las radiosidades se puede obtener el flujo de calor neto por la superficie a través del balance global de calor a través de cada superficie.

q3

q1

A1 J1 A2 F21 J2 A 3 F31 J3

26637 W q1" 8478 W / m2

q2

A 2 J2 A1 F12 J1 A 3 F32 J3

2131 W q2"

A 3 J3 A1 F13 J3 A 2 F23 J2 A 3 F33 J3

678 W / m2

25506 W q"3

4059 W / m2

Este resultado viene a indicar que la superficie 1 a 700 K está siendo calefactada desde el exterior por algún sistema que le aporta los 26737 W, transmitiendo ese calor por radiación a las otras dos superficies que tendrán que ser refrigeradas de tal forma que las extraigan 2131 y 25506 W para mantener el régimen de temperaturas establecido.

158 ϭϱϴ


PROBLEMA54

Se dispone un largo conducto de sección triangular la indicada en la figura, formado por superficies grises. Determinar el calor neto entrante por radiación a la superficie 1, por metro de longitud de conducto. Si en el interior del conducto hay aire en calma, y el coeficiente de película interior para todas las superficies es de 3 W/m2K, calcúlese el calor neto entrante por convección a la superficie 1.

SOLUCIÓN

1) Calor por radiación Recinto de tres superficies grises. Al ser de las mismas características y temperaturas las superficies 2 y 3, pueden considerarse como una superficie única (4), de doble área. Intercambio entre recintos de dos superficies grises: El factor de forma F14 = 1. El calor neto que abandona la superficie 1, para profundidad unidad, es:

q14

Eb1 Eb4 1 H1 1 H2 1 H1 A 1 A1F14 H2 A 4

V

T

4 1

T44

1 H1 1 H2 1 H1 A1 A1F14 H2 A 4

5, 67· 108 4004 7004

1 0, 25 1 1 0, 5 0, 25 · 0, 5 · 1 0, 5 · 1 · 1 0, 5 · 1 · 1

1351, 35 W

El signo menos significa que el calor es entrante. 2) Calor por convección Efectuando un balance energético: q2F q3F

A2 A 3

T2 T3 qF1 h · A 2 ( T2 TF ) h · A 3 ( T3 TF ) h · A1 ( TF T1 ) o 2 A 2 ( T2 TF )

2T2 T1 600K 3 por consiguiente, el calor entrante por convección es: 2 A 2 ( T2 TF )

qF1

A1 ( TF T1 ) TF

h · A1 ( TF T1 ) 3 · 0, 5 · 1 · 600 400 1)

300 W

Solución al apartado 1 por teoría de recintos

a) Cálculo de las radiosidades Al tratarse de superficies grises y conocerse las temperaturas se aplica:

A1 ( TF T1 )

Y

159 ϭϱϵ


Hi Ebi Ji 1 Hi

Ji ¦ Fij Jj j

H1 Eb1 J1 1 H1

J1 ¦ F1j Jj

H2 Eb2 J2 1 H2

J2 ¦ F2 j Jj VT24 J2

H3 Eb3 J3 1 H3

J3 ¦ F3j Jj VT34 J3

j

1 VT14 J1 3

J1 0, 5 J2 0, 5 J3

J2 0, 5 J1 0, 5 J3

J3 0, 5 J1 0, 5 J2

j

j

Restando las dos últimas ecuaciones, al ser las temperaturas T2 y T3 iguales: J2 J3

J2 0, 5 J3 J3 0, 5 J2 J2

J3

(resultado que podría haberse adelantado por simetría del problema. Así, quedan dos ecuaciones:

1 VT14 J1 3

VT

4 2

J2

J1 J2 0, 5 J2 0, 5 J1 J2

VT24 0, 5 J1 1, 5

Entrando en la primera: VT 4 0, 5 J1 VT 4 VT 4 1 VT14 J1 J1 2 1 2 3 1, 5 3 1, 5 Y sustituyendo en la expresión de J2:

J2

V7004 0, 5 ·9559, 62 1, 5

12262, 32

0, 5 · §1 J1 ¨ 1 1, 5 ¸¹ ©3

J1 J1

VT14 VT24 3 1, 5

9559, 62

W m2

b) El calor neto que abandona la superficie 1 es: q1

§ · A1 ¨ J1 ¦ F1j Jj ¸ j © ¹

A1 J1 F12 J2 F13 J3

0, 5 · 1 (9559, 62 0, 5 ·12262, 32 · 2)

1351, 35 W

W m2

ϭϲϬ


160


PROBLEMA55

Se tiene un horno con la forma que se muestra en la figura, compuesto por una pared lateral cilíndrica de 1 m de altura, con base circular de 50 cm de radio y parte superior semiesférica. La base del horno tiene una emisividad de 0,7, manteniéndose a temperatura constante de 1000 K mediante un aporte de potencia de 2200 W/m2. La pared lateral está perfectamente aislada, con una emisividad de 0,3. La superficie semiesférica superior tiene una emisividad de 0,5. Determinar las temperaturas de la superficie semiesférica y la superficie lateral. SOLUCIÓN

Se trata de un recinto formado la base (1), la cara cilíndrica lateral (2), y la superficie semiesférica superior (3). La evaluación del intercambio radiante entre esas superficies responde al modelo-símil eléctrico que se indica en la figura, con: 2200 S r2

q1

2200·A

q2

0 (adiabática)

R12

1 A1 F12

R13

1 A1 F13

R23

1 A 2 F23

1728 W

q1 Eb1 Rb1 J1

Rbi

1 Hi A i Hi

A1

S r2

0, 7854 m2

A2

S r L

3, 142 m2

i 1, 2, 3

R13

R12

q2

J2 Eb2

Rb2

q3

J3 R23

Rb3

Eb3

Para la evaluación de los factores de forma en el interior de este recinto se puede realizar la simplificación de la que superficie semiesférica de la parte superior es equivalente, desde el punto de vista de intercambio térmico interior, a la consideración del circulo que forma en contacto con el cilindro (concepto de superficie virtual). Teniendo esto en cuenta, la evaluación de los factores de forma y los flujos de calor totales se realiza para la figura equivalente siguiente: Siguiendo el criterio de numeración de las superficies que se ha indicado al principio de la solución, la superficie 1 corresponde a la base de ese cilindro, por la que se aplica el calor que la mantiene a 1000 K, la superficie 2 es la superficie cilíndrica lateral adiabática, y la superficie 3 es el circulo superior, que sustituye a la semiesfera.

3

2

Los factores de forma se obtienen de la siguiente forma:

1

Por no verse a sí mismas (convexas): F11=F33=0

161 ϭϲϭ


El factor de forma F13 se obtiene de la figura adjunta con r1=r2=0,5 m y L=1 m. También puede obtenerse de la fórmula que precisamente se representa en la figura, que conduce al valor exacto: F12

F13=0,1716 De la propiedad de recinto cerrado aplicado a la superficie 1, se obtiene:

F12=0,8284

Por simetría F23=F21, y por reciprocidad A1 F12

A2 F21 o F23

F21

A1 F12 A2

Sr2 F12 2SrL

0, 5 0, 8284 2 ·1

0, 2071

Ya se dispone de los 3 factores de forma que entran en la definición de las resistencias térmicas necesarias para evaluar las ecuaciones de balance de energía en cada uno de los nodos que representan la radiosidad (Ji) en cada superficie. Hay que tener en cuenta que todo el calor que entra saldrá por la superficie 3, al ser la superficie 2 adiabática y q1+q2+q3=0 Eb1 J1 Rb1

J1 J2 J1 J3 R12 R13

1728

Eb2 J2 Rb2

J2 J1 J2 J3 R12 R23

0

Eb3 J3 Rb3

J3 J2 J3 J1 R23 R13

1728

V T14

5, 67 108 10004

En donde: Eb1

56696

W m2

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene: J1=55753 W/m2

J2=53975 W/m2

J3= 51998 W/m2

A partir de las radiosidades se obtienen las temperaturas en cada una de las superficies pedidas a través de la expresión que se tiene a la izquierda de las ecuaciones descritas: T3

4

J3 1728 · Rb3 V

T2

4

J2 V

987, 3 K

968, 1 K

ϭϲϮ

162



PROBLEMA56

Se tiene un horno de forma cúbica 5 x 5 x 5 m, formado por superficies grises respecto a la radiación. La base, el techo y las paredes laterales se mantienen a una temperatura de 800, 900 y 600 K, respectivamente, con emisividades respectivas de 0,9, 0,8 y 0,7. Determinar: 1) El flujo neto de intercambio de calor por radiación entre la base y las paredes laterales. 2) El flujo neto de intercambio de calor por radiación entre la base y el techo. 3) El flujo neto de calor por radiación que capturan las paredes laterales. SOLUCIÓN

(2) techo T=900 K H 0,8

Se trata de un problema de radiación en un recinto cerrado formado por un cubo, con las características que se indican en la figura, en la que se llamará superficie “1” a la base, “2” al techo y “3” al conjunto de las superficies laterales que se pueden tratar como una sola. Esta configuración corresponde a un símil eléctrico de radiación como el de la siguiente figura, a partir del cual se puede establecer el calor que se transfiere desde cada una de las superficies.

El primer paso es establecer los factores de forma entre cada una de las superficies. El factor de forma entre el techo y la base se obtiene a partir de la figura para X/D=Y/D=1, siendo F1-2=F2-1=0,2 Siendo además F1-1=0 y F2-2=0 al ser superficies planas Con estos dos factores de forma se pueden obtener el conjunto de todos los factores de forma que afectan al estudio del interior de la superficie cúbica.

(3) lateral T=600 K H 0,7 (1) base T=800 K H 0,9

163 ϭϲϯ


F11 F12 F13

1 F13

1 0, 2

0, 8

F21 F22 F23

1 F23

1 0, 2

0, 8

Por la propiedad de reciprocidad entre factores de forma: A1 F13 F31

A 3 F31

L2 F13 4 L2

A1 F13 A3

0, 25 F13

0, 2

F3-2=F3-1=0,2 F31 F32 F33

1 F33

1 0, 2 0, 2

0, 6

Con lo que ya se tienen todos los factores de forma entre las diversas superficies del interior del cilindro del problema. Al tratarse de un recinto cerrado se cumple que para cada una de las superficies del horno se debe cumplir: Ai Gi

3

¦F

j i

A j Jj

para i=1..3

j 1

En donde las radiosidades se definen como: Ji

Hi V Ti4 1 Hi Gi

para i=1..3

Dando lugar al sistema de ecuaciones:

A 3 J3

A1 J1

A1 H1 V T14 1 H1 A 2 F21 J2 A 3 F31 J3

A2 J2

A2 H2 V T24 1 H2 A1 F12 J1 A 3 F32 J3

A 3 H3 V T34 1 H3 A1 F13 J1 A2 F2 3 J2 A 3 F3 3 J3

En este sistema de ecuaciones las áreas de cada una de las superficies se obtienen de las características geométricas del horno. A1

A2

A3

4 L2

L2

25 m2

100 m2

Con lo que conocidos los factores de forma y las áreas se puede resolver el sistema para obtener las radiosidades de cada una de las superficies, obteniéndose: J1=21631 W/m2 J2=34743 W/m2 J3=10397 W/m2

164 ϭϲϰ


El intercambio de calor neto entre la base y las paredes laterales se obtiene como: A1 F13 J1 J3

q13

224, 68 kW

El intercambio de calor entre la base y el techo es: A1 F12 J1 J2

q12

65, 56 kW

El flujo de calor que capturan las paredes laterales será el que reciben del techo y de la base. En esta ocasión se adopta el criterio de que el calor absorbido sea positivo como el que se transfiere desde la base y el techo hacia las paredes.

q3

q13 q23

El de la base será el calculado q12, y falta evaluar el calor neto transferido desde el techo a las paredes laterales: A2 F23 J2 J3

q23

486, 92 kW

El calor total capturado por las paredes laterales es entonces: q3

q13 q23

711, 60 kW

ZĂĚŝĂĐŝſŶ

ϭϲϱ

165

Radiación.

PROBLEMA57

El recinto de la figura, aislado por su cara superior externa, tiene un aporte continuo y uniforme de energía eléctrica desde la cara interior de la superficie superior (1). La solera (3) es adiabática rerradiante, y tanto la superficie 1 como todas las superficies laterales (2) pueden considerarse grises. 1) Determinar la potencia eléctrica a aportar desde la superficie 1 y la temperatura de equilibrio de la superficie 3 para mantener el régimen permanente, despreciando todo efecto convectivo. 2) Considérese el recinto ocupado por un gas transparente a la radiación, y coeficiente de transmisión de calor por convección medio de 4 W/m2K para todas las superficies. Determinar la temperatura del gas de relleno, permaneciendo constantes las temperaturas superficiales resultantes del apartado 1.

1m 1

m

0,25 m

SUPERFICIE INFERIOR: 3

1

T1=700 K T2=500 K 1=0,9

H H =0,3 2

LAS 4 CARAS LATERALES: 2

SOLUCIÓN

1) Se trata de un recinto cerrado formado por tres superficies (dos grises y una rerradiante), con dimensiones: a=b=1 m; c=0,25 m Previamente se definen los parámetros geométricos: A1= A2= A3=1 m2 El factor de forma F13 se calcula con la gráfica adjunta (rectángulos paralelos alineados). X D donde Y D

1 0, 25 1 0, 25

½ 4° ° ¾ F13 4° °¿

F31 0, 6

Si se aplicase la fórmula exacta, resultaría: F13 = F31 = 0,632 El resto de factores de forma se calculan teniendo en cuenta la simetría del conjunto (F12=F32), la propiedad de recinto cerrado (F11+F12+F13=1) y las relaciones de reciprocidad (A1ͼF12=A2ͼF21). Así : F11=0;

166 ϭϲϲ


F12=1-F13= 1-0,632= 0,368 A1F12

A2F21 F21

F21 F22 F23

0, 368

1 F22

F23

1 2·F21

0, 2641

F33=0 En primer lugar se determinan las radiosidades:

H1 Eb1 J1 1 H1

J1 F12 J2 F13 J3

H2 Eb2 J2 1 H2

J2 F21 J1 F22 J2 F23 J3

0

J3 F31 J1 F32 J2

Las potencias emisivas son: Eb1

V T14

Eb2

V T24

Eb3

V T34 (adiabática rerradiante)

El sistema queda:

J1 0, 368 J2 0, 632 J3

J2 0, 368 J1 0, 264 J2 0, 368 J3

0, 9 5, 67· 10 8 ·7004 J1 1 0, 9 0, 3 5, 67· 10 8 ·5004 J2 1 0, 3 0

J3 0, 632 J1 0, 368 J2

Cuyas soluciones son: J1

13341 W / m2

J2

9261 W / m2

J3

11840 W / m2

Una vez conocidas las radiosidades, se calcula el calor neto que abandona la superficie 1: q1

A1 · J1 F12 J2 F13 J3

2450 W

2) Efectuando un balance convectivo en el gas: h A1 T1 TG h A 2 T2 TG h A 3 T3 TG T1 T2 T3 3TG

0 TG

T1 T2 T3 3

0 (*)

T3 se obtiene a partir de la ecuación de la radiosidad de la superficie rerradiante: J3 Y sustituyendo en (*): TG=625,3 K

11840 W / m2

V T34 T3

676K

ZĂĚŝĂĐŝſŶ

Radiación.

ϭϲϳ

167

PROBLEMA58

Un recinto de las dimensiones de la figura se calienta mediante suelo radiante, de tal manera que en régimen permanente la temperatura del suelo (sup. nº1) es de 40ºC, las paredes y techo se mantienen a 20ºC y la ventana(sup. nº2) a 10ºC. Calcular el aporte radiante necesario para mantener las citadas condiciones, sin tener en cuenta efectos conductivos o convectivos. Considérense los siguientes casos: 1) Todas las superficies, incluso la ventana, son superficies negras 2) La ventana es negra, pero suelo y paredes son grises, de emisividad 0,9.

SOLUCIÓN

Superficie 1 (suelo) T1=313,15 K Superficie 2 (ventana) T2=283,15 K Superficie 3 (resto de cerramientos) T3=293,15 K 1) Recinto de superficies negras. El calor neto intercambiado por radiación por la superficie “1” es:

q1

§

N

·

©

j 1

¹

A1 ¨¨ J1 ¦ F1j Jj ¸¸

A1 ( J1 F12 J2 F13 J3 )

Se necesitan las radiosidades y los factores de forma.

Eb1

V T14

Eb2

V T24

Eb3

V T34

W J m2 1 W 364, 46 2 J2 m W 418, 74 2 J3 m 545, 2

ϭϲϴ


168


Para el factor de forma entre suelo y ventana, acudiendo a la figura correspondiente: R1 R2

Y X Z X

10 ½ 2 ° ° 5 ¾ F12 2, 5 0, 5° °¿ 5

R1

Y/X

Fij

0, 08

El suelo ve al resto de los cerramientos con el siguiente factor: F13=1-F12 = 1-0,08 = 0,92

R2

Por tanto:

q1

Z/X

A1 ( J1 F12 J2 F13 J3 ) 50 (545, 2 0, 08·364, 46 0, 92·418, 74) 6540, 12 W

2) Recinto con superficies grises y negras. El calor neto tiene la expresión: A 1 · H1 Eb1 J1 1 H1

q1

Es necesario calcular la radiosidad de la superficie gris “1”, el suelo. Para superficies grises se cumple:

Hi E J 1 Hi bi i

Ji ¦ Fij Jj j

Por consiguiente debe plantearse el siguiente sistema de ecuaciones

H1 ½ E J J1 ¦ F1jJj J1 F12 J2 F13 J3 ° 1 H1 b1 1 j ° ¾ (*) H3 Eb3 J3 J3 ¦ F3j Jj J3 F31 J1 F32 J2 F33 J3 ° °¿ 1 H3 j La radiosidad de la superficie “2” (ventana) es conocida, ya que se mantiene como superficie negra: J2

Eb2

364, 5 W / m2

Para resolver el sistema de dos ecuaciones es necesario calcular factores de forma adicionales: A1F13

A 3F31 F31

A1 F13 A3

50 ·0, 92 142, 5

0, 323

169 ϭϲϵ


F21 F23

1 F23

A 2F23

1 F21

1

A2 F23 A3

A 3F32 F32

F31 F32 F33

A1 F12 A2

1 F33

1

50 ·0, 08 12, 5

12, 5 ·0, 68 142, 5

1 0, 06 0, 323

0, 68

0, 06

0, 617

Introduciendo estos valores en el sistema (*) se obtienen: J1

503, 9 W / m2

J3

411, 7 W / m2

Entrando en la ecuación del calor neto: q1

A 1 · H1 Eb1 J1 1 H1

50 · 0, 7 545, 2 503, 9 1 0, 7

4803 W

ϭϳϬ


170


PROBLEMA59

Una fuente eléctrica en forma de disco de 0,20 m de diámetro, perfectamente aislada por su parte superior, irradia calor sobre otro disco de mayor diámetro (0,50 m) ubicado 50 cm bajo el primero y con un aislamiento en su cara inferior tal que las pérdidas de calor por dicha cara se estiman en 100 W/m2. Ambos discos se encuentran en un recinto de temperatura 300 K (despréciese la transmisión de calor por convección). Si se quiere mantener una temperatura superficial de 473 K en el disco inferior, y considerando los discos como superficies negras, calcular la potencia de la fuente así como la temperatura que alcanzará el disco superior. Calcular la potencia térmica absorbida por el entorno. ¿Qué ocurriría si el disco inferior se comportase como una superficie gris con emisividad de 0,7? Razone la respuesta sin necesidad de rehacer los cálculos SOLUCIÓN

El problema debe tratarse como un recinto formado por tres superficies: el disco superior, el disco inferior (a temperatura de 473 K) y el contorno lateral (superficie virtual a la temperatura del entorno, 300 K). El disco superior irradia calor hacia el disco inferior gracias a la aportación externa de calor (potencia eléctrica), suficiente para mantener la temperatura del disco inferior en 473 K.

1 3 2

Inevitablemente, los discos 1 y 2 irradian hacia el entorno. Además existe un flujo de calor de pérdidas a través del disco 2 de 100 W/m2. Dado que se trata de superficies negras, entonces el circuito térmico equivalente del problema es el siguiente: q1

->@ 1 A1F13

1 A1F12

q3

->@ ->@ 1 A2F23

->@

q2

Donde:

q1 es la aportación eléctrica externa

q3 son las pérdidas de calor hacia el entorno.

171 ϭϳϭ


Ji son radiosidades, que se pueden relacionar en este caso directamente con emisiones de superficies negras: Ji

Ebi

VͼTi4

Cálculo de las superficies de los discos:

°A 1 ° ® °A °¯ 2

D12 4 D2 S 2 4

S

0,03142 m2 0,1963 m2

Para resolver el problema es necesario determinar los factores de forma entre superficies: F12 ї discos coaxiales paralelos (gráficamente o mediante fórmula), F12 = 0,195 F13 ї propiedad de recinto cerrado. F12 + F13 = 1 F13 = 0,805 F21 ї relación de reciprocidad. A1ͼF12 = A2ͼF21 F21 = 0,0312 F23 ї propiedad de recinto cerrado. F21 + F23 = 1 F23 = 0,9688 Datos:

J2

VͼT24

Vͼ4734

J3

VͼT34

Vͼ300 4

q2

100ͼA 2

19,63 W

Balance en el nodo 2:

q2

J2 J1 J2 J3 q2 1 1 A 1 ͼF12 A 2 ͼF23

19 ,63

V T24 T34 V T24 T14 163,21 5,26

V 473 4 T14 V 473 4 300 4 T1 163,21 5,26

1090 K

Balance en el nodo 1:

q1

J1 J2 J1 J3 1 1 A 1 ͼF12 A 1 ͼF13

V T14 T24 V T14 T34 163,21 39,54

V 1090 4 4734 V 1090 4 300 4 163,21 39,54 Balance en el nodo 3:

q1 q 2 q 3

0 q3

2462 W

2482 W

172 ϭϳϮ


Si el disco inferior se comportase como una superficie gris, ésta absorbería solo una fracción de la radiación que le llega desde el disco 1, por lo que, para mantener su temperatura de 473K, sería necesaria una mayor emisión desde el disco 1. Para ello éste debiera tener más temperatura y por tanto, debiera haber una aportación externa mayor que en el caso anterior. En efecto, resolviendo el ejercicio para H 2

0,7 resultaría: T1

1094 K ; q1

2524 W

ZĂĚŝĂĐŝſŶ

Radiación.

ϭϳϯ

173

PROBLEMA60

Un recinto con forma de prisma de base cuadrada con las dimensiones indicadas en la figura está afectado por las condiciones de contorno que se indican en la misma. Se busca conocer la temperatura de la base inferior y su calor neto intercambiado, así como si dicha superficie absorbe o cede calor. Para ello se seguirán los siguientes pasos: 1) Determinar los factores de forma: F13, F12 y F22. 2) Plantear el intercambio radiante en el recinto: determine las expresiones que relacionan las radiosidad de cada una de las superficies del recinto con las radiosidades del resto de superficies y con los calores netos que abandonan o reciben cada una de las superficies del recinto definidas como 1, 2 y 3 3) Obtener una expresión para el balance de energía a la superficie 1, supuesto que su resistencia térmica interior es despreciable, en función de los datos del enunciado y las incógnitas pertinentes. 4) Calor que pasa a través de la superficie 1 y su sentido. 5) Valor de la temperatura de la base inferior y calor que la atraviesa NOTAS:

Entre bases y superficies laterales no existe conducción a través de las aristas Las superficies laterales están perfectamente aisladas Todas las superficies del recinto son opacas Régimen permanente

SOLUCIÓN

1) Para la resolución de los factores de forma del recinto descrito en la figura existen varios métodos. El elegido es el que hace uso de las figuras, en concreto la que recoge el factor de forma entre rectángulos paralelos. Con los valores del enunciado resulta: X D

Y D

1 4 F13 | 0, 65 y por simetría 0, 25 F13 F31

174 ϭϳϰ


Aplicando la propiedad de recinto (las superficies que constituyen las bases son planas por lo que F11 y F33 toman valor 0) se obtiene el factor de forma entre una base y las superficies laterales: F12

1 F13

0, 35 y por simetría F12

F32

Aplicando la propiedad de recinto a las superficies laterales: 1 F21 F22 F23

(*)

F21 y F23 por simetría toman el mismo valor. Aplicando la propiedad de reciprocidad a F12 se obtiene F21, y por simetría F23:

F12 ·A1

F21 ·A2

Donde A1 = 1m2 y A2 = 4 ͼ 0,25m ͼ 1m = 1 m2; F21 = F23 = 0,3. Volviendo a (*) se obtiene F22=0,35 2) Para la determinación de las ecuaciones de las radiosidades, que sirve para evaluar el balance radiativo entre las superficies del recinto, se utilizan las expresiones del calor neto intercambiado por superficies grises: Ebi Ji 1 Hi Hi ·A i

qi

N

¦ j 1

Ji Jj

A ·F

(**)

1

i ij

pudiéndose generar las siguientes expresiones: V·T14 J1 1 H1 H1 ·A1

q1

q2

0 V·T24 J2

J1 Jj

N

¦ j 1

A ·F

N

0; ¦ j 1

V·T34 J3 1 H3 H3 ·A 3

q3

1

1 1j

N

¦ j 1

J2 Jj

A ·F

1

0

2 2j

J3 Jj

A ·F

1

3 3j

Desarrollando los sumatorios de la segunda parte de la igualdad de (**) se obtienen las expresiones que constituyen el sistema de ecuaciones solicitado:

q1 0 q3

½ ° ° A1 ·F12 A1 ·F13 ° J2 J3 ° J2 J1 J2 J2 1 1 1 ¾ A2 ·F21 A2 ·F22 A2 ·F23 ° ° J3 J1 J J ° 3 2 1 1 ° A3 ·F31 A3 ·F32 ¿ J1 J2

1

J1 J3

1

(***)

175 ϭϳϱ


Este sistema tiene 3 ecuaciones con 4 incógnitas: J1, J2, J3 y q3 3) Balance de energía a la superficie 1. Según los datos que aporta la figura se deduce que la superficie recibe una radiación G, cederá calor al entorno por estar la superficie a una temperatura superior por convección y radiación. Y también intercambiará calor con el entorno del recinto, con valor q1, que si se supone saliente de la superficie 1 y entrante al recinto toma la forma: G·D1

q1 qcv qrd

q1 h· T1 Tf H1 ·V· T14 Tf4

4) En la ecuación anterior la única incógnita es q1, cuyo valor se puede obtener directamente, resultando: q1

G·D1 h· T1 Tf H1 ·V· T14 Tf4

80 kW

El signo negativo indica que en realidad el calor neto intercambiado por “1” con el recinto es entrante a dicha superficie ; por tanto q1 es un calor que abandona el recinto. 5) Conocido q1, si se atiende al sistema de ecuaciones generado en el segundo apartado se tienen 3 ecuaciones y 4 incógnitas, siendo una de las incógnitas q3 que interesa conocer. Se debe observar que la temperatura de una superficie y calor neto que la atraviesa tienen una relación que se escribe según la primera igualdad de (**): qi

Ebi Ji 1 Hi Hi ·Ai

con Ebi

Hi ·V·Ti4

En el cuarto apartado se ha determinado el calor que atraviesa la superficie 1, que se puede relacionar mediante la ecuación anterior con T1 y con ello obtener: J1=90.982 W/m2. Conocido J1, se pueden tomar las dos primeras ecuaciones de (***) donde las incógnitas son J2 y J3; despejando: J2= 139 466 W/m2

J3= 187 951 W/m2.

Para obtener el valor numérico de q3 se sustituyen los valores obtenidos en la tercera ecuación de (3) o mediante el balance: q1 q2 q3

0 q3

q1

80 kW

Con el valor de q3: q3

80 000

Eb3 J3 1 H3 H3 ·A 3

VT34 J3 T3 1 H3 H3 ·A 3

1350 K

ϭϳϲ


176


PROBLEMA61

Un calentador de aire consta de un tubo cilíndrico de 60 cm de diámetro interior y gran longitud, recubierto exteriormente por un aislamiento perfecto, en cuyo eje se ha instalado una resistencia maciza de 5 mm de diámetro, con 0,20 de emisividad y una conductividad térmica de valor 15 W/mͼK.

Se regula el sistema hasta que la temperatura media del aire se estabiliza en 50qC, con un coeficiente de convección de valor 250 W/m2K contra el filamento y contra la superficie interior del tubo, cuya temperatura es medida y resulta 60qC. Se pide calcular, en régimen permanente, lo siguiente: 1)

Temperatura en la superficie de la resistencia

2)

Potencia eléctrica lineal (W/m) consumida por la resistencia

3)

Temperatura en el eje de la resistencia

SOLUCIÓN

1) Balance en la superficie del tubo: lo que llega por radiación de la resistencia se disipa por convección en el fluido. qconv hͼA tubo Ttubo Taire ; A tubo qrad

4 4 A resist ͼH resist ͼV Tresist Ttubo

S ͼDtubo ͼL

; A resist

SͼDresist ͼL

(ya que A tubo !! A resist y el factor de forma con el que la resistencia ve al tubo es 1). 4 4 qrad hͼ S ͼDtubo ͼL Ttubo Taire S ͼDresist ͼLͼ Hresist ͼ V Tresist Ttubo

qconv

Tresist

4

hͼDtubo Ttubo Taire Dresist ͼHresist ͼV

4 Ttubo

4

250 ͼ 0,6 ͼ 60 50 5ͼ10-2 ͼ 0,5 ͼ 5,67ͼ10-8

3334

2268 K

2) Balance en la superficie de la resistencia: la potencia de la fuente interna de la resistencia se disipa por convección al fluido y por radiación al tubo. qfuente

4 4 Aresist ͼh Tresist Taire Aresist ͼ Hresist ͼ V Tresist Ttubo

q/L

qfuente L

12351

W m


3) Perfil de temperatura en cilindro macizo con fuente: To *

q

2 ½ Dresist ° 16ͼk ° qfuente qfuente ¾ To ° D2 Volfuente S resist L ° 4 ¿

Tsup q*

Tsup

qfuente / L 12351 2268 2334 K 4 Sͼk 4 Sͼ15

177 ϭϳϳ

178

Ĩ


PROBLEMA62

Se tiene una resistencia cilíndrica metálica maciza que se encuentra rodeada por un casquillo cilíndrico de material cerámico existiendo en el huelgo entre ambos un fluido transparente a la radiación que posibilita el intercambio de calor por radiación y convección. El conjunto se encuentra en un recinto lleno de aire (transparente a la radiación) que se mantiene a una determinada temperatura (véase la figura). Se desea determinar, en régimen permanente: 1) Potencia eléctrica q’resis [W/m] consumida por la resistencia si T1=1000K y T2=600K 2) Coeficiente de película de convección entre la superficie exterior del casquillo cilíndrico (3) y el ambiente exterior h3 si la temperatura de ambiente (T) y entorno (T4) es la misma y de valor 300K DATOS

1: superficie exterior de la resistencia cilíndrica, ɸ1=0,9; D1=0,1 m 2: superficie interior del casquillo cilíndrico, ɸ2=0,1; D2=0,3 m 3: superficie exterior del casquillo cilíndrico, ɸ3=0,1; D3=0,35 m 4: superficie del recinto donde se encuentra el conjunto Conductividad casquillo k23=1,8 W/mͼK Coeficiente de película sobre 1: h1f=2 W/m2K Coeficiente de película sobre 2: hf2=3 W/m2K

Notas

Considerar superficies grises Considerar longitud infinita para resistencia y casquillo

SOLUCIÓN

Consideraciones iniciales: Con la lectura del enunciado y a la vista de la figura se deducen los mecanismos de transmisión de calor involucrados en el problema:

Régimen permanente Resistencia cilíndrica metálica maciza: generación interna de calor, que no es necesario analizar al ser la temperatura superficial dato Huelgo entre resistencia y casquillo: convección y radiación Interior del casquillo cerámico: conducción Casquillo cerámico – entorno: convección y radiación

Además por las indicaciones de las notas se deduce:

Absortividades iguales a emisividades El resultado es independiente de la longitud de resistencia y casquillo

179 ϭϳϵ


Apartado 1) Un balance de energía a la resistencia térmica indica que toda la potencia eléctrica que disipa lo hace a través de convección y radiación, por lo que: q 'resis

q '12

q '12,conv q '12,rad

Estudio de la convección: lo que se transfiere de la superficie exterior de la resistencia (2) al fluido del huelgo es lo que cede dicho fluido a la superficie interior del casquillo (3) q '12,conv

q '1f

q 'f2

Desarrollando con ayuda de la ley de Newton: q '1f

S·D1 ·h1f · T1 Tf

q 'f2

S·D2 ·hf2 · Tf T2

Igualando ambas expresiones se obtiene la temperatura media del fluido presente en el huelgo: Tf

673 K

Con dicho valor, entrando en una de las dos expresiones, la cantidad de calor transmitido por convección es: q '12,conv

206

W m

O bien: T1 T2 1 1 S · D1 · h1 S · D2 · h2

q '12,conv

206

W m

Estudio de la radiación: El intercambio radiante en un recinto formado por dos superficies grises es: q12,rad

Eb1 Eb2 1 H1 1 H2 1 H1 ·A1 A1 · F12 H2 ·A2

Por las propiedad de recinto cerrado de los factores de forma se deduce que F12=1 (ya que F11=0). Eb1 y Eb2 se refieren a la emisión del cuerpo negro a las temperaturas T1 y T2 respectivamente. Sustituyendo valores: q '12,rad

3771

W m

Finalmente: q 'resis

q '12

q '12,conv q '12,rad

206 3771 3977

W m

180 ϭϴϬ


Apartado 2) Un balance de energía al casquillo cerámico indica que lo que llega de la resistencia se disipa al ambiente en forma de radiación al entorno (4) y convección al ambiente () tras pasar por el casquillo por conducción: q 'resis

q '23

q '34 q '3f

Aplicando conducción al casquillo obtengo T3: q '23

2S T2 T3 T3 ln D3 D2 k23

546 K

Radiación al entorno: conocida la emisividad de ‘3’(superficie gris) y las temperaturas de ‘3’ y de ‘4’ la expresión del intercambio radiativo resulta: q '34

S·D3 ·V· T34 T44

503

W m

Y por tanto el intercambio convectivo al aire ambiente será: q '3f

q 'resis q '34

3474

W m

Por la ley de Newton q '3 f

h3f · S D3 · T3 Tf

3474

W h3f m

12, 85

W m2K

ZĂĚŝĂĐŝſŶ

ϭϴϭ

181

Radiación.

PROBLEMA63

Se suspende horizontalmente un cilindro largo de radio 2,5 cm (1) en el interior de un gran recinto cuyas paredes (2) y aire (3) se encuentran en equilibrio térmico a 1400K. El coeficiente de convección en torno al cilindro es de 90 W/m2K. El cilindro se mantiene de manera constante a una temperatura superficial de 700K. Se pide: 1) Determinar el calor neto que recibe el cilindro por unidad de longitud. A continuación se enfunda concéntricamente el cilindro anterior con una vaina de radio 4 cm y espesor despreciable, realizándose el vacío entre el cilindro y la vaina. Se vuelve a introducir el conjunto en el recinto referido. Se vuelve a estabilizar el conjunto hasta que la temperatura superficial exterior del cilindro sea de 700 K, manteniéndose también las condiciones convectivas. Se pide: 2) Plantear un sistema de ecuaciones lo más simplificado posible que sirva para determinar la temperatura de equilibrio de la vaina y el calor neto que recibe el cilindro por unidad de longitud. 3) Resolver el sistema. H1=0,9 H2= 0,7

DATOS: Todas las superficies son grises.

H= 0,7

SOLUCIÓN

Caso 1: Cilindro desnudo El calor neto se recibe por convección y por radiación (de un cuerpo gris pequeño dentro de otro gris más grande)

q qCV qRD

h · A1 · T3 T1 H1 A1V T24 T14

0, 9· 2 ·S · 0, 025 · 1 · 5, 67·10

8

1400

4

700

4

90 · 2 ·S · 0, 025 ·1 · 1400 700

38765 W

Caso 2: Cilindro envainado: El calor neto que recibe por convección la vaina se disipa por radiación al recinto y al cilindro.

ϭϴϮ 182


qCV 34

qRAD4 2 qRAD4 1

qCV3 4

h A 4 T3 T4

qRAD4 2

H4 A 4 V T44 T24

qRAD4 1

qRAD1 4

90· 2· S · 0, 04 ·1 · 1400 T4

31667, 25 22, 619 · T4

0, 998 ·10 ·2· S · 0, 025 ·1 · 700 T

0, 7 · 2· S · 0, 04 ·1 · 5, 67 · 10 8 · T44 1400 4

1 1 H4 H1 H4

§ r1 · ¨ ¸ © r4 ¹

VA1 T14 T44

5, 67 · 10 8

4

8

T44 38320, 671

4 4

1 1 0, 7 § 0, 025 · 0, 9 0, 7 ¨© 0, 04 ¸¹

1550, 747 0, 646 ·108 T44 Por tanto: qCV 34

qRAD4 2 qRAD4 1

31667, 25 22, 619 · T4

0, 998 ·10 8 T44 38320, 671 1550, 747 0, 646 ·10 8 T44

1, 644·10 8 T44 22, 619 · T4 71538, 668

0

Resolviendo resulta: T4= 1270,381 K El calor evacuado por el cilindro ahora es: qRAD4 1

1550, 747 0, 646 ·10 8 T44

15272 W

Es decir, al encapsular el cilindro el calor evacuado por el mismo se reduce en un 60%.

ZĂĚŝĂĐŝſŶ

Radiación.

ϭϴϯ

183

PROBLEMA64

En un recinto industrial de hormigón, en el que el aire se mantiene a 27ºC en equilibrio con las paredes, se quiere enfriar por convección y radiación combinadas una placa cerámica isoterma que se apoya horizontalmente sobre la base del recinto, que se comporta como una superficie adiabática. Por cálculos previos de resistencia de materiales se ha determinado que para garantizar que no se produzcan tensiones térmicas inaceptables en la placa, el gradiente térmico no debe superar 15ºC/mm en ningún punto de la placa durante todo el transitorio de enfriamiento. Despreciando los efectos de borde, y sabiendo que la placa es opaca y que se comporta como una superficie gris frente a la radiación térmica, se pide: 1) Determinar, mediante un razonamiento conceptual-cualitativo, la posición en el eje perpendicular a la placa más crítica respecto a la integridad mecánica durante todo el proceso de enfriamiento 2) Calcular con técnicas analíticas el instante del transitorio de enfriamiento de máximo riesgo respecto a la integridad mecánica 3) Calcular el máximo gradiente térmico que cabe esperar en el transitorio de enfriamiento si la placa se introduce en el recinto a la temperatura de 500 C 4) Calcular la máxima temperatura inicial con que podría introducirse la placa en el recinto para garantizar un enfriamiento seguro, sin riesgo de fallo mecánico DATOS -

k (placa) = 1 W/mͼK h (convección) = 20 W/m2K ʌ (reflectividad superficial de la placa) = 0,2

SOLUCIÓN

Esquema de intercambio térmico de la placa con el entorno

Dado que la placa es opaca entonces ɸ = 1-ʌ = 1-0,2 = 0,8 1) En los primeros instantes, y debido a la difusividad térmica de la placa, el perfil de temperatura se va curvando.

184 ϭϴϰ


En x=0 el gradiente de temperatura es nulo, ya que la superficie del recinto sobre la que se apoya es adiabática. En x=L el gradiente de temperatura es máximo. Este es, pues, el punto crítico. T

T T(x,t=0) T(x,t’)

dT/dx

T(x,t”) T(x,t’’’) L

0

x

x

L

0

2) Efectuando un balance de energía en la superficie de la placa: q” cond (L,t) = q” rad (L,t) + q” conv (L,t) ª dT º k « » ¬ dx ¼ x

ª dT º h TS TR H V TS4 TR4 « » ¬ dx ¼ x

L

L

1 ª h TS TR H V TS4 TR4 ¼º k ¬

El valor absoluto del gradiente de temperatura en x=L será máximo cuando lo sea TS, ya que el resto de variables y parámetros de la ecuación son constantes (ɸ,ı,k,TF). El coeficiente h de convección también se asume constante. Por tanto, el instante crítico es t=0, que es cuando la temperatura superficial es máxima. 3) Aplicación práctica: T(t=0) = 500ºC = 773,15 K TR = 27ºC= 300,15 K El máximo gradiente térmico obtenido al introducir la placa a 500ºC es: ª dT º « dx » ¬ ¼x

L

t 0

ª dT º « dx » ¬ ¼x

L

1 ª h TS TR H V TS4 TR4 ¼º k ¬

1 ¬ª20 773, 15 300, 15 0, 8 5, 67 ·10 8 773, 154 300, 154 ¼º 1

25299, 8

(gradiente superior al máximo tolerable de 15000ºC/m o 15ºC/mm) 4) La máxima temperatura inicial admisible será tal que … t 0

ª dT º « dx » ¬ ¼x

15000 L

qC m

¬ª20 TS 300, 15 0, 8 5, 67·10 8 TS4 300,154 ¼º

4, 536 ·10 8 TS4 20 · TS 21371, 15

0 TS

653, 9 K

380, 75qC

qC m

ZĂĚŝĂĐŝſŶ

Radiación.

ϭϴϱ

185

PROBLEMA65

En el centro de una nave industrial con temperatura estable de 300 K se mantiene suspendida una placa cerámica de 1 cm de espesor a la que se aplica calor en forma de radiación directa sobre una de sus caras. Sabiendo que tanto la placa como el recinto se comportan como cuerpos grises frente a la radiación térmica difusa, se pide calcular, en régimen permanente, lo siguiente: 1) Irradiación que debe aplicarse sobre una cara para que la otra alcance 500 K 2) Temperatura que alcanza la cara irradiada DATOS

Coeficiente de convección forzada en torno a la placa 20 W/m2K Densidad de la placa: 2500 kg/m3 Calor específico de la placa: 0,8 kJ/kgqC Conductividad de la placa: 0,2 W/mqC Emisividad de las caras de la placa: 0,5 Emisividad de las paredes del recinto: 0,8

SOLUCIÓN

Si la cara 0 no fuera irradiada directamente, toda la placa, en régimen permanente, quedaría en equilibrio térmico con el recinto y paredes, a 300K. La parte absorbida de la irradiación hace que sea posible que la placa se mantenga a temperaturas superiores a la ambiente. Lógicamente, cuanto mayor sea la irradiación, mayor será el contenido energético de la placa, y por consiguiente se elevará su nivel de temperaturas. Se puede obtener la temperatura de la cara irradiada aplicando un balance energético a la cara no irradiada (L). El calor que le llega por conducción desde la zona irradiada se debe disipar por convección al fluido y radiación al recinto:

k

T0 TL L

4 hͼ TL TF Hp ͼV TL4 TREC

186 ϭϴϲ


Donde se ha tenido en cuenta que la placa es una superficie gris (DP=HP) pequeña respecto al recinto que la rodea, el cuál también es gris. Asumiendo que el recinto esté en equilibrio térmico con sus paredes (TREC = TF):

k

T0 TL L ªhͼ TL TF Hp ͼV TL4 TF4 º TL hͼ TL TF Hp ͼV TL4 TF4 T0 ¼ L k¬ 0,01 ª20ͼ 500 300 0,5ͼ5,67ͼ108 5004 3004 º 500 777,1 K ¼ 0,2 ¬

En régimen permanente, aplicando un balance energético a la superficie 0, la parte absorbida de la irradiación directa se transmite por conducción hacia la zona derecha de la placa, por convección al fluido que rodea a la placa y por intercambio radiante con el recinto que contiene a la placa:

T0 TL 4 hͼ T0 TF Hp ͼV T04 TREC L T T Hp ͼG k 0 L hͼ T0 TF Hp ͼV T04 TF4 L T0 TL k hͼ T0 TF Hp ͼV T04 TF4 W L G 50385,9 2 Hp m Dp ͼG k

ZĂĚŝĂĐŝſŶ

Radiación.

ϭϴϳ

187

PROBLEMA66

Una gran nave industrial que se encuentra a 20qC tiene un suelo adiabático sobre el que se ha colocado horizontalmente una placa opaca circular, de 1 m de diámetro y 2 cm de espesor, con una conductividad de 10 W/mͼK, que se comporta como una superficie radiante gris difusa. Se realiza un primer ensayo activando una fuente térmica de 1 MW/m3 en el interior de la placa a la vez que se le aplica una irradiación superficial de 3ͼ104 W/m2 y se la refrigera por convección forzada mediante una corriente de aire de la nave que fluye paralelamente a la placa, observándose que su temperatura superficial se estabiliza en 500qC. En un segundo ensayo se observa que reduciendo la irradiación superficial a 104 W/m2 se precisa aumentar en un 20% la fuente térmica interior para alcanzar la temperatura superficial del primer ensayo manteniendo la misma corriente de aire paralela a la placa. Despreciando el calor transferido por el borde de la placa, se pide calcular en régimen permanente lo siguiente: 1) Absortividad, transmisividad, reflectividad y emisividad de la superficie superior de la placa 2) Coeficiente de convección forzada h (W/m2K) en la superficie superior de la placa en cada uno de los ensayos 3) Gradiente térmico (qC/m) conductivo en las superficies superior e inferior de la placa en cada uno de los ensayos

SOLUCIÓN

1) Primer ensayo Toda la energía que se genera o introduce en el seno del disco se debe disipar por convección al fluido y radiación al recinto. Efectuando un balance genérico al disco: 4 GRIS q*ͼAͼL DͼGͼA hͼAͼ TP TF HP ͼAͼV TP4 TREC q*ͼL HP ͼG h ͼ TP TF HP ͼV TP4 TF4 o

No se dispone de correlaciones para averiguar el coeficiente de película en convección forzada con flujo paralelo a un disco. Por consiguiente, en el balance anterior aparecen dos incógnitas, HP y h, que hacen necesaria otra ecuación para resolver el problema.

188 ϭϴϴ


Segundo ensayo Se puede aplicar el mismo balance, con los nuevos valores de q* y G: 1,2ͼq*ͼL HP ͼ

G h ͼ TP TF HP ͼV TP4 TF4 3

Restando las dos ecuaciones anteriores: 2 0,2ͼq*ͼL HP G 0 HP 3

0,2ͼq*ͼLͼ3 2ͼG

0,2ͼ106 ͼ0,02ͼ3 0,2 2ͼ3ͼ104

Puesto que la placa es gris y opaca, del resultado anterior se concluye: D = 0,2 W=0 U = 1 - D - W Método alternativo Para mantener en régimen permanente el disco a la misma temperatura superficial, con idénticas condiciones en su entorno, la energía que hay que introducir en el disco es la misma. Así: G 2 q* V D GͼA 1,2q* V D ͼA ͼD ͼGͼA 0,2q* AͼL D 3 3

0,2q*ͼL 2 G 3

0,2ͼ106 ͼ0,02 0,2 2 ͼ3ͼ104 3

A partir del cual se determinan el resto de las propiedades radiativas.

2) Una vez determinadas las propiedades radiantes, se puede entrar en uno de los dos balances para obtener el coeficiente de película: q*ͼL HP ͼG h ͼ TP TF HP ͼV TP4 TF4 h 10 ͼ0,02 0,2ͼ3ͼ10 0,2ͼ5,67ͼ10 6

4

500 20

8

q*ͼL HP ͼG HP ͼV TP4 TF4

773,15

4

TP TF

293,154

45,9

W m2K

3) El gradiente térmico en la cara adiabática es nulo: aplicando la ley de Fourier : § dT · q kͼAͼ ¨ ¸ © dx ¹x

0

§ dT · 0 ¨ ¸ © dx ¹x

0

Igualando el calor que llega a la cara superior por conducción, con el que se disipa por convección y radiación:

189 ϭϴϵ


§ dT · q kͼ ¨ ¸ © dx ¹x

L

§ dT · h ͼ TP TF HP ͼV TP4 TF4 ¨ ¸ © dx ¹x

45,9ͼ 500 20 0,2ͼ5,67 ͼ10 10

8

773,15

4

293,15

4

h ͼ TP TF HP ͼV TP4 TF4 k

L

2600

ºC m

ϭϵϬ

190



PROBLEMA67

En el interior de una nave industrial cuyo techo y paredes se encuentran a 20ºC se realiza el ensayo de un innovador panel solar plano de vacío formado por una placa absorbente y una cubierta tal y como se indica en la figura, sometiéndolo a una irradiación uniforme perpendicular a la superficie de 1000 W/m2. La cubierta tiene una reflectividad de 0,05 y una absortividad nula, mientras la placa absorbente es completamente opaca con una absortividad de 0,8. Las dimensiones de la cubierta y la placa absorbente son mucho mayores que la separación entre ellas. Se pide: 1) Flujo de calor absorbido por la placa absorbente. 2) Flujo de calor que se pierde por la placa absorbente, sabiendo que la temperatura que alcanza es de 80ºC. 3) Relación entre el flujo de calor neto en la placa y la radiación incidente al panel. Notas:

El panel solar tiene unas dimensiones despreciables con respecto a la nave en la que se realiza el ensayo. Considerar que el aire no modifica el intercambia radiante. Todas las superficies del panel son grises respecto a la radiación térmica.

SOLUCIÓN

La potencia de radiación que llega a la cubierta es de 1000 W/m2. Teniendo en cuenta que la reflectividad de la cubierta es de 0,05 y su absortividad es nula, la transmisividad es: W 1UD

1 0, 05 0

0, 95

Con lo que la energía que será transmitida a través de la cubierta es: Gc

WG

0, 95 1000

950 W/m2

Esa energía llega a la placa absorbente, que al tener una absortividad de 0,8, absorberá una energía de: Gpl

D Gc

0, 8 950

760 W/m2

191 ϭϵϭ


Obsérvese que la convección no transmite hacia la placa al encontrarse en vacío.

Las pérdidas de calor de la placa se realiza en primera instancia por el intercambio radiante entre la superficie de la placa y la cubierta, el cual responde a la expresión:

qper

V Tpl4 Tc4

1 1 1 Hpl Hc

En donde intervienen las emisividades de placa y cubierta y sus temperaturas. Al comportarse como cuerpos grises, las emisividades son iguales que las absortividades y la emisividad de la cubierta sería nula. qper

lim

HC o 0

V Tpl4 Tc4

V Tpl4 Tc4

f

1 1 1 Hpl Hc

0

Con lo que la cubierta a todos los efectos e comporta como una superficie no participativa en fenómenos de intercambio de radiación. El intercambio se da entonces entre la placa absorbente y la nave que le rodea, la cual se encuentra a 20ºC. El intercambio neto radiante es: qper

Hpl · V Tpl4 Ta4

0, 8 5, 67 10 8 3534 2934

383, 3 W/m2

Que constituyen la pérdida de calor de la cubierta. El flujo de potencia neto en la cubierta, que será el que constituye el calor transferido a la otra cara del panel, es: qneto

Gpl qper

760 383, 3 376, 7 W/m2

Con lo que la relación pedida, que constituye el rendimiento del panel solar ensayado, es de: K

qneto G

376, 7 1000

0, 376

ϭϵϮ


192


PROBLEMA68

En la fase de diseño de un horno industrial se plantea utilizar una placa de vidrio cuadrada de 5 cm de lado y 2 cm de espesor como visor del interior del horno. Dicho horno se puede considerar un cuerpo negro a 1300K, y se encuentra perfectamente aislado en una gran nave industrial a 20ºC. El vidrio puede considerarse una superficie gris, con transmitancia de 0,5 y emisividad de 0,3. Se considera absorción totalmente superficial en el interior del cristal. Su conductividad térmica es de 1 W/mͼK. En el exterior del horno puede considerarse un coeficiente de transmisión de calor del horno de valor 100 W/m2K Subsistema 3 Subsistema 3

Subsistema 1

T2=1300 K h, Tf T3

T1 q

Se pide: 1) Explicar de manera concisa (máximo 15 líneas) los mecanismos de transmisión de calor que tienen lugar en el subsistema 1 (interior del horno-vidrio) 2) Plantear una ecuación que refleje el intercambio radiante neto entre vidrio e interior del horno 3) Explicar de manera concisa los mecanismos de transmisión de calor presentes en el subsistema 2 (interior de vidrio) 4) Plantear una ecuación de transmisión de calor adecuada para el subsistema 2 5) Explicar de manera concisa los mecanismos de transmisión de calor presentes en el subsistema 3 (exterior del vidrio-nave industrial) 6) Plantear una ecuación que refleje el intercambio neto de calor entre el exterior del vidrio y la nave industrial. 7) Haciendo uso de las ecuaciones ya planteadas, determinar el valor de la fuente de calor necesaria en el interior del horno para mantener el régimen permanente, así como las temperaturas a ambos lados de la pared de vidrio 8) A la vista de los resultados: ¿es adecuada dicha placa de vidrio para actuar como visor del horno?

193 ϭϵϯ


SOLUCIÓN

1) La placa de vidrio y las paredes interiores del horno forman un recinto de superficies a diferentes temperaturas, ya que el calor emigra hacia las zonas menos energéticas, es decir, a la nave. En ausencia de fluido, y dado que las paredes del horno se consideran adiabáticas, el único mecanismo presente es el de la radiación. Las paredes del horno son negras, y al ser el visor de vidrio de superficie mucho menor que el de las paredes, dicho visor se encuentra sometido a la irradiación de un cuerpo negro a 1300K. La irradiación del vidrio es en parte reflejada, en parte transmitida, y en parte absorbida. Al tratarse de una superficie gris, la absortividad es igual a la emisividad. En cuanto a las paredes del horno, al ser negras, toda la radiación que les llega es absorbida, y, a la vez, emitida. Para compensar las pérdidas de calor se habilita una fuente térmica, que se encargará de mantener el régimen de temperaturas en el interior del horno. 2) Para una superficie cualquiera se cumple que el calor neto que la abandona es: A ·( J G)

qNETO Siendo

J H ·E U ·G

D U W G

G

La irradiación del vidrio corresponde a la de un cuerpo negro (2) a T2, es decir: G1

VT24

Eb2

Aplicando a la superficie del vidrio (superficie 1) J1 G1

H1 VT14 U1 ·VT24

D1 U1 W1 VT24 qNETO

GRIS o

H1 U1 W1 VT24

A 1·ª¬H1 V T14 T24 W1 VT24 º¼

calor que lógicamente resultará negativo. 3) Del calor que llega a la superficie interior del vidrio, se pueden distinguir dos componentes: la parte transmitida, que no afectará al balance térmico en el subsistema vidrio, y el resto, absorbido en primera instancia, y que se transmitirá por conducción unidireccional a través del visor de vidrio, debido a la adiabaticidad de las paredes del horno. 4) qK

A 1· H1 V T24 T14

k V · A1

T1 T3 'x

194 ϭϵϰ


5) Por la superficie externa del cristal sale el calor transmitido por radiación en el interior del vidrio y el calor transmitido por conducción. Los mecanismos ahora presentes son:

convección libre al aire de la nave radiación de la parte conducida hacia las paredes de la nave radiación de la parte transmitida hacia las paredes de la nave

Se considerará la superficie externa del vidrio como un cuerpo pequeño dentro de uno grande (la nave) y se asimilará la temperatura de las paredes de la nave a la del fluido que contiene (20 ºC) 6) qK

A 1· H1 V T24 T14

k V · A1

T1 T3 'x

hCV ·A1 · T3 TF V H3 A1 T34 TF4

7) Resumiendo, las ecuaciones que permiten resolver el problema son: qK qK qK

A 1· H1 V T24 T14

T T k V · A1 1 3 'x hCV ·A1 · T3 TF V H3 A1 T34 TF4

con las tres incógnitas qK, T1 y T3. Resolviendo el sistema, se obtienen las siguientes soluciones: qK= 65,82 W T1 = 1069,5 K T3 = 542,9 K La fuente necesaria compensará estas pérdidas más la energía perdida por transmisividad del vidrio, que es: qW

A 1· W1 · V ·T24

0, 052 · 0, 5 · 5, 67 u 108 · 13004

202, 4 W

Por consiguiente la fuente debe tener un valor de q = 268,2 W 8) La temperatura exterior del visor es demasiado alta y peligrosa, por lo que no se trata de un visor adecuado.

ZĂĚŝĂĐŝſŶ

ϭϵϱ

195

Radiación.

PROBLEMA69

Se desea evaluar la absortividad solar de una placa delgada de emisividad conocida (0,9). Para ello se sitúa la superficie en horizontal, con la cara superior orientada al cielo y la cara inferior expuesta a un ambiente negro a 298 K. Sobre ambas caras fluye una corriente de aire a 298 K. La irradiación solar es de 800 W/m2, y se mide una temperatura de equilibrio de la placa de 310,9 K. Como patrón se utiliza otra placa delgada ubicada en idénticas condiciones, con absortividad solar de 0,2 y emisividad de 0,9, midiéndose en este caso una temperatura de equilibrio de 298,7 K. DATO: coeficiente de transmisión de calor por convección: h= 20 W/m2K.

SOLUCIÓN

Efectuando un balance energético a la placa se obtiene, en el equilibrio: § · 4 4 D G 2 · h · T TF H · V · T 4 TCIELO H · V · ¨ T 4 TAMB ¸ NEGRO © ¹

Aplicando dicho balance a la placa patrón, la única incógnita es la temperatura del cielo:

TCIELO

TCIELO

4

298, 74

4

§ · 4 DG 2 · h · T TF H · V · ¨ T 4 TAMB ¸ NEGRO ¹ © T H·V 4

0, 2 ·800 2 · 20 · 298, 7 298 0, 9 · 5, 67 ·108 · 298, 74 2984

0, 9 · 5, 67 ·10 8

271, 68K

Una vez determinada la temperatura del cielo, si se aplica el balance a la placa de ensayo, la única incógnita es la absortividad solar: § · 4 4 H · V · ¨ T 4 TAMB 2 · h · T TF H · V · T 4 TCIELO ¸ NEGRO © ¹ D G 2 · 20 · 310, 9 298 0, 9 · 5, 67 · 108 · 2 ·310, 94 271, 684 2984

800

0, 99

196


ϭϵϲ

PROBLEMA70

Se tiene un horno cuyas paredes se encuentran a 1000 K y se comportan como superficies negras frente a la radiación térmica. En su interior se suspende una pieza esférica pequeña, opaca, difusa y “no gris” que entra al horno con una temperatura de 400 K. Sabiendo que la reflectividad de la pieza vale 0,3 para longitudes de onda inferiores a 5 Pm, y 0,7 en el resto del espectro, se pide calcular, en el instante en que se introduce la esfera en el horno, lo siguiente: 1) Potencia emisiva (E1), radiosidad (J1) e irradiación (G1) en la superficie interior del horno. 2) Potencia emisiva (E2), radiosidad (J2) e irradiación (G2) en la superficie de la pieza. 3) Flujo térmico neto (W/m2) transferido por radiación desde las paredes del horno a la pieza. SOLUCIÓN

En la pieza se cumple la relación: DUW 1 Siendo la pieza opaca, W=0, quedando la expresión para la absortividad media como: D

1U

Se tiene la información de la estructura espectral de la reflectividad, a partir de la cual se puede sacar la reflectividad global de la pieza en función de la temperatura en el instante que se pide: U F0 5Pm 0, 3 F5fPm 0, 7 F0 5Pm 0, 3 1 F0 5Pm 0, 7 En donde F0-5Pm es la fracción de emisión de un cuerpo negro a la temperatura de la superficie del horno incidente sobre la pieza, que es 1000 K, entre 0 y 5 Pm. Para hallarlo, hay que mirar en la tabla de las funciones de radiación, con: OT

5 1000

5000 Pm.K

F0 5Pm

0, 633747

Con lo que la reflectividad queda como: U

0, 633747 0, 3 1 0, 633747 0, 7

0, 19 0, 25

0, 44

De donde se deduce que la absortividad media es: D

1 U 1 0, 44

0, 56

La emisividad de la pieza se obtiene teniendo en cuenta que siempre se cumple que: HO

DO

Y la emisividad, correspondería con el valor de la absortividad, obtenida a partir de las propiedades de la superficie evaluadas a la temperatura a la que emite la superficie, con lo que:

197 ϭϵϳ


H 1 U 1 F0 5Pm 0, 3 1 F0 5Pm 0, 7 Evaluando las fracciones de emisión a la temperatura de la superficie, 400 K:

OT

2000 Pm.K

5 400

F0 5Pm

0, 066728

H 1 0, 066728 0, 3 1 0, 066728 0, 7

0,33

Ya se dispone de las propiedades de la pieza y de la superficie del horno, y de las temperaturas, con lo que se pueden calcular todas las magnitudes pedidas en el enunciado: En la superficie interior del horno: E1

5, 67 10 8 10004

V Th4

56700 W/m2

Al ser un cuerpo negro que limita el recinto:

G1

J1

56700 W/m2

E1

En la superficie de la pieza:

E2

H V Tp4

0, 33 5, 67 108 4004 G2

J2

E2 U G2

E1

479 W/m2

56700 W/m2

479 0, 44 56700

25427 W/m2

El calor intercambiado será: Q 12

J1 J2

31273 W/m2

199

6. TRANSMISIÓN DE CALOR COMBINADA

dƌĂŶƐŵŝƐŝſŶĚĞĐĂůŽƌĐŽŵďŝŶĂĚĂ

Transmisión de Calor Combinada.

ϮϬϭ

201

PROBLEMA71

Un horno de sección circular y longitud infinita, está formado por una pared cilíndrica de 4 m de diámetro interior y 4,2 m de diámetro exterior, con una capa exterior de aislante de 10 cm de espesor. Por el interior del horno circula, longitudinalmente, una corriente de gases a alta temperatura para realizar el tratamiento térmico de una chapa metálica, de longitud infinita, de 4 m de ancho y espesor despreciable. Para ello, como se puede apreciar en la figura, la chapa se sitúa en el centro del horno, de forma que lo gases circulan longitudinalmente por ambos lados. Los apoyos de la chapa con la pared del horno se suponen perfectamente aislados. Al alcanzarse el régimen permanente los gases se encuentran a 800ºC y la superficie interior del horno a 780ºC, mientras que el coeficiente de película en ambas caras de la chapa y en la superficie interior del horno tiene un valor de 10 W/m2K. Determinar en ese estado: 1) La temperatura de equilibrio que alcanza la chapa. 2) La velocidad de transmisión de calor por metro lineal (q´ en W/m) que atraviesa la pared del horno. 3) La temperatura en la superficie exterior del aislante. DATOS: Chapa: ɸ = 0,9 Pared del horno: ɸ = 0, 15 k = 2 W/mͼK Aislante: k = 0,04 W/m K Notas: los gases son transparentes a la radiación, por lo que no tienen ningún efecto en el intercambio de calor por radiación. La placa y la pared del horno son cuerpos grises.

SOLUCIÓN

1) El ejercicio tiene una clara simetría (arriba/abajo) por lo que se resolverá en la mitad superior). No existirá calor neto a través de la placa. Efectuando un balance en la superficie de la chapa: q'1,rad + q’1,conv = q’1,cond = 0 q'1,rad = - q’1,conv q '1,conv

h

A1 b·L ( TF T1 ) h ( TF T1 ) 10 4 (1073 T1 ) L L

ϮϬϮ 202


q’1,rad es el intercambio radiante neto en un recinto formado por dos superficies, una placa [1] y un semicilindro [2]:

2 S L m

4 ͼL m2

A1

d·L

A2

S · d·L 2

2

q V ( T14 T24 ) 1,rad 1 H1 1 H2 1 L H1 A1 A1F12 H2 A 2

q '1,rad

5, 67 · 10 8 ( T14 10534 ) 1 0, 9 1 1 0, 75 0, 9 4 4 1 0, 75 2 ·S

17, 139 · 10 8 ( T14 10534 )

Por lo que q '1,rad

q '1,conv

40 (1073 T1 ) 17, 139 · 10 8 ( T14 10534 ) 17, 139 ·10 8 T14 40 T1 253636, 7

0

Iterando se llega a : T1 = 1053,95 K (781ºC) Además : q’1,rad = 761,5 W/m (mitad del horno) 2) Balance en la pared del horno (superficie 2):

q’2,cond

;^ĞĐŽŶƐŝĚĞƌĂůĂŵŝƚĂĚƐƵƉĞƌŝŽƌͿ

q'2,rad + q’2,conv = q’2,cond q '2,rad

q '2,conv

q2,rad L h

q '1,rad

q’2,rad 761, 5 W/m

q’2,conv

SD2 ·L ( TF T2 ) 10 S 2 (800 780) 1256, 6 W / m 2L

q’2,cond = 761,5 + 1256,7 = 2018,14 W/m Como se ha resuelto para una sola mitad del horno: q’cond,horno = 2ͼ2018,14 = 4036,3 W/m

3) Conocido el calor transmitido por conducción a través de la pared del horno, aplicando conducción en pared cilíndrica multicapa: q 'cond,horno

4036, 3

T2 T4 ln D3 D2 ln D4 D3 2S k23 2S k 34

780 T4 T4 ln 4, 2 4 ln 4, 4 4 , 2 2S 2 2S 0, 04

17, 2qC

203 ϮϬϯ

Transmisión de Calor Combinada. dƌĂŶƐŵŝƐŝſŶĚĞĐĂůŽƌĐŽŵďŝŶĂĚĂ

PROBLEMA72

Una pared (k = 1,5 W/m2K) de 3 m de altura, 5 m de anchura y 15 cm de espesor, separa un almacén a 39ºC de una cámara frigorífica al vacío a - 40ºC. Sabiendo que la superficie de la pared en contacto con el aire caliente tiene 0,20 de emisividad y una temperatura estable de 15ºC, se pide: 1) Calor (W) transferido del almacén a la cámara frigorífica. 2) Temperatura y emisividad de la superficie de la pared en contacto con el aire frío. SOLUCIÓN

Se trata de una placa sin fuente, en régimen permanente, sometida a convección libre y radiación por la cara caliente y radiación sin convección (vacío interior) por la cara fría.

T1 = 39°C T2 =15°C

T4 = -40°C T3

39°C

Datos: T1 = 39+273 = 312 K

Almacén caliente

Cámara frigorífica

T2 = 15+273 = 288 K T4 = -40+273 = 233 K ɸ2 = 0,2 k12 = 1,5 W/mͼK

Balance de calor en la superficie [2]: conv q12 qrad 12

cond q23 h12 A · T1 T2 A H2 V T14 T24

k 12 · A ·

T2 T3 'x

Balance de calor en la superficie [3]: cond q23

qconv qrad 34 34 k 12 · A ·

T2 T3 'x

0 A H3 V T34 T4 4

En las dos ecuaciones anteriores, se desconocen los valores de h12 , ɸ3 y T3. Cálculo de h12 Se trata de convección libre de aire caliente alrededor de pared vertical fría de altura 3 m. LC = 3 m Tmp = 0,5ͼ(T1+T2) = 300 K Propiedades del aire a Tmp =300 K Pr = 0,707

Q = 15,89E-6 m2/s

En convección libre:

k = 26,3E-3 W/mͼK

E = 1/300 K-1

204 ϮϬϰ

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ RaLc

g E ( T1 T2 ) L3C ·Pr Q2

5,7ͼ1010

Se trata de régimen turbulento (pues Ra > 109). Por tanto, es de aplicación la correlación de Churchill y Chu:

NuL

9 / 16 8 / 27 º ª ª º «0.825 0.387RaL1/ 6 «1 §¨ 0.492 ·¸ » » « » © Pr ¹ ¼» « ¬ ¬ ¼

NuL

2

438

h12 Lc h12 k aire

3, 84

W m2K

Volviendo a los balances de calor y sustituyendo el valor de h:

h12 A · T1 T2 A H2 V T14 T24 cond q23

qconv qrad 34 34 1826

1826 k12 · A ·

T2 T3 T3 'x

0 A H3 V T34 T4 4 H 3

0, 76

2, 8qC



ϮϬϱ

205

PROBLEMA73

Se tiene una esfera metálica maciza de una aleación de cobre, de 5 cm de radio, suspendida en el centro de un laboratorio de grandes dimensiones en el que tanto el aire como las paredes, techo y suelo se mantienen a una temperatura constante de 27qC. Mediante varios focos infrarrojos se somete a toda la superficie exterior de la esfera a un calentamiento homogéneo, con un aporte térmico neto absorbido por la superficie de valor 986 W, que permanece constante en el tiempo. Una vez alcanzado el régimen permanente, se ha observado que la temperatura superficial de la esfera alcanza una temperatura del orden de 500qC, determinándose que el coeficiente de convección pura entre la superficie de la esfera y el aire vale 40 W/m2K. Teniendo en cuenta que la esfera transmite calor a su entorno por convección al aire y por radiación al recinto, se pide determinar, en régimen permanente, lo siguiente: 1) Valor exacto de la temperatura de la superficie exterior de la esfera (qC). 2) Ecuación de la distribución de temperatura en el interior de la esfera t(r), entre el centro y la superficie exterior (se precisa la determinación analítica, no aceptándose valoraciones cualitativas). A continuación se desconecta el sistema de calentamiento por infrarrojos, iniciándose el transitorio de enfriamiento de la esfera por convección al aire y por radiación al recinto. Se pide calcular lo siguiente: 3) Velocidad de enfriamiento (qC/s) de la esfera en el instante inicial del transitorio, coincidente con el momento en que se procede a la desconexión del sistema de infrarrojos. DATOS DE LA ESFERA:

Densidad: 8600 kg/m3 Calor específico: 420 J/kg Conductividad: 400 W/mͼK Emisividad: 0,5

Tras realizar el cálculo anterior, se ha repetido el análisis manteniendo el mismo aporte térmico neto absorbido por la esfera, de valor 986 W, en régimen permanente, para los cuatro casos alternativos que se presentan a continuación, en los que se ha variado el valor del coeficiente de convección pura y la emisividad superficial, como sigue:

Esfera de referencia, con vacío a su alrededor. Esfera de referencia, recubierta de una fina capa de pintura de 0,10 de emisividad, con el mismo coeficiente de convección pura del caso de referencia (40 W/m2K). Esfera de referencia, recubierta de una fina capa de pintura de emisividad nula, con el mismo coeficiente de convección pura del caso de referencia (40 W/m2K). Esfera de referencia, recubierta de una fina capa de pintura de emisividad nula, con un coeficiente de convección, por ebullición nucleada de agua saturada a 100qC, de valor 10.000 W/m2K.

Al comparar los resultados de los cinco casos se observa que varía de forma muy importante la temperatura de la superficie de la esfera en régimen permanente, pero que, curiosamente, la velocidad de enfriamiento en el instante inicial del transitorio es siempre la misma.

206 ϮϬϲ


4) Buscar una justificación analítica que explique que dicha velocidad inicial de enfriamiento de la esfera sea siempre la misma, con independencia de la temperatura alcanzada en régimen permanente, siempre y cuando se mantenga constante e igual en todos los casos el aporte térmico neto durante el régimen permanente previo al transitorio de enfriamiento (Nota: se precisa una justificación analítica, no siendo aceptables las valoraciones cualitativas). SOLUCIÓN

1) En régimen permanente el balance de energía en la esfera es:

4 hͼAͼTS Tf HͼVͼAͼ TS4 Trecinto

qCONV qRAD qABS

qABS

Donde: qABS

986W

h 40 W / m2K A 4 SR2 27 D C

Tf

Trecinto Tf H 0,5

27 D C

Por lo tanto, la temperatura de la superficie de la esfera queda: TS

800K 527 D C

2)

R

r

qgenerado 0 o r qconducción r Vq*

0

k 4 Sr 2

dT dT dr dr

0 T

C 1 r , Tr R C 1

527 D C

Tr 527º C r 0 ,R

3) La esfera se encuentra en régimen transitorio con temperatura inicial constante ante un cambio brusco de temperatura del fluido que la rodea. hTOTAL

qCONV qRAD AͼTs Tf

qABS 62,8 W / m2K 4 SR ͼTs Tf 2

Se calcula el número de Biot: 1 Bi

k hTOTAL ͼR

128 ! 100 o Método de la capacitanc ia


T Tf Ti Tf M

e

t M

T

VͼUͼCp hT ͼA

Tf Ti Tf ͼe

§ dT · 958,6 s ¨ ¸ © dt ¹ t

t M

0

dT dt

Ti Tf M

Ti Tf e

207 ϮϬϳ

t M§

1· ¨¨ ¸¸ © M¹

0,52 D C / s

4) t,

dT dt

§ dT · ¨ ¸ © dt ¹ t

t

Ti Tf M e M

0

Ti Tf M

Ti Tf § Vͼ Uͼ C p ¨ ¨ hT ͼ A ©

· ¸ ¸ ¹

h T ͼAͼTi Tf VͼUͼC p

q abs. reg. permanente VͼUͼC p

Se ve en la expresión que el gradiente de temperatura al comienzo del transitorio es independiente de “h” y de “H”.

ϮϬϴ


208


PROBLEMA74

Se tiene una placa metálica, cuadrada, de espesor despreciable y de muy alta conductividad térmica, con 1 m2 de superficie alzada horizontalmente a 1 m de altura sobre el terreno mediante 4 apoyos adiabáticos, de sección despreciable, que actúan como patas en sus esquinas. La superficie superior de la placa se encuentra sometida a una irradiación solar de 1000 W/m2. La temperatura del cielo equivalente es de -30ºC, en tanto que el aire ambiente, que está en calma, y la superficie del terreno, se mantienen a una temperatura estable de 20ºC. Teniendo en cuenta que el cielo equivalente y la superficie del terreno se comportan como cuerpos negros frente a la radiación térmica, y que las dos superficies de la placa se comportan como superficies grises con emisividad 0,8, determinar la temperatura de equilibrio de la placa, al alcanzarse el régimen permanente, teniendo en cuenta todos los mecanismos de transmisión de calor. Nota: Si a efectos de cálculo fuera necesario realizar una estimación inicial de la temperatura de la placa, deberá tomarse un valor comprendido entre 50 y 60ºC. SOLUCIÓN

La temperatura que alcanza la placa vendrá determinada por el balance de energía en la placa teniendo en cuenta los mecanismos de transmisión de calor que entran en juego que son:

Radiación entre la placa y el suelo, Radiación entre la placa y el cielo, Convección natural entre la placa y el aire por la parte superior, Convección natural entre la placa y el aire por la parte inferior. Radiación solar absorbida en la placa.

El balance de energía en la placa queda como:

D G hs Tp Ta hi Tp Ta H V Tp 4 Tce 4 H V Tp 4 Ts 4

(*)

Con G, la irradiación solar, Dy H , la absortividad y emisividad de la placa, hs y hi los coeficientes de convección por la parte superior e inferior de la placa, V la constante de Stefan-Boltzmann, Tp la temperatura de la placa, Ta la temperatura ambiente, Tce la temperatura de cielo equivalente y TS la temperatura del suelo. Al tratarse de una placa que se comporta como un cuerpo gris, la absortividad es igual a la emisividad, con lo que D=0,8. Los coeficientes de convección natural por la cara superior e inferior se estiman mediante las correlaciones correspondientes a convección natural alrededor de superficies planas horizontales. En todos los casos la longitud característica es: Lc

A P

1 4

0, 25 m

Las correlaciones para el cálculo del número de Nusselt en convección natural requiere la estimación de la temperatura superficial de la placa. Se indica en el enunciado que esa temperatura, que es la que hay que hallar, se encuentra entre 50 y 60ºC. Se estima en una primera aproximación que

209 ϮϬϵ


Tp=54ºC (la misma tanto para la cara inferior como para la cara superior al tratarse de un material de espesor despreciable y conductividad alta). Para la determinación de los parámetros adimensionales de la correlación correspondiente se tienen que evaluar las propiedades del aire seco a la temperatura media que será 0,5ͼ(55+20)=37,5ºC. De tablas de propiedades se obtiene: P=19,02ͼ10-6 kg/mͼs U=1,109 kg/m3 Pr=0,7253 k=0,02636 W/mͼK El coeficiente de dilatación volumétrica se obtiene a la temperatura del fluido: E=1/Ta=1/293=3,4133 10-3 K-1 De donde se obtiene que Gr

9, 81 1, 109 3, 413 103 0, 253 35

g U2 E Lc3 'T P2

19, 02 10

6 2

Ra Gr Pr

6, 237 107

4, 52 107

El coeficiente hs se obtiene de la correlación de placa caliente por la cara superior, con Ra > 107, con lo que la correlación de Nusselt es: Nu hs

0, 15 Ra1 3 Nu k Lc

0, 15 4, 52 107

13

53, 45

53, 45 0, 02636 =5,635 W/m2K 0, 25

El coeficiente de convección por la inferior hace uso de las mismas propiedades al tener que evaluarse a las mismas temperaturas, con el Nusselt calculado según la correlación de placa horizontal caliente por la cara inferior. Nu hs

Nu k Lc

0, 27 Ra1 4

22, 19 0, 02636 0, 25

22, 19 2, 335 W/m2ͼK

Con estos coeficientes, entrando en (*): 800

5, 635 2, 335 Tp 293 0, 8 5, 67 10 8 Tp4 2434 Tp 4 2934

Se puede despejar la temperatura en la placa, que resulta ser: Tp

326,2 K = 53,2ºC

210 ϮϭϬ


Que es un valor muy próximo al utilizado para obtener los coeficientes de transferencia para convección natural (54ºC), con lo que la suposición es correcta y se da por buena la temperatura de equilibrio de la placa.



Ϯϭϭ

211

PROBLEMA75

Un fluido ideal, cuyas propiedades no varían con la temperatura, se mantiene a T1 qC bajo una placa horizontal gris de reflectividad 100% y espesor despreciable, y a T2 qC sobre ella (T2 < T1). Calcular la temperatura estable de la placa separadora de ambos volúmenes de fluido considerando que el rango de variabilidad de RaL en ambas caras de la placa es: 104 < Ra < 1011. SOLUCIÓN

Análisis de la placa separadora

Conducción:

Al ser una placa de espesor despreciable, puede despreciarse el gradiente entre ambas caras libres de la misma, siendo única por tanto la temperatura de la placa.

Radiación:

D U W 1½ ° ¾ D 0 H (gris) ° ¿

U 1 W 0

Al ser una placa de reflectividad unidad por ambas caras, la placa no absorbe nada de calor de su entorno; al ser gris su emisividad será nula también, , por lo que no intercambiará calor por radiación.

Convección:

Puesto que el calor viaja en el sentido de las temperaturas decrecientes, en teoría pasará del fluido caliente a la parte inferior de la placa, y desde la parte superior de la misma, hacia el fluido frío. Análisis del acoplamiento fluido-placa (volumen inferior) Indica el enunciado que se trata de un “fluido ideal” cuyas propiedades no varían con la temperatura. Este hecho se revela fundamental, como se verá a continuación Plantea el rango máximo para el número RaL entre 104 y 1011, en donde existen correlaciones de convección libre: NuL

f RaL , Pr RaL 10 4 ,10 11

Siendo: RaL

gͼ E ͼ U2 ͼL3 TF TS P2

212 ϮϭϮ


Como las propiedades no varían con la temperatura, serán las mismas en la cámara superior fría (T1
w Volumen Específico wT

ya

0

que U z f T ; U1

U2 ; Q 1

Q2

Al ser nulo E será siempre nulo RaL, siendo nulo el número EƵ y por tanto Ś (no hay convección). Es decir, si la convección se produce por diferencias de densidades en el seno de un fluido, y no existen tales diferencias, no puede haber convección. Así, las partículas de los fluidos, una vez alcanzado el régimen permanente, se encuentran en reposo. La solución del problema requiere plantearse que el volumen inferior (T1) transferirá calor a la parte inferior de la placa separadora (Tplaca T2) y el fluido de la cámara superior (T2), por tanto, el esquema eléctrico equivalente será:

Por ser constantes con la temperatura las propiedades del fluido, igualando la ley de Fourier en ambos lados de la placa, para un mismo espesor de fluido:

T T §W· q'' ¨ 2 ¸ kF 1 placa m 'x © ¹

kF

Tplaca T2 'x

T1 Tplaca

Tplaca T2 Tplaca

T1 T2 2



Ϯϭϯ

213

PROBLEMA76

Se tiene una placa metálica de 1 m de largo, 0,5 m de ancho y espesor despreciable, en cuyo interior se genera, por efecto Joule, una potencia térmica uniforme de valor total 2000 W. Se adosa esta placa contra una de las paredes adiabáticas de un recinto de grandes dimensiones, situando el lado mayor en posición horizontal. Tanto las paredes, el techo y el suelo, como el aire del interior del recinto, se mantienen a una temperatura constante de 20ºC. Teniendo presente que se desconocen por completo las propiedades que caracterizan el comportamiento térmico radiante de la superficie libre de la placa y de la superficie interior del recinto, calcular la máxima y la mínima temperatura imaginable que podrá alcanzar la superficie libre de la placa, en régimen permanente, en función del rango de variabilidad postulable para dichas propiedades. NOTAS: Suponer que, a los efectos de intercambio térmico radiante entre la placa y el recinto, tanto la superficie libre de la placa como la superficie interior del recinto se comportan como cuerpos grises. Como primera aproximación puede suponerse una temperatura cercana a los 400ºC. SOLUCIÓN

Se tiene una placa con fuente térmica que da lugar a una potencia total de 2000W. Además, por los datos del enunciado, esta potencia es disipada al entorno a través de una superficie de valor 1mͼ0,5m=0,5m2. Existirá intercambio por convección y radiación, si bien la emisividad de la placa es desconocida, pero se sabe que su valor estará entre 0 y 1. Siguiendo la nomenclatura indicada en el esquema, en régimen permanente se tiene: qgen

A·h· Ts Tf A·V·H· Ts4 TR4

Como existe equilibrio entre el aire y el recinto: Tf = TR El intercambio de calor con el aire se realiza a través de convección libre: NuL = f(RaL, Pr) donde L es la longitud característica del intercambio convectivo, que en este caso será la altura de la placa. a) Cálculo de la máxima temperatura superficial Corresponde con el caso en que las condiciones de refrigeración son las peores, esto es, cuando la placa no evacúa calor por radiación: ɸ=0

214 Ϯϭϰ


h · A · Ts Tf

qgen

Es decir, los 2000 W que genera la placa se deben disipar por convección libre. Puesto que ésta depende de la diferencia de temperatura superficie-fluido, será necesario suponer una temperatura, y comprobar si es compatible con dicha disipación de 2000W. Aceptando la sugerencia del enunciado, se supone TS = 400ºC. La correlación adecuada es: °NuL ° ° ® ° °NuL ° ¯

ª § 0.492 ·9 /16 º 0.68 0.670RaL1/ 4 «1 ¨ ¸ » «¬ © Pr ¹ »¼

4 / 9

si Ra 109

9 / 16 8 / 27 º ª ª º « 0.825 0.387RaL1/ 6 «1 ¨§ 0.492 ¸· » » « » © Pr ¹ »¼ « ¬ ¬ ¼

2

si Ra ! 109

Con: g · E · L3c · TS TF

RaL

Q2

·Pr

Y propiedades a Tmp salvo: 1 TF (K )

E

1 K 1 293, 15

Del número de Nusselt se obtiene el coeficiente de película y se itera con TS’:

q h· A

20

X (m2/s) 0,00003578 0,00004116 0,00003999 0,00004012 0,00004015

Pr

q hA TS' Tf TS'

h · 1 ·0, 5 · TS' Tf

2000

TS Tmp (ºC) (ºC) 400 210 484 252 466 243 468 244 468,6 244,3

TF

2000 h · 1 · 0, 5

0,6967 0,6945 0,6949 0,6948 0,6948

4000 h

20

k (W/mͼK) 0,03845 0,04117 0,04059 0,04065 0,04067

Ra 6,920ͼ109 6,365ͼ109 6,487ͼ109 6,473ͼ109 6,469ͼ109

Nu

h (W/m2K) 224 8,612 218,1 8,978 219,4 8,906 219,3 8,914 219,2 8,916

TS’ (ºC) 484,4 465,5 469,2 468,7 468,6

q (W) 1636 2083 1986 1997 2000

Que converge para TS =468,6ºC (máxima temperatura) En todas las iteraciones anteriores se ha empleado la expresión correspondiente a régimen turbulento ya que en todas las suposiciones Ra>109 b) Cálculo de la mínima temperatura superficial Por un razonamiento análogo al del apartado a) la mínima temperatura de la placa se dará cuando la emisividad sea máxima, esto es, ɸ=1 qRAD = máxima (cuerpo negro). Ahora: qgen

h ·A · Ts Tf A·V·H· Ts4 TR4

0, 5· 1 · h· TS 293, 15 0, 5· 1 · 5, 67 ·10 8 · Ts4 293, 154

215 Ϯϭϱ


Con TS expresado ahora en kelvin. Debe suponerse de nuevo TS para calcular el h y hacer que la ecuación anterior tome un valor de 2000 W. Iterando, con la misma recomendación que el enunciado: TS (K) 673 500 450 475 485 481,3

Tmp (K) 483,1 396,6 371,6 384,1 389,1 387,2

X (m2/s) 0,00003577 0,00002559 0,00002289 0,00002422 0,00002477 0,00002456

Pr

0,6967 0,7068 0,7114 0,709 0,7081 0,7084

K (W/mͼK) 0,03844 0,03259 0,03084 0,03172 0,03207 0,03194

Ra

Nu

h 2

(W/m K) 9

6,921ͼ10 7,471ͼ109 7,129ͼ109 7,352ͼ109 7,411ͼ109 7,391ͼ109

224 229,9 226,8 228,9 229,4 229,2

8,612 7,495 6,994 7,26 7,358 7,322

q (W) 7242 2338 1502 1894 2065 2000

Converge para T =481,3ºC = 208,1ºC, mínima temperatura. En todas las iteraciones anteriores se ha empleado la expresión correspondiente a régimen turbulento ya que en todas las suposiciones Ra>109

Ϯϭϲ

216



PROBLEMA77

Sea una antena de una furgoneta de 1cm de diámetro y 50cm de longitud. La antena se encuentra dispuesta en el centro del techo del vehículo (ver figura). El techo, al recibir radiación solar, incrementa su temperatura. Se puede considerar que el calor transmitido por el techo de la furgoneta al resto del vehículo es despreciable. Determine, en régimen permanente: 1) Temperatura que alcanza el techo de la furgoneta despreciando el efecto que produce la antena, TTecho Si la antena está adosada al techo de la furgoneta sin resistencia térmica de contacto, determine: 2) Potencia que disipa la antena qA1 3) Temperatura en el extremo libre de la antena d>ϭ El dueño de la furgoneta decide instalar una bandera en la antena mediante dos sujeciones, concretamente en el tramo que va desde x=0m hasta x=0,05m y desde x=0,45m hasta el final de la antena (ver figura), considerando el origen de coordenadas en la unión entre antena y techo del vehículo. Si a efectos térmicos se consideran las sujeciones adiabáticas, determine, utilizando la temperatura del techo obtenida en el primer apartado: 4) Potencia que disipa la antena qA2 5) Temperatura del extremo libre de la antena TL2. DATOS - Irradiación solar G = 1000 W/m2 - Temperatura ambiente: Tf = 25ºC - Temperatura del cielo equivalente Tsky = 10ºC - Emisividad del techo de la furgoneta: ɸTecho = 0,5 - Absortividad de la superficie de la furgoneta: ɲTecho = 0,75 - Coeficiente de película con el aire ambiente: h = 5 W/m2K - Conductividad térmica de la antena k = 200 W/mͼK NOTAS: -Considérese que la sección transversal del extremo libre de la antena disipa una cantidad de calor despreciable -Despréciense efectos radiativos en la superficie de la antena SOLUCIÓN

1) Mediante balance de energía al techo de la furgoneta se observa que la energía entrante es la irradiación solar y la energía saliente abandona el techo del vehículo en forma de convección y radiación. Se obtiene así la siguiente expresión:

D · G hf · TTecho Tf H·V· TTecho 4 TSky 4 En esta expresión el único valor desconocido es TTecho. Despejando: TTecho = 100ºC.


217 Ϯϭϳ

2 y 3) Debe acudirse a las soluciones para el comportamiento térmico de aletas tipo aguja (aletas de sección constante). Existen dos posibilidades de aplicación, extremo adiabático (el que sugiere el enunciado en su nota final) y longitud infinita. Para discernir entre una y otra posibilidad se debe atender al criterio con el que se define una aleta infinita: mͼL>2,65~3, siendo la expresión del parámetro m: m

hf ·P k·Ac

3, 16 m-1

que aplicado al criterio anteriormente señalado resulta: 3,16 m-1 ͼ 0,5 m = 1,58 < 2,65; por lo que el uso de las expresiones para superficie adicional infinita no sería adecuado. Las expresiones del perfil de temperaturas y del calor total disipado en para el caso de extremo adiabático son: cosh m·L x

T Tb

(*)

cosh m·L

q M· tgh m·L

(**)

Con

M

hf ·P·k·Ac ·Tb

3, 76 W

Valor que introducido en (**) permite determinar el calor disipado por la aleta: q=qA1= 3,5 W La temperatura en el extremo libre se obtiene de la expresión (*), particularizada para x=L. Introduciendo los valores y deshaciendo el cambio de variable resulta: TL=TL1 = 55ºC 4) Ahora, la aleta en cuestión no disipa calor en sus primeros 5 cm ni en sus 5 cm finales, ya que ambas zonas se comportan como tramos adiabáticos en la superficie lateral de la antena. La longitud cuyo comportamiento térmico se puede asimilar al de una aguja resulta ser L2 = 0,4 m. Hay conducción en el tramo comprendido entre 0 m y 0,05 m, mientras que en el tramo entre 0,45 m y 0,50 m la temperatura es constante, al ser la sujeción de la bandera adiabática y el calor que se transmite por el extremo libre despreciable. Como todo el calor que pasa a través del tramo 0 m - 0,05 m es en realidad el disipado por la aleta, se puede establecer la siguiente igualdad: qCD k· Ac ·

Ttecho Tbase,2 0, 1m 0m

M2 ·tgh m·L 2

Despejando se obtiene Tbase,2 = 92ºC.

qA2

hf ·P·k·Ac ·Tb2 ·tgh m·L 2

hf ·P·k·Ac · Tbase,2 Tf · tgh m·L 2

218 Ϯϭϴ


Con este valor la obtención del calor disipado por la aleta el aire resulta de sustituir su valor en cualquiera de los términos de la siguiente expresión: qA2

k · Ac ·

Ttecho Tbase,2 0, 1m 0m

hf ·P·k·Ac ·Tb2 ·tgh m·L2

2, 8 W

5) Por último se obtiene la temperatura en el extremo libre del mismo modo que en el apartado c): T2 Tb2

1 TL2 60qC cosh m·L 2



Ϯϭϵ

219

PROBLEMA78

Un panel solar sin cobertura está formado por una placa de 2 mm de espesor (k = 54 W/mͼK) pintada en la cara expuesta al sol de pintura con una H=0,12. El panel absorbe una radiación solar total de 1056 W/m2, con una temperatura de cielo equivalente de Tc=-25qC. La cara pintada está en contacto con aire ofreciendo un coeficiente de convección hc = 5 W/m2K. Resolver el problema mediante métodos numéricos con 'x=1 mm. La temperatura ambiente es de 20qC, y la temperatura del fluido interior del panel es de 55qC con un coeficiente de convección interior de 25 W/m2K. Para ello: 1) Dibujar la malla nodal y/o circuito eléctrico equivalente con las formas de transmisión de calor en el panel solar. 2) Determinar las temperaturas en los nodos y el flujo de calor que atraviesa el panel en cada una de las dos caras mediante métodos numéricos. 3) Discutir el efecto sobre la temperatura del panel de un incremento del hc de 5 a 20 W/m2K Nota: Si desea trabajar con un sistema de ecuaciones lineales en cada nodo, estimar el coeficiente de radiación equivalente tomando como temperatura de la superficie pintada 80qC, manteniendo constante en todo el proceso de iteración. SOLUCIÓN

En el panel solar se deben de incluir todos los procesos de transmisión de calor que entran en juego: conducción a lo largo del material del panel, convección entre las superficies del panel y el aire exterior o fluido interior, y radiación con el cielo equivalente exterior. Los nodos de temperaturas conocidas son los que corresponden al cielo equivalente exterior, el aire exterior y el fluido interior. Las ecuaciones que describen el fenómeno en cada nodo son:

220 ϮϮϬ


Nodo 1: Ta T1 TC T1 T2 T1 q Rca Rr Rk

0

Nodo 2: T1 T2 T3 T2 Rk Rk

0

T1 T2 T2 T3 Rci Rk

0

Nodo 3:

Con las resistencias térmicas en estas expresiones de los nodos como: 1 ha

Rca

Rk

'x k

Rci

1 hi

1 hr

Rr

En donde el modo de transmisión de calor por radiación se puede evaluar según un modelo lineal con un coeficiente de radiación, dimensionalmente idéntico al de convección y que se obtiene de la forma: hr

§ T 4 T4 · VH¨ s ¸ © Ts T ¹

Se toma 80ºC como temperatura de referencia en la superficie para obtener el coeficiente del modelo lineal, y -25ºC como temperatura de cielo. De esa forma: hr

§ T 4 T4 · VH¨ s ¸ © Ts T ¹

§ 80 273 4 25 273 4 5, 68 10 8 0, 12 ¨ ¨ 80 25 ©

· ¸ ¸ ¹

0, 761

W m2K

Con los datos del problema, las resistencias térmicas son: Rca

Rci

1 ha 1 hi

1 5 1 25

0, 2

m2K ; Rk W

0, 04

m2K ; W

'x k Rr

0, 001 54 1 hr

0, 0001852

1 0, 761

1, 314

m2K W

m2K W

Sustituyendo los valores de las resistencias del símil eléctrico y las temperaturas ya conocidas, en las ecuaciones de los nodos queda un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya solución es: T1=81,86 qC T2=81,74 qC T3=81,61 qC Una vez conocidas las temperaturas se pueden calcular los flujos de calor en cada una de las dos caras.


221 ϮϮϭ

En la cara superior, se tiene el flujo de calor emitido por convección al aire exterior y por radiación contra el cielo equivalente: El flujo por convección es: qca

ha T1 Ta

5 81, 86 20

309, 3 W/m2

El flujo por radiación es: qra

hr T1 Tc

0, 761 81, 86 25

81, 32 W/m2

Lo que hace un flujo de calor global por la cara superior de: qs

309, 3 81, 31

390, 62 W/m2

Por la cara inferior se tiene el calor evacuado por convección al fluido caloportador que refrigera el panel, que se calcula como: qci

hi T3 Ti 25 81, 86 55

665, 4 W/m2

Es decir, aproximadamente un tercio de todo el calor se evacua por el fluido que pasa por el interior de los tubos. Si se incrementa el coeficiente de película de la parte superior del panel (por ejemplo, por una variación de las condiciones de viento exterior), se reduce la resistencia entre la zona de captación de calor del panel y el aire exterior, con lo que más cantidad de calor se escaparía a la atmósfera; si se mantiene las condiciones de convección interiores, menor calor pasará a fluido refrigerante interior y se reducirá la temperatura que alcanzara la superficie del panel.

ϮϮϮ

222



PROBLEMA79

En un parque existe un estanque de agua de 4 m de diámetro y 1 m de profundidad, con paredes adiabáticas, cuyo fondo se mantiene a una temperatura estable de 10ºC, en equilibrio con el terreno. Una noche de invierno, con aire a -6ºC y viento que induce un coeficiente de convección de 60 W/m2K, encontrándose el cielo despejado de forma que la bóveda celeste se comporta como una superficie negra a -50ºC, se observa que se ha iniciado la formación de una fina película de hielo en la superficie libre del agua. Suponiendo que se mantienen condiciones estables de régimen permanente durante un periodo de tiempo de 5 horas, se pide calcular lo siguiente: 1) Temperatura media del agua del estanque, fuera de las dos capas límite de interfase con el fondo y con la placa de hielo. 2) Espesor que alcanzará la placa de hielo al cabo de 5 horas. PREGUNTAS COMPLEMENTARIAS: 3) En igualdad de condiciones, ¿qué espesor de placa de hielo se formaría, durante las 5 horas de régimen permanente, si el cielo estuviese cubierto por una capa de nubes de forma que la bóveda celeste se comportase como una superficie negra a - 10ºC? 4) Si esa misma noche, con cielo despejado, tanto el fondo como el agua del estanque se encontrasen en equilibrio térmico a 0ºC, el aire estuviese a 2ºC, y existiese una ligera brisa que presentase un coeficiente de convección de 10 W/m2K, ¿podría llegar a formarse una placa de hielo durante las 5 horas consideradas de régimen permanente? En caso afirmativo calcular el espesor de la placa de hielo. En caso negativo calcular la temperatura media final que alcanzaría el agua del estanque. DATOS Agua: Coeficiente efectivo de dilatación volumétrica = 0,0052ͼ10-3 Emisividad = 0,95 Hielo: Densidad = 920 kg/m3 Conductividad = 1,88 W/mºC Calor específico= 2,04 kJ/kgͼK Calor de cambio de estado= 333,7 kJ/kg Emisividad= 0,98 SOLUCIÓN

1) En la figura las zonas rayadas representan superficies adiabáticas. El calor se transmite en el sentido de las temperaturas decrecientes, saliendo del fondo del estanque (tierra a 10ºC) hacia el cielo a través del agua, el hielo y el aire. En primer lugar el calor se transmite al agua desde la superficie 1 por convección libre. Desde el agua, prosigue su viaje hacia la cara inferior de la placa de hielo, que está en

223 ϮϮϯ


equilibrio con el agua a 0ºC. De forma esquemática:

Para la determinación de los coeficientes de película h12 y h23 se hará uso de las correlaciones de convección. Tanto en la correlación de convección libre en placa caliente vista por arriba como en convección libre en placa fría vista por abajo es necesario determinar la longitud característica, que será la misma en ambos casos dado que la geometría es la misma: Lc

Área Perímetro

S·R2 2·S·R

R 2

1m

Para ambos coeficientes de película hay que elegir entre dos correlaciones, dependiendo del valor del número de Rayleigh: °NuLc ® °¯NuLc

RaL

0.54RaLc1/ 4

si

2.6 x 104 RaLc 107

1/ 3

si

107 RaLc 3 x 1010

0.15RaLc ,

g · E·L3c ·'T ·Pr X2

Las propiedades termofísicas se evalúan a la temperatura media de película. En ambos casos se conocen las temperaturas superficiales (10ºC y 0ºC), por lo que es obligado suponer la temperatura del fluido, T2.

T2

5qC Tmp

Ts T2 2

12 °°Tmp ® °T23 °¯ mp

10 5 7, 5º C 2 05 2, 5º C 2

Las propiedades y el número de Rayleigh son: T(ºC) 2,5 7,5

k(W/mͼK) 0,575757 0,58927

Pr 11,9 9,8

Q(m2/s) 1,61789ͼ10-6 1,35297ͼ10-6

Ra 1,163ͼ109 1,38 ͼ109

Luego es aplicable en ambos casos la segunda correlación: NuL

0, 15·RaL1/ 3

Debe comprobarse que q12 = q23:

h·Lc h kf

0, 15 · RaL1/ 3 ·

kf °h12 ® LC ¯°h23

90, 85 W / m2K 98, 29 W / m2K

224 ϮϮϰ

q


q12 °° h · A · 'T ® A °h °¯ 23

h12 · 'T

90, 85 10 5

98, 29 5 0

491, 45

454, 25

W m2

W m2

Son valores muy semejantes, y no sería necesario iterar. No obstante, la solución exacta es:

T2

°°h12 5, 15qC ® °h °¯ 23

q12 A q12 91, 86 A

97, 41

97, 41 10 5, 15 91, 86 5, 15 0

472, 4 473

W m2

W m2

Entiéndase que el valor de convergencia puede variar según la fuente donde se leen las propiedades termofísicas. 2) Tomando 1m2 de superficie:

q

q12=q23= 472,7 W/m2

(hielo)

Aplicando un balance a la capa de hielo: q23 q35 q34

q hielo t=0h

7 ']

qgen

hielo t=5h

q=472,7 W/m q35 q34 q23

4 V·Hhielo ·( Thielo T54 ) 171, 54W / m2 ½ °° h34 ·( Thielo T4 ) 360 W / m2 ¾ qgen ° 2 h23 ·( T2 Thielo ) 472, 7 W / m °¿

58, 84 W / m2

El sumidero de calor es precisamente el agua que se congela, necesitando para ello captar el calor de cambio de estado: qgen qcong qcongelación

0 qcong mhielo ·hsl 't

qgen

½ ° U · (1 · 'z) · hSL ¾ 'z ° 't ¿

qgen 't U hSL

W · 5 · 3600 s m2 kg J 920 3 · 333, 7 · 103 kg m 58, 84

0, 00345 m 3, 45 mm

SOLUCIÓN PREGUNTAS COMPLEMENTARIAS: 1) Cielo a T5=-10ºC (presencia de nubes) q35 q34 q23

42, 8 W / m2 ½ °° h34 ·( Thielo T4 ) 360 W / m2 ¾ qgen ° 2 h23 ·( T2 Thielo ) 472, 7 W / m °¿ 4 V·Hhielo ·( Thielo T54 )

69, 9 W / m2

Por tanto no hay fugas netas suficientes para congelar el agua, al contrario, hay un aporte térmico neto ‘positivo’ de 69,9 W/m2. Por lo tanto el agua se calentará.


H· U · c agua

P,agua

· Tfinal Tinicial

225 ϮϮϱ

qgen

De donde la temperatura final resulta 5,2ºC. Y así pese a lo que pudiera pensarse inicialmente, no se forma hielo. 2) Agua a 0ºC, aire a 2ºC y haire=10W/m2K q35 q34 q23

4 V·Hhielo ·( Thielo T54 ) 171, 2 W / m2 ½ °° h34 ·( Thielo T4 ) 20 W / m2 ¾ qgen ° h23 ·( T2 Thielo ) 0 W / m2 °¿

151, 2 W / m2

Así, en este caso se forma hielo pese a lo que pudiera pensarse inicialmente, resultando que el espesor de hielo formado (siguiento la metodología anteriormente descrita) es: ȴz=0,00889m.

227

7. INTERCAMBIADORES DE CALOR

/ŶƚĞƌĐĂŵďŝĂĚŽƌĞƐĚĞĐĂůŽƌ

ϮϮϵ

229

Intercambiadores de Calor.

PROBLEMA80

Un aerorrefrigerante (cambiador de calor de flujos cruzados, con ambos fluidos sin mezclar) se utiliza para intercambiar calor entre agua glicolada y aire. Según su catálogo, las características nominales son:

Potencia térmica = 102,6 kW Caudal de agua glicolada = 19,1 m3/h Caudal de aire = 35400 m3/h Temperatura del agua glicolada a la entrada= 40qC Temperatura del agua glicolada a la salida= 35qC Temperatura del aire ambiente a la entrada= 25qC

Se pretende hacer uso de dicho aerorrefrigerante en una planta industrial que va a trabajar en las siguientes condiciones:

Caudal de agua glicolada y de aire: los nominales Temperatura del agua glicolada a la entrada = 56qC Temperatura del aire ambiente a la entrada = 35qC

Determinar las condiciones de los fluidos a la salida del cambiador en las nuevas condiciones, así como el calor realmente intercambiado. DATOS Agua glicolada

Aire

Densidad= 1037 kg/m3

Densidad= 1,1644 kg/m3

Calor específico= 3730 J/kgͼK

Calor específico= 1006,4 J/kgͼK

Se asumirá constante el coeficiente global de transmisión de calor U. SOLUCIÓN

Condiciones nominales T =40°C ce Tcs =35°C

't

Tfs = 33,9°C

1

't 2

Tfe= 25°C

f ·Cp f · Tfs Tfe Tfs q m

'Tm

F · 'Tlm

Donde:

Tfe

q f ·Cp f m

25

102600 35400 1, 1644 · · 1006, 4 3600

33, 9 DC

230


ϮϯϬ

x

'Tlm

x

Tce Tfs Tcs Tfe 40 33, 9 35 25 ª T Tfs º ª 40 33, 9 º ln « ln « ce » » ¬ 35 25 ¼ ¬« Tcs Tfe ¼»

°R ° f R, P o ® °P °¯

F

Por tanto: 'Tm

f ·Cpf m c ·Cpc m

Tce Tcs Tfs Tfe

Tfs Tfe Tce Tfe

33, 9 25 40 25

40 35 33, 9 25 0, 59

7, 89 DC

½ 0, 56 ° ° Figura ¾ o F | 0, 94 ° °¿

7, 41 DC

0, 94 · 7, 89

Se puede obtener, finalmente, el parámetro UͼA que es el mismo en ambas condiciones: q 'Tm

U·A

102600 7, 41

13839

W K

Nuevas condiciones (Tce=56qC ; Tfe=35qC)

m ·Cp c m ·Cp f

19, 1 W · 1037 · 3730 20522 3600 K 35400 W ·1, 1644 ·1006, 4 11523 o mínimo 3600 K

½ m ·Cp min 11523 0, 56 ° °CR · m Cp 20522 ° ° Figura max ® ¾ o H · U A 13839 °NTU 1, 2 ° ° ° ·Cp 11523 m ¯ ¿ min

0, 59

Tfs Tfe Tfs Tce Tfe

47, 3 DC

&5

El nuevo calor intercambiado será:

f ·Cp f · Tfs Tfe 142 kW q m

H

Haciendo un balance al fluido caliente se obtiene la temperatura caliente de salida:

178

c ·Cpc · Tce Tcs Tcs q m

Tce

q c ·Cpc m

49, 1 DC



Ϯϯϭ

231

PROBLEMA81

Un cambiador de placas en el cuál los fluidos circularán en contracorriente pura, ha sido elegido inicialmente para trabajar en las siguientes condiciones:

C Fluido caliente: agua, TCE = 90ºC, m

F Fluido frío: agua, TFE = 30ºC, m

900 kg/h

700 kg/h

Presentando un coeficiente global de transmisión de calor de U=2000 W/m2ͼK en estas condiciones. Se desea valorar el comportamiento del cambiador en dos supuestos: 1) Cuando ambos caudales se reducen a la mitad, ¿cómo influye en las temperaturas de salida de los fluidos? ¿Cómo influye en el calor intercambiado? 2) Si al cabo de cierto tiempo, manteniendo los caudales nominales iniciales, el ensuciamiento hace que se reduzca el coeficiente global de transmisión un 30%, ¿cómo queda afectado el calor intercambiado y las temperaturas de salida del cambiador? DATOS

Para un cambiador de placas tómese la siguiente correlación para el cálculo de los coeficientes vUL c Re 0,64 0,4 P y la longitud característica es dos veces la de película: Nu 0, 4 ·Re ·Pr , donde distancia entre placas.

Considérense las propiedades del agua constantes en todo el análisis, iguales para ambos fluidos y tomar como valor las correspondientes a 70ºC. El área efectiva de intercambio es de 1 m2. La resistencia térmica de las placas es despreciable.

SOLUCIÓN

1) Caudales reducidos a la mitad El diseño original contempla: 900 kg 0, 25 3600 s 700 kg F m 0, 194 3600 s 700 CR 0, 778 900 U· A 2000 NTU P MIN 0, 194 · 4191 mc

C m

2, 45

Al comportarse como un cambiador de contracorriente pura, se puede calcular la efectividad, entrando en la ecuación: H

1 exp ª¬ 1 CR · NTUº¼

1 CR ·exp ª¬ 1 CR · NTUº¼

0, 7654

232 ϮϯϮ


Al ser la corriente fría la de capacidad mínima, H

Tfs Tfe Tfs Tce Tfe

0, 7654 ·(90 30) 30

75, 9º C

FcP ( Tfs Tfe ) 37424 W Y aplicando q m

Tce

Por lo que Tcs

q mC cP

90

37424 0, 25 · 4191

54, 3º C

Estos son los resultados para la configuración nominal del cambiador. Cuando los caudales se reducen a la mitad, se ve afectado el coeficiente global de transmisión de calor:

Re'

' LC m SP

m LC 2 SP

0, 5 Re

0,4 Nu ' k 0, 4 ·Re'0,64 Pr 0,4 k 0, 4 · 0, 5 Re Pr k 0, 4 ·Re0,64 Pr 0,4 k 0, 50,64 LC LC LC LC 1 1 W 0, 6417 · U 0, 6417 · 2000 1283, 4 2 1 1 1 1 m K he ' hi ' 0, 6417he 0, 6417hi 0,64

h' U

0, 6417h

Y rehaciendo los cálculos de NTU: 450 kg 0, 125 3600 s 350 kg F m 0, 097 3600 s 350 CR 0, 778 450 U· A 1283, 4 NTU P MIN 0, 097 · 4191 mc

C m

H

Tfs Tfe Tfs Tce Tfe

3, 15 H

0, 82 ·(90 30) 30

0, 82 79, 2º C

FcP ( Tfs Tfe ) 20052 W Y aplicando q m

53, 6% qORIGINAL

Es decir, reducir los dos caudales a la mitad implica que el calor intercambiado prácticamente se reduce en la misma proporción. Respecto a la temperatura de salida del fluido caliente: Tcs

Tce

q C cP m

90

20052 0, 125 · 4191

51, 7º C

2) Variación de la resistencia de ensuciamiento. Resulta sencillo de resolver, simplemente aplicando un factor 0,7 al coeficiente global original: C m

900 3600

0, 25

kg F ;m s

700 3600

0, 194

kg ; CR s

700 900

0, 778

Intercambiadores de Calor. /ŶƚĞƌĐĂŵďŝĂĚŽƌĞƐĚĞĐĂůŽƌ

NTU H

U· A mcP MIN

Tfs Tfe Tfs Tce Tfe

0, 7 ·2000 0, 194 · 4191

1, 72 H

0, 676 ·(90 30 ) 30

233 Ϯϯϯ

0, 676 70, 6 º C

FcP ( Tfs Tfe ) 33081 W (el ensuciamiento hace que el calor intercambiado Y aplicando q m lógicamente disminuya). Ahora: Tcs

Tce

q C cP m

90

33081 0, 25 · 4191

58, 4 º C

Ϯϯϰ


234


PROBLEMA82

Determine el área para transferencia de calor necesaria para un intercambiador de calor construido con un tubo de 0,0254 m de diámetro externo para enfriar 6,93 kg/s de una solución de alcohol etílico al 95% (cP = 3810 J/kgͼK) de 65,6qC a 39,4qC, utilizando 6,30 kg/s de agua disponible a 10qC. Suponga que el coeficiente global de transmisión de calor basado en el área externa de los tubos es de 568 W/m2K (constante) y considere cada una de las siguientes configuraciones: 1) Flujo paralelo en carcasa y tubo 2) Contracorriente en relación con los tubos y carcasa 3) Intercambiador de contracorriente con 2 recorridos por la carcasa y 4 recorridos por los tubos, con 72 tubos en total (18 tubos por paso); el alcohol fluye a través de la carcasa y el flujo de agua a través de los tubos 4) Flujo transversal, con un recorrido por los tubos y uno por la carcasa, fluido mezclado en el lado de la carcasa SOLUCIÓN

La temperatura de salida del agua con cualquiera de las cuatro combinaciones se obtiene con un balance global de energía, suponiendo que la pérdida de calor hacia la atmósfera es despreciable. Escribiendo el balance de energía como:

c ·Cpc · Tce Tcs m f ·Cpf · Tfs Tfe 6, 93 · 3810 · 65, 6 39, 4 m

6, 3 · 4187 · Tfs 10 Tfs

36, 2 DC

El flujo de calor desde el alcohol hacia el agua es:

c ·Cpc · Tce Tcs q m

6, 93 · 3810 · 65, 6 39, 4

691800 W

1) La diferencia logarítmica de temperaturas es: 'Tlm

Tce Tfs Tcs Tfe ª T Tfs º ln « ce » ¬« Tcs Tfe ¼»

55, 6 3, 2 ª 55, 6 º ln « » ¬ 3, 2 ¼

18, 4 DC

El área de transferencia de calor es: A

q U·'Tm

691800 568 · 18, 4

66, 2 m2

La longitud de 830 m del intercambiador para un tubo de 0,0254 m de diámetro externo sería demasiado grande para ser práctica. 2) Para la configuración en contracorriente, la diferencia logarítmica media de temperatura c ·Cpc m f ·Cp f apropiada es 'Tlm 65, 6 36, 2 29, 4 DC porque m El área necesaria resulta:

235 Ϯϯϱ


A

q U·'Tm

691800 568 · 29, 4

41, 4 m2

Esta área es aproximadamente un 40% menor que la necesaria para flujo paralelo. 3) Para la configuración en contracorriente con 2 recorridos por la carcasa, se determina la diferencia de temperatura media apropiada aplicando el factor de corrección.

F

°R ° f R, P o ® ° °P ¯

m ·Cp tubos m ·Cp carcasas TS TE tubos TE TS carcasas

1 Tfs Tfe Tce Tfe

36, 2 10 65, 6 10

½ ° ° ¾ o F | 0, 97 ° 0, 47° ¿

En este caso el cálculo del área de transferencia se obtiene como: A

q U·'Tm

q · ·'Tlm UF

A

A aptdo.2 F

41, 4 m2 0, 97

42, 7 m2

La longitud del intercambiador de 72 tubos de 0,0254 m de diámetro externo en paralelo sería: L

A / 72 SD

42, 7 / 72 S · 0, 0254

7, 4 m

Esta longitud es aceptable aunque se podrían utilizar más tubos si se desea acortar el intercambiador. 4) Para la configuración en flujo transversal, se observa que el factor de corrección es F=0,88. El área necesaria es por lo tanto de 47 m2, aproximadamente un 10% mayor que la de un intercambiador de corriente invertida.

Ϯϯϲ


236


PROBLEMA83

Un cambiador de placas de acero (k=15 W/mͼK) de espesor 0,6 mm está diseñado originalmente para trabajar en las siguientes condiciones: Fluido Agua Agua

Fluido caliente Fluido frío

Caudal 2,4 m3/h 2,4 m3/h

TENTRADA (ºC) 82 67

TSALIDA (ºC) 76 73

presentando una resistencia de ensuciamiento total para ambas corrientes de 0,00018 m2K /W, y un coeficiente global de transmisión de calor de 2000 W/m2K (incluyendo en este valor el efecto del ensuciamiento). Se aumenta el caudal de fluido caliente al doble de su valor inicial, manteniendo constantes las temperaturas de entrada de ambos fluidos así como el caudal del fluido frío. Se pide calcular el nuevo calor intercambiado así como las nuevas temperaturas de salida de ambos fluidos. DATOS x

x x x

Fluidos: Agua, con las siguientes propiedades termofísicas, independientes de la temperatura: cp = 4182 J/(kgͼK) P = 0,59 x 10-3 kg/mͼs U= 992,4 kg/m3 k = 0,6347 W/mͼK Pr = 3,93 Para el cálculo de los coeficientes de película, emplear la expresión: Nu 0, 4 ·ReLc0,64 ·Pr 0,4 , siendo la longitud característica Lc el diámetro hidráulico. Se mantiene constante la resistencia de ensuciamiento. Considerar que el cambiador de placas trabaja a contracorriente pura.

SOLUCIÓN ·

q mc cPc 'Tc

'Tm

'T1 'T2 'T ln 1 'T2

C U cPc 'Tc

2, 4 · 992, 4 · 4182 ·6 3600

(82 73) (76 67) (82 73) ln (76 67)

16600, 9 W

0 In det er min ado 0

Se trata de un cambiador equilibrado, por lo que la diferencia de temperatura entre ambos fluidos se mantiene constante: 'Tm q U·A · 'Tm A

U

1 1 'x 1 Rs hC kP hf

1 2 'x Rs hC kP

q U·'Tm

9qC 16600, 9 2000 ·9

2000 o

2 hC

0, 922m2

1 'x RS o hC 2000 k

7143

W m2K

En las nuevas condiciones, al mantener constantes las propiedades termofísicas, para el cálculo del coeficiente global sólo varía el coeficiente de película por el lado caliente. Así:

237 Ϯϯϳ


1 1 'x 1 Rs kP hf hC'

U'

0, 4 · ReLc'

Nu '

Re'

Nu '

U'

0, 4 · 2 ·ReLc

0,64

1 1 'x 1 Rs kP hf hC'

'· L c m S·P

·Pr 0,4

0,64

·Pr 0,4

LC 2m S·P

2 Re

1, 558Nu o hC'

1, 558hC

11128, 6

1 1 0, 0006 1 0, 00018 11128, 6 15 7143

W m2K

2223

W m2K

Se dispone por consiguiente de los caudales, del coeficiente global U y del área. Es apropiado el método NTU para obtener las nuevas condiciones de salida NTU

CR

U '·A

P MIN mc P MAX mc

½ 0, 74 ° °° ¾H ° ° °¿

2223 · 0, 922 2, 4 · 992, 4 · 4182 3600

P MIN mc

0, 5

F ' cPF 'TF q' m

C U cPF 'TF '

0, 47

TFS ' TFE TFS ' TCE TFE

74, 09 ºC

2, 4 · 992, 4 · 4182 ·(74, 09 67) 19617 W 3600

Es decir, doblar el caudal de uno de los fluidos del cambiador implica un aumento tan solo del 18% del calor intercambiado. q'

m C ' cPc 'Tc ' TCS '

TCE

q

m C ' cPc

82

19617 2, 4 · 992, 4 · 4182 2· 3600

78, 45º C

El fluido caliente (cuyo caudal se ha doblado) se enfría un poco menos y el fluido frío se calienta solo ligeramente por encima del valor original. Por consiguiente, no se debe tomar a la ligera la elección de las bombas que muevan los fluidos: no por el hecho de instalar una bomba mayor se va a ganar mucha transferencia de calor. Por el contrario, las bombas consumirán más energía. Por su puesto, otras condiciones y fluidos pueden alterar esta conclusión, por lo que cada caso en concreto debe ser analizado.

Ϯϯϴ

238



PROBLEMA84

Se desea dimensionar el intercambiador de calor de placas destinado a la instalación de energía solar térmica de la figura, que cuenta con 40 m2 de paneles solares.

Para ello, se admiten los siguientes criterios: - el fluido caliente circulará a razón de 1 litro por cada minuto y metro cuadrado de panel. - Los caudales de diseño de ambos fluidos (agua) son iguales. - La potencia del cambiador es q(W)= 500 x APANEL(m2) - Con una temperatura de entrada del agua caliente de 50ºC, la temperatura de salida del agua fría no será inferior a 45ºC. El intercambiador contará con un número impar de placas, de tal forma que los fluidos circularán por el mismo número de espacios entre placas. Lo harán en contracorriente pura. Se pide: 1) Determinar la diferencia media de temperaturas del cambiador, justificándola 2) Suponiendo inicialmente U= 1370 W/(m2K), determinar el número de placas (impar) necesarias para llevar a cabo el intercambio térmico. Datos de los fluidos: Agua, con las siguientes propiedades termofísicas, independientes de la temperatura: cp = 4182 J/(kgͼK) P = 0,59 x 10-3 kg/mͼs U= 992,4 kg/m3 k = 0,6347 W/mͼK Pr = 3,93 Datos del intercambiador: -

Placas de acero (k=15W/mͼK) de espesor e = 0,6 mm Ancho de placa b= 180 mm Espacio entre placas w= 2,4 mm Área efectiva de intercambio de cada lado de la placa = 0,042 m2 Resistencia de ensuciamiento Rs= 0,00018 m2K/W

239 Ϯϯϵ


Para el cálculo de los coeficientes de película, emplear la expresión: Nu

0, 4 ·ReLc0,64 ·Pr 0,4

Siendo la longitud característica Lc el diámetro hidráulico. SOLUCIÓN ·

C·U 1

mc

l 1mn kg 1m3 · · 40m2 · 992, 4 3 2 mn m 60s m 1000l

·

q mc cPc 'Tc Tcs

Tce

q

50

·

mc cPc

0, 6616

20000 0, 6616 ·4182

kg s

42, 8º C

· ·

mc cPc 'Tc

·

mf cPf 'Tf Tfe

Tfs

mc cPc ·

· Tce Tcs

45 (50 42, 8)

37, 8º C

mf cPf Cambiador puro en contracorriente F 1

'Tm

'Tm

'T1 'T2 'T ln 1 'T2

(50 45) (42, 8 37, 8) (50 45) ln (42, 8 37, 8)

0 In det er min ado 0

5º C

Suponiendo inicialmente U=1370 W/(m2K) se obtiene el área necesaria de placa: q U·A · 'Tm A

q U· 'Tm

20000 1370 · 5

2, 92m2

Puesto que el área de intercambio efectiva por placa es de 0,042 m2, serán necesarias: N

2, 92 0, 042

69, 51 placas

Se toma el entero impar superior: 71 placas, que dejan 70 espacios entre placas para la circulación de los dos fluidos, es decir, 35 espacios por fluido. Re

·Lc m S·P

La longitud característica es 4 veces el área de paso dividida por el perímetro mojado: Lc

4 w ·b 2w 2b

entrando en el número de Reynolds:

4 · 0, 0024 · 0, 180 2 · 0, 0024 2 ·0, 180

0, 0047 m

240 ϮϰϬ

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ Re

·Lc m S·P

0, 66 · 0, 0047 (35 · 0, 180 · 0, 0024 )· 0, 59x103

351, 3

Así: Nu Nu

0, 4 ·ReLc0,64 ·Pr 0,4 h · Lc h kf

Nu · k f Lc

0, 4 · 351, 500,64 · 3, 930,4 29, 45 · 0, 6347 0, 0047

3946

29, 45 W m2K

Al tratarse del mismo caudal másico, con las mismas propiedades termofísicas y el mismo espacio de circulación, este coeficiente de película es válido para ambos lados de la placa. Recalculando el coeficiente global de transmisión de calor: U

1 1 'x 1 Rs hc kP hf

1 1 0, 0006 1 0, 00018 3946 15 3946

1376

Por consiguiente la suposición era correcta, las temperaturas son correctas, y se elegirá un número de placas de 71.



Ϯϰϭ

241

PROBLEMA85

Para refrigerar las 20.000 barras de combustible gastado de una central nuclear, éstas se sumergen completamente, en posición vertical, en una piscina con agua a una temperatura media de 55qC, que se enfría, circulando a través de una batería de tres cambiadores de calor iguales colocados en paralelo, mediante agua de un embalse que se encuentra a 30qC. Teniendo en cuenta los datos abajo indicados, se pide: 1) Calcular la potencia térmica total que hay que eliminar en la piscina 2) Calcular el intercambio de calor en cada cambiador 3) Si no se considera el posible ensuciamiento y se asume que los cambiadores limpios tienen un coeficiente global de transmisión de 2500 W/m2K, calcular la longitud de los tubos de cada cambiador 4) Considerando que se va a producir un ensuciamiento con una resistencia referida al radio exterior del tubo de valor 0,0004 m2K/W, calcular la nueva longitud de los tubos de cada cambiador 5) A la vista de las características geométricas de los cambiadores obtenidas al considerar el ensuciamiento, especificar, sin cálculos adicionales, qué modificaciones se podrían hacer al diseño de los cambiadores para que las proporciones geométricas fuesen más adecuadas DATOS DE LAS BARRAS DE COMBUSTIBLE

Longitud: 4 m Diámetro exterior: 1,5 cm Temperatura en la superficie exterior: 65qC

DATOS E HIPÓTESIS DE PARTIDA EN LOS CAMBIADORES (DATOS PARA CADA CAMBIADOR)

Cambiador de tubos y carcasa con 2 pasos por los tubos y 1 por la carcasa Flujo másico del agua de la piscina: 800.000 kg/h (circulación por el interior de los tubos) Flujo másico del agua del embalse: 1.200.000 kg/h (circulación por la carcasa) Material de los tubos: Acero inoxidable 18% Cr/8% Ni Diámetro exterior e interior de los tubos: 20/18 mm Disposición del haz de tubos: Cuadrangular Paso entre tubos: 24 mm Separación entre deflectores: 1 m Diámetro de la carcasa: 1,8 m Número de tubos totales: 1600

NOTA: Al calcular la potencia térmica disipada en la piscina, considérese que las barras de combustible son superficies planas verticales, aunque haya alguna condición geométrica limitativa que no se cumpla.

242 ϮϰϮ


SOLUCIÓN

1)

Temperatura media de película Tmp

65 55 2

Cp ° °U ° °P 60 DC o Pr opiedades ® °k ° °E °¯Pr

4186 J / kg DC 983, 1 kg / m3 466, 8 · 10 6 kg / m·s 0, 6507 529 · 10 6 K 1 3

Se trata de un proceso de convección libre en superficies planas verticales con 'T ª 1 « « 0, 825 0, 387 · Ra6 « «¬

Nu

8 9 27 º ª º » 16 «1 § 0, 492 · » » « ¨© Pr ¸¹ » » ¬ ¼ » ¼

10 DC y L

2

Donde: x x

g·U2 ·E·L3 ·'T 1, 47 · 1013 P2 El número de Rayleigh es: Ra Gr ·Pr 4, 41 · 1013 El número de Grashof es: Gr

Por tanto, se obtiene: Nu

Nota: no se cumple la condición D / L

4518, 54 h

Nu·k L

735

W m2K

35 / Gr1/ 4 pero la nota del enunciado dice que se ignore.

El flujo de calor de cada barra es: qbarra

h·Abarra ·'T

h· S·Dbarra ·Lbarra ·'T

735 · S · 0, 015 · 4 ·10 1385, 44

W barra

El flujo de calor de todas las barras, que equivale al flujo total a disipar en la piscina, es:

4m

243 Ϯϰϯ


TOTAL qbarras

qpiscina

W · 20000 barras barra

1385, 44

27708 kW

2) Al estar los cambiadores situados en paralelo, en igualdad de condiciones la carga térmica de la piscina se disipa por igual en cada uno de ellos: qcambiador

qpiscina

9236, 27 kW

3

3) Analizando el lado caliente del intercambiador: qcamb

c ·Cpc ·'Tc m

Donde: qcamb 9236, 27 kW c 800000 kg / h m

Cpc a 55 DC

4184 J / kg DC

Por tanto: 'Tc Si la temperatura media caliente es Tmc

9, 93 DC | 10 DC ° Tce 55 DC ® °¯ Tcs

60 DC 50 DC

Analizando el lado frío del intercambiador: qcamb

f ·Cp f ·'Tf m

Donde: qcamb 9236, 27 kW f 1200000 kg / h m

Cpc a 35 DC

4179 J / kg D C m esto es una aproximación

Por tanto: 'Tf

° Tfe 6, 63 DC ® ¯° Tfs

30 DC °½ ¾ Tmf 36, 6 DC ¿°

33, 3 | 35 DC o Cpf | correcto

244 Ϯϰϰ


T =60°C ce 't 1

Tfs = 36,6°C

T =50°C cs ' t2 T = 30°C fe

La temperatura media del intercambiador es: 'Tm

F · 'Tlm

Donde: 'Tlm

F

Tce Tfs Tcs Tfe ª T Tfs º ln « ce » «¬ Tcs Tfe »¼

°R ° f R, P o ® °P °¯

23, 4 20 ª 23, 4 º ln « » ¬ 20 ¼

Tce Tcs Tfs Tfe

60 50 36, 6 30

Tce Tcs Tce Tfe

60 50 60 30

21, 66 DC

½ 1, 52 ° ° ¾F 0, 33 ° °¿

0, 97

Por tanto: 'Tm

0, 97 · 21, 66

21, 07

El calor intercambiado en el cambiador se puede expresar como: qcamb

U· A · 'Tm

Donde: qcamb

9236, 27 kW

U 2500 W / m2K Por tanto: A

175, 85 m2

Una vez conocida el área se obtiene la longitud de los tubos de cada intercambiador: A

Ntubos ·S·De ·L 175, 85 1600 · S · 0, 02 · L L

1, 75 m

4) Si la resistencia por ensuciamiento es Rs calor es: U'

1 1 Ulim pio

Rs

0, 0004 m2K / W , el coeficiente global de transmisión de

1 1 0, 0004 2500

1250

W m2K


245 Ϯϰϱ

La nueva área de transmisión de calor del cambiador será: qcamb

U '· A '· 'Tm A ' A' A

L' L' L

351, 69 m2

3, 5 m

5) El cambiador sucio tiene una longitud de 3,5m y un diámetro de la carcasa de 1,8m. Estas dimensiones no son apropiadas ya que la relación L/D debe ser mayor (el cambiador es muy corto). Por tanto, para hacer que las proporciones sean más adecuadas, la magnitud L (longitud) debe ser mayor y la magnitud D (diámetro exterior), si es posible, debe ser menor. Para conseguir esto existen varias opciones: -

Cambiar la disposición del cambiador a 1 paso por tubos y carcasa, en vez de 2 por tubo y 1 por carcasa (el cambiador será más largo y menos estrecho). Mantener la disposición y poner menor número de tubos. Mantener la disposición y juntar más los tubos.

Ϯϰϲ


246


PROBLEMA86

Se desea dotar de calefacción mediante aerotermos (intercambiadores de calor) a una nave industrial que necesita un aporte térmico continuo de 500 kW. Cada aerotermo está formado por un haz de tubos, por cuyo interior circula agua caliente y dispone de un ventilador que impulsa el aire de la nave que se desea calentar transversalmente al eje de los tubos. Cada aerotermo tiene las siguientes características: -

Tubos de cobre de diámetros 16/14 mm. Disposición alineada de los tubos del haz formando 10 hileras. Separación transversal (ST) y longitudinal (SL) entre los tubos de 4 cm. Área de intercambio de calor de 2,55 m2, tomando como referencia la superficie exterior de los tubos. El agua circula por dentro de los tubos con un caudal de 0,4 m3/h y una velocidad de 0,07 m/s, teniendo una temperatura de 90qC a la entrada del aerotermo. El aire de la nave entra al aerotermo a 18qC y circula perpendicularmente al eje de los tubos con un caudal de 2.000 m3/h y una velocidad a la entrada (Uf) de 2,5 m/s.

Considerando que en estas condiciones de trabajo el catálogo técnico del fabricante le asigna a cada aerotermo, como información comercial de referencia, una capacidad aproximada de intercambio de calor de 9 kW, se pide: 1) Calcular el valor real del coeficiente global de transmisión de calor de cada aerotermo. 2) Comprobar si es correcta la potencia térmica indicada en el catálogo técnico del fabricante, admitiendo como aceptable una desviación de ± 3%. 3) Determinar el número de aerotermos necesarios para acondicionar la nave. -

OTROS DATOS Propiedades del agua a la temperatura media en el intercambiador: ʌ = 971,6 kg/m3 ; cp = 4195 J/kgͼK ; ʅ = 0,355 10-3 kg/mͼs ; k = 0,6668 W/mͼK ; Pr = 2,23 Propiedades del aire a la temperatura media en el intercambiador: ʌ = 1,1143 kg/m3 ; cp = 1006 J/kgͼK ; Pr = 0,7125 Conductividad del tubo de cobre: k = 380 W/mͼK Temperatura media en la superficie exterior del tubo de cobre: TS = 75qC

SOLUCIÓN

1) Cálculo del valor de catálogo del coeficiente global de transmisión de calor qcatálogo

9000 W

°°9000 W ® °9000 W °¯

Ucatálogo ·A·'Tm

f ·Cp f ·'Tf m c ·Cpc ·'Tc m

f ·Cpf ·'Tf m

c ·Cpc ·'Tc m

0, 4 · 971, 6 · 4195 · 90 Tcs Tcs 70,1 DC 3600 2000 · 1, 1143 · 1006 · Tfs 18 Tcs 32, 5 DC 3600

247 Ϯϰϳ


T =90°C ce Tcs =70,1°C

't

1

Tfs = 32,5°C

't 2

Tfe = 18°C

'Tm

F · 'Tlm

Donde: x

x

'Tlm

F

Tce Tfs Tcs Tfe 90 32, 5 70,1 18 ª T Tfs º ª 90 32, 5 º ln « ce ln « » » ¬« Tcs Tfe ¼» ¬« 70, 1 18 ¼»

°R ° f R, P o ® °P °¯

Por tanto: 'Tm qcatálogo

Tce Tcs Tfs Tfe

90 70, 1 32, 5 18

Tfs Tfe Tce Tfe

32, 5 18 90 18

0, 99 · 54, 75

½ 1, 37° ° ¾F 0, 2 ° °¿

54, 75 DC

0, 99

54, 2 D C (no hace falta iterar ya que ʌ y cp son datos del problema)

Ucatálogo ·A·'Tm Ucatálogo

qcatálogo A·'Tm

9000 2, 55 · 54, 2

65, 1

W m2K

Cálculo del valor real del coeficiente global de transmisión de calor a) Cálculo de hi

Tbcal

U 971, 6 kg / m3 ° 90 70, 1 °P 0, 355 · 10 3 kg / m·s 80 DC o Propiedades (dato): ® 2 °k 0, 6668 W / m·K °Pr 2, 23 ¯

Re

v·Di ·U P

0, 07 · 0, 014 · 971, 6 0, 355 · 10 3

2682, 16 ! 2300 o Régimen Turbulento

248 Ϯϰϴ

Problemas de Transferencia de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ 0,023ͼRe0,8 ·Pr n

La correlación a usar es: Nu

° Ts 75 DC dato o Tsint Donde: ® ext D ¯° Tb | 80 C

75 DC Pared de cobre ½° D D ¾ Ts Tb | 5 C 6 C n ¿°

0,023ͼ 2682,16 · 2, 23 0,8

Por tanto: Nu

0,3

hi ·Di hi k

16, 18

770, 6

b) Cálculo de he

Tsext ° ® frío °Tb ¯

75 DC dato

½ ° ¾ Tmp 18 32, 5 D | 25 C ° 2 ¿

U 1, 0924 kg / m3 ° 6 °P 19, 57 · 10 kg / m·s 3 ° °k 27, 81 · 10 W / m·K Prop. Tabla A.6 o® 50 DC °Pr 0, 709 °Prf Pr25 DC 0, 7125 ° °Prs Pr75 DC 0, 7065 ¯

25 75 2

1/ 4

La correlación a usar es:

NuD

ST S T De

2, 5

Um

ReD

ST SL

Uf

Um ·De ·U P

§ Pr · CͼReDn ·Pr 0,36 ¨ f ¸ © Prs ¹ 40 40 16

4, 17

m s

4, 17 · 0, 016 · 1, 0924 19, 57 · 10 6

1 ! 0, 7 C

0, 27 ; n

, donde:

3724, 32

0,63

Por tanto: Nu20

0, 27ͼ 3724, 32

Nu10 Nu20

0, 97 Nu10

0,63

ͼ 0, 709

41, 22

1/ 4

0,36

§ 0, 7125 · ¨ 0, 7065 ¸ © ¹

heDe he k

Nu10 · k De

42, 49 41, 22 · 27, 81 · 10 3 16 · 10 3

71, 6

W m2K

Sustituyendo, el valor real del coeficiente global de transmisión de calor es: Ureal

1 r ·ln re / ri 1 re e ri ·hi k he

1 3 8 · 10 ·ln 16 / 14 16 1 14 · 770, 6 380 71, 6

2) El valor real de la potencia térmica será: qreal

Ureal ·A·'Tm

64, 72 · 54, 2 · 2, 55

8942 W

64, 72

W m2K

0, 3


249 Ϯϰϵ

El valor dado por catálogo corresponde a 9000 W que, frente al valor real obtenido de 8942 W, corresponde a una diferencia de un 3%. Luego la potencia térmica dada por catálogo es correcta. 3) nº aerotermos

qnave qreal

500.000 8.942

55, 92 56 aerotermos

ϮϱϬ


250


PROBLEMA87

Un condensador horizontal de carcasa y tubos está constituido por un haz de 40 tubos de 25 mm de diámetro exterior, 2 mm de espesor y 3 m de longitud. Por el interior de los tubos, en un solo paso, se introducen 17.000 kg/h de agua a 10qC, mientras que por la carcasa se introduce vapor de agua saturado a 100qC. Determinar, con un criterio de convergencia de un 3%, los kilogramos de condensado que se producirán en cada hora de funcionamiento del condensador. DATOS DEL INTERCAMBIADOR: Conductividad térmica del tubo: 58 W/mͼK Nº de tubos equivalentes en la misma vertical: 3 Considerar que el intercambiador tiene una ligera resistencia de ensuciamiento referida al radio exterior del tubo de valor 1,8 10-5 m2 K/W

DATOS DE LOS FLUIDOS: Calor latente de condensación del vapor: 2257 kJ/kg Propiedades del agua a la temperatura media de circulación por dentro de los tubos:

ʌ = 994,74 kg/m3 ; ʅ = 0,7509 10-3 kg/mͼs ; cp = 4,18 kJ/kgͼK ; k = 0,6193 W/mͼK ;Pr = 5,07 Nota: En caso de que se requiera una estimación para realizar los cálculos, supóngase inicialmente que el coeficiente global de transmisión del condensador es 1500 W/m2 K y que la temperatura superficial de los tubos es 90qC. SOLUCIÓN

17000 3600

f m

4, 722

kg f ·Cpf m s A

m ·Cp min

40·S·De ·L

4, 722 · 4180 19738, 8

W K

9, 4248 m2

Cálculo aproximado de Tfs (iterativo) y 'Tm Suponiendo U 1500

Como H

Tfs Tfe Tce Tfe

W NTU m2K

Tfs 10 100 10

U·A

m ·Cp min

0, 51 Tfs

½ 0, 72 ° H 0, 5 gráficamente ¾ H 1 e0,72 0, 51 Rc 0 °¿

55, 9 DC

Nota: el cp del agua es dato del problema y no hay que hacer este cálculo iterativo para esta cuestión. Por tanto: 'Tm

Tce Tfs Tcs Tfe 100 55, 9 100 10 ª T Tfs º ª 100 55, 9 º ln « ln « ce » » ¬ 100 10 ¼ ¬« Tcs Tfe ¼»

64, 34 DC

251 Ϯϱϭ


Cálculo del coeficiente de convección interior (hi)

Tb

U 994, 74 kg / m3 ° 3 °P 0, 7509 · 10 kg / m·s 10 55, 9 ° | 33 DC o Propiedades (dato): ®Cp 4180 J / kg·K 2 ° °k 0, 6668 W / m·K °¯Pr 5, 07

Nu

0,8

0, 027ͼRe ·Pr

1/ 3

§P· ¨ ¸ © Ps ¹

0,14

Donde: x

Se supone una temperatura superficial Ts

x

Re

f ·Di m S f ·P

f ·Di m D2 40S i ·P 4

90 DC Ps 90 DC

0, 315 · 10 3 kg / m·s

9532, 2 ! 2300 o Régimen Turbulento

Por tanto, se obtiene: Nu·k Di

Nu 80 hi

2356

W m2K

Cálculo del coeficiente de convección exterior (he)

Tm

U ° L °PL ° 90 100 | 95 DC o Propiedades: ®CpL 2 ° °kL °U ¯ V

Nu

961, 7 kg / m3 0, 2978 · 10 3 kg / m·s 4210 J / kg·K 0, 6753 W / m·K

100 C D

0, 5904 kg / m3

ª g·U · U UV ·h 'fg ·De3 º 0, 728 « L L » N·PL ·kL ·'T ¬« ¼»

1/4

Donde: x x

El número de tubos en la misma vertical es N=3 Se supone una temperatura superficial Ts 90 DC 'T

x

h 'fg

§ Cp ·'T · hfg ¨ 1 0, 68 L ¸ ¨ hfg ¸¹ ©

100 90 10 DC

2285, 6 · 103 J / kg

Por tanto: Nu 350, 31 he

Nu·kL De

9463

W m2K

252 ϮϱϮ

Intercambiadores de Calor. WƌŽďůĞŵĂƐĚĞdƌĂŶƐĨĞƌĞŶĐŝĂĚĞĐĂůŽƌ

Cálculo del coeficiente global de transmisión de calor (U) Se sabe que: Rs

1, 8 · 10 5

m2K ; k tubo W

58 W / m·K

Por tanto: Us

1 re ·ln re / ri 1 re Rs ri ·hi k tubo he

1500, 3

W m2K

o Aprox. | 3%

Comprobación de la temperatura superficial (TS =90qC) Us ·'Tm

he · Tsat T 's 1500, 3 · 64, 34

9463 · 100 T 's T 's

Cálculo del caudal de condensado

q U·A·'Tm

1500, 3 · 9, 4248 · 64, 34

c ·hfg m c q m

0, 4031

kg s

909769, 4 W 1451

--------------------O--------------------

kg h

89, 8 DC | 90 DC

Problemas de Transferencias de Calor

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