Interferencia y difracción de microondas

Introducci´ on Interferencia Difracci´ on Preguntas

Interferencia y difracción de microondas Héctor Berm´ udez Castro Grupo 5364 - T´ ecnicas Experimentales III - UAM Universidad Aut´ onoma de Madrid

4 de mayo de 2015

H´ ector Berm´ udez Castro


Índice 1

Introducción

2

Interferencia Interferencia de ondas incidente y reflejada Interferómetro de Michelson Interferómetro de Fabry-Pérot

3

Difracción Difracción por una rendija rectangular Difracción por una red Difracción por un borde



Interferencia y difracción

La naturaleza ondulatoria de ciertos sistemas f´ısicos como la luz da lugar a fenómenos que podemos abarcar dentro de dos grandes campos: Interferencia Difracción Si bien es cierto que el criterio para diferenciar una de la otra no está marcado por ninguna frontera clara.



Interferencia

Podemos describir el campo eléctrico E(r,t) de una OEM usando exponenciales complejas, quedándonos con su parte real: E(r,t) = Er0 <(ei(φ(r )−ωt) ) Definimos como: D su intensidad E I = c0 |E(r,t)|2


Al calcular la intensidad de una onda suma de más ondas aparecen en general términos cruzados: ⇓ Interferencia Al sumar dos ondas con igual ω: √ I = I 1 +I 2 +2 I 1 I 2 cos(δ) donde: δ(r ) = φ1 (r ) − φ2 (r )


Difracción Ppo. de Huygens Explica la propagación de una onda diciendo que cada punto del frente de onda act´ ua como emisor de ondas esféricas. Ppo. de Huygens-Fresnel Fresnel modifica la anterior idea asumiendo además que estas nuevas ondas son coherentes entre s´ı y de igual frecuencia. Si la onda se encuentra un obstáculo con dimensiones comparables a λ el frente de onda se distorsionará. Llamamos difracci´ on al efecto producido por los obstáculos en la propagación de las ondas, redistribuyendo el campo espacialmente después de pasarlos. H´ ector Berm´ udez Castro


Nuestro experimento Objetivos 1

Observación de ondas estacionarias.

2

Caracterización de los interfer´ ometros de Michelson y Fabry-Pérot

3

Obtención de la longitud de onda

4

Estudio de los patrones de difracci´ on obtenidos Usaremos microondas (OEM de baja energ´ıa y longitud de onda larga → λ ≈ cm) La medida de la intensidad se hará midiendo el voltaje proporcional a ella creado por la onda H´ ector Berm´ udez Castro


Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final

Índice 1

Introducción

2


3





Método experimental y ecuaciones

√ I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos(δ) El desfase entre dos ondas (emitida y reflejada): δ = k∆s = 4π λ (d − x)



Resultados





Conclusiones

La longitud de onda obtenida es de: λ = (32, 17 ± 0, 08)mm Las ecuaciones explican bien la tendencia general de los puntos La amplitud no se hace cero en los m´ınimos, aunque llega a valores muy bajos cerca de la pantalla Cerca de la pantalla, la aproximaci´ on a ondas planas es entendible





El desfase entre las dos ondas que llegan al receptor: δ = k∆s = 4π λ x



Resultados




Resultados





Conclusiones La longitud de onda obtenida es: λ = (32, 03 ± 0, 04)mm La ecuación explica bien la tendencia de los puntos




Conclusiones La longitud de onda obtenida es: λ = (32, 03 ± 0, 04)mm La ecuación explica bien la tendencia de los puntos Pregunta ¿Por qué resulta menos cr´ıtico el ajuste de los elementos ópticos en un interferómetro de Michelson de microondas que en uno para luz visible?




Conclusiones La longitud de onda obtenida es: λ = (32, 03 ± 0, 04)mm La ecuación explica bien la tendencia de los puntos Pregunta ¿Por qué resulta menos cr´ıtico el ajuste de los elementos ópticos en un interferómetro de Michelson de microondas que en uno para luz visible? Porque la longitud de onda de las microondas es mucho mayor a la de la luz visible, de hecho, es de una longitud comparable a la de los elementos ópticos, con lo que se puede variar la distancia en un rango mayor. H´ ector Berm´ udez Castro




Hay que tener en cuenta la interferencia de muchas ondas. El desfase entre dos ondas consecutivas: δ = k∆s = 4π λ d −naire 2 La reflectancia de cada lámina de vidrio: R = ( nnvidrio ) vidrio +naire

La transmitancia: TF P =

1 1+


4R (1−R)2

sin2 (δ/2)



Resultados - Midiendo tras los vidrios




Resultados - Midiendo entre los vidrios




Conclusiones La longitud de onda con el receptor tras los vidrios: λ = (32, 006 ± 0, 003)mm La longitud de onda con el receptor entre los vidrios: λ = (32, 027 ± 0, 002)mm En ambos casos los puntos siguen bien la tendencia de la curva teórica con un valor alto de R Cuando medimos entre los vidrios se hace muy notorio el efecto que tiene el que las placas de vidrio tengan un espesor finito (≈ 4cm) Aparecen diferencias considerables respecto al interferómetro de Michelson, si bien los resultados casan H´ ector Berm´ udez Castro



Longitud de onda obtenida

Para tener un valor definitivo de la longitud de onda que usar en los próximos apartados podemos usar el valor medio de todos los anteriormente obtenidos, siendo su error la desviación estándar: λ = (32, 06 ± 0, 03)mm



Introducci´ on te´ orica Difracci´ on por una rendija rectangular Difracci´ on por una red Difracci´ on por un borde

Índice 1

Introducción

2


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Difracción de Fraunhofer o de campo lejano. Suposiciones





1

No tenemos en cuenta polarizaci´ on de la onda





1

2

No tenemos en cuenta polarizaci´ on de la onda √ λ A rs , r0 H´ ector Berm´ udez Castro




1

2

No tenemos en cuenta polarizaci´ on de la onda √ λ A rs , r0

3

rs ≈ l, r0 ≈ l0 ⇒ r0 + rs ≈ l + l0 + f (ξ, η)





1

2


3

rs ≈ l, r0 ≈ l0 ⇒ r0 + rs ≈ l + l0 + f (ξ, η)

4

f (ξ, η) ≈ (α − α0 )ξ + (β − β 0 )η + . . .





1

2


3

rs ≈ l, r0 ≈ l0 ⇒ r0 + rs ≈ l + l0 + f (ξ, η)

4

f (ξ, η) ≈ (α − α0 )ξ + (β − β 0 )η + . . .

5

α=

−x 0 l ,α


=

x0 l0 ,

β=

−y 0 l ,β

=

y0 l0



Difracción de Fraunhofer o de campo lejano Se puede demostrar que, teniendo en cuenta las aproximaciones anteriores, el campo eléctrico en el punto P0 viene dado por la conocida como integral de Fraunhofer: Z −iωt E(P0 , t) ∝ e exp ik (α − α0 )ξ + (β − β 0 )η dS Apertura

Observación Sólo términos lineales del desarrollo de f (ξ, η) Con más términos ser´ıa difracci´ on de campo medio. Con todos los términos ser´ıa difracci´ on de Fresnel o de campo cercano H´ ector Berm´ udez Castro




Para una rendija cuadrada de anchura 2a y altura 2b con incidencia normal: I(α0 , β 0 ) ∝ sinc2 (kaα0 ) sinc2 (kaα0 ) , donde α0 = sin(θ) En todos los casos el emisor se coloc´ o a 30 cm de la rendija H´ ector Berm´ udez Castro



Resultados para la rendija 1 (2a = 3 cm, 2b = 20 cm)












Conclusiones El máximo aparece desplazado una cantidad debido al error en el posicionamiento de los elementos La posición del m´ınimo de intensidad parece estar bien descrita Las ecuaciones ajustan mejor los datos conforme aumenta la anchura de la rendija y la distancia al receptor Para entender de d´ onde ven´ıan las discrepancias con el modelo se pensó en la influencia de la rendija horizontal Se consideraron términos de campo medio, resolviéndose las integrales numéricamente, sin mejorar el resultado H´ ector Berm´ udez Castro




Caracter´ısticas de la red N = 6 rendijas Dimensiones: 2a = 31 mm y 2b = 313 mm Separaci´ on d = 31 mm

El emisor se coloc´ o a 30 cm de la red





Sumando el campo difractado de cada rendija (con incidencia normal) se puede obtener que: !2 0 sin( N kdα 0 0 2 ) I(α , β ) ∝ sinc2 (kaα0 ) sinc2 (kbβ 0 ) 0 sin( kdα ) 2 H´ ector Berm´ udez Castro


Resultados a 30 cm




Resultados a 80 cm





Conclusiones La curva que los puntos experimentales parecen indicar tiene la forma de las curvas te´ oricas El ajuste no es bueno para ninguna distancia Los resultados no mejoran considerando difracción de Fresnel o la influencia de la rendija horizontal bajo la red




Conclusiones La curva que los puntos experimentales parecen indicar tiene la forma de las curvas te´ oricas El ajuste no es bueno para ninguna distancia Los resultados no mejoran considerando difracción de Fresnel o la influencia de la rendija horizontal bajo la red A la inversa ¿Qué valores deber´ıamos tener para obtener la curva que los puntos indican?




Conclusiones La curva que los puntos experimentales parecen indicar tiene la forma de las curvas te´ oricas El ajuste no es bueno para ninguna distancia Los resultados no mejoran considerando difracción de Fresnel o la influencia de la rendija horizontal bajo la red A la inversa ¿Qué valores deber´ıamos tener para obtener la curva que los puntos indican? Posición del m´ınimo de difracci´ on ⇒ ¡2a ≈ 3, 9 − 5, 5 cm! Separación entre m´ınimos de interferencia ⇒ ¡d ≈ 1 − 2 cm! H´ ector Berm´ udez Castro




En este caso es necesario un análisis más detallado que use más términos del desarrollo en serie de f (ξ, η). Es un caso de difracci´ on de Fresnel. H´ ector Berm´ udez Castro



Método experimental y ecuaciones Puede demostrarse que: ( 2 2 ) 1 1 1 + C(u) + + S(u) I(r) ≈ 2 2 2 Integrales de Fresnel: ( Rw C(w) ≡ 0 cos( π2 v 2 ) dv Rw S(w) ≡ 0 sin( π2 v 2 ) dv q q u=x ˆ λ2 ( r1s + r10 ) ∼ ˆ λr20 =x x ˆ = r0 sin δ 0

l sin θ δ = tan−1 ( l+l 0 cos θ )

rs =

l

cos δ p r0 = (l0 cos θ)2 + (l0 sin θ − rs sin δ)2 H´ ector Berm´ udez Castro


Resultados





Conclusiones Para ángulos en la regi´ on de sombra geométrica (θ < 0) vemos que el ajuste es bastante bueno Discrepancia entre modelo y datos en la regi´ on iluminada ¿Posible rendija que modula nuestro patr´ on de difracción?




Conclusiones Para ángulos en la regi´ on de sombra geométrica (θ < 0) vemos que el ajuste es bastante bueno Discrepancia entre modelo y datos en la regi´ on iluminada ¿Posible rendija que modula nuestro patr´ on de difracción? Pregunta ¿Resultar´ıa la difracción producida por un borde recto con luz visible similar a la producida con microondas?




Conclusiones Para ángulos en la regi´ on de sombra geométrica (θ < 0) vemos que el ajuste es bastante bueno Discrepancia entre modelo y datos en la regi´ on iluminada ¿Posible rendija que modula nuestro patr´ on de difracción? Pregunta ¿Resultar´ıa la difracción producida por un borde recto con luz visible similar a la producida con microondas? No. Para la luz visible λ es much´ısimo menor que las dimensiones del borde, de modo que no habr´ıa apenas difracci´ on. Esto explica por qué se puede o´ır alrededor de una esquina pero no ver. H´ ector Berm´ udez Castro


Preguntas

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Interferencia y difracción de microondas

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