Introducci´ on Interferencia Difracci´ on Preguntas
Interferencia y difracci´on de microondas H´ector Berm´ udez Castro Grupo 5364 - T´ ecnicas Experimentales III - UAM Universidad Aut´ onoma de Madrid
4 de mayo de 2015
H´ ector Berm´ udez Castro
Introducci´ on Interferencia Difracci´ on Preguntas
´Indice 1
Introducci´on
2
Interferencia Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ometro de Michelson Interfer´ometro de Fabry-P´erot
3
Difracci´on Difracci´on por una rendija rectangular Difracci´on por una red Difracci´on por un borde
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Interferencia y difracci´on
La naturaleza ondulatoria de ciertos sistemas f´ısicos como la luz da lugar a fen´omenos que podemos abarcar dentro de dos grandes campos: Interferencia Difracci´on Si bien es cierto que el criterio para diferenciar una de la otra no est´a marcado por ninguna frontera clara.
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Interferencia
Podemos describir el campo el´ectrico E(r,t) de una OEM usando exponenciales complejas, qued´andonos con su parte real: E(r,t) = Er0 <(ei(φ(r )−ωt) ) Definimos como: D su intensidad E I = c0 |E(r,t)|2
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Al calcular la intensidad de una onda suma de m´as ondas aparecen en general t´erminos cruzados: ⇓ Interferencia Al sumar dos ondas con igual ω: √ I = I 1 +I 2 +2 I 1 I 2 cos(δ) donde: δ(r ) = φ1 (r ) − φ2 (r )
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Difracci´on Ppo. de Huygens Explica la propagaci´on de una onda diciendo que cada punto del frente de onda act´ ua como emisor de ondas esf´ericas. Ppo. de Huygens-Fresnel Fresnel modifica la anterior idea asumiendo adem´as que estas nuevas ondas son coherentes entre s´ı y de igual frecuencia. Si la onda se encuentra un obst´aculo con dimensiones comparables a λ el frente de onda se distorsionar´a. Llamamos difracci´ on al efecto producido por los obst´aculos en la propagaci´on de las ondas, redistribuyendo el campo espacialmente despu´es de pasarlos. H´ ector Berm´ udez Castro
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Nuestro experimento Objetivos 1
Observaci´on de ondas estacionarias.
2
Caracterizaci´on de los interfer´ ometros de Michelson y Fabry-P´erot
3
Obtenci´on de la longitud de onda
4
Estudio de los patrones de difracci´ on obtenidos Usaremos microondas (OEM de baja energ´ıa y longitud de onda larga → λ ≈ cm) La medida de la intensidad se har´a midiendo el voltaje proporcional a ella creado por la onda H´ ector Berm´ udez Castro
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Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final
´Indice 1
Introducci´on
2
Interferencia Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ometro de Michelson Interfer´ometro de Fabry-P´erot
3
Difracci´on Difracci´on por una rendija rectangular Difracci´on por una red Difracci´on por un borde
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Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final
M´etodo experimental y ecuaciones
√ I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos(δ) El desfase entre dos ondas (emitida y reflejada): δ = k∆s = 4π λ (d − x)
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Resultados
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Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final
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Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final
Conclusiones
La longitud de onda obtenida es de: λ = (32, 17 ± 0, 08)mm Las ecuaciones explican bien la tendencia general de los puntos La amplitud no se hace cero en los m´ınimos, aunque llega a valores muy bajos cerca de la pantalla Cerca de la pantalla, la aproximaci´ on a ondas planas es entendible
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Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final
M´etodo experimental y ecuaciones
El desfase entre las dos ondas que llegan al receptor: δ = k∆s = 4π λ x
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Resultados
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Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final
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Resultados
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Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final
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Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final
Conclusiones La longitud de onda obtenida es: λ = (32, 03 ± 0, 04)mm La ecuaci´on explica bien la tendencia de los puntos
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Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final
Conclusiones La longitud de onda obtenida es: λ = (32, 03 ± 0, 04)mm La ecuaci´on explica bien la tendencia de los puntos Pregunta ¿Por qu´e resulta menos cr´ıtico el ajuste de los elementos ´opticos en un interfer´ometro de Michelson de microondas que en uno para luz visible?
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Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final
Conclusiones La longitud de onda obtenida es: λ = (32, 03 ± 0, 04)mm La ecuaci´on explica bien la tendencia de los puntos Pregunta ¿Por qu´e resulta menos cr´ıtico el ajuste de los elementos ´opticos en un interfer´ometro de Michelson de microondas que en uno para luz visible? Porque la longitud de onda de las microondas es mucho mayor a la de la luz visible, de hecho, es de una longitud comparable a la de los elementos ´opticos, con lo que se puede variar la distancia en un rango mayor. H´ ector Berm´ udez Castro
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Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final
M´etodo experimental y ecuaciones
Hay que tener en cuenta la interferencia de muchas ondas. El desfase entre dos ondas consecutivas: δ = k∆s = 4π λ d −naire 2 La reflectancia de cada l´amina de vidrio: R = ( nnvidrio ) vidrio +naire
La transmitancia: TF P =
1 1+
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4R (1−R)2
sin2 (δ/2)
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Resultados - Midiendo tras los vidrios
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Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final
Resultados - Midiendo entre los vidrios
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Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final
Conclusiones La longitud de onda con el receptor tras los vidrios: λ = (32, 006 ± 0, 003)mm La longitud de onda con el receptor entre los vidrios: λ = (32, 027 ± 0, 002)mm En ambos casos los puntos siguen bien la tendencia de la curva te´orica con un valor alto de R Cuando medimos entre los vidrios se hace muy notorio el efecto que tiene el que las placas de vidrio tengan un espesor finito (≈ 4cm) Aparecen diferencias considerables respecto al interfer´ometro de Michelson, si bien los resultados casan H´ ector Berm´ udez Castro
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Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ ometro de Michelson Interfer´ ometro de Fabry-P´ erot Longitud de onda final
Longitud de onda obtenida
Para tener un valor definitivo de la longitud de onda que usar en los pr´oximos apartados podemos usar el valor medio de todos los anteriormente obtenidos, siendo su error la desviaci´on est´andar: λ = (32, 06 ± 0, 03)mm
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Introducci´ on te´ orica Difracci´ on por una rendija rectangular Difracci´ on por una red Difracci´ on por un borde
´Indice 1
Introducci´on
2
Interferencia Interferencia de ondas incidente y reflejada Interfer´ometro de Michelson Interfer´ometro de Fabry-P´erot
3
Difracci´on Difracci´on por una rendija rectangular Difracci´on por una red Difracci´on por un borde
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Difracci´on de Fraunhofer o de campo lejano. Suposiciones
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Difracci´on de Fraunhofer o de campo lejano. Suposiciones
1
No tenemos en cuenta polarizaci´ on de la onda
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Difracci´on de Fraunhofer o de campo lejano. Suposiciones
1
2
No tenemos en cuenta polarizaci´ on de la onda √ λ A rs , r0 H´ ector Berm´ udez Castro
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Difracci´on de Fraunhofer o de campo lejano. Suposiciones
1
2
No tenemos en cuenta polarizaci´ on de la onda √ λ A rs , r0
3
rs ≈ l, r0 ≈ l0 ⇒ r0 + rs ≈ l + l0 + f (ξ, η)
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Difracci´on de Fraunhofer o de campo lejano. Suposiciones
1
2
No tenemos en cuenta polarizaci´ on de la onda √ λ A rs , r0
3
rs ≈ l, r0 ≈ l0 ⇒ r0 + rs ≈ l + l0 + f (ξ, η)
4
f (ξ, η) ≈ (α − α0 )ξ + (β − β 0 )η + . . .
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Difracci´on de Fraunhofer o de campo lejano. Suposiciones
1
2
No tenemos en cuenta polarizaci´ on de la onda √ λ A rs , r0
3
rs ≈ l, r0 ≈ l0 ⇒ r0 + rs ≈ l + l0 + f (ξ, η)
4
f (ξ, η) ≈ (α − α0 )ξ + (β − β 0 )η + . . .
5
α=
−x 0 l ,α
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=
x0 l0 ,
β=
−y 0 l ,β
=
y0 l0
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Difracci´on de Fraunhofer o de campo lejano Se puede demostrar que, teniendo en cuenta las aproximaciones anteriores, el campo el´ectrico en el punto P0 viene dado por la conocida como integral de Fraunhofer: Z −iωt E(P0 , t) ∝ e exp ik (α − α0 )ξ + (β − β 0 )η dS Apertura
Observaci´on S´olo t´erminos lineales del desarrollo de f (ξ, η) Con m´as t´erminos ser´ıa difracci´ on de campo medio. Con todos los t´erminos ser´ıa difracci´ on de Fresnel o de campo cercano H´ ector Berm´ udez Castro
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M´etodo experimental y ecuaciones
Para una rendija cuadrada de anchura 2a y altura 2b con incidencia normal: I(α0 , β 0 ) ∝ sinc2 (kaα0 ) sinc2 (kaα0 ) , donde α0 = sin(θ) En todos los casos el emisor se coloc´ o a 30 cm de la rendija H´ ector Berm´ udez Castro
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Resultados para la rendija 1 (2a = 3 cm, 2b = 20 cm)
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Resultados para la rendija 2 (2a = 5 cm, 2b = 20 cm)
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Resultados para la rendija 3 (2a = 8 cm, 2b = 20 cm)
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Conclusiones El m´aximo aparece desplazado una cantidad debido al error en el posicionamiento de los elementos La posici´on del m´ınimo de intensidad parece estar bien descrita Las ecuaciones ajustan mejor los datos conforme aumenta la anchura de la rendija y la distancia al receptor Para entender de d´ onde ven´ıan las discrepancias con el modelo se pens´o en la influencia de la rendija horizontal Se consideraron t´erminos de campo medio, resolvi´endose las integrales num´ericamente, sin mejorar el resultado H´ ector Berm´ udez Castro
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M´etodo experimental y ecuaciones
Caracter´ısticas de la red N = 6 rendijas Dimensiones: 2a = 31 mm y 2b = 313 mm Separaci´ on d = 31 mm
El emisor se coloc´ o a 30 cm de la red
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M´etodo experimental y ecuaciones
Sumando el campo difractado de cada rendija (con incidencia normal) se puede obtener que: !2 0 sin( N kdα 0 0 2 ) I(α , β ) ∝ sinc2 (kaα0 ) sinc2 (kbβ 0 ) 0 sin( kdα ) 2 H´ ector Berm´ udez Castro
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Resultados a 30 cm
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Resultados a 80 cm
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Conclusiones La curva que los puntos experimentales parecen indicar tiene la forma de las curvas te´ oricas El ajuste no es bueno para ninguna distancia Los resultados no mejoran considerando difracci´on de Fresnel o la influencia de la rendija horizontal bajo la red
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Conclusiones La curva que los puntos experimentales parecen indicar tiene la forma de las curvas te´ oricas El ajuste no es bueno para ninguna distancia Los resultados no mejoran considerando difracci´on de Fresnel o la influencia de la rendija horizontal bajo la red A la inversa ¿Qu´e valores deber´ıamos tener para obtener la curva que los puntos indican?
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Conclusiones La curva que los puntos experimentales parecen indicar tiene la forma de las curvas te´ oricas El ajuste no es bueno para ninguna distancia Los resultados no mejoran considerando difracci´on de Fresnel o la influencia de la rendija horizontal bajo la red A la inversa ¿Qu´e valores deber´ıamos tener para obtener la curva que los puntos indican? Posici´on del m´ınimo de difracci´ on ⇒ ¡2a ≈ 3, 9 − 5, 5 cm! Separaci´on entre m´ınimos de interferencia ⇒ ¡d ≈ 1 − 2 cm! H´ ector Berm´ udez Castro
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M´etodo experimental y ecuaciones
En este caso es necesario un an´alisis m´as detallado que use m´as t´erminos del desarrollo en serie de f (ξ, η). Es un caso de difracci´ on de Fresnel. H´ ector Berm´ udez Castro
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M´etodo experimental y ecuaciones Puede demostrarse que: ( 2 2 ) 1 1 1 + C(u) + + S(u) I(r) ≈ 2 2 2 Integrales de Fresnel: ( Rw C(w) ≡ 0 cos( π2 v 2 ) dv Rw S(w) ≡ 0 sin( π2 v 2 ) dv q q u=x ˆ λ2 ( r1s + r10 ) ∼ ˆ λr20 =x x ˆ = r0 sin δ 0
l sin θ δ = tan−1 ( l+l 0 cos θ )
rs =
l
cos δ p r0 = (l0 cos θ)2 + (l0 sin θ − rs sin δ)2 H´ ector Berm´ udez Castro
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Resultados
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Conclusiones Para ´angulos en la regi´ on de sombra geom´etrica (θ < 0) vemos que el ajuste es bastante bueno Discrepancia entre modelo y datos en la regi´ on iluminada ¿Posible rendija que modula nuestro patr´ on de difracci´on?
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Conclusiones Para ´angulos en la regi´ on de sombra geom´etrica (θ < 0) vemos que el ajuste es bastante bueno Discrepancia entre modelo y datos en la regi´ on iluminada ¿Posible rendija que modula nuestro patr´ on de difracci´on? Pregunta ¿Resultar´ıa la difracci´on producida por un borde recto con luz visible similar a la producida con microondas?
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Introducci´ on te´ orica Difracci´ on por una rendija rectangular Difracci´ on por una red Difracci´ on por un borde
Conclusiones Para ´angulos en la regi´ on de sombra geom´etrica (θ < 0) vemos que el ajuste es bastante bueno Discrepancia entre modelo y datos en la regi´ on iluminada ¿Posible rendija que modula nuestro patr´ on de difracci´on? Pregunta ¿Resultar´ıa la difracci´on producida por un borde recto con luz visible similar a la producida con microondas? No. Para la luz visible λ es much´ısimo menor que las dimensiones del borde, de modo que no habr´ıa apenas difracci´ on. Esto explica por qu´e se puede o´ır alrededor de una esquina pero no ver. H´ ector Berm´ udez Castro
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Preguntas
¡Gracias por su atenci´on!
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