Laboratorio I
23/02/17
Instituto Politécnico Nacional Escuela superior de Física y Matemáticas Práctica I: Patrones de interferencia generadas por un rayo láser al incidir sobre las concavidades de la graduación milimétrica de un vernier En esta práctica se tratará de entender el comportamiento del fenómeno de interferencia cuando un haz de luz producido por un rayo laser incide en un ángulo grande con respecto de la normal a la superficie que contienen las aperturas o concavidades de un vernier en su graduación, generando así un patrón de interferencia en el lado opuesto de donde incide el haz de luz. Primero se realizó un modelo matemático que describiera el fenómeno observado a partir de suposiciones ideales del sistema del fenómeno observado, utilizando algunos resultados conocidos de la teoría de interferencia en óptica, después se realizaron mediciones experimentales, y se compararon con las estimaciones teóricas a partir de las cuales se trató de observar la validez y coherencia del modelo matemático con respecto del fenómeno observado. Autor: Fernando Chacón Meade
No. boleta 2015330053
Resumen: Se estudió el fenómeno de difracción de un haz de luz sobre un vernier al cual se le ilumino en la zona de graduación con concavidades concavidades y a partir de este fenómeno se lograron deducir ciertas ecuaciones, que de acuerdo con los análisis pertinentes al modelo generado por las ecuaciones, se lograron confirmar que replican a buena medida los datos observados, con cierto margen de error muy bajo.
Introducción: La presente practica y su respectiva experimentación, se centran en la observación del reflejo de un haz de luz de láser (véase figura 1), al incidir sobre la superficie metálica graduada de un vernier, en donde se pudieron observar varias cosas notables, a partir de las cuales se plantearon las preguntas generales que motivaron la experimentación para su posible explicación desde un punto de vista físico, entre las cosas que se pudieron notar cuando el haz de luz apuntaba al vernier en la parte metálica tenemos las siguientes:
Al hacer incidir el láser rojo sobre el vernier en cierto ángulo arbitrario, notamos
que casi no se percibe reflexión del haz de luz hasta tener ángulos muy grandes con respecto de la normal a la superficie metálica del vernier. (véase figura 2)
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Sobre la graduación metálica del vernier, pudimos observar que se acumulaban
puntos brillantes de luz de color rojizo difuminado entre las rendijas de la graduación milimétrica.
En la parte reflejada al haz incidente (es decir sobre la pared) podemos observar
que en vez de tener un punto fijo (como la ley de Snell predice para un rayo de luz incidente), tenemos en cambio, un cumulo de puntos rojos, los cuales se visualizan en la pared, todos ellos colineales sobre la recta vertical y cada uno distanciado del otro por cierta distancia, es decir como si se tuvieran múltiples reflexiones provenientes del mismo haz cuando incide en la graduación metálica del vernier.
La intensidad luminosa de los puntos reflejados en la pared se va atenuando
conforme los puntos se distancian unos de los otros, notando que el punto con mayor intensidad se encuentra en la reflexión principal de Snell y a partir de ese punto los demás van perdiendo intensidad conforme se alejan de él. Basándonos en las observaciones mencionadas del fenómeno que se acaba de describir, se tiene cierta intuición que este fenómeno está de cierta forma relacionado con el fenómeno estudiado en el siglo XIX llamado difracción, el cual describe el fenómeno característico de las ondas que se basa en la desviación de estas al encontrar un obstáculo o al atravesar una rendija, lo cual desde cierto punto, el fenómeno de difracción es un caso más general del fenómeno de interferencia. Por lo cual se tiene la intuición particular que nuestro fenómeno, puede ser, de cierta forma, estudiado desde el punto de vista de interferencia de ondas luminosas y de esta forma por razones de simplicidad matemática, se consideran casos ideales en los cuales se pueden aplicar ciertas ecuaciones de interferencia de ondas. Así de esta forma se llegó a un modelo matemático en el cual, a lo largo de la experimentación y de toda la practica en general, se trata de verificar su validez y coherencia a la hora de representar el fenómeno visualizado, y una vez verificada la relación entre el modelo y el fenómeno, poder hacer deducciones inversas, es decir, acerca de si se podría utilizar este modelo para implementarlo usando el patrón de interferencia visualizado en la pantalla y a partir de este modelo, hacer ciertas afirmaciones con respecto de la separación de las concavidades de la graduación del vernier metálico con precisión.
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Figura 1
Figura 2
Procedimiento: De acuerdo a lo mencionado en la introducción, el modelo matemático se pudo deducir a partir de ciertas relaciones conocidas del estudio general de la teoría de interferencia en óptica, en particular se utilizó principalmente el concepto que nos dice: La diferencia de camino óptico entre dos trayectorias de ondas luminosas puede llegar a interferir constructivamente o destructivamente de acuerdo a la siguiente condición (condición de interferencia constructiva, ecuación (1)). Para tener un máximo en un punto P, los rayos deben llegar en fase, y así, S1b (= dsenϴ) debe contener un número entero de longitudes de onda, es decir:
==…. . (1)
=1, 2 , 3, …
Y haciendo suposiciones que nos simplificaran el modelo matemático tales como:
Que cuando incide el haz de luz (frente de onda plano) sobre las concavidades de la graduación milimétrica metálica del vernier, solo se consideran dos fuentes puntuales que transmiten de nuevo el frente de onda pero ahora de forma esférica.
La distancia entre las aperturas de la graduación milimétrica son despreciables a comparación con la distancia entre el vernier y el láser
Para ángulos muy pequeños como los que se generan al incidir el laser en las concavidades de la superficie del vernier se pueden hacer aproximaciones tales como
tan ≈ ≈
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Utilizando estas suposiciones ideales y además las condiciones de interferencia constructiva y trigonometría básica se puede deducir la siguiente ecuación (ecuación 1.1) que relaciona: altura del laser, distancia de la fuente a la pared, distancia entre fuentes, distancia del laser a la fuente y numero de orden interferencia constructiva.
= 2 − ….. (1.1) Donde: →. → → á á → → → Continuando ahora con la parte experimental de rectificar la ecuación arriba planteada se procedió de la siguiente manera: 1.-Se montó un laser de luz roja sobre la mesa a una altura fija, para de esta forma darle cierta inclinación al haz de luz y que de esta manera pudiera incidir sobre alguna superficie. 2.-Se coloco un vernier en posición horizontal sobre la mesa a una distancia arbitraria con respecto al láser. 3.-Se colocó sobre el lado opuesto al laser, es decir en donde se encuentra la pared, una hoja milimétrica, con el fin de poder medir las distancias presentadas entre los puntos luminosos observados 4.- Una vez teniendo los componentes principales, (láser, vernier, pantalla o pared) se le dio una inclinación al laser de modo que el haz de luz que de él se expide, incida sobre el vernier en la zona donde tiene la graduación milimétrica). 5.-Con el fin de vislumbrar mejor los puntos reflejados por el haz de luz que incide sobre el vernier en su zona de graduación milimétrica, se apagó la luz y de esta forma los puntos reflejados en la pantalla se vieron más nítidamente definidos. En el siguiente diagrama se explica la forma en que se montó el experimento.
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Diagrama 1. Montaje de la experimentación y cantidades principales a medir
Resultados y Análisis: Una vez teniendo montado el experimento, se procedió a hacer las mediciones correspondientes de las magnitudes principales mostradas en el diagrama, las cuales juegan un papel muy importante en la ecuación (1.1), en donde a cada magnitud se le asignó su correspondiente error, las magnitudes medidas, son mostradas en la siguiente tabla: Magnitud
d
213.3 [cm] 184.5 [cm] 11.35 [cm] 1 [mm]
Error
±1 [] ±1 [] ±0.02 [] ±0.002 []
Tabla 1.1 mediciones directas de las variables involucradas en la ecuación 1.1 Junto con estos datos obtenidos por mediciones directas, utilizando en sus respectivos casos un vernier y un flexómetro, también se recabaron los siguientes datos, haciendo análogamente mediciones directas acerca de la separación a la que se encontraban los puntos rojos luminosos que aparecían en la pantalla, tomando como posición inicial el punto luminoso para la interferencia constructiva principal, es decir tomando n = 0 Junto con los valores en Y medidos experimentalmente se anexan sus respectivas incertidumbres en las mediciones correspondientes
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Δy [cm] n Y [cm] [adimensional] distancia incertidumbre 0 12.73 0.5 1 16.18 0.5 2 17.73 0.5 3 19.21 0.5 4 20.56 0.25 5 21.99 0.25 6 23.24 0.25 7 24.47 0.25 8 25.69 0.25 9 26.87 0.25 10 27.88 0.25 11 28.86 0.25 12 29.87 0.25 13 30.83 0.2 14 31.8 0.2 -1 11.21 0.5 -2 8.48 0.5 -3 3 0.5 Tabla 1.2 mediciones directas de las distancias entre puntos luminosos
(valores experimentales) Con los datos recabados (Tabla 1.1, Tabla 1.2) podemos ahora involucrarlos en la ecuación (1.1) y así poder hacer comparaciones entre los datos medidos experimentalmente y los calculados a partir de la ecuación (1.1) y en su defecto poder hacer el análisis correspondiente sobre la aproximación y certeza que tiene la ecuación con respecto del patrón observado y su cercanía a los datos experimentales medidos. De la ecuación 1.1 podemos despejar a
y de esta forma hacer las comparaciones
necesarias para poder hacer la comparación entre los valores teóricos y los valores experimentales, por lo tanto despejando, tenemos:
= √ + 2 ….. (1.2)
Ahora se pe pueden estimar los valores teóricos para las mediciones en y de esta forma poder tener la comparación deseada entre los valores teóricos y los experimentales. A la hora de estimar los valores teóricos se calculan los posibles errores que conllevan a cada valor.
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n y teórico Δy (estimado) [adimensional] [cm] 0 13.12 0.14 1 15.7 0.13 2 16.97 0.104 3 18.6 0.088 4 20.1 0.064 5 21.5 0.06 6 22.81 0.063 7 24.05 0.085 8 25.23 0.06 9 26.35 0.067 10 27.43 0.065 11 28.47 0.066 12 29.47 0.065 13 30.44 0.063 14 31.38 0.057 -1 10.66 0.19 -2 8.37 0.23 -3 4.37 0.26 Tabla 1.3 estimaciones de las distancias entre puntos luminosos usando ecuación (1.2) (valores teóricos)
Ahora bien podemos hacer una comparación entre las tablas 1.2 y 1.3 y de esta forma poder superponer las gráficas asociadas a cada par de datos para así poder visualizar de una mejor forma el comportamiento de los valores experimentales y los valores teóricos y su estrecha cercanía.
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Superposición de valores teóricos vs. valores experimentales Valores Experimentales
Valores Teóricos
35 30 25 20
Y [cm] 15 10 5 0 -4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Orden de interferencia (adimensional)
Gráfica 1, superposición de mediciones experimentales con línea de tendencia tipo polinómica de 2do grado y estimados teóricos.
Incertidumbres asociadas a cada valor teórico Valores Experimentales
Valores Teóricos
35 30 25 20
Y [cm] 15 10 5 0 -6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Orden de interferencia (adimensional)
Gráfica 2, incertidumbres asociadas a cada punto teórico de la superposición de la gráfica 1
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De acuerdo a la graficas arriba mostradas, podemos apreciar la cercanía que tienen las líneas teóricas de las experimentales, para ser un poco mas cuantitativo en el aspecto de la cercanía entre el conjunto de datos teórico y e xperimental, se generará otra tabla en la que se exponen los errores porcentuales entre cada pareja de datos y se calcula el promedio de error. Error exp. Promedio No n vs teórico general de [%] errores [%] -2 8.48 8.37 1.31421744 -1 11.21 10.66 5.15947467 0 12.73 13.12 2.97256098 1 16.18 15.7 3.05732484 2 17.73 16.97 4.47849146 3 19.21 18.6 3.27956989 4 20.56 20.1 2.28855721 5 21.99 21.5 2.27906977 6 23.24 22.81 1.8851381 2.30851665 7 24.47 24.05 1.74636175 8 25.69 25.23 1.82322632 9 26.87 26.35 1.97343454 10 27.88 27.43 1.64053956 11 28.86 28.47 1.36986301 12 29.87 29.47 1.35731252 13 30.83 30.44 1.28120894 14 31.8 31.38 1.33843212 Tabla 2 comparación de errores porcentuales entre las mediciones teóricas y Experimental [cm]
Teórico [cm]
experimentales Como podemos observar de la tabla 2 los errores porcentuales en promedio de los valores teóricos son de alrededor de 2.3% de los datos obtenidos experimentales, lo cual a pesar de ser un error relativamente pequeño, es de alguna forma significativo. Este error porcentual de 2.3% en promedio lo podemos atribuir en gran parte a las incertidumbres y errores que se tuvieron a la hora de medir directamente los datos experimentales, es decir a la hora de colocar nuestra medida de referencia y=0 se pudo haber dislocado la nivelación con respecto de la mesa de la altura inicial donde se encuentra el vernier, aparte que al estimar los datos teóricos también encontramos cierto tipo de errores los cuales contribuyeron a incrementar este error porcentual promedio. Sin embargo dado que las suposiciones que se hicieron para deducir el modelo que representa el fenómeno (ecuación 1.1) fueron de alguna manera muy importantes y en
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cierto punto hasta “simplistas”, podemos afirmar que el modelo que presentamos en la
ecuación 1.1 replica con bastante aproximación al fenómeno observado en esta práctica y que por lo tanto es un buen modelo el cual es coherente con los datos obtenidos por la experimentación y tiende a aproximarse cada vez más al valor experimental conforme el orden de n aumenta. Es decir podemos afirmar que nuestro modelo es coherente con la real idad observada y replica a buen criterio los datos obtenidos experimentalmente. Ahora tomando en cuenta nuestro modelo matemático como coherente y experimentalmente verificado, podemos plantearnos el problema inverso en el cual nos surge la pregunta de si dadas las distancias entre los puntos luminosos podremos encontrar la distancia a la que se encuentran las aperturas en la superficie metálica de la graduación del vernier. Para esto ahora de nuestra ecuación 1.1 despejamos el valor de d que representa la distancia entre las concavidades de la graduación del vernier y de esta forma podemos hacer un análisis parecido al anterior pero ahora con la distancia entre aperturas. n Promedio d d [m] (adimensional) [m] 1 0.000693221 2 0.000859503 3 0.00092398 4 0.000963808 5 0.000966369 6 0.000979542 7 0.000984153 8 0.000982513 9 0.000979757 0.000982013 10 0.000988495 11 0.000995295 12 0.000995844 13 0.000997655 14 0.000996246 -1 0.001179307 -2 0.001141281 -3 0.001067255 Tabla 3 tabulación de datos para encontrar d medida en metros
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Podemos observar que d promedio es 0.000982 [m] lo cual nos muestra que nuestro modelo se aproxima al valor de 1 [mm] tal como lo habríamos esperado, pues la distancia entre las aperturas graduadas del vernier claramente lo tomamos como 1 mm Para facilitar la visualización de los valores obtenidos en la tabla, procedemos a hacer una grafica gaussiana la cual nos indique el comportamiento de los datos aproximándolos a los números enteros más cercanos y de esta forma formando un conjunto de datos que podamos utilizar por grupo para de esta forma tener una visualización de la gaussiana que nos indique a que dato se está n aproximando los cálculos.
Cantidad de valores que se aproximan a 0.001[m] r o l a v l e e t i p e r e s e u q s e c e v e d d a d i t n a c
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.0009
0.00095
0.001
0.00105
0.0011
0.00115
0.0012
valor al cual se aproxima
Gráfica 3. Representación tipo gaussiana de los valores obtenidos en donde podemos apreciar que se aproximan al valor de 0.001[m] En donde en la gráfica 3 podemos observar que de acuerdo a lo esperado con la experimentación, el valor de d se aproxima al valor esperado de 1[mm] por la izquierda, es decir se aproxima al valor de 1[mm] por la trayectoria que marca el promedio especificado en la tabla 3.
Conclusiones: En este informe se encontraron discrepancias entre el modelo y e l fenómeno que queremos describir, de aproximadamente 2%, por lo cual se puede verif icar la concordancia y coherencia entre el modelo matemático a probar y las mediciones experimentales que se realizaron del fenómeno para de esta forma ponerlas a prueba en la capacidad de replicación de resultados.
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Podemos observar que de acuerdo a los resultados presentados en tablas y gráficas el modelo se aproxima mucho al fenómeno conforme el orden (n) se incrementa y tiende a replicar los mismos resultados que se observan. Puesto que el modelo se encuentra a un grado de aproximación alto con respecto del fenómeno, se podría utilizar la ecuación 1.1 para resolver problemas en los que, dados los puntos luminosos en una pantalla, utilizando métodos estadísticos y la correcta utilización de la ecuación 1.1 se logre determinar la apertura o distancia (d) entre dos concavidades de muy estrecha longitud, tal como los que se tienen en los instrumentos de medición más exactos.
