INTEGRAL VEKTOR 1.Integral Biasa Dari Vektor
Integral Integral biasa dari vektor, vektor, misalkan R (u) (u) R !(") ! (") i #R $(") $(") % #R &(") &(") k sebua' vetor ang bergantung *ada variabel skalar tunggal u tunggal u,, di mana R !(u), R $(u), R &(u) kontinu dalam suatu selang ang ditentukan+ aka
∫ R ( u ) du= i∫ R (u ) du + j ∫ R ( u ) du + k ∫ R (u ) 1
2
3
-isebu -isebutt integr integral al tak tentu dari R (u)+ .ila .ila terda* terda*at at sebua' sebua' vektor vektor S(u) se'ingga
d du (S(u)), maka
R (u) (u)
∫ R ( u ) du=∫ dud ( S ( u ) ) du= S (u )¿ + c -imana adala' vector konstan sebarang ang ang tak bergan bergantung tung *ada u+ integral tentu antara tentu antara limit/limit u = a dan u = b dalam b dalam 'al demikian da*at ditulis+ b
b
a
a
∫ R ( u ) du=∫ dud ( S ( u ) ) du= S ( u ) + c∨¿ S ( b )− S ( a ) Integral ini da*at %uga dide0enisikan sebagai limit dari %umla' dalam ara ang analog dengan ang *ada kalkulus integral elementer+ 1onto' 2 !+%ika R (u) (u) ( u / u $ ) i # $u & % 3 &k,arila' a)
∫ R ( u ) du 2
b)
4a5ab2
∫ R ( u ) du 1
∫ R ( u ) du=∫ [ ( u−u ) i +2 u j−3 k ] d u ( ) i ∫ u −u du + j ∫ 2 u du− k ∫ −3 du 2
a)
3
2
i
( (
u
2
u
− + c 1 + j 3 3
2
u
−
2
u
) (
3
u
2
2
(
2
3
−
3
u
3
3
)+
u
i
)+ i
)
4
+ c 2 + k (−3 u + c 3 )
4
4
j −3 uk +¿ i # % # k ! $ &
2
u
u
4
j −3 k + c
2
-imana adala' vektor konstan ! i # $ % # & k
b) -ari (a), R ( u ) du=
(
u
2
2
3
−
u
3
)+ i
u
4
2
j −3 uk + c ∨¿
[( ) 2
2
2
[( ) 2
1
2
3
−
5
/
6
1
3
i+
3
−
2
3
i+
2
4
2
j− 3 ( 2 ) k + c
4
i+
15 2
1
2
j −3 ( 1 ) k + c
]
/
]
j−3 k
2+INTEGRAL GARIS
x , y Integral garis , misalkanr ( u )= x ( u ) i + y (u ) j + z (u ) k ,di manar ( u ) adalah vector posisi dari ¿ , 6 ), mende0enisikan sebua' kurva C ang meng'ubungkan titik/ titik P ! dan 7 $ di mana u = u1 dan u = u2 untuk masing/masingna+ Kita mengangga* ba'5a C tersusun dari se%umla' ber'ingga kurva/ kurva di mana untuk masing 3 masingna r (u) memiliki turunan ang kontinu+ isalkan A (x, y, ! " A 1 I # A2 $ # A% k sebua' 0ungsi vetor *osisi ang dide0enisikan dan
kontinu se*an%ang C + aka integral dari kom*onen tangensial A se*an%ang C dari P ! ke P $, ditulis sebagai
∫
A . dr = A . dr =¿ c p
∫¿
❑
∫ A
1
c
&x # A2 &y # A% &
p
Adala' onto' dari integral garis+ 4ika A adala' gaa ' *ada sebua' *artikel ang bergerak se*an%ang C , maka integral garis ini menatakan usa'a ang dilakukan gaa+ 4ika C adala' kurva tertutu* (ang mana akan kita angga* sebagai kurva tertutup sederhana, akni kurva ang tak memotong dirina sendiri), maka integral mengelilingi C sering ditun%ukkan ole'
∮ A . dr=∮ A
1
&x # A2 &y # A% &
-alam aerodinamika dan mekanika 0luida, integral ini disebut sirkulasi dari A mengelilingi , di mana A menatakan kee*tan 0lui
da+
TEOREA. A = ∇ ϕ ∇ϕ
4ika A
*ada semua titik dalam suatu daera' R dari ruang, ang
dide0enisikan ole'
a!
≦ x ≦ a ,b ≦ y ≦ b , c ≦ z ≦ c
$
, di mana
ϕ ( x , y , z) ber'arga tunggal dan
memilki turunan/turunan ang kontinu dalam R, maka2 p 2
!+
∫ A .d r p 1
tidak bergantung *ada lintasan 1 dalam R ang meng'ubungkan
7! dan 7$ ❑
$+
∮ A c
+dr "8 mengelilingi setia* kurva tertutu* 1 dalam R
-alam 'al demikian A
disebut medan vetor konservati0 dan
ϕ
adla'
*otensial skalarna+
∇ x A =0 atau %uga
9ebua' medan vetor konservati0 %ika dan 'ana %ika
ϕ ekuivalen dengan A" ∇ . -alam 'al demikian, A+dr A! d: #A$ d # A& d6
d ϕ
suatu di0erensial eksak+
1onto' 2 ❑
( 3 x +6 y ) i−14 yz j + 20 x z 2
!+ 4ika A
2
k , 'itungla'
∫ A . dr
dari (8,
c
8,8 ) ke (!,!,! ) se*an%ang lintasan/lintasan 1 berikut2 a+ ; t, t$ dan 6 t & b+ Garis/ garis lirus dari (8,8,8) ke (!,8,8), kemudian ke (!,!,8) dan kemudian ke (!,!,!) + Garis lirus ang meng'ubungkan (8,8,8) dan (!,!,!)+ ❑
❑
∫ A . dr=∫ [ ( 3 x +6 y ) i−14 yz j +20 x z k ] . (dx idy j +dz k ) 2
C
2
C
❑
¿∫ ( 3 x + 6 ) d: 3 !< 6 d # $8:6 $ C 2
7enelesaian 2 a+ 4ika : t, t$ dan 6 t &, titik/ titik (8,8,8) dan (!,!,!) masing/ masing ber'ubungan dengan t 8 dan t !, maka ❑
1
∫ A . dr= ∫ ( 3 t +6 t ) dt −14 ( t ) (t ) d ( t )+ 20 (t ) (t ) d (t ) 2
2
2
3
3 2
2
t =0
C 1
¿ ∫ ( 3 t + 6 t ) dt −14 ( t ) ( t ) ( 2 t )+ 20 (t ) ( t ) ( 3 t ) 2
2
2
3
t = 0
1
∫ 9 t dt −28 t dt + 60 t dt 2
t = 0
6
9
3
2
3
1
∫ ( 9 t −28 t +60 t ) dt 2
"
6
9
t = 0
1
&t& /t!8 ?
❑
0
( ) −4 ( 1 ) + 6 ( 1 ) − 0
3 1
3
7
10
&3<#> @ b+ 9e*an%ang garis lurus dari (8,8,8) ke (!,8,8) 8, 6 8, d 8, d6 8 sedangkan : beruba' dari 8 'ingga !+ aka integral se*an%ang lintasan ini adala' 1
∫ ( 3 x +6 ( 0)) dx −14 ( 0)( 0)( 0) 2
#
x = 0
1
∫ 3 x
$8:
(8)$
(8)
1 2
dx −0 + 0 =
x = 0
∫ 3 x
2
3
1
3
dx = x ∨ ¿ 1 −0 0
x =0
! 9e*an%ang garis lurus dari (!,8,8) ke (!,!,8) : !, 6 8, d: 8, d6 8 9edangkan beruba' dari 8 'ingga !+maka integral se*an%ang bagian lintasan ini adala' 1
∫ (3 ( 1 ) +6 y ) 0− 14 y ( 0 ) dy +20 ( 1 ) ( 0 ) 0=0 2
2
y = 0
9e*an%ang garis lurus dari (!,!,8,) ke (!,!,!) : !, !, d: 8, d 8, sedangkan 6 beruba' dari 8 'ingga !+ aka integral se*an%ang bagian lintasan ini adala' 1 2
( ) + 6 (¿) 0−14 ( 1 ) z ( 0 ) ¿
3 1
1
∫¿
1
# $8 (!) 6$ d6
∫ 20 z
2
dz
z = 0
z= 0
20 x
3
1
∨ ❑ 0
3 20. 1
3
3
−0
20
∫ A . dr =1 + 0 + 203
4umla'kan,
C
3
23
3
+ Garis lurus ang meng'ubungkan (8,8,8) dan (!,!,!) dalam bentuk *arametrik diberikan ole' : t, t, dan 6 t + maka ❑
1
∫ A . dr= ∫ ( 3 t +6 t ) dt −14 ( t ) (t ) dt + 20 ( t ) ( t ) dt 2
2
t = 0
C
1
∫ ( 3 t + 6 t −14 t + 20 t ) d t 2
2
3
t = 0
1
∫ ( 6 t −11 t +20 t ) dt 2
t = 0
(
2
3 t
−
2
3
3.1
3
−
11
−
11 3
3
11 3
3
4
)
1
t + 5 t ∨ ❑ 0
3
.1
+ 5=
+ 5.1
4
13 3
1onto' $2 !) 4ika
∇ ϕ , di mana
ϕ
ber'arga tunggal dan memiliki
turunan/turunan *arsial ang kontinu, *erli'atkan ba'5a usa'a ang dilakukan dalam menggerakkan sebua' *artikel dari satu titik 7 ! (:!, !,6!) dalam medan ini ke titik lainna 7 $ (:$,$,6$) tidak tergantung *ada lintasan ang meng'ubungkan kedua bua' titik+ 7enelesaian 2
"sa'a ang dilakukan p2
! . dr =¿
∫∇
∅
.dr
p1
"2
∫¿ "1
p2
∫ ( ## x i + ## y j + ## z ) k . ( dx i+ dy j +dz k ) ∅
∅
p1
p2
∅
∫ ## x dx + ## y dy+ ## z ∅
∅
∅
p1
d6
p2
∫d
=∅( p )−∅( p )=∅( x , y , z )− ∅( x , y , z )
∅
2
1
2
2
2
1
1
1
p 1
4adi integral 'ana bergantung *ada titik/ titik 7 !dan 7$ dan tidak *ada lintasan ang meng'ubungkan mereka+ Ini 'anala' benar %ika
∇
( :, , 6) ber'arga tungal *ada semua titik/titik 7 ! dan 7 $+ %.INTEGRAL )ER*+AAN
isalkan 9 sebua' *ermukaan bersisi/dua,misalkan sisi ang satu dari 9 di*andang sebagi sisi ang *ositi0 (%ika 9 adala' *ermukaan tertutu*, ini diambil sebagai sisi luar)+ 9ebua' normal satuan n *ada sebarang titik dari sisi *ositi0na 9 disebut normal satuan positif. Bubungkan dengan di0erensial luas *ermukaan d9, sebua' vektor d S ang besarna -s dan ara'na menurut n+ aka dS nd9+ Integral ❑
❑
s
s
❑
❑
S
S
∫∫ A . dS=∫∫ A . n dS
∫∫ A . dS =∫∫ A . n dS
Adala' onto' dari integral *ermukaan ang disebut 0luks dari A melalui 9+ integral/ integral *ermukaan lainna, ❑
❑
❑
s
s
s
∫∫ ϕ dS , ∫∫ ϕ n dS∫∫ A x dS
-imana
ϕ
adala' sebua' 0ungsi skalar+ Integral/ integral demikian
∯❑
da*at dide0enisikan dari segi *andangan limit + notasi
kadang/ kadang
s
❑
∮❑
di*ergunakan *ula notasi
s
+
"ntuk meng'itung integral/integral *ermukaan, adala' memuda'kan untuk menatakanna sebagai integral li*at dua melalui *roeksi dari luas *ermukaan 9 *ada sala' satu bidang koordinat+ 1onto'2 ❑
∬ A . n ds
Bitungla'
s
*ermukaan silinder x
2
dimana A 6 i # : % 3 & $ k dan 9 adala'
2
+ y =6 ang terda*at dalam oktan *ertama antara 6 8
dan 6 @+ 7roeksikan 9 *ada bidang :6 maka,
∬ A . n ¿ dx.dy n . j ∨¿
A . n ds=
S
2
❑
normal
∬¿
2
x + y =16
ter'ada*
S
∇ ( x + y )= 2 x i + 2 y j . %adi normal satuan ter'ada* 9+ 2
n=
2
+2 y j 2 x i + 2 y j 2 i + 2 y j 2 x i + 2 y j = = = √ ( 2 x ) +( 2 y ) √ 4 x + 4 y √ 4. ( x + y ) √ 4.16 2 x i
2
¿
2
2 x i
+ 2 y j
√ 64
2
=
2 x i
2
2
+ 2 y j x i + y j = 8
4
2
2
2
karena x + y =16 *ada 9
adala'
( z i + x j−3 y z k ) . x i + y j = 1 ( xz + xy ) 2
A+n
4
x i+ y j n+ %
❑
∬ R
4
y
. j=
5
maka integral *ermukaanna
4
4
( √
xz + xy dx dz = y z= 0 x =0
∫∫
4
∫
x = 0
( √ − ) xz
x
16
xz
16
− x
2
)
+ x dxdz
dx =¿
2
− x
16
misal u
4
du =−2 x , dx = du −2 x dx
2
,
4
4
4
∫
∫
−1
1 xz du z z = = . du u 2 du −2 x =0 √ u −2 x =0 x =0 √ u −2 x
4
z
∫ 2u
−2
z
−2
z
−2
2
x = 0
+c=
z
−2
( u )∨ ¿ −z 1
2
2
2
1
0
( 0 −2 √ 16 ) 4
xz 2
2
2
0
0
√ 16 − x
−2
=4 z + 8
5
∫ 4 z+ 8 dz =2 z + 8 z∨ ¿ 2. 5 +8.5 =50 +40 =90 2
5 0
0
4
∫ x dx= 2 x ∨ ¿ 21 . 4 = 12 .16=8
(−8 ) =4 z
0
z
( 2 √ 16 − x )∨ ❑ 2
2
0
4
∫
4
2
( 2 √ 16 −4 )−2 (√ 16 −0 ) =
4
4adi,
1
∫
2
$imana ϕ adalah sebuah %ungsi skalar .
-.INTEGRAL VL+*
7andang sebua' *ermukaan tertutu* dalam ruang ang tertutu* volum V . maka ❑
❑
∫∫ ∫ A d &
∫∫ ∫ ϕ d &
dan
v
&
Adala' onto'/ onto' dari integral volum atau integral ruang + 1onto'2 1arila' volum dari ruang ang meru*akan irisan antara silinder/silinder 2
2
2
x + y = a
2
dan x + z
2
2
=a
7enelesaian2 Volume ang diinginkan C kali volume dari ruangan maka2 :$ # $ a$ 8 # : $ a$, maka : a :$ # $ a$
√ a + x 2
%ika 8 maka
2
√ a + x 2
-an :$ # 6$ a$ %ika 6 8 maka batas atas dari 6 adala' a
4adi,
∫ a − x 2
8
0
2
1
dx =8 ( a . x )− x ∨ ❑ 0 2
3
3
a
2
1
( a ( a )) 2
C
8
(
1
3
a− a
8a
3
3
3
8
3
3
3
3
−8 a
3
3
16 a 3
)
− a
24 a
/
+
3
(a ) 3
/8
