Libro que explica a detalle el Calculo IntegralDescripción completa
PDTKFull description
Full description
Descripción completa
a game about integral in the classDeskripsi lengkap
CALCULUS Note: This compilation of the definitions and examples from Chapters 1-3 of Integral Calculus which are shown below were adapted from mathalino.com. No intention to violate copyrigh…Full description
calculo integral QUiz 2
nothing
Sekitar tahun 1670, Kalkulus berhasil ditemukan dan tokoh-tokoh matematika yang berperan dalam penemuan Kalkulus adalah Newton dan Leibniz. Kedua tokoh ini berhasil mengembangkan teorema f…Full description
Descripción: ejercicios yoga e info.
Explanation for integral control
Deskripsi lengkap
Deskripsi lengkap
Descripción: Auditoria
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrasi bagian (parsial) digunakan untuk mengintegrasikan suatu perkalian fungsi yang masing-masing fungsinya f ungsinya bukan koefisien diferensial dari yang lain ( seperti yang sudah dibahas pada sub. Bab. D )
Perhatikan bahwa jika
Y = U. V 1
1
1
Maka Y = U. V + U . V Atau bisa ditulis
d (UV )
d (V )
= U.
dx
dx
+
d (U ) dx
.V
Jika semua ruas dikalikan dengan dx maka d ( UV ) = U. d(V) + V. d(U) atau
U. d(V) = d ( UV ) – V d (U)
Sehingga bila semua ruas diintegralkan :
∫U .d (V ) = U .V − ∫ V .d (U ) Contoh:
1. Tentukan harga ∫ ln x ( x 2 )dx . Jawab: Jawa b:
Misal U = ln x
maka d(U) =
∫
1
maka V = ∫ ( x 2 )dx = x 3 3
1 3 x . dx x 3
∫
1
1
3
3
∫
1
1 1
3
3 3
1
1
3
3
= x 3 ln x −
dx
1
x − 3 3
x
1
2
d(V) = (X ) dx, ln x ( x 2 )dx = ln x.
1
x 3 .
1 x
dx =
= x 3 ln x − . x 3 + c = x 3 (ln x − ) + c 1
1
1 x 3 ln x − x 2 dx 3 3
∫
Pedoman untuk memisalkan U
* Jika salah satu faktornya adalah fungsi logaritma, maka ia harus diambil sebagai U → ln x=U * Jika tak ada fungsi logaritma, tetapi ada fungsi pangkat x, maka fungsi pangkat tersebut yang diambil sebagai U → xn = U * Jika tidak ada fungsi logaritma maupun fungsi pangkat x tetapi ada fungsi kx eksponensial, maka fungsi eksponensial sbg U → e = U
contoh 2.
∫
Carilah harga dari x 2 sin x.dx Jawab : Misal
2
U=x
; du = 2x.dx
dv= sinx dx
; V = -cos x
∫ U .dv = U .V − ∫ V .du ∫ x
2
∫
sin x.dx = x 2 ( − cos x ) − (− cos x) 2 x.dx 2
∫
2
∫
= - x cos x - 2 x(− cos x )dx = - x cos x + 2 x cos xdx dimisalkan lagi misal U = x
; du = 1 dx
dv= cos x dx 2
∫
; v = sinx
x cos x d x = 2 { x.sin x -
∫ sin x . dx}
= 2 { x sin x + cos x + c } = 2 x sin x + 2 cos x + c Kemudian ditulis semua
∫
2
2
x sinx dx = -x cos x + 2
∫
x cos x dx
2 = - x cos x + 2 x sin x + 2 cos x + c
2
INTEGRASI DAN PECAHAN PARSIAL Misalkan kita menjumpai persoalan:
∫ ( x
( x + 1) 2
− 3 x + 2)
dx → Bukan bentuk baku
→ Pembilangnya bukan koefisien deferensial dari penyebutnya Maka penyelesainnya : kita harus menyelesaikannya sebagai pec ahan parsial.
Kaidah-Kaidah Pecahan Parsial
1. Pembilangnya harus lebih rendah derajatnya daripada penyebutnya. Jika tidak harus dibagi dahulu. 2. Faktorkanlah penyebutnya menjadi faktor-faktor prima nya, contoh: 2
x -3x+2 , difaktorkan menjadi (x-1)(x-2) 3. Faktor linier (ax+b) memberikan pecahan parsial berbentuk A
2
4. Faktor (ax+b) akan memberikan pecahan parsial
5. Faktor (ax+b)3 akan memberikan pecahan parsial
(ax + b) A
(ax + b)
A
(ax + b)
+ +
6. Faktor kuadrat ( ax2 + bx + c ) memberikan pecahan parsial
B
(ax + b) 2 B
(ax + b)
2
+
C
(ax + b)3
( Ax + B ) 2 ax + bx + c
Contoh :
1.
∫ ( x
( x + 1) 2
− 3 x + 2)
dx
Jawab : x + 1 x − 3 x + 2 2
difaktorkan menjadi
x + 1
( x − 1)( x − 2)
Dari kaidah 3 diatas disebutkan bahwa (ax+b) memberikan pecahan parsial berbentuk A
( ax + b)
3
Sehingga :
x + 1
( x − 1)( x − 2)
=
A
( x − 1)
+
B
( x − 2)
Kemudian kedua ruas dikalikan (x-1)(x-2) x+1 = A( x-2) + B( x-1)
Dari persamaan ini kemudian dicari harga A dan B dengan cara memasukkan harga x sembarang. Jika mungkin, pilih x yang membuat salah satu harga dalam tanda kurung berharga nol. -
Ambil (x-2) = 0;
artinya kita substitusikan x = 2 x+1 = A( x-2) + B( x-1)
3 = A(0) + B(1) B=3
- Ambil (x-1) = 0 ;
artinya kita substitusikan x = 1 x+1 = A( x-2) + B( x -1)
2 = A(-1) + B(0) A = -2
Jadi
x + 1
( x − 1)( x − 2)
Sehingga
=
−2 3 + ( x − 1) ( x − 2)
x + 1
3
2
∫ ( x − 1)( x − 2) dx = ∫ x − 2 dx − ∫ x − 1 dx =3
1
∫ x − 2
dx − 2
1
∫ x − 1 dx
= 3 ln( x-2) – 2 ln( x-1)
4
2.
Hitunglah
( x + 2)
∫ ( x − 2)
dx
2
Penyelesaian : x + 2
( x − 2)
=
2
A
( x − 2)
+
B
Mengunakan kaidah 4
( x − 2) 2
maisng-masing ruas dikalikan (x-2) x+2
= A (x-2) + B
x = 2 →
x= -2 →
Jadi
2
x + 2
( x − 2)
2
4
= A (0) + B
B
=4
0
= A ( -4 ) + 4
A
=1
=
1 x − 2
+
4 ( x − 2) 2
Sehingga : x + 2
∫ ( x − 2)
2
dx =
=
1
∫ x − 2 1
∫ x − 2
3.
Tentukan
∫
( x + 2)3
4
∫ ( x − 2)
2
dx
∫
dx + 4 ( x − 2) − 2 dx
= ln ( x-2) -
2 x + 1
dx +
4 ( x − 2)
+c
dx
Jawab : x 2 + 1
( x + 2)
3
=
A x + 2
+
B
( x + 2)
2
+
C
( x + 2)3
masing-masing ruas dikalikan (x+ 2) 2
→
3
2
x + 1 = A (x+2) + B(x+2) + C x = -2 →
4 + 1 = A(0) + B(0) + C 5=C
5
(kaidah 5)
diambil x sembarang : x=0 →
1 = 4A + 2B + 5 -4 = 4A + 2B…………….(1)
x = -4 →
17 = 4A – 2B + 5 12 = 4A – 2B…………….(2)
jika persamaan (1) dan (2) dieliminasi 8 = 8A A =1
Masukkan harga A = 1 pada persamaan (1) -4
= 4 + 2B
B
=-
8 2
= -4
Sehingga x + 1 2
=
( x + 2)3
1 x + 2
x + 1 2
∫ ( x + 2)
Jadi
dx = 3
−
4
+
( x + 2) 2 1
∫ x + 2
dx − 4
= ln (x+2) + 4
= ln (x+2) +
4.
Hitunglah
x 2
∫ ( x − 2)( x
2
+ 1)
5 ( x + 2)3 1
∫ ( x + 2) 1
( x + 2) 4
( x + 2)
2
−
−
dx + 5
5
2( x + 2) 2
dx
2
(x +1) menggunakan kaidah 6 ( x − 2)( x 2 + 1)
A
( x − 2)
+
Bx + C
( x 2 + 1) 2
masing-masing dikalikan (x–2) (x +1) x misal
2
x=2
2
= A( x + 1 ) + ( Bx + C ) ( x-2 ) →
4 = 5A + (2B+C).0 jadi A = 4/5 6
1
5
(x-2) menggunakan kaidah 3 dan
=
∫ ( x + 2)
2 ( x + 2) 2
Jawab :
x 2
1
+c
+c
3
dx
misal x = 0 → 0 = A – 2C 4
0=
− 2C
5
2C =
4 5
C = 2/5
2
x
2
= A( x + 1 ) + ( Bx + C ) ( x-2 )
misal x = 1 → 1 = 2A – B – C 1 = 8/5 – B – 2/5 B = 6/5 – 1 B = 1/5
Jadi
x 2
( x − 2)( x 2 + 1)
=
4/5
+
( x − 2)
1 / 5 x + 2 / 5 ( x 2 + 1)
Sehingga : x
2
∫ ( x − 2)( x =
=
=
4
∫
1
∫
1
2
+ 1)
5 ( x − 2) 4
5 ( x − 2) 4 5
dx =
dx +
1
dx +
1
ln( x − 2) +
1 10
5
∫
∫
x.
∫
4/5 ( x − 2) 1 ( x + 1) 2
2 x
10 ( x 2 + 1) ln( x 2 + 1) +
1
ingat
f ( x )
dx +
dx +
2 5
2
( x 2 + 1)
∫
1
5 ( x + 1)
2
∫
2
1
5 ( x 2 + 1)
ln( x 2 + 1) + C
∫ f ( x ) dx = ln[ f ( x )] + C
7
1 / 5 x + 2 / 5
∫
dx +
dx
dx
dx
INTEGRAL TERTENTU
∫
Jika f ( x ) dx = F ( x) + C b
∫ f ( x)dx =[ F ( x) + C ]
b a
Maka
a
= [ F(b) + C ] – [ F(a) + C ] = F (b) – F (a) Jadi b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a
Perhatikan bahwa nilai konstanta (c), dalam hal integral tertentu menjadi hilang. Keterangan : a
: batas bawah
b
: batas atas
f(x)
: integran
Sifat-Sifat Integral Tertentu b
a
∫
∫
a
b
1. f ( x) = − f ( x )dx c
2.
b
c
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a
a
dimana harga a < b < c
b
a
∫
3. f ( x) dx = 0 a
4. Bila f 1(x) dan f 2(x) adalah fungsi-fungsi yang dapat di integralkan, maka: b
b
b
∫ [ f ( x) + f ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx 1
2
1
a
a
2
a
5. Bila c adalah suatu konstanta : b
b
a
a
∫ c. f ( x)dx = c ∫ f ( x)dx 8
contoh soal : 2
1. carilah harga dari
∫ (1 / 2 x + 3) dx 3
−4 2
2
∫ (1/ 2 x + 3) dx = ∫ (1/ 2 x + 3) .2.d (1/ 2 x + 3) 3