CURSO: CÁLCULO II
Tema :
Integral definida.
LA INTEGRAL DEFINIDA Suponga que un agente de bienes raíces desea evaluar una parcela sin construir, que tiene ti ene 100 pies de ancho y que está limitada por calles en tres de sus lados y por un arroyo en el cuarto lado. El agente determina que si establece un sistema de coordenadas, tal como se muestra en la figura 1, el arroyo se puede escribir por medio de las curvas y x3 1 , donde x e y están medidas en cientos de pies. Si el área de la parcela es A pies cuadrados y el agente estima que su tierra vale $ 12 por pie cuadrado, entonces el valor total de la parcela es de 12A 12A dólares. Si la parcela fuera de forma rectangular o triangular, e incluso trapezoidal, se podría determinar su área A sustituyendo en una fórmula bien conocida; sin embargo, la frontera superior de la parcela es curva, por tanto ¿cómo puede el agente determinar el área y después determinar el valor total de parcela?
y
(100pies)
Arroyo
1
0
1
x (100 pies)
Figura 1: Determinación del valor de la tierra encontrando encontrando el área bajo la curva.
El objetivo de esta parte es demostrar que se puede expresar el área bajo la curva como el límite de una suma de términos, que recibe re cibe el nombre de integral definida .
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Semestre 2013-I
ÁREA BAJO UNA CURVA Sea f una función no negativa ( f 0) sobre [a; b]. Definimos la región: S = {( x ; y ) / x [a; b], y [0; f ( x )]} denominada la región de f desde “a” hasta “b”.
Interpretación Geométrica De Integral Definida: Partamos subdividiendo S en n franjas S 1 , S 2
….. S n
de igual ancho como en la figura
El ancho del intervalo [a,b] es b-a, por lo tanto el ancho de cada una de las n franjas es ba x n Estas franjas dividen al intervalo a, b en n subintervalos
x0 , x1 , x1 , x2 , x2 , x3 ,, xn1 , xn Donde x0 a y xn b . Los puntos finales del lado derecho de los subintervalos son: x1 a x,
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x2 a 2 x,
x3 a 3x,
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Aproximemos la i franja S i por un rectángulo de ancho x y altura f ( xi ) , el cual es el valor de f en el punto final del lado derecho.
Entonces el área del i –ésimo rectángulo es f ( xi )x . Lo que creemos intuititavemente, como el área de S es la suma de las áreas de estos rectángulos, el cual es Rn f ( x1 )x f ( x2 )x
f ( xn )x
Las siguientes figuran muestran esta aproximación para n=2, 4, 8 y 12. Note que esta aproximación parece llegar a ser mejor y cada vez mejor conforme el número de franjas se incremente es decir, cuando n .
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Por consiguiente definimos el área de la región S en la siguiente forma:
Definición: El área A de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas aproximadamente rectangulares:
DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA Si f está definida en el intervalo cerrado a, b y existe el límite lim Rn lim n
n
n
f ( x )x i
i 1
Entonces f es integrable en a, b y el límite se denota b
n
lim
n
f ( x )x f ( x)dx i
i 1
a
Este límite se llama la integral definida de f entre a y b. Donde:
f ( x) : Función integrable a, b: límites de integración
: Símbolo de integración, x : variable de integración
TEOREMA: LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN Si f es continua en el intervalo cerrado a, b , el área de la región limitada por la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales x=a y x =b viene dado por: b
Área f(x) dx a
Nota: 1. La integral definida no es otra cosa que un número real y puede representar o no un área 2. Cuando el área está bajo el eje X , la integral definida tiene signo negativo.
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PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: Sea f un función continua en a;b . La función g definida por: x
g(x) f(t)dt; a x b a
es continua en a;b ; derivable en a;b y
g'(x) f(x)
Consecuencia: Si f es continua en
, g y h son diferenciables en
d dx
se tiene:
g(x)
f(t)dt f g(x)g'(x)
x
a
Ejemplos: x
1. Hallar la derivada de la función g(x) t 1 t2 dt 0
Solución: Como f(t) t 1 t2 es continua, entonces por el teorema g'(x) x 1 x2 x
d 2. tan(t)dt tan(x) dx 1 d 3. dx
4.
d dx
x3
dxd x 3 3x2 sec x 3
3 sec(t)dt sec x
1 sin(x)
cos
t dt cos
sin x cos x
1 x
5. Si F(x)
2
3 4 1 y
3
dy , hallar F'(x)
x
Solución: Consideremos una constante k que se encuentra entre la funciones x2 y x3 . Entonces: x2
F(x)
3 4 1 y
3
x
x3
3
k
dy
3 4 1 y
x x2
3
x2
dy
4 1 y
3
dy
x
3
4 1 y dy 4 1 y dy k
k
Derivando tenemos: 4 4 F'(x) 3x2 1 x9 2x 1 x6
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SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f(x) es una función continua en el intervalo a x b , entonces b
f(x)dx F(b) F(a) a
Donde F(x) es cualquier antiderivada de f(x) en a x b Al final de esta sección se verá un caso especial del teorema fundamental del cálculo. Cuando se aplica el teorema fundamental, se emplea la notación
F(x)
b a
F(b) F(a)
Entonces, b
b
f(x)dx F(x) a F(b) F(a) a
Ejemplo 1: 3
Calcular
3x
2
x 6 dx
1
Solución: Una antiderivada de 3x2 x 6 es F(x) x 3 3
1
x2 6x . Entonces: 2 3
3 x2 2 3x x 6 dx x 6x 2 1
2 3 33 3 1 3 6 3 1 6 1 2 2 48
Ejemplo 2: 4
1
x x dx
Evalúe
2
1
Solución: Una antiderivada de f ( x)
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1 1 x 2 es F ( x) ln x x 3 , por tanto se tiene 3 x
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4
4
1 3 1 2 ln x dx x x 1 x 3 1
1 1 ln 4 (4)3 ln1 (1)3 3 3 ln 4 21 19.6137
Ejemplo 3: 1
Calcular
1 1 x2 x3 dx 3
Solución: Una antiderivada de
1 x
2
1 1 es F(x) 2 . Entonces: x 2x x 1
3
1
1
1 1 1 1 1 1 1 x2 x3 dx x 2x2 1 2 3 8 3 3
10 9
Ejemplo 4: 10
Calcular
1
x 2dx
6
Solución: Una antiderivada de
1 es F(x) ln x 2 . Entonces: x 2 10
10 1 dx ln x 2 6 ln(12) ln(4) x 2 6
ln(3)
Ejemplo 5: 2
Calcular x2 x3 1 dx 0
Solución: 3
En esta integral haremos un cambio de variable: Consideremos w x 1 , entonces:
dw 3x2dx
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dx
dw 3x2
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Cuando se hace un cambio de variable o una sustitución adecuada es recomendable cambiar los límites de integración para facilitar los cálculos. Entonces: 3
a. Para x 0 tenemos w 0 1 1 . b. Para x 3 tenemos w 23 1 9 . Por tanto: 2
2 9
9
w 1w 2 3 x x 1 dx dw 3 3 2 0 1
2
1
2
9 1 6 6 40 3
Reglas de Integración: La siguiente lista de reglas se puede emplear para simplificar el cálculo de integrales definidas.
Reglas de Integrales definidas Sean
y
cualesquiera funciones continuas en
1. Regla del factor constante
. Entonces, para
constante.
2. Regla de la suma 3. Regla de la diferencia 4. 5. 6. Regla aditiva de la integral definida
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Ejemplo 1: 1
Calcule
8 x x 2 1 dx 3
0
Solución: El integrando es un producto en el que uno de los factores, 8 x , es un múltiplo de la derivada de la expresión x 2 1 , que aparece en el otro factor. Esto sugiere que se introduzca u x 2 1 . Entonces, du 2 xdx , y por tanto
3
8 x x 2 1 dx 4u 3 du u 4
Los límites de integración, 0 y 1, se refieren a la variable x y no a u. Por tanto, se puede proceder en una de las dos formas. Se puede reescribir la antiderivada en términos de x, o bien se puede determinar los valores de u que corresponden a x=0 y x=1. Si se elige la primera alternativa, se obtiene que
1
Y por tanto
3
8 x x 2 1 dx u 4 x 2 1
3
8 x x 2 1 dx x2 1
0
4 1
4
16 1 15
0
Si se elige la segunda alternativa, se debe tener en cuenta el hecho de que u x 2 1 para calcular que u=1 cuando x=0, y u=2 cuando x=1. Por consiguiente, 1
2
8 x x 1 dx 4u 3 du u 4 3
2
0
1
2 1
16 1 15
Ejemplo 2: 2
Evalúe
ln( x) dx 1 x 4
Solución: Sea u ln( x) , por tanto du
1 dx . Entonces x
ln x x
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1 dx udu x
dx ln x
1 2
u2
1 2
ln x 2
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Entonces, 2
14
2
1 1 1 1 2 2 dx ln x ln 2 ln 2 4 x 2 14 2
ln x
3 2
2
ln 22 0.721
Ejemplo 3: 9
Calcular
4
x dx x 1
Solución: En esta integral haremos un cambio de variable: Consideremos w x , entonces:
w2 x
2wdw=dx Teniendo en cuenta este cambio de variable, procedemos a cambiar los límites de integración: a. Para x 9 tenemos w 3 . b. Para x 4 tenemos w 2 . Por lo tanto: 9
4
3
x
3
2
w w dx 2wdw 2 dw w 1 w 1 x 1 2 2 3 2 3 w 1 1 1 dw 2 w 1 dw dw 2 w 1 w 1 2 2 2 3
3
w2 2 w ln w 1 2 2
9 4 2 3 ln(2) 2 ln(1) 2 2 7 2ln(2) Ejemplo 4: 10
Si f es continua tal que
10
f(x)dx 17 y f(x)dx 12 , hallar f(x)dx . 0
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8 0
8
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Solución: Por la propiedad 6 (regla aditiva de la integral indefinida), tenemos: 10
8
10
f(x)dx f(x)dx f(x)dx
0
0
0
10
10
8
f(x)dx f(x)dx f(x)dx 8
0
0
Entonces: 10
f(x)dx 17 12 5 0
SIMETRÍA: El siguiente teorema permite simplificar el cálculo de integrales de funciones que poseen propiedades de simetrías.
Teorema: Si f(x) es continua en a;a . a
a) Si f(x) es par, es decir f(x) f(x) , entonces
a
f(x)dx 2 f(x)dx . a
0
a
b) Si f(x) es impar, es decir f(x) f(x) , entonces
f(x)dx 0 . a
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Ejemplo 1: 2
Calcular
x
6
1 dx
2
Solución: 6
Como la función f(x) x 1 satisface f(x) f(x) (es una función par) tenemos que: 2
x
6
2
6 1 dx 2 x 1 dx
2
0 2
x7 2 x 7 0 128 284 2 2 7 7
Ejemplo 2: 1
Calcular
x dx 3
1
Solución: Como la función f(x) x3 satisface f(x) f(x) (es una función impar) tenemos que: 1
4
x x dx 4 1 3
1
1
1 4
4
4
1 0 4
Ejemplo 3: 4
Calcular
2
x x 6 dx
4
Solución: En el cálculo de las integrales con un valor absoluto se debe determinar el signo de la expresión dentro de las barrar mediante el criterio del punto crítico, es decir: 2
2
Para x x 6 tenemos: x x 6 (x 3)(x 2) . Igualando a cero, obtenemos que los puntos críticos son x 3 x 2 . Colocando estos puntos en la recta numérica tenemos: +
_ -3
Como
4;4 4; 3 3;2 2;4
+ 2
entonces la integral se trabaja sobre cada
intervalo, es decir:
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4
x
2
3
x 6 dx
4
x
2
4 3
x
2
2
x 6 dx
x 3 2
x 6 dx
4
2
4
x 6 dx x 2 x 6 dx
x
2 2
4
x 6 dx x 2 x 6 dx
3 3
2 2
4
x 3 x2 x 3 x2 x 3 x2 6x 6x 6x 3 2 4 3 2 3 3 2 2
9 9 64 8 9 18 8 24 2 12 9 18 3 2 3 3 64 8 8 24 2 12 3 3 64 9 8 9 56 23 19 6 3 2 3 2 3 109 3
VARIACIÓN TOTAL: En ciertas aplicaciones se da la tasa de cambio Q' ( x) de una magnitud Q( x) y se requiere calcular la variación total Q(a) Q(b) en cuando x varia de x a a x b . Sin embargo, como Q( x) es una antiderivada de Q' ( x) , el teorema fundamental del cálculo permite calcular la variación total según la fórmula de la integración definida.
Variación Total: Si Q' ( x) es continua en el intervalo a x b , entonces la variación total de Q( x) cuando x varía de x a a x b está dado por b
Q(b) Q(a ) Q' ( x)dx a
Si V(t) es el volumen de agua en un depósito en el instante t, entonces su derivada
es la razón a la cual fluye el agua hacia el depósito en el instante t. Por lo tanto: ∫ es el cambio en la cantidad de agua en el depósito entre los instantes .
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Si la masa de una varilla, medida desde la izquierda hasta un punto x, es M(x),
Por consiguiente:
entonces la densidad lineal es
Es la masa del segmento de la varilla entre x=a y x=b.
, entonces ∫
Si la tasa de crecimiento de una población es
Ejemplo 1: 2
En cierta fábrica, el costo marginal es 3 q 4 dólares por unidad cuando el nivel de producción es q unidades. ¿En cuánto se incrementa el costo total de manufactura si el nivel de producción se aumenta de 6 a 10 unidades?
Solución: Sea C ( q) el costo total de producción de q unidades. Entonces el costo marginal es la derivada
dC dq
2 3q 4 , y el incremento del costo si la producción se aumenta de 6 a 10
unidades está dado por la integral definida 10
dC
dq dq
C (10) C (6)
6
10
3 10
3q 4 dq q 4 2
6 3
6
3
10 4 6 4 $208
Ejemplo 2: Una proteína con masa m (gramos) se desintegra en aminoácidos a una tasa dada por dm dt
30 t 32
g h
¿Cuál es la variación total de la masa de la proteína durante las 2 primeras horas?
Solución: La variación total está dada por la integral definida
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2
m(2) m(0)
dm
dt
2
dt
0
30 0 (t 30) 2 dt
Si se sustituye u t 3, du dt y se cambian los límites de integración apropiadamente ( t 0 se convierte en u 3 y t 2 se convierte en u 5 ), se encuentra que 2
5
30 m( 2) m(0) dt 30u 2 du 2 (t 30) 0 3 5
u 1 1 1 30 30 5 3 1 3 4 Entonces, la masa de la proteína tiene una variación total de 4 gramos durante las 2 primeras horas.
EJERCICOS PROPUESTOS I.
Utilice el Primer Teorema fundamental del Cálculo, para determinar la derivada
tan()
x e
7. g(x) 2 x
4
2
9. g(x) 2 t
dt
2
1t t
2
0 1 t t
5. g(x)
2
sin(x) 1 cos
10. g(x)
sin(x)
1
tan(x)
x
4. g(x)
cos(t) t2 dt
b
3. g(x) e x
sin(x)
1 t dt
x
2 x
ln(t) dt t
2 x
8. g(x)
0
2. g(x)
2
cos(t)dt
0
2
3t dt
2
sec ()d
0
de las siguientes funciones:
1. g(x)
6. g(x)
3
dt para x 2
3 x
11. g(x)
2
3
(t)
dt
1 2
1 tan (t)
dt
3
1 y dy
x
1
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x
2
dt 2 2 1 t
3. 1
12. g(x)
2
1 t
a
4.
x
1 2
1 cos (t)
dt
5.
dt 3 1 1 t
3 5x
15. g(x)
2
1 t
1 x
9.
17. g(x) cos(t 1)dt 10. t 1dt
11. 1
senx
20. g(x)
12.
1
3
14.
15.
x
e
1 e2x dx
2
x 2x x 4 2
x 1
dx
1
x2 4x 13 dx 5
1
y
dx
2
1
4x 6x 3 dx
3 3/5
4
x 9 2 xdx
8 4
1
2 3
definidas:
2.
x
2
0
determinas las siguientes integrales
4
x
1
Fundamental del Cálculo, para
5x
2 dx
3
II. Utilice el segundo Teorema
1.
4
5
13.
3
2
dt 2 1 t
3
x 1
dt 2 1 t
2
2x x 1 x dx 0
3 2
dx
4
2
3
1
19. g(x)
3
0
x
tanx
3x 2 3
2
x 2 dx 1
x
18. g(x)
x2 4x 2 dx
2
1
3 x
3
4
dt
8.
x
x 4
3 t2 dt
16. g(x)
2
6x x 1 dx
2
7.
t
3
∫ | | 2
6.
1
14. g(x)
4x
1
dt dt 2 1 cos (t) 2 a
2
x 3 dx
1
4
2
dt
3 x
13. g(x)
x
16.
dy
x
3
1 x4 dx
2 3
0
17.
x
x2 1 dx 2
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4
18.
y
1
3
19.
1
1
1
2 x
2
1
1 x 1 dx 0
33.
dx
e
2
2sec (x)dx
ln(x)dx
34.
0
1
/2
8y
21.
2
sin(y) dy
/2
2 e e
1 cos(2t) 2 dt /3 e
23.
xcos(x)dx
36.
0
/2
z z 2 dz 1
x
1x
x
2
3
4
sin (x)cos (x)dx
37.
0
dx
III. Resolver los siguientes ejercicios:
5
25.
/2
3
4
24.
1 dx xln(x)
35.
/3
22.
1
x dx
32.
dy
2
/3
20.
e
1 y
2
x
x 2 dx f(x)
2
1. Hallar f(2) si
3
26.
3 x dx
2. Si
1
x
28.
3 4
29.
1
2
x 16
dx
3
cos (x)
/2 2
31.
2
2
x 4
/2
30.
1
0
9 1 xdx 4
1
f(t)dt 2 xsin(2x) 2 cos(2x) x
x xdx
1 3
2
0
3
27.
2
t dt x (1 x) .
x
3
3
sin(x)
dx
2
x 5dx
1
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calcular f / 4 , f' / 4 .
3. Si f(x) es continua y 4
x
3
x f(t) dt 17x . Hallar f(3) . 0
4. Encuentre una función f tal que para cualquier número real x:
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IV. Resolver los siguientes problemas: b. Halle la distancia recorrida durante
1. CONTAMINACIÓN DEL AIRE: Un estudio ambiental de cierta comunidad sugiere que dentro de t años el nivel L(t) de monóxido
de
carbono
en
el
aire
este periodo.
5. El costo marginal de fabricar x yardas de cierta
tela
es 2
cambiará a una tasa de L'(t) 0.1t 0.1
C'(x) 3 0.01x 0.000006x
portes por millón (ppm) al año. ¿En
dólares por yarda).
cuánto
cambiará
el
nivel
(en
de
contaminación durante los próximos 3
Encuentre el incremento en el costo si el
años?
nivel de producción aumenta de 2000 a 4000 yardas.
2. ESPECIES EN PELIGRO DE EXTINCIÓN: Un estudio conducido por un grupo
6. La densidad lineal de una varilla es
ambientalista en el año 2000 determina
medida en kilógramos
√
que dentro de t años, la población de
por metro, si la longitud de ésta es 4
cierta especie de ave en peligro de
metros y x es la distancia desde uno de
extinción disminuirá a una tasa de
los extremos de la varilla, encuentra su
P'(t) 0.75t 10 0.2t individuos por
masa total.
año. ¿En cuánto se espera que cambie la población durante la década 20002010?
3. DISTANCIA Y VELOCIDAD: Un conductor
7. Una población de animales crece a razón de 200 + 50t al año. ¿En cuánto aumenta la población de animales entre el cuarto y el décimo año?
viajando a una velocidad constante de 45mph, decide acelerar de tal forma que su velocidad t horas después es
v(t) 32t 80pies s . ¿Cuánto recorre en las primeras 2 horas?
4. Una partícula se mueve a lo largo de una recta de modo que su velocidad en el 2
instante t es v(t) t t 6 (medida en metros por segundo). a. Encuentre el desplazamiento de la partícula durante el periodo 1 t 4
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